Embed Size (px)
Citation preview
I
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
PROGRAMI I STUDIMIT: ANALIZË DHE ALGJEBËR
DISERTACION
PËR MARRJEN E GRADËS “DOKTOR I SHKENCAVE”
VETI TOPOLOGJIKE NË HAPËSIRAT E
NORMUARA TË PËRGJITHËSUARA
Paraqitur nga:
Msc. STELA ÇENO
Udhëheqës shkencor:
Prof.Dr. XHEZAIR TELITI
TIRANË, 2017
II
UNIVERSITETI I TIRANËS
FAKULTETI I SHKENCAVE TË NATYRËS
DEPARTAMENTI I MATEMATIKËS
Disertacioni me temë
VETI TOPOLOGJIKE NË HAPËSIRAT E NORMUARA TË
PËRGJITHËSUARA
Paraqitur nga:
Msc. STELA ÇENO
Udhëhequr nga:
Prof.Dr. XHEZAIR TELITI
PËR MARRJEN E GRADËS SHKENCORE “DOKTOR”
Mbrohet më datë ______/______/______, para jurisë
1.__________________________________ Kryetar
2.__________________________________ Anëtar (oponent)
3.__________________________________ Anëtar (oponent)
4.__________________________________ Anëtar
5.__________________________________ Anëtar
III
FALENDERIME
Falenderoj udhëheqësin tim shkencor, Prof.Dr. Xhezair Teliti, për angazhimin e tij të
palodhur, që ky punim të ishte sa më i arrirë.
Gjithashtu, falenderoj familjen time për përkrahjen morale të pareshtur që më kanë
dhënë.
Në fund, dua që këtë punim, i cili u mori kohën që u përkiste, tua dedikoj fëmijëve të mi,
Hegit dhe Anjas.
IV
PËRMBAJTJA
Falenderime……………………………………………………………………………III
Përmbajtja……………………………………………………………………………..IV
Hyrje…………………………………………………………………………………….V
Kapitulli 1
PËRGJITHËSIME TË FUNKSIONIT 2-NORMË DHE KUAZI 2-NORMË
1.1 Gjysmë produktet skalare inferior dhe superior lidhur me një 2-normë………………1
1.2 Mbi hapësirat 2-të normuara të përgjithësuara dhe kuazi 2-të normuara të
përgjithësuara…………………………………………………………………………7
Kapitulli 2
NORMAT DHE KUAZI NORMAT ASIMETRIKE
2.1 Përgjithësime të gjysmë produktit skalar…………………………………………….16
2.2 Hapësirat e normuara asimetrike. Produkti skalar asimetrik dhe funksioni kuazi
normë asimetrike…………………………………………………………………………19
2.3 Disa veti të funksionit kuazi normë asimetrike………………………………………28
2.4 Kompaktësia në hapësirat kuazi të normuara asimetrike…………………………….34
Kapitulli 3
2-NORMAT ASIMETRIKE DHE KUAZI 2-METRIKAT
3.1 Zbërthimi i 2-metrikave dhe i 2-normës…………………………………………… 48
3.2 Hapësirat 2-normë asimetrike me dimension të fundëm…………………………… 57
Përfundime dhe sugjerime…………………………………………………………… 62
Literatura……………………………………………………………………………… 64
Absrakt-Përmbledhje………………………………………………………………… 67
V
HYRJE
Një objekt i gjërë studimi ndër vite nga matematikanë të shumtë ka qënë dhe mbetet
përgjithësimi i një funksioni normë dhe studimi i strukturave topologjike të përftuara
prej tyre. Shumë veti analoge me ato të një funksioni normë, janë synuar të arrihen duke
shfrytëzuar pikërisht funksionet e përfituara nga ndërhyrjet konkrete në aksiomatikën e
funksionit normë.
Një gamë e gjërë funksionesh të përftuara në këtë mënyrë është marrë deri tani. Koncepti
i një funksioni gjysmë normë shënon ndër përpjekjet e para të përgjithësimit të një
funksioni normë.
Gjithashtu përgjithësime të njohura janë ato që përftohen si rezultat i modifikimit të
mosbarazimit të trekëndëshit, siç është zëvëndësimi i tij me mosbarazimin e propozuar
për një funksion largesë nga M.Vulpe, D. Ostrai dhe F. Hoiman:
x y K x y për 1K .
Ky zëvëndësim çon në përfitimin e një funksioni kuazi normë dhe të hapësirave kuazi të
normuara, të cilat prezantohen si struktura topologjike me të cilat mund të operohet në
mënyrë të ngjashme si në rastin e mosbarazimit te trekëndëshit.
Një tjetër përgjithësim që luan me mosbarazimin e trekëndëshit është: p p p
x y x y ku 0 1p ,
për të cilin marrim përkufizimin e p-normës.
Një rol të madh kanë luajtur përgjithësime që kanë të bëjnë me simetrinë. Kështu prishja
e kushtit të simetrisë në funksionin normë dhe paraqitja në këtë mënyrë e një funksioni
normë asimetrike ka nxitur studime të shumta që nga viti 1968 e në vazhdim.
Në 1928, K.Menger prezantoi nocionin e metrikave të përgjithësuara (ose n-metrikat),
por matematikanët në atë kohë nuk i kushtuan vëmëndjen e duhur teorisë së tij për
metrikat e përgjithësuara.
S.Gähler e limitoi idenë e Mengerit në 2n dhe bëri një studim më të plotë në kuptimin
se ai zhvilloi vetitë topologjike të hapësirës në fjalë. Ishte pikërisht përkufizimi i
funksionit 2-normë që përbën një nga përgjithësimet më interesant të funksionit normë
dhe që është shoqëruar me një gamë të gjërë rezultatesh.
Vet funksioni 2-normë përgjithësohet më tej (në analogji me përgjithësimet e funksionit
normë), në gjysmë 2-normë, kuazi 2-normë, n-normë etj.
Qëllimi kryesor i këtij punimi ka qënë pikërisht vazhdimi i përgjithësimit të mëtejshëm të
funksioneve prodhim skalar dhe funksionit normë dhe fitimi i rezultateve konkrete në
lidhje me këto përgjithësime. Kryesisht është punuar në tre drejtime:
Drejtimi i parë është mbështetur në përgjithësimin e funksionit produkt skalar, i cili ka
qenë një objekt me interes kërkimi për shumë studiues. G. Lumer [41] përgjithëson për
herë të parë produktin skalar duke zevendësuar aksiomatikën e tij me kushte më të
kufizuara në lidhje me homogjenitetin, linearitetin dhe vetinë e simetrisë si dhe duke
futur mosbarazimin Koshi:
(x,y) 2 ≤ (x,x).(y,y).
Më konkretisht G. Lumer fut përkufizimin e mëposhtëm
Përkufizim : Le të jetë X një hapësirë vektoriale. Themi se në X është përcaktuar një
gjysmë produkt skalar, në qoftë se për çdo ,x y X u vihet në korespondencë çifti ( , )x y ,
i cili gëzon këto veti:
VI
1. ( , ) ( , ) ( , )x y z x z y z
( , ) ( , )x y x y për , ,x y z X , 𝜆 ∈ ℝ
2. ( , ) 0x x për 0x
3. 2
( , ) ( , )( , )x y x x y y.
Autorë të tjerë si J.Gilles [26], E.Torrance [47], B.Nath [42], kanë studjuar aspekte të
ortogaonalitetit dhe strikt konveksitetit në hapësira të fituara nga funksione të përgjithë-
suara të përkufizuara sipas. G. Lumer-it.
S.S. Dragomir [17] prezanton përgjithësime konkrete të funksionit produkt skalar duke
propozuar funksionet gjysmë produkte skalare inferior dhe superior si më poshtë:
Përkufizim : Le të jetë L një hapësirë vektoriale dhe 𝑝: 𝐿 → ℝ+ një funksion normë në L.
Funksionet e mëposhtëm
( , )ix y lim𝑡→0−
2 2( ) ( )p y tx p y
2𝑡
,s
x y lim𝑡→0+
2 2( ) ( )
2
p y tx p y
t
quhen gjysmë produkte skalare superior dhe inferior.
Në [17] S.S.Dragomir evidenton disa veti konkrete të këtyre funksioneve.
Drejtimi i dytë mbështetet në funksionet 2- normë të përkufizuara për herë të parë nga
Gahler.S [20] si më poshtë.
Përkufizim : Le të jetë X një hapësirë lineare me dimension më të madh se 1 dhe ,
një funksion me vlera reale në X X i cili plotëson konditat e mëposhtme:
1. , 0x y atëherë dhe vetëm atëherë kur x dhe y janë linearisht të varur.
2. , ,x y y x
3. , ,x y x y
4. , , ,x y z x y x z për çdo , ,x y z X dhe 𝜆 ∈ ℝ.
, është quajtur 2-normë në X dhe , ,X është quajtur hapësirë linearish 2 e
normuar. Është lehtësisht e provuar se 2-norma është jonegative.
Për shumë autorë [19], [40] funksionet 2-normë përbëjnë një fushë me interes, kështu
është mundësuar fitimi i një sërë rezultatesh që shënojnë përgjithësimin e funksioneve
normë. Në punim është synuar që në hapësirta 2- të normuara të shtrihen konceptet e
funksioneve produkt skalar inferior dhe superior të S.S. Dragomir.
Drejtimi i tretë lidhet me trajtimin e këtyre ideve përgjithësuese në rastin e hapësirave
të fituara nga përgjithësimi i funksioneve normë asimetrike, te cilat vetë nga ana e tyre
shënojnë një përgjithësim të funksionit normë.
Në këtë punim janë konceptuar funksionet gjysmë produkte skalare inferior dhe superior,
kuazi 2-normë e përgjithësuar, kuazi normë asimetrike, kuazi 2-normë asimetrike, si
përgjithësime të mëtejshme të funksionit normë apo 2-normë, dhe rezultate konkrete në
lidhje me to.
Punimi përbëhet nga tre kapituj. Në kapitullin e parë konceptohen fillimisht funksionet
gjysmë produkte skalare inferior dhe superior në lidhje me një 2-normë, si përgjithësime
VII
të funksioneve të prezantuara nga S.S. Dragomir dhe P.Milicic. Më tej janë trajtuar disa
veti që kanë të bëjnë pikërisht me këto funksione. Në vazhdim janë dhënë disa rezultate
të përgjithësimit të funksionit 2-normë sipas Z.Lewandovskës, për të paraqitur më tej
përkufizimin e kuazi 2-normës së përgjithësuar dhe faktin se për hapësirën e përcaktuar
nga kjo e fundit ekziston një hapësirë kuazi (2-p) e Banahut, lidhur bashkë nga një
izomeri.
Në kapitullin e dytë synohet që në disa struktura më të përgjithësuara të studiohet
mundësia e shtrirjes së lidhjes së ngushtë që ekziston ndërmjet produkteve skalare dhe
funksioneve normë. Në kuadër të kësaj lidhjeje konceptohen funksioni kuazi produkt
skalar asimetrik dhe funksionet kuazi normë asimetrike dhe evidentohet nje lidhje
konkrete që ekziston midis tyre. Në pjesën tjetër të këtij kapitulli evidentohen rezultate
të lidhura me funksionin kuazi normë asimetrike si në aspektin topologjik dhe në atë të
kompaktësisë së hapësirës që ajo formon.
Në kapitullin e tretë vijohet në kuadër të asimetrisë, por tani në hapësirat dy përmasore.
Kështu fillimisht përkufizohet kuazi 2-metrika dhe 2-norma asimetrike, për të treguar më
tej zbërthime të secilës. Gjithashtu në këtë kapitull janë studiuar hapësirat 2-të normuara
asimetrike me dimension të fundëm dhe është treguar se topologjia e tyre mund të
përshkruhet plotësisht duke përdorur një normë asimetrike të derivuar nga një 2-normë
asimetrike.
1
KAPITULLI I
PËRGJITHËSIME TË FUNKSIONIT 2-NORMË DHE KUAZI 2-NORMË
1.1 GJYSMË PRODUKTET SKALARE INFERIOR DHE SUPERIOR LIDHUR
ME NJË 2-NORMË
Funksionet 2-normë, përbëjnë një fushë me shumë rezultate përgjithësuese të funksionit
normë. Në kuadër të këtyre përgjithësimeve në këtë paragraf është shtrirë konceptimi i
funksioneve gjysmë produkte skalare superior dhe inferior të paraqitura fillimisht nga
S.S.Dragomir [17], në lidhje me një funksion 2-normë.
Kështu për një pikë b të fiksuar në hapësirën X përkufizojmë funksionet e mëposhtme:
,b
sx y lim
𝑡→0+
2 2, ,
2
y tx b y b
t
,b
ix y lim
𝑡→0−
2 2, ,
2
y tx b y b
t
Për ҫdo ,x y X . Këto funksione janë quajtur gjysmë produktet skalare superior dhe
inferior lidhur me funksionin 2-normë.
Pohim 1.1.1.[8]
Le të jetë X një hapësirë lineare dhe ,x y një 2- normë e përcaktuar në të dhe
funksionet ,b
sx y dhe ,
b
ix y përkufizuar si më lart. Atëherë kanë vënd barazimet:
a) 2
, ,b
px x x b për ҫdo x X dhe b X e fiksuar.
b) , , 0p p
ix x x ix për ҫdo x X dhe b X e fiksuar.
c) , ,p p
x y x y për ҫdo skalar jonegativ dhe ,x y X dhe b X e fiksuar.
d) , ,p p
x y x y për ҫdo skalar jonegativ dhe ,x y X dhe b X e fiksuar.
e) , ,p q
x y x y në qoftë se 0 dhe ,x y X dhe b X e fiksuar.
f) , ,p q
x y x y në qoftë se 0 dhe ,x y X dhe b X e fiksuar.
g) , ,p q
ix y x iy për ҫdo ,x y X dhe b X e fiksuar
Ku , ,p q s i dhe p q .
Vërtetim:
a) ,b
px x lim
𝑡→0±
2 2, ,
2
x tx b x b
t
= lim
𝑡→0±
2 2(1 ), ,
2
x t b x b
t
= lim𝑡→0±
2 2 21 , ,
2
t x b x b
t
2
= 2
,x b lim𝑡→0±
21 1
2
t
t
=
2,x b
b) , ,b b
p pix x x ix lim
𝑡→0±
2 2, ,
2
ix tx b ix b
t
= lim𝑡→0±
2 2( ), ,
2
x i t b ix b
t
=2
,x b lim𝑡→0±
21
2
i t
t
=
2, 0 0x b
c) dhe e)
,b
px y lim
𝑡→0±
2 2, ,
2
y tx b y b
t
. Shënojmë meu t dhe kemi:
,b
px y lim
𝑢→0±
2 2, ,
2
y ux b y b
u
=
=
{
𝜆 lim𝑢→0±
2 2, ,
2
y ux b y b
u
për λ ≥ 0
𝜆 lim𝑢→0∓
2 2, ,
2
y ux b y b
u
për λ < 0
= {𝜆 ,
b
px y për λ ≥ 0
𝜆 ,b
qx y për λ < 0
Vërtetimet për pikat d), e), f) janë të ngjashme me vërtetimin e mësipërm.
h) ,b
pix y lim
𝑡→0±
2 2, ,
2
y itx b y b
t
= lim𝑡→0±
2 2, ,
2
iy tx b iy b
t
=
= ,b
px iy ,
b
qx iy .■
Gjithashtu në kuadër të 2-normës është përkufizuar funksioni gjysmë produkt i plotë në
lidhje me 2-normën, si më poshtë:
,b
i sx y
lim𝑡→0
2 2, ,
4
y tx b y tx b
t
Për të cilin pohimi 1.1.1 do të kishte këtë trajtë:
Pohim 1.1.2.[8]
Le të jetë X një hapësirë lineare dhe ,x y një 2- normë e përcaktuar në të dhe funksioni
,b
i sx y
i përcaktuar si më lart. Atëherë kanë vend barazimet:
a) 2
, ,b
i sx x x b
për ҫdo x X dhe b X e fiksuar.
b) , , 0i s i s
ix x x ix për ҫdo x X dhe b X e fiksuar.
3
c) , ,i s i s
x y x y për ҫdo skalar jonegativ dhe ,x y X dhe b X e
fiksuar.
d) , ,i s i s
x y x y për ҫdo skalar jonegativ dhe ,x y X dhe b X e
fiksuar.
Vërtet:
a) ,b
i sx x
lim𝑡→0
2 2, ,
4
x tx b x tx b
t
= lim
𝑡→0
2 2(1 ), (1 ),
4
x t b x t b
t
= lim𝑡→0
2 2 2 21 , 1 ,
4
t x b t x b
t
= 2
,x b lim𝑡→0
2 21 1
4
t t
t
=
2,x b
b) , ,b b
i s i six x x ix
lim
𝑡→0
2 2, ,
4
ix tx b ix tx b
t
= lim𝑡→0
2 2( ), ( ),
4
x i t b x i t b
t
=2
,x b lim𝑡→0
2 2
4
i t i t
t
=
2,x b lim
𝑡→0
2 2
4
i t i t
t
=2
, 0 0x b .
c)
,b
i sx y
lim𝑡→0
2 2, ,
4
y tx b y tx b
t
. Shënojmë meu t , dhe kemi:
,b
i sx y
lim𝑢→0
2 2, ,
4
y ux b y ux b
u
=
= λ lim𝑢→0
2 2, ,
4
y ux b y ux b
u
= λ ,b
i sx y
.
Pika d) vërtetohet në mënyrë analoge.■
Pohimi 1.1.3.[6]
Le të jetë , ,X një hapësirë 2 e normuar atëherë kemi:
(i) Mosbarazimi i mëposhtëm është i vërtetë: 2 2 2 2
, , , ,( , ) ( , )
2 2
b b
s i
x ty b x b x sy b x by x y x
t s
4
për çdo , ,x y X dhe 0, 0t s .
(ii) ( , ) , ,b
px p x b y b për çdo , ,x y X
(iii) Pasqyrimi ( , ) ( , )b b
s i është sub(super)-aditiv në lidhje me variablin e parë,
psh: qëndron mosbarazimi 1 2 1 2( ) ( ) ( ), , ,
b b b
s i s i s ix x y x y x y
për
1 2, , ,x x y X
Vërtetim: (i) Le të konsiderojmë pasqyrimin (𝑡): [0,∞) → ℝ , 21
( ) ,2
g t x ty b për
, ,x y b të fiksuara në X . Është e qartë se ( )g t është konveks në [0, ) prandaj:
( ) (0)' (0)
0
g t gg
t
për 0t
çka do të thotë se:
2 2, ,
2
x ty b x b
t
lim𝑡→0+
2 2, ,
2
x ty b x b
t
= ( , )b
sy x .
Mosbarazimi i dytë rrjedh nga fakti se: ' (0) ' (0)g g ku ( )g t është një pasqyrim
konveks me vlera reale. Mosbarazimi i fundit është evident.
(ii) Le të jenë ,x y X .
Atëherë : ( , )b
px y | lim𝑡→0±
2 2, ,
2
y tx b y b
t
|
= | lim𝑡→0±
, ,
2
y tx b y b
t
| | lim𝑡→0±
, ,
2
y tx b y b
t
|
,y b lim𝑡→±0
, , ,y b tx b y b
t
= , ,y b x b .
(iii) Nga vetitë e 2-normës kemi:
1 2 ( )
1, 2 ,
2
b
s ix x y y b lim
𝑡→±0
1 2( ), 2 ,y t x x b y b
t
= ,y b lim𝑡→±0
1 2 , 2 ,y tx y tx b y b
t
,y b lim𝑡→±0
1 2, , 2 ,y tx b y tx b y b
t
,y b lim𝑡→±0
1, ,y tx b y b
t
+ ,y b lim
𝑡→±0
2 , ,y tx b y b
t
= 1 2( ) ( ), ,
b b
s i s ix y x y për çdo 1 2, ,x x y X .■
Në këtë paragraf përveç mundësisë së shtrirjes së koncepteve gjysmë produkte skalare
inferior dhe superior dhe studimit të vetive analoge, një interes i vecantë për ne ka qenë
shqyrtimi i mundësisë së konceptimit të Gateaux-diferencueshmërisë në hapësirat 2-të
5
normuara në analogji me hapësirat e normuara dhe mbi të gjitha konceptimi i një pohimi
që mundëson Gateaux-diferencueshmërinë në pika e një bashkësie që përgjithëson sferën
njësi me qendër origjinën e një hapësire të normuar.
