Embed Size (px)
Citation preview
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO TECNOLÓGICO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
William Maximino da Silva Pessoa
Análise da Distribuição Vetorial de Corrente em Sistemas de Aterramento
Belém
2007
ii
Análise da Distribuição Vetorial de Corrente em Sistemas de Aterramento.
Este Trabalho foi julgado em ___ /___ /2007, adequado para obtenção do Grau de
Engenheiro Eletricista, e aprovado na sua forma final pela banca examinadora que
atribuiu o conceito__________________.
_____________________________________________
Prof. Dr. Carlos Leonidas da S. S. Sobrinho
(Orientador)
_____________________________________________
MsC. Rodrigo Melo da Silva e Oliveira
(Co-orientador)
_____________________________________________
MsC. Emanuel dos Santos Souza Júnior
(Membro da banca examinadora)
_____________________________________________
Prof. Dr. Orlando Fonseca Silva
(Coordenador do Curso de Engenharia Elétrica)
iii
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO TECNOLÓGICO
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
William Maximino da Silva Pessoa
Análise da Distribuição Vetorial de Corrente em Sistemas de Aterramento
TRABALHO SUBMETIDO AO COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA
Belém
2007
iv
Aos meus pais, William e Carmem e
minha irmã Walquiria, por me apoiarem em
todos os momentos de minha vida.
v
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer primeiramente a Deus por toda a força e disposição que
ele depositou em mim, e por nas horas mais difíceis da minha vida ser sempre uma
presença constante. Gostaria muito de agradecer ao meu orientador Prof. Dr. Carlos
Leonidas da S. S. Sobrinho pelo apoio e paciência que sempre teve comigo, sempre
me ajudando e dando suporte quanto as minhas limitações.
Também tenho muito que agradecer a família Lane (Laboratório de Análise
Numérica em Eletromagnetismo), em especial aos amigos Rodrigo, Yuri, Humberto,
Tiago, Denílson e Mota. E ao grande amigo Tiago Blanco por toda força para a
concretização deste trabalho.
E não poderia esquecer nunca de agradecer aos meus extraordinários pais
William e Carmem juntamente com minha irmã Walquiria pela força e compreensão em
todos estes anos, apoiando-me em todos os sentidos e nunca deixando faltar nada.
Agradecer também pelo apoio da minha namorada Vanessa.
Enfim aqui fica registrado o meu muito obrigado para as pessoas que
contribuíram de maneira direta e indireta para a realização deste trabalho.
vi
“É melhor arriscar coisas grandiosas, alcançar triunfos
e glórias, mesmo expondo-se a derrota, do que formar fila
com os pobres de espírito que nem gozam muito nem sofrem
muito, porque vivem nessa penumbra cinzenta que não
conhece VITÓRIA nem derrota ”
Franklin Delano Roosevelt
vii
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
LISTA DE SÍMBOLOS
1 INTRODUÇÃO......................................................................................................18
1.1 Referências Bibliográficas..............................................................................21
2 SISTEMA DE ATERRAMENTO...........................................................................22
2.1 Conceitos sobre sistemas de aterramento.....................................................22
2.1.1 Resistividade do solo........................................................................22
2.1.2 Resistência de aterramento..............................................................28
2.1.3 Método de medição da resistência de aterramento..........................36
2.1.3.1 Método da queda do potencial............................................36
2.1.4 Método de medição de resistividade do solo....................................38
2.1.4.1 Medição por amostragem....................................................38
2.1.4.2 Medição pelo método de Wenner........................................39
2.1.5 Conceitos básicos de segurança em aterramento............................40
2.1.5.1 Efeito da corrente no organismo humano...........................41
2.1.5.2 Potencial de passo e de toque............................................42
viii
2.1.5.3 Resistência do corpo humano.............................................44
2.2 Referências Bibliográficas..............................................................................46
3 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO E MODELAGEM DO PROBLEMA................47
3.1 Método FDTD.................................................................................................47
3.1.1 A célula de Yee.................................................................................47
3.1.2 Dimensões da célula, estabilidade e precisão..................................52
3.1.3 As técnicas de representação de fios finos.......................................52
3.1.4 A Truncagem do Método FDTD por UPML.......................................53
3.2 Processamento Paralelo.................................................................................59
3.3 Referências Bibliográficas..............................................................................62
4 RESULTADOS.....................................................................................................64
4.1 Análises da Distribuição de Corrente em Sistemas de Aterramento..............64
4.2 Simulações utilizando duas camadas.............................................................64
4.2.1 Simulações com resistividades variando de forma crescente..........64
4.2.2 Simulações com resistividades variando de forma decrescente......70
4.3 Simulações utilizando três camadas...............................................................74
4.3.1 Simulações com resistividades variando de forma crescente..........74
4.2.2 Simulações com resistividades variando de forma decrescente......81
4.4 Simulações utilizando apenas uma haste, o modelo fractal e o modelo
fractal com a segunda ramificação............................................................88
4.4.1 Simulação com uma haste................................................................88
4.4.2 Simulação utilizando modelo fractal..................................................91
ix
4.4.3 Simulação utilizando o modelo fractal com a segunda
ramificação.................................................................................................94
4.5 Simulação utilizando uma malha de terra e o modelo guarda chuva.............98
4.5.1 Simulação com a malha de terra......................................................98
4.5.2 Simulação com o modelo guarda chuva.........................................101
4.6 Referências Bibliográficas............................................................................105
5 CONCLUSÃO.....................................................................................................106
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................108
x
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – ρ x Umidade Percentual Solo Arenoso.......................................................24
Figura 2.2 – Comportamento da resistividade da água em função da temperatura.....26
Figura 2.3 – Representação do solo estratificado em quatro camadas onde a última camada é considerada infinita.........................................................................................28 Figura 2.4 – Linhas de Correntes Elétricas....................................................................29
Figura 2.5 – Fonte de Corrente I no interior da terra......................................................30
Figura 2.6 – Ponto Imagem............................................................................................31
Figura 2.7 – Haste de aterramento posicionada na origem...........................................32
Figura 2.8 – Esquema de medição da resistência da terra............................................37
Figura 2.9 – Perfil da resistência no método da queda de potencial..............................37
Figura 2.10 – Medição da resistividade em laboratório utilizado em cuba.....................38
Figura 2.11 – Arranjo para medição da resistividade utilizando método de Wenner.....39
Figura 2.12 – Tensão de passo (a) e tensão de toque (b) em estrutura aterrada..........43
Figura 3.1 – (a) Posição das componentes dos campos elétrico e magnético, (b) Célula no interior de uma malha 3-D..........................................................................................48 Figura 3.2 – Célula de Yee com componentes dos campos elétricos e magnéticos no instante n.........................................................................................................................49 Figura 3.3 – Plano paralelo ao plano x-y........................................................................49
Figura 3.4 – Modelo Geral, no plano x-y, do domínio numérico de um problema aberto..............................................................................................................................53
xi
Figura 3.5 – Modelo de problema de eletromagnético aberto em 2-D, fechado artificialmente pela UPML................................................................................................54 Figura 3.6 – Distribuição do problema em tarefas menores, entre vários processadores.................................................................................................................59 Figura 3.7 – Tempos de processamento de 1 a 4 processadores para o problema da malha Guarda Chuva......................................................................................................61 Figura 4.1 – Solo estratificado em duas camadas..........................................................65
Figura 4.2 – Solo estratificado em três camadas...........................................................65
Figura 4.3 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.1...........................................................................67 Figura 4.4 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.1...........................................................................69 Figura 4.5 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.1...........................................................................71 Figura 4.6 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.1...........................................................................73 Figura 4.7 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.2...........................................................................76 Figura 4.8 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.2...........................................................................78 Figura 4.9 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.2...........................................................................80 Figura 4.10 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.2...........................................................................82 Figura 4.11 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.2...........................................................................84
xii
Figura 4.12 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.2...........................................................................86 Figura 4.13 – Solo homogêneo com uma haste.............................................................88
Figura 4.14 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Distribuição de potencial na superfície do solo (d) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.13........................................................................................................................91 Figura 4.15 – (a) Modelo Fractal (b) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (c) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (d) Distribuição de potencial na superfície do solo (e) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção.............................................................................................................................94 Figura 4.16 – (a) Modelo Fractal com a segunda ramificação (b) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (c) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (d) Distribuição de potencial na superfície do solo (e) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção......................................................................................97 Figura 4.17 – (a) Malha 5x5 visão x-z (b) Malha 5x5 visão x-y......................................98
Figura 4.18 – (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Distribuição de potencial na superfície do solo (d) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção, referente à figura 4.17......................................................................................................................101 Figura 4.19 – (a) Representação do modelo guarda chuva em 3D (b) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (c) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (d) Distribuição de potencial na superfície do solo (e) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção......................................................104
xiii
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Faixa de valores usuais de resistividade de certos tipos de solos.............23
Tabela 2.2 – Influência da concentração de sais na resistividade do solo.....................25
Tabela 2.3 – Valores típicos de resistividade para diferentes períodos geológicos.......27
Tabela 2.4 – Expressões para a relação tensão corrente considerando-se configuração típica de eletrodos de aterramento..................................................................................35 Tabela 2.5 – Resistência do corpo humano com a tensão.............................................44
xiv
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABC Condição de Fronteira Absorvente (Absorbing Bondary Condition)
FDTD Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (Finite Diference Time
Domain)
LANE SAGS Software de Análise e Síntese de Sistemas de Aterramento
PEC Condutor Elétrico Perfeito (Perfect Eletrica Conductor)
UPML Camada Uniaxial Perfeitamente Casada (Uniaxial Perfectly
Matched Layers)
TGR Resistência de terra transitória (Transient Grouding Resistance)
IEEE Instituto de Engenheiros Eletricista e Eletrônicos (Institute of
Electrical and Electronics Engineers)
xv
LISTA DE SÍMBOLOS
Hr
Vetor intensidade de campo magnético [A/m]
Er
Vetor intensidade de campo elétrico [V/m]
Jr
Vetor densidade de corrente elétrica μ Permeabilidade magnética [H/m]
rμ Permeabilidade relativa [H/m] ε Permissividade elétrica [F/m]
rε Permissividade elétrica relativa σ Condutividade elétrica [S] t Tempo [s]
x, y e z Coordenadas do sistema cartesiano
xH , yH e zH Componentes do campo magnético
xE , yE e zE Componentes do campo elétrico
(i, j, k) Endereçamento no espaço discretizado n Índice Temporal
xΔ , yΔ e zΔ Incrementos espaciais [m]
tΔ Incremento temporal [s]
vρ Densidade volumétrica de carga [C/m³]
maxI Corrente de pico da fonte de excitação [A]
fT Tempo de frente de onda do pulso de excitação [µs]
tT Tempo de calda do pulso de excitação [µs]
minλ Menor Comprimento de onda correspondente a maior
freqüência significativa do sinal considerado
maxV Velocidade da luz no vácuo [m/s]
zyx SSS ,, Elementos componentes do tensor diagonal S
zyx KKK ,, Parte real não unitária na expressão do tensor diagonal
xvi
maxxσ Condutividade máxima na equação da UPML
optxσ Condutividade ótima na equação da UPML
d Espessura da UPML
Freqüência
maxU Tensão Máxima
f
η Fator de correção de amplitude
K Constante de proporcionalidade
pJ Densidade de corrente no ponto P
pV Potencial no ponto P ar, Raio da haste de aterramento
cI Valor rms de corrente permitida através do corpo humano em Ampères
st Tempo de exposição ou duração da falta em segundos
cS Constante empírica relacionada com a tolerância ao choque elétrico
para um certo percentual da população
passoV Tensão de passo
toqueV Tensão de toque
oE Gradiente de ionização do solo
fT Tempo de frente de onda
tT Tempo de cauda de onda
xvii
RESUMO
No presente trabalho são apresentadas análises da distribuição vetorial de corrente no solo visando à otimização de sistemas de aterramento. É mostrado que a corrente na superfície do solo é responsável pelo perfil do potencial na superfície do solo. Tal aspecto envolve a segurança de pessoas. Assim, uma nova estrutura é proposta para direcionar a corrente para dentro do solo e reduzir os riscos propiciados pelo potencial na superfície do solo. Para a análise das estruturas consideradas, foi desenvolvido um software em ambiente paralelo no qual as equações de Maxwell são resolvidas numericamente através do método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (método FDTD - 3D) associado à truncagem do domínio de análise pela técnica UPML e à técnica de fio fino desenvolvida por Baba et Al.
Palavras chave – Aterramento elétrico, distribuição de corrente, potencial de passo, modelo da malha de Terra, modelo guarda chuva.
18
CAPÍTULO 1
Introdução
Com o passar dos anos os quesitos qualidade e segurança se tornaram fatores
indispensáveis em qualquer que seja o empreendimento, de forma a garantir uma boa
reputação das empresas prestadoras de serviço. Partindo deste princípio, um
dimensionamento adequado do aterramento elétrico é de fundamental importância,
tanto na construção de prédios, quanto para as concessionárias de energia elétrica, de
forma a oferecer estabilidade aos sistemas conectados ao mesmo, e principalmente,
oferecer segurança pessoal. Embora aparentemente simples, os sistemas de proteção
devem levar em consideração muitas variáveis, com o objetivo de garantir a
continuidade do funcionamento dos sistemas onde são empregados, assim como a
proteção à vida humana. O aterramento consiste fundamentalmente de uma estrutura
condutora, que é enterrada propositadamente ou que já se encontra enterrada, e que
garante um bom contato elétrico com a terra, chamada eletrodo de aterramento, e a
ligação desta estrutura condutora aos elementos condutores da instalação elétrica
responsáveis pela proteção do sistema elétrico.
