UN SEMPLICE EMULATORE DELL'ABACO INCAICOkunturweb.altervista.org/tk-yupana/doc/tk-yupana-IT.pdf · Quechua compilato da Diego Gonzales Holguín[§HOL] nel 1608. In realtà, Holguín,

TkYupana r0.7 TkYupana by Kunturweb

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TK-YUPANA

UN SEMPLICE EMULATORE DELL'ABACO INCAICO

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Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 1


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Indice generaleTKYUPANA.......................................................................................................................................1

1 La Yupana...................................................................................................................................71.1 Riferimenti alla Yupana da parte dei Cronisti delle Indie..................................................81.2 Abaco e sistemi di numerazione.......................................................................................10

1.2.1 Limiti del sistema di numerazione additivo..............................................................112 Un secolo di teorie....................................................................................................................13

2.1 Teoria di Henry Wassen (1931)........................................................................................142.1.1 Rappresentazione di un numero................................................................................142.1.2 Addizione..................................................................................................................162.1.3 Moltiplicazione.........................................................................................................18

2.2 Teoria di Carlos Radicati di Primeglio (1979)..................................................................192.2.1 Rappresentazione di un numero................................................................................192.2.2 Addizione..................................................................................................................212.2.3 Sottrazione.................................................................................................................222.2.4 Moltiplicazione.........................................................................................................24

2.3 Teoria di William Glynn Burns (1981).............................................................................262.3.1 Rappresentazione di un numero................................................................................262.3.2 Addizione..................................................................................................................282.3.3 Moltiplicazione.........................................................................................................28

2.4 Teoria di De Pasquale (2001)...........................................................................................322.4.1 Rappresentazione di un numero................................................................................322.4.2 Addizione..................................................................................................................352.4.3 Moltiplicazione.........................................................................................................35

2.5 Teoria di Chirinos (2008).................................................................................................362.5.1 Rappresentazione di un numero................................................................................362.5.2 Addizione..................................................................................................................392.5.3 Moltiplicazione.........................................................................................................39

2.6 Teoria di Cinzia Florio (20082009).................................................................................402.6.1 Rappresentazione di un numero................................................................................412.6.2 Addizione..................................................................................................................422.6.3 Moltiplicazione.........................................................................................................43

Esempio 1: 32×5 (disegno di Poma de Ayala)................................................................46Esempio 2: 133x97..........................................................................................................48

2.7 Teoria di Kak (2014).........................................................................................................532.7.1 Rappresentazione di un numero................................................................................532.7.2 La yupana come strumento di calcolo per l'astronomia............................................56

Punti deboli......................................................................................................................582.7.3 Addizione..................................................................................................................592.7.4 Moltiplicazione.........................................................................................................59


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2.8 Quale teoria scegliere?......................................................................................................603 TkYupana................................................................................................................................62

3.1 Requisiti............................................................................................................................623.2 Download, installazione e avvio.......................................................................................623.3 Convenzioni......................................................................................................................643.4 Il menù principale.............................................................................................................653.5 Yupana di Wassen.............................................................................................................68

3.5.1 Rappresentazione......................................................................................................68Inserimento di un numero................................................................................................69Rimozione di un seme......................................................................................................70Operazioni di spostamento dei semi (promozione).........................................................71

3.5.2 Addizione..................................................................................................................73Inserimento del primo addendo.......................................................................................73Inserimento del secondo addendo....................................................................................73Somma degli addendi.......................................................................................................73

3.5.3 Moltiplicazione.........................................................................................................743.5.4 Funzioni del menù.....................................................................................................74

3.6 Yupana di Radicati............................................................................................................753.6.1 Rappresentazione......................................................................................................75

Inserimento di un numero................................................................................................763.6.2 Addizione..................................................................................................................77

Inserimento del primo addendo.......................................................................................78Inserimento del secondo e del terzo addendo..................................................................78Somma degli addendi.......................................................................................................79

3.6.3 Sottrazione.................................................................................................................79Inserimento del minuendo...............................................................................................79Inserimento del sottraendo...............................................................................................80Sottrazione degli addendi.................................................................................................80

3.6.4 Moltiplicazione.........................................................................................................80Inserimento del moltiplicando.........................................................................................81Inserimento del moltiplicatore.........................................................................................81Calcolo 1: prodotti parziali..............................................................................................81Calcolo 2: Sommatorie....................................................................................................82Calcolo 3: Prodotto..........................................................................................................83

3.6.5 Funzioni del menù.....................................................................................................833.7 Yupana di Glynn...............................................................................................................84

3.7.1 Rappresentazione......................................................................................................84Inserimento di un numero................................................................................................85Uso della memoria...........................................................................................................86Operazioni inverse...........................................................................................................89

3.7.2 Addizione..................................................................................................................90Inserimento del primo addendo.......................................................................................90


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Inserimento del secondo addendo....................................................................................90Somma degli addendi.......................................................................................................91

3.7.3 Moltiplicazione.........................................................................................................91Inserimento del moltiplicando.........................................................................................91Inserimento del moltiplicatore.........................................................................................93Somma degli addendi.......................................................................................................93

3.7.4 Funzioni del menù.....................................................................................................953.8 Yupana di De Pasquale (2001).........................................................................................96

3.8.1 Rappresentazione......................................................................................................963.8.2 Funzioni del menù.....................................................................................................98

3.9 Yupana di Chirinos (2008).............................................................................................1003.9.1 Rappresentazione....................................................................................................1003.9.2 Funzioni del menù...................................................................................................102

3.10 Yupana di Kak (2014)...................................................................................................1043.10.1 Rappresentazione..................................................................................................1043.10.2 Funzioni del menù.................................................................................................106

3.11 Yupana di Florio (2008)...............................................................................................1073.11.1 Rappresentazione di un numero............................................................................1073.11.2 Addizione..............................................................................................................110

Inserimento del primo addendo.....................................................................................110Inserimento del secondo addendo..................................................................................110Somma degli addendi.....................................................................................................112

3.11.3 Moltiplicazione.....................................................................................................112Inserimento del moltiplicando.......................................................................................114Inserimento del moltiplicatore.......................................................................................114Le opzioni velocità e PassoPasso.................................................................................115Calcolo del prodotto.......................................................................................................116

3.11.4 Funzioni del menù.................................................................................................1174 Licenza....................................................................................................................................1185 Bibliografia.............................................................................................................................119


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1 - La YupanaPer Yupana si intende un abaco, utilizzato al tempo

degli Inca, dai contabili e tesorieri dell'impero, chiamatiKhipu Camayuq1.

Il nome deriva sicuramente dalla parola quechuaYupay (contare), mentre sulla paternità è sorta neglianni molta confusione non solo tra gli studiosi, maanche tra ricercatori e cattedratici: alcuni[§MOV] laattribuiscono all'ingegnere William Burns Glynn,altri[§RDP] al tempo degli Inca, in quanto la parolasarebbe citata già in un antico vocabolario della linguaQuechua compilato da Diego Gonzales Holguín[§HOL] nel1608. In realtà, Holguín, traduce il termine “Yupana”con “Letra los numeros de guarismo”, che possiamotradurre con “numeri”2, mentre con “Yupana qqellca, oqquipu”, “Las cuentas con nudos o por escrito”, chetraduciamo con “Calcoli con nodi o per iscritto”. Chiinvece traduce proprio “Tavola per contare” con“Yupana o quippo” è Domingo de Santo Tomás nel suo

“Lexicon, o Vocabulario de la lengua general del Peru”[§SAT], datato 1560. Dunque la parola haproprio origine quechua e fu utilizzata per indicare lo strumento utilizzato per contare.

Sono due le classi di “oggetti” ai quali ci si riferisce quando si parla di yupana. La prima classeè costituita da una serie di reperti archeologici simili a delle bacheche in pietra o legno le cui casellehanno forme e dimensioni differenti; si pensa (ma non è dimostrato3) che potessero essere utilizzatecome abachi. D'ora in avanti ci riferiremo ad esse con il nome di “yupane a casetta”.

La seconda classe è in realtà costituita da un solo elemento: un disegno che appare nelmanoscritto “El Primer Nueva Coronica y Buen Gobierno” di Felipe Guaman Poma de Ayala,scritto nel 1615, ma rinvenuto in tempi relativamente recenti nella biblioteca di Copenhagen[§POM]. Intale disegno sono raffigurati un contabile dell'impero Incaico e ai suoi piedi una scacchieracostituita da cinque righe e quattro colonne, le cui caselle contengono cerchietti bianchi e neri (ovuoti e pieni).

1 Letteralmente da: Khipu (nodo, nel senso di corda alla quale venivano fatti dei nodi per registrare eventi contabili) e Camayuq (maestro): maestro dei nodi [n.d.A.]

2 Alcuni hanno tradotto con “Cifre dei numeri, cioè i grani corrispondenti ai numeri da annodare sul quipu”[§LAU] ealtri con “lettera, numero”[§FLO] [n.d.A.]

3 Alcuni pensano che potessero essere delle tavole per il gioco d'azzardo, altri ancora modellini di fortezze (cfr.[§RDP], cap. 3, pag. 11)


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Le due classi di oggetti devono, a mio parere, essere trattate separatamente in quanto il disegnoe i reperti archeologici sono assolutamente incongruenti. Inoltre, mentre la descrizione della yupanadi Poma de Ayala certifica il suo utilizzo come tavola di calcolo, non si hanno abbastanza elementiper stabilire con certezza l'uso delle yupane a casetta.

Oggetto di studio di questa trattazione è la yupana di Poma de Ayala e le yupane a casettaverranno da qui in avanti ignorate.

1.1 - Riferimenti alla Yupana da parte dei Cronisti delle Indie

Nella pagina successiva al disegno sopracitato, Poma de Ayala descrive soloapprossimativamente il metodo impiegato dai contabili dell'impero per fare dei calcoli. ScrissePoma de Ayala:

“Contabile maggiore di tutto il regno, Condor Chaua, figlio di divinità: lo chiamavanoTawantin Suyo runa quipoc Yncap, haziendan chasquicoc4 o tesoriere maggiore. Si dice che avesseuna grande abilità. Per metterlo alla prova, l'Inca gli ordinò di numerare, contare e regolare gliindigeni del regno. Associava i sudditi alla lana del cervo andino5 e a un alimento chiamato quinuae poteva stabilire quanta quinua e lana essi producessero. La sua abilità fu enorme, migliore che seavesse potuto scrivere.

Contabile maggiore o hatun hucha quipoc6 e Contabile minore o huchuy hucha quipoc7:utilizzano delle tavole, contando da centomila a diecimila e da cento a dieci fino ad arrivareall'unità. Tutto ciò che succede in questo regno essi lo annotano: feste, settimane, mesi e anni. Inogni città e paese ci sono questi contabili e contano cominciando da uno, due e tre: Suc [1], yscay[2], quinza [3], taua [4], pichica [5], zocta [6], canchis [7], puzac [8], yscon [9], chunga [10],yscay chunga [20], quinza chunga [30], taua chonga [40], pisca chunga [50], zocta chunga [60],canchis chunga [70], pozac chunga [80], yscon chunga [90], pachaca [100], uaranga [1000].Chunga uaranga [100 × 1000 = 10.000] huno, pachaca huno [100 × 10.000 = 1.000.000],uaranranga huno [1000 × 10.000 = 10.000.000], pantacac huno [infinito]”8

4 Colui che censisce la popolazione del Tawantinsuyo (impero incaico); colui che riceve i tributi dell'Inca; colui chetiene la contabilità dell'impero. [n.d.A.]

5 Va ricordato che precedenti autori traducono come “contavano con corde fatte di lana di cervo andino”, con chiaroriferimento ai khipu; uno di questi è Radicati di Primeglio (op. già citata). Il tipo di lana utilizzato per i Khipu, peròè di lama o alpaca o cotone, pertanto la mia traduzione mi sembra più realistica, anche alla luce del fatto che“emparejar” significa “appaiare”. [n.d.A.]

6 Colui che teneva conto delle gravi violazioni e ammanchi. [n.d.A.]7 Colui che teneva conto delle violazioni e ammanchi di minore importanza. [n.d.A.]8 “Contador mayor de todo este rreyno, Condor Chaua, hijo de apo: A éste le llamauan Tawantin Suyo runa quipoc

Yncap, haziendan chasquicoc, tezorero mayor. Dize que este prencipal tenía grande auilidad; para sauer su auilidadel Ynga mandó contar y numirar, ajustar con los yndios deste rreyno. Con la lana del cierbo, taruga, enparexaua conla lana a los yndios y enparexaua con una comida llamado quinua [gramínea de altura], contaua la quinua y los


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Informazioni raccolte:• Utilizzavano delle tavole per contare• Probabilmente avevano un limite superiore di dieci milioni e uno inferiore pari

all'unità9

• Il sistema di numerazione utilizzato era decimale10

Un secondo cronista che dedica alcune parole a come contavano gli Inca, è il gesuita José deAcosta, che nella sua opera intitolata “Historia Natural y Moral de las Indias”[§POM] descrisse,ancorché approssimativamente, il modo di utilizzare l'abaco:

“Questi indio prendono le granaglie e le mettono una qui, tre là, otto in un'altra posizione;spostano un grano da una casella e scambiano altri tre grani in un'altra per ottenere alla fine ilrisultato perfetto, senza errori”11

Informazioni raccolte:• Utilizzavano granaglie• Muovevano e scambiavano le granaglie da una casella all'altra• Erano molto precisi

Il terzo cronista che prendo in considerazione è Juan de Velasco, che scrive:

“Lo strumento utilizzato da questi maestri era qualcosa di simile a una serie di vaschette, fattedi legno, pietra o argilla, con diverse separazioni, nelle quali si collocavano pietruzze di distinteforme, colori e figure angolari”12

yndios. Fue muy grande su auilidad, mejor fuera en papel y tinta. Contador mayor hatun hucha quipoc, contadormenor huchuy hucha quipoc: Cuentan en tablas, numiran de cien mil y de dies mil y de ciento y de dies hasta llegara una. De todo lo que pasan en este rreyno lo acienta y fiestas y domingos y meses y años. Y en cada ciudad y uilla ypueblos de yndios auía estos dichos contadores y tesoreros en este rreyno. Y contaua desta manera, comensando deuno, dos y tres: Suc [uno], yscay [dos], quinza [tres], taua [cuatro], pichica [5], zocta [6], canchis [7], puzac [8],yscon [9], chunga [10], yscay chunga [20], quinza chunga [30], taua chonga [40], pisca chunga [50], zocta chunga[60], canchis chunga [70], pozac chunga [80], yscon chunga [90], pachaca [100], uaranga [1000]. Chunga uaranga[10 × 1000 = 10.000] huno, pachaca huno [100 × 10000 = 1.000.000], uaranranga huno [1000 × 10.000 =10.000.000], pantacac huno [incontable]”. [§POM], pag. 361 (363) [tradotto dall'Autore]

9 Poma de Ayala è l'unico cronista che scrive i multipli del numero hunu (10000) a pag. 361 (363). In tutto il restodell'opera però non vengono usati, mentre viene usato diverse volte il numero hunu con differenti traduzioni: hunuapo (signore di diecimila uomini) [p. 65], hunu Gayllas (un milione di uomini) [p. 111], huno curaca (signore didiecimila unità domestiche) [p. 189 (191)] e ancora Huno apo o hunu auca camayuq (capo di centomila unitàtributarie) [p. 454 (456)].

10 Il fatto che utilizzassero un sistema decimale è ribadito anche in un passo precedente del Nueva Coronica, quando siparla della suddivisione dell'impero in classi (cfr. [§POM] El capitulo de la visita general o censo, pagg. 195236).

11 “Y pondrán uno aquí, tres allá, ocho no sé donde; pasarán un grano de aquí, trocarán tres de allá y en efecto ellossalen con su cuenta hecha puntualisimamente sin errar un tilde”, [§ACO] [tradotto dall'Autore]

12 [§VEL], pagg. 1841 44, T.II cap. 7 [Tradotto dall'Autore]


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Informazioni raccolte:• Lo strumento (singolare) era costituito da più parti (serie di vaschette), ciascuna di

esse avente diverse separazioni• Utilizzavano pietre colorate con diverse forme

Ammettendo che i tre cronisti si riferissero allo stesso oggetto e allo stesso metodo di calcolo(d'altronde non si capirebbe come mai i contabili appartenenti ad una stessa élite ed istruiti nellostesso modo, avrebbero dovuto utilizzare metodi e strumenti differenti per eseguire un determinatocalcolo) si possono fare ulteriori ipotesi che sono poi alla base di alcune teorie sviluppate nel corsodegli anni sull'abaco incaico ritratto da Poma de Ayala.

• i cerchietti neri del disegno di Poma di Ayala potrebbero essere delle granaglie utilizzatecome controvalore in luogo di una certa quantità;

• il numero dei buchi (o semi) presenti nelle caselle potrebbe corrispondere al1. valore da attribuire ai semi presenti in una certa casella2. numero di elementi corrispondenti ad un certo valore determinato dalla riga/colonna a

cui appartiene la casella;

Ancor oggi non si ha nessuna certezza su quale fosse il metodo utilizzato dai contabili pereseguire le operazioni aritmetiche con la yupana di Poma de Ayala e le interpretazioni continuano aproliferare.

Per comprendere gli argomenti trattati in seguito, è necessario tuttavia che il lettore focalizzi lapropria attenzione su alcuni concetti essenziali e che eventualmente li approfondiscaautonomamente.

