Fuerzas que producen los vientos

Fuerzas de presión

Las diferencias de presión entre zonas de la atmósfera producen vientos, del mismo modo que la diferencia de presión entre secciones de un líquido confinado, produce una corriente (figura 2.4).

Los puntos de igual presión atmosférica se unen por medio de líneas, conocidas comoisobaras. Es común dibujar mapas de isobaras a cada cuatro milibares.

Figura 2.4 Diferencias de presión en líquidos y en la atmósfera

Fuerza centrípeta

Esta fuerza se desarrolla cuando el viento tiene una trayectoria curva, como en el caso de los ciclones.

Fuerza debida a la fricción

La fuerza producida por la fricción actúa en sentido contrario a la dirección del viento, y su magnitud depende de la naturaleza de la superficie de la Tierra. En general, esta fuerza es muy pequeña en comparación con la demás y puede despreciarse, especialmente en altitudes mayores de unos 600 m.

Fuerza debida a la rotación de la Tierra (Fuerza de Coriolis)

Si una partícula se mueve hacia el ecuador, siempre se desvía hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. A la fuerza imaginaria que produce esta desviación se le llama Fuerza de Coriolis (figura 2.5).

Figura 2.5 Fuerza de Coriolis

Variación de la velocidad del viento con la altura

En general, la velocidad del viento varía con la altura de manera exponencial.

Figura 2.6 Velocidad del viento

Esta variación se expresa de varias formas, entre las cuales la más utilizada es:

(2.8)

donde:

V1 = Velocidad de referencia z1 = Altitud de referenciaV = Velocidad del viento buscadaZ = Altitud a la que se desea conocer la velocidad

Con la ecuación anterior (2.8) es posible estimar la velocidad del viento a cualquier altitud, si se tienen mediciones de la misma en un punto cercano. De observaciones experimentales se ha encontrado que el valor de k varía entre 1/7 y 1/5 para un amplio rango de condiciones, y que el valor más frecuente es 1/7, principalmente en alturas z1 de hasta unos 10 m.

2.1.2 Modelos

Los modelos de lluvia son idealizaciones simplificadas del mecanismo real de la tormenta. Su objetivo principal consiste en detectar los parámetros de más peso que afectan la magnitud de las precipitaciones causadas por la tormenta, para que al maximizar los valores de tales parámetros, se puedan obtener estimaciones razonables de la precipitación máxima probable.

Los parámetros que definen la magnitud de las precipitaciones que se calculan con un modelo de lluvia son:

1. Temperatura de punto de rocío del aire que ingresa al modelo.2. Velocidad del flujo de aire que entra al modelo.3. Alturas de los niveles principales del modelo (desarrollo vertical del modelo).

4. Factor geométrico del modelo (magnitud de la base del modelo).

Básicamente se tienen dos modelos de lluvia, el Modelo de Plano Inclinado y el Modelo Convergente; el primer modelo describe el proceso de las lluvias de tipo orográfico y de frente cálido; en cambio, el segundo, describe el modelo de flujo comúnmente encontrado en tormentas que involucran convergencia y turbulencia.

Modelo de plano inclinado

El modelo de plano inclinado (figura 2.7) considera una masa de aire que tiene una lámina precipitable W12, que entra a una cuenca rectangular de ancho X y largo Y, con una velocidad V12. La masa de aire, después de elevarse uniformemente a lo largo de la cuenca hasta una altura , sale de la misma con una velocidad V34 y una lámina precipitable W34.

Figura 2.7 Modelo de plano inclinado

Es posible calcular la precipitación total (Wp) que se tiene en una cuenca, si las condiciones prevalecen durante un tiempo ( ), con la ecuación:

(2.9)

Al cociente X/A se le conoce como “factor geométrico o constante de la

cuenca” (K), y esel que toma en cuenta la influencia de la geometría de la cuenca en la precipitación. La ecuación 2.9 también se puede escribir como:

(2.10)

Al término entre paréntesis se le conoce como “factor de convergencia o de

eficiencia”. Se conoce como “agua precipitable efectiva” (We) al producto:

(2.11)

El cociente Wp/ es una lámina de lluvia por unidad de tiempo, al cual se le designa como “intensidad de lluvia” (i). En este caso i = Wp/ es una intensidad media que prevalece durante el tiempo en que se tienen las condiciones meteorológicas dadas.

