Universidad de Costa Rica Sede del Pac´ıﬁco Arnoldo ...aprendamosucr.com/mate/wp-content/uploads/sites/7/2016/08/anto... · Funciones de permutacion. Relaciones y estructuras

Universidad de Costa Rica

Sede del Pacıfico

Arnoldo Ferreto Segura

Material didactico

ESTRUCTURAS MATEMATICASDISCRETAS

Prof. Fabricio Bolanos Guerrero

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2014

Introduccion

Este documento es el resultado de impartir el curso MA0320: ESTRUCTURAS MATEMATICAS

DISCRETAS, durante varios semestres en la Sede del Pacıfico. Los contenidos de este curso son de

utilidad en cursos posteriores de la Carrera Informatica Empresarial, que se ofrece en esta Sede.

En esta antologıa se presentan algunas demostraciones y no se entra en detalle de otras pues no

estan dentro de los objetivos del curso.

Las listas de ejercicios son, en su mayorıa, preguntas de examenes de otros semestres y han sido

ordenadas por los contenidos que siguen:

Teorıa de conjuntos.

Divisibilidad e Induccion.

Relaciones.

Principios de conteo.

Funciones de permutacion.

Relaciones y estructuras de orden.

Grupos.

Les deseo exito en el curso y agradezco las recomendaciones que puedan hacer para mejorar este

documento.

El autor

Indice general

Indice general 3

Indice de figuras 5

1. Teorıa de Conjuntos 6

1.1. Preliminares y operaciones de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Ejercicios de Teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Funciones caracterısticas y Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Ejercicios de Funciones Caracterısticas y Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Divisibilidad e induccion 14

2.1. Ejercicios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Induccion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Ejercicios de Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Relaciones 21

3.1. Preliminares y Notaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Propiedades de las Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Manipulacion de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4. Ejercicios de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6. Ejercicios de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Principios de Conteo 33

4.1. Permutaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Matematicas Discretas

4.2. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3. Ejercicios de Permutaciones y Combinaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Funciones de Permutacion 37

5.1. Ejercicios de Funciones de Permutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6. Relaciones y estructuras de orden 41

6.1. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. Elementos extremos de conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . 44

6.3. Retıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3.1. Propiedades de las retıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.3.2. Tipos especiales de retıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.4. Ejercicios de Relaciones y estructuras de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7. Grupos 50

7.1. Operaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.2. Semigrupos: producto y cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.4. Ejercicios de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliografıa 55

Indice de figuras

6.1. Diagrama de Hasse del conjunto de (A, /). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.2. Diagrama de Hasse del conjunto D12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.3. Diagrama de Hasse del conjunto D30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4. Diagrama de Hasse del conjunto L = {0, 1}⇥D6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.5. Retıculas no distributivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Capıtulo 1

Teorıa de Conjuntos

1.1. Preliminares y operaciones de conjuntos

El conjunto es un concepto primitivo por eso no lo vamos a definir.

Definicion 1 Sean A y B conjuntos, definimos las operaciones entre conjuntos de la siguiente

forma:

1. Union de A y B:

A [B := {x|x 2 A _ x 2 B}

2. Interseccion de A y B:

A \B := {x|x 2 A ^ x 2 B}

3. Diferencia de A y B:

A� B := {x|x 2 A ^ x /2 B}

4. Diferencia simetrica de A y B:

A4 B := {x|x 2 (A [ B)� (A \ B)}

5. Complemento de A:

A := {x|x 2 (U � A)}

Observacion 1 En el caso del complemento, se supondra que existe un conjunto universal

(U) dado a priori, o en el ejercicio.

Teorıa de Conjuntos 7

Ejemplo 1 Sean los siguientes conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {0, 1, 2, 3},

B = {2, 3, 4}.

Observe que:

1. A [ B = {0, 1, 2, 3, 4}

2. A \ B = {2, 3}

3. A� B = {0, 1}

4. B � A = {4}

5. A = {4, 5}

6. B = {0, 1, 5}

7. A [ B = {5}

8. A \ B = {5}

Definicion 2 Decimos que el conjunto A esta contenido en el conjunto B y lo denotamos

A ✓ B, si 8x 2 A se tiene que x 2 B.

Observacion 2 Decimos que A = B () A ✓ B ^B ✓ A.

Ejemplo 2 Demostrar la siguiente igualdad de conjuntos:

A [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C)

Solucion:

Sea x 2 A [ (B \ C), entonces:

() x 2 A _ x 2 (B \ C)

() x 2 A _ (x 2 B ^ x 2 C)

() (x 2 A _ x 2 B) ^ (x 2 A _ x 2 C)

() x 2 (A [ B) ^ x 2 (A [ C)

() x 2 (A [ B) \ (A [ C)

Luego, como ya demostramos las dos inclusiones ✓ y ◆, podemos concluir que:

A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C).

A continuacion veamos un ejemplo solo con una inclusion:

Ejemplo 3 Demostrar:

A� (A� B) ✓ B

Solucion:

Sea x 2 A� (A� B), entonces:


() x 2 A ^ x /2 (A� B)

() x 2 A ^ (x /2 A _ x 2 B)

() (x 2 A ^ x /2 A) _ (x 2 A ^ x 2 B)

() x 2 A ^ x 2 B

=) x 2 B

Comenzamos dando un elemento arbitrario x 2 A� (A�B) y hemos concluido que x 2 B.

Luego, A� (A� B) ✓ B.

Ejemplo 4 Demostrar:

A4 B = (A� B) [ (B � A)

Solucion:

Sea x 2 A4 B, entonces:

() x 2 (A [B)� (A \ B)

() x 2 (A [B) ^ x /2 (A \B)

() (x 2 A _ x 2 B) ^ (x /2 A _ x /2 B)

() (x 2 A ^ x /2 A) _ (x 2 A ^ x /2 B) _ (x 2 B ^ x /2 A) _ (x 2 B ^ x /2 B)

() (x 2 A ^ x /2 B) _ (x 2 B ^ x /2 A)

() x 2 (A� B) _ x 2 (B � A)

() x 2 (A� B) [ (B � A)

Teorema 1 Sean A,B y C conjuntos. Ası se tienen las siguientes propiedades de las opera-

ciones entre conjuntos.

i. A [ B = B [ A Propiedad conmutativa

ii. A \ B = B \ A

iii. A [ (B [ C) = (A [ B) [ C Propiedad asociativa.

iv. A \ (B \ C) = (A \ B) \ C

v. A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Propiedad distributiva.

vi. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)

vii. A [ A = A Propiedad idempotente.

viii. A \ A = A

ix. A = A


Demostracion:

En el ejemplo 2 se demostro v.

Los demas se dejaran como ejercicio al estudiante.

1.2. Ejercicios de Teorıa de conjuntos

1. Demuestre las siguientes igualdades de conjuntos:

a) A [ B = A \ B

b) A \ B = A [ B

c) A� (B [ C) = (A� B) \ (A� C)

d) A� (B \ C) = (A� B) [ (A� C)

e) A \ (B � C) = (A \ B)� (A \ C)

2. ¿Puedo afirmar la siguiente igualdad de conjuntos A � (A � B) = B? En caso de que

alguna de las dos inclusiones no se cumpla debe indicarlo mediante un contraejemplo, si

se puede afirmar debe demostrarlo.

3. Demuestre cada uno de los siguientes resultados. Suponga la existencia de un conjunto

universal (U).

a) Si A ✓ B y C ✓ D, entonces A [ C ✓ B [D y A \ C ✓ B \D.

b) Si A ✓ C y B ✓ C, entonces A [B ✓ C y A \ B ✓ C.

c) A ✓ B () B ✓ A

d) A ✓ B () A \ B = ;

e) A ✓ B () A [ B = U

4. Demuestre o refute lo siguiente:

a) A \ C = B \ C =) A = B

b) A [ C = B [ C =) A = B

c) A \ C = B \ C ^ A [ C = B [ C =) A = B

d) A4 C = B 4 C =) A = B


1.3. Funciones caracterısticas y Cardinalidad

Definicion 3 La cardinalidad de un conjunto A se denota |A| y significa el numero de ele-

mentos que tiene dicho conjunto.

Teorema 2 Sean A,B y C conjuntos finitos entonces:

a) |A [ B| = |A|+ |B|� |A \ B|.

b) |A[B [C| = |A|+ |B|+ |C|� |A\B|� |A\C|� |B \C|+ |A\B \C| Demostracion:

a) La primera parte se deja como ejercicio para el estudiante.

b) La prueba de la segunda parte es:

|A [ B [ C| = |A|+ |B [ C|� |A \ (B [ C)|

= |A|+ |B|+ |C|� |B \ C|� (|(A \B) [ (A \ C)|)

= |A|+ |B|+ |C|� |B \ C|� (|(A \B)|+ |(A \ C)|� |A \B \ A \ C|)

= |A|+ |B|+ |C|� |B \ C|� |(A \B)|� |(A \ C)|+ |A \ B \ C|)

Ejemplo 5 Una encuesta realizada a 500 televidentes dio como resultado la siguiente infor-

macion: 285 veıan juegos de futbol; 195, juegos de hockey; 115, juegos de baloncesto; 45, juegos

de futbol y baloncesto; 70, juegos de futbol y hockey; 50, juegos de hockey y baloncesto; y 50 no

veıan ninguna de las tres clases de juego. ¿Cuantas personas observaban los tres deportes, y

cuantos veıan solamente un deporte?

Solucion:

Simplemente hay que aplicar el teorema anterior a los conjuntos de televidentes que se agrupan

por deporte, en este caso obtenemos:

Sea x la cantidad de personas que observaban los tres deportes, entonces:

|450| = |285|+ |195|+ |115|� |45|� |70|� |50|+ |x|

Despejando la incognita, obtenemos x = 20.

Luego los que observan solo futbol son: 285� 70� 45 + 20 = 190, los que observan solo hockey

son: 195 � 70 � 50 + 20 = 95, los que observan solo baloncesto son 115 � 45 � 50 + 20 = 40.

Para terminar, encontramos que 20 personas observaban los tres deportes y 190+95+40 = 325

solo uno de los tres deportes.


