UNNIIVERRSSIIDDAADD OTTEECCNNO OL … · – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLOOGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL

FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL MMEENNDDOOZZAA

GGUUIIAA DDEE FFIISSIICCAA PPAARRAA IINNGGRREESSOO

SEMINARIO UNIVERSITARIO 2015

AUTOR: Ing. Edmundo Daniel Di Bari

CC OO NN TT EE NN II DD OO SS

UNIDAD 1: UNIDADES, MEDICIONES Y OPERACIONES

UNIDAD 2: VECTORES: OPERACIONES Y APLICACIONES ↓

UNIDAD 3: CINEMÁTICA Y VECTORES

UNIDAD 4: FUERZAS Y VECTORES

UNIDAD 5: ELECTROSTÁTICA Y VECTORES

MMEENNDDOOZZAA –– OOCCTTUUBBRREE DDEE 22001144

IINNGG.. EEDDMMUUNNDDOO DDAANNIIEELL DDII BBAARRII –– CCOOOORRDDIINNAADDOORR SSEEMMIINNAARRIIOO UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOO

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL –– FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL

MMEENNDDOOZZAA

SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2015

CÁTEDRA DE FÍSICA

PRÒLOGO

Esta Guía de introducción a los conceptos elementales de la FÌSICA, está orientada básicamente para los alumnos postulantes al ingreso para algunas de las especialidades de la Ingeniería que ofrece la Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional Mendoza (UTN – FRM).- Pretende en primera instancia salvar las deficiencias que acarrean los alumnos provenientes del nivel medio de educación, para luego intentar producir una nivelación en los conocimientos generales, y por último hacerles ver que los fenómenos de la naturaleza que nos acompañan día a día tienen una forma de ser representados, simulados y modelados por aplicación de los conceptos físicos y con la complementación inestimable de las matemáticas.- En ésta primera etapa como potencial futuro estudiante de Ingeniería, se le hará ver que la Física requiere de herramientas, y que para los humanos la primera resulta ser su propia mente y de allí sus sentidos.- A través del lenguaje se podrá expresar y comunicar consigo mismo y con los demás. Y aquí aparecen las matemáticas como un lenguaje especial de cantidades y relaciones.- Pero los demás sentidos como la visión, la audición y el tacto constituirán las primarias herramientas e instrumentos a través de las cuales podrá ir recogiendo con el paso del tiempo toda la información que nos va proporcionando el universo momento a momento, y que se irán complementando con el olfato y el gusto .- Consecuentemente en la historia física de la naturaleza que irá descubriendo, les permitirá reconocer y comprender el grado de evolución de la vida y alimentando su curiosidad sobre el mundo que representa lo que se entiende como el deseo de saber, que es lo que termina diferenciando en modo evidente a los humanos del resto de los demás animales.- Por lo tanto y a modo de ir entrando en tema se los instruirá en la resolución de problemas, para lo cual deberán aplicar los mencionados sentidos en una forma ordenada y lógica.-

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Para ello previamente se impartirá la teoría adecuada en cantidad y calidad de modo tal de prepararlos para afrontar la resolución de problemas específicos de la Física, pero también para que les sirva como una previa de lo que les va a tocar vivir en los próximos años como estudiantes universitarios.- Se los informará de los conceptos introductorios sobre cantidades, mediciones, errores, cifras significativas, vectores, movimientos, acciones dinámicas tanto en la mecánica como en la electrostática, conceptos todos éstos que verán con más detenimiento y profundidad en la carrera de Ingeniería que pretenden iniciar.- Además se los instruirá que los problemas existen, que hay que reconocerlos y afrontarlos, y que una vez superada estas circunstancias hay que disolverlos, para así poder continuar con las etapas subsiguientes.- Estas acciones tienen como objeto fundamental poner a los alumnos con los pies sobre la tierra, y fortalecer consecuentemente su espíritu para afrontar con firmeza y voluntad el futuro.- Un futuro en donde ellos son una parte muy importante, y en donde deben dejar de pensar y actuar como sí todo dependiera de lo que hagan los demás.- Concretados estos aspectos entiendo que notarán un fortalecimiento interior que los hará madurar y ver la realidad y no la ficción que muchos han venido ejerciendo o por ser inculcada o por absorción del medio en que les ha tocado desenvolverse.- Como una etapa preliminar pero de aplicación permanente, en éste Seminario los Docentes responsables de curso irán acompañando a los alumnos en la comprensión de la necesidad de que se transformen en seres racionales responsables, cumplimentando en tiempo y forma con las tareas que se les irán asignando día a día.- El alumno deberá utilizar estrategias para resolver problemas, que se fundamentan en cumplimentar básicamente los siguientes pasos, y sobre los cuales el plantel Docente de la cátedra insistirá fuertemente:

Interpretación de textos y lenguaje.-

Reconocimiento del tipo de problema.-

Ejecución de un esquema representativo del problema,

con detalles de ubicación en espacio y tiempo.-

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Identificación de datos e incógnitas.-

Ver fórmulas específicas.-

Aplicar fórmulas.-

Resolver fórmulas.-

Controlar procedimientos y operaciones.-

Los resultados obtenidos en cuanto a la cantidad de alumnos que aprobaron el Seminario de FÍSICA durante los ingresos correspondientes a los años 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013 y 2014, que dieron un promedio del orden del 89%, nos indica que la metodología aplicada es además de muy buena la lógica y apropiada para una masa estudiantil carente en una inmensa mayoría de conocimientos de la materia pero también de las matemáticas, y que además no están acostumbrados a trabajar con objetivos claros y carentes del entrenamiento para afrontar y asumir los fracasos.- Los motivos de tales carencias surgen de dos (2) posibilidades generalizadas: o porque no los obtuvieron en la etapa precedente o porque habiéndolos recibidos no les llegaron en la forma que un estudiante que pretende seguir una carrera de Ingeniería requiere.- Justamente y a modo de compensar y / o fortalecer aspectos matemáticos indispensables para encarar con más conocimientos y confianza la resolución de problemas de la Física, se han incluido al final de ésta Guía dos (2) Apéndices que tienen que ver con la Trigonometría y el Álgebra, de modo que los alumnos los puedan consultar ante cualquier necesidad, y con el apoyo de Docentes, Tutores y de éste Coordinador los apliquen correctamente cada vez que las circunstancias los requieran.- En consecuencia la idea es la de continuar con las metodologías empleadas, las cuales por sí mismas se valen a pesar del cambio lógico del grupo de postulantes y del plantel Docente año a año, pero por supuesto perfeccionándolas y adecuándolas con el objeto de tender a mejorar la calidad del producto.-

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Por tanto con los antecedentes citados, entiendo que con todo lo programado se espera que los alumnos posean un grado de entendimiento más acabado de las realidades, y se encuentren mejor preparados y fortalecidos para iniciar con mejores perspectivas ésta etapa Universitaria, en donde además de lo estrictamente académico les debemos aportar ingredientes para alcanzar con el tiempo una formación humana que se necesita para vivir en sociedad dignamente.- Por último y en mí carácter de Coordinador del Seminario de Ingreso 2015 de FÍSICA me cabe darles una bienvenida y desearles la mejor de las suertes, pero a la vez solicitarles el máximo esfuerzo para poder alcanzar con éxito las metas que se les propongan, recordando que el beneficio primario será para ustedes pero que en el futuro se ampliará al País que está requiriendo de Profesionales de la Ingeniería adecuadamente preparados en todos los aspectos.-

Ingeniero Edmundo Daniel Di Bari

Coordinador Seminario de Ingreso 2015

Cátedra de FÍSICA

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MMEENNDDOOZZAA

SSEEMMIINNAARRIIOO UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOO DDEE IINNGGRREESSOO 22001155

Programa Analítico de la Cátedra de: FFÍÍSSIICCAA

UNIDAD 1: Unidades - Mediciones - Operaciones.- Introducción – Patrones de Medida – Definición de Magnitudes y sus diferentes Clasificaciones - Sistemas de Unidades – Sistema Internacional SI – Notación Científica y Prefijos - Ecuación de Dimensión y Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Nociones sobre Metrología – Exactitud y Precisión – Concepto de Error – Cifras Significativas – Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

UNIDAD 2: Vectores: Operaciones y Aplicaciones.-

Cantidades Escalares y Vectoriales – Sistemas de Coordenadas – Componentes de un Vector – Suma de Vectores – Resta de Vectores – Producto de Vectores – Producto de un Vector por un Escalar – Producto Escalar de dos Vectores – Producto Vectorial de dos Vectores – Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

UNIDAD 3: Cinemática y Aplicaciones de Vectores.-

Concepto y definición de: Sistema de Referencia, Distancia Recorrida, Desplazamiento, Rapidez y Velocidad – Velocidades Media e Instantánea – Aceleraciones Media e Instantánea – Análisis Gráfico de los Movimientos – Movimiento Unidireccional con Aceleración Constante – Análisis del Movimiento de Caída Libre en un medio ideal – Movimientos en dos y tres dimensiones – Concepto de Trayectoria – Tiro oblicuo - Movimiento Circular - Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

UNIDAD 4: Estática - Dinámica y Aplicación de Vectores.-

Concepto de Fuerza - Nociones sobre Campos – Concepto sobre Partícula - Primera Ley de la Dinámica – Sistemas de Referencia Inerciales – Segunda Ley de la Dinámica – Concepto de Masa y Peso – Tercera Ley de la Dinámica – Rozamiento - Metodologías para encarar la Resolución de Problemas – Concepto sobre Densidad y Peso Específico – Dinámica de las Partículas – Ejemplos, Aplicaciones y Problemas. -

UNIDAD 5: Electrostática y Aplicación de Vectores.-

Concepto sobre Carga Eléctrica y sus Propiedades – Conformación de la Estructura de la Materia – Definición de Conductores y de Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas – Ley de Coulomb – Noción sobre Campo Eléctrico – Cálculo del Campo Eléctrico para Cargas Puntuales Distribuidas- Interacciones sobre Cargas Eléctricas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo eléctrico – Par Torsor - Ejemplos, Aplicaciones y Problemas.-

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MMEENNDDOOZZAA


CÁTEDRA DE FÍSICA

BIBLIOGRAFÍA PROPUESTA

Textos Básicos

Guía Ingreso para Seminario de FÍSICA – 2015 – UTN – FRM .

Autor : Ingeniero Edmundo Daniel Di Bari.-

Vectores y sus Aplicaciones a la FÍSICA – UTN – FRM . Autor: Ingeniero Adalberto Ipohorski Lenkiewicz.-

Textos Complementarios FÍSICA – Serway – Faughn – Editorial Thompson – Sexta Edición – Año 2005.-

FÍSICA UNIVERSITARIA – Sears – Zemansky – Young – Freedman – Editorial

Addison – Wesley – Longman - Volúmenes I y II – Onceava (11°) u Doceava (12°) Edición.-

FÍSICA PREUNIVERSITARIA – Primera Parte: Tomo 1 y Segunda Parte:

Tomo 1.- Autor: Ingeniero César Luis Ángel Mallol.- FÍSICA para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería – Resnick – Halliday –

Editorial C.E.C.S.A Partes I y II – Edición Ampliada.- FÍSICA – Alonso y J . Finn – Volúmenes I y II – Editorial Fondo Educativo

Interamericano S.A.-

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL –– FFAACCUULLTTAADD

RREEGGIIOONNAALL MMEENNDDOOZZAA


CÁTEDRA DE FÍSICA

Período de Actividades – Año 2014

Inicio dictado del Seminario: Lunes 20 de Octubre de 2014.-

Finalización dictado del Seminario: Lunes 01 de Diciembre de 2014.-

Primer Consulta: Viernes 05 de Diciembre de 2014.-

Global Integrador: Sábado 06 de Diciembre de 2014.-

Segunda y Tercer Consultas: Lunes 15 y Viernes 19 de Diciembre de 2014.-

Primer Recuperatorio: Sábado 20 de Diciembre de 2014.-

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Período de Actividades – Año 2015

Cuarta Consultas: Viernes 20 de Febrero de 2015.-

Segundo Recuperatorio: Sábado 21 de Febrero de 2015.-

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SEMINARIO DE INGRESO 2015 - CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Cátedra de FÍSICA: Años 2014 y 2015 - Comisiones días Lunes y Jueves Días, Mes y Año

Actividades

20 y 23 / 10 / 14

Magnitudes – Patrones – Sistema Internacional de Unidades (SI) – Notación Científica – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 1.1 al 1.11 y Complementarios 1 al 7.-

23 y 27 / 10 / 14

Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 2.1 al 2.11.-

27 y 30 / 10 / 14

Producto Escalar y Vectorial de Vectores – Determinantes - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 2.12 al 2.29 y Complementarios 1 al 9.-

30 / 10 y 3 y 6 / 11 / 14

Cinemática – Sistemas de Referencia – Rapidez y Velocidad – Velocidades medias e Instantáneas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.1 al 3.9.-

6 y 10 / 11 / 14

Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.10 al 3.21.-

10 y 13 / 11 / 14

Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo - Tipos de aceleración –Movimiento Circular- Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.22 al 3.41 y Complementarios 1 al 9.-

13 y 17 / 11 / 14

Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y Peso - Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 4.1 al 4.17.-

17 y 20 / 11 / 14

Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 4.18 al 4.31 y Complementarios 1 al 7.-

20 y 27 / 11 / 14

Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas – Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 5.1 al 5.10.-

27 / 11 y 01 / 12 / 14

Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 5.11 al 5.17 y Complementarios 1 al 5. –

01/12/14 Complementación de Ejercitación y Repaso General.-

05/12/14 Atención de Consultas.-

06/12/14 Toma Global Integrador y corrección de la misma.-

06/12/14 Muestra de Evaluaciones, Aclaraciones y Consultas.-

09/12/14 Pasado de Notas a Sección Alumnos.-

15 y 19 / 12 / 14

Atención de Consultas.-

20/12/14 Toma Primer Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.-



21/02/15 Toma Segundo Recuperatorio, corrección, muestra, consultas y aclaraciones.-


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Cátedra de FÍSICA: Años 2014 y 2015 - Comisiones días Martes y Viernes Días, Mes

y Año Actividades

21 y 24 / 10 / 14


24 y 28 / 10 / 14

Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 2.1 al 2.11.-

28 y 31 / 10 / 14

Producto Escalar y Vectorial de Vectores - Determinantes – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 2.12 al 2.29 y Complementarios 1 al 9.-

31 / 10 y 4 y 7 / 11 / 14


7 y 11 / 11 / 13

Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.10 al 3.21.-

11 y 14 / 11 / 14

Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo - Tipos de aceleración – Movimiento Circular - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.22 al 3.41 y Complementarios 1 al 9.-

14 y 18 / 11 / 14

Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y Peso - Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 4.1 al 4.17.-

18 y 21 / 11 / 14

Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 4.18 al 4.31 y Complementarios 1 al 7.-

21 y 25 / 11 / 14

Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas – Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 5.1 al 5.10.-

25 y 28 / 11 / 14

Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 5.11 al 5.17 y Complementarios 1 al 5. –

28 / 12 / 14 Complementación de Ejercitación y Repaso General.-





15 y 19 / 12 / 14







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Cátedra de FÍSICA: Años 2014 y 2015 - Comisiones días Sábados Días, Mes

y Año Actividades

25 / 10 / 14


25 /10 y 01 / 11 / 14

Vectores – Componentes – Suma y Resta de Vectores – Ejemplos Aplicativos- Planteo y Resolución de Ejercicios 2.1 al 2.11.-

01 y 08 / 11 / 14

Producto Escalar y Vectorial de Vectores – Determinantes - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 2.12 al 2.29 y Complementarios 1 al 9.-

08 y 15 / 11 / 14


15 / 11 / 14 Aceleración – Movimiento unidireccional con aceleración constante – Análisis Gráfico de Movimientos – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.10 al 3.21.-

15 / 11 / 14

Movimiento de Caída Libre – Movimientos en dos y tres direcciones – Tiro oblicuo - Tipos de aceleración – Movimiento Circular - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 3.22 al 3.41 y Complementarios 1 al 9.-

22 / 11 / 14 Concepto de Fuerza – Concepto de Campo - Leyes de la Dinámica – Masa y Peso - Fuerza de rozamiento – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 4.1 al 4.17.-

22 / 11 / 14 Concepto de Densidad y Peso Específico - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 4.18 al 4.31 y Complementarios 1 al 7.-

29 / 11 / 14 Cargas Eléctricas – Conductores y Aislantes – Fuerzas entre Cargas Eléctricas – Ley de Coulomb – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 5.1 al 5.10.-

29 / 11 / 14 Campo Eléctrico – Fuerzas sobre cargas sumidas en un Campo Eléctrico – Dipolo eléctrico – Par Torsor - Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución de Ejercicios 5.11 al 5.17 y Complementarios 1 al 5. –

29 / 11 / 14 Complementación de Ejercitación y Repaso General.-





15 y 19 / 12 / 14







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MMEENNDDOOZZAA

SSEEMMIINNAARRIIOO UUNNIIVVEERRSSIITTAARRIIOO DDEE IINNGGRREESSOO 22001155

CCoonnddiicciioonneess yy EExxiiggeenncciiaass ddee AApprroobbaacciióónn

CCáátteeddrraa ddee FFÍÍSSIICCAA

Además de las que conformen la Resolución que a tal efecto emita la UTN – FRM, se pasan a enumerar las particulares para la Cátedra de Física: Obligaciones:

1) Tener una asistencia mínima al cursado del Seminario, DEL SETENTA Y CINCO POR CIENTO ( 75% ).-

2) Tener completa y además haber sido aprobada y visada por el Docente

correspondiente la Carpeta de Trabajos Prácticos conformada por la totalidad de la ejercitación obrante en la Guía de la Cátedra de FÍSICA (ejemplos aplicativos, problemas con solución y problemas complementarios sin solución). Esto es de aplicación para los Alumnos Regulares, Libres y A Distancia.-

3) Haber aprobado el Global Integrador con una nota igual o mayor a SESENTA

Y CINCO (65) puntos sobre un total de cien (100) puntos.-

4) En caso de no haber aprobado el Global Integrador, aprobar los exámenes

Primer Recuperatorio y / o Segundo Recuperatorio con una nota igual o mayor a SESENTA Y CINCO (65) puntos sobre un total de cien (100) puntos.-

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL MENDOZA SEMINARIO UNIVERSITARIO DE INGRESO 2015

CÁTEDRA DE FÍSICA

HORARIOS DE DICTADO

Días: Lunes, Martes, Jueves y Viernes

Turno Mañana

Inicio: 8:00 horas

Recreo: de 10:00 a 10:20 horas (ESTRICTO)

Finalización: 12:15 horas

Turno Tarde

Inicio: 14:30 horas



Turno Noche

Inicio: 19:00 horas



Días Sábados

Inicio Turno Mañana: 8:00 horas


Finalización Turno Mañana: 12:15 horas

Inicio Turno Tarde: 14:00 horas


Finalización Turno Tarde: 18:15 horas

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UUNNIIDDAADD II

UUNNIIDDAADDEESS -- MMEEDDIICCIIOONNEESS -- OOPPEERRAACCIIOONNEESS

La palabra FÍSICA en sus orígenes lingüísticos, implica

naturaleza.-

Su estudio consiste esencialmente en vincular conceptos como el tiempo, espacio, velocidad, fuerza, etc. y con ellos expresar otros de modo de poder interpretar y explicitar los fenómenos que nos rodean, en la búsqueda de dar respuestas claras y concretas a los ¿cómo? los ¿por qué? los ¿cuándo? los ¿cuánto?, ¿los quienes?.-

El paso del tiempo y las múltiples experiencias han mostrado a la FÍSICA como una ciencia natural básica, cuya existencia permite estudiar a las partículas fundamentales existentes en la naturaleza, pero además lo que acaece cuando las mismas actúan entre sí.- Debe recordarse que justamente tales interacciones en su expresión microscópica se remonta a los átomos, luego a las moléculas, para finalizar macroscópicamente en los cuerpos como un conjunto de moléculas sobre las cuales nos va a interesar conocer como se distribuyen, las posiciones que ocupan y como se mueven.-

PATRONES DE MEDIDA Se entienden como tales a aquellos que son responsables de fijar condiciones, y se los utiliza de modo tal de homogenizar las mediciones de las distintas magnitudes en modo internacional.- Deben tener ciertas propiedades como ser: de conocimiento público; al alcance de todos; fácilmente reproducibles e inalterables.- Justamente las consideradas como Magnitudes Fundamentales o Primarias, el tiempo, la masa y la longitud, son las que poseen Patrones.- Surgen así el metro (m) como patrón internacional de longitud, y que se representa como dos (2) marcas sobre una barra de platino e iridio.-

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Así mismo como patrón de masa se consideró un cilindro de platino e iridio cuya altura resultaba igual a su diámetro, y se la designó como kilogramo patrón (kg).- Sin embargo la unidad fundamental es la correspondiente a la magnitud tiempo (t),cuya unidad base es el segundo (s) que se la consideró como la 1 / 86400 parte de la duración de un día solar medio determinada en todo un año, o la que se consideró a partir del año 1967 que define al segundo (s) como la duración de 9.192.631.770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de Cesio (Cs) 133.-

CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES FÍSICAS

Las magnitudes físicas conforman todos aquellos entes que nos permiten analizar las manifestaciones de la naturaleza, y que agrupados en ecuaciones nos llevan a estudiar distintos comportamientos de los fenómenos que a diario nos toca vivir, experimentar con los mismos, reproducirlos y simularlos físicamente y matemáticamente.- Existen varias formas de clasificarlas, que sin entrar en detalle se pasarán a mostrar.- Fundamentales o Primarias [ tiempo (T), longitud (L), masa (M), fuerza (F) ] Clasificación de Magnitudes Derivadas o Secundarias [ velocidad, aceleración,

trabajo, energía, potencia,

densidad, impulso, etc. ]

Escalares [ tiempo, masa, trabajo, energía, potencia,

Clasificación de densidad, etc. ] Magnitudes Vectoriales [ desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza,

cantidad de movimiento lineal, impulso, etc. ]

Dimensionales [ L = longitud = 8,00 m ] Poseen: nombre de la especie (L), cantidad o medida (8) y unidad (m).

Clasificación de Adimensionales [ L = longitud = 8,00 ] Magnitudes Tienen: nombre de la especie (L) y cantidad (8).-

Números [ 8,00 ] Solo se identifican por la cantidad (8,00)

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Lo que debe aclararse es que las clasificaciones precedentes no son excluyentes entre ellas, es decir que una misma magnitud puede constituir parte de una o de todas las formas de clasificación mostradas.-

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

Este surge como una necesidad de uniformar todas las unidades a utilizarse, adoptándose el denominado SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino). Este comprende básicamente para las magnitudes como la longitud, la masa y el tiempo las unidades metro, kilogramo masa y segundo respectivamente en lo atinente a la FÍSICA Mecánica.- Justamente para facilitar la característica de reproducibles y de acuerdo a los avances de las ciencias, las observaciones y las experimentaciones, en la actualidad el patrón de longitud se representa como 1.650.763,73 longitudes de onda correspondiente a la luz roja-anaranjada que emite el gas denominado kriptón 86. Por idéntica razón y tal como se indicó antes se debió adecuar el patrón correspondiente al tiempo, como que un segundo se representa como 9.192.631.770 períodos de la radiación de los átomos de Cesio (Cs) 133.- Para el caso de la masa, se continúa empleando el modelo que precedentemente se expusiera.- Ejemplo Aplicativo 1.1)

Convertir 1.360,00 dm 3, a : a) m

3 . b) mm

3.-

1 m 3

1.360,00 dm 3 x ------------------- = 1.360,00 x 10

– 3 m

3 ≈ 1,4 m

3 a)

10 3 dm

3

10 6 mm

3

1.360,00 dm 3 x -------------------- = 1.360,00 x 10 6 mm

3 ≈ 1,4 x 10 9 mm

3 b)

1 dm 3

Ejemplo Aplicativo 2.1)

¿ A cuántos m / s equivalen 125,00 km / h?.-

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10 3 m 1 h

125 km / h x ---------------- x --------------- ≈ 34,7 m / s 1 km 3.600 s

CONCEPTO DE HOMOGENEIDAD La mayoría de las magnitudes de la física se encuadran en la designación de “dimensionales”, que implica que poseen por ejemplo nombre propio o especie (tiempo), cantidad (4) y unidad (s): t = 4 s Que una ecuación resulte homogénea, implica que todos los términos que la conforman tengan la misma dimensión, de modo tal de poder sumar y / o restar cantidades que estén representadas por la misma dimensión. Lo antes también debe ser aplicable a ambos lados de un signo igual de una ecuación de la física, tal como se muestra a continuación:

Ecuación de Dimensión Ecuación del fenómeno

V = VO + a.t --------→ [ L / T ] = [ L / T ] + [ L / T - 2

.T ] = [ L / T ] + [ L / T ]

m / s = m / s + m / s

Conjuntamente con lo antes indicado, debe preverse para su plena aplicación lo concerniente al tema de conversión de unidades, caso contrario se pueden cometer errores tanto en el aspecto numérico como en lo referido al tema unidades. Para su mejor comprensión a continuación se muestra un modelo vinculado con la ecuación planteada anteriormente: Datos: VO = 10 km / h a = 2,50 m / s2 t = 3 min Ecuación a emplear: V = V 0 + a . t

V = 10 km / h . 1h / 3.600 s . 1.000 m / 1 km + 2,50 m / s2 . 3 min . 60 s / 1 min =

V = 2,78 m / s + 450,00 m / s ≈ 453,00 m / s

MEDICIONES - TEORIA DE ERRORES

Una magnitud física es una propiedad susceptible de ser medida o mensurada.-

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Toda medición inexorablemente viene acompañada de ciertos errores, entendiendo como tales a la incerteza en la determinación del resultado de dicha medición, la cual puede provenir de distintas fuentes como ser uso de instrumentos no adecuados, no conocimiento pleno de lo medible por afectación del entorno, mal lectura del instrumento empleado, falta de definición, etc.- Con respecto al error introducido por los instrumentos o por los métodos de medición utilizados, deben definirse lo que se entiende por precisión y por exactitud. La precisión representa la sensibilidad con que puede detectarse una medición con un instrumento dado. En cambio la exactitud muestra la calidad con que se ha calibrado nuestro instrumento con relación al patrón de medida correspondiente.-

CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

Según el origen de los errores, se los puede clasificar

como:

1) Errores introducidos por el instrumento.-

Error de apreciación ( ζap ): que está vinculado con la mínima división que

puede discernir el observador, denominada apreciación nominal de una medición.-

x x x x

x

Precisión

x

x

Exactitud

x x x x x x x x x

x x x

x x x

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Error de exactitud ( ζexac ): representa el error absoluto con que el

instrumento utilizado ha resultado calibrado.-

2) La interacción del método de medición respecto del objeto a medir.-

Este error se lo representa como ζ int , y su determinación depende de la

medición realizada.-

3) Falta de definición en el ente sujeto a medición.-

Como se ha manifestado las magnitudes a medirse no están definidas con

precisión, entonces con ζdef se define la no certeza asociada con tal falta de

definición.-

En general para una medición las fuentes de error antes

definidas están presentes, y permiten definir el error de medición nominal ζ nom ,

como:

ζ 2 nom = ζ 2 ap + ζ 2 def + ζ 2 int + ζ 2 exac

En cambio según su carácter, los errores pueden clasificarse del siguiente modo:

a) Sistemáticos: éstos están dados por el sistema de medición (regla dilatada, reloj

que adelanta o atrasa, error de paralaje, etc.). Se caracterizan por afectar los resultados en el mismo sentido, y el modo de acotarlos consiste en usar métodos alternativos de medición y utilizar intercaladamente patrones confiables durante la medición.-

b) Estadísticos: son los que se reproducen al azar, y se deben a motivos varios

como equivocación al contar las divisiones de una regla, o ubicarnos mal frente a la escala de una balanza. Se particularizan por actuar tanto en exceso como en defecto, y la forma de acotarlos es el de efectuar varias mediciones y luego

promediarlos. Se los identifica como ζ est.-

c) Espurios: para entenderlos consideremos pretender medir el volumen de una

esfera, determinando su diámetro. Al introducirlo en la fórmula lo hacemos equivocadamente o empleamos una fórmula no correcta o no usamos las unidades adecuadas. La forma de delimitarlos consiste en una evaluación y control cuidadoso de los procedimientos.-

Cuando se desea combinar los errores sistemáticos con los estadísticos, lo usual es utilizar la suma de los errores absolutos en cuadratura, es decir sumar los cuadrados y tomar su raíz cuadrada. Sí lo que medimos se representa por Z y el error final es ΔZ , será:

20 ingeddb

______________ _____________________________________

ΔZ =√ ζ 2 est + ζ 2 nom = √ ζ 2 est + ζ 2 ap + ζ 2 def + ζ 2 int + ζ 2 exac

Los errores pueden además expresarse del siguiente modo: Errores absolutos: que representan el valor de la no certeza en lo medido, y

que tienen la misma dimensión que el de la magnitud medida, y que se expresan como:

Z = ( Z ± Δ Z )

Donde se designa con po a: ( Z – ΔZ ) < Z < ( Z + ΔZ ), y se lo consigna

como el coeficiente de confianza.-

Errores relativos: se determinan como el cociente entre el error absoluto y el valor más probable (valor que más veces se repite) o mejor valor de la magnitud Z:

Є Z = Δ Z / Z

Error relativo porcentual: es el error relativo multiplicado por 100, es decir Є Z %.-

Ejemplo Aplicativo 3.1) Sí se pretende medir el espesor de un alambre de diámetro 3 mm y de longitud 1,00 m con una misma regla graduada en mm, es claro que los errores absolutos que se cometerán en ambas mediciones resultará el mismo es decir ζ d = ζ L = 1 mm. Sin embargo en lo atinente a la medición resulta mejor la de la longitud que la del diámetro, donde los errores relativos cometidos serían respectivamente de ЄL = 0,10 % y de Є d = 33 %.- A veces, hay magnitudes que no se miden directamente sino que se derivan de otras que sí han sido medidas directamente. Por ejemplo para determinar el área de un rectángulo, se deben medir previamente las longitudes de sus lados. La pregunta a responder es de qué manera los errores de las magnitudes medidas directamente se propagarán para obtener el error cometido en la magnitud derivada.- Sí bien el proceso es bastante más complejo, para cálculos preliminares se puede proceder de la siguiente forma:

21 ingeddb

Magnitud Derivada: V = V (x,y,z,….) Error en V : ΔV ΔV / V ≈ n . ІΔx / xІ + m . ІΔy / yІ + l . ІΔz / zІ Como caso particular, siendo por ejemplo: Z = (X ±Y), sería:

(ΔZ)2 = (ΔX)

2 + (ΔY)

2

( Ver Ejemplo Aplicativo 9.1), en el siguiente Tema)

CCIIFFRRAASS SSIIGGNNIIFFIICCAATTIIVVAASS

Cuando realizamos una medición con una regla graduada en mm con cuidado, podremos asegurar nuestro resultado hasta la cifra de los milímetros o en el mejor de los casos fracción del mm, pero nunca más. Por ejemplo lo medido podría expresarse como: L = (95,2 + / - 0,5) mm o bien L = (95 + / - 1) mm.- En el primer caso diremos que nuestra medición posee tres (3) cifras significativas y en el segundo solo dos (2). El número de cifras significativas resulta ser igual al número de dígitos contenidos en el resultado de la medición ubicados a la izquierda del primer dígito afectado por el error, incluyendo éste dígito. El primer dígito, o sea el que está más a la izquierda, es el más significativo ya que es el de que tenemos más seguridad (el 9), y el último o sea el

más a la derecha es el menos significativo por ser del que tenemos menos seguridad (el 2).-

Debe aclararse que no tendría sentido expresar tal medición como: L = (95,321 + / - 1) mm, ya que tenemos una no certeza del orden de un (1) mm y mal podremos asegurar valores de las décimas, centésimas o milésimas de mm.- En lo habitual suele expresarse el error con una sola cifra significativa, y solo en casos especiales pueden utilizarse más. También es usual tomar en cuenta que el error en un resultado de una medición recae en la última cifra, sí es que no se indica el error explícitamente. Por ejemplo sí se mide una longitud de L = 95 mm, podemos suponer que el error es del orden del mm y como se expresó antes el resultado de L tiene dos (2) cifras significativas.-

22 ingeddb

Una posible confusión puede surgir cuando se realiza un cambio de unidades, por ejemplo sí para el caso planteado necesitamos expresar a L

en μmm (micro milímetros), con un resultado de L = (95.000 + / - 1.000) μ mm

¿Cuántas cifras significativas tendremos?. Claramente dos (2) e igual que antes, ya que la última cifra significativa sigue siendo el cinco (5), que es donde cae el error.- Sin embargo sí no se indica explícitamente el error en L, es difícil determinar la cantidad de cifras significativas. Nótese que 95 mm = 95.000 μ mm, ya que el primero tiene dos (2) cifras significativas mientras que el segundo posee cinco (5).- Para evitar confusiones se utiliza la denominada notación

científica (o potencia de diez), como se muestra a continuación: 9,5 x 10 1 mm =

9,5 x 10 4 μ mm., comprobándose que ambos miembros de la igualdad tienen el

mismo número de cifras significativas, o sea dos (2).- Esta temática de las cifras significativas se acrecienta cuando con las cantidades medidas se deben realizar operaciones tales como la suma, resta, multiplicación o división, y para clarificar las mismas se han establecido reglas prácticas, que se explicitan a continuación.- SUMA: para que el resultado de ésta operación resulte

adecuado siempre se deben sumar cantidades homogéneas y expresadas en la misma unidad. Se opera primeramente tomando en cuenta el término o términos cuya última cifra significativa ocupe el orden decimal más bajo, que siempre representa a la cifra dudosa. En segundo lugar se procede a despreciar los dígitos ubicados a la derecha de tal posición tomando en cuenta las reglas del redondeo, y finalmente se procede a efectuar la suma solicitada.- Debe recordarse que para efectuar la acción de redondear, se procede de la siguiente manera: a) sí al dígito que se analiza le sigue un número menor de cinco (5), no se lo afecta. b) en cambio sí el que lo precede es igual o mayor que cinco (5), se lo incrementa en una (1) unidad.-

A continuación se muestra: Ejemplo Aplicativo 4.1) Efectuar la suma de las siguientes cantidades: Datos: 1,74 cm; 55,367 cm; 0,025 cm y 4,312 cm.-

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Suma:

1, 74 X 55, 36 7 X 0, 02 5 X 4, 31 2 X ----------------------- 61, 45 X X >>>>> 61,45 cm >>>>> con el 5 dudoso ?

Como en éste caso la cifra dudosa resulta ser la correspondiente a las centésimas, aplicando las reglas del redondeo, será equivalente a sumar: 1, 74 55, 37 0, 03 4 ,31 ------------------- 61,45 cm RESTA: para operar en éste caso debe tenerse presente que restarle a un número otro, implica sumárselo con el signo contrario. Por tanto se trabaja con las mismas premisas que para la Suma.- Ejemplo Aplicativo 5.1)

Efectuar la resta de las siguientes cantidades:

85, 4 X 85, 4 (dudoso) ???? Resta 36, 7 8 36, 8

-------------- ---------- 48, 7 X 48 , 6 MULTIPLICACIÓN: se debe proceder de la siguiente forma: a) sí las dos cantidades poseen el mismo número de cifras significativas, el producto debe tener tal cantidad de cifras significativas. b) en cambio cuando el

número de cifras significativas de ambas cantidades son distintos, el producto deberá tener una cantidad de cifras significativas igual al de menor o a lo sumo una (1) más.-

24 ingeddb


Efectuar el producto de las siguientes cantidades: 3,35 X 18,4X 1,78 X 3,6X Producto ------------- ---------------- XXX X XXX X

2680 X 1104 X 2345X 552X X 335X ----------------- ----------------------- 66,XXX

5,95XXX En algunas ocasiones el resultado de la multiplicación con la aplicación del concepto de las cifras significativas nos puede llevar a una confusión, la que se salva con el empleo de la notación científica.- Ejemplo Aplicativo 7.1)

Efectuar el producto de las siguientes cantidades: 375,5X 41,7X Producto ------------------------------

XXXXX 26285 X 3755X 15020X ----------------------------------

1555(9) = 1,556 x 10 4

DIVISIÓN: al igual que lo manifestado para el caso de la resta, en ésta ocasión se aplican las mismas reglas que las vistas para la multiplicación.-

Ejemplo Aplicativo 8.1) Efectuar la operación de división que se solicita a continuación:

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87,8

---------- = 27,44 = 2,744 x 10 1 por cuanto 3,2 x 27,44 = 87,8

3,2 Ejemplo Aplicativo 9.1) Se desea determinar la densidad δ de un cuerpo. Para ello

se ha medido su volumen dando como resultado V = (3,5 ± 0,2) cm3 siendo

Єv % = 6 %, y su masa m = (22,7 ± 0,1) g resultando Єm % = 0,4 %.-

Siendo por definición: δ = m / V = 6,485714286 g / cm3

Como la mayoría de las cifras y tal como se acaba de ver no son significativas,

deberemos acotar éste resultado. Además deberemos propagar los errores del numerador y del denominador, de modo tal de poder determinar en qué cifra debe caer el error en la densidad δ.- ____________ ______________

O sea que: Δδ ≈ 0,4 g / cm3 [ Δδ = √ Δm

2 + ΔV

2 = √ (0,1 )

2 + (0,4)

2 ] De acuerdo a lo visto precedentemente, será: Δδ / δ ≈ 0,06 Por tanto para la densidad solo le va a corresponder una (1) sola cifra significativa, con lo que el valor que se obtendría para la misma sería de:

δ = (6,5 ± 0,4) g / cm3 con un Є δ % = 6 %

________________________________________________________________________________________________________________________________

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SEMINARIO UNIVERSITARIO – CÁTEDRA DE FÍSICA

GUÍA DE PROBLEMAS A RESOLVER

UNIDAD 1 : CIFRAS SIGNIFICATIVAS, OPERACIONES ENTRE CANTIDADES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA

1.1) Sabiendo que 1 nudo equivale a 1 milla náutica por hora, que una milla náutica

es igual a 1.852,00 m, que una yarda es igual a 3,00 pies y que 1 pie es igual a 30,48 cm, calcular: a) ¿cuántas millas náutica corresponden a la unidad yarda? b) ¿ cuántos km / h se corresponden con 30 nudos?.-

1.2) Se necesita realizar un cierre perimetral de un terreno rectangular que posee

un frente de longitud igual a 10,253 m y un fondo de 10 3 m. Determinar el

perímetro de tal terreno.- 1.3) En una envasadora de galletas se han armado tres (3) paquetes cuyos

volúmenes son de: 1,53 m3, 3,336 cm

3 y 0,998 dm3. Calcular empleando cifras

significativas el volumen total en m3.- 1.4) Dados los siguientes resultados obtenidos de experiencias físicas, indicar la

cantidad de cifras significativas que tienen cada uno de ellos: a) 2,205 kg

b) 0,3937 km c) 9,3 x 107 litros d) 1030 g / cm

3.-

1.5) Sobre las cantidades medidas y las operaciones planteadas, resolver y

expresar los resultados adecuando las cifras significativas y aplicando notación científica.-

1,4 x 10 3 (8,34 + 0,659) x 3,015

a) --------------- b) 3,7 x (15,72 – 9,45) x 10 – 2

c) --------------------------------

2,6 x 10 5 12,03

27 ingeddb

1.6) Un cubo de plástico tiene lados cuya longitud es de 6,22 mm. Determinar el

volumen de tal cubo en m3, y expresarlo en notación científica.-

1.7) Sí el radio de un círculo vale 4,00 x 10 – 3

cm, calcular el valor de su superficie

y expresarlo en mm 2.-

1.8) Sabiendo que la unidad de volumen un (1) litro equivale a 1.000,00 cm3,

calcular cuantas botellas de un (1) litro va a necesitar para envasar 800,00 m 3

de detergente.- 1.9) Determinar la longitud que recorre cuando ha dado una vuelta completa a una

manzana de su barrio, considerando que cada cuadra mide 87,00 m. Expresar el resultado en pulgadas.- (1 pulgada = 2,54 cm)

1.10) Necesita pintar una pared que tiene 25,00 m de largo por 3,20 m de alto. Sí le

va a dar dos (2) manos de pintura y cada mano le insume 1,00 litros por cada

10,00 m 2 de pared, determinar cuantas latas de cuatro (4) litros de pintura

debe comprar para lograr lo propuesto.- 1.11) Determinar cuántos cubos sólidos de piedra caliza de lados igual a 20,00 cm se

puede almacenar en la caja de una camión de carga que posee las siguientes

medidas: (ancho = 4,20 m ; largo = 18,00 . 10 3 mm y alto = 195,00 cm).-

__________________________________________________________________

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UUNNIIDDAADD II II

VECTORES

Magnitudes – Clasificación

Las magnitudes de la física pueden clasificarse en una de las formas, como vectoriales y escalares, tal cual ya se vio en la Unidad anterior.- Las primeras tales como la fuerza, aceleración, desplazamiento, momentos, cantidad de movimiento lineal, etc. se identifican por poseer valor numérico (módulo o magnitud), dirección, sentido y algunas punto de aplicación, y se representan como se muestra a continuación:

Ejemplo: v = 4,20 m / s (Velocidad) En cambio las escalares solamente están identificadas por la medida de la magnitud y la unidad utilizada correspondiente, tal como ocurre por ejemplo con el tiempo, la masa inercial, el trabajo mecánico, las energías, la potencia, etc.- Ejemplo: Tiempo = t = 8 s >>>>>>> donde: “8” es la medida, y “s” la unidad

Las magnitudes vectoriales se suelen trabajar asociadas con sistemas de referencia, de modo tal de poder identificar con seguridad las propiedades antes mencionadas.-

Dirección (tangente)

Sentido

Figura 1

Valor numérico

o módulo

29 ingeddb

Tales sistemas pueden ser unidireccionales (única dirección), bidireccionales (dos direcciones que definen un plano) o tridimensionales (tres direcciones que definen un espacio).-

Atento al carácter de éste curso se propone trabajar con el segundo de los sistemas de referencia indicados, de modo tal de introducir el concepto de componentes de un vector, entendiendo como tal la descomposición de tal magnitud vectorial según esas dadas dos (2) direcciones.- A continuación se expone el caso de que las dos (2) direcciones propuestas conformen entre ellas un ángulo recto (90°), que se denomina sistema cartesiano ortogonal, designando como norma a la dirección horizontal como eje “X” con sentido positivo a la derecha y a la vertical como eje “Y” con sentido positivo hacia arriba, tal como se muestra en el siguiente modelo:

donde las mencionadas componentes vendrían definidas como: VX = V cos θ (adyacente) y VY = V sen θ (opuesta) En muchas aplicaciones específicas se emplean para identificar completamente una magnitud vectorial, el concepto de vectores unitarios que tienen como propiedad que su valor es “uno” y su dirección identifica la correspondiente al vector que se trata. Volviendo al ejemplo del vector velocidad presentado anteriormente, la forma de representación sería la siguiente, considerando como convención que los vectores unitarios siempre orientan a un eje de referencia en su sentido positivo: V = VX î + VY j

O x (+)

y (+)

V

θ

VX

VY

Figura 2

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NNoottaa:: ppaarraa iiddeennttiiffiiccaarr uunn vveeccttoorr llaass nnoottaacciioonneess aa eemmpplleeaarr sseerráánn:: eenn nneeggrriillllaa;; ccoommoo

ĀĀ;; ccoommoo āā,, oo ccoommoo êê..--

Operaciones con vectores

Adición de vectores Esta primera de las operaciones a plantearse, puede ejemplificarse a través de la idea del modelo “desplazamiento”. Es decir sí una

partícula se desplazara primeramente desde el punto P1 hasta otro P2 representado por el vector posición r1, y luego lo hace desde el punto P2 hasta el P3 mostrado por el vector posición r2, implica que en realidad el vector desplazamiento neto desde P1 hasta P3 vale r = r1 + r2. Por tanto se puede manifestar que r = r1 + r2 representa la suma de los vectores posición r1 más r2.- Todo lo antes expresado se contiene en la siguiente figura, de la cual además se deduce que el resultado del vector suma r no depende del

orden de los vectores sumandos, que implica que la adición de vectores resulta ser “conmutativa”.-

y (+) r P3

r2 P2 P1 r1

O Figura 3 x (+)

r1

r

r2 r

r2

O

r1 O

( r1 + r2 ) = ( r2 + r1 )

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C r E β

r2 r2 sen θ

α θ

A r1 B r2 cos θ D

Figura 4

Geométricamente se verifica en la Figura 4 que: AD = AB + BC = AB + r2 cos θ y DC = r2 sen θ En consecuencia y aplicando el Teorema de Pitágoras, resulta:

r2 = (r1 + r2 cos θ)2 + (r2 sen θ)2 = r1

2 + r22 + 2 r1 r2 cosθ

____________________ O sea que: r = √ r1

2 + r22 + 2 r1 r2 cos θ (1) Ley o Teorema del coseno

Para completar la información de tal vector, resulta necesario determinar su dirección lo que se consigue hallando el valor del ángulo α.

De la última figura se puede visualizar que: CD = AC sen α y que además: CD = BC sen θ Por tanto resulta que: r r2 AC sen α = BC sen θ >>>>>>>>>>>>>> ----------- = ---------- (2) sen θ sen α

También se verifica geométricamente que: BE = r1 sen α y que además: BE = r2 sen β r2 r1 O sea que: r1 sen α = r2 sen β >>>>>>>>>>>> -------------- = --------------- (3) sen α sen β

32 ingeddb

Comparando lo obtenido en (2) y (3) y procediendo, se logra: r r1 r2 ----------- = ------------ = --------- (4) Ley o Teorema del seno sen θ sen β sen α Para el caso especial que los vectores r1 y r2 resulten perpendiculares entre sí, o sea que θ = π/2 se verifica que: __________ r2 r = √ r1

2 + r22 Teorema de Pitágoras y además: tg α = ------- (5)

r1 En cambio cuando lo que se pretende realizar es la diferencia entre vectores, se debe proceder siempre sumándole al primer vector el

segundo con el sentido o signo cambiado, tal cual se muestra en el siguiente esquema:

- r1 r1 + r2 (adición)

r2 r2

(diferencia) r2 – r1

θ

r1

π - θ

(diferencia) r1 – r2 - r2

Figura 5

Vector diferencia = ( r1 – r2 ) = [ r1 + ( - r2 ) ]

Tal cual puede verse en la figura anterior el vector diferencia no posee la propiedad conmutativa, es decir al cambiar el orden de los vectores originales en la operación de diferencia o sustracción, se obtiene otro vector opuesto al correspondiente a la primera operación efectuada.- Cuando el modelo a resolver propone la suma de más de dos vectores se debe plantear por extensión lo indicado en la Figura 3, es decir representar un vector a continuación del otro respetando por supuesto el valor numérico, la dirección y el sentido de cada uno de ellos pero sin importar el orden, como se muestra en la siguiente figura:

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r1

r1

r3

r2 r2

O r

r3

r = ( r1 + r2 + r3 ) Figura 6

Para solucionar analíticamente el tema y tal cual se vio en la primera parte de ésta Unidad, se puede aplicar el método de las componentes y para simplificar el planteo consideraremos que todos los vectores involucrados se encuentran en un mismo plano.- Por tanto la ecuación representativa de tal modelo, es la siguiente:

r = (r1x i + r1y j) + (r2x i + r2y j) + (r3x i + r3y j) = (r1x + r2x + r3x) i + (r1y + r2y + r3y) j

O sea que:

rx = ( r1x + r2x + r3x ) = r cos α y ry = ( r1y + r2y + r3y ) = r sen α

donde y a modo de homogeneizar, el ángulo designado como α resulta ser aquel que se mide entre el semieje positivo de las x y el vector r.-

Para completar los cálculos y definir plenamente al modelo, deberemos aplicar lo indicado en la ecuación designada como 5.- Ejemplo Aplicativo 1.2) Sobre la pantalla del monitor de un osciloscopio, se observa partiendo desde el eje x (+) en sentido antihorario un vector posición r1 equivalente a 13 m que forma con tal dirección un ángulo de 37°, y a continuación otro r2 de 21 m

34 ingeddb

que forma con la misma dirección un ángulo de 120°. Determinar: a) el vector suma ( r1 + r2 ). b) el vector diferencia ( r1 – r2 ).-

a)

Componentes en la dirección x :

r x = 13 m . cos 37° - 21m . cos 60° = 10,4 m – 10,5 m = - 0,1 m

Componente en la dirección y :

r y = 13 m . sen 37° + 21 m . sen 60° = 7,8 m + 18,2 m = 26 m

r = - 0,1 m . i + 26 m . j

__________ __________________

r = √ r x 2

+ r y 2 = √ (-0,1 m ) 2 + (26 m ) 2 ≈ 26,00 m

r y 26 m

tg φ = --------- = ------------- = - 260 >>>>>>>>>> φ = arc tg - 260 ≈ - 89,8° r x - 0,1 m

b)

Componentes en la dirección x :

r x = 13 m . cos 37° - ( - 21m . cos 60° ) = 10,4 m + 10,5 m = 20,9 m Componente en la dirección y :

r y = 13 m . sen 37° - 21 m . sen 60° = 7,8 m - 18,2 m = - 10,4 m

r = 20,9 m . i - 10,4 m . j

__________ ____________________

r = √ r x 2

+ r y 2 = √ (20,9 m ) 2 + (10,4 m ) 2 ≈ 23,3 m

r y - 10,4m

tg φ = --------- = ---------------- = - 0,498 >>>>>>>> φ = arc tg – 0,498 ≈ - 26,5° r x 20,9

Producto de Vectores

Se pueden presentar tres (3) situaciones en donde aparezcan vectores en una operación de producto.-

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1) Producto de un escalar por un vector

El resultado de ésta operación da “otro vector”, el cual no modifica ni su

dirección ni su sentido y solo cambia su magnitud o valor numérico.- Por ejemplo sí el vector original fuese: r = 10,00 m. i y se lo multiplica por una cantidad escalar tal como 2, el nuevo vector será: r'= 20,00 m. i.-

2) Producto Escalar de dos (2) vectores

En éste caso el resultado de la operación es un “escalar”.- La forma de representación de tal operación es la siguiente: A . B = C, donde

con el punto ( . ) se representa el referido producto.-

El mismo tiene como magnitud o valor numérico lo siguiente: A . B = A B cos θ, o sea el producto de los valores numéricos de los vectores

por el coseno del ángulo entre ellos conformado.-

PPrrooppiieeddaaddeess ddeell pprroodduuccttoo eessccaallaarr

a) A . A = A2 -------------------------> que implica que el ángulo θ valga cero.- b) A . B = 0 ---------------------------> que significa que el ángulo θ vale π/2,

y que encierra la condición de perpendicularidad entre ambos vectores.- c) A . B = B . A -----------------------> propiedad conmutativa (observar que en

cada uno de los productos señalados el cos θ es el mismo).-

d) C . (A + B) = C . A + C . B ---------> que implica que éste producto es

“distributivo” respecto de la suma.-

B A + B β δ A

Figura 7

α C O a b

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De la figura anterior se extrae que: C . (A + B) = C (A + B) cos δ = C (Ob)

Además: C . A = C A cos α = C (Oa) y también: C . B = C B cos β = C (ab)

Por tanto sí se procede a efectuar la suma señalada más arriba, resulta: C . A + C . B = C ( Oa + ab) = C (Ob) con lo que se demuestra lo que se deducía

de la gráfica.- En el producto planteado resulta conveniente recordar entonces los resultados de los productos entre los versores unitarios:

i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0

Como se ha planteado anteriormente aquí también se puede expresar tal producto por medio de las componentes rectangulares de los vectores involucrados, arribándose a la siguiente ecuación:

A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz

Esta última expresión tiene aplicaciones interesantes como:

A . A = A2 = A x2 + A y

2 + A z2

De igual modo que para la suma de vectores, se puede deducir una fórmula equivalente a la señalada anteriormente como 1:

r2 = (r1 + r2) . ( r1 + r2) = r12 + r2

2 + 2 r1 r2 cos θ Ecuación ésta que es aplicable para cualquier número de vectores actuantes.-

3) Producto Vectorial de dos (2) vectores

Este producto que se representa por el signo “ x ” y se muestra como A x B, da como resultado “otro vector” que resulta ser perpendicular al plano definido por los vectores originales (concepto de dirección), que avanza según la regla de la mano derecha, tirabuzón o batimiento (concepto del sentido) al cual se le asigna por convención un signo, que resulta ser positivo en el sentido contrario al de las agujas del reloj y negativo en el mismo sentido que las agujas del reloj.-

37 ingeddb

__ +

Pulgar

Índice Dedo Mayor

Y que además posee una magnitud o valor numérico

definido por:

│A x B│ = A B sen θ

A x B

Ooo

Figura 8 B x A

PPrrooppiieeddaaddeess ddeell pprroodduuccttoo vveeccttoorriiaall

a) A x B = (- B x A ) ------------------------> que implica que éste producto no es

conmutativo.- b) A x B = 0 -----------------------------------> que significa que sen θ = 0 o sea que

los vectores son paralelos.- c) A x B ----------------------------------------> representa el área del paralelogramo

formado por dichos vectores, o también puede interpretarse como el doble del área del triángulo formado con su resultante, tal cual se muestra en la siguiente figura.-

B

θ A

38 ingeddb

A x B

B Figura 9

O θ h π/2 A

d) C x (A + B) = (C x A + C x B ) --------------------> que significa que el producto vectorial es “distributivo” respecto de la suma.- Tal cual se planteo con anterioridad, la comprobación de la anterior propiedad se simplifica cuando los vectores resultan ser coplanares.- y (+) b B A + B

β Figura 10

a A

δ α

x (+) O C

Además no debemos perder de vista que los tres productos que aparecen en la propiedad identificada como d) resultan ser perpendiculares a la hoja de papel.- Tal cual se ha planteado con anterioridad, se cumple entonces con lo siguiente: │ C x (A + B │ = │ C │ │ A + B │ sen δ = C (Ob) │ C x A │ = C A sen α = C (Oa) y también: │ C x B │ = C B sen β = C (ab)

39 ingeddb

Procediendo a efectuar la suma propuesta, resulta que:

│ C x A │ + │ C x B │ = C (Oa + ab) = C (Ob)

También en ésta ocasión debemos reflejar el resultado de los diferentes productos vectoriales que resultan de combinar los vectores unitarios:

i x j = - j x I = k

j x k = - k x j = i

k x i = - i x k = j

i x I = j x j = k x k = 0

Sí expresáramos los vectores A y B en función de sus respectivas componentes ortogonales y simultáneamente aplicamos la propiedad distributiva antes desarrollada, se arribaría a la siguiente expresión:

A x B = i ( Ay Bz – Az By ) + j ( Az Bx – Ax Bz) + k ( Ax By – Ay Bx)

Otra manera de exponer la última ecuación es por medio de determinantes, de acuerdo a siguiente formato: i j k

Ax Ay Az A x B = Bx By Bz Ejemplo Aplicativo 2.2)

Se cuenta con dos (2) vectores posición coplanares (mismo plano)

de las siguientes características: uno de 11,00 m ubicado a 32° con respecto al eje positivo de las x, y el otro de 6,00 m que se encuentra formando un ángulo de 140° respecto del mismo eje que el primero. Encontrar la resultante de ambos en forma

analítica.- y (+) 140°

r1

r2 32°

x (+) O

40 ingeddb

Deberemos plantear primeramente las componentes de cada vector:

r1x = r1 cos 32° = 9,328 m r2x = r2 cos 140° = - 4,596 m

r1y = r1 sen 32° = 5,83 m r2y = r2 sen 140° = 3,858 m Luego:

rx = r1x + r2x = 9,328 m + ( - 4,596 m) = 4,732 m

ry = r1y + r2y = 5,83 m + 3,858 m = 9,688 m Y la resultante aplicando el Teorema de Pitágoras, valdrá entonces: ___________ ______________________ r = √ rx

2 + ry 2 = √ (4,732 m) 2 + (9,688 m) 2 = 10,78 m

Además la dirección se determinaba como:

tg α = ry / rx = 2,047 o sea que: α = 64° medidos respecto del eje x +

Ejemplo Aplicativo 3.2) Se le ha dado dos vectores fuerza que vienen representados por las siguientes ecuaciones vectoriales:

F1 = 8 i + 2 j y F2 = - 3 i + 9 j

Determinar: a) su producto escalar. b) su producto vectorial. c) el ángulo entre ellos conformado.- De acuerdo a lo estudiado, resulta:

F1 . F2 = F1x . F2x + F1y . F2y = 8 (-3) + 2 (9) = - 24 +18 = - 6 a)

F1 x F2 = (8 i + 2 j) x (- 3 i + 9 j ) = 72 k + (+ 6 k) = 78 k b)

F1 . F2 - 6

F1 . F2 = F1 F2 cos θ >>>>>> cos θ = ------------- = ----------------------------------

F1 . F2 _______ _______

√ 82 + 2

2 . √ 3

2 + 9

2

cos θ = - 6 / 78,293 = - 0,0766 >>>>>>>>>>>>>>>> θ = 94,4 ° c)

41 ingeddb


Se le presenta una situación de vectores coplanares, donde le dan como datos los siguientes: r1 = vector posición uno = 4,00 m; r = vector resultante de la suma entre los vectores r1 y r2 = 8,52 m; β = ángulo que se conforma entre el

segundo vector y la resultante = 25°, y le piden determinar: a) el valor del ángulo que se forma entre el vector r1 y el resultante r. b) el valor del vector posición r2. c) el valor del ángulo conformado entre los vectores r1 y r2.- Sabemos que: r r r1 r2 r2 ----------- = ----------- = ----------- 1)

sen Θ sen β sen α β

α Θ α + β = Θ 2)

r1

r 8,52 m De 1): sen Θ = -------- sen β = ------------- 0,423 = 0,90 >>>>> Θ = arc sen 0,90 r1 4,00 m Θ ≈ 64,3°

Luego de 2) resulta que: α = Θ - β = 64,3° - 25° ≈ 39,3° a)

Volviendo a la ecuación 1), se obtiene: sen α sen α 0,633 0,633 r 2 = ---------- r = ----------- r1 = ----------- 8,52 m = ----------- 4,00 m ≈ sen Θ sen β 0,90 0,423 r 2 ≈ 6 m b) De lo antes calculado: Θ ≈ 64,3° c)

!!!!!!!!!!! Para los alumnos !!!!!!!!!!

