UNIDAD 2:LA ESFERA

Objetivo de la clase:Comprender la importancia histórica de la esfera y conceptos asociados.

Definición de Esfera

▪ Conjunto de puntos en el espacio que están a una misma distancia (radio) de un punto fijo (centro).

▪ Cuerpo de revolución (rotación) engendrado por un semicírculo que gira sobre su diámetro.

Esfera y religión: “Geometría Sagrada”

En dos dimensiones hay infinitas figuras geométricas de lados y ángulos congruentes.

En tres dimensiones hay solo CINCO figuras geométricas de caras, aristas y ángulos congruentes.

cristales ADNdesdoblado

VIHmetano diamantesSe sabe de su existencia 1000 años antes de Platón (pleistoceno). Talladas en piedra, Escocia.

Esfera y religión: “Geometría Sagrada”

~ Como solo hay cinco cuerpos geométricos regular entonces deben

tener un significado especial

Platón de Atenas

427-347 a. C.

Platón escribió sobre religión: teorizo de una religión antropomórfica hacia una religión espiritual (trascendencia absoluta)

GeometríaSagrada

Esfera y religión: “Geometría Sagrada”

Tetraedro: fuegosabiduría y manifestaciónchakra del plexo solar

Hexaedro: tierravida y naturalezachakra raíz

Octaedro: aireintegración y espírituchakra cardiaco

Dodecaedro: etherascensión, poder femenino,

creación y madre Tierrachakras corona, frente y cuello

Icosaedro: aguatransformación, universo, poder

masculinochakra esplénico

ESFERA

Totalidad

Esfera y geografía: Versus Terraplanismo

Esfera y geografía: Versus Terraplanismo

Esfera y geografía: Versus Terraplanismo

Curvatura de la Tierra por efecto Coriolis.https://twitter.com/stoma666/status/988944948157386752

Foto de la Tierra desde la Luna(fuente: “Marte la próxima frontera” de José María Maza

Esfera y Cartografía: El problema de los mapas

Los cuerpos geométricos regulares tiene “desarrollo en el plano”:

La esfera NO puede desarrollarse en el plano →NO puede haber mapas 100% fidedignos

Esfera y Cartografía: El problema de los mapas

Esfera y Cartografía: El problema de los mapas

Mercator

Preserva forma pero distorsiona superficie ocupada (área).

Hegemonía del hemisferio norte sobre el sur (percepción errónea).

Esfera y Cartografía: El problema de los mapas

Gall-Peters

Preserva superficie ocupada (área) pero distorsiona forma.

Esfera y Cartografía: El problema de los mapas

Winkel-Tripel (1921)

Produciendo muy pequeños errores de distancia, pequeños errores de combinaciones de elipticidad y área.

Ocupada oficialmente por la National Geographic Society e implementándose en educación.

Esfera y paradigmas: Geometría Esférica

Geometría plana o Euclidiana → (Formalizada) 500 AC por Euclides en sus Elementos.

Geometrías No Euclidianas → Janos Bolyai || Nikolai Lobachevski (las estudiaron de manera independiente)S. XIX S. XIXrumano ruso

Carl Gauss (S XIX, aleman). Las había estudiado antes pero no lo publicó.

Consecuencia: Ángulos interiores de un triángulo suman 180°

(caso especial) Geometría esférica (sobre una esfera)

Consecuencia: Ángulos interiores de un triángulo suman más de 180°

Ideas rechazadas por los matemáticos de la época por contra (anti) naturales hasta demostrar su efectividad.

Para recordar: Número PI

Número irracional (decimales infinitos sin patrón)3.14159265359…

Dato freak: en Indiana, USA, hace aproximadamente 120 años atrás quisieron legalizar pi como 3,2.

Para recordar

Perímetro := longitud del borde de una figura plana.

Área := Superficie acotada. Medida en unidades de longitud al cuadrado.

Volumen := Espacio ocupado por un solido o limitado por una superficie cerrada.Medido en unidades de longitud al cubo.

Para ejercitar:

Libro de Contenidos:

Para repasar conceptos previos: 190-191Para ejercitar lo visto en clase: 194-195

Libro de Ejercicios:

Para repasar conceptos previos: 91Para ejercitar lo visto en clase: 92-93

Volumen de la Esfera

Objetivo de la clase: Aplicar la fórmula de volumen de la esfera para resolver problemas.

Conceptos previos

▪ Concepto de volumen. Mesopotámicos y egipcios.

▪ El número pi Egipcios, Arquímedes, etcétera.

▪ Fórmula de área del círculo. Arquímedes.

▪ Fórmula de volumen del cilindro. Eudoxo de Cnido (390 AC, 337 AC).

▪ Fórmula de volumen del cono. Eudoxo de Cnido (390 AC, 337 AC).