Definicion 4 Sea A un conjunto y x un elemento. Definimos la funcion caracterıstica de la

siguiente forma:

fA(x) =

8<

:1 si x 2 A

0 si x /2 A

Ejemplo 6 Sean los siguientes conjuntos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2} y B = {2, 4, 6}. De

esta forma:

fA(1) = 1 fB(1) = 0

fA(2) = 1 fB(2) = 1

fA(3) = 0 fB(3) = 0

fA(4) = 0 fB(4) = 1

fA(5) = 0 fB(5) = 0

fA(6) = 0 fB(6) = 1

Observacion 3 Como una sucesion de terminos se puede denotar fA = (1, 1, 0, 0, 0, 0) y

fB = (0, 1, 0, 1, 0, 1).

Teorema 3 Sean A,B conjuntos, ası se tienen las siguientes igualdades:

1. fA\B = fA · fB

2. fA[B = fA + fB � fA · fB

3. fA4B = fA + fB � 2fA · fB

4. fA�B = fA � fA · fB

Demostracion:

1) Hay que probar que fA\B(x) = fA(x) · fB(x) 8x,

si fA\B(x) = 1, entonces x 2 A \ B sii x 2 A ^ x 2 B sii fA(x) = 1 ^ fB(x) = 1.

Si fA\B(x) = 0, entonces x /2 A \ B sii x /2 A _ x /2 B sii fA(x) = 0 _ fB(x) = 0.

En todo caso, tenemos fA\B(x) = fA(x) · fB(x) 8x

2) Ejercicio.

3) Hay que demostrar fA4B(x) = fA(x) + fB(x)� 2fA(x) · fB(x) 8x.

Si fA4B(x) = 1, entonces sabemos que x esta en un conjunto o en el otro pero no en ambos.

Sin perder generalidad (SPG), suponga x 2 A ^ x /2 B sii fA(x) = 1 ^ fB(x) = 0.


Luego 1 = 1 + 0� 2 · 1 · 0.

Si fA4B(x) = 0, entonces podrıa ocurrir uno de los dos casos: x 2 A \ B _ x /2 (A [ B).

Si x 2 A \ B, tenemos 0 = 1 + 1� 2 · 1 · 1

Si x /2 (A [ B), sabemos x /2 A ^ x /2 B luego 0 = 0 + 0� 2 · 0 · 0.

En todo caso, se cumple fA4B(x) = fA(x) + fB(x)� 2fA(x) · fB(x) 8x

4) Ejercicio.

Observacion 4 El teorema anterior es util para demostrar algunas igualdades de conjuntos

por el hecho de A = B =) fA(x) = fB(x) 8x

1.4. Ejercicios de Funciones Caracterısticas y Cardinali-

dad

1. Demuestre o refute las siguientes proposiciones

a) A \ (B 4 C) = (A4 B) \ (A4 C)

b) A \ (B 4 C) = (A \B)4 (A \ C)

c) A [ (B 4 C) = (A [ B)4 (A [ C)

d) A4 (B \ C) = (A4 B) \ (A4 C)

e) A4 (B [ C) = (A4 B) [ (A4 C)

f) (A4 B)4 C = A4 (B 4 C)

2. En una encuesta realizada a 60 personas se encontro que 25 leen La Nacion; 26, La Extra;

y 26, La Republica. Tambien, 9 leen La Nacion y La Republica; 11, La Nacion y La Extra;

8, La Extra y La Republica; y 8 no leen ninguno de los tres periodicos.

a) Encuentre el numero de personas que leen los tres periodicos.

b) Determine el numero de personas que leen exactamente un periodico

3. En una exposicion cientıfica de un colegio, 34 estudiantes recibieron premios por sus

proyectos cientıficos. Se ganaron 14 premios por proyectos de Biologıa, 13 por Quımica

y 21 por Fısica. Si 3 estudiantes recibieron premios en las tres areas tematicas¿cuantos

recibieron premios por exactamente a) un area tematica, b) dos areas tematicas?


4. El grupo de primer ingreso en una escuela de Ingenierıa tiene 300 estudiantes. Se sabe

que 180 pueden programar en Pascal, 120 en Fortran, 30 en APL, 12 en Pascal y APL, 18

en Fortran y APL, 12 en Pascal y Fortran y 6 en los tres lenguajes. ¿Cuantos estudiantes

pueden programar en exactamente 2 lenguajes de programacion?

Capıtulo 2

Divisibilidad e induccion

Definicion 5 Si a, b 2 Z decimos que a divide a b si 9 k 2 Z tal que ak = b. En este caso, lo

denotaremos a | b y tambien diremos que a es un divisor de b; o que b es un multiplo de a.

Teorema 4 Sean a, b, c 2 Z, de este modo

1. 1 | a y a | 0

2. Si a | b y a | c, entonces a | (b+ c)

3. Si a | b y a | c, entonces a | (b� c)

4. Si a | b y b | a, entonces a = b o a = �b

5. Si a | b y b | c, entonces a | c

Demostracion:

2. Como a | b y a | c. Podemos afirmar que existen k1

, k2

2 Z, tal que ak1

= b y ak2

= c.

Despues, sumando estas dos igualdades tenemos: ak1

+ak2

= b+ c, de donde a(k1

+k2

) = b+ c.

Luego a | (b+ c).

5. Como a | b y b | c. Entonces existen k1

, k2

2 Z, tal que ak1

= b y bk2

= c. Sustituyendo

b = ak1

en la segunda igualdad obtenemos: ak1

k2

= c. a | c.

Teorema 5 El algoritmo de la division. Si a, b 2 Z, b > 0, entonces existen q, r 2 Z unicos,

tales que a = bq + r, con 0 r < b.

Definicion 6 Un numero p 2 Z, p > 1 se llama primo si los unicos divisores que tiene son 1

o sı mismo, es decir, si a | p entonces a = 1 o a = p.

Divisibilidad e induccion 15

Teorema 6 Euclides. El conjunto de todos los numeros primos (P ) es infinito.

Demostracion:

Suponga que |P | = n es finito, entonces P = {p1

, p2

, . . . , pn}. Sea

x = p1

· p2

· . . . · pn + 1, es claro que x es un numero primo. ()().

Definicion 7 Sean a, b 2 Z, c > 0 es un divisor comun de a y b si c | a y c | b.

Definicion 8 Sean a, b 2 Z, donde a 6= 0, b 6= 0. De esta forma decimos para d > 0 que es el

Maximo Comun Divisor (MCD.) de a y b si:

1. d | a y d | b.

2. Si c | a y c | b, entonces c | d.

En este caso, denotaremos MCD(a, b) = d.

Teorema 7 Si a, b 2 N y b > a entonces M.C.D.(a, b) = M.C.D.(a, b� a)

Ejemplo 7 Encuentre el Maximo Comun Divisor de 1820 y 231, debe expresarlo en la forma

de 1820x+ 231y = MCD(1820, 231) donde x, y 2 Z mediante el algoritmo de Euclides. Solu-

cion:

Primero encontramos el Maximo Comun Divisor por medio del algoritmo de Euclides, este

metodo consiste en repetir el algoritmo de la division, en el cual el nuevo dividendo es el co-

ciente anterior, el nuevo divisor es el residuo anterior y el MCD es el ultimo residuo diferente

de cero. Despues se sustituye hacia atras.

En este caso tenemos:

1820 = 231 · 7 + 203 luego 203 = 1820� 231 · 7

231 = 203 · 1 + 28 luego 28 = 231� 203 · 1

203 = 28 · 7 + 7 luego 7 = 203� 28 · 7De las igualdades anteriores se obtiene:

7 = 203� 28 · 7

= 203� (231� 203 · 1) · 7

= 8(203)� 7(231)

= 8(1820� 231 · 7)� 7(231)

= 8(1820)� 63(231), en este caso, x = 8, y = �63.


Teorema 8 Si MCD(a, b) = d, entonces: 9 x, y 2 Z, tales que ax+ by = d.

Definicion 9 Si MCD(a, b) = 1 diremos que a y b son primos relativos.

Teorema 9 Sean a, b 2 N y p un numero primo. Si p | (ab), entonces p | a o p | b.

Demostracion:

Para probar el teorema existen dos casos: - Si p | a listo.

- Si p - a, entonces MCD(p, a) = 1, luego 9 x, y 2 Z, tales que px+ ay = 1. Luego obtenemos

lo siguiente:

1 = px+ ay

b = pbx+ aby multiplicando por b a ambos lados

b = pbx+ pcy como p | (ab)) 9c 2 N : pc = ab

b = p(bx+ cy)

Luego p | b

Ejemplo 8 Demostrar quep2 es irracional. Solucion:

Supongamos por contradiccion quep2 es racional, por lo que

p2 se puede expresar de la forma

a

b, donde a, b 2 N y MCD(a, b) = 1. Luego tenemos:p2 =

a

b

2 =a2

b2

2b2 = a2 Luego 2 | a.Es decir, a = 2k para algun k 2 N; al sustituir en la parte anterior obtenemos:

2b2 = (2k)2

2b2 = 4k2

b2 = 2k2 Luego 2 | b ()()

Esto no puede ser posible, es una contradiccion, por que habıamos supuesto que M.C.D.(a, b) =

1. De esta manera,p2 no es un numero racional.

Teorema 10 Fundamental de la Aritmetica. Todo numero n 2 N puede escribirse de forma

unica n = pk11

· pk22

· ...pkss , donde p1

< p2

< ... < ps son primos y ki 2 N.

Definicion 10 Si a, b,m 2 N, a | m y b | m se dice que m es un multiplo comun de a y b. El

menor de estos m se llamara el Mınimo Comun Multiplo y lo denotaremos por MCM(a, b).

Teorema 11 Si a, b 2 N entonces MCD(a, b) ·MCM(a, b) = a · b.


2.1. Ejercicios de Divisibilidad

1. Encuentre el Maximo Comun Divisor de 77 y 128, debe expresarlo en la forma de 77x+

128y = MCD(77, 128), donde x, y 2 Z mediante el algoritmo de Euclides.





4. Demuestre que si MCD(a, c) = 1 y c | ab entonces c | b.

5. Demostrar quep3 es irracional.

2.2. Induccion matematica

Teorema 12 Principio de Induccion Matematica. Sea S(n) una proposicion en la que aparece

la variable n. Si la proposicion S(n) cumple:

1. S(n0

) es verdadera. Para algun n0

� 1

2. Si cuando S(k) es verdadera (k > n0

) podemos concluir que S(k + 1) es verdadera;

Entonces S(n) es verdadera 8 n � n0

Ejemplo 9 Demostrar la siguiente igualdad: 1 + 2 + . . .+ n =n(n+ 1)

2Solucion:

Primero lo probamos para n = 1, en este caso nos queda: 1 = 1.

