UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II'

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Título do Projeto:

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR DEESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

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Autor(es):

PEDRO VAYSSIÈRE BRANDÃO

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Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Data: 19 de Janeiro de 2017

PEDRO VAYSSIÈRE BRANDÃO

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR DE ESCOAMENTOSEM MEIOS POROSOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado aoCurso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheiro Mecânico.

Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Niterói

19 de Janeiro de 2017

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

B817 Brandão, Pedro Vayssière

Análise de estabilidade linear de escoamentos em meios porosos /

Pedro Vayssière Brandão. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017.

76 f.

Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Mecânica) –

Universidade Federal Fluminense, 2017.

Orientador: Leonardo Santos de Brito Alves.

1. Escoamento de fluidos. 2. Teoria da estabilidade linear. 3.

Porosidade. 4. Modelagem matemática. 5. Transmissão de calor. I.

Título.

CDD 620.106

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à todos aqueles que contribuem para a existência da universidade

pública e não podem usufruir diretamente do que ela pode oferecer.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu orientador Professor Dr. Leonardo Santos de Brito Alves pela orienta-

ção, por todos os conhecimentos à mim passados, por todo o suporte e pela disponibilidade.

Agradeço ao Professor Dr. Antonio Barletta por ter me recebido na Universidade de

Bologna por um ano, pela orientação e pelos conhecimentos passados durante esse ano.

Agradeço ao Pesquisador Dr. Michele Celli por todo o apoio, pela colaboração e pelos

conhecimentos passados.

Agradeço ao Pesquisador e amigo M.Sc. Nelson Rodrigues Braga Junior pela colabora-

ção e pelos conhecimentos compartilhados.

Agradeço aos parceiros de laboratório, Ricardo Dias e Helio Ricardo pelo companhei-

rismo.

Agradeço aos grandes amigos que fiz durante o curso que serviram de apoio em diversos

momentos, em especial ao Adolfo, Eduardo, Felipe, Mateus, Rafael e Vinicius.

Agradeço à minha namorada, Isadora, por ter sempre me apoiado nas minhas escolhas e

servido de base durante muitos momentos dessa caminhada.

Agradeço à minha Mãe e ao meu Pai por terem tornado possível a minha dedicação

exclusiva aos estudos.

RESUMO

Problemas de convecção em meios porosos vêm sendo cada vez mais estudados, e são de

particular interesse na engenharia. O presente trabalho tem por objetivo analisar o início do

escoamento secundário, a convecção mista, de escoamentos em meios porosos considerando

dois casos, o primeiro onde o sistema é aquecido por baixo e isolado termicamente na parede

superior e o segundo que também é aquecido por baixo porém com uma condição de calor

do terceiro tipo na parede superior, e em seguida confrontar qualitativamente ambos os casos

e comparar o caso assintótico onde a troca de calor por convecção tende a um isolamento

térmico. Para tal, é feita uma análise de estabilidade linear do problema. Considera-se a Lei

de Darcy a fim de modelar a penetração de um líquido em um meio poroso. Para obter o iní-

cio da convecção mista através da análise de estabilidade linear, perturba-se a solução base

do escoamento, tanto na temperatura quanto na velocidade, e observa-se o comportamento

dessa perturbação. Considera-se apenas termos lineares dessas perturbações. O problema re-

sultante então se resume a um problema de auto-valores a ser resolvido numericamente, onde

seus auto-valores são basicamente os parâmetros que se deseja obter. Resolve-se esse pro-

blema numericamente através do método do tiro. Os resultados obtidos podem ser analisados

através das curvas de estabilidade marginal, que representam os parâmetros que configuram

o limiar entre a estabilidade e a instabilidade, ou seja, a ocorrência ou não do fenômeno de

convecção mista. Além disso foi possível obter uma aproximação analítica para a solução

do segundo caso.

Palavras-Chave: Análise de Estabilidade Linear, Convecção Mista, Meios Porosos

ABSTRACT

Convection in porous media has been increasingly studied, and is of particular interest

in engineering. The main purpose of the present work is to analyse the onset of the secon-

dary flow, the mixed convection, in a porous layer with an horizontal flow considering two

cases, the first one where the system is heated from below and thermally insulated at the

top and the second one that is heated from bellow as well but with a third kind boundary

condition at the top, and then confront both cases qualitatively and compare the asymptotic

case where the heat transfer by convection tends to a thermal insulation. In order to do this a

linear stability analysis of the described problem is carried on. The Darcy law is considered

in order to model a liquid penetration into a porous medium. To determine the onset of the

mixed convection through a linear stability analysis the base solution of the flow is disturbed,

both in temperature and velocity, and the behavior of these perturbations is observed. It is

considered only linear terms of these perturbations. The resulting problem then becomes an

eigenvalue problem to be solved numerically, where the eigenvalues are basically the para-

meters that one wishes to obtain. This problem is solved numerically through the shooting

method. The results can be analysed graphically through the marginal stability curves, which

represent the parameters that configure the threshold between stability and instability, that

is, the occurrence or not of the mixed convection phenomenon. Moreover it was possible to

obtain an analytical aproximation to the second case’s solution.

Key-Words: Linear Stability Analysis, Mixed Convection, Porous Medium

LISTA DE FIGURAS

1.1 Exemplos de meios porosos naturais: (a) areia de praia, (b) arenito, (c), cal-

cário, (d) pão de centeio, (e) madeira, (f) pulmão humano. Exemplos de

materiais porosos usados na indústria da construção: esferas de 5 cm de

diâmetro e pedações de 1 cm de calcário, inferior esquerda e direita, respec-

tivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Exemplo de um Meio Poroso Irregular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente . . . . 25

1.4 Linearmente Estável, Convectivamente Instável e Absolutamente Instável. . . 27

2.1 Esquema Caso 1: escoamento em meio poroso com geração de energia in-

terna, aquecido por baixo isolado em cima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Esquema Caso 2: escoamento em meio poroso com geração de energia in-

terna, aquecido uniformemente por baixo e trocando calor por convecção na

parede superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Curvas Marginais Caso 1 para Pe = 7 e φ= π2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Curvas Marginais Caso 1 para Pe = 12 e φ= π2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.3 CCurvas Marginais Caso 1 para Pe = 7 e φ= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4 Curvas Marginais Caso 1 para Pe = 12 e φ= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Curvas Marginais Caso 2 para B = 10−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.6 Curvas Marginais Caso 2 para B = 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.7 Curvas de Valores Críticos Caso 1 para Pe = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.8 Curvas de Valores Críticos Caso 1 para Pe = 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.9 Curvas Críticas Caso 2 em função de Q para diferentes valores de B . . . . . 58

4.10 Curvas Críticas Caso 2 em função de B para diferentes valores de Q . . . . . 58

4.11 Comportamento de c3 em Funçao de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.12 Comportamento de c4 em Funçao de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.13 Curvas Marginais Numéricas e Analíticas Aproximadas para B = 1 . . . . . . 61

4.14 Curvas dos Valores Críticos em Função de Q Numérica e Analítica Aproxi-

mada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.15 Curvas dos Valores Críticos em Função de B Numérica e Analítica Aproxi-

mada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.16 Erro Relativo Entre Resultados Numéricos e Aproximação Analítica para

Pontos Críticos em Função de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.17 Erro Relativo Entre Resultados Numéricos e Aproximação Analítica para

Pontos Críticos em Função de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.18 Isolinhas Função Corrente Caso 1 Pe = 12, Q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.19 Isolinhas Temperatura Caso 1 Pe = 12, Q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.20 Isolinhas Função Corrente Caso 1 Pe = 12, Q = 100 . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.21 Isolinhas Temperatura Caso 1 Pe = 12, Q = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.22 Isolinhas Função Corrente Caso 1 Pe = 12, Q = 200 . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.23 Isolinhas Temperatura Caso 1 Pe = 12, Q = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.24 Isolinhas Função Corrente Caso 2 Q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.25 Isolinhas Temperatura Caso 2 Q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.26 Isolinhas Função Corrente Caso 2 Q = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.27 Isolinhas Temperatura Caso 2 Q = 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.28 Isolinhas Função Corrente Caso 2 Q = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.29 Isolinhas Temperatura Caso 2 Q = 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

LISTA DE TABELAS

4.1 Comparação entre os resultados obtidos numericamente e analiticamente

para o caso de kr → 0, considerando Q = 1 e φ=π/2. Como a curva marginal

de Rxkr apresenta, para algumas combinações de parâmetros, dois valores

de R para kr = 0, os subscritos i e s se referem aos valores inferiores e supe-

riores, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 Comparação entre os resultados obtidos numericamente através do método

do tiro e os resultados encontrados na literatura Alves and Barletta (2013)

para o início da instabilidade convectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

NOMENCLATURA

a número de onda

B número de Biot

c calor específico do sólido

cp calor específico à pressão constante do fluido

c1−4 coeficientes de correlação

C constante

ez e ex vetor unitário em z e x

g vetor aceleração da gravidade

g módulo de ~g

h coeficiente de transferência de calor

H altura do canal

i unidade imaginária

k condutividade térmica ou número de onda

K permeabilidade

p pressão

Pe número de Pèclet

P número de Pèclet modificado

Q parâmetro de geração de energia interna

q variável genérica

q ′′ fluxo de calor uniforme prescrito

q ′′′ geração de energia interna por unidade de volume

R número de Darcy-Rayleigh

t tempo

T temperatura

Ts temperatura de referência

T0 temperatura média de referência

u vetor velocidade

U vetor perturbação na velocidade

u, v, w componentes da velocidade em x, y and z

U ,V ,W componentes da perturbação na velocidade em x, y and z

U0 velocidade horizontal constante

x, y, z coordenadas Cartesianas

Símbolos Gregos

α difusividade térmica média ou número de onda

β coeficiente de expansão térmica ou número de onda

ε parâmetro de perturbação

ν viscosidade cinemática

σ razão entre capacidade térmica volumétrica do sólido e do fluido

φ porosidade ou ângulo entre direção x e direção perpendicular aos rolos de convecção