1.2 - Abaco e sistemi di numerazione

Un abaco è uno strumento inventato e utilizzato da uomini di varie civiltà come ausilio neicalcoli matematici. Il metodo di calcolo utilizzato nell'abaco si basa su un determinato sistema dinumerazione.

Per sistema di numerazione si intende un modo di rappresentare i numeri tramite una serie disimboli. I sistemi di numerazione si dividono in due categorie principali: i sistemi di numerazioneadditivi e i sistemi di numerazione posizionali.

Nei sistemi additivi il valore del numero rappresentato è dato dalla somma dei valori attribuiti auna serie di simboli fondamentali; è un esempio la numerazione di tipo romana (almeno nellaversione iniziale) per la quale era definita una serie di simboli fondamentali: I, V, X, L, C, D, M,corrispondenti rispettivamente a 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Il valore degli altri numeri eraricavabile dalla somma dei valori dei simboli fondamentali:


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1 = I2 = I + I = II3 = I + I + I = III4 = I + I + I + I = IIII13

5 = V6 = V + I = VI7 = V + I + I = VII8 = V + I + I + I= VIII9 = V + I + I + I + I = VIIII14

10 = X...

Si noti che in un sistema di numerazione puramente additivo la rappresentazione di un numeronon dipende dalla posizione dei simboli fondamentali, ovvero ad esempio il numero 8 avrebbepotuto scriversi anche IVII, o IIIV in quanto il risultato della somma dei simboli che lorappresentano è lo stesso di quello convenzionale.

Nei sistemi posizionali il valore dei simboli utilizzati per rappresentare un numero dipendedalla posizione occupata dal simbolo stesso. Tra i sistemi di numerazione posizionali distinguiamodiverse notazioni rispetto ad altrettanti tipi di base. Si definisce base il numero di cifre uniche cheun sistema di numerazione posizionale utilizza per rappresentare tutti i numeri.

Un esempio di sistema di numerazione posizionale è quello arabo, oggi il più comunementeutilizzato. Ogni numero viene rappresentato da sequenze di 10 cifre (0, 1, 2, 3, …, 9) e pertanto labase è 10 e viene detto decimale. La cifra più a destra corrisponde alle unità, quella precedente alledecine, poi le centinaia, ecc., pertanto il numero può essere scritto come successione delleprecedenti cifre, a patto di rispettare la convenzione delle posizioni: es. 5342 (5 103 + 3 102 + 4 101 + 2 100).

1.2.1 - Limiti del sistema di numerazione additivo

Un sistema di numerazione additivo va bene fintanto che si ha a che fare con piccoli numeri.Quando si inizia a scalare alle decine di migliaia o ai milioni, il numero dei simboli da utilizzare perrappresentare un certo valore aumenta a dismisura e si è costretti a inventare altri simboli. Siconsideri ad esempio il numero dell'esempio precedente e lo si scriva con i numeri romani:

5342 (4 simboli) = MMMMMCCCXXXXII (14 simboli)

Si noti che i sistemi di numerazione additivi sono quelli adottati sin dai tempi più remoti anchedalle popolazioni primitive e preistoriche. L'utilizzo di un sistema di numerazione additivo, tuttavianon è indice di basso grado di civiltà; si pensi ad esempio ai Romani o ai Greci. Tuttavia, un sistema

13 Successivamente IV, sottrazione del numero I dal numero V [n.d.A.]14 Successivamente IX, sottrazione del numero I dal numero X [n.d.A.]


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di tipo posizionale, essendo più vantaggioso rispetto a uno additivo, risulta vincente e col tempo èdestinato a soppiantarlo definitivamente.


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2 - Un secolo di teorieIn seguito analizzeremo le teorie che sono state proposte da vari autori in quasi 100 anni dalla

scoperta della copia del Nueva Coronica di Poma de Ayala.

Si presti particolare attenzione ai seguenti aspetti, che verranno di volta in volta evidenziati eraccolti in una tabella analoga posta all'inizio di ogni paragrafo:

Sistema di numerazione Additivo o posizionale?

Notazione o base (solo per sistemi posizionali)Potenze di... (solo per sistemi additivi)

10, 12, 20, 40, 60, …Potenze di 10

Disposizione della tavola Verticale: 5 righe 4 colonneOrizzontale: 4 righe 5 colonne

Progressione orizzontale Progressione dei valori numerici assegnati aciascuna riga

Progressione verticale Progressione dei valori numerici assegnati aciascuna colonna

Si considerino inoltre le seguenti domande riguardanti la soluzione adottata, alle quali daremovia via una risposta che ci servir infine per trarre delle conclusioni:

• Con la tavola 5x4 a disposizione e il sistema di numerazione adottato è possibilerappresentare tutti i numeri dall'uno al centomila?

• L'utilizzo della tavola per i calcoli (abaco) è semplice?

• Presenta problemi o incongruenze?


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2.1 - Teoria di Henry Wassen (1931)

Purtroppo non sono ancora riuscito a trovare gli scritti originali diHenry Wassen, pertanto gli argomenti esposti in questo paragrafo sibasano su alcuni articoli di altri autori[§RDP] e [§MOV] che descrivonosommariamente il metodo di Wassen. In particolare Wassen sviluppòsolo la teoria della rappresentazione dei numeri e NON le operazioni.In tkyupana le operazioni basate sulla teoria di Wassen sono da

attribuirsi a Bustos, Vergara e Luque Arias, che le descrivono nel loro lavoro: “El ábaco Incay las operaciones aritmeticas”[§BUS]. In futuro spero di confermare quanto per ora solodedotto e di apportare le eventuali modifiche a questa documentazione e a TkYupana.

Sistema di numerazione Posizionale

Notazione o base 10

Disposizione della tavola Verticale: 5 righe 4 colonne

Progressione orizzontale 1, 5, 15, 30 (o 5, 15, 30, 30)

Progressione verticale 1, 10, 100. 1000, 10000

Henry Wassen fu il primo a fornire una interpretazione del disegno della Yupana di Poma deAyala. L'ipotesi che sta alla base della teoria di Wassen è che i cerchietti bianchi fossero dei buchidove depositare i semi, mentre i cerchietti neri fossero tali buchi riempiti con un seme.

2.1.1 Rappresentazione di un numero

La rappresentazione di un numero nella yupana ha una progressione verticale su base 10(decimale). Ciò significa che il numero può essere rappresentato posizionando le unità nella primariga, le decine nella seconda e così via. Il valore che ogni seme può assumere, invece, dipende dallacolonna in cui si trova, seguendo la progressione orizzontale basata sul principio che nella primacolonna sia possibile posizionare un numero massimo pari a 5 semi di valore unitario (per un totaledi 5 e pari al valore di un singolo seme posizionato nella colonna 2), nella seconda colonna almassimo tre semi di valore 5 ciascuno (per un totale di 15 e pari al valore di un singolo semeposizionato nella colonna 3), nella terza colonna al massimo due semi del valore di 15 ciascuno (perun totale di 30 e pari al valore di un singolo seme posizionato nella colonna 4). Si veda la 1.


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RIGAPOTENZArange valori

COLONNA 1 COLONNA 2 COLONNA 3 COLONNA 4

Valore: 1 Valore: 5 Valore: 15 Valore: 30

5

104

10000300000

1000050000m m m m m

50000150000m

m

m

150000300000

m

m

300000

m

4

103

1000300000

10005000m m m m m

500015000m

m

m

1500030000

m

m

30000

m

3

102

1003000

100500m m m m m

5001500m

m

m

15003000

m

m

3000

m

2

101

10300

1050m m m m m

50150m

m

m

150300

m

m

300

m

1

100

130

15m m m m m

515m

m

m

1530

m

m

30

m

Tabella 1: Schema della Yupana Posizionale in base 10 con progressione 1, 5, 15, 30 di H. Wassen

Come esempio per la rappresentazione di un numero, scegliamo 3595. Si riempie la tavoladall'alto verso il basso e da sinistra verso destra, tenendo presente che ad ogni cifra corrisponde unacolonna (sistema posizionale). Iniziamo quindi con l'inserire le migliaia: tre semi (cerchi neri) nellaprima casella della riga 4, coprendo tre buchi (cerchi bianchi); poi passiamo alle centinaia: cinquesemi nella prima casella della riga 3; poi le decine: siccome 9 è maggiore di 5, quando quest'ultimonumero verrà raggiunto (aggiungendo 5 semi nella prima casella della riga 2), potremo raggrupparei cinque semi e sostituirli con uno nella seconda casella della riga 2; poi procederemo aggiungendo irestanti quattro semi nella prima colonna della seconda riga. Infine le unità: anche queste sonocinque, quindi potremo operare allo stesso modo delle centinaia, oppure, al fine di mostrare che unnumero è rappresentabile in modi differenti, si potrebbe raggruppare i cinque semi e sostituirli conun solo posizionato nella seconda casella della riga 1. Si veda la 2.

Si osservi che tutti i numeri dall'uno al 111110 possono essere rappresentati utilizzandoesclusivamente le prime due colonne (1 e 2), mentre è possibile rappresentare tutti i numeri fino allimite superiore di 888880, riempiendo completamente la yupana.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 15


MANUALE UTENTE

La teoria di Wassen, basata su un sistema di numerazione posizionale, fu presa a modello dallamaggior parte degli autori successivi, che pur sconfessandone la validità, non si discostarono maidal carattere posizionale.




5

104

Chunka Waranka (Decine di migliaia)

10000300000

1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

150000300000

m

m

300000

m

4

103

Waranqa(Migliaia)

1000300000

10005000

l m l m l

500015000

m

m

m

1500030000

m

m

30000

m

3

102

Pachak(Centinaia)1003000

100500

l l l l l

5001500

m

m

m

15003000

m

m

3000

m

2

101

Chunka (Decine)10300

1050

l ml l l

50150

l

m

m

150300

m

m

300

m

1

100

Huk (Unità)

130

15

m m m m m

515

m

m

l

1530

m

m

30

m

Tabella 2: Rappresentazione del numero 3595 nella Yupana di H. Wassen

2.1.2 - Addizione

Questa operazione (basata sulla rappresentazione secondo Wassen) è tratta da “El Abaco IncaY Las Operaciones Aritmeticas” di Bustos et al..[§BUS]

Per sommare due numeri occorre rappresentare il primo addendo nella yupana (vedi paragrafoprecedente). In seguito, partendo dalla colonna delle unità, si aggiungano tanti semi quante sono leunità del secondo addendo. Se si completa la prima colonna (cinque semi), essi vengono rimossi esostituiti con un seme nella seconda colonna. Quando viene raggiunto il numero dieci, tutti i semi


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 16


MANUALE UTENTE

vengono rimossi e un seme viene aggiunto nella prima colonna della seconda riga. Ovviamente ilprincipio di sostituzione vale anche per le cifre (righe) superiori.

COL. 1 COL. 2 COL. 1 COL. 2 COL. 1 COL. 2

(A) (B) (C)1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

1000050000 m m m m m

50000150000

m

m

m

10005000

l m l m l

500015000

m

m

m

10005000

l m l m l

500015000

m

m

m

10005000

l m l l l

500015000

m

m

m

100500

l l l l l

5001500

m

m

l

100500

m m m m m

5001500

l

m

l

100500

m m m m l

5001500

m

m

m

1050

l ll l l

50150

l

m

m

1050

m m m m m

50150

l

m

l

1050

m m m m l

50150

m

m

m

15

l l l l l

515

m

m

l

15

m m m m m

515

l

m

l

15

m m m m m

515

m

m

m

Tabella 3: Procedimento per l'addizione di 3595 + 515 = 4110 nella Yupana di H. Wassen

Come esempio, sommiamo al numero rappresentato nel paragrafo precedente il numero 515. Il

primo passo del procedimento, consiste nell'aggiungere le cifre di unità, decine e centinaia allayupana (si veda la 3, parte A, cerchietti rossi). Il secondo passo consiste nel raggruppare i semi chehanno riempito le caselle di colonna 1 e sostituirli con un solo seme di casella 2 (si veda la 3, parteB, cerchietti rossi). Infine, si considerino i semi che occupano le caselle di colonna 2 e,raggruppandoli, li si sostituiscano con un solo seme della casella 1 della riga successiva (si veda la3, parte C, cerchietti blu).


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MANUALE UTENTE

2.1.3 - Moltiplicazione

Questa operazione (basata sulla rappresentazione secondo Wassen) è tratta da “El Abaco IncaY Las Operaciones Aritmeticas” di Bustos et al..[§BUS]

TO DO


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 18


MANUALE UTENTE

2.2 - Teoria di Carlos Radicati di Primeglio (1979)


Notazione o base 10


Progressione orizzontale 1, 1, 1, 1 (o 9, 9, 9, 9)



Radicati di Primeglio impostò la propria teoria su un sistema di numerazione posizionale. Adifferenza di Wassen, non pensò che i cerchi bianchi e neri rappresentati nel disegno di Poma deAyala fossero lacune vuote o piene, ma semi gettati nelle varie caselle.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 19


MANUALE UTENTE




5

104

1000090000

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

4

103

10009000

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

3

102

100900

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

2

101

1090

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

1

100

19

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

Tabella 4: Schema della Yupana Posizionale in base 10 con progressione 1, 1, 1, 1 di C. Radicati di Primeglio

In ogni colonna della yupana poteva essere rappresentato un numero con progressione verticaleper potenze di dieci (sistema decimale). In ogni casella era possibile disporre fino a nove (9) semi,tutti aventi valore 1 (si veda la 4).

Come esempio per la rappresentazione di un numero, scegliamo 3595. Si riempie la tavoladall'alto verso il basso e da sinistra verso destra, tenendo presente che ad ogni cifra corrisponde unariga (sistema posizionale). Iniziamo quindi con l'inserire le migliaia (quarta riga): tre semi (cerchineri) nella prima casella; poi passiamo alle centinaia (terza riga): cinque semi nella prima casella;poi le decine (seconda riga): questa verrà riempita completamente (9 semi). Infine le unità (primariga): 5 semi nella prima casella. Si veda la 5.

Si osservi che possono essere rappresentati tutti i numeri dall'uno al 99999.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 20


MANUALE UTENTE




5

104

1000090000

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

4

103

10009000

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

3

102

100900

l m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

2

101

1090

l l l l l l l l l

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

1

100

19

l m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

Tabella 5: Rappresentazione del numero 3595 nella Yupana di C. Radicati di Primeglio

2.2.2 - Addizione

Per sommare due numeri occorre rappresentare gli addendi nella yupana (vedi paragrafoprecedente), uno per ogni colonna. In seguito, partendo dalla colonna delle unità, si spostino i seminell'ultima colonna, avendo cura, ogni qual volta si raggiunga il numero di dieci semi di sostituirlicon un singolo seme della riga successiva (potenza superiore).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 21


MANUALE UTENTE

COL. 1 COL. 2 COL. 3 COL. 4 COL. 1 COL. 2 COL.3 COL.4

(A) (B)m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

l l l l l l

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

l l m l l m l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m l l m l l m

l l l l l l l l l l l l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m l l m l l m

l l m l l m l m m

l l l l l l l l l

m m m m m m l m m

l l m l l m l l l

l l l l l l l l l l l l l l l l l

l l l l l l l l l

m m m m m m l m m

l l m l l m l l l

l l m l l l l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

l l l l l l l l l l

l m m l l m l l m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

m m m m m m l m m

Tabella 6: Procedimento per l'addizione di 3595 + 515 + 3471 = 7581 nella Yupana di C. Radicati di Primeglio

Come esempio, sommiamo al numero rappresentato nel paragrafo precedente (semi neri, prima

colonna) il numero 515 (semi rossi, seconda colonna) e il numero 3471 (semi blu, terza colonna). Ilprimo passo del procedimento, consiste nel rappresentare detti numeri nelle prime tre colonne (siveda la 6, parte A, colonne 1, 2 e 3). Iniziamo a questo punto dalla riga delle unità, sommando tutti isemi neri, rossi e blu, per poi spostarli nell'ultima colonna (6, parte A, colonna 4). Siccome il totaledei semi è 11 (maggiore di 10), dieci semi (neri + rossi) possono essere sostituiti con un solo semedella riga superiore (6, parte B, riga 2, colonna 4, seme arancione) e nella casella 1 × 4 rimarràsoltanto il seme blu. Allo stesso modo nella riga 2, i semi neri sommati a quelli rossi danno 10decine, che quindi possono essere sostituite con un centinaio (seme arancione) della riga superiore(6, parte B, riga 3, colonna 4, seme arancione), mentre i semi blu vengono spostati in colonna 4.Anche nella riga 3 i semi rossi e neri danno come risultato 10, quindi possono essere sostituiti conun solo seme di riga 4 (6, parte B, riga 4, colonna 4, seme arancione) e i semi blu rimangono incolonna 4. Nella riga 5 si esegue solo lo spostamento dei semi blu e neri perché non viene raggiuntoil numero 10. Si può leggere il risultato verticalmente partendo dall'alto: 7581.

2.2.3 - Sottrazione

Per sottrarre due numeri occorre rappresentare il minuendo e il sottraendo nelle prime duecolonne della yupana (vedi paragrafo precedente). In seguito, partendo dalla colonna delle unità, si


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 22


MANUALE UTENTE

spostino i semi della prima colonna nella terza (o quarta) sottraendo di volta in volta i semi dellacolonna 2. Nel caso il risultato sia negativo si deve prendere un seme della riga (potenza) superioree trasformarlo in 10 semi della riga (potenza) corrente prima di sottrarre i semi di colonna 2.

