UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCO

ANALISIS MATEMATICO I

LIC. CARLA ROJAS DEL CARPIO

PARA EL PRIMER PERIODO

EXAMENES = 67 %PRACTICAS Y PARTICIPACION = 33%

TOTAL = 100%

APROBADO = 65%

Se te evaluara sobre 100 puntos

INSTRUMENTO N° PUNTAJE

Participación y/o tareas

30 15

Practica Semanal

7 13

Practica Dirigida 2 5

Practica Calificada

2 20

EXAMEN 1 47

TOTAL 100 pAPROBADO ≥ 65 p

53 p

47 p

PODRAS ACUMULAR PUNTAJE EXTRA :

Valido solo para aquellos estudiantes que completaron los 53 puntos de practicas y participación

INSTRUMENTO

N° PUNTAJE EXTRA

Practica Calificada

2 10

Participación 10 10

TOTAL 20

TEMAS A DESARROLLAR EN EL PRIMER PERIODO 2012-II

SEMANA 1: NUMEROS REALES : INECUACIONES POLINOMIALES Y CON VALOR

ABSOLUTO SEMANA 2: APLICACIÓN DE LAS INECUACIONES A LA ECONOMIA Y LA

ADMINISTRACION} SEMANA 3: PRACTICA DIRIGIDA Y CALIFICADA SEMANA 4: FUNCIONES DE VARIABLE REAL Y SUS APLICACIONES SEMANA 5: LIMITE DE UNA FUNCION SEMANA6: CONTINUIDAD DE UNA FUNCION SEMANA 7 : PRACTICAS DIRIGIDAS Y CALIFICADAS SEMANA 8 : EXAMEN PARCIAL

En el conjunto R de los números reales, están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación (∙), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas también

axiomas de cuerpo).

Cuerpo R de los números reales

R =Q Q*.

Q Z N

Ley de Clausura

Para la suma: Para la Multiplicación:

IRbaIRba , IRbaIRba ,

Ley Conmutativa IRbaabba ,IRbaIRabba ,

Ley Asociativa IRcbacbacba ,, IRcbacbacba ,,

Elemento Opuesto

Opuesto Aditivo Opuesto Multiplicativo (Inverso)

IRaIRa , tal que

0 aa

IRaIRa 1*, tal que

11 aa

Elemento Neutro Neutro aditivo Neutro Multiplicativo

IRIRa 0, tal que aa 0 IRIRa 1, tal que aa 1

Ley Distributiva IRcbacabacba ,,

(ii)

(iii)

Sea entoncesIRba ,

(i)

aa

bababa

baba

Sea entonces0,0,, baIRba

(ii)

(iii)

(i) aaa 111

(iv)

111 baba

111 baba

111 baba

Sea entoncesIRba ,

000 baba

Sea entoncesIRcba ,,

0 aconcbcaba

cbcaba (i)

(ii)

a b c a b c

(iii) baba

cbacba

baba 0

0,0 dbconcbdad

c

b

a

(iv)

(v)

(vi)

(vii)

00 a

(iv)

IRa INn b nSean y . La potencia de base y exponente define como sigue:

Potencias

n

n factores

a a a a a

0,10 aa mnmn aaa

mnm

n

aa

a

0,1

aa

an

n nnn baba

mnmn aa

n

nn

b

a

b

a

mn

mnmn

b

a

b

a

ba, Zmn ,Sean y entoncesPropiedades

Raíces b INn esiman bSean y La Raíz de

es un número real, que se define como

n

mn m bb

Sean Propiedades ba, INmn , y entonces

nnn baba

0 bb

a

b

an

n

n

mn nmmn baba n mmn bb mnn m bb n nn baba

nnn baba

Cuadrados de Binomios

222 2 bababa

222 2 bababa

Cubos de Binomios

32233 33 babbaaba

32233 33 babbaaba

11

21

1 13 3 11

14641

__________________________________4 ba

__________________________________5 ba

Suma por su Diferencia

Binomios por Trinomios

22 bababa

3322 babababa

3322 babababa

442222 bababa

Caso I

b

b

b

b

bb

11

Caso II

b

b

b

b

bb

n mn

n mn

n mn

n mn m

11

ba

ba

ba

ba

baba

11

ba

ba

ba

ba

baba

11

1) 4-3(8-12)-6 = 1° se resuelve el paréntesis 4-3(-4)-6 = El resultado (-4) se multiplica por