Tani paraqesim përkufizimin për Gateaux-diferencueshmërinë e 2-normës.
Le të jetë b një pikë cfarëdo në hapësirën vektoriale X.
Shënojmë me ( ) : , 1bS X x X x b dhe ( ) ( )bb XS X S X
.
Përkufizim 1.1.4.[6]
Hapësira X , thuhet të ketë një 2-normë Gateaux të diferencueshme në pikën 0 ( )x S X
në qoftë se :
1) Bashkësia ( )S X
2) Ekziston lim →0
0 0, ,x y b x b
për ( )y S X dhe çdo element b X .
Teorema 1.1.5.[6]
Le të jetë , ,X një hapësirë 2 e normuar. Atëherë pohimet e mëposhtme janë
ekuivalente:
a) 2-norma është Gateaux e diferencueshme në çdo pikë 0 ( )x S X .
b) Gjysmë produkti skalar ,b
px y është homogjen në lidhje me argumentin e dytë
për vlera të argumentave x dhe y nga bashkësia ( )S X dhe çdo b X
c) Gjysmë produkti skalar ,b
px y është homogjen në lidhje me argumentin e parë
për vlera të argumentave x dhe y nga bashkësia ( )S X dhe çdo b X ku
,p s p i .
Vërtetim: Vërtetimi është bërë për rastin p s . Rasti p i ecën në mënyrë analoge.
a) b)
Nga Gateaux diferencueshmëria rrjedh se për çdo pikë , ( )x y S X ekziton
lim𝑡→0
2 2, ,
2
y tx b y b
t
sepse:
lim𝑡→0+
2 2, ,
2
y tx b y b
t
= 2||y,b|| lim
𝑡→0+
, ,y tx b y b
t
dhe
lim𝑡→0−
2 2, ,
2
y tx b y b
t
= 2||y,b|| lim
𝑡→0−
, ,y tx b y b
t
pra egzistojnë madhësia ( , )b
s dhe ( , )b
i për çdo vlerë të argumentit të parë e të dytë nga
bashkësia ( )S X .
Përderisa nga pohimi 1.1.1 (d) madhësia ( , )b
s është homogjen në lidhje me argumentin e
dytë për skalarë pozitivë, mjafton të tregohet se:
6
( , ) ( , )b b
s sx y x y për çdo , ( )x y S X .
Nga Gateaux diferencueshmëria e 2-normës për çdo pikë , ( )x y S X mund të shkruajmë:
( , )b
sx y lim𝑡→0
2 2( ) , ,
2
y tx b y b
t
= lim𝑡→0
2 2, ,
2
y tx b y b
t
= lim𝑡→0
2 2( ) , ,
2
y t x b y b
t
= - lim
𝑠→0
2 2, ,
2
y sx b y b
s
( , )b
sx y , gjë që provon implikimin.
b) c) Të tregojmë se:
( , ) ( , )b b
s sx y x y për çdo x X dhe ( )y S X .
Me të vërtetë:
Vërejmë se: , ,b b
s sx y x y për çdo ,x y X .
Nga pika (b) kemi barazimin:
, ,b b
s sx y x y për çdo , ( )x y S X .
c) a) Le të jenë , ( )x y S X
Atëherë:
lim𝑡→0+
, ,y tx b y b
t
( , ) ( , )
, ,
b b
s sx y x y
y b y b
- lim𝑡→0+
( ) , ,y t x b y b
t
= lim
𝑠→0−
, ,y sx b y b
s
Që këtej rrjedh se ekziston lim𝑡→0
, ,y tx b y b
t
për çdo , ( )x y S X dhe çdo b X , e
për rrjedhojë 2-norma .,. është Gateaux e diferencueshme.■
7
1.2 MBI HAPËSIRAT 2-TË NORMUARA TË PËRGJITHËSUARA DHE KUAZI
2-TË NORMUARA TË PËRGJITHËSUARA
Në 1928, K.Menger prezantoi nocionin e metrikave të përgjithësuara (ose n-metrikat),
por matematikanët në atë kohë nuk i kushtuan vëmëndjen e duhur teorisë së tij për
metrikat e përgjithësuara.
S.Gähler e limitoi idenë e Mengerit në 2n dhe bëri një studim më të plotë në kuptimin
se ai zhvilloi vetitë topologjike të hapësirës në fjalë. Ai gjithashtu provoi se nëse hapësira
është hapësirë linearisht e normuar, atëherë mund të përcaktohet një 2-normë.
Pas kësaj shumë matematikanë i studiuan hapësirat 2-të normuara, edhe në sensin e
plotësisë.
Përkufizim 1.2.1.
Le të jetë X një hapësirë vektoriale me dimension më të madh se 1 dhe .,. . një
funksion me vlera reale në X X X i cili plotëson konditat:
1) , 0x x z dhe , 0x x z atëherë dhe vetëm atëherë kur x dhe z janë
linearisht të varur.
2) , ,x x z z z x
3) , ,x y z y x z
4) , ,x y z x y z për 𝜆 ∈ ℝ
5) ', , ',x x y z x y z x y z
.,. . është quajtur 2-produkti skalar dhe , .,. .X është quajtur hapësira e 2-produktit
skalar.
Disa veti bazë të 2-produktit .,. . janë dhënë në ([14], [15]):
(1) Për çdo , ,x y z X kemi:
, , ,x y z x x z y y z .
(2) Për çdo , ,x y z X , , 0x y y .
(3) Për çdo , ,x y z X dhe një numër real kemi:
2, ,x y z x y z .
(4) Për çdo , ,x y z X , ka vend mosbarazimi:
1
, , , , ,2
x y z w x y z x y w z w x y z w x y .
(5) Në qoftë se , .,.X është një hapësirë e gjysmë produktit skalar, atëhere 2-
produkti skalar .,. . është përcaktuar në X nga barazimi:
2,
x y x zx y z x y z z z y z
y z z z për çdo , ,x y z X .
8
Është e lehtë të tregohet se një 2-normë (përkufizimi 1.1.3) .,. është jonegative dhe për
çdo ,x y X dhe 𝜆 ∈ ℝ ka vënd barazimi:
, ,x y x x y .
Çdo hapësirë e 2-produktit skalar , .,. .X përcakton një 2-normë:
, ,x y x x y
për të cilën kemi:
2 21, , ,
4x y z x y z x y z
dhe:
2 2 2 2, , 2 , ,x y z x y z x z y z për çdo , ,x y z X .
Nga ana tjetër, nëse , .,.X është një hapësirë 2-e normuar në të cilën kondita:
2 2 2 2, , 2 , ,x y z x y z x z y z
plotësohet për çdo , ,x y z X , atëherë mund të përcaktohet një 2-produkt skalar .,. . në
X nga relacioni:
2 21, , ,
4x y z x y z x y z .
Detaje të tjera dhe arritje mbi hapësirat e 2-produktit skalar dhe të hapsirave 2-të
normuara mund të gjenden në [14], [15], [16], [20] si dhe në shumë artikuj të autorëve të
ndryshëm.
Pas paraqitjes për herë të parë nga S.Gähler në 1963 të hapsirave 2-të normuara, këto të
fundit u bënë objekt i gjërë studimi për shumë autorë [19], [21], [48], [38], [22], [27],
[30], [35].
E tillë është dhe Zofia Lewandowska e cila dha një përgjithësim të hapsirave 2-të
normuara në [39] dhe [40].
Përgjithësimi i Lewandowska-s për 2-normën është i tillë që nuk ka nevojë të plotësojë
kushtin e parë të përkufizimit të 2-normës dhe kushtin e simetrisë.
Përkufizimi 1.2.2.
Le të jenë X dhe Y dy hapësira lineare. Shënoj me D një nënbashkësi joboshe të X Y
e tillë që për x X dhe y Y , bashkësitë:
; ,xD y Y x y D dhe ; ,yD x X x y D ,
janë nënbashkësi lineare të bashkësive X dhe Y respektivisht.
Funksioni .,. : 0,D do të quhet 2-normë e përgjithësuar në D nëse plotëson
konditat e mëposhtme:
1) , , ,x y x y x y për 𝜆 ∈ ℝ dhe ,x y D .
2) , , ,x y z x z y z për ,x y X dhe z Y të tilla që , , ,x y x z D .
3) , , ,x y z x z y z për ,x y X dhe z Y të tilla që , , ,x z y z D .
9
Bashkësia D është quajtur bashkësi e 2-normuar.
Në veçanti nëse D X Y , funksioni .,. do të quhet 2-normë e përgjithësuar në X Y
dhe çifti , .,.X Y do të quhet hapësirë 2-e normuar e përgjithësuar.
Supozojmë se 2-norma e përgjithësuar veç këtyre vetive, plotëson dhe konditën e
simetrisë. Atëherë ajo do të përcaktohej si më poshtë:
Përkufizimi 1.2.3.
Le të jetë X një hapësirë lineare. Shënoj me A një nënbashkësi joboshe të X Y , me
vetinë 1A A , dhe e tillë që bashkësia ; ,yA x X x y A është një nënbashkësi
lineare e X , për çdo y X .
Funksioni që plotëson konditat e mëposhtme:
1) , ,x y y x për çdo ,x y A ,
2) , ,x y x y për 𝜆 ∈ ℝ dhe çdo ,x y A ,
3) , , ,x y z x y x z për çdo , ,x y z X dhe , , ,x y x z A ,
do të quhet 2-norma simetrike e përgjithësuar në A .
Bashkësia A është quajtur bashkësi 2-normë simetrike.
Teoremë 1.2.4.
Le të jetë , .,.X Y një hapësirë 2-e normuar e përgjithësuar. Atëherë familja B e të
gjitha bashkësive përcaktuar nga 1
; ,n
i
i
x X x y
ku 1 2, ,..., ny y y Y , 𝑛 ∈ ℕ dhe
0 , formon një sistem të plotë fqinjësish të zeros, për një topologji lokalisht konvekse
( , )T X Y në X .
Përkufizimi 1.2.5.
Le të jetë , .,.X Y një hapësirë 2-e normuar e përgjithësuar. Një hapësirë
, ( , )X T X Y quhet e plotë sipas vargjeve, nëse çdo varg Koshi në X është konvergjent
në këtë hapësirë.
Përkufizimi 1.2.6.
Le të jetë D X X një bashkësi 2-e normuar dhe Y një hapësirë e normuar. Pasqyrimi
:f D Y është quajtur pasqyrim 2-linear nëse plotëson konditat:
1) 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x x y y f x y f x y f x y f x y
2) ( , ) ( , )f x y f x y .
Përkufizimi 1.2.7.
Një pasqyrim 2-linear :f D Y quhet i kufizuar në qoftë se ekziston një numër real
jonegativ M i tillë që:
( , ) ,f x y M x y për çdo ,x y D ,
10
dhe norma e pasqyrimit 2-linear është përcaktuar nga:
inf 0 : ( , ) , , ,f M f x y M x y x y D .■
Një përgjithësim mjaft i njohur i 2-normës është funksioni kuazi 2-normë, përcaktuar si
më poshtë.
Përkufizimi 1.2.8
Le të jetë X një hapësirë lineare. Një kuazi 2-normë është një funksion me vlera reale në
X X i cili plotëson konditat:
1. , 0x y atëherë dhe vetëm atëherë kur x dhe y janë linearisht të varur.
2. , ,x y y x
3. , ,x y x y
4. , , ,x y z K x y x z për çdo , ,x y z X , 𝜆 ∈ ℝ dhe 1K .
Çifti .,.X është quajtur hapësirë kuazi 2-e normuar në X .
Shembull 1.2.9
Le të jetë X një hapësirë lineare me dim 2X dhe .,. një 2-normë në X .
, 2 ,q
x y x y
është një kuazi 2-normë në X dhe , .,.q
X është një hapësirë kuazi 2-e normuar.
Vërtet: 1) Kemi , 0q
x y atëherë dhe vetëm atëherë kur 2 , 0x y që do të thotë x
dhe y janë linearisht të varur.
Është e thjeshtë të tregohet pika 2) për të cilën do kishim:
, 2 , 2 , ,q q
x y x y y x y x
Për vetinë e 3) shikojmë se për çdo 𝛼 ∈ ℝ kemi:
, 2 , 2 , ,q q
x y x y x y x y .
Ndërkohë që për vetinë e fundit kemi se për çdo , ,x y z X ka vënd mosbarazimi:
, 2 ,q
x y z x y z
2 , ,x z y z
, ,q q
x z y z .■
Teoremë 1.2.10
Le të jetë X një hapësirë lineare me dim 2X dhe .,. një 2-normë në X , për
konstante 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ të tilla që 1
2a dhe
1
2b . Ekziston ., .
q një kuazi 2-normë në X e
përcaktuar nga:
, , ,q
x y a x y b x y .■
11
Përkufizimi 1.2.11
Le të jetë , .,.X një hapësirë kuazi 2-e normuar.
a) Një varg nx është një varg Koshi në një hapësirë 2-të normuar lineare , .,.X
atëherë dhe vetëm atëherë kur lim𝑛,𝑚→∞
,n mx x z = 0 për çdo z X .
b) Një varg nx në X është quajtur varg konvergjent nëse ekziston x X i tillë që
lim𝑛,𝑚→∞
,nx x z = 0 për çdo z X .
c) Një hapësirë kuazi 2-e normuar në të cilën çdo varg Koshi është konvergjent,
është quajtur e plotë.
Veti të hapësirave kuazi 2-të normuara janë dhënë në [12],[19].
Në [43] C.Park prezanton konceptin e kuazi (2-p)-normës si të tillë:
Një kuazi 2-normë .,. quhet kuazi (2-p)-normë (0 1)p nëse:
, , ,p p p
x y z x z y z për çdo , ,x y z X .
Në fund të punimit të tij C.Park lë si detyrë që të “ndërtohet” një hapësirë kuazi 2-e
normuar e plotë.
Detyrën e lënë prej tij e morën përsipër autorët M.Kir dhe M.Acikgoz, duke dhënë një
sërë përkufizimesh dhe teoremash në lidhje me plotësinë e hapsirave kuazi 2-të
normuara.
Në analogji me përkufizimin e C.Park për kuazi normën e përgjithësuar, japim
përkufizimin për kuazi 2-normën e përgjithësuar:
Përkufizimi 1.2.12
Le të jetë X një hapësirë lineare me dim 2X . Funksion kuazi 2-normë e përgjithësuar
do të quhet funksioni 2.,. : X ℝ+, i tillë që:
1. , 0x y atëherë dhe vetëm atëherë kur x dhe y janë linearisht të varur.
2. , ,x y y x
3. , ,x y x y
4. 1 1
, ,i i
i i
x y K x y
për çdo , ,x y z X , 𝜆 ∈ ℝ dhe 1K .
Përkufizimi 1.2.13
Le të jenë 2 , .,.x
X dhe 2 , .,.y
Y dy hapësira kuazi 2-të normuara të përgjithësuara:
1) Pasqyrimi :L X Y është quajtur izometri në qoftë se për çdo , ,x y z X kemi:
, ,y x
Lx Ly z x y z .
2) Hapësira X është izometrike me hapësirën Y nëse ekziston një izometri e X në
Y .
12
Teoremë 1.2.14
Le të jetë 2 , .,.x
X një hapësirë kuazi 2-e normuar e përgjithësuar. Supozoj se kuazi 2-
norma e përgjithësuar është një (2-p)-normë. Atëherë ekziston një hapësirë kuazi (2-p) e
Banahut X dhe një izometri ˆ:L X Y X e cila është e ngjeshur në X . Hapësira X
është e vetme në lidhje me izometrinë L .
Vërtetim: (Vërtetimi bëhet në 4 hapa)
Hapi 1: Ndërtojmë një hapësirë kuazi (2-p)-Banah të normuar 2
ˆˆ , .,.
xX . Le të jenë
nx dhe 'nx vargje Koshi në X të tillë që nx ekuivalent me 'nx dhe shënoj:
nx ~ 'nx në qoftë se lim𝑛→∞
' ,n nx x z = 0. (1.2.1)
Le të jetë X bashkësia e të gjitha klasave të ekuivalencës të vargjeve Koshi. Shënoj
ˆnx x që do të thotë se nx është përfaqësues i klasës x .
Për të bërë X një hapësirë vektoriale përcaktojmë në X dy operatorë algjebrikë, kështu
konsideroj ˆˆ ˆ,x y X dhe vargjet respektivë: ˆnx x dhe ˆ
ny y dhe n n nu x y .
Vargu nu është varg Koshi në X përderisa:
, , , ,n m n n m m n m n mx x xxu u z x y x y z K x x z K y y z .
Përcaktoj shumën ˆ ˆ ˆu x y si klasën respektive përfaqësues i së cilës është vargu nu ,
pra ˆnu u .
Nga barazimi (1.2.1) kemi që nëse nx ~ 'nx dhe ny ~ 'ny atëherë n nx y ~
' 'n nx y sepse:
' ' , ' , ' ,n n n n n n n nx xxx y x y z K x x z K y y z .
Njësoj produkti ˆx X është një klasë ekuivalence me përfaqësues nx . Elementi
zero i X është klasa e ekuivalencës që përmban të gjithë vargjet që konvergjojnë në zero.
Në këtë mënyrë kemi ndërtuar hapësirën X si hapësirë vektoriale.
Shënoj:
ˆˆ ˆ,
xx y z lim
𝑛→∞,n n x
x y z ku ˆnx x dhe ˆ
ny y . (1.2.2)
Ky limit ekziston dhe kemi:
, , , ,p p p p
n n n m m m m nx x x xx y z x x z x y z y y z
Kështu:
, , , ,p p p p
n n m m n m m nx x x xx y z x y z x x z y y z
ose:
, , , ,p p p p
m m n n n m m nx x x xx y z x y z x x z y y z .
Prandaj:
, , , ,p p p p
n n m m n m m nx x x xx y z x y z x x z y y z . (1.2.3)
13
Përderisa nx dhe ny janë vargje Koshi mund ta bëjmë krahun e djathtë të
inekuacionit sa të vogël të duam.
Pra ekziston limiti (1.2.2) (përderisa ℝ e plotë).
Të tregojmë tani se ky limit është i pavarur nga zgjedhja e përfaqësuesve të klasave të
ekuivalencës. Nëse nx ~ 'nx dhe ny ~ 'ny atëherë nga (1.2.1) kemi:
, ' ' , ' , ' ,p p p p
n n n n n n n nx x x xx y z x y z x x z y y z
të cilët tentojnë në zero kur n. Prandaj:
lim𝑛→∞
,n n xx y z = 0 = lim
𝑛→∞' ' ,n n x
x y z .
Tani të provojmë se ˆ
.,.x në (1.2.2) është një kuazi 2-normë e përgjithësuar, pra kanë
vend vetitë 1),2),3) të kuazi 2-normës së përgjithësuar.
Gjithashtu meqë .,.x është një kuazi 2-normë e përgjithësuar ekziston 1K e tillë që:
1 1
, ,i i i i xi ix
x y z K x y z
.
Prandaj:
ˆ
1 1ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ, ,i i i i xi ix
x y z K x y z
për çdo ˆˆ ˆ,i ix y X .
Pra ˆ
.,.x është një kuazi 2-normë e përgjithësuar.
Gjithashtu mosbarazimi (2) tregon se kuazi 2-norma e përgjithësuar ˆ
.,.x është
ekuivalente me një kuazi (2-p)-normë.
Hapi 2: Ndërtoj izometrinë ˆ:L X Y X .
Çdo pikë b X e lidhur me një klasë ˆ ˆb X që përmban një varg konstant Koshi
( , ,..., )b b b . Kjo përcakton një pasqyrim :L X Y ku ˆ( )Y L X X . Pasqyrimi është
dhënë nga ˆb b Lb ku: ˆ( , ,..., )b b b b . Pasqyrimi L është një izomeri përderisa
(1.2.2) kthehet në:
ˆ
ˆ ˆ, ,xx
b c z b c z .
Prandaj c është një klasë e ny ku ny c , n N . Një izometri është injektive dhe
:L X Y është syrjektive përderisa ( )Y L X , prandaj X dhe Y janë izometrikë.