As diversas técnicas da análise de problemas de eletromagnetismo podem ser
classificadas em três categorias: analíticas, experimentais e numéricas. Os métodos
analíticos nos fornecem resultados exatos e também facilitam a observação do
comportamento das soluções em função da variação dos parâmetros do problema,
contudo, normalmente só são possíveis apenas para problemas com configurações
mais simples. Os métodos experimentais são ensaios laboratoriais, caros, muito
demorados, pouco flexíveis na avaliação dos efeitos da variação de parâmetros, e os
métodos numéricos que são aplicáveis a problemas simples e complexos, que podem
ou não serem resolvidos através de métodos analíticos, ou que se tornam
financeiramente custosos por meio de técnicas experimentais.
Com o avanço da computação eletrônica digital, vários algoritmos foram escritos
para a análise de tensões de toque e de passo gerada por correntes em malhas de
terra. As diversas técnicas de análise de problemas de eletromagnetismo podem ser
19
classificadas em três categorias: analíticas [1], experimentais [2] e numéricas [3,4,5]. Os
métodos analíticos nos fornecem resultados exatos e também facilitam a observação do
comportamento das soluções em função da variação dos parâmetros do problema,
contudo, normalmente são aplicáveis apenas em problemas de simples configuração.
Os métodos experimentais são ensaios geralmente dispendiosos, muito demorados, e
pouco flexíveis na avaliação dos efeitos da variação de parâmetros. Por outro lado, os
métodos numéricos são aplicáveis tanto em problemas simples como em complexos,
permitindo análises criteriosas desde o transitório até o estado de regime estacionário
dos resultados. Nesse contexto, a análise da propagação da onda eletromagnética
através do método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) é de grande
aplicabilidade. Esse método formulado por Kane Yee [6], em 1966, apresenta-se como
uma técnica eficaz na solução de problemas complexos de interações de ondas
eletromagnéticas com meios materiais e tem sua aplicação expandindo-se em áreas
diversas do conhecimento à medida que o custo computacional inerente decresce. Tal
método associado à técnica de truncagem UPML (Uniaxial Perfectly Matched Layers)
[7] e ao processamento paralelo [8], apresenta-se como uma poderosa ferramenta na
solução das equações de Maxwell, usada nos mais diversos problemas de
compatibilidade eletromagnética, e ainda, com baixo tempo de processamento. A troca
de dados se deu através da placa mãe utilizando a biblioteca LAM/MPI [9].
Desta forma, o ambiente computacional desenvolvido [10] é usado no projeto de
sistemas de aterramento capazes de promover a visualização da distribuição de
corrente no solo. Para este fim, são apresentados alguns casos que envolvem
simulações em um solo estratificado, utilizando resistividades crescentes e
decrescentes, e ainda, a análise da distribuição de corrente na malha de terra, e no
modelo guarda-chuva [11]. Os resultados obtidos serão então usados para o
desenvolvimento de novos sistemas de aterramento, os quais deverão propiciar a
transferência de energia elétrica para a terra de forma a reduzir os transitórios e os
potenciais de passo e de toque. O ambiente computacional (LANE SAGS) desenvolvido
no Laboratório de Análise Numérica em Eletromagnetismo (LANE) [12] é usado neste
projeto, o qual foi adaptado para permitir a visualização da distribuição de corrente no
solo. O LANE SAGS foi desenvolvido em linguagem de programação C. O mesmo
20
destina-se, principalmente, a análise de problemas de compatibilidade eletromagnética,
sem a necessidade de conhecimentos profundos dos métodos utilizados (FDTD –
Diferenças Finitas no Domínio do Tempo, Condições de contorno absorventes e
Técnica de Fio Fino).
O texto deste trabalho está organizado da seguinte maneira:
• Capítulo 2 – traz uma abordagem sucinta dos sistemas de aterramento;
• Capítulo 3 – traz a abordagem teórica relacionada ao método FDTD, às
condições de fronteira absorvente, às fontes e a como as implementações
computacionais foram feitas;
• Capítulo 4 – Trata dos resultados obtidos nas simulações envolvendo
vários arranjos em sistemas de aterramento;
• Capítulo 5 – São apresentadas as conclusões e propostas para trabalhos
futuros.
21
1.1 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] L. Greev; F. Dawalibi, “An electromagnetic model for transients in grounding systems,” IEEE Trans. On Power Delivery, vol. 5, no. 4, pp. 1773-1781, November 1990. [2] K. Tanabe, "Novel method for analyzing the transient behavior of grounding systems based on the finite-difference time-domain method," CRIEPI Report -Tokio, 2001. [3] A. P. Sakis Meliopoulos, F. Xia, E. B. Joy and G. J Cokkinides, “An Advanced Computer Model for Grounding System Analysis,” IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 8, nº 1, 1993. .
[4] C. S. Desai; J. F. Abel, “Introduction to the Finite Element Method: A Numerical Approach for Engineering Analysis,” New York: Van Nostrand Reinhold. 1972.A. Taflove, “Advances in Computational Electromagnetics – The Finite-Difference Time-Domain Method,” Artech House, Boston-London, 1998. [5] A. Taflove, “Advances in Computational Electromagnetics – The Finite-Difference 3,, Time-Domain Method,” Artech House, Boston-London, 1998. [6] Yee, K. S., “Numerical Techniques in Electromagnetics,” CRC press.
[7] J. F. Almeida, R. O. dos Santos, and C. L. da S. S. Sobrinho, "Computational technique to UPML absorbing boundary conditions by FDTD: A complete approach," IEEE Latin America Transactions, vol. 3, no. 5, pp. 377382, Dec. 2005. [8] Johnny Marcus Gomes Rocha. CLUSTER BEOWULF: Aspectos de Projeto e Implementacao. 2003. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica, Centro Tecnológico, Universidade Federal do Pará, Belém. [9] www.lam-mpi.org
[10] Tuma, E. T. ; Oliveira, R. M. S. de ; Sobrinho, Carlos Leonidas da S. S., "New Model of Current Impulse Injection and Potencial Measurement in Transient Analysis of Grounding Systems in Homogeneous and stratified Soils Using The FDTD Method," In: VIII International Symposium on Lightning Protection, 2005, São Paulo. VIII InternationalSymposium on Lightning Protection, 2005.
[11] Araújo, H. X. de Oliveira, R.M.S de; Salame, Y. C.; Carlos Leonidas da S. S., "Novel Grounding Structures for reducing step potentials" In: XXVIII Iberian Latin American Congress On Computational Methods In Engineering, 2006, Belém-PA. [12] www.lane.ufpa.br
22
CAPÍTULO 2
Sistema de Aterramentos
2.1 Conceitos sobre sistemas de aterramento
O presente capítulo irá abordar tópicos relevantes em sistemas de aterramento.
Os quais fazem com que o sistema de energia elétrica opere corretamente, com uma
adequada continuidade de serviço e com um desempenho seguro do sistema de
proteção. Equipamentos modernos e sistemas que utilizam dispositivos eletrônicos
sensíveis estão cada vez mais aperfeiçoados e presentes no cotidiano das pessoas.
Portanto em muitos casos um dano ou uma pequena falha de funcionamento
comprometem sobre maneira o fabricante. Por isso, a gama de fenômenos elétricos
existentes torna crítico o funcionamento dos equipamentos, o qual depende das
características do solo, e a partir daí surge à necessidade de um aprofundamento, cada
vez maior, das pesquisas em sistemas de aterramento. Esse cuidado deve ser
repetidamente observado na elaboração de projetos específicos, nos quais, com base
em dados disponíveis e parâmetros pré-fixados, sejam consideradas todas as possíveis
condições a que um sistema possa ser submetido.
2.1.1 Resistividade do solo
Informação de suma importância para a inicialização de um projeto de
aterramento recai exatamente nas características do solo. Entre as características mais
importantes se destaca a resistividade, onde os principais fatores que a determinam
são:
23
• tipo de solo;
• umidade do solo;
• concentração e tipos de sais dissolvidos na água;
• compactação e pressão;
• granulometria do solo;
• temperatura do solo;
• estratificação do solo;
a) Tipo de solo
Os solos de uma maneira geral não são homogêneos, o que implica na
impossibilidade de atribuir-lhe um valor específico de resistividade. Além disso, são
encontrados diferentes valores de resistividades para tipos diferentes de solos. Para
caracterizar esta questão a Tabela 2.1 mostra faixas de valores característicos para os
diferentes tipos de solos, nas suas condições usuais de umidade.
TIPO DE SOLO RESISTIVIDADE Lama 5 a 100
Húmus 10 a 150
Limo 20 a 100
Argilas 80 a 330
Terra de jardim 140 a 480
Calcário fissurado 500 a 1000
Calcário compacto 1000 a 5000
Granito 1500 a 10000
Areia comum 3000 a 8000
Basalto 10000 a 20000
Tabela 2.1 – Faixa de valores usuais de resistividade de certos tipos de solo [1,2]
24
b) Umidade do solo
A umidade é um fator de estrita relevância para o solo, pois a condutividade do
solo é sensivelmente afetada pela quantidade de água nele contida, pelo fato da
corrente elétrica no solo ser decorrente de uma solução eletrolítica, observando que o
aumento da umidade do solo implicará na redução de sua resistividade.
0
ρ
umidade
Figura 2.1 – ρ x Umidade Percentual Solo Arenoso
A quantidade de água presente no solo é variável com uma série de fatores, tais
como clima, época do ano, temperatura, natureza do solo, existência de lençóis
subterrâneos, dentre outros. A Figura 2.1 mostra a variação da resistividade com o teor
de umidade [1].
c) Concentração e tipos de sais dissolvidos na água
Vimos no item ‘b’ que a água é um fator determinante para o conhecimento da
resistividade de cada solo, e os sais dissolvidos na própria são de considerável
influência para a determinação da mesma. É importante ressaltar que, a resistividade
da água pura, é quase infinita, ou seja, a água seria um isolante perfeito caso não
contivesse sais, pois através da ionização, permite a condução de corrente elétrica. A
Tabela 2.2 mostra a relação entre a quantidade de sal adicionado a um solo arenoso,
com umidade 15% (percentual em peso) e temperatura de 17º C, e sua resistividade
25
[1,2]. A partir da mesma tabela podemos verificar uma diferença de mais de 100 Ω.m
com o acréscimo de 20% de sal, provando que o mesmo é válido como um bom redutor
de resistividade.
SAL ADICIONADO RESISTIVIDADE (Ω.m) (% em peso) solo arenoso
0.0 107
0.1 18
1.0 1.6
5.0 1.9
10.0 1.3
20.0 1.0
Tabela 2.2 – Influência da concentração de sais na resistividade do solo
d) Influência da temperatura
A temperatura influencia a resistividade do solo com notabilidade. Ressaltando-
se que a resistividade da água possui um comportamento irregular com a variação da
temperatura. Para evidenciar tal fato, na Figura 2.2 temos a influência da temperatura
na resistividade da água. No ponto de temperatura 0º C (água fase liquida), a curva
sofre uma descontinuidade, aumentando o valor da resistividade no ponto 0º C (fase
sólida). Com um aumento na temperatura há uma menor mobilidade dos portadores de
carga, tornando o solo mais seco, e por conseqüência, aumenta sua resistividade.
Já no outro extremo, com temperaturas próximas a 100º C, o estado de
vaporização deixa o solo mais seco, com formação de bolhas internas, dificultando a
condução de corrente, e como conseqüência têm-se a elevação do valor da
resistividade.
26
'
gelo
água
-40 -30 -20 -10 4 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
ρ
Temperatura ºC
Figura 2.2 – Comportamento da resistividade da água em função da temperatura
e) Compacidade do solo
Um solo mais compacto apresenta uma maior continuidade física, o que resulta
num menor valor de resistividade. Para a realização de medições da resistência de
terra, com a introdução de um sistema de aterramento, onde normalmente se utilizam
de escavações para a inserção de eletrodos e cabos de interligação, é prática comum à
espera de certo tempo para a acomodação do solo, no sentido de se obter maior
compacidade. Um aumento de pressão sobre o solo deixa-o mais compacto, tornando o
mesmo com menor resistividade. Por exemplo: a brita, material de pouca compacidade,
é um material bastante usado na prática para isolamento elétrico em ambientes de
subestações de energia elétrica.
f) Granulometria do solo
A presença de grãos de diversos tamanhos na composição do solo influencia no
valor da resistividade. A presença de material dotado de maior granulometri tende a
aumentar a resistividade em decorrência da menor capacidade de retenção de água no
solo, deixando-a fluir para camadas mais profundas ou evaporar-se, observando
também um menor contato entre os grãos resultando em menor condutividade elétrica.
