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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen
Modelle sind Abstraktionen.
Es darf nur Unbedeutendes weggelassen werden Das numerische Modell muss in Einklang mit dem physikalischen und dem
mathematischen Modell sein. Deshalb sind Grundverständnisse beider Modellierungsschritte nötig
Mathematische Grundbeziehungen technischer Modelle sind Erhaltungsgleichungen in integraler und differenzieller Form
Integrale und differenzielle Form legen den Schwerpunkt der Aussage auf unterschiedliche Effekte. Ziel beachten
Drei Auswirkungen der Endlichkeit von Rechnern kennen gelernt
Rundung, Diskretisierung, Abbruch Kondition eines Algorithmus, Konsistenz einer Diskretisierung und
Konvergenz einer Lösung bedeuten
Rundungsfehler, Diskretisierungsfehler, Abbruchfehler werden beherrscht
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Was wir zur numerischen Lösung von Dglen wissen
Wie diskretisieren wir Funktionen
Was ist ein iteratives Verfahren Nullstellensuche nach Newton
Wie berechnet man für eine Funktion f(x) das Integral in (a,b)
Wie berechnet man die Ableitung der Ordnung n an Stelle xi
Als Differenz aus n+1 Werten Was ist das Ergebnis der Diskretisierung: Differentialgleichung wird
überführt in System von Gleichungen zur Bestimmung von Werten yi
Einfache Lösung für explizite Verfahren
xNayy ii
n
i
0
n
p
n
pxFx 1
i
iii
xg
xgxx
'1
jj
jii
bi
aiH
abdxxf
2
~
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Lösung von linearen Gleichungssystemen - Grundlagen
Zu Lösen ist ein Gleichungssystem: A x = b
dabei sind A eine n*n Matrix, x der Vektor der Unbekannten und b der Vektor der rechten
Seite. Lösung ist wo die Inverse von A ist
Bei den Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen unterscheiden wir zunächst zwischen direkten und iterativen Verfahren. Direkte Verfahren lassen sich in der Regel in zwei Schritte unterteilen.
Im ersten erfolgt eine Transformation der Systemmatrix derart, dass die neue Matrix leicht invertierbar wird. Leicht invertierbare Matrizen sind Diagonalmatrizen, Tridiagonale Matrizen und Dreiecksmatrizen. Im zweiten Schritt erfolgt die eigentliche Inversion.
Bei iterativen Verfahren wird die Systemmatrix aufgespalten in einen Teil, der leicht invertierbar ist und einen Rest, der im Gleichungssystem der rechten Seite zugeschlagen wird. Die rechte Seite kann daher nur näherungsweise bestimmt werden. Die Näherung ist in den verschiedenen Iterationsschritten zu verbessern.
b A x -1 A -1
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Beispiele für Gleichungssysteme
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
.......
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
A volle Matrix
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Beispiele für Gleichungssysteme
nnnn d
d
d
d
x
x
x
x
ac
bac
bac
ba
2
1
3
2
1
333
222
11
nnnn bxd
bxd
bxd
bxd
3333
2222
1111 A Diagonalmatrix D
A tridiagonale Matrix
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Teil V: Gleichungslöser
Kap. 9: Matrizen und ihre Eigenschaften
Inhalt:
Definitonen und RechenregelnSpezielle MatrizenKennzahlenSpeicherung
V9: Matrizen und ihre Eigenschaften
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Das sollten Sie heute lernen
Was sind grosse dünnbesetzte Matrizen Was sind Kennzahlen Was ist eine Norm und zu was braucht man sie Wie speichert man grosse Matrizen Wie hängen Speicherung und Effektivität von
Rechenmethoden zusammen
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Eigenschaften großer, dünn besetzter Matrizen
Diskretisiert man Variablen, so erhält man Vektoren. Bestehen zwischen Variablen Beziehungen in Form von Gleichungen, so führt die Diskretisierung auf Gleichungssysteme. In Gleichungssystemen werden Variablen durch Vektoren und ihre Verbindung über Matrizen beschrieben.
Matrizen sind Gebilde aus n•n Zahlen, Funktionen oder Operatoren. Bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen entstehen große (n, m >> 106) und in der Regel dünnbesetzte Matrizen (nur etwa 10 n Elemente ungleich Null). Im Folgenden werden Eigenschaften dünnbesetzter Matrizen beschrieben, die im Kontext der numerischen Lösung von Differentialgleichungen Bedeutung haben.