VVeerriiffiiccaarr eessttooss rreessuullttaaddooss aapplliiccaannddoo eell ““TTeeoorreemmaa ddeell CCoosseennoo””

42 ingeddb


GUÍA DE PROBLEMAS DE FÍSICA A RESOLVER

UNIDAD 2 : VECTORES

2.1) La velocidad de una partícula que se encuentra moviendo en el plano (x,y)

está identificada por un valor numérico de 11,00 m / s y un ángulo de 110° medidos respecto del eje x positivo. Determinar las componentes del referido vector velocidad.- 2.2) Un vector fuerza F posee componentes Fx = + 12,00 unidades y

Fy = - 92,00 unidades. El valor numérico de tal vector, resulta ser entonces:

(demostrar y luego marcar cual de las siguientes respuestas es la correcta): a) 92,00 unidades b) 91,00 unidades c) 33,00 unidades d) ninguna de las anteriores

2.3) Un vector velocidad posee las siguientes componentes: Vx = - 21,00 unidades

y Vy = 56,00 unidades. Hallar: a) el valor numérico o magnitud del tal vector. b) la dirección del mismo.- 2.4) Sí en una operación con dos vectores Ā y Ū se comprueba que la magnitud de

la suma y de la diferencia son iguales, demuestre cómo resultan estar ubicados ambos vectores entre sí.- 2.5) Dado dos vectores representados como: Ā = (3 i + 4 j – 5 k) y

Ē = ( - i + j + 2 k ), encontrar: a) el vector resultante. b) el valor numérico del vector resultante. c) el vector diferencia (Ā – Ē). d) el ángulo conformado entre

los vectores datos.- 2.6) En el análisis de un movimiento le han proporcionado los siguientes vectores

posición correspondientes al vuelo de un aeroplano: Ā = (3 i – 2j) y el

Ū = (- i – 4j), y le piden calcular: a) (Ā + Ū). b) (Ā – Ū). c) │ Ā + Ū │.

d) │ Ā – Ū │. e) la dirección que se origina tanto en el vector (Ā + Ū) como en

el vector (Ā – Ū), respecto del eje horizontal x.-

43 ingeddb

_

2.7) Cuenta con tres vectores definidos como: Ā = ( 6 i – 8 j ); B = ( - 8 i + 3 j ) y

C = ( 26 i + 19 j ), y verifica que cuando produce la siguiente operación: (a Ā + b B + C), obtiene como resultado cero. Determinar los valores de las

cantidades a y b.- 2.8) Dados dos vectores posición representados como: r1 = ( 4 i + 4 j – 8 k) y r2 = ( + i – 6j – 5 k), su vector suma vale: (demostrar e indicar cuál de las

siguientes respuestas es la correcta): a) r1 + r2 = (4 i – 24 j + 40 k) b) r1 + r2 = (3 i – 2 j – 3 k) c) r1 + r2 = (5 i – 2 j – 13 k) d) ninguna de las anteriores 2.9) Un repartidor de facturas de servicios públicos en su moto, debe desplazarse inicialmente 400,00 m en la dirección Oeste del Norte que forma un ángulo de 30°. A continuación efectúa otro desplazamiento de forma tal que el desplazamiento total llevado a cabo fue de 600,00 m en la dirección que forma un ángulo de 20° al Sur del Oeste. Encontrar el valor numérico y la dirección del segundo de los desplazamientos realizados.-

2.10) Un vector como el Ā posee única componente x ( - ) igual a 3,00 cm de

longitud y única componente y (+) igual a 2,00 cm de longitud. a) Dar la expresión del vector Ā empleando la notación de vectores unitarios. b) Determine el valor numérico y la dirección del vector Ā. c) ¿Qué vector Ū cuando se lo suma al Ā nos da un vector resultante o neto

sin componente en la dirección x y una componente en la dirección y ( - ) de

4,00 cm de longitud ?.- 2.11) Dadas las coordenadas de dos (2) puntos tales como P1 = (4; 5; - 7) y P2 = (- 3; 6; 12), encontrar la distancia entre dichos puntos.- 2.12) Las posiciones del movimiento de una nave espacial vienen identificados por

los siguientes vectores: Ā = (3 i – 4 j + 4 k) y Ē = (2 i + 3 j – 7 k). Determinar:

a) el valor numérico de los vectores definidos como: C = (Ā + Ē) y

D = (2 Ā – Ē). b) Exprese los vectores C y D en función de sus componentes

rectangulares.-

2.13) Dados los siguientes vectores posición: Ā = ( 3 i + 3 j ) , Ū = ( i – 4 j ) e

Ī = ( - 2 i + 5 j ), aplicando el método de las componentes determinar:

a) el valor numérico y la dirección de un vector definido como Ō = ( Ā + Ū + Ī ). b) ídem anterior para otro vector expresado como:

V = ( - Ā - Ū + Ī ).-

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2.14) Dados un par de vectores tales como: A = ( - i + 11 j ) y B = ( 5 i – 5 j), el

ángulo que conforman entre ellos vale: (demostrar e indicar cuál de las siguientes respuestas es la correcta): a) θ = 140,2 ° b) θ = 39,83° c) θ = - 140,2 ° d) ninguna de las anteriores 2.15) Dado un vector A (oblicuo agudo con la horizontal) y otro B ( horizontal positivo) y un paralelogramo MNOP como se muestra, proceda a expresar los siguientes vectores: MO, NO, OP y PN, en función de los vectores A y B.-

2.16) De acuerdo a lo estudiado y para los siguientes casos, exprese las propiedades

que poseen como tales los siguientes vectores “A” y “B”: a) A + B = A – B.

b) A + B = C y | A | + | B | = | C |. c) A + B = C y A2 + B2 = C2.

d) | A + B | = | A – B |.-

2.17) En un triángulo como el que se muestra de lados a y b, demuestre que el área del mismo tiene un valor de: A = 1 / 2 | a x b |.-

a h α b 2.18) Dados dos vectores posición representados como: r1 = ( 4 i + 4 j – 8 k) y r2 = ( + i – 6j – 5 k), su producto escalar vale:

a) r1 r2 = (4 i – 24 j – 40 k) b) r1 . r2 = (4 – 24 + 40) = + 20 c) r1 . r2 = ( - 4 + 24 - 40) = - 20 d) ninguna de las anteriores Demostrar y marcar la respuesta correcta.-

N O

P M

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2.19) Nos han dado dos vectores posición representados como: r1 = (3 i + 4 j – 5 k)

y r2 = ( - i + 2 j + 6 k). Determinar: a) sus longitudes. b) su producto escalar.

c) el vector suma. d) su producto vectorial.- 2.20) Contamos con el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales:

(a + b) = (11 i – j + 5 k) y (a – b) = ( - 5 i + 11 j + 9 k ), y debemos calcular lo

siguiente: a) el vector a y el b. b) el ángulo que se conforma entre el vector a y

el vector (a + b).-

2.21) Dados dos vectores tales como el Ē y el Ō, aplicando las propiedades de los

productos escalar y vectorial entre vectores demostrar lo siguiente:

[ ( Ē x Ō ) x Ē ] . Ē = 0 2.22) Para los siguientes pares de vectores, calcular el ángulo que se conforma entre ellos:

a) A = - i + 6 j b) A = 3 i + 5 j c) A = - 4 i + 2 j

B = 3 i - 2 j B = 10 i - 6 j B = 7 i - 14 j

2.23) Una moto se desplaza con una rapidez de 10,00 m / s en dirección hacia el

Este. Determine que rapidez debe poseer una segunda moto que habiendo partido hacia la dirección Nordeste desde el mismo punto y al mismo tiempo que la primera pero formando un ángulo de 30° con el Norte, siempre se encuentre al Norte de la ruta seguida por la primera moto.-

NOTA: para éste modelo de problemas emplear la ubicación correcta de los puntos cardinales: el NORTE vertical hacia arriba; el SUR vertical hacia abajo; el ESTE a la derecha del Norte y el OESTE a la izquierda del Norte.-

2.24) En una prueba de tiro al blanco móvil con fusil, un competidor en reposo apunta

al objetivo que se ubica a 180,00 m de distancia medida en horizontal y que se encuentra en movimiento normal al eje del fusil con una rapidez de 3,50 m / s. Siendo la rapidez de la bala de 140,00 m / s, determinar: a) el ángulo medido en horizontal que deberá existir entre la dirección del fusil y la del objetivo. b) a cuantos metros por delante del objetivo debe apuntar el competidor para hacer blanco.-

46 ingeddb

2.25) En el canal de Panamá para movilizar un barco de mediana envergadura, los sistemas mecánicos de tierra ejercen una fuerza de 3 x 10 6 N mediante una cadena de 80,00 metros de longitud. Se sabe que el barco debe navegar siempre a una distancia de 10,00 metros de las orillas del canal. Calcular: a) el valor efectivo de la fuerza responsable de que el barco navegue por el canal. b) la fuerza que debe ejercer el motor del barco para poder mantenerse siempre a la distancia de 10,00 metros de cada orilla del canal.- 2.26) Un móvil se desplaza con una velocidad v1 de 16,00 m / s que forma con el eje positivo de las x un ángulo de 32°, mientras que otro móvil se desplaza con una velocidad v2 de 9,00 m / s formando un ángulo de 180° con respecto al eje x positivo. Encontrar en modo gráfico y analítico: a) el vector suma de

velocidades ( v1 + v2 ). b) el vector diferencia ( v1 - v2 ). c) el vector diferencia

( v2 - v1 ).-

2.27) Un vector representativo de una fuerza F posee componentes en las

direcciones x e y que valen respectivamente 11 N y – 7 N. a) muestre en

forma de notación de vectores unitarios la expresión del vector fuerza. b) determine su valor numérico y su dirección.- 2.28) En un diagrama de vectores representativo de la localización de móviles (GPS) de seguridad bancaria, nos proporcionan los siguientes datos vectoriales:

r1 = (6 i + 5 j) y r2 = ( - 10 i + 10 j) . Determinar: a) el ángulo existente entre

ambos vectores. b) sí cambiaran los signos de los vectores unitarios de ambos vectores dato ¿cuánto valdría ahora el ángulo conformado entre dichos vectores dato?.- 2.29) Cuatro fuerzas coplanares de 30,00; 40,00; 20,00 y 50,00 N respectivamente

se encuentran actuando simultáneamente sobre una partícula. Los ángulos que existen entre cada una de la fuerzas en forma consecutiva son de 50°, 30° y 60°respectivamente. Determinar: a) la magnitud o valor numérico de la fuerza resultante. b) el ángulo que conforma tal resultante con la fuerza de 30,00 N.-

_____________________________________________________________________

47 ingeddb

UUNNIIDDAADD II II II

CINEMÁTICA

Se entiende como tal a la parte de la FISICA responsable

de analizar los movimientos independientemente de que los produjo y como los produjo.- Los movimientos, entendiendo como tal concepto al cambio de posición que ocupa un cuerpo a medida que transcurre el tiempo, se pueden clasificar de dos (2) maneras:

1. En función de “ddoonnddee”” se mueven.- 2. En función de “ccóómmoo”” se mueven.-

Para complementar el estudio de los movimientos, resulta necesario aclarar que cuando nos refiramos a un cuerpo el mismo reviste el carácter de muy pequeño respecto de otros cuerpos que participan en el fenómeno que se esté analizando, y entonces se lo identifica como cuerpo puntual, punto material o partícula.- Para identificar las características de lo señalado en el punto 1), resulta indispensable definir el concepto de “trayectoria” entendiendo como

tal a la curva continua que se conforma vinculando las posiciones sucesivas que ocupa una partícula cuando se mueve. En tal sentido los movimientos se pueden clasificar del siguiente modo:

1.1) Unidireccionales (única dirección ≡ rreeccttaa) 1.2) Bidireccionales (dos direcciones ≡ ppllaannoo)

1.3) Tridireccionales o Tridimensionales (tres direcciones ≡ eessppaacciioo)

En cambio para mostrar las particularidades que resulta de lo expresado en 2), debe indicarse lo que se denominan “estados de movimiento”, los cuales son los siguientes: 2.1) Estado de reposo (velocidad constante igual a cero)

2.2) Estado de movimiento uniforme (velocidad constante distinta de cero) 2.3) Estado de movimiento variado (velocidad variable)

48 ingeddb

MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO

A continuación y a modo de poder estudiar los distintos movimientos, se va a proceder a emitir algunas definiciones importantes de aplicación general:

a) Camino o distancia recorrida: resulta ser aquella que dista por ejemplo entre dos puntos a y b, de modo tal que sí nos movemos de uno hacia el otro y retornamos al primero, la distancia total recorrida resulta ser la suma de ( ab + ba ), y tiene el carácter de una “magnitud escalar”.-

Tal cual se puede deducir tal distancia recorrida nunca va a resultar nula sí la partícula se encuentra cambiando de posición, es decir que cuando hay movimiento y sin importar hacia donde sea el mismo para obtener ésta distancia recorrida se debe a proceder a sumar todos los parciales efectuados.-

b

ida

vuelta

Distancia o camino recorrido en una dirección

Figura 1

a

49 ingeddb

b) Sistema de referencia: se considera como tal a todo elemento que se utiliza

para referir todo movimiento, y poder definir las magnitudes del mismo.-

c) Vector posición: es aquel vector que se utiliza para identificar las posiciones

que ocupa una partícula cuando se mueve, y se lo define como aquel que nace en el origen del sistema de referencia utilizado y termina en donde se ubica dicha partícula para un tiempo específico. Se lo designa como r.-

El mismo puede ser estudiado tal como se vio en la Unidad 2 por medio de su valor numérico y su pendiente dada por la tg θ, o también por sus componentes de acuerdo al sistema de referencia elegido, y finalmente expresado en término de los versores unitarios correspondientes.-

_________ _ r y

r = √ r x 2

+ r y 2 >>>>>>>>>>>>>>>> tg θ = -----------

r x

r x = r . cos θ

r y = r . sen θ

r = rx . i + r y . j

O O

O : origen

І

X (+)

Sistema de referencia unidireccional

Figura 2

50 ingeddb

d) Desplazamiento: utilizando el ejemplo anterior, esta magnitud que reviste el carácter de “vectorial”, implica la diferencia entre el vector posición final menos el inicial es decir ( ba – ab ) = 0. Esta particularidad nos pone de manifiesto que bajo ciertas circunstancias, el desplazamiento puede resultar nulo (por ejemplo cuando se retorna al punto de partida fijado en un movimiento).-

Y (+)

X (+) O

P (posición)

r

θ

(trayectoria)

Sentido positivo

Sistema de referencia bidireccional

Figura 3

51 ingeddb

e) Rapidez y Velocidad: en general y a modo de prepararnos para comprender

los conceptos de la magnitud velocidad, se procederá a definir lo siguiente:

- Velocidad media: resulta ser una “magnitud vectorial” que se la expresa como la razón entre el desplazamiento efectuado (Δr) y el tiempo que le implicó efectuarlo (Δt).-

Δr

VM = -------

Δt

- Velocidad media escalar o rapidez: se entiende como tal el cociente entre la distancia total recorrida Δd y el tiempo que nos llevó efectuarla, revistiendo el carácter de una “magnitud escalar”.-

Δd

VM = ------

Δt Justamente por su concepción el concepto de velocidad media solo sirve para evaluar lo acaecido entre el punto inicial y el final del movimiento, pero no permite apreciar nada respecto de cómo se ha movido tal partícula en alguno de los puntos intermedios.

y (+)

x (+) O

P2

r2

r1 Δr

P1

Desplazamiento: Δr = r2 – r1 (vector)

(trayectoria)

Sentido positivo

Sistema de referencia bidireccional

Figura 4

52 ingeddb

Por ejemplo sí alguien manifiesta que demoró para ir de la Ciudad de Mendoza a la de San Martín distantes 40,00 km. 1,00 hora, solo se puede asegurar que la velocidad media o promedio fue de 40 km / h. Pero pudo ocurrir que tal conductor estuvo detenido cargando combustible 10 minutos, fue detenido por la Policía Caminera durante otros 10 minutos, lo que lógicamente implica que en el resto del tiempo es decir los otros 20 minutos, tuvo que marchar a velocidades superiores a la indicada para alcanzar el promedio de 40 km / h.- En tal sentido resulta necesario definir el concepto de velocidad en un punto o velocidad instantánea (VI ) aplicando la siguiente ecuación: Δx dx VI = lím -------- = ------- donde: Δx = vector desplazamiento Δt ----> 0 Δt dt

Δx donde: tg θ = -------- ≡ pendiente de la gráfica x = f (t) ≡ velocidad instantánea

Δt Lo antes expuesto implica que el concepto geométrico de velocidad instantánea, resulta ser el de la tangente en cada punto a la gráfica que represente x = f (t), y que tal se puede visualizar puede resultar nula, positiva o negativa.-

x (+)

Δx

Δt

O

θ

t

Figura 5

53 ingeddb


Un hámster demora 6,00 s en dar una vuelta completa alrededor de un aro metálico circular de 1,85 m de longitud. Hallar: a) la rapidez media. b) la velocidad media.- ∆x 1,85 m

V media escalar = rapidez = --------- = ------------- ≈ 0,31 m / s

∆t 6 s ∆r 0 m

V media vectorial = --------- = --------- = 0 ( ∆r = 0, pues vuelve al punto de partida)

∆t 6 s

f) Aceleración

Cuando por alguna razón se modifica alguna de las propiedades del vector velocidad, es decir su valor numérico, o su dirección o su sentido, cuando el tiempo está transcurriendo, tal cambio se manifiesta a través de la magnitud denominada aceleración.- Tal cual se procedió con la velocidad, se pueden definir una aceleración media

(aM ) y una instantánea ( a i ) según las siguientes representaciones:

V2 - V1 Δv

aM = --------------------- = ----------

t2 - t1 Δt Donde V1 es la velocidad en el instante t1 o inicial y V2 la correspondiente al instante de tiempo t2 o final del período de tiempo analizado.-

Igualmente se puede definir por iguales razones que las expuestas para la velocidad media es decir la circunstancia de considerar solamente el instante inicial y el final del movimiento y nada de lo intermedio, la denominada aceleración instantánea o en un punto (magnitud vectorial) como:

Δv dv

a i = lím -------- = --------

Δt ----> 0 Δt dt

54 ingeddb

Donde Δv representa el vector variación de velocidad entre dos instantes de

tiempo diferentes.-

Δv donde: tg θ = -------- ≡ pendiente de la gráfica v = f(t) ≡ aceleración instantánea

Δt Lo antes expuesto implica que el concepto geométrico de aceleración instantánea, resulta ser el de la tangente en cada punto a la gráfica que represente v = f (t), y que tal se puede visualizar puede resultar nula, positiva o negativa.-

g) Movimiento unidireccional con velocidad constante

Para concretarse tal movimiento debe cumplimentarse que no se modifiquen ni el valor numérico ni el sentido del vector velocidad, ya que la dirección está fijada de antemano.- Tal situación se muestra en la siguiente figura en donde se han representado tanto las distancias recorridas (x1, x2 y Δx), como los vectores posición y el desplazamiento logrado (r1, r2 y Δr).-

v (+)

Δv

Δt

O

θ

t

Figura 6

55 ingeddb

V 1 V 2

P 1 P 2

O X ( + ) ∆ x x 1 x 2

Figura 7 r 1 r 2 ∆ r

∆ x = (x 2 - x 1 ) = distancia recorrida (escalar) ∆ r = (r 2 - r 1 ) = desplazamiento (vectorial)

Sistema de referencia unidireccional

Bajo tales circunstancias las ecuaciones generales a emplearse son las siguientes para un movimiento sin aceleración:

V2 = V1 + a t (1) V2 = V1 = V0 = velocidad inicial = constante (2) X = X0 + V0 t + 1 ∕ 2 a . t2 (3) V + V0 (X + X0) = --------------- . t (4)

2 donde: X0 es la posición inicial = 0 (por ejemplo) V0 es la velocidad inicial a = aceleración = 0 X = V0 t (5) V 2

2 = V 1 2 + 2 a (X – XO) (6)

donde: V2 = V1 = V0 = cte. y también

X0 = 0 a = 0

56 ingeddb

V 2 2 = V 1

2 = constante o sea: V2 = V1 = V0 = constante (7)

V1 + V2

VM = ----------------- = V0 (8)

2 Otra forma de ver y entender un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), es a través del Análisis Gráfico a partir de las ecuaciones señaladas precedentemente como (1), (2), (3) y (4), mediante la representación de

las funciones x = f (t), v = f (t) y a = f (t) tal como se muestra a continuación: x x x v > 0 v > 0 v > 0 0 t x0 v = 0 v = 0 v = 0 t 0 x0 v < 0 v < 0 v < 0 t 0

x0 = 0 x0 > 0 x0 < 0

Condiciones Iniciales

v v > 0 ( x – x0) v = 0 0 t v < 0

a a = 0

0 t

57 ingeddb

h) Movimiento unidireccional con aceleración constante

En éste caso se presenta solamente la variación del valor numérico del vector velocidad de acuerdo al sistema de referencia indicado al inicio de éste tema y las ecuaciones a emplearse son las siguientes:

V2 = V1 + a t (9)

X = X0 + V0 t + 1 ∕ 2 a . t2 (10) Movimiento con aceleración constante

V 2 2 = V 1

2 + 2 a (X – XO) (11)

(V1 + V2 ) ( X – X0 ) = -------------- . t (12)

2 Para considerar que un movimiento es acelerado se debe verificar que los signos tanto de la velocidad como de la aceleración sean coincidentes (ambos positivos o ambos negativos). En cambio para que resulte desacelerado los signos tanto de la velocidad como de la aceleración deben ser

distintos (uno positivo y el otro negativo o viceversa).- Al igual que en el MRU, los Movimientos Rectilíneos Uniformemente Variados (MRUV) se pueden plantear, analizar y estudiar por medio del Análisis Gráfico a partir de las ecuaciones señaladas como (9), (10), (11) y (12), es decir graficar las funciones x = f (t), v = f (t) y a = f (t), de acuerdo al siguiente detalle: x x a > 0 x a > 0 a > 0

θ θ = 0 θ a < 0

x0 x0 x0 a < 0

a < 0

0 t 0 t 0 t v0 = 0 v0 > 0 v0 < 0

(pendiente nula) (pendiente + ) (pendiente - )

58 ingeddb

v v v a > 0 a > 0 a > 0 a = 0 0 t a = 0 0 t v0 a = 0 v0 a < 0 a < 0 0 t a < 0 v0 = 0 v0 > 0 v0 < 0

Condiciones Iniciales

a a > 0 a = 0 0 t a < 0

Dentro de ésta especie de movimientos existe uno que se desarrolla siguiendo una dirección vertical, y sobre la partícula que lo lleva a cabo actúa una aceleración específica vertical y hacia abajo, denominada aceleración de la

gravedad para la cual adoptaremos el valor de g = - 9,80 m / s2.-

Tal movimiento se lo conoce como de “Caída Libre o Tiro Vertical”, y responde al siguiente sistema de referencia:

59 ingeddb

y ( + )

Figura 8

x (+)

Las ecuaciones específicas a utilizarse, son las siguientes: V = V0 + ( - g ) t (13)

Y = Y0 + V0 t + 1 ∕ 2 (- g ) . t2 (14)

Movimiento con aceleración V2 = V0

2 + 2 (- g) ( Y – Y0 ) constante (15) ( V + V0 ) ( Y – Y0 ) = ------------- . t (16) 2 Resulta importante destacar que los signos consignados en todas las ecuaciones anteriores, siempre son los que en ellas figuran, y que solo se modifican cuando cambian los signos de las magnitudes del movimiento que aparecen en las mismas, tal como se muestra en la caída libre, con la aceleración de la gravedad, por ejemplo.- Ejemplo Aplicativo 2.3)

Un móvil incrementa su velocidad de 10,00 m / s a 32,00 m / s cuando desarrolla tal movimiento sobre una recta, y recorre en tal circunstancia una distancia de 100,00 m. Determinar: a) la aceleración alcanzada. b) el tiempo que necesitó para lograr esa aceleración. c) la distancia total que recorrió hasta detenerse, supuesta a la aceleración como invariable.- v 2 - v 0

2 v 2 = v 0

2 + 2.a.x >>>>>>>>>>>>> a = ------------------ 2.x

(32,00 m / s ) 2 - 10,00 m / s ) 2 a = ----------------------------------------------- = 4,62 m / s 2 a) 2 . 100,00 m

0

P

P

P

60 ingeddb

2 . 100 m ( x – x0 ) = ( v + v 0 ) . t / 2 >>>>>>>> t = ----------------- ≈ 4,76 s b)

42,00 m / s

1.024,00 m / s v 2 = v 0

2 + 2 (-a) x´ >>>>> x´ = ------------------------ ≈ 110,8 m 2 . 4,62 m / s 2

x TOTAL = x + x´ = 100,00 m + 110,8 m ≈ 210,8 m c) Movimiento bidireccional El sistema de referencia a utilizar tal cual como se vio con anterioridad, es el siguiente:

Sentido Positivo P2

Figura 9

φ1 φ2 V2 De acuerdo a lo antes definido, cabe recordar para éste movimiento las siguientes definiciones:

Δr VM = -------- Velocidad Media Vectorial

Δt

Δr dr

VI = lím -------- = -------- Velocidad Instantánea Δt >>>> 0 Δt dt

donde: Δr = vector desplazamiento = ( r2 - r1 )

x (+)

y (+)

O

P1

r1

r2

∆r

V1

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Del análisis de la gráfica anterior, se observa que cuando hacemos tender (>>>>) indefinidamente Δt a cero, implica que la posición de la partícula identificada como P2 tiende a la posición marcada como P1 . Esto significa que el desplazamiento Δr que representa la cuerda o secante entre las posiciones antes mencionadas, tiende a confundirse con la tangente en la posición P1, con lo que

la velocidad instantánea resulta ser la tangente a la trayectoria en una posición definida.- Puede advertirse claramente que cuando la partícula pasa de la posición P1 ( t1 ) a la posición P2 ( t2 ) , el vector velocidad pasa del V1 al V2 y aún cuando el valor numérico fuese el mismo para ambos (por ejemplo 10 m / s) se ve que sin lugar a dudas se ha modificado su dirección, lo que trae aparejado un cambio de dicho vector velocidad que se traduce en una aceleración.-

En consecuencia en todas las trayectorias curvas existirá una aceleración que siempre estará dirigida hacia la parte cóncava de la curva, tal como se muestra a continuación tomando como referencia el esquema anterior:

Es decir tomando en cuenta lo mostrado en la Figura 9, cuando la concavidad resulta como se muestra hacia la derecha de la posición P2, resultará aceleración positiva (a > 0), en cambio cuando la concavidad sea como se visualiza entre la posición P1 y P2 será aceleración negativa (a < 0).-

Por lo tanto en un movimiento bidireccional existen dos (2) componentes ortogonales de la “aceleración total” a. La primera que se produce cuando se modifica el valor numérico del vector velocidad y que siempre se ubica tangente a la trayectoria en una posición específica que se denomina aceleración tangencial a t , y otra componente que aparece

donde: ΔV = ( V2 - V1 ) = V2 + ( - V1 )

V2

ΔV

a

a = ΔV / Δt (vector)

- V1 Figura 10

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producto del cambio de dirección del vector velocidad y que se ubica en la dirección del radio de curvatura que posee la trayectoria en una posición específica (es decir perpendicular a la dirección tangente) que se denomina aceleración centrípeta, normal o radial ( a C , a N o a R ).-

Las mismas quedan definidas como:

a TOTAL ≡ a = a t + a C ( Vector) (17) _________ a TOTAL ≡ a = √ a t

2 + a C

2 ( Valor numérico) (Pitágoras) (18)

Δ V V 2

a t = ----------- > < = 0 y a C = ----------- > = 0 (19)

Δ t R

donde : R = radio de curvatura de la trayectoria en un punto Δ V = cambio numérico del vector velocidad Entonces en éste movimiento las ecuaciones a emplearse,

resultan ser:

V2 = V1 + a t (20)

r = r0 + V1 t + 1 ∕ 2 a . t2 (21)

V 22 = V 1

2 + 2 a (r – rO ) (22)