ρ massa específica

θ perturbação na temperatura

ω frequência angular

Subscritos

∗ variáveis dimensionais ou complexo conjugado

′ diferenciação em relação à z

b solução base

c valor crítico

f fluido

i inferior

m médio

n transformação de Fourier

p perturbações

r parte real

s sólido ou superior

SUMÁRIO

1. INTRODUÇAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.1 MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.1 Porosidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.2 Lei de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.3 Equação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4 Convecção Mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Local e Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Instabilidade Convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.4 Instabilidade Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2. MODELAGEM MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 CASO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Equações de Governo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.2 Solução Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 CASO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.1 Equações de Governo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2 Solução Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2.3 Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3. METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1 CASO 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Análise Assintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 Instabilidades Convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 CASO 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Transformação de Squire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.2 Princípio da Troca de Estabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.3 Instabilidades Convectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4. RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 VERIFICAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 CURVAS MARGINAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3 CURVAS PONTOS CRÍTICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 CORRELAÇÕES APROXIMADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 ISOLINHAS DE FUNÇÃO CORRENTE E TEMPERATURA . . . . . . . . . . . 64

5. CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

18

1 INTRODUÇAO

1.1 MOTIVAÇÃO

A mecânica dos fluidos de escoamentos em meios porosos é um tópico relativamente

antigo de estudo, tendo se iniciado principalmente pelos estudos em engenharia de sistemas

de irrigação. A transferência de calor por convecção em escoamentos em meios porosos,

por sua vez, é um campo de estudo relativamente novo. Exemplos de aplicação do estudo

de fenômenos de transporte em meios porosos estão presentes nas indústrias química, am-

biental, geológica, mecânica e de petróleo, incluem: Filtragem, conversores catalíticos para

redução da poluição do ar, dispersão de contaminantes no subsolo, irrigação, migração de

água e minérios, ciclo térmico de rochas, lubrificação, reatores nucleares, produção de óleo

e gás, etc. (Bejan (2013), Nield and Bejan (2006) and Kaviany (2012)).

Dados exemplos de aplicações do estudo da transmissão de calor e massa em meios

porosos, observa-se necessário o aprofundamento do estudo de fenômenos de transporte em

meios porosos a fim de compreender melhor seu fenômeno físico bem como a matemática

envolvida.

De modo geral a instabilidade térmica está associada ao gradiente de temperatura vertical

no escoamento. Sendo este gradiente podendo existir e ser influenciado devido a diversos

fatores, como diferentes condições de contorno de temperatura prescrita nas paredes superior

e inferior, ou ainda um fluxo de calor imposto na parede inferior, por exemplo. O objetivo da

análise de estabilidade então é o de obter os parâmetros que, quando combinados, propiciam

o aparecimentos das células de convecção natural, ou seja os parâmetros críticos relativos ao

início da instabilidade térmica desse escoamento.

Em um experimento, ou em uma aplicação real em uma indústria por exemplo, em que

se está presente a possibilidade da ocorrência da transição para a instabilidade térmica é

19

interessante conhecer sob que condições essa transição irá ocorrer, por isso faz-se uso da

análise de estabilidade. Seja em casos em que se deseja obter a transição, ou evitá-la, a

análise de estabilidade pode apresentar informações de extrema relevância, evitando assim

experimentações desnecessárias e/ou frustrações reais.

1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

O processo de escoamentos em meios porosos é de particular interesse de uma gama de

cientistas e engenheiros, mas também de políticos e economistas que reconhecem a impor-

tância do escoamento de água nos lençóis freáticos bem como de uma variedade de aplica-

ções na indústria do petróleo. Além disso algumas aplicações mais desconhecidas, fazem

também do estudo de escoamentos em meios porosos importante, como estudo do fluxo de

ar nos pulmões (Whitaker (1966) e Whitaker (1986)).

Figura 1.1: Exemplos de meios porosos naturais: (a) areia de praia, (b) arenito, (c), calcário,

(d) pão de centeio, (e) madeira, (f) pulmão humano. Exemplos de materiais po-

rosos usados na indústria da construção: esferas de 5 cm de diâmetro e pedações

de 1 cm de calcário, inferior esquerda e direita, respectivamente.

Fonte: Nield and Bejan (2006)

20

Por meio poroso entende-se um material consistente de uma matriz sólida com vazios

interconectados. A interconexão entre os vazios, os poros, permitem o escoamento de um

ou mais fluidos através do material. Sendo que na situação mais simples os poros estão

saturados por um único fluido (Nield and Bejan, 2006).

Em um meio poroso natural a distribuição dos poros quanto à sua forma e dimensão

é irregular. Exemplos de meios porosos naturais são areia, rochas, madeiras e o pulmão

humano. Já entre os meios porosos "artificiais"ou fabricados pelo homem encontram-se as

cerâmicas, materiais compósitos, esponjas metálicas e materiais isolantes (Nield and Bejan

(2006) e Kaviany (2012)).

Figura 1.2: Exemplo de um Meio Poroso Irregular

Fonte: Barletta (2010)

Diversas soluções para os problemas envolvendo meios porosos estão disponíveis na lite-

ratura, sendo a grande maioria destes baseados na lei de Darcy para descrever o movimento

de fluidos em meios porosos (Whitaker, 1966).

1.2.1 Porosidade

A porosidade φ de um meio poroso é definida de acordo com Nield and Bejan (2006)

como a fração do volume total do meio que é ocupada por espaços vazios. Sendo assim, 1−φé a fração que é ocupada por sólido. Para um meio isotrópico, a "porosidade superficial"será

normalmente igual à φ.

21

Definindo a porosidade φ dessa forma, assume-se que todos os espaços vazios são co-

nectados entre si. Caso se esteja trabalhando com um meio no qual alguns poros não estão

conectados aos outros, faz-se necessário introduzir uma "porosidade efetiva".

Para meios naturais, φ normalmente está abaixo de 0.6. Não uniformidades nos tamanhos

dos grãos tendem a apresentar porosidade menores em relação à grãos uniformes, porque os

grãos menores preenchem os vazios formados pelos grãos maiores.

1.2.2 Lei de Darcy

Em seus estudos acerca do sistema de abastecimento de água da cidade de Dijon, na

França, o engenheiro Henry Darcy (1856) chegou a uma correlação empírica entre a veloci-

dade de filtração e o diferencial de pressão aplicado em determinado sistema de meio poroso

(Nield and Bejan, 2006). Em termos atuais a lei de Darcy para um caso unidimensional pode

ser representada por:

u = −K

µ

∂P

∂z(1.1)

Onde ∂P/∂x representa o gradiente de pressão na direção do escoamento, µ é a visco-

sidade dinâmica e o coeficiente K depende da geometria do meio e pode ser chamado de

permeabilidade específica do meio.

Apesar de as relações propostas por Darcy serem empíricas, diversos experimentos com-

provaram a sua relação para modelos simples de escoamentos em meios porosos reais, e

diversos autores comprovaram teoricamente e propuseram modificações e extensões ao mo-

delo de Darcy.

Uma derivação mais completa para a formulação de escoamentos em meios porosos pode

ser encontrada em Whitaker (1969) e em Gray and O’Neill (1976), onde são derivadas equa-

ções gerais para escoamentos em meios porosos e a partir de algumas simplificações como

ausência dos termos inerciais e convectivos, a equação de Darcy pode ser retomada.

As extensões mais conhecidas e utilizadas do modelo de Darcy são aquelas conhecidas

como Equação de Forchheimer e Equação de Brinkman, sendo a primeira conhecida por

22

incorporar efeitos de arrasto no modelo de Darcy, e a segunda que conta agora com um outro

termo viscoso na equação, muitas vezes também chamada de "Extensão de Brinkman da Lei

de Darcy"(Nield and Bejan, 2006).

1.2.3 Equação da Energia

A equação que expressa a primeira lei da termodinâmica aplicada à meios porosos é

obtida tomando médias volumétricas da equação da energia aplicada à fase sólida e à fase

fluida e unindo ambas equações.

Para o caso mais simples, onde o meio poroso é considerado isotrópico, os efeitos de

radiação e dissipação viscosa são desprezados, e assumindo equilíbrio térmico local entre as

fases, a equações da energia para a fase sólida pode ser escrita da seguinte forma:

(1 − φ) (ρc)s∂Ts

∂t= (1 − φ)∇ · (ks ∇Ts) + (1 − φ) q ′′′

s (1.2)

e a equação aplicada à fase fluida:

φ (ρcp ) f∂T f

∂t+ (ρcp ) f u · ∇T f = φ∇ · (k f ∇T f ) + φq ′′′

f (1.3)

Onde o subscrito s se refere à fase sólida e o subscrito f à fase fluida, c é o calor específico

do sólido, cp é o calor específico à pressão constante do fluido, k é a condutividade térmica

e q ′′′ é geração de calor por unidade de volume.

Aplicando a condição de equilíbrio térmico, ou seja Ts = T f = T se obtém:

(ρc)m∂T

∂t+ (ρcp ) f u · ∇T = ∇ · (km ∇T ) + q ′′′

m (1.4)

onde:

23

(ρc)m = (1 − φ)(ρc)s + φ(ρcp ) f (1.5)

km = (1 − φ)ks + φk f (1.6)

q ′′′m = (1 − φ)q ′′′

s + φq ′′′f (1.7)

1.2.4 Convecção Mista

Nos estudos iniciais de convecção em meios porosos, foi dada muita atenção à escoa-

mentos induzidos pela força de empuxo, i.e. convecção natural, e à convecção forçada. A

interação entre esses dois mecanismos não foi fortemente explorada inicialmente. Pesqui-

sas inicias em convecção mista foram motivadas principalmente pelo desejo de entender o

fluxo de água para cima, de reservatórios subterrâneos, devido ao empuxo causado por altas

temperaturas (Lai et al., 1991).

