Untai Elektrik I - iwansetyawan.orgiwansetyawan.org/downloads/untai1_p5_3.pdf · Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Matriks dan Determinan (6)

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh

Matriks danDeterminan

MetodeTeganganNode

Tahanan Inputdan Output

TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi

TeoremaThevenin danNorton

TeoremaTransfer DayaMaksimum

Untai Elektrik IMetode Analisis

Dr. Iwan Setyawan

Fakultas TeknikUniversitas Kristen Satya Wacana

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Metode Arus Cabang (1)

• Pada Metode Arus Cabang (Branch Current), setiapcabang pada untai diberi arus.

• Kemudian, kita terapkan Kirchhoff’s Current Law (KCL)pada principal node dan tegangan diantara masing-masingnode untuk mencari hubungan antara arus-arus tersebut.

• Prosedur ini akan menghasilkan satu set persamaan yangkemudian diselesaikan untuk mencari besar masing-masingarus.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Contoh soal 1:

Carilah nilai arus untuk tiap cabang pada untai berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Dengan menerapkan KCL pada node a, kita peroleh

I1 = I2 + I3 (1)

Tegangan antara titik a dan b dapat dituliskan berdasarkanelemen-elemen yang ada pada tiap cabang:

Vab = 20− 5I1, Vab = 10I3 Vab = 2I2 + 8

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Dari sini kita dapat menulis

20− 5I1 = 10I3 (2)

20− 5I1 = 2I2 + 8 (3)

Dengan mensubstitusikan (2) ke (3) kita peroleh

10I3 = 2I2 + 8

5I3 = I2 + 4 (4)

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Kemudian dengan mengalikan (1) dengan 5 dan memasukkan(4) kita peroleh

5I1 = 5I2 + I2 + 4

5I1 = 6I2 + 4 (5)

Dari (5) dan (3) kita peroleh

20− 6I2 − 4 = 2I2 + 8

8 = 8I2

I2 = 1 A (6)

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Dengan memasukkan nilai I2 ke (5) kita peroleh

5I1 = 6 + 4

I1 = 2 A (7)

Selain itu dengan memasukkan nilai I2 ke (4) kita peroleh

5I3 = 1 + 4

I3 = 1 A (8)

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Arah arus yang berbeda juga dapat digunakan, denganpenyesuaian tanda.

• Metode arus cabang ini tidak tepat digunakan untuk untaiyang kompleks.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Metode Arus Mesh (1)

• Pada metode ini, setiap “window” pada untai diberisebuah arus sedemikian sehingga tiap arus merupakansebuah loop tertutup (“loop currents”).

• Jika sebuah elemen atau cabang dilewati lebih dari satuarus, maka arus yang sebenarnya mengalir adalahjumlahan arus-arus tadi.

• Semua arus bisa dibuat searah atau berlawanan arah jarumjam. Biasanya semua arus dibuat searah jarum jam.

• Setelah semua arus ditetapkan, digunakan KVL untukmemperoleh persamaan- persamaan yang harusdiselesaikan.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Contoh soal 2:

Carilah arus disetiap percabangan untai berikut (untai iniidentik dengan contoh sebelumnya).

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Dengan menerapkan KVL pada “window” kiri (dimulai darititik α), kita peroleh:

−20 + 5I1 + 10(I1 − I2) = 0

15I1 − 10I2 = 20 (9)

dan untuk “window” kanan (dimulai dari titik β):

8 + 10(I2 − I1) + 2I2 = 0

−10I1 + 12I2 = −8 (10)

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Dengan mengalikan (10) dengan 1.5 kita peroleh

−15I1 + 18I2 = −12

15I1 = 18I2 + 12

Jika kita substitusikan persamaan terakhir ke (9), kita peroleh

18I2 + 12− 10I2 = 20

8I2 = 8

I2 = 1

Dengan memasukkan hasil ini ke (9) kita peroleh I1 = 2.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Arus yang melalui R = 10 ohm adalah I1 − I2 = 1 ampere.Pada contoh sebelumnya, arus ini adalah I3.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Arus yang diberikan tidak harus terbatas pada satu“window” seperti pada contoh diatas.