COL. 1 COL. 2 COL. 3 COL. 4 COL. 1 COL. 2 COL.3 COL.4

(A) (B)m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l m m l m m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l m m l l m l l m

m m m m m m l m m

m m m m m m m m m

m m m l l m l l m

l l l l l l l l l

m m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l l l l l l l l m

m m m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m l l m l l m

l m m l l m l l m

l l m l l m l l m

m m m m m m m m m

m m m m m m m m m

l l l l l l l l l l l l l l l

l l m l l m l l m

m m m m m m m m m

l l l l l l l l l

Tabella 7: Procedimento per la sottrazione di 3595 146 = 3449 nella Yupana di C. Radicati di Primeglio

Come esempio, sottraiamo al numero rappresentato nel paragrafo precedente (semi neri, prima

colonna) il numero 146 (semi rossi, seconda colonna). Il primo passo del procedimento, consiste nelrappresentare detti numeri nelle prime due colonne (si veda la 7, parte A, colonne 1 e 2). Iniziamo aquesto punto dalla riga delle unità e spostiamo i semi neri nell'ultima colonna, sottraendocontemporaneamente i semi rossi; siccome il risultato sarebbe negativo, trasformiamo un seme nerodella riga successiva (riga 2) in dieci semi della riga 1 (7, parte B, riga 1, colonna 1, semiarancioni). Il risultato dell'operazione di sottrazione della riga uno consiste nei semi blu (7, parte B,riga 1, colonna 4, semi blu). Procediamo con le decine: a 8 semi neri sottraiamo 4 semi rossi eriportiamo il risultato in colonna 4 (7, parte B, riga 2, colonna 4, semi blu). Allo stesso modo, per lecentinaia dobbiamo sottrarre a 5 semi neri uno rosso (7, parte B, riga 4, colonna 4, semi blu). Infineper le migliaia è sufficiente riportare i tre semi di colonna 1 in colonna 4, non essendoci semi dasottrarre in colonna 2. Il risultato si può leggerlo verticalmente partendo dall'alto: 3449.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 23


MANUALE UTENTE


La teoria della moltiplicazione secondo Radicati di Primeglio implica l'utilizzo di una yupanaampliata rispetto a quella rappresentata da Poma de Ayala. In particolare il numero di righe ecolonne dipende dal numero di cifre dei numeri che si vogliono moltiplicare. Facciamo qui unesempio in cui moltiplicando e moltiplicatore non superino le tre cifre.

Per moltiplicare due numeri occorre rappresentare il moltiplicando nella prima colonnapartendo da sinistra (semi blu nella zona azzurra) e il sottraendo nelle prima riga partendo dall'alto(semi arancioni nella zona beige), come mostrato in 8.

COL. 1 COL. 2 COL. 3 COL. 4 COL. 5 COL. 6

Moltiplicatorel l

l l

l l ll l

l l l

l l l Sommatorie Totale

Moltiplicando Prodotti parziali

l ll l lllll RIGA 5

mlll

llllll RIGA 4

l

llll lllll llllllmmllllllll RIGA 3

l l

llllllll

llllllllll

llllllllllll

mmlllllll

llllllll RIGA 2

l l l

llllllllllll

lllllllllllllll

llllllllllllllllll

mllllllll

llllllll RIGA 1

Tabella 8: Rappresentazione del moltiplicando 123 e del moltiplicatore 456 nella Yupana di C. Radicati di Primeglio. Semi blu = Moltiplicando, semi arancione = moltiplicatore, 1 seme bianco = 10 (decina), 1 seme nero = 1 (unità)

Si procede poi con il moltiplicare ciascuna cifra del moltiplicatore per ogni cifra del

moltiplicando, riportando il risultato nella casella corrispondente dei prodotti parziali (zona verde).Nell'esempio (così come in TkYupana) utilizziamo semi neri ad indicare le unità e bianchi adindicare le decine.

In seguito partendo dalla casella R1C4 si sommano diagonalmente i semi presenti nellecaselle verdi e si riporta il risultato nelle caselle grigie corrispondenti alle sommatorie. QuindiR1C4 verrà riportato in R1C5; R1C3 + R2C4 in R2C5; R1C2 + R2C3 + R3C4 inR3C5; R2C2 + R3C3 in R4C5; R2C3 in R5C5.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 24


MANUALE UTENTE

Infine cominciando da riga 1 e procedendo verso l'alto, si considerino le sommatorie di colonna5 e si riportino i valori dei semi neri in colonna 6, avendo cura, ogni qual volta il numero superi il 9(semi bianchi), di trasformare la decina in un seme nero della riga superiore.

Il risultato (prodotto) è leggibile dall'alto verso il basso in colonna 6 (area rossa).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 25


MANUALE UTENTE

2.3 - Teoria di William Glynn Burns (1981)


Notazione o base 10

Disposizione della tavola Orizzontale: 4 righe 5 colonne (verticale nella versione originale)

Progressione orizzontale 1, 1, 1, M (o 5, 3, 2, M)


La teoria sviluppata dall'ingegnere tessile William Glynn Burns è basata su un sistema dinumerazione posizionale con notazione in base 10, corrispondente alla progressione orizzontalecrescente da destra verso sinistra[§MOV] & [§LES]. La progressione verticale, invece, è costituita dainumeri 5, 3, 2 (dal basso verso l'alto) che, avendo somma 10, sono sufficienti a rappresentare tutti inumeri dall'uno al centomila. L'ultima riga, quella dell'uno, è destinata ad essere utilizzata come“memoria”.

Sono molte le varianti di questo sistema di numerazione, proposte da vari autori: talunipongono la yupana in posizione orizzontale (lato maggiore orizzontale), altri in verticale (comenella versione originale proposta dall'autore), ma la teoria alla base è ovviamente sempre la stessa.

2.3.1 - Rappresentazione di un numero

Dal momento che la disposizione orizzontale della yupana di Glynn ha avuto più successo eche è stata utilizzata in molti progetti didattici in vari paesi del mondo, ho deciso di adottarla per losviluppo di TkYupana.

Riferendoci quindi ad una scacchiera 5 colonne 4 righe (lato maggiore orizzontale), icerchietti della Yupana di Poma de Ayala sono mnemonici che indicano il numero massimo dielementi (semi) che possono stare in una casella (5 elementi nelle caselle della riga 1, 3 elementinelle caselle di riga 2 e 2 elementi nelle caselle di riga 3, 1 elemento nelle caselle di riga 1). La riga4 (la più alta) ha una connotazione diversa rispetto alle altre tre sottostanti. Secondo la teoria diGlynn, infatti, era usata come memoria nelle operazioni aritmetiche, per ridurre le possibilità dierrore durante le sostituzioni (si veda per esempio l'operazione di addizione).

Ogni seme avrà valenza unitaria; questo significa che, nell'interpretazione di Glynn (come inquella di Wassen) i cerchietti della yupana di Poma de Ayala avranno valore 0 se vuoti e 1 seriempiti con un seme.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 26


MANUALE UTENTE

La progressione orizzontale è su base dieci (decimale), quindi ad ogni colonna viene associatauna potenza di dieci. Partendo da destra e crescendo verso sinistra le colonne corrisponderanno a:unità (100), decine (101), centinaia (102), migliaia (103), decine di migliaia (104). Ogni seme avràquindi differente valore (1 10x) a seconda della colonna in cui si trova (si veda lo schema riportatoin 9).

5 4 3 2 1 COLONNA

104

(DECINE MIGLIAIA)

hunu

103

(MIGLIAIA)

waranka

102

(CENTINAIA)

pachaq

101

(DECINE)

chunka

100

(UNITÀ)

huq

VALORE

m m m m m MEMORIA

mm mm mm mm mm Ogni cerchio(se riempito)ha valore 1moltiplicatoper il valore

della colonna

mmm

mmm

mmm

mmm

mmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

mmmmm

Tabella 9: Schema del sistema di numerazione di Glynn (abaco in base 10)

La progressione verticale è invece 1 1 1 M, ovvero ogni seme deposto in una qualsiasi caselladelle prime tre righe della tavola ha valore 1, mentre ha valore M = memoria = 10 10x1 (con x parial numero della colonna partendo da destra verso sinistra) quando si trova nella riga più in alto.

La rappresentazione di un numero è molto semplice e intuitiva: si inizia a riempire la tavola dalbasso verso l'alto e da destra verso sinistra, tenendo presente che ad ogni cifra corrisponde unacolonna (sistema posizionale); nelle prime tre righe (partendo dal basso) si inseriscono i semi(ognuno con valenza unitaria). Si veda l'esempio riportato in 10.

104

(DECINE MIGLIAIA)

hunu

103

(MIGLIAIA)

waranka

102

(CENTINAIA)

pachaq

101

(DECINE)

chunka

100

(UNITÀ)

huq

m m m m m

mm mm ml mm mm

mmm

mmm

lll

mll

mmm

mmmmm

mmmml

lllll

lllll

mmmml

Tabella 10: Rappresentazione del numero 1971 nella yupana di Glynn.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 27


MANUALE UTENTE

Il numero 0 viene rappresentato non mettendo alcun seme nella yupana (tavola vuota). Ilmassimo numero rappresentabile nella yupana di Glynn è 100000, o 222220 riempiendo anche lememorie. Tale rappresentazione, però non è univoca15.

La scelta di utilizzare il numero uno come “memoria”, oltre a fornire un ausilio nei calcoli,permette di ridurre il sistema di numerazione a decimale puro.

2.3.2 - Addizione

Per sommare due numeri occorre rappresentare il primo addendo nella yupana (vedi paragrafoprecedente).

In seguito, partendo dalla colonna delle unità, si aggiungano tanti semi quante sono le unità delsecondo addendo. Se si completa la colonna (dieci semi), tutti i semi immessi vengono tolti esostituiti con un seme nella memoria (vale 10x1, con x pari al numero della colonna partendo dadestra verso sinistra); questo seme vale anche un seme in una casella della colonna immediatamentea sinistra. I tre esempi sottostanti sono equivalenti e valgono 100:

10 decine

102 101

m m

mm l

mmm

lll

mmmmm

lllll

1 memoria (valore 100)

102 101

m l

mm mm

mmm

mmm

mmmmm

mmmmm

1 centinaio

102 101

m m

mm mm

mmm

mmm

mmmml

mmmmm


La moltiplicazione di due numeri secondo Glynn fa uso dei “numeri magici” 1, 2, 3 e 5disegnati da Poma de Ayala.

Il primo passo è quello di trovare i quattro multipli del moltiplicando: M1, M2, M3, M5.

In secondo luogo occorre rappresentare il moltiplicatore in potenze di 10, sulla base 1, 2, 3, 5.

15 Questo perché la “scelta” obbligata dei numeri 2,3,5 non soddisfano il teorema di Zeckendorf che afferma che ogniintero positivo è rappresentabile in modo unico come la somma di uno o più numeri di Fibonacci distinti nonconsecutivi. Essendo i numeri 2 e 3 consecutivi il teorema non è soddisfatto e la rappresentazione non è unica.[n.d.A.]


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 28


MANUALE UTENTE

Sia quindi x l'esponente della potenza di dieci corrispondente alla cifra in esame (0 per le unità,1 per le decine, 2 per le centinaia, e così via), tutte le cifre dallo 0 al 99999 sono rappresentabili,alcune in differenti modi:

0 = 010x

1 = 110x

2 = 210x

3 = 310x

4 = 210x + 210x (oppure 110x + 310x)

5 = 510x

6 = 510x + 110x (oppure 110x + 210x + 310x)

7 = 510x + 210x (oppure 110x + 310x + 310x)

8 = 510x + 310x (oppure 210x + 310x + 310x)

9 = 510z + 210x + 210x (oppure 10x + 310x + 510x)

In generale quindi una cifra del moltiplicatore può essere rappresentata sulla base 1, 2, 3, 5,come:

nn=an×100bn×101cn×102d n×103en×104 t.c.a ,b ,c , d ,e∈{0,1 ,2 ,3,5}∧0≤n≤4

Una volta decisa la scomposizione del moltiplicatore, si può procedere al calcolo vero eproprio, moltiplicando ciascuna occorrenza diversa da zero delle cifre del moltiplicatore per icorrispondenti fattori moltiplicativi del moltiplicando (M1, M2, M3, M5) e riportando nella yupanai vari valori, via via facendo le somme.

Supponiamo ad esempio di voler eseguire la seguente moltiplicazione 312359.Troviamo i 4 multipli del moltiplicando: 3, 6, 9, 15.Scomponiamo poi il moltiplicatore 12359; dovremo comporre la seguente tabella, alla quale

abbiamo aggiunto come ultima riga quella dei multipli del moltiplicando che ci serviranno inseguito.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 29


MANUALE UTENTE

Potenza 1 2 3 5 Risultato

104 1 1104

103 1 2103

102 1 1102

101 1 1101

100 2 1 1100

FattoriMoltiplicativi

3 6 9 15

Tabella 11: Moltiplicazione di 3 12359

A questo punto abbiamo tutti gli elementi per eseguire il calcolo che sarà ridotto in semplicisomme. Partendo dalle unità, rappresentiamo i fattori moltiplicativi (M1, M2, M3, M5) per ilnumero di occorrenze ( a0,b0,c0, d 0,e0 ): 151 + 62

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

mm m

mm m

mm m

ml l

m mm m m

m mm m m

m mm m m

m mm l l

lllll

Procediamo poi con le decine: 151

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

mm m

mm m

ml l

ml l

m mm m m

m mm m m

m mm m l

lllll

lllll

Passiamo poi alle centinaia: 91; si noti che sommando 9 al già presente 1, si ottiene unadecina di centinaia e quindi un migliaio.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 30


MANUALE UTENTE

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

mm m

mm m

ml l

ml l

m mm m m

m mm m l

m mm m m

lllll

lllll

Sommiamo ora le migliaia: 61

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

ml l

mm m

ml l

ml l

m mm m m

lllll

m mm m m

lllll

lllll

Infine sommiamo le decine di migliaia: 31, ottenendo così il risultato: 37077

m m m m m

m m m m m m m m m m

mm m

ml l

mm m

ml l

ml l

m ml l l

l ll l l

m mm m m

l ll l l

l ll l l


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 31


MANUALE UTENTE

2.4 - Teoria di De Pasquale (2001)


Notazione o base 40


Progressione orizzontale 1, 2, 3, 5 (serie di Fibonacci)

Progressione verticale 1, 40, 1600, 64000, 2560000

Nicolino de Pasquale propone per l'abaco di Poma de Ayala un sistema di numerazione connotazione posizionale in base 40 e prevede di disporre la yupana in posizione verticale (latomaggiore verticale)[§DEP].


Ogni seme avrà un valore che dipende dalla riga R e dalla colonna C in cui viene posto. Ogniriga R della yupana corrisponde a una potenza di 40, secondo la formula:

f (R)=40R−1 , R∈[1,5] 1.4.1

con R crescente dal basso verso l'alto.

La progressione orizzontale dei valori delle colonne è 1, 2, 3, 5, in corrispondenza al numero dicerchietti presenti nel disegno di Poma de Ayala, che è anche pari al numero massimo di semiinseribili in una determinata casella (R,C). In termini matematici il valore della colonna si esprime:

g (C )=C t.c. C [1,4) (4,5] 1.4.2

con C crescente da destra verso sinistra.

Il valore quindi di un seme posto nella casella (R,C) è dato da:

V (R ,C )= f (R)⋅g (C )=C⋅40R−1 t.c. C [1,4) (4,5] e R [1,5] 1.4.3

Si veda anche lo schema riportato in 12.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 32


MANUALE UTENTE




5

404

2560000102399999

12800000m m m m m

7680000 m

m

m

5120000

m

m

2560000

m

4

403

640002559999

320000m m m m m

192000 m

m

m

12800

m

m

64000

m

3

402

160063999

8000m m m m m

4800 m

m

m

3200

m

m

1600

m

2

401

401599

200m m m m m

120 m

m

m

80

m

m

40

m

1

400

139

5m m m m m

3 m

m

m

2

m

m

1

m

Tabella 12: Schema della Yupana Posizionale in base 40

Per rappresentare un numero si inizia a riempire la tavola dal basso verso l'alto e da destra

verso sinistra; la prima riga può contenere un valore minimo pari a zero (yupana vuota) e unomassimo pari a 1 1 400 + 2 2 400 + 3 3 400 + 5 5 400 = 1 + 4 + 9 + 25 = 39. Ilnumero 40 corrisponde ad una yupana riempita unicamente con un seme posizionato nella casellapiù a destra della seconda riga. Anche in questo caso vi sono numeri che possono avere piùrappresentazioni, come evidenziato in 13 e 14 per il numero 100.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 33


MANUALE UTENTE


401

401599

200

m m m m m

120

m

m

m

80

m

l

40

m

400

039

5

m l m l m

3

l

l

l

2

m

m

1

l

Tabella 13: Prima rappresentazione del numero 100

2 1 401 + 5 2 400 + 3 3 400 + 1 1 400 = 80 + 10 + 9 + 1 = 100

Oppure:


401

401599

200

m m m m m

120

m

m

m

80

m

l

40

m

400

039

5

m l l l l

3

m

m

m

2

m

m

1

m

Tabella 14: Rappresentazione alternativa del numero 100

2 1 401 + 5 4 400 = 80 + 20 = 100


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 34


MANUALE UTENTE

2.4.2 - Addizione

TO DO


TO DO


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 35


MANUALE UTENTE

2.5 - Teoria di Chirinos (2008)


Notazione o base 10


Progressione orizzontale da 1 a 11

Progressione verticale 0.1, 1, 10, 100, 1000

Andres Chirino Riverea propone per l'abaco di Poma de Ayala un sistema di numerazione connotazione posizionale in base 10 e prevede di disporre la yupana in posizione verticale (latomaggiore verticale)[§CHI].