Δ V V 2 a t = ----------- > < = 0 y a C = ----------- > = 0 (23)

Δ t R

_________ a TOTAL ≡ a = a t + a C ( Vector) o a TOTAL ≡ a = √ a t

2 + a C

2 ( Valor numérico)

Como modelo de éste tipo de movimientos se puede plantear el denominado Tiro Oblicuo, el cual consiste en lanzar una partícula con un vector velocidad inicial v0 que forma con el eje positivo de las x un ángulo θ, y además

considerando que sobre la referida partícula solo se encuentra actuando la aceleración de la gravedad del lugar en donde nos encontramos y que además en el instante inicial tal partícula se encuentra ubicada en el origen de coordenadas, o sea

x0 = 0 e y0 = 0, para también t0 = 0.-

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Tal como se va a demostrar éste movimiento bidireccional desarrollado por ejemplo en el plano ( x,y ), resulta de superponer un MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme) que se desarrolla sobre el eje x positivo con otro MRUV (Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado) que se realiza simultáneamente sobre el eje positivo de las y, por ejemplo.-

y (+)

V0 Θ Figura 11 O x (+)

g

Del diagrama precedente y tal como se ha estudiado, se puede proceder a determinar las componentes del vector velocidad inicial V0 sobre

cada uno de los ejes dato, originando los siguientes pares de ecuaciones: V0 X = VO cos θ (24) V0 Y = VO sen θ (25) Luego empleando la ecuación general: v = vO + at , se lograría obtener el valor de la velocidad instantánea sobre cada eje:

VX = VOX = VO cos θ = cte. (MRU) (26)

VY = VOY + (- g) t = VO sen θ - gt (MRUV) (27)

De la ecuación general: x = xo + Vo t + 1 / 2 a t 2 se pueden deducir las posiciones instantáneas sobre cada uno de los ejes planteados y de acuerdo al movimiento correspondiente, resultando: x = Vox t = Vo cos θ. t (MRU) (28)

e

y = Voy t + 1 / 2 (- g) t 2 = Vo sen θ t - 1 / 2 g t 2 (MRUV) (29)

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Sí ahora despejamos de la ecuación ( 28 ) el tiempo t y lo reemplazamos en la ecuación ( 29 ) tendremos: x x 2 g x 2

y = Vo sen θ ---------------- - 1 / 2 g -------------------- = X tg θ - 1 / 2 ----------------- (30)

Vo cos θ Vo 2 cos 2 θ Vo 2 cos 2 θ

Ecuación ésta que matemáticamente se puede representar como: y = a x – b x 2 (31) que nos está expresando a una curva de tipo parabólica, de eje vertical, con la concavidad hacia abajo y que se ubica desplazada del origen de coordenadas pero que pasa por éste, tal cual se muestra en la gráfica siguiente.- y (+)

VV yy 1 VV yy == 00

Vo VX VX Figura 12 g HHmmááxx VV yy

θ g yy == 00

x (+) 0 2

XX ((AAllccaannccee)) En la misma se han diferenciado tres (3) puntos o estados particulares, identificados como 0, 1 y 2, y que se distinguen como el origen ( 0 ), el que se corresponde con la altura máxima que alcanza la partícula medida en vertical (1) y el final que es cuando la partícula retorna al mismo nivel del que fue lanzada (2).- En cada uno de ellos ocurren hechos particulares. En el origen ( 0 ) se verifica en correspondencia con t 0 = 0 que:

x = xo = 0 e y = yo = 0

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En cambio en el (1), solo tiene valor numérico distinto de

cero la componente horizontal VX de la velocidad, con la consecuente anulación de la componente vertical VY. Partiendo de ésta premisa y empleando la ecuación (27), se podrá determinar el tiempo que le requiere a la partícula alcanzar tal estado y que se denomina tiempo de culminación “tc”:

VO sen θ

VY = VOY + gt = VO sen θ - gt = 0 ---------------> tc = ------------------ (32)

g Y ahora reemplazando tal tiempo en la ecuación (29), podremos determinar la denominada “altura máxima” Hmáx como:

Vo sen θ (Vo sen θ) 2

Hmáx = Vo sen θ ------------------- - 1 / 2 g --------------------------- =

g g 2

(Vo sen θ) 2 (Vo sen θ) 2 Vo 2 sen 2 θ

Hmáx = ----------------------- - 1 / 2 --------------------- = --------------------- (33)

g g 2 g Además cuando la partícula arriba al estado (2), se verifica que la altura y vale cero (y = 0), y al tiempo que le demandó se lo designa como “tiempo de vuelo” tv. Por tanto recurriendo a la ecuación (29), resultará:

y = Vo sen θ t - 1 / 2 g t 2 = 0 --------------> t . ( Vo sen θ – 1 / 2 g t ) = 0 (34)

Esta última ecuación matemáticamente posee dos raíces o valores de t que verifican la igualdad a cero. La primera es cuando se cumple que t = 0, y que nos está ubicando en el origen o estado cero (0) ya evaluado. La segunda posibilidad es que resulta cero lo que está contenido entre paréntesis, o sea: 2 Vo sen θ

(Vo sen θ – 1 / 2 g t) = 0 y despejando el tiempo: tv = --------------------- (35)

g Comparando las ecuaciones (32) y (35), concluimos en que: tv = 2 tc (36)

Lo indicado por la ecuación anterior nos certifica que la partícula tarda el mismo tiempo para ir del estado 0 al 1, que de éste al estado 2.-

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Además para tal tiempo la partícula ha recorrido en horizontal la máxima distancia que se denomina “alcance” X.- Por tanto recurriendo a la ecuación (28) y reemplazando en ella el tiempo dado por la ecuación (35), tendremos: 2 Vo sen θ Vo 2

X = X máx = Vox t = Vo cos θ ---------------------- = ---------- (2 sen θ cos θ) =

g g Pero resulta que: (2 sen θ . cos θ) = sen 2 θ Por tanto, nos quedaría lo siguiente: Vo 2 X = -------- . sen 2 θ (37) g Examinando la última expresión se puede observar que el “alcance máximo teórico” se va a verificar para cuando el ángulo θ valga 45 ° por cuanto la función sen 2 θ adopta el valor máximo posible igual a uno (1). En

consecuencia el alcance máximo teórico valdrá: Vo 2 X máx = ---------- (38)

g El concepto de teórico antes expresado se refiere a que solo se aplica cuando para la partícula en movimiento no existe ningún obstáculo en el medio que se encuentra, o sea que solo se cumple en el vacío o en algún medio ideal (sin rozamiento ni impedimento de ninguna especie).- Analizando las ecuaciones deducidas y el andar del vector velocidad en conjunto con el de la aceleración de la gravedad, se puede ver que entre el estado 0 y el 1 el movimiento desarrollado resulta ser Uniformemente Desacelerado al encontrarse en todo ese período ambas magnitudes en oposición, mientras que entre el estado 1 y el 2 es Uniformemente Acelerado habida cuenta

que las magnitudes en cuestión en ese período resultan ser del mismo signo, tal cual se muestra en la Figura 12.- Además también se comprueba que la partícula cuando arriba al estado 2, lo hace con una velocidad de igual valor numérico que con la que fue lanzado en el estado 0 pero con distinta dirección (al igual que en el tiro vertical).-

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Ejemplo aplicativo 3.3)

Una partícula se encuentra en el origen del sistema de coordenadas (x;y) para t = 0, y posee una velocidad que tiene coordenada en x igual a 20,00 m / s y en y de – 15,00 m / s. El movimiento que va a describir dicha

partícula en el plano ( x ; y ) solo va a poseer aceleración en la dirección x y de valor constante igual a 4,00 m / s2. Determinar: a) las componentes del vector velocidad en función del tiempo, y el vector velocidad neta también en función del tiempo. b) la velocidad y la rapidez de tal partícula para t = 5,00s.-

vx = v0x + ax. t = ( 20,00 m / s + 4,00 m / s2 . t ) a)

vy = v0y + ay. t = - 15,00 m / s por cuanto ay = 0 a)

Luego y de acuerdo al concepto de componentes, será:

v = vx + vy = [ ( 20,00 + 4,00 . t ) . i – 15,00 . j ] m / s a)

Reemplazando en la última ecuación t = 5,00 s, resulta: v = [( 20,00 + 4,00 . 5 ) . i – 15,00 . j ] m / s = ( 40,00 . i – 15,00 . j ) m / s b)

vy - 15,00 m / s

= arc tg ------- = arc tg --------------------- = - 21º b)

vx 40,00 m / s

Además la rapidez resulta ser el valor numérico de v, y será igual a:

___________ _________________

v = vx2

+ vy2

= 40 2 + ( - 15,00 ) 2 = 43,00 m / s b)


Una moto habiendo partido desde el reposo, acelera tal como se muestra en la gráfica a = f ( t ) que se adjunta. Determinar: a) la velocidad de tal moto en t1 = 10,00 s y en t2 = 20,00 s. b) la distancia que pudo recorrer en esos veinte (20) primeros segundos.-

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Modelo típico de un MRUV combinado con un MRU, para aplicación de las ecuaciones que se muestran a continuación, y con la extracción de valores y consignas de la gráfica dato aportada.-

v10 = v0 + a10 . t10 = 0 + 2 m / s2 . 10 s = 20 m / s2

v20 = v15 + a20 . t5 = 20 m / s + ( - 3 m / s2 ) . 5 s = 5 m / s

x1 = v0 + 1 / 2 a1 . t1

2 donde: v0 = 0 a1 = 2 m / s2 t1 = 10 s

x1 = 100 m

x2 = x1 + v15 . t2 donde: v15 = 20 m / s y t2 = 5 s

x2 = 100 m + 100 m = 200 m

x 3 = x2 + v15 . t3 + 1 / 2 a2 . t32 donde : t3 = 5 s y a2 = - 3 m / s2

x 3 = 200 m + 20 m / s . 5 s + 1 / 2 ( - 3 m / s2) 25 s

2 = 200 m + 100 m – 37,5 m =

x 3 = x TOTAL = 262,50 m

a m / s

2

2 1 0 -1 -2

- 3

5 10

15 202020

20

t ( s )

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Ejemplo Aplicativo 5.3) Un auto en una picada sobre una ruta horizontal recta se encuentra desplazándose hacia la derecha, habiendo partido desde un punto ubicado a la izquierda del punto de largada una distancia de 36,00 m, con una rapidez igual a 80,00 km / h. Sí mantiene la aceleración constante e igual a 2,30 m / s2 pero en sentido contrario al indicado para la velocidad, hallar: a) el instante de tiempo para el cual poseerá una rapidez igual a 8,00 m / s. b) el instante en que se detendrá.

c) la posición que ocupará para cuando su rapidez valga – 14,00 m / s. d) el tiempo

que la va a demandar para regresar al punto de partida.- v 0 - v (22,22 - 8,00) . m / s v = v0 + ( - a) . t >>>>>>>>>>>> t = ------------ = ---------------------------------- = a 2,30 m / s2

t ≈ 6,18 s a)

v0 22,22 m / s 0 = v0 + ( -a ) . td >>>>>>>>>>> td = ------- = ------------------- ≈ 9,66 s b)

a 2,30 m / s2

v02 - v2

v2 = v02 + 2 . (-a) . [ x – ( - x0 ) ] >>>>>>>>> x = - x0 + -----------------

2 . a ( 22,22 m / s)2 - ( - 14,00 m / s)2

x = - 36,00 m + ------------------------------------------------- = - 36,00 m + 64,72 m =

2 . 2,30 m / s2

x ≈ 28,72 m c)

Como: x = - x0 (por regresar al punto de partida)

Resultará que: x = x0 + v0 . t + 1 / 2 . (-a) . t2

- x0 = - x0 + 22,22 m / s . t - 1 / 2 . 2,30 m / s2 . t2

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( 1 / 2 . 2,30 m / s2 ) . t2 - (22,22 m / s) . t = 0 Aplicando la ecuación para resolver una cuadrática como la encontrada, arribamos a los siguientes valores: t 1 = 0 (cuando partió) y t 2 ≈ 19,32 s (al regresar) d) Ejemplo Aplicativo 6.3) Un lanzador de martillo olímpico para intentar batir el record existente de 78,65 m, le imprime al mismo una velocidad inicial V0 de 30,6 m / s que forma con la dirección positiva del eje X un ángulo de 42°. Determinar: a) el alcance logrado. b) la altura máxima que alcanzó tal martillo. c) tiempo de vuelo d) ¿ se consiguió lograr lo pretendido ?.-

V 0 2 . sen 2 α 936,36 m / s 2 . 0,995

X = alcance = ------------------------ = ----------------------------------- ≈ 95,1 m a) g 9,80 m / s 2 V 0

2 . sen 2 α 936,36 m / s 2 . 0,448 h MÁXIMA = ----------------------- = --------------------------------- ≈ 21,4 m b) 2 .g 19,6 m / s 2 2 . V 0 . sen α 2 . 30,6 m / s . 0,669 t V = tiempo de vuelo = -------------------- = ----------------------------- ≈ 4,18 s c) g 9,80 m / s 2

SI ( de acuerdo al valor obtenido en “a”) d)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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MOVIMIENTO CIRCULAR

Este tipo de movimiento en dos direcciones se particulariza por estar definido en una trayectoria circular de un único radio R y un único centro O.- Tal cual se ha visto en los movimientos bidireccionales, la posición de una partícula P queda definida o por medio de las coordenadas de la misma, o por el vector posición “r” iniciado en el origen del sistema de referencia y finalizado donde se encuentra tal partícula.- Y (+) v

Y (+) v X (+)

Figura 13

Sí consideramos que la partícula se encuentra desarrollando la trayectoria en modo antihorario, para un instante t poseerá una posición como P (t), una velocidad lineal v tangente a la misma, pudiendo consecuentemente haber barrido el ángulo Δθ y recorrido el arco ΔS, contados ambos a partir de la dirección x (+).- Justamente estos movimientos circulares se plantean midiendo ángulos barridos (medidos en radianes) en lugar de distancias recorridas, empleando magnitudes angulares en lugar de las lineales ya analizadas.- Por tanto en primer lugar se pasa a definir a la que se denomina rapidez angular y que se designa como ω, que pasa a medir el ángulo

barrido en un tiempo determinado: Δθ ω = ------- (39) Δt Del mismo modo a lo ya visto, se podrá definir una rapidez angular instantánea como:

Δ θ

P (t)

O

R

ΔS (arco)

r

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Δθ ω = lím ---------- (40) Δt -----> 0 Δt Tomando en cuenta el sistema SIMELA la unidad que le va a corresponder a ésta rapidez angular, será: ω = 1 / s o como ω = rad / s Debe recordarse que el radián resulta ser el ángulo comprendido entre dos radios de una circunferencia que interceptan un arco cuya longitud coincide con la del radio mencionado.- Arco S = r

Figura 14 Por tanto un ángulo θ ubicado en un plano con su vértice en el centro de la circunferencia de radio r cuando intercepte al arco de largo S, poseerá un valor que se denomina radián, el cual se puede determinar cómo:

arco S Θ = ---------- = ---------- (41)

radio r Por lo tanto cuando el arco tome un valor igual a la longitud de la circunferencia o sea 2.π.r, le corresponderá un valor calculable cómo: 2.π.r Θ = -----------. rad = 2.π.rad r Siendo θ = 360°, resultará que: 2.π.rad = 360° >>>>>>> 1 rad = 360° / 2.π

Sin embargo estos movimientos requieren expresar a la velocidad angular como un vector, y la ecuación que la expresa es la siguiente:

O r

S = r

θ

r

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r x v ω = --------------- (42) r 2

Se muestra un producto vectorial de dos vectores, el de posición r y el de velocidad lineal v, cuyo resultado será otro vector con las siguientes propiedades: Valor numérico o magnitud:

ω = r . v . sen φ (43)

donde φ es el ángulo conformado entre el vector r y el vector v.-

Dirección:

Perpendicular al plano de la trayectoria, pasando por el centro O.-

Sentido:

El que indica la Regla de la Mano Derecha o del Tirabuzón, o sea del modo en como la partícula está girando respecto del centro O (para el caso mostrado, resultaría ser saliente del plano de la hoja).- Como convención se estipula que cuando el sentido de giro resulta antihorario el signo de ω se considera positivo (ω > 0), y en cambio cuando sea en sentido horario negativo (ω ˂ 0).-

Lógicamente sí se produce una variación de la rapidez angular, aparece el concepto de aceleración angular α cuya expresión del valor numérico sería: Δω α = lím ---------- (44)

Δt ---> 0 Δt Aplicando el sistema SIMELA, la unidad que el corresponde a ésta aceleración, será: α = 1 / s2 o también como: α = rad / s2 Habida cuenta lo ya estudiado y a lo planteado en la ecuación (43), cuando la trayectoria sea una circunferencia el ángulo existente entre el vector posición r y el vector velocidad v resultará igual a 90°, por lo que el sen φ = 1, resultando entonces que: ω = v / r (45)

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Además y tomando en cuenta la ecuación (45), resultará que: Δω Δv

α = lím -------- = lím ----------- = 1 / r. lím Δv / Δ t = a t / r Δt ----> 0 Δt Δt ----> 0 r .Δt Δt ----> 0

a t α = --------- (46) r Aceleración ésta que nos está indicando un cambio del valor numérico del vector velocidad.- Además se había visto que la aceleración centrípeta se calculaba cómo: v 2 ( ω . r) 2

a c = -------- = -------------- = ω 2 . r (47)

r r Aceleración ésta que muestra el cambio en la dirección del vector velocidad.- Consecuentemente se podrá definir la aceleración total como:

a = √ a t 2 + a c

2 (48)

Lo que se visualiza de lo inserto en las ecuaciones (41), (45), (46) y (47), es que el factor de conversión entre magnitudes lineales y angulares resulta ser el radio r de la trayectoria.- Tal cual se ha manifestado con anterioridad para estudiar cualquier movimiento se requieren ecuaciones que contengan a las magnitudes del mismo.- En función de lo planteado cuando en un movimiento circular se verifique que el vector velocidad angular ω y consecuentemente la rapidez angular se mantengan constantes, resultará el denominado Movimiento Circular Uniforme (MCU).-

Las ecuaciones del caso serán entonces las siguientes:

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ω = ω0 = cte. (49)

θ = θ0 + ω0 . t (50)

ω2 = ω0

2 ---------> ω = ω0 = cte. (51) ( ω + ω0 )

(θ – θ0) = --------------- t (52) 2 Como se ve las ecuaciones presentan el mismo formato conceptual que las propuestas para un Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).- Consecuentemente cuando lo que ocurre es que tenemos un movimiento en dónde la aceleración angular es constante, el mismo se denomina como Movimiento Circular Uniformemente Variado (MCUV). Para el mismo y tal cual ya se había planteado corresponde aplicar las siguientes ecuaciones:

ω = ω0 + α. t (53)

θ = θ0 + ω0 . t + 1 / 2 . α . t2 (54)

ω2 = ω0

2 + 2 . α (θ –θ0) (55)

( ω + ω0 )

(θ – θ0) = --------------- t (56)

2 Atendiendo a que el movimiento circular resulta ser repetitivo o sistemático, se entiende conveniente expresar dos (2) magnitudes que poseen la capacidad de valorar tal aspecto.- Las mismas son en primer lugar el Período T que

representa el tiempo que le implica a la partícula en efectuar un ciclo, o giro o vuelta completa por primera vez alrededor del eje correspondiente. Por tanto en tal circunstancia el ángulo barrido resulta ser igual a 2 . π . rad, por lo que en función de lo antes definido, será: 2 . π rad 2 . π ω = ------------------ -------------------> T = ------------ (57) T ω Al medir un tiempo, la unidad en el sistema SIMELA (S.I.) para T será el s.-

MCU

MCUV

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En segundo término se puede definir a la magnitud encargada de determinar la cantidad de ciclos, o giros o vueltas efectuadas “n” alrededor del eje de rotación en un tiempo determinado. La misma se la denomina Frecuencia f, la cual viene expresada como: f = n / t (58) Para el caso en que n = 1, resulta ser que:

t = T

Por tanto: f = 1 / T (59) Y la unidad que le cabe en el sistema SIMELA será la inversa del s, a la cual técnicamente se la reconoce como Hertz (Hz).- Como conclusión y de acuerdo a lo mostrado en las ecuaciones (57) y (59) resulta que: 2 . π ω = ---------- = 2.π.f (60) T A modo de aclaración cabe señalar que en el lenguaje común o corriente se suele hablar de unidades tales como revoluciones por minuto (rpm) y revoluciones por segundo (rps), las cuales corresponden a la magnitud frecuencia f y no a la velocidad angular ω , existiendo la siguiente correspondencia numérica: f = 1 rpm = 1 vuelta / 1 min = (1 vuelta / 1 min) . (1 min / 60 s) = 1 vuelta / 60 s = f = 1 / 60 Hz Resultando que: ω = 2 . π . f = 2.π.1 / 60 Hz = 0,105 rad / s Ejemplo Aplicativo 7.3) Una rueda de bicicleta de 0,80 m de diámetro gira con una aceleración angular constante igual a 1,20 rad / s2, habiendo partido desde el reposo. Determinar en un punto del perímetro de la misma para el inicio del movimiento: a) la aceleración tangencial. b) la aceleración centrípeta. c) la aceleración total.-

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at = α. r = 1,20 rad / s2 . 0,40 m = 0,48 m / s2

ac = ω2 . r = 0 . 0,40 m = 0 a = at = 0,48 m / s2


La misma rueda del ejemplo anterior, en un momento determinado disminuye su frecuencia de 200,00 rpm a 20,00 rpm en un tiempo de 3,00 s. Calcular para el tiempo indicado: a) la aceleración angular. b) el número de revoluciones efectuadas n. c) el tiempo que requerirá para detenerse tal rueda.-

ω0 = 2.π.f = 2.π. 200,00 1 / min . (1 min / 60 s) = 6,7 . π rad / s ω 3 = 2.π. f = 2 . π . 20,00 1 / min . (1 min / 60 s) = 0,67 . π rad / s α = ω 3 – ω0 / t = ( 0,67 . π rad / s – 6,7 . π rad / s) / 3,00 s = - 2,01 . π rad / s2

Además: ( θ 3 – θ 0 ) (θ3 – θ0) = 2 . π rad / rev . (n rev) --------------> n = ------------------

2 . π ( ω 3

2 - ω 02 )

(θ3 – θ0) = ------------------------ 2 . α Por tanto: ( ω 3

2 - ω 02 )

n = ----------------------- ≈ 5,53 4 . π . α Finalmente: 0 = ω 3 + α.t´ ------------------> t´ = ω 3 / α ≈ 0,33 s

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Ejemplo Aplicativo 9.3) La sierra circular de una carpintería posee un diámetro de 1,20 m, y se encuentra girando respecto de un eje fijo horizontal con una rapidez angular inicial igual a 6,00 . π rad / s. Producto de una aceleración angular constante de 3,00 . π rad / s2 logra aumentar su rapidez. Determinar: a) la rapidez angular que poseerá cuando han transcurrido 4,00 s contados desde el reposo. b) el ángulo barrido por tal sierra en el tiempo señalado. c) la aceleración lineal de un punto perimetral de tal sierra en el instante de 4,00 s. d) la aceleración total de tal punto en el instante de tiempo mencionado.- ω = ω0 + α . t = 6,00 π rad / s + 3,00 π rad / s2 . 4,00 s = = 18,85 rad / s + 37,70 rad / s = 56, 55 rad / s (θ – θ0) = ω0 . t + 1 / 2 . α . t2 = = 6,00 .π rad / s . 4,00 s + 1 / 2 . 3,00 π rad / s2 . 16,00 s2 = = 75,40 rad + 75,40 rad = 150,80 rad (θ – θ0) = 150,80 rad . (360° / 2 . π) = 8.640,2 ° V = ω . R = 56,55 rad / s . 0,60 m = 33,93 m / s a t = α . R = 3.π rad / s2 . 0,60 m = 5,65 m / s2

ac = ω2 . R = 3.198,00 (rad / s)2 . 0,60 m = 1.918,74 m / s2

a c >>>>>>>> a t

a = √ a t 2 + a c

2 = √ (31,92 + 3.681.563) ( m / s2 )2 = 1.918,75 m / s2

___________________________________________________________________________________________________

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UNIDAD 3: CINEMÁTICA

3.1) Convertir 96 millas / h a : (km / h ) y a ( m / s ).- ( 1 milla = 1,609 km).-

3.2) Pasar una rapidez de 160 km / h a: (m / s) y a (milla / h).-

3.3) De acuerdo a los sistemas de unidades S.I., transformar una aceleración de 2,56 m / s 2 a: ( mm / s 2 ) y a ( km / h 2 ).- 3.4) Un cohete de fuegos artificiales por un defecto se mueve solamente sobre un

eje horizontal X y se determina que su posición en función del tiempo viene dada por la siguiente ecuación: x = 5 t 2 + 1, expresando a x en metros y al tiempo t en segundos. Calcular: a) la velocidad promedio escalar o rapidez en

los siguientes intervalos de tiempo: (2 ; 3) s; (2 ; 2,10) s ; (2 ; 2,001) s ; (2 ; 2,00001) s. b) la velocidad instantánea para t = 2,00 s.-

3.5) Un automóvil viaja a razón de 12,00 m / s como rapidez media durante un

trayecto de 5,00 km ¿cuánto demora tal recorrido en horas y en segundos?.-

3.6) Un camión se mueve en línea recta a razón de 82,00 km / h durante

5,00 minutos. Luego lo hace a razón de 66,00 km / h durante 4,00 minutos y finalmente a 45,00 km / h durante 3,00 minutos. Determinar: a) la distancia total recorrida. b) la rapidez desarrollada. Ambos resultados expresarlos en unidades del sistema S.I.-

3.7) Un corredor de maratón olímpico, da dos vueltas y media sobre una pista

circular de 54,00 m de diámetro demorando un tiempo de un minuto y medio. Calcular: a) la rapidez desarrollada. b) la velocidad media vectorial alcanzada.-

80 ingeddb

3.8) Un camión que parte desde la ciudad de San Rafael hacia la ciudad de Men- doza distante 205,00 km, lo hace con una rapidez constante de 84,00 km / h. En forma simultánea parte otro desde Mendoza hacia San Rafael manteniendo una rapidez también constante pero igual a 65,00 km / h. Determinar: a) el tiempo para el cual ambos camiones se encontrarán sobre la Ruta Nacional N° 40. b) la distancia contada desde la ciudad de Mendoza en donde se cruzarán.- 3.9) Un automóvil de pruebas de velocidad, emplea 15,00 s para alcanzar una velocidad de 120,00 km / h habiendo partido desde el reposo. Calcular: a) el valor de la aceleración promedio en m / s 2. b) la distancia que recorrió en el tiempo indicado, en metros. c) sí la aceleración adquirida se mantiene constante, calcular el valor del tiempo en segundos que le demandará alcanzar una velocidad de 210,00 km / h, contados a partir del reposo.- 3.10) El conductor del metro tranvía de Mendoza que lleva una rapidez de

45,00 km / h, ve de pronto que delante de él y a una distancia de 40,00 m se encuentra en movimiento el último vagón del equipo de mantenimiento de las instalaciones. Este marcha a una rapidez constante de 4,00 km / h en el mismo sentido que el metro tranvía. Por tanto tal conductor aplica los frenos con lo que consigue alcanzar una desaceleración constante igual a 1,00 m / s2, mientras que el equipo de mantenimiento continúa moviéndose con la velocidad antes indicada. Determinar: a) ¿chocarán el metro tranvía con el equipo de mantenimiento?. b) Sí se produjese el choque, ¿dónde ocurrirá el mismo?.- 3.11) Una partícula se encuentra en movimiento sobre la dirección X, y lo hace de

acuerdo a la siguiente ecuación: x = 2 + 3 . t + 1. t 2 donde x viene medida en m y el tiempo t en s. Utilizando las ecuaciones del movimiento como referencia y comparación determinar para cuando t = 4 s: a) la distancia recorrida por la partícula. b) la velocidad de la misma. c) la aceleración que obtuvo.-

3.12) En la siguiente gráfica se muestra el movimiento de tres (3) partículas,

siguiendo todas idénticas trayectorias. Marcar entre los paréntesis, la letra que se corresponde con el móvil que:

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Viaja más rápidamente A los cuatro (4) segundos, está detrás del A Llega antes a la marca de los tres (3) km Es el último que cruza al móvil C

x (km)

C 3

B 2 A 1

t (s) 0 1 2 3 4 5

3.13) Indique en cuales tipos de los movimientos que se indican a continuación:

(MRU); (MCU); (MRUV) y (MCUV) se aplican las siguientes ecuaciones: a) v = x / t b) ω = Cte. c) v2 = vo

2 + 2.a.x ω - ω0 d) t = --------------- α ω + ω0 e) θ = --------------- • t 2

82 ingeddb

3.14) El desarrollo del movimiento de un automóvil sobre un camino recto, viene representado por la gráfica de la velocidad en función del tiempo v = f ( t ) que se muestra. A partir de la misma proceda a graficar: a) a la aceleración en función del tiempo. b) a la posición en función del tiempo. c) calcular el valor de la aceleración para t = 6 s. d) determinar la distancia recorrida por la partícula en los intervalos de tiempo (0 ; 6) s y (0 ; 9) s.-