Luego, suponemos cierto para n = k, es decir: 1 + 2 + . . .+ k =k(k + 1)

2Ahora hay que probarlo para n = k + 1, es decir:

1 + 2 + . . .+ k + (k + 1) =(k + 1)(k + 2)

2


Sumamos k + 1 a ambos lados de la primera igualdad y obtenemos:

1 + 2 + . . .+ k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

=k2 + k + 2k + 2

2

=k2 + 3k + 2

2

=(k + 1)(k + 2)

2

Ejemplo 10 Demostrar que 13 + 23 + . . .+ n3 =n2(n+ 1)2

4Solucion:

Primero lo probamos para n = 1, en este caso nos queda: 1 = 1.

Luego, suponemos cierto para n = k, es decir: 13 + 23 + . . .+ k3 =k2(k + 1)2

4Ahora hay que probarlo para n = k + 1, es decir:

13 + 23 + . . .+ k3 + (k + 1)3 =(k + 1)2(k + 2)2

4

Sumamos (k + 1)3 a ambos lados de la primera igualdad y obtenemos:

13 + 23 + . . .+ k3 + (k + 1)3 =k2(k + 1)2

4+ (k + 1)3

=k2(k + 1)2 + 4(k + 1)3

4

=(k + 1)2(k2 + 4(k + 1))

4

=(k + 1)2(k2 + 4k + 4)

4

=(k + 1)2(k + 2)2

4

Ejemplo 11 Demostrar que 7 es factor de 11n � 4n Solucion:

Primero lo probamos para n = 1, en este caso nos queda: 11� 4 = 7 = 7(1)

Luego suponemos cierto para n = k, es decir: 9c 2 N : 11k � 4k = 7c

Ahora hay que probarlo para n = k + 1, es decir: 11k+1 � 4k+1 = 7c⇤

Para esto consideremos la hipotesis de induccion


11k � 4k = 7c

11k(11� 10)� 4k(4� 3) = 7c

11k+1 � 10 · 11k � 4k+1 + 3 · 4k = 7c

11k+1 � 4k+1 = 7c+ 10 · 11k � 3 · 4k

11k+1 � 4k+1 = 7c+ 10 · 11k � 3 · 4k � 7 · 4k + 7 · 4k

11k+1 � 4k+1 = 7c+ 10 · 11k � 10 · 4k + 7 · 4k

11k+1 � 4k+1 = 7c+ 10(11k � 4k) + 7 · 4k

11k+1 � 4k+1 = 7c+ 10(7c) + 7 · 4k

11k+1 � 4k+1 = 7(11c+ 4k)

11k+1 � 4k+1 = 7(c⇤)

2.3. Ejercicios de Induccion

1. Demostrar que: a+ ar + ar2 + . . .+ arn�1 =a(1� rn)

1� rpara r 6= 1.

2. Demuestre por induccion:

a)1

2+

1

6+ . . .+

1

n(n+ 1)=

n

n+ 1

b) 12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

3. Utilice induccion para demostrar que:

a) 12 + 32 + 52 + . . .+ (2n� 1)2 =n(2n+ 1)(2n� 1)

3b)1 + 5 + . . .+ (4n� 3) = n(2n� 1)

4. Demostrar que 3 es factor de n3 � n+ 3

5. Demostrar que 9 es factor de 10n+1 + 3 · 10n + 5

6. Demostrar que 11 es factor de 10n + (�1)n+1

7. Demostrar que 57 divide a 7n+2 + 82n+1

8. Demostrar que 10n � 1 es divisible por 9


9. Demostrar que un numero N es divisible por 9 si y solo si la suma de los dıgitos de N es

divisible por 9

Capıtulo 3

Relaciones

3.1. Preliminares y Notaciones

Definicion 11 Sean A y B dos conjuntos no vacıos el producto cartesiano de A y B se

denotara A⇥ B y esta dado por {(a, b) : a 2 A, b 2 B}

Ejemplo 12 Si A = {0, 1} y B = {a, b}, entonces A⇥ B = {(0, a), (0, b), (1, a), (1, b)}.

Observacion 5 En lo sucesivo supondremos que los conjuntos con los cuales vamos a trabajar

son no vacıos.

Definicion 12 Sean A1

, A2

, . . . , An, n conjuntos no vacıos, definimos el producto cartesiano

de la forma

A1

⇥ A2

⇥ . . .⇥ An = {(a1

, a2

, . . . , an) : ai 2 Ai 8i = 1, . . . , n},

a los elementos de este producto cartesiano se les acostumbra llamar n-tuple.

Definicion 13 Una particion de un conjunto no vacıo A es una coleccion de subconjuntos

A1

, A2

, . . . , An de A que cumplen:

1. 8 a 2 A 9i : a 2 Ai

2. Ai \ Aj = ; si i 6= j

Definicion 14 Sean A y B dos conjuntos. Una relacion de A en B es un subconjunto de

A⇥ B.


Observacion 6 En el caso que A = B se le llamara una relacion binaria en A.

Ejemplo 13 Sean A = B = {1, 2, 3, 4, 5} y sea la relacion dada por a ⇠ b () a < b.

Encuentre los elementos de la relacion ⇠ Solucion:

En este caso tenemos que

⇠ = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}

Ejemplo 14 Con los conjuntos del ejemplo anterior y la relacion dada por aRb () a|b

Encuentre R. Solucion:

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}

Observacion 7 En muchos casos usaremos la notacion a R b para decir que a se relaciona

con b, en el caso contrario, que a no se relacione con b lo denotaremos por a R| b lo que significa

que (a, b) /2 R.

Teorema 13 Sean A,B y C conjuntos, entonces:

1. A⇥ (B \ C) = (A⇥ B) \ (A⇥ C)

2. A⇥ (B [ C) = (A⇥ B) [ (A⇥ C)

3. (A \ B)⇥ C = (A⇥ C) \ (B ⇥ C)

4. (A [ B)⇥ C = (A⇥ C) [ (B ⇥ C).

Demostracion:

Haremos la demostracion del apartado 2, las demas son muy parecidas.

Sea (x, y) 2 A⇥ (B [ C). De esta forma:

() x 2 A ^ y 2 (B [ C)

() x 2 A ^ (y 2 B _ y 2 C)

() (x 2 A ^ y 2 B) _ (x 2 A ^ y 2 C)

() (x, y) 2 (A⇥ B) _ (x, y) 2 (A⇥ C)

() (x, y) 2 (A⇥ B) [ (A⇥ C)

Definicion 15 Sea R ✓ A⇥ B una relacion de A en B. Sean los conjuntos:

Relaciones 23

i) Dominio de R, denotado por:

Dom(R) = {x 2 A : 9 y 2 B, x R y}

ii) Rango de R, denotado por:

Ran(R) = {y 2 B : 9 x 2 A, x R y}

iii) El conjunto relativo en R de x, denotado por:

R(x) = {y 2 B : x R y}

iv) Si A1

✓ A, el conjunto relativo en R de A1

, denotado por:

R(A1

) = {y 2 B : 9x 2 A1

, x R y}

Teorema 14 Sea R una relacion de A en B, sean A1

, A2

✓ A. Entonces:

a) Si A1

✓ A2

, entonces R(A1

) ✓ R(A2

)

b) R(A1

[ A2

) = R(A1

) [R(A2

)

c) R(A1

\ A2

) ✓ R(A1

) \R(A2

)

Demostracion:

a) Hip. A1

✓ A2

H.Q.P. R(A1

) ✓ R(A2

)

Sea y 2 R(A1

) =) 9x 2 A1

| x R y =) 9x 2 A2

| x R y, pues A1

✓ A2

=) y 2 R(A2

)

b) Ejercicio.

c) H.Q.P. R(A1

\ A2

) ✓ R(A1

) \R(A2

)

Sea y 2 R(A1

\ A2

)

=) 9x 2 (A1

\ A2

) | x R y

=) (9x 2 A1

^ 9x 2 A2

) | x R y

=) (9x 2 A1

| x R y) ^ (9x 2 A2

) | x R y

=) y 2 R(A1

) ^ y 2 R(A2

)

=) y 2 R(A1

) \ y 2 R(A2

)


3.2. Propiedades de las Relaciones

En esta seccion, a menos que se diga lo contrario, supondremos que las Relaciones estan

definidas sobre un mismo conjunto; es decir, son binarias.

Definicion 16 Sea R una relacion sobre un conjunto A, decimos que R es

i) reflexiva si a R a, 8 a 2 A, es decir si (a, a) 2 R

ii) simetrica si cuando a R b entonces b R a

iii) transitiva si cuando a R b y b R c tenemos a R c

Ejemplo 15 Sea A = N y sobre A definimos la siguiente relacion: a R b () a = bk para

algun k 2 N. Investigue si R es reflexiva, simetrica y transitiva. Solucion:

i) El caso de reflexiva es muy facil, ya que 8a 2 A, a = a1, lo que demuestra que aRa.

ii) Para demostrar que no es simetrica basta con senalar un ejemplo: es claro que (8, 2) 2 R

pues 8 = 23, pero (2, 8) /2 R pues 2 = 81/3, pero 1/3 /2 N.

iii) En el caso de reflexiva suponga que tenemos que a R b y b R c, es decir a = bk1 y

b = ck2 para algunos k1

, k2

2 N . Luego, sustituyendo b en la primera igualdad obtenemos:

a = (ck2)k1 = ck1k2 = ck3, donde k3

2 N .

Definicion 17 Sea R una relacion sobre un conjunto A. Decimos que R es una relacion de

equivalencia o simplemente de equivalencia si R es reflexiva, simetrica y transitiva.

