Unidad III: Prueba de Hipotesis1 ANÁLISIS CUANTITATIVO II Prueba de hipótesis

Unidad III: Prueba de Hipotesis 1

ANÁLISIS CUANTITATIVO

IIPrueba de hipótesis


¿Qué es una hipótesis?

Una creencia sobre la población, principalmente sus parámetros: Media Varianza Proporción/Tasa

OJO: Si queremos contrastarla, debe establecerse antes del análisis.

Dicha creencia puede ser o no ser verdadera

Creo que el porcentaje de

enfermos será el 5%


Contrastando una hipótesis

Creo que la edad media es 17

años...

Son demasiados...

años 20X

¡Gran diferencia!

Rechazo la hipótesis

Muestra aleatoria


Identificación de hipótesis Hipótesis nula Ho

La que contrastamos

Los datos pueden refutarla

No debería ser rechazada sin una buena razón.

Hipótesis Alternativa H1 Niega a H0

Los datos pueden mostrar evidencia a favor

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

:H

:H

1

0%50p

%50p

, ,

, ,


¿Quién es H0?

Problema: ¿La altura media o promedio de los estudiantes de la UNAH es 1.60 m?

Solución:

Traducir a lenguaje estadístico:

Establecer su opuesto:

Seleccionar la hipótesis nula

60.160.1

60.1:0 H


¿Quién es H0?

Problema: El tiempo de vida promedio de una determinada pieza usada en el ensamblaje de una marca de computadoras es de 20,000 horas.

Solución:




000,20

000,20

000,20:0 H


¿Quién es H0?

Problema: El porcentaje de personas atacadas por cierta epidemia es una ciudad grande, no es mayor del 10%.

Solución:




10.0p

10.0p

10.0:0 pH


Ejercicios: Durante los últimos semestres, el profesor de Estadística de una universidad ha registrado que el rendimiento medio de sus alumnos es de 14 puntos. Este año le ha tocado 40 alumnos sobresalientes porque su rendimiento medio ha sido 17 puntos y el profesor les proclama como superiores a todos los alumnos que ha tenido en la fecha. Qué hipótesis plantearía?

14:1 H14:0 H


Región crítica y nivel de significaciónRegión crítica

Valores ‘improbables’ si... Es conocida antes de realizar el

experimento: resultados experimentales que refutarían H0

Nivel de significación: Número pequeño: 1% , 5% Fijado de antemano por el investigador Es la probabilidad de rechazar H0

cuando es cierta

No rechazo H0

Reg. Crit.Reg. Crit.

=5%

=40


Contrastes: unilateral y bilateralLa posición de la región crítica depende de la hipótesis

alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H1: <20 H1: >20

H1: 20


Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la Ejemplo 1: Se juzga a un individuo por la presuntapresunta comisión de un delito comisión de un delito

H0: Hipótesis nula Es inocente

H1: Hipótesis alternativa Es culpable

Los datos pueden refutarla

La que se acepta si las pruebas no indican lo contrario

Rechazarla por error tiene graves consecuencias

Riesgos al tomar decisiones

No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.

Rechazarla por error tiene consecuencias graves


Ejemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultadosEjemplo 2: Se cree que un nuevo tratamiento ofrece buenos resultados

Ejemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normalEjemplo 3: Parece que hay una incidencia de enfermedad más alta de lo normal

H0: Hipótesis nula (Ej.1) Es inocente (Ej.2) El nuevo tratamiento no tiene efecto (Ej.3) No hay nada que destacar

H1: Hipótesis alternativa (Ej.1) Es culpable (Ej.2) El nuevo tratamiento es útil (Ej. 3) Hay una situación anormal

Riesgos al contrastar hipótesis

No especulativa

Especulativa


Tipos de error al tomar una decisión

Realidad

Inocente Culpable

veredicto

Inocente OK Error

Menos grave

Culpable Error

Muy grave

OK


Establecimiento del procedimiento para una prueba de hipótesis Formular la hipótesis nula Ho y la alternativa H1, de acuerdo al problema.