3.15) En una picada de autos en Lavalle, compiten un Fiat 128 que puede desarrollar

una aceleración constante de 4,90 m / s2 contra un Corsa. Sí ambos parten

desde el reposo, pero el Corsa sale 1,00 s antes que el Fiat y lo hace con una

aceleración constante de 3,50 m / s2, determinar: a) el tiempo que le va a

demandar al Fiat en alcanzar al Corsa. b) la distancia que deberá recorrer el Fiat antes de alcanzarlo. c) las velocidades de ambos autos en el instante que se produce el alcance.- 3.16) En una carrera de rally, una camioneta para tomar una curva acciona los frenos

y disminuye su velocidad de 215,00 km / h hasta 60,00 km / h en un tiempo de 6,00 s. Calcular: a) la aceleración desarrollada por dicha camioneta. b) la distancia que recorrió en esos 6,00 s que duró el frenado.-

v (m/s)

8 6 4 2 0 - 2 - 4

- 6

- 8

3 4 5 6 7 8 9

t (s)

83 ingeddb

3.17) Un tren de pasajeros urbano al llegar a una estación lo hace a una velocidad de

60,00 km / h. Para detenerse en el andén correspondiente, demora 44,00 s. Determinar considerando que el movimiento resulta ser uniformemente desacelerado: a) la aceleración desarrollada. b) la distancia que recorrió hasta detenerse.-

3.18) Una moto en un momento determinado desarrolla una velocidad de

40,00 m / s y la disminuye en modo uniforme accionando las marchas de la misma a razón de 5,00 m / s 2 .Hallar: a) la velocidad que posee cuando han transcurrido 6,00 s. b) la velocidad media desarrollada durante esos 6,00 s. c) la distancia que debió recorrer en esos 6,00 s.-

3.19) Un auto que inicialmente se mueve con velocidad constante v1, comienza a

acelerar a razón de 1,00 m / s 2 durante 12,00 s. Sí dicho móvil recorre en el

tiempo citado una distancia de 190,00 m. a) ¿cuánto valdrá la velocidad v1 de

tal auto cuando comenzó a acelerar?. b) ¿cuál será la distancia que recorre hasta detenerse, considerando que la desaceleración lograda resultó del mismo valor numérico que la aceleración dada como dato ?.- 3.20) Un paquete conteniendo repuesto electrónicos se encuentra en reposo sobre una rampa (plano inclinado) que forma un ángulo de 22º con referencia a la horizontal. Considerando que no existe rozamiento, determinar: a) la aceleración que adquirirá una vez liberado desde la parte superior de tal rampa. b) el tiempo que demora en recorrer 20,00 m sobre dicho plano inclinado.- 3.21) El mismo paquete del problema anterior ahora se encuentra en una rampa que

forma con la horizontal un ángulo de 36º y no habiendo rozamiento entre el paquete y la rampa, calcular: a) la aceleración que ahora adquirirá una vez que partió desde el reposo de la parte superior de la rampa. b) la distancia que habrá recorrido sobre tal rampa en un tiempo de 2,00 s.- 3.22) Desde la parte superior de una rampa para descarga de cubiertas para camiones, se deja caer una de las mismas a partir del reposo. Sí tal plano inclinado tiene una longitud de 30,00 m, una altura de 10,00 m y no ofrece rozamiento alguno, calcular: a) la velocidad de tal neumático cuando llegó a la base de tal plano inclinado. b) la velocidad del mismo neumático sí se lo hubiese dejado caer en caída libre desde una altura de 10,00 m.-

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3.23) Un trineo para nieve partiendo desde el reposo adquiere una aceleración

constante de 2,00 m / s 2 en un tramo recto. Calcular: a) la velocidad que posee al cabo de 5,00 s. b) la distancia que pudo recorrer en tal tiempo. c) la velocidad media desarrollada en el mismo tiempo. d) la distancia que habrá recorrido para el instante en que su velocidad alcanza un valor de 40,00 m / s.- 3.24) En la siguiente gráfica se muestra la posición de un móvil que se encuentra

recorriendo una carretera horizontal en función del tiempo. Aplicando el concepto geométrico de velocidad: a) trace la gráfica correspondiente de la velocidad en función del tiempo. b) determine las velocidades en los instantes de tiempo siguientes: 0,10 h; 0,30 h; 0,80 h y 1,00 h.- x (km) 45

15 0 0,00 0,10 0,30 0,50 0,80 1,00 t (h) 3.25) En una competencia de bajada de montaña de nieve con tabla, en una pendiente inclinada recta de 250,00 m de largo a un competidor en caída con impulso se le miden dos velocidades. La primera de 186,00 km / h al principio de la rampa y la otra de 214,00 km / h al final de dicha pendiente. Determinar considerando que no existe rozamiento y que además la aceleración se mantuvo constante: a) el valor del ángulo de la pendiente. b) el tiempo que le demandó al competidor recorrer la distancia indicada.-

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3.26) Analizando la siguiente gráfica de x = f (t), indicar el tipo de aceleración que

posee cada uno de los móviles 1, 2, 3, 4 y 5 que se encuentra desarrollando un movimiento rectilíneo: X (m)

1 2

3

0 t (s)

4

5

3.27) Para bajar una carga de resmas de papel desde la caja de una camioneta que se encuentra a 0,98 m del piso se utiliza un plano inclinado de 3,50 m de largo que no ofrece rozamiento. Sí a tal carga se le imprime en la caja de la camioneta una velocidad de 1,03 m / s paralela a tal plano inclinado y hacia abajo, calcular: a) la velocidad con que arriba al piso. b) el tiempo que le va a demandar en llegar hasta el piso.- 3.28) Se ha lanzado un objeto en modo vertical hacia arriba con una velocidad inicial de 9,80 m / s desde la ventana de un edificio que se encuentra a 20,00 m del piso de la vereda. Encontrar: a) la máxima altura que alcanzará respecto del nivel de la vereda. b) el tiempo que va a necesitar para alcanzarla. c) la velocidad que tendrá tal objeto cuando llegue a la vereda. d) el tiempo total transcurrido desde que fue lanzado hasta que tal objeto llegue a la vereda.- 3.29) Desde una obra en construcción se cae un andamio desde una altura de

26,00 m. Simultáneamente otro obrero lanza en forma vertical y hacia abajo otro andamio con una velocidad v0. Sí éste andamio choca contra el suelo 0,30 s antes que el que se dejó caer primeramente, calcular: a) el valor de esa velocidad v0 b) el tiempo que emplea cada uno de los andamios en llegar al suelo.-

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3.30) Un objeto puntual se deja caer libremente partiendo desde el reposo. Calcular:

a) la aceleración que adquirió el objeto. b) la distancia que recorrió en 3,00 s. c) la velocidad que alcanzó cuando recorrió 100,00 m. d) el tiempo que le demanda al objeto en alcanzar una velocidad de 25,00 m / s. e) la distancia recorrida durante el quinto segundo, contado desde que se lo dejó caer.- 3.31) Un saltador de trampolín olímpico de pileta de agua, una vez efectuado el impulso necesario adquiere una velocidad vertical hacia arriba de 7,80 m / s y demora 2,80 s en hacer contacto con el agua. Determinar: a) velocidad con que llega al agua. b) la distancia total recorrida hasta hacer contacto con el agua.-

3.32) Un aparato para lanzamiento de cohetes para lucha antigranizo efectúa un

disparo con una velocidad de 200,00 m / s que conforma un ángulo de 40° con la horizontal. Determinar: a) el valor del alcance. b) el tiempo de vuelo. c) la velocidad y la posición que posee el proyectil cuando han transcurrido 20,00 s, en valor numérico y dirección.- 3.33) Una mísil tierra aire es disparado formando un ángulo de 35° con la horizontal, arribando al suelo cuando ha recorrido en horizontal una distancia igual a 4,00 km. Calcular: a) la velocidad inicial de ese mísil. b) el tiempo de vuelo. c) la altura máxima. d) el valor de la velocidad cuando alcanza dicha altura máxima.- 3.34) En un campo de prueba de proyectiles para defensa, se encuentran

desarrollando una práctica lanzándolos con una inclinación de 50° respecto del suelo y con una velocidad inicial de 400,00 m / s. Los mismos deben impactar contra una montaña que se ubica a 1.000,00 m del punto de disparo, distancia ésta medida en horizontal. Determinar: a) el tiempo que le va a demandar al proyectil hacer impacto contra la montaña. b) la altura del impacto contra tal montaña, medida desde el suelo.- 3.35) En un movimiento del tipo tiro oblicuo, a la partícula lanzada que se encuentra en el origen de coordenadas ( x ; y ) se le imprime una velocidad inicial expresada por la siguiente ecuación vectorial: Vo = 3,00 m / s i + 4,00 m / s j. Determinar: a) el vector velocidad de la

partícula cuando ha pasado 1,00 s de efectuado el lanzamiento. b) la altura máxima alcanzada. c) el tiempo de vuelo. d) el alcance logrado.-

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3.36) En un partido de rugby al producirse la conversión de un try, el punto de disparo se encuentra a 30,00 m de los postes en forma de “ H ”que se ubican a 4,00 m del suelo, y la pelota está formando un ángulo de 39 º con la horizontal. Sí el alcance que se obtiene resulta ser de 60,00 m, determinar: a) el valor de la velocidad inicial V0 . b) la altura máxima que alcanzó la pelota. c) el tiempo de culminación. d) demostrar sí la conversión resultó válida o no.- 3.37) Un disco que se encuentra describiendo un Movimiento Circular Uniforme (MCU), gira a razón de 13,20 radianes cada 6,00 s. Calcular: a) el período T. b) la frecuencia f. c) el tiempo que le va a demandar girar un ángulo igual a

780°. d) el tiempo que va a necesitar para ejecutar 12,00 revoluciones. Para las dos (2) últimas preguntas, considerar que se cuenta a partir del estado de reposo en t 0 = 0.-

3.38) Para un electrón que se encuentra desarrollando una trayectoria circular alrededor de su núcleo, se le mide una velocidad lineal v de valor igual a

4 x 10 5 m / s. El campo magnético actuante le obliga a que la trayectoria

descripta tenga una longitud de 3,00 m. Determinar la aceleración centrípeta que actúa sobre dicho electrón.- 3.39) Una partícula se encuentra desarrollando un movimiento circular cuya

trayectoria responde a la siguiente ecuación: θ = 3 . t2 + 2 . t. Sí los tiempos

viene medidos en s y θ en radianes, calcular: a) la velocidad angular para t = 0 s. b) la velocidad y la aceleración angular para t = 4 s. c) el ángulo total que pudo barrer en un tiempo de 10,00 s, en radianes y en grados.-

3.40) La velocidad angular de una plataforma circular para adiestramiento de

astronautas, aumenta en forma uniforme de 20,00 rad / s a 30,00 rad / s en un tiempo igual a 5,00 s. Hallar: a) la aceleración angular de tal plataforma. b) el ángulo total que recorrió, contado a partir de t 0 = 0.-

3.41) Un cuerpo inicialmente para cuando t = 0, se lo encuentra en la posición θ = 0 y con una velocidad angular ω = 0. Entonces se lo acelera en forma uniforme sobre una trayectoria circular de 2,80 m de radio de acuerdo a la siguiente ecuación α = 120,00 . t 2 - 48,00 . t + 16. Encontrar: a) la posición angular θ y la velocidad angular ω de tal cuerpo para t = 2,00 s b) la

aceleración tangencial at para ese mismo tiempo. c) la aceleración

centrípeta a c también para el tiempo mencionado.-

__________________________________________________________________

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UUNNIIDDAADD II VV

FUERZA

Esta magnitud física encuadrada como un vector, tiene interpretaciones en la vida diaria como la causa que nos permite desplazar objetos, levantarlos, o para modificar el estado de movimiento de un cuerpo, o para cambiar su forma.- Las fuerzas se presentan de dos (2) formas particulares. Unas que se perciben como de contacto, por ejemplo la fuerza que ejercemos para abrir el capó de un automóvil, y aquellas que se manifiestan a la distancia como

puede resultar la fuerza que un imán efectúa sobre un alfiler, y que subsisten por la existencia de un campo, entendiendo como tal a toda región del espacio donde se

producen fenómenos particulares (campo gravitatorio, campos magnéticos, campo de golf, campos de fútbol, campos de tenis, etc.).-

LEYES O PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

Estas son las responsables de establecer las condiciones y las relaciones particulares entre los cuerpos y las fuerzas como acciones dinámicas, que se las conoce como las Leyes de Newton.-

Primera Ley de la Dinámica o Primera Ley de Newton o Principio de Inercia Manifiesta que sí sobre un cuerpo no existe fuerza neta actuante, el mismo o permanece en el estado de movimiento reposo, o en el de Movimiento Rectilíneo Uniforme ( MRU ).- A continuación se muestra un esquema dinámico representativo.-

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Se reconoce como par equilibrado a todas dos (2)

fuerzas que resultan del mismo valor numérico, sentidos opuestos y misma recta de acción (colineales), que poseen consecuentemente una fuerza neta o total igual a cero, lo que implica que se lo puede aplicar o quitar a un cuerpo y no modificar el estado de movimiento en que se encuentra.- Desde el punto de vista de la estática, se manifiesta que cuando un cuerpo se encuentra en el estado de reposo absoluto es decir que no se traslada ni rota, se encuentra en “Equilibrio Estático”.-

Segunda Ley de la Dinámica o Segunda Ley de Newton o Principio de masa Esta expresa que cuando sobre un cuerpo existe una fuerza neta o total actuante distinta de cero, el mismo se acelerará en la misma dirección y sentido que la fuerza actuante, y su valor numérico resultará proporcional al valor de tal fuerza. La proporcionalidad la establece la magnitud física denominada como masa inercial, que resulta ser aquella que representa la dificultad que

presentan los cuerpos cuando se pretende modificar su estado de movimiento. Posee tres (3) propiedades dentro de la física clásica que son: siempre positiva; escalar y constante.-

F 1 F 2

F 1 = F 2 (Valor numérico) Misma recta de acción

Sentidos opuestos

Ejemplo de par equilibrado

Figura 1

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De acuerdo al sistema SIMELA las unidades correspondientes, habiendo adoptado como unidad patrón para la masa inercial el kilogramo masa, resultan las siguientes para la fuerza en concordancia con lo expuesto en la Figura 2 anterior:

1 kg 1 m / s2

F F = 1 kg . 1 m / s

2 = 1 N (Newton)

F 1 gr 1 cm / s2

F = 1 gr . 1 cm / s2 = 1 dina

F

F = 1 kg . 9,80 m / s2

= 1 kgf

m F

_

a

_ _

F = m a

1 kg 9,80 m / s2

Figura 2

Figura 3

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Justamente la última de las unidades permite expresar una fuerza particular que es la que ejerce la tierra sobre todos los cuerpos que se encuentran dentro de su campo de acción gravitatoria, y que se denomina peso de los cuerpos que se representa como un vector vertical y hacia abajo, y que responde a la siguiente ecuación:

w = m . g >>>>>>>>>>>>> donde: g = 9,80 m / s2

Respecto de los sistemas de referencia debe manifestarse que en función del enunciado en las Leyes de Newton, los mismos se pueden clasificar en dos (2) grandes grupos. Los primeros en dónde se cumplen dichas Leyes que se los identifica como Inerciales, y aquellos en donde no se cumplen las mismas conocidos como No Inerciales.- Esta diferenciación resalta el hecho de que los conceptos que se enuncian dentro de la FISICA clásica tengan el carácter de relativos, es decir

que su verdad está condicionada a que se cumplan ciertos requisitos predeterminados, tal como se verá en el desarrollo de las Cátedras de FISICA I y FISICA II fundamentalmente.- Justamente y con referencia a la última de las enunciadas, cabe mencionar que varios de los conceptos expuestos en ésta Guía se aplicaran extensamente. Cabe mencionar y a modo de ejemplo los siguientes: Vectores; Campos; Materia (tipos de cuerpos); Movimientos; Masa; Fuerzas; Trabajo; Energías; Potencia, etc.- Tercera Ley de la Dinámica o Tercera Ley de Newton o Principio de Acción y Reacción.- Las condiciones básicas que deben darse para la aplicación de ésta Ley, son que deben participar más de un cuerpo y que los que interactúan se encuentren dentro de un mismo campo.- Bajo tales condiciones se puede expresar que para el caso de dos (2) cuerpos, se determina que se ejercen fuerzas de un mismo valor numérico, colineales (misma recta de acción) y de sentidos contrarios denominadas de acción una y de reacción la otra aplicadas una en cada cuerpo, tal cual se muestra en el siguiente esquema:

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La particularidad de éste Principio que siempre se cumple, es que solamente se puede visualizar convenientemente cuando las masas de los cuerpos que interactúan resultan ser del mismo orden de magnitud.-

Rozamiento o Fricción

No es intención de ésta guía analizar los conceptos técnicos del tema titulado.- Sin embargo es necesario introducir la idea del efecto que provoca el rozamiento en los movimientos, y en especial en el de desplazamiento o traslación.- Lo importante es tener presente que tal fenómeno se manifiesta por medio de una fuerza, y que ésta siempre se va a oponer al movimiento que intentemos posea un cuerpo, o al que tenga naturalmente.- Es decir sí pretendemos que un cuerpo en estado de reposo se ponga en movimiento, de acuerdo a las Leyes de Newton deberá existir una fuerza neta en la dirección y sentido esperado de movimiento. Tal fuerza neta estará conformada por ejemplo por la externa aplicada, como por la correspondiente a la resistencia que me va a presentar la superficie por sobre donde se va a deslizar el cuerpo en cuestión.-

m1

m2

F21 F1 2

F12 = F21 (Valor numérico) CAMPO

Figura 4

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Se muestra un modelo esquemático de lo señalado, donde se indican tres (3) estados: el de reposo; el de inicio de movimiento y el del movimiento ya establecido de acuerdo a lo determinado en el fenómeno que se estudia.- x (+) Σ F = 0 >>>>>> Estado de Reposo

Fext = 0

froz = 0

Fext

f roz 1 = f roz estática x (+) Sí : la Fext > f roz 1, se cumpliría

que: Σ F = m . a ≠ 0 (Inicio de Movimiento)

siendo: Σ F = (Fext – f roz 1 )

Σ F = m . a ≠ 0 (Movimiento ya establecido)

Fext

siendo: Σ F = (Fext – f roz 2 )

froz 2 = f roz cinética x (+) donde: f roz 2 < f roz 1

La práctica y las comprobaciones teóricas que se verán durante el cursado de la Cátedra de FÍSICA I, permitirán verificar y comprobar lo expresado en la última ecuación.- Veremos a través de un ejemplo numérico lo anteriormente indicado.-

m

m

m

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Ejemplo Aplicativo 1.4) Una caja de masa m igual a 25,00 kg. se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal. Para ponerla en movimiento se le aplica mediante una palanca una fuerza horizontal hacia la derecha de 100,00 N. Sí no existe rozamiento entre la caja y la superficie determinar: a) la aceleración de la caja. b) calcule lo solicitado en la parte a), pero ahora considerando que existe una fuerza de rozamiento de 20,00 N por supuesto opuesta al movimiento.- F Caso a) x (+) Diagrama del cuerpo libre Consiste en representar el fenómeno en cuestión reemplazando los vínculos por las correspondientes reacciones de vínculo (fuerzas que se oponen al movimiento natural) y además todas las fuerzas activas presentes.- N F Figura 5

x (+) m.g

Siendo: mg el peso de la caja, que es la fuerza con que la tierra atrae a la misma.

“N” es la fuerza que la superficie ejerce sobre la caja (reacción de vínculo).

“F” es la fuerza externa aplicada.

m

m

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Optamos por el tradicional x horizontal e y vertical, y aplicamos las Leyes de Newton

que correspondan. y (+) Σ Fy = 0 >>>>>> N – m.g = 0

(no hay movimiento en el eje y) N = m.g >>>>>>> N = 25,00 kg . 9,80 m / s 2 = N = 245,00 N N F Σ Fx = m . a x >>>>>>>> 100,00 N = 25,00 kg .

x (+) o a x = 100,00 N / 25,00 kg = 4,00 kg m / s 2 / kg = m.g

a x = 4,00 m /s2 ( caso a)

En cambio para lo consultado en el apartado b), se debe incluir el efecto del rozamiento presente, dejándolo explicitado en el correspondiente diagrama del cuerpo libre, tal como se muestra a continuación: N x N

f roz F F

x (+)

f roz o x (+)

m.g m.g

Ahora las ecuaciones correspondientes a las Leyes de Newton, son: Σ Fy = 0 >>>>>> N – m.g = 0 (no hay movimiento en el eje y )

N = m.g >>>>>>> N = 25,00 kg . 9,80 m / s 2 = 245,00 N Σ Fx = m . ax >>>>>> F – froz = m . ax >>>>> 100,00 N – 20,00 N = 25,00 kg . ax ax = 80,00 N / 25,00 kg. = 3,20 kg m / s2 / kg = 3,20 m / s2 ( caso b)

[ menor que los 4,00 m / s2 correspondiente al caso a) ]

m

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Como tarea de investigación y comprobación, se le propone al alumno realizar un trabajo semejante al llevado a cabo pero bajo la condición de que la fuerza externa aplicada, forme un ángulo por ejemplo de 40° respecto del eje x positivo.-

Bajo tal condición debiera arribar a los siguientes resultados:

Caso a) Caso b)

N = 180,70 N N = 180,70 N

a x = 3,06 m / s2 a x = 2,26 m / s2

# TRABAJE PARA ELLO Y SAQUE CONCLUSIONES #

# LO APLICARÁ MÁS ADELANTE TANTO EN TEÓRIA COMO EN LA PRÁCTICA #

Ejemplo Aplicativo 2.4) Un velocista de masa igual a 82,00 kg que desarrolla un movimiento rectilíneo, por efecto del viento que está corriendo a su favor aumenta su velocidad de 8,00 m / s a 10,00 m / s en un tiempo de 0,80 s. Determinar: a) el valor numérico de la aceleración adquirida por tal velocista. b) el valor numérico de la fuerza ejercida por el viento sobre el velocista. c) el valor numérico de la aceleración que adquiriría otro velocista de masa igual a 63,00 kg, sí sobre él el viento ejerce una fuerza del mismo valor que la ejercida sobre el otro velocista en la misma carrera.- De la ecuación: v = v0 + a . t podemos despejar a la aceleración, resultando: v - v0 ( 10,00 – 8,00 ) m / s a1 = --------------- = ------------------------------- = 2,50 m / s2 a) t 0,80 s Y de la ecuación representativa de la Segunda Ley de Newton, podremos calcular la fuerza en cuestión actuante sobre el primer velocista: F = m1 . a = 82,00 kg . 2,50 m / s2 = 205,00 N b)

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Y para el otro velocista, resultará que: F 205,00 N

a2 = --------- = ----------------- = 3,25 m / s2 > 2,50 m / s2 c)

m2 63,00 kg Ejemplo Aplicativo 3.4) Para un objeto de 10,00 kg de masa, se le mide en un instante dado una velocidad v1 = 8 . i m / s y once (11) segundos después otra velocidad v2 = (19 . i + 10 . j) m / s. Sí la fuerza actuante sobre tal objeto se mantuvo constante en el período de tiempo mencionado, hallar: a) el valor de las componentes del vector fuerza actuante. b) el valor numérico y la dirección de tal vector fuerza.- Δv (19 . i + 10 . j - 8 . i) m / s (11 . i + 10 . j ) m / s Sabemos que: a = ------- = ------------------------------------- = --------------------------------- Δt 11,00 s 11,00 s Luego de acuerdo al método de las componentes, tendremos que:

a x = 1 m / s2 y a y = 0,91 m / s2

Luego:

F x = m . ax = 10,00 kg . 1 m / s2 = 10,00 . i N a)

F y = m . a y = 10,00 kg . 0,91 m / s2 = 9,10 . j N a)

Por lo que, el valor de la fuerza neta valdrá: ____________ ________________

F = F x2 + F y

2 = ( 10 2 + 9,10 2 ) N 2 = 13,50 N b)

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Fy 9,10 N

= arc tg --------- = --------------- 42,3° b)

Fx 10 N __________________________________________________________________

y

x

Fx

Fy

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Densidad y Peso Específico

Para poder interpretar el concepto de las magnitudes enunciadas, resulta necesario comenzar a trabajar con la idea del volumen de un cuerpo relacionado con su masa.- Justamente la práctica nos muestra que resulta más fácil mover (tender) un cable para conducción de energía eléctrica de aluminio que otro de cobre sobre los soportes que lo sostendrán, teniendo ambos el mismo volumen. Tal circunstancia está vinculada con la relación entre la masa del cuerpo en cuestión y su volumen, que se denomina densidad y que se la representa por la letra delta ( δ ).-

Para interpretar claramente a tal magnitud supongamos poseer un cuerpo homogéneo de masa M y volumen V conocidos. A tal cuerpo lo comenzamos a dividir en n porciones cualesquiera de masas y volúmenes medibles

y / o calculables, tales como (m1 ;V1), (m2 ;V2), (m3 ;V3), ……, (mn ;Vn), tomando la

precaución que durante tal proceso se mantengan constantes tanto la temperatura como la presión y que además se evite la presencia de impurezas.- Sí ahora comenzamos a evaluar los resultados obtenidos y los relacionamos, arribaríamos a lo siguiente:

m1 m2 m3 m n M

--------- = --------- = --------- = --------- = ----------- = constante = densidad = δ

V1 V2 V3 V n V

m Para un cuerpo homogéneo tal magnitud se define como: δ = ---------- (1) V Tal densidad y bajo la condición de mantener tanto a la temperatura como a la presión dentro de ciertos valores estables, resulta ser totalmente independiente del lugar del universo donde se encuentre dicho cuerpo.- Las unidades a emplearse serán: kg Sistema SIMELA (SI) [ δ ] = --------

m 3

g Sistema c.g.s [ δ ] = --------

cm 3

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Tal cual se ha manifestado precedentemente, la densidad resulta ser dependiente del tipo de sustancia o cuerpo que se considere. Por tanto a continuación se ofrece una Tabla donde se muestran valores de densidad para distintos elementos tanto gaseosos, líquidos o sólidos de modo de tener una idea de magnitud para cada caso, y por supuesto para un valor determinado de temperatura y presión.-

Gases Líquidos Sólidos

a 0 °C y 1 atm a 20 °C y 1 atm a 20 °C y 1 atm

Densidad, en g / dm3 Densidad, en g / cm

3 Densidad, en g / cm

3

Aire: 1,293 Agua: 1 Aluminio: 2,70

Oxígeno: 1,43 Aceite: 0,83 Estaño: 7,30

Ozono: 2,22 Querosén: 0,80 Hierro: 7,81

Helio: 0,18 Glicerina:1,26 Cobre: 8,91

Hidrógeno: 0,090 Mercurio: 13,60 Platino: 21,40

Debemos agregar que la densidad definida mediante la ecuación (1) es aplicable solamente a cuerpos homogéneos que implica que poseen la misma composición o estructura a través de todo su volumen. De no ser así lo que se está definiendo resulta ser una densidad promedio. Para un cuerpo heterogéneo la densidad variará de un lugar a otro. En esos casos para conocer la densidad en un lugar específico, deberá medirse una masa elemental dm contenida en un volumen infinitesimal dV, con lo que la ecuación de la densidad queda expresada como:

dm δ = ----------- (2) dV Otro concepto útil resulta ser el de la conocida como

densidad relativa δ r, la que se puede entender como el cociente entre dos (2)

densidades de substancias diferentes por ejemplo δ1 y δ 2, resultando entonces:

δ 2

δ r = ---------- (3)

δ1

Como se observa tal densidad relativa no posee unidades

(magnitud adimensional).- En la mayoría de los casos se suele tomar tal densidad relativa respecto de la del agua. En la Tabla siguiente se muestran la densidad de varias substancias referidas al agua, en concordancia en algunos ejemplos con lo mostrado en la Tabla precedente:

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Gases Líquidos Sólidos

a 0 °C y 1 atm a 0 °C y 1 atm a 20 °C y 1 atm

Aire: 1,293 x 10 - 3

Agua (4 °C): 1,000 Aluminio: 2,70

Oxígeno: 1,43 x 10 - 3

Alcohol etílico: 0,791 Hierro: 7,86

Helio: 1,8 x 10 - 4

Naftas: 0,67 Hielo: 0,917

Hidrógeno: 9 x 10 - 5

Mercurio: 13,60 Uranio: 18,7

Pero también se trabaja con otra magnitud equivalente a la densidad, pero que resulta ser fuertemente dependiente del lugar en donde se encuentre la sustancia o cuerpo. A tal magnitud se la denomina Peso Específico y se la identifica con la letra rho ( ρ ), y se la define como: m . g peso