Ogni seme avrà un valore che dipende dalla riga R, dalla colonna C e dalla posizione nellacasella C×R in cui viene posto. Ogni riga R della yupana corrisponde a una potenza di 10, secondola formula:

f (R)=10R−2 , R∈[1,5] 1.4.1

con R crescente dal basso verso l'alto.

La progressione orizzontale dei valori dei semi è 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, in base allaposizione dei cerchietti presenti nel disegno di Poma de Ayala, quindi ad esempio per la riga 2, isemi varranno 1 (colonna 1), 2 e 3 (colonna 2), 4, 5, 6 (colonna 3) e 7, 8, 9, 10, 11 (colonna 4). Per idettagli dei valori rispetto alla posizione, si veda la 15.

Chirinos divide verticalmente ciascuna riga della yupana in sei colonne, che chiama huachos,corrispondenti alla disposizione dei cerchietti del disegno di Poma de Ayala.

Raggruppa poi le colonne per quadranti, che chiama suyos e raggruppa i suyos a due a due, indue macro sezioni che chiama sayas.

Fa infine notare che la somma dei semi della saya sinistra da come risultato 60, mentre quelladella saya destra da come risultato 6 e conclude che gli Inca, pur adottando un sistema dinumerazione posizionale in base 10, avevano anche la possibilità di utilizzare la yupana cometavola di calcolo sessagesimale.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 36


MANUALE UTENTE

RIGA POTENZArange valori


Saya sinistra Saya destra

Suyu sinistro Suyu destro Suyu sinistro Suyu destro

5

103

100066000

m 11000 m 8000 m 10000 m 7000 m 9000

m 6000

m 5000

m 4000

m 3000

m 2000 m 1000

4

102

1006600

m 1100 m 800 m 1000 m 700 m 900

m 600

m 500

m 400

m 300

m 200 m 100

3

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 m 10

2

100

166

m 11 m 8 m 10 m 7 m 9

m 6

m 5

m 4

m 3

m 2 m 1

1

100

0.10.66

m 0.11 m 0.8 m 0.10 m 0.7 m 0.9

m 0.6

m 0.5

m 0.4

m 0.3

m 0.2 m 0.1

huachus 6 5 4 3 2 1

Tabella 15: Schema della Yupana Posizionale in base 10 di Chirinos

Una particolare attenzione viene posta alle cosiddette caselle centrali o uniche, dette chullas,

che sono evidenziate dal colore blu nella 15. Le restanti caselle sono dette caselle accoppiate, o pitu,e sono indicate con il colore nero nella 15.

Anche in questo caso vi sono numeri che possono avere più rappresentazioni. Chirinos neindividua di tre tipi:

1. Rappresentazione accoppiata, quando il numero viene rappresentato unicamente da caselledi tipo pitu (si veda un esempio in 16).

2. Rappresentazione disaccoppiata, quando il numero viene rappresentato sia da caselle pituche da caselle chullas (si veda un esempio in 17).

3. Rapprresentazione concreta, quando si rappresenta il numero utilizzando al massimocinque semi per i numeri dal 1 al 9, per ogni posizione decimale (si veda un esempio in 18).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 37


MANUALE UTENTE

4. Rappresentazione concreta semplificata, quando si rappresenta il numero utilizzando leregole del punto tre, con l'aggiunta che le caselle del sesto huachu abbiano tutte ugualvalore, pari al valor medio dei tre semi (si veda un esempio in 19).

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

l 20

m 10

100

166

m 11 m 8 m 10 m 7 m 9

m 6

m 5

m 4

l 3

m 2

m 1

Tabella 16: Rappresentazione accoppiata del numero 23 (pitu)

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 m 10

100

166

m 11

l 8 m 10 m 7 m 9

m 6

l 5

l 4

l 3

l 2

l 1

Tabella 17: Rappresentazione disaccoppiata del numero 23 (chulla)

101

10660

m 110 m 80 m 100 m 70 m 90

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 l 10

100

166

l 11 m 8 m 10 m 7 m 9

m 6

m 5

m 4

m 3

l 2

m 1

Tabella 18: Rappresentazione concreta del numero 23. Si noti che a differenza della precedente, il numero vienerappresentato con al massimo cinque caselle dall'uno al nove.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 38


MANUALE UTENTE

101

10660

m 100 m 80 m 100 m 70 m 100

m 60

m 50

m 40

m 30

m 20 m 10

100

166

l 10 m 8 m 10 m 7

l 10

m 6

m 5

m 4

l 3

m 2

m 1

Tabella 19: Rappresentazione concreta semplificata del numero 23. Qui i valori delle caselle appartenenti al sestohuacho sono tutti uguali.

2.5.2 - Addizione

TO DO


TO DO


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 39


MANUALE UTENTE

2.6 Teoria di Cinzia Florio (20082009)

Sistema di numerazione Additivo

Potenze di... 10


Progressione orizzontale

Progressione verticale

Nel 2009 Cinzia Florio propose un approccio completamente diverso[§FLR] da quelli tradizionalidi De Pasquale e Glynn. Invece di formulare una teoria di calcolo con una yupana di cinque righeper quattro colonne e la serie fissa (1,2,3,5), Florio cerca una soluzione plausibile alla esattadisposizione delle palline nel disegno di Poma de Ayala e lo prende come punto di partenzaritenendo la distribuzione non casuale.

Il risultato della sua trattazione è sorprendente: se si considerano i cerchi bianchi come decine ei cerchi neri come unità, la prima colonna della yupana fornisce come somma 32, la seconda 64, laterza 96 e la quarta 151 (20). A patto di ammettere che Poma de Ayala abbia commesso un errore discrittura e abbia disegnato un pallino nero al posto di un pallino bianco, la somma relativa allacolonna 4 diverrebbe 160, ovvero 96 + 64. Questa osservazione portò Florio a concludere che lasequenza di Fibonacci rappresentata in figura fosse solo un caso relativo all'esempio riportato e chela yupana fosse utilizzata in quell'esempio come una tavola moltiplicatrice. La moltiplicazionerappresentata sarebbe quindi 32 × 5, dove 5 è scomposto come 2 + 3 e quindi come risultatodell'applicazione della proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione, sigiungerebbe al risultato:

32 × 5 = 32 (2 + 3) = 32 × 2 + 32 × 3 = 64 + 96 = 160.

Oltre al chiaro punto di forza di essere l'unico sistema di numerazione di calcolo ideato cheabbia un riscontro nello stesso disegno di Poma de Ayala, la teoria proposta da Cinzia Florio ha, amio parere, a suo vantaggio anche la semplicità di utilizzo.

I punti a suo sfavore sono invece due:• bisogna ammettere l'errore di Poma de Ayala per supportare la teoria. Tuttavia, come

dimostra la stessa Florio nell'articolo citato, non è improbabile un errore da parte delcronista. In ogni caso la probabilità che disegnando cerchietti a caso Poma de Ayalaavesse rappresentato proprio i numeri 32, 64 e 96 è praticamente irrisoria.

• la yupana disegnata da Poma de Ayala (con cinque righe e quattro colonne), sarebbeun disegno contingente al calcolo svolto e non permette di rappresentare tutti inumeri. L'autrice, risolve questo impasse considerando che Poma de Ayala avrebbe


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 40


MANUALE UTENTE

disegnato le righe e le colonne che occorrevano a quella particolare moltiplicazione,ma che la yupana aveva misure maggiori. inoltre fa notare che per moltiplicandi incui compaiono molte cifre tra il 6 e il 9 ci sarebbe stato bisogno di una yupana moltogrande o forse di più yupane disposte una accanto all'altra.

151 (160) 96 64 32 l m m l m

m l m

l

l m

m m m m (l) (→ m)

m m l

m

m l

l l l l l

m m m

l

m m

m m l m m

l m m

l

m m

l m l m m

l l l

m

m l

Tabella 20: Il calcolo di Poma de Ayala secondo il sistema di numerazione proposto da Cinzia Florio


Benché l'esempio riportato nel Nueva Coronica si riferisca a una particolare moltiplicazione,Cinzia Florio propone anche l'utilizzo della yupana come abaco per le addizioni e le divisioni (op.citata). È importante tenere ben presente che il sistema di numerazione in esame è additivo perpotenze di 10. Ciò significa che durante la rappresentazione di un numero il Khipu Camayuq loscomponeva in unità, decine, centinaia, ecc.

Supponiamo di voler rappresentare il numero 3204. Esso andava scomposto ad esempio come:3 × 1000 + 2 × 100 + 0 × 10 + 4 × 1. Al Khipu Camayuq, quindi erano necessarie 3 righe perrappresentare il numero. Sceglieva dei semi colorati a seconda della potenza di dieci (base 10) e lidistribuiva occupando le prime tre caselle di colonna 1, raggruppandoli per colore fino a completareil numero (si veda la 21).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 41


MANUALE UTENTE

COLONNA 1 RIGHE

3 semi rossi = 3000 1

2 semi verdi = 200 2

4 semi neri = 4 3

3204 TOTALE

Tabella 21: Yupana di Florio: rappresentazione del numero 3204

Si noti che l'ordine di inserimento dalle migliaia alle unità adottato nell'esempio non èdeterminante ai fini della rappresentazione del numero (in un sistema numerico additivo larappresentazione dei numeri non dipende dalla posizione delle cifre).

2.6.2 - Addizione

L'addizione secondo la teoria di Cinzia Florio avveniva rappresentando due o più numeri inaltrettante colonne e poi sommandoli riga per riga. Il risultato veniva mostrato nell'ultima colonna(la prima da sinistra), quella del risultato.

COLONNA 4RISULTATO FINALE

COLONNA 3 RISULTATO PARZIALE

COLONNA 2SECONDO ADDENDO

COLONNA 1PRIMO ADDENDO

6051 6051 2847 3204

Tabella 22: Yupana di Florio: rappresentazione dei numeri 3204 (colonna 1) e 2847 (colonna 2) e loro somma (colonne 3 e 4).

Supponiamo di voler sommare il numero 3204 al numero 2847. Il procedimento era il seguente:1. Si rappresenta il numero 3204, come abbiamo già mostrato nel paragrafo precedente (vedi

21 o la prima colonna di 22).2. Si aggiunge una seconda colonna nella quale rappresenteremo il numero 2847, come 2 ×


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 42


MANUALE UTENTE

1000 + 8 × 100 + 4 × 10 + 7. Per questo numero avremo bisogno di 4 righe (si veda laseconda colonna di 22).

3. Si sommano i semi dello stesso colore e si riporta il risultato nella colonna successiva (siveda la terza colonna di 22)

4. Infine, dove possibile, si raggruppino dieci semi di uno stesso colore e li si sostituisca conuno di colore della potenza di dieci superiore (si veda la quarta colonna di 22).


Vediamo ora il principio di funzionamento della yupana utilizzata come tavola moltiplicatricesecondo la teoria di Cinzia Florio. In questo caso l'abaco era utilizzato come ausilio per eseguiremoltiplicazioni e quello che appare disegnato nella Nueva Coronica di Poma de Ayala è daconsiderarsi relativo al calcolo svolto (32 × 5).

Consideriamo quindi la moltiplicazione di due termini M m, dove indichiamo con M ilmoltiplicando e con m il moltiplicatore.

Il procedimento eseguito dal Khipu Camayuq è il seguente:

1) SCOMPOSIZIONE E INSERIMENTO DEL MOLTIPLICANDO

a) innanzitutto occorre scomporre il moltiplicando M in base 10. Ciò corrisponde ascriverlo come sommatoria di N termini: M=∑ x j⋅10 j , t.c. j=0, 1, 2, ... , N

b) si assegni ad ogni potenza di dieci un seme colorato; occorreranno N tipi di semidiversi (o colori diversi), ciascuno per ogni potenza. In seguito chiameremo questisemi semij o potenzej. Il loro tipo o colore renderà quindi conto della potenza didieci relativa.

c) si inizi a disegnare una colonna di R righe, dove R corrisponda alla somma delle cifredel moltiplicando: R=∑ x j t.c. j=0, 1, 2,. .. , N

d) ogni riga di colonna 1 ha valenza unitaria.e) si inserisca16 nella colonna 1 (prima colonna partendo da destra della tavola) x j

semi per ogni tipo di potenzaj;17 il numero di semi di uno stesso colore corrispondequindi ai coefficienti delle sommatorie.

16 Si noti che l'inserimento, nel metodo proposto da Cinzia Florio, avviene dall'alto verso il basso, peraltro in accordocon José Acosta: “...non scrivevano per righe, ma dall'alto verso il basso” (crf. [§ACO], libro VI, capitolo IX).[n.d.A.]

17 Si può fare un discorso inverso, partendo dalla yupana raffigurata da Poma de Ayala. Visto che essa ha solo cinquerighe, è possibile inserire i numeri 1, 2, 3, 4, 5, ma non 6 perché avrebbe richiesto una riga in più; mentre è ancorapossibile inserire i numeri 10, 11, 12, 13 e 14, ma non il 15, e così via. Generalizzando, i moltiplicandi inseribili inN righe sono tutti gli M t.c. 1⋅10 j≤M≤(N− j)⋅10 j , j≥0 [n.d.A.]


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 43


MANUALE UTENTE

2) SCOMPOSIZIONE E INSERIMENTO DEL MOLTIPLICATORE

a) Il sistema di numerazione Florio si basa sulla proprietà distributiva dellamoltiplicazione rispetto all'addizione; è quindi necessario scomporre il moltiplicatorenella somma di due o più termini non necessariamente raggruppati per la stessapotenza di dieci:m=∑ ak⋅10s , t.c.k=0,1,2,3, ... , K e s=0,1,2,3, ...K .

Il numero K e il valore ak dei termini è a discrezione del Khipu Camayuq edipende ovviamente dalla sua esperienza (in generale può essere economico ai finidella velocità di calcolo scomporre il moltiplicatore in una serie di addendi la cuimoltiplicazione con il moltiplicando sia quasi immediata, come ad esempio 16 = 10+ 6, oppure 165 = 100 + 30 + 30 + 5).

b) i termini in cui è stato scomposto il moltiplicatore fissano i valori ak e il numero Kdelle colonne successive alla prima. A sinistra della colonna 1 si creino quindi Kcolonne (una per ogni addendo) e si associno a ciascuna colonna il rispettivo valoreak (corrispondente al numero di semi inseribili in ogni casella) e una potenzas

(corrispondente alla potenza di dieci dell'addendo in esame).

c) Si otterrà così una scacchiera di N righe, di numero crescente dall'alto verso il basso,per K+1 colonne (1 colonna del moltiplicando + K colonne del moltiplicatore), dinumero crescente da destra verso sinistra. In seguito ogni riquadro della scacchieraverrà identificato con la dicitura n × k ( 1≤n≤N e 1≤k≤K+ 1 ) e avrà valoreak e potenzas corrispondenti alla colonna associata (23)

Moltiplicatore m(K colonne)

Moltiplicando M Righe

K+1 ... 2 1

Valore aK

Potenza sK

Valore a1

Potenza s1

1 × seme1 1

... 2

1 × seme2 3

... ...

1 × semeN N

Tabella 23: Yupana N righe × K+1 colonne

3) MOLTIPLICAZIONI (colonna 1 × colonna k)

a) per ogni riga della yupana si moltiplichi la colonna 1 per la colonna k e siaggiungano ak pesi nel riquadro n × k, avendo cura di rispettare la seguente regola:se la colonna k ha potenzas (s 0), bisognerà immettere nel riquadro n × k, un


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 44


MANUALE UTENTE

numero ak di semi di potenza pari a potenzaj + potenzas.

b) Il procedimento va ripetuto per le K colonne inserite.

4) ADDIZIONE (colonna 2 + colonna 3 + … + colonna K+1)

a) Si crei una colonna a sinistra della colonna K+1. In questa colonna, che in seguitochiameremo colonna K+2, o colonna Prodotto, verranno scritte le somme dellecolonne precedenti (24).

b) Per ogni riga della yupana si sommino il numero dei semi della stessa potenzakdelle colonne k aventi 2 k K+1 e si disponga un numero equivalente di semi nellacolonna K+2.

5) PRODOTTO

a) La somma di tutti i pesi di colonna K+2 costituirà il risultato della moltiplicazione, oprodotto.

b) Si parta raggruppando i semi di potenza minore: ogni qual volta si raggiunge quotadieci semi di uno stesso colore, questi vengono sostituiti da 1 seme di colore/potenzasuperiore.

c) Si proceda così fino al massimo peso. Si otterranno R semi si , t.c.0≤si≤9

d) Si parta ora dai pesi di potenza maggiore e si legga il risultato come:

p=∑ s i⋅10i , t.c.i=0,1,2,3, ... , P

Prodottop

Moltiplicatore m(K colonne)

MoltiplicandoM

Righe

K+2 K+1 ... 2 1

1 × seme1 1

... 2

1 × seme2 3

... ...