Escoger un nivel de significancia o riesgo a. Elegir la estadística de prueba apropiada, cuya distribución por muestreo

sea conocida en el supuesto de que Ho es cierta. Con base a a y H1, determinar el valor (o valores) críticos y con ellos se

establece la región de aceptación y rechazo. Calcular los valores de la prueba estadística a partir de una muestra

aleatoria de tamaño n, Ho y reemplazarlos en la estadística de prueba elegida en el paso 3, para hallar el valor experimental.

Tomar la decisión de aceptar Ho si el valor experimental cae en la región de aceptación y rechazarla si dicho valor cae en la región crítica o de rechazo.

Opcional: si se rechaza Ho, se puede hallar un intervalo de confianza para el parámetro de interés.


Prueba de Hipótesis sobre una media poblacional Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida y

el tamaño de la muestra es grande o se sabe que la población tiene una distribución normal, la estadística de prueba es:

n

xZ

0


Ejemplo 1: De acuerdo a las normas establecidas en una prueba de aptitud

académica, las personas que han concluido sus estudios secundarios debían tener un promedio de 76.7 puntos. Si se sabe por una investigación anterior sobre el caso, que la desviación estándar fue de 8.6 puntos y si 45 personas que concluyeron estudios secundarios son elegidas aleatoriamente y alcanzan un promedio de 73.2, pruebe la hipótesis de que el promedio ha disminuido.

7.76:1 H7.76: Ho

01.0

n

xZ

0

Z=-2.33

Zo<Z-2.73<-2.33

Ho se rechaza y se acepta H1


Ejemplo 2:

Durante los últimos semestres, el profesor de Estadística de una universidad ha registrado que el rendimiento medio de sus alumnos es de 14 puntos, con una desviación de 2 puntos. Este año le ha tocado 40 alumnos sobresalientes porque su rendimiento medio ha sido 17 puntos y el profesor les proclama como superiores a todos los alumnos que ha tenido en la fecha.


Prueba de Hipótesis sobre una media poblacional

Caso B: Cuando no se conoce la varianza poblacional es conocida y el tamaño de la muestra es pequeña.

nsx

t

T(n-1)


Ejemplo 3:

Suponga que un estudio relativo a 28 familias de la urbanización El Sol, arrojo un ingreso medio durante el 2001, de S/. 6548.00 con una desviación estándar de S/. 952.00. Pruebe la hipótesis de que el verdadero ingreso familiar promedio en día urbanización es de S/. 6000.00 (en el año), frente a la alternativa de que no fue S/. 6000.00 use un nivel de significacia del 5%.


Desarrollo Ejercicio 3:

6000:1 H6000: Ho

05.0

nsx

t

0

Ho se rechaza y se acepta H1

t=-2.052 t=2.052


Ejercicio 4:

En una muestra aleatoria de 10 sacaos de arroz extra envasado, se obtuvo una media de 9.4 Kg. con una desviación estándar de 1.8 Kg. ¿Contiene esta muestra suficiente evidencia para indicar que el peso medio es menor que 10 Kg. de arroz, a un nivel de significación de 0.1?


10:1 H10: Ho

1.0

nsx

t

0

Ho se acepta entonces podemos decir que No existe suficiente evidencia para indicar que el peso medio de cada bolsa de arroz extra envasado, es menor que 10 kg. a un nivel de significancia de 10%

t=-1.383



Ejercicio 5:

Suponga que se desea demostrar, sobre una base de una muestra tomada al azar de tamaño 5, si el contenido de grasa en una mantequilla dietética, pasa el 30%.¿Qué puede concluir con un nivel del 1% de significación, si los valores de la muestra son:

31.9, 30.3, 32.1, 31.7, 30.9


Prueba de Hipótesis para la proporción poblacional: p

Se trata de efectuar una prueba de hipótesis acerca de la proporción p de elementos con cierto atributo en una población.

npp

pPZ

)1( 00

00

n

xP


Ejercicio 5

Se realizó una encuesta con el fin de estudiar las prácticas sanitarias dentales y las actutudes, de cierta población urbana de adultos. De 300 adultos entrevistados, 123 dijeron que regularmente se sometían a una revisión dental dos veces al año. Pruebe la hipótesis nula de que p=0.5 (el 50 % de los adultos de dicha población se someten regularmente a una revisión dental, dos veces al año)


5.0: 01 pH5.0: 0 pHo

05.0


npp

pPZ

)1( 00

00

300

123P

Ho se rechaza y se puede concluir por tanto que el 50% de la población no se hace una revisión dental dos veces al año.

