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Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• comprenderá el concepto de probabilidad condicional• distinguirá eventos dependientes e independientes• aplicará problemas de eventos dependientes con el uso de la regla de multiplicación de probabilidades y los diagramas de árbol• aplicará los conceptos de dependencia e indepen- dencia para la solución de problemas• resolverá problemas relacionados con los teoremas de la probabilidad total y de Bayes
Probabilidad:condicionalidade independencia
UNIDAD
4
Introducción
En esta unidad se trabajará con la corriente bayesiana para la asignación de probabilidades a eventos. Cabe mencionar que en la mayoría de los libros dedicados a la probabilidad, no se hace tanto énfasis en la probabilidad condicional como aquí. Generalmente, se introduce como ejemplo para calcular probabilidades de eventos restringidos a laocurrencia de uno u otros eventos; pero como se verá esto no es así, puesto que la probabilidad condicional es en realidad un tipo muy especial de probabilidad.
Esta unidad inicia con la definición de probabilidad condicional y con algunos ejercicios que muestran su aplicación, posteriormente se aborda la regla de multiplicación de probabilidades y los eventos independientes, su relación con la probabilidad condicional y la regla de multiplicación.
Es importante entender el concepto de independencia, puesto que aparece en la mayoría de las aplicaciones estadísticas (intervalos de confianza, las pruebas de hipótesis, etcétera).
La unidad finaliza con los teoremas de probabilidad total y de Bayes; se verá que el teorema de Bayes no es más que una probabilidad condicional dentro de una partición de eventos.
4.1 Probabilidad condicional
En las unidades 2 y3 se estudiaron probabilidades de eventos que no estaban restringidos o relacionados con la ocurrencia de otros sucesos, con frecuencia, al tratar de calcular la probabilidad de un evento A, se observa que puede estar restringido a la ocurrencia de algún evento B. Este tipo de problemas es muy común. En la práctica es necesario reunir la mayor cantidad de datos si se quiere calcular la probabilidad de la ocurrencia de un fenómeno determinado, por ejemplo, para calcular la probabilidad de que mañana llueva se puede comenzar por identificar la época del año, medir la humedad, analizar el viento, etc. Desde luego, las probabilidades asignadas a este tipo de problemas dependen en gran medida de los conocimientos previos sobre los factores que se vayan agregando, por lo que, muchos autores le llaman probabilidad .
En primer lugar se simboliza la probabilidad del evento A, el cual está restringido a la ocurrencia del evento B (desde luego se asume que P B( ) 0; en caso contrario no tendría sentido la restricción sobre la ocurrencia del evento B), por P A B( | ), que se lee probabilidad de A dado B.
En segundo lugar se introduce una fórmula para el cálculo de P A B( | ); obsérvese que los eventos A y B están dentro de un mismo espacio muestral (S); por tanto, la proba-bilidad de que ocurra el evento A sujeto a que ocurra B, está dada por la expresión
P A BP A B
P BP B( | )
( )
( ), ( ) 0 (1)
118
donde tanto P(B) como P A B( ) son probabilidades de eventos definidos en un mismo espacio muestral S.
Se puede verificar que la fórmula 1 cumple con los tres axiomas de Kolmogorov sobre la probabilidad axiomática; por tanto
P A BP A B
P BP B( | )
( )( )
, ( ) 0
Ésta no es sólo una simple división de probabilidades, representa una probabilidad axiomática a la que se llama probabilidad condicional, y se lee probabilidad de que suceda A, dado que sucedió B.
Dados los eventos A y B, se llama probabilidad condicional del evento A, puesto que sucedió B, a
P A BP A B
P B( | )
( )
( ), con P B( ) 0
1. Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S), tales que P(A) = 0.6, P(B) = 0.4 y P A B( ) = 0.1, se calcula P A B( | ) .
De la fórmula 1, se tiene que
P A B P A( | ).
.. ( )
0 1
0 40 25
2. Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral S), tales que P(A) = 0.6, P(B) = 0.4 y P A B( ) = 0.3, se calcula P A B( | ).
De la fórmula 1, se tiene que
P A B P A( | )..
. ( )0 30 4
0 75
3. Dados los eventos A y B (dentro de un mismo espacio muestral), tales que P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 y P A B( ) = 0.3, se calcula P A B( | ).
De la fórmula 1, se tiene que
P A B P A( | ).
.. ( )
0 3
0 50 6
De los ejemplos anteriores se concluye que entre P(A) y P A B( | ) puede cumplirse cualquier relación de orden, ya sea mayor ( ), menor ( ) o igual (=).
4. En un lote de 50 automóviles nuevos se reparten aleatoriamente 20 para el mercadointerno y 30 para el de exportación. Diez de los automóviles de exportación son de color blanco, y los otros 20 de color azul, mientras que la mitad de los automóviles del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul. Si el gerente considera aleatoriamente un automóvil de color blanco, ¿cuál es la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación?
Este tipo de problemas se resuelve fácilmente empleando una tabla para representar los datos.
Definición 4.1
Ejemplo 1
119
Puesto que existe testricción a considerar un automóvil blanco, la probabilidad de que el automóvil sea de exportación es de tipo condicional.
Donde I representa a los automóviles del mercado interno, E a los del externo, B a los de color blanco, y A a los de color azul. El espacio muestral en este caso consta de 50 elementos. Por tanto, la probabilidad de elegir un automóvil blanco es
P BBS
( )( )( )
.2050
0 40
Mientras que la probabilidad de elegir un automóvil blanco y de exportación es
P E BE B
S( )
( )( )
.1050
0 20
por tanto
P E BP E B
P B( | )
( )
( )
.
..
0 20
0 400 5
5. Una urna contiene trece esferas iguales numeradas del uno al trece, de las cuales
cinco son rojas y ocho blancas. Se toman al azar dos esferas de la urna una tras otra sin reemplazo; si la primer esfera extraída es blanca, se calcula la probabilidad de que la segunda también lo sea.