Ejemplo 16 Sea A = Z y sobre A definimos la siguiente relacion: a R b() a� b = 4k para

algun k 2 Z. Demuestre que R es de equivalencia. Solucion:

Para demostrar que la relacion es de equivalencia tenemos que hacer tres partes:

i) Reflexiva:

a R a() a� a = 0 = 4(0), 0 2 Z

ii) Simetrica:

Supongamos que a R b, es decir a� b = 4k, k 2 Z. Multiplicando por -1 obtenemos:

b� a = 4(�k),�k 2 Z. Luego b R a.

iii) Transitiva:

Relaciones 25

Supongamos que tenemos que a R b y b R c, es decir:

a � b = 4k1

, k1

2 Z y b � c = 4k2

, k2

2 Z. Luego, sumando ambos lados de las igualdades

anteriores tenemos: a� c = 4k1

� 4k2

= 4(k1

� k2

) = 4k3

, k3

2 Z.

Teorema 15 Sea P = {A1

, A2

, . . .} una particion de A, sea la relacion R dada por a R b()

a, b 2 Ai para algun i. Entonces R es una relacion de equivalencia.

Demostracion: Ejercicio.

Definicion 18 La relacion definida por el teorema anterior se llamara la relacion de equiva-

lencia, determinada por P .

Lema 1 Sea R una relacion de equivalencia en un conjunto A, sean a, b 2 A. De esta forma

a R b si y solo si R(a) = R(b).

Demostracion:

“=)”

Sea x 2 R(a) =) a R x =) a R b^x R a, por hipotesis y por ser de equivalencia es simetrica,

luego por ser transitiva =) x R b =) x 2 R(b). La otra inclusion es analoga.

“(=”

a 2 R(a) por ser reflexiva, luego a 2 R(b) =) b R a =) a R b por ser simetrica.

Teorema 16 Sea R una relacion de equivalencia sobre A. Sea P la coleccion de todos los

conjuntos relativos R(a) diferentes para a 2 A. Entonces P es una particion de A y R es la

relacion de equivalencia determinada por P .

Demostracion:

En este caso, en vez de Ai, llamaremos a los conjuntos de la particion (diferentes) como R(a).

i) a 2 R(a), pues la relacion es reflexiva.

ii) Tenemos que probar que R(a) \ R(b) = ; si aR| b. Si existe c 2 R(a) \ R(b), entonces

c 2 R(a) ^ c 2 R(b), luego c R a ^ cR b, b R c ^ c R a, como la relacion es de equivalencia

obtenemos: b R a, luego por el lema anterior R(a) = R(b), lo cual es una contradiccion pues

habıamos supuesto que los conjuntos relativos eran diferentes.

Despues, para que aR b la condicion debe ser que ambos pertenezcan al mismo bloque.


Definicion 19 A los conjuntos relativos R(a) se les llamara: la clase de equivalencia del

elemento a, y al conjunto de las clases de equivalencia se le llamara el conjunto cociente, que

se denotara A/R.

3.3. Manipulacion de Relaciones

Definicion 20 Sea R una relacion de A en B. Definimos la relacion complementaria R de

la siguiente forma: a R b() a R| b, es decir, si (a, b) /2 R.

Definicion 21 Sea R una relacion de A en B. Definimos la relacion inversa R�1 de la si-

guiente manera: b R�1 a() a R b, es decir, si (a, b) 2 R.

Teorema 17 Suponga que R y S son relaciones de A en B.

a) Si R ✓ S, entonces R�1 ✓ S�1

b) Si R ✓ S, entonces S ✓ R

c) (R \ S)�1 = R�1 \ S�1 y (R [ S)�1 = R�1 [ S�1

d) (R \ S) = R [ S y (R [ S) = R \ S

Demostracion:

Las partes b) y d) son casos similares de las propiedades de conjuntos demostradas en el capıtulo

anterior. Vamos a demostrar las partes a) y c) en primer lugar:

a) Sea (b, a) 2 R�1 () b R�1 a () a R b () (a, b) 2 R =) (a, b) 2 S () b S�1a ()

(b, a) 2 S�1.

En segundo lugar: c) Sea (b, a) 2 (R \ S)�1

() b (R \ S)�1 a

() a (R \ S) b

() (a, b) 2 (R \ S)

() (a, b) 2 R ^ (a, b) 2 S

() a R b ^ a S b

() b R�1 a ^ b S�1 a

() (b, a) 2 R�1 ^ (b, a) 2 S�1

() (b, a) 2 R�1 \ S�1

Relaciones 27

Teorema 18 Sean R y S relaciones sobre un conjunto A:

1. Si R es reflexiva tambien lo es R�1

2. Si R y S son reflexivas tambien lo son R \ S y R [ S

3. R es simetrica si y solo si R = R�1

4. Si R es simetrica entonces tambien lo son R�1 y R

Definicion 22 Sea R una relacion sobre un conjunto A, sea la relacion R2 dada por

a R2 c() 9b 2 A|a R b ^ b R c

Teorema 19 Sean R y S relaciones sobre A.

a) (R \ S)2 ✓ R2 \ S2

b) Si R y S son transitivas entonces R \ S es transitiva.

Demostracion:

a) Sea (a, c) 2 (R \ S)2

() 9b 2 A|a (R \ S) b ^ b (R \ S) c

() 9b 2 A|(a, b) 2 (R \ S) ^ (b, c) 2 (R \R)

() 9b 2 A|(a, b) 2 R ^ (a, b) 2 S ^ (b, c) 2 R ^ (b, c) 2 S

() 9b 2 A|(a, b) 2 R ^ (b, c) 2 R ^ (a, b) 2 S ^ (b, c) 2 S

=) (a, c) 2 R2 ^ (a, c) 2 S2

() (a, c) 2 R2 \ S2

b) Ejercicio.

Definicion 23 Sean A,B y C conjuntos; R una relacion de A en B; S una relacion de B en

C, entonces definimos la relacion S �R de A en C dada por

a (S �R) c() 9b 2 B : a R b ^ b S c

Esta relacion se conoce como la composicion de relaciones.

Teorema 20 Sea R una relacion de A en B, sea S una relacion de B en C. De esta forma,

si A1

✓ A tenemos (S � R)(A1

) = S(R(A1

)).


Teorema 21 Sean A, B, C y D conjuntos; R una relacion de A en B; S una relacion de B

en C y T una relacion de C en D. Entonces: T � (S � R) = (T � S) �R

Teorema 22 Sean A,B y C conjuntos; R una relacion de A en B; S una relacion de B en

C. Ası: (S � R)�1 = R�1 � S�1.

Demostracion:

Sea (c, a) 2 (S �R)�1

() (a, c) 2 (S �R)

() 9b 2 B|a R b ^ b S c

() 9b 2 B|b R�1 a ^ c S�1 b

() 9b 2 B| ^ c S�1 b ^ b R�1 a

() c R�1 � S�1 a

() (c, a) 2 R�1 � S�1

3.4. Ejercicios de Relaciones

1. En Z definimos la siguiente relacion: a ⇠ b ! a� b es divisible por 5.

i- Demuestre que ⇠ es de equivalencia.

ii- Encuentre todas las clases de equivalencia.

2. En Z definimos la relacion: aRb, a� b es divisible por 6.

Demuestre que R es de equivalencia; encuentre Z/R.

3. Definicion: una relacion R en un conjunto A se llama circular si cumple

a R b y b R c �! c R a.

Demuestre que R es reflexiva y circular si y solo si es una relacion de equivalencia.

4. Sea N = {0, 1, 2, . . .} y sea A = N⇥ N.

Definimos sobre A la siguiente relacion: (a, b)R(c, d), ad = bc.

a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia.

b) Encuentre las clases de equivalencia de los siguientes elementos de A:

(3, 2), (4, 2), (2, 3), (1, 1).

Relaciones 29

5. Sea N = {0, 1, 2, . . .} y sea A = N⇥ N.

Definimos sobre A la siguiente relacion: (a, b)R(c, d), a+ d = b+ c.

a) Demuestre que R es una relacion de equivalencia.

b) Encuentre las clases de equivalencia de los siguientes elementos de A:

(3, 2), (4, 2), (2, 3), (1, 1).

6. Demuestre que si R y S son relaciones de equivalencia, entonces R \ S tambien es de

equivalencia.

7. Sea A = {1, 2, 3, 4}. Sean R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2)} y

S = {(3, 1), (4, 4), (2, 3), (2, 4), (1, 1), (1, 4)}.

Verifique la siguiente inclusion de conjuntos: (R \ S)2 ⇢ R2 \ S2.

8. Sea IN = {0, 1, 2, . . .} el conjunto de numeros naturales y sea A = IN⇥IN⇥IN . Definimos

sobre A la siguiente relacion: (a, b, c)R(d, e, f), a+ b+ c = d+ e+ f .

Demuestre que R es una relacion de equivalencia.

9. Sean R : A �! B y S : B �! C relaciones.

Demostrar que (S �R)�1 = R�1 � S�1.

10. Sea A = {1, 2, 3, 4} Sean R = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2)} y

S = {(3, 1), (4, 4), (2, 3), (2, 4), (1, 1), (1, 4)}.

Calcule S �R y R � S.

3.5. Funciones

Definicion 24 Una funcion f de A en B es una relacion de A en B que le asigna a cada

elemento de A un elemento de B, es decir, que cumple:

a) El Dominio de f es A.

b) Si (x, y), (x, y0) 2 f entonces y = y0.

Observacion 8 Una funcion f de A en B se denota por f : A �! B.

En el caso de funciones se acostumbra escribir y = f(x) en vez de (x, y) 2 f o de x f y

.


Definicion 25 Si y = f(x) diremos que y es la imagen de x, o bien que x es la preimagen de

y.

Definicion 26 Sea f : A �! B. Definimos algunos tipos especiales de funciones:

a) Inyectiva sii f(x) = f(y) =) x = y. Es decir, si preimagenes diferentes tienen diferentes

imagenes (por la contrapositiva logica);en este caso se acostumbra denotar 1� 1.

b) Sobreyectiva sii Ran(f) = B. Es decir, el ambito es igual al Codominio. Tambien se le suele

llamar simplemente sobre.

c) Biyectiva sii es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Definicion 27 Sea f : A �! A decimos que f es la funcion identidad de A si f(x) = x y la

denotaremos 1A(x) = x

Definicion 28 Decimos que una funcion f : A �! B es invertible si la relacion inversa

tambien es una funcion.

Teorema 23 Sea f : A �! B una funcion. Entonces f es invertible si y solo si f es biyectiva.

