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UNESP – Universidade Estadual Paulista
Campus de Rio Claro
Disciplina: Hidrogeologia
MODELOS EM HIDROGEOLOGIAMODELOS EM HIDROGEOLOGIA
2010
O QUE É UM MODELO ?
“Modelo é uma ferramenta desenvolvida para representar uma versão simplificada da realidade.”
WANG & ANDERSON (1982)
MODELOS
A principal motivação para a utilização de modelos matemáticos é realizar previsão de certos fenômenos.
REALIDADREALIDADEE
MODELMODELOO PREVISÃOPREVISÃO
?
MODELOS
Qual a necessidade de se fazer previsões em Hidrogeologia?
Rebaixamento do lençol freático em minas
Migração de contaminantes em água subterrâneas
Elevação da potenciometria após a construção de barragens
Impacto gerado pela explotação de aquíferos para abastecimento
2010-2020
Well Locations and Pumping Rates
Shallow Deep
Water Levels in the Sandstone Aquifer(feet above sea level)
Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos
MODELOS
MODELOSPrevisão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva de aquíferos
MODELOS
Previsão de migração de plumas de contaminantes
MODELOS
Previsão de migração de plumas de contaminantes
Modelos físicos
Modelos analógicos
Modelos matemáticos
TIPOS DE TIPOS DE MODELOSMODELOS
MODELOS
O modelo físico ou modelo reduzido constitui a representação em escala laboratorial dos processos estudados.
Normalmente este tipo de modelagem física é utilizado auxiliar no entendimento de fenômenos complexos e complementar os resultados dos modelos matemáticos.
Possuem a vantagem de serem realizados através de experimentos controlados em laboratório.
Modelos físicosModelos físicos
Fonte: http://www.wvca.us/education/groundwater_model/groundwater_model.jpgFonte: http://www.wvca.us/education/groundwater_model/groundwater_model.jpg
Modelos físicosModelos físicos
Modelos analógicosModelos analógicos
Diversos fenômenos na natureza obedecem o mesmo princípio físico e, são portanto, matematicamente idênticos.
dl
dhKAQ
dl
dVAI
Lei de DarcyLei de Darcy Lei de OhmLei de Ohm
dl
dTKAQ
Lei de FourrierLei de Fourrier
Em virtude da existência de uma analogia matemática e física entre as leis de Ohm e Darcy, circuitos elétricos foram empregados no passado para representar e simular explotação de aquíferos.
Tais modelos consistem na representação de certos fenômenos a partir de outros em menor escala, por analogia com as leis físicas que regem estes fenômenos (WANG & ANDERSON, 1982).
Modelos analógicosModelos analógicos
A existência de similaridades nas formulações matemáticas que descrevem o fluxo de corrente elétrica (Lei de Ohm) com aquelas que descrevem o fluxo de água subterrânea (Lei de Darcy) permitiu que o primeiro fenômeno fosse utilizado para a simulação do segundo.
http://www.sws.uiuc.edu/hilites/achieve/gwmodded.asp
Modelos analógicosModelos analógicos
Conjunto de Conjunto de resistores e resistores e capacitores capacitores elétricos elétricos representando representando um aquífero.um aquífero.
http://www.sws.uiuc.edu/hilites/achieve/gwmodded.asp
Modelos analógicosModelos analógicos
Modelos MatemáticosModelos Matemáticos
Soluções analíticasSoluções analíticas
Soluções por aproximação numéricaSoluções por aproximação numérica
Tipos:Tipos:
Diferenças finitasDiferenças finitas
Elementos finitosElementos finitos
Volumes finitosVolumes finitos
Elementos de contornoElementos de contorno
Elementos analíticosElementos analíticos
Modelos MatemáticosModelos Matemáticos
Os modelos matemáticos são representados por um conjunto Os modelos matemáticos são representados por um conjunto de expressões matemáticas compostas pelos seguintes de expressões matemáticas compostas pelos seguintes elementos:elementos:
Equações GovernantesEquações GovernantesCondições de contorno e iniciaisCondições de contorno e iniciais
Equações GovernantesEquações Governantes
As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982).subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982).
Patankar (1980) define as equações governantes como equações Patankar (1980) define as equações governantes como equações diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação. diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação. Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em essência, trabalham com balanço de massa ou energia. essência, trabalham com balanço de massa ou energia.