-3 4+12-6 = Se suman todos los positivos y

los negativos 16-6 = 10

Your turn!3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]= 1° se resuelven parentesis 4[3(7)-2(-4)]= Se multiplica el paréntesis

con su literal -4[21+8]= Se resuelve color lila -4[29]= -116 Se multiplica

5) 5/6 – (1/4+2/3) = Paréntesis ¿? a/b+c/d=(ad+cb)/bd

5/6 – (1)(3)+(2)(4)/(4)(3) = Simplificar 5/6– 3+8/12 = 5/6–11/12 Igualar denominadores (mcm)

5/6 – 11/12 = (5/6)(2/2) – 11/12 2/2=1, x*1=x 10/12 – 11/12 = – 1/12 Mismo denominador (12),

numeradores se suman.

Your turn!7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =

1/3[1/2(1(3)-1(4)/4(3))+1/6] =

1/3[1/2(3-4/12)+1/6] =

1/3[1/2(-1/12)+1/6] = 1/3[-1/24+1/6] = 1/3[-1/24+(1/6)(4/4)] = 1/3[-1/24+4/24] = 1/3[3/24] = 3/72 = 1/24

13) (√ 2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) = (a+b)(a-b)=a ²-b² (√ 2) ² – (√ 3) ² = 2-3 = -1

15) 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) = 3 √ 2 (√ 2 - √(4*2)) = 3 √ 2 (√ 2 - √ 4* √ 2) = 3 √ 2 (√ 2 (1- √ 4)) = 3 √ 2 (√ 2 (1- 2)) = 3 √ 2 (√ 2 (-1)) = 3 √ 2 (- √ 2 ) = -3 √ 2 √ 2 = -3 √(2*2) = -3 √ 4 = -3(2) = -6

1) 4-3(8-12)-6 =2) 2(3-2(4-8)) =3) -4[3(-6+13)-2(5-9)]=4) 5[-1(7+12-16)+4]+2 =5) 5/6 – (1/4+2/3) =

6) ¾-(7/12 – 2/9) =

7) 1/3[1/2(1/4-1/3)+1/6] =

8. -1/3[2/5-1/2(1/3-1/5)] =9. (5/7+2/9)/(1+1/2) =10. [1/2-3/4+7/8]/[1/2+3/4-7/8] =11. 1 - 2/2+3/4 =12. 2 + 3/1+5/2 =13. (√2 + √ 3)(√ 2 - √ 3) =14. (√ 2 + √ 3)2 =15. 3 √ 2 (√ 2 - √ 8) =

a) (2x-3)(2x+3)= b) (2x-3)2=

c) (-3t2-t+1)2= d) (2t-1)3=

e) (x2-4) / (x-2)= f) (x2-x-6)/ (x-3)=

g) (x3-8) / (2x-4) = h) (2x-2x2) / (x3-2x2+x)=

a) (2x-3)(2x+3)= (2x)2-(3)2= 4x2-9

YOUR TURN !

b) (a+b)2 = a2+2ab+b2 (2x-3)2 = (2x)2+2(2x)(-3)+(-3)2

=4x2-12x+9

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (3t2-t+1)2 = (3t2)2+(-t)2+(1)2+2(3t2)(-t)+2(3t2)(1)+2(-

t)(1) = 9t4 + t2 + 1 - 6t3 + 6t2 - 2t = 9t4 - 6t3 + 7t2 - 2t + 1

Ecuación de 1º Grado 0bax

Ecuación de 2º Grado

a

bx

Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo

Y su solución o raíz es

Se llama ecuación de primer grado a toda igualdad del tipo 02 cbxax

Y su solución o raíz es

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2

Desigualdades bababa

Intervalos

Sean

Intervalo Abierto bxaIRxba /;

IRba , entonces

Intervalo Cerrado

Intervalo Semi Abierto

bxaIRxba /;

bxaIRxba /;

bxaIRxba /;

Intervalo al infinito

xaIRxa /;

xaIRxa /;

axIRxa /;

axIRxa /;

Representación Grafica

Menú

Resolver la desigualdad 2x-7 > 4x-2Se siguen los mismos pasos que al resolver una igualdad.

