Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira 2007

Universidade Federal de PernambucoAnjolina Grisi de Oliveira

2007

Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE 2

• Ordem Parcial– Uma relação R em um conjunto S com as

seguintes propriedades • Reflexiva• Anti-simétrica• Transitiva

• Conjunto Parcialmente Ordenado (poset) - Um conjunto S juntamente com uma ordem

parcial R: (S,R)

Definições


Exemplos

• Mostre que (Z,) é um poset– Temos que a a para todo inteiro a:

reflexiva– Se a b e b a então a = b: anti-simétrica– Se a b e b c então a c: transitiva– Logo é uma ordem parcial no conjunto dos

inteiros e (Z, ) é um conjunto parcialmente ordendo.


Exemplos

• Mostre que a relação de inclusão é uma ordem parcial no conjunto das partes de um conjunto S. Ou seja, (P(S), ) é um poset.

• Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial. Ou seja, (Z+,|) é um poset.


• Em um poset a notação a b denota que (a,b) pertence a R

• A relação “menor ou igual” é um paradigma para ordens parciais

• A notação a b denota que a b, mas a b. Dizemos que “a é menor que b” ou “b é maior que a”.


• Por quê o nome ordem parcial?

– Em (P(Z),), {1,4} não se relaciona com {1,2} e nem vice-versa

– Em (Z+,|), 2 não se relaciona com 5 e nem vice-versa

• Os elementos a e b em um poset (S,) são chamados de comparáveis se ou a b ou b a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis.


• Se (S,) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e é chamada de ordem total ou linear.

• Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia

• O poset (Z, ) é uma cadeia

• O poset (Z+,|) não é totalmente ordenado


Ordem Lexicográfica

As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto.

Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas.


• Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A,1) e (B, 2)

• A ordem lexicográfica em A B é definida da seguinte forma:

(a1,b1) (a2,b2) se ou a1 <1 a2ou a1 = a2 e b1 <2 b2

A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A B


• Exemplo

Seja o poset (ZZ, ), onde é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual no conjunto dos inteiros. Determine se(3,5) < (4,8); (3,9)<(3,10); (6,8) < (6,9)


Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets:

(A1, ), (A2, )...,(An, ).

Defina a ordem parcial em AA...A por:

(a1,a2,...,an) < (b1,b2,...,bn)

Se a<b ou se existe um inteiro i>0 t.q.

a1=b1...ai=bi e ai+1<i+1 bi+1.


• Ordem lexicográfica de cadeias

– Considere as cadeias distintas a1a2...am e b1b2...bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S;

– Seja t o menor dentre m e n

– a1a2...am < b1b2...bn se e somente se

– (a1,a2...,at ) < (b1,b2...,bt ) ou– (a1,a2...,at) = (b1,b2...,bt) e m<n


Diagrama de Hasse

• Seja o poset ({1,2,3,4,6},|). Qual é a representação da relação | usando grafos?

6 4

3 2

1


Diagrama de Hasse

• A relação é reflexiva: possui laços em todos os nós• Não é preciso colocar os laços• Transitiva: não precisamos colocar as arestas que

ilustram a transitividade• Desenhamos o diagrama de forma que não é preciso

colocar setas 66 4

1

3 2


Diagrama de Hasse

• Desenhe o diagrama de Hasse para os seguintes posets

• (P({a,b,c},)

• ({2,4,5,10,12,20,25},|)


Elementos Maximais e Minimais

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• Seja um poset (S,).

•O elemento a é maximal nesse poset se não existe b S de forma que a < b.

•O elemento a é minimal nesse poset se não existe b S de forma que b < a.


Maior elemento/ Menor elemento

• a é o maior elemento no poset (S, ) se b a para todo b S

• a é o menor elemento no poset (S, ) se a b para todo b S

• Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos


Limitante superior/inferior

• Seja A um subconjunto do poset (S, ).

• Se u S e a u para todo a A, então u é chamado de limitante superior de A.

• Se l S e l a para todo a A, então l é chamado de limitante inferior de A.


Limitante superior/inferior

• Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a,b,c}, {j.h} e {a,c,d,f} do seguinte poset.

a

b

g

d

c

e

f

jh

De {a,b,c}: sup= {e,f,h,j}; inf={a}

De {j,h}: sup=; inf={f,d,e,b,c,a}

De {a,c,d,f}: sup={f,j,h}; inf={a}


Supremo e ínfimo

• Supremo: o menor dos limitantes superiores

• Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores

• Quando existem são únicos

• Qual o supremo e o ínfimo de {b,d,g} do poset do exemplo anterior?


Exemplo• Seja P o conjunto das cadeias de 0´s e 1´s (incluindo a

cadeia vazia). Defina a ordenação sobre P da seguinte forma: u v se e somente se v é prefixo de u. (Considere que a cadeia vazia é prefixo de qualquer cadeia).

• Mostre que (P, ) é um poset• Desenhe o diagrama de Hasse para as cadeias cujo

tamanho é menor ou igual a 3• Encontre os elementos maximais e minimais• Existe o menor/maior elemento? Qual?• Encontre os limitantes superiores/inferiores de {01,10}• Encontre o supremo e ínfimo de {0} (caso existam)


Reticulados

• Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado

a

b c

d e

f

O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d,e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles.

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