O movimento de lençóis freáticos em reservatórios geotérmicos costeiros é controlado

tanto pela concentração de sal quanto pelos gradientes de temperatura. Correntes de convec-

ção induzida por esses gradientes de temperatura, na presença de resíduos líquidos, podem

causar a migração destes resíduos a locais não desejados. Motivações para se estudar a

convecção mista também vêm da necessidade de caracterizar o processo de transporte por

convecção em reservatórios geológicos que servem para descartar lixo nuclear (Lai et al.,

1991).

Analisando o caso mais simples de convecção natural em meios porosos, ou seja, o caso

em que o fluido encontra-se em repouso, pode-se concluir, a partir da equação da quantidade

de movimento, que se a massa específica do fluido depende somente da temperatura, a con-

dição necessária para que haja equilíbrio é que o gradiente de temperatura seja vertical ou

nulo. (Nield and Bejan, 2006).

Para que ocorra convecção natural em uma camada de fluido com gradiente de tempera-

tura na direção vertical, é necessário que a força de empuxo, causada pela variação na massa

específica devido ao gradiente vertical de temperatura, seja superior à força gravitacional.

O caso especial de uma camada de fluido em meio poroso em repouso uniformemente

24

aquecida por baixo, que representa o caso análogo àquele conhecido como o problema de

Rayleigh-Bénard para meios porosos, foi inicialmente estudado por Horton and Rogers Jr

(1945) e Lapwood (1948).

Posteriormente o problema conhecido agora como Problema de Darcy-Rayleigh-Bénard,

que seria o análogo de Rayleigh-Bénard em meios porosos, foi expandido para casos con-

siderando o fluido não mais em repouso. Prats (1966) Iniciou os estudos considerando um

movimento do fluido na horizontal.

A fim de se conhecer o início da Convecção natural pode-se aplicar uma análise que é

conhecida como análise de estabilidade, para tal deve-se primeiramente conhecer a solução

de repouso do problema, ou a solução base, onde o problema é ainda puramente condutivo.

Possuindo a solução base de determinado sistema pode-se então partir para a investigação

do início da convecção natural. O mesmo ocorre para um problema de convecção mista,

primeiramente deve-se conhecer a solução estável do problema, onde está presente apenas

a convecção forçada, e partir da mesma investigar o início do movimento secundário no

escoamento, i.e. a convecção natural.

1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR

A palavra estabilidade está presente na mecânica de maneira geral para caracterizar o

equilíbrio de um corpo rígido. Onde o equilíbrio é chamado estável se o corpo retorna à sua

posição original após ter sido ligeiramente tirado de sua posição de repouso. Se após ter sido

tirado de sua posição de repouso o corpo se move a uma outra posição que não a de repouso

inicial esse equilíbrio é chamado de instável (Hahn and Baartz, 1967).

De acordo com Lyapunov um dado sistema dinâmico não linear é estável em torno de

uma solução base desse sistema se o modelo linearizado desse sistema é assintoticamente

estável e esse sistema é instável em torno dessa solução base se o modelo linearizado desse

sistema é instável.

Segundo Chandrasekhar (2013) instabilidade seria a incapacidade de um dado sistema

físico manter seu padrão ao ser submetido à pequenas perturbações.

Nesse sentido a teoria da análise de estabilidade linear busca obter sob que condições

25

determinado sistema dinâmico transiciona de estável para instável, considerando que tal sis-

tema é perturbado a partir de perturbações lineares.

O que em termos matemáticos significa escrever a solução do sistema na forma:

q(x , t ) = q b(x)+εq ′(x , t ) (1.8)

Onde q é uma variável qualquer desse sistema, q b é a solução estacionária, ou solução

base, desse sistema pra essa variável, q ′ é a perturbação dessa variável e ε é a magnitude

dessa perturbação, sendo ε << 1. Ao se escrever as equações de governo dessa forma e

tendo em conta que q b é solução do problema e os termos de ordem O(ε2) são desprezíveis,

obtêm-se então as equações linearizadas para a perturbação.

Figura 1.3: Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente .

A partir das equações linearizadas para a perturbação é possível analisar o comporta-

mento dessas perturbações, seja no tempo ou no espaço. Para isso, de uma maneira geral,

historicamente faz-se uso de uma análise modal.

1.3.1 Modos Normais

Tradicionalmente a instabilidade de escoamentos a partir de perturbações de baixa am-

plitude tem sido analisada fazendo uso da abordagem modal.

A abordagem modal considera que uma perturbação qualquer pode ser escrita como uma

superposição de ondas. Considerando um caso genérico bidimensional no qual a solução

base depende apenas de uma direção espacial, sendo portanto homogênea na outra direção

espacial e no tempo, a perturbação pode ser escrita como:

26

q(x , t ) = q(x2)e i (αx1−ωt ) (1.9)

Onde α é o número de onda da perturbação na direção paralela ao escoamento e ω a

frequência da perturbação, ambos os valores são, a princípio, complexos.

Lembrando que toda exponencial complexa pode ser escrita de acordo com a Fórmula de

Euler como uma combinação de funções senos e cossenos

e i (ax) = cos(a x) + i sen(a x) (1.10)

Tomando a como uma variável complexa genérica em alusão a α ou a ω, a = ar + i ai ,

sendo i o número imaginário.

e i (ar +i ai ) x = e i (ar x) e−ai x (1.11)

Percebe-se portanto que a parte real de a estaria relacionada com a parte oscilatória de

e i (ax) na direção x, como demonstrado a partir da fórmula de Euler, enquanto que a parte

imaginaria de a representa a amplificação ou amortecimento de e i (ax) em x.

Portanto, para o caso da perturbação escrita em termos de modos normais, a parte real de

α representa o número de onda da perturbação em x e a parte imaginaria de α representa a

taxa de amplificação da perturbação em x. O mesmo vale para ω, a parte imaginaria porém é

chamada de frequência oscilatória da perturbação no tempo e a parte real é chamada de taxa

de amplificação temporal.

Quando ωr = 0 diz-se que a perturbação é estacionária no tempo e quando ωi = 0 diz-se

que a perturbação é neutramente estável no tempo, ou seja, não amplifica e nem amortece

com o passar do tempo.

27

1.3.2 Local e Paralela

O termo local no que se refere à instabilidades, em oposição à global, em uma de suas

definições presentes na literatura, está relacionado ao fato da instabilidade em questão ser re-

lativa ao perfil de velocidade local ou ao campo de velocidade do escoamento inteiro (Huerre

and Monkewitz, 1990).

A análise de estabilidade local trata tanto de escoamento paralelos quanto de escoamento

que variam muito suavemente em uma direção. Diversos conceitos dentro da análise de

estabilidade local, tais como instabilidades convectivas e absolutas, são usados a fim de

intuir acerca de comportamentos encontrados em análise de estabilidade global.

Se perturbações localizadas se espalham a montante e a jusante e contaminam todo o

escoamento pararelo, o perfil de velocidade é chamado de localmente absolutamente instá-

vel. Se as perturbações, ao invés disso, crescem ao serem convectadas com o escoamento a

partir de sua fonte, o perfil de velocidade é chamado de localmente convectivamente instável

(Huerre and Monkewitz, 1990).

Figura 1.4: Linearmente Estável, Convectivamente Instável e Absolutamente Instável.Fonte: Barletta and Alves (2014)

A figura 1.4 esquematiza os diferentes tipos de instabilidade citados anteriormente. Essa

figura pode ser descrita matematicamente.

Seja F (x, t ) um pacote de ondas arbitrário que descreve a perturbação localizada de um

escoamento base. Podem-se ter três diferente condições:

28

Linearmente Estável

limt→∞ |F (x, t )|2 = 0, ao longo de todo raio xt = const ante.

Convectivamente Instávelxt = const ante, tal que limt→∞ |F (x, t )|2 =∞.

Absolutamente Instável

limt→∞ |F (x, t )|2 =∞, ao longo de todo raio xt = 0.

1.3.3 Instabilidade Convectiva

Como dito anteriormente, se uma dada perturbação cresce ao se propagar na direção do

escoamento ao ser convectada pelo mesmo, essa perturbação recebe o nome de convectiva e

o escoamento é chamado de convectivamente instável.

Como mostrado na equação 1.9, na análise de estabilidade a perturbação pode ser escrita

em termos de modos normais, onde, a princípio, o número de onda α e a frequência ω são

complexos.

A fim de se obter o início da instabilidade convectiva, ou seja a condição marginal de

estabilidade de uma dada variável, lança-se mão da análise de estabilidade temporal.

A análise de estabilidade temporal é a base clássica da análise de estabilidade linear.

Como o nome já diz, ela considera que que os modos apenas são complexos no tempo e que,

portanto, os números de onda são reais (αi = 0, i.e. α ∈ R).

Como se está interessado em obter o início da instabilidade, ou o caso marginal, considera-

se então que a parte imaginária da frequência é igualmente nula (ωi = 0).

1.3.4 Instabilidade Absoluta

Caso no escoamento esteja presente uma perturbação que cresce no tempo e no espaço,

contaminando todo o escoamento paralelo, essa perturbação é dita absoluta e o escoamento

recebe o nome de absolutamente instável.