• Pada metode ini, setiap elemen untai harus dilewatisebuah arus atau kombinasi arus-arus yang ada pada untai.

• Pada metode ini, tidak boleh ada 2 elemen pada cabangyang berbeda yang dilewati arus atau kombinasi arus yangsama.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Matriks dan Determinan (1)

Penyelesaian analisis untai dengan metode arus mesh dapatdilakukan menggunakan matriks.

Contoh soal 3:

Tuliskan persamaan-persamaan untai berikut dalam bentukmatriks.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Dengan menerapkan KVL pada tiap-tiap “window”, kitaperoleh

(RA + RB)I1 −RB I2 = Va

−RB I1 +(RB + RC + RD)I2 −RD I3 = 0−RD I2 +(RD + RE )I3 = −Vb

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagaiberikut:RA + RB −RB 0

−RB RB + RC + RD −RD

0 −RD RD + RE

I1I2I3

=

Va

0−Vb

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Matriks pada contoh diatas dapat ditulis dalam bentukumum sebagai berikutR11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

(11)

• Pada persamaan diatas, elemen R11 adalah jumlahansemua resistor yang dilewati arus I1. Untuk kasus ininilainya adalah RA + RB .

• R22 dan R33 masing-masing adalah jumlahan semuaresistor yang dilewati I2 dan I3.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Elemen R12 adalah jumlahan semua resistor yang dilewatiarus I1 dan I2. Tanda elemen ini positif jika kedua arusmemiliki arah yang sama, dan negatif jika arus berlawananarah.

• Pada kasus diatas, RB adalah satu-satunya resistor yangdilewati I1 dan I2. Karena arah kedua arus ini berlawanan,tanda RB negatif.

• Hal yang sama berlaku untuk R13, R21, R23 dan R31.

• Perhatikan bahwa Rij = Rji , ∀ i , j . Jadi, matrix inisimetris terhadap diagonal utamanya.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Matriks kedua berisi arus-arus yang ada pada untai.

• Matriks ketiga berisi sumber-sumber tegangan pada untai.Elemen V1 berisi jumlahan semua sumber yangmenimbulkan arus pada “window” pertama danseterusnya.

• Elemen matriks ini bernilai positif jika arus mengalir dariterminal − ke terminal +. Jika tidak, nilainya negatif.

• Pada kasus diatas, “window” pertama memiliki sumber Va

dengan I1 masuk dari terminal negatif. “Window” keduatidak memiliki sumber, dan “window” ketiga memilikisumber yang masuk dari terminal positif.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Matriks yang dihasilkan dari proses analisis untai sepertidiatas dapat diselesaikan dengan banyak cara.

• Cara yang akan dibahas berikut ini adalah metodedeterminan atau disebut juga dengan aturan Cramer(Cramer’s rule).

• Penyelesaian dengan aturan Cramer tidak terlalu efisienjika untai yang dianalisis sangat kompleks.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Contoh soal 4:

Selesaikan persamaan matriks pada contoh yang lalu(Persamaan (11)) dengan menggunakan metode determinan.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Untuk mencari I1 kita gunakan pembagian 2 determinan.Determinan yang menjadi penyebut adalah determinan matriksresistansi, dengan simbol ∆R . Determinan yang menjadipembilang sama dengan ∆R , tetapi kolom pertama digantidengan matriks tegangan atau

I1 =

∣∣∣∣∣∣V1 R12 R13

V2 R22 R23

V3 R32 R33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

∣∣∣∣∣∣≡ 1

∆R

∣∣∣∣∣∣V1 R12 R13

V2 R22 R23

V3 R32 R33

∣∣∣∣∣∣

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Menggunakan analisis yang sama, dapat diperoleh:

