UNA MIRADA DIDÁCTICA A LOS PROCESOS DE ARTICULACIÓN … · FICHA DE PRESENTACIÓN DE TRABAJO DE INDAGACIÓN TÍTULO DEL TRABAJO DE GRADO: Una mirada didáctica a los procesos de

UNA MIRADA DIDÁCTICA A LOS

PROCESOS DE ARTICULACIÓN DE LOS

REGISTROS GRÁFICO CARTESIANO Y

SIMBÓLICO ALGEBRAICO: EL CASO DE

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

WILLIAM HENRY QUIÑONES ORTIZ

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Posgrados de Ingeniería y Administración

Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas Y Naturales

Palmira.

2017

UNA MIRADA DIDÁCTICA A LOS

PROCESOS DE ARTICULACIÓN DE LOS

REGISTROS GRÁFICO CARTESIANO Y

SIMBÓLICO ALGEBRAICO: EL CASO DE

LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

WILLIAM HENRY QUIÑONES ORTIZ

Informe final de indagación presentado como requisito parcial para optar al título

de:

Magíster en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales.

Director (a):

Ph. D. Teresa Pontón Ladino

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Posgrados de Ingeniería y Administración

Maestría En Enseñanza De Las Ciencias Exactas Y Naturales

Palmira.

2017

Dedicatoria

A mi difunto padre Wilfrido Guillermo

Quiñones, por enseñarme la perseverancia e

impartir los valores y disciplina necesaria para

prosperar.

A mi madre Edita Ortiz por ser mi mejor fan,

por la devoción y porque siempre estar ahí

para levantarme cuando estoy por desfallecer.

Agradecimientos

A la universidad Nacional de Colombia por permitirme cursar el programa de Maestría en

Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales tan necesario para la comprensión de mi

papel como maestro y la transformación de mis prácticas en el aula.

A mi directora la Doctora Teresa Pontón Ladino, por ser una excelente profesional y ser la

persona con más paciencia del mundo, por enriquecer mi práctica docente al guiarme en

todo el trascurrir del programa de maestría y por compartir conmigo sus vastos

conocimientos en el área de las matemáticas.

A mis compañeros y amigos de la maestría Iván, Hans y Javier con quienes compartí

muchas alegrías y frustraciones, me ayudaron con correcciones y aportaron en la

elaboración de este trabajo.

A las directivas y estudiantes de grado 9-1 de la institución educativa Alberto Carvajal

Borrero, por su disposición y permitirme los espacios para el desarrollo de este trabajo.

A mi familia por el apoyo y buen consejo que me ayudaron a seguir adelante.

VIII Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico

cartesiano y simbólico algebraico: el caso de la función cuadrática

FICHA DE PRESENTACIÓN DE TRABAJO DE INDAGACIÓN

TÍTULO DEL TRABAJO DE GRADO:

Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico


Apellidos y Nombres del Autor: William Henry Quiñones Ortiz

Correo Electrónico: [email protected]

Tipo de Modalidad: Profundización

Énfasis: Matemáticas

Grupo de Investigación al cual se encuentra adscrito la directora del trabajo: GIIPLyM

(Grupo de Investigación Interdisciplinaria en Pedagogía del Lenguaje y las Matemáticas)

Directora del Trabajo de Grado: Ph. D. Teresa Pontón Ladino

Tiempo estimado para el desarrollo del proyecto de indagación (en meses): 14 meses

Palabras claves: Representaciones gráfica cartesiana y algebraica, Transformaciones entre

representaciones semióticas, Registro semiótico, Situación didáctica, Función cuadrática.

Resumen y Abstract IX

Resumen

En este documento se presentan los resultados y el proceso de un trabajo de indagación realizado en el marco de la maestría en ciencias exactas y naturales, en el cual se plantea una alternativa para la enseñanza y caracterización de la función cuadrática a través de la articulación de los registros semióticos de representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresiones canónicas y polinómicas). Este trabajo de indagación se realiza para presentar una solución al problema del desarrollo de pensamiento variacional detectado en los estudiantes del grado 9° de la institución educativa Alberto Carvajal borrero, los cuales presentan bajo desempeño en las pruebas nacionales e internas en cuanto a la interpretación de graficas cartesianas y manipulación de las expresiones algebraicas. Para desarrollar esta propuesta se tendrá como referencia el marco teórico de la teoría semiótica cognitiva desarrollada por Duval (1988a, 1998b, 1999, 2004, 2006) y Pontón (2008, 2011), los cuales plantean que ningún objeto matemático puede ser enseñado por fuera de los registros semióticos de representación y las transformaciones que se puedan realizar entre ellos. Desde esta perspectiva es posible evidenciar el potencial de los registros semióticos en la movilización del objeto matemático: las funciones cuadráticas, a partir de una estrategia de enseñanza multirregistro, es decir se consideraron los elementos teóricos cognitivos y semióticos planteados por Duval (1988, 1999).

Desde la perspectiva semiótico cognitiva se plantea la identificación de las variables visuales que ayuden al estudiante a una interpretación global de las gráficas cartesianas y a la correlación con las variables categoriales (constantes en las expresiones simbólicas algebraicas). La interpretación global facilitó el aprendizaje y el acercamiento a una objetivación de la función cuadrática, desde la articulación entre sus registros semióticos de representación, para este caso la representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico de la función cuadrática.

Con el fin de repensar la enseñanza de la función cuadrática desde unas variables

semióticas y cognitivas, se realizó una secuencia didáctica, organizada en tres situaciones de aula que se diseñaron, aplicaron y analizaron de acuerdo con algunos elementos de la teoría de situaciones didácticas propuestas por Brousseau (1983, 1986, 1998, 2000) y el marco teórico semiótico cognitivo. Para el análisis de los resultados Se implementó el enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo planteado Vasilachis (2006). Con esta secuencia de tareas se obtuvieron buenos, al conseguir que 22 de los 26 estudiantes realizaron los procesos de conversión entre las representaciones grafico cartesianas y simbólicas algebraicas y viceversa para el caso de la función cuadrática. Resultados que contribuyen a el acercamiento al aprendizaje del concepto de función cuadrática de los estudiantes del grado 9-1 de la institución educativa Alberto Carvajal borrero de Cali. Se logró que los estudiantes realizaran diferentes trasformaciones necesarias para articular los registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico. En la aplicación de las situaciones didácticas, se pudo observar cómo la variación de las variables didácticas de diseño,

X Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico


consideradas en las tareas, permitió a los estudiantes ir construyendo un acercamiento al concepto de función cuadrática a partir de las representaciones semióticas y al estudio de las características particulares de cada sistema de representación.

Palabras claves: Representaciones gráfica cartesiana y simbólica algebraica,

Transformaciones entre representaciones semióticas, Registro semiótico, Situación

didáctica, Función cuadrática, objetivación, variables visuales y variables categoriales.

Contenido XI

Abstract

This paper presents the results and the process of a research work carried out within the

framework of mastery in exact and natural sciences, in which an alternative is proposed for

the teaching and characterization of the quadratic function through the articulation of the

semiotic registers of Cartesian and symbolic algebraic representation (canonical and

polynomial expressions). This work of inquiry is made to present a solution to the problem

of the development of variational thinking detected in the students of grade 9 of the

educational institution Alberto Carvajal, who have low performance in national and internal

tests in the interpretation of Cartesian graphs and manipulation of algebraic expressions.

In order to develop this proposal, the theoretical framework of the cognitive semiotic theory

developed by Duval (1988a, 1998b, 1999, 2004, 2006) and Pontón (2008, 2011) will be

taken as a reference, which states that no mathematical object can be taught externally of

the semiotic registers of representation and the transformations that can be made between

them. From this perspective it is possible to highlight the potential of semiotic registers in

the mobilization of the mathematical object: the quadratic functions, based on a

multiregistered teaching strategy, that is, the cognitive and semiotic theoretical elements

proposed by Duval (1988, 1999) .

From the cognitive semiotic perspective, the identification of the visual variables that help

the student to a global interpretation of the Cartesian graphs and to the correlation with the

categorial variables (constants in the algebraic symbolic expressions) is proposed. The

global interpretation facilitated the learning and approach to an objectivation of the

quadratic function, from the articulation between its semiotic registers of representation, in

this case the Cartesian and symbolic algebraic graphic representation of the quadratic

function.

XII Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico


In order to rethink the teaching of the quadratic function from semiotic and cognitive

variables, a didactic sequence was organized, organized in three classroom situations that

were designed, applied and analyzed according to some elements of the theory of didactic

situations proposed by Brousseau (1983, 1986, 1998, 2000) and the cognitive semiotic

theoretical framework. For the analysis of the results The qualitative approach of

descriptive and interpretative type was implemented Vasilachis (2006). With this sequence

of tasks, 22 of the 26 students carried out the conversion processes between the Cartesian

and symbolic algebraic graphical representations and vice versa for the case of the

quadratic function. Results that contribute to the approach to learning the concept of

quadratic function of the students of grade 9-1 of the educational institution Alberto Carvajal

borrero de Cali. Students were able to perform different transformations necessary to

articulate the Cartesian and symbolic algebraic charts. In the application of the didactic

situations, it was observed how the variation of didactic design variables, considered in the

tasks, allowed the students to construct an approach to the concept of quadratic function

from the semiotic representations and the study of the characteristics of each

representation system.

Keywords: Graphical representations Cartesian and symbolic algebraic,

Transformations between semiotic representations, Semiotic record, Didactic

situation, Quadratic function, objectivation, visual variables and categorial

variables.

Contenido XIII

Contenido

Pág.

VIII

Resumen ........................................................................................................................ IX

Lista de figuras ............................................................................................................. XV

Lista de tablas ........................................................................................................... XVIII

Introducción .................................................................................................................. 21

1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN ........................................ 25 Planteamiento del problema .......................................................................... 25 Justificación ................................................................................................... 28 Objetivos........................................................................................................ 31

Objetivo General ................................................................................. 31 Objetivos Específicos .......................................................................... 31

Metodología de trabajo .................................................................................. 32 Situaciones didácticas ......................................................................... 33 Metodología de la indagación .............................................................. 35 Población de estudio ........................................................................... 37 Metodología de la aplicación de las situaciones didácticas ................. 41

2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA ........................................... 43 Registros de representación .......................................................................... 43 La complejidad cognitiva de la conversión ..................................................... 49

Representaciones semióticas de gráficas cartesianas ........................ 58 Análisis matemático del Concepto de Función de dominio real ........... 64 Dominio e imagen ............................................................................... 65 Clasificación de las funciones desde representación algebraica ......... 67

Funciones cuadráticas de dominio Real ........................................................ 77

3. DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS ...................................................... 87 Análisis a priori de la Situación 1. .................................................................. 87

Análisis Tarea 1- situación 1. (T1/S1) .................................................. 88 Análisis tarea 2 – situación 1. (T2/S1) ................................................. 91 Análisis Tarea 3 – situación 1. (T3/S1) ................................................ 94 Análisis tarea 4 - situación 1. (T4/S1) .................................................. 97

Análisis a priori de situación 2. ..................................................................... 100 Análisis tarea 1 – situación 2. (T1/S2) ............................................... 100 Análisis tarea 2 – situación 2. (T2/S2) ............................................... 103

XIV Título de la tesis o trabajo de investigación

Análisis tarea 3 – Situación 2. (T3/S2) .............................................. 106 Análisis a priori de la situación 3. ................................................................ 109

Análisis tarea 1 – situación 3. (T1/S3) ............................................... 109 Análisis tarea 2 – situación 3. (T2/S3) ............................................... 112

Rejilla de análisis de las situaciones didácticas. .......................................... 115

4. ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS ...................... 117 Categoría 1. Análisis descriptivo de los resultados de la aplicación de las

situaciones ............................................................................................................. 118 Análisis descriptivo de las respuestas de la Situación 1. (S1) ........... 118 Análisis situación 2. (S2) ................................................................... 133 Análisis situación 3. (S3) ................................................................... 141

Categoría 2. Análisis de las variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática. ....................................................................... 145

Análisis de la variable visual Concavidad .......................................... 145 Análisis de la variable visual Vértice ................................................. 153 Análisis de la variable visual Abertura ............................................... 162 Análisis de la variable visual Cortes con el eje � ............................... 165

Categoría 3. Análisis de las diferentes transformaciones necesarias para la objetivación de la función cuadrática...................................................................... 167

Expresar en lenguaje natural el comportamiento de una gráfica. ...... 167 Tratamientos realizados para transformar una expresión canónica a

una expresión polinómica ............................................................................... 168 Tratamientos realizados para transformar una expresión polinómica a

una expresión canónica .................................................................................. 168 Conversión entre la representación algebraica y la representación

gráfica cartesiana. ........................................................................................... 169 Conversión entre la representación gráfica cartesiana y la

representación algebraica. .............................................................................. 169 ANÁLISIS GENERAL .................................................................................. 169

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN . 173 ¿Qué implica el diseño de situaciones didácticas? ...................................... 173 Los referentes en la construcción de la función cuadrática desde una mirada

multirregistro .......................................................................................................... 175 Sugerencias y recomendaciones finales...................................................... 183

A. Anexo A: Situaciones didácticas ........................................................................ 185

B. Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones. ...................................... 207

Bibliografía .................................................................................................................. 227

Contenido XV

Lista de figuras Pág.

Figura 1: Porcentaje de estudiantes según niveles de desempeño en matemáticas,

grado 9º 2014 Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero. ........................................ 29

Figura 2: Características visuales de un gráfico tomado de Duval (2006, P.151) .......... 52

Figura 3: Tarea de comparación para analizar los vínculos entre las posibles variaciones

del contenido de la representación de dos registros, tomada de Duval (2006, p. 161). .. 57

Figura 4: Posibles transformaciones del Registro gráfico, tomada de (Duval 1988b, p. 6).

....................................................................................................................................... 63

Figura 5: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas

de Funciones Polinomiales. ............................................................................................ 67


de Funciones Racionales. .............................................................................................. 69

Figura 7: Ejemplo de la representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una

función Irracional. ........................................................................................................... 70


de Funciones Trigonométricas. ...................................................................................... 71

Figura 9: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de

Funciones Trigonométricas inversas. ............................................................................. 72

Figura 10: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una

Función Exponencial de dominio real. ............................................................................ 73


Función Logarítmica en base 10. ................................................................................... 74

Figura 12: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de

funciones creciente y decreciente................................................................................... 75


de Funciones simétrica ................................................................................................... 76

Figura 14: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de

funciones Par e Impar. ................................................................................................... 76


función periódica. ........................................................................................................... 77

Figura 16: Representación Gráfica cartesiana de una Función cuadrática de dominio

real. ................................................................................................................................ 79

Figura 17: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava

hacia abajo y se la ha variado la abertura. ..................................................................... 80

XVI Título de la tesis o trabajo de investigación

Figura 18: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava

hacia arriba y se la ha variado la abertura. ...................................................................... 80

Figura 19. Gráficos de la tarea 1, situación 1. ................................................................ 89

Figura 20: Gráficas de la tarea 2, situación 1. ................................................................ 92

Figura 21. Gráficas de la tarea 3, situación 1. ................................................................ 95

Figura 22: Gráfica de la tarea 4, situación 1. .................................................................. 98

Figura 23: Gráficas de la tarea 1, situación 2. .............................................................. 101




Figura 27. Gráficas de la tarea 2, situación 3. .............................................................. 113

Figura 28: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 1, (T1/S1). ............. 119

Figura 29: Ejemplo de Repuesta del estudiante de la figura 2, (T1/S1). ....................... 120


Figura 31. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 4, (T1/S1). ............. 122

Figura 32. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 5, (T1/S1). ............. 123


Figura 34. Ejemplo de la Repuesta de un estudiante de la figura 7, (T1/S1). ............... 125


Figura 36: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 1. ................ 129

Figura 37: Repuestas de los estudiantes Tarea 3. Situación 1. .................................... 130


Figura 39. Repuestas de los estudiantes Tarea 1. Situación 2. .................................... 135





Figura 44: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 1 y 2, (T1/S1). ... 146


Figura 46. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 7 y 8, (T1/S1). ... 147



Figura 49: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes del cálculo de los coeficientes b y

c (T4/S1) ....................................................................................................................... 150

Figura 50: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 2. ............. 151

Figura 51: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 2 – Situación 2. .............. 152

Figura 52: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 3 – Situación 2. .............. 153

Figura 53: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 1, 2 y 3 (T1/S1). .......... 154

Figura 54: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 4 y 5 (T1/S1). .............. 155

Figura 55: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 6 y 7 (T1/S1). .............. 156

Figura 56. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figura 8 (T1/S1). ...................... 156




Contenido XVII

Figura 60. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 2. .............160

Figura 61: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 3 – Situación 2. .............161

Figura 62: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 4 – Situación 1. .............163

Figura 63. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 3. .........163




Figura 67: Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 3. .........167

Contenido XVIII

Lista de tablas Pág.

Tabla 1: Ejemplos de trasformaciones (conversión y tratamiento) .................................. 47

Tabla 2: Conversión entre escritura algebraica de relaciones y gráficas cartesianas.

Tomada de Duval (1999, P. 56). ..................................................................................... 48

Tabla 3: Registro de representaciones semióticas de la función cuadrática. .................. 58

Tabla 4: Tres maneras de ver los gráficos cartesianos tomada de Duval (2004, p. 67) .. 59

Tabla 5: Variaciones visuales de la recta tomada de Duval (2004, p. 72) ....................... 61

Tabla 6: Ejemplos de gráficos cartesianos de relaciones entre variables. ....................... 65

Tabla 7: Diferentes representaciones de una función cuadrática de Dominio Real ......... 66

Tabla 8: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad positiva ............. 83

Tabla 9: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad negativa. .......... 84

Tabla 10: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1-

situación 1. ...................................................................................................................... 90

Tabla 11: Correspondencias esperadas por los estudiantes para la tarea 2- situación 1.94


situación 1. ...................................................................................................................... 97

Tabla 13: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 4 -

situación 1. ...................................................................................................................... 99


situación 2. .................................................................................................................... 102


situación 2. .................................................................................................................... 105


situación 2. .................................................................................................................... 108


situación 3. .................................................................................................................... 110


situación 3. .................................................................................................................... 114

Tabla 19. Rejilla de análisis de las situaciones didácticas. ........................................... 115

Tabla 20. Análisis de la figura 1, (T1/S1). ..................................................................... 119

Tabla 21: Análisis de la figura 2, (T1/S1). ..................................................................... 120

Tabla 22: Análisis de la figura 3, (T1/ S1). .................................................................... 121



Contenido XIX

Tabla 25: Análisis de la figura 6, (T1/S1). ......................................................................124



Tabla 28: Análisis de la Tarea 2, situación 1. ................................................................128





Tabla 33: Análisis de la Tarea 3, Situación 2. ...............................................................139


Tabla 35. Análisis de la Tarea 2, situación 3. ................................................................144

Introducción Por medio de este trabajo de indagación se buscó desarrollar una propuesta para la

enseñanza del concepto de función cuadrática, la cual parte del diseño de una secuencia

de tareas, su análisis a priori y a posteriori. Este trabajo tiene como finalidad replantear la

enseñanza de las funciones en la institución educativa Alberto Carvajal Borrero desde una

mirada multiregistro. Esta indagación surge desde la preocupación frente a los bajos

desempeños alcanzados por los estudiantes en las pruebas saber 9° y las pruebas internas

de la institución así como en las tareas y actividades realizadas en el aula, donde se hizo

evidente las dificultades de los estudiantes al enfrentarse a tareas que involucren gráficos

cartesianos y la articulación con expresiones simbólico algebraicas.

Estas tareas permitieron abordar la construcción del concepto de función cuadrática en el

grado noveno desde el enfoque semiótico cognitivo desarrollado por Duval (1988a, 1988b,

1999, 2004, 2006) y Pontón (2008, 2011). El diseño de las tareas se realizó con la finalidad

de brindar una alternativa a la enseñanza multirregistro de las representaciones gráfico

cartesiano y simbólico algebraico de las funciones, por medio de una estrategia

multirregistro la cual les permitirá a los estudiantes visualizar y analizar sobre el

comportamiento de la función cuadráticas en distintos sistemas de representación

(específicamente se consideró en este trabajo los registros gráfico cartesiano y simbólico

algebraico).

Para el desarrollo de este trabajo de indagación en el aula se identificaron las variables

visuales y variables categoriales distintivas de las representaciones gráfica cartesiana y

simbólico algebraica función cuadrática, de acuerdo con los requerimientos descritos por

Duval (1988b). Duval (1988a, 1988b, 1999) plantea las exigencias cognitivas que debe

tener un diseño didáctico para permitir a los estudiantes aprender a “ver” y “razonar”

diferentes representaciones desde lo que Duval denomino aprehensión global cualitativa.

Esta aprehensión hace énfasis en la importancia que tiene el cambio de registros de

22 Una mirada didáctica a los procesos de articulación de los registros gráfico


representación semiótica (conversión) el cual es necesario para la construcción

significativa del conocimiento de los estudiantes de los objetos matemáticos.

En el desarrollo de este trabajo de indagación se consideraron los planteamientos teóricos

desarrollados por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006, 2016), con el fin de encontrar

una alternativa diferente para que el docente pueda movilizar los conceptos relacionados

con la enseñanza - aprendizaje de la función cuadrática. Este marco teórico se consideró

en el diseño de la situación didáctica (análisis a priori y a posteriori), así como se tuvo en

cuenta elementos teóricos sobre el diseño de unas situaciones didácticas planteado por

Brousseau (1983, 1986, 1998, 2000). Desde el marco teórico semiótico-cognitivo se

definieron variables visuales y variables categoriales de las representaciones

semióticas -descritas por Duval (1999, p. 27) como “un sistema de signos: el lenguaje,

la escritura algebraica o los gráficos cartesianos que pueden ser convertidas en

representaciones “equivalentes” en otro sistema semiótico”-, gráficas cartesianas y

simbólicas algebraicas. Estas variables permitieron llegar a una interpretación de los

cambios en las diferentes representaciones y entre representaciones, analizando los

elementos fundamentales de la función cuadrática lo que posibilitó un mejor entendimiento

del tema por parte de los estudiantes.

Este trabajo de indagación de desarrolla bajo un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e

interpretativo planteado por Vasilachis (2006), la recolección de los datos se realizó por

medio de guías individuales en las cuales cada estudiante planteo las respuestas a las

tareas y la justificación de los procedimientos.

De acuerdo a las producciones de los estudiantes se pudo encontrar que la mayoría de

ellos 22 de 26 consiguieron realizar los procesos de conversión de entre las

representaciones semióticas gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas y viceversa, de

lo que se pudo concluir que las tareas son pertinentes para la movilización del objeto

matemático (función cuadrática). La discriminación de las variables visuales y

categoriales de la función cuadrática permitió no solo la caracterización de la función

cuadrática, también realizar los tratamientos en los sistemas gráfico cartesiano y simbólico

algebraico, desde los procesos de conversión entre estos registros de representación.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN 23

Con base en lo planteado por Duval (2004) se diseñó, aplicó y analizó una situación

didáctica para la enseñanza de la función cuadrática, desde variables didácticas de orden

semióticas y cognitivas.

Este informe final del trabajo de indagación se ha dividido en 5 capítulos los cuales se

describen a continuación:

Capítulo 1: En este capítulo se realiza el planteamiento y la contextualización del

problema, se plantea las interrogantes a resolver con el trabajo de indagación, los objetivos

que orientan el proceso de indagación y la caracterización de los estudiantes que

participaron en el trabajo indagativo.

Capítulo 2: En este capítulo se plantean los fundamentos de la teoría semiótica cognitiva

desarrollada por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006) y Pontón (2008, 2011), sobre la

cual se centra las bases teóricas del trabajo de indagación. También se establecen las

variables visuales y categoriales particulares de los registros de representación

semióticos gráfico cartesiano y simbólico algebraico de la función cuadrática.

Capítulo 3: En este capítulo se presentan la secuencia de tareas diseñadas para la

situación didáctica las cuales se implementaron durante el trabajo de indagación. También

se presentan las posibles soluciones esperadas en las tareas y se realiza un análisis de

los propósitos didácticos de cada una de ellas. Además, en este capítulo se especifican

las variables de diseño que se tuvieron en cuentas para la realización de esta secuencia

de tareas. Por último, se muestra la rejilla de análisis que se tuvo en cuenta para el análisis

de los resultados.

Capítulo 4: En este capítulo se presentan los resultados de las producciones de los

estudiantes, desde el análisis de los mismos a partir de la rejilla de análisis construida.

Desde la rejilla se definieron las siguientes categorías de análisis: Análisis descriptivo de

las producciones de los estudiantes, análisis de la aproximación o ¨comprensión¨ las

diversas variables visuales y variables categoriales y el análisis de las diferentes

trasformaciones (tratamientos-conversiones).



Capítulo 5: Se presentan las conclusiones del trabajo de indagación, con base en lo

desarrollado en el capítulo 4 y en la experiencia de aula durante el proceso de recolección

de los datos y su análisis desde los elementos del marco teórico seleccionado.


1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INDAGACIÓN

Este capítulo busca contextualizar al lector con los aspectos generales del trabajo de

indagación, planteamiento del problema, justificación, antecedentes, objetivos y

metodología de trabajo.

Planteamiento del problema

En el desarrollo del pensamiento variacional una de las herramientas más potentes, pero

menos utilizada, es la representación gráfica cartesiana de las funciones. Entendiendo esto

no como el hecho que no se realicen gráficas en la escolaridad sino como lo plantea Duval

(1988a), el cómo al limitar el trabajo de aula únicamente a una ubicación puntos en el plano

cartesiano y al trazado de un grafo con regla, se restringe el uso de las representaciones

gráficas a una aprehensión icónica que no trasciende y por ende no consigue que los

estudiantes visualicen en la gráfica las características de lo que representa.

Por medio de las gráficas cartesianas se pueden modelar muchas situaciones cotidianas,

por esta razón son usadas en áreas de conocimiento como por ejemplo en la física para

analizar la modelación de situaciones donde involucran lanzamiento de proyectiles o

movimientos acelerados. Con este trabajo de indagación se pretende lograr que los

estudiantes aprendan a visualizar las diferentes características de una función en la

representación gráfico cartesiana y como se articular las variables visuales de las

representaciones gráficas cartesianas con las variaciones que se presentan en la escritura

simbólica algebraica. Es decir, analizar cómo cambia una variable, visual o categorial, con

respecto a otra, visualizando la relación entre las dos variables, y la relación con las

trasformaciones que se presentan en las representaciones gráficas cartesianas y las



representaciones simbólicas algebraicas.

Se tiene como hipótesis del trabajo indagativo que con la implementación, interpretación y

análisis del cambio de las variables visuales de un sistema gráfico cartesiano, puede

ayudar a desarrollar en los estudiantes un pensamiento variacional, articulando con un

registro simbólico algebraico (variables categoriales) permitirá una comprensión del

objeto matemático.

Duval (2006, p. 150) afirma que cuando los estudiantes se enfrentan con un tipo de tarea

de reconocimiento cualitativo, para la mayoría de ellos se presenta una dificulta al intentar

resolver la discriminación de un valor categorial o visual que se les pide, utilizando la

práctica habitual del trazado y lectura de los valores numéricos de las gráficas. Esto se

puede constatar una vez que se han enseñado las funciones y se les pide relacionar una

expresión simbólica algebraica y su gráfica cartesiana, debido a que los estudiantes no

cuentan con las herramientas para articular estas dos representaciones. En estas

condiciones el autor nos propone la siguiente interrogante, ¿qué poder de visualización o

qué soporte intuitivo tienen las gráficas cartesianas para la mayoría de estudiantes? Según

Duval (2006), estas representaciones no tienen ningún valor didáctico si no se reconocen

las características visuales de las curvas notables en matemáticas, más allá de la lectura

de pares ordenados de números e identificación aislada de puntos.

De acuerdo con lo planteado anteriormente y a lo descrito por Duval (2006), se diseñó una

serie de tareas las cuales permitieron contestar la pregunta planteada por Duval 2006:

¿cómo llevar a los estudiantes a la discriminación de las características visuales de la

gráfica que son matemáticamente importantes para la conversión, es decir cómo hacer

explícitas las trasformaciones entre la representación gráfico cartesiano y la

representación simbólica algebraica y viceversa? En otras palabras, “¿cómo ver las

características semánticas de una expresión simbólica algebraica a través de las

características visuales cualitativas de una gráfica cartesiana dibujada y viceversa? Para

solucionar este problema debemos tener en cuenta la forma que el sistema semiótico de

representación gráfico cartesiano puede representar objetos matemáticos (las relaciones

y no sólo las funciones)” Duval (2006, p. 151).


Teniendo en cuenta la ley básica de funcionamiento semiótico: “Nada puede funcionar

como una representación fuera del sistema semiótico en el cual su significado toma

valor en oposición a otra representación dentro del sistema” Duval (2006, p. 151), y

contextualizando esta ley en el proceso de aprendizaje de función cuadrática, se hace

necesario que los estudiantes puedan identificar, con base en las variables categoriales

constantes de las expresiones simbólicas algebraicas, características visuales en el

sistema de representación gráfico cartesiano como: la concavidad, el vértice, el eje de

simetría entre otras.

La enseñanza del álgebra en el ámbito escolar puede estar acompañada de algunas

dificultades que presentan los estudiantes tanto en el entendimiento de las combinaciones

alfanuméricas como en entender lo que ellas representan; debido a que muchos

consideran que es difícil entender el cambio de los números por letras y que por tanto solo

es suficiente con operarlas aritméticamente, situación que no les permite ver y comprender

el lenguaje algebraico, como un elemento dinamizador del lenguaje de las matemáticas, lo

cual conlleva a no comprender ni contextualizar el verdadero significado de una variable,

de las expresiones equivalentes y de las operaciones con expresiones equivalentes. Como

consecuencia de estas prácticas docentes, los estudiantes son limitados a mecanizar

procesos sin comprender su significado ni establecer relaciones entre ellos, como lo

plantea Ballén (2012).

El MEN (1998) en los Lineamientos Curriculares establece que se debe proponer el

desarrollo del pensamiento variacional como uno de los logros para alcanzar en la

educación básica, lo cual presupone superar la enseñanza de contenidos matemáticos

fragmentados y compartimentalizados, para ubicarse en el dominio de un campo

conceptual, que involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados que

permitan analizar, organizar y modelar matemáticamente situaciones o problemas de

palabras, tanto de la actividad práctica del hombre, como de las ciencias y las propiamente

matemáticas donde la variación se encuentre como sustrato de ellas. Por lo tanto, por

medio de esta indagación nos proponemos articular los registros simbólicos algebraicos

con los registros gráficos cartesianos con el fin que el estudio de las variables visuales y

categoriales nos permitan tener un panorama más claro del comportamiento de la función

cuadrática y lo que requiere su aprendizaje.



El objeto de estudiar las representaciones de las gráficas cartesianas de la función

cuadrática y su articulación con el sistema de representación simbólica algebraica radica,

en que como plantea Duval (1988, p. 7), “la implementación de representaciones gráficas

como de todas las figuras permiten visualizar aquello que se estudia, y por tanto, posibilitan

tratamientos más “intuitivos”, más rápidos y más accesibles a quienes dominan menos los

registros de la escritura simbólica”. De acuerdo con esto se puede afirmar que uno de los

objetivos de este trabajo es identificar las características visuales distintivas de la función

cuadrática que permiten convertir una representación gráfica cartesiana a simbólica

algebraica y viceversa.