A fim de se obter a transição de uma instabilidade convectiva para uma absoluta bem

como os parâmetros críticos relativos à essa transição, a análise de estabilidade espacial deve

ser levada adiante.

29

A análise de estabilidade espacial considera que apenas os números de onda da perturba-

ção são complexos, logo considera que a frequência ω é real (ωi = 0, i.e.ω ∈ R).

No presente trabalho apenas serão levadas em consideração as instabilidades convectivas

1.4 OBJETIVOS

Diversos estudos relacionados ao início da convecção natural em escoamentos estão pre-

sentes na literatura. Os primeiros estudos relacionados ao inicio da instabilidade térmica são

aqueles que foram desenvolvidos a partir do problema analisado por Rayleigh-Bénard, tam-

bém conhecido como Convecção de Rayleigh-Bénard onde o início da convecção em uma

camada de fluido em repouso aquecida por baixo é analisado (Bénard, 1901). Drazin and

Reid (2004) em seu livro analisa o problema similar porém com diferentes configurações

de fronteiras da camada de fluido. Chandrasekhar (2013) em seu livro, além de apresentar

a teoria da instabilidade térmica de Rayleigh-Bénard, apresenta o resultados de outros efei-

tos associados a este problema, como por exemplo a presença de rotação ou de um campo

magnético.

Uma variante do problema clássico de Rayleigh-Bénard do estudo de convecção em ca-

madas de fluidos livre, é o problema de Darcy-Bénard, nome este que faz referência aos

pioneiros do estudo de escoamentos em meios porosos e de convecção em camadas de flui-

dos, respectivamente (Barletta, 2010). Os pioneiros neste tipo de análise foram Horton and

Rogers Jr (1945) e Lapwood (1948). Novas variações do estudo do problema de Darcy-

Bernard vêm sendo estudadas, onde por exemplo ao invés de se considerar uma camada de

fluido em repouso, analisa-se o fluido em movimento, o pioneiro deste tipo de análise foi

Prats (1966).

Mais recentemente pesquisadores vêm desenvolvendo estudos ainda neste campo de co-

nhecimento, considerando, porém, diferentes configurações de escoamento, bem como suas

causas de aquecimento. Nield (1991) analisou um escoamento em meio poroso com um gra-

diente inclinado de temperatura. Barletta (2012) analisou um escoamento em meio poroso

submetido a fluxos de calor simétricos em suas paredes inferior e superior. Sphaier and Bar-

letta (2014) analisaram a convecção mista de um escoamento em meio poroso aquecido por

30

baixo e isolado termicamente na parede superior.

Outras variantes que vêm sendo estudadas são relativas ao tipo de fluido, onde diferentes

modelos de fluidos não-newtonianos são levados em consideração, como por exemplo o es-

tudo feito por Alves and Barletta (2013) onde o modelo de fluido não-newtoniano conhecido

como power-law é analisado. E ainda relativos à causa da instabilidade, como por exem-

plo no estudo desenvolvido por Barletta et al. (2009) em que se analisa a dissipação viscosa

como sendo o mecanismo gerador de instabilidade.

A análise de estabilidade térmica pode apresentar resultados de suma importância rela-

tivos ao comportamento de determinado escoamento devido à influência do aporte de calor

e/ou da troca de calor do mesmo com o ambiente externo, é portanto igualmente importante

que as análises sejam capazes de reproduzir o mais fielmente possível acontecimentos reais.

Sabe-se que o isolamento térmico perfeito não é possível de ser obtido, visto que uma

troca de calor por convecção, ainda que pequena, sempre ocorrerá. Por isso o presente

trabalho se propõe a analisar dois casos, um primeiro onde é considerado um escoamento

em meio poroso aquecido por baixo e isolado termicamente na parede superior com geração

de energia interna, e um segundo caso similar onde se leva em conta a troca de calor por

convecção ao invés do isolamento na parede superior, e então confrontar ambos os casos,

sabendo que o segundo caso tende assintoticamente ao primeiro à medida que a troca de

calor por convecção tende a zero.

O primeiro caso aqui estudado é uma extensão do trabalho desenvolvido por Sphaier and

Barletta (2014) onde inclui-se a geração de energia interna ao mesmo. Resultados prelimina-

res deste primeiro caso foram publicados no periódico Transport in Porous Media e podem

ser encontrados em Celli et al. (2016). Os resultados do estudo do segundo caso estão presen-

tes no artigo intitulado "Convective instability induced by internal and external heating in a

fluid saturated porous medium" submetido ao periódico internacional International Journal

of Heat and Mass Transfer.

31

2 MODELAGEM MATEMÁTICA

Um escoamento em meio poroso é analisado, considerando aqui o modelo de Darcy. A

aproximação de Oberbeck-Boussinesq é empregada a fim de modelar a força de empuxo na

equação de conservação de quantidade de movimento, a equação de Darcy.

As equações de governo para esse problema são as equações de conservação da massa ou

equação da continuidade, equação de conservação de quantidade de movimento e equação

de conservação da energia. E podem ser escritas na forma dimensional da seguinte forma:

∇·u = 0 (2.1a)

µ

Ku =−∇p + ρ g (2.1b)

(ρc)m∂T

∂t+ (ρc) f u ·∇T = km ∇2T +q ′′′ (2.1c)

2.1 CASO 1

O primeiro caso a ser considerado é o de um escoamento em um canal poroso aquecido

por baixo por um fluxo de calor constante e isolado termicamente na parte superior. As

paredes superior e inferior são impermeáveis. Sólido e fluido são homogêneos e é assumida

a hipótese de equilíbrio térmico local. O gradiente de pressão imposto na direção horizontal,

bem como a força de empuxo, originam o escoamento base.

32

g

0

z

x

Q

w = 0 -k∂T∂z

= 0

w = 0 -k∂T∂z

= q 0''

Figura 2.1: Esquema Caso 1: escoamento em meio poroso com geração de energia interna,aquecido por baixo isolado em cima.

2.1.1 Equações de Governo

As equações de governo na forma dimensional são aquelas dadas por 2.1 sendo as con-

dições de contorno dadas por:

z = 0 : w = 0, −k∂T

∂z= q ′′

0 (2.2a)

z = 1 : w = 0,∂T

∂z= 0 (2.2b)

As equações de governo 2.1 podem ser escritas da forma adimensional da seguinte forma:

∇·u = 0 (2.3a)

∇×u =∇× (T ez) (2.3b)

∂T

∂t+u · ∇T =∇2T +Q (2.3c)

Onde o operador Rotacional foi aplicado na lei de Darcy na equação adimensionalizada

a fim de simplificar a análise.

33

As condições de contorno adimensionais são escritas então como:

z = 0 : w = 0,∂T

∂z=−R (2.4a)

z = 1 : w = 0,∂T

∂z= 0 (2.4b)

Onde a velocidade é representada por u = (u, v, w), o tempo por t , e a temperatura por T . As

variáveis e os parâmetros adimensionais, tais como a geração interna de calor Q e o número

de Darcy-Rayleigh R, são definidos como:

x = x∗

H, t = t∗

α

σH 2, u = u∗H

α, T = (T ∗−T0)

g βK H

να, (2.5)

Q = q ′′′ gβK H 3

(ρc) f α2ν, R = g β q ′′

0 K H 2

ναk(2.6)

Onde os símbolos com asterisco se referem às coordenadas dimensionais, o subscrito f se

refere à variáveis relativas ao fluido, H é a altura do canal, α é a difusividade térmica média,

T0 é a temperatura média do fluido dentro do canal, g é representa a magnitude da aceleração

gravitacional g , β é o coeficiente de expansão térmica do fluido, K é a permeabilidade do

meio poroso, ν é a viscosidade cinemática do fluido, q ′′′ é a amplitude da geração interna de

calor, ρ é a densidade, c é o calor específico e k é a condutividade térmica média. σ repre-

senta a razão entre a capacidade térmica média volumétrica do meio poroso e a capacidade

térmica volumétrica do fluido.

2.1.2 Solução Base

A definição do estado base de um sistema em análise é o ponto de partida para qual-

quer problema de análise de estabilidade. Neste caso o escoamento horizontal pode ser

decomposto em dois componentes, um componente devido ao gradiente de pressão e um

outro componente devido à força de empuxo. O componente da força de empuxo é devido

à geração de calor interna e ao fluxo de calor imposto na parede inferior. O termo relativo

ao componente de empuxo depende da direção z, i.e. a única direção não homogênea do

34

escoamento. A solução base é obtida a partir das equações 2.3 e 2.4.

ub = 2Pe2 + (Q +R)(1−2z)

2Peex (2.7)

∇Tb = Q +R

Peex +

[R − (Q +R)2z

2Pe2

](z −1)ez (2.8)

Onde o número de Rayleigh R é assumido positivo, o que significa que o escoamento está

sendo aquecido por baixo. E o adimensional Q também é assumido positivo, o que significa

uma geração de calor interna.

A solução base demonstra que uma solução estacionária somente é possível na presença

de um escoamento horizontal, ou seja para valores de Pe diferentes de zero. O número de

Péclet é definido como Pe = U0H/α onde U0 é a velocidade base devida ao gradiente de

pressão imposto. Caso Pe seja nulo, existirá uma acumulação de energia interna crescente

no tempo de tal forma que uma solução estacionária não é possível. O escoamento horizontal

convecta energia suficiente à jusante de modo a balancear a geração de energia, o que faz

com que seja possível a existência de estado estacionário.