Equações GovernantesEquações Governantes
dt
dhSsW
z
hK
zy
hK
yx
hK
x zzyyxx
Para Wang & Anderson (1982), a equação governante que representa o fluxo de água subterrânea, em sua forma analítica, é derivado da combinação da Lei de Darcy com a conservação de massa, como expresso abaixo:
Onde:Ss é o armazenamento especificoW é a recarga
x
hKq xxx
y
hKq yyy
z
hKq zzz
Lei de Darcy:
Condições de contornoCondições de contorno
Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno são elementos físicos que representam a interação entre os são elementos físicos que representam a interação entre os processos no interior do modelo e sua parte externa.processos no interior do modelo e sua parte externa.
A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de soluções. As condições de contorno direcionam as simulações soluções. As condições de contorno direcionam as simulações para a solução única do modelo.para a solução única do modelo.
Condições de contornoCondições de contorno
As condições de contorno podem ser agrupadas em 3 As condições de contorno podem ser agrupadas em 3 tipos:tipos:
Condição de primeiro tipoCondição de primeiro tipo
Condição de segundo tipoCondição de segundo tipo
Condição de terceiro tipoCondição de terceiro tipo
Condições de primeiro tipoCondições de primeiro tipo
Exemplos de condição de carga hidráulica especificada (primeiro tipo).
Tipo I - Contorno de carga hidráulica especificada ou carga hidráulica constante (condição de Dirichlet), que pode ser matematicamente representado pela expressão:
h(x,y,z,t) = conhecido
Condições de primeiro tipoCondições de primeiro tipo
H = 10 m
Condições de segundo tipoCondições de segundo tipo
onde: dh (x,y,z,t) é a variação elementar tridimensional e temporal de carga hidráulica,dn é a variação elementar de distância perpendicular à direção de fluxo.
O fluxo especificado pode ser nulo ou não. A condição de fluxo nulo é aplicável quando existe um contorno impermeável, uma linha de simetria, uma linha de fluxo, ou seja, onde inexista fluxo transversal a este contorno. É comum que se use este tipo de condição de contorno em simulações de dimensões reduzidas, situação onde não se conhece a extensão real do aquífero, sendo a forma deste limite delineada a partir de uma linha de fluxo obtida a partir da elaboração da potenciometria local.
Reilly et al (1987), exemplifica lagos e rios como tipos de condições de contorno de fluxo especificado (não nulo), desde que estes tenham sua interação com o aqüífero bem conhecida:
q = f(x,y,z,t)
Condições de segundo tipoCondições de segundo tipo
Condições de segundo tipoCondições de segundo tipo
02
2
y
h
02
2
y
h
Condições de terceiro tipoCondições de terceiro tipo
cchdn
dh
Um exemplo comumente usado para este tipo de contorno é aquele no qual existe uma camada semipermeável separando dois aqüíferos ou um aqüífero e um corpo de água superficial. O fluxo que passa deste corpo aquoso sobrejacente para o aqüífero, através da camada semipermeável é expressa pela equação de Darcy:
Onde:q é a o volume de água que atravessa a camada semipermeável em virtude da diferença de carga hidráulica,K’ é a condutividade hidráulica da camada semiconfinada,H’-h é a diferença de carga entre o aqüífero livre e o semiconfinado,b’ é a espessura da camada semiconfinante
Condições de terceiro tipoCondições de terceiro tipo
Área do modelo
Área do modelo
Condição modelo
CONDIÇÃO SEMI-PERMEÁVEL OU DE TERCEIRO TIPO (CAUCHY)
Aquitardo separando sistemas hidrogeológicos adjacentes Água superficial com camada semi-permeável
Condições iniciaisCondições iniciais
As condições iniciais são componentes essenciais em As condições iniciais são componentes essenciais em modelos transientes. A simulação em regime transiente modelos transientes. A simulação em regime transiente requer, no início da simulação, uma distribuição de carga requer, no início da simulação, uma distribuição de carga hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas calculadas em um determinado passo de tempo são calculadas em um determinado passo de tempo são dependentes dos valores de carga hidráulica do passo dependentes dos valores de carga hidráulica do passo anterior. anterior.
Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos (PAMMs) (PAMMs)
1)1) Compilação de informações de relevância;Compilação de informações de relevância;
Informações referentes a Geologia Regional e Local, Informações referentes a Geologia Regional e Local, Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações geológicas previamente existentes;geológicas previamente existentes;
2) Elaboração de um Modelo Conceitual;2) Elaboração de um Modelo Conceitual;
A segunda etapa é representada pela formulação de modelo A segunda etapa é representada pela formulação de modelo hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de informações relevantes existentes do domínio a ser informações relevantes existentes do domínio a ser simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da área a ser simulada.área a ser simulada.