Con lo descrito anteriormente se puede plantear la siguiente pregunta para que se dé

respuesta con este trabajo de indagación.

¿Cuál es una secuencia didáctica diseñada para que los estudiantes de 9° de la institución

Alberto Carvajal Borrero de la ciudad de Cali, puedan identificar las características visuales

y categoriales las representaciones gráfica cartesiana y simbólica algebraica de la función

cuadrática y a partir de éstas realizar las trasformaciones (tratamientos y conversiones)?

Justificación

Debido a los bajos rendimientos de las pruebas saber 2014 obtenidos por los estudiantes

del grado 9º de la institución educativa Alberto Carvajal Borrero (ALCABO) en el área de

matemáticas, en el componente variacional y geométrica, ver figura 1, se hace imperioso

buscar formas alternativas de enseñanza de este componente con el fin de obtener un

mejor desempeño en las mismas.

Al efectuar una revisión de las preguntas realizadas en la prueba saber 9°(2014) en el área

de matemáticas y de acuerdo a el análisis de los docentes del área, se pudo concluir que

el rendimiento de los estudiantes puede mejorar si aprehenden a realizarán procesos de

visualización e interpretación de figuras y gráficas cartesianas. Por este motivo mediante

este trabajo se buscó diseñar e implementar una secuencia didáctica que permitiera a los

estudiantes desarrollar la capacidad de visualizar e interpretar una representación gráfica

cartesiana de la función cuadrática y a partir de ahí obtener sus características visuales.


Con base en estas características visuales y categoriales, la secuencia construye el

aprendizaje de las transformaciones de un registro simbólico algebraico a una

representación gráfica cartesiana y viceversa, esto se realiza para el caso de la función

cuadrática lo que Duval (1999) llama conversión.

Figura 1: Porcentaje de estudiantes según niveles de desempeño en matemáticas, grado 9º 2014 Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero.

Sobre la información presentada en la figura 1, la IE Alberto Carvajal en comparación con

los establecimientos educativos con puntajes promedio similares en el área y grado, el

establecimiento es, relativamente:

Fuerte en el componente Numérico

Muy débil en el componente Geométrico-métrico, representación y modelación

Muy fuerte en el componente Aleatorio

De acuerdo con la lectura de estos resultados presentados en la figura 1, donde el 75% de

los estudiantes del grado noveno obtuvieron un desempeño insuficiente o mínimo, la mayor

debilidad presentada por los estudiantes se encuentra en el análisis de la representación

cartesiana y algebraica y modelación de situaciones lineales y cuadráticas. En la reunión

de profesores del área de matemáticas (2014), se hizo evidente que los estudiantes del

grado 9º tienen un problema para ver e interpretar gráficos cartesianos y por lo tanto para



modelar situaciones con estos gráficos. Se podría decir, que se hace necesario replantear

la forma como se está llevando al aula de clases estos conocimientos, dado que se

considera como lo afirma Duval (1999): “la enseñanza de las matemáticas radica en la

enseñanza del contenido y no en la forma de representación”. Con base en esto se revisó

el currículo de la institución Alberto Carvajal Borrero se pudo notar que la enseñanza de

las funciones se ha limitado a la enseñanza de una serie de tratamientos de símbolos

algebraicos (en su mayoría mecánico y sin mucho sentido para los estudiantes) sin que

los estudiantes comprendan que son estas representaciones, por lo tanto no llegan a

comprender la interpretación de las diferentes representaciones gráficas cartesianas y

cómo relacionar estas representaciones gráficas cartesianas con los símbolos algebraicos

que están acostumbrados a tratar.

Lo anterior ratifica que el tema de la caracterización de las representaciones gráficas

cartesianas es de mucha importancia, debido a que aprender a ver las representaciones

gráficas cartesianas permite hacer una mejor interpretación de las mismas y por tanto

poder acceder de forma más fácil a la información que las gráficas contienen y a la

articulación con las expresiones gráficas cartesianas. Duval (1988b) y García (2011)

encontraron a través de sus estudios que la mayoría de los estudiantes no sobrepasan lo

que Duval (2006) llama aprehensión local por punteo y muy pocos consiguen llegar a la

aprehensión icónica y menos acceder por ellos mismos a una manera de aprehensión

global cualitativa correspondiente a la visualización matemática (ver tabla 4). Lo que

conlleva a que los estudiantes se limiten a la aplicación de una simple tarea de codificación,

la cual en su mayoría los estudiantes del grado 9° de la institución Alberto Carvajal Borrero

realizan mal, debido a que sumado a sus deficiencias para poder leer y decodificar una

representación gráfica cartesiana, presentan dificultades en la realización de los

tratamientos numéricos, por ejemplo:

El cálculo de un binomio cuadrado, donde elevan al cuadrado los dos

términos sin tener en cuenta la solución de productos notables.

Al resolver operaciones en las cuales se tiene un signo de agrupación, donde

no se aplica bien la propiedad distributiva.

En la aplicación de la potenciación donde multiplican la base por el

exponente.


y otros errores de orden algebraico que se han podido identificar a partir de

evaluaciones del área de matemáticas.

Debido a estas dificultades presentadas por los estudiantes se considera necesario

replantear la enseñanza de la función de tal manera que se pueda disminuir este tipo de

errores y significar las transformaciones entre representaciones aplicando las propiedades

que lo permiten. Para ello se utilizará el marco teórico planteado por Duval (1988a, 1988b,

1999, 2004, 2006, 2016) puesto que se considera que es necesario articular los registros

gráficos cartesianos de la función cuadrática con los registros simbólicos algebraicos, con

el fin de darles a los estudiantes herramientas para aprendan a observar los cambio de las

variables visuales de la gráfica cartesiana, al razonar sobre los cambios que producen

en las variables categoriales de las expresiones simbólicas algebraicas de la función

cuadrática. De esta manera, construir una comprensión del comportamiento variacional en

varios registros logrando que los estudiantes interioricen el concepto matemático, con lo

cual se espera reducir los errores en los cuales incurren los estudiantes.

Objetivos

Los objetivos planteados para el trabajo de indagación son los siguientes:

Objetivo General

Identificar, analizar y caracterizar la enseñanza de la función cuadrática a partir de sus

posibles transformaciones entre las representaciones semióticas gráficas cartesianas y las

simbólicas algebraicas.

Objetivos Específicos

1. Identificar el papel que juegan las trasformaciones: la conversión y el tratamiento de

representaciones semióticas en el aprendizaje de la función cuadrática.

2. Identificar las características visuales distintivas de la representación gráfica

cartesiana de la función cuadrática que permiten convertir en una representación

simbólica algebraica y viceversa.



3. Diseñar, aplicar y analizar una situación didáctica que permita describir

sistemáticamente las variables visuales y categoriales a tomar en cuenta para la

interpretación global de funciones cuadráticas.

4. Identificar las reglas de correspondencia semiótica entre el registro de la

representación gráfica cartesiana y la representación simbólica algebraica para la

construcción de las funciones cuadráticas.

Metodología de trabajo

Esta propuesta de indagación, está pensada desde el marco teórico semiótico cognitivo

desarrollado por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006, 2016), y se consideró en la

metodología elementos de la teoría de situaciones didácticas planteada por Brousseau

(1983, 1986, 1998, 1999, 2000, 2003) en la cual se tiene que la conceptualización de la

estructura didáctica está conformada por tres elementos en constante interacción: alumno,

maestro y saber. Este estudio se hará a través del diseño de una situación didáctica, la

cual será el resultado de un trabajo conceptual, centrada en el análisis de las variables

visuales y categoriales que deben tenerse en cuenta en el proceso de enseñanza del

concepto de función cuadrática.

Brousseau (2003, p.2) plantea que las condiciones de una de las utilizaciones particulares

de un conocimiento matemático se consideran como partes constitutivas de un sistema

llamado “situación”. De acuerdo con el autor “una situación es: por una parte, un juego

hipotético (que puede ser definido matemáticamente) y que puede manifestarse por las

decisiones (respecto) a los efectos observables (de las acciones) de un actuante sobre un

medio. Por otra parte, está destinado a interpretar la parte de las decisiones

observables de un sujeto real que están incluidas en su relación con un conocimiento

matemático determinado... Una situación es caracterizada en una institución por un

conjunto de relaciones y papeles recíprocos de uno o de varios sujeto(s) (alumno, profesor,

etc.) con un medio, apuntando a la transformación de este medio según un proyecto. La

situación permite «comprender» las decisiones del profesor y los alumnos, erronas o

convenientes”


Situaciones didácticas

La teoría de situaciones didácticas planteada por Brousseau (1983, 1986, 1998, 1999,

2000, 2003) nos indica que las tareas que van a ser llevadas al aula pueden ser de dos

tipos:

Las Situaciones a-didácticas están definidas por Brousseau (2003, p.3) como:

“De acción: Es una situación donde el conocimiento del sujeto se manifiesta

solamente por decisiones, por acciones regulares y eficaces sobre el medio y donde

es insignificante para la evolución de las interacciones con el medio que el actuante

pueda o no identificar, aclarar o explicar el conocimiento necesario”

“De Formulación: Es una situación que pone en relación al menos dos actuantes

con un medio. Su éxito común exige que uno formule el conocimiento en cuestión

(bajo una forma cualquiera) con la intención del otro que lo necesita para convertirlo

en decisión eficaz sobre el medio. La formulación consiste para esta pareja de

actuantes en utilizar un repertorio conocido para formular un mensaje original, pero

la situación puede conducir a modificar este repertorio. Podemos deducir

teóricamente y verificar experimentalmente que una formulación «espontánea» de

conocimiento exige que este conocimiento exista previamente como modelo implícito

de acción en los dos actuantes”.

“De validación: Una situación de validación es una situación cuya solución exige

que los actuantes establezcan conjuntamente la validez del conocimiento

característico de esta situación. Su realización efectiva depende pues también de la

capacidad de los protagonistas de establecer juntos explícitamente esta validez. Ésta

se apoya en el reconocimiento por todos de una conformidad con una norma, de una

constructibilidad formal en un cierto repertorio de reglas o de teoremas conocidos,

de una pertinencia para describir elementos de una situación, y\o de una adecuación

verificada para resolverla. Implica que los protagonistas confronten sus opiniones

sobre la evolución del medio y se pongan de acuerdo según las reglas del debate

científico.



Las Situaciones didácticas están definidas por Brousseau (2003, p.2) como:

“«Una situación modela lo que está en juego y las posibilidades de decisión de un

actuante en un determinado medio. Se elige de tal manera que la estrategia de

resolución no pueda aplicarse sino gracias a un determinado conocimiento

matemático, la aparición de esta decisión sin el uso por el actuante del conocimiento

contemplado es altamente improbable. El método que consiste en definir un objeto

matemático por un conjunto de relaciones que él es el único en satisfacer es clásico.

La única diferencia aquí es que el conjunto de las relaciones es un «juego» en sentido

matemático. La determinación de un conocimiento matemático por un problema

donde este conocimiento es la solución es un método tan antiguo como las

matemáticas. El TSDM es un teorización simplemente de este método. Existen

numerosas situaciones relativas a un mismo conocimiento. Del mismo modo,

numerosos conocimientos pueden intervenir en una única decisión. Uno de los

objetos de la teoría de las situaciones didácticas en matemáticas (T.S.D.M) es

clasificar las situaciones y por consiguiente los conocimientos en función de sus

relaciones y posibilidades de aprendizaje y enseñanza que ofrecen.»”

De acuerdo con lo planteado anteriormente el trabajo de indagación cubre los aspectos de

una situación didáctica (a didáctica) debido a que este se centra en la construcción del

conocimientos a partir de una serie de tareas las cuales requieren del conocimiento previo,

donde intervienen varios actores (alumnos, maestros) y sobretodo la actividad de

interpretar desde las decisiones observables de los estudiantes que están incluidas en su

relación con un conocimiento matemático determinado desde diferentes sistemas de

representaciones.

Para el diseño de las tareas, se tuvo presente elementos que plantea Brousseau (1986)

sobre el diseño didáctico. De acuerdo con esto se diseñaron tareas que permitieron

emerger el conocimiento en ámbitos escolares, considerando las relaciones, las

transformaciones y las reorganizaciones de las variables didácticas, lo cual permitió validar

desde el marco teórico la aceptación y construcción del conocimiento matemático.

Además, se concibe los espacios de clase de la indagación como ámbitos de producción

y de tomas de posición con relación al aprendizaje, a la enseñanza, al saber y todo lo que

la escuela permite producir. La secuencia consideró incorporar sólo una variable didáctica


por tarea, con el fin de ir avanzando en la apropiación y congruencia entre los dos sistemas

de representación en los que se propone el inicio de la construcción de la función

cuadrática.

A la vez, Brousseau (1998) postula que para todo conocimiento matemático es posible

construir una situación didáctica, que puede comunicarse sin apelar a dicho conocimiento

y para la cual se puede determinar estrategias didácticas óptimas para el aprendizaje.

Además, el autor plantea que la concepción de la matemática como producto de la cultura

permite concebir la diferencia entre el conocimiento que se produce en una situación

particular y el saber estructurado y organizado a partir de sucesivas interpretaciones,

generalizaciones, puestas en discusión, interrelaciones y descontextualizaciones de las

elaboraciones que son producto de situaciones específicas. Resulta entonces que no se

puede acceder al saber matemático si no se dispone de diseño didácticos que involucren

adecuadas variables didácticas, en una construcción teórica que abarque dichas

relaciones entre las variables, en términos de Brousseau: “un medio sin interacciones

didácticas es claramente insuficiente para inducir en el alumno todos los conocimientos

culturales que se desea que él adquiera” (1986, p.20).

Se implementó un enfoque cualitativo de tipo descriptivo e interpretativo como lo plantea

(Vasilachis, 2006, p. 21):

“En un análisis cualitativo es fundamentalmente necesario dar cuenta de cada uno

de los pasos del proceso de investigación: tanto de la selección como de la

recolección de los datos, de su transcripción como de su análisis, de las decisiones

como de las justificaciones del muestreo, de la codificación como de las relaciones

entre conceptos, de la adaptación y/o modificación como de la creación de teoría”

Metodología de la indagación

De acuerdo con lo descrito Vasilachis (2006), este trabajo de indagación centra el análisis

en de los procesos presentados en las producciones de los estudiantes y la interpretación

de estas producciones de acuerdo al marco teórico seleccionado. Se describe como

emergen y se desarrollan los conceptos matemáticos a parir de la situación didáctica

planteada, desde la perspectiva semiótica cognitiva. Se utilizan tablas para cuantificar las



justificaciones o respuestas similares, con el fin visualizar patrones comunes que faciliten

la descripción de los procesos utilizados por los estudiantes y poder explicar las

características de los datos suministrados.

En el trabajo se centrará el análisis de las producciones en los procesos y no en la

cuantificación de los resultados, lo que permitirá verificar las hipótesis planteadas en este

trabajo de indagación. La descripción detallada de los procesos utilizados por los

estudiantes posibilitará identificar los elementos semióticos y cognitivos que se tendrán en

cuenta para la enseñanza de las funciones cuadráticas a partir de la articulación entre

diferentes representaciones semióticas.

Se consideró algunos elementos de la Teoría de las Situaciones didáctica TSD de

Brousseau (2000), en donde se realizó la indagación en el aula de los procesos cognitivos

– semióticos que permitieron la comprensión de las representaciones cartesiana y

simbólica de las funciones cuadráticas. En esta metodología se distinguieron durante la

ejecución del trabajo dentro y fuera del aula de clases las siguientes etapas:

Primera Etapa

Se puede denominar de revisión bibliográfica, la cual tiene como propósito establecer los

elementos teóricos generales y los conocimientos didácticos relativos al tema en estudio,

que deben ser atendidos para la construcción de la situación didáctica. En este caso, se

consideraron principalmente los trabajos de Duval (1998a, 1988b, 1999, 2016), Pontón

(2008, 2011), Brousseau (1983, 1986, 1998), considerando:

Revisión bibliográfica en torno a la naturaleza del concepto de la función cuadrática

(representación gráfica cartesiana y representación simbólica algebraica).

Diseñar y aplicar una prueba exploratoria para identificar las dificultades que

presentan los estudiantes para identificar e interpretar representaciones gráficas

cartesianas de la función cuadrática.

Realizar una revisión de textos escolares para tener una noción de cuál es la

propuesta de enseñanza que realiza los textos del tema función cuadrática.


Indagación en trabajos realizados sobre funciones cuadráticas: Representaciones,

con el fin de identificar los diferentes errores que surgen en la enseñanza del objeto

matemático

Indagación sobre las representaciones del concepto de funciones cuadráticas

desde sus organizaciones semióticas (visuales y categoriales)

Segunda Etapa

En esta etapa se diseñó y aplicó una situación didáctica.

Identificación y elección de las variables iniciales de comando, que permiten el

diseño de la situación, orientándola de tal manera, que permita la evolución en el

aprendizaje de los estudiantes. Es decir, la identificación de las variables visuales

y categoriales de las representaciones cartesiana y simbólica de la función

cuadráticas

Diseño de la situación didáctica: tareas y consignas para cada una desde las

variables definidas.

Trabajo de Campo en las aulas. Aplicación y toma de registros de la situación

didáctica diseñada.

Tercera Etapa

En esta etapa se organizó y sistematizó el conjunto de datos recolectados a lo largo de la

experimentación, es decir, en las observaciones realizadas al implementar la situación

didáctica, para lo cual se establecieron las categorías de análisis, se agruparon las

repuestas por similitud y se realizó el análisis de los resultados.

Población de estudio

Esta indagación se realizó en la institución educativa Alberto Carvajal Borrero de la ciudad

de Cali, con 26 estudiantes del grado noveno de educación básica. La población de la

indagación se presentará con detalle en la siguiente caracterización de estudiantes 9-1.



Caracterización de la Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero. (I.E.

ALCABO)

A continuación, se presentan los datos de la población de estudio empezando por una

breve reseña de la institución educativa hasta el grado donde se aplicaron los instrumentos

de recolección delos datos de la indagación.

Reseña histórica

La institución educativa Alberto Carvajal Borrero se creó mediante resolución número 1703

del 3 de septiembre del 2002, aclarada parcialmente por la resolución 2355 del 22 de

noviembre del 2002 emanadas de la secretaria de educación departamental del Valle del

Cauca, mediante la cual se ordena la fusión del Colegio Departamental “Alberto Carvajal

Borrero” con las Sedes de Primaria “Abraham Domínguez Vásquez” y “Cacique de

Guatavita”.

Su sede central de Bachillerato se encuentra en la Carrera 14 No. 58-00 de la actual

nomenclatura urbana de Cali, en el Barrio “El trébol” de la Comuna 8 de esta ciudad.

(Datos tomados de la secretaria de la Institución Educativa Alberto Carvajal Borrero, 2016)

Misión

La Institución Educativa “Alberto Carvajal Borrero”, de carácter oficial, ofrece a sus

estudiantes desde preescolar hasta la educación media, una formación Socio crítica y

técnica, directamente o mediante convenios interinstitucionales de formación, que les

permita desempeñarse en el ámbito laboral y académico a nivel superior, siendo agente

de cambio de su vida y de su entorno social. (Manual de convivencia Institución Educativa

Alberto Carvajal Borrero, 2016)

Caracterización de los Estudiantes.

La institución cuenta con estudiantes desde los cinco años en transición hasta estudiantes

con 19 años en la media técnica, el 54% de nuestros estudiantes son mujeres y el 46%

son hombres, aunque en la sede Cacique de Guatavita se brinda la educación inicial a


estudiantes de tres y cuatro años (primera infancia), a través del convenio con la fundación

para el desarrollo de la educación (FUNDAPRE).

Un 50% de los estudiantes residen en la comuna ocho, donde se encuentra ubicada la

institución, el 20% residen en la comuna 13, y el 15% residen en la comuna 7 y el resto de

otras comunas con porcentajes muy bajos. (Datos tomados de la secretaría de la I. E.

Alberto Carvajal Borrero, a partir de las fichas de seguimiento de los estudiantes, (2016)).

Aproximadamente un 60% de los estudiantes tienen un grupo familiar compuesto por dos

a cuatro miembros, un 30% de los estudiantes cuentan en su núcleo familiar por cuatro a

seis miembros, y solo un 10% viven en un núcleo familiar compuesto por más de siete

personas.

En lo relacionado con el parentesco de las personas que viven es de notar que existe

también una cantidad considerable de familias mono parentales con madres, abuelas y

tías cabezas de familia.

En lo relacionado con el nivel de escolaridad de los integrantes del núcleo familiar un 70%

de los padres (papá y mamá) realizaron la secundaria completa.

También se tienen estudiantes oriundos de otros departamentos del país como del Cauca,

Nariño, eje cafetero, Chocó etc.

En lo relacionado con los servicios de salud, un 80% poseen afiliación a una Entidad

Promotora de Salud (EPS) o pertenecen al Sistema de Identificación de Potenciales

Beneficiarios de Programas Sociales (SISBÉN), pero hay un 15 % que no tienen ninguna

cobertura en salud y de un 5 % que se desconoce si tiene servicio de salud.

De acuerdo con los datos recolectados en las reuniones de padres de familia por los

directores de grupo, se puede percibir que el ambiente hogareño es poco agradable para

muchos de los jóvenes, debido a que sus padres discuten y pelean con frecuencia entre

ellos o en otras ocasiones las dificultades están entre hermanos, ambiente que riñe con

las necesidades de privacidad del adolescente y favorece comportamientos, aislamiento y

disminución del nivel de cohesión en las familias. Para muchos los amigos son un escape

y para otros su objetivo primordial ya que desean pertenecer y ser aceptados por un grupo.



Entre los principales riesgos a los que se encuentran sometidos los estudiantes de la

Institución se tienen: (de acuerdo con los datos de la secretaria de la I. E. Alberto Carvajal

Borrero, 2016)

• Desintegración familiar y alto nivel de violencia intrafamiliar.

• Falta de tolerancia en la comunidad educativa.

• Inseguridad en las zonas cercanas a la institución.

• Proliferación de pandillas juveniles con nexos al interior de la institución.

• Alto riesgo de incurrir en consumo y distribución de sustancias psicoactivas.

Caracterización de los estudiantes Grado 9-1

Los estudiantes del grado 9-1 de la institución educativa Alberto Carvajal Borrero tienen

edades entre 14-19 años. De acuerdo a las reuniones de profesores de los grados 8 y 9

(datos tomados de actas de reunión agosto y noviembre de 2016) se reporta que un

porcentaje alto de los estudiantes presentan problemas de atención, lo cual se evidencia

en la realización de actividades, la disposición para realizar de manera concentrada las

actividades propuestas en las clases y las relaciones con sus compañeros. Los estudiantes

muestran poca capacidad de escucha, lo cual se evidencia en la falta de respeto a las

intervenciones de sus compañeros y a la poca de atención en clase.

De igual manera, los maestros reportan que un alto porcentaje de estudiantes presentan

apatía al trabajo realizado en clase y poca responsabilidad y compromiso frente al trabajo

que deben realizar en sus casas. Lo anterior, se refleja en los bajos promedios de

desempeño académico especialmente en las áreas de matemáticas, ciencias naturales e

inglés, que se presentan a través de los informes presentados por los docentes del área

de matemáticas al final de cada periodo (agosto y noviembre 2016).

La mayoría de los estudiantes pertenecen a familias disfuncionales, los padres de familia

en un gran porcentaje, no tienen estabilidad laboral, viven de la informalidad por lo cual

algunos de los estudiantes carecen de seguridad social, ya sea porque los padres no tienen


un trabajo fijo o porque las entidades encargadas no les han asignado la afiliación al

SISBEN. (Datos tomados de la secretaría de la I. E. Alberto Carvajal Borrero, a partir de

las fichas de seguimiento de los estudiantes, (2016)).

Es creciente el consumo de sustancias psicoactivas (SPA), lo cual se presenta cada vez a

más temprana edad (12-13 años), lo cual puede ser un factor determinante en el

incremento de la violencia escolar, la apatía para las actividades académicas, deterioro de

la salud mental y física, pérdida de la autoestima y la ausencia de un proyecto de vida.

Metodología de la aplicación de las situaciones didácticas

La aplicación de las situaciones se realizó de manera individual con lo cual se buscaba

conocer la forma de afrontar cada estudiante las diferentes tareas, para la realización de

las tareas se utilizaron 6 sesiones de 2 horas de clases (4 horas de clase por cada

situación didáctica). En un segundo momento se organizaron parejas (grupos de trabajo)

para socializar y discutir las producciones individuales.

Para aplicar cada una de las situaciones se utilizó la siguiente metodología:

Los estudiantes se ubicaron en parejas con el propósito que realicen un trabajo

colaborativo.

Se realizó la lectura individual de la tarea a desarrollar

Los estudiantes resolvieron la tarea de acuerdo al ejemplo que se presenta al inicio

de la tarea.

En caso de que el enunciado no fuese entendido por los estudiantes, el docente

realizó una lectura del enunciado y despejaron las dudas con referencia al mismo.

El docente realizó intervenciones individuales y explica lo que requiere la tarea y

ejemplifica si es necesario.

El docente indagador recolectó las producciones de los estudiantes y realizó los

tratamientos de datos recolectados haciendo una agrupación y análisis de

respuestas similares.



Se realizó el análisis de los datos recolectados desde el marco teórico de la teoría

semiótica cognitiva desarrollada por Duval (1988a, 1988b, 1999, 2004, 2006, 2016) y se

realiza el informe final con el reporte de los de resultados.

2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA

Registros de representación

La semiótica o semiología es considerada una ciencia que trata de los sistemas de

comunicación dentro de las sociedades humanas y que se ocupa del estudio de los signos;

entendiendo por signo todo aquello que representa a otra cosa (Pontón, 2011). Desde el

punto de vista de las ciencias cognitivas (Duval, 1999), las representaciones son

consideradas como cualquier noción, signo o conjunto de símbolos (externos o internos)

que significan algo del mundo exterior o de nuestro mundo interior, según Álvarez (2012,

P. 15).

“Es posible representar en nuestra mente algo que percibimos con nuestros sentidos,

algo que vemos, olemos o sentimos, como también algo que nos imaginamos, Estas

representaciones, son construidas tanto por científicos (teoría científica) como por

cualquier otro sujeto (teoría intuitiva acerca del mundo)”.

Con respecto a lo anterior, Duval (1999, p. 15) argumenta que las representaciones

mentales y las representaciones semióticas no pueden oponerse como dominios

totalmente diferentes, dado que el desarrollo de las representaciones mentales se efectúa

como una interiorización de las representaciones semióticas, de la misma manera que las

representaciones mentales son una interiorización de las representaciones semióticas.

De acuerdo a lo planteado por Duval (1999, p 14), la semiosis es la aprensión o la

producción de una representación semiótica, y noesis los actos cognitivos para la

aprehensión conceptual de un objeto. De igual manera, el autor afirma que las



representaciones no solo son indispensables para fines de comunicación, sino que son

necesarias para el desarrollo de la actividad matemática, esto debido a que posibilitan

efectuar transformaciones sobre los objetos matemáticos. Dichas transformaciones

dependen directamente del sistema de representación utilizado. Duval (1999, p 15) plantea

que no hay noesis sin semiosis; debido a que es la semiosis la que determina las

condiciones de posibilidad y ejercicio de la noesis.

Hoy en día se considera que no es posible estudiar los fenómenos relacionados con el

conocimiento sin recurrir a la noción de representación: “las transformaciones matemáticas

no pueden efectuarse independientemente de un sistema semiótico de representación,

además esta función de transformación solo la pueden cumplir las representaciones

semióticas y no las representaciones mentales; por lo tanto, la utilización de

representaciones semióticas es primordial para la actividad matemática y parece serle

intrínseca” (Duval 1999, p 14). De acuerdo con esto se puede afirmar que la pluralidad de

sistemas semióticos de representaciones permite diversificar las representaciones de un

mismo objeto y de esta forma, amplía las capacidades cognitivas de los sujetos y por tanto,

sus representaciones mentales.

Duval (1999) nos plantea que para que exista comprensión en las matemáticas se debe

hacer distinción entre el objeto de estudio y su representación; por ejemplo, en los números

racionales, es muy común que los estudiantes los asocien con su representación numérico

fraccionaria y se deja de lado otras representaciones como la representación decimal o la

mixta, tomando éstas como un sistema de numeración diferente. Desde la perspectiva

semiótica cognitiva es esencial no confundir los objetos matemáticos; -los números, las

funciones, las rectas etc.-, con sus representaciones, -las representaciones decimales o

fraccionarias, los símbolos, los gráficos cartesianos y los trazados de las figuras-. Se debe

tener en cuenta que un mismo objeto matemático puede darse a través de

representaciones muy diferentes. Por tanto, es el objeto representado lo que lo importa y

no sus diversas representaciones aisladas, sin articular o coordinar (Deledicq et al, 1979,

citado por Duval, 1999).

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DE LA PROPUESTA 45

Toda confusión entre el objeto y su representación provoca, en un plazo más o menos

amplio, una pérdida en la comprensión: los conocimientos adquiridos se hacen

rápidamente inutilizables fuera de su contexto de aprendizaje, sea por no recordarlos, o

por que permanecen como representaciones “inertes” que no sugieren ninguna

transformación (Duval 1999, p 13). Dentro del proceso de enseñanza de los temas:

polinomios de grado 2 y función cuadrática en los grados 8 y 9 de educación básica, es

muy común observar que los estudiantes no relacionen la función cuadrática con su

representación algebraica (expresión polinómica) asumiendo que son dos temas distintos

e inconexos; por lo tanto, se denota que no hay un proceso de objetivación que le permita

a los estudiantes correlacionar las dos representaciones, como un mismo objeto de

estudio.

Muchos autores coinciden en afirmar que el problema de la distinción necesaria, entre un

objeto de estudio y su representación es un problema, dado que es muy común que los

estudiantes confundan el objeto matemático con alguna de sus representaciones y tomen

las otras como sistemas aislados e inconexos. García (2011) hace referencia a este

problema al mencionar que la confusión entre un objeto de estudio y su representación

conduce a una especie de aprisionamiento del objeto por el registro donde se ha producido

su representación y difícilmente podrá aplicarse fuera del contexto donde ha sido

generado, esto trae consecuencias graves para el ejercicio de las matemáticas porque la

fuerza de esta ciencia radica en la amplia aplicabilidad de sus conceptos.

Los registros representación semiótica definidos por Duval (1999, p. 29) deben cumplir las

tres actividades cognitivas inherentes a toda representación las cuales son:

“En primer lugar, construir una marca o conjunto de marcas perceptibles que sean

identificables como una representación de alguna cosa en un sistema determinado,

luego, trasformar las representaciones de acuerdo con las únicas reglas propias al

sistema, de modo que se obtengan otras representaciones que puedan construir una

ganancia de conocimiento en comparación con las representaciones iniciales. Por

último, convertir las representaciones producidas en un sistema de representaciones



en otro sistema, de manera tal que éstas últimas permitan explicar otras

significaciones relativas a aquello representado”.

En este sentido, para Duval (2004) la originalidad y la potencia del pensamiento

matemático vienen de aquellas interacciones entre la variedad de los registros semióticos

y sobre las posibilidades específicas de transformación que son propias a cada sistema o

las que son propias a cada pareja de sistemas. Desde los planteamientos del autor, las

transformaciones posibles de una representación semiótica son de dos tipos: tratamientos

y conversiones.