I2 =1

∆R

∣∣∣∣∣∣R11 V1 R13

R21 V2 R23

R31 V3 R33

∣∣∣∣∣∣I3 =

1

∆R

∣∣∣∣∣∣R11 R12 V1

R21 R22 V2

R31 R32 V3

∣∣∣∣∣∣

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Ekspansi determinan pembilang menggunakan kofaktor akanmenghasilkan satu set persamaan yang berguna dalammenganalisis untai. Untuk kasus diatas diperoleh:

I1 = V1

(∆11

∆R

)+ V2

(∆21

∆R

)+ V3

(∆31

∆R

)(12)

I2 = V1

(∆12

∆R

)+ V2

(∆22

∆R

)+ V3

(∆32

∆R

)(13)

I3 = V1

(∆13

∆R

)+ V2

(∆23

∆R

)+ V3

(∆33

∆R

)(14)

Dengan ∆ij adalah kofaktor Rij dalam ∆R .

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Metode Tegangan Node (1)

Perhatikan gambar untai berikut.

Untai ini memiliki 5 node (node 1, 2 dan 3 adalah principalnode sedangkan node 4 dan 5 adalah simple node).

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Dalam metode ini, salah satu principal node dipilihmenjadi referensi.

• Kemudian persamaan-persamaan dibuat berdasarkan KCLpada principal node lainnya.

• Masing-masing principal node (yang bukan referensi) diberitegangan. Tegangan ini relatif terhadap node referensi.

• Tegangan-tegangan ini adalah besaran yang dicari untukmendapatkan solusi untai.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Untai diatas dapat digambar ulang sebagai berikut, dengannode 3 dijadikan node referensi untuk V1 dan V2.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Menurut KCL, jumlahan arus yang keluar dari node 1harus nol. Sehingga diperoleh

V1 − Va

RA+

V1

RB+

V1 − V2

RC= 0

• Hal yang sama dapat diperoleh untuk node 2 sebagaiberikut.

V2 − V1

RC+

V2

RD+

V2 − Vb

RE= 0

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentukmatriks sebagai berikut.[

1RA

+ 1RB

+ 1RC

− 1RC

− 1RC

1RC

+ 1RD

+ 1RE

] [V1

V2

]=

[Va/RA

Vb/RE

]• Perhatikan bahwa matrik koefisien simetris terhadap

diagonal utamanya.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Elemen (1, 1) matriks koefisien berisi jumlahan reciprocalsemua resistor yang terhubung ke node 1.

• Elemen (2, 2) matriks koefisien berisi jumlahan reciprocalsemua resistor yang terhubung ke node 2.

• Elemen (1, 2) dan (2, 1) berisi negatif jumlahan reciprocalsemua resistor pada cabang yang menghubungkan node 1dan node 2.

• Sisi kanan persamaan berisi arus-arus yang men-drivemasing-masing node.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Contoh soal 5:

Selesaikan contoh soal 2 menggunakan metode tegangan node.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Untai yang dianalisis dapat digambar ulang sebagai berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Karena hanya ada 2 principal node, maka kita hanyamembutuhkan 1 persamaan. Jika diasumsikan arus mengalirdari node 1 ke node referensi, maka kita peroleh

V1 − 20

5+

V1

10+

V1 − 8

2= 0

2(V1 − 20) + V1 + 5(V1 − 8) = 0

8V1 − 80 = 0

V1 = 10

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Dari hasil diatas dapat diperoleh

I1 = (10− 20)/5

= −2

I2 = (10− 8)/2

= 1

I3 = 10/10

= 1

Tanda negatif pada I1 menunjukkan bahwa arah arus yangdiasumsikan salah. Besar dan arah arus yang diperoleh padapenyelesaian ini cocok dengan hasil sebelumnya.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Tahanan Input dan Output (1)

• Pada jaringan dengan 1 sumber, kita sering perlumengetahui tahanan input (input resistance atau drivingpoint resistance).