De acuerdo con las consideraciones anteriores, la ecuación 2.9, se puede escribir como:

(2.12)

En una cuenca real el factor geométrico K se calcula haciendo que X sea el lado de un rectángulo que circunscribe a la cuenca, perpendicular a la dirección del viento (figura 2.8).

Figura 2.8 Factor geométrico (K) para una cuenca real

En este tipo de modelo se supone que la masa de aire es estable y que, por tanto, el ascenso de la misma es producido únicamente por la barrera frontal o topográfica. Este proceso es poco común y produce lluvias leves. En general, las masas de aire se hacen inestables al elevarse y la precipitación se produce por una combinación de efectos convectivos y orográficos.

Modelo convergente con flujo radial de entrada

Cuando el aire es forzado a converger en una cierta zona, se produce un movimiento vertical del mismo por la elevación de la presión en la parte inferior de la zona (figura 2.9).

Figura 2.9 Modelo convergente con flujo radial de entrada

Si el aire con agua precipitable W12 converge radialmente a una columna circular de radio r y toda esa agua precipitable se deposita en la base del cilindro, la intensidad de la lluvia sería:

(2.13)

En este caso, el factor geométrico sería K=2/r y el factor de eficiencia tomaría el valor de1. Este valor es prácticamente imposible, aunque en ciclones intensos la situación se aproxima a ésta bajo ciertas condiciones; en realidad, si sólo hay entrada de aire, lapresión dentro de la columna de la figura 2.9 aumenta de manera continua, hasta que el gradiente de presión se invierte y, entonces, el aire se ve obligado a salir por algunaparte. De aquí que la situación antes descrita no pueda mantenerse por mucho tiempo.

Un modelo más realista, que representa un caso que sí puede mantenerse por periodos razonables de tiempo, es el que se muestra en la figura 2.10.

Figura 2.10 Modelo convergente con flujo radial de entrada (ajustado)

Es demostrable que es en este caso, el agua precipitable efectiva resulta igual que en el modelo de plano inclinado:

(2.14)

y entonces, la intensidad es:

(2.15)

2.1.3 Medición

Los aparatos más comunes en México para medir la precipitación son los pluviómetros y los pluviógrafos.

Pluviómetros

Están formados por un recipiente cilíndrico graduado de área transversal a, al que descargar un embudo que capta el agua de lluvia, y cuya área de captación es A (figura2.11)

Figura 2.11 Pluviómetro

Se acostumbra colocar en el embudo mallas para evitar la entrada de basura u otros objetos. El área de captación A es normalmente diez veces mayor que el área del recipiente a, con el objeto de que, por cada milímetro de lluvia, se deposite un centímetro en el recipiente. De este modo es posible hacer lecturas a simple vista, hasta de una décima de milímetro de lluvia, que equivale a un milímetro depositado en el recipiente. En México se acostumbra tomar lecturas de los pluviómetros diariamente a las ocho de la mañana.

Pluviógrafos

Son semejantes a los pluviómetros, con la diferencia de que tienen un mecanismo para producir un registro continuo de precipitación. Este mecanismo está formado por un tambor que gira a velocidad constante sobre

el que se coloca un papel graduado especialmente. En el recipiente se coloca un flotador que se une mediante un juego de varillas a una plumilla que marca las alturas de precipitación en el papel (figura 2.12).

Figura 2.12 Pluviógrafo de flotador y sifón

El recipiente normalmente tiene una capacidad de 10 mm de lluvia, y al alcanzarse esta capacidad se vacía automáticamente mediante un sifón. El modelo de pluviógrafo antes descrito, es el de uso más común en México. Otros modelos son los de resorte, los de balancín o balanza, flotador o sifón, cubeta, doble cubeta o basculante, etc. El registro que se obtiene de un pluviógrafo se llama pluviograma. Este registro es similar al mostrado en la figura 2.13.