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
FAIRFIELD
LINCOLN PARK
CHATHAM
TROY HILLS
MONTVILLE
SOUTHERN MILLBURN
NORTHERN MILLBURN
FLORHAM PARK
EAST HANOVER
CEDAR KNOLLS
PARSIPPANY
LONG HILLOAKWOOD
SUMMITGREEN VILLAGE
CANOE BROOK
SLOUGH BROOK
MODELO CONCEITUAL
Arenito, Siltito, Basalto
Silte, argila(Unidade semi-confinante)
ROCHA(CAMADA 3)
SUPERFICICAL
Areia e conglomerado(CAMADA 1)
Layer 1
Layer 2
Layer 3
Areia e conglomerado(CAMADA 2)
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
Modelo Conceitual
Sedimentos aluvionaresSiltitos da Fm.
Rio Claro
Diabásio
Modelo
3) Simulação numérica de fluxo3) Simulação numérica de fluxoStream –aquifer System
Representation of Stream –aquifer System
River Surface
Water Table
Streambed
River Stage (HRIV)
Impermeable Walls
M
WRBOT
Land Surface
Head in Cell (h)
Realidade
3) Simulação numérica de fluxo3) Simulação numérica de fluxo
Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática, Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática, no ambiente do no ambiente do softwaresoftware..
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
4) Calibração do Modelo4) Calibração do Modelo
Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga no rio) até que exista uma correspondência em nível no rio) até que exista uma correspondência em nível satisfatório entre os os valores calculados pela satisfatório entre os os valores calculados pela simulação e os valores reais de carga hidráulica, simulação e os valores reais de carga hidráulica, vazão ou concentração.vazão ou concentração.
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
3) Calibração3) Calibração
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
Coeficiente de correlação linear ® entre os valores de cargas hidráulicas reais e calculadas
Raiz média do erro residual quadrático (RMS)
Média absoluta do resíduo (MA)
Variância do residuo (VAR)
Resíduo Médio (M)
N
ii obscalN
M1
)(1
2
1
])[(1
1Mobscal
NVAR
N
ii
2/1
1
])[(1
N
ii obscalN
MA
N
i
i
N
i
i
N
i
obsobscalcal
obsobscalcalr
ii
1
2
1
2
1
)()(
))((
2/1
1
])(1
[2
ii
N
obscalN
RMS
cali é o valor de carga hidráulica calculada, obsi é o valor de carga hidráulica observada, é o valor médio de carga hidráulica calculada, é o valor médio de carga hidráulica observada.
3) Calibração3) Calibração
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
6) Previsão6) Previsão
Se o modelo matemático representa com fidelidade Se o modelo matemático representa com fidelidade satisfatória a realidade, este pode ser empregado satisfatória a realidade, este pode ser empregado para realizar previsões do comportamento do para realizar previsões do comportamento do aquífero ao longo do tempo.aquífero ao longo do tempo.
Etapas de modelagem numérica de fluxoEtapas de modelagem numérica de fluxo
Modelos matemáticos
Os Modelos analíticos fornecem valores exatos do problema. Contudo pressupõe um meio isotrópico, homogêneo, com geometrias simples do aquífero (retângulos, elipses, quadrados).
Os Modelos numéricos fornecem valores aproximados do problema. Contudo, possuem a vantagem de permitirem a representação de meio heterogêneos, anisotrópicos e geometrias complexas dos aquíferos.
Modelos MatemáticosModelos Matemáticos
Soluções analíticasSoluções analíticas
Soluções por aproximação numéricaSoluções por aproximação numérica
Tipos:Tipos: Diferenças finitasDiferenças finitas Elementos finitosElementos finitos Volumes finitosVolumes finitos Elementos de contornoElementos de contorno Elementos analíticosElementos analíticos
Modelos matemáticos
0 0
2201212
12124
2 m s/ymcoshm
s/ymcoshs/xmcoscscsy)y,x(h
Solução analítica de Toth (1962):
Modelos numéricos - Discretização(a)
Figura 3.6. Representações de d iferenças fin itas e e lem entos fin itos da região de um aquifero.
(a) Vista do m apa do aquifero m ostrando o cam po de poços, os poços de observação e seus lim ites.(b) G rid de d iferenças fin itas com nós centrados no bloco, onde D é o espaçam ento na direção , D é o espaçam ento na d ireção e é a espessura do aquifero. (c)
x x y y,b
G rid de diferença fin ita com nós centrados na m alha(d) M alha de e lem entos fin itos com elem entos triangulares onde b é a espessura do aquifero
(Adaptado de M ER C ER & FAU ST, 1980 apud W ANG & AN D ER SO N, 1982).