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Beispielmatrix
10,109,108,107,106.105,104,103,102,101,10
10,99,98,97,96,95,94,93,92,919
10,89,88,87,86,85,84,83,82,81,8
10,79,78,77,76,75,74,73,72,71.7
10,69,68,67,66,65,64,63,62,61,6
10,59,58,57,56,55,54,53,52,51,5
10,49,48,47,46,45,44,43,42,41,4
10,39,38,37,36,35,34,33,32,31,3
10,29,28,27,26,25,24,23,22,212,
10,19,18,17,16,15,14,13,12,11,1
,
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
A
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Rechenregeln: Addition und Subtraktion
Bezeichnung:
torSpaltenvekoderSpalte:1m
orZeilenvektoderZeile:1n
,1;,1,
mkniaoderAoderA ik
Identität: Zwei Matrizen sind dann und nur dann gleich, wenn ihre Elemente gleich sind
kiBA ,allefürafolgtAus ik
ReihenundSpaltenvonAnzahlgleiche
habenundungVoraussetz BAnSubtraktio
baBAAddition ikik
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Rechenregeln: Multiplikation und Division
CBACBA
ABBA
baBAtionMultiplikaj
jkij
! :Beachte
B vonZeilender Zahlder
gleichist A vonSpaltender ZahlDie:ungVoraussetz
formuliert der Problemals
Operation die wirdnStattdesse
angegeben.explizitseltenwird
vonInverseheißt
BAB/A
angebbar Regelneinfachen keine sind Es:
systemenGleichungs vonLösung
1
1
1
1-
-B
B
BB
Division
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Rechnen mit dünnbesetzten Matrizen
Bei Rechenoperationen müssen Addition und Multiplikation genauer untersucht werden
Dünnbesetzte Matrizen bestehen vor allem aus 0 Elementen. Für solche Elemente ergeben Addition und Multiplikation keine Beiträge
Operationen mit dünnbesetzten Matrizen werden also besonders effektiv, wenn Operationen mit 0 Elementen möglichst vermieden werden.
Werden Operationen auf 0 Elemente nicht durchgeführt, so müssen diese Elemente auch nicht gespeichert werden.
Wie Datenstrukturen die Effektivität von Algorithmen bestimmen, wird am Beispiel der Matrizenrechnung besonders deutlich
Die Effektivität von Algorithmen wird auch durch die Eigenschaften einer Matrix (z.B. Kondition) bestimmt. Vereinfacht können Eigenschaften dünnbesetzter matrizen durch Kennzahlen abgeschätzt werden
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Speicherung großer MatrizenGroße Matrizen können nicht ganz im Kernspeicher gehalten werden. Man muß deshalb versuchen, möglichst wenig redundante Information zu speichern oder die Matrizen zu unterteilen. Folgende Techniken haben sich bewährt:
a) Speichern der gesamten Matrix variabel dimensioniert - 1d Feld
b) Ausnutzung von Symmetrien - Speichern und Operieren auf Dreiecksmatrizen
c) Ausnutzung der Bandbreite - Speichern und Operieren auf Bandmatrizen
d) Ausnutzen der lokalen Bandbreite - Hier ist ein zusätzliches Feld zur Angabe
der lokalen Bandbreiten notwendig.
e) Elementweise Speicherung - zu jedem Element müssen zwei Indizes
gespeichert werden.
f) Blockweise Speicherung - Hypermatrizen (ab > 1000 Unbekannten)
g) Elemente werden nicht gespeichert, sondern je neu gerechnet.
Die Datenspeicherung hat erheblichen Einfluss auf die Implementierung
der Algorithmen zum Umgang mit Matrizen
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Spezielle Matrizen - 1
0 Elementeeleenthält vi AMatrix besetzte dünn
erttransporti
hsymmetrisc
hquadratisc
kiT
kiik
aA
aa
mn
Matrizen hequadratiscfür n m Bandbreite
0 Elementeenthält naleHauptdiagoder längs Bandein nur
0
11
Bandmatrix
IAAmitAInverse
DaatrixDiagonalma
IAImitIikatrixEinheitsma
aNullmatrix
ikiiik
ik
ik
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Spezielle Matrizen - 2
BidiagonalmatrixBandmatrix mit m = 2
Tridiagonalmatrix Bandmatrix mit m = 3
xk
iik
ik
ik
Jdx
dya
a
ikfür
kifüra
Matrix-Jakobi
n verknüpfelogisch Systeme zwei kann
bit) (ein annehmen Werte zweinur kann MatrixBoolsche
atrix Dreiecksmuntere0
atrix Dreiecksmobere0rixDreicksmat
ist beschränkt Zahlen aufnur nicht das ug,ungswerkze Beschreibmächtigessehr ein sind Matrizen
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Einfache Kenngrößen: Determinante
Für viele Zwecke ist es nützlich, die Informationen einer Matrix in Kennzahlen zusammenzufassen. Dabei können nur bestimmte Aspekte berücksichtigt werden, entsprechend existieren eine Vielzahl von Kenngrößen.