Un tratamiento T: es una transformación realizada a una representación semiótica

(RS) únicamente interna en un mismo registro semiótico de representación RSR,

usando solamente las reglas propias de funcionamiento representacional del

registro semiótico de representación. Un tratamiento T sería una transformación

interna al sistema o al registro: una transformación intrasistémica o intrarregistro;

pero T no se aplica propiamente al RSR de partida sino a cada RS de ese registro

y produce otra RS, que también es producida por el mismo RSR. Pontón (2011, p.

71).


Tabla 1: Ejemplos de trasformaciones (conversión y tratamiento) Conversión: Lenguaje

natural –representación

simbólica algebraica

Conversión: representación simbólica algebraica-

representación gráfica cartesiana

Tratamiento

Si se lanza una pelota hacia arriba con una

velocidad inicial de 96 pies/segundo, entonces su altura después de t

segundos es: � = 96� − 16�� (Pies).

Determine la altura máxima que alcanza la

pelota.

� = 96� − 16��

En la representación gráfica se pueden observar que la altura máxima de la pelota corresponde al vértice de la parábola con coordenadas:

V = (3,144)

� = 96� − 16�� si completamos cuadrados

se obtiene la expresión canónica en la cual se

puede observar el vértice de la parábola

� = −16(�� − 6�) � = −16(�� − 6� + 3�−3�) � = −16(� − 3)� + 144

donde el vértice será:

V = (3,144)

La conversión C: es una transformación externa de un sistema o registro a otro,

es decir una transformación interregistro o trans-registro. C no se aplica

propiamente al RSR de partida, sino que convierte a una representación semiótica

RS de un objeto en otra representación semiótica RS del mismo objeto pero en un

registro semiótico diferente. En este caso, algunas propiedades del objeto que

pueden ser explícitas en una representación pueden no serlo en la otra, es decir,

el contenido de cada representación cambia en tanto cambie el sistema en el que

se produce. Pontón (2011, p 71).

x

y



y

x

x

y

Tabla 2: Conversión entre escritura algebraica de relaciones y gráficas

cartesianas. Tomada de Duval (1999, P. 56).

I II III I III

Sombrear

III II Escoger la expresión

1. El conjunto de puntos tiene una abscisa positiva

� > 0

67% 51%

2. Que tiene una ordenada negativa

� < 0

67% 61%

3. Cuya abscisa y ordenada son del mismo signo

�� ≥ 0

57% 25%

4. Cuya abscisa y ordenada son de signos contrarios

�� ≤ 0

35%

5. Cuya abscisa es superior a la abscisa (estando trazada la recta y=x)

� > �

38% 35%

y

y

x

x

y

x


x

x

x

y

6. Cuya abscisa es superior a la abscisa (sin estar trazada la recta y=x)

� > �

19% 25%

7. Cuya ordenada es igual a la abscisa

� = �

% 35%

8. Cuya ordenada es opuesta a la abscisa

� = −�

% 35%

Mediante la tabla 2, Duval (1999, P. 56) muestra los resultados obtenidos en la indagación

realizada en 1988 con estudiantes del grado décimo. Los estudiantes debían realizar la

tarea de conversión, que consistía en escoger entre varias expresiones algebraicas

(� = �,� > �,� > 0,� = −�,�� ≤ 0… ) la que correspondiera al área sombreada en el

gráfico cartesiano. Con relación a esta tarea el autor concluye que este tipo de conversión

de registros genera en los estudiantes una serie de problemas “causados por la no-

congruencia de la conversión, lo que puede agravarse por el desconocimiento de alguno

de los registros de representación” Duval (1999, p57), de acuerdo con esto se hace

necesario abordar estas dificultades con el fin de poder identificarlas y plantear una

secuencia de tareas que permitan a los estudiantes superarlas.

La complejidad cognitiva de la conversión

Cuando se realiza un cambio en las representaciones de objetos matemáticos muchos

autores coinciden en afirmar que se presenta un salto cognitivo, tal y como nos lo explica

Duval (2007, p. 10).

y

y



“la palabra "conversión" respeta la complejidad cognoscitiva de este paso: no

reversibilidad, ausencia de reglas de codificación, variación de la "distancia

cognoscitiva" con arreglo a la naturaleza de ambos registros de representación entre

los cuales el paso se efectúa. Estas características cognoscitivas explican la

irreductibilidad, para enterándose de él (ella), de la diversidad de los registros de

representaciones utilizados en los pasos matemáticas”

Debido a la complejidad cognitiva para realizar dicho cambio de registros semióticos, y a

la ausencia de reglas de codificación, como si existen para realizar los tratamientos, esto

se debe a que cada registro de representación tiene sus propias reglas internas de

correspondencia.

La conversión no se reduce a una codificación. Si se considera la regla cartesiana de

codificación sería natural e inmediato trazar cualquier representación gráfica cartesiana a

partir de una expresión algebraica de una función o las soluciones de una ecuación o una

inecuación, lo cual cognitivamente no es un asunto de codificación, por lo tanto, no es ni

natural ni inmediato. Se puede observar que esta regla asocia puntos y pares de números,

lo que permite sólo una percepción numérica selectiva (puntual), y permite “leer” una

representación gráfica. Duval (2006) plantea que Sin embargo, usar esta regla para trazar

cualquier representación gráfica cartesiana, no lleva a visualizar las características

visuales que corresponden a las características categoriales de la expresión simbólica

algebraica convertida, porque estas características visuales son cualitativas y globales, y

no numéricas y locales, como si lo es la ubicación de puntos sin realizar una interpretación

global de la representación gráfica cartesiana: “Para poner en evidencia esta laguna

cognitiva basta con proponer una tarea de elección en la cual la habitual dirección de

conversión, que se enfoca sobre los aspectos numéricos mediante el trazo y la lectura, se

invierte”. Duval ((1996), citado por Duval (2006, p. 150)).

Para Duval (2006, p. 157) la actividad matemática debe satisfacer dos requisitos que

entran en conflicto:


I. Los objetos de conocimiento (los números, las funciones y sus

propiedades...) no son accesibles físicamente, a través de evidencias

sensoriales directas o mediante el uso de instrumentos. La única forma de

acceder y

trabajar con ellos es a través de signos y representaciones semióticas. Sin

embargo, la necesidad de signos no se limita a esto, pues su principal papel

no es representar objetos matemáticos sino trabajar en ellos y con ellos,

sustituyendo unos signos por otros.

II. Los objetos matemáticos representados nunca deben confundirse con el

contenido de las representaciones semióticas utilizadas.

En estos dos requisitos conflictivos yace la paradoja cognitiva planteada por Duval (1993,

p. 38) con la que se tropieza la mayoría de estudiantes la cual indica que:

“Por una parte, el aprendizaje de los objetos matemáticos no puede ser más que un

aprendizaje conceptual y, por otra, es sólo por medio de representaciones semióticas

que es posible un actividad sobre los objetos matemáticos. Esta paradoja puede

constituir un verdadero círculo vicioso para el aprendizaje. ¿Cómo sujetos en fase

de aprendizaje no podrían confundir los objetos matemáticos con sus

representaciones semióticas si ellos no pueden más que tener relación solo con

dichas representaciones? La imposibilidad de un acceso directo a los objetos

matemáticos, fuera de toda representación semiótica, vuelve la confusión casi

inevitable. Y, al contrario, ¿cómo podrían ellos adquirir el dominio de los tratamientos

matemáticos, necesariamente ligados a las representaciones semióticas, si no tienen

ya un aprendizaje conceptual de los objetos representados? Esta paradoja es aún

más fuerte si se identifica actividad matemática con actividad conceptual y si se

consideran las representaciones semióticas como secundarias o extrínsecas”.

Esta paradoja suscita un profundo problema de comprensión que es específico del

aprendizaje de las matemáticas. La mayor dificultad para la comprensión es la posibilidad



de transferir lo que se ha aprendido a nuevos y diferentes contextos, dentro y fuera de las

matemáticas, y esto siempre implica la actividad cognitiva de la conversión de

representaciones semióticas. Sea cual sea la orientación de la enseñanza de las

matemáticas, a los problemas de la vida real o la enseñanza de conceptos y

trasformaciones de representaciones, la mayoría de estudiantes se detienen en este

umbral de conversión de representación. Para ellos hay tantos objetos diferentes

representados como contenidos de representación usados. (Duval 2006, p. 158).

Figura 2: Características visuales de un gráfico tomado de Duval (2006, P.151)

En la figura 2 Duval (2006, p. 151), plantea que para poder hacer visible una característica

visual en la representación gráfica de una función se debe realizar una comparación por

oposición de dos gráficas cartesianas, en las cuales se varíe dicha característica con el

objetivo que los estudiantes puedan ver como se produce un cambio en la representación

gráfica cartesiana al realizar un cambio en la variable categorial de la expresión algebraica


(por ejemplo, el valor de “�” de la expresión polinómica o canónica). La figura 2 muestra

cómo cambia la representación gráfica cartesiana de la línea recta cuando se varía la

pendiente y luego como cambia la representación gráfica de la línea recta cuando se

traslada, es decir cuando no pasa por el punto (0,0).

“El isomorfismo matemático entre dos representaciones nunca involucra su isomorfismo

cognitivo, y a fortiori no puede ser reconocido por los estudiantes” (Duval 2006, p. 158).

Frente a la aproximación dualista donde la necesaria mediación semiótica es externa y

posterior a la comprensión conceptual, las representaciones semióticas se deben tomar en

consideración en el análisis del pensamiento matemático (Duval p. 158).

La comprensión no significa dar un salto desde el contenido de una representación hasta

el concepto puramente matemático representado, sino en relacionar diversos contenidos

en las representaciones del mismo concepto. No existe una “mediación semiótica”

homogénea sino varias que tienen poco o nada en común. Y como se puede ver en la

figura 2 los contenidos de representación dependen no sólo de lo que es representado sino

también de los sistemas de representación usados. Por eso la comprensión matemática

requiere una coordinación interna entre los diversos sistemas de representación

semióticos posibles que se pueden elegir y usar (Duval, 1999). Por tanto, sin desarrollar

esta coordinación interna los estudiantes no pueden llegar a la conversión de

representaciones semióticas.

La habilidad para movilizar diversas representaciones conjuntamente de manera

interactiva, o en paralelo, depende del desarrollo de la coordinación entre registros de

representación y la comprensión conceptual surge del desarrollo de dicha coordinación.

En otras palabras, lo que afirma Duval (2006), es que lo más importante para la enseñanza

de las matemáticas no es la elección del mejor sistema de representación sino lograr que

los estudiantes sean capaces de relacionar diferentes maneras de representar los

contenidos matemáticos. De acuerdo con esto, se podría afirmar que las representaciones

de un objeto matemático posibilitan ver dicho objeto desde varios registros de

representación y así poder visualizar de una mejor manera su comportamiento y facilitar



su aplicación o asociación a un contexto; por ejemplo, si se conocen las representaciones

en diferentes registros semióticos de la función cuadrática es más fácil asociar estas

representaciones en los problemas de aplicación, por ejemplo en física cuando se estudia

movimiento parabólico.

¿Cómo hacer que los estudiantes entren en el complejo y amplio funcionamiento de

la conversión de representación?

Desde la experiencia en el aula se ha podido constatar que es importante que los

estudiantes usen tanto representaciones simbólicas algebraicas como representaciones

gráficas cartesianas, representen modelos espaciales y numéricos e identifiquen el mismo

patrón en diferentes representaciones, demostraciones y contextos. Pero el tema principal

como profesores y para fines indagativos es, como mencionan Duval (2006) y Pontón

(2008), saber cuáles son los tipos de tareas y actividades para lograr que los estudiantes

realicen la conversión entre los sistemas de representación semiótica simbólica algebraica

y gráfica cartesiana y viceversa.

Desde la perspectiva semiótica cognitiva en las tareas se debe exponer varias posibles

representaciones del mismo objeto de estudio y generar trasformaciones entre ellas. En el

caso de lo numérico no sólo centrar el trabajo en el aula en lo numérico, sino también

representaciones figurativas, representación en la recta numérica, representación

numérica en porcentajes, numérico fraccionaria, numérica mixta (números poligonales); en

el caso de las funciones su representación simbólica algebraica y su representación gráfica

cartesiana (exposición visual de las correspondientes líneas, curvas, superficies...), las

tareas deberían presentarse de tal manera que se pueda relacionar palabras con

imágenes.

Pero desde un punto de vista didáctico, en el aula de clase la mayoría de las tareas

planteadas se centran en un sólo tipo de representación (numérico) desconociendo otro

tipo de representaciones, lo que no posibilita que se realiza un contraste entre las


representaciones de un mismo objeto, lo que no permite realizar algún tipo de conversiones

en el objeto de estudio. En este sentido, se polariza el proceso de aprendizaje, el cual es

limitado a una mecanización de procesos aritméticos o algebraicos.

Toda representación comporta dos dimensiones semánticas: la del contenido que

representa, que es intrínseca al registro semiótico de representación movilizado, y la del

objeto que representa, que es independiente del registro semiótico de representación

movilizado. Así, el contenido de una representación gráfica cartesiana puede ser una recta,

una parábola, un círculo, etc. Son tres contenidos visualmente, es decir gestálticamente,

muy diferentes. Representan tres objetos matemáticos: dos funciones de categorías

diferentes (lineal y cuadrática respectivamente) y una relación que no es una función pero

que caracteriza un objeto geométrico. En este ejemplo se puede ver entonces que la

yuxtaposición de dos representaciones de un mismo objeto en dos registros semióticos de

representación diferentes no puede resolver el problema cognitivo del reconocimiento del

mismo objeto representado, porque las diferencias de contenido de las representaciones

varían independientemente de los objetos representados.

Ante lo anterior Duval (2006, p. 159-160) plantea que aparecen dos situaciones opuestas

de reconocimiento del objeto de estudio:

1. Reconocer el mismo objeto en dos representaciones cuyos contenidos son muy

diferentes porque corresponden a dos registros semióticos de representación

diferentes (una representación algebraica polinómica de primer grado y el grafo de

una recta; una representación algebraica polinómica de segundo grado y el grafo

de una parábola, etc.). Aquí una simple asociación como la que relaciona palabras

con imágenes puede ser suficiente, a condición de limitarse a casos simples y

estandarizados.

2. Reconocer dos objetos diferentes en dos representaciones cuyos contenidos

parecen semejantes porque corresponden al mismo registro semiótico de

representación, como por ejemplo, dos grafos que son visualmente rectas o

parábolas, o entre dos enunciados de problemas que utilizan las mismas palabras



y describen la misma situación real (como por ejemplo los problemas aditivos o los

problemas de proporcionalidad, etc.). En este caso para convertir una u otra de

estas dos representaciones es necesario hacer una doble discriminación. Por una

parte, ser capaz de ver diferencias entre dos representaciones que parecen

globalmente semejantes y, por otra parte, ser capaz de distinguir en las

representaciones de un registro las características del significante que son

matemáticamente pertinentes, para relacionarlas con una representación en otro

registro, y las características significativas en un registro semiótico que no lo son

para la conversión en el otro registro semiótico.

La capacidad para convertir en la situación de reconocimiento 1 (Reconocer el mismo

objeto en dos representaciones) depende totalmente de la capacidad para convertir en la

situación 2 (Reconocer dos objetos diferentes), y no a la inversa. Las respuestas correctas

de los estudiantes basados únicamente en el mecanismo de la asociación son ocasionales

y no significativas para la comprensión y la adquisición, porque el mecanismo de asociar

no permite ninguna transferencia o, si se prefiere un término menos psicológico, ninguna

aplicación, cuando las variaciones de contenido se alejan de las presentaciones

estandarizadas. Se entiende entonces la limitación que tienen las actividades didácticas

que se apoyan en una yuxtaposición simultánea de varias representaciones de un mismo

objeto (sin buscar la coordinación entre representaciones), se limitan a un reconocimiento

mediante asociaciones que son particulares en cada caso.

La estructura de la tarea cognitiva que subyace en estas actividades no ofrece las

condiciones que permiten tomar conciencia de esta doble discriminación necesaria para la

conversión de las representaciones. En las tareas de reconocimiento por asociación, las

variaciones de representación están consideradas según una de las dos dimensiones

semánticas constitutivas de toda representación semiótica, la del objeto representado,

dado que siempre se introducen o requieren en contextos de problemas en los que se

quiere variar el contenido numérico y se limitan al cálculo mecánico de las constantes

propias de la representación simbólica algebraica.


En este tipo de tareas se excluye por tanto el análisis de las variaciones de contenido entre

varias representaciones de un mismo registro. Entonces, ¿cómo los alumnos, podrían

entender que tres variaciones visuales diferentes distinguen matemáticamente las dos

gráficas? ¿Cómo pueden los estudiantes a partir de ese tipo de tareas construir una red

cognitiva de oposiciones que permitan diferenciar las gráficas entre sí? Para que puedan

comprender esto, Duval (2006), propone diseñar tareas que tengan dos dimensiones

semánticas tomando como variable independiente la variación del contenido visual del

registro inicial. De acuerdo con lo anterior Duval en la figura 3, presenta una tarea de

comparación para determinar las variaciones del contenido de la representación semiótica

de dos registros y su correspondencia.

Figura 3: Tarea de comparación para analizar los vínculos entre las posibles variaciones del contenido de la representación de dos registros, tomada de Duval (2006, p. 161).



Representaciones semióticas de gráficas cartesianas

Las representaciones gráficas cartesianas son representaciones semióticas en la misma

medida en que lo son las representaciones geométricas, la escritura algebraica o la lengua

natural. Esto quiere decir que la representación visual (para las representaciones gráficas:

trazos rectos o curvos, trazos sobre un plano marcado) tiene leyes de organización que le

son propias, que le permiten representar alguna cosa (funciones u otros objetos

matemáticos). Estas representaciones semióticas tienen dos aspectos: su forma (o lo

representante) y su contenido (o lo representado). La forma cambia según el sistema

semiótico utilizado: hay varios registros posibles de representación para un mismo objeto,

y cada uno corresponde a un tipo de tratamiento cognitivo, entre los cuales están el registro

gráfico cartesiano, el registro de representación de escritura simbólica (algebraica) y el

registro de representación lingüística, estos registros de representación semiótica se

muestran en la tabla 3 para la función cuadrática.

Tabla 3: Registro de representaciones semióticas de la función cuadrática.

Registro de representación gráfica

Registro de Representación de escritura simbólica

algebraica

Registro de representación

lingüística / escritura simbólica algebraica

� = ��

�(�)= ��

Función cuadrática

La función para calcular el ingreso por las ventas de n pilas está determinado por la función: �(�)= −0,02�� + 10� Determine el ingreso máximo.

Duval (2004) plantea que los gráficos cartesianos se utilizan siempre en articulación con

otros registros de representación semiótica y además deben permitir tratamientos

cualitativos propios a ese modo de visualización: interpolación y extrapolación, las


representaciones gráficas se pueden ver de tres maneras: una puntual que da la

indicación de un valor en un momento determinado, una icónica que evoca lo alto y lo

bajo, las subidas suaves o abruptas a partir del nivel base. Y una tercera la cual Duval

(2004, p. 67), llama de “aprehensión global cualitativa” (ver tabla 4). Esta aprehensión

es muy diferente de la aprehensión icónica que se limita a una interpretación analógica con

la experiencia de los desplazamientos Reales en una ciudad; en la tabla 4, Duval (2004,

p.67) indica las características que se deben identificar en una representación gráfica

cartesiana de acuerdo al tipo de visualización que se realice.

Tabla 4: Tres maneras de ver los gráficos cartesianos tomada de Duval (2004, p. 67)

Tres maneras de VER Lo que es OBSERVADO Lo que es IDENTIFICADO

I. Aprehensión LOCAL POR PUNTEO (solo se retienen

puntos considerados aisladamente)

Asociaciones (puntos, parejas de números)

Una asociación entre dos valores numéricos la regla de la

construcción es una regla de codificación: un punto de

intersección sobre un plano según dos ejes graduados (la

figura fondo) corresponde a una pareja de números.

II. Aprehensión ICÓNICA (la

imagen de una “tendencia”)

Desplazamientos de subida o bajada en relación con un nivel

horizontal

Una analogía con cambios de posición en el espacio físico real

(estar más alto, más bajo), relieve…

III. Aprehensión GLOBAL

CUALITATIVA (se trata de poder discriminar las características de lo grafos de la misma forma o no)

Formas D1 (rectas, curvas) o D2 (zonas) que tienen características figúrales intrínsecas y características extrínsecas: orientación en relación con los dos ejes, y posición (intersección) en relación a los ejes. Un grafo es la figura que se destaca de la figura fondo de los ejes.

Una relación entre dos variables definidas sobre dos conjuntos de

valores.

El punto importante de la comparación de estas tres maneras de ver un gráfico cartesiano

está en el hecho en que no se basan en la discriminación de las mismas unidades visuales

como nos muestra la tabla 4 y más particularmente en que la discriminación de las

características figurales intrínsecas, las variables visuales cualitativas, no es lo que

ocurre al primer golpe de ojo; es decir, se refiere a razonar en la figura (Pontón, 2008).

Entonces legítimamente se puede plantear la siguiente pregunta ¿un alumno puede de

manera más o menos espontánea pasar I a III, (ver tabla 4), (de la aprehensión local

puntual a la aprehensión global cualitativa) lo que implica que neutralice la aprehensión



icónica? Duval a través de numerosas observaciones ha mostrado que dos tercios de los

estudiantes durante todos sus estudios no han pasado de I a III y que es I la interpretación

dominante (ver tabla 4).

De acuerdo con las maneras de ver los gráficos cartesianos descritas en la tabla 4, Duval

(2004, p. 69) plantea la siguiente pregunta ¿con cuál dispositivo de observación se puede

recoger datos que permitan determinar si los estudiantes han accedido o no a la tercera

manera de ver los gráficos cartesianos?, y a este interrogante Duval (2004, p. 60) plantea

que un dispositivo consta de tres exigencias:

1. La aprehensión global cualitativa se requiere en una tarea de conversión gráfica-

escritura simbólica de relaciones, pues la aprehensión local por punteo siempre

permite la conversión inversa.

2. La tarea debe ser de reconocimiento, pues este refleja lo que ha sido automatizado,

interiorizado o integrado, y sobre todo, condiciona la iniciación de todos los

tratamientos conscientes que puede proponer un sujeto.

3. Las tareas de conversión deben permitir barrer el conjunto de variaciones de

representación cualitativamente discernibles a la vista. En efecto en el gráfico

cartesiano se pueden hacer muchas variaciones sobre los valores numéricos que

no provocan ninguna variación visualmente discernible, o cualitativamente

significativa.


Tabla 5: Variaciones visuales de la recta tomada de Duval (2004, p. 72)

Variaciones visuales o

cualitativas

Sentidos de inclinación con algo de anclaje de la estructura

Participación del cuadrantes con anclaje en el ángulo que tiene de lado

el eje horizontal

Posición sobre el eje vertical

Resultados 1989 al inicio de 10º

Valores visuales

subiendo

bajando

Simétrica

Más pequeñ

a

Más grand

e

origen

Por encim

a

Por debaj

o

Conversión en escritura simbólica

a > 0 a < 0 ( a = 1) a < 1 a < 1 +b -b

sí sí sí 39%

60%

sí sí sí 49%

70%

Los dos 33% 46%

sí sí sí 16%

25%

sí (sí) sí 26%

28%

Los dos 8%

11%

Las representaciones gráficas cartesianas son más complejas que la simple

representación “geométrica” de una recta numérica graduada, esto se puede argumentar

debido a que por medio de las representaciones gráficas cartesianas podemos obtener

información sobre el comportamiento y las características del objeto representado, como

se muestra en la tabla 5, donde Duval (2004) plantea cómo varían las características

visuales de un gráfico cartesiano, al variar las variables categoriales de la escritura

simbólica algebraica, pudiendo observar que la conversión no se hace sólo a la escritura



decimal o fraccionaria de números sino a la escritura algebraica de relaciones. Para

realizar la caracterización e interpretación de los gráficos cartesianos Duval (1988b) en el

esquema que se presenta en la figura 4, muestra el funcionamiento semiótico de las

representaciones gráficas cartesianas, “este funcionamiento se basa en la relación de dos

figuras la figura-fondo y la figura-forma. Relación que está definida por una regla de

codificación. Se ve entonces que el registro de representaciones permite tres tipos de

tratamientos”. Duval (1988b, p. 5):

1. Una localización de posiciones por selección de puntos en los que la figura-forma

coincide con los puntos de intersección del campo cuadriculado. Esto permite una

lectura de duplas de números.

2. Una aprehensión global de los valores visuales de la figura-forma (trazo recto,

trazo curvo, inflexión, entre otros). Es esta aprehensión perceptiva global lo que da

a la representación gráfica su poder intuitivo o heurístico. Este tipo de tratamiento

es esencialmente cualitativo.

3. Una modificación de la figura-forma que cambia la aprehensión global de los

valores visuales, jugando con los grados de libertad que da la figura-fondo. Se

puede modificar la figura –forma no tomando, por ejemplo, la misma unidad de

graduación en los ejes igualmente se puede modificar la figura forma efectuando

un “zoom” sobre una de sus partes.

Estos tres tipos de tratamientos según Duval (1988b, p. 6), son propios al registro gráfico

y no deben confundirse con las operaciones de conversión entre operaciones producidas

en diferentes registros semióticos, trasformación que consiste por ejemplo en pasar de una

expresión simbólica algebraica (igualdad o de una desigualdad) a una figura-forma, o en

efectuar el pasaje inverso.


Figura 4: Posibles transformaciones del Registro gráfico, tomada de (Duval 1988b, p. 6).

En la figura 4, Duval (1988b, p. 6) presenta un esquema de las trasformaciones que se

presentan entre los registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico para las funciones

y cuáles son las interacciones que deben tenerse en cuenta para conseguir una aprensión

global de una función estudiada bajo el marco teórico semiótico cognitivo planteado por el

autor, para lo cual se plantea la localización de los valores categoriales de la función, los

cuales el autor recalca que deben ser enseñados y a partir de estos establecer la

correspondencia entre los valores de la figura fondo y la figura forma de tal manera que se

puedan identificar las variables visuales características de cada función y su

correspondencia con los valores categoriales de las expresiones simbólicas algebraicas.

Correspondencia entre

puntos marcados en el

campo cuadriculado y

parejas de números

Cálculo para

encontrar la ecuación

partir de valores

numéricos. A. Localización de las posiciones

correspondientes a los valores

categoriales obtenidos a partir

de una ecuación.

Figura-fondo: campo cuadriculado (material

o virtualmente) determinada por orientación

bi-dimensional y por la escogencia de una

unidad de graduación.

REGISTRÓ GRÁFICO

Figura-Forma:

Trazo(s) reto(s),

trazo(s) curvo(s). B. Aprehensión global de los

variables visuales o

posicionales y de los valores

categoriales correspondientes

en la escritura simbólica

Escritura simbólica

algebraica de una

relación

REGISTRO SIMBÓLICO



Análisis matemático del Concepto de Función de dominio real

Los conceptos que se van a desarrollar a continuación fueron tomados de los libros de

cálculo de Edwards y Penney (1997) y, Gil y Díaz (2013).

Una función real � = �(�) definida en un conjunto D de números Reales, es una relación

que asigna a cada número � ∈ � exactamente un número real, denotado con �(�),

perteneciente al rango. Edwards y Penney. (1997, p. 5).

El conjunto D de todos los números Reales para los que �(�) está definida es el dominio.

La expresión �(�), que se lee “� �� ” , es el valor de la función real en el número (o punto

cartesiano) �. El conjunto de los valores � = �(�) es el rango de llegada de �(�). Edwards

y Penney. (1997, p. 5).

{�: � = �(�),∀� ∈ ��}

Una función es una relación entre variables (x, y) de tal manera que a x (variable

independiente), le corresponde uno y solo uno de los valores de y (variable dependiente)

Gil y Díaz (2013, p. 49)

En la tabla 6, las representaciones gráficas cartesianas a y b corresponden a las

representaciones gráficas cartesianas de dos funciones de dominio y rango definido para

todo número real, mientras que las gráficas c y d no corresponden a funciones de dominio

real sino solo relaciones entre variables, porque para algunos valores de la variable

independiente "�" (dominio) le corresponde más de un valor en la variable dependiente "�"

(rango). Por ejemplo, para la representación gráfica c. Para � = 4 , tendrá dos valores �(�)

que son:�(4)= −2 y �(4)= 2, algo similar ocurre para la representación gráfica d, al tomar

el valor de � = 4 tendrá dos valores �(�) que son: �(3)= −4 y �(3)= −4.


Tabla 6: Ejemplos de gráficos cartesianos de relaciones entre variables.

Dominio e imagen

Dominio: es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de la

relación o correspondencia, que usualmente se designa como "�". Gil y Díaz (2013, p. 51)

Rango (Imagen): es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, que

usualmente se designa como "�", una vez asignados los valores a la variable

independiente. Gil y Díaz (2013, p. 51)



Existen comúnmente cuatro maneras de representar e identificar las funciones Reales:

analítica (simbólica algebraica), registro en lengua natural, tabular y gráficamente. Cada

una expresa la manera en que se pueden visualizar situaciones utilizando símbolos, en

contexto real o matemático datos ordenados o gráficos, con el fin de poder comprender y

analizar mejor la relación entre dos magnitudes de un problema.

a. Analíticamente: representa el lenguaje simbólico algebraico a través de

símbolos y números que se expresan mediante una fórmula matemática,

ecuaciones.

b. Tabularmente: Es una tabla en la que se organizan filas con el valor de “�”

en consideración y su valor correspondiente: � = �(�)

c. Gráficamente: a través del dibujo de los pares ordenados en el plano cartesiano

o en cualquier otro sistema de coordenadas

d. Registro en lengua natural: representa la forma discursiva en la cual se

plantean los problemas de aplicación.

Tabla 7: Diferentes representaciones de una función cuadrática de Dominio Real

Lengua natural Analítica Tabla Gráfica cartesiana

Considere el área

de un rectángulo,

cuya longitud es

� + 3 y cuyo ancho

es 5− �.

Determine la

expresión para

calcular el área,

�(�).

Representación

simbólica algebraica

expresión polinómica

�(�) = (� + 3)(5− �)

�(�)= −�� + 2� + 15

Expresión canónica

�(�)= −(� − 1)� + 16

� � -1 12 0 15 1 16 2 15 3 12

x

y


Clasificación de las funciones desde representación algebraica

Las funciones de dominio Real pueden clasificarse, en dos grandes grupos:

Desde las representaciones simbólicas algebraicas de pueden subdividir en:

Funciones Polinomiales de dominio real: su representación simbólica algebraica

corresponde a un polinomio, donde el grado del polinomio lo determina el mayor

exponente de la variable. Dicho exponente debe ser entero no negativo (Gil y Díaz

(2013, p. 59), Zill y Dewar (2012, p. 266)). Algunas funciones de este tipo son:

Figura 5: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Polinomiales.

Funciones polinómicas lineales.

x

y

x

y

� = −2� + 3 � = 3� − 5



Funciones polinómicas cuadráticas.