2.1.3 Perturbações

As soluções bases são então perturbadas a fim de se desenvolver uma análise de estabili-

dade linear. Considera-se perturbações infinitesimais e pode-se escrever da seguinte forma:

u = ub + εU , T = Tb + εθ (2.9)

onde U = (U ,V ,W ) e ε responsável por representar a amplitude da perturbação, sendo

ε<< 1. Então 2.3 se torna:

35

∇·ub + ∇·εU = 0 (2.10a)

∇×ub + ∇×εU =∇× (Tb ez) + ∇× (εθ ez) (2.10b)

∂Tb

∂t+ ∂εθ

∂t+ub · ∇Tb +ub · ∇εθ+εU · ∇Tb +εU · ∇εθ =∇2T +∇2εθ+Q (2.10c)

Linearização

Como ε<< 1, os termos não lineares, ou seja O(ε2), nas equações de governo perturbadas

são desprezados. Além disso os termos que juntos recuperam a solução base do problema,

lembrando que a solução base é independente do tempo, são também nulos pois satisfazerem

as equações. Logo as equações 2.3 perturbadas e linearizadas se tornam:

∇·U = 0 (2.11a)

∇×U =∇× (θ ez) (2.11b)

∂θ

∂t+ub · ∇θ+U · ∇Tb =∇2θ (2.11c)

Abrindo as equações:

∂U

∂x+ ∂V

∂y+ ∂W

∂z= 0 (2.12a)

−∂V

∂z+ ∂W

∂y= ∂θ

∂y(2.12b)

∂U

∂z− ∂W

∂x=−∂θ

∂x(2.12c)

−∂U

∂y+ ∂V

∂x= 0 (2.12d)

U∂Tb

∂x+W

∂Tb

∂z+ ∂θ

∂t+ub

∂θ

∂x= ∂2θ

∂x2+ ∂2θ

∂y2+ ∂2θ

∂z2(2.12e)

36

Modos Normais

Considera-se então que as perturbações possuem um comportamento modal, e assume-

se que esses modos normais têm um comportamento periódico, a princípio, nas direções

homogêneas x e y e no tempo t .

U =Un(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.13)

V =Vn(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.14)

W =Wn(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.15)

θ = θn(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.16)

Onde α, β e ω são variáveis complexas, sendo portanto decompostas entre parte real e

imaginária, ou seja α=αr + iαi , β= βr + iβi e ω=ωr + iωi . Aqui αr e βr representam os

números de onda e αi e βi a taxa de crescimento espacial nas direções x e y , ωr representa a

frequência angular e ωi a taxa de crescimento temporal. Substituindo então as perturbações

nas equações 2.12 e reorganizando tudo em termos de apenas 2 variáveis, tem-se:

W ′′n − (α2 +β2)(Wn −θn) = 0 (2.17a)

θ′′n + (iω − iαub − α2 − β2)θn − Wn∂Tb

∂z− iα

α2 +β2W ′

n∂Tb

∂x= 0 (2.17b)

z = 0,1 : Wn = 0, θ′n = 0 (2.17c)

O resultado é o que é conhecido como relação de dispersão, que é o sistema de equações

diferenciais complexas que representam a dispersão das ondas de perturbação, cujas variá-

veis são Wn e θn , onde os apóstrofos representam as derivadas em relação à direção não

homogênea z. Esse sistema é também um problema de autovalores, onde as autofunções são

37

representadas por Wn e θn e os autovalores ω, α ou β dependendo do tipo de análise levada

adiante.

2.2 CASO 2

g

0

z

x

Q

w = 0 -k∂T∂z

= h(T - Ts)

w = 0 -k∂T∂z

= q 0''

Figura 2.2: Esquema Caso 2: escoamento em meio poroso com geração de energia interna,aquecido uniformemente por baixo e trocando calor por convecção na paredesuperior.

O segundo caso a ser considerado trata de um escoamento em um canal poroso aquecido

por baixo por um fluxo de calor constante e trocando calor por convecção na parede supe-

rior. As paredes superior e inferior são impermeáveis. Sólido e fluido são homogêneos e é

assumida a hipótese de equilíbrio térmico local assim como no caso anterior. O gradiente de

pressão imposto na direção horizontal origina o escoamento base.

2.2.1 Equações de Governo

As equações de governo deste caso na forma dimensional são as mesmas do Caso 1 e

podem ser vistas em 2.1, sendo as condições de contorno dadas por:

z = 0 : w = 0, −k∂T

∂z= q ′′

0 (2.18a)

z = 1 : w = 0, −k∂T

∂z= h(T −Ts) (2.18b)

38

As equações de governo 2.1 podem ser escritas da forma adimensional para o Caso 2 da

seguinte forma:

∇·u = 0 (2.19a)

∇×u = R ∇× (T ez) (2.19b)

∂T

∂t+u · ∇T =∇2T +Q (2.19c)

Onde o operador Rotacional foi aplicado na lei de Darcy na equação adimensionalizada

a fim de simplificar a análise.

As condições de contorno adimensionais são escritas então como:

z = 0 : w = 0,∂T

∂z=−1 (2.20a)

z = 1 : w = 0,∂T

∂z+BT = 0 (2.20b)

Onde a velocidade é representada por u = (u, v, w), o tempo por t , e a temperatura por T . As

variáveis e os parâmetros adimensionais, tais como a geração interna de calor Q e o número

de Darcy-Rayleigh R, são definidos como:

x = x∗

H, t = t∗

α

σH 2, u = u∗H

α, T = (T ∗−Ts)

k

q ′′0 H

, (2.21)

B = hH

k, Q = q ′′′H

q ′′0

, R = g β q ′′0 K H 2

ναk(2.22)

Onde os símbolos com asterisco se referem às coordenadas dimensionais, o subscrito f se

refere à variáveis relativas ao fluido, H é a altura do canal, α é a difusividade térmica média,

g é representa a magnitude da aceleração gravitacional g , β é o coeficiente de expansão

térmica do fluido, K é a permeabilidade do meio poroso, ν é a viscosidade cinemática do

fluido, q ′′′ é a amplitude da geração interna de calor, ρ é a densidade, c é o calor específico

39

e k é a condutividade térmica média. σ representa a razão entre a capacidade térmica média

volumétrica do meio poroso e a capacidade térmica volumétrica do fluido.

2.2.2 Solução Base

A definição do estado base de um sistema em análise é o ponto de partida para qualquer

problema de análise de estabilidade. Neste caso o escoamento horizontal é devido unica-

mente ao gradiente de pressão imposto, a solução é obtida através da resolução das equações

2.19 e 2.20.

ub = Pe (2.23)

Tb = Q

2+1+ Q +1

B− z − Q

2z2 (2.24)

Onde o número de Rayleigh R é assumido positivo, o que significa que o escoamento está

sendo aquecido por baixo, o adimensional Q também é assumido positivo, o que significa

uma geração de calor interna e o número de Biot B também é positivo, o que significa perda

de energia através da troca de calor por convecção na parede superior.

A solução base demonstra que uma solução estacionária somente é possível no caso de

B > 0 pelo fato de que no limite de B → 0 a solução da temperatura vai ao infinito. Nesse

limite a parede superior se torna adiabática e retorna-se ao Caso 1. O número de Péclet é o

mesmo definido para o Caso 1.

2.2.3 Perturbações

As soluções bases são então perturbadas, do mesmo modo que foi feito com as equações

para o Caso 1, a fim de se desenvolver uma análise de estabilidade linear. Consideram-se

perturbações infinitesimais.

u = ub + εU , T = Tb + εθ (2.25)

40

onde U = (U ,V ,W ) e ε responsável por representar a amplitude da perturbação, sendo

ε<< 1. Então 2.19 se torna:

∇·ub + ∇·εU = 0 (2.26a)

∇×ub + ∇×εU = R ∇× (Tb ez) + R ∇× (εθ ez) (2.26b)

∂Tb

∂t+ ∂εθ

∂t+ub · ∇Tb +ub · ∇εθ+εU · ∇Tb +εU · ∇εθ =∇2T +∇2εθ+Q (2.26c)

Linearização

Como ε<< 1, os termos O(ε2) nas equações de governo perturbadas são desconsiderados.

Além disso os termos que juntos recuperam a solução base do problema, lembrando que a

solução base é independente do tempo, são também nulos pois satisfazerem as equações.

Logo as equações 2.19 perturbadas e linearizadas se tornam:

∇·U = 0 (2.27a)

∇×U = R,∇× (θ ez) (2.27b)

∂θ

∂t+ub · ∇θ+U · ∇Tb =∇2θ (2.27c)

Abrindo as equações:

41

∂U

∂x+ ∂V

∂y+ ∂W

∂z= 0 (2.28a)

−∂V

∂z+ ∂W

∂y= R

∂θ

∂y(2.28b)

∂U

∂z− ∂W

∂x=−R

∂θ

∂x(2.28c)

−∂U

∂y+ ∂V

∂x= 0 (2.28d)

U∂Tb

∂x+W

∂Tb

∂z+ ∂θ

∂t+ub

∂θ

∂x= ∂2θ

∂x2+ ∂2θ

∂y2+ ∂2θ

∂z2(2.28e)

Modos Normais

Considera-se então que as perturbações possuem um comportamento modal, e assume-

se que esses modos normais têm um comportamento periódico, a princípio, nas direções

homogêneas x e y e no tempo t .