.eliminiert Spalte und Zeile man wenn
,erhält aus man die ist, der Matrix nte Determinadie//wo
//1-Adet
rekursiv Definition
ab. Zahl auf Matrix hequadratiscbildet
det/A /teDeterminan a)
j
ji
AijA
ijA
Aoder
ijji a
////////////////// ABBABAAAAA nT
Die Bedeutung der Determinante kann am Beispiel der Cramer‘schen Regel zur Gleichungsauflösung gezeigt werden.
Rechenregeln
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Definition Die homogene Gleichung hat nur für bestimmte Werte von -Lösungen. Diese Werte heißen Eigenwerte, die zugehörigen Lösungsvektoren
sind die Eigenvektoren.
Bestimmung der Eigenwerte über die charakteristische Gleichung. Man erhält sie, wenn man die Determinante des Eigenwertproblems bildet. Die charakteristische Gleichung lautet:
Ist eine n-reihige quadratische Matrix so gilt: besitzt genau n Eigenwerte als Wurzeln der charakteristischen Gleichung. Nur für diese Werte existieren
Eigenlösungen oder Eigenvektoren
Eigenvektoren sind nur bis auf Konstante bestimmt, sie müssen normiert werden. Oft Norm 1:
EV zu verschiedenen EW sind linear unabhängig, es können ihren Richtungen, die Eigenrichtungen, zugeordnet werden. Daraus folgt, daß ein beliebiger Vektor nach den EV entwickelt werden kann:
Für die Entwicklungskoeffizienten gilt
Eigenwerte(EW ) und Eigenvektoren(EV )
iBiiA
0//det BA
A A i
i
ijjB
iT
ii
iax
x
ia
xi
a Ti
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Norm eines VektorsNormen sind wichtig für Fehlerabschätzungen. Man unterscheidet Vektor- und
Matrix-Normen. Norm eines Vektors
heißt Norm des Vektors , wenn es folgende Eigenschaften hat:
Solche Größen können verschieden eingeführt werden. Beispiele sind:
v v
v2 i iv
i
iv1
1
iix v1 ma
vuvu d)
va av c)
0 v fürnur 0 und 0 v b)
definiert Vektorraum imv allefür ist va)
(Betrag) Norm eeuklidischoder 2
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Matrix-Normen
Allgemeiner heißt man Norm einer Matrix jede Größe, für die gilt
und die Eigenschaften a bis c der Vektor-Norm erfüllt.
Matrix- und Vektor-Norm sind konsistent , wenn
Es gilt: Zu jeder Norm existiert eine konsistente Matrix-Norm und umgekehrt (ohne Beweis).
Beispiel 1:
Beispiel 2: Zeilennorm =
Maximalwert der Summe der Beträge aller Elemente einer Zeile
Die Existenz der Normen ist wichtig für Abschätzungen. Sie müssen nur selten explizit berechnet werden. Die folgenden Kenngrößen lassen sich aus Anwendungen des Normbegriffes ableiten.
A BABA
AxxA
x von Norm2
1
zur konsistenzist ,
,max
02
xx
AxAx
xA
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Kondition
Die Kondition einer Matrix ist ein weiteres Maß für ihre Rechneranpassung. Konditionszahlen können - ähnlich den Normen - verschieden gebildet werden. Gebräuchlich ist das Verhältnis von Normen oder von größtem zu kleinstem Eigenwert.
xAbgilt iggleichzeit
bAxschreiben können wir
bAxstatt1
1
minmaxAAA cond wo
Acond
folgt Daraus
bxAAxb
manerhält tion MultiplikaDurch
1
1
b
b
x
x
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Numerische Methoden, SS 2003 Teil V: Kp. 9
Spektralradius
Den Betrag des größten Eigenwertes nennt man Spektralradius.
(A) der Matrix . (A) = max
In der komplexen Ebene liegen alle Eigenwerte innerhalb eines Kreises mit (A) als Radius. Zwischen der Norm und dem Spektralradius besteht folgende Beziehung
A i
tt A
AA
x
x
nn
n
max)(und
xA x oder
x A xA
Normen ekonsistentfür gilt Ferner
x xAgilt
xA Wegen
zeigen leicht dassich läßt 1 t Für
nn
n
Diese Beziehung ist für Fehlerabschätzungen wichtig. Als Spektralnorm bezeichnet man die Wurzel des Spektralradius der Matrix AxA
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Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Definieren sie den Begriff grosse dünnbesetzte Matrix Was sind Kennzahlen Was ist eine Norm und zu was braucht man sie Wie speichert man grosse Matrizen Wie hängen Speicherung und Effektivität von
Rechenmethoden zusammen Geben Sie die Bedeutung der Kennzahl Norm an Geben Sie die Bedeutung der Kennzahl Kondition an