A existência de grãos de tamanhos variados tende a diminuir a resistividade, pois os
27
menores preenchem os vazios existentes entre os grãos maiores, ocasionando uma
maior continuidade da massa do solo e maior capacidade de retenção de sua umidade.
g) Estratificação do solo
Os solos normalmente não são homogêneos, mas formados por diversas
camadas com resistividades e profundidades diferentes. Essas camadas, devido à
formação geológica, são em geral horizontais e paralelas à superfície do solo.
Parece lógica a existência de uma correlação entre a resistividade do solo e sua
estrutura geológica, quando são considerados os processos naturais de formação da
crosta terrestre e a natureza dos materiais que a compõem. A Tabela 2.3 mostra as
faixas de valores de resistividade correspondentes a formações predominantes em
determinados períodos geológicos [3,4].
PERÍODO RESISTIVIDADE (Ω.m)
Pré-cambriano e combinações de Pré-cambriano 1.000 a 10.000 e Cambriano
Combinações de Cambriano e Ordovociano 100 a 1.000
Ordoviciano, Devoniano e combinação destes 50 a 600
Carbonífero, Trifássico e combinações do Carbonífero 10 a 300 com períodos mais recentes
Cretáceo, Terciário, Quaternário e combinação 2 a 30 destes períodos
Tabela 2.3 – Valores típicos de resistividade para diferentes períodos geológicos
Existem dois métodos principais para medição de resistividade elétrica para fins
de aterramento elétrico: o método de Wenner, bastante utilizado no Brasil, e o método
de Schlumberger, mais utilizado nos Estados Unidos. Conforme mostra a Figura 2.3, a
terra é modelada como sendo composta de diversas camadas de solo as quais têm
características elétricas diferentes.
28
2,2
2,3
2,3
2,3
1ª camada
2ª camada
3ª camada
4ª camada
h1
h2
h3
ε1,σ1,μ1
ε2,σ2,μ2
ε3,σ3,μ3
ε ,σ ,μ
h∞∞
∞ ∞ ∞
Figura 2.3 – Representação do solo estratificado em quatro camadas onde a última camada é considerada infinita Observa-se nesta figura, um exemplo de solo estratificado em quatro camadas,
sendo a última camada de espessura considerada infinita. Em muitos casos a
representação do solo é feito em modelo de duas camadas para efeito de projetos.
2.1.2 Resistência de aterramento Em geral para efetuar-se uma correta medição, é necessário o conhecimento das
características da mesma, com o propósito de evitar interpretações erradas quanto ao
significado dos resultados da medição.
Uma conexão à terra apresenta resistência, capacitância e indutância, cada qual
influindo na capacidade de condução de corrente para o solo. Por isso é importante
ressaltar, que a princípio, não se deve pensar apenas numa resistência de aterramento,
mas numa impedância. Na literatura especializada encontram-se várias fórmulas para
cálculo da resistência de aterramento. Os eletrodos de aterramento mais comuns são
as hastes e os cabos de aterramento.
O potencial em um ponto p imerso em um solo infinito e homogêneo, localizado a
uma distância r de uma fonte pontual de corrente (ponto c), da qual emana uma
corrente elétrica I, conforme indica a Figura 2.4, pode ser obtido partindo-se do campo
elétrico Ep, no ponto P [5], como segue,
29
Figura 2.4 – Linhas de Correntes Elétricas O campo elétrico Ep no ponto p é dado pela lei de Ohm local, abaixo:
pp JE ρ= (2.1)
onde pJ é a densidade de corrente no ponto p.
A densidade de corrente observada sobre a superfície de uma esfera fictícia de
raio r, com centro no ponto “c” é dada por
2pIJ 4 r=π (2.2)
Portanto, substituíndo a equação acima em (2.1) resulta
24 rIEp π
ρ= . (2.3)
Desta forma, o potencial no ponto p, em relação a um ponto no infinito é dado por:
30
rdEr
V pp .∫∞
= (2.4)
como pE e rd têm a mesma direção e o mesmo sentido, a equação (2.3) pode ser
substituída em (2.4), resultando,
rIVp π
ρ4
= (2.5)
Como a situação mostrada na figura 2.4 não encontra aplicação prática, logo a
seguir (Figura 2.5) temos uma situação real que pode ser encontrada quando a fonte
de corrente I é posicionada no interior da terra, considerada homogênea.
Figura 2.5 Fonte de corrente I no interior da terra
Neste caso, as linhas de correntes se comportam como se houvesse uma fonte
de corrente pontual simétrica em relação a superfície do solo. O que sugere a
substituição do sistema acima por um sistema equivalente. Onde o espaço todo é
considerado como tendo as mesmas características da terra. Como ilustra a Figura 2.6.
31
solor '
r
Superfície do solo
Figura 2.6 Ponto Imagem
O comportamento é idêntico a uma imagem real simétrica da fonte de corrente
pontual. Portanto para achar o potencial de um ponto p em relação ao infinito, basta
efetuar a superposição do efeito de cada fonte da corrente individualmente,
considerando todo o solo homogêneo, inclusive o da sua imagem. Portanto para
calcular o potencial do ponto p, basta usar 2 vezes a expressão 2.5.
'44 rI
rIVp π
ρπρ += (2.6)
32
Como I = I’, então:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +='
114 rr
IVp πρ
(2.7)
Para o caso de uma haste vertical de comprimento L e raio a, localizada no
interior da terra a partir da superfície da mesma, ao ser injetada uma corrente I, pode-
se considerar a densidade de corrente uniforme ao longo do comprimento da haste.
Desta forma, a figura 2.7 apresenta o sistema equivalente para esta haste, onde a
imagem –L está posicionada a partir da origem, ou seja, nas coordenadas x = 0, y = 0
e z = 0. Então, o problema em questão trata do cálculo, em um ponto afastado P0, do
potencial gerado por esta haste, conforme sugerido por Dwight [6].
Figura 2.7 Haste de aterramento posicionada na origem Para calcular o potencial da haste no ponto P0, pode-se considerar a fonte como
sendo constituída de várias fontes de corrente infinitesimais alinhadas ao longo de -L ≤
z ≥ L e produzir a somatória dessas contribuições (superposição).
Alterando os valores de r e r’ conforme a nova situação da haste centrada na
origem (método das imagens), tem-se:
33
∫⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++−+−+
−+−+−=
l
zzyxzzyxLI
pV0 2
02
02
02
02
02
0)()0()0(
1
)()0()0(
14πρ
(2.8)
Fazendo ,20
20
2 yxb += tem-se:
,)(
1)(
14 0 2
022
02
dzzzbzzbL
IpV
L∫
+++
−+=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
πρ
(2.9)
Após a integração (integral tabelada), encontra-se
.4
)( 000 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+=
bzL
arcsenhb
zLarcsenh
LIPVhaste π
ρ (2.10)
O primeiro termo representa a contribuição da imagem e o segundo a contribuição da
haste. Para se obter o valor da resistência da haste basta calcular o potencial médio na
superfície da haste e dividi-lo pelo valor da corrente. Como a distância entre a
superfície da haste e sua linha central é o raio da haste, faz-se b = a em (2.10) e
integra-se z0 de 0 até L, onde se obtém a seguinte equação para o potencial:
( )0
00
1 dzPhVL
VL
hm ∫= (2.11)
Após a integração e simplificação da equação acima, tem-se:
,22
122
2
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++−=La
La
aLarcsenh
LIV
hm πρ
(2.12)
Substituindo ( ),12 ++= xxlnarcsenh(x) obtém-se:
34
.22
12
112 22
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−++=
La
La
La
aLln
L2IVhm π
ρ (2.13)
Considerando que o valor de a é muito menor que o de L, os termos a/2L podem
ser desprezados. Após o que, a equação (2.13) é dividida pela corrente I e, o diâmetro
da haste d=2 é considerado. Desta forma, obtém-se a resistência da haste de
aterramento. A expressão (2.14) mostra a conhecida fórmula de Sunde [7].
.18ln2 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=dL
LRh π
ρ (2.14)
Dependendo da precisão que se deseja obter nos cálculos da resistência de
aterramento, existe uma fórmula, muito comum na literatura, dada por Tagg [1], a qual é
expressa como a seguir:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=aL
LRh
2ln2πρ
(2.15)
A interligação de hastes em paralelo diminui, sensivelmente, o valor da
resistência de aterramento. Para o cálculo da resistência de uma associação de hastes,
deve-se levar em conta o efeito das resistências mútuas entre as hastes. Este efeito é
devido à elevação do potencial de uma haste gerada pela corrente que flui em outra
haste, reduzindo a eficiência da associação.
Na Tabela 2.4 são apresentadas fórmulas para o cálculo da resistência de
aterramento de algumas configurações típicas de aterramento [8].
35
2a
L
2a
d
r
r
d
d
d
Eletrodo Tipo/Expressão
Eletrodo Vertical
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= 14ln2 a
LLTR
πρ
Eletrodo Horizontal
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++−+= ...224ln2ln2 L
ddL
aL
LTRπρ
Semi-esfera ao nível do solo
rTRπρ
2=
Esfera colocada a profundidade “d”
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=drTR
211ln
4πρ
Disco horizontal a profundidade “d”
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=drTR
211ln
4πρ
Disco vertical a profundidade “d”
rTRπρ
2=
Tabela 2.4 – Expressões para a relação tensão corrente considerando-se configurações
típicas de eletrodos de aterramento [8].
36
2.1.3 Método de medição da resistência de aterramento
Os métodos atuais utilizados com a finalidade de efetuar-se a correta medição
estabelecem que não exista qualquer medição indireta que substitua a medição direta da
resistência de aterramento utilizando técnica adequada. A quantificação da resistência de
um aterramento é realizada pela razão entre o potencial do sistema de aterramento em
relação a um ponto infinitamente afastado e a corrente que se faz fluir através do mesmo
sistema.
2.1.3.1 Método da queda de potencial
O método da queda de potencial é um modo de medida em linha. O aparelho a
ser utilizado para esta medição é denominado de Medidor de Resistência de Terra ou
simplesmente Terrômetro, conforme ilustrado na Figura 2.8. Instrumento que pode ser
provido de 3 ou 4 terminais onde, quando utilizamos 4 terminais, temos que curto
circuitar os terminais P1 e C1. A medição é feita conectando a malha de terra aos
terminais P1 e C1 do equipamento, o terminal C2 é conectado ao eletrodo auxiliar de
corrente e o terminal P2 é conectado ao eletrodo auxiliar de potencial. Na prática, o
eletrodo de corrente C2 deverá ser colocado a uma distância, do centro geométrico do
aterramento, com valor superior a 3 ou 4 vezes a maior dimensão linear do mesmo.
Costuma-se considerar uma distância inferior a 40 metros, para pequenos
aterramentos, e a 100 metros, para o caso de malhas mais extensas [9].
37
Vt
P , C1 1
P2 C 2
C
Figura 2.8 Esquema de medição da resistência de terra
Com a mudança da distância entre o eletrodo auxiliar de potencial ligado a P2 e o
eletrodo auxiliar de corrente ligado a C2 e proceder a medição de resistência em cada
ponto escolhido no percurso, será possível plotar uma curva do tipo mostrada na Figura
2.9.
0% 61.8% 100%
R
R( )
T
ΩΩ
Figura 2.9 Perfil da resistência no método da queda de potencial
38
2.1.4 Método de medição de resistividade do solo
Existem basicamente duas formas para a medição da resistividade do solo. A
principal delas é a medição por amostragem, onde os dados coletados são enviados
para laboratórios para a determinação da resistividade do solo. O outro método
existente é o da medição local com auxílio de aparelhos que injetam correntes em
regiões limitadas do solo, através de eletrodos adequadamente posicionados. Como
exemplo deste tipo de procedimento, será citado o método de Frank Wenner.
2.1.4.1 Medição por amostragem
Esse processo baseia-se na medição da resistência entre duas faces condutoras
de uma cuba de dimensões conhecidas, preenchida com amostra do solo. As laterais
da cuba deverão ser de material isolante, assegurando-se que toda a corrente do
ensaio circule pela amostra de solo, conforme mostrado na Figura 2.10.
Figura 2.10 Medição da resistividade em laboratório utilizando cuba
Vale lembrar que, neste caso, a lei de Ohm pode ser aplicada, como segue:
39
;IVRamostra = onde l
RA=ρ ; e AlR ρ= .
Contudo, este tipo de medição apresenta um grande inconveniente no referente
à incerteza de amostra apresentar no laboratório exatamente as mesmas
características que apresentava no local de origem, tais como: umidade, compacidade
e, principalmente, a fidelidade na composição do solo. Essas possíveis mudanças nas
características do solo original podem acarretar distorções da realidade. Este tipo de
medição se restringe a complementação das informações resultantes de medições
efetuadas em campo ou para fins específicos de pesquisa da resistividade média de
tipos de solo e materiais.
2.1.4.2 Medição pelo método de Wenner
O método de Wenner [8], costuma ser muito utilizado na engenharia para
obtenção da estratificação do solo. Para a sua implementação devem ser cravadas no
solo quatro hastes cilíndricas igualmente espaçadas e dispostas em linha, como
indicado na Figura 2.11. Neste método, o diâmetro das hastes não deve exceder um
décimo do espaçamento.