Funciones polinómicas cúbicas

Funciones polinómicas de grado mayor que 3

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

� = −�� + 1

� = �� − 1

� = �� + �

� = �� − 3�� − � + 1 � = �� − 5�� − � + 1

� = �� − 3� + 3


Función Racional de dominio real: este tipo de función tiene la forma �(�)=�(�)

�(�)

en donde ℎ(�) � �(�) son polinomios y �(�)≠ 0. El domino de una función racional

serán todos valores Reales, con la condición de que al evaluar �(�) ésta sea

diferente de cero, debido a que en este punto la función no está definida y habrá

una asíntota o un hueco (como se muestra en los ejemplos de la figura 6 (Gil y Díaz

(2013, p. 67), Zill y Dewar (2012, p. 300)).

Figura 6: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Racionales.

�(�)=�� + 2� − 8

�� − 4

Dom: {� ∈ � / � ∈ � − {−2,2} )}

Ran: �� ∈ � / � ∈ � − {1}�

�(�)= 2�

9 − ��

Dom: {� ∈ � / � ∈ � − {−3,3} )} Ran: {� ∈ � }

Funciones Irracionales de dominio real: cuando además de las 4 operaciones:

suma resta, producto (y caso particular la potenciación) y cociente, aparecen las raíces

se tiene una expresión irracional, y su representación simbólica algebraica �(�) será

de la siguiente manera �(�)= ��(�)� . Donde �(�) es un polinomio. Para tener

valores Reales el dominio de la función estará dado por los valores de x tal que �(�)



sea mayor o igual a cero, para la raíz cubica la función está definida para todos los

Reales (Gil y Díaz (2013, p. 68) y SADOSKY Y GUBER 2010.

Dom: {� ∈ �/� ∈ [0,∞ �)} Ran: {� ∈ �/� ∈ [0,∞ �)}

Figura 7: Ejemplo de la representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una función Irracional.

Funciones trascendentes: es una función que trasciende al álgebra en el sentido

que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones

algebraicas de suma, resta y raíces. Corresponden a aquellos casos en los que la

función no se puede definir por sus operaciones aritméticas Gil y Díaz (2013, p. 58 ),

como son:

Funciones trigonométricas: son aquellas funciones que se definen con referencia a

la circunferencia unitaria con centro en el origen de un sistema de coordenadas. Las

razones trigonométricas se definen como una aplicación particular de las funciones

trigonométricas a triángulos rectángulos. Gil y Díaz (2013).


Figura 8: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Trigonométricas.

� = sen� Dom: {� ∈ �} Ran: {� ∈ �/� ∈ [1,−1]}

� = cos� Dom: {� ∈ �} Ran: {� ∈ �/� ∈ [1,−1]}

Funciones Trigonométricas inversas:

Las seis funciones trigonométricas básicas no son inyectivas (sus valores se repiten de

manera periódica). Sin embargo, podemos restringir sus dominios a intervalos en los que

sean inyectivas. La función seno aumenta desde –1 en � = −�

� hasta 1 en � =

�

�. Al

restringir su dominio al intervalo ��

� ,�

� � la hacemos inyectiva (Thomas, J., George, B.

2006 p. 517).

x

y

x

y



Figura 9: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones Trigonométricas inversas.

� = sen��

Dom: �� ∈�

�∈ [−1,1] �

Ran: �� ∈ �/� ∈ �− �

�,�

��

� = cos��

Dom: �� ∈�

�∈ [−1,1] �

Ran: �� ∈ �/� ∈ �0,�

��

Funciones exponenciales de dominio real: su representación simbólica algebraica

es � = �� donde “�” es la base de la función y es una constante positiva, con � ≠ 1.

Los conceptos más importantes de las funciones exponenciales son: la representación

gráfica cartesiana de toda función exponencial pasa por el punto cartesiano (0,1) Gil y Díaz

(2013, p. 78).


Figura 10: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una Función Exponencial de dominio real.

Dom:{� ∈ �} Ran: {� ∈ �/ [0,∞ �)}

Funciones Logarítmicas de dominio real: su representación simbólica algebraica

es � = log � �, donde “�” es la base de la función y � ≠ 1 siendo una constante

positiva. Los conceptos más importantes de las funciones logarítmicas son: la

representación gráfica cartesiana de toda función exponencial para por el punto

cartesiano (1,0) Gil y Díaz (2013, p. 78).



Figura 11: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una Función Logarítmica en base 10.

Dom: {� ∈ �/� ∈ (0,∞ �)} Ran: {� ∈ �}

Función con intervalos crecientes o decrecientes: una función es creciente en

un intervalo si para cualquier par de números �� y �� del intervalo, se cumple que:

Si �� < �� → �(��)< �(��) ó �� > �� → �(��)> �(��) .

Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números �� y �� del

intervalo, se cumple que: Si �� > �� → �(��)< �(��). Gil y Díaz (2013, p. 90).


Figura 12: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de funciones creciente y decreciente.

Función creciente en todo su

dominio

Función decreciente en todo su

dominio

Función simétrica y tipos de simetría:

En geometría y en algunas otras ramas de las matemáticas, las figuras se reflejan en un

punto, en un eje o en un plano. Gil y Díaz (2013, p. 78), de acuerdo con esto se describe

la simetría de una gráfica respecto al eje y, al eje x y al origen. De esos tres tipos de

simetrías, la gráfica de una función puede ser simétrica respecto al eje y o al origen, pero

la gráfica de una función distinta de cero no puede ser simétrica respecto al eje x. Si la

gráfica de una función es simétrica respecto al eje y entonces, como sabemos, los puntos

(x, y) y (-x, y) están incluidos en la gráfica de �(�). Del mismo modo, si la gráfica de una

función es simétrica respecto al origen, los puntos (x, y) y (-x, -y) aparecen en la gráfica

(Zill y Dewar, 2012, p. 300).

x

y

x

y

� = −√� − 2 + 3 � = 2� + 4



Figura 13: Ejemplos de representaciones gráficas cartesianas y simbólicas algebraicas de Funciones simétrica

Función simétrica con respecto al eje

y

Función simétrica con respecto al

origen

Función par e impar: Suponga que por cada � en el dominio de una función �(�),

−� también está incluida en su dominio Zill y Dewar (2012, p. 301). Estas funciones

cumplen que:

Una función f es par si �(−�) = �(�).

Una función f es impar si �(−�)= −�(�).

Figura 14: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de funciones Par e Impar.

Función par Función impar

x

y

� = �� =1

�

� = �� = ��


Función periódica. Una función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite

para cada determinado intervalo (periodo). Una función �(�) es periódica si existe

un número positivo � tal que �(� + �)= �(�) para todo valor de �. El menor de los

posibles valores de � es el periodo de �(�) (Thomas, J., George, B. 2006, p. 52).

Figura 15: Ejemplo de representación gráfica cartesiana y simbólico algebraico de una función periódica.

Funciones cuadráticas de dominio Real

Las funciones cuadráticas de dominio real son funciones polinómicas utilizadas para

describir o modelizar diversos fenómenos tales como: el movimiento de objetos como el

tiro parabólico o de proyectil entre muchas otras modelaciones como el movimiento

generado por una bala, el lanzamiento de un cohete, el tiro de una pelota de básquetbol,

de fútbol, de fútbol americano y, en general, de cualquier pelota y de cualquier objeto que

sea lanzado. Todo objeto que es lanzado con un ángulo de inclinación �, (0°< � < 90°)

con respecto a la horizontal, puede seguir una trayectoria parabólica debido a los efectos

de la gravedad.



La función Polinomial de segundo grado es aquella cuya expresión simbólica polinómica

es de la forma � = �� + �� + � donde �, � y � son números Reales con � ≠ 0, se conoce

con el nombre de Función Cuadrática, su dominio son todos los números Reales; es

decir, no tiene restricción alguna. (Por tanto, todo valor de x tendrá una imagen y).

Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo (ver la figura 16). Si el signo

de la variable categorial “�” en la expresión polinómica es positivo entonces la parábola es

cóncava hacia arriba. Si el signo de la variable categorial “�” en la expresión polinómica en

negativo la parábola es cóncava hacia abajo. Su representación gráfica cartesiana está

determinada por el máximo o el mínimo de la función, el cual se puede obtener a partir del

vértice.

Si el valor absoluto del coeficiente “a” que acompaña la variable independiente elevada al

cuadrado está entre 0 y 1 (1 > |�|> 0), la parábola estará más expandida con respecto al

eje de simetría, Si el valor absoluto del coeficiente “�” que acompaña la variable

independiente elevada al cuadrado es mayor que 1 (|�|> 1), la parábola estará más

estrecha con respecto al eje de simetría.

Eje de simetría: Es la recta que pasa por el vértice de la parábola y es paralela al eje y

recibe este nombre porque al doblar el plano por esta recta los dos brazos de la parábola

coinciden en todos sus puntos (Zill y Dewar, 2012, p. 219).

Las intersecciones con el eje � son los ceros de la expresión simbólica algebraica. El

vértice (máximo o mínimo) de la parábola está dado por el punto (ℎ,�). La función

cuadrática de dominio real se pude representar de manera simbólica algebraica por medio

de dos expresiones: la polinómica y la canónica.

�(�)= �� + �� + �,con � ≠ �

� = �(� − ℎ)� + �,con � ≠ �

Donde ℎ y � son las coordenadas del vértice que corresponde al punto máximo o mínimo

que toma el rango de la función cuadrática � ∈ (∞ ,�] ó � ∈ [�,∞ ).


Figura 16: Representación Gráfica cartesiana de una Función cuadrática de dominio real.

La gráfica de �(�)= ��, con |�|> 0, es la gráfica de � = ��, estirada

verticalmente cuando a > 1 y ampliada horizontalmente cuando 0 < |�|< 1, ver

figura 17, lo cuál se puede expresar como: a medida que el valor absoluto de “a”

crece, el crecimiento o decrecimiento de �(�) es mayor.

La gráfica de �(�)= ��, |�|> 0, es la gráfica de � = ��, |�|< 0, reflejada en

el eje x como se puede ver en las figuras 17 y 18.



Figura 17: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava hacia abajo y se la ha variado la abertura.

Figura 18: Representación gráfica cartesiana de función cuadrática la cual es cóncava hacia arriba y se la ha variado la abertura.

Tratamiento para transformar una expresión simbólica polinómica a una

Expresión simbólica canónica de una función cuadrática

Una función cuadrática cuya expresión simbólica algebraica polinómica corresponde a:

�(�)= �� + �� + �,con � ≠ � puede representarse como una expresión simbólica

algebraica forma canónica.

�(�)= �(� − ℎ)� + �

Para lo cual se realiza un tratamiento conocido como completando el cuadrado, éste

tratamiento se fundamenta en las propiedades de la estructura algebraica de los números

Reales. La representación gráfica cartesiana de �(�) es una parábola con vértice (h, k);

Aplicando la propiedad asociativa, se agrupa en un paréntesis los términos que

contengan la variable independiente (�).

�(�)= (�� + ��)+ �


Se saca factor común el “�” de los términos del paréntesis

�(�)= � �� +�

��+ �

El número que se debe sumar y restar (aplicando la propiedad modulativa de la suma � +

(−�)= 0) para completar el cuadrado es ��

��. Para encontrar este número se toma el

coeficiente de la variable que se encuentra elevada a la 1, ��

��, y lo se divide entre 2 (es

decir, se halla la mitad) esto es porque el coeficiente de la variable elevada a la 1 es el

resultado de sumar los términos semejantes en la solución de un binomio al cuadrado

perfecto, esto nos da como resultado ��

��, este resultado se eleva al cuadrado y se obtiene

��

��.

Se completa el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual

aplicamos las propiedades del inverso aditivo y modulativa, se suma y se resta el

mismo término para no alterar expresión simbólica algebraica

�(�)= � �� +�

�� +

��

4��−

��

4�� + �

Se saca el término negativo del paréntesis, se debe aplicar la propiedad asociativa

y luego la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los

números Reales, para eso lo se debe multiplicar por la constante a de la siguiente

forma: � ��

�� = �

��

��

�(�)= � �� +�

�� +

��

4�� + �−

��

4�

Factorizando se obtiene el siguiente producto notable:

�(�)= � �� +�

2��

+ �−��

4�



Tratamiento para transformar una expresión simbólica canónica a una

Expresión simbólica polinómica de una función cuadrática

Se debe realizar el siguiente tratamiento denominado completación del binomio.

Si se tiene la expresión simbólica canónica.

�(�)= �(� − ℎ)� + �

Al resolver el binomio se tiene la expresión simbólica algebraica equivalente:

�(�)= �(�� − 2�ℎ + ℎ�)+ �

Y al aplicar la propiedad distributiva da la equivalencia:

�(�)= �� − 2��ℎ + �ℎ��

Las tablas 7 y 8 muestran como al variar uno o varios de las variables categoriales

de la expresión simbólica polinómica �(�)= �� + �� + � se evidencia un cambio en la

gráfica.


Tabla 8: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad positiva

Fórmula

general Valor de a

Valor de

b

Valor de

c

Ejemplo

representación

algebraica

Ejemplo

representación

canónica

Ejemplo

representación

gráfica

�(�)= �� + �� + �

a>0 b=0 c=0 � = 3�� = 3(� + 0)� + 0

�(�)= �� + �� + �

a>0 b=0 c>0 � = 3�� + 1 � = 3(� − 0)� + 1

�(�)= �� + �� + �

a>0 b=0 c<0 � = 3�� − 1 � = 3(� − 0)� − 1

�(�)= �� + �� + �

a>0 b>0 c=0 � = 3�� + 6� � = 3(� + 1)� − 3

�(�)= �� + �� + �

a>0 b<0 c=0 � = 3�� − 6� � = 3(� − 1)� − 3

�(�)= �� + �� + �

a>0 b>0 c>0 � = 3�� + 6� + 1 � = 3(� + 1)� − 2

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y



�(�)= �� + �� + �

a>0 b>0 c<0 � = 3�� + 6� − 1 � = 3(� + 1)� − 4

�(�)= �� + �� + �

a>0 b<0 c>0 � = 3�� − 6� + 1 � = 3(� − 1)� − 2

�(�)= �� + �� + �

a>0 b<0 c<0 � = 3�� − 6� − 1 � = 3(� − 1)� − 4

Tabla 9: Variaciones visuales de la función cuadrática con concavidad negativa.

Fórmula

general

Valor de

a

Valor de

b

Valor de

c

Ejemplo

representación

algebraica

Ejemplo

representación

canónica

Ejemplo

representación

gráfica

�(�)= �� + �� + �

a<0 b=0 c=0 � = −3�� = −3(� − 0)� + 0

�(�)= �� + �� + �

a<0 b=0 c>0 � = −3�� + 1 � = −3(� − 0)� + 1

�(�)= �� + �� + �

a<0 b=0 c<0 � = −3�� − 1 � = −3(� − 0)� − 1

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y


�(�)= �� + �� + �

a<0 b>0 c=0 � = −3�� + 6� � = −3(� − 1)� + 3

�(�)= �� + �� + �

a<0 b<0 c=0 � = −3�� − 6� � = −3(� + 1)� + 3

�(�)= �� + �� + �

a<0 b>0 c>0 � = −3�� + 6� + 1 � = −3(� − 1)� + 4

�(�)= �� + �� + �

a<0 b>0 c<0 � = −3�� + 6� − 1 � = −3(� − 1)� + 2

�(�)= �� + �� + �

a<0 b<0 c>0 � = −3�� − 6� + 1 � = −3(� + 1)� + 4

�(�)= �� + �� + �

a<0 b<0 c<0 � = −3�� − 6� − 1 � = −3(� + 1)� + 2

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

3. DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS

En el desarrollo de este capítulo se presenta el análisis de las variables que se tuvieron en

cuenta para el diseño de las situaciones para la indagación en el aula de clases, también

se explica el propósito de cada una de las tareas que conforman las tres situaciones, y las

respuestas esperadas, de acuerdo a las variables didácticas determinadas en este

análisis, por parte de los estudiantes en el desarrollo de las mismas.

Análisis a priori de la Situación 1.

Mediante el diseño de la situación didáctica se pretende que los estudiantes identifiquen

las distintas variables visuales y categoriales que caracterizan la representación gráfica

cartesiana y simbólica algebraica de la función cuadrática. Las variables de visuales son

de gran importancia tanto para la interpretación de las gráficas cartesianas, como para la

conversión de una representación gráfica cartesiana a una representación simbólica

algebraica. Las variables de visuales de una función cuadrática (ver tablas 8 y 9), de

acuerdo con lo planteado por Duval (1988), son todas las modificaciones a la

representación gráfica cartesiana que generan una modificación en la escritura simbólica

o expresión algebraica. Se parte de las tres características específicas estrechamente

conectadas, las cuales son resaltadas por Duval (2016), cuando se tiene como propósito

analizar la actividad matemática desde un punto de vista cognitivo:

1. Transcurre a través de una transformación de representaciones semióticas que

involucra el uso de algún sistema semiótico.

2. Para llevar a cabo esta transformación, se pueden usar registros diferentes de

representaciones semióticas



3. Los objetos matemáticos nunca se deben confundir con las representaciones

semióticas utilizadas, aun si no hay acceso a ellos, diferente del uso de una

representación semiótica (Duval, 2016, p.89)

Con el objetivo que los estudiantes identifiquen y aprendan a razonar a partir de las

variables visuales de la representación gráfica cartesiana y las variables categoriales

de las representaciones simbólicas algebraicas de la función cuadrática (vértice,

concavidad, abertura) se plantearon las siguientes tareas:

Análisis Tarea 1- situación 1. (T1/S1)

Con esta tarea se busca que el estudiante identifique las representaciones gráficas

cartesianas correspondientes a la función cuadrática, de acuerdo con a las variables

visuales que caracterizan la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, la

cual es una parábola que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo, y cuyo eje de

simetría (ver p. 63) es una recta paralela al eje y. Se propone identificar las

representaciones gráficas cartesianas que corresponden a funciones cuadráticas de un

conjunto de representaciones gráficas cartesianas de funciones y relaciones cuadráticas y

no cuadráticas. Se espera que los estudiantes logren plantear justificaciones desde las

variables visuales que caracterizan la función cuadrática.

TAREA 1- Situación 1. Identifique cuál de las siguientes gráficas cartesianas corresponde

a la representación gráfica cartesiana de una función cuadrática, justifique de manera

completa su respuesta en las líneas.

DISEÑO DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 89

Figura 19. Gráficos de la tarea 1, situación 1.

Figura 1. _____________________________ Figura 2. _____________________________

Figura 3. _____________________________ Figura 4. _____________________________

Figura 5. _____________________________

Figura 6. _____________________________

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y



Figura 7. _____________________________ Figura 8. _____________________________


situación 1.

Figura representa o no una función

cuadrática Justificación

1 No representa Porque tiene dos cambios de concavidad y en la gráfica de la función cuadrática sólo hay una y pose tres cortes con el eje x.

2 Si representa Porque es una parábola que abre hacia arriba (cóncava hacia arriba), tiene vértice en el origen y tiene un corte con el eje x. Además tiene un eje de simetría.

3 No representa

Porque la representación gráfica no corresponde a una función, porque a excepción del punto (0,0), para un mismo valor de x del dominio existe más de un valor en el rango.

4 Si representa Porque es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo), tiene vértice en el origen y tiene un corte con el eje x. Además tiene un eje de simetría.

5 Si representa Porque es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) con vértice en el punto (0,5) y tiene dos cortes con el eje x. Además tiene un eje de simetría.

6 No representa Porque la figura es la representación gráfica de una línea recta, no tiene concavidad, ni vértice cartesiano.

7 No representa

Porque es una función creciente en todo su dominio, y en la gráfica de la función cuadrática hay un intervalo donde crece y otro donde decrece, tampoco cuenta con un vértice o un eje de simetría vertical.

8 Si representa

Porque es una parábola que abre hacia arriba (cóncava hacia arriba), tiene vértice en el punto (3,-1) y tiene dos cortes con el eje x. Además tiene un eje de simetría.

En esta tarea se esperaba que los estudiantes reconocieran algunas características

visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, como son la

x

y

x

y


concavidad, el vértice y el eje de simetría entre otros (ver tabla 10), con la socialización al

final de la tarea, el docente debe mediar entre el alumno y la caracterización de las

variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática.

Análisis tarea 2 – situación 1. (T2/S1)

Por medio de esta tarea se pretende introducir la primera variable visual de la

representación gráfica de la función cuadrática, la cual es la concavidad. Para esto se

realizará la presentación de las dos representaciones gráficas básicas de la función

cuadrática � = �� y � = −��, las cuales tienen vértice en el punto (0,0) y el valor absoluto

del coeficiente “�” siempre se tomará en esta tarea como |�|= 1. Mediante una ilustración

se muestran estas dos representaciones gráficas de la función cuadrática, esta es una

tarea de conversión de unidades significativas del lenguaje natural en unidades visuales

de la representación gráfica cartesiana (parábola) y de las operaciones de traslación sobre

las “funciones básicas” que se expresan en los enunciados.

Para esto se pide al estudiante pueda identificar las unidades que se traslada la

representación gráfica cartesiana de la función cuadrática básica desde el origen (0,0),

asociando cada representación gráfica cartesiana con un enunciado en lengua natural que

explica los traslados de las gráficas cartesianas de las funciones básicas � = �� y

� = −��.

TAREA 2 – situación 1. Escriba debajo de cada gráfica cuál es el numeral del enunciado

correspondiente, teniendo en cuenta los traslados que tienen cada una de las gráficas en

el plano cartesiano con respecto a las representaciones gráficas cartesianas de las

funciones básicas � = �� y � = −�� .

a. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 6 unidades hacia

abajo.

b. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 4/3 unidades hacia

arriba.

c. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad haca abajo.

d. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidad hacia arriba.



e. La parábola cuya concavidad es hacia arriba, los ceros son 4 y 2, y esta desplazada3 unidades a la derecha y una hacia abajo.

Figura 20: Gráficas de la tarea 2, situación 1.

Figura 1. _____________________________

Figura 2. _____________________________

Figura 3. _____________________________

Figura 4. _____________________________

x

y

x

y

xy

x

y


Figura 5. _____________________________

Figura 6. _____________________________

Figura 7. _____________________________

Figura 8. _____________________________

En esta tarea existen 5 numerales los cuales los estudiantes deben correlacionar con su

respectiva gráfica cartesiana, para las tres gráficas cartesianas que no les corresponde

ningún numeral* (figura 1, 4 y 6) se espera que los estudiantes construyan los enunciados

que describan los traslados del vértice.

x

y

x

y

x

y

x

y



Tabla 11: Correspondencias esperadas por los estudiantes para la tarea 2- situación 1.

Figura Numeral � Sentido de la concavidad

Desplazamiento

1 No tiene* � = 1

Hacia arriba Se trasladó 5 unidades hacia abajo, vértice (0,-5)

2 a � = 1 Hacia arriba Se trasladó 6 unidades hacia abajo, vértice (0,-6)

3 c � = −1 Hacia abajo Se trasladó 2 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo, vértice (-2,-1)

4 No tiene* � = −1

Hacia abajo Se trasladó 2/3 unidades hacia arriba, vértice (0,2/3)

5 d � = 1

Hacia arriba Se trasladó 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba, vértice (2,3)

6 No tiene* � = 1

Hacia arriba Se trasladó 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo, vértice (3,-1)

7 b � = −1 Hacia abajo Se trasladó 5/4 unidades hacia arriba , vértice (0,5/4)

8 e � = 1 Hacia arriba

Se trasladó 3 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo, vértice (3,-1) y tiene cortes en los puntos (2,0) y (4,0)

En esta tarea, el estudiante continua con la familiarización de los términos como vértice,

concavidad, simetría, etc. y además, el estudiante puede observar que las gráficas

cartesianas de las funciones cuadráticas pueden presentarse en distintas posiciones sobre

el plano cartesiano, con lo cual el estudiante comienza su trabajo de visualización con la

figura fondo (cuadrícula) al identificar los traslados sobre los ejes coordenados del vértice.

Análisis Tarea 3 – situación 1. (T3/S1)

Por medio de esta tarea se busca que el estudiante identifique dos variables visuales de

la función cuadrática, la primera es la concavidad donde se pretende que el estudiante

asocie la dirección hacia donde abre la curva de la representación gráfica cartesiana de la

función cuadrática, con el signo del coeficiente del término de la variable independiente

elevada al cuadrado en la expresión polinómica de la función cuadrática es decir “�” y la

segunda variable visual que debe identificar es el vértice de la representación gráfica

cartesiana de la función cuadrática, recordando que el vértice es el punto donde la

representación gráfica de la función cambia de crecer a decrecer ó de decrecer a crecer.


Si el coeficiente del término x� es positivo, el vértice será el menor (mínimo) valor del rango

de la función. Si el coeficiente del término x� es negativo, el vértice será el mayor (máximo)

valor del rango de la función, se tomará en esta tarea el valor absoluto de “�” como

|�|= 1.

TAREA 3 – situación 1. De acuerdo con las figuras A y B identifique y explicite para cada

una de las otras representaciones graficas cartesianas, cuál de las dos (figuras A o B) da

origen a la parábola y cuántas unidades se traslada la parábola sobre el eje horizontal y

sobre el eje vertical (es decir, cuántas unidades se trasladó el vértice ubicado inicialmente

en el punto (0, 0)).

Figura 21. Gráficas de la tarea 3, situación 1.

Figura A.

Figura B.

Figura 1. _____________________

Figura 2. _____________________

x

y

x

y

x

y

x

y

� = �� = −��

a = 1 a = -

1



Figura 3. _____________________ Figura 4. _____________________

Figura 5. ____________________ Figura 6. _____________________

Figura 7. _____________________________ Figura 8. ____________________________

x

y

xy

x

y

x

y

x

y

x

y



situación 1.

Figura Función básica

� Desplazamiento Vértice

1 � = �� = 1 Se trasladó 2 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

(-2,-2)

2 � = −�� = −1 Se trasladó 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.

(3,5)

3 � = �� = 1 Se trasladó 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo.

(3,-2)

4 � = −�� = −1 Se trasladó 4 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

(-4,-1)

5 � = �� = 1 Se trasladó 3 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

(-3,2)

6 � = −�� = −1 Se trasladó 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo.

(2,-4)

7 � = �� = 1 Se trasladó 4 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.

(4,1)

8 � = −�� = −1 Se trasladó 5 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo.

(-5,-3)

Se espera que los estudiantes ya hayan adquirido las suficientes herramientas discursivas

para poder expresar los traslados de las representaciones gráficas cartesianas de la

función cuadrática e identifiquen con base en el moviendo del vértice las unidades que la

parábola resultante de cada función básica se trasladó con respecto a los ejes

coordenados.

Análisis tarea 4 - situación 1. (T4/S1)

En esta tarea se introduce la tercera variable visual de la función cuadrática, la cual es la

abertura (variación del valor absoluto de “�”) de la parábola que se forma al graficar la

función cuadrática. Por medio de esta tarea se buscaba que el estudiante comprenda como

se cierra o se abre (con respecto a la función básica con |�|= 1) la parábola

correspondiente a la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, de acuerdo

con el marco teórico, cuando el valor absoluto del coeficiente de la variable independiente

que se encuentra al cuadrado es mayor que uno |�|> 1 (la parábola se cierra), o cuando

el valor absoluto del coeficiente “�”, 0 < |�|< 1 (la parábola es más abierta). Una de las

gráficas dadas en la figura 22, corresponde a la función cuadrática básica cóncava hacia

abajo, cuya representación simbólica algebraica es: � = −��. Estos criterios fueron



establecidos para el diseño de esta tarea, se espera que los estudiantes se acerquen a la

comprensión de este comportamiento y realicen una abstracción de la incidencia de esta

variable visual de la representación gráfica en la representación simbólica algebraica de

una misma función cuadrática.

Tarea 4 – situación 1. Halla los valores del coeficiente de la variable independiente

(x) elevada al cuadrado, “�” para cada una de las siguientes representaciones gráficas

de la función cuadrática, para ello utiliza un punto de cada una de las gráficas.

Figura 22: Gráfica de la tarea 4, situación 1.

a. Coeficiente b b. Coeficiente c

c. Coeficiente g d. Coeficiente d

e. Coeficiente a

xy


Para realizar el cálculo del coeficiente “�” se espera que los estudiantes ubiquen un punto

de la representación gráfica cartesiana en el cual coincidan la figura fondo (cuadricula) y

la figura forma (parábola) y sabiendo que el vértice de las funciones básicas (� = �� y � =

−��) está ubicado en el punto (0,0), remplacen el vértice y el punto seleccionado en la

expresión canónica de la función cuadrática � = �(� − ℎ)� + �. Luego procedan a

despejar el coeficiente “�”, en la expresión canónica, cuyo valor es la abertura de la

parábola. Los posibles tratamientos que puede realizar el estudiante para hallar cada uno

de los coeficientes, se presenta en la tabla 12. Es necesario tener en cuenta que una de

las gráficas cartesianas dadas en la figura 22 es la representación de la función básica

(� = −��).


situación 1.

Coeficiente Ejemplo de Punto

a remplazar Tratamiento

a (1,-3) � = �(�)� remplazando el punto (-3,-3) tenemos −3 =�(−1)� por tanto � = −3

b (-3,-3)

� = �(�)� remplazando el punto (-3,-3) tenemos −3 =

�(−3)� calculando −3 = 9�, por tanto � = −�

� ,

simplificando � = −�

�

c (2,-1) � = �(�)� remplazando el punto (2,-1) tenemos −1 =

�(−2)� calculando −1 = 4�, por tanto � = −�

�

d (2,-2)

� = �(�)� remplazando el punto (2,-2) tenemos −2 =

�(2)� calculando −2 = 4�, por tanto � = −�

� ,

simplificando � = −�

�

g (1,-4) � = �(�)� remplazando el punto (1,-4) tenemos −4 =�(1)� calculando −4 = 1�, por tanto � = −4

En la tabla 13, se da un ejemplo del punto que se puede remplazar, en el cual coincide la

figura fondo y la figura forma, pero el estudiante podía remplazar el punto que el considere

como la interceptación entre a la figura fondo y la figura forma de acuerdo a su

interpretación de la gráfica cartesiana.



En esta tarea no se les pidió a los estudiantes analizar el comportamiento de la abertura,

con el fin de poder identificar si estos pudieran razonar sobre este comportamiento y

verificar si consiguieron entender el comportamiento de esta variable visual o solo se

realizó un proceso mecánico.

Análisis a priori de situación 2.

En esta situación se busca que el estudiante se familiarice con los tratamientos necesarios

para realizar la conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación

simbólica algebraica de la función cuadrática en su expresión canónica. Se utiliza esta

expresión simbólica algebraica para ver de una manera más asequible el vértice de la

parábola, y porque es posible encontrar la expresión algebraica polinómica por medio del

tratamiento de desarrollar el binomio cuadrado.

Con la secuencia de tareas planteadas en la situación 2, se busca seguir aportando a la

comprensión e identificación de las variables visuales desarrolladas en la situación 1, las

cuales aportan al estudiante las herramientas necesarias que le permitan hacer un cambio

entre registros de representación semiótica para que el estudiante tenga una aprehensión

del concepto de función cuadrática y tal como menciona Duval (1999), se puede decir que

un objeto matemático ha sido comprendido si el sujeto es capaz de reconocer dicho objeto

y realizar trasformaciones en varios sistemas de representación.