N ó de fonte/descarga
N ó de fonte/descarga
N ó de fonte/descarga
y
x
b
x
yR io
Poço de observação
Poço de bom beam ento
Lim ite do aquífero
C am po de poços
( )c
(b)
B loco de d iferença fin ita
x
by
x
y
E lem ento fin itotriangularb
( )d
Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas
02
2
2
2
2
2
z
hK
y
hK
x
hK zzyyxx
Considere a equação governante do fluxo de águas subterrâneas no meio poroso:
02
2
2
2
2
2
z
h
y
h
x
h
Se o meio é isotrópico, então Kxx = Kyy = Kzz e, deste modo, podemos retirar os valores de condutividade hidráulica da equação, o que reduz a expressão para a Expressão Laplaciana.
Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas
02
2
2
2
2
2
z
h
y
h
x
h
Se simplificarmos o problema 3D para 2D:
02
2
2
2
y
h
x
h
Podemos aproximar a equação de laplace através de seu truncamento para equações algébrica simples.
xx
hh
x
hh
x
hj,ij,ij,ij,i
11
2
2
2
11
2
2 2
x
hhh
x
h j,ij,ij,i
Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas
xx
hh
x
hh
x
hj,ij,ij,ij,i
11
2
2
2
11
2
2 2
x
hhh
x
h j,ij,ij,i
h
x
Dx
Dx
Dx
Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas
2
1,,1,
2
2 2
y
hhh
y
h jijiji
O mesmo tipo de aproximação é empregada na direção Y:
041111 j,ij,ij,ij,ij,i hhhhh
Se o Dx = Dy, então, a equação de Laplace para o ponto (i,j) simplifica para:
Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas
41111
j,ij,ij,ij,ij,i
hhhhh
A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos.
(i,j-1)
(i,j)(i+1,j)(i-1,j)
(i,j+1)
Modelos matemáticos
Solução numérica:
É considerado um É considerado um conjunto finito de conjunto finito de pontos em uma malha pontos em uma malha regular. regular.
Se localiza os pontos Se localiza os pontos (ou nós) mediante (ou nós) mediante suas coordenadas suas coordenadas i,ji,j
Conceitos básicos em diferenças finitasConceitos básicos em diferenças finitas
04 2232122321 ,,,,, hhhhh
04 3222333121 ,,,,, hhhhh
04 3343233432 ,,,,, hhhhh
04 2333132422 ,,,,, hhhhh
Para i=2,j=2
Para i=2,j=3
Para i=3,j=2
Para i=3,j=3
Métodos iterativosMétodos iterativos
A solução do problema através de métodos numéricos é realizada através de métodos iterativos.
Os métodos iterativos fazem aproximações sucessivas até que exista a convergência do modelo, isto é, até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que o critério de convergência.
411111
mj,i
mj,i
mj,i
mj,im
j,i
hhhhh
15151515
1515
1515
15151515
Utilizando a equação acima, resolva o problema abaixo, utilizando o método iterativo de Jacobi, empregando um critério de convergência de 0,01.
? ?
? ?
Método iterativo de Jacobi
15151515
1515
1515
15151515
13,125 13,125
13,125 13,125
3ª iteração
13,125 13,125
13,125 13,125
Resíduo 2 = 13,125 -11,250 = 1,875
14,993 14,993
14,993 14,993
11ª iteração
14,993 14,993
14,993 14,993
Resíduo 11 = 14,993 -14,985 = 0,007
14,985 14,985
14,985 14,985
10ª iteração
14,985 14,985
14,985 14,985
Resíduo 10 = 14,985 -14,971 = 0,015
14,98 14,98
14,98 14,98
9ª iteração
14,980 14,980
14,980 14,980
Resíduo 9 = 14,971 -14,941 = 0,030
14,941 14,941
14,941 14,941
8ª iteração
14,941 14,941
14,941 14,941
Resíduo 8 = 14,941 -14,883 = 0,059
14,883 14,883
14,883 14,883
7ª iteração
14,883 14,883
14,883 14,883
Resíduo 7 = 14,883 -14,766 = 0,117
14,766 14,766
14,766 14,766
6ª iteração
14,766 14,766
14,766 14,766
Resíduo 6 = 14,766 -14,531 = 0,234
14,531 14,531
14,531 14,531
5ª iteração
14,531 14,531
14,531 14,531
Resíduo 5 = 14,531 -14,063 = 0,469
14,063 14,063
14,063 14,063
4ª iteração
14,063 14,063
14,063 14,063
Resíduo 4 = 14,063 -13,125 = 0,938
11,250 11,250
11,250 11,250
2ª iteração
11,250 11,250
11,250 11,250
Resíduo 2 = 11,250 -7,500 = 3,500
7,500 7,500
7,500 7,500
1ª iteração
7,500 7,500
7,500 7,500
Resíduo 1 = 7,5 – 0 = 7,500
411111
mj,i
mj,i
mj,i
mj,im
j,i
hhhhh
CC = 0,01
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Iteração
Res
ídu
o
Método iterativo de Jacobi
411
11
111
mj,i
mj,i
mj,i
mj,im
j,i
hhhhh
Neste método, ao contrário do Jacobi, são usados dois resultados já calculados dentro da iteração.