Nga përkufizimi rrjedh se në Y vektorët operatorë të induktuar nga X përputhen me ato
të induktuar nga X nëpërmjet L .
Të tregojmë se Y është i ngjeshur në X . Konsideroj ˆx X dhe ˆnx x ;
Për çdo 0 , 𝑁 ∈ ℕ e tillë që ,2
n N xx x z
, n N .
Le të jetë ˆ, ,...N N Nx x x dhe ˆNx Y . Nga (1.2.2) kemi:
ˆˆ ˆ ,n N xx x z = lim
𝑛→∞,n N x
x x z2
.
Kjo tregon se çdo -rrethinë e një ˆx X arbitrar, përmban një element të Y .
14
Pra Y është i ngjeshur në X .
Hapi 3: Të tregojmë se X është një hapësirë e plotë.
Le të jetë ˆnx një varg Koshi në X . Përderisa Y është i ngjeshur në X për çdo ˆ
nx ,
ekziston ˆnu Y e tillë që:
ˆ
1ˆ ˆ ,n n xx u z
n . (1.2.4)
Nga përkufizimi i kuazi 2-normës së përgjithësuar kemi:
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,m n m m m n m nx x x xu u z K u x z K x x z K x u z
ˆˆ ˆ ,m n x
K KK x x z
m n
dhe kjo është më e vogël se një 0 , për ,m n sado të mëdha pasi ˆnx është një varg
Koshi. Prandaj ˆnu është varg Koshi gjithashtu.
Përderisa :L X Y është një izometri dhe ˆnu Y , vargu nu ku 1 ˆ
n nu L u , është
një varg Koshi në X .
Le të jetë ˆx X një klasë të cilës i përket vargu nu . Të tregojmë se x është limiti i
ˆnx . Nga përkufizimi i kuazi 2-normës së përgjithësuar dhe mosbarazimit (1.2.4) kemi:
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,n n n nx x xx x z K x u z K u x z
ˆ
ˆ ˆ,n x
KK u x z
n . (1.2.5)
Përderisa ˆnu x dhe ˆ
mu Y e tillë që ˆ, ,...m m mu u u , mosbarazimi (1.2.5) merr
trajtën:
ˆˆ ˆ,n x
Kx x z K
n lim
𝑛→∞,n m x
u u z , ∀𝑛 ∈ ℕ.
Pra vargu arbitrar ˆnx në X ka limit ˆx X , si rrjedhojë hapësira X është e plotë.
Hapi 4: Të tregojmë se X është e vetme në lidhje me izometrinë L .
Nëse 2 , .,.x
X është një hapësirë kuazi 2-e normuar e përgjithësuar, e cila është e plotë
dhe një nënhapësirë Z e ngjeshur në X dhe izometrike me X , atëherë për ,x y X
kemi vargjet ,n nx y Z të tillë që: nx x dhe ny y .
Kështu:
,x
x y z lim𝑛→∞
,n n xx y z
që nga ku:
, , , , 0p p p p
n n n mx x x xx y z x y z x x z y y z
inekuacion ky i ngjashëm me (1.2.3).
Meqë Z është izometrik me ˆY X dhe ˆY X , kuazi 2-normat e përgjithshme X dhe
X duhet të jenë të njëjta. Prandaj X dhe X janë izometrike.■
15
Teorema 1.2.15
Le të jetë , .,.X një hapësirë kuazi 2-e normuar. Ekziston një p , 0 1p dhe një
kuazi 2-normë ekuivalente ., . në X , e cila plotëson konditën:
, , ,p p p
x y z x z y z për çdo , ,x y z X .■
16
KAPITULLI II
NORMAT DHE KUAZI NORMAT ASIMETRIKE
2.1 PËRGJITHËSIME TË GJYSMË PRODUKTIT SKALAR
Me qëllimin e mbajtjes së argumentave mbi hapësirat e Hilbertit, edhe për teorinë e
hapësirave të Banahut, G.Lumer [41] ndërtoi mbi një hapësirë vektoriale, një lloj
produkti skalar me një sistem aksiomatik më të përgjithshëm se ai i hapësirës Hilbertiane.
Ai përkufizoi gjysmë produktin skalar, mbi një hapësirë vektoriale komplekse V , si një
funksion [ , ]x y mbi V V me vetitë e mëposhtme:
1) , [ , ] [ , ]x y z x z y z dhe , [ , ]x y x y , për çdo numër komplex ,
2) , 0x x kur 0x ,
3) 2
[ , ] [ , ][ , ]x y x x y y .
Hapësira vektoriale me një gjysmë produkt skalar është quajtur hapësira e gjysmë
produktit skalar. Një hapësirë e gjysmë produktit skalar është një hapësirë e normuar me
normë: [ , ]x x x .
Për G.Lumer rëndësia e një hapësire të gjysmë produktit skalar, është se çdo hapësirë
vektoriale e normuar mund të paraqitet si hapësirë e një gjysmë produkti skalar, dhe në
këtë mënyrë teoria e operatorëve në një hapësirë të Banahut mund të futet nga tipet e
argumenteve të hapësirës Hilbertiane.
Vitet e fundit një numër i madh autorësh [1],[34],[44],[49] i kanë përdorur gjysmë
produktet skalare si mjete të forta në investigimin e vetive të tilla si reflektiviteti, strikt
konveksiteti dhe lëmueshmëria e hapësirave të Banahut dhe gjithashtu si mundësi për
prezantimin e funksionalëve linear të vazhdueshëm, të funksionalëve sub-linear të
kufizuar apo të funksioneve konveksë ndërtuar mbi këto hapësira.
Y.J.Cho, M.Matic, P.Peacaric, H.Gunavan dhe autorë të tjerë paraqitën në punimet e tyre
2-produktin skalar i cili përcakton një funksion 2-normë.
Të tjerë si J. Gilles, E.Torrance, B. Nath, studiojnë lidhjen e ortogonalitetit dhe strikt
konveksitetit në hapësira të përftuara nga përgjithësime të produktit skalar.
Në [42] B.Nath jep një përgjithësim të gjysmë produktit skalar, duke zëvëndësuar
mosbarazimin e Schwarz-it me mosbarazimin e Hölder-it, dhe ky gjysmë produkt skalar i
përgjithësuar indukton një normë 1/ [ , ]px x x , 1 p . Për çdo hapësirë të normuar
mund të ndërtohet një hapësirë e gjysmë produktit skalar të përgjithësuar.
Përkufizimi 2.1.1
Le të jetë X një hapësirë vektoriale mbi fushën e numrave realë ose kompleksë V .
Konsiderojmë një funksion , :x y X X V . Në qotë se ky funksion plotëson konditat:
1) , [ , ] [ , ]x y z x z y z për , ,x y z X ,
2) , [ , ]x y x y për V dhe ,x y X ,
3) , 0x x për 0x ,
17
4)
1 1
[ , ] [ , ] [ , ]
p
p px y x x y y
, 1 p ,
atëherë ai do të quhet gjysmë produkti skalar i përgjithësuar në X .
Hapësira vektoriale X bashkë me një gjysmë produkt skalar të përgjithësuar në të do të
quhet hapësira e gjysmë produktit skalar të përgjithësuar. Për 2p një hapësirë e gjysmë
produktit skalar të përgjithësuar është hapësira e gjysmë produktit skalar.
Lemë 2.1.2
Një hapësirë e gjysmë produktit skalar të përgjithësuar është një hapësirë lineare e
normuar me normë: 1/ [ , ]px x x .
Vërtetim: Duhe të tregojmë se 1/ [ , ]px x x është një normë. Për këtë mjafton të
tregohet se:
1)
1 1
[ , ] [ , ]p px x x x dhe
2) 1 1
1
, [ , ] [ , ]p ppx y x y x x y y .
Vërtet, për pikën 1) kemi se nga kondita (2) e gjysmë produktit skalar të përgjithësuar
marrim:
, [ , ]x x x x .
Nga ku:
, [ , ]x x x x .
Nga kondita (3) e gjysmë produktit skalar të përgjithësuar kemi:
, [ , ]x x x x ,
prandaj:
, [ , ]x x x x .
Nga kondita (4) marrim:
1
1
[ , ] [ , ] ,p
ppx x x x x x
, 1 p .
Nga ku:
1
1
[ , ] [ , ] ,p
ppx x x x x x
.
Rezultati që marrim në vazhdim është: 1 1
[ , ] [ , ]p px x x x . (2.1.1)
Përderisa mund të shkruajmë: 1
11 1
[ , ] , , 0p
px x x x
,
nga (2.1.1) rrjedh se:
18
1
11[ , ] ,p
px x x x
.
Prandaj: 1
1
[ , ] ,ppx x x x për çdo V . (2.1.2)
Duke kombinuar (2.1.1) dhe (2.1.2) marrim: 1 1
[ , ] [ , ]p px x x x .
Për vërtetimin e pikës 2) shikojmë konditën (1) të gjysmë produktit skalar, nga ku kemi:
, , ,x y x y x x y y x y
ndërsa nga kondita e dytë kemi:
, , ,x y x y x x y y x y
, ,x x y y x y . (2.1.3)
Gjithashtu nga kondita (4) marrim:
1
1
, [ , ] ,p
ppx x y x x x y x y
(2.1.4)
dhe në mënyrë të ngjashme:
1
1
, [ , ] ,p
ppy x y y y x y x y
. (2.1.5)
Nga (2.1.3), (2.1.4) dhe (2.1.5) marrim:
1 1
1
, [ , ] [ , ] ,p
p ppx y x y x x y y x y x y
.
Nga ku përfundimisht marrim:
1 1
1
, [ , ] [ , ]p ppx y x y x x y y .■
Lemë 2.1.3
Çdo hapësirë lineare e normuar mund të bëhet një hapësirë e një gjysmë produkti skalar
të përgjithësuar.
Teoremë 2.1.4
Një hapësirë e një gjysmë produkti skalar të përgjithësuar, mund të bëhet një hapësirë
lineare e normuar me normë: 1/ [ , ]px x x , 1 p .
Çdo hapësirë lineare e normuar mund të bëhet një hapësirë e një gjysmë produkti skalar
të përgjithësuar.
Vërtetim: Vërtetimi i teoremës rrjedh nga Lema 2.1.2 dhe 2.1.3.■
19
2.2 HAPËSIRAT E NORMUARA ASIMETRIKE, PRODUKTI SKALAR
ASIMETRIK DHE FUNKSIONI KUAZI NORMË ASIMETRIKE
Produktet gjysmë skalare shënojnë përgjithësimet e para të funksionit produkt skalar.
Lidhja e ngushtë e këtyre funksioneve me funksionin normë ka mundësuar fitimin e
shumë rezultateve me interes që lidhen me ortogonalitetin dhe konveksitetin në këto
hapsira [41], [26].
Një përgjithësim mjaft i njohur i funksionit normë është pikërisht ai që cënon kushtin e
simetrisë. Një normë asimetrike është një funksional sublinear pozitiv p i përcaktuar në
një hapësirë lineare i tillë që: ( ) ( ) 0p x p x sjell 0x . Në këtë funksional nuk
përjashtohet mundësia që: ( ) ( )p x p x , duke shpjeguar në këtë mënyrë dhe emërtimin
“asimetrik”. Hapësirat me metrikë asimetrike janë quajtur hapësira kuazi metrike. Është e
vështirë për të lokalizuar momentin e parë kur është përdorur norma asimetrike, por
afërsisht në vitet 1968 në artikuj të Duffin dhe Karlovitz. Në vitet në vazhdim të tjerë
autorë përdorën termin e normës asimetrike në punimet e tyre në lidhje me probleme të
ndryshme të analizës [36], [31], [37], [13], [24].
Në vijim po paraqesim disa njohuri të përgjithshme në lidhje me hapësirën e normës
asimetrike:
Përkufizimi 2.2.1
Një kuazi gjysmë metrikë në një bashkësi të çfarëdoshme X është pasqyrimi
: 0,X X që plotëson konditat e mëposhtme:
1) ( , ) 0x y dhe ( , ) 0x x ;
2) ( , ) ( , ) ( , )x z x y y z , për çdo , ,x y z X .
Nëse plotësohet dhe barazimi 3) ( , ) ( , ) 0x y y x x y , për çdo ,x y X , atëherë
quhet kuazi metrikë. Çifti ,X quhet hapësirë kuazi gjysmë metrike ose hapësirë
kuazi metrike, respektivisht.
E konjuguara e kuazi gjysmë merikës është kuazi gjysmë metrika: ( , ) ( , )x y y x ,
për çdo ,x y X . Pasqyrimi ( , ) max ( , ), ( , )s x y x y x y , për çdo ,x y X është një
gjysmë metrikë në X , dhe është një metrikë atëherë dhe vetëm atëherë kur është një
kuazi metrikë.
Në disa raste përdoret kuptimi i zgjeruar i kuazi gjysmë metrikës, që do të thotë se kuazi
gjysmë metrika merr vlerën për ndonjë ,x y X . Mosbarazimet e mëposhtme
vlejnë për këto kuazi gjysmë metrika, për çdo ,x y X :
( , ) ( , )sx y x y dhe ( , ) ( , )sx y x y . (2.2.1)
Përkufizimi 2.2.2
Një normë asimetrike në një hapësirë vektoriale X është një funksion : 0,p X i
cili plotëson konditat:
1) ( ) ( ) 0 0p x p x x ;
2) ( ) ( )p x p x për 0
3) ( ) ( ) ( )p x y p x p y , për çdo ,x y X .
20
Nëse funksioni p plotëson vetëm konditat 2) dhe 3) atëherë quhet gjysmë normë
asimetrike. Çifti ,X p quhet hapësira e normës asimetrike (respektivisht, gjysmë
normës asimetrike). Dhe në rastin e normës asimetrike, në raste të veçanta, vlera do të
lejohet dhe në këto raste ajo do të quhej norma asimetrike e zgjeruar.
Një gjysmë normë asimetrike p përcakton një kuazi gjysmë metrikë p në X nëpërmjet
formulës:
( , ) ( )p x y p y x , për çdo ,x y X . (2.2.2)
Në këtë rast mosbarazimet (2.2.1) bëhen:
( ) ( )sp x p x dhe ( ) ( )sp x p x . (2.2.3)
Të konjuguarat e dhe p mund të shënohen edhe me 1 dhe
1p në disa raste të
veçanta.
Nëse ,X është një hapësirë kuazi gjysmë metrike, atëherë për x X dhe 0r ,
përcaktojmë rruzujt në X si të tillë:
( , ) : ( , )B x r y X x y r rruzulli i hapur,
dhe: [ , ] : ( , )B x r y X x y r rruzull i mbyllur.
Në rastin e një hapësire gjysmë të normuar asimetrike ,X p rruzujt do të ishin të trajtës:
( , ) : ( )pB x r y X p y x r dhe
[ , ] : ( )pB x r y X p y x r .
Rruzulli njësi i mbyllur i X është [0,1]p pB B ndërsa rruzulli njësi i hapur është
' (0,1)p pB B . Në këtë rast kanë vend barazimet:
[ , ]p pB x r x rB dhe ( , ) 'p pB x r x rB (2.2.4)
që do të thotë se çdo njëri prej rruzujve njësi të X , përcakton në mënyrë të plotë
strukturën metrike të saj. Në disa raste këto rruzuj shënohen dhe: ,p XB dhe ,'p XB
respektivisht.
E konjuguara p e p jepet nga ( ) ( )p x p x për çdo x X , dhe gjysmë norma e lidhur
me të është: ( ) max ( ), ( )sp x p x p x , x X . Gjysmë norma p është një normë
asimetrike atëherë dhe vetëm atëherë kur sp është një normë në X .
Topologjia ( ) e një kuazi gjysmë metrike ,X mund të përcaktohet nisur nga
familja ( )V x e fqinjësive të një pike arbitrare x X :
( ) 0V V x r e tillë që ( , )B x r V
' 0r e tillë që , 'B x r V .
Është e qartë se për të parë ekuivalencën në përcaktimin e mësipërm, mund të marrim
'2
rr .
21
Një bashkësi G X është ( ) -e hapur atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo x G
ekziston 0xr r e tillë që ( , )pB x r G . Shpesh themi V është një -fqinjësi e x, ose
bashkësia G është -e hapur.
Konvergjenca e një vargu ( )nx në x, në lidhje me ( ) , e quajtur -konvergjencë dhe e
shënuar: ( )nx x , mund të karakterizohet në këtë mënyrë:
( ) ( , ) 0n nx x x x .
Gjithashtu:
( , ) 0 ( , ) 0n n nx x x x x x .
Duke përdorur kuazi gjysmë metrikën e konjuguar marrim një tjetër topologji ( ) .
Një topologji të tretë e marrim gjithashtu nga gjysmë metrika s dhe e shënojmë ( )s .
Në disa raste rruzujt e lidhur me janë quajtur rruzujt e avancuar dhe topologjia ( )
topologji e avancuar, ndërkohë që rruzujt e lidhur me janë quajtur rruzujt e pasëm dhe
topologjia ( ) , topologji e pasme.
Si një hapësirë me dy topologji, ( ) dhe ( ) , një hapësirë e kuazi gjysmë metrikës
mund të shikohet si një hapësirë bitopologjike. Një hapësirë bitopologjike është një
bashkësi T e pajisur me dy topologji dhe . Një hapësirë bitopologjike është shënuar
me , ,T .
Shembull
Për 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ përcaktohet një kuazi metrikë e tillë që:
( , )x y y x nëse x y dhe ( , ) 1x y nëse x y .
Një bazë e -fqinjësive të një pike ∈ ℝ , formohet nga familja ; ,0 1x x .
Familja e intervaleve ; ,0 1x x , formon një bazë për -fqinjësitë e x.
Është e qartë se topologjitë dhe janë topologji Hausdorf dhe ( , ) 1s x y për
x y , prandaj topologjia ( )s është topologjia diskrete e ℝ.
Shënim: Përderisa termat “kuazi normë”, “hapësirë kuazi e normuar” dhe “hapësirë kuazi
Banah” janë të mirë përcaktuar, nuk mund ti përdorim për emërtimin e një norme
asimetrike, një hapësire të normuar asimetrike apo të një hapësire bi-Banah asimetrike.
Një hapësirë kuazi e normuar është një hapësirë vektoriale në X e pajisur me funksionin
. : 0;X që kënaq aksiomat e normës, me përjashtim të mosbarazimit të
trekëndëshit, i cili është zëvëndësuar me mosbarazimin:
x y K x y , ,x y X
për ndonjë konstante 1K . Është e qartë se për 1K funksioni . është një normë.
Në këtë temë do të paraqiten përgjithësime të produktit skalar dhe funksionit normë
asimetrike për të vijuar më pas me disa përfundime për përgjithësimet e bëra. Duke
shfrytëzuar lidhjen e ngushtë midis produktit skalar dhe normës. Idea fillestare është ajo e
përkufizimit të produktit skalar asimetrik, duke ndërtuar më parë një funksion shembull
për ta përshkruar atë.
22
Le të jetë dhënë funksioni 𝑝0(𝑥):ℝ → ℝ+ përcaktuar nga barazimi:
0 ( )p x {|𝑥| 𝑥 < 0
2|𝑥| 𝑥 ≥ 0 .
Është e thjeshtë të tregohet se ky funksion është një normë asimetrike.
Për ҫdo 1 2( ; )x x x ℝ2 shënojmë funksionin 0 1 0 2( ) ( ) ( )p x p x p x , ku 0 1 0 2( ), ( )p x p x
janë norma asimetrike në ℝ.
Pohimi 2.2.3: Funksioni 𝑝:ℝ2 → ℝ i tillë që 0 1 0 2( ) ( ) ( )p x p x p x është gjithashtu një
normë asimetrike në ℝ2.
Vërtet:
a) 0 1 0 2( ) ( ) ( ) 0p x p x p x për çdo (𝑥1; 𝑥2) ∈ ℝ2
0 1 0 2 1 2( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0p x p x p x x x
b) 0 1 0 2 0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x p x p x p x p x
0 1 0 2[ ( ) ( )] ( )p x p x p x për 0 .
c) 0 1 1 0 2 2( ) ( ) ( )p x y p x y p x y
0 1 0 1 0 2 0 2( ) ( ) ( ) ( )p x p y p x p y
0 1 0 2 0 1 0 2[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]p x p x p y p y
( ) ( )p x p y
Pra ( ) ( ) ( )p x y p x p y për çdo (𝑥1; 𝑥2) ∈ ℝ2.■
Për ҫdo dy pika 1 2( ; )x x x dhe 1 2( ; )y y y në ℝ2 ndërtojmë funksionin , : ℝ2 → ℝ të
tillë që:
( , )x y
{
1 1 2 2
0 1 0 2
( )( ) ( )
x y x yp y
p y p y
për 1 0y dhe 2 0y
1 1
0 1
( )( )
x yp y
p y
për 1 0y dhe 2 0y
2 2
0 2
( )( )
x yp y
p y
për 1 0y dhe 2 0y
0 për 1 0y dhe 2 0y
.
