Universidade Federal de Pernambuco Centro de Informática Anjolina Grisi de Oliveira

Universidade Federal de Pernambuco

Centro de Informática

Anjolina Grisi de Oliveira

Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE 2

• O que é uma relação em um conjunto?

– Uma relação R em um conjunto S é uma relação de S para S

– Em outras palavras, é um subconjunto de S S

• O que é uma relação reflexiva?

- Uma relação R em um conjunto S é chamada de reflexiva se (s,s) S para todo elemento s S.

Relações


Relações

• O que é uma relação simétrica?– Uma relação R em um conjunto S é chamada

simétrica se (b,a) R toda vez que (a,b) R, para a,b S.

– Em outras palavras: Se (a,b) R → (b,a) R.

• O que é uma relação anti-simétrica?

- Uma relação R em um conjunto S é chamada anti-simétrica se quando (a,b) R e (b,a) R então a = b, para a,b S.

- Se (a,b) R Λ (b,a) R → a = b.


Relações

• O que é uma relação transitiva?– Uma relação R em um conjunto S é chamada

transitiva se toda vez que (a,b) R e (b,c) R, então (a,c) R, para a,b,c S.

– Se (a,b) R Λ (b,c) R → (a,c) R.


Exemplos

Defina uma relação no conjunto {1,2,3,4} que seja:

a) reflexiva, simétrica e não seja transitiva.R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3),(2,1),(3,2)}b) simétrica, transitiva, e não reflexivaR={(1,1)}c) reflexiva, anti-simétrica e não transitiva.R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,3)}d) reflexiva, simétrica e transitivaR={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}e) reflexiva, anti-simétrica e transitivaR={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}


• Explique como uma matriz de bits pode ser usada para representar uma relação em um conjunto finito S.– Liste os elementos de S em uma ordem arbitrária:

{s1,s2,...,sn}

– A relação R pode ser representada pela matriz MR = [mij] onde:

– [mij] = 1, se (si,sj) R

– [mij] = 0, se (si,sj) R

Relações

S={1,2,3} e R={(1,2),(2,2),(3,1)}

Ordem: {1,2,3}

0 1 0

0 1 0

1 0 0


• Explique como uma matriz de bits que representa uma relação em um conjunto finito S pode ser usada para determinar se a relação é reflexiva, simétrica, e anti-simétrica.– Reflexiva: se todos os elementos da diagonal principal

forem iguais a 1– Simétrica: se a matriz for igual a sua transposta– Anti-simétrica: para i j, se [mij] = 1 então [mji] = 0. Ou

em outras palavras, quando i j, ou [mij] = 0 ou [mji] = 0

Relações

1 1 0

0 1 0

1 0 1

Reflexiva e anti-simétrica


• O que é uma relação de equivalência em um conjunto?– É uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva

Relações de Equivalência

• Que relações no conjunto {a,b,c,d} são relações de equivalência e contêm os pares (a,b) e (b,d) ?

– R1={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a),(d,b),(d,a)}

– R2={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,d),(a,d),(b,a),(d,b),(d,a)(a,c),(c,a),(b,c),(d,c),(c,b),(c,d),}


• O que acontece com um conjunto onde é definida uma relação de equivalência ?– É criada uma partição no conjunto

Relações de Equivalência

• Dê um exemplo de uma relação de equivalência em um conjunto e identifique o conceito de classes de equivalência, relacionando-o com a noção de partição.– Seja S o conjunto dos inteiros positivos– R = { (x,y) | x y (mod 4) }– Existem quatro classes de equivalência: quando o resto da

divisão for 0, 1, 2 ou 3– Cada classe de equivalência é um subconjunto da partição

de S.


• O que é uma ordem parcial– É uma relação em um conjunto que tem as seguintes

propriedades: reflexiva, anti-simétrica e transitiva

Ordens Parciais

• Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial.– Reflexiva: z Z+, z|z– Anti-simétrica: Sejam, a,b,m e n Z+, se a|b e b|a →

a.m = b e b.n = a → a.m.n = a → m=n=1 → a=b– Transitiva: Sejam, a,b,c,m e n Z+, se a|b e b|c → a.m

= b e b.n = c → a.m.n = c → a|c, pois a operação de multiplicação é fechada em Z+.


