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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Beispiele für Gleichungssysteme
nnn d
d
d
d
x
x
x
x
ac
bac
bac
ba
2
1
3
2
1
333
222
11
nnnn bxd
bxd
bxd
bxd
3333
2222
1111
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
332211
33333232131
22323222121
11313212111
.....
2.) A Diagonalmatrix D
1.) A volle Matrix 3.) A tridiagonale Matrizen
4.) A untere Dreiecksmatrix L
nnnnnnn bxlxlxlxl
bxlxlxl
bxlxl
bxl
...
.....
332211
3333232131
2222121
1111
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Leicht invertierbare Matrizen
Leicht invertierbare Matrizen sind
a) Diagonalmatrizen,
b) tridiagonale Matrizen,
c) blockdiagonale Matrizen,
d) Dreiecksmatrizen.
Im Folgenden werden Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen, deren Systemmatrix eine dieser Formen hat, angegeben.
Für Diagonalmatrizen gilt
1111
DdaA
DA
iiii
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Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Leicht invertierbare Matrizen - Tridiagonale Matrizen
Die Lösung von Gleichungssystemen mit tridiagonalen Matrizen erfolgt in 2 Schritten. Im ersten Schritt wird aus jeder Gleichung eine Unbekannte eliminiert. Im 2. Schritt wurden die Gleichungen dann aufgelöst.
Dazu berechnet man zuerst die Hilfsgröße h1 = -b1 / a1
rechte Seite p1 = d1 / a1
und x1 = p1 + h1 x2
Dann für i = 2 bis n-1: hi = -bi / (ai + hi-1 ci) pi = (di - pi-1 ci) / (ai + hi-1 ci)
und xi = pi + hi xi+1
Für i = n kann dann xn berechnet werden: xn = pn = (dn - pn-1 cn) / (an + hn-1 cn)
Aus der rückläufigen Sequenz i = n-1 bis 1 folgen die restlichen Lösungen:
xi = pi + hi • xi+1
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Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Anwendung auf Diskretisierung partieller Dgl‘en
A2)
Abbildung K = j + (i-1) JM
1 2 3 4 6 8 10 12
1 x x x
2 x A x B
3 x x x
4 x x x x
C x A x B
6 x x x x
x x x x
8 C x A x B
x x x x
10 x x x
C x A x
12 x x x
1,3 2.3 3,3 4,3
3 6 9 12
1,2 2,2 3,2 4,2
2 5 8 11
1,1 2,1 3,1 4,1
1 4 7 10
K
K
1 2 3 4 6 8 10 12
1 x x x
2 x x x x
3 x x x x x
4 x x x x
x x x
6 x x x x
x x x x
8 x x x
x x x x
10 x x x x x
x x x x
12 x x x
1,3 2.3 3,3 4,3
5 11 6 12
1,2 2,2 3,2 4,2
9 3 10 4
1,1 2,1 3,1 4,1
1 7 2 8
K
K
A3) Abbildung nach red-black ordering
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Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Leicht invertierbare Matrizen - Blocktridiagonale Matrizen
Beachte: Statt der Rechnung mit Zahlen sind hier Matrizenoperationen und die Lösung von Gleichungssystemen erforderlich.
1
111
11
11
11
11
11
11
1,1
,2
1
iiii
mm
iiiiiii
iii
XHPXmi
PXmi
PCDHCAPBHCAHmi
DAPBAHi
nD
D
D
nX
X
X
nA
nC
BAC
BA
2
1
2
1
222
11
Bei blocktriagonalen Matrizen werden die Matrixelemente selber Matrizen und entsprechend die Vektorelemente Vektoren:
Ai, Bi und Ci sind quadratische kxk-Matrizen und Xi, Di sind Vektoren der Länge k. Der Algorithmus für tridiagonale Matrizen kann auf blocktridiagonale Matrizen erweitert werden:
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Leicht invertierbare Matrizen - Dreiecksmatrizen
ni
i
k kyiklibiiliy
...,,2,1
1
1
1
1...,1,
1
1
nni
n
x
ikxikuiy
iiuix
Gelingt es also, die Matrix [A] in das Produkt zweier Dreiecksmatrizen aufzuspalten, so kann man mit den angegebenen Formeln das Gleichungssystem lösen. Die Algorithmen von Gauss und Cholesky leisten solche Aufspaltungen.