Funksioni i ndërtuar si më lart gëzon vetitë e mëposhtme [9]:
1) 1 2( , ) 0, ( ; )x x x x ℝ2
2) 1 1 2 2
0 1 0 2
( ) ( )( , ) ( )
( ) ( )
x y x yx y p y
p y p y
23
1 1 2 2
0 1 0 2
( ) ( , )( ) ( )
x y x yp y x y
p y p y
për çdo 𝜆 ∈ ℝ
1 1 2 2
0 1 0 2
( ) ( )( , ) ( )
( ) ( )
x y x yx y p y
p y p y
2 1 1 2 2
0 1 0 2
( )( ) ( )
x y x yp y
p y p y
për 0
1 1 2 2
0 1 0 2
( ) ( , )( ) ( )
x y x yp y x y
p y p y
.
3) ( ', ) ( , ) ( ', )x x y x y x y
Për të treguar këtë barazim shikojmë këto 4 raste:
Rasti 1: 1 2 1 2( ; ), ' ( ' ; ' )x x x x x x dhe 1 2( ; )y y y ku 1 2 1 20, 0, ' 0, ' 0x x x x
1 1 1 2 2 2
0 1 0 2
( ' ) ( ' )( ', ) ( )
( ) ( )
x x y x x yx x y p y
p y p y
1 1 1 1 2 2 2 2
0 1 0 1 0 2 0 2
' '( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x yp y
p y p y p y p y
1 1 2 2 1 1 2 2
0 1 0 2 0 1 0 2
' '( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x yp y p y
p y p y p y p y
( , ) ( ', )x y x y
Rasti 2:
1 2 1( ; ), ' ( ';0)x x x x x dhe 1 2( ; )y y y ku 1 2 10, 0, ' 0x x x
1 1 2 2
0 1 0 2
( , ) ( )( ) ( )
x y x yx y p y
p y p y
dhe 1 1
0 1
'( ', ) ( )
( )
x yx y p y
p y
Në këtë rast: 1 1 2' ( ', )x x x x x prandaj:
1 1 1 2 2
0 1 0 2
( ')( ', ) ( )
( ) ( )
x x y x yx x y p y
p y p y
1 1 2 2 1 1
0 1 0 2 0 1
'( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y x y x yp y p y
p y p y p y
( , ) ( ', )x y x y
Barazimi ( ', ) ( , ) ( ', )x x y x y x y tregohet në mënyrë analoge dhe në rastet:
a) 1 2 2( ; ), ' (0; ')x x x x x dhe 1 2( ; )y y y ku 1 2 20, 0, ' 0x x x
b) 1 1 2( ;0), ' ( '; ')x x x x x dhe 1 2( ; )y y y ku 1 1 20, ' 0, ' 0x x x
c) 2 1 2(0; ), ' ( ' ; ' )x x x x x dhe 1 2( ; )y y y ku 2 1 20, ' 0, ' 0x x x
Rasti 3:
24
1 2 1 2( ; ), ' ( ' ; ' )x x x x x x dhe 1 2( ; )y y y ku 1 2 1 20, 0, ' 0, ' 0x x x x por
1 1' 0x x dhe 2 2' 0x x pra 1 1'x x dhe 2 2'x x .
Në këtë rast ' (0;0)x x prandaj ( ', ) 0x x y ndërsa:
1 1 2 2 1 1 2 2
0 1 0 2 0 1 0 2
' '( ', ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x yx y p y p y
p y p y p y p y
1 1 2 2
0 1 0 2
( ) ( , )( ) ( )
x y x yp y x y
p y p y
Nga ku: ( , ) ( ', ) 0 ( ', )x y x y x x y .
Rasti 4: 1 2( ; )x x x
1 2' ( ' ; ' )x x x 1 2( ; )y y y ku 1 2 1 20, 0, ' 0, ' 0x x x x
por
1 1' 0x x pra 1 1'x x .
Në këtë rast 2 2' (0; ' )x x x x prandaj:
2 2 2 2 2 2 2
0 2 0 2 0 2
( ' ) '( ', ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x y x y x yx x y p y p y p y
p y p y p y
ndërkohë:
1 1 2 2
0 1 0 2
( , ) ( )( ) ( )
x y x yx y p y
p y p y
dhe 1 1 2 2 1 1 2 2
0 1 0 2 0 1 0 2
' ' '( ', ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y x y x y x yx y p y p y
p y p y p y p y
Që nga:
2 2 2 2
0 2 0 2
'( , ) ( ', ) ( ) ( ) ( ', )
( ) ( )
x y x yx y x y p y p y x x y
p y p y .
Njëlloj tregohet edhe kur: 1 2 1 2( ; ), ' ( ' ; ' )x x x x x x 1 2( ; )y y y ku
1 2 1 20, 0, ' 0, ' 0x x x x por 2 2' 0x x pra 2 2'x x .
4) Nga ndërtimi i funksionit 0 ( )p x {|𝑥| 𝑥 < 0
2|𝑥| 𝑥 ≥ 0 fitohet mosbarazimi:
0( )x p x x ℝ2
nga ku:
1 0 1 2 0 2 1 0 1 2 0 2( ) ( ), ( ) ( )x p x x p x y p y y p y
sjell:
1 2
1 2
0 1 0 2
( , ) ( )( ) ( )
y yx y p y x x
p y p y
1 2 0 1 0 2( )[ ] ( ) ( ) ( )p y x x p y p x p x
( ) ( ) ( ) ( )p y p x p x p y
Pra: ( , ) ( ) ( )x y p x p y , nga ku: 2( , ) ( , ) ( )x x x x p x .■
25
Shënim 2.2.4
Për ( , )x x ku 1 2( ; )x x x ℝ2 kemi:
1) 1 2 1 20, 0 ( ) 0, ( ) 0x x p x p x
2 22 2
1 21 2
0 1 0 2 0 1 0 2
( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
x xx xx x p x p x
p x p x p x p x
2
0 1 0 2( ) ( ) ( ) ( )p x p x p x p x .
2) 1 2 1 20, 0 ( ) 0, ( ) 0x x p x p x
22 2 21
1 0
0 1
( , ) ( ) ( ) ( )( )
xx x p x x p x p x
p x
3) 1 2 1 20, 0 ( ) 0, ( ) 0x x p x p x
22 2 22
2 0
0 2
( , ) ( ) ( ) ( )( )
xx x p x x p x p x
p x
4) 2
1 2 1 20, 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 , 0 ( )x x p x p x p x x x p x
Përfundimisht: 2( , ) ( )x x p x .■
Vërejtje: Barazimi 2( , ) ( )x x p x në përgjithësi nuk është i vërtetë.
Për ( 1;2)x kemi: 2( ) 1 2 2 5 ( ) 25p x p x , ndërkohë gjithashtu kemi:
2 2 2 2
1 2
0 1 0 2
( 1) (2)( , ) ( ) 5 5[1 1] 10
( ) ( ) 1 2 2
x xx x p x
p x p x
.
Pra në këtë rast:2( , ) ( )x x p x .
Shënim 2.2.5.
Gjithashtu mund të tregojmë se:2 ( ) 2( , )p x x x .
Vërtet:
Rasti 1: Për 2
1 2( ; )x x x R ku 1 20 0x x kemi:
2 22 2
1 21 2
0 1 0 2 1 2
( , ) ( ) ( )( ) ( )
x xx xx x p x p x
p x p x x x
1 2( ) ( ) ( )p x x x p x p x .
Ose:
2 ( ) ( , ) 2( , )p x x x x x .
Rasti 2: Për 2
1 2( ; )x x x R ku 1 20 0x x kemi:
26
2 22 2
1 21 2
0 1 0 2 1 2
( , ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2
x xx xx x p x p x
p x p x x x
21 2 ( )
( )2 2 2
x x p xp x
.
Nga ku:
2 ( ) 2( , )p x x x .
Rasti 3: Për 2
1 2( ; )x x x R dhe 1 20 0x x 1 2[ 0 0]x x kemi:
2 2
1 2
0 1 0 2
( , ) ( )( ) ( )
x xx x p x
p x p x
2 2
1 2 1
2
1 2
( ) ( )2 2
x x xp x p x x
x x
21 2 ( )
( )2 2 2
x x p xp x
Nga ku:
2 ( ) 2( , )p x x x .■
Shënim 2.2.6.[9]:
Funksioni ( , )x y i ndërtuar si më sipër mundëson përftimin e një funksioni :p ℝ2 → ℝ
të tillë që: ( ) ( , )p x x x .
Nga mosbarazimi: 2 ( ) 2( , )p x x x
kemi: 22 ( ) 2 ( )p x p x ose ( ) 2 ( )p x p x ,
dhe nga mosbarazimi:
( , ) ( ) ( )x y p x p y
kemi:
( , ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )x y p x p y p x p y p x p y .
Pra për funksionin :p ℝ2 → ℝ kanë vend vetitë:
1) ( ) 0, ( ) 0 0p x p x x për xℝ2
2) ( ) ( )p x p x për 0
3) 2
( ) , , ,p x y x y x y x x y y x y
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )p x p x y p y p x y
2 ( ) ( ) ( )p x y p x p y .
27
Që nga:
( ) 2 ( ) ( )p x y p x p y .■
Përkufizimi 2.2.7.[9]:
Funksioni 2, : X ℝ, ku X është një hapsirë vektoriale, quhet kuazi produkti skalar
asimetrik nëse plotëson kushtet:
a) ( , ) 0x x x X
b) ( , ) ( , )x y x y 2( ; )x y X dhe për çdo 𝜆 ∈ ℝ
( , ) ( , )x y x y 2( ; )x y X dhe 0
c) ( ', ) ( , ) ( ' )x x y x y x y , ',x x y X
d) 2
( , ) ( , )( , )x y k x x y y për 1k .
Përkufizimi 2.2.8.[9]:
Funksioni :p X ℝ+quhet kuazi normë asimetrike nëse plotëson kushtet:
a) ( ) 0p x x X
b) ( ) ( )p x p x x X dhe 0
c) ( ) ( ) ( )p x y k p x p y 2( ; )x y X dhe 1k .
Duke patur parasysh lidhjen e ngushtë të produktit skalar me funksionin normë japim
pohimin e mëposhtëm:
Pohimi 2.2.9.[9]:
Në qoftë se ( , )x y është funksioni kuazi produkt skalar asimetrik në X , atëherë funksioni
:p X ℝ i përcaktuar nga barazimi ( ) ( , )p x x x është një funksion kuazi normë
asimetrike.
Vërtetim:
1) ( ) ( , ) 0p x x x x X
2) 2( ) ( , ) ( , )p x x x x x për 0
Prandaj ( ) ( , ) ( )p x x x p x .
3) 2
( ) ( , ) ( , ) ( , )p x y x y x y x x y y x y
( , ) ( , )x x y y x y
'( , )( , ) '( , )( , )k x x x y x y k y y x y x y
' ( ) ( ) ' ( ) ( )k p x p x y k p y p x y
' ( ) ( ) ( )k p x p y p x y
Nga ku:
28
( ) ' ( ) ( )p x y k p x p y
dhe nëse shënojmë: ' 1k k kemi:
( ) ( ) ( )p x y k p x p y .■
2.3 DISA VETI TË FUNKSIONIT KUAZI NORMË ASIMETRIKE
Pjesa në vazhdim e studimit tonë ka të bëjë pikërisht me funksionin kuazi normë
asimetrike të përkufizuar në temën paraardhëse. Kështu në këtë temë po rendisim disa
pohime të trajtuara në kuadrin e kuazi normës asimetrike.
Le të jetë ( )p x një kuazi normë asimetrike (përkufizimi 2.2.8). Atëherë ka vënd pohimi:
Pohimi 2.3.1.[7]
Për çdo hapësirë vektoriale në të cilën është përcaktuar një funksion kuazi normë
asimetrike ( )p x , bashkësia:0X { /x X lim
α→0( )p x = 0} është një nënhapësirë
vektoriale e cila konçidon me vetë hapësirën.
Vërtetim: Është e qartë se 0X X . Le të jenë
1 2 0,x x X , përderisa 1 2 0,x x X kemi që:
lim∝→0 1( )p x = 0 dhe lim
∝→0 2( )p x = 0
nga ku marrim: 1 2 1 2 00 ( ( )) ( ) ( ) 0p x x p x p x
.
Në këtë mënyrë: lim∝→0 1 2( ( ))p x x = 0
1 2 0x x X .
Për çdo 𝜇 ∈ ℝ , 0x X 0x X :
00 ( ( )) ( ) 0p x p x
,
Përderisa:
0 1 dhe
00
, pra:
0x X .
Kështu 0X është një nënhapësirë e hapësirës vektoriale X .
Nga ana tjetër, për çdo x X kemi:
0
( ) 0p x
, pra 0
( ) ( ) 0p x p x
,
nga ku: 0x X . Prandaj:
0X X .■
29
Pohimi 2.3.2.[7]:
Nëqoftë se funksioni 𝑝: 𝑋 → ℝ+ është një funksion që plotëson kushtin e homogjenitetit
për skalarë positive dhe kushtin ( ) ( ) ( )p x y p x p y për 1 , atëherë
funksioni ( ) :g x X ℝ+ i tillë që: ( ) inf 0 / 1x
g x p
përcakton një kuazi
normë asimetrike me konstante 2K .
Vërtetim:
( ) inf 0 / 1x
g x p
inf 0 / 1x
p
inf ' 0 / 1'
xp
( )g x . Për 0
Kemi shënuar: ' dhe ' 0 .
( ) inf 0 / 1x y
p x y p
Shënoj: 0 / 1x
A p
, 0 / 1
yB p
dhe: 20 / 1
x y
C p
.
Vërejmë se: A B C .
Me të vërtetë, le të jenë skalarët pozitivë: 1 2,A B
ku:
1
1x
p
dhe
2
1y
p
.
Vërejmë se:
30
1 2
1 2
1 2 1 2
x y
x yp p
1 2
1 2 1 1 2 2 1 2
x y x yp p p
Sepse: 1 2
1 2 1 2
1
. Që nga merret mosbarazimi: 2 1
x y
p
.
Përfshirja A B C sjell që inf inf( ) inf infC A B A B ose:
( ) ( )2
x yg g x g y
ose: 2 ( ) ( )g x y g x g y .■
Përkufizimi 2.3.3.[7]:
Le të jetë X një hapësirë vektoriale dhe :p X ℝ+ një funksion kuazi normë
asimetrike. Përcaktoj ( , ) ( )d x y p x y një funksion, i cili plotëson këto kondita:
1) ( , ) 0d x y dhe ( , ) 0 0d x x x
2) ( , ) ( , ) ( , )d x y k d x z d z y për çdo , ,x y z X dhe 1k .
Ky funksion është quajtur funksioni kuazi metrikë asimetrike e djathtë. Në të njëjtën
mënyrë mund të përkufizohet funksioni kuazi metrikë asimetrike e majtë si:
( , ) ( )d x y p y x dhe konditat e mëposhtme plotësohen:
1) ( , ) 0d x y dhe ( , ) 0 0d x x x
2) ( , ) ( , ) ( , )d x y k d x z d z y për çdo , ,x y z X dhe 1k .
Pohimi 2.3.4.[7]:
Funksioni: ( , ) ( ) ( , ) ( )d x y p x y d x y p y x është një funksion kuazi metrikë.
Vërtetim:
1) ( , ) ( ) 0d x y p x y dhe ( , ) ( ) (0) 0 0d x x p x x p x
2) ( , ) ( , ) ( , )d x y k d x z d z y për 1k për 1k , kemi:
( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y
3) ( , ) ( ) 0 0d x y p x y x y x y
Pra pohimi u vërtetua.■
31
Vërejtje 2.3.5.[7]: Është i vërtetë implikimi:
( ) 1 ( ) 1g x p x .
Vërtetim: Nga vetia e inferiorit, ekziston 1 e tillë që:
1( ) 1g x dhe 1
1x
p
1
1
( )x
p x p
1
1
1 1 1x
p
për
1 0 .
Prandaj: ( ) 1 ( ) 1g x p x .■
Pohimi 2.3.6.[7]:
Në çdo hapësirë vektoriale me një funksion kuazi produkt skalar, topologjia e gjysmë
normës asimetrike ( )g x është ekuivalente me topologjinë dT të funksionit kuazi metrikë.
Vërtetim: Le të jetë 0x X . Shënojmë:
0 0, / ( )S x x X p x x , 0 dhe 0 0, / ( )M x x X g x x .
Vëmë re se:
0 0 0, , ,2 2
M x S x M x
.
Me të vërtetë, nëse :
0 0, ( )2 2
x M x g x x
0 01 1
2 2
x x x xg p
00( )
2
2
x xp x x p
0 12 2 2
2
x xp
0 ,2
x S x
.
Nga ana tjetër, nëse:
0 0, ( )2 2
x S x p x x
00
1 2( ) 1
2
2 2
x xp p x x
32
00( ) inf 0 / 1
2
x xg x x p
0 ,x M x .■
Në 2007 Huang dhe Zhang [33] përgjithësuan konceptin e hapësirave metrike duke futur
konceptin e hapësirave kon metrike dhe morën disa përfundime në lidhje me pasqyrime
që plotësonin disa kondita të caktuara kontraktive. Më tej të tjerë autorë punuan në këtë
drejtim (nëse në të vërtetë këto hapësira ishin përgjithësime të hapësirave metrike). Në
[18], [5] dhe [3] është treguar se hapësirat kon metrike janë “të metrizueshme” dhe
përcaktojnë metrika ekuivalente duke përdorur përafrime të ndryshme.
Në vazhdim kemi modifikuar disa teorema të [4] duke i trajtuar në kuadrin e kuazi
normës asimetrike.
Fillimisht po japim disa koncepte paraprake:
Në topologji një hapësirë “e metrizueshme” është një hapësirë topologjike homeomorfike
me një hapësirë metrike, që do të thotë: një hapësirë topologjike ,X T do të quhet e
“metrizueshme” nëse ekziston metrika : 0,d X X e tillë që topologjia e induktuar
nga d është T .
Përkufizimi 2.3.7: Le të jetë X një hapësirë lineare e Banahut. Një nënbashkësi joboshe,
konvekse dhe e mbyllur P X është quajtur një kon në X, nëse plotësohen konditat:
i) 0P
j) 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, , 0a b dhe ,x y P sjell që ax by P
k) x P dhe x P sjell 0x .
Hapësira X mund të renditet në mënyrë të pjesshme nga koni P X në këtë mënyrë:
𝑥 ≼ 𝑦 atëherë dhe vetëm atëherë kur y x P . Gjithashtu shkruajmë 𝑥 ≺≺ 𝑦 nëse oy x P , ku
oP është brendësia e P .
Përkufizimi 2.3.8.[45] Le të jetë E një bashkësi joboshe. Supozojmë se pasqyrimi
:D E E X kënaq konditat:
a) 0 ≼ ( , )D x y për çdo ,x y E dhe ( , ) 0D x y nëse x y
b) ( , ) ( , )D x y D y x për çdo ,x y E
c) ( , )D x y ≼ ( , ) ( , )D x z D z y për çdo , ,x y z E .
Atëherë D është quajtur një kon metrkë dhe ,E D një hapësirë kon metrike.
Në kuadrin e një hapësire të kuazi normës asimetrike ,X p do të merrnim përkufizimin
e mëposhtëm:
Përkufizimi 2.3.9: Një kon P do të quhet kon normal asimetrik nëse ekziston konstantja
0C e tillë që 0 ≼ 𝑥 ≼ 𝑦 sjell që ( ) ( )p x Cp y . (ku ( )p x dhe ( )p y janë kuazi norma
asimetrike)
33
Në vazhdim supozojmë se X është një hapësirë e kuazi normës asimetrike, P një kon në X
me brendësi joboshe oP dhe ≼ një relacion renditjeje në lidhje me P.