• O que é conjunto parcialmente ordenado?

– É um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S,R)

– Também chamamos de poset (do inglês: partially ordered set)

– Usamos a notação (S,) para falarmos de um poset arbitrário

Ordens Parciais


• Por quê o nome ordem parcial?

– Em (P(Z),), {1,4} não se relaciona com {1,2} e nem vice-versa

– Em (Z+,|), 2 não se relaciona com 5 e nem vice-versa

• Os elementos a e b em um poset (S,) são chamados de comparáveis se ou a b ou b a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis.


• Se (S,) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e é chamada de ordem total ou linear.

• Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia

• O poset (Z, ) é uma cadeia

• O poset (Z+,|) não é totalmente ordenado


Ordem Lexicográfica

As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto.

Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas.


• Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A,1) e (B, 2)

• A ordem lexicográfica em A B é definida da seguinte forma:

(a1,b1) (a2,b2) se

ou a1 <1 a2

ou a1 = a2 e b1 <2 b2

A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A B


• Exemplo

Seja o poset (ZZ, ), onde é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual no conjunto dos inteiros. Determine se(3,5) < (4,8); (3,9)<(3,10); (6,8) < (6,9)


Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets:

(A1, 1), (A2, 2)...,(An, n).

Defina a ordem parcial em A1A2...An por:

(a1,a2,...,an) < (b1,b2,...,bn)

Se a1<1b1ou se existe um inteiro i>0 t.q.

a1=b1...ai=bi e ai+1<i+1 bi+1.


• Ordem lexicográfica de cadeias

– Considere as cadeias distintas a1a2...am e b1b2...bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S;

– Seja t o menor dentre m e n

– a1a2...am < b1b2...bn se e somente se

– (a1,a2...,at ) < (b1,b2...,bt ) ou

– (a1,a2...,at) = (b1,b2...,bt) e m<n


• ExemploSuponha que (S,1) e (T, 2) são conjuntos parcialmente ordenados. Mostre que (S T, ) é um conjunto parcialmente ordenado onde (s,t) (u,v) se e somente se s 1 u e t 2 v.

• Reflexiva: (s,t) S T, (s,t) (s,t) pois s 1 s e t 2 t

• Anti-simétrica: se ((s,t),(u,v)) e ((u,v),(s,t)) → s 1 u , t 2 v, u 1 s e v 2 t → s = u e t = v → (s,t) = (u,v)

• Transitiva: se ((s,t),(u,v)) e ((u,v),(w,z)) → s 1 u , t 2 v, u 1 w e v 2 z → s 1 w e t 2 z → ((s,t),(w,z))


Diagrama de Hasse

Desenhe o diagrama de Hasse para ({2,3,5,9,12,15,18},|)

2 3 5

9

18

15

12

Elementos maximais?

Elementos minimais ?

Menor elemento? Maior elemento?

12,15 e 18

2,3,5

Não Não


Elementos Maximais e Minimais

2 5

254

2012

10

• Seja um poset (S,).

• O elemento a é maximal nesse poset se não existe b S de forma que a < b.

• O elemento a é minimal nesse poset se não existe b S de forma que b < a.


Maior elemento/ Menor elemento

• a é o maior elemento no poset (S, ) se b a para todo b S

• a é o menor elemento no poset (S, ) se a b para todo b S

• Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos


Limitante superior/inferior

• Seja A um subconjunto do poset (S, ).

• Se u S e a u para todo a A, então u é chamado de limitante superior de A.

• Se i S e i a para todo a A, então i é chamado de limitante inferior de A.


Limitante superior/inferior

• Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a,b,c}, {j.h} e {a,c,d,f} do seguinte poset.

a

b

g

d

c

e

f

jh

• De {a,b,c}: sup= {e,f,h,j}; inf={a}

• De {j,h}: sup=; inf={f,d,e,b,c,a}

• De {a,c,d,f}: sup={f,j,h}; inf={a}


Supremo e ínfimo

• Supremo: o menor dos limitantes superiores

• Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores

• Quando existem são únicos

• Qual o supremo e o ínfimo de {b,d,g} do poset do exemplo anterior?


Reticulados

• Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado

a

b c

d e

f

O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d,e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles.

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