1 × semeN N

Tabella 24: Yupana N righe × K+1 colonne + colonna del Prodotto


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MANUALE UTENTE

Esempio 1: 32×5 (disegno di Poma de Ayala)

Come primo esempio, vogliamo eseguire la moltiplicazione disegnata da Poma de Ayala: 32×5

1. Scomposizione di 32a) 32 = 2 × 100 + 3 × 101

b) Assegno alle unità il colore nero (potenza 0) e alle decine il colore bianco (potenza 1)c) Disegno una yupana di 5 righe, che sono sufficienti a contenere il moltiplicando, infatti

5 è dato dalla sommatoria delle cifre del moltiplicando 3+2d) Dispongo quindi tre palline bianche e due nere nella prima colonna della yupana (25)18

Moltiplicando A Righe

1

m 1

m 2

m 3

l 4

l 5

Tabella 25: 32 5 Inserimento del moltiplicatore

2. Scomposizione e inserimento del moltiplicatorea) scomponiamo il moltiplicatore nella somma di due termini: 5 = 3 + 219

b) dovremo immettere nella tabella altre 2 colonne di pari potenza 0 e valori distinti 3 e 2 (26)

Moltiplicatore: 5 Moltiplicando :32 Righe

3 2 1

3× 2×

m 1

m 2

m 3

l 4

l 5

Tabella 26: 32×5 – Scomposizione del moltiplicatore

18 Si noti che essendo il sistema numerico additivo e non posizionale, la disposizione delle palline può essere casuale eil risultato sarà sempre lo stesso. Tuttavia per una questione di ordine e per quanto scritto da José Acosta, sisuggerisce di inserire il moltiplicando partendo dall'alto della yupana e procedendo verso il basso [n.d.A.]

19 Teoricamente avrei potuto scegliere anche 1 + 4, o 2 + 2 + 1, ecc. [n.d.A.]


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MANUALE UTENTE

3. Moltiplicazionia) per ogni riga della yupana moltiplico i valori della colonna 1 per il fattore moltiplicativo

della colonna 2 e aggiungo quindi 2 semi di pari potenza nel riquadro n × 2.Successivamente, per ogni riga, moltiplico i valori della colonna 1 per il fattoremoltiplicativo della colonna 3 e aggiungo 3 semi di pari potenza nel riquadro n × 3. (27)

Moltiplicatore: 5 Moltiplicando :32 Righe

3 (3×) 2 (2×) 1

mmm mm m 1

mmm mm m 2

mmm mm m 3

lll ll l 4

lll ll l 5

Tabella 27: 32×5 – Moltiplicazione della colonna 1 per le colonne 2 e 3

4. Somme• Creo la colonna 4 dove verranno scritte le somme delle colonne precedenti.• Per ogni riga della yupana sommo i semik delle colonne 2 e 3 e dispongo altrettanti

semi nella colonna 4 (28).

Risultato Moltiplicatore: 5 Moltiplicando :32 Righe

4 (3 + 2) 3 (3×) 2 (2×) 1

mmmmm mmm mm m 1

mmmmm mmm mm m 2

mmmmm mmm mm m 3

lllll lll ll l 4

lllll lll ll l 5

Tabella 28: 32×5 – Moltiplicazione della colonna 1 per le colonne 2 e 3

5. Risultato a) È già possibile leggere il risultato in colonna 4: quindici palline bianche + dieci palline

nere, ovvero: (5×3) 101 + 5×2 = 150 + 10 = 160.

b) volendo però ottenere una lettura più naturale, partendo dai semi di peso minore, inizioil raggruppamento e quando superano dieci unità, converto i dieci semi in un seme dipeso superiore.

c) Otterrò due pesi differenti (rosso per le centinaia e bianco per le decine) con i propri


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MANUALE UTENTE

valori associati (rispettivamente 1 e 6).

d) Parto dalla potenza maggiore e leggo il risultato 100 + 60 = 160 (29)


4 (3 + 2) 3 (3×) 2 (2×) 1

m mmm mm m 1

mmmmmm mmm mm m 2

mmm mm m 3

lll ll l 4

lll ll l 5

Tabella 29: 32x5 – Raggruppamento dei semi dello stesso colore e lettura del risultato (prodotto) nella quinta colonna

Esempio 2: 133x97

Scomponiamo il moltiplicando 133 = 3 + 3 × 101 + 1 × 102

Assegno alle varie potenze di dieci i seguenti colori:• Colore nero = unità (100) = × 1• Colore bianco = decine (101) = × 10• Colore rosso = centinaia (102) = × 100• Colore giallo = migliaia (103) = × 1000• Colore blu = decine di migliaia (100) = × 10000

Dispongo quindi un pallina rossa, tre palline bianche e tre nere nella prima colonna dellayupana, per un totale di 7 righe, corrispondenti alla somma delle cifre del moltiplicando (30).

Moltiplicando 133 Righe

1

l 1

m 2

m 3

m 4

l 5

l 6

l 7

Tabella 30: 133 97 Inserimento del moltiplicatore


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MANUALE UTENTE

Il secondo passo consiste nel decidere la scomposizione del moltiplicatore. Il numero 97 èscomponibile nella somma di 50 + 40 + 4 + 3 (31), ma teoricamente avrei potuto anche sceglierealtre scomposizioni. Ho bisogno quindi di 4 colonne intermedie e una per il risultato per un totale di6 colonne.

Risultato Moltiplicatore: 97Moltiplicando :

133Righe

6 5 4 3 2 1

50X 40X 4X 3X

l 1

m 2

m 3

m 4

l 5

l 6

l 7

Tabella 31: 133x97 – Scomposizione del moltiplicatore (97) in 50 + 40 + 4 + 3

Per ogni riga, moltiplichiamo il valore del seme presente nella colonna 1 per i valori dellecolonne 2 e 3 e distribuiamo un adeguato numero di semi in dette colonne. Attenzione, perchémoltiplicando una riga del moltiplicando per i valori delle colonne 4 e 5 il risultato aumenta allapotenza superiore (dalle unità alle decine, dalle decine alle centinaia e così via); bisognerà quindiutilizzare il colore della pallina appropriato, secondo la scala delle convenzioni adottate sopra (32).


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MANUALE UTENTE


6 5 (50) 4 (40) 3 (4) 2 (3) 1

lllll

llll

llll lll m

1

lllll

llll

mmmm

mmm m2

lllll

llll

mmmm mmm m

3

lllll

llll

mmmm

mmm m4

mmmmm

mmmm

llll lll l 5

mmmmm

mmmm

llll lll l 6

mmmmm

mmmm

llll lll l 7

Tabella 32: 13397 – Moltiplicazione della colonna 1 per le colonne 2, 3, 4 e 5

Infine, raccogliamo i semi dello stesso colore e disponiamoli nell'ultima colonna, avendo curadi sostituire dieci semi di uno stesso colore con un seme del colore della potenza superiore (33). Ilprocedimento va fatto per gradi:

• possiamo spostare subito le nove palline gialle corrispondenti alle migliaia nella casella diriga 1 della colonna 6

• sommiamo poi i semi appartenenti alla colonna 5 (che avendo come coefficiente un numeroscomponibile in 510 daranno somme pari a 10 e quindi facilmente trasformabili in unapallina di colore “superiore”); si vedano le aree rosse e gialle di 33.


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MANUALE UTENTE


6 5 (50) 4 (40) 3 (4) 2 (3) 1

lllllllll

llll

lll l 1

lllll

llll

mmmm

mmm m2

llllllllll

llll

mmmm

mmm m 3

llll

mmmm mmm m 4

mmmmm

mmmm

llll lll l 5

mmmmmmmmmm

mmmm

llll

lll l 6

mmmm

llll

lll l 7

Tabella 33: 13397 – Sommatorie

Il risultato lo vediamo in 34, dove sono anche mostrate le successive palline che verrannosommate e promosse alla potenza superiore (area gialla, nella quale vengono sommate 10 pallinerosse e successivamente promosse a una gialla; area rossa, nella quale vengono sommate diecipalline nere e promosse a una rossa)


6 5 (50x) 4 (40x) 3 (4x) 2 (3x) 1

lllllllll

llll lll l 1

lllll

llll

mmmm mmm m

2

lllll

mmmm mmm m 3

llll

mmmm

mmm m 4

mmmmm

mmmm

llll lll l 5

l

mmmm

llll

lll l 6

mmmm

llll lll l 7

Tabella 34: 13397 – Ulteriori sommatorie

Continuando il procedimento, e sommando via via tutte le palline, otteniamo il seguenterisultato;


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6 5 (50) 4 (40) 3 (4) 2 (3) 1

l m 1

ll m 2

lllllllll

m 3

m 4

l l 5

l 6

l 7

Tabella 35: 13397 – Risultato

Il risultato è: una pallina blu (10000) + due palline gialle (2000) + nove palline rosse (900) +nessuna pallina bianca (0) + una pallina nera (4): 12901


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2.7 - Teoria di Kak (2014)

Sistema di numerazione Posizionale, rappresentazione nonuniforme

Notazione o base 144 con progressione delle potenze a passi di due


Progressione orizzontale 1, 6, 24, 72 (per la prima riga)

Progressione verticale 120, 122, 124, 126, 128

Subhash Kak propone per l'abaco di Poma de Ayala un sistema di rappresentazione dei numerinonuniforme con notazione posizionale in base 144 e progressione 120, 122, 124, 126, 128,disponendo la yupana in posizione verticale (lato maggiore verticale)[§KAK].

Nel suo lavoro Kak suppone che l'abaco fu utilizzato dagli Inca come strumento per i calcoliastronomici. Fornisce una propria spiegazione della disposizione dei semi disegnati da Poma deAyala, trovando una connessione con i sottoperiodi sinodici di alcuni pianeti.

Kak spiega anche come l'abaco potesse essere utilizzato per rappresentare numeri, sommarli esottrarli.


Kak basa la propria teoria su una sistema di rappresentazione nonuniforme dei numeri.

L'autore attribuisce ai cerchi neri, disegnati da Poma de Ayala, il concetto di lacuna piena,mentre a quelli bianchi il concetto di lacuna vuota. Quindi in ciascuna casella compare un differentenumero di lacune/semi (ovvero 5 nella prima, 3 nella seconda, 2 nella terza, 1 nella quarta).

Si inizia a riempire la yupana da sinistra verso destra e dal basso verso l'alto. Numeriamoquindi le caselle della prima riga in basso come 1, 2, 3 e 4. Nella casella 1 si possono inserire 5 semicon valore 1 (unità = minimo valore = meno significativo), per un valore totale TOT_1 = 5.

Da TOT_1 si determina il valore delle singole lacune presenti nella casella successiva, ovveroTOT_1 + 1 = 6. In tale casella ci sono 3 lacune, per un valore totale TOT_2 = (TOT_1 × 3) = (6 ×3) = 18.

Dalla somma di TOT_1 e TOT_2 è possibile determinare il valore delle singole lacune dellacasella successiva, ovvero: TOT_1 + TOT_2 + 1 = 24. In tale casella ci sono 2 lacune, per un valore


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MANUALE UTENTE

totale TOT_3 = (TOT_3 × 2) = (24 × 2) = 48.

Infine il valore della singola lacuna presente nella casella successiva è TOT_4 = TOT3 +TOT_2 + TOT_1 + 1 = 72.

Ad ogni lacuna/seme della colonna 1 corrisponde il valore 1.Ad ogni lacuna/seme della colonna 2 corrisponde il valore 6, ossia (5 × 1) + 1Ad ogni lacuna/seme della colonna 3 corrisponde il valore 24 = (5 × 1) + (6 × 3 ) + 1Ad ogni lacuna/seme della colonna 4 corrisponde il valore 72 = (5 × 1) + (6 × 3 ) + (24× 2) + 1

In generale, data una serie di occorrenze di lacune: a, b, ..., z è possibile assegnare il valoremeno significativo va alla prima lacuna (a) e poi determinare i valori, vb, ..., vz delle lacunesuccessive utilizzando la formula:

v i=

1,i=a.

1+ ∑j< i

z

j×v j ,i≥a

Ciò garantisce l'unicità della rappresentazione.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 54


MANUALE UTENTE



5

128

42998169661917364223

429981696m m m m m

2579890176 m

m

m

10319560704

m

m

30958682112

m

4

126

2985984429981695

2985984m m m m m

17915904 m

m

m

71663616

m

m

214990848

m

3

124

207362985983

20736m m m m m

124416 m

m

m

497664

m

m

1492992

m

2

122

14420735

144m m m m m

864 m

m

m

3456

m

m

10368

m

1

120

1143

1m m m m m

6 m

m

m

24

m

m

72

m

Tabella 36: Schema della Yupana di Kak

Anche per determinare il valore della singola lacuna relativo alla prima casella della riga

successiva (riga 2) si procede allo stesso modo, considerando caselle precedenti tutte le caselle dellariga precedente (riga 1); quindi:

(5 × 1) + (6 × 3 ) + (24 × 2) + 72 + 1 = 144 = 122.

Riempiendo la seconda riga otterremo il valore di partenza della terza, 124, e così via, fino allaquinta riga. Ci si accorge che la progressione verticale delle potenze non è continua, ma avviene apassi di due, ovvero il sistema è posizionale, a base 144, con progressione Xn, tale che n = 0, 2, 4, 6,8. I risultati sono mostrati in 36.

Per rappresentare un numero si inizia a riempire la tavola dal basso verso l'alto e da sinistraverso destra; la prima riga può contenere un valore minimo pari a zero (yupana vuota) e unomassimo pari a 5 1 120 + 3 6 120 + 2 24 120 + 1 72 120 = 5 + 18 + 48 + 72 = 143. Ilnumero 144 corrisponde ad una yupana riempita unicamente con un seme posizionato nella casellapiù a sinistra della seconda riga. Ogni numero da 144 a 287 (144 + 143) viene rappresentato con un


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MANUALE UTENTE

unico seme nella prima casella della seconda riga (valore 144) e con una serie di semi presenti nellaprima riga, fino ad un massimo di 143 semi (prima riga piena). Si veda un esempio dirappresentazione nella 37.


128

m m m m m

m m m

m

m m

126

m m m m m

m m m

m

m m

124

m m m m m

m m m

m

m l

122

m m m l l

m m m

m

l m

120

m m m m m

m m l

m

m m

Tabella 37: Rappresentazione di 1496742

La rappresentazione di ogni numero è univoca.

2.7.2 La yupana come strumento di calcolo per l'astronomia

Nel suo articolo Kak propone anche che la yupana potesse essere utilizzata per calcoliastronomici.

Kak considera la disposizione dei cerchi del disegno di Poma de Ayala. Suppone che ogni rigacorrisponda alla rappresentazione di un numero compreso tra 1 e 143 (quindi come cinque righe conpotenza 120). Si veda la 38.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 56


MANUALE UTENTE

l m m l m

m l m

l

l m

56

m m m m l

m m l

m

m l 79

l l l l l

m m m

l

m m

29

m m l m m

l m m

l

m m

31

l m l m m

l l l

m

m l 92

Tabella 38: Rappresentazione di cinque numeri del disegno di Poma de Ayala secondo la teoria di Kak.

Kak propone l'esistenza di una forte relazione tra i numeri mostrati nella tabella precedente el'astronomia, facendo riferimento anche ad alcuni numeri riscontrati nell'astronomia dei Maya. Siveda a tale proposito la39.


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MANUALE UTENTE

N Pianeta Spiegazione

56 Giove e Saturno

Una prima spiegazione è collegata alcalendario Maya, in quanto 56×117 = 819×8,e quindi a 8 cicli del calendario Maya.Una seconda spiegazione lega il numero aiperiodi sinodici dei pianeti gassosi, in quanto56 = 7 × 8, che sono due divisori quasiperfetti di 399 (periodo sinodico di Giove) e378 (periodo sinodico di Saturno)20

79 Venere

79 × 12 = 948 . Questo valore diminuito di365 (giorni dell'anno solare) darebbe 583 chedifferisce di 1 dal periodo sinodico diVenere21

29 Mercurio29 × 4 = 116 che è il periodo sinodico diMercurio

31 MeseNumero di giorni presenti in alcuni mesidell'anno del calendario solare22

92 1/4 di annoNumero di giorni che intercorrono tral'equinozio d'autunno e il solstizio di inverno

somma = 287 Marte287 = 365 78, con 78 che corrisponde a 1/10del periodo sinodico di Marte

Tabella 39: Spiegazione dei numeri rappresentati nella yupana di Poma de Ayala secondo la teoria di Kak

Punti deboli

Le debolezze della teoria di Kak sono più di una ed evidenziate dall'autore stesso nel suoarticolo (si vedano le note 20, 21 e 22). Tuttavia altre obiezioni possono essere sollevate:

• Non un numero è direttamente associabile a un periodo sinodico di un pianeta;

• Solo un numero è perfettamente associabile a un periodo sinodico di un pianeta (il periodosinodico di Mercurio è direttamente proporzionale al numero 29);

20 8 non è un divisore di né di 399 né di 378. Kak scrive: "This interpretation rests on special significance being givento 8 cycles of the 819day period. Alternatively, the Inca may have held to the theory that 56 codes the synodicperiods of Jupiter and Saturn because its factors 8 and 7 almost exactly divide 399 (Jupiter) and 378 (Saturn),respectively" [n.d.A.]