Estos problemas, aunque sencillos, ilustran bastante bien el concepto deprobabilidad condicional. Para su solución se simbolizan los eventos
A: “ la primer esfera extraída es blanca” B: “ la segunda esfera extraída es blanca”
Existe restricción para extraer una esfera blanca y quedan doce esferas en la urna (siete son blancas), se tiene que la probabilidad de extraer una segunda bola blanca es
P B A( | )7
12 = 0.58
Ejercicio 1
1. Dados los eventos A y B, tales que P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P A B( ) = 0.4, calcula
a) P A Bc c( ) b) P A Bc( | )
Blanco Azul TotalB A
Mercado interno, I 10 10 20
Mercado externo, E 10 20 30
Total 20 30 50
120
2. Dados los eventos A y B mutuamente excluyentes, tales que P(Ac) = 0.6 y P(B) = 0.5, calcula
a) P A B( ) b) P A Bc c( | )
3. Al lanzar dos dados, uno de ellos resulta cuatro, calcula la probabilidad de que la suma de los dos dados sea igual a siete.
4. Una bolsa contiene cinco pelotas blancas y tres negras, y una segunda bolsa contiene tres blancas y seis negras. Sin ver se toma una pelota de la segunda bolsa y se coloca en la primera; calcula la probabilidad de que una pelota extraída bajo estas condiciones de la primera bolsa sea negra.
5. De un lote de 200 automóviles nuevos se reparten aleatoriamente 120 para el mercado interno y 80 para el de exportación; 30 de los automóviles de exportación son grises, 30 verdes y el resto azules; mientras que la mitad de los automóviles del mercado interno son grises, 30 verdes y el resto azules. Si el gerente elige aleatoriamente un automóvil gris, calcula la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación.
4.2 Regla de multiplicación de probabilidades
Al calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos A y B, cuando se conoce la probabilidad de uno de ellos y la probabilidad del otro condicionado al primero, se emplea la fórmula 1; la operación se hace con el uso de la regla de multiplicación de probabilidades.
Dado S el espacio muestral y A, B dos eventos en él, tales que P(B) 0. De la fórmula (1), al calcular la probabilidad condicional P A B( | ), se deduce
P A B P B P A B( ) ( ) ( | ) (2)
También, de forma equivalente a partir de P(B | A), se obtiene
P A B P A P B A( ) ( ) ( | ) (3)
Las fórmulas anteriores se conocen como regla de multiplicación de probabilidades.
1. Una urna contiene trece esferas iguales numeradas del uno al trece, de las cuales cinco son rojas y ocho blancas. Si se toman al azar dos, una tras otra sin reemplazo, se calcula la probabilidad de que sean blancas.
Se simboliza
A: “ la primer esfera extraída es blanca” B: “ la segunda esfera extraída es blanca”
Como originalmente en la urna existen trece esferas, de las cuales ocho son blancas, se tiene
P A( )8
13
Ejemplo 2
121
Cuando se calcula la probabilidad del evento B existe restricción para extraer una esfera blanca, quedando doce esferas en la urna de las cuales siete son blancas. Se tiene entonces que la probabilidad de extraer una segunda esfera blanca es
P B A( | )7
12
Finalmente, con las probabilidades calculadas, y empleando la fórmula (3), se obtiene
P A B P A P B A( ) ( ) ( | ) .8
137
1256
1560 3590
2. Una urna contiene trece esferas iguales de las cuales tres son rojas, cuatro blancas y seis azules. Se toman al azar dos, y se calcula la probabilidad de que una de ellas sea roja, si se extraen una tras otra sin reemplazo.
Al tomar dos esferas al azar, se tienen dos opciones de que una sea roja:
1. Cuando la primer esfera es roja y la segunda no lo es. 2. Cuando la primer esfera no es roja y la segunda sí lo es.
Los dos casos anteriores son mutuamente excluyentes y, por tanto, la probabilidad final será la suma de los dos resultados.
1. Se simboliza
A1: “ la primer esfera extraída es roja”B2: “ la segunda esfera extraída no es roja”
Empleando esta notación, se tiene que la probabilidad es P A B( )1 2 .Si se tienen trece esferas de las cuales tres son rojas, P(A1) = 3/ 13.
Si la primera esfera extraída es roja, nos quedan dos rojas y diez no rojas. Por tanto, P B A( | )2 1 = 10/ 12.
Para calcular la probabilidad P A B( )1 2 , se emplea la regla de multi-plicación de probabilidades y se sustituyen las probabilidades encontradas
P A B P A P B A( ) ( ) ( | )1 2 1 2 13
131012
30156
2. Sesimboliza
B1: “ la primer esfera extraída no es roja” A2: “ la segunda esfera extraída es roja”
Empleando esta notación, se tiene que la probabilidad es P B A( )1 2 . Se tienen trece esferas, de las cuales diez no son rojas, P(B1) = 10/ 13. Si la primer esfera extraída no fue roja, quedan tres rojas y nueve no rojas. Por tanto, P A B( | )2 1 = 3/ 12.
Para calcular la probabilidad P B A( )1 2 se emplea la regla de multi-plicación de probabilidades y se sustituyen las probabilidades encontradas
P B A P B P A B( ) ( ) ( | )1 2 1 2 110
13
3
12
30
156
122
Como se puede observar, el espacio muestral S tendrá (S) = 13 12 = 156 elementos.