Në teoremat e mëposhtme konstatohet se mund të konvertohet çdo kon normal asimetrik
me konstante 1C në një kon normal asimetrik me konstante 1C .
Teoremë 2.3.10: Le të jetë ,X p një hapësirë e kuazi normës asimetrike me një kon
normal asimetrik P me konstante 1C . Atëherë ekziston një kuazi normë në X e tillë që
P është një kon normal asimetrik me konstante 1C në lidhje me këtë kuazi normë
asimetrike.
Vërtetim: Përcaktojmë funksionin 0,X X të tillë:
'( ) inf{ ( ) : } inf{ ( ) : }p x k p u x u k p v v x
për çdo x X . Duhet të tregojmë se '( )p x është një kuazi normë asimetrike në X.
Fillimisht është e qartë se nëse 0x atëherë '( ) 0p x . Nëse '( ) 0p x atëherë:
,n nu v X të tillë që 𝑣𝑛 ≼ 𝑥 ≼ 𝑢𝑛
ku 0nu dhe 0nv kur n. Meqë P është një kon normal asimetrik atëherë 0x .
Përderisa për çdo x X kemi '( ) inf{ ( ) : } inf{ ( ) : }p x k p u x u k p v v x
dhe ( ), ( ) 0p u p v , atëherë '( ) 0p x .
Për 0 kemi:
'( ) inf{ ( ) : } inf{ ( ) : }p x k p u x u k p v v x
1 1 1 1inf{ ( ) : } inf{ ( ) : }k p u x u k p v v x
inf{ ( ') : '} inf{ ( ') : ' }k p u x u k p v v x
'( )p x .
Pra '( ) '( )p x p x për çdo x X dhe 0 .
Për të vërtetuar mosbarazimin e trekëndëshit për '( )p x marr ,x y X .
1 10, ,u v të tillë që 𝑣1 ≼ 𝑥 ≼ 𝑢1:
1 1 1 1'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )p x kp u kp v kp u kp v p x
2 20, ,u v të tillë që 𝑣2 ≼ 𝑥 ≼ 𝑢2:
2 2 2 2'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( )p x kp u kp v kp u kp v p x
Kështu 𝑣1 + 𝑣2 ≼ 𝑥 + 𝑦 ≼ 𝑢1 + 𝑢2 dhe prandaj:
1 2 1 2'( ) ( ) ( ) '( ) '( ) 2p x y kp v v kp u u k p x p y
Përderisa 0 është arbitrar atëherë kemi:
'( ) '( ) '( )p x y k p x p y .
Pra '( )p x është një kuazi normë asimetrike në X. Tani të tregojmë se P është një kon
normal asimetrik me 1C në lidhje me '( )p x . Le të jetë 0 ≼ 𝑥 ≼ 𝑦. Kështu
inf{ ( ) : }p u u x = inf{ ( ) : }p u u y = 0, prandaj '( ) '( )p x p y .■
34
Teoremë 2.3.11. Le të jetë ,X p
një hapësirë e kuazi normës asimetrike, me një kon
pozitiv P. Atëherë ekziston një kuazi normë asimetrike në X e tillë që P është një kon
normal asimetrik me konstante 1C në lidhje me kuazi normën asimetrike.
Vërtetim: Përcaktojmë funksionin (.) : 0,m X
dhe (.) 0m që plotëson konditat:
0 ( ) 0x m x
( ) ( )m x p x ose ( ) 0m x 0x
( ) ( )m x m x për 0
( ) ( ) ( ) ( )p x p y m x m y (2.3.1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x y kp x kp y m x y km x km y (2.3.2)
për çdo ,x y X .
Nga (2.3.1) nëse zgjedhim 0x atëherë:
( ) ( )m x p x , x P (2.3.3)
Tani përcaktoj funksionin ( ) ( ) ( )n x p x m x për çdo x X . Ky funksion është një kuazi
normë asimetrike. Vërtet ,x y X dhe 0 kemi:
1) ( ) 0n x sepse ( ) ( ) ( )n x p x m x dhe ( ) ( )m x p x . Për 0x kemi ( ) 0n x .
2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n x p x m x p x m x n x
3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n x y p x y m x y k p x p y k m x m y
( ) ( )k n x n y .
Gjithashtu për çdo ,x y X të tillë që 0 ≼ 𝑥 ≼ 𝑦 marrim ( ) ( )n x n y .■
2.4 KOMPAKTËSIA NË HAPËSIRAT KUAZI TË NORMUARA ASIMETRIKE
Mungesa e simetrisë në përcaktimin e hapësirave kuazi metrike shkakton jo pak
probleme, përgjithësisht në lidhje me plotësinë, kompaktësinë apo kufizueshmërinë në
këto hapësira [13], [24]. Ka disa nocione të plotësisë në hapësirat kuazi metrike, të gjitha
duke rënë dakort me nocionin e zakonshëm të plotësisë në hapësirat metrike, secila prej
tyre me avantazhet dhe disavantazhet e veta.
Në vijim po paraqesim disa nga këto nocione me vetitë përkatëse.
Në rastin e hapësirës kuazi metrike ,X ka disa nocione të plotësisë, të cilat po i
paraqesim sipas [45], të cilat fillojnë me përkufizimin e vargjeve Koshi.
Një varg nx në ,X është quajtur:
a) -Koshi i majtë (i djathtë), nëse për çdo 0 ekziston x X dhe 𝑛0 ∈ ℕ të tillë
që: 0, ( , )nn n n x x (respektivisht ( , )nx x );
b) s -Koshi nëse për çdo 0 ekziston 𝑛0 ∈ ℕ e tillë që:
0, ( , )n kn k n x x ;
35
c) K-Koshi i majtë (i djathtë), nëse për çdo 0 ekziston 𝑛0 ∈ ℕ e tillë që:
0, , ( , )k nn k n k n x x (respektivisht ( , )n kx x );
d) K-Koshi i dobët i majtë (i djathtë) nëse për çdo 0 ekziston 𝑛0 ∈ ℕ e tillë që:
00, ( , )n nn n n x x (respektivisht0
( , )n nx x ).
Hapësira kuazi gjysmë metrike është quajtur bi-e plotë nëse hapësira e gjysmë metrikës
, sX është e plotë. Është quajtur -e plotë sipas vargjeve nëse çdo s -varg Koshi
është -konvergjent (me është shënuar topologjia e hapësirës së kuazi gjysmë
metrikës ,X ). Një hapësirë e normuar asimetrike, bi-e plotë, ,X p është quajtur
hapësirë bi-Banah.
Pohimi 2.4.1
Le të jetë nx një varg në hapësirën kuazi gjysmë metrike ,X
1) Nëse nx është -konvergjent në x dhe -konvergjent në y, atëherë
( , ) 0x y .
2) Nëse nx është -konvergjent në x dhe ( , ) 0x y atëherë nx është
gjithashtu -konvergjent në y.
3) Nëse nx është K-Koshi i majtë dhe ka një nënvarg i cili është -konvergjent
në x, atëherë nx është -konvergjent në x.
4) Nëse nx është K-Koshi i majtë dhe ka një nënvarg i cili është -konvergjent
në x, atëherë nx është -konvergjent në x.
Vërtetim: 1) Nëse nnë mosbarazimin ( , ) ( , ) ( , )n nx y x x x y , marrim
( , ) 0x y . 2) rrjedh nga relacioni ( , ) ( , ) ( , )n ny x y x x x kur n. 3) supozoj
se nx është K-Koshi i majtë dhe knx një nënvarg i nx i tillë që: lim
𝑘( , )
knx x =0. Për
0 zgjedhim 0n të tillë që 0n m n sjell ( , )m nx x , dhe le të jetë 𝑘0 ∈ ℕ, e tillë
që 0 0kn n dhe ( , )
knx x për çdo 0k k . Atëherë për 0kn n kemi
0 0
( , ) ( , ) ( , ) 2k kn n n nx x x x x x . Pika 4) vërtetohet në mënyrë analoge.■
Përkufizimi 2.4.2
Një nënbashkësi Y e hapësirës kuazi metrike ,X është quajtur prekompakte nëse për
çdo 0 ekziston një nënbashkësi e fundme Z e Y e tillë që:
( , ) :Y B z z Z . (2.4.1)
Nëse për çdo 0 ekziston një nënbashkësi e fundme Z e Y e tillë që qëndron (2.4.1),
atëherë bashkësia Y është quajtur prekompakte së jashtmi.
Në vijim janë trajtuar disa problematika në lidhje me këto nocione, por të përgjithësuara
tashmë në kuadrin e një hapësire kuazi të normuar asimetrike.
36
Çdo kuazi metrikë d në X gjeneron një topologji ( )T d në X , që në përgjithësi është
një topologji 0T . Bashkësitë bazë të hapura mund të përkufizohen si d-rruzuj:
( , ) : ( , )dB x r y X d x y r , x X , 0r .
Një kuazi normë asimetrike p në një hapësirë lineare X përfshin kuazi metrikën pd sipas
formulës:
( , ) ( )pd x y p y x , ,x y X .
Bashkësitë: (0) : ( )pB x X p x , 0 , përcaktojnë një sistem themelor fqinjësish
të zeros për topologjinë ( )pT d dhe për çdo y X , bashkësitë: ( ) (0)p pB y y B
përcaktojnë një sistem thelbësor fqinjësish të y (këto bashkësi janë konvekse). Në këtë
rast themi se çifti ,X p është një hapësirë kuazi e normuar asimetrike.
Le të merremi me topologjitë e induktuara nga 1, , sp p p
, nëse është e nevojshme do ti
shënojmë keto simbole para vetisë të cilës i referohemi; psh, do të shkruajmë: bashkësi
p - kompakte, ose bashkësi sp - kompakte, për t’ju referuar kompaktësisë së bashkësive
lidhur me topologjitë e induktuara nga p (respektivisht ngasp ).
Nëse hapësira , sX p është e plotë, themi se hapësira ,X p është hapësirë e bi-
Banahut (shiko [23]).
Shënoj me ,
pB bashkësinë:
, (0) : ( )pB x X p x , 0 .
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike dhe x X , shënoj me x
bashkësinë përcaktuar nga:
: ( , ) ( ) 0x py X d x y p y x .
Në veçanti:
0 : (0, ) ( ) 0py X d y p y .
Vini re se x është mbyllja e x në hapësirën 1,X p.
Nëse na është dhënë një bashkësi A X e hapësirës kuazi të normuar asimetrike ,X p
(Lema analoge në [25]), kemi se:
0x
x A
A
ku:
0 0: , ,A z X z x y x A y .
Gjithashtu kemi: 0( ) ( ) ,p pB x B x x X (shiko [25]) dhe nëse A X është një
bashkësi e hapur, atëherë: 0A A .
Përkufizimi 2.4.3 (Analogu i tij në [25])
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike. Themi se kjo hapësirë është e
kufizuar nga e djathta, nëse ekziston një konstante reale 0r , e tillë që:
37
1 1 0(0) (0)sp prB B .
Vihet re se përfshirja 0( ) ( )sp pB x B x qëndron në çdo hapësirë kuazi të normuar
asimetrike ,X p , për çdo 0 dhe x X . Në fakt nëse: 0( )spy B x , atëherë
kemi: 0 ( )spx B x dhe 0 0z të tillë që 0 0y x z . Nga mosbarazimi i trekëndëshit
kemi: ( )p y x . Atëherë: ( )py B x .
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike.
Përkufizimi 2.4.4.
Një nënbashkësi A e X është p -e kufizuar nëse ekziston konstantja pozitive M e tillë
që: ( )p x M për çdo x A . Është e qartë se nëse një bashkësi A është p -e kufizuar,
dhe 1p-e kufizuar, atëherë A është
sp -e kufizuar.
Përkufizimi 2.4.5.
Themi se një nënbashkësi A e X është p -prekompakte nëse për çdo 0 gjejmë një
bashkësi të fundme pikash 1,..., na a në A të tillë që: 1
( )n p
iiA B a .
Themi se një nënbashkësi A e hapësirës kuazi të normuar asimetrike ,X p është p -
prekompakte e jashtme nëse për çdo 0 ekziston një bashkësi e fundme 1,..., nx x në
X e tillë që 1
( )n p
iiA B x . Është e qartë se nëse bashkësia A është p -prekompakte,
atëherë ajo është edhe p -prekompakte e jashtme; e anasjellta nuk është gjithmonë e
vërtetë.
Një varg p -konvergjent është p -prekompakt i jashtëm, por jo domosdoshmërisht p -
prekompakt.
Marrëdhënia midis p -prekompaktshmërisë dhe p -prekompaktshmërisë së jashtmi jepet
nga pohimi i mëposhtëm.
Pohimi 2.4.6.
Le të jetë ,X p një hapësirë e kuazi normuar asimetrike. Një nënbashkësi A e X është
p -prekompakte atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo 0 ekziston një bashkësi e
fundme 1,..., nx x në X e tillë që: 1
( )n p
iiA B x dhe
1
( )p
iB x A
për çdo
1,...,i n .
Vërtetim: Implikimi direkt është i qartë nga përkufizimi i bashkësisë p -prekompakte.
Për të provuar të anasjelltën fiksojmë një pozitiv dhe zgjedhim një bashkësi të fundme
38
1,..., nx x në X të tillë që: 1
2
( )n p
iik
A B x dhe
1
2
( )p
i
k
B x A
për ndonjë 1k .
Marrim: 1
2
( )p
i i
k
a B x A
; të provojmë se:
2
( ) ( )p p
i i
k
B x B a .
Nëse 2
( )p
i
k
x B x , atëherë:
1( ) ( ) ( ) ( )2
i i i i i ip x a k p x x p x a k p a xk
2 2
kk k
.
Kështu bashkësia A është p -prekompakte.■
Pohimi 2.4.7.
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike, atëherë:
(1) Shuma e fundme dhe bashkimi i fundëm i bashkësive p -prekompakte është
bashkësi p -prekompakte.
(2) Mbështjellsja konvekse e një bashkësie p -prekompakte është bashkësi p -
prekompakte.
Vërtetim: (1) Ky përfundim rrjedh menjëherë nga përkufizimi. Po japim vërtetimin për
shumën e dy bashkësive p -prekompakte 1A dhe 2A .
Le të jetë 0 . Marrim 2k
për ndonjë 1k , dhe konsiderojmë bashkësinë
1 1
1 1,..., nx x A dhe 2 2
1 2,..., mx x A të tilla që:
1
1 12
( )n p
iik
A B x dhe
2
2 12
( )m p
iik
A B x .
Nëse 1 2z A A atëherë 1 2z z z , ku 1 1z A dhe 2 2z A . Ekzistojnë elementët 1
ix dhe
2
jx të tillë që: 1
1( )2
ip z xk
dhe
2
2( )2
jp z xk
.
Atëherë:
1 2 1 2
1 2( ( )) ( ) ( )i j i jp z x x k p z x p z x 2 2
kk k
.
39
Kështu bashkësia: 1 2; 1,..., ; 1,...,i jx x i n j m përcakton një bashkësi të përshtatshme
të p -rruzujve me rreze që mbulon bashkësinë 1 2A A .
Për vërtetimin e pikës (2), le të shikojmë nënbashkësinë p -prekompakte A të X . Për
0 , gjejmë një bashkësi pikash A , 1,..., nx x të tillë që:
1
2
,..., (0)p
nA x x B .
Shënojmë me: ( )convex A mbështjellësen e A ; kemi:
1
2
( ) ( ,..., ) (0)p
nconvex A convex x x B .
Vemë re se përderisa: 1( ,..., )nconvex x x është sp -kompakte, atëherë është p -
prekompakte. Kështu mund të përcaktojmë një bashkësi 1,..., ny y në
1( ,..., )nconvex x x të tillë që:
1 1
2
( ,..., ) ,..., (0)p
n nconvex x x y y B .
Atëherë përfundimisht:
1 1
2 2
( ) ,..., (0) (0) ,..., (0)p p p
n nconvex A y y B B y y B
Dhe konfirmohet se: ( )convex A është p -prekompakte. ■
Pohimi 2.4.8.
Një nënbashkësi A e ,X p është p -prekompakte atëherë dhe vetëm atëherë kur 1p-
mbyllja e A është p -prekompakte.
Vërtetim: Nëse A është p -prekompakte dhe 0 , 1k , atëherë ekziston në A ,
bashkësia 1,..., nx x e tillë që:
1 1 ,2 2
( ) ( )n np p
i ii ik k
A B x B x .
Vemë re se bashkësitë ,2
( )p
i
k
B a
janë 1p-të hapura. Atëherë:
1
11
,, , ,
1 1 1 12 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
pn n n npp p p p p
i i i i
i i i ik k k
A B x B x B x B x
.
Anasjelltas: Nëse 1p
A
është p -prekompakte, për 0 dhe ndonjë 1k , atëherë
ekziston një nënbashkësi e fundme e 1p
A
, 1,..., nx x , e tillë që:
40
1
1 2
(0)n
pp
i
i k
A A x B
.
Kemi se për çdo 1
1,..., ,p
ii n x A
. Prandaj për një indeks të fiksuar i ekziston një
ia A e tillë që:
1( ) ( )2
i i i ip a x p x ak
.
Tani të tregojmë se:
2
(0) (0)p p
i i
k
x B a B .
Le të jetë 2
(0)p
i
k
y x B . Atëherë ( )2
ip y xk
dhe:
( ) ( ) ( )i i i ip y a k p y x p x a
2 2
kk k
.
Kështu kemi provuar se A është p -prekompakte.■
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike dhe K X .
Atëherë nëse K është kompakte në lidhje me topologjinë ( )pT d të induktuar nga kuazi
norma asimetrike p atëherë dhe vetëm atëherë nëse: 0K është kompakte për të
njëjtën topologji (shiko [25]). Një pohim analog me pohimin e mëposhtëm në rastin e
normës asimetrike është dhënë në [2].
Pohimi 2.4.9.
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike. Nëse K është një nënbashkësi
e X e tillë që: 0 0 0K K K ku 0K është sp -kompakte, atëherë K është p -
kompakte.
Teorema 2.4.10.
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike. Le të jetë K një nënbashkësi
e X , atëherë:
(1) Nëse ,X p është një hapësirë bi-Banah e kufizuar djathtas me një konstante
1r dhe K është bashkësi p -prekompakte atëherë ekziston një nënbashkësi sp
-kompakte, 0K e X e tillë që: 0 0K K .
41
(2) Nëse ekziston një nënbashkësi sp -prekompakte 0K e X e tillë që: 0 0K K
atëherë K është p -prekompakte së jashtmi.
Vërtetim: (1) Hapi 1. Fillimisht ndërtojmë një familje të veçantë rruzujsh që mbulojnë
K për të gjetur një bashkësi sp -kompakte të përshtatshme. Nga përkufizimi i p -
prekompaktshmërisë, kemi se për 1
4k dhe
1
2k , 1k :
1
1
1
1 2
( )n
p
i
i k
K B x
, 1
1 1
1 ,..., nx x K dhe 2
2
1
1 4
( )n
p
i
i k
K B x
, 2
2 2
1 ,..., nx x K .
Nga ku rrjedh se për çdo 21,...,i n , ekziston një indeks 11,...,ij n i tillë që:
2 1
1
2
( )i
p
i j
k
x B x .
Gjithashtu kemi se: 1 1
1 1 0
2 2
( ) ( )s
i i
p p
j j
k k
B x B x . Prandaj 2
2iix x z ku
2 1
1
2
( )s
i
pi j
k
x B x dhe
0z .
Nëse 2
1
4
( )p
i
k
y B x atëherë:
2
2( ) ( ) ( )i ip y x k p y x p z 1 1
4 4k
k
.
Prandaj 22
1 1
4 4
( ) ( )p pii
k k
B x B x , dhe 2
1 2
4
( ) : 1,...,pi
k
B x i n
përcakton një p -mbulim të K .
Duke ndjekur këtë ndërtim për çdo 𝑁 ∈ ℕ marrim një familje 1 ,...,N
N N
nx x , të tillë që për
çdo , 1,...,N
i Nx i n ekziston 1
i
N
jx
i tillë që:
1
1
1
2i
N Nsi j
Np x x
dhe:
1
1 2
N
N
nN
pi
i
K B x
.