U =Un(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.29)

V =Vn(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.30)

W =Wn(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.31)

θ = θn(z)e i (αx+βy−ωt ) (2.32)

Analogamente ao Caso 1, α, β e ω são variáveis complexas, sendo portanto decompostas

entre parte real e imaginária, ou seja α=αr + iαi , β=βr + iβi e ω=ωr + iωi . Aqui αr e βr

representam os números de onda e αi e βi a taxa de crescimento espacial nas direções x e y ,

ωr representa a frequência angular e ωi a taxa de crescimento temporal. Substituindo então

as perturbações nas equações 2.28 tem-se:

42

W ′′n − (α2 + β2)(Wn − θn) = 0 (2.33a)

θ′′n + (i ω − i αub − α2 − β2)θn − Wn∂Tb

∂z= 0 (2.33b)

As condições de contorno para o Caso 2, são também diferente daquelas consideradas no

Caso 1, e podem ser escritas como:

Wn(0) = 0, Wn(1) = 0 (2.34)

θ′n(0) = 0, θ′n(1) + B θn(1) = 0 (2.35)

O resultado, analogamente ao Caso 1, é conhecido como relação de dispersão, que é o

sistema de equações diferenciais complexas que representam a dispersão das ondas de per-

turbação. Que ao mesmo tempo é também um problema de autovalores, onde as autofunções

são representadas por Wn e θn e os autovalores ω, α ou β dependendo do tipo de análise le-

vada adiante. O problema de autovalores pode ser resolvido de diferentes formas, a maneira

aqui explorada, que será explicada no próximo capítulo, é conhecida como método do tiro.

43

3 METODOLOGIA

O método numérico empregado a fim de se resolver as relações da dispersão é o método

conhecido como método do tiro. Este método consiste em transformar um problema de valor

de contorno, que é o caso das presentes equações, em um problema de valor inicial, impondo

novas constantes como condições iniciais adicionais deste novo problema, utilizando um

método de marcha para marchar de um contorno a outro e então através de um método de

busca de raízes se encontra o valor ideal dessas novas condições iniciais definidas.

3.1 CASO 1

Pode-se reescrever as equações 2.17 com base em um novo número de onda k onde

α= k cos(φ) e β= k sen(φ), ou seja k2 =α2 +β2.

3.1.1 Análise Assintótica

Observou-se que as equações da relação da dispersão para o Caso 1 possuíam uma so-

lução analítica se analisadas no regime assintótico em que k → 0. Para isso se reescalou a

autofunção Wn da seguinte forma: Wn → Wn/k. O número de Rayleigh R, a velocidade

de fase c =ω/k e as autofunções Wn e θn são escritas como séries expandidas em torno do

número de onda k.

R = R0 +k2R2 +k4R4 +·· ·+k2n R2n (3.1)

c = c0 +k2c2 +k4c4 +·· ·+k2n c2n (3.2)

Wn = ˆWn,0 +k ˆWn,1 +k2 ˆWn,2 +·· ·+kn ˆWn,n (3.3)

θn = θn,0 +kθn,1 +k2θn,2 +·· ·+knθn,n (3.4)

44

Substituindo as 3.4 em 2.17 a resultante será um sistema de equações diferenciais de

diferentes ordens em k. As equações de ordem 0 e 1 em k resultam em ˆWn,0 = 0, ˆWn,1 = 0 e

θn,0 = 1. Da equações de segunda ordem em k se pode concluir que

5Pe2 (24−R0)+2(Q +R0)2 cos2(φ)+ (Q +R0)2 = 0 (3.5)

Onde as raízes de R0 são dadas por

R0 =5Pe2 −2Q

(cos(2φ)+2

)±√5Pe2

[5Pe2 −4(Q +24)

(cos(2φ)+2

)]2(cos(2φ)+2

) (3.6)

A condição para que exista valor real para R0 é que o argumento da raiz da equação de R0

seja positivo. Caso não seja, significará que a não existe um valor de Rayleigh para número

de onda α igual a zero, o que significa que a curva de estabilidade marginal (R x α) não toca

o eixo das ordenadas.

Resolvendo-se a equação 3.6 serão obtidos dois resultados para R0, um representará o

valor inferior e o outro o valor superior de Rayleigh relativo ao encontro da curva marginal

com o eixo das ordenadas.

3.1.2 Instabilidades Convectivas

Quando se deseja obter o início da instabilidade convectiva lança-se mão de uma análise

temporal, que quer dizer que o número de onda α é tratado como sendo real. A frequência

ω é tratada ainda como sendo uma variável complexa, porém como se está interessado no

início da instabilidade, o que se busca é o limiar entre estabilidade e instabilidade, ou seja, a

condição na qual a taxa de crescimento é nula(ωi = 0).

Desta forma o problema de autovalor resultante é aquele representado por 2.17, sendo

Wn e θn as autofunções do problema e ω o seu autovalor, que será obtidos atavés da solução

do problema para cada número de onda α prescrito.

A fim de se resolver o sistema de equações diferenciais de 2.17 foi desenvolvida uma ro-

45

tina no programa de computador Wolfram Mathematica. Como o problema foi transformado

em um problema de valor inicial, as condições de contorno em z = 1 foram desconsideradas

e foram então impostas novas condições iniciais (z = 0).

W ′n(0) =Cr + iCi , θn(0) = 1 (3.7)

Onde Cr e Ci são parâmetros reais a serem determinados e a condição inicial para a

autofunção θn foi imposta a fim de se fixar a escala das autofunções Wn e θn . O sistema

de equações diferenciais é então resolvido através da função NDSolve, que trata de resolver

numericamente equações diferenciais ordinárias, presente no software Mathematica com as

novas condições impostas em z = 0.

As duas condições impostas, até então desconhecidas, podem ser encontradas agora jun-

tamente de ω e do número de Rayleigh (R) através da função FindRoot do Mathematica,

que possui programado internamente diferentes algoritmos de encontrar zeros de funções. A

partir disso é possível obter o número de Rayleigh (R) associado a cada número de onda (α)

da perturbação e então através da curva de estabilidade neutra (R x α) obter o valor crítico

de Rayleigh para uma dada combinação de parâmetros (Pe e Q).

3.2 CASO 2

3.2.1 Transformação de Squire

Sem nenhuma perda de generalidade é possível aplicar a transformação de Squire à esse

problema a fim de simplificar a resolução do mesmo. A transformação de Squire transforma

o atual problema 3D em um 2D equivalente. Aplicando a transformação k2 = α2 +β2 e

kP = αPe nas equações 2.33, onde P é o número de Peclèt modificado e k é o número

de onda modificado. Dessa forma somente modos transversais serão calculados, o que não

é um problema visto que os modos longitudinais podem ser recuperados revertendo-se a

transformação.

46

3.2.2 Princípio da Troca de Estabilidades

O princípio conhecido como "princípio da troca de estabilidades"(em tradução livre do

inglês principle of exchange of stabilities) afirma que as primeiras perturbações instáveis são

estacionárias, ou seja possuem a parte real da frequência ω nula (ω= 0).

A relação da dispersão representada pelo sistema de equações 2.33a e 2.33b pode ser

sintetizado em uma única equação. Escreve-se θn em função de Wn a partir da equação

2.33a e substitui-se na equação 2.33b, o resultado será uma única equação com Wn como

autofunção.

(i kP + k2 − i ω)

(Wn(z)

R− W ′′

n (z)

k2 R

)−

Wn(z) − Q z Wn(z) −(

W ′′n (z)

R− W (4)

n (z)

k2 R

)= 0 (3.8)

Essa equação é então multiplicada por W ∗n (z), que é o complexo conjugado da autofun-

ção Wn(z), e integrada no domínio da direção não homogênea z.

(i kP + k2 − i ω)

(∫ 1

0Wn(z)W ∗

n (z)dz + 1

k2

∫ 1

0W ′

n(z)W ∗′n (z)dz

)−

R∫ 1

0Wn(z)W ∗

n (z)dz − R Q∫ 1

0z Wn(z)W ∗

n (z)dz+∫ 1

0W ′

n(z)W ∗′n (z)dz + 1

k2

(∫ 1

0W ′′

n (z)W ∗′′n (z)dz − W ∗′

n (z)W ′′n (z)

∣∣∣1

0

)= 0 (3.9)

As condições de contorno para W ∗n (z) são análogas àquelas para Wn . Como o produto

entre uma função e o seu complexo conjugado é sempre um número positivo, todas as inte-

grais contendo tais produtos são número positivos por definição. A princípio, o termo repre-

sentado por W ∗′n (z)W ′′

n (z)∣∣∣1

0é complexo, ou seja, pode assumir tantos valores reais quanto

valores imaginários, porém foi verificado numericamente que esse termo assume somente

valores reais. Consequentemente, a parte imaginária da equação 3.9 é escrita como:

47

(kr P − ωr )

(∫ 1

0Wn(z)W ∗

n (z)dz + 1

k2r

∫ 1

0W ′

n(z)W ∗′n (z)dz

)= 0 (3.10)

Onde os subscritos r e i significam real e imaginário, respectivamente. Assumindo que

Wn é não nulo, a equação 3.10 só pode ser satisfeita se

ωr = kr P = αr Pe (3.11)

O que significa que todos modos transversais e oblíquos possuem velocidade de fase c

(c =ω/α) constante, para um número de Peclet Pe constante, e que todos os modos longitu-

dinais são estacionários. Por outro lado, a parte real da equação 3.9 considerando ωi = 0 é

escrita como:

(R −k2r )

∫ 1

0wn(z) w∗

n (z)dz + R Q∫ 1

0z wn(z) w∗

n (z)dz

− 2∫ 1

0w ′

n(z) w∗′n (z)dz − 1

k2r

(∫ 1

0W ′′

n (z)W ∗′′n (z)dz − W ∗′

n (z)W ′′n (z)

∣∣∣1

0

)= 0 (3.12)

O que implica que R é independente de P. Considerando c1, c2, c3 e c4 como os co-

eficientes representando as três integrais consecutivas na equação 3.12 e a união da última

integral com o termo W ∗′n (z)W ′′

n (z)∣∣∣1

0, é possível escrever:

R = c4 +2c3 k2r + c1 k4

r

(c1 + c2 Q)k2r

(3.13)

Onde os mínimos (kcr , Rc ), conhecidos como os pontos críticos que representam o início

da instabilidade convectiva, são dados por:

kcr = 4

√c4

c1(3.14a)

Rc = 2c3 +p

c1 c4

c1 + c2 Q(3.14b)

48

O que significa que Rc tende a zero quando Q se torna suficientemente grande, uma vez que

os coeficientes c1, c2, c3 e c4 devem depender fortemente de B e fracamente de Q. Portanto

Q é muito provavelmente um parâmetro desestabilizador. A mesma tendência que se observa

para Rc pode ser observada também para R, exceto em casos onde kr é muito pequeno onde

a equação 3.13 pode ser aproximada como

R ' c4

(c1 + c2 Q)k2r+ 2c3

c1 + c2 Q+ O(k2

r ) , (3.15)

ou em casos onde kr é muito grande onde a equação 3.13 pode ser aproximada por

R ' c1 k2r

c1 + c2 Q+ 2c3

c1 + c2 Q+ O(k−2

r ) (3.16)

Tais resultados são validos para B > 0, onde um valor muito pequeno, mas não nulo, de

B representa um isolamento imperfeito na parede superior.