Finalmente, la probabilidad buscada es la unión de los eventos mutua-mente excluyentes A B1 2 y B A1 2. Por tanto
P A B B A P A B P B A( ) ( ) ( ) ( ) .1 2 1 2 1 2 1 230
156
30
1560 3846
4.2.1 Generalización de la regla de multiplicación de probabilidades
Ahora se presenta el caso de la regla de multiplicación para tres eventos. Sea S el espacio muestral con los eventos A, B y C, tales que P(C) 0 y P B C( ) 0 y aplicando la fórmula 3 de multiplicación de probabilidades y la ley asociativa del álgebra de eventos, se deduce
P A B C P A B C P B C P A B C
P C P B C P A B C
( ) ( ) ( ) ( | )
( ) ( | ) ( | )
De forma equivalente, empleando las leyes conmutativa y asociativa del álgebra de eventos, se obtienen las 3! = 6 combinaciones posibles
P A B C P C P B C P A B C P C P B C( ) ( ) ( | ) ( | ), ( ), ( )con
0
con
P B P C B P A B C P B P B C( ) ( | ) ( | ), ( ), ( ) 0
con
P A P B A P C A B P A P A B( ) ( | ) ( | ), ( ), ( ) 0
con
P B P A B PC A B P B P A B( ) ( | ) ( | ), ( ), ( ) 0
con
P A P C A P B A C P A P A C( ) ( | ) ( | ), ( ), ( ) 0
con P C P A C P B A C P C P A C( ) ( | ) ( | ), ( ), ( ) 0
En su forma general, la regla de multiplicación de probabilidades para n eventos está dada por la expresión
P A A A P A P A A P A A A P A A A An n n1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1| | |
Al igual que en el caso de tres eventos, se pueden obtener n! combinaciones posibles.Para el cálculo de probabilidades condicionales se pueden emplear diferentes
técnicas. Una de ellas son las tablas (como en el numeral 1 del ejercicio 4); otras, aunque un poco más complicadas para estos casos, son las técnicas de conteo. Enseguida se empleará la técnica de los diagramas de árbol.
4.2.2 Empleo de diagramas de árbol en la probabilidad condicional
Los diagramas de árbol se aplicaron en la unidad 3 como una herramienta en el cálculo de la cantidad de arreglos. En especial, se determinó que constituyen una forma sencilla (aunque engorrosa) de encontrar todos los arreglos posibles entre los elementos de varios
123
conjuntos. Ahora se mostrará que muchos problemas de probabilidad condicional se pueden resolver con su uso. En primer lugar se analizarán sus detalles técnicos.
El árbol comienza a trazarse desde un punto que se llama vértice, hacia las diferentes ramas, llamadas caminos o aristas; cada una de ellas llega a otro vértice y de igual forma desde ese punto pueden trazarse otras aristas y así sucesivamente hasta terminar con todos los caminos posibles.
En la teoría de las probabilidades debe cumplirse que la suma de todas lasprobabilidades de los diferentes caminos de cualquier vértice, sea igual a uno.
La probabilidad de una rama cualquiera se obtiene multiplicando las probabilidades de los caminos descendentes, a partir del vértice de la última arista hasta llegar al vértice inicial.
Es importante observar que las probabilidades de los caminos ascendentes son probabilidades condicionales, puesto que están restringidas a que sucedan los eventos de las aristas anteriores.
Una bolsa contiene cinco pelotas blancas y tres negras; una segunda bolsa contiene tres blancas y seis negras, y una tercer bolsa contiene ocho pelotas blancas y tres negras, todas las pelotas son iguales en forma y tamaño. Se toma al azar una pelota de la bolsa 1 y se coloca sin verla en la bolsa 2, y de ésta se toma una pelota y se coloca en la bolsa 3; se calcula la probabilidad de que una pelota que se saque de la bolsa 3 sea negra, se resuelve mediante diagramas de árbol yse anotan en forma simbólica las probabilidades encontradas.
Primero es necesario elaborar un diagrama de árbol que represente las diferentes acciones que pueden ocurrir al tomar y colocar pelotas de una bolsa en otra. Después se asignan probabilidades a las diferentes ramificaciones del diagrama
Si se toma una pelota blanca de la bolsa 1 y se coloca en la bolsa 2 se tendrán 3 + 1 = 4 pelotas blancas y seis negras.
En caso de que la pelota de la bolsa 1 sea negra, la bolsa 2 tendrá tres blancas y 6 + 1 = 7 negras.
Finalmente, si de la bolsa 2 se extrae una pelota blanca al colocarla en la bolsa 3 se tendrán 8 + 1 = 9 blancas y tres negras, en caso contrario serán 3 + 1 = 4 negras y ocho blancas.
Ejemplo 3
124
Se simboliza
Bk: “ la pelota extraída de la bolsa k es blanca”; donde k = 1, 2, 3 Nk: “ la pelota extraída de la bolsa k es negra”
El siguiente diagrama muestra las probabilidades correspondientes:
Se tienen, según el diagrama anterior, las siguientes probabilidades:Para la bolsa 1: P(B1) = 5/ 8 y P(N1) = 3/ 8.Después de ocurrida la extracción de la bolsa 1, se tienen las probabilidades condi-
cionales para la segunda bolsa:
1. Para el caso de la primer ramificación en la bolsa 1, P B B( | )2 1 = 4/ 10 = 2/ 5 o P N B( | )2 1 = 6/ 10 = 3/ 5.
2. Para el caso de la segunda ramificación en la bolsa 1, P B N( | )2 1 = 3/ 10 oP N N( | )2 1 = 7/ 10.
Finalmente, después de extraer las pelotas de las bolsas 1 y 2 se tienen las probabi-lidades condicionales para la bolsa 3
1. Para el caso de la primer ramificación en la bolsa 2, P(B3 | B2 B1) = 9/12 = 3/4 o P N B B( | )3 2 1 = 3/ 12 = 1/4.
2. Para el caso de la segunda ramificación en la bolsa 2, P(B3 | N2 B1) = 8/ 12 = 2/ 3 o P N N B( | )3 2 1 =4/ 12 = 1/ 3.3. Para el caso de la tercer ramificación en la bolsa 2, P(B3 | B2 N1) = 9/ 12 = 3/4 o P N B N( | )3 2 1 = 3/ 12 = 1/4.4. Para el caso de la cuarta ramificación en la bolsa 2, P(B3 | N2 N1) = 8/ 12 = 2/ 3 o P N N N( | )3 2 1 = 4/ 12 = 1/ 3.