Demostracion:

“=)”

Para ver que f es inyectiva:

Si f(x) = f(y)

=) f�1(f(x)) = f�1(f(y))

=) (f�1 � f)(x) = (f�1 � f)(y)

=) (1A)(x) = (1A)(y)

=) x = y

Para mostrar que la funcion es sobreyectiva, sea y 2 B, luego f�1(y) esta definido y ademas

f�1(y) 2 A. Sea x = f�1(y) observe que f(x) = f(f�1(y)) = (f � f�1)(y) = 1B(y) = y. Luego

9 x 2 A | f(x) = y, por lo tanto y 2 Ran(f) = B.

“(=”

Hay que demostrar que f es invertible, es decir, que f�1 : B �! A es funcion, para ello

tenemos que probar:

i) el dominio de f�1 = B.

Sea y 2 B, como f es sobreyectiva 9x 2 A | f(x) = y, de donde x = f�1(y) por definicion de

Relaciones 31

relacion inversa. Por lo tanto, y 2 Dom(f�1).

ii) Suponga que y, y0 2 B, luego 9x, x0 | f(x) = y ^ f(x0) = y0.

Si y = y0

=) f(x) = f(x0)

=) x = x0 por ser f inyectiva.

=) f�1(y) = f�1(y0)

Definicion 29 Sean f : A �! B y g : B �! C funciones, entonces la composicion g � f de

funciones esta dada por (g � f)(x) = g(f(x)).

Teorema 24 Sea f : A �! B una funcion, entonces:

1. 1B � f = f

2. f � 1A = f


Teorema 25 Si f : A �! B es una funcion biyectiva, entonces:

1. f�1 � f = 1A

2. f � f�1 = 1B


Teorema 26 Sean f : A �! B y g : B �! A funciones tales que g � f = 1A y f � g = 1B.

Entonces una es la inversa de la otra y viceversa.

Teorema 27 Sean f : A �! B y g : B �! C funciones invertibles. Entonces g � f es

invertible y (g � f)�1 = f�1 � g�1.

Demostracion:

Primero demostraremos que g � f es invertible, para ello hay que probar que es inyectiva (a) y

luego sobreyectiva (b).

a) Sean x, y 2 A tales que:

(g � f)(x) = (g � f)(y)

=) g(f(x)) = g(f(y)) por definicion de g � f

=) f(x) = f(y) pues g es inyectiva

=) x = y pues f es inyectiva


b) Sea z 2 C, hay que probar que z 2 Ran(g � f). Como g es sobreyectiva 9y 2 B|g(y) = z.

Para y 2 B 9 x 2 A | f(x) = y, por ser f tambien sobreyectiva.

Luego, tenemos que 9 x 2 A|z = g(y) = g(f(x)) = (g�f)(x). Por lo tanto, g�f es sobreyectiva.

c) Por ultimo, (g � f)�1 = f�1 � g�1 esta probado para relaciones en general, en consecuencia,

el resultado tambien es valido para funciones.

Teorema 28 Sean A,B conjuntos tales que |A| = |B| y sea f : A �! B una funcion, entonces

f es inyectiva si y solo si f es sobreyectiva.

3.6. Ejercicios de Funciones

1. Sean f : A �! B y g : B �! C funciones. Demostrar que:

a) Si g � f es inyectiva entonces f es inyectiva.

b) Si g � f es sobreyectiva entonces g es sobreyectiva.


a) Si g y f son funciones inyectivas entonces g � f es inyectiva.

a) Si g y f son funciones sobreyectivas entonces g � f es sobreyectiva.

3. Sean A = B = C = R y considere las funciones f : A �! B y g : B �! C, definidas por

f(x) =2x� 3

5y g(x) =

3x

2� 3

4. Verifique (g � f)�1 = f�1 � g�1.

4. Sean A = B = C = R y considere las funciones f : A �! B y g : B �! C, definidas por

f(x) =3x� 2

5y g(x) =

2x

3� 3

4. Verifique (g � f)�1 = f�1 � g�1.


a) Si g � f es inyectiva, entonces f es inyectiva.

b) Si g � f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

6. Sean A = B = R � {2} y considere la funcion f : A �! B definida por f(x) =2x� a

x� 2.

¿Determine todos los valores de a para los que la funcion es invertible y cual es la inversa?

Capıtulo 4

Principios de Conteo

Las tecnicas de Conteo son importantes en Ciencias de la computacion, especialmente en

cursos de algoritmos, por eso vamos a estudiar una breve seccion de conteo. Estas tecnicas se

dividen en dos partes: Permutaciones y Combinaciones.

4.1. Permutaciones.

En esta seccion analizaremos problemas en los que el orden en el que aparezca el conjunto

Sı tiene importancia.

Definicion 30 Sea n 2 N. Definimos el factorial de n recursivamente por n! = n · (n� 1)!, y

0! = 1.

Teorema 29 Suponga que se debe efectuar una tarea que consiste de dos partes: T1

y T2

, de

tal forma que T1

se puede realizar de n1

maneras distintas y T2

se puede realizar de n2

formas

distintas. Entonces, el numero de maneras diferentes en las que se puede realizar la tarea es

n1

· n2

.

Teorema 30 Suponga ahora que la tarea consta de T1

, T2

, . . . , Tm partes y que cada parte se

puede realizar de n1

, n2

,. . .nm maneras diferentes. Entonces, el numero de formas diferentes

en las que se puede realizar la tarea es de: n1

· n2

· · · , nm.

Teorema 31 Sea A un conjunto tal que |A| = n. Entonces, el numero de secuencias de r

elementos de A es nr.

Teorema 32 Sea A un conjunto tal que |A| = n. Entonces, el numero de secuencias de r

elementos de A, sin permitir repeticiones de estos, esta dado por n · (n� 1) · . . . · (n� r + 1).


Definicion 31 A esto se le conoce como el numero de permutaciones de r elementos de A y

tambien se le denota:

P nr =

n!

(n� r)!

Teorema 33 El numero de permutaciones distinguibles de los elementos de un conjunto A,

en el que el primer objeto aparece k1

veces, el segundo aparece k2

veces y ası sucesivamente es:

n!

k1

! · k2

! · . . . · ki!

Ejemplo 17 Sea A el conjunto de estudiantes matriculados en el curso MA0320, grupo 01.

Durante tres lecciones se va a seleccionar un estudiante para que resuelva un ejercicio en el

aula. ¿De cuantas formas se puede realizar esta tarea?

Solucion:

Es claro que |A| = 36. En este caso, la tarea se puede realizar de 36 · 36 · 36 = 363 = 46656

formas.

Ejemplo 18 ¿Que pasarıa si en este caso no se puede pasar a un estudiante mas de una vez?

Solucion:

En este caso, el numero de formas serıa 36 · 35 · 34 = 42840.

Ejemplo 19 ¿Cuantas permutaciones diferentes pueden hacerse con las letras de la palabra

CATARATA?

Solucion:

Aquı n = 8 y el numero total de formas es:

8!

4! · 2! · 1! · 1! = 840

4.2. Combinaciones

En esta seccion observaremos problemas en los que el orden en el que aparezca el conjunto

NO tiene importancia.

Teorema 34 Sea A un conjunto tal que |A| = n. Entonces, el numero de formas de seleccionar

r elementos de A (combinaciones de los elementos de A) esta dado por:

Cnr =

n!

(n� r)!r!

Principios de Conteo 35

Teorema 35 Suponga que se van a efectuar k selecciones de elementos de un conjunto que

contiene n elementos (se permite repetir), y que por cada elemento hay por lo menos k copias,

entonces el numero de maneras diferentes en las que se puede hacer la escogencia es:

Cn+k�1

k =(n+ k � 1)!

(n� 1)!k!

Ejemplo 20 ¿Cuantas escogencias de 7 estudiantes pueden realizarse de un grupo de 50 si

cada escogencia debe tener 3 de 20 mujeres que hay en el grupo y 4 de 30 hombres que hay en

este?

Solucion:

Las formas de escoger 3 de un conjunto de 20 mujeres son:

C20

3

=20!

(20� 3)!3!=

18 · 19 · 206

= 1140

Las formas de escoger 4 de un conjunto de 30 hombres son:

C30

4

=30!

(30� 4)!4!=

27 · 28 · 29 · 3024

= 27405

Luego, el numero total de formas de dicha escogencia es de 1140 · 27405 = 31241700.

Ejemplo 21 El plan de alimentacion de un colegio permite al estudiante escoger en la me-

rienda tres frutas de cinco disponibles: banano, naranja, sandıa, mango y papaya. ¿Cuantos

dıas puede un estudiante variar la escogencia? (Sin repetir las tres frutas)

Solucion:

El ejercicio se resuelve simplemente ası:

C5

3

=5!

(5� 3)!3!= 10

Por lo tanto, el numero de dıas en los que el estudiante no repite las tres frutas es 10.

4.3. Ejercicios de Permutaciones y Combinaciones.

1. Un premio de una librerıa permite al ganador escoger 6 libros diferentes de una lista

de 10 libros de ciencia ficcion de los de mayor venta y 10 de temas formales, tambien de

los de mayor venta. ¿De cuantas maneras diferentes puede hacerse la seleccion de los 6

libros?


2. Demuestre que

Cn+1

r = Cnr�1

+ Cnr

3. Una junta directiva de una asociacion de estudiantes consta de 6 miembros. Si hay 8

estudiantes de computacion y 5 de ingles participando por los 6 puestos, y si tenemos que

escoger 4 de computacion y 2 de ingles, ¿de cuantas maneras se puede hacer la eleccion?

Sugerencia. Cada lugar tiene un puesto diferente, por ejemplo, los puestos podrıan ser

presidente, vicepresidente, tesorero, secretario, vocal, etc.

4. La mayorıa de las versiones de un lenguaje de programacion permite formar nombres de

variables de ocho letras o dıgitos, con la condicion de que el primer caracter debe ser una

letra. ¿Cuantos nombres de variables de ocho caracteres son posibles? (Suponga que el

programa tiene 36 palabras reservadas y que esta version diferencia las minusculas de las

mayusculas, es decir, es diferente a123 de A123).

5. ¿Cuantos comites diferentes de siete personas puede formarse, si cada comite debe tener

3 mujeres de un conjunto disponible de 20 mujeres y 4 hombres de un conjunto disponible

de 30 hombres?

6. ¿De cuantas maneras pueden seis hombres y seis mujeres sentarse en lınea si:

a) cualquier persona puede sentarse en seguida de cualquier otra.

b) los hombres y las mujeres deben de ocupar asientos alternados.