Así, cuando estudiamos la variedad de los tipos de representaciones semióticas

utilizadas en matemáticas, nos referimos siempre a los objetos matemáticos y no a

los conceptos; estos, por lo demás, con frecuencia se consideran como una

representación mental asemiótica. Para comprender la actividad matemática, la

noción de objeto es tan fundamental, sino más, que la de concepto. No se trabaja

sobre los conceptos; se trabaja sobre los objetos que tienen propiedades (números,

funciones...). En otros términos, lo importante es la dupla {signo, objeto} o

{representación semiótica, objeto}. Duval (1999, p.6)


En esta tarea se introduce la representación algebraica de la función cuadrática (expresión

canónica), con esto se busca que el estudiante comience a relacionar las variables

categoriales de la expresión simbólica algebraica canónica, con las variables visuales


de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, que se trabajaron en la

situación 1 (proceso de conversión inverso de la tarea 2 situación 2), para tal fin la tarea

presenta a los estudiantes varías expresiones simbólicas algebraicas canónicas de la

función cuadrática y sus respectivas gráficas cartesianas. El estudiante debe a partir de

las variables categoriales (�,ℎ � �) identificar cual expresión simbólica algebraica

canónica corresponde a cada una de las gráficas cartesianas y transformar la expresión

canónica en una expresión polinómica equivalente.

TAREA 1 – situación 2. Relacione cada una de las siguientes ecuaciones canónicas con

su respectiva representación gráfica, justificando su respuesta. Además, en cada una

encuentre la expresión en su forma polinómica equivalente.

a. � = (� + 3)� − 6

b. � = −�

�(� − 4)�

c. � = −2(� − 3)� − 3

d. � = 4(� − 2)� − 4

e. � = −(� + 1)� + 3

f. � = −�

�(� − 4)� + 5


Figura 1. Figura 2. Figura 3

Figura 4 Figura 5. Figura 6.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y



Se espera que los estudiantes relacionen las expresiones canónicas de la función

cuadrática con su respectiva representación gráfica cartesiana, y puedan justificar su

elección con el vértice, la abertura y la concavidad, tal y como se muestra en la tabla 14.

Para comprobar la abertura se utilizará el vértice y un punto en el cual coinciden la figura

forma (parábola) y la figura fondo (cuadrícula) tal y como se realizó en la tarea 4 de la

situación 1.

Tabla 14: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1 - situación 2.

Expresión canónica Vértice Abertura Concavidad Expresión polinómica Figura

c. � = −2(� − 3)� − 3 (3/2,-3) |�|= 2 Hacia abajo � = −2�� + 12� − 21 1

d. � = 4(� − 2)� − 4 (2,-4) |�|=4 Hacia arriba � = 4�� − 16� + 12 2

b. � = −�

�(� − 4)� (4,0) |�|=1/2 Hacia abajo

� = −1

2�� + 4� − 8 3

e. � = −(� + 1)� + 3 (-1,3) |�|=1 Hacia abajo � = −�� − 2� + 2 4

a. � = (� + 3)� − 6 (-3,-6) |�|=1 Hacia arriba � = �� + 6� + 3 5

f. � = −�

�(� − 4)� + 5 (4,5) |�|=3/2 Hacia abajo

� = −2

3�� +

16

3� −

17

3 6

a. Ejemplo: figura 1, expresión canónica � = −2(� − 3)� − 3

Para encontrar la expresión polinómica se resuelve el binomio de la expresión cuadrática:

� = �(� − 3)� − 3 entonces aplicando productos notables � = −2(�� − 6� + 9)− 3

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los

números Reales y efectuamos los productos tenemos � = −2�� + 12� − 18− 3, por tanto,

la expresión algebraica polinómica será: � = −2�� + 12� − 21

b. Ejemplo: figura 2, expresión canónica � = 4(� − 2)� − 4

Para encontrar la expresión polinómica se resuelve el binomio de la expresión cuadrática:

� = �(� − 2)� − 4 entonces aplicando productos notables � = 4(�� − 4� + 4)− 4

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los

números Reales y efectuamos los productos tenemos � = 4�� − 16� + 16 − 4 por tanto la


expresión algebraica polinómica será � = 4�� − 16� + 21. En el desarrollo de la situación

se espera que los estudiantes expliciten las propiedades en la estructura de los números

Reales que permiten estos tratamientos en el registro simbólico algebraico. El papel del

maestro como mediador es fundamental para recordar y significar dichas propiedades.

Se asume en este trabajo indagativo como mediación el papel del maestro (o un compañero

más capaz o con más estrategias) de ayudar en el desarrollo potencial de los estudiantes.

El nivel evolutivo potencial está determinado por los procesos que el estudiante está en

vías de dominar e incorporar y que, para ser llevados a cabo, requiere de la asistencia o

ayuda de un adulto o de un niño más capaz. La relación entre ambos genera lo que Vigotsky

(1979) denominó zona de desarrollo inmediato y que definió así: “no es otra cosa que la

distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la capacidad de resolver

independientemente un problema, y el nivel de desarrollo potencial, determinado a través

de la resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro

compañero más capaz” (Vigotsky, 1979, p. 133).


En esta tarea se busca que el estudiante relacione una gráfica cartesiana con su respectiva

representación algebraica la cual se encuentra como una expresión canónica y al igual que

en la tarea anterior, el estudiante debe hallar su expresión polinómica equivalente. Con esto

se busca que el estudiante aprenda a realizar la conversión entre una representación

gráfica cartesiana y la representación algebraica teniendo en cuenta que la puede presentar

como una expresión canónica o expresión polinómica equivalente.

Tarea 2 – situación 2. Para cada una de las siguientes representaciones gráficas

cartesianas de funciones cuadráticas encuentre la representación simbólica algebraica de

la función cuadrática representada por la gráfica para lo cual debería tener en cuenta las

variables visuales (concavidad abertura y vértice), justificando su respuesta. Las

representaciones simbólicas algebraicas se presentan en forma canónica, pero debe

encontrar la respectiva expresión polinómica equivalente correspondiente a la que fue

relacionada.




a.

a. � = (� + �)�

b. � = �� + �

c. � = (� − �)� + �

d. � = (� + �)� + �

e. � = (� − �)� + �

b.

a. � = (� + �)� + �

b. � = (� − �)� + �

c. � = (� + �)� − �

d. � = (� + �)�

�. � = (� + �)� − �

c.

a. � = �(� + �)� + �

b. � = −�(� − �)� − �

c. � = �(� + �)� + �

d. � = −�(� + �)� + �

e. � = −�(� − �)� + �

x

y

x

y

x

y


d.

a. � = �(� + �)� + �

b. � = −�(� − �)� − �

c. � = �(� − �)� + �

d. � = −�(� + �)� + �

e. � =�

�(� − �)� + �

Se espera que los estudiantes identifiquen en de la representación gráfica de la función

cuadrática, las variables visuales (concavidad y vértice) y calculen la abertura, como se

realizó en la tarea 1 de la situación 2, con estos datos encuentren la expresión canónica de

cada una de las representaciones gráficas cartesianas y con la expresión canónica realicen

el tratamiento de resolver el binomio al cuadrado utilizando las propiedades de los números

Reales, para encontrar la expresión polinómica equivalente, los resultados que se

esperaban de los estudiantes se encuentran consignados en la tabla 15.


situación 2.

Figura Expresión canónica Vértice Abertura Concavidad Expresión polinómica

a c. � = (� − 3)� + 1 (3,1) 1 Hacia arriba � = �� − 6� + 10

b e. � = (� + 2)� − 2 (-2,-2) 1 Hacia arriba � = �� + 4� + 2

c b. � = −2(� − 3)� − 4 (3,-4) -2 Hacia abajo � = −2�� + 12� − 22

d d. � = −3(� + 2)� + 6 (-2,6) -3 Hacia abajo � = −3�� − 12� − 6

x

y



Ejemplo: figura b,

Se identifica la expresión simbólica canónica que en este caso corresponde al

literal e. � = (� + 2)� − 2 porque, es una parábola cóncava hacia arriba, con el

vértice en el punto cartesiano (-2,-2).

Para encontrar la expresión polinómica equivalente se resuelve el binomio de la

expresión canónica: � = (� + 2)� − 2 entonces aplicando productos notables � =

(�� + 4� + 4)− 2 aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con

respecto a la suma los números Reales efectuamos los productos � = �� + 4� +

4− 2 por tanto, la expresión algebraica polinómica será � = �� + 4� + 2

Ejemplo: figura d.

Se identifica la expresión simbólica canónica que en este caso corresponde al

literal d. � = −3(� + 2)� + 6 porque es una parábola cóncava hacia abajo, con el

vértice en el punto cartesiano (2,6).

Para encontrar la expresión polinómica equivalente se resuelve el binomio de la

expresión cuadrática: � = −3(� + 2)� + 6 entonces aplicando productos notables

� = −3(�� + 4� + 4)+ 6 aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación

con respecto a la suma de los números Reales efectuamos los productos � =

−3�� − 12� − 12 + 6 por tanto la expresión algebraica polinómica será � =

−3�� − 12� − 6

Análisis tarea 3 – Situación 2. (T3/S2)

En esta tarea se busca que el estudiante relacione la expresión simbólica polinómica de la

función cuadrática con su respectiva representación gráfica cartesiana. Con esto se busca

que el estudiante aprenda a realizar la conversión entre una representación simbólica

algebraica (expresión polinómica) y la representación gráfica cartesiana, teniendo en

cuenta que la representación algebraica se puede presentar como una expresión canónica

o como su equivalencia en una expresión polinómica.


Tarea 3 – situación 2. Teniendo en cuenta las variables categoriales de las expresiones

algébricas dadas, asocie cada una de las expresiones simbólicas algebraicas con su

respectiva representación gráfica cartesiana, justifique su respuesta. Sugerencia:

encuentre la expresión simbólica algebraica canónica apoyándose en la gráfica y después

halle la equivalencia en polinómica para escoger la respuesta.

a. � = −�� − 6� − 9

b. � = �� + 2� + 6

c. � = 2�� + 2� + 6

d. � = −3�� − 7�


Figura 1. Figura 2.

Figura 3.

Figura 4. Figura 5. Figura 6.

Se espera que los estudiantes puedan relacionar la expresión polinómica de la función

cuadrática con su respectiva gráfica cartesiana, para lo cual el estudiante debe transformar

la expresión polinómica en una expresión canónica �(�) = �(� + ℎ)� + �, en la que se

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y



identifican las variables categoriales y se les hace corresponder con las variables

visuales correspondientes para elegir la gráfica que corresponde a la expresión polinómica.


Figura Expresión polinómica

Vértice Abertura Concavidad Expresión canónica

3 a. � = −�� − 6� − 9 (-3,0) -1 Hacia abajo � = −1(� + 3)�

2 b. � = �� + 2� + 6 (-1,5) 1 Hacia arriba � = (� + 1)� + 5

5 c. � = 2�� + 2� + 6 (-1/2,11/2) 2 Hacia abajo � = 2�� +1

2��

+11

2

4 d. � = −3�� − 7� (-7/6,49/12) -3 Hacia abajo � = −3�� +7

6��

+49

12

Ejemplo de posibles tratamientos para la pregunta a (T3/S2)

a. −�� − 6� − 9

Si se tiene la expresión simbólica polinómica � = −�� − 6� − 9

Si se aplica la propiedad asociativa se puede agrupar en un paréntesis los términos

que contengan la variable independiente (�).

� = (−�� − 6�)− 9

Se saca factor común de los términos del paréntesis.

� = −1(�� + 6�)− 9


aplicamos las propiedades del opuesto aditivo y el número neutro, se suma y se

resta el mismo término para no alterar la expresión simbólica algebraica.

� = −1(�� + 6� + 3� − 3�)− 9

Se reagrupa, se debe aplicar la propiedad asociativa y luego la propiedad

distributiva de los números Reales y realiza la suma de los términos que están por

fuera del paréntesis.

� = −1(�� + 6� + 9)+ 9 − 9


Se realiza la operación en 9 − 9 = 0 y se obtiene la expresión canónica.

� = −1(� + 3)�

De acuerdo con lo anterior se afirma que la expresión simbólica polinómica

� = −�� − 6� − 9 corresponde a la figura 3, porque es una parábola que es cóncava hacia

abajo con vértice en el punto (-3,0).

Análisis a priori de la situación 3.

La tercera situación plantea las tareas necesarias para verificar que el estudiante ha

conseguido realizar las trasformaciones de la función cuadrática, desde aprehensiones

globales cualitativas de las variables visuales. Para esto se busca que el estudiante

consiga realizar de manera más autónoma los tratamientos en un registro y de igual manera

también pueda realizar la conversión entre registro gráfico cartesiano y registro algebraico

y viceversa. Con el fin de verificar que se ha producido por parte del estudiante una

objetivación de los sistemas de representación de la función cuadrática como objeto de

estudio.


En esta tarea se busca que los estudiantes realicen la representación gráfica de cada uno

de las funciones cuadráticas partiendo de la expresión simbólica polinómica, para eso se

recomienda realizar los tratamientos necesarios para hallar la expresión simbólica canónica

de cada función cuadrática, esto debido a que en la expresión canónica se puede visualizar

de una forma explícita la concavidad y el vértice de la función. Para realizar el cambio entre

la expresión polinómica a la expresión canónica se le sugiere y se les enseñará a los

estudiantes realizar el tratamiento algebraico denominando completar cuadrados, a partir

del cual también se les puede enseñar un tratamiento para encontrar los ceros del polinomio

cuando se tiene la expresión canónica de la función cuadrática.

Tarea 1 – situación 3. Graficar las siguientes funciones cuadráticas las cuales se

encuentran en su expresión polinómica y determinar el dominio, el rango (el cual depende

del valor máximo o mínimo del y). Explique si el vértice es un punto máximo o mínimo del

rango, el eje de simetría y los cortes con los dos ejes cartesianos si existen, para conseguir



visualizar el vértice de la representación gráfica cartesiana debe pasar a la expresión

polinómica a expresión canónica por medio del tratamiento de completar cuadrados.


a. � = �� − 2� + 2

b. � = −�� + 9

c. � = −�� + � −

�

�

d. � = �� − 5� + 6

Tabla 17: Posibles respuestas que pueden plantear los estudiantes para la tarea 1

- situación 3.

Figura Expresión polinómica

Vértice Ceros del

polinomio

Concavida

d

Expresión

canónica

a � = �� − 2� + 2 (1,1) No existen Hacia arriba � = (� − 1)� + 1

b � = −�� + 9 (0,9) x=3 y x=-3 Hacia abajo � = −(� + 0)� + 9

c � = −�� + � −1

4 (1/2,0) x=1/2 Hacia abajo � = −�� −

1

2��

d � = �� − 5� + 6 (5/2,-1/4)

x=3 y x=2 Hacia arriba � = �� −5

2��

−1

4

x

y

x

y

x

y

x

y


Ejemplo de posibles tratamientos para la pregunta a (T1/S3)

�. � = �� − 2� + 2

Si se tiene la expresión simbólica algebraica. � = �� − 2� + 2

Si se aplica la propiedad asociativa se puede agrupar en un paréntesis los términos

que contengan la variable independiente (�).

� = (�� − 2�)+ 2


aplicamos las propiedades del inverso aditivo y la propiedad modulativa, se suma y

se resta el mismo término para no alterar la expresión simbólica algebraica.

� = (�� − 2� + 1� − 1�)+ 2

Se reagrupa, se debe aplicar la propiedad asociativa y luego la propiedad

distributiva de la multiplicación con respecto a la suma de los números Reales y

realizamos la suma de los términos que están por fuera del paréntesis.

� = 1(�� − 2� + 1)− 1 + 2

Se realiza la operación en −1 + 2 = 1 y se obtiene la expresión canónica.

� = (� − 1)� + 1

Para encontrar los cortes con el eje x

Primero se iguala la expresión simbólica canónica a cero

0 = (� − 1)� + 1

Se despeja aplicando la propiedad del opuesto aditivo el término cuadrado en la ecuación.

(� − 1)� = −1

Cuando se aplica la raíz cuadrada se evidencia que la representación gráfica de la función

no tiene cortes con los ejes porque la raíz cuadrada de un número negativo no está definida

en el conjunto de los números Reales, que corresponde al dominio de la función.

Por tanto, la gráfica será:



Gráfica del literal a. de la Tarea1 – Situación 3


En esta tarea se busca que a partir de la identificación de las variables visuales de la

gráfica de la función cuadrática los estudiantes sean capaces llegar a la expresión

polinómica, la finalidad de esta tarea consiste en verificar si los estudiantes han conseguido

realizar al aprensión global de la gráfica cartesiana Duval (1999), mediante la identificación

de las variables visuales y la realización de los procesos de conversión y tratamientos

necesarios, para que, a partir de la representación gráfica cartesiana de la función

cuadrática, obtengan la expresión polinómica asociada a dicha representación gráfica

cartesiana.

Tarea 2 – situación 3. Las siguientes parábolas son originadas por funciones cuadráticas

de la forma � = �(� − ℎ)� + �, siendo a R-{0}, escriba en cada caso la representación

algebraica en su expresión canónica y la expresión polinómica correspondiente, además

halle los cortes con el eje x y con el eje y.


Figura 27. Gráficas de la tarea 2, situación 3.

Se espera que los estudiantes identifiquen en la representación gráfica el punto

correspondiente al vértice y un punto en el cual coincida la figura fondo (cuadrícula) y la

figura forma (parábola), para calcular el coeficiente de la variable independiente elevada al

cuadrado (abertura) tal como se realiza en la tarea 4 de la situación 1.

Al tener la abertura y el vértice el estudiante puede plantear la expresión canónica de la

función cuadrática y a partir de ella con el tratamiento de resolver el binomio al cuadrado

hallar la expresión polinómica.




Figura Vértice Abertura Expresión canónica

Expresión polinómica

Ceros del polinomio

1 (-3,-2) -1 � = −1(� + 3)� − 2 � = −�� − 6� − 11 No existen

2 (5,2) -1 � = −1(� − 5)� + 2 � = −�� + 10� − 23 x=3,6 y x=6,4

3 (4,5) 2 � = 2(� − 4)� + 5 � = 2�� − 16� + 37 No existen

4 (2,-2) 3 � = 3(� − 2)� − 2 � = 3�� − 12� + 10 x=2,8 y x=1,2

Ejemplo:

Figura 1 de la Tarea 2 - Situación 3 (T2/S3).

Con los dos puntos identificados es la representación gráfica cartesiana se halla la abertura

de la parábola con la expresión canónica de la siguiente manera:

Remplazando el vértice se tiene � = �(� − (−3))� + (−2)

Si se remplaza el punto de coincidencia tenemos −3 = �(−2+ 3)� − 2

Si se despeja tenemos que � = −1

Con la abertura y el vértice se plantea la expresión canónica:

� = −1(� + 3)� − 2


Con la expresión canónica se calcula la expresión polinómica.

Resolviendo el binomio: � = −1(� + 3)� − 2 entonces aplicando productos notables

� = −1(�� + 6� + 9)− 2 aplicando la propiedad distributiva de los números Reales

efectuamos los productos: � = −�� − 6� − 9 − 2

Sumamos los términos independientes y tenemos que la expresión polinómica de la

función cuadrática será:

� = −�� − 6� − 11

Rejilla de análisis de las situaciones didácticas.

Tabla 19. Rejilla de análisis de las situaciones didácticas.

Interpretación global

Conversión de sistemas de representación

Caracterización

de la función

Representación gráfica

cartesiana -

Representación

algebraica

Representación

algebraica -

representación gráfica

cartesiana

Variables

visuales

Concavidad S1(T1,T2,T3) S1, (T4), S2(T2, S3) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Vértice S1(T1,T2,T3,T4) S1(T4), (S2, S3) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Cortes con el eje x S1(T2) S2(T3), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Abertura de la

parábola S1(T4) S1(T4), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Representación

gráfica

Figura fondo S1(T2,T3,T4)

S1(T4), S2(T1,T2,T3),

S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Figura forma S1(T1,T2,T3,T4)

S1(T4), S2(T1,T2,T3),

S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Representación

algebraica

Expresión canónica S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)

Expresión

polinómica S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2) S2(T1,T2,T3), S3(T1,T2)



Las variables que se tuvieron en cuenta para el diseño de las situaciones didácticas se

sintetizan en la tabla 19, titulada rejilla de análisis. Esta rejilla se tomará como referencia

para la recolección y análisis de los datos resultantes del trabajo de indagación.

En la realización de esta rejilla se tuvieron en cuenta las variables que intervienen en el

proceso de objetivación de una función cuadrática desde sus representaciones semióticas

simbólica algebraica y cartesiana, considerando: el papel de las variable visuales en el

proceso de interpretación global de las funciones, las diferentes representaciones en las

cuales se puede encontrar las funciones polinómicas, específicamente en este trabajo de

indagación se consideraron la gráfica cartesiana y la expresión simbólica algebraica

(polinómica y canónica) y las trasformaciones necesarias (conversiones y tratamientos)

para el cambio de registro.

4. ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS

En el desarrollo de este capítulo se realizará el reporte y análisis de las producciones

escritas de los estudiantes, recolectadas durante la aplicación de las tres situaciones

didácticas diseñadas y planteadas, en este trabajo de indagación, como una alternativa

para la enseñanza de la función cuadrática. Teniendo como eje orientador el objetivo

general de identificar, analizar y caracterizar la función cuadrática a partir de las

trasformaciones entre las representaciones semióticas (gráfica cartesiana y simbólica

algebraica).

Las situaciones didácticas se aplicaron a 26 estudiantes del grado 9-1 de la institución

educativa Alberto Carvajal Borrero de la ciudad de Cali. Para el análisis de los datos

recolectados se tuvo en cuenta la interpretación de las variables visuales que emergieron

en el desarrollo de las tareas por parte de los estudiantes, para justificar las repuestas

seleccionadas y las trasformaciones (tratamientos y conversiones). Para el análisis de los

datos recolectados se definieron las siguientes categorías.

Categorías de análisis

Categoría 1. Análisis descriptivo de las producciones de los estudiantes obtenidos

en la aplicación de las situaciones.

Categoría 2. Análisis de la aproximación o acercamiento a la comprensión de las

diversas variables visuales de la función cuadrática.

Categoría 3. Análisis de las diferentes trasformaciones (tratamientos-conversiones)

necesarias para la objetivación de la función cuadrática.



Categoría 1. Análisis descriptivo de los resultados de la aplicación de las situaciones

En este análisis se presenta la descripción de los resultados obtenido mediante la

implementación de las situaciones didácticas. En la redacción de este capítulo

denominaremos a las tareas con la letra T y a las situaciones con la letra S.

Análisis descriptivo de las respuestas de la Situación 1. (S1)

Esta situación tenía como objetivo familiarizar al estudiante con las diferentes variables

visuales que se deben tener en cuenta en el proceso de enseñanza aprendizaje de la

función cuadrática, como son: la concavidad, el vértice y la abertura en los registros

gráfico cartesiano y simbólico algebraico. A continuación, se presentan los resultados de

la aplicación de cada una de las tareas planteadas en esta situación didáctica y algunos

ejemplos de las producciones de los alumnos.

Análisis Tarea1 - situación 1. (T1/S1)

Esta tarea buscaba que el estudiante se familiarizara con la representación gráfica

cartesiana de la función cuadrática, para lo cual se presentó dicha representación entre

otras representaciones gráficas de funciones y relaciones. En las producciones se puede

evidenciar que la mayoría de los estudiantes identifican las gráficas correspondientes a la

representación gráfica de la función cuadrática, aunque en la mayoría de los casos los

estudiantes no utilizaron los términos propios del objeto de estudio (vértice, concavidad,

etc.) para explicar o justificar por qué la gráfica representa una función cuadrática.

Con el fin de facilitar la explicación de los resultados de la tarea1 – situación 1, se realizó

una tabla para cada una de las figuras de las que consta la tarea, en cada tabla se

condensaron las respuestas de los estudiantes, además para una mejor ilustración de lo

ANÁLISIS A POSTERIORI DE LAS SITUACIONES DIDÁCTICAS 119

encontrado en las producciones de los estudiantes se presentaron dos ejemplos

representativos de las producciones de la muestra. En estas producciones se pudieron

evidenciar los argumentos dados por los estudiantes para explicar porqué la gráfica

correspondía a la representación de una función cuadrática o no representaba una función

cuadrática.

Tabla 20. Análisis de la figura 1, (T1/S1).

Análisis de la figura 1, (T1/S1). Respuesta de los estudiantes N° estudiantes

Reconocen que la representación gráfica que no corresponde a una representación de una función cuadrática.

26

Reconocen que no es una representación de una función cuadrática pero no pueden plantear una expansión discursiva dando cuenta del porqué.

5

Argumentan que no es una representación función cuadrática porque tiene dos vértices.

17

Argumentan que no es una representación de una función cuadrática porque abre hacia arriba y hacia abajo en una misma gráfica.

4

Total 26

Figura 28: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 1, (T1/S1).



Como se nuestra en la tabla 20, todos los estudiantes afirman que la figura 1, (T1/S1), no corresponde a la representación cartesiana de la función cuadrática, 17 estudiantes afirman que la figura 1, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica de la función cuadrática porque la gráfica de la función cuadrática solo tiene un vértice y la figura 1, (T1/S1), tiene dos vértices. Mientras 4 estudiantes afirman que la figura 1, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica cartesiana de una función cuadrática y, para argumentar, su respuesta afirman que “no tiene un solo punto de referencia (vértice), y abre hacia arriba y hacia abajo” es decir que la gráfica abre en dos direcciones mientras que la gráfica de la función cuadrática solo abre hacia arriba o hacia abajo, como se puede ver en la figura 28.

Tabla 21: Análisis de la figura 2, (T1/S1).


Argumentan que es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia arriba

5

Reconocen que es representación de una función cuadrática pero no pueden explicar el porqué

16

Es una representación gráfica de una función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia arriba

5

Total 26

Figura 29: Ejemplo de Repuesta del estudiante de la figura 2, (T1/S1).


Como se muestra en la tabla 21, y en el ejemplo presentado en la figura 29, de la figura 2,

(T1/S1), todos los estudiantes fueron capaces de identificar que la figura 2, (T1/S1),

correspondía a la representación gráfica de la función cuadrática, 5 estudiantes

argumentan que la gráfica corresponde a una parábola que abre hacia arriba como se

muestra en la figura 29, aunque ninguno de ellos utilizó la palabra concavidad para referirse

a dicha dirección de la abertura. 16 de los estudiantes no justificaron por qué afirmaban

que la figura 2, (T1/S1), correspondía a una representación gráfica de la función cuadrática

y los 5 estudiantes restantes justifican su respuesta al afirmar que ¨la gráfica posee un

vértice definido y abre hacia arriba¨.

Tabla 22: Análisis de la figura 3, (T1/ S1).

Análisis de la figura 3, (T1/S1).

Respuesta de los estudiantes N° estudiantes Argumenta que No es una representación de la función cuadrática porque se abre hacia un lado (hacia la derecha)

16

Argumenta que No es una representación de una función cuadrática porque la función cuadrática sólo abre hacia arriba o hacia abajo

10

Total 26


.

Como se muestra en la tabla 22, todos los estudiantes identificaron que la figura 3, (T1/S1),

no corresponde a la representación gráfica de una función cuadrática, en la figura 30 se

puede observar dos de las repuestas presentadas por los estudiantes para la figura 3,

(T1/S1), de estas dos respuestas 16 de los estudiantes justificaron su respuesta al afirmar



que la figura 3, (T1/S1), no correspondía a la representación gráfica de una función

cuadrática porque la figura 3, (T1/S1), abre hacia un lado y los 10 estudiantes restantes

afirman que no corresponde a la representación gráfica de una función cuadrática porque

no abre hacia arriba o hacia abajo.



Respuesta de los estudiantes N° estudiantes Aseguran que es una representación de función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia abajo.

6

Reconocen que es una función cuadrática pero no poseen las expansiones discursivas para explicar porqué.

14

Aseguran que es función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia abajo.

6

Total 26

Figura 31. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 4, (T1/S1).

Como se muestra en la tabla 23, y en los ejemplos presentados en la figura 31 todos los

estudiantes fueron capaces de identificar que la gráfica correspondía a la representación

gráfica de la función cuadrática, pero sólo 6 de ellos fueron capaces de decir que la figura

4, (T1/S1), tenía un vértice y correspondía a una parábola, aunque al igual que en la figura

2 (T1/S1), ninguno de ellos utilizó la palabra concavidad para referirse a dicha dirección de


la abertura, 14 de los estudiantes afirman que la figura 4, (T1/S1), corresponde a la

representación gráfica de la función cuadrática pero no explican por qué, los 6 estudiantes

restantes justifican su respuesta al afirmar que la figura 4, (T1/S1)corresponde a la

representación gráfica de una función cuadrática porque posee un vértice al cual algunos

de ellos llamaron ¨punto de partida¨ definido y abre hacia abajo.



Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia abajo.

7

Reconocen que es una representación de una función cuadrática pero no poseen las expansiones discursivas para explicar porqué.

12

Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia abajo.

7

Total 26

Figura 32. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de la figura 5, (T1/S1).

Como se muestra en la tabla 24, todos los estudiantes identificaron que la figura 5, (T1/S1),

correspondía a la representación gráfica de la función cuadrática esto puede tener

explicación en que ese tema lo acababan de ver en la clase anterior y la mayoría de ellos

se acordaban del tema, 7 estudiantes justificaron su respuesta al afirmar que la gráfica

correspondía a una parábola que abre hacia abajo ejemplo de esto se muestra en figura



32, 12 de los estudiantes afirman que la figura 5, (T1/S1), correspondía a la representación

gráfica de la función cuadrática pero no explicaron el porqué de su respuesta. Los 7

estudiantes restantes justifican su respuesta al afirmar que la figura 5, (T1/S1), posee un

vértice definido y abre hacia arriba. En esta gráfica ya se pude notar el esfuerzo de algunos

estudiantes por identificar el punto correspondiente al vértice de la parábola, al decir que

¨la gráfica abre en el punto 5¨ ver figura 32. En las explicaciones o discusiones en clase se

les enfatizó que cuando se va a definir un punto en el plano cartesiano se debe colocar la

coordenada correcta, por tanto, el vértice estaría en el punto (0,5).



Respuesta de los estudiantes N° estudiantes No es una representación de una función cuadrática. 26 Reconocen que no es una representación de una función cuadrática pero no poseen las expansiones discursivas para explicar porqué.

7

No es una representación de una función cuadrática porque no es una parábola.

5

No es una representación de una función cuadrática porque es una línea recta.

14

Total 26


Como se muestra en la tabla 25, Todos los estudiantes fueron capaces de identificar que

la gráfica no corresponde a la gráfica de la función cuadrática. 14 estudiantes afirman que


la figura 6, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica de una función cuadrática

y argumentan que la figura 6, (T1/S1), corresponde a la representación gráfica de una

función lineal para lo cual afirman que ¨la gráfica corresponde a una línea recta; 7 de los

estudiantes afirman que no es la representación gráfica de una función cuadrática pero no

justifican su respuesta y los 5 estudiantes restantes afirman que no corresponde a la

representación gráfica de una función cuadrática porque no es una parábola y otros

afirman que no es porque ¨no abre hacia ningún lado¨ como se muestra en la figura 33.