Con base en los resultados anteriores es posible calcular las probabilidades de que la bola extraída de la bolsa 3 sea negra. Para tal efecto se tienen cuatro casos
125
1. P N B B P B B P B( | ) ( | ) ( )3 1 2 2 1 13
124
1058
116
2. P N B N P N B P B( | ) ( | ) ( )3 1 2 2 1 14
126
1058
18
3. P N N B P B N P N( | ) ( | ) ( )3 1 2 2 1 13
123
1038
9320
4. P N N N P N N P N( | ) ( | ) ( )3 1 2 2 1 14
127
1038
780
Finalmente, por el principio de la suma, resulta
P N( ) .31
16
1
8
9
320
7
80
97
3200 303125
Ejercicio 2
1. Dados los eventos A y B, tales que P(Ac) = 0.6, P(B) = 0.5 y P A B| = 0.6, calcula
a) P A B( ) b) P A Bc c( | )
2. Dados los eventos A y B, tales que P(A) = 0.7, P(Bc) = 0.6 y P A B( ) = 0.9, calcula
a) P A B A| b) P A B Bc( | )
3. Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta población. Se suponeque 40% de la población contraerá la enfermedad I alguna vez en su vida, 15%contraerá eventualmente la enfermedad II y 3% contraerá ambas.
a) calcula la probabilidad de que una persona considerada al azar de esta población contraiga al menos una de las dos enfermedades
b) calcula la probabilidad de que una persona considerada al azar de esta población contraiga ambas enfermedades, dado que ha contraído al menos una de ellas
4. Una bolsa contiene cinco pelotas blancas y tres negras, una segunda bolsa contiene tres blancas y seis negras, y una tercer bolsa contiene ocho pelotas blancas y tres negras, todas iguales en forma y tamaño. Se saca al azar una pelota de la bolsa 3 y se coloca sin verla en la bolsa 2, posteriormente de ésta se saca una pelota y se coloca en la bolsa 1, calcula la probabilidad de que una pelota extraída de la bolsa 1 sea negra.
5. En la ciudad de México se ha observado que 95% delos automóviles utilizan gasolina y el restante gas. De los automóviles que usan gasolina, 70% emplea Magna y 30% restante Premium, calcula:
a) la probabilidad de que el siguiente automóvil que pase por un crucero deter- minado emplee gasolina Premium
b) si el automóvil que pasó emplea gasolina, calcula la probabilidad de que sea Magna
126
(5)
4.3 Eventos independientes
En la sección anterior se analizaron los eventos A y B pertenecientes a un mismo espacio muestral S, tales que la ocurrencia de un evento estaba condicionada a que el otro sucediera. Ahora se estudiará el caso en el que los eventos A y B son tales que su ocurrencia no está condicionada a la del otro: A sucede de manera independiente del evento B, y viceversa.
Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad de que resulte un cinco es 1/6. Si se lanza de nuevo, la probabilidad de que resulte otra vez un cinco sigue siendo 1/6.
De lo anterior se puede concluir que el resultado del segundo lanzamiento es independiente del primero. Esto es, dado que A no está condicionado a B
P A B P A( | ) ( ) , y P B A P B( | ) ( ) , con P(A), P(B) 0 (4)
para eventos independientes A y B.Empleando la regla de la multiplicación de probabilidades es posible establecer una
definición más apropiada para los cálculos con eventos independientes. Con base en las fórmulas 2, 3 y 4, se determina la definición 4.2.
Dos eventos A y B son independientes , si y sólo si P A B( ) = P(A)P(B).
En el caso de que P(A) = 0 o P(B) = 0, se sigue cumpliendo la definición, a diferencia de la fórmula 4 que sólo se emplea para eventos A y B, tales que P(A), P(B) 0.
Una urna contiene trece esferas iguales, de las cuales cinco son rojas y ocho blancas. Si se toman al azar dos una tras otra con reemplazo, se calcula la probabilidad de que las dos esferas extraídas sean blancas.
Se simboliza
A: “ la primera esfera extraída es blanca”B: “ la segunda esfera extraída es blanca”
Originalmente en la urna existen trece esferas, de las cuales ocho son blancas y se toman dos con reemplazo; por tanto, el espacio muestral S tiene (S) = 13 13 = 169 elementos.
Por otro lado, el evento A B (“ambas esferas blancas”) tiene ( )A B = 8 8 = 64 elementos; por tanto
P A BA B
S( )
( )
( )
64
169
Se calculan ahora las probabilidades de A y de B, comprobando que estos eventos son independientes.
Para el evento A se tienen trece esferas, de las cuales ocho son blancas, por tanto
P A( )8
13
Definición 4.2
Ejemplo 4
127
Después de esto, se coloca de nuevo la esfera en la urna (quedan ocho blancas y cinco rojas), de tal forma que al sacar otra vez una esfera la probabilidad del evento B es
P B( )8
13
Se comprueba que los eventos son independientes, entonces
P A B P A P B( ) ( ) ( )8
13
8
13
64
169
En conclusión en los ejercicios donde se toman elementos, las condiciones den conclusión en los ejercicios donde se toman elementos, las condiciones de hacerlo con o sin reemplazo influyen en los eventos para que éstos sean independientes o dependientes.
con reemplazo independenciasin reemplazo dependencia
Si S es un espacio muestral con los eventos A y B independientes en S, entonces las parejas siguientes, también son independientes
A y Bc; Ac y B; Ac y Bc.
Dados A y B eventos independientes, tales que P(A) = 0.4 y P(B) = 0.7; se calcula P A Bc( ) .
Por lo analizado en la unidad 2, se sabe que P A B P A P B P A Bc c c( ) ( ) ( ) ( ) .La probabilidad de Ac se calcula por P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0.4 = 0.6. Mientras que la
probabilidad de A Bc se calcula por el teorema 4.1, ya que Ac y B son independientes
P A B P A P Bc c( ) ( ) ( ) . . .0 6 0 7 0 42
Finalmente,
P A B P A P B P A Bc c c( ) ( ) ( ) ( ) . . . .0 6 0 7 0 42 0 88
4.3.1 Tomas sin reemplazo en poblaciones grandes
Al final de la sección anterior mencionamos que las tomas sin reemplazo daban como resultado eventos dependientes. Sin embargo, como se verá a continuación, si las poblaciones son grandes, entonces se podrá asegurar, con gran aproximación, que los eventos en estas condiciones se pueden considerar independientes.
Ahora se resuelve un ejercicio parecido al anterior sobre las esferas en una urna. Una urna contiene 1 300 esferas iguales, de las cuales 500 son rojas y 800 blancas. Si se toman al azar dos bolas de la urna, sin reemplazo, se calcula la probabilidad de que las dos esferas extraídas sean blancas.