Figura 2.13 Pluviograma

Cuando no hubo precipitación, se acostumbra dejar el mismo papel, hasta que se registre alguna precipitación.

2.2 REGISTROS PLUVIOMÉTRICOS Y PLUVIOGRÁFICOS

2.2.1 Hietogramas

Son diagramas de barras que representan las variaciones de la altura de precipitación o de la intensidad, en intervalos de tiempo previamente seleccionados.

Hietograma de alturas de precipitación

Se construye dividiendo el tiempo que duró la tormenta en “n” intervalos, y midiendo la altura de precipitación que se tuvo en cada uno de ellos.

Figura 2.14 Hietograma de alturas de precipitación

Hietograma de intensidades

Puede obtenerse a partir de un hietograma de alturas de precipitación, dividiendo la altura de precipitación de cada barra entre el intervalo que dura la misma.

Figura 2.15 Hietograma de

intensidades

Ambos tipos de hietogramas son equivalentes, pero uno puede ser más útil que el otro dependiendo del tipo de análisis.

El intervalo seleccionado es importante en cuanto a la información que proporciona el hietograma; un valor de demasiado grande arrojaría muy poca información, y uno muy pequeño la daría en exceso y sería difícil de manejar.

2.2.2 Curva masa

Empleando los registros pluviográficos se puede obtener una gráfica de precipitación acumulada contra el tiempo, denominada curva masa de precipitación.

Figura 2.16 Curva masa de precipitación

2.2.3 Intensidad máxima

Se determina por simple inspección del hietograma de intensidades, y corresponde a la barra de mayor altura para el considerado.

La mayoría de las tormentas tiene un periodo en que la precipitación es mayor, y considerando que la intensidad de la precipitación corresponde a la cantidad de lluvia por área, dividida entre el intervalo evaluado, la intensidad máxima corresponde al cociente mayor obtenido por este procedimiento.

2.3 PRECIPITACIÓN EN UNA ZONA

Generalmente, la altura de lluvia que cae en un sitio dado difiere de la que cae en los alrededores, aunque sea en sitios cercanos. Los pluviómetros y los pluviógrafos registran la precipitación puntual, es decir, la que se produce en el punto donde esta instalado el aparato, y para los cálculos ingenieriles es necesario conocer la precipitación media en una zona dada, como puede ser una cuenca.

2.3.1 Precipitación media

Para calcular la precipitación media de una tormenta dada, existen tres métodos de uso generalizado:

1. Método aritmético.

2. Polígonos de Thiessen.

3. Método de las isoyetas.

Método aritmético

Consiste simplemente en obtener el promedio aritmético de las alturas de precipitación registradas en cada estación usada en el análisis:

(2.16)

donde:

= Altura de precipitación media.= Número de estaciones bajo análisis.= Altura de precipitación registrada en la estación i.

Polígonos de Thiessen

Este método consiste en los siguientes pasos:

1. Unir, mediante líneas rectas dibujadas en un plano de la zona en estudio, las estaciones más próximas entre sí. Con esto se forman triángulos en cuyos vértices están las estaciones consideradas.

2. Trazar líneas rectas que bisecten los lados de los triángulos. Por geometría elemental, las líneas correspondientes a cada triángulo convergen en un solo punto.

3. Cada estación queda rodeada por las líneas rectas trazadas en el paso anterior, las cuales forman los llamados polígonos de Thiessen, y en algunos casos en parte por el límite de la zona en estudio (p. ej. el parteaguas de la cuenca). El área encerrada por los polígonos y el parteaguas será la zona de influencia de la estación correspondiente.

4. La lluvia media se calcula como un promedio pesado de las precipitaciones registradas en cada estación; usando como peso el área de influencia correspondiente, es decir:

(2.17)

donde:

AT = Área total de la zona en estudio.Ai = Área de influencia de la estación i.

Método de las isoyetas

Este método consiste en trazar, con la información registrada en las estaciones, líneas que unen puntos de igual altura de precipitación, llamadas isoyetas, de modo semejante a como se trazan las curvas de nivel en topografía.