Z=-1.96 Z=1.96


Ejercicio 6:

Suponga que se sabe que el porcentaje de artículos buenos producidos por un cierto proceso es sólo el 90%. Se elige una muestra aleatoria de 625 artículos en un cierto momento y se encuentran que 550 son buenos. Si ud. desea rechazar una hipótesis verdadera no más de una vez en 100. Concluiría que el porcentaje de artículos buenos producidos por el mencionado proceso, es exagerado.


9.0: 01 pH9.0: 0 pHo

01.0Z=-2.575


npp

pPZ

)1( 00

00

625

550P

Ho se acepta, es decir que no existe razón para concluir que el porcentaje de artículos buenos producidos es exagerado.


Prueba de Hipótesis en dos poblaciones normales Caso A: Cuando la varianza poblacional es conocida y el

tamaño de la muestra es grande o se sabe que la población tiene una distribución normal, la estadística de prueba es:

2

22

1

21

210

)(

nn

xxZ

),( 211 N ),( 2

22 N


Ejercicio 7:

En un sistema educativo se aplicaron dos métodos A y B para enseñar el curso de estadística. En un grupo de 80 estudiantes se aplicó el método A y en otro de 120 se aplicó el método B. Las medias de las calificaciones obtenidas fueron 13 y 13.5 respectivamente. ¿Podemos admitir que los métodos de enseñanza no son diferentes y que las diferencias encontradas en las muestras se deben al azar? Experiencias anteriores dicen que las variables X1 y X2 que representan los rendimientos con los métodos A y B, respectivamente, tienen distribución normal con varianza 3 y 3.5 y =0.05


21: Ho

05.0


Ho se acepta, es decir que la diferencia encontrada entre las medias de las muestras no es significativa al nivel de significancia de 0.05.

21: Ho

2

22

1

21

210

)(

nn

xxZ

Z=-1.96 Z=1.96


Prueba de Hipótesis en dos poblaciones normales Caso B: Igualdad de medias cuando las varianzas

poblacionales son desconocidas e iguales

21

2

210

11

)(

nns

xxt

p

),( 21 N ),( 2

2 N

2

)1()1(

21

222

2112

nn

snsnsp


Ejercicio 8: Un investigador en el campo educativo sostiene que el módulo

didáctico empleado en la enseñanza de Matemáticas es uno de los factores que influye y determina en el proceso de enseñanza aprendizaje y, por lo tanto, el módulo adoptado incidirá en el rendimiento académico de los estudiantes. Para verificar su hipótesis decide realizar el siguiente experimento: durante un semestre se llevó a cabo el trabajo lectivo en dos grupos independientes de estudiantes de la misma carrera en la misma universidad, empleando dos métodos (A y B) de características bien diferenciadas, que fueron seleccionados aleatoriamente. Al final del curso se aplicó el mismo examen y se obtuvo las siguiente notas:


Método A 15 16 15 13 13 16 16 14 17

Método B 13 14 14 11 12 14 13

Suponiendo que las muestra provienen de poblaciones normales con varianzas iguales, ¿los resultados encontrados por el profesor apoyan la hipótesis de investigación con nivel de significancia de 0.01


21: Ho

01.0


Ho se rechaza, es decir que la diferencia encontrada entre las medias de las muestras es significativa a un nivel de significancia de 0.05.

21: Ho

t=-2.947 t=2.947

21

2

210

11

)(

nns

xxt

p

2

)1()1(

21

222

2112

nn

snsnsp


Prueba de Hipótesis en dos poblaciones independientes Caso C: Prueba de hipótesis para diferencia de

proporciones

11 n

AP

21

210

11)1(

nnPP

PPZ

22 n

BP

21

2211

nn

PnPnP

Unidad I: Prueba de Hipótesis 37

Ejercicio 9:

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