Respuesta de los estudiantes N° estudiantes

No es una representación de una función cuadrática 26

Reconocen que no es una representación de una función cuadrática pero no pueden explicar el porqué

10

Argumentan que no es una representación de una función cuadrática porque no es una parábola

4

Argumentan que no es una representación de una función porque ambos lados deben abrirse hacia el mismo sentido

12

Total 26

Figura 34. Ejemplo de la Repuesta de un estudiante de la figura 7, (T1/S1).



Como se muestra en la tabla 26, por un lado, la respuesta de todos los estudiantes

concuerda en que la figura 7, (T1/S1), no corresponde a la representación gráfica de la

función cuadrática, en el ejemplo presentado en la figura 34, el estudiante afirma que la

figura 7, (T1/S1), no es una parábola y complementa su respuesta diciendo los lados abren

hacia arriba y hacia abajo. Por otro lado, 4 estudiantes justifican su respuesta al afirmar

que la figura 7, (T1/S1), no corresponde a una parábola, 10 estudiantes afirman que no es

la representación gráfica de una función cuadrática pero no justifican su respuesta, los 12

estudiantes restantes afirman que no es la representación gráfica de una función

cuadrática porque ¨no existe una abertura¨ (concavidad) o que ¨no es una curva en V¨.



Respuesta de los estudiantes N° estudiantes Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y es una parábola que abre hacia arriba

5

Reconocen que es una representación de una función cuadrática pero no pueden explicar el porqué

14

Es una representación de una función cuadrática porque tiene un vértice y abre hacia arriba

7

Total 26



Como se muestra en la tabla 27 todos los estudiantes fueron capaces de identificar que la

figura 8, (T1/S1), correspondía a la representación gráfica de la función cuadrática, 5 de

los estudiantes afirman que la figura 8, (T1/S1), corresponde a una parábola que abre hacia

arriba, ver figura 35, aunque ninguno de ellos utilizó la palabra concavidad para referirse a

dicha dirección de la abertura, 14 de los estudiantes afirman que la figura 8, (T1/S1),

corresponde a la representación gráfica de la función cuadrática, pero no explicaron el

porqué de esta afirmación lo que denota una limitación desde las expansiones discursivas

de los estudiantes para realizar la explicación de un proceso. Los 7 estudiantes restantes

justifican su respuesta al afirmar que la figura 8, (T1/S1) si corresponde a la representación

gráfica de la función cuadrática afirmando que “posee un vértice definido y abre hacia

arriba”.

De los resultados obtenidos en la tarea 1 de la situación 1, se puede afirmar que si bien

los estudiantes consiguieron identificar las representaciones gráficas cartesianas

correspondientes la función cuadrática entre distintas representaciones gráficas

cartesianas de distintas funciones (cuadráticas y no cuadráticas) y aquellas gráficas que

no representaban funciones, las cuales se les presentaron en esta tarea, se puede

observar como el número de estudiantes que no argumentaron su respuesta fue

disminuyendo desde 16 para la figura 2, (T1/S1), hasta 7 la figura 6, (T1/S1), con lo cual

podríamos decir que los estudiantes fueron adquiriendo las herramientas discursivas para

explicar las respuestas a medida que realizaban la tarea.

Para explicar las respuestas los estudiantes recurren a llamar a las variables visuales de

distinta manera: al vértice como “punto de giro, punto de salida, punto de partida o punto

de referencia”; para referirse a la concavidad dicen: que “la parábola abre hacia abajo o

hacia arriba”. También son pocos los que utilizan la palabra parábola para referirse a la

representación gráfica cartesiana de la función cuadrática y solo se limitan a decir que la

figura abre hacia arriba o hacia abajo. Lo cual se puede considerar normal en el proceso

de aprendizaje de las designaciones características de la función cuadrática.

Análisis Tarea 2- Situación 1. (T2/S1)

Por medio de esta tarea se buscaba que los estudiantes fueran capaces de relacionar un

enunciado escrito en lenguaje natural, con las representaciones gráficas cartesianas de



las funciones cuadráticas, esto con el fin de que se familiarizaran y utilizarán el lenguaje

especifico de la función, observaran cómo se puede presentar la gráfica de la función

cuadrática en el plano cartesiano (posiciones en las que se puede encontrar la parábola)

e identificarán la concavidad, los interceptos con el eje de abscisas, el vértice y las

direcciones de los desplazamientos de la gráfica, como variables visuales de la

representación gráfica cartesiana de la función cuadrática.

Aunque los estudiantes relacionaron de forma correcta los enunciados escritos en lenguaje

natural con las representaciones gráficas cartesianas de la función cuadrática y 18

estudiantes completaron los enunciados faltantes de forma acertada, se puede evidenciar

en sus respuestas la falta de uso del lenguaje especializado para designar la característica

de la función que se está estudiando. De los 18 estudiantes que completaron

correctamente los enunciados faltantes, 8 hacen referencia a la abertura de la parábola

como concavidad, 5 estudiantes afirman que la parábola abre hacia arriba o hacia abajo

según sea el caso, y 3 estudiantes mencionan ¨hacia arriba o hacia abajo¨ para designar

hacia a donde es la concavidad de la parábola como se puede ver en los ejemplos

presentados en la figura 36.

Tabla 28: Análisis de la Tarea 2, situación 1.

Análisis de la tarea 2- situación 1

Respuesta de los estudiantes N° estudiantes

El estudiante relaciona los textos con las gráficas, aunque no completaron los textos faltantes

8

El estudiante relaciona los textos con las gráficas y completaron los textos faltantes

18

Total 26


Figura 36: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2. Situación 1.

Análisis Tarea 3 – Situación 1. (T3/S1)

En esta tarea se introduce la representación simbólica algebraica de la función cuadrática

y se busca que el estudiante a partir de las representaciones gráficas cartesianas

correspondientes a las parábolas básicas, � = ��; � = –��, identifique cuál de estas

expresiones simbólicas canónicas da origen a la representación gráfica cartesiana.

La mayoría de los estudiantes, 22 de 26, identificaron cuál fue la figura que dio origen a

cada una de las parábolas, así como las unidades que cada una de las parábolas se

trasladaron sobre cada uno de los ejes cartesianos. 10 de los estudiantes utilizaron la

expresión ¨la gráfica se corrió cierta cantidad de unidades a la derecha y corrió cierta

cantidad de unidades hacia arriba¨, para designar el traslado de la parábola; los 4

estudiantes que no identifican la figura que da origen a la parábola, o no identifican en la

cuadrícula (figura fondo), el punto donde está ubicado el vértice; los 12 estudiantes

restantes identificaron de forma correcta el respectivo vértice para cada una de las

parábolas, además utilizaron el lenguaje adecuado no solo para mencionar la gráfica como

una parábola sino también para enunciar los movimientos en los ejes como traslados del

vértice.




Análisis de la tarea 3, situación 1

Respuesta de los estudiantes N° estudiantes El estudiante identifica cual figura dio origen a la parábola, así como las unidades que se trasladó en cada uno de los ejes.

22

El estudiante no identifica cual figura dio origen a la parábola o cuántas unidades se trasladó.

4

Total 26

Figura 37: Repuestas de los estudiantes Tarea 3. Situación 1.

En esta tarea se pudo constatar que los estudiantes realizaron de forma correcta la

aprehensión local por punteo, cuando 22 de 26 de ellos identificaron los desplazamientos

de cada una de las representaciones gráficas cartesianas en el plano.


En esta tarea se introduce la tercera variable visual de la función cuadrática (la abertura),

se buscaba que el estudiante realizara los procesos de conversión entre una

representación gráfica cartesiana y la representación algebraica canónica de la función

cuadrática. Para lo cual el estudiante debía hallar la abertura de la gráfica de la función


cuadrática, el coeficiente “�” de la expresión canónica ( � = �(� − ℎ)� + � �� ≠ 0 )

donde ℎ y � son las coordenadas del vértice. Además, el estudiante debe relacionar este

resultado con el coeficiente “�” de la variable independiente que se encuentra elevada al

cuadrado en la expresión polinómica de la función cuadrática.

Es de resaltar que en esta tarea no se pidió explícitamente a los estudiantes razonar sobre

el comportamiento de la abertura de la parábola, pero siempre es la intención de la

situación, llevar a que los estudiantes relacionen la concavidad con el comportamiento de

la abertura de la parábola de acuerdo con valor absoluto del coeficiente “�”. Consiguiendo

generalizar hasta llegar a comprender que cuando el valor absoluto del coeficiente de la

variable independiente que se encuentra al cuadrado es mayor que uno |�|> 1 (la

parábola se cierra), o cuando el valor absoluto del coeficiente “a”, 0 < |�|< 1 (la parábola

se abre) y que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo con la misma abertura.

La mayoría de los estudiantes, 23 de 26, consiguieron realizar el tratamiento de calcular el

coeficiente que acompaña la variable al cuadrado, para lo cual identificaron en la gráfica

de la función cuadrática el punto correspondiente al vértice de la parábola (0,0) y lo

remplazaron en la expresión canónica de la función cuadrática la cual es de la forma � =

�(� − ℎ)� + �, donde ℎ y � son las coordenadas del vértice de la parábola. Después

identificaron un punto en el cual se intersecan la cuadrícula de la figura fondo con la gráfica

de la parábola (figura forma), el cual fue tomado como los valores de las variables “x” y “y”,

al remplazar este punto procedieron a despejar y calcular el coeficiente.

En la tarea 4 de la situación 1 17 estudiantes realizaron de forma correcta la identificación

de punto en la gráfica en el cual se intersecaran la figura fondo (cuadrícula) y la figura

fondo (parábola), y realizaron de forma acertada los tratamientos aritméticos para

encontrar el valor de cada uno de los coeficiente ejemplo de esto se puede ver en la figura

38.

En esta tarea 6 estudiantes cometieron más de un error en el signo al realizar el cálculo

del coeficiente, ante lo cual se podría afirmar que estos estudiantes no tienen claro lo que

representa el signo del coeficiente de la variable elevada al cuadrado en la expresión

algebraica y su conversión en la gráfica de la función cuadrática (sentido de la concavidad),



puesto que si lo tuviesen claro sabrían que siempre que la gráfica es cóncava hacia abajo

el coeficiente debe ser negativo. Algo significativo es que solo 3 estudiantes no

consiguieron identificar un punto en el cual se intersecaran la parábola y la cuadrícula, el

cual les permitiera calcular el coeficiente.


Análisis de la tarea 4

Respuesta de los estudiantes N°

estudiantes Identifican un punto, remplazan y realizan de forma correcta los tratamientos aritméticos para encontrar el valor del coeficiente. 17

Identifican un punto, remplazan y realizan los tratamientos aritméticos para encontrar el valor del coeficiente, pero tiene más de un fallo en el signo del resultado. 6

No identificaron un punto en la gráfica y por ende no realizaron los tratamientos para encontrar el coeficiente. 3

Total 26



Los estudiantes identifican en la figura fondo los puntos de intersección de ésta con la

figura forma, aunque algunos tienen dificultades en la manipulación de las tratamientos

aritméticos para el cálculo del coeficiente “a”, ante lo cual se realiza intervención por parte

del docente con el fin de explicar y aclarar las dudas sobre los tratamientos con los signos

de agrupación, para reducir estos errores.

Análisis situación 2. (S2)

Esta situación buscaba que el estudiante pudiera aplicar los variables visuales,

reconocidas en la situación 1, para relacionar las representaciones gráficas cartesianas de

la función cuadrática con su representación algebraica canónica; para eso, el estudiante

debía tener en cuenta las variables visuales como: la concavidad, la abertura y el

vértice. Para encontrar la expresión canónica de la función cuadrática, una vez

identificadas las variables visuales, deberían realizar el tratamiento algebraico (resolver



el binomio al cuadrado) para transformar la expresión canónica a la expresión polinómica

de la función cuadrática.


En esta tarea los estudiantes debían a partir de estas variables categoriales relacionar la

expresión simbólica algebraica canónica de las funciones cuadráticas con su respectiva

representación gráfica cartesiana, cabe resaltar que los estudiantes también podrían haber

realizado el proceso inverso, lo que quiere decir que al identificar las variables visuales

pudieran relacionar la representación gráfica cartesiana con su respectiva expresión

canónica. Una vez hecho esto el estudiante debería aplicar el tratamiento de resolver el

binomio al cuadrado, para transformar la expresión canónica a una expresión polinómica

equivalente.

Los estudiantes relacionaron de forma correcta las representaciones simbólicas

algebraicas de la función cuadrática que se encontraban en la expresión canónica con su

respectiva representación gráfica cartesiana, aunque todos cometieron el mismo error al

realizar el cambio de la expresión canónica a la expresión polinómica para el punto c, el

cual consistió en que al multiplicar el coeficiente “�” de la expresión simbólica canónica

que estaba afuera del paréntesis por el trinomio que se encontraba dentro de los mismos,

solo multiplicaron por el coeficiente de variable al cuadrado y no por el resto de los

componentes del trinomio como se muestra en la figura 39, lo que ocasionó que obtuvieran

como respuesta la expresión: � = −2�� + 6� + 6 y no la expresión � = −2�� + 12� − 21 la

cual era la respuesta correcta, Este error confirma que los estudiantes proceden utilizando

la memoria conocimiento figurativo en lugar de la aplicación consciente de las propiedades

de los números Reales conocimiento operativo.





estudiantes Estudiantes con un error (no multiplicar el coeficiente “�” por el binomio en la pregunta c) 6 Estudiantes con dos errores (no multiplicar el coeficiente “�” por el binomio en la pregunta c y e) 16 Estudiantes con tres errores (no multiplicar el coeficiente “�” por el binomio en la pregunta c, e y f) 4

Total 26

Figura 39. Repuestas de los estudiantes Tarea 1. Situación 2.



Los estudiantes presentaron dificultades para encontrar la expresión simbólica polinómica

cuando el coeficiente “�”, era un número negativo, o un número fraccionario, al no realizar

de forma correcta la multiplicación entre el coeficiente y el trinomio que se encontraba

dentro del paréntesis, la mayoría de estudiantes multiplicó el valor del coeficiente “�”, solo

por el primer término del trinomio o no multiplicaron el signo del coeficiente cómo se puede

ver en la figura 39, por tanto no encontraron la expresión simbólica polinómica correcta.

Análisis Tarea 2 – situación 2. (T2/S2)

En esta tarea los estudiantes debían relacionar la representación gráfica de la función

cuadrática con la expresión algebraica canónica, con la ayuda de las de las variables

visuales (concavidad, vértice, abertura, corte con el eje de las abscisas y desplazamientos

de la parábola) los estudiantes debían elegir la expresión canónica representa la gráfica

cartesiana y una vez elegida la expresión canónica que considerara correcta, el estudiante

debía realizar los tratamientos para transformar la expresión canónica en la expresión

polinómica.

Los estudiantes relacionaron de forma correcta cada una de las representaciones gráficas

cartesianas de la función cuadrática con su respectiva expresión simbólica algebraica, pero

sólo 8 de ellos realizaron los tratamientos (resolver el binomio), necesario para encontrar

la expresión polinómica de las correspondientes repuestas ver figura 40. Este porcentaje


pequeño permite concluir que la mayoría de los estudiantes no tienen un grado de

consciencia de las propiedades de los Reales que permiten hacer las transformaciones.

Como maestros se debe considerar que esto no se construye en un solo año escolar sino

que es un proceso que requiere muchos años desde la educación básica. Es importante

señalar que estos 8 estudiantes al justificar las repuestas incluyeron las palabras como

concavidad y el vértice de la parábola, con lo que se puede afirmar que algunos estudiantes

adquirieron los términos especializados necesarios para justificar sus respuestas a partir

de los conceptos propios del objeto de estudio.

Cabe resaltar que la mayoría de los estudiantes al escribir el punto correspondiente al

vértice de la parábola invirtieron los valores correspondientes a las coordenadas del

vértice, por ejemplo, el vértice de la primera figura que es el punto (3,1), los estudiantes lo

escribieron como el punto (1,3), lo que fue señalado y explicado por el docente en la

intervención realizada al final de la aplicación de la tarea. Esta dificultad se dá quizás

porque las reglas de conformación de los gráficos cartesianos no han sido objetos de

enseñanza en los grados anteriores, en algunos casos se considera que es natural este

acercamiento al registro gráfico cartesiano.




estudiantes Estudiantes que relacionan de forma correcta la expresión simbólica algebraica y la gráfica, además realizan el tratamiento para pasar de expresión simbólica algebraica canónica a expresión simbólica algebraica polinómica

8

Estudiantes que relacionan de forma correcta la expresión simbólica algebraica y la gráfica cartesiana, pero no realizaron el tratamiento para encontrar la expresión polinómica

17

Total 25




En esta tarea se pudieron notar la dificultades que tienen los estudiantes para trabajar con

productos notables, al no comprender que su solución es una abreviación de la aplicación

la propiedad distributiva de los números Reales para dos binomios, debido a que de los

17 estudiantes no realizaron el tratamiento para resolver el binomio al cuadrado, no sabían

qué hacer con el exponente y otros porque tenían problemas con los signos de agrupación.

Esto nuevamente nos está ratificando el poco acercamiento que tienen los estudiantes con

la estructura de los Reales, es decir de las propiedades que constituyen las reglas de

transformación al interior de un registro numérico o algebraico. Esto es recurrente en las

tareas planteadas en clases, donde se ha podido constatar que muchos estudiantes no

realizaron las tareas cuando en éstas interviene algún signo de agrupación, como se puede

ver en la figura 40. Cuando fuera de los paréntesis no hay ningún número los estudiantes

realizan las operaciones de forma correcta, pero en el numeral “d” cuando afuera hay un

número, la mayoría multiplicó ese número sólo por el primer término del trinomio, lo que

ocasionó que no encontraran la expresión polinómica correcta.

Análisis Tarea 3 – Situación 2.

En esta tarea se buscaba que los estudiantes relacionaran la expresión polinómica de la

función cuadrática con sus respectivas representaciones gráficas cartesianas, para lo cual


los estudiantes podían encontrar la expresión simbólica canónica equivalente de las

expresiones simbólicas polinómicas o podían a partir de las variables visuales de la

representación gráfica cartesiana encontrar la expresión canónica y posteriormente desde

las propiedades de los números Reales realizar los tratamientos para encontrar las

expresión polinómica equivalente.

De acuerdo con lo plasmado en la tabla 33 La mayoría de los estudiantes, 15 de 26, fueron

capaces de relacionar cada una de las expresiones simbólicas polinómicas con su

respectiva representación gráfica cartesiana, para lo cual utilizaron el método de completar

cuadrados con el fin de transformar la expresión simbólica algebraica que se encontraba

como una expresión polinómica a la expresión canónica y así poder identificar de una

forma más fácil el vértice de la función. El tratamiento realizado por los estudiantes se

puede evidenciar en la figura 41.

Tabla 33: Análisis de la Tarea 3, Situación 2.



estudiantes Estudiantes que relacionaron todas las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 15 Estudiantes que relacionaron 3 de las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 2 Estudiantes que relacionaron 2 de las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 4 Estudiantes que no relacionaron las expresiones polinómicas con sus respectivas gráficas cartesianas 5

Total 26




Como se puede apreciar en la figura 41, la mayoría de los estudiantes, 15 de 26, de

acuerdo con la tabla 32, implementaron el tratamiento de completar cuadrados para

encontrar la expresión simbólica canónica y con la cual identificaron el vértice de la

representación gráfica cartesiana, con esta variable visual y la concavidad asociaron la

expresión simbólica polinómica a su respectiva representación gráfica cartesiana.


Análisis situación 3. (S3)

Mediante esta situación se buscaba que los estudiantes realizaran los procesos de

conversión entre las distintas representaciones de la función cuadrática (representación

gráfica cartesiana y representación simbólica algebraica polinómica), así como los

tratamientos que se podían realizar el registro algebraico con el fin de visualizar algunas

variables que les facilitaran a los estudiantes la realización de los procesos de conversión.


En esta tarea los estudiantes debían realizar los tratamientos necesarios para, a partir de

la expresión polinómica de la función cuadrática, llegar a la representación gráfica

cartesiana, para lo cual se recomendó a los estudiantes utilizar los tratamientos vistos

anteriormente para transformar la expresión polinómica a una expresión canónica, en la

cual pudieran identificar el vértice de la función, para tal fin, se explica por medio de un

ejemplo cómo se debe realizar el tratamiento para completar cuadrados y cómo encontrar

los cortes con el eje �.


Análisis de la Tarea 1, Situación 3


estudiantes Estudiantes que realizaron la representación gráfica cartesiana de todas las expresiones simbólicas algebraicas de la función cuadrática. 11 Estudiantes que realizaron la representación gráfica

cartesiana correspondiente a 3 de las expresiones

simbólicas algebraicas cuadráticas. 8

Estudiantes que realizaron la representación gráfica

cartesiana correspondiente a 2 de la expresión simbólica

algebraica de la función cuadrática. 2

Estudiantes que realizaron la representación gráfica

cartesiana correspondiente a 1 de las expresiones

simbólicas algebraicas de la función cuadrática. 5

Total 26




En la primera expresión simbólica algebraica de esta tarea 11 estudiantes no consiguieron

encontrar el vértice de la parábola, entre los cuales 5 de ellos realizaron mal el tratamiento

para completar cuadrados y los otros 6 estudiantes recurrieron a la ecuación planteada por

algunos textos para hallar el vértice de la representación gráfica cartesiana de la función

cuadrática y fallaron al realizar una aplicación, lo cual se cree que puede ser una de las


consecuencias de la mecanización de operaciones, las cuales se repiten sin ningún tipo

de análisis por parte del estudiante.

Los estudiantes restantes aplicaron de forma correcta el procedimiento para completar los

cuadrados y a partir de éste identificaron el vértice de la parábola como se muestra en la

figura 42, algunos de ellos utilizaron la explicación para encontrar que no había ceros en

el polinomio y 2 de ellos utilizaron el discriminante llegando a la conclusión que no había

ceros porque el discriminante es menor que 0, otros estudiantes aunque no escribieron su

respuesta argumentaron que no existían cortes con el eje x, porque ¨abre hacia arriba y

donde es la ubicación del vértice.

En la segunda expresión simbólica algebraica de esta tarea todos los estudiantes

realizaron de forma correcta la gráfica aunque sólo 10 de ellos continuaron el tratamiento

indicado para encontrar los cortes con el eje �. En la expresión simbólica algebraica 3 de

los estudiantes cometieron el mismo error el cual consistió en no multiplicar 1/4 que se

encontraba dentro del paréntesis por el signo de la concavidad y esto ocasionó que el

resultado les diera la coordenada del eje � del vértice 1/8 en vez de darles cero, sólo 5

estudiantes identificaron que la coordenada del eje � del vértice coincidía con el corte en

el eje �. Este comportamiento se puede explicar como que la mayoría de los

estudiantes se limitan a realizar los tratamientos que se les pide en la tarea (en

algunos casos con errores por la falta de manejo de la estructura algebraica de los

números Reales), sin conseguir una interpretación de los resultados obtenido y

establecer una generalización de los comportamientos del objeto de estudio.

Análisis Tarea 2 –Situación 3. (T2/S3)

En esta tarea los estudiantes debían a partir de las variables visuales de la representación

gráfica cartesiana de la función cuadrática (figura forma) y, utilizando la cuadricula (figura

fondo), identificar el vértice y al remplazar en la expresión canónica de la función cuadrática

realizar los tratamientos vistos en las tareas anteriores para encontrar la expresión

canónica y posteriormente la expresión polinómica de la función cuadrática.



Tabla 35. Análisis de la Tarea 2, situación 3.



estudiantes Estudiantes que realizaron la conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación algebraica polinómica de todas las gráficas cartesianas. 2 Estudiantes que realizaron la conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación algebraica polinómica de 3 de las gráficas cartesianas. 22 Estudiantes que realizaron la conversión entre la

representación gráfica cartesiana y la representación

algebraica polinómica de 2 de todas las gráficas

cartesianas. 2

Total 26



En esta tarea los estudiantes recurrieron a lo aprendido en la tarea 4 de la situación 1 para

calcular la abertura de la parábola, lo cual consistió en ubicar el vértice de la parábola y un

punto que considera con la cuadrícula de la figura fondo, al remplazar estos dos puntos

en la expresión simbólica algebraica canónica de la función cuadrática pudieron despejar

y encontrar el valor de la abertura de la parábola (ver figura 43), una vez realizaron esto

reemplazaron el valor recientemente hallado de la abertura y el vértice de la parábola en

la expresión simbólica algebraica canónica y al solucionar el binomio al cuadrado

encontraron la expresión polinómica, también recurrieron el procedimiento explicado en la

tarea anterior para hallar los cortes con el eje �.

Como se muestra en la Tabla 35, 22 estudiantes cometieron un error en la segunda

pregunta el cual consistió en el tratamiento para calcular la abertura después de remplazar

el vértice (5,2), en la expresión canónica. Al remplazar el punto de la gráfica en el cual

coincidían la figura fondo y la figura forma el cual la mayoría tomo como el punto (4,1),

cambiaron el 5 de la coordenada en x del vértice por el número 2, lo que ocasionó que la

abertura les diera un valor de ¼ en vez de -1 (ver figura 43), ante esto se podía afirmar

que algunos estudiantes no realizaron el procedimiento de forma adecuada porque

algunos no están familiarizados con las reglas de conformación del registro gráfico

cartesiano y algunos por la falta de manejo de las propiedades de los Reales.

Categoría 2. Análisis de las variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la función cuadrática.

En esta categoría se realizará el análisis de los resultados, con base en cómo se

movilizaron cada una las variables visuales de la representación gráfica cartesiana de la

función cuadrática en el transcurso de las tareas de las 3 situaciones didácticas aplicadas.

Análisis de la variable visual Concavidad

En el siguiente apartado se verá como la variable visual concavidad está presente desde

la primera tarea de la situación 1, donde mayoría de estudiantes recurrieron a esta variable

visual para justificar cuándo las distintas gráficas pertenecían o no a la representación

gráfica de la función cuadrática, cabe resaltar que, aunque ninguno de ellos utiliza la



palabra concavidad si se refieren a ésta con frases “cómo abre hacia arriba o abre hacia

abajo”

Análisis de concavidad en la Tarea 1 – Situación 1. (T1/S1)

En esta tarea los estudiantes utilizaron la concavidad para justificar cuando la figura

corresponde a la representación gráfica de la función cuadrática, en la figura 1, (T1/ S1), 4

estudiantes mencionan que la gráfica abre dos veces al decir que “abre hacia arriba y abre

hacia abajo” (es decir hay un cambio de concavidad) (ver figura 44) y la función cuadrática

una sola vez. En la figura 2, (T1/S1), 10 estudiantes utilizan la concavidad para justificar el

hecho que la gráfica pertenece a la representación de una función cuadrática al mencionar

que es una curva o parábola que abre hacia arriba (ver figura 44).

Figura 44: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 1 y 2, (T1/S1).

En la figura 4, (T1/S1), 12 estudiantes utilizan la concavidad para justificar el hecho que

la gráfica es una representación de una función cuadrática al mencionar que es una curva

o parábola que abre hacia abajo (ver figura 45). En la figura 5, (T1/S1), 14 estudiantes

utilizan la concavidad para justificar el hecho que la gráfica pertenece a la representación

de la función cuadrática al mencionar que es una curva o parábola que abre hacia abajo

(ver figura 45).



En la figura 7, (T1/S1), los estudiantes afirman que la gráfica no corresponde a una

cuadrática al decir que ambos lados deben abrir hacia el mismo sentido, En la figura 8,

(T1/S1), al igual que en las anteriores gráficas donde la figura corresponde a la gráfica de

la función cuadrática los estudiantes dicen que es una parábola que abre hacia arriba.

Figura 46. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes de las figuras 7 y 8, (T1/S1).

Como se puede observar en las producciones de los estudiantes el sentido de la abertura

de la parábola es decir la concavidad, es una de las variables visuales a la que más

recurren los estudiantes debido a que es una de las características más notoria en la



representación gráfica cartesiana, debido a que esta nos muestra hacia donde abre la

parábola.


En esta tarea se introduce de manera formal el concepto de concavidad y se les pidió a

los estudiantes identificar la concavidad y el desplazamiento. En esta tarea 18 de los 26

estudiantes relacionaron correctamente la concavidad de la parábola al escribir los

enunciados faltantes y comenzar a utilizar el término adecuado.


Por medio de las producciones presentadas en esta tarea se puede notar la adopción del

término concavidad por los estudiantes, lo que se observa en la identificación del sentido

de la abertura de la parábola en cada representación gráfica de la función la función

cuadrática, en la figura 47 las producciones presentadas por los estudiantes nos muestran

cómo identifican la concavidad y expresan de forma correcta la variación de esta categoría

visual.



En esta tarea se asocia la concavidad con el signo del coeficiente que acompaña la

variable independiente al cuadrado, para lo que se les pidió a los estudiantes que asociaran

las diferentes gráficas cartesianas con las curvas de origen correspondientes a (� = ��;

� = −��), a lo cual la mayoría de los estudiantes (22 de 26) identificaron cual es la

representación gráfica cartesiana que daba origen a cada una de las figuras.


Al revisar las producciones de los estudiantes y de acuerdo con los ejemplos plasmados

en la figura 48, en la cual se puede observar como los estudiantes identificaron la

representación gráfica cartesiana básica, que da origen a cada una de las gráficas

cartesianas y sus traslados en el plano cartesiano, en la tabla 29 se puede ver como la

mayoría de los estudiantes 22 de 26 consiguieron realizar esta tarea.

Análisis de concavidad en la Tarea 4 – situación 1. (T4/S1)

En esta tarea, aunque la concavidad no era la variable visual que se buscaba movilizar de

forma directa, dado que en esta tarea se buscaba que el estudiante aprendiera a calcular

la abertura de la parábola, se pudo observar que al calcular el coeficiente “�” de la variable

al cuadrado para establecer la abertura de la parábola 6 estudiantes cometieron el mismo

error al realizar los tratamientos aritméticos y el signo del coeficiente les dio un resultado

positivo (ver figura 49), ante lo cual se puede decir que los estudiantes no tienen totalmente



claro la relación entre la concavidad y el signo del coeficiente “�” establecida en la tarea

anterior.

Figura 49: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes del cálculo de los coeficientes b y c (T4/S1)

A partir de la detección de la dificultad descrita anteriormente y presentada en el ejemplo

de la figura 49, el profesor en su papel de mediador enseñó a visualizar y razonar, el signo

del coeficiente de la variable independiente al cuadrado (-), con la concavidad de la

representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, cóncava hacia abajo.


En esta tarea los estudiantes utilizaron la concavidad y el vértice para asociar la

representación simbólica canónica de la función cuadrática con su respectiva

representación gráfica cartesiana. Se observó que el 100% de los estudiantes asociaron

de forma correcta estas dos representaciones semióticas de la función cuadrática.


Figura 50: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 2.

Como podemos observar en la figura 50 los estudiantes a partir de la identificación del

vértice y el sentido de la concavidad, identificaron la gráfica correspondiente a cada una

de las representaciones simbólicas canónicas de la función cuadrática, aunque no lo

escribieron los estudiantes al ser consulados por su respuesta argumentaron de forma

verbal que “la gráfica corresponde porque tiene vértice en el punto (-3,-6) y abre hacia

arriba”.