La precipitación media se calcula en forma similar al procedimiento empleado para los polígonos de Thiessen, pero ahora el peso es el área entre cada dos isoyetas adyacentes y el límite de la zona en estudio (p. ej. el parteaguas de la cuenca) y la cantidad que pesa es la altura de precipitación promedio entre cada dos isoyetas adyacentes.

(2.18)

donde:

n’ = Número de áreas A’i consideradas.= Altura de precipitación promedio entre dos isoyetas adyacentes.= Área entre cada dos isoyetas adyacentes.

Observaciones

El método aritmético es el más simple de todos, pero no toma en cuenta la distribución de las estaciones en la zona en estudio (p. ej. una cuenca), ni la manera en que se distribuye la lluvia en el espacio; pues le asigna el mismo peso a todas las alturas de precipitación registradas; por ello, es útil únicamente en zonas con topografía muy suave y condiciones atmosféricas bastante uniformes, o bien, solamente para tener una idea aproximada de la altura de precipitación media.

Los polígonos de Thiessen si toman en cuenta la distribución de las estaciones en el área de estudio (p. ej. una cuenca), pero no los factores topográficos y de otro tipo que afectan la distribución de la lluvia; este método es más conveniente que el de las isoyetas desde el punto de vista práctico, particularmente para cálculos repetitivos, como cuando se analiza una gran cantidad de tormentas, pues los polígonos no cambian, a menos que se agreguen o se eliminen estaciones.

El más preciso de todos es el método de las isoyetas, si estas se dibujan de manera que tomen en cuenta los efectos topográficos en la distribución de la lluvia, para lo cual es necesario tener cierta experiencia. En contraparte, es el método más laborioso de los tres, pues cada tormenta tiene un plano de isoyetas, diferente. Si las isoyetas se trazan indiscriminadamente, por ejemplo, suponiendo una variación lineal de altura de precipitación entre las estaciones, su precisión no es mayor que la de los polígonos de Thiessen.

La altura de precipitación media calculada depende, generalmente, del número de estaciones pluviométricas o pluviográficas que se usan en el análisis; entre menor sea el número de estaciones, mayor será el error cometido en la estimación de la precipitación media. En todos los casos es recomendable tener, al menos, dos estaciones en la zona de estudio (p. ej. una cuenca).

Curva masa media ajustada

Los métodos: aritmético, polígonos de Thiessen e isoyetas; se plantean cuando se requiere conocer la altura total de precipitación que, en promedio, se produce en la cuenca durante una tormenta. Cuando se desea conocer la variación en el tiempo de la precipitación media de la cuenca, es necesario determinar una curva masa media ajustada de precipitación. Esta curva se construye aplicando el método aritmético o el de polígonos de Thiessen, a las alturas de precipitación media de toda la tormenta, con el método de las isoyetas y multiplicando cada ordenada de la curva masa media por el factor de ajuste:

(2.19)

donde:

= altura de precipitación media de toda la tormenta calculada con el método de las isoyetas.

= altura de precipitación media de toda la tormenta calculada con el método

aritmético o el de los polígonos de Thiessen.

Con el procedimiento anterior se obtiene una curva denominada curva

masa media ajustada.

2.3.2 Consistencia de datos

Una serie de datos es HOMOGÉNEA, si es una muestra de una única población. Si la serie es NO HOMOGÉNEA, se le deben hacer ajustes o correcciones para volverla homogénea, de manera que las estimaciones estadísticas muestrales sean estimaciones válidas de los parámetros poblacionales.

La homogeneidad de una serie se puede perder por muchas causas, las cuales pueden ser diferenciadas en dos grupos: primero, las debidas a cambios físicos en la propia estación pluviométrica y segundo, las originadas por las modificaciones o cambios en el medio ambiente.

Las causas principales de pérdida de homogeneidad de una serie de lluvias son:

1. Cambio en la localización del dispositivo medidor.2. Cambio en la forma de exposición, o reposición del aparato.3. Cambio en el procedimiento de observación o reemplazo del operador.4. Construcción de embalses en las cercanías.5. Deforestaciones o reforestaciones en la zona.6. Desecación de pantanos.7. Apertura de nuevas áreas al cultivo en los alrededores.8. Industrialización en áreas circundantes.