Se simboliza
A: “ la primer esfera extraída es blanca”B: “ la segunda esfera extraída es blanca”
Teorema 4.1
Ejemplo 5
128
Para el evento A se tienen 1 300 esferas, de las cuales 800 son blancas; por tanto,
P A( )800
1 300
8
13
Al extraer una esfera blanca quedan en la urna 1 299, de las cuales 799 son blancas; por tanto,
P B A( | )799
1 299
Finalmente, la probabilidad de que ambas sean blancas se calcula por la fórmula (3)
P A B P A P B A( ) ( ) ( | )813
7991 299
0.3785
Por otro lado, considerando los eventos A y B independientes: para el evento A se tiene 1 300 esferas, de las cuales 800 son blancas; por tanto,
P A( )8
13
Igualmente para el evento B (considerando A y B independientes), resulta,
P B( )8
13y se comprueba
P A B P A P B( ) ( ) ( )813
813
64169
0.3784 0.3785
Ejercicio 3
1. Dados A y B eventos independientes, tales que P(Ac) = 0.6 y P(B) = 0.5, calcula
a) P A B( ) b) P A Bc c( | )
2. Dados A y B eventos independientes, tales que P(A) = P(B) = 0.5, calcula
a) P A Bc( | ) b) P A Bc( )
3. Dados S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} como el espacio muestral que denota los posibles resultados del lanzamiento de un dado, y A y B los eventos simbolizados por
A: “el resultado del lanzamiento es uno o dos” B: “el resultado es dos, tres o cuatro”
Indica si existe independencia en estos eventos. Justifica tu respuesta mediante un modelo de probabilidades.
4. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos (A y B), que trabajan independientemente. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por
129
el dispositivo A, es de 0.9 y por el dispositivo B, de 0.95. Si hay humo, calcula la probabilidad de que sea detectado por cualquiera de los dos dispositivos A o B, o ambos.
5. En un fraccionamiento residencial se bombea el agua potable, para tal efecto se tienen dos bombas, una trabajando y la otra de repuesto. Si la probabilidad de que cualquiera de las dos bombas falle es 0.01 y su funcionamiento es independiente, calcula la probabilidad de que en un día determinado los habitantes del fracciona-miento se queden sin agua.
4.4 Teorema de la probabilidad total
Ahora se verá cómo se resuelven ciertos problemas donde se conoce el espacio muestral y una partición de éste, se tiene conocimiento de las probabilidades de los eventos de la partición y se quiere calcular la probabilidad de otro evento del mismo espacio muestral.
Pero antes de continuar recuérdese el concepto de partición de un espacio muestral,estudiado en la unidad 2.
Dado S un espacio muestral, donde los eventos E1, E2,..., En forman una partición de S, si cumplen con lo siguiente
a) P(Ek ) 0 , para toda k = 1, 2,..., n
b) S Ekk
n
1
c) para cualesquier par de eventos Ei y Ej , con i j, de la partición se cumple E Ei j
1. Un experimento consiste en lanzar dos monedasy se anotan las combinaciones de los resultados. Se tiene S = {ss, sa, as, aa} (donde cara sol = s y cara águila = a).
Los siguientes eventos forman una partición de S.
E1:“resulte sólo una cara águila”, E1 = {sa, as} E2: “resulten dos caras águilas”, E2 ={aa}
E3: “no resulte ninguna cara águila”, E3 = {ss}
2. Un transportista conoce tres caminos diferentes para viajar de la ciudad A hacia la B. La frecuencia con que elige el camino 1 es 30%, la del camino 2 es 50% y la del camino 3 es 20%. Si la elección de uno de los caminos es aleatoria, sea S todas las formas de viajar de A hacia B utilizadas por el transportista, se tiene entonces que los eventos siguientes forman una partición de S
E1:“el transportista viaja por el camino 1” E2: “el transportista viaja por el camino 2” E3: “el transportista viaja por el camino 3” Cabe notar que en este caso no se indica la cantidad de elementos del espacio
muestral, ni de los eventos, sin embargo, dichos eventos forman una partición de S, puesto que cumplen con las tres condiciones.
Ejemplo 6
130
3. Un espacio muestral S siempre tiene eventos Ei, con i = 1, 2, 3, . . . , n formando una partición de S; tal que 0 P(E) 1.
Este tipo de partición se emplea con mucha frecuencia en los problemas deprobabilidad. Dichos eventos forman una partición de S, puesto que cumplen con las tres condiciones enunciadas. Gráficamente una partición del espacio muestral se observa de la siguiente forma:
4. Se tiene una caja que contiene pelotas de las marcas A y B con las siguientes proporciones, según el color; 30% son verdes, 50% son blancas y el resto son negras. Los porcentajes por marcas se muestran en la siguiente tabla
a) Si se selecciona de forma aleatoria una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la marca A?
Se simboliza
V: “ la pelota es verde” B: “ la pelota es blanca” N: “ la pelota es negra” A: “ la pelota es de la marca A” W: “ la pelota es de la marca B”
Como se puede observar, los eventos V, B y N forman una partición de todas las pelotas y se conocen además sus probabilidades (puesto que A y W también forman una partición, pero no se conocen sus probabilidades).
Para calcular la probabilidad de que la pelota elegida sea de la marca A, se observa que puede ser de color verde A V , blanca A B o negra A N y que las pelotas según su color forman una partición, se tiene que la probabilidad de que resulte A es la suma de P A V( ), P A B( ) y P A N( ) por ser los eventos A V, A B y A N mutuamente excluyentes, ya que como se mencionó, A, B y N forman una partición de todas las pelotas. Lo anterior se expresa
P A P A V P A B P A N( ) ( ) ( ) ( )
S
E1 E
2
E6
E3
... EnE
7
E5
E4
Marca MarcaA B
Verde 40 60
Blanco 50 50
Negro 30 70
131
Si se aplica la regla de multiplicación para las probabilidades de las inter-secciones
P A P V P A V P B P A B P N P A N( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
. . . . .0 3 0 4 0 5 0 5 0 2 00 3 0 43. .