7. En cierto colegio, la oficina de alojamientos ha decidido nombrar, para cada piso, un

consejero residente masculino y uno femenino. ¿Cuantos pares diferentes de consejeros

puede seleccionarse para un edificio de siete pisos, de 12 candidatos del sexo masculino y

15 del sexo femenino?

Capıtulo 5

Funciones de Permutacion

Definicion 32 Suponga que A es un conjunto finito, una permutacion es una funcion biyectiva

en A.

Teorema 36 Sea A = {a1

, a2

, . . . , an}. Entonces hay n! permutaciones sobre A.

Demostracion:

Estamos buscando la forma de asignar n elementos de un conjunto tal que |A| = n. Por la

seccion anterior sabemos que el numero de formas en las que se puede realizar esta tarea es de

n · (n� 1) · · · 2 · 1.

Ejemplo 22 Sea A = {1, 2, 3}. Encuentre todas las permutaciones de elementos de A.

Solucion:

En todos los casos es claro que el dominio de la funcion es A = {1, 2, 3}, en ese orden, por lo

que vamos a indicar todas las posibles funciones biyectivas de A en A:0

@ 1 2 3

1 2 3

1

A,

0

@ 1 2 3

1 3 2

1

A,

0

@ 1 2 3

3 2 1

1

A,

0

@ 1 2 3

2 1 3

1

A,

0

@ 1 2 3

2 3 1

1

A,

0

@ 1 2 3

3 1 2

1

A.

Observacion 9 En los casos en los que la funcion asigna f(i) = i no se acostumbra poner

en la permutacion, ası, estas funciones se denotan respectivamente en una sola fila, como sigue:

1, (2, 3), (1, 3), (1, 2), (1, 2, 3), (3, 2, 1)

Observacion 10 En los ultimos casos se le acostumbra llamar una permutacion cıclica de

longitud 3.


Definicion 33 Sea B = {b1

, b2

, . . . bk} que contiene k elementos diferentes de A = {a1

, a2

, . . . , an}.

La permutacion p : A �! A definida por:

p(b1

) = b2

p(b2

) = b3

... =...

p(bk) = b1

p(x) = x si x /2 B

Se llama una permutacion cıclica de longitud k o simplemente un ciclo de longitud k.

Definicion 34 Decimos que dos ciclos de un conjunto son disjuntos si no tienen elementos

en comun.

Teorema 37 Una permutacion que no sea la identidad o un ciclo puede escribirse como pro-

ducto (composicion) de ciclos disjuntos.

Ejemplo 23 Escriba la siguiente permutacion:

p =

0

@ 1 2 3 4 5

3 1 2 5 4

1

A

como un producto de ciclos disjuntos.

Solucion:

En este caso, podemos verificar que p = (1, 3, 2) � (4, 5).

Definicion 35 Un ciclo de longitud 2 lo llamaremos transposicion.

Observacion 11 Todo ciclo puede escribirse como un producto de transposiciones, ya que:

(b1

, b2

, . . . , bk) = (b1

, bk)o(b1, bk�1

)o . . . o(b1

, b2

).

Proposicion 38 Toda permutacion de un conjunto finito con al menos 2 elementos se puede

escribir como un producto de transposiciones.

Teorema 39 Si se puede escribir una permutacion de un conjunto finito como un producto

de un numero par de transposiciones, entonces nunca se puede escribir como un producto de

un numero impar de transposiciones y viceversa.

Funciones de Permutacion 39

Definicion 36 Una permutacion de un conjunto finito es par si puede ser escrita como un

producto de un numero par de transposiciones, en caso contrario es impar.

Teorema 40 Sea A = {a1

, a2

, . . . , an}, entonces existenn!

2permutaciones pares y

n!

2per-

mutaciones impares.

Ejemplo 24 Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, sea p una permutacion sobre A dada por

p =

0

@ 1 2 3 4 5 6

4 3 5 1 2 6

1

A

Resuelva cada uno de los siguientes enunciados:

1. Escriba p como un producto de ciclos disjuntos.

2. Es p par o impar.

3. Calcule p�1

4. Calcule p2

5. Determine k 2 N | pk = 1A

Solucion:

1. p = (1, 4) � (2, 3, 5)

2. Es impar, pues p = (1, 4) � (2, 5) � (2, 3).

3. p�1 =

0

@ 1 2 3 4 5 6

4 5 2 1 3 6

1

A

4. p2 =

0

@ 1 2 3 4 5 6

1 5 2 4 3 6

1

A

5. p3 = p � p2 =

0

@ 1 2 3 4 5 6

4 2 3 1 5 6

1

A, p4 = p � p3 =

0

@ 1 2 3 4 5 6

1 3 5 4 2 6

1

A

p5 =

0

@ 1 2 3 4 5 6

4 5 2 1 3 6

1

A = p�1

Luego k = 6.


5.1. Ejercicios de Funciones de Permutacion

1. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p =

0

@ 1 2 3 4 5 6

2 4 3 1 5 6

1

A una permutacion de A.

a) Escriba p como producto de ciclos disjuntos.

b) Calcule p�1

c) Calcule p2

d) Determine k 2 N tal que pk = IA

2. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p =

0

@ 1 2 3 4 5 6

2 3 4 1 5 6

1

A una permutacion.


b) Calcule p�1

c) Calcule p2


3. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p =

0

@ 1 2 3 4 5 6

4 2 1 3 6 5

1

A una permutacion.


b) Calcule p�1

c) Calcule p2


4. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y p =

0

@ 1 2 3 4 5 6

1 3 4 5 6 2

1

A una permutacion de A.


b) Calcule p�1

c) Calcule p2

d) Determine k 2 N tal que pk = IA.

e) Determine si p es par o impar

Capıtulo 6

Relaciones y estructuras de orden

En secciones anteriores estudiamos relaciones de equivalencia. En el presente capıtulo estu-

diaremos relaciones de orden y conjuntos parcialmente ordenados, incluyendo las retıculas.

6.1. Conjuntos parcialmente ordenados

Definicion 37 Sea A un conjunto y R una relacion. Decimos que R es antisimetrica si

a R b ^ b R a, entonces a = b.

Definicion 38 Sea R una relacion sobre un conjunto A. Diremos que R es una relacion

de orden, o simplemente de orden parcial, si R es reflexiva, antisimetrica y transitiva. En este

caso, nombraremos al conjunto A como parcialmente ordenado y se denotara (A,R), en adelante

denotaremos esto como: A es un CPO (Conjunto Parcialmente Ordenado)

Definicion 39 Sea A un CPO. Diremos que A es un orden total o linealmente ordenado si

8 a, b 2 A, se tiene a R b o b R a.

Ejemplo 25 Sea A = N� {0} y R la relacion

Solucion:

R es reflexiva ya que 8a 2 A, entonces se tiene a a

R es antisimetrica ya que si a b ^ b a, de esta forma a = b

R es transitiva ya que si a b ^ b c, por lo tanto a c

Ejemplo 26 Sea A = N� {0} y R la relacion divide a /

Solucion:


R es reflexiva, pues a/a, 8a 2 A.

R es antisimetrica, pues si a/b ^ b/a.

Entonces, 9 k1

, k2

2 A tales que a · k1

= b ^ b · k2

= a.

Luego multiplicando ambos lados de las igualdades anteriores obtenemos: a ·b ·k1

·k2

= ab,

de donde k1

· k2

= 1; luego como son numeros enteros concluimos k1

= k2

= 1.

R es transitiva, pues si a/b y b/c. Entonces existen k1

, k2

2 N tal que a ·k1

= b y b ·k2

= c.

Sustituyendo b = a · k1

en la segunda igualdad obtenemos: a · (k1

k2

) = c. Luego a/c.

Definicion 40 Sea Dn = {a 2 N | a/n}, es decir, el conjunto de los divisores de n.

Definicion 41 Un diagrama de Hasse es la representacion grafica de los elementos de un

conjunto parcialmente ordenado, en el que a R b se indica como se muestra en la grafica

siguiente, el elemento ”menor”a esta debajo del elemento ”mayor”b, o b esta por encima de a,

para omitir las flechas.

Ejemplo 27 Sea A = {1, 2, 3, 4} con la relacion de orden divide a. Construya el diagrama de

Hasse para este CPO.

•��

��

@@

@@

1

•2 •3

•4

Figura 6.1: Diagrama de Hasse del conjunto de (A, /).

Ejemplo 28 Construya el diagrama de Hasse del conjunto D12

con la relacion de orden divide

a:

Solucion:

Relaciones y estructuras de orden 43

•��

��

@@

@@

1

•��

2 •3

•��

4 •@@

@@

6

•12

Figura 6.2: Diagrama de Hasse del conjunto D12

.

•��

��

@@

@@

1

•��

2 •@@

@@

��

��

3 •@@

@@

5

•6 •10 •15

•�

��

@@

@@

30

Figura 6.3: Diagrama de Hasse del conjunto D30

.

Ejemplo 29 Construya el diagrama de Hasse del conjunto D30

Solucion:

Teorema 41 Sean (A,) y (B,0) conjuntos parcialmente ordenados. Entonces (A⇥B,00

)

es un conjunto parcialmente ordenado, donde (a, b) 00(c, d)() a c ^ b 0

d.

Demostracion:

Tenemos que mostrar que 00es una relacion de orden, es decir, que es reflexiva, antisimetrica

y transitiva, esto es bastante sencillo, ya que tanto como 0son de orden:

i) (a, b) 00(a, b)() a a ^ b 0

b, lo cual es valido pues y 0son reflexivas.

ii) (a, b) 00(c, d) ^ (c, d) 00

(a, b)

() a c ^ b 0d ^ c a ^ d 0

b

() a = c ^ b = d, pues y 0son antisimetricas.

iii) Ejercicio. La propiedad de transitiva se concluye del hecho de que ambas relaciones son


tambien transitivas

Definicion 42 Sean (A ) y (B,0) conjuntos parcialmente ordenados y f : A �! B una

funcion biyectiva. Decimos que f es un isomorfismo de A en B si y solo si a b =) f(a) 0

f(b), en este caso, decimos que A y B son isomorfos.