Con respecto a la primera causa citada, el U. S. Enviromental Service, indica que una estación deberá ser nuevamente identificada cuando se mueve o se desplaza 8 Km en distancia y/o 30 metros en elevación.

Todas las acciones anteriores traen consigo una alteración relativa en la cantidad de lluvia captada por el dispositivo. Lo anterior indica que conducen a errores de tipo sistemático, los cuales son muy importantes, pues su efecto es acumulativo. Por otra parte, también existen los errores de tipo accidental o aleatorio, los cuales se deben principalmente al observador, o bien se generan en la transcripción, copia o impresión de los registros pluviométricos.

Conviene aclarar que en los análisis climatológicos se utiliza el término homogeneidad de la serie y en los análisis hidrológicos se emplea el término consistencia de la serie, ambos términos son sinónimos, pues indican un cambio en la cantidad de lluvia medida por la estación, por alguna de las causas anteriormente citadas; sin embargo, existe una diferencia que reside en las técnicas empleadas para investigar la homogeneidad o la consistencia: la homogeneidad se analiza a través de pruebas estadísticas y, en cambio, la consistencia se detecta con la técnica de la curva masa doble.

Técnica de la curva masa doble

La curva masa doble verifica la consistencia del registro de una estación, comparando la precipitación anual acumulada, con los valores correspondientes, también acumulados de la precipitación anual promedio de un grupo de estaciones localizadas en los alrededores. Se recomienda utilizar del orden de 10 estaciones auxiliares, de esta forma los errores de tales estaciones auxiliares se diluyen sobre todos los accidentales y se destacan más los de la estación que se compara.

La teoría de la curva masa doble establece que al representar en unos ejes coordenados, las parejas de valores definidos por las acumulaciones sucesivas de cada serie, definen una colección de puntos cuya línea que los une es una recta, si las magnitudes de las dos series son proporcionales. Si se produce un cambio en la pendiente de la curva masa doble, es que ha ocurrido una alteración en la proporcionalidad, e punto de inflexión indica el momento en que ocurrió el cambio y la diferencia de pendientes, servirá para corregir el tramo inconsistente.

En general, y con el objeto de volver a utilizar las comparaciones realizadas, se establecen las acumulaciones empezando por, los datos más antiguos, puesto que de este modo se pueden seguir acumulando los datos más recientes en estudios futuros.

Como norma se indica que, cambios de pendiente formados por menos de 5 puntos, no se consideran representativos de un error sistemático, sin embargo en la práctica, si el cambio de pendiente es muy acusado, puede aceptarse la representatividad con un mínimo de tres puntos.

Los casos más frecuentes en el análisis de la curva masa doble se ilustran en la Figura 1, y su interpretación se detalla a continuación.

Figura 2.17 Análisis de curva masa doble

CASO A

La serie de puntos encaja (con mucha aproximación) en una línea recta, lo que indica proporcionalidad y por lo tanto, consistencia en la estación analizada.

CASO B

Se puede ajustar una serie de rectas paralelas en las que los puntos coinciden, lo anterior indica proporcionalidad, aunque existan años que estén medidos por exceso o por defecto. En la Fig. 1 (CASO B), los años 8 y 12 probablemente se midieron por exceso.

CASO C

Cuando se deben ajustar dos rectas de diferentes pendientes se tiene un caso típico de error sistemático. Si la comparación se realizó entre la estación que se investiga y una serie representativa de un grupo de estaciones (del orden de 10), es lógico suponer que la serie que tiene error sea la individual.

Para detectar cuál de los dos tramos es el correcto se recomienda consulta la historia de la estación y de sus alrededores, para tratar de determinar las causas que originaron el cambio, y concluir sobre el período correcto, posteriormente se realiza el ajuste del otro tramo, por la relación de pendientes.