Terrômetro
C P PC1 1 2 2
a aa Psolo Figura 2.11 Arranjo para a medição de resistividade utilizando o método de Wenner
40
Pelos terminais das extremidades (C1 e C2), injeta-se corrente no solo. Esta
corrente, passando pelo solo, produz uma diferença de potencial entre as hastes
ligadas em P1 e P2. Então pelo método das imagens para contabilização do potencial
nos terminais P1 e P2, e dividindo este valor pela corrente circulante no solo e
explicitando a resistividade, chega-se á equação (2.16).
2222 )2()2(
2
)2(
21
4
pa
a
pa
aaR
+−
++
= πρ ].[ mΩ . (2.16)
Para um afastamento, entre as hastes, relativamente grande, a > 20p, a fórmula
(2.16) é aproximada por:
aRπρ 2= ].[ mΩ . (2.17)
Dependendo da importância do local de aterramento, e de suas dimensões, as
medidas deverão ser levantadas em várias direções objetivando obter-se informação
sobre a anisotropia do solo. Feitas as medições, uma análise dos resultados deve ser
realizada para que os mesmos possam ser avaliados quanto a aceitação ou não do
local para receber o sistema de aterramento que mais se adapta ao local analisado.
2.1.5 Conceitos básicos de segurança em aterramento
Fundamentalmente as aplicações dos Aterramentos Elétricos estão associadas a
dois fatores:
• o desempenho do sistema ao qual o aterramento está conectado; • as questões de segurança de seres vivos e de proteção de equipamentos.
41
No primeiro caso situam-se as questões associadas à forma pela qual o
comportamento do aterramento afeta o desempenho do sistema, como por exemplo, na
ocorrência de falha em uma ou várias fases para terra ou ainda a incidência de
descargas atmosféricas em linhas de transmissão, distribuição ou equipamentos de
subestações, originam elevada corrente de seqüência zero e intenso fluxo de corrente
de retorno, respectivamente.
Do ponto de vista da segurança de pessoas nas vizinhanças de um sistema
elétrico, os sistemas de aterramento e condutores de equalização utilizados no
ambiente protegido, têm por finalidade garantir que as mesmas não sejam expostas a
tensões acima da certos limites.
Outra situação bastante corriqueira refere-se aos riscos associados à
implantação de um aterramento destinado especificamente a assegurar um bom
desempenho para determinado sistema elétrico ou eletrônico (aterramento de serviço).
Embora a segurança não seja a primeira finalidade da instalação do aterramento,
também neste caso devem ser garantidas as condições de segurança, quando o
aterramento é solicitado pelo fluxo de correntes pelos seus eletrodos (por exemplo,
corrente de curto-circuito) e diferenças de potenciais são estabelecidas no solo.
2.1.5.1 Efeito da corrente no organismo humano
O sistema de aterramento é projetado de modo a produzir, durante o curto-
circuito máximo com a terra, uma distribuição no perfil dos potenciais de passo e toque
abaixo dos limites de risco de fibrilação ventricular no coração. Os efeitos da corrente
passando através das partes vitais do corpo humano, dependem do percurso da
corrente elétrica pelo corpo, intensidade da corrente, duração, freqüência, valor da
corrente, se a corrente é continua ou alternada, da freqüência da corrente, do estado de
umidade da pele e condições orgânicas do indivíduo, etc. Estudos mostram que o limite
para que não ocorra a fibrilação ventricular (conhecida como conseqüência mais
perigosa) está baseado na expressão (2.18), limitadas ao período de tempo de 0,03s a
3,0s [10].
,)( 2cSstcI = (2.18)
42
sendo,
cI = valor rms de corrente permitida através do corpo humano em Ampères
st = tempo de exposição ou duração da falta em segundos e
cS = constante empírica relacionada com a tolerância ao choque elétrico para 95%
percentual da população.
Para uma pessoa de tamanho médio com 50Kg ou mais, foi encontrado
empiricamente o valor de cS = 0,0135. Usando-se esse valor em (2.18), tem-se como
máxima corrente, suportada pela pessoa, o valor dado por (2.19) [11].
s
tcI116,0)( = (2.19)
Por exemplo, para um tempo de exposição ts = 1s, tem-se um valor máximo para
corrente suportada de cI = 116mA.
2.1.5.2 Potencial de passo e de toque No que concerne ao aterramento elétrico, é possível caracterizar algumas
situações típicas quando flui corrente pelo corpo humano. Por isso em estruturas
eletrificadas é de suma importância o conhecimento da tensão de toque e de passo,
pois permite um melhor diagnóstico da eficiência de um sistema de aterramento. Desta
forma, uma boa condição de segurança, pode ser obtida por meio de um projeto que
priorize uma geometria adequada da malha de terra, mesmo que a resistência de
aterramento seja alta. A Figura 2.12(a,b) apresenta de forma clara as condições a que
um indivíduo pode se expor em uma instalação de risco [12]. Nesta Figura,
I = corrente produzida pelo transitório elétrico na estrutura metálica em questão;
R0, R1 e R2 = são valores de resistência do solo na região indicada;
Rf = resistência de contato do pé da pessoa com o solo;
Rk = resistência das pernas do indivíduo Figura 2.12(a) e dos membros e tronco na
Figura 2.12(b);
43
Vtoque = potencial de toque;
Vpasso = potencial de passo.
V toque
R
R
I
R
R
R1
0
Vtoque
k
Distribuição do potencial na terras devido a uma descarga ou curto-circuito
I
k R f/2
1 0
R
R
k
f/2
I
Ik
Vpasso
R
R R
R R
R R
R
R
R
R
R R1
2
0f
f k
Vpasso
kk
f f
21 0
I
Distribuição do potencial na
terras devido a uma descarga ou curto-circuito
(a)
(b)
Figura 2.12 Tensão de passo (a) e tensão de toque (b) em estrutura aterrada
44
2.1.5.3 Resistência do corpo humano Neste tópico, o primeiro aspecto a ser abordado é que os efeitos da corrente
elétrica no corpo humano são determinados principalmente pela corrente e seu
percurso pelo corpo humano, não sendo uma função direta do nível do potencial que a
originou. Por isso, a resistência elétrica tem um papel fundamental nos acidentes com
eletricidade. Verifica-se que esta resistência é não-linear, podendo considerar-se em
uma aproximação razoável os seguintes valores para a mesma:
TENSÃO RESISTÊNCIA (Volts) (Ohms)
25 3250
50 2625
220 1350
1000 1050
Tabela 2.5 – Resistência do corpo humano com a tensão
A Tabela 2.5 é válida para trajetos de corrente elétrica que atravessem a região
cardíaca, isto é, de uma mão para outra mão ou de uma mão para o pé. Nota-se que se
costuma definir a “resistência do corpo humano” como a soma de três resistências em
série, ou seja:
• resistência de contato, na entrada da corrente, entre a vítima e o condutor tocado;
• resistência do próprio corpo humano e
• resistência de contato na saída de corrente, entre a vítima e a outra superfície
condutora tocada, normalmente o solo.
45
A resistência de contato entre a vítima e o solo, varia muito com a natureza dos
sapatos e o estado do solo.
• sapatos de sola secos – resistência maior do que 50.000 Ω e
• sapatos úmidos com protetores metálicos – resistência da ordem de centenas de
Ohms.
Geralmente, como os contatos tendem a resistências altas, salvo em condições
especiais de proteção individual, pode-se admitir que a resistência do corpo não desça
abaixo de 2000 Ω . Para tensões acima de 1kV (correntes acima de 5A) a resistência do
corpo humano cai devido à destruição dos tecidos nos pontos de contato.
Considerando a condição de intensidade menos favorável, ou seja, resistências
de contato iguais à zero, e usando a expressão (2.19) para corrente máxima suportada
pelo corpo humano e admitindo-se que a resistência do corpo é da ordem de 1000 Ω ,
tem-se então do ponto de vista do máximo potencial, admitido:
s
tV 116= (2.20)
46
2.2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] G. F. Tagg, Earth resistances, George Newnes Ltd., London, 1964. [2] C. H. M. Markvits, J. A. M. Leon “Critérios de medições, aterramento e segurança em subestações,” Anais do IV-SNPTE (Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica), Rio de Janeiro, 1977. [3] S. J. Pyrson, “Effect of anisotropy on apparent resistivity curves,” Bulletin of the American association of petroleum geologist, Vol.19, nº 1, 1935. .
[4] J. Endrenvy, “Evoluation of resistivity tests design of station grounds in nonuniform soil,” AIEE Transaction, paper 63-159, 1962.
[5] Kindermann, G & Campagnolo, J. M., “ Aterramento Elétrico “, Quinta Edição, 2002. [6] H. B. Dwight, “Calculations of Resistances to Ground,” AIEE Transactions, Vol. 55, pp 1318-1328, 1936. [7] E. D. Sunde Earth conduction effects in transmission systems, Dover Publication Inc. New York, 1968. [8] S. F. Visacro, Aterramentos elétricos – Conceitos básicos, técnicas de medição e instrumentação, filosofias de aterramento, pp. 1-106, ArtLiber Edit., 3ª edição, Brasil, 2002. [9] F. A. Wenner, “Method of measuring earth resistivity,” Bulletin of the National Bureau of Standards, Washington D. C., Vol. 12, 1916. [10] L. C. Zaneta, Transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência, Edusp, Brasil, 2003. [11] C. F. Dalziel, “Effects of eletric shock on man,” Electrical Engineering, Vol. 60, No.2, pp. 63-66, 1941. [12] IEE guide for safety in AC substation grounding, ANSI/IEEE Std 80-1986, 1986.
47
CAPÍTULO 3
Desenvolvimento teórico e modelagem do problema
No presente capítulo será abordado de forma detalhada, a solução numérica das
equações de Maxwell por FDTD, a truncagem da região de análise por UPML e o
processamento paralelo.
3.1 Método FDTD (Diferenças Finitas no Domínio do Tempo)
O método FDTD é baseado no cálculo de diferenças algébricas obtidas a partir
de equações diferenciais. Como o objetivo é simular a propagação de ondas
eletromagnéticas, as diferenças algébricas são aplicadas para a solução das Equações
de Maxwell, que relacionam os campos elétrico e magnético variantes no tempo. Essas
leis são expressas matematicamente pelas Equações 1(a) e 1(b) (leis de Faraday e
Ampère, respectivamente),
,tHEx
∂∂−=∇ μ (3.1)
,EtEHx σε +
∂∂=∇ (3.2)
nas quais E e H representam os vetores intensidade de campo elétrico e magnético,
respectivamente, μ a permeabilidade magnética do meio e ε a permissividade elétrica.
48
3.1.1 A Célula de Yee
Baseado nas duas leis acima (que relacionam os campos elétrico e magnético),
K. Yee [1] desenvolveu o esquema de distribuição espacial e temporal de seu algoritmo,
criando assim uma ferramenta numérica poderosa na solução de problemas
eletromagnéticos. A Figura 3.1, mostra a célula ortogonal de Yee, a qual corresponde a
uma unidade discreta do espaço tridimensional representada em coordenadas
retangulares por x, y e z. Sendo assim, a célula de Yee é empregada na discretização
do espaço de análise para a obtenção da solução discreta das equações de Maxwell. O
espaço contínuo passa a ser então representado da seguinte forma: as posições x, y e
z são substituídas por
HzEx
Ey(i,j,k)
Ez Hx
Hy(i+1,j,k+1)
(i,j,k+1)
(i+1,j,k)
Δy
Δx
Δz
z
x
y
xi , Δ j yΔ e k zΔ , respectivamente, e o tempo t por n tΔ . Onde i,
j, k e n são valores inteiros enquanto que x, y, z e t são valores reais. Dessa forma, o
espaço e o tempo contínuo são representados em versões discretas, como mostram as
Figuras 3.2 e 3.3.
(a) (b)
Figura 3.1 (a) Posição das componentes dos campos elétrico e magnético, (b) Célula
no interior da uma malha 3-D.
49
Ex
Ez
Ez
Ey(i,,j,k+1)
Ex H Ex
Ey
z
(i,,j+1,k+1)
(i,,j+1,k)
Ey
Hx
Ez
(i+1,,j+1,k)(i+1,,j,k)
(i+1,,j,k+1)
z
x
y
(n-1/2) (n) (n+1/2) (n+1)
Eixo do Tempo
H E EH
Figura 3.2 Célula de Yee com componentes dos campos elétricos e magnéticos no
instante n.
Ex Ex
Ex Ex
Ex Ex
EyEyEy
Ey EyEy
i-1, j+1 i, j+1
i, j-1 i+1, j-1
i+1, j
i+1, j+1
i-1, j
i-1, j-1
i, j
ΔxΔx
ΔyΔy
Figura 3.3 Plano paralelo ao plano x-y
50
É importante observar o deslocamento espacial das componentes dos campos
elétrico e magnético, que além de serem alinhados com o sistema de coordenadas
retangulares, se afastam de meio incremento espacial (x, y e z) e de meio incremento
temporal (t). Tal fato é conseqüência das dependências espaciais e temporais entre tais
componentes, como descritos pelas equações de Maxwell (equações 3.1 e 3.2),
caracterizando o fenômeno da propagação da onda eletromagnética. Assim obtêm-se
as seguintes equações de atualização do campo elétrico (3.3, 3.4 e 3.5) e magnético
(3.6, 3.7 e 3.8), respectivamente, considerando σ ≠0.