En esta tarea, 4 de los estudiantes utilizaron la concavidad para justificar la elección de la

expresión simbólica algebraica canónica correspondiente a la respectiva representación

gráfica cartesiana para cada expresión, aunque siguen haciendo referencia a la

concavidad como “abre hacia arriba o abre hacia abajo”.



Figura 51: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 2 – Situación 2.

En esta tarea como se puede ver en la figura 51, los estudiantes recurrieron a la concavidad

como variable visual principal para justificar la selección de la repuesta de cada una de las

preguntas.


En esta tarea se puede notar que 15 de 26 estudiantes lograron relacionar de forma

acertada la expresión polinómica de la función cuadrática con las respectivas

representaciones gráficas cartesianas, al realizar el procedimiento de completar

cuadrados, con el fin de identificar las coordenadas del vértice, no cometieron el error de


la tarea 4 de la situación 1 y escribieron de forma correcta el signo del coeficiente de la

variable al cuadrado. Con lo cual se puede afirmar que la mayoría de los estudiantes fueron

capaces de relacionar de forma acertada el signo del coeficiente de la variable

independiente al cuadrado con el sentido la concavidad de la representación gráfica

cartesiana.

Figura 52: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes tarea 3 – Situación 2.

Análisis de la variable visual Vértice

Esta variable visual al igual que la concavidad está en todas las tareas porque el vértice

fue empleado por los estudiantes como la referencia para justificar que la gráfica

correspondía a la función cuadrática y en las tareas posteriores para realizar las

conversiones de un sistema de representación a otro. Bien sea como punto de referencia

de la gráfica cartesiana o como coordenada en la expresión simbólica algebraica canónica,

aquí es donde se hace importante la mediación del docente para resaltar la importancia de

la variable visual y no permitir que se convierta solo en la mecanización de tratamientos

para hallar un punto cartesiano.



Análisis del vértice en Tarea 1 – Situación 1. (T1/S1)

En esta tarea los estudiantes utilizaron el vértice para justificar cuándo la gráfica es la

representación gráfica cartesiana de la función cuadrática, en la figura 1, (T1/S1), 4

estudiantes justifican el hecho que la gráfica cartesiana no es función cuadrática al

mencionar que la gráfica tiene dos vértices y la gráfica de la función cuadrática sólo tiene

uno y otro al mencionar que solo debe haber un punto de referencia (vértice). En la figura

2, 10 estudiantes utilizan la concavidad y el vértice para justificar el hecho que la gráfica

pertenece a la representación de la función cuadrática al mencionar que es una curva o

parábola que abre hacia arriba y tiene un vértice en el punto (0,0) como se muestra en la

figura 53. En la figura 3 los estudiantes afirman que no es la gráfica de una cuadrática

porque, aunque tiene un vértice la figura abre hacia un lado (hacia la derecha) y la

representación gráfica cartesiana de la función cuadrática solo abre hacia arriba o abre

hacia abajo.

Figura 53: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 1, 2 y 3 (T1/S1).

En la figura 4, 12 estudiantes utilizan la concavidad y el vértice para justificar el hecho que

la gráfica pertenece a la representación de la función cuadrática al mencionar que es una

curva o parábola que abre hacia abajo y tiene un vértice. Aunque algunos de ellos llaman

al vértice punto de partida, referencia o salida, 2 estudiantes identificaron el vértice en el

punto (0,0) ver figura 54. En la figura 5, 14 estudiantes utilizaron la concavidad y el vértice


para justificar el hecho que la gráfica pertenece a la representación de la función cuadrática

al mencionar que es una curva o parábola que abre hacia abajo y tiene un vértice. Al igual

que en la representación gráfica cartesiana anterior algunos de los estudiantes llaman el

vértice punto de partida, referencia o salida, 2 estudiantes identificaron el vértice en el

punto (0,5).

Figura 54: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 4 y 5 (T1/S1).

En la figura 6, 4 estudiantes justificaron su repuesta al decir ¨no es función cuadrática

porque no tiene vértice¨ o que la representación gráfica cartesiana no corresponde a la

representación gráfica cartesiana de una función cuadrática porque no abre para ningún

lado ni tiene un punto de referencia (vértice), En la figura 7, los estudiantes afirman que la

gráfica no corresponde a una cuadrática al decir que aunque la gráfica tiene un vértice

ambos lados deben abrir hacia el mismo sentido cosa que no ocurre en esta gráfica

cartesiana, otros afirman que “no es función cuadrática porque aunque la gráfica tiene un

vértice la parábola no está definida”.



Figura 55: Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figuras 6 y 7 (T1/S1).

En la figura 8, al igual que en las anteriores gráficas donde la figura corresponde a la gráfica

de la función cuadrática, los estudiantes utilizan la concavidad y el vértice para justificar el

hecho que la gráfica pertenece a la representación de la función cuadrática al mencionar

que es una curva o parábola que abre hacia arriba y tiene un vértice. Aunque al igual que

en las gráficas 4 y 5 algunos de ellos llaman al vértice punto de partida, referencia o salida;

2 estudiantes identificaron el vértice en el punto (3,-1).

Figura 56. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes figura 8 (T1/S1).


Mediante las producciones de los estudiantes se pudo constatar que esta variable visual

es de gran importancia debido a que, como lo mencionan algunos de ellos, este es el punto

de referencia en el cual hay un cambio en la dirección de la representación gráfica

cartesiana. De acuerdo con esto se puede ver en sus repuestas cómo el vértice y la

concavidad se utilizan para justificar las repuestas sobre si la representación gráfica

cartesiana representa o no una función cuadrática. Por ejemplo; en la figura 56, para la

figura 8 (T1/S1), la estudiante asegura que es una función cuadrática porque “tiene vértice

en el punto (3,-1) y abre hacia arriba”, lo que denomina que es una parábola positiva.

Análisis del vértice Tarea 2 – situación 1. (T2/S1)

En esta tarea los estudiantes consiguieron relacionar los enunciados escritos en lenguaje

natural con las representaciones gráficas de la función cuadrática y los desplazamientos

que el vértice realizaba en el plano. 18 estudiantes no solo identificaron las nuevas

coordenadas del vértice, es decir las unidades que se trasladó desde el origen, sino que

también describieron de forma adecuada su desplazamiento en el plano cartesiano.




En esta tarea los estudiantes, 18 de 26, consiguieron identificar las coordenadas que se

desplazó el vértice desde el origen, lo que permitió que los estudiantes fueran adquiriendo

los términos correspondientes a la función cuadrática como (parábola, vértice y

concavidad), lo que se pudo evidenciar al revisar los textos faltantes.

Análisis del vértice Tarea 3 – Situación 1. (T3/S1)

En esta tarea se asocia la concavidad con el signo del coeficiente que acompaña la

variable al cuadrado, para lo que se les pidió a los estudiantes que asociaran las diferentes

gráficas cartesianas con las curvas de origen correspondientes a (� = ��; � = −��), a lo

cual la mayoría de los estudiantes (22 de 26) fueron capaces de identificar la gráfica que

dio origen a cada una de las figuras y cuántas unidades se desplazó el vértice en cada uno

de los ejes coordenados.


En esta tarea se pudo constatar cómo los 22 de 26 estudiantes adquirieron la habilidad de

identificar los desplazamientos del vértice, es decir, las diferentes posiciones que puede

tener la representación gráfica cartesiana en el plano cartesiano. Cuando se les varió la

posición del vértice y la dirección de la concavidad.



En esta tarea los estudiantes utilizaron la concavidad y la coordenada del vértice para

relacionar la expresión simbólica canónica de la función cuadrática con su respectiva

representación gráfica cartesiana. Se obtuvo que el 100% de los estudiantes consiguieron

relacionar estas dos representaciones de la función cuadrática. Atendieron a la explicación

dada por el docente el cual indicó que en la expresión simbólica canónica, el vértice se

puede ver de forma explícita.


Como se puede observar en el ejemplo presentado en la figura 59 los estudiantes para

asociar las representaciones simbólicas algebraicas, expresión canónica con sus

respectivas representaciones gráficas cartesianas, utilizaron el vértice aunque algunos de

ellos como se mencionó anteriormente y se puede ver en la figura 59, invierten el orden de

las coordenadas.




En esta tarea, 4 estudiantes utilizaron el vértice como herramienta para seleccionar la

repuesta correcta, pero al justificar dicha elección de la expresión simbólica algebraica

canónica correspondiente a la respectiva gráfica de cada pregunta, los estudiantes

cambiaron o invirtieron las posiciones de las coordenadas asignándole a la coordenada en

“�” el valor de “�” y a la coordenada en “�” el valor de “�”.

Figura 60. Ejemplos de Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 2.

En la figura 60 se puede observar el mismo error por parte los estudiantes de cambiar el

orden en las coordenadas del vértice, ante lo que el profesor realizó una intervención con

el fin de intentar que los estudiantes superaran esta dificultad en la lectura de las

coordenadas del vértice. Se sugiere que en los cursos previos debe realizarse un trabajo


de ubicación de puntos y figuras geométricas en el plano cartesiano para conseguir que

los estudiantes se familiaricen con este tipo de representación semiótica.


En esta tarea, 15 de los 26, estudiantes realizaron el procedimiento de completar

cuadrados con el fin de llevar la expresión polinómica de la función cuadrática, a la

expresión canónica para identificar las coordenadas del vértice y utilizarlas para

seleccionar la respuesta correcta, se puede afirmar que los estudiantes fueron capaces de

identificar con cual expresión algebraica es más fácil determinar cada variable visual que

se desee relacionar entre dos sistemas de representación.


Se pudo observar que la intervención realizada por el profesor en la tarea anterior con

respecto a la lectura del vértice fue eficaz, debido a que en los resultados presentados por

los estudiantes en esta tarea, cometieron menos errores en la identificación del vértice de

la representación gráfica cartesiana, con lo cual se podría afirmar que la mayoría de los

estudiantes superaron esta dificultad en la lectura puntual del vértice, lo cual se puede

constatar en la producción presentada en la figura 61, con esto podemos afirmar que los

estudiantes han comprendido como identificar el vértice de las parábolas y como escribir

de forma correcta las coordenadas a partir de identificar que el punto (�,�), “�” siempre



es la abscisa y “�” es la ordenada. No se limita a una simple memorización sino un trabajo

de razonamiento en el registro grafio cartesiano y el registro simbólico algebraico, desde

los procesos de conversión.

Análisis de la variable visual Abertura

Esta variable visual es introducida en las situaciones didácticas a partir de la tarea 2 de la

situación 1, tomando como referencia las funciones elementales de la función cuadrática

� = �� ; � = −��, donde el valor absoluto del coeficiente “�” (|�|) es la abertura de la

parábola, entendiendo que la gráfica será más abierta cuando el valor absoluto del

coeficiente esté entre 0 y 1 (0 < |�|< 1), y más estrecha cuando el valor absoluto del

coeficiente sea mayor que 1 (|�|> 1). Después de realizar un recorrido por las repuestas

de los estudiantes se pudo determinar que las tareas en las cuales se utilizó el cálculo de

la abertura de la parábola para justificar las respuestas fueron: la tarea 4 de la situación 1,

la tarea 1 y 2 de la situación 3. De acuerdo con esto se presenta a continuación el análisis

de los resultados de la aplicación de los tratamientos necesarios para encontrar la abertura

de cada parábola en dichas tareas.

Análisis de abertura Tarea 4 – Situación 1. (T4/S1)

En esta tarea los estudiantes debían utilizar la cuadrícula (figura - fondo), para identificar

un punto en el cual coincidiera esta con la figura forma y a partir de éste poder calcular el

valor del coeficiente “�” para cada una de las representaciones gráficas cartesianas.

En esta tarea, 17 de los estudiantes identificaron el punto de coincidencia entre la figura

fondo (cuadrícula) y la figura forma (parábola) y realizaron los tratamientos necesarios para

encontrar el valor absoluto del coeficiente “�” (abertura) de la parábola, 6 de los

estudiantes, aunque identificaron de forma correcta el punto de coincidencia entre las

figuras fondo y forma, cometieron uno o dos errores al despejar el coeficiente y cambiaron

el signo del resultado e invirtieron la dirección de la concavidad (ver figura 62).



En la figura 62, se puede observar cómo los estudiantes realizaron el tratamiento

recomendado para calcular la abertura de la parábola, y los errores comunes cometidos

en el cálculo de este coeficiente “�” relacionados anteriormente.


En esta tarea los estudiantes utilizaron la abertura como una de las variables más

importantes para realizar el proceso de conversión entre el registro simbólico algebraico y

gráfico cartesiano, debido a que consideraron que este valor es necesario para plantear la

expresión simbólica canónica.

Figura 63. Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 1 – Situación 3.



En la figura 63 se puede observar como el estudiante identifica que la abertura es igual a

-1 al agrupar los términos que contienen variables “�”, y también le sirve para identificar

que la parábola es cóncava hacia abajo.


En esta tarea los estudiantes utilizaron el procedimiento implementado en la tarea 4 de la

situación 1, aunque la mayoría de ellos cometió el mismo error en el cálculo de la abertura

al reemplazar el punto en el cual se encuentra la figura fondo y la figura forma (ver figura

64 correspondiente a la figura 2 (T2/S3).


En esta tarea 22 de los estudiantes consiguieron realizar los tratamientos para el cálculo

del abertura, como se explicó en la tarea 4 dela situación 1, ante lo cual se puede decir

que los estudiantes identificaron de forma correcta el tratamiento que debía realizar para

calcular la abertura de una parábola, lo que quiere decir que los estudiantes conocen cuál


es el procedimiento necesario para realizar el cambio de registros de representación entre

una gráfica cartesiana y el registro simbólico algebraico en el caso dela función cuadrática,

ejemplos de los tratamientos realizados se pueden observar en la figura 64.

Análisis de la variable visual Cortes con el eje �

Esta variable visual es introducida en las situaciones didácticas a partir de la tarea 3 de la

situación 2, la mayoría de los estudiantes no realizaron el cálculo de los cortes con el eje

x, o no identificaron de forma visual que en la gráfica no se presentaba cortes con el eje x.

Análisis de cortes con el eje x en Tarea 3 – Situación 2. (T3/S2)

En esta tarea los estudiantes no calcularon los cortes con el eje x, aunque algunos de ellos

de forma verbal argumentaron que, de acuerdo a la posición del vértice y la concavidad, la

representación gráfica cartesiana no presentaba cortes con el eje �, como se muestra en

la figura 65.


Ejemplo de lo descrito anteriormente es la figura 65 donde, por la ubicación del vértice en

el punto (-1,5) y como la es una parábola cóncava hacia arriba, esta representación gráfica

cartesiana no presenta cortes con el eje �, tal como lo expresaron algunos estudiantes.



Análisis de cortes con el eje � en Tarea 1– Situación 3. (T1/S3)

En esta tarea 5 estudiantes realizaron el procedimiento indicado para encontrar los cortes

con el eje �, cabe resaltar que, de forma verbal, algunos estudiantes aseguraron que en la

gráfica del literal d, no hay corte con los ejes debido a la posición del vértice y a la

concavidad.


En la figura 66, se puede observar el procedimiento seguido por los estudiantes en el

tratamiento de la ecuación canónica para encontrar los cortes con el eje “�”, para la figura

b (T2/S3).

Análisis de cortes con el eje � en situación 3 – Tarea 2. (T2/S3)

En esta tarea 20 estudiantes encontraron los cortes con el eje �, en la figura 2 y 4

ver (figura 67). Además, la mitad de ellos determinaron que en las figuras 1 y 3 no existen

cortes con el eje �.


Figura 67: Ejemplo de las Repuestas de los estudiantes Tarea 2 – Situación 3.

Categoría 3. Análisis de las diferentes transformaciones necesarias para la objetivación de la función cuadrática.

Expresar en lenguaje natural el comportamiento de una gráfica.

Por medio de las tareas de la situación 1, el estudiante no sólo identificó las variables

visuales de la función cuadrática, sino que puede expresar en lenguaje natural lo que

observaba en la gráfica cartesiana. En estas tareas se pudo notar que, si bien los

estudiantes identificaron las variables visuales de las representaciones gráfica cartesiana

y las variables categoriales de la representación simbólica algebraica de la función

cuadrática, no poseían las herramientas lingüísticas para expresar de forma correcta los

tipos de función y los diferentes desplazamientos que puede tener la función cuadrática.



Tratamientos realizados para transformar una expresión canónica a una expresión polinómica

La mayoría de los estudiantes fueron capaces de realizar los tratamientos necesarios para

transformar una expresión simbólica algebraica que se encontraba como una expresión

canónica a una expresión polinómica. Se puede notar que los estudiantes pudieron superar

las dificultades presentes en la tarea 1 de la situación 2, donde varios de los estudiantes

cometieron por lo menos un error de tratamiento algebraico al realizar la transformación de

la expresión simbólica canónica en una expresión simbólica polinómica. En la cuál

multiplicaron de forma errada el coeficiente con el trinomio dentro de los paréntesis. Esta

dificultad se superó en el desarrollo de la tarea 2 de la situación 2, debido a que en esta

tarea casi todos los estudiantes realizaron de manera correcta el tratamiento en los dos

registros simbólicos algebraicos.

Tratamientos realizados para transformar una expresión polinómica a una expresión canónica

La mayoría 19 de 26 de los estudiantes consiguieron realizar los tratamientos necesarios

para transformar una expresión simbólica algebraica que se encontraba como una

expresión polinómica a una expresión canónica, esto con el fin de identificar el vértice de

la parábola y poder así hallar la correspondiente representación gráfica cartesiana. Se

puede notar que los estudiantes pudieron superar las dificultades presentes en la tarea 3,

de la situación 2, donde 5 de los estudiantes no completaron por lo menos uno de los

tratamientos de las expresiones simbólicas algebraicas y por tanto no asociaron ninguna

de las representaciones gráficas cartesianas con las expresiones simbólicas algebraicas

polinómicas, mientras que en la tarea 1 de la situación 3 todos los estudiantes completaron

por lo menos uno de los tratamientos por medio de los cuales se consigue transformar una

expresión polinómica a expresión canónica, completando los cuadrados.


Conversión entre la representación algebraica y la representación gráfica cartesiana.

En la tarea 1 de la situación 3, 11 de los estudiantes realizaron correctamente el proceso

de completar cuadrados para llevar una expresión polinómica a una expresión canónica.

A partir de ahí realizaron la gráfica cartesiana correspondiente a cada expresión simbólica

algebraica. 8 de los estudiantes restantes solo cometieron un error algebraico, el cual se

mencionó con detalle en el análisis descriptivo de la tarea, al realizar el paso de la

expresión polinómica a la expresión canónica. Cabe resaltar, solo 2 estudiantes intentaron

realizar la gráfica de la función cuadrática tabulando.

Conversión entre la representación gráfica cartesiana y la representación algebraica.

En la tarea 2 de la situación 3, se puede observar que la mayoría 22 de 26 de los

estudiantes, intentaron realizar el cambio de la representación gráfica cartesiana a

representación algebraica utilizando las variables visuales de la función cuadrática, por

lo que se podría decir que los estudiantes en general consiguieron realizar una

aprehensión global de las características visuales de la función cuadrática.

ANÁLISIS GENERAL

Las variables visuales y categoriales son de gran importancia en la enseñanza de las

funciones cuadráticas de dominio real, dentro de las propuestas multirregistro, esto de

acuerdo con lo planteado por Duval (1999, p. 130).

“una representación explicita y sistemática de las variaciones visuales significativas

no solo centra la atención sobre la correspondencia entre la representación gráfica

cartesiana y la escritura simbólica algebraica, sino que permite encontrar

directamente la expresión simbólica algebraica de propiedades geométricas”.

Esto se pudo corroborar en este trabajo de indagación, debido a que la identificación de

las variables visuales de la función cuadrática permitió no sólo caracterizar la función sino



que también ayudo a los estudiantes a realizar un acercamiento a la comprensión de los

tratamientos de cada sistema de representación y la conversión entre ellos.

Es de resaltar que la comprensión requiere tiempo y un trabajo continuo, es decir, la

comprensión implica una toma de conciencia entre las variables observables de los dos

registros, su articulación o coordinación y una abstracción de las propiedades de los

Reales que regulan los tratamientos en cada uno de ellos. En este trabajo de indagación

el éxito en la tarea de conversión es el resultado de razonar en cada una de las

asociaciones que resultan de coordinaciones entre los registros y los observables de las

acciones.

Al conseguir que los estudiantes entiendan cómo cambia cada una de las variables

categoriales constantes de las expresiones algebraicas (canónica y polinómica) cuando

cambia una de las variables visuales, se logra corroborar lo planteado por Duval (1999, p.

131) cuando plantea que:

“no puede haber utilización de las representaciones gráficas cartesianas sin

discriminación explicita de las variables visuales pertinentes y sin una

correspondencia sistemáticamente establecida entre los valores de estas variables

y las unidades significativas de la escritura simbólica algebraica”

Se puede afirmar que las tareas planteadas en este trabajo de indagación son pertinentes

para ser consideradas en una aproximación al concepto de función cuadrática desde una

propuesta multirregistro de acuerdo con la teoría semiótica cognitiva desarrollado por

Duval (199) debido a que se consiguió no quedarse solo en una percepción numérica

puntual. La cual de acuerdo con el autor nos permite visualizar las características visuales

de la representación gráfica cartesiana y su correspondencia con las variables

categoriales constantes de las expresiones simbólicas algebraicas, debido a que estas

características son cualitativas y globales y no numéricas y locales como lo son la

concavidad, el vértice y la abertura, entre otras, para la función cuadrática.

Cuando se consigue una caracterización de las variables visuales de las

representaciones gráficas es más fácil la conversión entre registros semióticos de

representación, debido a que los estudiantes al ver el comportamiento de las


variables y su correspondencia les permite un acto de toma de conciencia de los

invariantes de cada sistema de representación y su relación, de tal manera que se

presenta una abstracción del conocimiento, la cual da lugar a nuevos estados de

los observables (desde las variables visuales o categoriales) y a la coordinación

de nuevas acciones sobre los sistemas de representación.

Ver las diferentes trasformaciones y hacer una abstracción del que pueden presentarse

en un objeto de estudio y mediante éstas acercarse al concepto de dicho objeto

matemático.

Por medio de las producciones de los estudiantes se puede decir que mediante esta

indagación se consiguió un acercamiento a la aprehensión global cualitativa de la función

cuadrática de acuerdo a lo planteado por Duval (2004, p. 70).

“la aprehensión global cualitativa se requiere en la tarea de conversión gráfica

cartesiana a escritura simbólica algebraica de relaciones, pues la aprehensión global

por punteo siempre permite la conversión inversa”. Esta afirmación se pudo

corroborar con las producciones presentadas por los estudiantes debido a que la

mayoría 22 de 26 de los estudiantes, consiguió realizar la actividad de conversión

planteada en la tarea 2 de la situación 3 y, con este cambio de registro, se verificó

que las variables visuales de la función cuadrática fueron movilizadas

positivamente en los estudiantes y por tanto, se consiguió realizar un acercamiento

a la aprehensión global cualitativa por parte de los estudiantes del grado 9-1 de la

institución Alberto Carvajal Borrero.

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN

A continuación, se presentan las conclusiones a las cuales se ha llegado después de del

proceso de diseño e implementación de una situación didáctica, implementación y el

análisis de las producciones de los estudiantes como repuesta a la secuencia de tareas.

Las conclusiones presentadas en este capítulo dan cuenta a los objetivos propuestos en

este trabajo de indagación en el aula.

La propuesta de una secuencia de tareas se organizó en 3 situaciones de aula para la

enseñanza de la función cuadrática desde una perspectiva multirregistro, este diseño

permitió identificar las variables visuales (concavidad, vértice, abertura entre otras) y

categoriales (�,� �,ℎ y �) características de las representaciones semióticas de la función

cuadrática. Además, permitió enseñar los tratamientos que se pueden presentar en los

registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresiones canónicas y polinómica) y

las reglas de correspondencia que se deben tener en cuenta en la conversión entre estos

dos registros semióticos de representación de la función cuadrática. Con base en esto se

plantearon las siguientes categorías para la presentación de estas conclusiones:

¿Qué implica el diseño de situaciones didácticas?

Con referencia a al objetivo n° 3. El diseño de situaciones didáctica implica conocer

el objeto de estudio y sus diferentes representaciones semióticas, para poder

establecer el tipo de tareas que se necesitan para movilizar cada una de sus

características particulares y los diferentes tratamientos que se puedan realizar en

cada uno de los registros. De igual forma, elegir las consignas y representaciones

iniciales que conformarán la secuencia de las tareas que se van a implementar.



Desde el diseño y las apropiaciones logradas en los estudiantes se reafirmó lo que

Duval (2016, p.69) plantea:

“El papel de las representaciones semióticas no se reduce a designar objetos,

a ponerse en lugar de algo, o a ser ellas mismas consideradas como objetos. Su

uso está determinado por la posibilidad del procesamiento matemático que

permiten. Cualesquiera sean las representaciones semióticas usadas, se pueden

cambiar por otras representaciones semióticas sin el apoyo de nuevos datos u

observaciones empíricas”.

Debido a que la secuencia de tareas permitió a los estudiantes entender la

diferencia entre las representaciones y la necesaria articulación entre ellas.

Con referencia al objetivo n° 3. Es importante resaltar que esta secuencia de tareas

también permitió observar las falencias en los aprendizajes de los estudiantes de

grado 9° al justificar o realizar los tratamientos en el registro simbólico algebraico.

En particular, se pone en evidencia que los tratamientos están débilmente

fundamentados en la toma de conciencia de las propiedades de la estructura de

los números Reales y en algunos casos se apoyan en la aplicación mecánica de

“recetas” que en algunos son exitosas pero que si se varían ciertos aspectos de la

situación conducen al fracaso.

Con referencia a al objetivo n° 2. Esta propuesta permitió plantear una estrategia

para el aprendizaje de la función cuadrática por medio de una secuencia de tareas

que permitieron identificar cada una de las variables visuales (concavidad, vértice,

abertura y cortes con los ejes) en la representación gráfica cartesiana, en

coordinación con las variables categoriales (�,ℎ y �) de las representaciones

simbólicas algebraicas (canónica y polinómica) y un adecuado orden en el diseño

de las consignas y los registros de partida y de llegada. Además, la aplicación de

las tareas le permitió al estudiante ir adquiriendo de forma secuencial las

herramientas semióticas y cognitivas para poder hacer un acercamiento a la

objetivación del concepto de función cuadrática, desde las trasformaciones entre el

registro gráfico cartesiano y la representación simbólica algebraica que son

indispensables en cada tarea.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES DEL TRABAJO DE INDAGACIÓN 175

Con referencia a al objetivo n° 3. El diseño permitió ratificar desde la mirada de un

maestro en ejercicio que la enseñanza de las matemáticas se puede pensar o

coincidir desde un lugar diferente a lo tradicional usualmente llamado “magistral”.

Se puede empezar a concebir los procesos de pensamiento en matemáticas, los

cuales se basan en dos tipos diferentes de transformaciones de representaciones:

tratamiento y conversiones. Tal como afirma Duval (2016, p.92) la actividad

matemática debe involucrar la movilización simultánea de por lo menos dos

registros de representación, o la posibilidad de cambiar en cualquier momento de

un registro al otro. Es decir, desde la mirada del autor de este trabajo de

indagación, como maestro de secundaria, este trabajo permite entender que la

comprensión conceptual de las matemáticas incluye articulación de dos registros y

algunas veces la articulación de tres registros. En ese sentido, este trabajo conlleva

a un maestro a empezar a entender y asumir el verdadero reto de la educación

matemática, planteado por Duval (2016,) y ratificados en los estudios doctorales de

Pontón (2011) el cual es desarrollar primero la capacidad de cambiar el registro de

representación en la construcción del saber matemático.

Los referentes en la construcción de la función cuadrática desde una mirada multirregistro

a. Las variables visuales de la representación gráfica cartesiana y

variables categoriales de las expresión simbólica algebraicas

Con referencia a al objetivo n° 2. Los estudiantes del grado 9-1 reconocieron las

variables visuales (vértice, abertura, concavidad e interceptos con los ejes) y

variables categoriales (�,ℎ y �), de las representaciones (gráfica cartesiana y

simbólica algebraica) de la función cuadrática, las cuales Duval (1988, p.237) define

como:

“variables categoriales. Estos son los términos que se usan para denominar

las imágenes que representan el objeto en el conjunto trazado/ejes cartesianos

y constituyen variables visuales relevantes en la interpretación del gráfico, en

la medida en que cualquier modificación de ellas implica «una modificación en



la escritura de la expresión algebraica correspondiente. Por lo tanto, es

importante identificar todas las modificaciones pertinentes posibles de esta

imagen, es decir ver las modificaciones conjuntas de la imagen y de la forma

de su escritura algebraica.” (Duval, 1988, p, 237)

Lo que les permitió a los estudiantes familiarizarse y apropiarse de las

características de los registros gráfico cartesiano y simbólico algebraico y permitió

realizar los tratamientos propios de cada registro de representación y la conversión

entre los registros. Se consiguió desde la secuencia de tareas una iniciación a la

objetivación del concepto de la función cuadrática, debido a que el estudiante, al

reconocer las variables visuales de la representación gráfica cartesiana y su

correspondencia con las variables categoriales de las expresiones simbólicas

algebraicas, realizaron las trasformaciones pertinentes para el cambio entre los

registros semióticos de representación tal como lo plantea Duval (1999).

Con referencia a al objetivo n° 2. La identificación de las variables visuales como

concavidad, vértice y abertura, les permitió a los estudiantes la conversión de los

sistemas de representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico, mediante el

planteamiento de la expresión canónica de la función cuadrática, debido a que en

esta expresión algebraica se encuentran de forma explícita las variables

categoriales como (�,ℎ y �), Por ejemplo el coeficiente “a” de la expresión

polinómica cuando es positivo se asocia con la concavidad hacia arriba, cuando es

negativo con la concavidad hacia abajo, si |�|> 1, se estrecha y si 0 < |�|< 1 se

abre, que se asocian con las variables visuales. Siendo un registro potente y

altamente congruente con el registro simbólico polinómico. Lo cual se evidenció

cuando los estudiantes plantearon la expresión canónica para pasar del registro

gráfico cartesiano al registro simbólico algebraico y cuando realizaron el

tratamiento de completar cuadrados para pasar de la expresión polinómica del

registro simbólico algebraico a la representación gráfica cartesiana.

Con referencia a al objetivo n° 3. Un diseño de situación didáctica en esta

perspectiva debe considerar y explicitar cada una de las variables visuales y

variables categoriales de la representación tomada como inicial y final, y debe


permitir la coordinación entre ellas de manera que la conversión sea objeto de

enseñanza en las aulas escolares. Esto se afirma, porque en las producciones de

los estudiantes se fue evidenciando como se apropiaban de estas variables y cómo

esta les permitía cobrar significado en las variables explícitas de la representación

de llegada.

b. Las reglas de correspondencia semiótica entre los registros de

representación gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresión

polinómica y canónica).

Con referencia a al objetivo n° 4. En la aplicación de las situaciones didácticas, se

pudo observar cómo la variación de las variables didácticas de diseño,

consideradas en las tareas, permitió a los estudiantes ir construyendo un

acercamiento al concepto de función cuadrática a partir de las representaciones

semióticas y al estudio de las características particulares de cada sistema de

representación. Permitiéndoles a los estudiantes encontrar la correspondencia

entre las variables visuales y las variables categoriales de las expresiones

simbólicas algebraicas (canónica y polinómica).