21 L'autore scrive che questa discrepanza di 1 nel prodotto, costituisce una debolezza della sua teoria, ma cheavrebbero potuto esserci ragioni astronomiche per quel valore.

22 L'autore sottolinea che questo possa essere solo una coincidenza e che non sia un numero significativo, ma utilizzatodagli Inca per ottenere il numero 287 come somma


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MANUALE UTENTE

• Se tutti i numeri avessero avuto una corrispondenza diretta e uniforme con i periodi sinodicidei pianeti, questo avrebbe costituito una forte base per la sua teoria, ma purtroppo sononecessarie moltiplicazioni, laddove non correzioni.

Francamente tale teoria lascia un po' a desiderare e si apre a molte critiche.

2.7.3 - Addizione

TO DO


TO DO


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MANUALE UTENTE

2.8 Quale teoria scegliere?

La diatriba circa il sistema di numerazione che più si adatterebbe all'abaco inca è tutt'altro cheesaurita. Lo scopo di TkYupana è quello di fornire una panoramica di tutte le soluzioni possibili enon di dare giudizi sulle soluzioni adottate, tuttavia si possono considerare alcuni aspetti chepossono far propendere per una certa teoria ed escluderne altre:

• lo scopo dell'abaco consiste nel coadiuvare l'utente, semplificando calcoli complessi e deveessere utilizzato in modo intuitivo e semplice. Sono quindi da prediligere procedimenti dicalcolo semplici a quelli complessi (si veda per esempio la complessità dei calcoli dellamoltiplicazione nella yupana di Radicati). Per lo stesso motivo sono da prediligere sistemi dinumerazione semplici a quelli complessi (si veda per esempio la complessità dellarappresentazione dei numeri nelle teorie di Kak o De Pasquale).

• L'importanza della necessità da parte del Khipu Camayuq di tenere sotto controllo visualegli spostamenti dei semi sulla yupana è perorata sia da Cinzia Florio[§FLR] che dai sostenitoridella teoria di Glynn[§LES]. Questo controllo visuale è raggiunto con la scomposizione deinumeri in addendi di “piccola taglia” in un caso e con l'aiuto della “memoria” nell'altro.

• Tutti i cronisti spagnoli a partire da Poma de Ayala descrivono il sistema numerico degliInca in base 10; questo escluderebbe il sistema di numerazione di De Pasquale.23 Tale tesi èfortemente espressa in un interessante articolo apparso sul Journal of Mathematics &Culture di M. Leonard e C. Shakiban[§LES]. Qui il sistema di numerazione di Glynn vieneriesaminato alla luce di considerazioni linguistiche e culturali delle popolazioni dell'altipianoandino. Questo studio, che prevede di disporre la yupana in posizione verticale (così comeraffigurata da Poma de Ayala) e che pone in alta considerazione l'importanza delle cinquedita della mano e quindi il numero cinque nella cultura andina, mette in evidenza due fattorinon trascurabili. Innanzitutto, grazie alla disposizione verticale della yupana, vi è una direttacorrispondenza tra di essa e i khipu (altro strumento utilizzato dagli inca per registrare eventie quantità)[§LES]. In secondo luogo, basandosi sulle affermazioni del linguista PilaresCasas[§PIL] del modo di contare delle popolazioni di lingua Aymara, risulta una correlazionecon la successione di numeri 5, 3, 2, 1 della yupana. Queste popolazioni, infatti adottano unsistema di numerazione additivo, ovvero contano in modo simile a quello dei romani: dalnumero 5 (qallqu) che rappresenterebbe il primo completamento (dita della mano), vengonoderivate la parola 6 (maqallqu) formata da 5 e 1 (ma), il 7 (paqallqu) da 5 e 2 (pa), ilnumero 8 (kinsakallqu) da 5 e 3 (kinsa) e il 9 (llatunka) corrisponde a 10 sottratto 1.24 Vadetto che pur appoggiando la tesi di Pilares Casas (e quindi un sistema numericochiaramente additivo), le due autrici sostengono la teoria (posizionale) di Glynn.

23 È proprio Poma de Ayala a scrivere che i Camayuq contavano in migliaia, centinaia, decine e unità (confronta testocitato in nota 10); più avanti, nello stesso libro, l'autore descrive come era diviso l'impero Inca e ancora una volta lanumerazione in base 10 ritorna. [n.d.A.]

24 Tale numerazione fa riferimento a un probabile protoaymara dal quale (con le dovute contaminazioni) è derivatol'aymara parlato attualmente


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MANUALE UTENTE

• Sempre secondo Shakiban e Leonard, la famigerata serie di Fibonacci (della quale gliinventori della yupana erano sicuramente all'oscuro) risulta essere il vero valore aggiuntodell'abaco incaico, ma la sua presenza sulla yupana non deve essere ricercata in qualcosa ditrascendentale. Grazie infatti a questa suddivisione della yupana in gruppi di unità, era piùfacile per il contabile, da un punto di vista visuale, spostare i semi sulla tavola in modo daeseguire le operazioni fondamentali. Il primo gruppo di semi appartenenti alla prima colonna(valore totale 5) è infatti chiaramente separabile in tre + due, ovvero i due raggruppamentidelle colonne successive (40).


l m l l l

m

m

m

m

m m


m m m l m

l

l

l

m

m m

Tabella 40: Spostamento di tre semi da una casella ad un'altra (sopra) e risultato (sotto) – Sistema dinumerazione di Glynn

• Solo il la teoria di Cinzia Florio, finora, rende conto della distribuzione delle palline sullatavola disegnata da Poma de Ayala.

• Anche secondo Florio, la serie di Fibonacci è puramente casuale e addirittura contingente alparticolare calcolo svolto.

Si spera che TkYupana possa permettere agli utenti di sperimentare e divertirsi nell'utilizzodei vari sistemi di numerazione applicabili all'abaco incaico e nella scelta di quello che più si adattaalle loro esigenze.


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MANUALE UTENTE

3 - Tk-YupanaTkYupana è un semplice programma nel quale vengono mostrate varie teorie applicabili alla

yupana disegnata da Poma de Ayala su El Primer Nueva Coronica y Buen Gobierno[§POM]. Questeteorie sono basate sia su sistemi di numerazioni posizionali (yupana in base 10 di Henry Wassen,Carlos Radicati di Primeglio e William Burns Glynn e yupana in base 40 di Nicolino De Pasquale)sia su sistemi numerici additivi (yupana additiva di Cinzia Florio).

3.1 - Requisiti

TkYupana è una script tcl/tk; è pertanto necessario installare i programmi tcl e tk per il tuosistema per avviare il programma

• LINUX

A seconda della distribuzione, dovrete installare tcl8.4 e tk8.4 (o versioni successive)

Per esempio in Debian (o Ubuntu), si deve digitare da un terminale:

# sudo aptget install tcl tk

• MINDOMS

Istallare tcl/tk da questa pagina: http://www.activestate.com/activetcl/downloads

3.2 - Download, installazione e avvio

ATTENZIONE: Si assume che siano installati i programmi tcl e tk come descritto nel paragrafo precedente.

• LINUX (debian/ubuntu)

1. Scaricare il file tkyupana_<rev>_all.deb dalla pagina web : http://kunturweb.altervista.org/pag/it/tkyupana.html

2. Entrare nel direttorio dove avete scaricato il file; aprire un terminale e digitare:

# sudo dpkg i tkyupana_<rev>_all.deb

3. Per avviare il programma digitare da terminale

# tkyupana

4. Per il manuale


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MANUALE UTENTE

# man tkyupana

• LINUX (altre distribuzioni)

1. Scaricare il file tkyupana_<rev>.tar.gz dalla pagina web : http://kunturweb.altervista.org/pag/it/tkyupana.html

2. Scompattare il file:

# tar xzf tkyupana_<rev>.tar.gz

Verrà creato un direttorio tkyupana_<rev>, contenente la script tcl e i file necessari.

3. Entrare nel direttorio tkyupana_<rev>

# cd tkyupana_<rev>

e digitare:

# ./tkyupana.tcl

4. Per il manuale

# man ./tkyupana.1

• MINDOMS

1. Scaricare il file tkyupana_<rev>.tar.zip dalla pagina web : http://kunturweb.altervista.org/pag/it/tkyupana.html

e posizionarlo nel direttorio preferito.

2. Scompattare il file tkyupana_<rev>.zip con il programma di decompressione preferito.

Verrà creato un direttorio tkyupana_<rev>, contenente la script tcl e i file necessari.

3. Entrare nel direttorio tkyupana_<rev>

4. Avviare il programma tkyupana.tcl


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 63


MANUALE UTENTE

3.3 - Convenzioni

Alcune convenzioni sono state adottate sia nello sviluppo di TkYupana che nella stesura delpresente documento.

1. Con il termine maschera (o finestra) intendiamo una interfaccia grafica verso utente (GUI)preposta ad una determinata funzione, che può essere quella di permettere all'utente dioperare una scelta tramite un menù, oppure di svolgere una operazione con l'abaco, ecc.

2. Con il termine tavola intendiamo una particolare zona della maschera che riproduceschematicamente la Yupana di Poma de Ayala

3. Ogni tavola è dotata di un certo numero di righe (indicate con RX, dove X è un numerointero: 1, 2, 3,...) e colonne (indicate con CY, dove Y è un numero intero: 1, 2, 3, …). Inumeri di righe e colonne sono variabili a seconda della teoria scelta.

4. Una casella (o box) è un elemento della tavola ottenuto incrociando una riga con unacolonna. Previe le convenzioni di cui al punto 3, una casella viene indicata con RXCY.

5. In ogni casella è presente un numero variabile di lacune (o gap) che corrispondono a spazivuoti dove è possibile depositare dei semi differentemente colorati a seconda dei casi. Il loronumero e il relativo valore variano a seconda della teoria che si sta considerando.

6. Se non diversamente indicato, per inserire un seme colorato in una casella è sufficientecliccarvi con il pulsante di sinistra del mouse.

7. Se non diversamente indicato, per rimuovere un seme da una casella è necessario cliccarvicon il pulsante di destra del mouse tenendo premuto contemporaneamente il tasto control(CTRL).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 64


MANUALE UTENTE

3.4 - Il menù principale

È possibile che alcune immagini del presente documento siano antiquate rispettoal testo o alla versione corrente di tkyupana. Si è preferito mantenereaggiornate le istruzioni, almeno in questa versione alpha del programma.

Quando viene avviato, il programma presenta una piccola finestra con un'iconarappresentante un condor stilizzato (1). Cliccando con il pulsante sinistro del mousesul condor (o premendo il tasto F10), viene visualizzato un “menù a tendina” (2),dal quale è possibile accedere alle varie funzioni del programma divise perargomenti (sottomenù); dette funzioni sono elencate in 41 e descrittedettagliatamente in seguito.

Si noti che la “Yupana di Radicati” è l'unica teoria ad essere stata completamente implementata(rappresentazione, addizione, sottrazione, moltiplicazione). Per le altre teorie il lavoro è ancora incorso d'opera.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 65

Illustrazione 1: il Menù

Illustrazione 2: Menù a tendina con i vari sottomenù che permettono l'accesso alle varie funzioni del programma


MANUALE UTENTE

Funzione Descrizione del sottomenù

Sistemi di numerazioneadditivi

Sistemi di numerazione additivi (rappresentazioneindipendente dalla posizione dei semi)

Yupana di Florio (2008) Sistema di numerazione di C. Florio (potenze di 10)

Rappresentazione Rappresentazione dei numeri secondo la teoria di Florio F1

Addizione Addizione di due numeri secondo la teoria di Florio F2

Moltiplicazione Moltiplicazione di due numeri secondo la teoria di Florio F3

Sistemi di numerazioneposizionali

Sistemi di numerazione posizionali (rappresentazionedipendente dalla posizione dei semi)

Yupana di Wassen (1931)Sistema di numerazione di H. Wassen (base 10, progressione1, 5, 15, 30)

Rappresentazione Rappresentazione dei numeri secondo la teoria di Wassen F1

Addizione Addizione di due numeri secondo la teoria di Wassen F2

Yupana di Radicati (1979)Sistema di numerazione di C. Radicati di Primeglio (base 10,progressione 1, 1, 1, 1)

Rappresentazione Rappresentazione dei numeri secondo la teoria di Radicati F1

Addizione Addizione di due numeri secondo la teoria di Radicati F2

Sottrazione Sottrazione di due numeri secondo la teoria di Radicati F3

Moltiplicazione Moltiplicazione di due numeri secondo la teoria di Radicati F4

Yupana di Glynn (1980)Sistema di numerazione di Burns Glynn (base 10,progressione 1, 1, 1, M)

Rappresentazione Rappresentazione dei numeri secondo la teoria di Glynn F1

Addizione Addizione di due numeri secondo la teoria di Glynn F2

Moltiplicazione Moltiplicazione di due numeri secondo la teoria di Glynn F3

Yupana di De Pasquale (2001)Sistema di numerazione di De Pasquale (base 40,progressione 1,2,3,5)


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 66


MANUALE UTENTE

Funzione Descrizione del sottomenù

RappresentazioneRappresentazione dei numeri secondo la teoria di DePasquale

F1

Yupana di Chirinos (2008)Sistema di numerazione di Chirinos (base 10, progressione 111)

Rappresentazione Rappresentazione dei numeri secondo la teoria di Chirinos F1

Autore e licenzaInformazioni su Kunturweb e sulla licenza d'uso delprogramma

F12

Esci Esce dal programma ESC

Tabella 41: Descrizione delle funzioni di TkYupana


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 67


MANUALE UTENTE

3.5 - Yupana di Wassen

Il sottomenù Yupana diWassen (3) presenta due scelte(selezionabili anche tramite i tastifunzione F1 e F2) alle qualicorrispondono le seguentifunzioni:

1. Rappresentazione: permette di rappresentare un numero sulla tavola

2. Addizione: permette di eseguire l'operazione di addizione tra due numeri

La dimensione delle finestre aperte dalle varie funzioni è diversa a seconda della risoluzionedello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbook con risoluzione 800x48025

3.5.1 - Rappresentazione

25 TkYupana è stato testato su un Asus eee PC 701 4G con sistema operativo Linux Xandros. [n.d.A.]


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 68

Illustrazione 3: Sottomenù della Teoria di Wassen


MANUALE UTENTE

Questa funzione permette di rappresentare un numero nel sistema posizionale ideato da H.Wassen, con progressione verticale delle potenze di 10 (base 10) e progressione orizzontale dei pesi1, 5, 15, 30 (si veda il paragrafo 2.1.1).

Inizialmente viene presenta una tavola in posizione verticale e vuota, corrispondente al numerozero (4) nella quale è possibile disporre i semi per rappresentare i numeri. Le lacune nelle quali èpossibile inserire i semi sono evidenziate in verde.

Inserimento di un numero

Le lacune della tavola hanno differente peso a seconda della colonna in cui si trovano edifferente potenza di 10 a seconda della riga in cui si trovano.

La prima colonna partendo da sinistra (C1) ha peso 1 ed è possibile disporvi al massimo 5semi; la seconda colonna (C2) ha peso 5 ed è possibile disporvi al massimo 3 semi; la terza colonna(C3) ha peso 15 ed è possibile disporvi al massimo 2 semi; l'ultima colonna (C4) ha peso 30 ed èpossibile disporvi al massimo un seme.

La prima riga partendo dal basso (R1) corrisponde alle unità, la seconda (R2) alle decine, laterza (R3) alle centinaia, la quarta (R4) alle migliaia e la quinta (R5) alle decine di migliaia.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 69

Illustrazione 4: Yupana di Wassen


MANUALE UTENTE

Cliccando con il tasto sinistro del mouse su una lacuna si inserisce un seme nellaYupana

Per inserire un numero è sufficiente cliccare con il pulsante di sinistra del mouse su una dellelacune evidenziate in verde. Si noti che l'ordine di inserimento è importante (il sistema èposizionale) e bisogna procedere dal basso verso l'alto e da sinistra verso destra, quindi partendocon le unità e salendo via via. Quando la lacuna viene selezionata, compare un seme all'interno diessa e il valore corrispondente viene sommato al totale; il totale viene infine visualizzato di fiancoall'abaco.

Per inserire il numero 652, per esempio,iniziamo dalle unità e inseriamo due semi nellalacuna evidenziata in verde della prima rigapartendo dal basso (R1) e prima colonna partendoda sinistra (C1); poi aggiungiamo le decine,inserendo cinque semi nelle lacune della casellaR2×C1; infine aggiungiamo le centinaia,inserendo un seme nella prima lacuna dellacasella R3×C2 (valore 5) e un seme nella primalacuna della casella R3×C1 (valore 1; 5+1 = 6).Si veda l'5.

Rimozione di un seme

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto destro delmouse su una lacuna occupata si rimuove il seme corrispondentedalla Yupana

Per rimuovere un seme dalla tavola (e di conseguenza decrementare il numero che si starappresentando della corrispondente quantità) si deve cliccare con il pulsante destro del mouse sulseme (lacuna) corrispondente tenendo premuto il tasto Control (CTRL).

È possibile rappresentare tutti i numeri da 1 a 99999 (riempiendo tutte le lacune delle primedue colonne), oppure fino a 888880 (riempiendo tutte le lacune di tutte le colonne), oltre allo 0(tavola vuota). Il totale inserito viene visualizzato nel campo “Totale” presente nella parte superiore


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 70

Illustrazione 5: Inserimento del numero 652


MANUALE UTENTE

destra della finestra.