1
1 12 2
1 12 2
11 1 2, , , ,2 2 1
21 1 1 1, , , ,2 2 2 2
12
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
n nx x
n n
z z
n n
y y
E i j k E i j k t
H i j k H i j kt
t y
H i j k H i j k
z
σε
σε
ε σε
+
+ +
+ +
−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎡ ⎛ ⎞ ⎛+ + − + −⎢ ⎜ ⎟ ⎜Δ ⎝ ⎠ ⎝⎢+Δ Δ⎛ ⎞ ⎢−⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥−
Δ ⎥⎥⎦
tΔ⎛ ⎞
⎞⎟⎠
(3.3)
1
1 12 2
1 12 2
11 1 2, , , ,2 2 1
21 1 1 1, , , ,2 2 2 2
12
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
n ny y
n n
x x
n n
z z
t
E i j k E i j k t
H i j k H i j kt
t z
H i j k H i j k
x
σε
σε
ε σε
+
+ +
+ +
Δ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + −⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢+Δ Δ⎛ ⎞ ⎢−⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − + ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥−
Δ ⎥⎥⎦
(3.4)
51
1
1 12 2
1 12 2
11 1 2, , , ,2 2 1
21 1 1 1, , , ,2 2 2 2
12
1 1 1 1, , , ,2 2 2 2
n nz z
n n
y y
n n
x x
t
E i j k E i j k t
H i j k H i j kt
t x
H i j k H i j k
y
σε
σε
ε σε
+
+ +
+ +
Δ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎡ ⎛ ⎞ ⎛+ + − − +⎢ ⎜ ⎟ ⎜Δ ⎝ ⎠ ⎝⎢+Δ Δ⎛ ⎞ ⎢−⎜ ⎟ ⎢⎝ ⎠ ⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − + ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥−
Δ ⎥⎥⎦
⎞⎟⎠
(3.5)
1 12 21 1 1 1, , , ,
2 2 2 21 1 1, , 1 , , , 1, , ,2 2 2
n n
x x
n n n ny y z z
H i j k H i j k
E i j k E i j k E i j k E i j kt
z yμ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + − + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎢ ⎥+ −
Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
12
⎞⎟⎠
(3.6)
1 12 21 1 1 1, , , ,
2 2 2 21 1 1 11, , , , , , 1 , ,2 2 2 2
n n
y y
n n n nz z x x
H i j k H i j k
E i j k E i j k E i j k E i j kt
x zμ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ + − + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎢ ⎥+ −
Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎞⎟⎠
(3.7)
1 12 21 1 1 1, , , ,
2 2 2 21 1 1 1, 1, , , 1, , , ,2 2 2 2
n n
z z
n n n nx x y y
H i j k H i j k
E i j k E i j k E i j k E i j kt
y xμ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥+ −
Δ Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(3.8)
52
3.1.2 Dimensões da célula, estabilidade e precisão. O algoritmo descrito pelas equações (3.3) a (3.8) causa efeitos numéricos (não
físicos), como a dispersão (velocidade de fase diferente de C no vácuo, por exemplo).
Isso se deve ao fato de que as aproximações nos cálculos geram erros que são
propagados, acumula desvios de fase que fazem com que fenômenos não físicos se
manifestem.
Por isso para garantir a estabilidade numérica nos casos gerais, a inequação
(3.9), condição de Courant [2], deverá ser satisfeita, onde v é a velocidade de
propagação das ondas eletromagnéticas no meio com menor permissividade.
,
1111
222 zyxv
t
Δ+
Δ+
Δ
≤Δ (3.9)
Para o caso tridimensional em que as dimensões da célula são iguais, ou seja
zyx Δ=Δ=Δ=δ , a equação (3.9) reduz-se para:
(3.10) .
3ct δ≤Δ
3.1.3 As técnicas de representação de fios finos
O modelo do fio fino tem uma vasta área de aplicação na engenharia, como
antenas e sistemas de aterramento, em que o equacionamento passa pela metodologia
que utiliza a técnica FDTD. A importância da utilização desta técnica se fundamenta na
existência de hastes e fios condutores (cilíndricos), cujos diâmetros são menores, que
as dimensões das células de Yee. Esta representação subcelular de cilindros
condutores evita altos níveis de discretização do domínio de análise, reduzindo o
esforço computacional para a atualização dos campos. Duas técnicas muito importantes
e de extrema utilidade são: a elaborada por Umashankar et al [3], que tem como
principal fundamento a atualização das equações para os campos magnéticos
adjacentes ao fio fino de acordo com o seu raio. A segunda técnica, desenvolvida por
53
Tako Noda et al. [4] e posteriormente por Yoshihiro Baba et al. [5], propõe mudanças no
sentido de se obter de forma correta a impedância de surto do condutor sob o teste.
Para isto, Noda et al., introduziram a atualização dos campos elétricos e magnéticos
para meios sem perdas e Baba et al., estenderam esta formulação para meios com
perdas.
3.1.4 Truncagem do Método FDTD por UPML
Solo
Ar
Haste de excitação
Malha de Terra
UPML
Quando se parte para solução numérica de equações de campos
eletromagnéticos no domínio do tempo, utilizando técnicas das diferenças finitas em um
determinado meio sem fronteiras, faz-se necessário utilizar uma metodologia que limite
o domínio no qual os campos serão computados através da “truncagem” da malha com
a aplicação de regiões absorventes nos limites numéricos. Contudo uma das grandes
dificuldades na limitação da região de análise é que, em vários problemas, trabalha-se
no espaço aberto (um meio infinito) que tornaria a análise do problema por FDTD, a
princípio, impraticável devido as limitações dos sistemas computacionais. Nesse
sentido, a idéia da UPML (Uniaxial Perfectly Matched Layers) tem grande aplicabilidade,
pois a mesma tem o objetivo de limitar de forma artificial e com grande precisão o
domínio de análise [6] e absorver de forma gradual as ondas que ali incidem com
máxima eficiência, evitando assim a inserção de erros na região de análise. Sendo
assim, o domínio formado pela região de análise e a região da UPML é mostrado na
Figura 3.4.
Região de Análise
Figura 3.4 Modelo geral, no plano x-y, do domínio numérico de um problema aberto.
54
A UPML em questão é formada por dez camadas, cada uma com uma
condutividade artificial. Quanto mais próxima da PEC (Condutor Elétrico Perfeito) é a
camada, mais intenso é o nível de absorção das ondas eletromagnéticas que ali
chegam. Por fim, a região da UPML é envolvida por um condutor perfeito, para o caso
da uma onda atravessar a última camada e não ter sido absorvida totalmente, sendo
também atenuada no caminho de volta. A estrutura a UPML é mostrada na Figura 3.5.
Região de Análise
Região de Vértice
UPML
PEC
Y
Z X
Figura 3.5 Modelo de problema de eletromagnético aberto em 2-D, fechado artificialmente pela UPML.
Neste caso, o meio absorvente UPML é anisotrópico e condutivo e a lei de Ampère na UPML pode ser expressa, como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
00 ωε
σεωεj
j
HH
HH
HH
r
xy
yx
zx
xz
yz
zy
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
yx
y
zx
x
zy
SSS
SSS
SSS
00
00
00
,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
z
y
x
EEE
(3.11)
onde xS , yS e zS são definidos por:
55
;0
ωε
σ
jkKS
kk += sendo k = x,y,z , (3.12)
e kσ com k
K são funções polinomiais que representam a atenuação ao longo das direções x, y e z. Para a direção x tem-se [7]:
( ) ,max,x
m
dxxx σσ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= (3.13)
e
( ) ,1max,1m
dx
xkxKx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+= (3.14)
onde d é a profundidade da UPML. Expressões similares podem ser obtidas para as
direções. O procedimento para a obtenção das componentes dos campos elétrico e
magnético, é feito da seguinte forma:
Inicialmente, introduzem-se duas variáveis auxiliares de campo P e P' , as
quais permitem modelar a presença do σ isotrópico, Eq. (3.11), dentro da UPML. Estas
variáveis são definidas como:
;xExSzS
xP = ;yEySxS
yP = ;zEzSyS
zP = (3.15)
;' xPySxP = ;' yPzSyP = ;' zPxSzP = (3.16)
Dessa forma, a equação (3.11) passa a ser dada por:
56
r
xy
yx
zx
xz
yz
zy
j
HH
HH
HH
εωε 0=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
.
'
'
'
'
'
'
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
zPyPxP
zPyPxP
σ (3.17)
Passa-se então ao cálculo de '.Pjω A equação acima pode ser expandida, como segue,
+⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
x
z
y
KK
Kj
zPj
xxK
yPj
zzK
xPj
yyK
j
zPxSyPzS
xPyS
zPyPxP
j00
0000
'
'
'
0
0
0
ω
ωε
σ
ωε
σ
ωε
σ
ωω (3.18)
.00
0000
1
0 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
zPyPxP
zPyPxP
x
z
y
σσ
σ
ε
Passando para o domínio do tempo tem-se:
.00
0000
1
000000
'
'
'
0 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
z
y
x
x
z
y
z
y
x
x
z
y
PPP
PPP
KK
K
t
zPyPxP
tσ
σσ
ε (3.19)
Na direção x, tem-se de (3.14):
xExSzS
xP = ∴ xEzSxSxP = (3.20)
,00
xz
zxx
x Ej
KPj
K ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
ωεσ
ωεσ
(3.21)
57
( ) ( ) ,00 xzzxxx EKjPKj σωεσωε +=+ (3.22)
passando a equação acima para o domínio do tempo, resulta:
,00 zzxzxxxx PEKt
PPKt
σεσε +∂∂
=+∂∂
(3.23)
( )00 ε
σε
σ xzxz
xxxx
EEKt
PPKt
+∂∂
=+∂∂
(3.24)
Para o cálculo de ,1+nxE parte-se da equação (3.16) e calcula-se inicialmente
,1+nxP como segue,
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ− ++
2),,('),,('),,('),,(' 11
0kjiPkjiP
tkjiPkjiP n
xnx
nx
nx
r σεε
(3.25)
,)1,,(),1,( 2/12/12/12/1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ
−−−
Δ−−
=++++
zHkjiH
yHkjiH n
yny
nz
nz
=++Δ
−Δ
++ ),,('2
),,('2
),,('),,(' 1010 kjiPkjiPkjiPt
kjiPt
nx
nx
nx
rnx
r σσεεεε
(3.26)
,)1,,(),1,( 2/12/12/12/1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ
−−−
Δ−−
=++++
zHkjiH
yHkjiH n
yny
nz
nz
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
Δ+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +
Δ+
2),,('
2),,(' 001 σεεσεε
tkjiP
tkjiP rn
xrn
x
(3.27)
,)1,,(),1,( 2/12/12/12/1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ
−−−
Δ−−
=++++
zHkjiH
yHkjiH n
yny
nz
nz
58
Assim chegamos a equação:
×
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +Δ
+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +Δ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Δ=+
2
1
2
2),,('
),,(' 1
σεσε
σε
tt
tkjiP
kjiP
nx
nx
(3.28)
.)1,,()1,,(),1,(),,( 2/12/12/12/1
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
Δ
−−−−
Δ−−
×++++
zkjiHkjiH
ykjiHkjiH n
yny
nz
nz
Logo após, com o objetivo de encontrar 1+nxP , parte-se da equação (3.18) de onde
se conclui que:
,1
0
'xyxyx PPK
tP
tσ
ε+
∂∂
=∂∂
(3.29)
,2
12
1'' 111 nxy
nxy
nxy
nxy
nx
nx PP
tPK
tPK
tP
tP σ
εσ
ε++
Δ−
Δ=
Δ−
Δ
+++
(3.30)
Finalmente, a partir da equação (3.39) calcula-se o campo elétrico na direção x
,22
1
0
11
0
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ− ++++ n
xnxz
nx
nx
z
nx
nxx
nx
nx
xEE
tEEKPP
tPPK
εσ
εσ
(3.30)
,222 0
111
0
1
0
1
εσ
εσ
εσ +++++
+Δ
−Δ
=++Δ
−Δ
nxz
nxz
nxz
nxx
nxx
nxx
nxx E
tEK
tEKPP
tPK
tPK
(3.32)
,2222 00
1
00
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
Δ++
εσ
εσ
εσ
εσ zzn
xzzn
xxxn
xxxn
x tKE
tKE
tKP
tKP (3.33)
.22
2
1
2
2),,(),,(00
1
00
01⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ+×
Δ+
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
Δ+
Δ−
= ++
εσ
εσ
εσ
εσ
εσ
tKPtKPtKtK
tKkjiEkjiE x
xn
xx
xn
xz
zz
z
zz
nx
nx (3.34)
59
3.2 Processamento Paralelo A crescente evolução em pesquisas nos setor computacional e os surgimentos
de limites impostos pelas leis físicas têm impulsionado um grande avanço nas mais
diversas áreas da computação. Dessa forma existem dois caminhos disponíveis para a
solução: o primeiro é a utilização de supercomputadores. Contudo, o principal fator
negativo neste tipo de solução está relacionado ao seu alto orçamento, pois sistemas
comerciais de alta capacidade são geralmente dispendiosos e, portanto, inacessíveis a
maioria dos grupos de pesquisa; o segundo é a utilização de microcomputadores
convencionais interligados por rede de maneira a trabalharem em paralelo, de acordo
com a arquitetura Beowulf [8], cujo custo final é bem inferior se comparado com o da
solução comercial, devido, a basicamente dois fatores:
• O hardware é menos dispendioso
• Disponibilidade de softwares livres [9]
O paralelismo é uma técnica utilizada para solucionar problemas complexos e de
grandes volumes de dados no menor tempo possível [10]. Para isso, dividi-se o
problema em tarefas menores que serão distribuídas entre os vários processadores
para serem solucionadas cooperativamente [11], conforme indicado na Figura 3.6.