Cuando no se disponga de información adicional para definir el tramo incorrecto, se puede aceptar como verdadero o correcto el período más reciente, ya que la experiencia demuestra que en el 80% de los casos el período más moderno es el correcto, porque la estación está mejor vigilada, se dispone de mejores aparatos de medición, o simplemente porque se le buscó un emplazamiento más adecuado.

CASO D

Algunas veces sucede que la estación presenta un tramo central de mayor o menor pendiente; en el 95% de los casos en tal período se midió incorrectamente y habrá que corregirlo para hacer consistente la serie.

Cuando se emplea la técnica de la curva masa doble, para contrastar todas las estaciones de una cuenca, primeramente se sitúan éstas en un plano indicando: su nombre, altitud, lluvia media anual y número de años de registro. Enseguida se distribuyen en grupos afines, teniendo en cuenta las siguientes recomendaciones:

1ª Los grupos deben de tener de 3 a 10 estaciones.2ª La lluvia media anual de las estaciones de cada grupo debe ser semejante.3ª Cada grupo debe incluir, por lo menos, una estación con amplio

registro (25 años como mínimo)

4ª La altitud de las estaciones del grupo debe ser similar, debiendo no existir una diferencia de más de 300 metros.

5ª Las estaciones deben estar relativamente próximas, sin exceder una distancia de

50 kilómetros.

En principio, la estación de más amplio registro se considera modelo y se inician las comparaciones por parejas de estaciones, con la estación modelo; en el transcurso del contraste se van obteniendo conclusiones respecto a la consistencia de cada estación y se van realizando las correcciones necesarias hasta que todas las estaciones han sido verificadas y/o corregidas.

2.4 ANÁLISIS DE REGISTROS

El diseño y la planeación de obras hidráulicas están siempre relacionadas con eventos hidrológicos futuros: por ejemplo, la avenida de diseño para el vertedor de una presa, es un evento que tal vez no se ha presentado jamás o al menos no en el periodo de datos disponibles, pero que es necesario conocer para determinar las dimensiones de la obra. La complejidad de los procesos físicos que tienen lugar en la generación de esta avenida hace, en la mayoría de los casos, imposible una estimación confiable de la misma por métodos basados en las leyes físicas, ya sea por que los métodos son insuficientes o bien porque el modelo matemático resultante, sería exageradamente grande, complicado y difícil de manejar.

Por lo anterior, y como sucede en la mayoría de las ciencias, con mucha frecuencia, el estadístico es el camino obligado en la solución de los problemas. En particular, la probabilidad y la estadística juegan un papel de primer orden en el análisis hidrológico.

El grado óptimo de seguridad de una estructura depende, por un lado, de su costo y, por otro, del costo de las pérdidas asociadas con una falla. Por ejemplo, puede ser aceptable que un aeropuerto pequeño se inunde en promedio una vez cada dos o tres años, si el costo de su sistema de drenaje se compara con el de uno que sólo permita inundaciones una vez cada 50 años en promedio, o más aún, podría resultar totalmente incosteable un sistema de drenaje con el que se pudiera extraer cualquier cantidad de precipitación por grande que fuera, aun cuando tal drenaje fuera posible de construir.

Por otra parte, sería poco económico y poco ético aceptar un riesgo alto de falla del vertedor de una presa grande situada aguas arriba de una ciudad importante, pues esta falla tendría consecuencias desastrosas, mientras que en el ejemplo del aeropuerto una insuficiencia del drenaje no ocasionaría más que algunas molestias a los usuarios.

Sin embargo, al menos en lo que a la teoría estadística respecta, no es posible tener una seguridad del 100 % de que no exista ninguna avenida cuyas dimensiones hagan insuficiente el vertedor de la presa, sino que sólo se puede hablar de aceptar un riesgo pequeño. La magnitud de este riesgo aceptable depende del balance entre el costo de la obra y el de los daños que se producirían al verificarse una falla, y para poder determinar cuál es el riesgo que se corre al proponer los parámetros de diseño de la obra, es necesario analizar estadísticamente los datos hidrológicos recabados en la

zona en estudio.