• Jaringan seperti ini ditunjukkan pada gambar berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Pada jaringan diatas, terdapat satu sumber tegangan, V1,dengan driving current I1.

• Karena hanya terdapat 1 sumber tegangan, persamaanuntuk I1 adalah

I1 = V1

(∆11

∆R

)• Tahanan input adalah perbandingan V1 terhadap I1, atau

Rin,1 =∆R

∆11

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Sebuah sumber tegangan yang dipasang pada sebuahjaringan pasif menghasilkan beda tegangan antar semuanode dalam jaringan.

• Jika sebuah resistor luar dipasang diantara 2 node jaringan,resistor tersebut akan menarik arus dari jaringan dan padaumumnya menurunkan tegangan antar node tersebut.

• Hal ini disebabkan oleh tegangan pada tahanan output.

• Tahanan output dicari dengan membagi teganganopen-circuit dengan arus short-circuit pada node yangdianalisis.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Transfer Resistance (1)

• Sebuah sumber tegangan pada satu bagian sebuahjaringan menghasilkan arus pada semua cabang jaringan.

• Misalnya, sumber tegangan yang dipasang pada suatujaringan pasif menghasilkan arus output pada bagiantempat sebuah beban dipasang.

• Dalam kasus seperti diatas, jaringan dikatakan memilikisuatu transfer resistance.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Perhatikan jaringan pasif berikut ini

• Pada jaringan ini, tegangan sumber adalah Vr dan aruskeluaran adalah Is .

• Persamaan arus mesh untuk Is hanya berisi satu suku,sebagai berikut

Is = (0)(∆1s

∆R

)+ · · ·+ 0 + Vr

(∆rs

∆R

)+ 0 + · · ·

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Transfer resistance jaringan adalah perbandingan Vr danIs , atau

Rtrf ,rs =∆R

∆rs

• Karena matriks tahanan simetris, ∆rs = ∆sr , maka

Rtrf ,rs = Rtrf ,sr

• Persamaan terakhir menunjukkan sifat penting jaringanlinear: Jika tegangan tertentu pada mesh r mengakibatkanarus tertentu pada mesh s, tegangan yang sama padamesh s akan mengakibatkan arus yang sama pada mesh r .

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Misalkan kasus yang lebih umum, yaitu sebuah jaringandengan n buah mesh dan banyak sumber tegangan.

• Arus pada mesh ke-k dapat dicari sebagai berikut

Ik =V1

Rtrf ,1k+ · · ·+ Vk−1

Rtrf ,(k−1)k+

Vk

Rin,k+

Vk+1

Rtrf ,(k+1)k+ · · ·+ Vn

Rtrf ,nk

• Persamaan terakhir menunjukkan bahwa sumber yang jauhdari mesh k memiliki tahanan yang besar sehingga hanyamemberi sedikit kontribusi terhadap Ik . Semakin dekatsebuah sumber, semakin besar kontribusinya terhadap Ik .

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Network Reduction (1)

• Metode arus mesh dan tegangan node merupakan alatutama analisis untai.

• Metode lain yang dapat digunakan adalah denganmemanfaatkan tahanan ekuivalen (seri dan paralel) sertaaturan pembagian arus dan tegangan.

• Metode ini sangat merepotkan jika untai yang dianalisiskompleks.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Contoh soal 6:

Carilah daya total yang dikeluarkan sumber tegangan dan dayayang diserap masing-masing resistor pada untai berikut ini:

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Menggunakan metode network reduction, pertama-tama kitahitung tahanan ekuivalen sebagai berikut:

Rab = 7 + 5 = 12 Ω

Rcd =12× 6

12 + 6= 4 Ω

Kedua tahanan ekuivalen tersebut paralel, sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Dari gambar diatas dapat kita hitung tahanan ekuivalensebagai berikut:

Ref =4× 12

4 + 12= 3 Ω

Jadi untai sekarang menjadi sebagai berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Dari gambar diatas dapat kita hitung tahanan total untaisebagai berikut:

Req = 7 + 3 = 10 Ω

Jadi daya total yang dikeluarkan sumber tegangan dapatdihitung sebagai berikut:

PT =V 2

Req=

(60)2

10= 360 W

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Daya total ini dibagi antara Rge dan Ref sebagai berikut:

Pge =7

7 + 3× 360 = 252 W

Pef =3

7 + 3× 360 = 108 W

Pef dibagi lagi antara Rcd dan Rab sebagai berikut:

Pcd =12

4 + 12× 108 = 81 W

Pab =4

4 + 12× 108 = 27 W

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

Pcd dibagi antara tahanan 12 dan 6 Ohm sebagai berikut:

P12 =6

12 + 6× 81 = 27 W

P6 =12

12 + 6× 81 = 54 W

Pab dibagi lagi antara tahanan 7 dan 5 Ohm sebagai berikut:

P7 =7

7 + 5× 27 = 15.75 W

P5 =5

7 + 5× 27 = 11.25 W

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Superposisi (1)

• Sebuah jaringan linear yang memiliki dua atau lebihsumber bebas dapat dianalisis dengan cara memasangsumber-sumber tersebut secara bergantian.

• Jika sumber-sumber adalah sumber tak bebas, superposisihanya bisa dilakukan jika fungsi pengendali sumber takbebas ada diluar jaringan.

• Sumber tegangan yang dimatikan diganti hubung pendek.Sumber arus yang dimatikan diganti hubung buka.

• Superposisi tidak dapat digunakan untuk menghitungdaya, karena perhitungan daya tidak linear terhadap arusdan tegangan.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Superposisi (2)

Contoh soal 7:

Hitung arus yang mengalir pada resistor 23 ohm pada untaiberikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Superposisi (3)

Jawab:

Jika sumber arus dimatikan, maka untai menjadi sebagaiberikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Superposisi (4)

Jawab (cont.):

Dari untai tersebut, dapat dihitung tahanan ekuivalen untaisebagai berikut:

Req = 47 +27× (4 + 23)

54= 60.5 Ω

dan arus total sebagai berikut:

IT =200

60.5= 3.31 A

sehingga arus pada resistor 23 ohm adalah:

I ′23 =27

54× 3.31 = 1.65 A

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Superposisi (5)

Jawab (cont.):

Jika sumber tegangan dimatikan, maka untai menjadi sebagaiberikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Superposisi (6)

Jawab (cont.):

Tahanan ekuivalen yang ada di sebelah kiri sumber arus dapatdihitung sebagai berikut:

Req = 4 +27× (47)

74= 21.15 Ω

sehingga arus pada resistor 23 ohm adalah:

I ′′23 =21.15

21.15 + 23× 20 = 9.58 A

Jadi arus total yang mengalir pada resistor 23 ohm adalah

I23 = I ′23 + I ′′23 = 11.23 A

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Teorema Thevenin dan Norton (1)

• Sebuah untai resistif linear aktif yang mengandung satuatau lebih sumber tegangan atau arus dapat digantikanoleh sebuah sumber tegangan dan sebuah resistor seri(teorema Thevenin), atau sebuah sumber arus dan resistorparalel (teorema Norton).

• Tegangan tersebut disebut tegangan equivalent Thevenin(Thevenin equivalent voltage, V’) dan arus tersebutdisebut arus equivalent Norton (Norton equivalent current,I’).

• Kedua resistor tersebut bernilai sama R’

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Ketika terminal ab pada gambar (a) terhubung buka,suatu tegangan akan muncul di antara titik-titik tersebut.

• Dari gambar (b) terlihat bahwa tegangan ini merupakanV’ dari untai equivalen Thevenin

• Bila suatu untai yang terhubung singkat diaplikasikan padaterminal seperti yang diusulkan oleh garis putus-putuspada gambar (a), suatu arus akan dihasilkan.