Eudoxo de Cnido

Arquímedes de Siracusa (~200 AC)

En Alejandría (Egipto) estudió matemática de losdiscípulos de Euclides de Alejandría.

Mantuvo contacto con Eratóstenes de Alejandría porcartas.

Descubrió fórmulas de perímetro y área del círculo,además de las de volumen y área de esferas. Tambiénvarios principios físicos y creó muchos inventos.

Arquímedes, volumen y corona de oro

Volumen: Espacio ocupado por un solido o limitado por una superficie cerrada.Medido en unidades de longitud al cubo.

Ley de empuje (física): un cuerpo sumergido en un líquido recibe un empuje de abajo hacia arriba equivalente al peso del volumen del liquido desalojado.

1. Cilindro equilátero y esfera inscrita

Un cilindro equilátero es aquel donde la altura esigual al diámetro de la base.Su volumen es:

La esfera inscrita es aquella que está dentro delcilindro.

Usando el principio físico de la ley de empuje sedio cuenta que la esfera ocupa dos tercios delespacio del cilindro equilátero.

2. Cilindro equilátero, cono y esfera

3. Cilindro, cono y semiesfera

Dados un cilindro y un cono, amboscon altura y radio de medida r, setiene que:

De acá se puede determina elvolumen de la esfera multiplicandopor dos.

Propiedad del volumen de la esfera

La esfera es la figura sólida(cuerpo geométrico) con elmáximo de volumen a igualdad desuperficie (área)

Por ello muchos vegetales tienen formaesférica, para ahorrar espacio. Por estotambién las gotas y burbujas sonesféricas, la tensión superficial lesimpone el máximo de volumen en lamínima superficie.

En resumen

Arquímedes de Siracusa utilizó las fórmulas de volumen del cilindro y cono junto a la ley de empuje de la física para encontrar el volumen de la esfera.

Ejercicio 1: (usando pi como 3,14 y calculadora)

Calcula el volumen del cuerpo generado por rotación de la figura sobre el eje respectivo.

Ejercicio 2: (usando pi como 3,14 y calculadora)

Un contenedor está formado por dos casquetes esféricos concéntricos de radios 122 cm y 124 cm. Calcula el volumen del solido encerrado por ambos.

Ejercicio 3: (usando pi como 3,14 y calculadora)

Una industria de repuestos fabrica bolitas metálicas de 200 g de masa y de densidad 8 g/𝑐𝑚3. Las bolitas serán envasadas a cinco unidades en cajas cilíndricas del menos tamaño posible. ¿Cuál será el radio y la longitud de cada caja aproximadamente?

Para ejercitar:

Libro de Contenidos:

Para ejercitar lo visto en clase: 200-201

Libro de Ejercicios:

Para ejercitar lo visto en clase: 94-95

IMPORTANTE: Usaremos pi como 3,14 y es necesario traer/tener calculadora científica.

Área de la Esfera

Objetivo de la clase: Demostrar la fórmula de área de la esfera para resolver problemas.

Conceptos previos

▪ Concepto de volumen. Desde mesopotámicos y egipcios.

▪ Concepto de área. Desde mesotopámicos y egipcios.

▪ El número pi. Egipcios, Arquímedes, etcétera.

▪ Fórmula de volumen del cono. Eudoxo de Cnido.

▪ Fórmula de volumen de la esfera. Arquímedes de Siracusa.

Aproximando una esfera con conos

Observa la siguiente imagen:¿Observas conos? ¿Observas esferas?

Área:Superficie acotada. Medida enunidades de longitud al cuadrado.

Aproximando una esfera con conos

Podemos determinar la fórmula del área de una esferacomo si esta estuviese formada por muchos(“infinitos”) conos congruentes entre sí cuyo vértice seael centro de la esfera.¿Qué parte de los conos forma el área de la esfera?

Demostrando el área de la esfera

Supongamos que n conos forman la esfera, entonces:

Recordando el volumen de las figuras:

¿Cuánto mide la altura h de los conos?

Demostrando el área de la esfera

Como la altura h de los conos es igual al radio r de la esfera:

Simplificando el denominador tres y un radio r que se encuentran a ambos lados de la igualdad se obtiene:

¿A qué es equivalente el área de la n bases de los conos?

Ejercicio 1: (usando pi como 3,14 y calculadora)

Ejercicio 2: (usando pi como 3,14 y calculadora)

Ejercicio 3: (usando pi como 3,14 y calculadora)

Para ejercitar:

Libro de Contenidos:

Para ejercitar lo visto en clase: 206-207

Libro de Ejercicios:

Para ejercitar lo visto en clase: 96-97

IMPORTANTE: Usaremos pi como 3,14 y es necesario traer/tener calculadora científica.