Vorwärts-Substitution
Rückwärts-Substitution
0
0
jiijlijlLbyL
und
jiijuijuUyxU
Die beiden tridiagonalen
Gleichungssysteme
lassen sich mit folgenden Formeln lösen:
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Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Aufspaltung einer Matrizen A in Dreiecksmatrizen
Eine Matrix A lässt sich als Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U darstellen. Wegen
gilt A = L • U, und aus dem Gleichungssystem Ax = b wird ein System von 2 Gleichungssystemen mit Dreiecksmatrizen
Ax = L • U • x = L • y = b mit U • x = y
Für die Berechnung der n (n+1)-Elemente von L und U stehen aus n2-Gleichungen zur Verfügung.
n weitere Werte müssen festgelegt werden. Häufige Wahlen sind
1. lii = 1 Gauß‘scher Algorithmus
2. lii = uiiCholesky-Verfahren
Die Aufgabe der Lösung eines allgemeinen Gleichungssystems ist damit, reduziert auf die Aufgabe zwei Gleichungssysteme, mit leicht invertierbaren Matrizen zu lösen.
kjk
ikij ula
kjk
ikij ula
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Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus
111
i1l oder
1111 sichergibt so ,Matrix der 1 Spalteder mit Matrix der bis 2 Zeilen diejetzt ert multipliziMan 3)
bekannt. von 1 Spalte und 1 von ZeileElemente alle sindDamit
.11ist Ergebnis Das .Matrix n Spalten voallen mit Matrix von 1 ert ZeilemultipliziMan 2)
bekannt. von 1 der Zeile Elemente alle sindDamit
1 :festgelegt wirdElementefreien - dieFür 1)
: tenTeilschritfolgenden in erfolgt Matrix der gAufspaltun Die
uiauilia
ULn
UiuiaUL
Liil
n
A
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Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus
4) Im nächsten Schritt werden Zeile 2 der Matrix und alle Spalten der Matrix multipliziert. Daraus bestimmt man die Elemente u2i .
5) Entsprechend dem Vorgehen in 3 werden jetzt die Elemente li2 bestimmt.
Das Ergebnis dieses Vorgehens läßt sich allgemein angeben:
kjui
k iklijaijuoder
kjui
k iklijuija
giltjiFür
1
1
1
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:
L U
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Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus
Für i > j gilt:
jju
j
k kjuiklija
ijloder
kjuj
k ikljjuijlija
1
1
1
1
Für i > j gilt:
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Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Der verkettete Gauß‘sche Algorithmus
Aus diesem Vorgehen lassen sich leicht eine Reihe von Folgerungen ableiten:
a) Sind in einer Zeile die Elemente ai1 bis aim je 0, so sind auch die Elemente li1 bis lim je 0
b) Sind in einer Spalte j die Elemente a1j bis amj je 0, so sind auch die Elemente u1j bis umj je 0.
c) Ist ein Element aij ungleich 0, so sind auch die entsprechenden Elemente der triangularisierten Matrix ungleich 0 und es können zu allen folgenden Elementen von L bzw. U Beiträge erwartet werden.
Durch die Triangularisierung wird die Form der von Null verschiedenen Matrixteile nicht verändert: Es werden aber Gebiete aufgefüllt. Für die Triangularisierung sind also nursolche Speichertechniken möglich, die dieses Auffüllen erlauben.
Die Zahl der Operationen (Multiplikationen) läßt sich nach diesem Vorgehen
abschätzen zu ~
Ein einfacher Trick erlaubt es, das Verfahren auch auf symmetrische Matrizen zu erweitern.
.2
2
nn
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Numerische Methoden, SS 2001 T V, Kp. 9
Das Cholesky-Verfahren
Für symmetrische Matrizen gilt AT = A und die Zerlegung nach Gauß ergibt
TI
LDTI
UTAI
UDI
LUI
LA
Wobei der Index I andeutet, dass die Hauptdiagonalelemente 1 sind.