ρ = ------------- = -------------- (4)

V volumen Las unidades correspondientes serán entonces: N Sistema SIMELA [ ρ ] = --------

m3

dina Sistema c.g.s. [ ρ ] = -----------

cm3

kgf gf Sistema Técnico Español [ ρ ] = --------- o --------

m3

cm3

Tomando en cuenta lo indicado en la ecuaciones (1) y (4), resulta que:

ρ = δ . g (5) Ejemplo Aplicativo 4.4)

Para dotar de agua potable a una casa de familia se emplea un tanque en elevación, que posee una capacidad de 1.500,00 litros. Suponiendo que la temperatura del agua se mantiene a 20°C, determinar el peso de agua que deberá soportar tal tanque.-

102 ingeddb

Vimos de la ecuación (4) que: peso = m . g = ρ V = δ . g . V De la Tabla dada extraemos la densidad del agua, logrando operar como:

m . g = peso = 1 g / cm3 . 9,80 m / s

2 . 1 litro

Como: 1 litro = 1 dm 3 resultará que:

m . g = 1 g / cm 3 . 9,80 m / s

2 . 1,50 .10

3 dm3 . 1 kg / 10

3 g . 10

3 cm

3 / 1 dm3

peso = m . g = 14,70 . 103 N = 1.500,00 kgf


Posee un volumen de 0,971 m3 de aceite. Calcular:

a) la masa del mismo. b) su peso. c) su peso específico.- De las fórmulas definidas, se logra:

masa = m = δ . V = 0,83 g / cm3 . 0,971 m

3 .10

6 cm3 / 1 m

3 = 8 x 10

5 g = 8 x 102 kg

peso = m . g = 8 x 102 kg . 9,80 m / s

2 = 78,4 x 10

2 N = 8 x 10

2 kgf

peso específico = ρ = m .g / V = 78,4 x 102 N / 0,971 m

3 = 8 x 10

3 N / m

3

Ejemplo Aplicativo 6.4) En un taller metalúrgico se está trabajando con una fundición de hierro cuya densidad relativa vale 7,20. Determinar: a) la densidad de la

misma en g / cm3. b) la masa de 200,00 cm

3 de fundición. c) el peso específico de la

fundición, en kgf / m 3. d) el peso de 20,00 m3 de fundición.-

Densidad de la fundición = δ r . δ agua = 7,20 . 1 g / cm 3

= 7,20 g / cm 3

Masa de 200,00 cm 3 = 200,00 cm

3 . 7,20 g / cm

3 = 1.440,00 gr

ρ fundición = 7,20 . 1.000,00 kg / m

3 = 7.200,00 kg / m

3

Peso de 20,00 m 3 de fundición = 20 m

3 . 7.200,00 kg / m

3 = 1,44 . 10

5 kgf

103 ingeddb



UNIDAD 4: DINÁMICA

4.1) Un cuerpo pesa 80,00 kgf y otro pesa 1.100,00 N ¿demuestre cuál pesa más?.- 4.2) Posee un sistema conformado por dos fuerzas coplanares concurrentes de

25,00 N cada una. Hallar el valor numérico de la resultante de ambas cuando el ángulo entre ellas vale: a) 30°. b) 90°. c) 160°.-

4.3) Un pack de cerámicas de masa igual a 280,00 kg se encuentra sobre un plano

inclinado libre de fricción y de una inclinación de 37° respecto de la horizontal. Determinar que fuerza debe ejercerse mediante la acción de una cuerda para mantenerlo en reposo.-

4.4) Cuando a una partícula de masa igual a 11,00 kg se le aplica una fuerza, se

observa que su rapidez cambia de 25,00 km / h a 10,00 km / h en un tiempo de 3,00 s. Determinar el valor de fuerza aplicada, en N y en dinas.-

4.5) Un auto que pesa 1.400,00 kgf circula por una carretera horizontal a una

velocidad de 127,00 km / h. Ante la señalización de una barrera de ferrocarril baja, el conductor acciona los frenos. Calcular la fuerza ejercida por los frenos supuesta ésta constante en N, sí la distancia recorrida desde que se inicia el frenado hasta llegar a tal barrera, es de 100,00 m.-

4.6) Para que una partícula varíe su velocidad de 5,00 m / s a 14,00 m / s se le

debe aplicar una fuerza de 98,00 N, recorriendo una distancia de 86,00 m. Hallar la masa de dicha partícula.-

4.7) Un pescado de 14,00 kg. de masa se jala verticalmente hacia arriba mediante

la tanza de la caña de pescar alcanzando a obtener una aceleración constante de 1,25 m / s2. Considerando que tal tanza es inextensible y de masa despreciable, hallar la tensión en la misma.-

4.8) Un cubito de hielo de masa igual a 11,00 g. al desprenderse de la cubetera que

lo contenía con una velocidad inicial de 0,09 m / s se desliza sobre una superficie horizontal durante 2,00 s y allí se detiene. Determinar: a) la fuerza que actúa sobre el mismo. b) la distancia que recorrió hasta detenerse.-

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4.9) Posee una caja en reposo que pesa 400,00 N y necesita que se acelere a razón de 1,23 m / s2. Calcular la fuerza que debe aplicarse, cuando: a) el movimiento sea sobre una superficie horizontal sin rozamiento. b) el movimiento sea de tiro vertical ideal hacia arriba.-

4.10) Un carro de equipajes de un aeropuerto pesa cargado 2.200,00 N y está

detenido. Se lo desplaza aplicando una fuerza de 750,00 N que forma un ángulo de 18° hacia arriba respecto de la horizontal. Calcular: a) la aceleración de tal carro. b) la fuerza que el piso realiza verticalmente sobre él.-

4.11) Un contrapeso de 100,00 N de peso de un portón levadizo de un taller

mecánico, se encuentra suspendido del extremo de una cuerda metálica. Determinar la aceleración de dicho contrapeso cuando la tensión en tal cuerda fue de: a) 100,00 N. b) 40,00 N. c) 190,00 N.-

4.12) Para el mismo contrapeso del problema anterior, calcular la tensión de tal

cuerda cuando se lo acelera a razón de: a) 6,25 m / s 2 hacia arriba. b) 6,25 m / s 2 hacia abajo.-

4.13) Una persona que pesa 70,00 kgf intenta descender por una cuerda que puede

soportar una carga máxima de 86,00 kgf. Determinar el valor mínimo de aceleración con que podrá hacerlo, sin que se corte dicha cuerda.-

4.14) Posee una polea ideal de la cual ha colgado verticalmente dos masas. Una de

70,00 kg a un lado de la polea y la otra de 110,00 kg. del otro lado de dicha polea. Considerando que no existe rozamiento, calcular: a) la aceleración que va a adquirir la cuerda que une a ambas masas. b) la tensión a que se ve sometida tal cuerda.-

4.15) Para desplazar un bloque de cemento que pesa 2.000,00 N en reposo sobre

una superficie horizontal debemos aplicar una fuerza de 950,00 kgf paralela a la superficie horizontal durante un tiempo de 8,00 s. Sabemos además que el piso ofrece una fuerza de fricción de 750,00 kgf que se opone al movimiento. Determinar entonces la velocidad que adquirirá tal bloque cuando han transcurrido los 8,00 s mencionados, en m / s y en km / h.-

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4.16) En otro momento sobre el mismo bloque del problema anterior, se le aplica la misma fuerza de 950,00 kgf pero formando un ángulo de 30° hacia abajo con la horizontal. Sabiendo que cuando transcurrieron 5,00 s la velocidad del bloque que partió del reposo vale 10,00 m / s, calcular el valor de la fuerza de rozamiento que se opone al movimiento, en N.-

4.17) Otro bloque como el del problema 4.15) y con las mismas condiciones

dinámicas, se lo pretende subir por un plano inclinado 42° respecto de la horizontal. Bajo tal circunstancia determinar: a) la aceleración que posee tal bloque. b) la velocidad que va a tener al cabo de los 8,00 s.-

4.18) Un plano inclinado forma con la horizontal un ángulo de 27° y posee en la parte

superior una polea ideal. Sobre tal plano se ubica un cuerpo de masa m1 igual a 65,00 kg unido a tal polea por medio de una cuerda inextensible que pasa por la misma, sosteniéndose del otro extremo de la cuerda otro cuerpo de masa m2 igual a 98,00 kg en forma suspendida, como se muestra en la figura. Considerando que no existe ningún tipo de rozamiento, determinar el espacio que recorrerá el cuerpo de 98,00 kg. partiendo desde el reposo en un tiempo de 5,00 s.

Polea Ideal m1 m2 27° 4.19) Dos (2) bolas de pool idénticas de masa m = 1,20 kg en reposo, son

impactadas por una tercera. Luego del impacto las dos (2) primeras se mueven sobre el plano del paño con las siguientes aceleraciones: a1 = 1,20 m / s2 . i y a2 = 0,86 m / s2 . i + 0,36 m / s2 . j. Considerando solamente el movimiento de traslación determinar: a) el vector fuerza neta que actúa sobre cada una de ellas. b) el valor numérico de la velocidad de cada bola al cabo de 2,00 s contados a partir de haber sido impactadas.-

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4.20) Sobre un cuerpo de masa igual a 20,00 kg se encuentran actuando simultáneamente tres (3) fuerzas definidas como: F1 = 2,00 N i + 12,00 N j ;

F2 = 33,00 N i y F3 = 2,00 N i – 2,00 N j. Determinar: a) la dirección del vector

aceleración. b) el valor numérico de la aceleración. c) el vector velocidad de tal cuerpo una vez que han transcurrido 8,00 s contados a partir de que estaba en reposo.-

4.21) Sobre un objeto de masa igual a 180,00 kg. se encuentran actuando

simultáneamente dos (2) fuerzas F1 y F2 que le imprimen una aceleración expresada como: a = (16,00 m / s2 i – 7,00 m / s2 j). Encontrar la expresión vectorial de la fuerza F2 cuando: a) F1 = 8,00N i + 8,00 N j. b) F1 = 8,00 N i – 8,00 N j.-

4.22) Posee un recipiente en forma de cubo de 0,20 cm de lado y lo llena con

mercurio de densidad igual a 13,60 x 103 kg / m

3. Determinar la masa de

mercurio vertida dentro del recipiente.- 4.23) Un bidón de una estación de servicio posee una capacidad para almacenar

110,00 kg de agua (densidad del agua = 1.000,00 kg / m3 ) o 73,00 kg de

nafta sin plomo. Calcular: a) la capacidad del bidón, en m3 . b) la densidad de la

nafta sin plomo, en gr / cm3. -

4.24) ¿Cuánto vale la masa de aire ambiente cuya densidad es de 1,20 kg / m3, en

una habitación que tiene las siguientes medidas: 6,00 m x 7,00 m x 3,00 m?.- 4.25) Debe trasladar azúcar en envases individuales de las siguientes medidas:

16,00 cm x 8,00 cm x 5,00 cm. Calcular: a) la cantidad de tales envases que se pueden meter en un conteiner de medidas: 22,00 m x 2,40 m x 2,40 m. b) Sí la masa de azúcar de cada uno de los envases individuales es de 450,00 g ¿cuál es la masa total de azúcar dentro del conteiner?. c) la densidad del azúcar.-

4.26) Cuenta con dos (2) cilindros macizos, uno de oro y el otro de titanio. El primero

tiene un diámetro de 10,00 cm y una altura de 30,00 cm, y conoce que la

densidad del oro es de 1,93 x 10 4 kg / m3. Hallar: a) el peso del cilindro de oro.

b) sí la densidad del titanio es de 4,50 x 10 3 kg / m

3, ¿cuánto valdría el peso

del cilindro de titanio de la misma dimensión que el de oro?. c) ¿qué altura debiera tener otro cilindro del mismo diámetro que el mencionado al comienzo, para que siendo de titanio tenga el mismo peso que el que era de oro? .- ( V cilindro = π h R 2 )

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4.27) El tanque de combustible de su auto posee una capacidad de 5 x 10 4 cm

3. Sabiendo que 51,00 gr de nafta sin plomo ocupa un volumen de 75,00 cm

3,

determinar: a) la densidad de tal nafta. b) el peso específico de la misma. c) el peso del combustible que almacena como máximo el tanque de combustible.-

4.28) Un lingote de oro macizo de densidad igual a 1,93 x 10 4 kg / m3 posee una

masa de 1,93 mg. Para ser aplicado en una experiencia se lo lamina hasta

obtener una película transparente que cubre una superficie de 14,50 cm2.

Determinar: a) el volumen de esos 1,93 mg de oro. b) ¿qué espesor en Ángstrom (Å) tiene la referida película?. c) suponiendo que los átomos de oro

poseen un diámetro promedio de 5,00 Å ¿cuál será el número de capas

atómicas sobre la película mencionada? .- (1 Å = 10 – 8 cm )

4.29) En una empresa metalúrgica, a un empleado del depósito se le pide que

transporte al taller de herrería los siguientes materiales: una (1) varilla de hierro y tres (3) de aluminio, de largo cada una igual a 276,2 cm y el mismo diámetro de 2,54 cm, siendo todas las varillas de forma cilíndrica. Determinar: a) la masa de cada varilla. b) la masa total a transportar. c) en función del resultado de los apartados anteriores, para transportarlas ¿lo podrá hacer solo o requerirá de algún tipo de ayuda?. Justifique su respuesta.-

4.30) Tiene dos (2) esferas de diámetros iguales y de un valor de 0,80 cm. Una de

plomo de densidad igual a 1,13 x 10 4 kg / m

3 y otra de cuarzo de densidad

igual a 2,65 x 10 3 kg / m

3. Determinar: a) la masa de cada una de las esferas.

b) el peso de cada una de ellas.- 4.31) En una confitería se debe colocar mayonesa a doscientas (200) galletas de agua que miden cada una (0,48 cm x 5,00 cm x 7,00 cm). Sí la densidad

de la mayonesa es de 0,87 x 10 3 kg / m

3 y el espesor de la capa a colocar

es de 2,50 mm, calcular: a) la masa de mayonesa a colocar en cada galleta. b) la masa total a emplear de mayonesa para las 200 galletas. c) el volumen total de mayonesa utilizada. d) el peso total de la mayonesa empleada.- __________________________________________________________________

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UUNNIIDDAADD VV

EELLEECCTTRROOSSTTÁÁTTIICCAA

En ésta Unidad se verá primordialmente además de los conceptos básicos de Electrostática, la aplicación directa de lo planteado en las unidades precedentes.- Tanto por comentarios como por experiencia diaria, de una manera u otra hemos podido comprobar que por ejemplo al intentar peinar nuestro cabello con un peine de plástico en algunas ocasiones el mismo se eriza o levanta. También podemos haber comprobado que al frotar una regla plástica cuando la acercamos a trozos de papel pequeños, éstos resultan atraídos por la regla.- Estas particularidades que se manifiestan en distintos tipos de materiales tales como el cristal, ámbar, amatista, diamante, etc. se encuadran dentro del “fenómeno ámbar” palabra derivada del griego que significa “eléctrica”.- Esta nueva propiedad de los cuerpos de atraer a otros o ser atraídos por otros, se explica como que han resultados “cargados eléctricamente” y donde el rol protagónico lo tiene la magnitud física conocida como carga.- Vale mencionar que la carga no se crea a través de los procesos descriptos, sino que siempre está presente antes y después de haberlos frotado por ejemplo.- Además como por experiencias se ha verificado que algunos cuerpos atraen a algunos pero rechazan a otros, se puede concluir en que existen dos (2) clases de electricidad. Es decir que los cuerpos a través de procesos se pueden cargar positivamente o negativamente, y que tal fenómeno lo identifica la carga eléctrica designada con la letra q o Q.- Pero se puede concluir en varias situaciones particulares que constituyen la base de la electrostática (estudios de las cargas eléctricas en estado de reposo y sus interacciones), y que resultan ser las siguientes: Existen solo dos (2) tipos de cargas eléctricas, las positivas y las negativas.- El signo de la carga que adquiere un cuerpo resulta ser opuesto al que

adquiere el elemento con el cual se lo frotó.- Cargas del mismo signo se repelen entre sí.-

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Cargas de distinto signo se atraen entre sí.- En un sistema cerrado, la carga neta o total se conserva (ni se crea, ni se

destruye, solo se reagrupa).- En la naturaleza existen cuerpos que van a permitir que las cargas eléctricas se puedan desplazar y se los denomina conductores (metales y aleaciones). En cambio a los que ofrecen una gran dificultad al paso de las cargas eléctrica se los conoce como aisladores (porcelana, vidrio, madera seca, goma, plásticos, etc).- Lo antes indicado está fundamentado en la composición de la estructura de la materia, la cual se encuentra conformada por partículas subatómicas tales como los protones, los electrones y los neutrones, entre otros.-

Lo destacable es que los protones y los neutrones conforman el núcleo compacto, y que los electrones los rodean, de modo tal de lograr que el átomo llegue a tener un diámetro del orden de 10 – 10 m.-

Por supuesto los tres tipos de partículas poseen masa y además carga eléctrica. Para tener una idea de magnitud de las mismas, a continuación se muestran las relaciones de masa y carga eléctrica de cada una de ellas.-

Electrón Protón Neutrón

Masa

9,10x 10 – 31 kg

Masa 1,673x 10 –27

kg Masa 1,675x 10 – 27 kg

Carga eléctrica

1,602x 10–19 C

Carga eléctrica

1,602x 10–19 C

Carga eléctrica

No tiene carga

Comparando los valores anteriores se puede concluir en que prácticamente todo el volumen del átomo se encuentra constituido por electrones, pero su participación en la masa total es menor, o lo que es lo mismo manifestar que en un átomo su masa se aglomera en su núcleo.- Ahora bien cuando partículas cargadas interactúan entre sí, se manifiestan fuerzas que podrán ser tanto de atracción como de repulsión dependiendo del signo de las cargas en cuestión. Cuando estas acciones afectan a una tercera partícula también cargada eléctricamente, puede resultar que las cargas de ésta se neutralicen, lo que implica que el tercer cuerpo puntual se encuentra en estado neutro.-

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Por algún proceso físico se puede lograr añadir cargas a una partícula neutra. Sí las cargas agregadas son de signo negativo, tal partícula quedará cargada negativamente (ión negativo). En cambio sí las cargas agregadas son de signo positivo quedará cargado positivamente (ión positivo).- Justamente, aquellos cuerpos que posean cargas eléctricas con facilidad para moverse conforman los denominados conductores, a los cuales se les posibilita tal movimiento sin mucha dificultad mediante la aplicación de una fuente externa de energía.- En cambio a los que llamamos aislantes se caracterizan por que sus cargas se encuentran ligadas fuertemente, y aún cuando se apliquen fuentes externas de energía solo se alcanza un movimiento interno que no llega a manifestarse como una conducción de cargas hacia el exterior.- A modo de conocimiento puede indicarse que existe un tercer grupo de cuerpos que bajo ciertas circunstancias (importante incremento de la temperatura, por ejemplo), se puede lograr una conducción de cargas eléctricas hacia el exterior de la molécula. Tales materiales se los conoce como semiconductores, que significa que no son ni buenos conductores ni buenos aislantes.-

Interacciones entre cargas eléctricas – LEY DE COULOMB

El estudio de las interacciones entre cargas eléctricas fue iniciado por el físico Charles Coulomb a fines del año 1700, en primera instancia para medir el valor de la fuerza que aparecía entre cargas del mismo signo. El tiempo permitió extender los resultados experimentales al caso de cargas de distinto signo.- Básicamente lo que comprobó Coulomb mediante la aplicación de la denominada Balanza de Torsión y que se muestra esquemáticamente, se lograría colocando dos cargas eléctricas puntuales q1 y q2 en el vacío separados sus centros una distancia d.- Figura 1

Fe Fe

d

q1 q2

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Se logró comprobar que la fuerza de interacción que aparecía, resultaba ser directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia existente entre el centro de cada carga eléctrica.- Pero además la experiencia permitió comprobar que sí tales cargas se ubicaran del mismo modo en otro medio que no fuese el vacío por ejemplo en un medio aislante, la fuerza de interacción medida resultaba ser menor que la anterior.- Entonces la denominada Ley de Coulomb en modo matemático, tiene la siguiente expresión: q1 . q2 Fe = K . ---------------- (1)

d2

En la expresión (1) se observa la presencia de K que representa una constante de proporcionalidad, la cual tiene las siguientes particularidades:

Depende del medio ambiente en donde se coloquen las cargas eléctricas.-

Resulta dependiente del sistema de unidades que se emplee para las cargas, la distancia entre ellas y la fuerza eléctrica (conversor de unidades).-

Justamente y para evaluar la segunda dependencia enunciada, se recurre a lo visto en Sistema de Unidades específicamente en el c.g.s para dos cargas ubicadas en el vacío, considerando que bajo tales circunstancias la constante K valdrá:

K (c.g.s.) = 1 (sin unidad ≡ adimensional) q1 . q2

Con lo cual la ecuación (1) se transforma en: Fe = -------------

d2 En consecuencia y para el sistema c.g.s. se puede definir lo que se conoce como unidad de carga electrostática (uce), a partir de considerar que las dos cargas son iguales a 1, y que se las separa 1 cm, o sea: 1 . 1

Fe = ------------- = 1 (unidad de fuerza en el sistema c.g.s.) ≡ 1 dina

1

112 ingeddb

______

Por tanto resulta que: 1 uce = 1 dina . 1 cm

Sin embargo y por razones prácticas, la unidad de carga eléctrica en el Sistema SIMELA viene dada por el Coulomb que se la representa por la letra C.- Por tanto y volviendo a la ecuación (1), se puede manifestar que la constante K tendrá un valor que surge cuando se poseen dos cargas iguales de 1,00 C cada una, que se las separa 1,00 m y que la fuerza actuante entre ellas resulta ser igual a 9 x 10 9 N. Por tanto el valor de tal constante bajo las circunstancias explicitadas, resulta ser el siguiente:

Fe . d2 9 x 10 9 N . 1,00 m2 N . m2

K = ------------- = ------------------------------ = 9 x 10 9 ------------- (2) q2 1,00 C 2 C 2

No obstante debe señalarse que la unidad de carga natural es el electrón e, y cuya relación con el Coulomb C es la siguiente:

1 e = 1,602 x 10 – 19 C

Como la ecuación (1) representa una fuerza, resulta importante expresarla como un vector aplicando los conceptos vistos con anterioridad, resultando la siguiente expresión que permite establecer el sentido de la fuerza eléctrica independientemente del signo de las cargas: _ _ q1 . q2 _ _ r12 Fe = K ----------------- r (3) siendo: r = --------- Versor

d2 r12 _ De acuerdo a lo planteado vectorialmente, r12 representa al vector que nace en la carga q1 y finaliza en la q2 y r12 es el valor numérico o magnitud del vector r12.-

Como las fuerzas entre las cargas mencionadas resultan ser iguales en valor numérico y dirección pero de sentido contrario, la fuerza mostrada en la ecuación (3) sería la que la carga q1 ejerce sobre la q2. Y sí quisiéramos determinar la que la carga q2 hace sobre la q1 solo basta con cambiar el subíndice 1 por 2 y viceversa.- Para muchos casos prácticos se introduce el concepto de la denominada permitividad en el vacío que se la identifica con la letra épsilon

acompañada del subíndice cero ( ε0 ), la cual se vincula con la constante K de

acuerdo a la siguiente ecuación:

113 ingeddb

1

K = ------------ (4) resultando que: ε0 = 8,854 x 10 – 12

C2 / N m2

4 π ε0

Habida cuenta que la unidad Coulomb ( C ) resulta ser muy grande, en la práctica se suelen emplear otras más adecuadas como:

1 microcoulomb ( 1 μC ) = 10 – 6 C

1 nanocoulomb (nC) = 10 – 9

C

1 picocoulomb ( 1 pC ) = 10 –12

C

Finalmente y a modo de conclusiones se pueden mencionar las siguientes:

Para que se origine fuerza eléctrica Fe resulta necesario que existan más de

una (1) carga eléctrica q.- Cuando se opera con más de dos (2) cargas eléctricas, la fuerza eléctrica neta

o resultante producto de la interacciones se obtendrá efectuando la suma vectorial de la fuerza eléctricas (vectores) que resulten de las acciones mutuas determinadas con cada par de cargas.-

Ejemplo Aplicativo 1.5) En una experiencia de laboratorio se detecta que para dos cargas eléctricas ubicadas en el vacío cuando se las separa 13,00 cm la fuerza eléctrica medida es de 0,66 N ¿cuánto es el valor de cada carga?.-

Aplicando la ecuación (3) y utilizando solo valores modulares, resultará:

Fe . d2 0,66 N . (13,00 cm)2 10 – 4 m2

q2 = -------------- = ------------------------------- x --------------- = 12,4 x 10 – 13 C2

K 9 x 109 N m2 / C2 1 cm2

q = √ 12,4 x 10 – 13 C2 ≈ 1,11 x 10 – 6

C ≈ 1 x 10 – 6 C

114 ingeddb

Ejemplo Aplicativo 2.5) En la misma experiencia anterior necesita generar una fuerza eléctrica de valor igual a 0,33 N pero empleando cargas cuyos valores son de

q1 = 153,00 nC y q2 = - 86 nC. Determinar la distancia de separación que debe existir

entre ambas cargas eléctricas.-

De la misma ecuación (3): K . q1 . q2

9 x 10 9 N . m2 / C2 . (153 nC) (- 86 nC) (1 C)2

d2 = --------------------- = ----------------------------------------------------- x---------------- =

Fe 0,33 N (10 9 nC)2

d 2 = 3,59 x 10

– 4 m2 >>>>>> d = √ 3,59 x 10 – 4 m2 ≈ 0,019 m


Tres cargas eléctricas puntuales se encuentran ubicadas en el vacío en una misma dirección vertical, tal como se muestra. Sí los valores de

tales cargas son: q1 = 170,00 uce, q2 = - 280,00 uce y q3 = - 760,00 uce, determinar el

valor numérico, la dirección y el sentido de la fuerza neta actuante sobre la carga q2.- q1 q2 170,00 uce . (- 280,00 uce)

F12 = K ------------- = 1 . -----------------------------------------

q1 ---- d12 (10,00cm) 2

0,10 m

q2 ---- F12 = 476,00 dinas (fuerza vertical y hacia arriba)

0,40 m q3 . q2 (-760,00 uce) (-280,00 uce)

F32 = K ----------------- = 1 . --------------------------------------------

d23 2 (40,00 cm) 2

q3 ---- F32 = 133,00 dinas (fuerza vertical y hacia arriba)

Por lo tanto la fuerza neta que termina actuando sobre la carga q2 será:

FN2 = F12 + F32 = 609,00 dinas (fuerza vertical y hacia arriba)

115 ingeddb

CCaammppoo EEllééccttrriiccoo

Tal cual se ha definido un campo, éste resulta ser una región del espacio en donde ocurren fenómenos particulares, y sí de interacciones se trata las mismas resultan ser de “acción a distancia”.- Justamente el modelo que acaba de describirse y que se condensa en la Ley de Coulomb, posee las características particularizadas en el párrafo anterior. Es decir puestas en interacción por lo menos dos (2) cargas eléctricas, aparecerán fuerzas de acción a distancia de atracción o de repulsión de acuerdo al signo de las cargas en cuestión. Por lo tanto resulta necesaria la presencia de un campo, que por supuesto se denomina Campo Eléctrico.- En consecuencia toda carga eléctrica que se coloque en algún punto del espacio va a producir una modificación en su entorno, pasando a crear un campo eléctrico.- Por efecto de la Fuerza de Coulomb originada por una carga q1, cualquier otra carga q2 colocada en tal entorno se verá afectada por tal fuerza, que se la pasa a considerar como una Fuerza de Campo.- En los modelos para evaluar campos eléctricos, se suele emplear una carga casi siempre positiva de valor reducido y que se la denomina carga de prueba q0.-