Método iterativo de Gauss-Siedel
15151515
1515
1515
15151515
7,500 9,357
9,357 12,188
1ª iteração
7,500 9,357
9,357 12,188
411
11
111
mj,i
mj,i
mj,i
mj,im
j,i
hhhhh
12,188 13,594
13,594 14,297
2ª iteração
12,188 13,594
13,594 14,297
14,297 14,648
14,648 14,824
3ª iteração
14,297 13,594
14,684 14,824
14,824 14,912
14,912 14,956
14,956 14,978
14,978 14,989
14,989 14,995
14,995 14,997
14,997 14,998
14,998 14,999
14,824 14,912
14,912 14,956
4ª iteração
14,956 14,978
14,978 14,989
5ª iteração
14,989 14,995
14,995 14,997
6ª iteração
14,997 14,998
14,998 14,999
7ª iteraçãoCC = 0,010
Máximo Resíduo 1 = 12,188Máximo Resíduo 2 = 4,688Máximo Resíduo 3 = 2,109Máximo Resíduo 4 = 0,507Máximo Resíduo 5 = 0,312Máximo Resíduo 6 = 0,033Máximo Resíduo 7 = 0,008
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8
Iteração
Res
ídu
o m
áxim
o
Método iterativo de Gauss-Siedel
41 11
11
111
mj,i
mj,i
mj,i
mj,im
j,i
hhhh)(h
Neste método são empregados dois resultados já calculados dentro da iteração e o resíduo é multiplicado por fator de relaxação, w (valores entre 1 e 2), o que promove a aceleração da convergência do modelo.
Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)
15151515
1515
1515
15151515
CC = 0,010
41 11
11
111
mj,i
mj,i
mj,i
mj,im
j,i
hhhh)(h
w = 1,1
8,250 10,519
10,519 14,035
13,210 14,691
14,691 14,926
15,009 15,013
15,013 15,038
15,006 15,011
15,011 15,005
8,250 10,519
10,519 14,035
1ª iteração
13,210 14,691
14,691 14,926
2ª iteração
15,099 15,013
15,013 15,038
3ª iteração
15,006 15,011
15,011 15,005
4ª iteração
15,005 15,002
15,002 15,000
5ª iteração
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
Iteração
Res
ídu
o M
áxim
o
15,005 15,002
15,002 15,000
Máximo Resíduo 1 = 14,035Máximo Resíduo 2 = 4,960Máximo Resíduo 3 = 1,799Máximo Resíduo 4 = -0,033Máximo Resíduo 5 = -0,009
Método iterativo de SOR (Successive Over Relaxation)
Diferenças Finitas
EXEMPLO
Suponha um hipotético aquífero aluvial, delimitado lateralmente por rochas impermeáveis do Embasamento Cristalino. O aquífero recebe influxo de água de um lago artificial a montante e descarrega em um rio à jusante. Calcule com o Excel, empregando técnicas de Diferenças Finitas, a distribuição de carga hidráulica entre o rio e o lago, admitindo-se que o aquífero seja homogêneo e isotrópico.
Diferenças Finitas
Diferenças FinitasCélulas fictícias
1 j,ij,i hh
1 j,ij,i hhCélulas fictícias
41111
j,ij,ij,ij,ij,i
hhhhh
Diferenças Finitas
CCCNCSCWCE
WHCNHCSHCWHCEHCCH jijijijijijim
ji
,1,1,,1,1,,
).().().().().(
jijijiji KKKKx
CE ,1,,1,22
1
jijijiji KKKKx
CW ,1,,1,22
1
1,,1,,22
1
jijijiji KKKKx
CS
1,,1,,22
1
jijijiji KKKKx
CN
ji
jiji yHx
QW
.
,,
Diferenças Finitas