Le të jetë 1 2
1 1 1 2 2
1 2 1, ,..., , ,..., ,...n nL x x x x x , ku 1
1i ix x për 11,...,i n . Fillimisht do të
provojmë se L është sp -prekompakt.
42
Le të jetë 0 dhe konsiderojmë 𝑁 ∈ ℕ të tillë që 2
1
2N k
për ndonjë 1k .
Nënindekset janë hequr për qëllim qartësie. Marrim: m
x L ; kemi dy raste:
Rasti 1: m N . Atëherë kemi:
1 1 1
m ls s s
n nNm m m lp p p
i i
i l i
x B x B x B x
.
Rasti 2: m N , duke fiksuar m
x ekziston elementi 1m
x
i tillë që 1
1
1
2
m ms
mp x x
.
Në të njëjtën mënyrë ekziston 2m
x
i tillë që 1 2
2
1
2
m ms
mp x x
dhe nëse vazhdojmë
në këtë mënyrë, marrim N
x të tillë që: 1
1
1
2
N Ns
Np x x
.
Nga ku kemi:
1
1
1
2
l ls
lp x x
për ,...,l N m .
Prandaj:
1 1 2 1
...m N m m m m N N
s s s sp x x k p x x p x x p x x
1 2
1 1 1...
2 2 2m m N
1 11
1 1 1
2 2 2N j Nj
.
Konkludojmë se: 1
1
2
m Ns
Np x x k k
k
, që do të thotë:
1
Ns s
nm N Np p
i
i
x B x B x
.
Prandaj 1 1
sl
lN n pi
l iL B x që provon se L është
sp -prekompakt, prandaj sp
L është
sp -kompakte.
Hapi 2. Le të jetë 0
sp
K L . Të provojmë se: 0 0K K .
Nëse x K , për çdo 𝑛 ∈ ℕ , ekziston ndonjë n
x i ndonjë familjeje koresponduese të
marrë në hapin e parë (kemi hequr indekset për mos pasur ngatërresa) i tillë që:
43
1 1 0
2 2
s
n n
n np px B x B x .
Prandaj për çdo ∈ ℕ , ekzistojnë 1
2
s
n
n npy B x dhe 0
nz të tillë që n nx y z .
Konsiderojmë vargun {��𝑛}𝑛∈ℕ ⊂ ��𝑝𝑠 ; përderisa
sp
L është sp -kompakte, ekziston
nënvargu ln
l
x , sp -konvergjent në
0
sp
x L .
Le të provojmë se: 0( ) 0p x x . Për një pozitiv ekziston indeksi 0l i tillë që për çdo
0l l , kemi: 0( )2
lnsp x x
; vëmë re se: 1
( )2
l l
l
n ns
np x y .
Nëse zgjedhim 1l të tillë që 1
2 2lnk
për 1l l dhe ndonjë 1k , dhe konsideroj
2 0 1max ,l l l , atëherë për çdo 2l l kemi:
0 0( ) ( ) ( ) ( )l l l ln n n n
p x x k p x y p y x p x x
00 ( ) ( )
l l ln n ns sk p y x p x x
1
2 2 2 2lnk k
k k k
.
Përderisa kjo mund të bëhet për çdo 0 , marrim se 0( ) 0p x x prandaj 0 0x x .
Konkludojmë se:
0 0 0
sp
x L K .
Fund i vërtetimit të pikës (1).
Për vërtetimin e pikës (2), zgjedhim ndonjë 0 . Përderisa 0K është sp -prekompakt,
ekziston një bashkësi e fundme 1,..., nx x në 0K e tillë që:
0 1
( )sn p
iiK B x
.
Atëherë (shiko [25]):
0 0 011 1
( ) ( ) ( )s s
n nn p p p
i i iii i
K B x B x B x
.
Është e qartë se K është p -prekompakte së jashtmi.■
44
Në vazhdim do të përshkruajmë një klasë të veçantë nënbashkësish të një hapësire kuazi
të normuar asimetrike ,X p , për të cilat kondita e ekzistencës së një nënbashkësie sp -
kompakte 0K X të tillë që:
0 0 0K K K (2.4.2)
karakterizon p -kompaktësinë e K . Më sipër ne treguam se p -kompaktësia e K nuk sjell
ekzistencën e nënbashkësisë 0K që plotëson (2.4.2). Megjithatë, është e mundur të
gjenden një klasë e gjërë shëmbujsh në të cilët këto veti janë ekuivalente. Në fakt që kjo
të ndodhë duhet të vendosen disa kërkesa të forta për nënbashkësinë K , para së gjithash
në lidhje me pajtueshmërinë midis topologjisë së trashëguar nga K si një nënbashkësi e
,X p dhe asaj të gjeneruar nga nënbashkësitë e formës 0( )spB x K . Formulimi
teknik i këtyre kërkesave është dhënë në përkufizimet më poshtë.
Më tej kërkimi zhvillohet nën supozimin se ,X p është e kufizuar nga e djathta me
konstante 1r , psh: 0( ) ( )sp pB x B x për çdo 0 dhe x X .
Përkufizimi 2.4.11.[2]
Le të jetë K X dhe 0C K . Themi se K -ja ka vetinë 0B C , nëse ekziston një
funksion 𝜇: 𝐾 × ℝ+ → ℝ+ i tillë që:
1) Për çdo çift 0,x y C dhe për të gjitha 𝑡 ∈ ℝ+, ( , ) ( , )x t y t sa herë që
0x y , dhe:
2) ( , ) 0 0( ) ( )sp p
x tB x K B x C , për çdo 𝑡 ∈ ℝ+ dhe për çdo 0x C .
Tipi i vetisë së kompaktësisë që mund të karakterizohet nën supozimin e përkufizimit të
mësipërm, është ngushtësisht i lidhur me ekzistencën e nënbashkësive 0C K të tilla që
0C përcaktojnë mbulime të K dhe ka një nënbulim të fundëm për secilin nga këto
mbulime, në kuptimin e dhënë më poshtë:
Përkufizimi 2.4.12
Le të jetë 0C dhe K nënbashkësi të hapësirës së kuazi normuar asimetrike ,X p dhe
0C K . Themi se K është një bashkësi 0C p -kompakte nëse për të gjitha bashkësitë e
numrave realë pozitivë 0
x x C
, klasa 0( ) :
x
pB x x C përcakton një mbulim të K , dhe
ky mbulim nxë një nënbulim të fundëm. Bashkësia K është p -kompakte atëherë dhe
vetëm atëherë kur është 0C p -kompakte për 0C K .
45
Teoremë 2.4.13
Le të jetë K një nënbashkësi e një hapësire kuazi të normuar asimetrike të bi-Banahut
,X p . Konsiderojmë pohimet e mëposhtme:
1) Ekziston një nënbashkësi sp -e mbyllur 0C e tillë që K është 0C p -kompakte.
2) Ekziston një bashkësi sp -kompakte 0K e tillë që: 0 0 0K K K .
Atëherë 2) sjell 1) për 0 0C K . Anasjelltas, nëse qëndron 1) për një nënbashkësi
0C K e tillë që K ka vetinë 0B C , atëherë qëndron 2).
Vërtetim: Le të japim fillimisht një vërtetim direkt të 2) 1) . Marrim bashkësinë 0K e
cila është sp -kompakte dhe plotëson barazimin (2.4.2). Atëherë ajo është
sp -e mbyllur,
dhe për çdo familje me rreze 0:x x K bashkësitë:
0( ) ( )s
x x
p pB x B x për 0x K
përcaktojnë një mbulim të K -s. Përderisa 0K është sp -kompakte dhe bashkësitë:
( )s
x
pB x , 0x K japin një sp -mbulim të 0K , ekziston një
sp -nënmbulim i fundëm i 0K
përcaktuar nga një bashkësi pikash 1 0,..., nx x K . Përderisa:
0 0 0
1 1
( ) ( )s
x xi i
n np p
i i
i i
K K B x B x
K është 0K p -kompakte, prandaj qëndron 1).
Tani të tregojmë se 1) 2) nën supozimin se K ka vetinë 0B C . Vërtetimi ndjek
argumentat konstruktivë të teoremës 2.4.10; përcaktojmë një bashkësi sp -kompakte
0C C në mënyrë që të gjejmë 0K si sp -mbyllje të C .
Hapi 1. Marrim 1
2 , dhe përcaktoj një p -mbylim të hapur
01
( , )2
( )p
x C xK B x
.
Përderisa K është 0C p -kompakte, mund të përcaktohet një nënmbulim i fundëm me
qendra në 1
1 1
1 0,..., mx x C i tillë që 1
1
1
11 ( , )2
( )i
m p
ii xK B x
. Nëse marrim
1 1
i ix x për
11,...,i m , kemi:
1
1
1 0 0
1 2
( )s
m
p
i
i
K B x C
, përderisa K ka vetinë 0B C .
46
Hapi 2. Tani marrim 1
4 . Përcaktojmë një tjetër mbulim të hapur të K , të tillë:
01
( , )4
( )p
x C xK B x
njësoj si në hapin e parë; K nxë një nënmbulim të fundëm:
2
2
2
11 ( , )4
( )i
m p
ii xK B x
me qendra
2
2 2
1 0,..., mx x C . Duke përdorur mbulimin si në hapin e
parë, mund të gjejmë elementët 2
0ix C për 21,...,i m , të tillë që për çdo 21,...,i m
ekziston indeksi 11,...,ij m dhe një vektor 2
0iz të tillë që 2 2 2
i i ix z x dhe
2 1 1( )2i
s
i jp x xk
. Për më tepër, nëse 2
2
1( , )
4
( )i
p
ix
y B x
kemi:
2 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( , ) 0
4i i i ip y x kp y x kp z k x .
Kështu: 2 2 2
2 2 2
1 1 1( , ) ( , ) ( , )
4 4 4
( ) ( ) ( )i i i
p p p
i i ix x x
B x B x B x
pasi për përfshirjen e fundit është
përdorur kushti 1) i përkufizimit 2.4.11. Ndërsa nga kushti i dytë i këtij përkufizimi
marrim:
2
2
1 0 0
1 4
( )s
m
p
i
i
K B x C
.
Hapi 3. E përsërisim ndërtimin e mësipërm për çdo 𝑛 ∈ ℕ dhe marrim një familje të
fundme nënbashkësish: 1 0,...,n
n n
n mA x x C , 𝑛 ∈ ℕ.
Përcaktojmë 1 nn
C A
. Ajo që vijon është të tregojmë se kjo bashkësi është
sp -
prekompakte duke ndjekur të njëjtin arsyetim si tek teorema 2.4.11.
Për 0 ekziston një numër natyror 0n i tillë që 0
2
2n
k .
Bashkësia 0
01: 1,..., ; 1,..., ,
n n
i i niA A x n n i m n
është e fundme.
Nëse \x C A , atëherë kemi 0 0
10 0
1, ,...,
n n n
n n n
i i ix x x x
të tillë që:
0
1 0 00
0 0 0
1 1 11 1 1 1 2
( ) ( )2 2 2 2n r r
n n nns s r r
i i i n nr rr n r n r n
kp x x k p x x k k
atëherë 0
0
( )s
n
np
ix B x .
47
Kështu ( )sp
x AC B x , ndaj dalim në përfundimin se C është
sp -prekompakte.
Përderisa 0C C dhe 0C është sp -e mbyllur, marrim që 0
spC C K . Gjithashtu
meqë C është sp -prekompakte dhe X është hapësirë e bi-Banahut,
spC është sp -
kompakte.
Hapi 4. Përcaktoj 0
spK C . Për të arritur përfundimin e dëshiruar duhet të provojmë se:
0 0K K , përderisa kemi që 0 0K C K .
Nëse x K , për çdo 𝑛 ∈ ℕ gjendet një indeks ni i tillë që 0 0
2
( )s
nn
p n
k ix B x C
.
Prandaj gjenden 1
2
( )s
nn
n p n
iy B x dhe 0nz të tilla që n
nx y z dhe:
1( ) ( ) ( ) 0 ( )
2 2n n n
n n n n n n
i i i n n
kp x x kp x y kp y x kp y x k .
Konsiderojmë vargun 0n
n
in
x C K ; përderisa 0K është sp -kompakte ky varg një
nënvarg sp -konvergjent r
nr
n
ir
x . Supozojmë se limiti i tij është 0x , domethënë:
lim𝑘→∞
0( ) 0r
nr
ns
ip x x .
Le të jetë 0 . Nga konvergjenca e nënvargut të mësipërm gjendet një indeks 0r
x i tillë
që 0( )r
nr
ns
ip x x dhe një tjetër index 1r
x i tillë që 1
1
2 rn . Duke fiksuar më tej
2 0 1
max ,r r rn n n , për çdo 2r rn n marrim:
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 2r r r
n n nr r r
n n ns
i i ip x x kp x x kp x x k kp x x k .
Përderisa ky argumentim mund të bëhet për çdo 0 , marrim 0( ) 0p x x . Është e
qartë se 0 0x K përderisa është një sp -limit i elementëve të C . Prandaj 0 0K K .
Kjo kompleton vërtetimin.■
48
KAPITULLI III
2-NORMAT ASIMETRIKE DHE KUAZI 2-METRIKAT
3.1 ZBËRTHIMI I 2-METRIKAVE DHE I 2-NORMËS
Është i mirnjohur fakti se nëse provohet të hiqet kondita e simetrisë në një gjysmë
metrikë apo gjysmë normë, atëherë struktura e hapësirës ndryshon në mënyrë drastike.
Një hapësirë e tillë josimetrike është studiuar nga Wilson, i cili përdori termin kuazi
gjysmë metrikë kur kushti i simetrisë u hoq nga përkufizimi i gjysmë metrikës, dhe nga
Duffin dhe Karlovitz në 1968, të cilët propozuan termin gjysmë normë asimetrike kur
vetia e simetrisë u hoq nga përkufizimi i gjysmë normës. Më pas, shumë rezultate klasike
të analizës janë shtrirë në hapësira të tilla josimetrike, [25], [13], [24], [40], [32], [31].
Duke patur parasysh ndryshime të tilla të mëdha në strukturat e hapësirave të tilla
josimetrike me një përmasë, synimi i disa punimeve tona ka qënë të ndërtojmë hapësira të
ngjashme josimetrike dypërmasore. Kështu në këtë temë pasi është dhënë koncepti i
quazi 2-metrikës dhe i 2-normës asimetrike, janë paraqitur disa arritje për hapësirat e
formuara, duke shpresuar se në të ardhmen do të merren rezultate të tjera akoma më të
gjëra në këtë drejtim.
Fillimisht do të paraqesim disa njohuri paraprake në lidhje me hapësirat 2-metrike dhe 2-
të normuara për të cilat jemi bazuar në njohuritë e përmbledhura nga R.W. Freese në
[19].
Përkufizimi 3.1.1
Një 2-metrikë do të quhet pasqyrimi 𝜎: Χ × 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ i tillë që plotëson konditat:
1) ( , , ) 0x y z
2) ( , , ) 0x y z kur të paktën dy elementë janë të barabartë.
3) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y u x u z u y z
4) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x z y y z x për çdo , , ,x y z u X .
Çifti ,X është quajtur hapësirë 2-metrike.
Është e lehtë të provohet se 2-metrika është jonegative. Çdo hapësirë Euklidiane me
dimension të fundëm 2m ka 2-metrikën e mëposhtme të përcaktuar në të: 1
2 21
1( , , ) 1
21
i j
i j
i j
i j
x x
x y z y y
z z
,
ku: , ,i i ix y z janë koordinata të ,x y dhe z respektivisht. Kjo 2-metrikë është quajtur 2-
metrika Euklidiane e hapësirës.
Përkufizimi 3.1.2
Një funksion gjysmë 2-metrikë është pasqyrimi: 𝜎: Χ × 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ i tillë që:
(1) ,x y X , z X , i tillë që: ( , , ) 0x y z ,
(2) ( , , ) 0x y z nëse dy nga elementët janë të barabartë.
49
(3) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x z y z y x .
Hapësira ,X quhet hapësira gjysmë 2-metrike.
Nëse përkufizimit 3.1.2. i heqim konditën e tretë (të simetrisë) marrim përkufizimin e
kuazi gjysmë 2-metrikës. Pra funksioni kuazi gjysmë 2-metrikë do të ishte pasqyrimi
𝜎: Χ × 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ që plotëson konditat 1) dhe 2) të përkufizimit 3.1.2.
Në të njëjtën mënyrë marrim përkufizimin e kuazi 2-metrikës duke hequr konditën e
simetrisë në përkufizimin 3.1.1. Kështu:
Përkufizimi 3.1.3
Një kuazi 2-metrikë është pasqyrimi 𝜌: Χ × 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ i tillë që qëndrojnë konditat:
1) ( , , ) 0x y z
2) ( , , ) 0x y z kur dy nga elementët janë të barabartë,
3) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y u x u z u y z për çdo , , ,x y z u X .
Çifti ,X do të quhet hapësira kuazi 2-metrike.
Shembull 3.1.4. ℝ është një hapësirë kuazi 2-metrike, me:
𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {𝑥𝑦 𝑛ë𝑠𝑒 𝑥𝑦 ≥ 0
−𝑥𝑦
2 𝑛ë𝑠𝑒 𝑥𝑦 < 0
.
Një kuazi gjysmë 2-metrikë në X , ka të konjuguarën e saj të përcaktuar si:
( , , ) ( , , )x y z y x z për çdo , ,x y z X .
Është e lehtë të tregohet se: ( , , )x y z është një kuazi gjysmë 2-metrikë. Ndërkohë që
funksioni 𝜎𝑠: 𝑋 × 𝑋 × 𝑋 → ℝ i tillë që:
( , , ) max ( , , ), ( , , )s x y z x y z x y z është një gjysmë 2-metrikë.
Përkufizimi 3.1.5
Nëse është një 2-metrikë në X dhe për ndonjë kuazi 2-metrikë plotësohet
kushti:s , atëherë çifti ( , ) do të quhet zbërthim i 2-metrikës .
Teoremë 3.1.6.[11]
Le të jetë ,X një hapësirë 2-metrike. Nëse 𝑓: 𝑋 → ℝ është një funksion që plotëson
kushtet: ( , , ) ( , , )u y z x y z dhe ( , , ) ( , , )x y u x y z kur ( ) ( ) ( )f x f y f u , atëherë
ekziston një zbërthim i .
Vërtetim:
Le të jetë: 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜌𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = {𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦)
0 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑦).
Le të provojmë se është një kuazi 2-metrikë, e nisim duke treguar mosbarazimin e
trekëndëshit në disa raste, për , , ,x y z u X .
Rasti 1: Nëse ( ) ( )f x f y
( , , ) 0 ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y u x u z u y z .
Rasti 2: Nëse ( ) ( )f x f y . Këtu kemi 3 nënraste:
50
Nënrasti 1: Nëse ( ) ( ) ( )f x f y f u
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z x y u x y z x y z .
Nënrasti 2: Nëse ( ) ( ) ( )f x f u f y
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z x y z x y u x u z u y z
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z .
Nënrasti 3: Nëse ( ) ( ) ( )f u f x f y
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z u y z x y z x y z .
Dhe si përfundim kemi se: ( , , ) 0x y z dhe nëse ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0x y u x u z u y z
atëherë ( , , ) 0x y z që do të thotë: x y ose y z ose x z .
Pas kësaj, ( , , ) ( , , )x y z y x z {𝜎(𝑦, 𝑥, 𝑧) 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑦) ≤ 𝑓(𝑥)
0 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑦) > 𝑓(𝑥), prandaj:
( , , ) max ( , , ), ( , , ) ( , , )s x y z x y z x y z x y z .■
Teoremë 3.1.7.[11]
Le të jetë ,X një hapësirë 2-metrike. Nëse 2( )card X atëherë ekziston një
zbërthim i .
Vërtetim: Nëse 2( )card X ekziston 𝑓: 𝑋 → ℝ një funksion injektiv. Për 1k të
dhënë përcaktojmë:
,( , , ) ( , , )k f kx y z x y z {𝜎(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑦)𝜎(𝑥,𝑦,𝑧)
𝑘 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦)
.
Është e qartë se nëse: ( , , )
( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) 0k k
y x zx y z y x z x y z
k
ose: ( , , )
( , , ) 0x y z
y x z x yk
.