Justamente tomando tal carga de prueba, puede cuantificarse el campo eléctrico existente en su alrededor mediante el empleo del designado como Vector Intensidad de Campo Eléctrico Ē, al cual se lo define como

el cociente entre la fuerza eléctrica Fe que se mide sobre la carga de prueba q0

dividida por tal carga.-

Fe

q0 (+) Figura 2 Ē

_

Fe

Ē = ---------- (5) Vector de la misma dirección que el vector

q0 Fuerza Eléctrica

116 ingeddb

Tal vector cuando el signo de la carga de prueba sea positivo tendrá la misma dirección y sentido que el de la fuerza eléctrica. En cambio cuando el signo de la carga de prueba sea negativo, tendrá la misma dirección pero su sentido será contrario al de la fuerza eléctrica.- Tomando en cuenta lo mostrado en la ecuación (3), resulta la forma vectorial de representar a la intensidad de campo eléctrico Ē: _ q _ _ r12 Ē = K ---------- . r (6) siendo: r = -------- d2 r12 [1 N] La unidad correspondiente en el sistema SIMELA será: ---------- [1 C] A continuación se pasará a mostrar un diagrama vectorial

que involucra a la fuerza eléctrica Fe, a la intensidad del campo eléctrico Ē y a la

distancia d, tanto para carga positiva como para carga negativa generadora del campo.- Como característica se q q0 menciona que para cargas q + el vector Ē siempre será radial _ y siempre se aleja de

d Ē Fe la carga q +.-

Figura 3

q _ q0 En éste caso de carga

Fe Ē q - , el vector Ē seguirá

siendo radial pero orientado hacia tal

carga q - .- d Figura 4

+ +

- +

117 ingeddb

Para el caso de tener más de una carga q puntual, la

intensidad de campo eléctrico neto o total se determina mediante la suma vectorial de cada uno de los vectores intensidad de campo eléctrico E individuales ocasionados

por cada una de las cargas eléctricas participantes. Pero además se verifica que el campo eléctrico que produce cada carga en cualquier punto del campo, no se ve influenciado por la existencia de las otras cargas eléctricas.- Como conclusión entonces cabe mencionar que para crear un Campo Eléctrico solo basta la presencia de una carga eléctrica, tal cual se muestra en la ecuación (6).- Ejemplo Aplicativo 4.5)

En un sistema de referencia en dos direcciones x e y, se

han ubicado dos cargas eléctricas que valen q1 = + 7,50 pC y q2 = - 15,00 pC, que se

encuentran posicionadas en (5,00 cm ; 0 cm) y (0 cm ; 4,00 cm) respectivamente. Determinar: a) la fuerza neta actuante sobre una tercera carga q3 = + 12,00 pC que se

encuentra en el origen de coordenadas. b) la intensidad del campo eléctrico que las tres cargas generan en un punto que tiene como coordenadas (5,00 cm ; 4,00 cm).- Para encarar la solución sobre lo solicitado, resulta recomendable realizar el esquema representativo de los datos consignados: y (+) q2 (-) Figura 5

F23

q3 (+) q1 (+)

F13

x (+)

118 ingeddb

A continuación procederemos a la aplicación de la ecuación (3) en forma sucesiva: q1 . q3 9 x 10 9 . 7,50 x 10 - 12 . 12,00 x 10 - 12

F13 = K ------------- = -------------------------------------------------- [N . m2 . C . C / C2 .m2 ]

d13 2 (0,05 )2

F13 = 3,24 x 10 – 10 N (fuerza orientada según el eje x negativo)

Igualmente será: q2 . q3 9 x 10 9 . 15,00 x 10 – 12 . 12,00 x 10 - 12

F23 = K . ------------ = ----------------------------------------------------[N . m2 . C . C / C2 .m2]

d23 (0,04)2 F23 = 1 x 10 – 9 N = 10 x 10 – 10 N (fuerza orientada según el eje y positivo)

Por tanto la fuerza neta o resultante valdrá: ___________ ______________________________

Fn = √ F13 2

+ F23 2 = √ (3,24 x 10 – 10 N)2 + (10 x 10 – 10 N)2 = 10,5 x 10 –10 N

Para establecer su dirección, se debe determinar la tangente que conforma ésta fuerza neta con el eje x:

F n y 10 x 10 – 10 N

tg α = ------- = ------------------------------ = - 3,086

F n x - 3,24 x 10 – 10 N

Determinando entonces que: α = arc tg - 3,086 = 72° (con el eje x -), o también se

puede expresar como: α = (180° - 72°) = 108 ° (con eje x +).- De acuerdo a lo visto, para determinar la intensidad del campo eléctrico emplearemos la fórmula (6) tantas veces como cargas eléctricas participan en el ejemplo. Es decir:

119 ingeddb

7,50 x 10 - 12

E1 = 9 x 10 9 --------------------------- [ N m 2 C2 / m2 C] = 42 x 10 – 3

N / C (según el (0,04)2 eje y + ) 15,00 x 10 - 12

E2 = 9 x 10 9 --------------------- [ N m 2 C2 / m2 C] = 54 x 10 – 3 N / C ( según el eje

(0,05)2 x - ) 12,00 x 10 - 12

E3 = 9 x 10 9 ----------------------- [ N m 2 C2 / m2 C] = 26 x 10 – 3 N / C

(0,064) 2 Este último vector intensidad de campo eléctrico conforma un ángulo con el eje x +, que se determina como: 4 tg β = ------ = 0,8 por lo tanto: β = 38,66° 5 Resultando en consecuencia el siguiente diagrama vectorial: Y + E1

E2 E3

Figura 6 q 2

β q 3 x + q 1

120 ingeddb

Consecuentemente y en función del proceso para descomponer vectores según las direcciones establecidas, resulta:

En x = - E2 + E3 cos β = - 54 x 10 – 3 + 26 x 10 – 3 . 0,781[N / C] = - 33,7 x 10 – 3 N / C

En y = E1 + E3 sen β = 42 x 10 – 3 + 26 x 10 – 3 . 0,625 = 58,25 x 10 – 3 N / C

Por lo tanto, resultará una intensidad de campo eléctrico neta como: ___________

En = √ En x2 + En y

2 = 33,7 x 10 – 3 N / C (Valor numérico)

Además conformará una dirección con el eje x + determinada como:

E n y

tg θ = ------------ = - 1,73 o sea que: θ = 60° (con el eje x -)

E n x

O también expresado como un ángulo de: (180° - 60°) = 120° con respecto al eje

x +.-

Corresponde para completar la información expresar a la intensidad de campo eléctrico neta, en modo vectorial de la siguiente forma: _ _ _

En = ( - 33,7 x 10 – 3 .i + 58,25 x 10 – 3 . j ) ( N / C )

Representación del Campo Eléctrico

La representación de la Intensidad de un campo eléctrico, se puede visualizar a través de la denominadas Líneas de Campo Eléctrico.- Se adopta como convención que tales líneas salen desde las cargas positivas y llegan a las cargas negativas, y que además su concentración

o densidad nos permite medir el valor de tal campo eléctrico.-

121 ingeddb

Menor Menor densidad densidad Mayor densidad

Figura 7

Las líneas de campo eléctrico nos dan la representación gráfica de tales campos eléctricos. En cualquier punto sobre una línea de campo la tangente (pendiente) a la línea tiene la dirección del campo eléctrico Ē en tal punto. Donde las líneas de campo eléctrico están muy cercanas una con otras el Ē resulta importante o intenso, en cambio en donde las líneas de campo eléctrico se encuentran separadas el Ē será más pequeño comparativamente.- Ē B

Ē A Campo Eléctrico

B Uniforme de Alta Densidad

A

Campo Eléctrico Uniforme de Baja Densidad

Figura 8 Además y tal cual se ha mostrado como la línea de campo eléctrico coincide con la dirección del vector intensidad de campo eléctrico, se puede inferir que las líneas de campo eléctrico son abiertas por cuanto nacen en una carga

positiva y arriban a una carga negativa.-

+ -

122 ingeddb

Otra de las propiedades de tales líneas es que no pueden cruzarse, por cuanto sí lo hicieran significaría que en un mismo punto existirían infinitos Ē (situación de incertidumbre).-

Dipolo Eléctrico

Se denomina de éste modo a todo par de cargas eléctrica iguales pero de signo contrario, separadas una distancia d y puestas dentro de un campo eléctrico Ē.- Para una mayor sencillez se estudiará el fenómeno para el caso de un campo eléctrico uniforme, tal como se muestra en el siguiente esquema: Ē _ Fe = q . Ē d _ p Figura 9 Ē d . sen φ φ

_ ⊗ >>>>> (Sentido del Par Torsor)

- Fe = q . Ē (Entrante al plano del esquema)

Ē

En tal modelo, analizadas las fuerzas actuantes se concluye que la fuerza eléctrica neta o resultante FEN resulta ser igual a cero.-

+

-

123 ingeddb

Se define como Momento Dipolar Eléctrico p, al vector que siempre se orienta desde la carga negativa hacia la positiva, y que se representa como: p = q . d (7)

Por tanto por efecto de las fuerzas eléctricas, se origina

un Par Torsor ح cuyo efecto es el de poner al dipolo en forma paralela al campo

eléctrico Ē.-

Tal Par Torsor resulta ser un vector definido como: _ _ _

d x FE (8) = ح

Que posee un valor numérico o magnitud o módulo expresado como:

d . FE . sen φ = d . Ē . q . sen φ (9) = ح

Su dirección resultará perpendicular al plano que forman d y FE (propiedad del producto vectorial de dos vectores), y su sentido resultará de aplicar la regla de la mano derecha, del tirabuzón o del batimiento (para el caso del modelo planteado, resulta ser entrante al plano de la hoja).- Por tanto de la ecuaciones (7) y (8), resulta: _ _

p x Ē (10) = ح

Ejemplo Aplicativo 5.5) Una carga positiva de 2 μ C se suelta sin velocidad inicial en un campo eléctrico uniforme vertical y hacia abajo de valor igual a 8.000,00 N / C. Determinar el tiempo que va a demorar tal carga en recorrer los primeros 4,00 cm, sí su masa vale 4 x 10 – 2 kg.-

124 ingeddb

FN = FE + peso = q . E + m . g = 2 μ C . 10 – 6 C / 1 μ C . 8.000,00 N / C +

+ 4 x 10 – 2 kg . 9,80 m / s2 =

q + = 16.000,00 x 10 – 6 N + 39,2 x 10 – 2 N =

m FE

FN = 0,408 N m . g

Pero por la Segunda Ley de Newton: FN = m . a >>>>> a = 0,408 N / 4 x 10 – 2 kg a = 10,2 m / s2 Y sabemos de Cinemática que para éste caso se puede aplicar: _________________ x = 1 / 2 . a . t 2 >>>>>>>>> t = √ 0,08 m / 10,2 m / s2 = t ≈ 0,09 s ______________________________________________________________

125 ingeddb



UNIDAD 5 : ELECTROSTÁTICA

5.1) En un átomo de hidrógeno, suponiendo que el electrón describa una órbita

circular de radio igual a 0,53 x 10 – 10 m. alrededor del protón, calcular:

a) la fuerza de atracción eléctrica entre ellos. b) compararla a la fuerza calculada precedentemente con la fuerza de atracción gravitatoria FG que se define como: FG = G. m1 . m2 / r

2 ( G = cte. de gravitación universal = 6,67 x 10 – 11 N.m2 / kg2 ).-

5.2) Dos cargas eléctricas puntuales q1 = 30,00 μC y q2 = - 80,00 μC se encuentra

separadas por una distancia de 15,00 mm. Hallar. a) la fuerza eléctrica que

q1 ejerce sobre q2. b) la fuerza eléctrica que q2 ejerce sobre q1.-

5.3) Una carga eléctrica q1 = 2,89 C se ve sometida a una fuerza de repulsión igual

a 210,00 N cuando se encuentra interactuando con otra carga eléctrica q2 que

se ubica a 6,20 m de la q1. Determinar el valor de la carga q2 e indicar su

signo.- 5.4) Se ha logrado ubicar a tres (3) cargas eléctrica puntuales sobre una dirección

horizontal x (+), de valores q1 = 2,00 x 10 – 8 C; q2 = 200,00 nC y

q3 = - 1.600,00 μC. Se mide que la separación correlativa respectiva entre ellas

es de: 5,00 cm y 9,00 cm. Determinar: a) la fuerza neta actuante sobre la carga

q2. b) la fuerza neta que actúa sobre la carga q 3 .-

5.5) Cuenta con dos (2) cargas eléctricas puntuales de valores q1 = 76,80 nC y

q2 = - 0,620 C en el vacío. Se mide que la fuerza de interacción entre ellas vale

1,92 x 10 – 2 N. Determinar: a) la distancia que las separa. b) tal fuerza de

interacción resulta ser ¿atractiva? o repulsiva?.-

126 ingeddb

5.6) Una carga puntual de – 8 nC está ejerciendo una fuerza de tipo atractiva de

valor numérico igual a 1,7 x 10 3 N sobre otra carga que se encuentra a

41,00 cm de la primera. Hallar el valor numérico y el signo de la segunda carga.-

5.7) En un modelo de Laboratorio se han logrado ubicar a dos (2) cargas eléctricas

puntuales sobre una circunferencia de radio igual a 0,20 m, conformando la distribución que se muestra. Determinar la fuerza eléctrica en valor numérico,

dirección y sentido que la carga q2 = - 21,00 μ C ejerce sobre la

q1 = 10,00 μ C.-

q1 q2

q2

5.8) En un proceso de evaluación de acciones electrostáticas ha logrado ubicar tres

(3) cargas eléctricas en los vértices de un triángulo equilátero de 10,00 cm de

lado, tal como se muestra. Sí los valores de tales cargas son: q1 = 2,00 μC,

q2 = 3,00 μC y q3 = 4,00 μC, determinar el valor numérico, dirección y sentido

de la fuerza neta que termina actuando sobre la carga q3 .-

q3

q1 q2

5.9) En una distribución de cargas eléctrica puntuales sobre la dirección x (+), se

encuentra la siguiente disposición: en x1 = 3,00 m una carga de 2,00 mC, y en

x2 = 4,00 m otra carga de 500,00 μC. Determinar a que distancia entre ambas

se debe colocar otra carga de 3,00 mC de modo tal que la fuerza neta sobre ésta sea nula.-

0 0,20 m

o

127 ingeddb

5.10) En una zona del espacio se ubica una carga eléctrica puntual de valor igual a 6,00 μC. Calcular el valor numérico del campo eléctrico en un punto ubicado a una distancia de 200,00 mm de tal carga.-

5.11) En una experiencia de laboratorio se detecta que para que una partícula de

2,00 g de masa permanezca en reposo, se la debe colocar bajo la acción de un campo eléctrico de valor igual a 500,00 N / C y vertical y hacia abajo. Hallar el valor y signo que debe poseer la carga eléctrica de tal partícula.-

5.12) Para el modelo del ejercicio 5.7) determinar el valor numérico, dirección y

sentido del campo eléctrico neto actuante sobre un punto ubicado

diametralmente opuesto a la carga q 2.-

5.13) Para un átomo de helio cuya carga vale q = + 2.e, determinar la intensidad del

campo eléctrico para un punto ubicado en el aire y a una distancia de 1,00 mμ

de su núcleo ( 1,00 mμ = 10 – 9 m ).-

5.14) Un protón del átomo citado en el problema anterior, se ve sometido a un campo

eléctrico de intensidad igual a 500,00 N / C. Determinar: a) la aceleración que adquiere tal protón. b) ¿cuántas veces tal aceleración es mayor que la provocada por la aceleración de la gravedad ?.

( m protón = 1,67 x 10 - 27

kg ; e = 1,602 x 10 - 19

C).-

5.15) En un acelerador de partículas atómicas libre de gravedad, un electrón se

suelta con velocidad inicial igual a cero dentro de una zona donde actúa un

campo eléctrico uniforme de intensidad igual a 2,00 x 10 4 N / C. Calcular:

a) la aceleración que adquiere tal electrón. b) la velocidad que posee después de haber viajado 4,00 cm en dirección horizontal. c) el tiempo que le demanda para recorrer esos 4,00cm.-

5.16) En un proceso de Laboratorio se cuenta con cargas eléctricas que se

encuentran separadas 30,00 cm. en el vacío. Determinar entonces el campo eléctrico en valor numérico y sentido que existiría entre ellas y en el punto

medio, cuando las cargas valen: a) q1 = 30,00 x 10 - 9

C y

q2 = 60,00 x 10 - 9

C. b) q1 = 30,00 x 10 - 9

C y q2 = - 60,00 x 10 - 9

C.-

128 ingeddb

5.17) Debe ubicar a cuatro (4) cargas eléctricas puntuales en el aire de valor igual a 10,00 μ C cada una [dos (2) de ellas son positivas y las otras dos (2) negativas], en las esquinas de un cuadrado de 30,00 cm de lado. Determinar: a) ¿ Cómo debe ubicar a las cuatro (4) cargas eléctricas para que el campo eléctrico en el centro de tal cuadrado valga cero, sí la carga colocada en la esquina 1 es (+) ?. b) la fuerza neta actuante sobre la carga positiva que se encuentra en la esquina 1.-

1 2 4 3 __________________________________________________________________

129 ingeddb



SOLUCIONES

UUNNIIDDAADD 11:: UUNNIIDDAADDEESS,, MMEEDDIICCIIOONNEESS YY OOPPEERRAACCIIOONNEESS

1.1) a) ≈ 5 x 10 – 4

millas náuticas b) 55,56 km / h

1.2) Perímetro = 2.020,506 m = 2.021,00 m ≈ 2 x 103 m

1.3) VT = 1,53 m3

1.4) a) 4 b) 4 c) 2 d) 3 o 4

1.5) a) 5,4 . 10 – 3 b) 2,3 . 10

- 1 ≈ 2 . 10

-1 c) 2,26 ≈ 2. 10

0

1.6) V = 2,41 . 10 – 7

m 3

= 241 . 10 – 9

m 3

1.7) 5 x 10 - 3

mm 2 = 50 x 10

- 4 mm

2 = 16 x 10

– 4 . π mm 2

1.8) 800 . 10 3 botellas = 80 . 10

4 botellas = 8 . 10 5 botellas

1.9) L T = 348 m = 13.701 pulgadas = 137 . 10 2 pulgadas = 1,4 . 10

4 pulgadas

1.10) Cantidad de latas = 4

1.11) Cantidad de cubos = 17.010

130 ingeddb

UUNNIIDDAADD 22:: VVEECCTTOORREESS

2.1) V X = - 3,76 m / s V Y = 10,3 m / s

2.2) d) ninguna de las anteriores

2.3) V X ≈ 60 unidades φ = - 69,4 °

2.4) Los vectores Ᾱ y Ū son perpendiculares entre sí ( Ᾱ ┴ Ū )

2.5) a) ( 2 i + 5 j – 3 k ) b) 6,16 c) ( 4 i + 3 j – 7 k ) d) φ ≈ 121 °

2.6) a) (Ᾱ + ῡ) = 2 i – 6 j b) (Ᾱ - ῡ) = 4 i + 2 j c) │ Ᾱ + ῡ │= 6,32

d) │ Ᾱ - ῡ │= 4,47 e) β ≈ - 71,6 ° (288°) e) ϴ ≈ 26,6 °

2.7) a = 5 b = 7

2.8) c) r1 + r2 = ( 5 i - 2 j - 13 k)

2.9) ≈ 660,80 m >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> β ≈ 56,6° al Sur del Oeste

2.10) a) Ᾱ = ( - 3 i + 2 j ) b) A = 3,61 cm ; φ ≈ - 33,7 ° ≈ 146,3 ° c) Ū = 3.i – 6.j

131 ingeddb

2.11) r12 = - 7 i + j + 19 k r12 ≈ 20,3 unidades

2.12) a) C ≈ 5,92 ; D ≈ 19

b) C = 5 i – j – 3 k ; D = 4 i – 11 j + 15 k

2.13) a) Ō = (Ᾱ + Ū + Ī ) = 2 i + 4 j ; │ Ō │= 4,47 ; φ ≈ 63,4 °

b) V = ( - Ᾱ - Ū + Ī ) = - 6 i + 6 j ; │ V │ ≈ 8,48 ; β ≈ + 135 ° = - 45 °

2.14) a) θ = 140,2 °

2.15) MO = Ᾱ + B ; NO = B ; OP = - Ᾱ ; PN = - B + Ᾱ

2.16) a) B = 0 b) α = 0 ° (igual dirección e igual sentido)

c) α = π / 2 (Ᾱ perpendicular a B) d) α = π / 2 (Ᾱ perpendicular a B)

2.17) A = b . h / 2 = b . a . sen α / 2 donde: b . a . sen α = a x b

Ᾱ = 1 / 2 │ a x b │

2.18) b) r1 . r2 = (4 – 24 + 40) = + 20

2.19) a) r 1 = 7,07 ; r 2 = 6,40 ; b) a . b = - 25

c) r1 + r2 = 2 i + 6 j + k ; d) r1 x r 2 = 34 i – 13 j +10 k

132 ingeddb

2.20) a ) a = 3 i + 5 j + 7 k ; b = 8 i – 6 j – 2 k ; b) θ ≈ 55,2 °

2.21) El vector ( Ē x Ō ) resulta ser perpendicular tanto al vector Ē como al Ō.

El vector ( Ē x Ō ) x Ē, es normal tanto al vector ( Ē x Ō ) como al Ē.

2.22) a) 133,2 ° b) 90 ° c) 143 °

2.23) v 2 = 20,00 m / s

2.24) a ) α ≈ 1,43 ° b) d = 4,50 m

2.25) a) F ≈ 2,98 x 10 6 N b) F´ ≈ 0,38 x 10

6 N

2.26) a) v 1 + v 2 = (4,57 i + 8,48 j) >>>>>>>>>>> α ≈ + 61,7°(del eje X +)

b) v 1 - v 2 = (22,57 i + 8,48 j) >>>>>>>>>> β ≈ + 20,6°(del eje X+)

c) v 2 - v 1 = (- 22,57 i – 8,48 j) >>>>>>>>>> φ ≈ + 20,6°(del eje X -)

o - 159,4° (del eje X +)

2.27) a) F = 11 i – 7 j b) F ≈ 13 N ; φ ≈ - 32,5 °

2.28) a ) θ ≈ 95,2 ° b) θ ≈ 95,2 °

2.29) a) FN ≈ 85,08 N b) φ ≈ 75,8 °

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

133 ingeddb

UUNNIIDDAADD 33:: CCIINNEEMMÁÁTTIICCAA

3.1) ≈ 154,5 km / h ≈ 42,91 m / s

3.2) 44,44 m / s ; ≈ 99,44 milla / h

3.3) 2,56 x 10 3 mm / s 2 33.178 km / h 2

3.4) a) 25 m / s ; 20,5 m / s ; 20 m / s ; 20 m / s

b) 20 m / s

3.5) ≈ 0,12 h ; ≈ 417 s

3.6) a) ≈ 13.483 m b) ≈ 18,73 m / s

3.7) a) ≈ 4,71 m / s b) = 0,6 m / s

3.8) a) t ≈ 1,38 h b) x ≈ 89,4 km

3.9) a) ≈ 2,22 m / s2 b) ≈ 249,75 m c) ≈ 26,3 s

3.10) a) Sí se produce el choque por cuanto t E = 12,50 s > 4,4 s b) x ≈ 45,32 m

3.11) a) 30,00 m b) 11,00 m / s c) 2,00 m / s2

3.12) C ; B ; C ; A

134 ingeddb

3.13) a) MRU b) MCU c) MRUV d) MCUV e) MCUV

3.14) c) - 4,00 m / s 2 d) x6 = 34,00 m ; x9 = 44,00 m

3.15) a) ≈ 6,46 s b) ≈ 73 m

c) v Corsa ≈ 22,61 m / s y v Fiat ≈ 26,75 m / s

3.16) a) ≈ - 7,175 m / s 2 b) ≈ 229 m

3.17) a) ≈ - 0,38 m / s2 b) ≈ 366,7 m

3.18) a) 10 m / s b) 25 m / s c) 150 m

3.19) a) ≈ 9,83 m / s b) ≈ 48,32 m

3.20) a) ≈ 3,67 m / s2 b) ≈ 3,3 s

3.21) a) ≈ 5,76 m / s2

b) ≈ 11,52 m

3.22) a) ≈ 14 m / s b) ≈ 14 m / s

3.23) a) 10 m / s b) 25 m c) 5 m / s d) 400 m

3.24) b) v = 30,00 km / h ( para t = 0,10 h y para t = 0,30 h )

v = 60,00 km / h ( para t = 0,80 h y para t = 1,00 h)

3.25) a) φ ≈ 10,14 ° b) ≈ 4,50 s

135 ingeddb

3.26) 1) a = cte = 0 (reposo) 2) a = cte = 0 (MRU) 3) a = cte < 0 (MRUV)

4) a = cte > 0 (MRUV) 5) a = cte = 0 (reposo)

3.27) a) ≈ 4,50 m / s b) ≈ 1,27 s

3.28) a) ≈ 24,90 m b) 1,00 s c) ≈ 22,1 m / s d) ≈ 3,26 s

3.29) a) t 1 = 2,30 s y t 2 = 2,00 s b) v0 ≈ 3,20 m / s

3.30) a) – 9,80 m / s2

b) ≈ – 44,10 m c) ≈ – 44,3 m / s

d) ≈ 2,55 s e) ≈ - 44,10 m

3.31) a) ≈ – 19,6 m / s b) ≈ - 22,72 m

3.32) a) 4.020 m b) 26,24 s c) ≈ 167,4 m / s ; α ≈ - 23,7 °

≈ 3.125 m ; ϴ ≈ 11,3 °

3.33) a) v 0 ≈ 204,00 m / s b) t v ≈ 23,90 s c) v x = v 0x ≈ 167,00 m / s

3.34) a) ≈ 3,89 s b) ≈ 1.116 m

3.35) a) ( 3 m / s . i – 5,8 m / s . j) >>>>> ϴ ≈ - 62,7° b) 0,82 m

c) ≈ 0,833 s d) ≈ 2,45 m

3.36) a) ≈ 24,5 m / s b) ≈ 12,14 m c) ≈ 1,57 s

d) SI, pues para un tiempo de 1,57 s resulta que: h ˂ y máxima

Siendo h la altura de los postes en forma de H, medida desde el suelo

136 ingeddb

3.37) a) T ≈ 2,86 s b) f ≈ 0,35 Hertz c) t1 ≈ 6,19 s d) t2 ≈ 34,3 s

3.38) a c ≈ 33,33 x 10 10

m / s2 ≈ 3 x 10 11 m / s

2

3.39) a) ω 0 = 2,00 rad / s b) ω 4 = 26,00 rad / s ; α = 6,00 rad / s2

c) θ = 320,00 rad ≈ 18.334,6 °

3.40) a) α = 2,00 rad / s b) θ = 125 rad ≈ 7.162°

3.41) a) θ = 800,00 rad b) ω = 800,00 rad / s c) a t = 1.120,00 m / s2

d) a c = 1.792.000,00 m / s2

137 ingeddb

UUNNIIDDAADD 44:: FFUUEERRZZAA

4.1) m1 . g = 80,00 kgf ≈ 784 N ; m2 . g = 112,24 kgf ≈ 1.100 N ( el Segundo )

4.2) a) ≈ 48,3 N b) ≈ 35,36 N c) ≈ 8,68 N

4.3) ≈ 1.651,9 N

4.4) ≈ - 15,29 N ≈ - 1,53 x 10 6 dinas

4.5) ≈ - 8.708,00 N

4.6) ≈ 99 kg

4.7) ≈ 154,7 N

4.8) a) ≈ - 5 x 10 – 4

N b) 0,09 m

4.9) a) ≈ 50,2 N b) ≈ 450 N

4.10) a) ≈ 3,18 m / s 2 b) ≈ 1.968 N

4.11) a) 0 m / s 2 ; b) – 5,88 m / s

2 (hacia abajo) ; c) 8,82 m / s

2 (hacia arriba)

4.12) a) 163,8 N b) 36,22 N

4.13) ≈ - 1,81 m / s 2

138 ingeddb

4.14) a) ≈ 2,18 m / s 2 b) ≈ 838,6 N

4.15) 76,8 m / s ≈ 276,48 km / h

4.16) ≈ 7.654,8 N ≈ 781 kgf

4.17) a) ≈ - 8,69 m / s2 b) ≈ - 69,6 m / s

4.18) 51,5 m

4.19) a) 1,44 N . i ; + 1,44 N ; φ = 0°

(1,032 N . i + 0,432 N . j) ; ≈ + 1,12 N ; β ≈ 22,7°

b) 2, 40 m / s ; ≈ 1,86 m / s

4.20) a) φ ≈ 15,1 ° b) ≈ 1,92 m / s2 c) V = 14,82 m / s . i + 4 m / s . j

4.21) a) ( 2.872 . i – 1.268 . j ) b) ( 2.872 . i – 1.252 . j )

4.22) ≈ 0,11 g

4.23) a) 0,11 m 3 b) 0,664 g / cm

3

4.24) 151,2 kg

4.25) a) 198.000 b) 89.100 kg c) ≈ 703 kg / m 3

139 ingeddb

4.26) a) ≈ 446,4 N b) ≈ 104,1 N c) ≈ 129 cm

4.27) a) 0,68 g / cm 3 b) 664,4 g / cm

2 . s

2 c) ≈ 333,2 N

4.28) a) 10 – 4

cm 3 b) 690 Å c) 138

4.29) a) m Hierro ≈ 11 kg ; m Aluminio ≈ 11 kg ; b) m Total ≈ 22 kg

c) No por cuanto el peso de lo que debe transportar, asciende a la cantidad de

aproximadamente 215,60 N ≈ 22,00 kgf

4.30) a) m Plomo ≈ 3 x 10 – 3

kg y m Cuarzo ≈ 7 x 10 – 4

kg

b) peso Plomo ≈ 3 x 10 - 2

N y peso Cuarzo ≈ 7 x 10 - 3

N

4.31) a) ≈ 7,6 x 10 – 3

kg = 7,6 g b) ≈ 1,52 kg

c) ≈ 1,75 x 10 - 3 m

3 d) ≈ 1,52 kgf ≈ 14,9 N

__________________________________________________________________

140 ingeddb

UUNNIIDDAADD 55:: EELLEECCTTRROOSSTTÁÁTTIICCAA

5.1) a) Fe ≈ 82 x 10 – 9

N b) Fg ≈ 36,1 x 10 – 48 N

Fe ≈ 0,23 x 10 40

. Fg ≈ 2 x 10 39

. Fg

5.2) a) F1-2 = 96.000,00 N = 96 x 10 3 N (fuerza que q 1 ejerce sobre q 2 )

b) F2-1 = 96.000,00 N = 96 x 10 3 N (fuerza que q 2 ejerce sobre q 1 )

5.3) q 2 = 310 x 10 – 9

C ≈ 3 x 10 – 7 C >>>>>>>>>>>>>>> Positiva

5.4) a) ≈ 356 N (dirección x (+) y hacia la derecha)

b) ≈ 370,7 N (dirección x (-) y hacia la izquierda)

5.5) a) ≈ 149 m b) Atractiva

5.6) ≈ 4 C >>>>>>>> Positiva

5.7) ≈ 23,6 N φ = - 45 ° ( + 135° )

5.8) F N = ( - 1,8 N . i + 15,6 N . j ) ; │FN│ ≈ 15,7 N ;

φ ≈ - 83,4 ° respecto del eje horizontal dirección x ( - ), o + 96,6 ° respecto del

eje horizontal dirección x ( + )

5.9) a ( + 0,67 m ) de x1, o a ( - 0,33 m ) de x2

5.10) 1.350 x 10 3 N / C ≈ 1,4 x 10

6 N /

141 ingeddb

5.11) ≈ 3,92 x 10 – 5

C >>>>>>>>>>>>> Negativa

5.12) ≈ 884 x 10 3

N / C ; φ = - 64 ° [ respecto del eje x (+) ]

5.13) ≈ 28,84 x 10 8 N / C ≈ 3 x 10

9 N / C

5.14) a) ≈ 479,6 x 10 8 m / s

2 ≈ 5 x 10 10

m / s2 b) ≈ 5 x 10

9 veces

5.15) a) ≈ 0,35 x 10 16

m / s 2 b) ≈ 0,17 x 10 8 m / s c) ≈ 0,5 x 10

– 8 s

5.16) a) 1,20 x 10 4 N / C (en sentido hacia la carga de 30,00 x 10

– 9 C)

b) 3,60 x 10 4 N / C (en sentido hacia la carga de – 60,00 x 10

– 9 C)

5.17) + - a)

- +

b) ( + 6,46 N. i - 6,46 N. j) ; ≈ 9 N ; - 45° respecto del eje x (+) o

225 ° respecto del eje x (-).