Tarefa 1
Processador 1
Problema de alta complexidade
Tarefa 2
Tarefa 3
Processador 3
Processador 2
Figura 3.6 Divisão do problema em tarefas menores, entre vários processadores.
60
Levando-se em consideração o objeto paralelizado [10], pode-se classificar o
paralelismo em paralelismo de dados e paralelismo funcional. No paralelismo de dados
o processador executa as mesmas instruções sobre deferentes dados [10], e pode ser
empregado em algoritmos envolvendo o método das diferenças finitas no domínio do
tempo (método FDTD) [10], onde os processos podem operar independentemente em
uma larga porção de dados, havendo comunicação somente nos limites da divisão dos
subdomínios para a atualização dos campos em cada iteração [12]. No paralelismo
funcional o processador executa instruções que podem ou não operar sobre o mesmo
conjunto de dados, onde as tarefas são distribuídas para um grupo de processos
escravos por um processo mestre que também pode fazer parte da execução da tarefa.
Para superar o problema do alto custo e popularizar o processamento paralelo, o
Centro de Excelência em Dados Espaciais e Informações Científicas (CESDIS), órgão
da NASA, montou a primeira arquitetura paralela de computadores, denominada cluster
Beowulf [8]. O primeiro destes clusters consistia em 16 nós com processadores Intel
486 Dx4 a 100MHz interligados por uma rede de Ethernet a 10 Mbits. Atualmente
existem clusters deste tipo com mais de um milhar de nós. Isso só foi possível devido
ao avanço na tecnologia de hardware que trouxe os preços dos computadores para
níveis mais acessíveis e avanços tecnológicos surgidos no mundo do software,
introduzindo no mercado bibliotecas de comunicação com PVM e MPI. O MPI, Message
Passing Interface, é uma biblioteca de passagem de mensagens, desenvolvida por um
grupo de pesquisadores, para funcionar como um sistema padrão em uma grande
variedade de arquitetura de computadores paralelos, pois possui a eficiência e
facilidade de uso. A padronização define a sintaxe e a semântica das rotinas das
bibliotecas, o que as torna úteis para se escrever programas em C, C++ e Fortran [13].
A idéia básica para implementação paralela do algoritmo FDTD, baseia-se na
divisão do domínio de análise em subdomínios. Nesta técnica, conhecida como técnica
de decomposição de dados ou decomposição de domínios, os dados do problema são
divididos e selecionados para rodar em diferentes processadores, considerando que,
cada processador executa basicamente o mesmo programa (código fonte), porém com
diferentes dados. É uma implementação típica do modelo SPMD (Single Program
Multiple Data) [14]. A distribuição de dados é feita manualmente, o programador define
61
através de funções de mensagens do tipo enviar/receber a comunicação entre
processadores adjacentes de forma a se manter a continuidade na atualização das
componentes de campo localizadas nas interfaces dos domínios. Neste trabalho, os
tempos de processamento da malha do guarda chuva, foram obtidos a partir de uma
máquina com quatro processadores de 64 bits, clock de 2,6GHz e 4GB de memória
RAM. A implementação do programa foi feita inteiramente na linguagem C. A troca de
dados se deu através da placa mãe utilizando a biblioteca LAM/MPI [15-16]. O domínio
de análise (região de analise + UPML) foi discretizado com 152×143×100 células, nas
direções x, y e z, respectivamente, sendo que foram utilizadas 10 células (camadas)
para cada parede relativa à região absorvente UPML. E para o mesmo caso podemos
ratificar através da Figura 3.7, onde os dados foram provenientes de repetidos testes,
que o processamento paralelo realmente é uma poderosa ferramenta para a otimização
de problemas.
Tempo de processamento (minutos)
Column B
0255075
100125150175200225250275300
Total de
CPUs 1 2
34
Total de CPUs
Figura 3.7 Tempos de processamento de 1 a 4 processadores para o problema da
malha Guarda-Chuva
62
3.3 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] K. S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media” IEEE Trans. Antenas and Propagation, Vol. 14, 1966, pp. 302-307. [2] R. Courant, K. O. Friedrichs, and H. Lewy, “Uber die partiellen differenzgleichungen der mathematischen physic”, Mathematische Annalen, Vol. 100, pp 32-74, 1928. [3] K. R. Umashankar, A. Taflove and B. Beker, “Calculation an experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity”, IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol 35, 1987, pp. 1248-1257. .
[4] T. Noda, S. Yokoyama, “Thin wire representation in finite difference time domain surge simulation”. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 17, No.3, 2002. [5] Y. Baba, N. Nagaoka, A. Ametani, “Modeling of thin wires in a lossy medium for FDTD simulations”. IEEE Transactions on Electromagnetics Compatibility, Vol 47, No 1, 2005. [6] A. Taflove and S. C. Hagness: Computational electrodynamics: The finite-difference time-domain Method, Artech house, inc., Boston, 2000. [7] S. D. Gedney, “Na anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices,” IEEE Trans. Antennas an Propagation, Vol. 44, pp. 1630-1639, 1996. [8] J. M. Rocha, “Cluster Beowulf: aspectos de projeto e implementação, “ Master’s thesis, Universidade Federal do Pará/PPGEE, Janeiro 2003. [9] “General public lecense,” The GNU at the Web: http://www.gnu.org/copyleft/gpl.html, 1991. [10] CENAPAD_NE, “Apostila do Workshop MPI”, Fevereiro, 1998. [11] FOSTER, T. lan, “Designing and Building Parallel Programs: Concepts and tools for parallel software engineering”, Addison-Wesley Publishing Company, 1994. [12] University of Illimois, “Introduction to MPI”, 2001. [13] A. Tanenbaun, Network computers. Prentice Hall, 2º edição 1989. [14] G. Andrews, Foundations of multithreaded, parallel and distributed programming, Addison Wesley, 2000.
63
[15] M. Snir, S. Otto, H. Steven, MPI: The complete reference. The MIT Press, Massachusetts, 1996. [16] R. M. S. de Oliveira, R. O. Santos, C. L. S. Sobrinho, “Numerical scattering analysis in indoor and outdoor environments by applying FDTD method” International Microwave and optoelectronics Conference, Iguazu Falls, 2003.
64
CAPÍTULO 4
Resultados
4.1 Análises da Distribuição de Corrente em Sistemas de Aterramento
O estudo da distribuição de corrente utilizando características mais próximas
possíveis da realidade pode ajudar bastante no entendimento e na melhor
compreensão de sistema de aterramento. Com esse intuito foram realizadas simulações
utilizando diferentes tipos de solos, com o acréscimo de uma haste como ponto de
injeção. O software utilizado para tais simulações foi desenvolvido no LANE, é baseado
no Método FDTD e analisa o comportamento transitório e estacionário dos parâmetros
dos sistemas de aterramento. As simulações foram realizadas da seguinte maneira:
primeiramente foram escolhidos diferentes tipos de resistividades para casos com
quantidade variada de camadas. Após isso foram feitas comparações bastante
interessantes, a primeira delas foi entre uma estrutura de apenas uma haste com o
modelo fractal e com o modelo fractal com a segunda ramificação, a segunda
comparação foi feita utilizando uma malha de terra 5×5 com o modelo guarda-chuva e
a partir daí aplicou-se as técnicas para a obtenção dos resultados.
4.2 Simulações utilizando duas camadas
4.2.1 Simulações com resistividades variando de forma crescente
Na figura 4.3 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB, tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
caso de solo com duas camadas, com penetração de 0,5 metro da haste de inserção na
primeira camada, onde a primeira camada possui ρ1 = 0,0001 Ω.m, com h1 = 2,5m
65
enquanto que a segunda camada apresenta ρ2 = 10.000 Ω.m, considerando-se o
modelo de aterramento da figura 4.1.
Figura 4.1: Solo estratificado em duas camadas
Figura 4.2: Solo estratificado em três camadas
66
z(m)
z(m)
9
Distribuição de Corrente (dB)
6 7 8532
4
46
8x(m
)10
12
ρ1 = 0,0001 Ω.m
ρ2 = 10000 Ω.m
1416
(a)
67
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
8
7
TGR (Imped. no ponto de injeção)
8
10
8
0
2
4
6
0 62 1484 1816Tempo (us)
1210
TGR (o
hms)
5
6z(m)
5
4
34 6 8 10 12 14 16
x(m)
(b)
(c)
Figura 4.3: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da
distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
68
Na figura 4.4 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-
z, onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para
um solo com duas camadas, com penetração de 3 metros da haste de inserção no
mesmo, onde a primeira camada possui ρ1 = 0,0001 Ω.m, com h1 = 2,5m enquanto que
a segunda camada apresenta ρ2 = 10.000 Ω.m, considerando-se o modelo de
aterramento da figura 4.1. z(m)
3 4 5 6 7 8 9
446
x(m)8888
Distribuição de Corrente (dB)
1012
ρ2 = 10000 Ω.m
ρ1 = 0,0001 Ω.m
1416
(a)
69
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
8
7
TGR
(ohm
s)
9
0Tempo (us)
TGR (Imped. no ponto de injeção)
8
7
6
5
4
3
2
1
02 4 6 8 10 12 14 16 18
6
5
4
3
z(m)
4 6 8 10 12 14 16x(m)
(b)
(c)
Figura 4.4: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da
distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
70
4.2.2 Simulações com resistividades variando de forma decrescente
Na figura 4.5 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
caso de solo com duas camadas, com penetração de 0,5 metros da haste de inserção
na primeira camada, onde a primeira camada possui ρ1 = 10.000 Ω.m, com h1 = 2,5m
enquanto que a segunda camada apresenta ρ2 = 0,0001 Ω.m, considerando-se o
modelo de aterramento da figura 4.1. z (m)
9
x(m)2
873 4 5 6
46 Distribuição de Corrente (dB)
810
12
ρ2 = 0,0001 Ω.m
ρ1 = 10000 Ω.m
1416
(a)
71
9
7
8
6
5
4
3
z(m)
4 1086 12 14 16x(m)
Distribuição de Corrente (dB)
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
(b)
TGR (Imped. no ponto de injeção)
TGR (o
hms)
6000
3000
4000
5000
2000
1000
Tempo (us)10 12
00 14 16 182 4 6 8
(c)
Figura 4.5: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro
colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR –
impedância no ponto de injeção.
72
97 8
x(m)
6z (m)
Na figura 4.6 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB, enquanto que
na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z, onde z é o
eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um caso de
solo com duas camadas, com penetração de 3 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a primeira camada possui ρ1 = 10.000 Ω.m, com h1 = 2,5m enquanto que a
segunda camada apresenta ρ2 = 0,0001 Ω.m, considerando-se o modelo de
aterramento da figura 4.1.
3 4 5
24
6 Distribuição de Corrente (dB)
810
12
ρ2 = 0,0001 Ω.m
ρ1 = 10000 Ω.m
1416
(a)
73
TGR (o
hms)
10
Tempo (us)
TGR (Imped. no ponto de injeção)
8
6
4
2
00 2 4 6 8 10 12 14 16
2
14 1612108642x(m)
3456789
Distribuição de Corrente (dB)
-3 -4 -5 -6 -7 -8z(m) -9 -10
(b)
(c)
Figura 4.6: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção.
Comentários:
74
No caso das simulações com resistividades crescentes com duas camadas (figuras 4.3
e 4.4) observa-se uma distribuição de corrente bastante linear na 1ª camada, por se
tratar de uma camada com alto valor de condutividade em relação à 2ª camada. E
quando a corrente chega à interface com a 2ª camada uma grande parte é refletida por
causa da elevada resistividade da 2ª camada. A principal diferença neste caso foi
exatamente nos quadros da TGR de ambas, onde no caso da figura 4.3 foi maior que
na figura 4.4 por a posição da haste está localizada numa camada com maior
condutividade. Observa-se através da figura 4.5, uma distribuição de corrente mais
vertical na 1ª camada, por se tratar de uma camada com baixo valor de condutividade
em relação à segunda camada. E como a corrente procura sempre a menor resistência
ela passa pela 1ª camada em busca da seguinte por apresentar um alto valor de
condutividade. Já na figura 4.6 percebe-se uma distribuição de corrente bastante
concentrada na 2ª camada, pois há uma reflexão quase total de corrente na 1ª camada
por a haste de inserção está localizada na 2ª camada e esta ter um valor de
condutividade maior que o da 1ª camada. O que explica o brusco decréscimo da TGR
nas Figuras 4.5 (c) e 4.6 (c).