Për , , ,x y z u X kemi rastet e mëposhtme:
Rasti 1: Nëse: ( ) ( ) ( )f x f y f u
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )k x y z x y z x y u x u z u y z
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z k u y z
( , , ) ( , , ) ( , , )k x y u x u z u y z .
Rasti 2: Nëse: ( ) ( ) ( )f x f u f u
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )k x y z x y z x y u x u z u y z
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z .
Rasti 3: Nëse: ( ) ( ) ( )f u f x f y
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )k x y z x y z x y u x u z u y z
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u k x u z u y z
( , , ) ( , , ) ( , , )k x y u x u z u y z .
Rasti 4: Nëse: ( ) ( ) ( )f x f y f u
51
( , , ) 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )k
x y zx y z x y u x u z u y z
k k
1
( , , ) ( , , ) ( , , )k x y u k x u z u y zk
1
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y zk
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z .
Nëse 5: Nëse: ( ) ( ) ( )f x f u f y
( , , ) 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )k
x y zx y z x y u x u z u y z
k k
1
( , , ) ( , , ) ( , , )k x y u k x u z k u y zk
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z .
Rasti 6: Nëse: ( ) ( ) ( )f u f x f y
( , , ) 1
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )k
x y zx y z x y u x u z u y z
k k
1
( , , ) ( , , ) ( , , )k x y u x u z k u y zk
1
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y zk
( , , ) ( , , ) ( , , )x y u x u z u y z .
Nga përcaktimi i bërë i s
k është e lehtë të tregohet se:s
k .■
Teoremë 3.1.8.[11]
Le të jetë ,X një hapësirë 2-metrike me 2( )card X , le të jenë: , 1k l dhe
𝑓, 𝑔: 𝑋 → ℝ funksione injektive. Atëherë: , ,f k g l (2-metrikisht).
Vërtetim: Le të jenë , ,x y z X , mund të supozojmë se: k l . Nëse: ,f k dhe ,g l
jepen si:
,f k {
( , , )x y z 𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) ≥ 0
( , , )x y z
k
𝑛ë𝑠𝑒 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) < 0
dhe:
,g l {
( , , )x y z 𝑛ë𝑠𝑒 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑦) ≥ 0
( , , )x y z
l
𝑛ë𝑠𝑒 𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑦) < 0
,
atëherë mund të dallojmë këto raste:
Rasti 1: Nëse: ( ) ( ) 0f x f y dhe ( ) ( ) 0g x g y , atëherë , ,( , , )f k g lx y z .
Rasti 2: Nëse: ( ) ( ) 0f x f y dhe ( ) ( ) 0g x g y , atëherë:
52
, ,
( , , ) ( , , )f k g l
x y z x y z
k l
.
Rasti 3: Nëse: ( ) ( ) 0f x f y dhe ( ) ( ) 0g x g y , atëherë:
, ,
( , , )( , , )f k g l
x y zx y z
l
.
Rasti 4: Nëse: ( ) ( ) 0f x f y dhe ( ) ( ) 0g x g y , atëherë:
, ,
( , , )( , , )f k g l
x y zx y z
k
.
Si përfundim, nëse paraqesim një analizë të njëjtë me analizën e mësipërme, marrim se
për çdo: , ,x y z X kemi:
, ,( , , ) ( , , )f k g lk x y z x y z dhe , ,( , , ) ( , , )g l f kl x y z x y z .
Prandaj:
, , ,
1( , , ) ( , , ) ( , , )f k g l f kk x y z x y z x y z
l .
Nga ku marrim: , ,f k g l .■
Lidhja e 2-metrikave dhe 2-normave paraqitet në vijim, bazuar në njohuritë e
përmbledhura nga R.W. Freese në [19].
Teoremë 3.1.9
Për çdo hapësirë lineare të 2-normuar , .,.X , funksioni i përcaktuar në X X X nga
( , , ) ,x y z x z y z është një 2-metrikë.
Teoremë 3.1.10
Për çdo dy pika ,x y X dhe K , , ,x y x y x .
Teoremë 3.1.11
Për 1
n
i iix e
dhe
1
n
i iiy e
, për 2n kemi:
1 2 1 2 1 2, ,x y e e .
Në rast se: 2n kemi:
1 2 1 2 1 1 2 2
1 1
, ,n n
i i i i i
i i
x y e
.
Përkufizimi 3.1.12
Le të jetë X një hapësirë lineare me dimension më të madh se 1 dhe pasqyrimi:
.,. : 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ që plotëson konditat e mëposhtme:
a) , 0a b nëse a, b janë linearisht të varura.
b) , ,a b b a
c) , ,a b b a për çdo 𝜆 ∈ ℝ
53
d) , ,a b a b a për çdo ,a b X .
.,. është quajtur gjysmë 2-norma në X dhe , .,.X është quajtur hapësira e gjysmë 2-
normuar.
Teoremë 3.1.13
Në çdo hapësirë gjysmë 2-të normuar, kemi se: ( , , ) ,a b c a c b c përcakton një
gjysmë 2-metrikë.
Vërtetim: Për çdo dy pika të ndryshme a dhe b të X , ekziston pika c X e tillë që:
a c dhe b c janë linearisht të pavarura, prandaj ( , , ) , 0a b c a c b c .
Gjithashtu, ( , , ) , 0a b c a c b c nëse të paktën dy nga të tre pikat a,b,c janë të
barabarta. Për tre pika të çfardoshme , ,a b c X kemi:
, ( ), ,a c b c a c b c c b a b c b
dhe:
, ( ), ,a c b c b c a c c a b a c a
nga ku rrjedh se: ( , , ) ( , , ) ( , , )a b c a c b c b a gjë që kompleton vërtetimin.■
Teoremë 3.1.14
Për dy pika të çfardoshme a,b të një hapësire gjysmë 2-të normuar , .,.X dhe për pikat
e çfardoshme të X të tilla që: x a b dhe y a b , ku , , , janë numra
realë, atëherë: , ,x y a b .
Vërtetim: Duke patur parasysh konditat 2), 3), dhe 4) të gjysmë 2-normës, në rastin kur
0 pohimi është i qartë. Nëse 0 kemi:
, ,x y a b a b a b
,a b a
,a a b
,a b çka vërteton teoremën.■
Duke patur parasysh arritjet e mësipërme për zbërthimin e 2-metrikave, në paragrafin që
vijon jemi munduar të shtrijmë të njëjtat probleme në rastin e një 2-norme asimetrike të
paraqitur si më poshtë:
Përkufizimi 3.1.15.[10]
Le të jetë X një hapësirë vektoriale. Funksioni .,. : 𝑋 × 𝑋 → ℝ+ është quajtur 2-normë
asimetrike nëse plotësohen konditat e mëposhtme:
54
1) , 0x x për x X dhe , 0 0x x x
2) , ,x y y x për ,x y X
3) , ,x y x y për 0 dhe ,x y X
4) , , ,x y z x z y z për , ,x y z X .
Çifti , .,.X është quajtur hapësira 2-e normuar asimetrike.
Shembulli 3.1.16. Let 𝑋 = ℝ dhe 𝑝(𝑥):ℝ → ℝ+ një normë asimetrike. Për çdo dy pika
1 2( , )x x x dhe 1 2( , )y y y ℝ2, shënojmë: 1 1 2 2, ( ) ( ) ( ) ( )x y p x p y p x p y .
Pohimi 3.1.17.[10] Funksioni: 1 1 2 2, ( ) ( ) ( ) ( )x y p x p y p x p y është një funksion 2-
normë asimetrike në ℝ.
Vërtetim:
1) , 0x x , x X dhe , 0 0x x x
2 2
1 1 2 2 1 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0x x p x p x p x p x p x p x
2 2
1 2 1 2, 0 ( ) ( ) 0 0x x p x p x x x , x X .
2) , ,x y y x për ,x y X
1 1 2 2 1 1 2 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,x y p x p y p x p y p y p x p y p x y x
3) , ,x y x y për 0 dhe ,x y X
1 1 2 2 1 1 2 2, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,x y p x p y p x p y p x p y p x p y x y
4) , , ,x y z x z y z për , ,x y z X
1 1 1 2 2 2, ( ) ( ) ( ) ( )x y z p x y p z p x y p z
1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x p y p z p x p y p z
1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x p z p x p z p y p z p y p z
, ,x z y z ■
Përkufizimi 3.1.18.[10]
Funksioni 𝜎(𝑥): 𝑋2 → ℝ+ është quajtur një gjysmë 2-normë asimetrike nëse:
1) ( , ) 0x y nëse ,x y linearisht të pavarur.
2) ( , ) ( , )x y y x për çdo ,x y X
3) ( , ) ( , )x y x y , për 0
4) ( , ) ( , )x y x y x për çdo ,x y X .
Funksioni i konjuguar i një gjysmë 2-norme asimetrike do të jepej nga:
( , ) ( , )x y x y , ,x y X .
Funksioni: 𝜎𝑠: 𝑋2 → ℝ+ i dhënë nga:
( , ) max ( , ), ( , )s x y x y x y , ,x y X
55
është një gjysmë 2-normë asimetrike.
Një gjysmë 2-normë asimetrike në 2X është një 2-normë asimetrike atëherë dhe
vetëm atëherë kur s është një 2-normë në X.
Përkufizimi 3.1.19.[10]
Nëse .,. është një 2-normë në ℝ dhe .,. është një 2-normë asimetrike e tillë që
.,.s , atëherë çifti ( , )s është quajtur zbërthim i 2-normës .,. .
Teoremë 3.1.20.[10] Le të jetë 2 , .,.X një hapësirë 2-e normuar. Për çdo funksion
linear :f X ℕ dhe çdo 1k ekziston një zbërthim i .,. .
Vërtetim: Për ,f k të dhëna, përcaktojmë: ,
, , ( ) 0
( , ) ,, ( ) 0
f k
x y f x
x y x yf x
k
.
Le të provojmë se: , ( , )f k x y është një 2-normë asimetrike.
1) Është e qartë se: ,
, , ( ) 0
( , ) ,, ( ) 0
f k
x x f x
x x x xf x
k
.
Kështu: , ( , ) 0f k x x dhe , ( , ) 0 0f k x x x .
2) , ,
, , ( ) 0 , , ( ) 0
( , ) ( , ), ,, ( ) 0 , ( ) 0
f k f k
x y f x y x f x
x y y xx y y xf x f x
k k
.
3) Për 0 kemi:
, ,
, , ( ) 0 , , ( ) 0
( , ) ( , ), ,, ( ) 0 , ( ) 0
f k f k
x y f x x y f x
x y x yx y x yf x f x
k k
.
4) Për mosbarazimin e trekëndëshit kemi 4 raste, për , ,x y z X .
Rasti 1: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0f y atëherë:
, , ,( , ) , , , ( , ) ( , )f k f k f kx y z x y z x z y z x z y z .
Rasti 2: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0f y atëherë:
, , ,
, , , , ,( , ) ( , ) ( , )f k f k f k
x y z x z y z x z y zx y z x z y z
k k k k
.
Rasti 3: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0f y , kemi dy mundësi:
1) ( ) 0f x y , atëherë:
, , ,( , ) , , , ( , ) ( , )f k f k f kx y z x y z x z y z x z k y z
, , , ,( , ) ( , ) ( , ) ( , )f k f k f k f kk x z y z x z y z për 1k .
2) ( ) 0f x y , atëherë:
56
, , ,
, , , ,( , ) , ( , ) ( , )f k f k f k
x y z x z y z y zx y z x z x z y z
k k k
.
Rasti 4: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0f y atëherë trajtimi është i njëjtë me rastin 3.
Mbetet të tregojmë se: , .,.s
f k . Për të bërë këtë, përcaktojmë ,f k :
, ,
, , ( ) 0 , , ( ) 0
, ( , ) , ,, ( ) 0 , ( ) 0
f k f k
x y f x x y f x
x y x y x y x yf x f x
k k
nga ku:
,, ,max ( , ), , ,sf kf k f k x y x y x y .■
Teoremë 3.1.21.[10]
Le të jetë 2 , .,.X një hapësirë 2-e normuar dhe ,f g funksione si në teoremën 3.1.20.
dhe , 1k l . Atëherë: , ,f k g l .
Vërtetim: Le të jenë ,x y X , dhe supozojmë se k l . Nga teorema 3.1.20. ekziston
,f k dhe ,g l .
Rasi 1: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0g x , atëherë:
, ,( , ) , ( , )f k g lx y x y x y .
Rasti 2: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0g x , atëherë:
, ,
, ,( , ) ( , )f k g l
x y x yx y x y
k l .
Rasti 3: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0g x , atëherë:
, ,
,( , ) , ( , )f k g l
x yx y x y x y
l .
Rasti 4: Nëse ( ) 0f x dhe ( ) 0g x , atëherë:
, ,
,( , ) , ( , )f k g l
x yx y x y x y
k .
Pra: , ( , )f kk x y për rastet 1,2 dhe 3, plotëson faktin:
, ,( , ) ( , )f k g lk x y x y , dhe për
rastin 4, që: , ,( , ) ( , )f k g lk x y x y . Njësoj
, ( , )g ll x y për rastet 1,2 dhe 4, plotëson
faktin se: , ,( , ) ( , )g l f kl x y x y dhe për rastin 3, që:
, ,( , ) ( , )g l f kl x y x y . Psh:
, ,( , ) ( , )f k g lk x y x y dhe , ,( , ) ( , )g l f kl x y x y për çdo x X . Kjo do të thotë se:
, ,f k g l . ■
57
3.2 HAPËSIRAT 2-NORMË ASIMETRIKE ME DIMENSION TË FUNDËM
Synimi jonë në këtë kapitull ka qënë që me përkufizimin e kuazi 2-metrikës dhe me
dhënien e përkufizimit për 2-normën asimetrike të paraqitur në temën e parë, të shtrojmë
disa probleme të ngjashme me rastet e normës asimetrike apo 2-normës [28], [29],
përshtatur në lidhje me 2-normën asimetrike.
Këtë gjë jemi munduar të bëjmë në këtë temë.
Konkretisht, le të mundohemi të studiojmë hapësirat 2-normë asimetrike me dimension të
fundëm dhe të tregojmë se topologjia e tyre mund të përshkruhet plotësisht duke përdorur
një normë asimetrike të derivuar nga një 2-normë asimetrike.
Në një hapësirë 2-të normuar asimetrike , .,.X kemi , 0x y dhe , ,x y x x y
për çdo ,x y X dhe 𝛼 ∈ ℝ+ . Gjithashtu, nëse , ,x y z janë linearisht të varur (psh. kur
2d ), atëherë , , ,x y z x y x z ose , , ,x y z x y x z .
Për një hapësirë 2-të normua asimetrike , .,.X , mund të derivohet një topologji
nëpërmjet përkufizimit të mëposhtëm të një vargu konvergjent:
Një varg nx në X është konvergjent në x X nëse: lim𝑛→∞
,nx x y = 0, për çdo y X .
Në këtë rast shkruajmë: lim𝑛→∞ nx = x , dhe x limitin e nx .
Uniciteti i limitit të vargut konvergjent është treguar në [28].
Pasi kemi përcaktuar vargjet konvergjentë në hapësirën 2-të normuar asimetrike, tani na
duhet të përcaktojmë rruzujt në të për të përshkruar plotësisht topologjinë e saj duke
përdorur këto rruzuj. Në vazhdim kemi treguar si të bëjmë këtë në rastin e hapësirës me
dimension të fundëm, për t’i shtrirë më pas rezultatet për rastin e dimensionit të
pafundëm.
Supozojmë se , .,.X është një hapësirë 2-e normuar asimetrike dhe X me dimension të
fundëm d , ku 2 d , nëse nuk shprehet ndryshe. Fiksoj 1,..., da a një bazë në X .
Atëherë marrim lemën e mëposhtme:
Lemë 3.2.1
Vargu nx në X është konvergjent në x X atëherë dhe vetëm atëherë kur
lim𝑛→∞
,n ix x a = 0 për çdo 1,...,i d .
Vërtetim: Mjafton të tregojmë se nëse: lim𝑛→∞
,n ix x a = 0 për çdo 1,...,i d , atëherë
kemi: lim𝑛→∞
,nx x y = 0 për çdo y X . Por kjo është e qartë pasi çdo y X mund të
shkruhet si: 1 1 ... d dy a a për
1 2, ,..., d ℝ+ , dhe nga mosbarazimi i
trekëndëshit kemi:
1 1, , ... ,n n d n dx x y x x a x x a për çdo .■
Lemë 3.2.2
Vargu i është konvergjent në atëherë dhe vetëm atëherë kur:
lim𝑛→∞
𝑚𝑎𝑥 = 0.■
n N
nx X x X
, : 1,...,n ix x a i d
58
Ky fakt i thjeshtë na sqaron për përcaktimin e një norme asimetrike në si më poshtë:
Në përputhje me bazën , mund të përcaktojmë një normë asimetrike në , të
cilën mund ta shënojmë dhe:
.
Me të vërtetë, shikojmë se:
(i) atëherë dhe vetëm atëherë kur
(ii) për
(iii) për çdo .
Vëmë re se për në përgjithësi, mund të përcaktojmë funksionin në të
tillë:
,
dhe të kontrollojmë që gjithashtu është një normë asimetrike në . Por, përderisa
është me dimension të fundëm, të gjitha këto norma asimetrike janë ekuivalente, prandaj
po punojmë vetëm me normën .
Duke përdorur normën asimetrike të derivuar , Lema 3.2.2 merr trajtën:
Lemë 3.2.2+
Vargu i është konvergjent në atëherë dhe vetëm atëherë kur:
lim𝑛→∞
= 0.■
Lidhur me normën asimetrike të derivuar , mund të përcaktojmë rruzujt (e hapur)
me qendër dhe rreze :
.
Duke përdorur rruzujt, Lema 3.2.2+ merr trajtën:
Lemë 3.2.2++
Vargu i është konvergjent në atëherë dhe vetëm atëherë kur:
e tillë që për .■
Duke i përmbledhur të gjithë rezultatet marrim:
Teorema 3.2.3
Çdo hapësirë 2-e normuar asimetrike me dimension të fundëm është një hapësirë e
normuar asimetrike dhe topologjia e saj përputhet me topologji
në e gjeneruar nga norma asimetrike .■
Shumë rezultate në hapësirën e normuar asimetrike, mund të verifikohen në mënyrë
analoge në një hapësirë 2-të normuar asimetrike, duke përdorur normën asimetrike të
derivuar , ose rruzujt e lidhur me të.
X
1,..., da a X
.
max , : 1,...,ix x i d
0x 0x
x x 0
x y x y
,x y X
1 p .p
X
1
1
,d p
p
ipi
x x
X X
.
.
nx X x X
nx x
.
1 2, ,..., dB
,x r x r
1 2, ,...,
, :d
B x r y x y r
nx X x X
0, M N 1 2, ,...,
,d
nn N x B x
.
.
59
Fillimisht të shohim një shembull:
Shembulli 3.2.4
Le të jetë 𝑋 = ℝ2 i pajisur me 2-normën asimetrike syprina e paralelogramit
përftuar nga vektorët dhe , të cilët mund të jepen në këtë mënyrë:
.
Marrim bazën standarte për ℝ2 . Atëherë dhe , kështu norma
asimetrike e derivuar në lidhje me është:
.
Norma asimetrike e derivuar këtu është e njëjtë me normën asimetrike uniforme në
ℝ2. Në përputhje me rrethanat, rruzulli është një katror me qendër me rreze
. Përderisa norma asimetrike e derivuar është ekuivalente me normën asimetrike
Euklidiane në ℝ2, dalim në përfundimin se ℝ2 pajisur me 2-normën asimetrike të
mësipërme nuk është gjë tjetër veç plani Euklidian.
Më në përgjithësi kemi:
Fakti 3.2.5
Hapësira 2-e normuar asimetrike (ℝ𝑑 , ) ku syprina e paralelogramit përftuar
nga vektorët dhe , është një hapësirë e normuar asimetrike norma e së cilës është
ekuivalente me atë Euklidiane.
Vërtetim: Për çdo dhe ∈ ℝ𝑑, 2-norma asimetrike
mund të jepet nga formula:
.
Le të jetë baza standarte për ℝ𝑑. Atëherë për çdo , kemi:
,
dhe kështu norma asimetrike e derivueshme në lidhje me është:
.