Estos datos son fundamentalmente de dos tipos: escurrimientos y precipitaciones. Un análisis del primer tipo de datos tendría como resultado directo un parámetro de diseño, que es el gasto máximo, mientras que el segundo proporcionaría datos con los cuales sería necesario alimentar un modelo de la relación lluvia – escurrimiento, para obtener una avenida de diseño.

Probabilidad

Si un experimento tiene n resultados posibles y mutuamente excluyentes, y si de ellos na resultados tienen un atributo a, entonces la probabilidad de que ocurra un evento A con el atributo a es:

(2.20)

Por ejemplo, el experimento puede llamarse “tiro de un dado” u “ocurrencia de una tormenta” y el atributo a puede ser “el número que sale del tiro del dado es 2”, o bien “la altura de precipitación total es mayor o igual que 500 mm”.

Período de retorno

Sea A el evento “el número que sale del tiro del dado es 2” y B el evento “la altura máxima de precipitación en 24 h en cualquier año es de 500 mm”. Nótese que en el experimento “tiro de un dado” es posible hablar de resultados que tienen un valor numérico exacto, como 1, 2, etc., y las probabilidades asociadas a estos resultados son diferentes de cero (1/6 en cada caso). Es claro, sin embargo, que en el experimento “ocurrencia de una tormenta”, la probabilidad de que el resultado tome un valor exacto, como 500 mm, es nula. En el último caso es necesario hablar más bien de intervalos, como por ejemplo que la precipitación mencionada tome un valor de 500 mm o mayor, de500 mm o menor o que este en el intervalo de 300 a 500 mm.

El número de años en que, en promedio, se presenta un evento como el B, se llama período de retorno, intervalo de recurrencia o simplemente frecuencia y se acostumbra denotarlo con T.

Así, por ejemplo, el período de retorno de la ocurrencia del número dos en el tiro de un dado es el número de tiros en que, en promedio, el dos sale una vez; en este caso T es igual a 6 tiros. Del mismo modo, se dice que “el período de retorno de la precipitación máxima en 24 h sea de 500 mm, es de 25 años” cuando, en promedio, se presenta una precipitación de esa magnitud o mayor una vez cada 25 años. Nótese que esto no significa que dicha precipitación se presente una vez cada 25 años, de la misma manera que el dos no sale

exactamente una vez cada seis tiros del dado.

De acuerdo con la definición, la probabilidad de que cualquier tiro del dado salga un dos esP (2) = 1/6; entonces se tiene la siguiente relación entre probabilidad y período de retorno:

(2.21)

es decir:

(2.22)

donde T y P se refieren a un evento cualquiera A.La misma relación vale en el caso de la precipitación máxima en 24 h:

esto es, el período de retorno de la precipitación máxima en 24 h de 500 mm es el inverso de que esta precipitación sea igualada o excedida en un año cualquiera.

Obviamente:

entonces:

Usualmente, cuando se tienen datos de un cierto período, y se desea aplicar algún método estadístico para extrapolar dichos datos a períodos de retorno mayores al de las mediciones, es necesario asignar un valor T a cada dato registrado. Es conveniente usar la siguiente expresión para asignar períodos de retorno a una serie de datos:

(2.23)

donde:

m = Número de orden en una lista de mayor a menor de los datos. n = Número de datos.

Riesgo

Si P es la probabilidad de que ocurra un evento en cualquier año,

(2.24)

entonces la probabilidad de que dicho evento no ocurra en un año cualquiera es:

(2.25)

Si se supone que la no ocurrencia de un evento en un año cualquiera es independiente de la no ocurrencia del mismo en los años anteriores y posteriores, entonces la probabilidad de que el evento no ocurra en n años sucesivos es:

(2.26)y, por lo tanto, la probabilidad que el evento ocurra al menos una vez en n años consecutivos es:

(2.27)

donde R es llamada riesgo en la teoría probabilística. Con este parámetro es posible determinar cuáles son las implicaciones de seleccionar un período de retorno dado una obra que tiene una vida útil de n años.

Una vez que se asigna un período de retorno al gasto de diseño de una obra, generalmente, es necesario para conocer dicho gasto de diseño, hacer extrapolaciones a partir de los gastos máximos anuales registrados, pues rara vez este período es menor al período de datos.