4.3 Simulações utilizando três camadas
4.3.1 Simulações com resistividades variando de forma crescente
Na figura 4.7 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para solo
com três camadas, com penetração de 0,5 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a primeira camada possui ρ1 = 0,001 Ω.m e h1 = 2,5 m, a segunda camada, ρ2 = 1
Ω.m e h2 = 2,5 m e a terceira camada, ρ3 = 1.000 Ω.m., considerando-se o modelo de
aterramento da figura 4.2.
75
97
z (m)3 4 5 6 8
4
ρ1 = 0,001 Ω.m
ρ2 = 1 Ω.m
ρ3 = 1000 Ω.m
x(m)6
810
1412
16
Distribuição de Corrente (dB)
(a)
76
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
8
7
TGR (Imped. no ponto de injeção)
TGR (o
hms)
Tempo (us)
8
14
12
16
10
10 12
6
44
2
00 8642 14 16 18
5
4
34 1086 12 14 16
x(m)
z(m) 6
(b)
(c)
Figura 4.7: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da
distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
77
96 7 8543
x (m)4
56
79
810
3
Distribuição de Corrente (dB)
z (m )
Na figura 4.8 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
solo com três camadas, com penetração de 3 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a 1ª camada possui ρ1 = 0,001 Ω.m e h1 = 2,5 m, a 2ª camada com ρ2 = 1 Ω.m e h2
= 2,5 m e a 3ª camada com ρ3 = 1000 Ω.m., considerando-se o modelo de aterramento
da figura 4.2.
ρ1 = 0,001 Ω.m
ρ3 = 1000 Ω.m
ρ2 = 1 Ω.m
(a)
78
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
-10
8
7z(m)
6
5
4
3103 4 5 6 7 8 9
x(m)
(b)
TGR (Imped. no ponto de injeção)10
8
TGR (o
hms)
6
4
2
0
Tempo (us)0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
(c)
Figura 4.8: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da
distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
79
96 7 8543
x(m)4
56
79
810
3
Distribuição de Corrente (dB)
ρ1 = 0,001 Ω.m
z ( m)
Na figura 4.9 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
solo com três camadas, com penetração de 5,5 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a 1ª camada possui ρ1 = 0,001 Ω.m e h1 = 2,5 m, a 2ª camada, ρ2 = 1 Ω.m e h2 =
2,5 m e a 3ª camada, ρ3 = 1000 Ω.m., considerando-se o modelo de aterramento da
figura 4.2.
ρ3 = 1000 Ω.m
ρ2 = 1 Ω.m
(a)
80
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
8
7
TGR (Imped. no ponto de injeção)
TGR (o
hms)
Tempo (us)
8
10
10 12
6
4
2
00 8642 14 16 18
5
4
33 10
6z(m)
4 5 6 7 8 9x(m)
(b)
(c)
Figura 4.9: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da
distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
81
4.3.2 Simulações com resistividades variando de forma decrescente
96
z (m )
Na figura 4.10 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
solo com três camadas, com penetração de 0,5 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a 1ª camada possui ρ1 = 1000 Ω.m e h1 = 2,5 m, a 2ª camada, ρ2 = 1 Ω.m e h2 =
2,5 m e a 3ª camada, ρ3 = 0,001 Ω.m, considerando-se o modelo de aterramento da
figura 4.2.
3 4 5 7 8
46
x(m)8
Distribuição de Corrente (dB)
1012
14
ρ3 = 0,001 Ω.m
ρ1 = 1000 Ω.m
ρ2 = 1 Ω.m
16
(a)
82
TGR (Imped. no ponto de injeção)
600
400
500
400400400400
100
200
300
TGR (o
hms)
0
Tempo (us)10 120 8642 14 16 18
9
7
8
5
43
4
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
6
Distribuição de Corrente (dB)
z(m)
6 10 12 14 168x(m)
(b)
(c)
Figura 4.10: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido
da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
83
96 7 8543x(m)
56
104
37
89
Distribuição de Corrente (dB)
ρ1 = 1000 Ω.m
ρ3 = 0,001 Ω.m
ρ2 = 1 Ω.m
z (m)
Na figura 4.11 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
solo com três camadas, com penetração de 3 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a 1ª camada possui ρ1 = 1000 Ω.m e h1 = 2,5 m, a 2ª camada, ρ2 = 1 Ω.m e h2 =
2,5 m e a 3ª camada, ρ3 = 0,001 Ω.m, considerando-se o modelo de aterramento da
figura 4.2.
(a)
84
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
8
7z(m) 6
5
4
3
TGR (Imped. no ponto de injeção)
10
8
0
2
4
6
0 62 1484 1816Tempo (us)
1210
TGR (o
hms)
4 5 6 10x(m)3 7 8 9
(b)
(c)
Figura 4.11: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido
da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
85
Na figura 4.12 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) a impedância no ponto de injeção. Para um
solo com três camadas, com penetração de 5,5 metros da haste de inserção no mesmo,
onde a 1ª camada possui ρ1 = 1000 Ω.m e h1 = 2,5 m, a 2ª camada, ρ2 = 1 Ω.m e h2 =
2.5 m e a 3ª camada, ρ3 = 0,001 Ω.m, considerando-se o modelo de aterramento da
figura 4.2.
96z (m)
3 4 5 7 83
4
5 Distribuição de Corrente (dB)
6x(m)7
8
ρ1 = 1000 Ω.m
ρ3 = 0,001 Ω.m
ρ2 = 1 Ω.m
9
10
(a)
86
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
8
7z(m) 6
5
4
3
6
TGR (Imped. no ponto de injeção)10
8
0
4
0 62 1484 1816Tempo (us)
1210
TGR
(ohm
s)
6
2
4 5 6 10x(m)
3 7 8 9
(b)
(c)
Figura 4.12: (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido
da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) Quadro da TGR – impedância no
ponto de injeção.
87
Comentários:
Nas simulações de três camadas com a resistividade variando de forma crescente
(Figuras 4.7, 4.8 e 4.9) temos uma mínima e máxima de resistividade logo nas duas
primeiras camadas, o que leva-se ao resultado que a 1ª camada irá conduzir bem a
corrente por causa de sua alta condutividade e passará conduzindo também para a
segunda camada, mas não com a mesma intensidade de condução por apresentar alta
resistividade. A partir desta análise constata-se que para este caso, em que a corrente
encontra uma elevada resistividade na segunda camada, os resultados tanto para duas
como para três camadas são bastante parecidos, visto que a corrente não tem contato
com a terceira camada. A partir dos resultados apresentados nas simulações com
resistividades variando de forma decrescente (figuras 4.10, 4.11 e 4.12), observa-se um
caso de variação máxima e mínima de resistividade logo nas duas primeiras camadas,
o que leva ao resultado que na 1ª camada a corrente encontra certa barreira para
circular por causa de sua baixa condutividade, mas na 2ª camada passará a conduzir
melhor, por causa de sua condutividade ser melhor. Nota-se também neste caso
através dos quadros da TGR, que o valor da resistência da terra assume valores
decrescentes, como é comprovado nos quadros 4.10-c, 4.11-c e 4.12-c, por causa
variável sucessão de profundidade da haste de inserção, encontrando para este caso
camadas cada vez mais condutivas. É de importante relevância ressaltar que com a
variação de profundidade da haste de inserção no solo nos leva a um valor constante
da resistência da terra, isto é, quando chega numa determinada profundidade a mesma
não apresenta variações tão notórias, independentemente da ordem das resistividades.
88
4.4 Simulações utilizando apenas uma haste, o modelo fractal e o modelo fractal com a segunda ramificação.
4.4.1 Simulação com uma haste.
Na figura 4.14 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) distribuição de potencial na superfície do
solo; (d) a impedância no ponto de injeção. Para um solo homogêneo, com penetração
de 0,5 metros da haste de inserção, onde o mesmo possui ρ = 500 Ω.m. Considerando
o modelo de aterramento da figura 4.13.
Resistência
Fonte Superfície do solo
ρ = 500 Ω.m
Figura 4.13: Solo homogêneo com uma haste
897,5
z (m)3,5 4,5 5,5 6,53 6 74 5
5x(m)
1015
2025
30
Distribuição de Corrente (dB)
ρ = 500 Ω.m
(a)
90
7,5 0
-0,5-1
-1,5-2
-2,5-3
-3,5-4
-4,5
z(m)'
x(m)
76,56
5,5
54,54
3,53
5 10 15 20 2525 30
Distribuição de Corrente (dB)
(b)
Distribuição de Potencial na Superfície do Solo
(c)
91TGR (Imped. no ponto de injeção)
140
120
100TG
R (o
hms)
80
60
40
20
00 0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo (us)
(d)
Figura 4.14. (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido
da distribuição da intensidade de corrente em dB (c) distribuição de potencial na
superfície do solo (d) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção.
4.4.2 Simulação utilizando o modelo fractal.
Na figura 4.15 apresentam-se (a) modelo fractal no plano x-z ; (b) distribuição
vetorial de corrente em dB, enquanto que na (c) a distribuição da intensidade de
corrente em dB tudo no plano x-z, onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (d)
distribuição de potencial na superfície do solo; (e) a impedância no ponto de injeção.
Para um solo homogêneo, com resistividade de 500 Ω.m.
(a)
92z (m) 7,57
x(m)5
3 6,565,543,5 4,5 5
1015
2025
30
Distribuição de Corrente (dB)
ρ1 = 500 Ω.m
(b)
93
Distribuição de Corrente (dB)
7,5 0
-0,5-1
-1,5-2
-2,5-3
-3,5-4
-4,5
7
6,5
65,5z(m)
Distribuição de Potencial na Superfície do Solo
x(m)
54,54
3,53
5 10 15 20 25 30
(c)
(d)
94TGR (Imped. no ponto de injeção)
80
70
60
0 0,5 1,5 2 2,5 3Tempo (us)
TGR (o
hms) 50
40
30
20
10
01 3,5
(e)
Figura 4.15. (a) Modelo Fractal (b) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (c)
Quadro colorido da distribuição da intensidade de corrente em dB (d) distribuição de
potencial na superfície do solo (e) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção.
4.4.3 Simulação utilizando o modelo fractal com a segunda ramificação.
Na figura 4.16 apresentam-se (a) modelo fractal com a segunda ramificação; (b)
distribuição vetorial de corrente em dB, enquanto que na (c) a distribuição da
intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z, onde z é o eixo vertical e x o
horizontal; (d) distribuição de potencial na superfície do solo; (e) a impedância no ponto
de injeção. Para um solo homogêneo, com resistividade de 500 Ω.m.
(a)
95z (m) 7,57
x(m)5
1015
2025
30
ρ = 500 Ω.m
6,565,553,5 4,53 4
Distribuição de Corrente (dB)
(b)
96
Distribuição de Corrente (dB)
7,5 0
-0,5-1
-1,5-2
-2,5-3
-3,5-4
-4,5
76,5
65,5z(m)
x(m)
54,5
43,53
5 10 15 20 25 30
(c)
Distribuição de Potencial na Superfície do Solo
(d)
97TGR (Imped. no ponto de injeção)
60
50
TGR (o
hms) 40
30
20
10
00 0,5 1 1,5 2 2,5
Tempo (us)
(e)
Figura 4.16. (a) Modelo Fractal com a segunda ramificação (b) Quadro da distribuição
vetorial de corrente em dB (c) Quadro colorido da distribuição da intensidade de
corrente em dB (d) distribuição de potencial na superfície do solo (e) Quadro da TGR
– impedância no ponto de injeção.
Comentários:
Esta comparação utilizando o no solo apenas uma haste (figura 4.14), o modelo
fractal (figura 4.15) e o modelo fractal com a segunda ramificação (4.16), nos mostram
uma crescente melhoria na distribuição de corrente. Fica evidente a eficácia do modelo
fractal em comparação com uma haste, por este apresentar uma distribuição de
corrente voltada para o interior do solo e fazendo por conseqüência diminuir pela
metade a distribuição de potencial na superfície do solo, e que fica comprovado pelas
figuras 4.14-c e 4.15d. No caso do modelo fractal com o de segunda ramificação não é
bastante expressiva, mas tem muita importância, pois como fica evidenciado pelas
figuras 4.15-d e 4.16-d, temos uma melhoria de 1,5 volts na superfície do solo. Estas
melhorias se dão às crescentes inserções de metais nas comparações, onde as
próprias estavam sempre mais direcionadas para o interior do solo.
98
4.5 Simulação utilizando uma malha de terra e o modelo guarda chuva
4.5.1 Simulação com a malha de terra
A Figura 4.17 apresenta um esboço da malha de terra modelada (10 m x 10 m),
a qual é instalada a 0,5 m da superfície, onde o eixo z é o eixo vertical. Na figura 4.18
apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB, enquanto que na (b) a
distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z, onde z é o eixo vertical
e x o horizontal; (c) distribuição de potencial na superfície do solo; (d) a impedância no
ponto de injeção. Para um solo homogêneo, com resistividade de 500 Ω.m.