Operazioni di spostamento dei semi (promozione)

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto sinistro delmouse su una casella completa (piena di semi) si trasformano tutti isemi in un singolo seme di valore pari alla somma dei precedenti,che andrà ad occupare una lacuna libera della colonna successiva

Una volta riempita una casella RX×CY èpossibile promuovere tutti i semi di detta casella,e trasformarli in un singolo seme, che andrà aoccupare una lacuna della colonna successiva,RX×(CY+1); per fare ciò è sufficiente cliccarecon il pulsante sinistro del mouse su un semequalsiasi della casella piena, mantenendo premutoil tasto CTRL. L'operazione è possibile solo se c'èalmeno una lacuna libera nella casella successiva.

Si consideri per esempio il numero 60rappresentato nell'6. Come si vede la casellaR1×C1 è piena ed è quindi possibile trasformare icinque semi ivi presenti in un singolo seme dellacolonna successiva. Si veda a tale proposito l'6.Tale operazione è stata possibile in quanto vi eraalmeno una lacuna libera nella casella R1×C2.Come si può notare, il totale non è cambiato. Larappresentazione del numero non è univoca.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/1671

Illustrazione 6: Una rappresentazione del numero 60

Illustrazione 7: 5 semi di casella R1×C1 sono statispostati in casella R1×C2


MANUALE UTENTE

Tenendo premuto il tasto SHIFT e cliccando con il tasto sinistro delmouse su una casella piena di semi si trasformano tutti i semi in unoo più semi, di valore pari alla somma, appartenenti alla primacasella della riga successiva

Una volta riempita una casella RX × CY èpossibile “promuovere” tutti i semi (o una partedi essi) di detta casella, alla casella della potenzasuccessiva (RX+1 × C1), ovvero trasformare tuttii semi in uno o più semi della casella della rigasuccessiva e colonna C1; per fare ciò èsufficiente cliccare su un seme qualsiasi dellacasella piena, mantenendo premuto il tasto shift(SHIFT). L'operazione è possibile solo se c'èalmeno una lacuna libera nella prima caselladella potenza successiva.

Per esempio si consideri la casella R1× C3 dell'7 nella quale compaiono due semi del valore di15 unità ciascuno e per un valore totale di 30 unità. È possibile trasformare questi due semi in tresemi del valore di 10 unità ciascuno e appartenenti alla casella R2× C1 (si veda l'8). Tale operazioneè possibile in quanto sono libere almeno tre lacune nella casella R2×C1.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/1672

Illustrazione 8: Due semi di casella R1×C3,corrispondenti ad un valore di 15 unità ciascuno, sonostati trasformati in tre semi della casella R2×C1


MANUALE UTENTE

3.5.2 - Addizione

Questa funzione permette di sommare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla sinistra della tavola, che permettel'inserimento del primo e del secondo addendo,oltre che la possibilità di selezionare la velocitàcon la quale verrà riempita la yupana (si veda l'9).

Inserimento del primo addendo

È possibile inserire il primo addendo agendosulle frecce del campo relativo (evidenziato inverde), oppure inserendo direttamente il numerocon la tastiera. Una volta lasciato il campo(spostando il mouse), viene abilitato il secondoaddendo (altrimenti disabilitato) e il primonumero viene rappresentato sulla tavola con deisemi bianchi secondo le regole descritte nelprecedente paragrafo.

Inserimento del secondo addendo

Una volta inserito il primo addendo (e solo successivamente) è possibile inserire il secondoaddendo (il cui campo viene evidenziato in verde), tramite le frecce del campo relativo oinserendolo direttamente con la tastiera. Quando si lascia il campo viene abilitato il pulsante“Calcola”. Il numero non viene rappresentato sulla tavola, ma sommato successivamente.

Somma degli addendi

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia l'operazione di addizione dei due numeri inseritiprecedentemente. Se la velocità è impostata a 0, il calcolo viene svolto istantaneamente e il risultato


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 73

Illustrazione 10: Inserimento del primo addendo (1234)

Illustrazione 9: Yupana di Wassen, Addizione


MANUALE UTENTE

visualizzato sulla yupana. Se la velocità vieneimpostata con un valore maggiore di zero, ilriempimento della tavola viene fatto per gradi econ velocità crescente a seconda del numeroinserito nel campo velocità.

I semi relativi al secondo addendo sono neriper distinguerli da quelli del primo addendo (siveda l'11) e vengono aggiunti man mano dalleunità, alle decine, alle centinaia, ecc. Tuttavia,ogni volta che viene riempita una casellaRX×CY, i semi vengono automaticamente

promossi alla colonna successiva e trasformati in un seme nero. Alcuni semi bianchi (appartenential primo addendo), potrebbero quindi diventare neri per questo motivo.

Il risultato dell'operazione viene mostrato nel campo “Totale” a fianco della tavola.


TO DO

3.5.4 - Funzioni del menù

Cliccando sull'icona del condor (in alto a sinistra su una qualsiasi delle precedenti maschere)viene visualizzato un menù a tendina dal quale è possibile scegliere le seguenti funzioni:

1. Pulisci la Yupana: toglie tutti i semi dalla tavola eazzera il contatore del totale (tasto F1).

2. Aiuto: visualizza un file di aiuto (tasto F2)

3. Chiudi: chiude la finestra (tasto F8).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 74

Illustrazione 11: Calcolo della somma


MANUALE UTENTE

3.6 - Yupana di Radicati

Il sottomenù Yupana diRadicati (si veda l'12) presentaquattro scelte (selezionabili anchetramite i tasti funzione F1, F2, F3 eF4) alle quali corrispondono leseguenti funzioni:

1. Rappresentazione: permette di rappresentare un numero sulla yupana

2. Addizione: permette di eseguire l'operazione di addizione tra due o tre numeri

3. Sottrazione: permette di eseguire l'operazione di sottrazione tra due numeri

4. Moltiplicazione: permette di eseguire l'operazione di moltiplicazione tra due numeri

La dimensione delle finestre aperte dalle varie funzioni è diversa a seconda della risoluzionedello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbook con risoluzione 800x48026


Questa funzione permette di rappresentare quatrro numeri, uno per ogni colonna, nel sistemaposizionale in base 10 ideato da C. Radicati di Primeglio, con progressione verticale delle potenzedi 10 (base 10) e progressione orizzontale dei pesi 1, 1, 1, 1 (si veda il paragrafo 2.1.1).

Inizialmente viene presenta una tavola in posizione verticale e vuota, corrispondente al numerozero (13) nella quale è possibile disporre i semi per rappresentare i numeri. Le lacune nelle quali èpossibile inserire i semi sono evidenziate in verde.



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 75

Illustrazione 12: Sottomenù di Glynn (scelte possibili)


MANUALE UTENTE


In ognuna delle quattro colonne è possibile rappresentare un numero. Ogni riga, a partire dalbasso, rappresenta una potenza di dieci. In ogni casella, RX×CY, è possibile inserire fino a 9 semi,ognuno con peso unitario.

Cliccando con il tasto sinistro del mouse su una lacuna si inserisce un seme nellayupana


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 76

Illustrazione 13: Yupana vuota, corrispondente al numero 0 (zero)


MANUALE UTENTE

Per inserire un numero bisogna cliccare conil pulsante di sinistra del mouse su una dellelacune libere (una cornice verde segnala qualilacune sono abilitate): un seme compariràall'interno della lacuna e il valore corrispondenteverrà sommato al totale e visualizzato sotto allacolonna corrispondente. Il colore dei semi èbianco per le colonne dispari (partendo dasinistra) e nero per le colonne pari (ciò solo perdistinguere visivamente i quattro numerirappresentati).

Per inserire il numero 3046 nella colonna 1, per esempio, bisognerà selezionare tre lacune dellacasella R4C1 (per un totale di 3 migliaia), quattro lacune della casella R2C1 (per un totale di 4decine) e sei lacune della casella R1C1 (per un totale di 6 unità). Il totale che verrà visualizzatosotto la colonna C1 corrisponde al numero da inserire. Si veda l'14.

È possibile inserire tutti i numeri da 1 a 99999.

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto destro delmouse su una lacuna si rimuove un seme dalla Yupana

Per rimuovere un seme dalla tavola (e decrementare di conseguenza il totale dellacorrispondente quantità) si deve cliccare con il pulsante di destra del mouse sul seme stesso tenendopremuto il tasto Control (CTRL). L'ordine di rimozione dei semi è inverso rispetto a quello diinserimento, quindi non è possibile rimuovere semi che non siano adiacenti.

3.6.2 - Addizione


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 77



MANUALE UTENTE

La finestra permette di sommare tre numeritra loro. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla sinistra, che prevede l'inserimentodel primo, del secondo e del terzo addendo, oltreche la possibilità di selezionare la velocità con laquale viene riempita la yupana (si veda l'15).


È possibile inserire il primo addendo agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, viene abilitato il secondoaddendo (altrimenti disabilitato) e il primonumero viene rappresentato nella yupana con deisemi bianchi secondo le regole descritte nelprecedente paragrafo.

Inserimento del secondo e del terzo addendo

Una volta inserito il primo addendo (e solosuccessivamente) è possibile inserire il secondoaddendo, tramite le frecce del campo relativo oinserendolo direttamente con la tastiera. Quandosi lascia il campo il numero viene rappresentatonella seconda colonna tramite dei semi neri eviene abilitato il campo successivo perl'inserimento del terzo addendo. Una voltainserito anche il terzo addendo, quando si lasciail rispettivo campo, il numero vienerappresentato nella terza colonna con dei semigialli e viene abilitato il bottone “Calcola”, che

permette di procedere al calcolo della somma.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 78

Illustrazione 15: Yupana di Radicati: addizione


Illustrazione 17: Inserimento del secondo (456) e del terzo addendo (789) e somma


MANUALE UTENTE

Somma degli addendi

Cliccando sul campo “Calcola” viene svoltala somma dei tre numeri inseritiprecedentemente. Se la velocità è impostata a 0,il calcolo viene svolto istantaneamente e ilrisultato visualizzato nella colonna 4 dellayupana. Se la velocità è impostata ad un valoremaggiore di zero, il riempimento della tavolaviene fatto per gradi e con velocità crescente aseconda del numero inserito nel campo velocità.

3.6.3 - Sottrazione

La finestra permette di sottrarre due numeritra loro. I numeri (minuendo e sottraendo) sonoinseribili tramite il pannello sulla sinistra; èinoltre possibile selezionare la velocità con laquale viene riempita la yupana (si veda l'19).

Inserimento del minuendo

È possibile inserire il minuendo agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, il numero viene rappresentatonella yupana, secondo le regole descritte nelparagrafo 3.2.1, con semi bianchi e vieneabilitato il campo di input del sottraendo(altrimenti disabilitato). Si veda l'20.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 79

Illustrazione 18: Somma degli addendi (1268)

Illustrazione 19: Yupana di Radicati: sottrazione



MANUALE UTENTE

Inserimento del sottraendo

Una volta inserito il minuendo (e solosuccessivamente) è possibile inserire ilsottraendo, tramite le frecce del campo relativo oinserendolo direttamente con la tastiera. Quandosi lascia il campo il numero viene rappresentatonella seconda colonna tramite dei semi neri eviene abilitato il bottone “Calcola”, che permettedi procedere al calcolo della somma. Si vedal'21.

Sottrazione degli addendi

Cliccando sul campo “Calcola” viene svoltala sottrazione dei due numeri inseritiprecedentemente. Se la velocità è impostata a 0,il calcolo viene svolto istantaneamente e ilrisultato (differenza) visualizzato nella colonna 4della yupana. Se la velocità è impostata ad unvalore maggiore di zero, il riempimento dellatavola viene fatto per gradi e con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nelcampo velocità. Si veda l'22.


La finestra permette di moltiplicare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla sinistra, che prevede l'inserimentodel moltiplicando, del moltiplicatore, oltre che lapossibilità di selezionare la velocità con la qualeviene riempita la yupana (si veda l'23).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 80

Illustrazione 23: Yupana di Radicati: moltiplicazione

Illustrazione 21: Inserimento del sottraendo (1234)

Illustrazione 22: Sottrazione (5555)


MANUALE UTENTE

Inserimento del moltiplicando

È possibile inserire il moltiplicando agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, il numero viene rappresentatonella prima colonna partendo da sinistra consemi viola e viene abilitato il campo delmoltiplicatore (altrimenti disabilitato). Si vedal'24. È possibile rappresentare solo numericompresi tra 1 e 999 e tali che il prodotto nonsuperi 99999 .

Inserimento del moltiplicatore

Una volta inserito il moltiplicando (e solosuccessivamente) sarà possibile inserire ilmoltiplicatore, tramite le frecce del camporelativo o inserendolo direttamente con la tastiera.Quando si lascia il campo, il numero vienerappresentato nella prima riga della yupana(colonne 2, 3 e 4 partendo da sinistra) con deisemi gialli. Anche in questo caso è possibilerappresentare solo numeri compresi tra 1 e 999 etali che il prodotto non superi 99999. Il campo“Calcola” viene abilitato. Si veda l'25.

Calcolo 1: prodotti parziali

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia lamoltiplicazione dei due numeri inseritiprecedentemente. L'operazione verrà eseguitapasso per passo: alla prima pressione del tastocalcola viene evidenziata (ma non eseguita)l'operazione successiva in modo da darel'opportunità all'utente di capire il metodo. Auna successiva pressione del tasto “Calcola”verranno eseguiti i prodotti parziali (26) eriempite le celle centrali (corrispondenti allerighe 1, 2 e 3 partendo dal basso e alle colonne

2, 3 e 4 partendo da sinistra).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 81

Illustrazione 25: Inserimento del moltiplicando (456)

Illustrazione 26: Riempimento dei prodotti parziali

Illustrazione 24: Inserimento del moltiplicando (123)


MANUALE UTENTE

Calcolo 2: Sommatorie

Successivamente, ad un'ulteriore pressionedel tasto “Calcola”, vengono svolte le sommatoriediagonali dei prodotti parziali. I risultati vengonomostrati nella colonna 5. Ad ogni pressione vienecambiata la dicitura del tasto “Calcola” adindicare il passo in esame.

Si noti che se la velocità è impostata a 0, ognipasso del calcolo viene svolto istantaneamente e ilrisultato visualizzato sulla yupana, altrimenti isemi verranno immessi nella yupana con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nel

campo velocità.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 82

Illustrazione 27: Calcolo delle sommatorie


MANUALE UTENTE

Calcolo 3: Prodotto

Infine, cliccando ulteriormente sul pulsante“Calcola” si termina l'operazione. Il calcolo delprodotto dei due fattori viene svolto e il numerorappresentato in colonna 6 con semi rossi. Ilprodotto viene anche mostrato sulla tavola inbasso a sinistra. Si veda l'28.

Un ulteriore pressione del tasto “Calcola”permette di svolgere un'altra operazione.







Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 83

Illustrazione 28: Primo passo dell'operazione


MANUALE UTENTE

3.7 - Yupana di Glynn

Il sottomenù Yupana diGlynn (si veda l'29) presenta trescelte (selezionabili anche tramite itasti funzione F1, F2 e F3) alle qualicorrispondono le seguenti funzioni:

5. Rappresentazione: permette di rappresentare un numero sulla yupana

6. Addizione: permette di sommare due numeri

7. Moltiplicazione: permette di moltiplicare due numeri

La dimensione delle finestre, aperte dalle funzioni, è diversa a seconda della risoluzione delloschermo ed è in grado di funzionare anche su un netbook con risoluzione 800x48027


Questa funzione permette di rappresentare un numero nel sistema posizionale in base 10 ideatoda W. Burns Glynn, con progressione orizzontale delle potenze di 10 (base 10) e progressioneverticale dei pesi 1, 1, 1, M (per maggiori informazioni, si veda il paragrafo 2.3.1).

Inizialmente viene presenta una tavola in posizione orizzontale e vuota, corrispondente alnumero zero (30) nella quale è possibile disporre i semi per rappresentare i numeri. Le lacune nellequali è possibile inserire i semi sono evidenziate in verde.

Numereremo le colonne a partire da destra (C1) verso sinisttra (C5) e le righe a partire dalbasso (R1) verso l'alto (R4).



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 84

Illustrazione 29: Sottomenù di Glynn (scelte possibili)


MANUALE UTENTE


Ogni lacuna appartenente alle righe da R1 a R3 (esclusa quindi quella con le caselle a sfondoverde, R4, dedicata alla memoria) della tavola ha un peso unitario; la prima colonna partendo dadestra, C1, corrisponde alle unità, la seconda alle decine, la terza alle centinaia, la quarta allemigliaia e la quinta alle decine di migliaia.

Cliccando con il tasto sinistro del mouse su una lacuna si inserisce un seme nellayupana

Ogni lacuna di qualsiasi riga, compresa tra 1 e 3, ha valore unitario moltiplicato per la potenzadella colonna, quindi dipende solo dalla colonna in cui si trova.