Una generalización de problemas similares al anterior se puede llevar acabo cuando el espacio muestral presenta partición (ver el siguiente teorema).
De la probabilidad total : si S es un espacio muestral, con A, un evento en S y E1, E2,..., En una partición de S, entonces
P A P A E P E P A E P E P A E P En n( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2
Si se aplica la ley de identidad del álgebra de eventos, se tiene A = A S.Ahora si se emplea la segunda condición de una partición del espacio muestral,
S Ekk
n
1
y la ley distributiva del álgebra de eventos en su forma general, se tiene
A A S A E E E A E A E A En n( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
como lo muestra la figura 4.2.
Comose observa, pueden existir eventos de la partición que no se interceptan con A. De la tercer condición de una partición, se deduce que A E1 , A E2 ,...,
A En , son eventos mutuamente excluyentes; y empleando la fórmula de la unión de probabilidades para este tipo de eventos se obtiene
P A P A E A E A E
P A E P A E P A En
n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]1 2
1 2
Finalmente, considerando la primer condición de una partición, P(Ek) 0 para toda k = 1, 2,...,n, se puede emplear la regla de multiplicación de probabilidades
P A P A E P E P A E P E P A E P En n( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2
Con lo que se demuestra el teorema 4.2.
Teorema 4.2
S A
E1 E
2
E6
E3
... EnE
7
E5
E4
132
b) Si se selecciona de forma aleatoria una pelota, ¿cuál es la probabilidad de que sea verde, dado que la pelota extraída fue de la marca A?
En primera instancia y según la tabla de porcentajes
la probabilidad P V A( | ) será igual a 0.40, pero se cometería un grave error porque las probabilidades de los colores según una marca no provienen de eventos que formen una partición (la suma 0.4 + 0.5 + 0.3 = 1.2 1). Por tanto, el cálculo de la probabilidad anterior se puede hacer por medio de ladefinición de probabilidad condicional, empleando la regla de multiplicación de probabilidades y el resultado del evento A en el ejemplo correspondiente, obteniéndose
P V AP V A
P A
P V P A V
P A( | )
( )
( )
( ) ( | )
( )
. .
..
0 3 0 4
0 430 2791
Un preso que se fugó es buscado por la policía, la cual está segura de que el prófugo sólo puede seguir uno de cinco caminos posibles C1, C2, C3, C4, y C5 con las probabilidades, 0.20, 0.30, 0.10, 0.25 y 0.15, respectivamente. Por las condiciones policiacas de cada una de las ciudades a las que puede llegar, las probabilidades de que pueda ser atrapado son 0.20, 0.10, 0.40, 0.30 y 0.40, respectivamente. Se calcula la probabilidad de que sea capturado.
De las condiciones del problema, es posible deducir las probabilidades
P C P C P C P C P C( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . ( ) .1 2 3 4 50 20 0 30 0 10 0 25 0 15y
Como se puede observar, se tendrán tantas ciudades como caminos, por tanto senumeran las ciudades con respecto al camino elegido.
Se simboliza
A: “el fugitivo es atrapado”
Por tanto, para ser atrapado en la ciudad k, con k = 1, 2, 3, 4, 5 primero el fugitivo debe huir por el camino k. Se tienen entonces las probabilidades condicionales
P A C P A C P A C P A C P A C( | ) . , ( | ) . , ( | ) . , ( | ) . ( |1 2 3 4 50 20 0 10 0 40 0 30y )) .0 40
Finalmente aplicando el teorema de probabilidad total:
P A P A C P C P A C P C P A C P C( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
. . .1 1 2 2 5 5
0 20 0 20 0 110 0 30 0 40 0 10 0 30 0 25 0 40 0 15 0 245. . . . . . . .
Ejemplo 7
Marca MarcaA B
Verde 40 60
Blanco 50 50
Negro 30 70
133
4.5 Teorema de Bayes
Problemas similares al anterior se pueden resolver mediante el teorema de Bayes.
Teorema de Bayes
Si S es un espacio muestral con el evento A en S y E1, E2,..., En una partición de S, entonces para cualquier evento k de la partición, se tiene
P E AP A E P E
P A E P E P A E P E P A E P Ekk k
n( | )
( | ) ( )( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) (1 1 2 2 nn)
A partir de la definición de probabilidad condicional y del teorema de la probabilidad total:
P E AP E A
P A
P A E P E
P A E P E P A E P Ekk k k( | )
( )
( )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )1 1 2 2 P A E P En n( | ) ( )
1. Del ejemplo anterior, si el fugitivo fue atrapado, se calcula la probabilidad de que la detención se efectuará en la ciudad 2 (C2).
Empleando la simbología anterior y el teorema de Bayes
P C AP C A
P A
P A C P C
P A C P C P A C P C( | )
( )
( )
( | ) ( )
( | ) ( ) ( | ) ( )22 2 2
1 1 2 2 P A C P C( | ) ( )
. ..
5 5
0 10 0 300 245
0.122
2. Se traza el diagrama de árbol del ejercicio anterior
El vértice inicial tiene cinco caminos. En cada uno de ellos se anotan sus probabilidades de ser elegido (obsérvese que la suma de los cinco es 1). En la parte de arriba del siguiente vértice, en cada caso, se trazan otros dos caminos, uno para el evento A, y el otro para su complemento; la suma de probabilidades por vértice sigue siendo uno.
De lo anterior se deduce que las segundas probabilidades son condicionales, puesto que existe restricción a la ocurrencia de que haya elegido alguno de los caminos; por tanto, las probabilidades son
P A C P A C P A C P A C P A C( | ) . , ( | ) . , ( | ) . , ( | ) . ( |1 2 3 4 50 20 0 10 0 40 0 30y )) .0 40
Teorema 4.3
Ejemplo 8
134
Y sus respectivos complementos
P A C P A C P A C P A C Pc c c c( | ) . , ( | ) . , ( | ) . , ( | ) . (1 2 3 40 80 0 90 0 60 0 70y AA Cc| ) .5 0 60
De la misma forma se tiene la primer ramificación con probabilidades
P C P C P C P C P C( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . ( ) .1 2 3 4 50 20 0 30 0 10 0 25 0 15y
Con estos datos y el diagrama de árbol es posible calcular fácilmente cualquiera de las probabilidades requeridas.