H (a)
aste de Excitação
.
(b)
Figura 4.17. (a) Malha 5x5 visão x-z (b) Malha 5x5 visão x-y.
99
z(m) 109
Distribuição de Corrente (dB)
6 7 8543
106
412
1416
x(m)8
182 2
ρ = 500 Ω.m
(a)
100
Distribuição de Potencial na Superfície do SoloDistribuição de Potencial na Superfície do Solo
Distribuição de Corrente (dB)
9 0-0.5-1
-1.5-2
-2.5-3
-3.5-4
-4.5-5
8
7z(m) 6
5
4
34 6 8 10 12 14 16
x(m)
(b)
(c)
10130
0
TGR (Imped. no ponto de injeção)
Tempo (us)
TGR (o
hms)
00,5
25
20
15
10
5
1
1 ,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
(d)
Figura 4.18 (a) Quadro da distribuição vetorial de corrente em dB (b) Quadro colorido da
distribuição da intensidade de corrente em dB (c) distribuição de potencial na superfície
do solo (d) Quadro da TGR – impedância no ponto de injeção.
4.5.2 Simulação com modelo guarda chuva
Na Figura 4.19 apresentam-se (a) distribuição vetorial de corrente em dB,
enquanto que na (b) a distribuição da intensidade de corrente em dB tudo no plano x-z,
onde z é o eixo vertical e x o horizontal; (c) distribuição de potencial na superfície do
solo; (d) a impedância no ponto de injeção. Para um solo homogêneo, cuja
resistividade é 500 Ω.m, no qual é inserida uma estrutura em forma de guarda chuva
com a distância de 0,5 m de sua superfície.
(a)
102
z(m)
106
412
1416
8 Distribuição de Corrente (dB)18
18
2 10 12 14 162 4 6 8
2x(m)
ρ = 500 Ω.m
(b)
103
Distribuição de Corrente (dB)
16 0-0.5-1
-1.5-2
-2.5-3
-3.5-4
-4.5-5
14
12
10z(m)8
6
4
5 10 15 20 25 30x(m)
(c)
Distribuição de Potencial na Superfície do Solo
(d)
104
TGR (Imped. no ponto de injeção)16
14
12
Tempo (us)
TGR (o
hms) 10
8
6
4
2
010 2 3 4 5 6
(e)
Figura 4.19 (a) Representação do guarda chuva em 3D (b) Quadro da distribuição
vetorial de corrente em dB (c) Quadro colorido da distribuição da intensidade de
corrente em dB (d) distribuição de potencial na superfície do solo (e) Quadro da TGR –
impedância no ponto de injeção.
Comentários:
Nesta simulação obtêm-se resultados bastante perceptíveis onde no primeiro
caso representado pela figura 4.17 tem-se a simulação utilizando uma malha de terra, é
importante ressaltar que este caso é dotado de uma maior superfície de contato com o
solo, o que na teoria seria uma excelente situação. Logo, leva-se ao conceito de que
toda a corrente seria direcionada para baixo. Contudo, percebe-se ainda a existência de
corrente na superfície do solo, as quais provocam quedas bruscas de potencial nos
extremos da malha (figura 4.18-c). Na estrutura do guarda chuva observa-se que
grande parte da corrente é direcionada para o interior do solo, de forma a reduzir de
forma considerável problemas relacionados a potencial de passo (figura 4.19-d), e
implicando conseqüentemente na margem de segurança.
105
4.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] W. M. S. Pessoa, R. M. S. de Oliveira, H. X. de Araújo, C. L. S. Sobrinho, “Distribuição Vetorial de Corrente em Sistemas de Aterramento”, DEEC/UFPA.
106
CAPÍTULO 5
Conclusão
O trabalho desenvolveu-se com o objetivo de aprofundar os conhecimentos
referentes à distribuição de corrente em um solo estratificado de diversas estruturas de
aterramento. Para a elaboração deste, foram feitos estudos sobre diversos tipos de
sistemas de aterramento e com o auxílio do método FDTD, que é uma poderosa
ferramenta numérica, devido a sua versatilidade e facilidade de uso, o qual aplicado
conjuntamente com o processamento paralelo mostra-se ser uma ferramenta ainda
mais poderosa para a solução de problemas envolvendo campos eletromagnéticos. O
software LANE SAGS foi utilizado neste trabalho com a intenção de observar o real
comportamento da corrente nas diversas situações que podem existir num sistema de
aterramento, obtendo-se assim um melhor conhecimento sobre cada caso.
Para um bom funcionamento de um sistema elétrico, seja na área de potência ou
na área de telecomunicações, é imprescindível um bom sistema de proteção contra
descargas atmosféricas e desta forma um bom sistema de aterramento. Embora
aparentemente simples, os sistemas de proteção devem levar em consideração muitas
variáveis, com o objetivo de garantir a continuidade do funcionamento dos sistemas
onde são empregados, assim como a proteção à vida humana. Sendo assim o
comportamento transitório dos sistemas de aterramento desempenha papel relevante
na resposta do sistema elétrico frente às solicitações determinadas por diversos
fenômenos de curta duração, sobretudo as descargas atmosféricas. Por outro lado, tais
solicitações representam o fator principal responsável pela interrupção dos serviços das
concessionárias de energia. Estima-se que cerca de 100 milhões de raios (nuvem-terra)
ocorram no Brasil todo ano, sendo considerado a principal causa de interrupções de
energia elétrica através de linhas de energia elétrica aéreas, provocando um aumento
dos custos nos serviços prestados pelas concessionárias de energia. Nesse contexto,
este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de aprofundar os conhecimentos
referentes à visualização da distribuição de corrente em um solo estratificado através da
107
inserção de um sistema de aterramento no solo. Os objetivos das simulações se
concentraram em observar não só o transitório dos parâmetros do sistema de
aterramento, mas também na parte estacionária. De uma forma geral, os resultados
obtidos neste trabalho são de suma importância, pois mostram que as simulações
realizadas nos fornecem o comportamento da corrente a partir de sua entrada no solo,
analisando este comportamento para vários casos sempre em busca do sistema de
aterramento mais apropriado para cada tipo de solo.
Como trabalhos futuros, sugerem-se as simulações em três dimensões e com o
mapeamento da distribuição de corrente poderá ser utilizado em projetos de novos
sistemas de aterramento, os quais deverão propiciar redução de transitórios, de
potencial de passo e de toque. Implicando assim na melhoria da qualidade de energia.
108
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CAPÍTULO 1
[1] L. Greev; F. Dawalibi, “An electromagnetic model for transients in grounding systems,” IEEE Trans. On Power Delivery, vol. 5, no. 4, pp. 1773-1781, November 1990. [2] K. Tanabe, "Novel method for analyzing the transient behavior of grounding systems based on the finite-difference time-domain method," CRIEPI Report -Tokio, 2001. [3] A. P. Sakis Meliopoulos, F. Xia, E. B. Joy and G. J Cokkinides, “An Advanced Computer Model for Grounding System Analysis,” IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 8, nº 1, 1993. .
[4] C. S. Desai; J. F. Abel, “Introduction to the Finite Element Method: A Numerical Approach for Engineering Analysis,” New York: Van Nostrand Reinhold. 1972.A. Taflove, “Advances in Computational Electromagnetics – The Finite-Difference Time-Domain Method,” Artech House, Boston-London, 1998. [5] A. Taflove, “Advances in Computational Electromagnetics – The Finite-Difference 3,, Time-Domain Method,” Artech House, Boston-London, 1998. [6] Yee, K. S., “Numerical Techniques in Electromagnetics,” CRC press.
[7] J. F. Almeida, R. O. dos Santos, and C. L. da S. S. Sobrinho, "Computational technique to UPML absorbing boundary conditions by FDTD: A complete approach," IEEE Latin America Transactions, vol. 3, no. 5, pp. 377382, Dec. 2005. [8] Johnny Marcus Gomes Rocha. CLUSTER BEOWULF: Aspectos de Projeto e Implementacao. 2003. Dissertação (Mestrado) - Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica, Centro Tecnológico, Universidade Federal do Pará, Belém. [9] www.lam-mpi.org
[10] Tuma, E. T. ; Oliveira, R. M. S. de ; Sobrinho, Carlos Leonidas da S. S., "New Model of Current Impulse Injection and Potencial Measurement in Transient Analysis ofGrounding Systems in Homogeneous and stratified Soils Using The FDTD Method," In: VIII International Symposium on Lightning Protection, 2005, São Paulo. VIII International Symposium on Lightning Protection, 2005.
109
[11] Araújo, H. X. de Oliveira, R.M.S de; Salame, Y. C.; Carlos Leonidas da S. S., "Novel Grounding Structures for reducing step potentials" In: XXVIII Iberian Latin American Congress On Computational Methods In Engineering, 2006, Belém-PA. [12] www.lane.ufpa.br
CAPÍTULO 2
[1] G. F. Tagg, Earth resistances, George Newnes Ltd., London, 1964. [2] C. H. M. Markvits, J. A. M. Leon “Critérios de medições, aterramento e segurança em subestações,” Anais do IV-SNPTE (Seminário Nacional de Produção e Transmissão de Energia Elétrica), Rio de Janeiro, 1977. [3] S. J. Pyrson, “Effect of anisotropy on apparent resistivity curves,” Bulletin of the American association of petroleum geologist, Vol.19, nº 1, 1935. .
[4] J. Endrenvy, “Evoluation of resistivity tests design of station grounds in nonuniform soil,” AIEE Transaction, paper 63-159, 1962. [5] H. B. Dwight, “Calculations of Resistances to Ground,” AIEE Transactions, Vol. 55, pp 1318-1328, 1936. [6] E. D. Sunde Earth conduction effects in transmission systems, Dover Publication Inc. New York, 1968. [7] S. F. Visacro, Aterramentos elétricos – Conceitos básicos, técnicas de medição e instrumentação, filosofias de aterramento, pp. 1-106, ArtLiber Edit., 3ª edição, Brasil, 2002. [8] F. A. Wenner, “Method of measuring earth resistivity,” Bulletin of the National Bureau of Standards, Washington D. C., Vol. 12, 1916. [9] L. C. Zaneta, Transitórios eletromagnéticos em sistemas de potência, Edusp, Brasil, 2003. [10] C. F. Dalziel, “Effects of eletric shock on man,” Electrical Engineering, Vol. 60, No.2, pp. 63-66, 1941. [11] IEE guide for safety in AC substation grounding, ANSI/IEEE Std 80-1986, 1986.
110
CAPÍTULO 3 [1] K. S. Yee, “Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media” IEEE Trans. Antenas and Propagation, Vol. 14, 1966, pp. 302-307. [2] R. Courant, K. O. Friedrichs, and H. Lewy, “Uber die partiellen differenzgleichungen der mathematischen physic”, Mathematische Annalen, Vol. 100, pp 32-74, 1928. [3] K. R. Umashankar, A. Taflove and B. Beker, “Calculation an experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity”, IEEE Trans. Antennas and Propagation, Vol 35, 1987, pp. 1248-1257. .
[4] T. Noda, S. Yokoyama, “Thin wire representation in finite difference time domain surge simulation”. IEEE Transactions on Power Delivery, Vol 17, No.3, 2002. [5] Y. Baba, N. Nagaoka, A. Ametani, “Modeling of thin wires in a lossy medium for FDTD simulations”. IEEE Transactions on Electromagnetics Compatibility, Vol 47, No 1, 2005. [6] A. Taflove and S. C. Hagness: Computational electrodynamics: The finite-difference time-domain Method, Artech house, inc., Boston, 2000. [7] S. D. Gedney, “Na anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices,” IEEE Trans. Antennas an Propagation, Vol. 44, pp. 1630-1639, 1996. [8] J. M. Rocha, “Cluster Beowulf: aspectos de projeto e implementação, “ Master’s thesis, Universidade Federal do Pará/PPGEE, Janeiro 2003. [9] “General public lecense,” The GNU at the Web: http://www.gnu.org/copyleft/gpl.html, 1991. [10] CENAPAD_NE, “Apostila do Workshop MPI”, Fevereiro, 1998. [11] FOSTER, T. lan, “Designing and Building Parallel Programs: Concepts and tools for parallel software engineering”, Addison-Wesley Publishing Company, 1994. [12] University of Illimois, “Introduction to MPI”, 2001. [13] A. Tanenbaun, Network computers. Prentice Hall, 2º edição 1989. [14] G. Andrews, Foundations of multithreaded, parallel and distributed programming, Addison Wesley, 2000.
111
[15] M. Snir, S. Otto, H. Steven, MPI: The complete reference. The MIT Press, Massachusetts, 1996. [16] R. M. S. de Oliveira, R. O. Santos, C. L. S. Sobrinho, “Numerical scattering analysis in indoor and outdoor environments by applying FDTD method” International Microwave and optoelectronics Conference, Iguazu Falls, 2003.
CAPÍTULO 4
[1] W. M. S. Pessoa, R. M. S. de Oliveira, H. X. de Araújo, C. L. S. Sobrinho, “Distribuição Vetorial de Corrente em Sistemas de Aterramento”, DEEC/UFPA.