6.2. Elementos extremos de conjuntos parcialmente or-

denados

Definicion 43 Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado. Definimos:

1. Un elemento a 2 A es un elemento maximal de A si no existe c 2 A | a c

2. Un elemento a 2 A es un elemento minimal de A si no existe c 2 A | c a

Observacion 12 Como se desprende de estas definiciones, en el caso maximal puede haber

varios elementos maximales en un determinado conjunto, como es el caso del grafico 6.1, al

igual que en el caso de los elementos minimales.

Teorema 42 Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado, entonces existe al menos un

elemento minimal y un elemento maximal.

Definicion 44 Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado. Definimos:

1. Un elemento a 2 A es el elemento maximo de A si 8 c 2 A | c a

2. Un elemento a 2 A es el elemento mınimo de A si 8 c 2 A | a c

Teorema 43 Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado, si existe un elemento maximo o

mınimo, entonces este es unico.

Demostracion:

Suponga, sin perder generalidad, que A tiene a x como un elemento maximo y que ademas

existe otro elemento maximo y, entonces tenemos que x y ^ y x, luego x = y ya que la

relacion es antisimetrica.


Definicion 45 Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado y B ⇢ A, un elemento a 2 A

es una cota superior de B si b a 8 b 2 B.


es una cota inferior de B si a b 8 b 2 B.


es la menor de las cotas superiores de B LUB (Less Upper Bounds, por sus siglas en ingles) si

cumple:

1. a es cota superior.

2. Si x es cota superior a x


es la mayor de las cotas inferiores de B GLB (Greatest Lower Bounds,por sus siglas en ingles)

si cumple:

1. a es cota inferior.

2. Si x es cota inferior x a

Teorema 44 Sea (A,) un conjunto parcialmente ordenado y B ⇢ A. Entonces, existe a lo

sumo una LUB y una GLB de B.

6.3. Retıculas

Definicion 49 Una retıcula es un conjunto parcialmente ordenado A tal que cada subconjunto

{a, b} de elementos de A tiene una LUB y una GLB.

Definicion 50 La menor de las cotas superiores del conjunto {a, b} la denotaremos por

a _ b y la mayor de las cotas inferiores del conjunto {a, b} la denotaremos por a ^ b, es decir,

LUB{a, b} = a _ b y GLB{a, b} = a ^ b.

Teorema 45 Si (L1

,) y (L2

,0) son retıculas, entonces L = L

1

⇥ L2

es una retıcula con el

orden parcial del producto.


Ejemplo 30 Sea L1

= {0, 1} con la relacion usual y sea L2

= D6

con la relacion divide a

/. Construya un diagrama de Hasse para la retıcula L = L1

⇥ L2

.

Solucion:

•��

��

@@

@@

(0,1)

•��

(0,2) •@@

@@

��

��

(0,3) •@@

@@

(1,1)

•(0,6) •(1,2) •(1,3)

•�

��

@@

@@

(1,6)

Figura 6.4: Diagrama de Hasse del conjunto L = {0, 1}⇥D6

.

6.3.1. Propiedades de las retıculas

Teorema 46 Sea L una retıcula. Entonces 8 a, b 2 L

1. a _ b = b() a b

2. a ^ b = a() a b

3. a ^ b = a() a _ b = b

Teorema 47 Sea L una retıcula. Entonces 8 a, b, c 2 L

a _ a = a a ^ a = a

a _ b = b _ a a ^ b = b ^ a

a _ (b _ c) = (a _ b) _ c a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c

a _ (a ^ b) = a a ^ (a _ b) = a

Teorema 48 Sea L una retıcula. Entonces 8 a, b, c, d 2 L

i- Si a b, entonces se tiene a _ c b _ c y a ^ c b ^ c.

ii- Si a c y b c() a _ b c

iii- Si c a y c b() c a ^ b

iv- Si a b y c d entonces se tiene a _ c b _ d y a ^ c b ^ d.


6.3.2. Tipos especiales de retıculas

Definicion 51 Una retıcula es acotada si tiene elemento mınimo (0) y elemento maximo (I).

Teorema 49 Si L es una retıcula finita, entonces L es acotada. Demostracion:

Como L es finita podemos suponer que L = {a1

, a2

, . . . , an}, luego, sean 0 = a1

^ a2

^ . . . ^ an

el elemento mınimo y I = a1

_ a2

_ . . . _ an el elemento maximo, que por supuesto estan bien

definidos, ya que L es una retıcula y cumplen con las definiciones respectivas del mınimo y

maximo.

Definicion 52 Una retıcula L es distributiva si 8 a, b, c 2 L se tiene:

i- a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c)

ii- a _ (b ^ c) = (a _ b) ^ (a _ c)

Suponga que tenemos dos retıculas que tienen diagramas de Hasse de las formas: En este

•��

@@

@@

0

•b •AAAA

AAA

c

•a ��

•I

•��

��

@@

@@

@@

0

•��

��

a •

b

•@@

@@

@@

c

•I

Figura 6.5: Retıculas no distributivas.

caso las retıculas no cumplen las propiedades distributivas (Ejercicio).

Teorema 50 Una retıcula es no distributiva si contiene una subretıcula isomorfa a alguna de

las dos anteriores.

Definicion 53 Sea L una retıcula acotada con elemento maximo I y elemento mınimo 0; sea

a 2 L, decimos que a0es un complemento de a si cumple:

i) a ^ a0= 0

ii) a _ a0= I


Teorema 51 Sea L una retıcula distributiva y acotada; si existe un complemento, entonces

es unico.

Demostracion:

Sea a 2 L y sean a0, a

00dos complementos de a, entonces:

a0

= a0 _ 0

= a0 _ (a ^ a

00)

= (a0 _ a) ^ (a

0 _ a00)

= I ^ (a0 _ a

00)

= a0 _ a

00

Luego a00 a

0, ası, de la misma forma se puede obtener a

0 a00, para finalizar como la

relacion es antisimetrica tenemos que a00= a

0

Definicion 54 Una retıcula es complementada si es acotada y 8a 2 A 9a0 2 A, que es el

complemento de a.

6.4. Ejercicios de Relaciones y estructuras de orden

1. Sea N? = N � {0} y sea A = N? ⇥ N?. Definimos sobre A la siguiente relacion: (a, b) �

(a0, b0), a/a0 y b b0.

a) Demuestre que (A,�) es un conjunto parcialmente ordenado.

b) Sea B = {2, 3, 6}, sea C = B ⇥ B

Calcule, si existe, sobre C lo siguiente:

i) LUB((2,3),(3,3)) ii) GLB((6,2),(3,6)) iii GLB((2,3),(3,3))

iv) GLB((2,6)(3,6)) v) LUB((2,6),(3,3))

Sugerencia: trace un diagrama de Hasse.

2. Sea N? = N� {0} y sea A = N? ⇥ N?. Definimos sobre A la siguiente relacion:

(a, b) � (a0, b0), a/a0 y b b0.


b) Sea B = {(36, 6), (6, 3), (1, 2), (18, 4), (2, 2), (3, 1), (9, 4), (54, 6)}

Calcule, si existe, sobre B lo siguiente:

i) LUB((2,2),(9,4)) ii) GLB((2,2),(9,4)) iii) LUB((36,6),(54,6))


iv) GLB((36,6),(54,6)) v) GLB((2,2)(3,1))


3. Sea N? = N� {0} y sea A = N? ⇥ N?. Definimos sobre A la siguiente relacion:

(a, b) � (a0, b0), a/a0 y b b0.


b) Sea B = {(36, 4), (6, 3), (1, 2), (18, 4), (2, 2), (3, 1), (9, 4), (54, 6), (72, 6)}

Calcule, si existe, sobre B lo siguiente:

i) LUB((2,2),(9,4)) ii) GLB((2,2),(9,4)) iii) LUB((36,4),(54,6))

iv) GLB((36,4),(72,6)) v) GLB((2,2)(3,1))


4. Muestre que si L1

y L2

son retıculas distributivas entonces L = L1

⇥ L2

tambien es

distributiva, donde el orden de L es el producto de los ordenes de L1

y L2

5. Muestre que si a (b ^ c) para a, b, c en un conjunto parcialmente ordenado L, entonces

a, b y c satisfacen las propiedades distributivas de una retıcula.

6. Sea L una retıcula distributiva acotada. Si existe un complemento, es unico.

7. Sea D54

{x 2 N : x/54} el conjunto de divisores de 54. Construya el diagrama de Hasse

respectivo y calcule si existe:

a) 9 _ 2 b) 6 ^ 27 c) 60 _ 9 d) 18 ^ 6 e) 18 _ 6

8. Sea D36

= {x 2 N : x/36} el conjunto de divisores de 36. Construya el diagrama de Hasse

respectivo y calcule si existe:

a) 9 _ 6 b) 60 ^ 9 c) 6 _ 90 d) 18 ^ 4 e) 18 _ 4

9. Construya el diagrama de Hasse para el conjunto D210

= {x 2 N : x/210}.

Capıtulo 7

Grupos

7.1. Operaciones binarias

Definicion 55 Una operacion binaria en un conjunto A es una funcion f : A⇥A �! A dada

por f(a, b) = a ⇤ b.

Observacion 13 Es claro que, por definicion, 8a, b 2 A; se tenga que a ⇤ b 2 A. A esta

propiedad se le conoce tambien como operacion cerrada.

Definicion 56 Sea ⇤ una operacion binaria en un conjunto A. Decimos que:

a) ⇤ es conmutativa si a ⇤ b = b ⇤ a.

b) ⇤ asociativa si (a ⇤ b) ⇤ c = a ⇤ (b ⇤ c).

Definicion 57 Un semigrupo es un conjunto S 6= ; con una operacion binaria ⇤ tal que ⇤ es

asociativa, se denotara (S, ⇤).

Definicion 58 Sea (S, ⇤) un semigrupo y T ⇢ S tal que 8a, b 2 T , se tiene que a ⇤ b 2 T

entonces (T, ⇤) es un subsemigrupo de (S, ⇤).

Definicion 59 Sea (S, ⇤) un semigrupo, e 2 S se llama un elemento identidad si

a ⇤ e = e ⇤ a = a.

Definicion 60 Al semigrupo (S, ⇤) con identidad e lo llamaremos un monoide.

Definicion 61 Sea (S, ⇤) un monoide y T ⇢ S tal que 8a, b 2 T , se tiene que a ⇤ b 2 T

ademas e 2 T , entonces (T, ⇤) es un submonoide de (S, ⇤).