• Dari gambar (c) terlihat bahwa arus tersebut merupakan I’dari untai equivalen Norton.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Jika untai (b) dan (c) equivalent dari untai aktif yangsama, untai-untai tersebut saling equivalent.

• Sehingga I’ = V’/R’.

• Bila baik V’ dan I’ telah ditentukan dari untai aktif, makaR’ = V’/I’

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Contoh Soal 8:

Tentukan untai equivalen Thevenin dan Norton dari untai aktifpada gambar berikut:

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Dengan melihat bahwa terminal ab terhubung buka, keduasumber menghasilkan arus searah jarum jam melalui resistor 3Ω dan 6 Ω.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

I =20 + 10

3 + 9=

30

9A

Karena tidak ada arus yang melalui resistor 3 Ω bagian atas,tegangan Thevenin dapat diambil dari cabang aktif.

Vab = V ′ = 20− 30

9× 3 = 10 V

atau

Vab = V ′ =30

9× 6− 10 = 10 V

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab:

Hambatan/resistans R’ dapat diperoleh denganmenghubung-singkatkan sumber tegangan dan kemudianmenghitung hambatan equivalen dari untai ini pada terminal ab

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab (cont.):

R ′ = 3 +(3)(6)

9= 5 Ω

Ketika suatu untai hubung singkat diterapkan pada terminal,arus Isc dihasilkan dari dua sumber. Dengan mengasumsikanbahwa arus tersebut melalui hubung singkat dari a ke b, kitadapatkan dengan menggunakan superposisi:

Isc = I ′ =6

6 + 3× 20

3 + 3+69

− 3

3 + 3× 10

6 + 3+36

= 2 A

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




Jawab(cont):

Gambar berikut menunjukkan dua buah untai yang equivalen.Pada kasus ini kita mendapatkan V’, R’, dan I’ secaraindependen.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi




• Kegunaan dari untai ekuivalen Thevenin dan Nortonmenjadi jelas apabila suatu untai aktif ditinjau di bawahsuatu kondisi dengan sejumlah beban yangdirepresentasikan dengan sejumlah resistor.

• Hal ini digambarkan sebagai berikut, dengan resistor R1,R2, ... ,Rn dapat disambungkan secara bersamaan danarus serta daya yang dihasilkan dapat dihitung. Bila hal inidicoba dihitung dari untai aslinya, tugas ini menjadi beratdan menghabiskan waktu.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Teorema Transfer Daya Maksimum (1)

Saat dibutuhkan untuk mendapat transfer daya maksimum darisuatu untai aktif ke resistor beban eksternal RL. Denganmengasumsikan bahwa untai tersebut linear, untai dapatdireduksi menjadi suatu untai ekuivalen seperti gambar berikut.

Untai 1

I. Setyawan

Metode ArusCabang

Metode ArusMesh


MetodeTeganganNode


TransferResistance

NetworkReduction

Superposisi



Teorema Transfer Daya Maksimum (2)

Maka,

I =V ′

R ′ + RL

dan daya yang diserap oleh beban adalah

PL =V ′2RL

(R ′ + RL)2=

V ′2

4R ′× (1− (

R ′ − RL

R ′ + RL)2)

Terlihat bahwa PL mencapai nilai maksimunya V ′2/4R ′ saat RL

= R ′, dalam kasus ini daya pada R ′ juga V ′2/4R ′. Sehinggadaya yang tertransfer menjadi maksimal dengan efisiensi 50%.Note : kondisi transfer daya maksimal pada beban tidak samadengan kondisi pemberian daya maksimal oleh sumber. Kondisiyang kedua terjadi bila RL = 0, sehingga daya yang diberikanpada beban adalah 0 (minimum).

Documents

Untai Elektrik I - iwansetyawan.orgiwansetyawan.org/downloads/untai1_p5_3.pdf · Superposisi Teorema Thevenin dan Norton Teorema Transfer Daya Maksimum Matriks dan Determinan (6)