Por ejemplo, puede ser necesario determinar un gasto de diseño con un periodo de retorno de 1000 años a partir de 25 años de registro. Si los gastos máximos anuales registrados se dibujan contra sus respectivos periodos de retorno, comúnmente, se observa alguna tendencia más o menos definida. El problema radica en cómo extender esa tendencia hasta el periodo de retorno deseado. Una posibilidad es extrapolar los datos a “ojo”, es decir, gráficamente. Aunque éste método puede dar muy buenos resultados si se aplica por una persona con experiencia, tiene la desventaja de la subjetividad; esto es, si diez ingenieros diferentes lo aplican, es probable que el resultado sean veinte gráficas diferentes.

Existen básicamente dos métodos con los que se puede determinar la relación de las variables intensidad (i), duración (d) y periodo de retorno (T), para un determinado lugar.

El primero, llamado intensidad-período de retorno (i-T), relaciona estas dos variables para cada duración por separado, mediante alguna de las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología. El segundo método relaciona simultáneamente las tres variables intensidad, duración y periodo de retorno (i-d-T) en una familia de curvas.

2.4.1 Curvas intensidad-periodo de retorno (i-T)

Para eliminar la subjetividad en las estimaciones, se debe buscar entre las distintas funciones de distribución de probabilidad teóricas, la que se ajuste mejor a los datos medidos, y usar esta función para la extrapolación.

Entre las funciones de distribución de probabilidad usadas en hidrología, se encuentran las siguientes:

a) Normalb) Lognormal c) Pearson IIId) Gumbele) Funciones para dos y tres poblaciones

Las funciones normal y lognormal son generalmente apropiadas para variables aleatorias que cubren todo el rango de valores de los resultados posibles del experimento bajo análisis, como por ejemplo los volúmenes de escurrimiento mensual en un río. Las funciones Gumbel se desarrollaron para el análisis de los valores extremos de dichos resultados, como lo son los gastos máximos o mínimos anuales. La función Pearson III ocupa un lugar intermedio.

En general, los estimadores de los parámetros de las distribuciones de probabilidad son los que se pueden obtener por el método de momentos, aunque existen otros métodos (p. ej. máxima verosimilitud y mínimos cuadrados).

2.4.2 Curvas intensidad-duración-periodo de retorno (i-d-T)

Este método relaciona simultáneamente las tres variables en una familia de curvas, cuya ecuación es:

(2.28)

donde:

k, m, n, c = Constantes que se calculan mediante un análisis de correlación múltiple.

Tomando logaritmos de la ecuación 2.28, se obtiene:

o bien:

(2.29)

donde:

, , , , ,

La ecuación 2.29 es la de una familia de líneas rectas de pendiente a2, ordenada al origena0 y espaciamiento a1.

Si los datos registrados de i, d y T se dibujan en papel logarítmico, usualmente se agrupan en torno a líneas rectas. A veces las líneas resultan ligeramente curvas, lo que se puede corregir agregando a las duraciones un valor constante c, o bien, en algunos casos, cuando la pendiente de las líneas varía mucho, dividiendo la línea para cada período de retorno en dos rectas. Si los datos se agrupan lo suficiente en torno a líneas rectas, el valor de c puede tomarse como cero.

Al hacer un ajuste de correlación lineal múltiple de una serie de tres tipos de datos, se obtiene un sistema de ecuaciones como el siguiente:

donde:

N = Número de datos. a0, a1, a2 = Incógnitas x1 = log Tx2 = log (d+c)y = log i

Una vez calculados los coeficientes a0, a1 y a2 es posible valuar los parámetros k, m y n de la ecuación 2.28.

Multiplicando la ecuación 1 por la duración d, se obtiene la altura de precipitación hp:

Siendo:

Entonces:

Por lo tanto:

(2.30)

La ecuación 2.30 se puede graficar en forma de curva masa, de la cual es posible obtener un hietograma, mismo que puede usarse como tormenta de diseño para alimentar a algún modelo de la relación lluvia – escurrimiento.