Da diese Zerlegung eindeutig ist, gilt: ILTIU
Das bedeutet für A:
IU0,5DUmitUTU
IU0,5D0,5DTIU
IUDTIUA
Für i = j gilt:
2/11
12
21
1
i
k kiuiiaiiu
iiuki
ui
k kiuiia
a):
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Das Cholesky-Verfahren
Für i < j gilt:
1
1
1
1
1
i
k kju
kiuija
iiuiju
ijuiiukj
ui
k kiuija
Aus Gleichung (a) kann das Diagonalelement uii der Zeile i berechnet werden. Die übrigen Elemente der Zeile i ergeben sich aus (b). So wird [U] zeilenweise (i = 1, ..., n) berechnet. Notwendig ist, dass die Matrix [A] positiv definiert ist, andernfalls kann sich in a) ein negativer Radikand ergeben.
Ein Beispiel soll das Vorgehen beim Cholesky-Verfahren veranschaulichen.
b):
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Beispiel Cholesky Verfahren 1Gegeben sei das Gleichungssystem
5.4
5.4
0.5
3
2
1
5.35.20.1
5.20.50.2
0.10.20.4
x
x
x
Wir schreiben die Matrix als Produkt UTU, d.h.
33
2322
131211
332313
2212
11
00
00
00
5.35.20.1
5.20.50.2
0.10.20.4
u
uu
uuu
buu
uu
u
Und bestimmen die Elemente von U. Aus der ersten Zeile der Matrizengleichung erhalten wir die drei Gleichungen
1311
1211
211
0.1
0.2
0.4
uu
uu
u
Wir bestimmen daraus die Unbekannten 5.0,0.1,0.20.4 131211 uuu
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Beispiel Cholesky Verfahren 2
Die zweite Zeile liefert die Gleichungen
232223221312
222
222
212
1211
5.05.2
0.100.5
00.2
uuuuuu
uuu
uu
u11 und u12 sind schon bekannt, so dass nur noch die restlichen beiden Gleichungen gelöst werden müssen. Die Lösung lautet
0.1,0.20.10.5 2322 uu
Schließlich bestimmen wir aus der dritten Zeile die letzte Unbekannte
5.10.125.05.333 u
Durch Vorwärtssubstitution bestimmen wir nun die Komponenten des Hilfsvektors y
3
2
1
5.10.15.0
00.20.1
000.2
5.4
5.4
0.5
y
y
y
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Beispiel Cholesky Verfahren 3
Damit lassen sich durch Rückwärtssubstitution die Komponenten von x bestimmen:
.0.1,0.0,0.1 123 xxx
Durch „Rückwärtseinsetzen“ erhalten wir die Lösung
Daraus ergeben sich die drei Gleichungen
5.1..,0.15.05.45.1
0.1..,0.15.40.2
5.2..,5.00.2
3213
212
11
yhdyyy
yhdyy
yhdy
5.1
0.1
5.2
5.100
0.10.20
5.00.10.2
3
2
1
x
x
x
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Anmerkung zu Cholesky Verfahren
Anmerkung:
Man vermeidet das Wurzelzeichen, wenn man auf folgende Darstellung zurückgreift:
DTD
ITI
UDU
UDDDUA1
1
Dann wird für alle i j
Diiii
DkkDkjDki
i
kijDij
uDund
uuuau
/1
1
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Iterative Verbesserung
Bei den direkten Lösungsverfahren treten Rundungsfehler hauptsächlich bei der Triangularisierung auf.
Löst man über so erhält man eine Lösung .
Bildet man das Produkt der ursprünglichen Matrix und der Lösung so kann man ein Residuum berechnen:
bxA ,bxUL 1x
1x
1r 11 xAbr
Den Beitrag von zur Lösung erhält man aus 1r
11 rxUL Damit kann man verbessern1x
112 xxx
Wiederholt man diesen Vorgang, so werden die Auswirkungen der Triangularisierung immer kleiner. Der Aufwand pro Iterationsschritt beträgt weniger als der für zwei Auflösungen mit dem triangularisierten System.