Ejercicio 4
1. En un lote de 50 automóviles nuevos se reparten aleatoriamente 20 para el mercado interno y 30 para el de exportación. Diez de los automóviles de exportación son de color blanco, y los otros 20 de color azul, mientras que la mitad de losautomóviles del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul.
a) si el gerente considera aleatoriamente un automóvil de color blanco, calcula la probabilidad de que sea de exportación
b) si el gerente considera aleatoriamente un automóvil de exportación, calcula la probabilidad de que sea de color azul
2. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica 35% proviene de la línea I, 25% de la línea II y 40% de la línea III. El porcentaje de artículos defectuosos de la línea I es 8%, mientras que el de la línea II es 10% y el de la línea III 8%.
a) si se toma un artículo al azar de la producción diaria, calcula la probabilidad de que sea defectuoso
b) si se toma un artículo al azar de la producción diaria y resulto ser defectuoso, calcula la probabilidad de que dicho artículo haya sido producido en la línea II
3. Un agente de ventas viaja constantemente a cuatro ciudades C1, C2, C3 y C4, con un porcentaje de visitas de 20%, 40%, 25% y 15%, respectivamente. La probabilidad de que venda sus productos en las ciudades es 40%, 30%, 50% y 30%, respecti-vamente. Después de regresar de una ciudad el agente ha vendido sus productos, calcula la probabilidad de que en esta ocasión haya viajado a la ciudad 2 (C2).
4. De los artículos producidos diariamente por cierta fabrica, 30% proviene de la línea I, 40% de la línea II y 30% de la línea III; mientras que el porcentaje de artículos producidos en buen estado por las líneas I y II es 80%, y de la línea III 90%.
Blanco Azul TotalB A
Mercado interno, I 10 10 20
Mercado externo, E 10 20 30
Total 20 30 50
135
a) si se toma un artículo al azar de la producción diaria, calcula la probabilidad de que no sea defectuoso
b) si se toma un artículo al azar de la producción diaria y resulta no ser defectuoso, calculala probabilidad de que dicho artículo se haya elaboradoen la línea II
Ejercicios propuestos
1. ¿Son las probabilidades P A B( | ) y P A Bc( | ) complementarias? Considera 0 P(B) 1(recuerda que las probabilidades complementarias, son aquellas cuya suma siempre es uno).
2. Dados A, B y C eventos tales que A y B son mutuamente excluyentes; A y C son independientes; B es subconjunto de C, y además cumplen con las siguientes relaciones
4 2 0P A P B P C( ) ( ) ( )
P A B C P A( ) ( )4
calcula P(A). 3. Cuando los artículos llegan al final de una línea de producción, un supervisor
escoge los que deben pasar por una inspección de calidad; 10% de todos los artículos producidos son defectuosos; 60% de todos los artículos defectuosos y 20% de todos los artículos no defectuosos pasan por una inspección completa; calcula la probabilidad de que un artículo sea defectuoso dado que pasó por una inspección completa.
4. Dados A, B y C eventos tales que A y B son mutuamente excluyentes P A C P B C P C P A B P A C( ) . , ( ) . , ( ) . , ( ) . ( ) .0 2 0 1 0 6 0 6 0 8y , además cumplen con la relación P(A)=2P(B), calcula las probabilidades de A y de B.
5. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, 35% proviene de la línea I y 65% de la línea II. Los defectuosos de la línea I equivalen a 40%, mientras que los de la línea II equivalen a 8%. Si se escoge un artículo al azar de la producción diaria, calcula la probabilidad de que no sea defectuoso.
6. Una máquina produce artículos de los que regularmente 5% son defectuosos. El productor acostumbra revisar la máquina cada hora, y para ello toma e inspecciona una muestra de diez unidades producidas. Si la muestra no contiene artículos defectuosos, entonces permite que la máquina trabaje otra hora.
a) calcula la probabilidad de que este sistema le permita a la máquina seguir funcionando si produce 10% de artículos defectuosos
b) calcula el tamaño de la muestra inspeccionada, para asegurar que si la cantidad de artículos defectuosos es igual a 1%, la probabilidad de que la máquina no se detenga sea menor o igual a 0.01
7. Supón que existe un método de diagnóstico rápido para la detección de diabetes, con la particularidad de que los resultados son positivos en 95% de los casos de pacientes enfermos; sin embargo, con este método algunos individuos sanos también muestran lecturas positivas, indicando que poseen la enfermedad en 1% de los casos.
136
a) si se seleccionan dos pacientes, uno enfermo y uno sano, calcula la probabilidad de que un paciente considerado al azar y que reaccione positivamente, esté en realidad enfermo de diabetes
b) si se seleccionan dos pacientes, uno enfermo y uno sano, calcula la probabilidad de que la prueba falle en ambos casos; esto es, que la prueba indique errónea-mente que el enfermo está sano y el sano enfermo
8. En cierta población, 40% de los votantes es republicano y 60% demócrata. Se reporta que 8% de los republicanos y 10% de los demócratas está a favor de cierta elección. Si se toma una persona al azar de esta población y declara a favor de dicha elección, calcula la probabilidad condicional de que esta persona sea demócrata.
9. Un profesor diseña un examen de opción múltiple con diez preguntas, pero se detiene a evaluar la conveniencia de poner cuatro o cinco opciones de respuesta. Considerando que únicamente opere el azar para la resolución del examen y 6 sea la calificación mínima aprobatoria
a) calcula la probabilidad de que un estudiante apruebe, en uno y otro casob) si se asume que los estudiantes dominan completamente sólo 50% de los temas
que abarca el examen, evalúa los dos casos anteriores y calcula la probabilidad que tiene un estudiante de aprobar en cada caso
10. Un prisionero político en Rusia será exiliado a Siberia o a los Urales. La probabilidad de ser enviado a estos dos lugares es 0.8 y 0.2, respectivamente. Se sabe que la probabilidad de que un residente de Siberia seleccionado aleatoriamente lleve un abrigo de piel es 0.5, mientras que para un residente de los Urales es 0.7; al llegar al exilio la primera persona que el prisionero ve no lleva un abrigo de pieles, calcula la probabilidad de que esté en Siberia.