3.2.3 Instabilidades Convectivas

Da mesma forma que foi feita para o Caso 1, considera-se um problema temporal onde

α assume um valor real e ω um valor complexo, onde o que se busca é o limiar entre a

ocorrência ou não da instabilidade, ou seja, a condição na qual a taxa de crescimento é

nula(ωi = 0).

Desta forma o problema de autovalor resultante será aquele representado por 2.33, sendo

Wn e θn as autofunções do problema e ω o autovalor.

A fim de se resolver o sistema de equações diferenciais de 2.33 foi desenvolvida uma

rotina no programa de computador Wolfram Mathematica seguindo o mesmo raciocínio da-

quela desenvolvida para resolver o Caso 1, porém ligeiramente diferente visto que as condi-

ções de contorno são outras e a solução base também. Como o problema foi transformado

em um problema de valor inicial, as condições de contorno em z = 1 foram desconsideradas

e foram então impostas novas condições iniciais (z = 0).

49

W ′n(0) =Cr + iCi , θn(0) = 1 (3.17)

Onde Cr e Ci são parâmetros reais a serem determinados de modo que as condições

de contorno originais em z = 1 sejam satisfeitas, e a condição inicial para a autofunção θn

foi imposta a fim de se fixar a escala das autofunções Wn e θn . O sistema de equações

diferenciais é então resolvido através da função NDSolve presente no software Mathematica

com as novas condições impostas em z = 0.

As duas condições impostas, até então desconhecidas, podem ser encontradas agora jun-

tamente de ω e do número de Rayleigh (R) através da função FindRoot do Mathematica.

A partir disso é possível obter o número de Rayleigh (R) associado a cada número de onda

(α) da perturbação e então através da curva marginal (Rxα) obter o valor crítico de Rayleigh

para uma dada combinação de parâmetros (Pe, Q e B).

50

4 RESULTADOS

Primeiramente serão apresentados os resultados de algumas validações que foram feitas

a fim de se verificar a metodologia numérica. Em seguida serão apresentados os resulta-

dos da análise de estabilidade propriamente através das curvas de estabilidade marginal, e

posteriormente através das curvas relativas ao pontos críticos para dada combinação de pa-

râmetros. Os resultados da correlação aproximada proposta e levada adiante também serão

apresentados nesse capítulo. E por fim serão confrontados as isolinhas de função corrente e

temperatura referentes aos casos 1 e 2 para semelhantes configurações de parâmetros no caso

em que o número de Biot tende a zero, onde em teoria o problema se tornaria termicamente

isolado.

4.1 VERIFICAÇÃO

A metodologia numérica foi validada de maneira diferente para ambos os casos. consi-

derando o Caso 1, é possível observar na tabela 4.1 a comparação do resultado numérico e

aquele obtido através da aproximação assintótica pro caso em que o número de onda tende a

zero. Para a combinação de parâmetros analisadas, a curva marginal apresenta o aspecto de

um C invertido, assim sendo, existem dois pontos em que a curva toca o eixo para número de

onda nulo. Por isso pode-se observar que ambos valores são verificados e apresentam uma

considerável semelhança.

51

Tabela 4.1: Comparação entre os resultados obtidos numericamente e analiticamente parao caso de kr → 0, considerando Q = 1 e φ = π/2. Como a curva marginal deRxkr apresenta, para algumas combinações de parâmetros, dois valores de Rpara kr = 0, os subscritos i e s se referem aos valores inferiores e superiores,respectivamente.

Ri Rs

Pe Numérico Analítico Numérico Analítico5 33.549150 33.549150 89.450850 89.4508506 29.000000 29.000000 149.00000 149.000007 27.259616 27.259616 215.74038 215.740388 26.335008 26.335008 291.66499 291.664999 25.769382 25.769382 377.23062 377.23062

10 25.393202 25.393202 472.60680 472.60680

Considerando o segundo caso, os resultados numéricos do presente trabalho foram veri-

ficados com resultados já presentes na literatura, e é possível observar na tabela 4.2 que os

resultados convergem razoavelmente.

Tabela 4.2: Comparação entre os resultados obtidos numericamente através do método dotiro e os resultados encontrados na literatura Alves and Barletta (2013) para oinício da instabilidade convectiva.

kr R (Alves and Barletta (2013)) R1.152254 40.46992 40.469781.603469 30.42835 30.428233.592764 31.64865 31.648474.860074 41.64435 41.644095.810938 51.64392 51.643586.617453 61.64381 61.643397.333037 71.64377 71.643267.983780 81.64376 81.643168.585012 91.64375 91.64307

52

4.2 CURVAS MARGINAIS

Na análise de estabilidade, as curvas marginais são aquelas em que estão representadas

a estabilidade marginal de determinado problema, ou seja, a iminência de um sistema passar

de uma configuração estável para instável. Em geral essa condição de estabilidade é repre-

sentada através de uma curva tendo como variável no eixo das ordenadas um parâmetro de

controle e no eixo das abscissas o número de onda.

Q = 0

Q = 10

Q = 20

Q = 30

Q = 35

2 4 6 8 100

50

100

150

200

250

300

350

kr

R

Figura 4.1: Curvas Marginais Caso 1 para Pe = 7 e φ= π2

As figuras 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 são referentes ao primeiro caso onde as duas primeiras se

referem ao caso longitudinal e as duas últimas ao transversal, e representam a estabilidade

marginal para diferentes valores de Q. Foi verificado que os modos longitudinais são os

mais instáveis para o caso 1, isto é, transicionam de uma configuração estável para uma

configuração instável para um valor menor de R.

53

Q = 0Q = 35Q = 150Q = 200Q = 250

5 10 15 20 250

200

400

600

800

1000

1200

kr

R

Figura 4.2: Curvas Marginais Caso 1 para Pe = 12 e φ= π2

Q = 0Q = 2Q = 4Q = 5Q = 6

1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

kr

R

Figura 4.3: CCurvas Marginais Caso 1 para Pe = 7 e φ= 0

No segundo caso estudado, foi verificado que não existe uma dependência de Pe na es-

tabilidade marginal, dependência esta que se manifesta somente na frequência de oscilação

das perturbações. Além disso, os modos longitudinais, transversais e oblíquos se manifes-

tam igualmente, não sendo necessário portanto diferenciação quanto à direção do modo.

Estão representadas pelas figuras 4.5 e 4.6 dois casos de estabilidade marginal considerando

54

Q = 0Q = 35Q = 125Q = 200Q = 230

2 4 6 8 10 12 14 160

200

400

600

800

kr

R

Figura 4.4: Curvas Marginais Caso 1 para Pe = 12 e φ= 0

dois diferentes número de Biot e em cada curva diferentes valores para a geração de energia

interna Q.

Q = 0Q = 100

Q = 101

Q = 103

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

kr

R

Figura 4.5: Curvas Marginais Caso 2 para B = 10−1

55

Q = 0Q = 100

Q = 101

Q = 103

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

kr

R

Figura 4.6: Curvas Marginais Caso 2 para B = 1010

56

4.3 CURVAS PONTOS CRÍTICOS

A análise de estabilidade pode ser uma importante ferramenta a se consultar e considerar

em um experimento por exemplo, além de aplicações reais. Seja em um experimento ou

em uma aplicação real estão presentes ruídos e perturbações de todos os números de onda

e que se propagam em todas as frequências. Por isso é importante definir o que seria uma

curva dos valores críticos ou dos pontos críticos. Um ponto crítico seria aquele relativo ao

parâmetro de controle de menor valor em uma curva marginal, pois dado que estão presentes

esse tipo de ruído, o valor crítico de um parâmetro de controle seria o menor valor no qual

pode ocorrer a transição de um sistema estável para um instável.

As figuras 4.8 e 4.7 representam o menor valor de R onde para determinado Q pode

ocorrer a transição para a instabilidade, para o caso 1.

57

ϕ = 0

ϕ =π

2

5 10 15 20 25 30 35 400

50

100

150

200

250

Q

Rc

Figura 4.7: Curvas de Valores Críticos Caso 1 para Pe = 7

ϕ = 0

ϕ =π

2

0 50 100 150 200 250 3000

200

400

600

800

1000

Q

Rc

Figura 4.8: Curvas de Valores Críticos Caso 1 para Pe = 12

Para o caso 2 as curvas dos valores críticos são representadas tanto em função de Q

quanto de B .