Con referencia a al objetivo n° 4. Las respuestas de los estudiantes permitieron

corroborar que las tareas diseñadas son lo suficientemente potentes para movilizar

cada una de las variables que son particulares de las representaciones gráfica

cartesiana y simbólica algebraica de los sistemas de representación de la función

cuadrática. Además, se corroboró que estas tareas generaron en los estudiantes el

aprendizaje de las reglas de correspondencia entre las representaciones que se

deben tener en cuenta desde la perspectiva semiótica cognitiva para el aprendizaje

de las trasformaciones entre los registros: gráfico cartesiano y simbólico algebraico

(expresiones canónicas y polinómicas) de la función cuadrática.



c. Desde las trasformaciones que se pueden realizar en la función

cuadrática: conversión (cambio de registro semiótico de representación)

y tratamientos (procesos en el mismo registro semiótico de

representación).

Con referencia a al objetivo n° 1. En las producciones de los estudiantes se pudo

evidenciar cómo fueron adquiriendo las herramientas para realizar los tratamientos

en cada uno de los registros que están involucrados en el aprendizaje de la función

cuadrática desde los sistemas de representación gráfico cartesiano y simbólico

algebraico -en las producciones de los estudiantes no se puede constatar si el

resultado es los tratamientos es referente a la toma de conciencia sobre la

aplicación de las propiedades de los números Reales que posibilitan los mismos

(expresiones canónica y polinómica) e identificar cuáles transformaciones debe ser

utilizadas de acuerdo con cada situación particular y al sistema de representación

en la cual se encuentre.

En este sentido, se corrobora que la comprensión y el aprendizaje de las

matemáticas no deben olvidar la importancia del carácter semiótico de las

representaciones, en tanto a la forma y a la diversidad de representaciones que

existe. Se requiere el conocimiento de la organización semiótica de estas

representaciones para una propuesta de aula desde esta perspectiva.

Con referencia a al objetivo n° 1. El aprendizaje de las variables visuales de las

representaciones gráficas cartesianas posibilitó en los estudiantes aprender a

visualizar y razonar sobre las características de una función, lo que facilita que

emerjan en ellos tratamientos intuitivos más accesibles, lo cual les permite darle un

significado las expresiones simbólicas algebraicas. Desde lo planteado por Duval

(1988b, p. 8): “los valores visuales significantes, o pertinentes, de la representación

no son dados por separado como una escritura, sino que están integrados y

fusionados en una sola forma percibida”, ante esto se puede afirmar que la

comprensión y aprendizaje de las representaciones gráficas cartesiana son

necesarias para la coordinación de registros de representación en funciones.


Una labor que tienen los docentes en el diseño y preparación de las clases, desde

esta perspectiva, es seleccionar cuidadosamente las operaciones de tratamiento

que posibiliten pasar a otro registro de otros sistemas de representación, es decir

que sea objeto de enseñanza los procesos de posibiliten la conversión.

Con referencia a al objetivo n° 3. De la situación didáctica diseñada (con sus tres

situaciones) se puede afirmar que la organización semiótica posibilitó en los

estudiantes los tratamientos en el registro cartesiano (por ejemplo, mover el vértice,

variar la concavidad, variar la amplitud, entre otras), así como sacar los datos

numéricos que proporciona la gráfica cartesiana (por ejemplo, vértice, cortes con

los ejes cartesiano, análisis de crecimiento entre otros) y plantear hipótesis de los

datos categoriales de las representaciones simbólicas algebraicas y en algunos

casos hallarlos (por ejemplo, hallar los valores de “�” o “�” o “ℎ”, entre otros).

Además, permitió la conversión a representaciones simbólicas algebraicas. Se

ratifica lo planteado por Duval (1988b, p. 16):

“En realidad, un aprendizaje de las representaciones graficas efectuadas en la

perspectiva de una coordinación de registros de representación, debe estar

centrada en las operaciones de conversión con sus variables cognitivas y no

en las de tratamiento. Una tal aproximación sobrepasa el simple dominio de las

representaciones gráficas; más allá de esto, concierne la comprensión de los

desarrollos matemáticos y, más generalmente, de los procedimientos

intelectuales. Esta comprensión exige no solo que no se confunda un objeto

con su representación, sino que pueda cambiar fácilmente de registro de

representación”

Con referencia a al objetivo n° 1. La secuencia didáctica, con sus respectivas

tareas, presentada en este trabajo de indagación, permitió a los estudiantes

acercarse al concepto de función cuadrática desde los sistemas de representación

gráfico cartesiano y simbólico algebraico (expresiones canónica y polinómica), sin

olvidar que existen otros sistemas de representación, muy importantes en la

construcción de las funciones cuadráticas, como la lengua natural (problemas de

aplicación en contexto Reales- ej. Áreas o perímetros de terrenos, minimización de



costos, maximización de ganancias, entre otro y matemáticos). El registro de la

lengua natural no fue tenido en cuenta en este proceso indagativo, por decisiones

propias del proceso indagativo especialmente el tiempo. Las producciones de los

estudiantes frente a las transformaciones generadas en el diseño, evidenció un

aporte a la comprensión del concepto de función cuadrática desde los cambios de

registros, debido a que la mayoría, 22 de 26 de los estudiantes, realizaron la

conversión entre los sistemas de representación gráfico cartesiano y simbólico

algebraico (expresiones canónicas y polinómica) dándole significado a las

características visuales y las categoriales de los registros de representación

semiótica involucrados.

Con referencia a al objetivo n° 3. El diseño de las tareas en este trabajo de

indagación permitió corroborar el hecho que, los profesores en ejercicio, deben

asumir la responsabilidad sobre el tipo de tareas que se llevan al aula de clases,

para tal fin se deben realizar un análisis del componente matemático y su

transposición en el aula, y su rigurosidad en el en el estudio de las diferentes formas

de representación; es decir, la organización semántica que tiene este objeto

matemático desde sus representaciones y los sistemas semióticos que las permiten

producir. Esto con el objetivo que los estudiantes amplíen el campo de visión de los

objetos de estudio matemático y puedan tener un panorama más claro de los

significados que introducen cada uno desde sus diferentes representaciones.

Con referencia a al objetivo n° 3. Los profesores deben retomar el papel como

mediadores entre el saber institucional y el alumno, entender que no sólo es diseñar

buenas tareas, debido a que las tareas por sí solas no cumplen la función de

movilizar el conocimiento a aprender. Es donde la presencia del docente resulta

relevante en cualquier diseño llevado al aula, no solo para aplicar y explicar las

tareas sino para ayudar a superar los obstáculos cognitivos o semióticos que se

puedan presentar en la ejecución de las tareas, esto por medio de una intervención

o mediación oportuna en el aula y entender que las tareas son herramienta para el

aprendizaje y no como el fin mismo de la enseñanza.


Con referencia a al objetivo n° 3. Los docentes deben salir de la cotidianidad, y

quizás de nuestra “zona de comodidad”; es decir, de los procesos repetitivos, la

misma selección de los ejercicios de los textos escolares sin criterios de selección

y de la repetición de las mismas prácticas, en las cuales en la mayoría de veces se

consigue una mecanización de los tratamientos en una representación de los

objetos matemáticos (por ejemplo, una mirada puntual de las representaciones

cartesianas hallando solo puntos, es decir centrado en la tabulación de muchos

puntos, sin que haya necesidad de estos puntos o que estos puntos no permitan

ver el comportamiento o la variación de la función). Una forma de hacerlo es poder

presentar lo objetos matemáticos desde todos sus sistemas de representación,

viendo esto no como un trabajo más, sino como una herramienta cognitiva, que

permite mostrarle a los estudiantes las múltiples dimensiones que puede tener un

objeto matemático y cómo cada una de las representaciones construidas en

sistemas semióticos diferentes. De esta forma, no solo se amplía la visión de los

objetos de estudio en sí, sino que también se les enseña de forma explícita que

todas las cosas tienen múltiples formas de verse sin dejar de ser el mismo objeto.

Esto concuerda con lo planteado por Duval (1988b, p.3) “tomando en cuenta

simultáneamente dos registros de representación, y no cada uno de manera

aislada, es como se puede analizar la importancia de las representaciones

semióticas en la actividad cognitiva matemática. Dicho de otra manera, es en el

pasaje de un registro de representación a otro que se puede observar la

importancia de las representaciones semióticas”

Aunque este trabajo de indagación centra su atención en los procesos de

conversión entre los registros gráficos cartesianos y simbólicos algebraicos,

entendemos la necesidad del aprendizaje de las propiedades de los números

Reales como soporte de las reglas de conformación de las expresiones

algebraicas. Estas propiedades de la estructura de los números Reales son las que

permiten realizar los tratamientos en el sistema de representación tanto numérico

como algebraico. Es importante resaltar que muchos de los estudiantes presentan

desconocimiento de las reglas de conformación del sistema de los números Reales,

esto se debe a que en la secundaria la enseñanza de estos objetos matemáticos,

se presentan como temas aislados y no se articulan con los nuevos conocimientos



En algunos casos se hacen tratamientos sin explicitar ninguna propiedad

matemática que lo justifique. Por ejemplo:

Si tenemos la suma:

−3 + 5− 8 + 2

Es muy común que se realice esta suma de enteros, agrupando los números positivos y

negativos sin saber que signo colocar al resultado o realizar un producto entre ellos y entre

sus signos, sin aplicar las propiedades. Es decir, hay dificultades en reconocer la operación

y las propiedades de dicha operación.

Propiedad asociativa

(−3− 8)+ (5 + 2)

Propiedad clausurativa

−13 + 7 = −6

Cuando se enseñan operaciones con expresiones algebraicas, por ejemplo

3� − 4� + 7� − 5�

Es muy común decir que se agrupen los términos semejantes y se suman entre ellos

obteniendo

10� − 9�

Cuando debería explicitarse las propiedades de los números Reales que hacen posible

estos tratamientos para el ejemplo: primero se debe aplicar la propiedad asociativa para

agrupar los términos semejantes

(3� + 7�)+ (−4�− 5�)

Después aplicamos la propiedad clausurativa

10� − 9�

Cuando se enseñan las propiedades de los números Reales no se articulan estas con los

saberes previos como los números enteros o los racionales, lo que muchas veces ocasiona

que los estudiantes vean estos temas como aislados e inconexos. Para evitar esto, se

considera que la enseñanza debería ser más rigurosa en el discurso tanto escrito como

oral que utilizan los docentes, de tal forma que la enseñanza de las matemáticas deje de

ser enseñada u organizada por temas y sea por objetos matemáticos y por lo tanto, la

enseñanza de las representaciones (tratamientos y conversiones). De esta forma, se vería

la extensión de los conjuntos numéricos y sus estructuras desde los enteros positivos hasta


los Reales. Es decir, en diferentes grados ver cómo se va realizando la construcción de

elementos matemáticos fundamentales para entender y tener consciencia de la estructura

de los Reales durante toda la escolaridad.

Sugerencias y recomendaciones finales

Finalmente, este proceso indagativo orientado a la contribución para el mejoramiento de

las prácticas de aula desde el campo de las matemáticas, relaciona algunas sugerencias

y recomendaciones que se deben tener en cuenta por parte de los profesores en el

momento de llevar este tipo de estrategias al aula de clase.

Se debe consolidar en las prácticas de aula una propuesta que permita la articulación entre

diferentes tipos de registros de representación, debido a que de acuerdo con Duval (1999,

2016), es a partir de esta coordinación entre registros semiótico de representación que se

inicia los procesos de objetivación de los saberes matemáticos, para lo cual el docente

debe tomar una posición desde los marcos teóricos de referencia con respecto a cómo

considera que los estudiantes aprenden matemáticas.

Los maestros en ejercicio, cada vez deben prepararse mejor para el diseño de tareas en

los cuales se involucren diferentes tipos de representación semiótica. Un trabajo que queda

pendiente de esta indagación es tomar como registro de partida el registro de la lengua

natural, es decir problemas de palabras, con los cuales los estudiantes puedan aprender

la conversión y los tratamientos desde este registro, tan importante para la construcción

de cualquier objeto matemático (Pontón, 2011). De esta manera, se debe seguir

ahondando en las variables didácticas identificadas en este trabajo de indagación y su

coordinación con otros registros como la lengua natural que permitan encontrar las

soluciones de dichos problemas de la vida real o del contexto matemático.

Se recomienda tener en cuenta para el diseño de tareas, la permanencia en el tiempo de

los conceptos aprendidos, es decir no enseñar para presentar o pasar un examen, sino

para que los estudiantes aprendan a razonar el porqué, para qué y cómo las variables



visuales y categoriales lo permiten, además de su aplicabilidad en otras áreas del

conocimiento, para poder comparar las metodologías desde otros contextos.

Los resultados que se evidencian en este trabajo de indagación pueden aportar en la

construcción de currículos o propuestas de situaciones de aula que consideren la

importancia de la enseñanza de la articulación de los registros de representación

semiótica. Para finalizar, estos resultados pueden contribuir en la toma de conciencia, por

parte de todos los profesores de matemáticas y de aquellos que se encuentran en proceso

de formación, de la naturaleza semiótica de los objetos matemáticos y de ciertos aspectos

semióticos y cognitivos que se presentan en el aula de clase, que al tenerse en cuenta

estos aspectos los maestros contarían con elementos suficientes para entender cómo se

puede contribuir a la construcción significativa de los objetos matemáticos.

El diseño de las tareas debe propiciar la justificación de los tratamientos que en ellas

intervienen desde las normas de correspondencia de cada registro, para nuestro estudio

se hace necesario la justificación de los tratamientos desde las propiedades de los

números Reales, debido a esto no se pude identificar en muchas de las producciones de

los estudiantes si los aciertos son producto de as abstracción del conocimiento o si por el

contrario son el resultado de un proceso de mecanización.

A. Anexo A: Situaciones didácticas

Nombre: _____________________ Años: ________ Fecha: _________________

SITUACIÓN 1.

Una función real � = �(�) definida en un conjunto D de números Reales es una regla que

asigna a cada número � en D exactamente un número real, denotado con �(�).

La función Polinomial de segundo grado es aquella de la forma � = �� + �� + � donde a,

b y c son números Reales con � ≠ 0, se conoce con el nombre de Función Cuadrática,

su dominio son todos los números Reales; es decir, no tiene restricción alguna. Su gráfica

es una parábola (vea la figura 25). Si � > 0 entonces la parábola es cóncava hacia arriba.

Si � < 0 la parábola es cóncava hacia abajo.

Tarea 1.

Identifique cuál de las siguientes gráficas cartesianas corresponde a la representación

gráfica cartesiana de una función cuadrática, justifique de manera completa su respuesta

en las líneas.



Figura 1. ________________________ Figura 2. _________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

Figura 3. ________________________ Figura 4. ________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

x

y

x

y

x

y

x

y

Anexo A. Situaciones didácticas 187

Figura 5. _________________________ Figura 6. _________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________ ________________________________

Figura 7. _________________________ Figura 8. ________________________

________________________________ ________________________________ ________________________________

________________________________ ________________________________ ________________________________

x

y

x

y

x

y

x

y



Tarea 2.

La gráfica de la función cuadrática cuya expresión canónica es de la forma � = �(� − ℎ)� +

�;ℎ,� ∈ �, y con a ≠ 0, corresponde a la gráfica de la parábola � = ��, con vértice el

origen (0,0). En la cual el vértice ha sido trasladado h unidades a en sentido horizontal

sobre el eje x y k unidades en sentido vertical sobre el eje y.

Si: la concavidad es hacia arriba Si: la concavidad es hacia abajo

Figura 1. Figura 2.

x

y

x

y

� = ��

� = −��


Ejemplo:

Figura 3. Parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 1 unidad hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.

Figura 4. Parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 1 unidad hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

De al ejemplo anterior, si tenemos como ecuaciones básicas � = �� y � = −��, las cuales correspondes a parábolas cuyo vértice está en el punto (0,0), escriba debajo de cada gráfica cuál es el numeral del enunciado correspondiente, teniendo en cuenta los traslados que tienen cada una de las gráficas en el plano cartesiano con respecto a las representaciones gráficas cartesianas de las funciones básicas y = x� y y = −x� .

a. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 6 unidades hacia

abajo.

b. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 4/3 unidades hacia

arriba.

c. La parábola cuya concavidad es hacia abajo y esta trasladada 2 unidades hacia la izquierda y 1 unidad haca abajo.

d. La parábola cuya concavidad es hacia arriba y esta trasladada 2 unidades hacia la derecha y 3 unidad hacia arriba.

e. La parábola cuya concavidad es hacia arriba, los ceros son 4 y 2, y esta desplazada 3 unidades a la derecha y una hacia abajo.

x

y

x

y



Figura 1. _________________________ Figura 2. __________________________

_________________________________ _________________________________

Figura 3. _________________________ Figura 4. _________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

x

y

x

y

xy

x

y


Figura 5. _________________________ Figura 6. _________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

Figura 7. _________________________ Figura 8. _________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

Tarea 3.

Las siguientes representaciones gráficas de funciones cuadráticas han sido originadas por

las funciones cuadráticas � = �� y � = −�� las cuales se muestran la figuras 1 y 2. En

cada una de las parábolas se presenta un trasladado de “�” unidades en sentido horizontal,

y “�” unidades en sentido vertical. De acuerdo con las figuras A y B identifique y explicite

para cada una de las otras representaciones graficas cartesianas, cuál de las dos (figuras

x

y

x

y

x

y

x

y



A o B) dió origen a la parábola y cuántas unidades se trasladó la parábola sobre el eje

horizontal y sobre el eje vertical (es decir, cuántas unidades se trasladó el vértice ubicado

inicialmente en el punto (0, 0)).

Figura A. Figura B.

Figura 1. _________________________ Figura 2. _________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________ _________________________________

x

y

x

y

x

y

x

y

� = ��

� = −��

a = 1

a = -1


Figura 3. _________________________ Figura 4. _________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ ________________________________

Figura 5. _________________________ Figura 6. _________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

x

y

xy

x

y

x

y



� =1

2��

� = 2��

� = ��

� = −1

2��

� = −2�� = −��

Figura 7. _________________________ Figura 8. _________________________

_________________________________ _________________________________

_________________________________ _________________________________

Tarea 4.

En la gráfica de la función cuadrática el coeficiente de la variable al cuadrado nos describe

como es la apertura de la parábola de tal forma que si tomamos como referencia las

parábolas � = �� y � = −��, donde los coeficientes de la variable al cuadrado son 1 y -

1. Se puede afirmar que cuando el valor numérico de la constante “�” está entre 0 y 1, la

abertura de la parábola es mayor, y cuando el valor numérico de � > 1 la abertura de la

parábola es menor.

Figura 1. Figura2

x

y

x

y

x

y

xy


� = ��

� = ��

� = ��

� = ��

� = �� = −1��

Como se puede observar en la figura 1 a medida que el valor de “a” se acerca a cero la

abertura de la parábola es más amplia. De acuerdo con el enunciado anterior determine si

los coeficientes de las siguientes parábolas están entre cero y menos uno, o son menores

que menos uno.

Halla los valores del coeficiente de la variable independiente (x) elevada al cuadrado, “�”

para cada una de las siguientes representaciones gráficas de la función cuadrática, para

ello utiliza un punto de cada una de las gráficas.

g. Coeficiente b

h. Coeficiente c

i. Coeficiente g

j. Coeficiente d

k. Coeficiente a

xy



SITUACIÓN 2

La función cuadrática se puede representar algébricamente de dos formas:

La ecuación canónica donde: � = �(� − ℎ)� + �;ℎ,� ∈ �, con a ≠ 0

La ecuación polinómica donde: � = �� + �� + � ; con a, b y c ∈ � y con a ≠ 0

En la ecuación canónica los valores numéricos de las constantes h y k representan el vértice

de la parábola y la constante a representa la apertura de la parábola y la concavidad como

hemos visto en las tareas anteriores.

Tarea 1.

Relacione cada una de las siguientes expresiones canónicas con su respectiva

representación gráfica cartesiana, justificando su respuesta. Además en cada una

encuentre la expresión en su forma polinómica equivalente.

a. � = (� + 3)� − 6

b. � = −�

�(� − 4)�

c. � = −2(� − 3)� − 3

d. � = 4(� − 2)� − 4

e. � = −(� + 1)� + 3

f. � = −�

�(� − 4)� + 5



Figura 4. Figura 5. Figura 6

Tarea 2.

Para cada una de las siguientes representaciones gráficas cartesianas de funciones

cuadráticas encuentre la representación simbólica algebraica de la función cuadrática

representada por la gráfica, para lo cual debería tener en cuenta las variables visuales

(concavidad, abertura y vértice), justificando su respuesta. Las representaciones simbólicas

algebraicas se presentan en forma canónica, pero debe encontrar la respectiva expresión

polinómica equivalente correspondiente a la que fue relacionada.

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y



x

y

x

y

a. � = (� + 3)�

b. � = �� + 1

c. � = (� − 3)� + 1

d. � = (� + 1)� + 3

e. � = (� − 1)� + 3

a.

a. � = (� + 2)� + 2

b. � = (� − 2)� + 2

c. � = (� + 2)� − 2

d. � = (� + 2)�

e. � = (� + 2)� − 2

b.


Tarea 3.

Teniendo en cuenta las variables categoriales de las expresiones algébricas dadas,

asocie cada una de las expresiones simbólicas algebraicas con su respectiva

representación gráfica cartesiana, justifique su respuesta. Sugerencia: encuentre la

expresión simbólica algebraica canónica apoyándose en la gráfica y después halle la

equivalencia en polinómica para escoger la respuesta.

a. � = −�� − 6� − 9

b. � = �� + 2� + 6

c. � = 2�� + 2� + 6

x

y

x

y

a. � = 2(� + 3)� + 4

b. � = −2(� − 3)� + 4

c. � = 2(� + 4)� + 3

d. � = −2(� + 3)� + 4

e. � = −2(� − 4)� + 3

c.

a. � = 3(� + 2)� + 6

b. � = −3(� − 2)� − 6

c. � = 3(� − 2)� + 6

d. � = −3(� + 2)� + 6

e. � =�

�(� − 3)� + 6

d.



d. � = −3�� − 7�



SITUACIÓN 3

Cuando una ecuación se encuentra en su forma polinómica, esta se puede trasformar a

una expresión canónica mediante el procedimiento denominado en método de completar

cuadrados.

Para ejecutar este medo se deben seguir los siguientes pasos:

Agrupamos e un paréntesis los términos que contengan la variable.

Sacamos factor común de los términos del paréntesis

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y


Completamos el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual

sumamos y restamos el mismo término para no alterar la ecuación.

Reagrupamos y realizamos la suma de los términos que están por fuera del

paréntesis.

Ejemplo

Si tenemos la ecuación � = 2�� − 5� + 3

Agrupamos e un paréntesis los términos que contengan la variable.

� = (2�� − 5�)+ 3

Sacamos factor común de los términos del paréntesis.

� = 2�� −5

2��+ 3

El número por el cual debemos sumar y restar para completar el cuadrado es ��

��, para

encontrar este número tomamos el coeficiente de la variable que se encuentra elevado a 1

��

��, y lo dividimos entre 2, esto nos da como resultado �

�

��, este resultado lo elevamos al

cuadrado y obtenemos ��

��.

Completamos el cuadrado de una adición dentro del paréntesis, para lo cual

sumamos y restamos el mismo término para no alterar la ecuación.

� = 2�� −5

2� +

25

16−25

16�+ 3

Reagrupamos y realizamos la suma de los términos que están por fuera del

paréntesis.

� = 2�� −5

2� +

25

16�−

25

8+ 3

Para reagrupar sacamos el termino negativo el paréntesis recordando que en un cuadrado

perfecto el primer y tercer término siempre son positivos, este término debe multiplicarse

por el factor (2) ya que este afecta a todos los números que están dentro del paréntesis y

el resultado de esta operación es ��

�.



Realizamos la operación en −��

�+ 3 = −

�

� y obtenemos la expresión canónica.

� = 2�� −5

4��

−1

8

Para encontrar los ceros

Primero igualamos la ecuación canónica a cero

0 = 2�� −5

4��

−1

8

Despegamos el término cuadrado

�� −5

4��

=1

16

Para despejar el cuadrado se deben tener en cuenta tanto el resultado positivo como el

negativo recordando que un número que este elevado a un exponente par siempre es

positivo.

De tal forma que obtendremos la siguiente expresión.

� −5

4= ±�

1

16= ±

1

4

A partir de esta expresión encontramos los valores de los ceros del polinomio calculando

para el valor positivo y el negativo.

�� =5

4+

1

4=6

4=3

2

�� =3

2

�� =5

4−1

4=4

4= 1

�� = 1

Las soluciones o ceros del polinomio son: �� =�

� y �� = 1

El vértice de la parábola será: ��

�,−

�

��


Por tanto la gráfica será

Tarea 1.

Graficar las siguientes funciones cuadráticas las cuales se encuentran en su expresión

polinómica y determinar el dominio, el rango (el cual depende del valor máximo o mínimo

del y). Explique si el vértice es un punto máximo o mínimo del rango, el eje de simetría y

los cortes con los dos ejes cartesianos si existen, para conseguir visualizar el vértice de la

representación gráfica cartesiana debe pasar al expresión polinómica a expresión canónica

por medio del tratamiento de completar cuadrados.

a. � = �� − 2� + 2

x

y

x

y



b. � = −�� + 9

c. � = −�� + � −�

�

d. � = �� − 5� + 6

x

y

x

y

x

y


Tarea 2.

Las siguientes parábolas son originadas por funciones cuadráticas de la forma � =

�(� − ℎ)� + �, siendo a R-{0}, escriba en cada caso la representación algebraica en su

expresión canónica y la expresión polinómica correspondiente, además halle los cortes con

el eje x y con el eje y.

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

x

y

x

y

x

y



Figura 4.

Figura 5.

x

y

xy

Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones 207

B. Anexo B. Ejemplo de Respuestas de las situaciones.





















Respuestas de la situación 3.








Bibliografía

Álvarez, R. (2012). Incidencia de las mediaciones pedagógicas en los procesos de

enseñanza y aprendizaje del concepto de función cuadrática. Manizales: Tesis de

Maestría, Universidad Nacional de Colombia.

Ballén, J. (2012). El álgebra geométrica como recurso didáctico para la

factorización de polinomios de segundo grado.

Brousseau, G. (2000). Educación y Didáctica de las Matemáticas. Educación

Matemática Mexico, Vol. 12,, 5 - 39.

Brousseau, G. (1983). Los obstáculos epistemológicos y los problemas en

matemáticas. Cali: Traducción Cesar Delgado, Universidad del Valle.

Brousseau, G. (1986). Fondaments et méthodes de la didactique des

mathématiques. En Recherches en Didactique de mathématiques Vol. 7 No. 2 (ps.

33 - 115). Burdeos : Universidad de Burdeos .

Brousseau, G. (1998). Théorie des Situations Didactiques. Grenoble, La pensée:

sauvage.

Brousseau, G. (1999). Educación y Didáctica de las Matemáticas . Educación

matemática, México Vol 11.

Brousseau, G. (2000). Educación y Didáctica de las Matemáticas. Educación

Matemática Mexico, Vol. 12,, 5 - 39.

Brousseau, G. (2003). Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques. En: http://pagesperso-orange.fr/daest/guy-brousseau/textes/Glossaire_Brousseau.pdf. Traducción al castellano: Glosario de algunos conceptos de la teoría de las situaciones didácticas en matemáticas. Delgado, C. Universidad del Valle. Cali, Colombia.



Chavarría, J. (2006). Teoría de las situaciones didácticas, cuadernos de

investigación y formación en educación matemática 2006, Año 1, Número 2.

Duval, R. (1988a). Graphiques et Equations: l'articulation de deux registres, in

Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, n°1, 235-255.

Duval, R. (1988b) Las representaciones gráficas: funcionamiento y condiciones de

su aprendizaje traducido por Miriam Vega Restrepo. Cali: Universidad del Valle.

Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif

de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences cognitives, 5, 37-65.

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y

aprendizajes intelectuales (M. Vega, Trad.). Cali: Universidad del Valle. (Obra

original publicada en francés: Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques

et apprentissages intellectuels. Bern: Peter Lang/Éditions Scientifiques

Européennes, 1995).

Duval, R. (2004). Los problemas fundamentales en el aprendizaje de las

matemáticas y las formas superiores del desarrollo cognitivo. Lille, Francia.

Duval, R. (2006a). Un tema crucial en la educación matemática: La Habilidad para

cambiar el registro de representación. La gaceta de la RSME, 143-168.

Duval, R. ( 2007) La conversion des représentations : un des deux processus

fondamentaux de la pensée. Du mot au concept Conversion. Le Séminaire. Presses

universitaires de Grenoble. Grenoble, pp. 9-45.

Duval, R. (2016). Un análisis cognitivo de problemas de comprensión en el

aprendizaje de las matemáticas. En R. Duval, & A. Sáenz-Ludlow, Comprensión y

aprendizaje en matemáticas: perspectivas semióticas seleccionadas (pág. 264).

Bogotá.

Edwards, C. y Penney, D., (1997). Cálculo diferencial, Cuarta edición.

Gil, J. y Díaz, R. (2013). Cálculo diferencial para cursos con enfoque por

competencias Primera edición.

Bibliografía 229

García, J. (2011) Dificultades para articular los registros gráficos, algebraicos y

tabulares: el caso de la función lineal.

García, L., Vázquez, A., e Hinojosa, M. (2004). Dificultades en el aprendizaje del

concepto de función en estudiantes de ingeniería. Revista Ingenierías 7(24), 27-34

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ALBERTO CARVAJAL BORRERO. (2016).

Proyecto Educativo Institucional PEI. Cali, Colombia

INSTITUCIÓN EDUCATIVA ALBERTO CARVAJAL BORRERO. (2016).

Manual de convivencia. Cali, Colombia

MEN. (1998). Matemáticas: Lineamientos Curriculares. Bogotá: MEN.

MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje,

Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas M. d. E. Nacional (Ed.). Bogotá: MEN

Pontón, T. (2008). Una propuesta multiregistro para la conceptualización

incial de las fracciones. Cali: Tesis de Maestría, Universidad del Valle.

Pontón, T. (2011). La comprensión de problemas en la enseñanza y aprendizaje

inicial de los Números Racionales. Cali: Tesis Doctoral, Universidad del Valle.

Thomas, J. y George, B. (2006). Cálculo una variable, Undécima edición, Pearson

Educación, México, 2006

Vasilachis, I. (2006). Estrategias de investigación cualitativa. Barcelona: Gedisa.



Vigotsky, L. (1979). Interacción entre aprendizaje y desarrollo. En L. Vigotsky

(Ed.), El desarrollo de los procesos psíquicos superiores (pp. 123-140).

Barcelona: Editorial Crítica.

Zill, d. y Dewar, J. (2012) Álgebra, trigonometría y geometría analítica. McGraw-

Hill/Interamericana Editores. México , D.

Documents

UNA MIRADA DIDÁCTICA A LOS PROCESOS DE ARTICULACIÓN … · FICHA DE PRESENTACIÓN DE TRABAJO DE INDAGACIÓN TÍTULO DEL TRABAJO DE GRADO: Una mirada didáctica a los procesos de