Tani le të jetë norma asimetrike Euklidiane në ℝ𝑑 . Është e lehtë të tregohet se:
për çdo 𝑥 ∈ ℝ𝑑 , duke konfirmuar në këtë mënyrë se norma asimetrike e derivuar është
ekuivalente me normën Euklidiane.■
,x y
x y
1 2 2 1 1 2 1 2, , , , ,x y x y x y x x x y y y
,i j 2,x i x 1,x j x
.
,i j
1 2 1 2max , , ,x x x x x x
.
,,
i jB x r x
r
.,. ,x y
x y
1 2, ,..., dx x x x 1 2, ,..., dy y y y
,x y
12 2
2 2
1 1 1
,d d d
i j i i
i j i
x y x y x y
1,..., de e 1,...,j d
12
2 2
1
,d
j i j
i
x e x x
.
1,..., de e
12
2 2
1
max : 1,...,d
i j
i
x x x j d
Ex
2E
x x x
60
Shënim: Për 2-normën asimetrike të mësipërme (ℝ𝑑 , ), ja vlen të shikohet:
,
që do të thotë, është katrori i normës asimetrike Euklidiane.
Tani të tregojmë se rezultatet tona shtrihen në ndonjë hapësirë të ndashme të produktit
skalar asimetrik (e cila mund të jetë me dimension të pafundëm) e pajisur me 2-normën
asimetrike standarte:
,
ku përcakton produktin skalar asimetrik dhe është norma asimetrike e
prezantuar prej tij në .
Fillimisht të verifikojmë analogun e faktit 3.2.5.
Le të jetë , e indeksuar nga një bashkësi e numurueshme , një bazë
ortogonale për . Atëherë, për çdo , kemi: . Prandaj
mund të përcaktojmë normën asimetrike të derivuar në lidhje me si:
.
Është e qartë se: për çdo . Anasjelltas, duke përdorur mosbarazimin e
Beselit, kemi:
,
dhe prandaj për çdo . Kjo tregon se
është ekuivalente me
normën tashmë ekzistuese në .
Më tej, shikojmë se analogu i lemës 3.2.2 është i vlefshëm. Që do të thotë, një varg
në është konvergjent në atëherë dhe vetëm atëherë kur lim𝑛→∞
= 0 për
çdo . Me të vërtetë, për limitin e dhënë lim𝑛→∞
= 0, mund të tregojmë se:
lim𝑛→∞
= 0 për çdo . Vëzhgojmë se për çdo .
Përsëri nga mosbarazimi i Beselit kemi:
për çdo . Prandaj lim𝑛→∞
= 0, nga ku: lim𝑛→∞
= 0 për çdo . Si
rrjedhim, marrim rezultatin e mëposhtëm:
Fakti 3.2.6
Një varg i është konvergjent në atëherë dhe vetëm atëherë kur
lim𝑛→∞
= 0 vetëm për .
.,.
22 2
21 1
, 1d d
j i
j i
x x e d x
2.
X
1
2 2 2 2, ,x y x y x y
.,.1
2,x x x
X
ie 1,2I
X i I 1
2 2 2, ,i ix e x x e x
.
ie
sup , :ix x e i I
x x x X
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2, , , ,x x x e x x e x e x e x
2x x
x X .
. X
nx
X x X ,n ix x e
i I ,n ix x e
,nx x y y X ,n nx x y x x y y X
2 2 2
1 2, ,n n nx x x x e x x e
n N nx x ,nx x y y X
nx X x X
,n ix x e 1, 2i
61
Në përputhje me rrethanat, në lidhje me ,mund të përcaktojmë një normë më të
thjeshtë në , nga:
.
Kjo nuk është një surprizë në fakt, pasi në përgjithësi ne përdorim dy vektorë linearisht të
varur për të përcaktuar një normë asimetrike në ndonjë hapësirë 2-të normuar asimetrike.
Ajo ç’ka vlen për tu theksuar është se topologjia e gjeneruar nga përputhet me atë të
gjeneruar nga 2-norma asimetrike.
Shikojmë se:
për çdo . Kjo konfirmon se dhe janë ekuivalente, dhe të dyja janë
ekuivalente me normën asimetrike ekzistuese në . Prandaj analogia e Lemës 3.2.2
është e vlefshme për nëse është i pajisur me , apo .
1 2,e e
2. X
1
2 2 2
1 22, ,x x e x e
2.
22x x x x
x X2
. .
. X
X2
. .
.
62
PËRFUNDIME DHE SUGJERIME
Le të jetë një hapësirë lineare dhe një 2- normë e përcaktuar në të dhe
funksionet dhe lidhur me 2-normën. Atëherë kanë vend
barazimet:
a) për ҫdo dhe e fiksuar.
b) për ҫdo dhe e fiksuar.
c) për ҫdo skalar jonegativ dhe dhe e
fiksuar.
d) për ҫdo skalar jonegativ dhe dhe e
fiksuar.
e) në qoftë se dhe dhe e fiksuar.
f) në qoftë se dhe dhe e fiksuar.
g) për ҫdo dhe e fiksuar
Ku dhe .
Le të jetë një hapësirë 2 e normuar atëherë kemi:
(i) Mosbarazimi i mëposhtëm është i vërtetë:
për çdo dhe .
(ii) për çdo
(iii) Pasqyrimi është sub (super)-aditiv në lidhje me variablin e parë,
psh: qëndron mosbarazimi
për
.
Le të jetë , ,X një hapësirë 2 e normuar. Atëherë pohimet e mëposhtme janë
ekuivalente:
a) 2-norma është Gateaux e diferencueshme në çdo pikë0 ( )x S X .
b) Gjysmë produkti skalar ,b
px y është homogjen në lidhje me argumentin e dytë
për vlera të argumentave x dhe y nga bashkësia ( )S X .
c) Gjysmë produkti skalar ,b
px y është homogjen në lidhje me argumentin e parë
për vlera të argumentave x dhe y nga bashkësia ( )S X ku ,p s p i .
X ,x y
,b
sx y ,
b
ix y
2
, ,b
px x x b x X b X
, , 0p p
ix x x ix x X b X
, ,p p
x y x y ,x y X b X
, ,p p
x y x y ,x y X b X
, ,p q
x y x y 0 ,x y X b X
, ,p q
x y x y 0 ,x y X b X
, ,p q
ix y x iy ,x y X b X
, ,p q s i p q
, ,X
2 2 2 2, , , ,
( , ) ( , )2 2
b b
s i
x ty b x b x sy b x by x y x
t s
, ,x y X 0, 0t s
( , ) , ,b
px p x b y b , ,x y X
( , ) ( , )b b
s i
1 2 1 2( ) ( ) ( ), , ,
b b b
s i s i s ix x y x y x y
1 2, , ,x x y X
63
Në qoftë se ( , )x y është funksioni kuazi produkt skalar asimetrik në X , atëherë
funksioni :p X ℝ i përcaktuar nga barazimi ( ) ( , )p x x x është një funksion
kuazi normë asimetrike.
Le të jetë ,X p një hapësirë e kuazi normuar asimetrike. Një nënbashkësi A e
X është p -prekompakte atëherë dhe vetëm atëherë kur për çdo 0 ekziston
një bashkësi e fundme 1,..., nx x në X e tillë që: 1
( )n p
iiA B x dhe
1
( )p
iB x A
për çdo 1,...,i n .
Le të jetë ,X p një hapësirë kuazi e normuar asimetrike. Le të jetë K një
nënbashkësi e X , atëherë:
Nëse ,X p është një hapësirë bi-Banah e kufizuar djathtas me një konstante
1r dhe K është bashkësi p -prekompakte atëherë ekziston një nënbashkësi sp -kompakte,
0K e X e tillë që: 0 0K K .
Nëse ekziston një nënbashkësi sp -prekompakte 0K e X e tillë që:
0 0K K
atëherë K është p -prekompakte së jashtmi.
Le të jetë ,X një hapësirë 2-metrike. Nëse 𝑓: 𝑋 → ℝ është një funksion që
plotëson kushtet: ( , , ) ( , , )u y z x y z dhe ( , , ) ( , , )x y u x y z kur
( ) ( ) ( )f x f y f u , atëherë ekziston një zbërthim i .
Le të jetë 2 , .,.X një hapësirë 2-e normuar. Për çdo funksion linear :f X R
dhe çdo 1k ekziston një zbërthim i .,. .
Në vijim të punës kërkimore është menduar që fillimisht të paraqitet përkufizimi i
kuazi 2-normës asimetrike si funksion .,. : X X → ℝ+ i tillë që:
1) , 0x x për çdo x X dhe , 0 0x x x
2) , ,x y y x për çdo ,x y X
3) , ,x y x y për çdo ,x y X dhe 0
4) , , ,x y z K x z y z për çdo , ,x y z X dhe 1K .
Me dhënien e këtij përkufizimi është menduar që më tej të shikohet nëse arritjet e
marra për funksionin 2-normë asimetrike vlejnë dhe në rastin e kuazi 2-normës
asimetrike, apo rezultateve të tjera të mundshme në lidhje me të.
64
LITERATURA
[1] Abo Hadi, M.A, Semi-inner product spaces of type (p), M.Sc.Thesis, Faculty of Sc.
King Abdulazis Univ. (1983)
[2] Alegre C. Ferrando I, L.M. Garcia Raffi, E.A.Sanchez-Perez, Compactness in
asymmetric normed spaces. Topology and its Applic.ations 155 (2008) 527-539.
[3] Asadi, M and S.M. Vaezpour, Scalarization of contractions in the cone metric spaces,
The First Workshop in Fixed Point Theory and Applications, Amirkabir University of
Technology and IPM, Iran, June 09-10, 2010.
[4] Asadi, M, S.M. Vaezpour, B.E. Rhoades and H. Soleimani, Metrizability of cone
metric spaces via renorming the Banach spaces, Journal of Nonlinear Anal. and Appl.
(2012),Article ID jnaa-00160, 5 Pages.
[5] Çakalli,H A. Sonmez and C. Genc, Metrizabilty of topological vector space valued
cone metric spaces, arXiv:1007.3123v2[math.GN] 23 Jul 2010.
[6] Çeno S, On the asymmetric quasi norm function. The 5-th Electronic International
Interdisciplinary Conference, (2016), Slovac Republic, ISBN: 978-80-554-1248-1.
Pp.183-186.
[7] Çeno S, Some properties of the superior and inferior semi inner product function
associated to the 2-norm, Journal of Advances in Mathematics, Vol.12, N0.5, ISSN:
2347-1921, (2016), p.p 6254-6260.
[8] Çeno S, Topological Properties in the Generalized normed spaces, Global Virtual
Conference, Slovak Republic, (2016), 185-188, ISBN: 978-80-554-1197-2.
[9] Çeno S and Tigno G. Asymmetric inner product and the asymmetric quasi norm
function, Congres of Mathematics Makedonia, 2016.
[10] Çeno S and Tigno G. Decomposition of 2-norms. Journal of Progressive Research
in Mathematics, Vol 11.Issue 2, (2017) ISSN: 2395-0218, pp. 1600-1603.
[11] Çeno, S & Tigno, G (2017): Quasi 2-metrics, 2-metrics and their decomposition.
Journal of Progressive Research in Mathematics. Vol.11.No.3, p.1670-1673, March 15.
ISSN 2395-0218.
[12] Chu H, C.Park and W.Parck. The Aleksandrov problem in linear 2-normed spaces,
J.Math. Anal.Appl. 289 (2004), 666-672.
[13] Cobzas S. Functional on Asymetric Normed Spaces.Springer.Fronties in
Mathematics, 2013. ISBN.978-3-0348-0478-3.
[14] Diminnie C, S.Gahler and A.White, 2-inner product spaces II, Demonstratio Math.,
10(1977), 169-188
[15] Diminnie C, S.Gahler and A.White, 2-inner product spaces, Demonstratio Math.,
6(1973), 525-536
65
[16] Diminnie C and A.White, A characterization of 2-inner product spaces, Math.
Japon, 27(1982), 257-277.
[17] Dragomir. S.S. Semi-Inner Products and Applications. PO.Box 14428, Melbourne
City.MC, Victoria 8001, Australia.
[18] Du, W.S. New Cone fixed point theorems for nonlinear multivalued maps with their
applications, Appl. Math. Letters, 24(2) (2011), 172{178}.
[19] Freese R.W and Yeol Je Cho .Geometry of Linear 2-Normed Spaces. (2001)
[20] Gahler S and A.Misiak, Remarks on 2-inner products, Demonstratio Math.,
17(1984), 655-670
[21] Gangopadhyay M, M.Sasha, A.P.Baisnab. (2012) Caristi-type fixed point theorems
in a 2-Banach spaces. Gen Math Notes. 8(1): 1-5
[22] Gangopadhyay M. Sasha M, A.P.Baisnab. (2009) Fixed point theorems for a class
of mappings in a 2-Banach space. Int Journal of Math Analysis, 3(27):1339-1347.
[23] Garcia Raffi L.M, S.Romaguera, E.A.Sanchez-Perez, The bicomplection of an
asymmetric normed linear space. Acta. Math. Hungar. 97 (3) (2002) 183-191.
[24] Garcia Raffi.L.M, Romaguera S, E.A.Sanchez-Perez, The dual space of an
asymmetric normed linear space. Quaestiones Math.26 (2003) 83-96.
[25] Garsia-Raffi L.M. Compactness and finite dimension in asymmetric normed linear
spaces, Topology Appl.153 (2005), 844-853.
[26] Giles R. Classes of semi inner product spaces. Trans.Am. Math.Soc.129(1967),436-
446
[27] Gunawan H and M.Mashadi. (2001). On n-normed space, Int.J.Math.Sci. (27)10,
631-639.
[28] Gunawan H and Mashadi, On finite dimensional 2-normed spaces, Soochow
Journal Of Mathematics, Volume 27, No. 3, pp. 321-329, July 2001.
[29] Gunawan H and Setya-Budhi W, On the triangle inequality for the standard 2-
norm, Majalah Ilmiah Himpunan Mathematika Indonesia, 2001.
[30] Harikrishman, P.K, Ravindran,K.T, (2011) Some properties of Accretive operators
in Linear 2-normed spaces, Int.Math.Forum, vol.6,no.59, 2941-2947.
[31] Hernandez J.M, Castaneda C.H, L.C. Alvarez, V.Tochihuitl and R.Vazquez,
Decomposition of metrics and norms, GJMMS, ISSN 0972-9836, Vol.6, Nr. 1 (2016),
pp.1-9.
[32] Hernandez. J.M, C.H.Castaneda, L.C. Alvarez, Hernandez. J.L, V.Tochihuitl, J.L.
Carrasco, Ramirez T.M and R.Vazquez, Espacios con distancias no simetricas, Temas de
Ciencia y Tecnologia, Vol.18, No.53, (2014), 3-9.
[33] Huang, L.G and X. Zhang, Cone metric spaces and _xed point theorems of
contractive mapping, J. Math. Anal. Appl.,332(2) (2007), 1468{1476.
66
[34] Husain, T and Malviya, B.D. (1972) On semi-inner product spaces II,
college.Math., Vol.24, Fasc.1.
[35] Iseki K. (1975) Fixed point theorems in 2-metrik spaces.Math.Sem.Notes 3; 133-
136.
[36] Jimenez-Pozo.M.A and J.M.Hernandez, Asymmetric Holder spaces of sign sensitive
weighted integrable functions, Comn.Math.App, Vol.3 (2011), 39-50.
[37] Kevin M.G and A.A. Nudel’man, The Markov Moment Problem and Extremum
Problems, Nauka, Moscow 1973.
[38] Lewandowska Z, Bounded 2-linear operators on 2-normed sets, Glasnik
Matematicki, 39(59), (2001), 303-314.
[39] Lewandowska Z, Generalized 2-normed spaces, S lupskie Prace Matematyczno-
Fizyczne.1 (2001), 33{40}.
[40] Lewandowska Z, Linear operators on generalized 2- normed spaces.
Bul.Math.Soc.Sc.Math. Roumaine.Tome 429 130).No.40.1999
[41] Lumer G, Semi- inner products spaces.Trans. Am. Math.Soc. 100 ( 1961), 29-43
[42] Nath B, On generalization of semi-inner product spaces. Math.J. Okyyama.Univ.
15(1971)
[43] Park C, Generalized Quasi-Banach Spaces and Quasi (2-p)-normed Spaces, Jornal
of the Chungheong Mathematical Society, Vol.19, No.2, June 2006.
[44] Precupanu, T (1968) Sur le produits dans de espaces vectorielles topologiquea,
Rev.Roum.Math pures et Appl.13,85-90.
[45] Reilly I.L, Subrahmanyam P.V, Vamanamurthy M.K. Cauchy sequences in quasi-
pseudo-metric spaces. Monatsh.Math. 93(1982), 127-140.
[46] Tashim L. On denseness on asymetric Metric Spaces. Mathematics. Aeterna,
Vol.2.2012.
[47] Torrance E, Stricly convex spaces via semi-inner product spaces orthogonality.
Pro. Amer. MAth.Soc. 26 ( 1970),108-111
[48] White A, (1969) 2-Banach spaces. Mathematische Nachrichten, 42(1-3): 43-60.
[49] Zang, H and Zang, J. (2010) Generalized semi-inner product and applications to
regularized learning, J.Math.Anal.Appl. 372, 181-196.
67
Përmbledhje
Në këtë tezë fillimisht janë konceptuar funksionet gjysmë produkte skalare inferior dhe
superior në lidhje me një 2-normë, si përgjithësime të funksioneve të prezantuara nga S.S.
Dragomir dhe P.Milicic. Më tej janë trajtuar disa veti që kanë të bëjnë pikërisht me këto
funksione. Në vazhdim është paraqitur përkufizimi i kuazi 2-normës së përgjithësuar dhe
fakti se për hapësirën e përcaktuar nga kjo e fundit ekziston një hapësirë kuazi (2-p) e
Banahut, lidhur bashkë nga një izomeri.
Gjithashtu në punim paraqitet fillimisht lidhja e ngushtë e produkteve skalare me një
funksion normë. Në kuadër të kësaj lidhjeje prezantohet funksioni kuazi produkt skalar
asimetrik për të vijuar më tej me përkufizimin e funksionit kuazi normë asimetrike dhe
lidhjes që ekziston midis tyre. Pjesa që pason janë pikërisht rezultate të marra në lidhje
me funksionin kuazi normë asimetrike si në aspektin topologjik dhe në atë të
kompaktësisë së hapësirës që ajo formon.
Punimi vijon në kuadër të asimetrisë, por tanimë në hapësirat dy përmasore. Kështu
fillimisht përkufizohet kuazi 2-metrika dhe 2-norma asimetrike, për të treguar më tej
zbërthime të secilës. Gjithashtu në këtë kapitull janë studiuar hapësirat 2-të normuara
asimetrike me dimension të fundëm dhe është treguar se topologjia e tyre mund të
përshkruhet plotësisht duke përdorur një normë asimetrike të derivuar nga një 2-normë
asimetrike.
Abstract
Initially, in this thesis, we define the inferior and superior semi inner products associated
to the 2-norm function, as generalizations of the inferior and superior semi inner product
functions presented by S.S.Dragomir and P. Milicic. Ongoing we list some properties
related to these functions. After that we define the generalized quasi 2-norm function and
show that for the generalized quazi 2-norm space, there exists a quasi (2-p) Banach space
connected together by an isometry.
Also, in this thesis, we show the strong connection of inner products and norm function.
Under this link we present the asymmetric quasi inner product and the asymmetric quasi
norm function, and then give the link between them. After that we give some results for
the asymmetric quasi norm space, in the topological aspect and in terms of compactness.
Within the idea of the asymmetry, but now on the two dimensional space, we first define,
quasi 2-metrics and asymmetric 2-norms, then give some decompositions of each of
them. At the end, we study finite dimensional asymmetric 2-normed spaces and show that
their topology can be fully decribed by using a certain asymmetric norm derived from the
asymmetric 2-norm.
![Welcome! []Examples of matching xy xy anywhere in string ^xy xy at beginning of string xy$ xy at end of string ^xy$ string that contains only xy ^ matches any string, even empty ^$](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/60836582b1fa9828ec278d05/welcome-examples-of-matching-xy-xy-anywhere-in-string-xy-xy-at-beginning-of.jpg)