142 ingeddb


MMEENNDDOOZZAA


CÁTEDRA DE FÍSICA

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS DE FÍSICA PARA PRACTICAR DURANTE EL DESARROLLO DEL SEMINARIO

Unidad 1

1) Una empacadora de manzanas debe construir un galpón que de frente tenga

una longitud de 23,730 m, de fondo una de 10 2 m y una altura de 9,00 m.

Determinar el volumen de dicho galpón en: a) m3. b) km3.-

2) En una construcción de una casa, se han conformado pilas de cerámica para

pisos de los siguientes volúmenes: una de 21,3 m3, otra de 8,888 cm3 y la

última de 0,733 dm3. Calcular el volumen total de cerámicas en m3, empleando

los conceptos de cifras significativas.-

3) Proceda a resolver las operaciones matemáticas que se indican a continuación,

expresando los resultados aplicando los conceptos de cifras significativas y de

notación científica.-

2,6 x 10 4

------------------------ + 4 x (6,31 – 2,87) - 25 x 102

11 x 10 5

4) Para un triángulo rectángulo cuyos dos lados valen: altura h = 30,00 cm y base

b = 0,10 m, hallar su área y expresarla en m2.-

5) Dadas las siguientes cantidades, proceder a: a) expresarlas en notación

científica. b) efectuar las operaciones indicadas en cada caso, aplicando los

conceptos de cifras significativas.-

143 ingeddb

5.1) 32.600 x 0,000706

5.2) 0,03 x √ 640.000

( 3 x 102 ) 3 x (2 x 10 - 5) 2 5.3) ---------------------------------------

3,6 x 10 - 8

6) Determinar cuántas baldosas de medidas: ancho = 0,22 m; largo = 0,22 m y

espesor = 0,04 m, se pueden apilar acostadas en una habitación que posee las

siguientes medidas: alto = 2,50 m; ancho = 3,50 m y largo = 3,00 m.-

7) Armando protecciones contra avalanchas de nieve, ha debido emplear

seiscientos diez (610) cubos de hormigón armado pesando cada uno de ellos

3.360,00 N. Calcular el peso total de los cubos empleados aplicando los

conceptos de las cifras significativas y de la notación científica, y además

expresando los resultados en: a) kgf. b) libras (lb). c) toneladas (T).-

(1 T = 10 3 kgf) (1 lb = 0,456 kgf)

__________________________________________________________________

Unidad 2

1) Dados tres (3) vectores a, b y c orientados como se muestra, determinar

gráficamente las siguientes operaciones entre vectores: 1.1) a + b.

1.2) a + b + c. 1.3) a - b. 1.4) a + b - c.-

a c

b

144 ingeddb

2) Sí se sabe que el vector suma de otros dos (2) vectores fuerza que forman un

ángulo recto vale 10 N y que uno de ellos mide 6 N, calcular: a) el valor del otro vector. b) el vector suma sí el ángulo entre los vectores originales fuese de 120°.-

3) Dado el siguiente triángulo rectángulo en donde el cateto opuesto o vale

2,00 m / s, el adyacente a 5,00 m / s, calcular: a) el valor de la hipotenusa h.

b) el valor del ángulo ϕ.-

o h

a

4) Dado un vector velocidad de 26 m / s que forma un ángulo de 53° con la

dirección x (+), hallar sus componentes vertical y horizontal.- 5) Un vector fuerza F posee componentes Fx = + 12,00 unidades y Fy = - 92,00 unidades. La dirección de tal vector, resulta ser entonces:

(demostrar y luego marcar cual de las siguientes respuestas es la correcta)

a) – 82,6 ° b) + 82,6 ° c) – 7,43 ° d) ninguna de las anteriores

6) Una caja cuyo peso vertical y hacia abajo vale 300 N se encuentra apoyado

sobre un plano inclinado 25° con la horizontal. Sí la única fuerza actuante es tal

peso, hallar sus componentes paralela y normal a tal plano inclinado.-

ϕ

145 ingeddb

7) Un maratonista en una competencia recorre 500 m hacia el Este. A continuación

recorre 300 m hacia el Sur, luego 180 m hacia el Oeste y finalmente 110 m hacia el Norte. Determinar: a) la distancia total recorrida d T. b) el vector desplazamiento r medido desde el punto inicial de partida, en valor numérico, dirección y sentido.-

8) Un barco pesquero ha efectuado los siguientes desplazamientos: 6,00 km hacia

el Norte; 3,00 km hacia el Oeste; 4,00 km en una dirección que forma 60° con el

Norte hacia el Oeste, y finalmente 5,00 km en una dirección que forma 30° con

el Sur contados hacia el Oeste. Hallar el vector suma de todos los vectores desplazamiento en forma gráfica y analítica por el método de las componentes.-

9) Un competidor del Dakar 2014 lee en su navegador satelital que para poder

arribar al siguiente puesto de control deberá primeramente recorrer 186,00 km en dirección Sureste. Luego desplazarse 103,00 km en una dirección de 12° al Norte del Este. Calcular entonces el desplazamiento total efectuado, expresándolo como: a) sus componentes cartesianas. b) su valor numérico. c) su dirección. d) graficar en un sistema cartesiano ortogonal (x ; y) que contenga a los puntos cardinales todos los desplazamientos efectuados por tal competidor.-

Para reforzar la interpretación del texto, complementar sus repuestas y afianzar los conceptos, los alumnos deben realizar el análisis grafico con un buen uso de los puntos cardinales y / o direcciones establecidas y señaladas.-

Unidad 3

1) Un balón de futbol habiendo partido desde el reposo se mueve en forma horizontal y se le mide una aceleración constante igual a 4,60 m / s2.

Calcular: a) la velocidad instantánea que tendrá al cabo de 3,00 s. b) la velocidad media o rapidez durante los primeros 6,00 s de iniciado el movimiento. c) la distancia que recorrió medida desde el estado de reposo, durante esos 6,00 s.-

2) Un automóvil de competición para evitar impactar con otro reduce su velocidad de 190,00 km / h a 63,00 km / h. Sí durante ese tiempo recorre una distancia igual a 74,00 m, hallar: a) la desaceleración provocada. b) la distancia que recorre a continuación hasta detenerse, considerando que mantiene tal desaceleración constante. c) la distancia total recorrida hasta detenerse.-

146 ingeddb

3) Un automóvil se encuentra parado en un semáforo esperando ser habilitado

para arrancar, y cuando el semáforo cambia a verde acelera a razón de 1,80 m / s2 en modo constante. En ese preciso momento una furgoneta para transporte de correspondencia que se mueve con una rapidez constante de 30,80 km / h lo alcanza y lo pasa. Determinar: a) la distancia medida desde el semáforo en que el automóvil alcanzará a dicha furgoneta. b) la rapidez que poseerá el automóvil en ese instante de tiempo. c) la distancia que separa a esos móviles 4,00 minutos más tarde.-

4) En una competencia previa a las Olimpiadas 2014 correspondiente a los 100,00 m llanos libres, habiendo partido desde el reposo a un participante se le mide una rapidez de 12,03 m / s en el momento que está pasando por la marca de los primeros cincuenta metros (50,00 m). Sí durante todo el recorrido mantuvo la aceleración constante, determinar: a) la aceleración lograda. b) la velocidad con que llega a la meta. c) el tiempo que le demandó en recorrer esos 100,00 m.-

5) Mediante la aplicación de los conceptos gráficos de los movimientos, proceda

a representar utilizando las gráficas v = f (t) y a = f (t) en forma conjunta, los siguientes movimientos: a) MRU. b) Reposo. c) MRUA. d) MRUD.-

v 0 t a 0 t

6) En una práctica sobre movimientos de caída libre, se deja caer una esfera de

acero desde lo alto de una plataforma y se mide que demora 8,00 s en llegar al suelo. Determinar: a) la velocidad con que llega al suelo. b) la altura a que se encuentra tal plataforma respecto del suelo.-

147 ingeddb

7) Una caja conteniendo piezas metálicas se encuentra bajando por una rampa

sin fricción que forma un ángulo de 38° con respecto a la horizontal. Calcular:

a) la velocidad de la caja al cabo de 8,00 s contados desde el estado de reposo. b) el tiempo que empleará para recorrer los primeros 8,00 m.-

8) Para el caso en que un balón de futbol se lo lance con una velocidad inicial

v o de 14,50 m / s y con un ángulo de inclinación de 14° con la horizontal,

hallar: a) el alcance X. b) la altura máxima H MÁX. c) el tiempo de culminación t C. d) el tiempo de vuelo t V.-

9) Un motor eléctrico que se encuentra girando a razón de 900,00 rpm las reduce

a 300,00 rpm habiendo efectuado 50,00 revoluciones. Determinar: a) su aceleración angular. b) el tiempo que requirió para efectuar esas 50,00 revoluciones.-

10) ¿Cuántas vueltas dará una rueda en un tiempo de 5,00 s, que habiendo partido

desde el reposo estuvo afectada de una aceleración angular igual a 20,00 ( 1 / s2 ). b) ¿Cuántas vueltas habrá efectuado durante el quinto segundo?-

Unidad 4

1) Sobre un cuerpo de masa igual a 12,00 kg se le aplica una fuerza que logra que varíe su rapidez de 8,60 m / s a 2,40 m / s en un tiempo de 14,00 s. Calcular el valor de tal fuerza: a) en N. b) en dinas. c) en kgf.- 2) Un piano de 196,00 kg de masa se encuentra suspendido del extremo de un cable. Determinar la tensión T a que se ve sometido tal cable, cuando:

a) el piano esté acelerado hacia arriba a razón de 6,30 m / s2. b) el piano esté acelerado hacia abajo a razón de 6,30 m / s2.-

148 ingeddb

3) Un bloque de cemento de masa igual a 75,00 kg que se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal, se le aplica una fuerza horizontal igual a 38,00 kgf durante un tiempo de 7,00 s. Sí la superficie le ofrece una fuerza de

rozamiento horizontal igual a 8,60 kgf, hallar: a) la velocidad de tal bloque al cabo de 7,00 s. b) la distancia que recorrió en tal tiempo de 7,00 s.-

4) Al mismo bloque del ejercicio anterior en otro momento se lo ubica en un plano inclinado 36° con respecto a la horizontal, el cual le presenta una fuerza de rozamiento igual a 110,00 N. Calcular la fuerza F que debería aplicarse a tal bloque de modo que: a) el bloque se encuentre en estado de reposo. b) el bloque ascienda con velocidad constante. c) que el bloque ascienda con una aceleración de 1,80 m / s2 paralela al plano inclinado.- 5) Un objeto cuya masa vale 23,00 kg se encuentra inicialmente en estado de reposo

en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas (x ; y). Bajo tales circunstancias se le aplica una fuerza F constante de forma tal que al cabo de 11,00 s el desplazamiento experimentado está expresado por la siguiente ecuación: r = (43,00 m . i + 37,00 m . j). Calcular entonces: a) la aceleración que se le provocó por efecto de ésa fuerza al citado objeto. b) el valor numérico de tal fuerza. c) la dirección de dicha fuerza.-

6) Se ha demostrado que 51 g de nafta ocupan un volumen igual a 75 cm3. Hallar: a) su densidad absoluta. b) su densidad relativa.-

7) Un tanque para almacenamiento de líquidos pesa vacío 23,00 kgf. Cuando se lo

llena de agua su peso pasa a valer 73,00 kgf, y cuando se lo llena con glicerina pesa 85,00 kgf. Determinar la densidad relativa de la glicerina.-

_________________________________________________________________

149 ingeddb

Unidad 5

1) El núcleo de un átomo de helio posee una carga equivalente a + 2 e, y el del

átomo de neón + 10 e. Sí ambos se encuentran en el vacío y separados por una distancia igual a 3,00 milimicras, calcular: a) el valor de la fuerza eléctrica existente entre ambos núcleos. b) Indicar sí tal fuerza resulta ser de atracción o

de repulsión.- ( e = 1,60 x 10 - 19

C) (1 milimicra = 1 mμ = 10 - 9

m).-

2) Dos cargas eléctricas puntuales de igual carga eléctrica y masa de 0,10 g cada una se encuentran suspendida de un mismo punto mediante dos (2) hilos de longitud cada uno de ellos igual a 13,00 cm. Producto de la fuerza de repulsión eléctrica que se produce entre tales cargas, las mismas se separan una distancia horizontal igual a 0,10 m. Determinar el valor de la carga de cada una de ellas.-

3) Para una carga eléctrica puntual q1 = 5 x 10 – 9 C ubicada en el vacío, determinar: a) el valor del campo eléctrico E actuante sobre un punto P que se encuentra a 30,00 cm de tal carga. b) el valor de la fuerza eléctrica actuante

sobre otra carga eléctrica q2 = 4 x 10 – 10

C que se colocara en el punto P antes

mencionado.-

4) Para la distribución de cargas eléctricas puntuales q1 y q2 que se muestra a continuación, calcular: a) la intensidad o valor numérico, dirección y sentido del campo eléctrico E obrante entre ambas cargas (en el punto P), sí se encuentran separadas en el vacío 10,00 cm. b) la fuerza eléctrica F en valor

numérico dirección y sentido actuante sobre una carga q3 = + 4 x 10 – 8

C que

se la ubica en el punto medio P del segmento que une a las cargas q1 y q2.-

q2 = - 5 x 10 – 8 C

P

q1 = + 20 x 10 - 8

C

5 cm 5 cm

150 ingeddb

5) Producto de interacciones dinámicas se ha conformado una distribución de cargas

eléctricas puntuales en el vacío, las cuales han adoptado una distribución como la

que se muestra a continuación. Bajo tales circunstancias determinar: a) el valor

numérico, dirección y sentido de la fuerza neta FN o fuerza total FT que termina

actuando sobre la carga eléctrica identificada como q 3. b) el campo eléctrico neto

EN o total ET en valor numérico, dirección y sentido que actúa sobre el punto

señalado como O, producto de las acciones de las tres (3) cargas eléctricas

mostradas.-

q 1

q 1 = + 100,00 C

q 2 q 2 = - 14.000,00 uce

q 3 = - 4.000,00 μ C

O d 1 – 2 = 0,80 m

42° d 2 – 3 = 1,20 m

q 3

d 3 – O = 0,20 m

_________________________________________________________________

151 ingeddb

APÉNDICES

Estos tiene como finalidad la de que los alumnos cuenten en modo complementario con una información a mano, sencilla y apropiada que les posibilite las herramientas matemáticas necesarias para encarar la resolución de los problemas de Física con una mayor seguridad, y les permita lograr mejores resultados en los distintos exámenes que deberán sortear para aprobar el Seminario de Ingreso.-

APÉNDICE A

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Debemos recordar que la Trigonometría es la parte de las Matemáticas que se funda en las propiedades particulares que posee un triángulo rectángulo. Por definición, un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos vale 90° o π / 2.- Tomemos como referencia al siguiente triángulo rectángulo,

en el cual al lado opuesto al ángulo agudo φ se lo conoce como “o”, al lado

adyacente al mismo ángulo como “a”, y finalmente al lado que hace las veces de hipotenusa “h”.-

(90° - φ)

h o 90°90 a

Las tres (3) funciones trigonométricas básicas que se pueden determinar para tal triángulo son las funciones seno (sen), coseno (cos) y

tangente (tg). Tomando justamente como referencia al ángulo φ, tales funciones

quedan definidas como:

90° φ

152 ingeddb

lado opuesto a φ o a

sen φ = ----------------------------- = ----------- (1) sen ( 90° - φ) = -------- (4)

hipotenusa h h

lado adyacente a φ a o

cos φ = -------------------------- = -------- (2) cos (90° - φ) = --------- (5)

hipotenusa h h

lado opuesto a φ o a

tg φ = --------------------------------- = --------- (3) tg (90° φ) = ----------- (6)

lado adyacente a φ a o

De la observación de las ecuaciones anteriores, se deduce que:

sen φ = cos (90° - φ) cos φ = sen (90° - φ)

Es decir que el seno de un ángulo, siempre va a resultar siendo igual al coseno de su ángulo complementario.- Y que además cuando un ángulo empieza a aumentar de 0° a 90°, su seno aumenta de cero (0) a uno (1), su coseno disminuye de uno (1) a

cero (0) y su tangente lo hace de cero (0) a infinito (∞).-

Estos conceptos los podrán aplicar cada vez que se quiera trabajar con magnitudes vectoriales, en modo complementario al Teorema de Pitágoras, el Teorema del Seno y el Teorema del Coseno, que se proponen extensamente desarrollados en la Unidad II – Vectores, de ésta Guía.- ------------------------------------------------ ---------------------------------------------------- Ejemplo A 1 Tomando como base el triángulo rectángulo antes mostrado, supongamos que o = 2,00 cm, a = 5,00 cm, y se quiere hallar el valor de h

y de φ.-

153 ingeddb

Haciendo uso de las ecuaciones expuestas en el Apéndice en conjunto con el Teorema de Pitágoras, podremos operar de la siguiente forma:

h2 = a

2 + o

2 = 25,00 cm2 + 4,00 cm

2 = 29,00 cm2 (Teorema de Pitágoras)

O sea que: h = √ 29,00 cm2 ≈ 5,39 cm

Además: o 2,00 cm

tg φ = -------- = --------------- = 0,4 Es decir que: φ = arc tg 0,4 ≈ 21,8°

a 5,00 cm

______________________________ ______________________________ Tampoco debemos olvidar algunas relaciones trigonométricas que resultarán de aplicación sistemática, como las siguientes:

sen (- φ ) = - sen φ

cos ( - φ ) = cos φ

sen (- φ ) = - tg φ

(sen 2 φ + cos 2 φ) = 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

154 ingeddb

APÉNDICE B

ALGEBRA

Como una de las reglas básicas a tener presente, resulta ser la forma de cómo poder despejar una incógnita x en una ecuación del tipo lineal.-

Veamos el siguiente modelo:

12 . x = 36

Para despejar x, podemos multiplicar o dividir a cada lado de la igualdad por un mismo factor, por ejemplo dividir a ambos lados de la igualdad por el número 12, resultando:

12 x 36 ------------ = ----------- Con lo que: x = 3 12 12

También nuestra incógnita se puede presentar de la siguiente forma: x + 14 = 56 En estos casos se debe proceder a sumar o restar una misma cantidad numérica en cada lado de la igualdad, por ejemplo restar en ambos lados la cantidad 14, resultando lo siguiente: x + 14 – 14 = 56 – 14 O sea que: x = 42 De forma general se podrán presentar distintas situaciones, las cuales se podrán abordar respetando las siguientes Reglas Básicas: a.c Multiplicando: (a / b) . ( c / d ) = -----------

b.d (a / b) a . d

Dividiendo: -------------- = ----------- ( c / d) b . c

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a c a.d ± b.c

Sumando: -------- ± ------ = --------------------

b d b.d

Ejemplo B 1 Para las siguientes ecuaciones, proceda a despejar la incógnita x:

a) 6 . x + 15 = 30 >>>>>>>>>>>>>>>> 6 . x + 15 – 15 = 30 -15 15 x = -------- = 2,5

6 b) 2 . x + 8 = 6 . x – 20 >>>>>>>>>> 6 . x – 2 . x = 20 + 8 28 4 . x = 28 >>>>>>>>>>>>>>>>>> x = ---------- = 7

4 Potencias

Cuando se deban multiplicar potencias de una dada cantidad x, se deberán aplicar las siguientes Reglas:

xn . x

m = x

n + m

En cambio cuando sea necesario dividir potencias, se usará la siguiente Regla:

xn

----------- = x n - m

xm

Y para los casos en que la potencia resulte ser una fracción, se aplicará la siguiente Regla:

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n

x 1 / n

= √ x

Finalmente cualquier cantidad x elevada a una potencia enésima, se representa como:

( x n )

m = x

n.m

Ejemplo B 2

Verifique las siguientes ecuaciones con potencias:

a) 33

+ 35 = 27 + 243 = 270

b) x5 / x

11 = x 5 – 11

= x – 6

c) ( x3 )

7 = x

3.7 = x

21

d) 80 1 / 5

≈ 2,40225

Factorización Otras de las aplicaciones de las Matemáticas será la de la Factorización. A continuación se muestran algunas de las fórmulas más corrientes: Factor Común: a . x + a . y + a . z = a . (x + y + z)

Cuadrado Perfecto: a2 + 2.a.b + b

2 = ( a + b )

2

Diferencia de Cuadrados: a2 - b2

= ( a + b ) . ( a - b )

Ecuaciones Lineales En general una ecuación de las designadas como Lineales, se la puede representar de la siguiente forma:

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y = m . x + b

en la cual tanto m como b resultan ser constantes.- La denominación como Lineal se debe a que cuando se representa a y en función de x [ y = f ( x ) ] , la gráfica que se obtiene es una recta.-

A continuación se modela la ecuación antes mostrada, en donde a b se la conoce como la ordenada al origen y representa técnicamente el valor de y al cual la línea recta corta al eje vertical y. En cambio la constante m resulta ser igual a la pendiente de la línea recta, resultando ser además igual a la tangente (tg) del ángulo que tal línea recta forma con el eje horizontal x.-

y (x2 , y2) ∆ y θ (x1 ,y1) ∆ x (0,b)

θ x (0,0)

Sí se toman dos (2) puntos cualesquiera de la línea recta identificados por sus coordenadas (x1 , y1) y (x2 , y2), la pendiente de dicha línea recta vendrá expresada de la siguiente forma: y2 - y1 ∆ y Pendiente = tg θ = -------------- = --------- x2 - x1 ∆ x De la observación de la ecuación y la gráfica correspondiente, se advierte que tanto m como b pueden tomar valores positivos o

negativos cualesquiera.-

Sí m > 0 la pendiente de tal línea será positiva. En

cambio cuando m < 0 la pendiente de tal línea recta resultará ser negativa.-

Para una mejor comprensión, en la siguiente gráfica se muestran distintas posibilidades en lo referente a las pendientes.-

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y I II

III

x

I) m > 0 y b < 0

II) m < 0 y b > 0

III) m < 0 y b < 0

Ejemplo B 3

Determine la pendiente de las siguientes tres (3) líneas

rectas, identificadas por las siguientes coordenadas: a) (0, - 4) y (4 , 2). b) (0 , 0) y

(2 , - 5). c) (- 5 , 2) y (4 , - 2).-

∆ y 2 – (- 4 ) 6 Pendiente de a = ----------- = -------------- = ------- = + 1,5

∆ x 4 - 0 4 ∆ y - 5 – 0 5

Pendiente de b = ----------- = --------------- = - ------ = - 2,5

∆ x 2 – 0 2 ∆ y - 2 – 2 - 4

Pendiente de c = -------- = ------------------ = ------- ≈ - 0,4444

∆ x 4 – (- 5) 9

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Ecuaciones Cuadráticas El modo de expresar más básico a una ecuación cuadrática, resulta ser de la siguiente forma:

a.x2 + b.x + c = 0

Para dicha ecuación se reconoce a x como la incógnita o cantidad a determinar, y a, b y c son factores numéricos de valores identificados como coeficientes de la ecuación.- La solución de tal ecuación posee dos (2) raíces, las cuales se pueden determinar por medio de la siguiente expresión:

- b ± √ b2 - 4.a.c

x = -------------------------------------- 2 . a Ejemplo B 4 Resuelva la siguiente ecuación cuadrática:

2.x2 – 4.x – 9 = 0

- (- 4) ± √ (- 4)2 – 4.2. (-9) 4 ± √ 16 + 72 4 ± 9,38

x = ----------------------------------------------------- = ------------------------- = -------------------- 2. 2 4 4

x1 ≈ 3,345 x2 ≈ - 1,345

Resolución de ecuaciones lineales

Dentro de algunos de los temas que se van a plantear en el Seminario de Física, habrá problemas que contendrán dos (2) incógnitas.-

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Para tales escenarios, una solución única solo será factible sí se poseen por lo menos dos (2) ecuaciones. Debemos señalar que para los casos

en que el número de incógnitas fuese “ n ”, se requerirán también “ n ” ecuaciones

mínimamente.- La forma más básica para solucionar tal tipo de situaciones, consiste en despejar de una de las ecuaciones una de las incógnitas para luego reemplazarla en la otra, quedando el sistema reducido entonces a una (1) ecuación con una (1) sola incógnita.- Ejemplo B 5

Resuelva los siguientes pares de ecuaciones que contienen dos (2) incógnitas: a) (11 . x - 9 . y) = 56 y ( 9 . x + 3 . y ) = 8

Respuesta: x ≈ 18,71 e y ≈ 16,64

b) (125 - V ) = 15 . p y ( V - 15 ) = 30 . p Respuesta: V ≈ 83,00 y p ≈ 2,778 _____________________________________________________________________

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD TTEECCNNOOLLÓÓGGIICCAA NNAACCIIOONNAALL

FFAACCUULLTTAADD RREEGGIIOONNAALL MMEENNDDOOZZAA


CÁTEDRA DE FÍSICA

II NN DD II CC EE

CARÁTULA: página 1.-

PRÓLOGO: páginas 2 a 5.-

PROGRAMA ANALÍTICO DE FÍSICA: página 6.-

BIBLIOGRAFÍA PROPUESTA: página 7.-

PERÍODOS DE ACTIVIDADES: página 8.-

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES: páginas 9, 10 y 11.-

CONDICIONES Y EXIGENCIAS DE APROBACIÓN: página 12.-

HORARIOS DE DICTADO: página 13.-

UNIDAD I: UNIDADES – OPERACIONES - MEDICIONES: páginas 14 a 27.-

UNIDAD II: VECTORES: páginas 28 a 46.-

UNIDAD III: CINEMÁTICA: páginas 47 a 87.-

UNIDAD IV: DINÁMICA: páginas 88 a 107.-

UNIDAD V: ELECTROSTÁTICA: páginas 108 a 128.-

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SOLUCIONES DE PROBLEMAS PROPUESTOS: páginas 129 a 141.-

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS: páginas 142 a 150.-

APÉNDICES: páginas 151 a 160.-

ÍNDICE: página 161 y 162.-

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Documents

UNNIIVERRSSIIDDAADD OTTEECCNNO OL … · – Análisis Dimensional – Conversión de Unidades – Errores - Cifras Significativas – Ejemplos Aplicativos - Planteo y Resolución