58

B = 10-1

B = 100

B = 101

B = 102

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

Q

Rc

Figura 4.9: Curvas Críticas Caso 2 em função de Q para diferentes valores de B

Q = 0Q = 1Q = 2Q = 5Q = 10Q = 200

10-3 10-2 0.1 1 10 1000

5

10

15

20

25

30

B

Rc

Figura 4.10: Curvas Críticas Caso 2 em função de B para diferentes valores de Q

59

4.4 CORRELAÇÕES APROXIMADAS

Através da tentativa de demonstrar que o princípio da troca de estabilidades era válido

para o problema considerado no caso 2, observou-se a possibilidade de se obter uma aproxi-

mação analítica para a estabilidade marginal deste problema, e consequentemente para obter

os pontos críticos também. Como já dito anteriormente sobre a importância de se obter os

pontos críticos relativos à possibilidade de transição para instabilidade de um determinado

problema, obter tais valores analiticamente seria de grande valor para experimentos, pois

seria possível verificar e prever resultados com certa facilidade.

Através dos resultados numéricos buscou-se então obter os coeficientes c1, c2, c3 e c4 re-

presentadas em 3.13. Para tal buscou-se interpolar diversas curvas de estabilidade marginal,

cujos valores foram obtidos numericamente, com a cara dada pela equação 3.13. Analisando

a forma dos coeficientes e as equações, considerou-se que os coeficientes seriam pratica-

mente constantes com Q e que variariam fortemente com B . Posteriormente foi verificado

ser verdade o pressuposto, de fato os coeficientes eram praticamente constantes com Q, e

para alguns existiria uma forte variação com B . Até pelo fato de B não estar presente na

equação e somente nas condições de contorno, deveria existir uma dependência com B de

alguma forma.

A fim de reduzir o número de coeficientes e possíveis erros numéricos no momento da

interpolação, os coeficientes foram normalizadas pelo coeficiente c2. Assim sendo, para cada

par B e Q os valores marginais foram interpolados e os valores dos coeficientes foram obtido,

foi observado que de fato para cada B os valores dos coeficientes variavam pouco ou quase

nada com Q, portanto foi retirada a média dos coeficientes com Q para cada valor de B .

É possível observar o comportamento dos coeficientes c3 e c4 com B nas figuras 4.11 e

4.12, onde o c representa o coeficiente c normalizado com c2.

60

10-3 0.1 10 1000 10512

13

14

15

16

17

18

19

B

c˜3

Figura 4.11: Comportamento de c3 em Funçao de B

10-3 0.1 10 1000 1050

20

40

60

80

B

c˜4

Figura 4.12: Comportamento de c4 em Funçao de B

O coeficiente c1 se comportou quase constante tanto em relação à B quanto à Q. As

funções utilizadas para fitar o comportamento de c3 e c4 podem ser observados em 4.1b e

4.1c respectivamente.

61

c1 = 1.97238 (4.1a)

c3 = 5.76841+7.91351atan[0.356272(3.21869+B)] (4.1b)

c4 = 4.52859×106 atan[20969.4(2.99968+B)] − 7.11342×106 (4.1c)

As figuras 4.13, 4.14 e 4.15 representam o confronto entre a curva de estabilidade mar-

ginal para B = 1, a curva crítica em função de Q e a curva crítica em função de B e suas

respectivas aproximações analíticas obtidas através da correlação, sendo a aproximação re-

presentada pela curva tracejada.

■

■

■

■■■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

■■■■■■◆

◆

◆◆◆◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆

▲

▲

▲▲▲▲▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲

Q = 0■ Q = 100

◆ Q = 101

▲ Q = 103

0 1 2 3 4 5 6 70

10

20

30

40

50

60

kr

R

Figura 4.13: Curvas Marginais Numéricas e Analíticas Aproximadas para B = 1

É possível observar que o erro relativo entre as curvas críticas obtidas numericamente e

aquelas obtidas através da correlação aproximada é baixo, estando sempre abaixo de 10%

exceto por aquele relativo à Q = 0. As figuras 4.16 e 4.17 representam as curvas dos valores

críticos em função de B e Q respectivamente.

62

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B = 10-1

■ B = 100

◆ B = 101

▲ B = 102

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

Q

Rc

Figura 4.14: Curvas dos Valores Críticos em Função de Q Numérica e Analítica Aproximada

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Q = 1

■ Q = 2

◆ Q = 5

▲ Q = 10

▼ Q = 200

10-3 10-2 0.1 1 10 1000

5

10

15

20

25

30

B

Rc

Figura 4.15: Curvas dos Valores Críticos em Função de B Numérica e Analítica Aproximada

63

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Q = 0■ Q = 1◆ Q = 5▲ Q = 10▼ Q = 100

10-3 10-2 0.1 1 10 100 1000

10-3

10-2

10-1

B

ΔRc

Rc

Figura 4.16: Erro Relativo Entre Resultados Numéricos e Aproximação Analítica para Pon-tos Críticos em Função de B

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B = 10-1

■ B = 100

◆ B = 101

▲ B = 1010

0 5 10 15 20 25 3010-4

10-3

10-2

10-1

Q

ΔRc

Rc

Figura 4.17: Erro Relativo Entre Resultados Numéricos e Aproximação Analítica para Pon-tos Críticos em Função de Q

64

4.5 ISOLINHAS DE FUNÇÃO CORRENTE E TEMPERATURA

Nesta seção serão apresentados os resultados das isolinhas da função corrente e da tem-

peratura confrontando-se ambos os casos, considerando B = 10−4, ou seja o caso em que

a troca de calor por convecção tende ao isolamento. É possível observar que os resultados

entre os casos são substancialmente distintos, apesar de se ter em conta que a solução base

para ambos os casos eram também distintas. Para o caso 1 foram consideradas as soluções

longitudinais por terem sido verificadas como sendo as mais instáveis para tal problema. O

valor de Pe escolhido foi Pe = 12 para o caso 1, já que a solução do caso 2 é independente

de Pe. Para ambos os casos foram considerados os mesmos número de onda k e os mesmos

valores de Q. No caso foi considerado k = 5 e Q = 0,100,200.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.18: Isolinhas Função Corrente Caso 1 Pe = 12, Q = 0

65

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.19: Isolinhas Temperatura Caso 1 Pe = 12, Q = 0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.20: Isolinhas Função Corrente Caso 1 Pe = 12, Q = 100

66

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.21: Isolinhas Temperatura Caso 1 Pe = 12, Q = 100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.22: Isolinhas Função Corrente Caso 1 Pe = 12, Q = 200

67

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.23: Isolinhas Temperatura Caso 1 Pe = 12, Q = 200

68

As figuras de 4.18 a 4.23 representam as isolinhas para função corrente e temperatura,

alternadamente, para o caso 1 para Q = 0,100,200. Já as figuras de 4.24 a 4.29 representam

as isolinhas de função corrente e temperatura para o caso 2 para os mesmos valores de Q.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.24: Isolinhas Função Corrente Caso 2 Q = 0

69

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.25: Isolinhas Temperatura Caso 2 Q = 0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.26: Isolinhas Função Corrente Caso 2 Q = 100

70

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.27: Isolinhas Temperatura Caso 2 Q = 100

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.28: Isolinhas Função Corrente Caso 2 Q = 200

71

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

z

Figura 4.29: Isolinhas Temperatura Caso 2 Q = 200

72

5 CONCLUSÃO

O ínicio das instabilidades convectivas de duas configurações semelhantes do problema

de Darcy-Bènard foi estudado. Os casos considerados foram de escoamentos em um canal

poroso, aquecido por baixo e com uma fonte de geração de energia interna, com a diferença

que em um caso a parede superior foi considerada termicamente isolada e no outro foi con-

siderada a troca de calor por convecção na parede superior. Os resultados foram obtidos

numericamente, sendo que no primeiro caso foi possível obter uma solução analítica con-

siderando o caso assintótico em que o número de onda tende a zero, e no segundo caso foi

possível chegar a uma correlação empírica para a solução do problema de estabilidade, en-

volvendo os parâmetros de controle do problema e o número de onda das perturbações. Além

disso os resultados foram confrontados qualitativamente, dado que o caso em que considera-

se a troca de calor por convecção tende ao caso isolado à medida que a troca por convecção

se torna suficientemente pequena. Os principais objetivos foram de obter as combinações

de parâmetros sob as quais é induzido o início de um escoamento secundário em ambos os

casos. As principais conclusões alcançadas podem ser resumidas em:

• No caso 1 todos os parâmetros de controle influenciam a transição para a instabili-

dade, sendo que Q tem o papel de estabilizar o problema enquanto Pe tem o papel de

desestabilizar

• Já no caso 2 Q tem o papel de desestabilizar o problema, enquanto B tem o papel

de estabilizar o sistema. O que pode ser facilmente compreendido a um primeiro

momento visto que Q adiciona energia no sistema, enquanto B tem o papel de retirar

energia do mesmo. A diferença do papel de Q entre o primeiro caso e o segundo pode

ser explicada pela diferença entre as soluções base.

• No caso 1 os modos longitudinais são os mais instáveis, enquanto no caso 2 os modos

73

são igualmente instáveis.

• Até onde se sabe o uso do princípio de troca de estabilidades, a fim de se obter uma

correlação empírica para o comportamento de R crítico em função dos parâmetros de

controle, se deu pela primeira vez nesse trabalho. E apresentou um desvio em relação

ao resultado numérico sempre menor que 10% exceto para o erro em Q = 0.

• O caso limite em que B → 0 no segundo caso apresenta uma descontinuidade dado que

a solução base do mesmo explode. Este fato foi verificado ao se comparar essa condi-

ção limite e o caso 1, que representa justamente o caso físico em que B = 0. Ambos

os casos apresentam soluções base diferentes devido também à essa descontinuidade,

porém os resultados qualitativamente divergem significativamente.

• Dado que é fisicamente impossível obter um isolamento térmico perfeito (B = 0), os

resultados do segundo caso aqui analisado se mostram ainda mais importantes, visto

que devem coincidir ainda mais com a realidade.

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