Grupos 51

Definicion 62 Sean (S, ⇤) y (T, ⇤0) dos semigrupos, decimos que f : S �! T es un isomor-

fismo si:

a) f es biyectiva.

b) f(a ⇤ b) = f(a) ⇤0 f(b) 8 a, b 2 S.

Si solo cumple b) lo llamaremos homomorfismo.

Ejemplo 31 Sean (S, ⇤) = (R+, ·) y (T, ⇤0) = (R,+) y sea f : R+ �! R dada por f(x) = ln x.

Es claro que f(x) es biyectiva, ademas es bien conocido que ln(xy) = ln x+ ln y.

¡Demostrarlo! (ejercicio)

Teorema 52 Sean (S, ⇤) y (T, ⇤0) dos monoides con identidades e y e0y sea f : S �! T un

isomorfismo, entonces f(e) = e0.

7.2. Semigrupos: producto y cociente

Teorema 53 Sean (S, ⇤) y (T, ⇤0) semigrupos, entonces (S ⇥ T, ⇤00) es un semigrupo con la

operacion ⇤00 definida por: (a, b) ⇤00 (c, d) = (a ⇤ c, b ⇤0 d).

Definicion 63 Sea R una relacion de equivalencia sobre un semigrupo (S, ⇤), es una relacion

de congruencia si: a R a0 ^ b R b

0=) (a ⇤ b) R (a

0 ⇤ b0).

Teorema 54 Sea R una relacion de congruencia sobre el semigrupo (S, ⇤). Considere la fun-

cion ⌦ : (S/R, S/R) �! S/R dada por ([a], [b]) �! [a ⇤ b]. Entonces:

a) ⌦ es una funcion de S/R⇥ S/R en S/R.

b) (S/R,⌦) es un semigrupo.

7.3. Grupos

Definicion 64 Sea (G, ⇤) un monoide con identidad e, decimos que es un grupo si 8a 2

G 9a0 | a ⇤ a0 = a0 ⇤ a = e. Comunmente se le suele llamar el inverso de a.

Observacion 14 La operacion a ⇤ b la vamos a escribir como ab.

Definicion 65 Un grupo (G, ⇤) es abeliano si a ⇤ b = b ⇤ a 8 a, b 2 G.


Teorema 55 Sea (G, ⇤) un grupo, cada elemento a 2 G tiene un unico inverso.

Demostracion:

Sea a 2 G y sean a0 y a00 dos inversos de a, entonces:

a0 = a0e = a0(aa00) = (a0a)a00 = ea00 = a00.

Teorema 56 Sea G un grupo y sean a, b, c 2 G, entonces si:

a) ac = bc =) a = b

b) ca = cb =) a = b

Demostracion:

Solo demostraremos la parte a) pues la otra parte es analoga.

ac = bc

() acc�1 = bcc�1

() ae = be

() a = b

Teorema 57 Sea G un grupo y sean a, b 2 G, entonces:

a) (a�1)�1 = a

b) (ab)�1 = b�1a�1

Demostracion:

Para la parte b) observe que:

(ab)(b�1a�1) = abb�1a = aea�1 = aa�1 = e Luego, el inverso de ab es b�1a�1. La parte a) es

similar.

Teorema 58 Sea G un grupo y sean a, b 2 G. Entonces:

a) la ecuacion ax = b tiene una unica solucion en G.

b) la ecuacion xa = b tiene una unica solucion en G.

Ejemplo 32 Demuestre que la extension de los numeros racionales: Q(p2) definida como

{a+bp2 : a, b 2 Q}, y la operacion ⇤ dada por (a+b

p2)⇤(c+d

p2) = (ac+2bd)+(ad+bc)

p2.

es un grupo abeliano

Solucion:

Tenemos que empezar probando que la operacion es binaria, lo que no es muy complicado pues

(ac+ 2bd) 2 Q y (ad+ bc) 2 Q por lo que (ac+ 2bd) + (ad+ bc)p2 2 Q(

p2).

Grupos 53

Para verificar que Q(p2) es un semigrupo debemos mostrar que la operacion es asociativa, para

lo cual debemos probar:�(a+ b

p2) ⇤ (c+ d

p2)�⇤ (e+ f

p2) = (a+ b

p2) ⇤

�(c+ d

p2) ⇤ (e+ f

p2)�

Por lo que, segun la definicion de ⇤ la prueba se reduce a unos simples calculos; veamos primero:

�(a+ b

p2) ⇤ (c+ d

p2)�⇤ (e+ f

p2) =

�(ac+ 2bd) + (ad+ bc)

p2�⇤ (e+ f

p2)

= ((ac+ 2bd)e+ 2f(ad+ bc)) + ((ac+ 2bd)f + (ad+ bc)e)p2

= (ace+ 2bde+ 2adf + 2bcf) + (acf + 2bdf + ade+ bce)p2

De la misma forma, se simplifica el lado derecho de la igualdad:

(a+ bp2) ⇤

�(c+ d

p2) ⇤ (e+ f

p2)�= (a+ b

p2) ⇤

�(ce+ 2df) + (cf + de)

p2�

= (a(ce+ 2df) + 2b(cf + de)) + (a(cf + de) + b(ce+ 2df))p2

= (ace+ 2adf + 2bcf + 2bde) + (acf + ade+ bce+ 2bdf)p2

Ademas, tenemos que mostrar que existe un elemento neutro, lo cual se puede hacer verifi-

cando que el elemento 0 + 1p2, cumple con la definicion:

(a+ bp2) ⇤ (0 + 1

p2) = (0 + 1

p2) ⇤ (a+ b

p2) = (a+ b

p2)

Para finalizar tenemos que encontrar el inverso de cada elemento (a+bp2); lo que se obtiene

de resolver el sistema de ecuaciones que se plantea de:

(a+ bp2) ⇤ (x+ y

p2) = (0 + 1

p2)

(ax+ 2by) + (ay + bx)p2 = (0 + 1

p2)

De donde obtenemos:

8<

:ax+ 2by = 0

bx+ ay = 1y la solucion del sistema es: x =

a

a2 � 2b2,

y =�b

a2 � 2b2, queda verificar que estan bien definidos, es decir, el denominador a2 � 2b2 es

diferente de cero. Con esto verificado obtenemos: (a+ bp2)�1 =

a

a2 � 2b2+

�ba2 � 2b2

p2

Por ultimo, tenemos que demostrar que la operacion es conmutativa, segun la definicion:

(a+ bp2) ⇤ (c+ d

p2) = (c+ d

p2) ⇤ (a+ b

p2), lo que se puede mostrar igualando ambos lados

de la definicion anterior.

(a+ bp2) ⇤ (c+ d

p2) = (c+ d

p2) ⇤ (a+ b

p2)

(ac+ 2bd) + (ad+ bc)p2 = (ca+ 2db) + (cb+ da)

p2

(ac+ 2bd) + (ad+ bc)p2 = (ac+ 2bd) + (ad+ bc)

p2


7.4. Ejercicios de Grupos

1. Sea G un grupo. Muestre que la funcion f : G �! G dada por f(a) = a2 es un homo-

morfismo si y solo si G es abeliano.

2. Sean (G, ⇤) y (G0, ⇤0) dos grupos y sea f : G �! G0un homomorfismo de G en G0.

Demostrar lo siguiente:

a) Si e es la identidad de G y e0 es la identidad de G0, entoncesf(e) = e0.

b) Si a 2 G, entonces f(a�1) = (f(a))�1.

c) Si H es un subgrupo de G, entonces f(H) = {f(h)|h 2 H}es un subgrupo de G0

3. Sobre el grupo (Z,+) definimos la siguiente relacion de equivalencia: aR b, n/(a� b)

a) Demostrar que R es relacion de congruencia.

b) ¿Es (Z6

,+) un subgrupo, monoide o un grupo?

Sugerencia: Z6

se obtiene de la relacion anterior, tomando n = 6

4. Determine si el conjunto con la operacion binaria que se presenta es un semigrupo, un

monoide o un grupo. Si es un monoide debe decir quien es la identidad, si es un grupo

debe indicar cual es el inverso de un elemento arbitrario.

a) (Z5

� [0], ⇤), donde la operacion ⇤ esta definida por: [a] ⇤ [b] = [ab].

b) (Z6

� [0], ⇤), donde la operacion ⇤ esta definida por: [a] ⇤ [b] = [ab].

c) (Z11

� [0], ⇤), donde la operacion ⇤ esta definida por: [a] ⇤ [b] = [ab]

d) Sea Z6

= {[0] , [1] , [2] , [3] , [4] , [5]}, donde [a] ⇤ [b] = [a · b]

e) Sea Z5

= {[0] , [1] , [2] , [3] , [4]}, donde [a] ⇤ [b] = [a+ b]

f) (Z, ⇤), con la operacion dada por: a ⇤ b = a+ b� ab

g) (Z, ⇤), con la operacion dada por: a ⇤ b = a+ b+ ab

h) (Z, ⇤), con la operacion dada por: a ⇤ b = a+ b� 2ab.

i) Sea C = {a+ bi : a, b 2 R} y i2 = �1, donde (a+ bi) ⇤ (c+ di) = (ac� bd)+ (ad+ bc)i

j) Sea Q(p5) := {a+ b

p5 : a, b 2 Q}, donde a ⇤ b = a · b.

k) Sea Q(p3) := {a+ b

p3 : a, b 2 Q}, donde a ⇤ b = a · b

l) Sea Q(p2) := {a+ b

p2 : a, b 2 Q}, donde a ⇤ b = a · b.

Bibliografıa

[1] Duarte, A. et al. Introduccion a la Matematica. Primera edicion (1978). CAEM.

[2] Grassmann, W.; Tremblay, J. Matematica discreta y logica. Primera Edicion (1997).

PRENTICE HALL.

[3] Grimaldi, R. Matematicas Discreta y Combinatoria. Tercera Edicion (1998). PRENTICE

HALL.

[4] Johnsonbaugh, R. Matematicas Discretas. Primera Edicion (1988). Grupo Editorial

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[5] Kolman, B.; Busby, R.; Ross, S.; Estructuras de Matematicas Discretas para Computacion.

Tercera Edicion (1997). PRENTICE HALL.

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