2x-7 > 4x-2 Los términos con variable se pasan a un lado y

los términos con constante se pasan al otro.

2x-4x > -2+7-2x > 5 Se despeja el –2 que está multiplicando

con x y pasa a dividir con 5.

x < 5/-2 Como el número (-2) es negativo, la

desigualdad se cambia.

x < -5/2

-5/2

(- , -5/2)

Son las que tiene grado mayor o igual que 2.

1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces o soluciones de la ecuación de segundo grado PUNTOS CRITICOS . Para ello se recomienda factorizar o aplicar la formula general

Se iguala a cero y sed factoriza para aplicar el teorema a.b=0 2º Representamos estos valores o PUNTOS CRITICOS (TOMANDO EN

CUENTA LA MULTIPLICIDAD )en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo O SE APLICA LA LEY DE SIGNOS

La ley de signos:De izquierda a derecha : + - + - +… en cada intervarlo originado por los puntos criticos.

La multiplicidad : - Multiplicidad par : No se toma como punto critico pero se le evalúa para

ver si pertenece a la solución. -Multiplicidad impar: Si se toman como puntos criticos

3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la INECUACION :

SI ES SE TOMAN LOS SIGNOS + con intervalo cerradoSI ES ≤ SE TOMAN LOS SIGNOS – con intervalo cerrado

2 2 15x x

Como la inecuación es 0, escojo los intervalos con signo +

2)

.

210 3x x

Como la inecuación es < 0, escojo los intervalos con signo -

YOUR TURN

x2-x < 6 1. Se pasa todo a un lado. x2-1x -6 < 0 Se factoriza. (x-3)(x+2) Se iguala a cero . (x-3) (x+2) = 02. Se hallan LOS PUNTOS CRITICOS (x-3) = 0 (x+2) =

0 x = +3 x = -2 Se ubican los puntos crtiticos en la recta REAL Se aplica ley de signos

+ - + -2 3

3. La solucion esta compuesta por los signos correspondientes al de la desigualdad en este caso el intervalo abierto negativo por ser una desigualdad menor

C.S = (-2,3)

3)

.

2( 1) 0x x

Se toma en cuenta la multiplicidad :Multiplicidad par : No se toma como punto critico pero se le evalúa para ver si pertenece a la solución.Multiplicidad impar: Si se toman como puntos criticos

ECUACIONES E INECUACIONES CON ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOVALOR ABSOLUTO-DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO-DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO

0 si ,

0 si ,

xx

xxx

22(-2) , 22 xx

•|15| = 15

•|-4| = -(-4) = 4

•|0| = 0

Obs:

PROPIEDADES DEL VALOR PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTOABSOLUTO

yxyxyyx

yxyxyx

yxyx

yy

x

yx

yxxy

xxx

x

0 .7

.6

.5

0 , .4

.3

.2

0 .1222

ECUACIONES CON VALOR ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOABSOLUTO

xx

xx

x

x

243 .4

331 .3

14

2 .2

31

2 .1

Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

732 x

032 si , 32

032 si , 3232

xx

xxx

2

3

23

si , 32

si , 3232

xx

xxx

2732

5732

23

23

xxx

xxx

También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición.Por ejemplo:

Sabemos por definicion que :

Lo que equivale a decir:

Entonces:

C.S. = {-2;5}

INECUACIONES CON VALOR INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOABSOLUTO

babbba

babbba

0

0

bababa

bababa

22

22

baba

baba

1) | x + 5 | ≤ 10

NO CUMPLE NINGUNA PROPIEDAD!!..HELP!!!

YOUR TURN!2) | 5x - 3 | < 3x - 1

2) | -3x + 6 | > 18