11. Un juego consiste en ir de un extremo a otro por uno de cuatro caminos C1, C2, C3 y C4, las probabilidades de elegir alguno de ellos, para cualquiera de los concursantes son 0.2, 0.3, 0.25 y 0.25, respectivamente. Cada camino tiene una trampa, las probabilidades de caer en la trampa son 0.4, 0.4, 0.5 y 0.5, respectivamente.
a) calcula la probabilidad de que el próximo concursante caiga en una trampab) si la persona cae en una trampa, calcula la probabilidad de que haya elegido el
camino 1, C1.
Autoevaluación
1. De los artículos producidos diariamente por cierta fabrica, 40% proviene de la línea I, 20% de la línea II y 40% de la línea III. El porcentaje de artículos defectuosos delas líneas I y II, es 10%, y de la línea III 15%. Si se escoge un artículo al azar de la producción diaria y resulta ser defectuoso, calcula la probabilidad de que el artículo escogido se haya elaborado en la línea III.
a) 0.40 b) 0.50 c) 0.75 d) 0.06
137
2. Se diseñó una autoevaluación con diez preguntas de opción múltiple con cuatro resultados. Considerando que el estudiante que está contestando la autoevaluación no se preparó y todo lo contesta al azar, calcula la probabilidad de que apruebe, si necesita contestar correctamente mínimo seis preguntas.
a) 0.0197 b) 0.9803 c) 0.2500 d) 0.0055
3. Una urna contiene ocho esferas rojas y cuatro negras; otra contiene tres rojas y seis negras. Se saca una esfera al azar de la primer urna y se coloca sin verla en la segunda, calcula la probabilidad de que una esfera que se saque de la segunda bolsa sea negra.
a) 710
b) 13
c) 25
d) 1930
4. Si una empresa hace un pedido de 150 computadoras para ser distribuidas aleatoriamente en sus departamentos; 50 son marca A, 70 C y el resto D. De las computadoras marca A, 30 son Pentium II y 20 Pentium III. En cuanto a las C, 20 son Pentium II y 50 Pentium III, las D son todas Pentium III. Si un empleado considera aleatoriamente una computadora Pentium III, calcula la probabilidad de que dicha computadora sea marca C.
a) 0.467 b) 0.667 c) 0.333 d) 0.500
5. Las enfermedades I y II son comunes entre la gente de cierta población. Se supone que 30% de la población contraerá la enfermedad I alguna vez en su vida, 20% contraerá eventualmente la enfermedad II y 3% contraerá ambas. Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población contraiga ambas enfermedades, dado que ha contraído al menos una de ellas.
a) 0.0638 b) 0.03 c) 0.47 d) 1
6. En la ciudad de México se ha observado que 70% de los trabajadores hacen uso del transporte urbano para llegar a su trabajo y el restante usa automóvil propio. De los usuarios del transporte urbano 80% hacen uso del metro y el 20% restante
138
emplea autobús. Si el trabajador que se entrevista hace uso del transporte urbano, calcula la probabilidad de que sólo haga uso de autobuses.
a) 0.56 b) 0.14 c) 0.20 d) 0.16
7. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos, A y B, que trabajan independientemente. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A, es 0.8 y por el dispositivo B, 0.75. Si hay humo, calcula la probabilidad de que sea detectado por ambos dispositivos.
a) 1.55 b) 0.45 c) 0.60 d) 0.95
8. En un fraccionamiento residencial se bombea el agua potable, para tal efecto se tienen dos bombas, una trabajando y otra de repuesto. Si la probabilidad de que cualquiera de las dos bombas falle es 0.10 y si su funcionamiento es independiente, calcula la probabilidad de que en un día determinado los habitantes del fraccionamiento se queden sin agua.
a) 0.11 b) 0.01 c) 0.20 d) 0.02
9. En unas elecciones, para elegir presidente de la república, 44% de los votantes estuvo a favor del partido de izquierda. Se reporta que 60% de los votantes a favor de este partido fueron menores de 22 años, mientras que respecto de los otros partidos los votantes a su favor menores de 22 años sólo fueron 10%. Si se escoge a un votante de 20 años de edad al azar de esta población, calcula la probabilidad condicional de que esta persona votará en favor del partido de izquierda.
a) 0.264 b) 0.056 c) 0.825 d) 0.320
10. ¿Cómo se llama la corriente probabilística utilizada para asignar probabilidades a eventos dependientes?
a) subjetiva b) bayesiana c) clásica d) frecuentista
139
Respuestas de los ejercicios
Ejercicio 1
1. a) 0.6 b)
2. a) 0.9 b) 0.2
3.
4. 0.4074
5. 1
3
Ejercicio 2
1. a) 0.6 b) 0.8
2. a) 1 b) 1
3. a) 0.52 b) 0.0577
4. 0.4030
5. a) 0.285 b) 0.7
Ejercicio 3
1. a) 0.7 b) 0.6
2
3
2
11
140
2. a) 0.5 b) 0.25
3. sí
4. 0.995
5. (0.01)2
Ejercicio 4
1. a) 0.5
b) 2
3 2. a) 0.085 b) 0.29
3. 0.3243
4. a) 0.83 b) 0.3855
Respuestas de los ejercicios propuestos
1. no
2. 0.25
3. 0.25
4. 0.4 y 0.2
5. 0.808
6. a) 0.3487 b) n 458 7. a) 0.9896 b) 0.000125
8. 0.6522
141
9. a) para cuatro opciones 0.0197; para cinco opciones 0.0064 b) para cuatro opciones 0.7627; para cinco opciones 0.6723
10. 0.86960.8696
11. a) 0.45
b) 8
45 = 0.1778= 0.17780.1778
Respuestas de la autoevaluación
1. b)
2. a)
3. d)
4. d)
5. a)
6. c)
7. c)
8. b)
9. c)
10. b)