Le lacune della riga 4, zona verde o di memoria, hanno tutte valore 10 moltiplicato per lapotenza della colonna. Esse non vengono usate per la rappresentazione, ma durante i calcoli.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 85



MANUALE UTENTE

Per inserire un numero bisogna cliccare conil pulsante di sinistra del mouse su una dellelacune; si noti che in ogni colonna, l'ordine diinserimento dei semi è importante28 e bisognaprocedere dal basso verso l'alto e da destra versosinistra. Possono essere d'aiuto le cornici verdiattorno alle lacune attive (cliccabili).

Quando la casella viene selezionata,compare un seme al suo interno, viene disattivatae la cornice verde viene "trasferita" alla casellaattiva successiva. Il valore corrispondente al

seme (dipendente dalla colonna in cui si trova) viene sommato al totale e che viene infinevisualizzato sopra alla tavola.

Per inserire il numero 21, per esempio, bisognerà cliccare sulla lacuna in basso a destra dellaquarta colonna (Totale: 10), poi sulla lacuna immediatamente alla sua sinistra (Totale: 20) e infinesulla lacuna in basso a destra della quinta colonna (Totale: 21). Si veda l'31.

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto destro delmouse su un seme (lacuna) si rimuove tale seme dalla yupana

Per deselezionare una casella (decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare sul seme (lacuna) corrispondente tenendo premuto il tasto control (CTRL). È possibileinserire tutti i numeri da 1 (uno) a 111110 (o fino al 222220 utilizzando anche le memorie). Ilrisultato viene visualizzato nel campo “Totale” presente sopra alla tavola.

Uso della memoria

28 Non è possibile nella versione corrente trasferire coppie o terne di semi in zone più alte della yupana. Eventualmentevaluterò la possibilità di inserire questa funzione in futuro. [n.d.A.]


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 86



MANUALE UTENTE

Una volta riempita di semi una colonna, èpossibile promuovere tutti i semi nella lacunadedicata alla memoria (quarta riga, caselle consfondo verde) al fine di poter effettuare operazioniaritmetiche senza dover preoccuparsi di tenere amente i semi spostati.

Supponiamo per esempio di aver impostatonella yupana il numero 103 e di aver quindicompletato la colonna 4 (tutte le lacunecontengono un seme, ciò corrisponde a diecidecine, ovvero un centinaio) e riempito tre lacune

della colonna 5 (32).

Se, a questo punto, si volesse aggiungere laquantità 35 al numero inserito, sarebbesufficiente selezionare 5 lacune della colonna 5e 3 lacune della colonna 4.

L'operazione sulla colonna 5 non presentaalcun problema e può essere effettuata subito(33) cliccando col tasto sinistro del mouse sullecinque lacune soprastanti le tre già riempite.

Poiché la colonna quattro è piena (33), primadi eseguire l'operazione sulle decine (aggiungeretre semi), è necessario liberare lo spazionecessario, sostituendo i dieci semi di colonna 4con un seme memoria (pari a cento).

I dieci semi presenti nelle righe inferiori,vengono sostituiti da un unico seme che vienemesso nella lacuna di memoria, ossia l'area verdedella riga 4 (34). Per fare ciò è sufficientecliccare sulla lacuna di memoria della riga 4: tuttii semi sottostanti verranno sostituiti con un soloseme nella casella verde. Il risultato è mostrato

nell'35.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 87

Illustrazione 32: Numero inserito 103

Illustrazione 33: Aggiungo cinque unità

Illustrazione 34: Clic con il tasto di sinistra sulla caselladi memoria per liberare le caselle della colonna inesame


MANUALE UTENTE

Quando una colonna è stata riempita con dieci semi, è possibile cliccare con il tastosinistro del mouse su una lacuna di memoria in modo da sostituire i dieci semi conuno di memoria

Si noti che se non sono state riempite tutte ledieci caselle sottostanti, l'operazione non èpossibile.

Si aggiungono quindi i tre semi nelle caselleora libere della colonna 4 (36); ciò corrisponde,come abbiamo detto, alle 3 decine del numero 35.

Un seme in memoria è spostabile nella prima casella libera della colonnasuccessiva, a patto che ve ne sia una libera, cliccando sul seme in memoria con iltasto sinistro del mouse


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 88

Illustrazione 35: Sostituisco dieci semi della colonna 4con un seme memoria della stessa colonna

Illustrazione 36: Aggiungo le decine (tre semi) nella colonna 4


MANUALE UTENTE

Per concludere, si sposta il seme dallamemoria della colonna quattro alla prima casellalibera (in questo caso la prima casella in basso adestra) di colonna 3. Per realizzare ciò èsufficiente cliccare con il pulsante sinistro delmouse sul seme presente nella memoria dellacolonna 4: il seme verrà tolto e messoautomaticamente nella prima casella libera dicolonna 3 (37).

Nel caso l'operazione non sia possibile(quando ad esempio tutte le caselle della

colonna successiva sono occupate) il seme rimarrà nella casella della memoria. Occorreràpromuovere tutti i semi della colonna successiva nella relativa memoria, prima di poter spostare ilseme.

Operazioni inverse

Quando un seme si trova in memoria, è anche possibile ridistribuire il suo valore nelle caselledella colonna sottostante, qualora queste siano tutte libere. Per realizzare ciò, basta cliccare sul semein memoria con il pulsante destro del mouse: il seme scomparirà dalla casella di memoria e le diecicaselle sottostanti verranno riempite.

Un seme in memoria è ridistribuibile nelle caselle sottostanti, quando esse sianotutte libere, cliccando con il tasto di destra sulla casella di memoria.

Allo stesso modo l'ultimo seme immesso nella colonna X, può essere spostato nella memoriadella colonna precedente, cliccandoci sopra con il pulsante destro del mouse. Il seme scompariràdalla casella per apparire nella memoria della colonna precedente. Siccome questa operazione èpossibile solo sul seme più alto (ultimo immesso), se si clicca su uno degli altri semi non accadenulla.

Un qualsiasi seme di una certa colonna X, può essere spostato nella memoria dellacolonna precedente a patto che la casella corrispondente sia libera.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 89

Illustrazione 37: Sposto il seme in memoria nella prima casella libera della colonna successiva


MANUALE UTENTE

3.7.2 - Addizione

La finestra permette di sommare due numeri.I numeri sono inseribili tramite il pannello sullasinistra, che prevede l'inserimento del primo e delsecondo addendo, oltre che la possibilità diselezionare la velocità con la quale vieneriempita la yupana (si veda l'38).


È possibile inserire il primo addendo agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, viene abilitato il secondoaddendo (altrimenti disabilitato) e il primonumero viene rappresentato nella yupana con deisemi bianchi secondo le regole descritte nelprecedente paragrafo.


Una volta inserito il primo addendo (e solo successivamente) è possibile inserire il secondoaddendo, tramite le frecce del campo relativo o inserendolo direttamente con la tastiera. Quando silascia il campo viene abilitato il campo “Calcola”.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 90

Illustrazione 38: Yupana di Glynn: addizione



MANUALE UTENTE

Somma degli addendi

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia lasomma dei due numeri inseriti precedentemente.Se la velocità è impostata a 0, il calcolo vienesvolto istantaneamente e il risultato visualizzatosulla yupana. I semi relativi al secondo addendo

sono neri per distinguerli da quelli del primo addendo (si veda l'40). Se la velocità viene impostatacon un valore maggiore di zero, il riempimento della tavola viene fatto per gradi e con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nel campo velocità.


La finestra permette di moltiplicare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla sinistra, che prevede l'inserimentodel moltiplicando, del moltiplicatore, oltre che lapossibilità di selezionare la velocità con la qualeviene riempita la yupana (si veda l'41).


è possibile inserire il moltiplicando agendo sulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una volta lasciato il campo, viene abilitato il moltiplicatore(altrimenti disabilitato) e nella tabella sottostante vengono calcolati automaticamente i multipli 1x,2x, 3x e 5x del moltiplicando (42).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 91

Illustrazione 40: Inserimento del secondo addendo (5678) esomma

Illustrazione 41: Yupana di Glynn: moltiplicazione


MANUALE UTENTE


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 92

Illustrazione 42: Inserimento del moltiplicando


MANUALE UTENTE


Una volta inserito il moltiplicando (e solosuccessivamente) è possibile inserire il moltiplicatore,tramite le frecce del campo relativo o inserendolodirettamente con la tastiera. Quando si lascia il campo, ilmoltiplicatore inserito viene scomposto secondo regolepredefinite nella scacchiera sottostante e viene abilitato ilcampo “Calcola” (43).

Somma degli addendi

Cliccando sul campo “Calcola” si inizia lamoltiplicazione dei due numeri inseritiprecedentemente, operazione che verrà eseguitapasso per passo; in particolare, alla primapressione del tasto calcola, viene presentato ilprimo passo che verrà eseguito: la riga e lacolonna, nonché l'operazione vengonoevidenziate in giallo (44). La dicitura del tasto“Calcola” viene cambiata con il numero delpasso in esame (es. “Passo 1/3”). Per procederecon l'operazione è necessario premerenuovamente il tasto

Si noti che se la velocità è impostata a 0, ogni passo del calcolo viene svolto istantaneamente eil risultato visualizzato sulla yupana, altrimenti i semi verranno immessi nella yupana con velocitàcrescente a seconda del numero inserito nel campo velocità.

I semi immessi in ciascun passo del calcolo hanno colori diversi: ciò non perché abbiano pesi


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 93

Illustrazione 43: Inserimento del moltiplicando

Illustrazione 44: Prima pressione del pulsante "Calcola"; viene visualizzato il passo successivo in giallo


MANUALE UTENTE

differenti, ma solo a scopo didattico.

Cliccando sul tasto “Passo 1/3” si procedecon il riempimento della yupana e la dicituracambia in “Passo 2/3”, e così via (45 e seguenti).

Una volta concluso il calcolo il risultato finale (prodotto) viene mostrato in alto a destra (47).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 94

Illustrazione 45: Primo passo dell'operazione

Illustrazione 46: Secondo passo dell'operazione

Illustrazione 47: Terzo passo dell'operazione (risultato)


MANUALE UTENTE







Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 95


MANUALE UTENTE

3.8 - Yupana di De Pasquale (2001)

Quando viene aperta la finestra Yupana di De Pasquale, il programma presenta una tavola inposizione verticale e vuota, corrispondente al numero zero (48). La dimensione della tavola èdiversa a seconda della risoluzione dello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbookcon risoluzione 800x48029

In questo caso non sono stati ancora implementati algoritmi, ma è unicamente possibilerappresentare dei numeri nel sistema di numerazione posizionale in base 40.


La numerazione delle colonne cresce da destra verso sinistra e quella delle righe cresce dalbasso verso l'alto.

Le caselle della tavola hanno un peso differente a seconda della riga e della colonna in cui sitrovano, secondo lo schema riportato nel paragrafo 2.4.1.



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 96



MANUALE UTENTE

Cliccando con il tasto sinistro del mouse su una casella si inserisce un seme nellaYupana

Per inserire un numero bisogna cliccare con il pulsante di sinistra del mouse su una qualsiasidelle caselle.

Quando la casella viene selezionata, compare un seme all'interno di essa e il valorecorrispondente viene sommato al totale; il totale viene infine visualizzato di fianco all'abaco.

Siccome la numerazione è in base 40, nella prima riga in basso sarà possibile inserire tutti inumeri da 0 (riga e tavola vuota) al numero 39 (riga piena). Per inserire il numero 40 bisogneràliberare tutta la prima riga e inserire un seme nella prima casella a destra della seconda colonna.

Ogni numero non possiede una rappresentazione univoca, come si può vedere in 49 e 50, doveè stato inserito il numero 9.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 97

Illustrazione 49: Una rappresentazione del numero 9 data da 3x2 + 2x1 + 1


MANUALE UTENTE

Per deselezionare una casella (decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante di destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).

Tenendo premuto il tasto CTRL e cliccando con il tasto destro delmouse su una casella si rimuove un seme dalla Yupana

È possibile inserire tutti i numeri da 1 (uno) a 102399990 (centodue milionitrecentonovantanove mila e novecento novanta).

Il risultato viene visualizzato nel campo “Totale” presente a fianco della tavola.


Cliccando sull'icona del condor (in alto a sinistra sulla maschera) viene visualizzato un menù atendina dal quale è possibile scegliere le seguenti funzioni:


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 98

Illustrazione 50: Un'altra rappresentazione del numero 9 data da 3x3


MANUALE UTENTE





Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 99


MANUALE UTENTE

3.9 - Yupana di Chirinos (2008)

Quando viene aperta la finestra Yupana di Chirinos, il programma presenta una tavola inposizione verticale e vuota, corrispondente al numero zero (51). La dimensione della tavola èdiversa a seconda della risoluzione dello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbookcon risoluzione 800x48030

In questo caso non sono stati ancora implementati algoritmi, ma è unicamente possibilerappresentare dei numeri nel sistema di numerazione posizionale in base 10, con progressione 111.


La numerazione delle colonne cresce da destra verso sinistra e quella delle righe cresce dalbasso verso l'alto.

Le caselle della tavola hanno un peso differente a seconda della riga e della colonna in cui sitrovano, secondo lo schema riportato nel paragrafo 2.5.1. Si noti che la riga 1, corrispondente aquella più in basso, rappresenta i decimali.



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 100



MANUALE UTENTE




Siccome la numerazione è in base 10, e inizia dai decimali, nella prima riga in basso saràpossibile inserire tutti i numeri da 0 (riga e tavola vuota) al numero 6.6 (riga piena).

Ogni numero non possiede una rappresentazione univoca, come si può vedere in 52 e 53, doveè stato inserito il numero 9.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 101

Illustrazione 52: Una rappresentazione del numero 9,8 data da 6 + 3 + 0.8


MANUALE UTENTE



È possibile inserire tutti i numeri da 1 (uno) a 73332,6 (settantatremila e trecento trenta duevirgola sei).





Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 102

Illustrazione 53: Un'altra rappresentazione del numero 9,8 data da 1 + 2 + 5 (seconda riga) + 1+ 0,8 (prima riga)


MANUALE UTENTE

1. Svuota la Yupana: toglie tutti i semi dalla tavola eazzera il contatore del totale (tasto F10 e F1).

2. Aiuto: visualizza un file di aiuto (tasto F10 e F12)

3. Chiudi: chiude la finestra (tasto F10 e F8).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 103


MANUALE UTENTE

3.10 - Yupana di Kak (2014)

Quando viene aperta la finestra Yupana di Kak, il programma presenta una tavola in posizioneverticale e vuota, corrispondente al numero zero (54). La dimensione della tavola è diversa aseconda della risoluzione dello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbook conrisoluzione 800x48031

In questo caso non sono stati ancora implementati algoritmi, ma è unicamente possibilerappresentare dei numeri nel sistema di numerazione posizionale nonuniforme.


La numerazione delle colonne cresce da sinistra verso destra e quella delle righe cresce dalbasso verso l'alto.

Le caselle della tavola hanno un peso differente a seconda della riga e della colonna in cui sitrovano, secondo lo schema riportato nel paragrafo 2.7.1.



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 104



MANUALE UTENTE




Siccome alla prima riga in basso corrisponde la potenza 120 e i valori delle caselle varianosecondo la progressione 1, 6, 24, 72, in essa sarà possibile inserire tutti i numeri da 0 (riga e tavolavuota) al numero 143 (riga piena).

Ogni numero possiede una rappresentazione univoca.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 105

Illustrazione 55: Rappresentazione del numero 223 = 144 (seconda riga) + 1 + 6 + 72 (prima riga)


MANUALE UTENTE



È possibile inserire tutti i numeri da 1 (uno) a 61917364223 (sessantun miliardi,novecentodiciassette milioni, trecentosessantaquattromila duecentoventitre).




1. Svuota la Yupana: toglie tutti i semi dalla tavola eazzera il contatore del totale (tasto F10 e F1).

2. Aiuto: visualizza un file di aiuto (tasto F10 e F12)

3. Chiudi: chiude la finestra (tasto F10 e F8).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 106


MANUALE UTENTE

3.11 - Yupana di Florio (2008)

Il sottomenù Yupana di Florio (si veda l'56) presenta trescelte (selezionabili anche tramite i tasti funzione F1, F2 e F3) allequali corrispondono le seguenti funzioni:

1. Rappresentazione: permette di rappresentare un numerosulla yupana

2. Addizione: permette di sommare due numeri

3. Moltiplicazione: permette di moltiplicare due numeri


Per inserire un numero nella tavola occorre scomporlo in unità,decine, centinaia, ecc. e rappresentarlo nella prima colonna a destracome somma di potenze di dieci.

Per cambiare la potenza di dieci bisogna selezionare il semecorrispondente dalla lista di semi accanto alla tavola (57). Alcuninomi sono scritti in quechua e il loro significato è riportato nella 42.

La potenza di 107 (colore blu, senza seme) costituisce un limitesuperiore (non legato all'algoritmo Florio, ma a ragioni diprogrammazione).

NOTA: Rispetto agli scritti di Cinzia Florio, che riguardanoprincipalmente l'algoritmo della moltiplicazione (vedi paragrafo2.6.3) e che è focalizzato e pertinente alla particolare moltiplicazioneritratta da Poma de Ayala, in TkYupana è possibile inserire tutti inumeri da 1 a 10000 (limite di cinque righe) in quanto il programmapermette l'inserimento delle cifre da 1 a 9 in ogni casella della primacolonna. Si veda a tale proposito le avvertenze circa le limitazioninella rappresentazione del moltiplicando sempre nel paragrafo 2.6.3.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 107

Illustrazione 56: Sottomenù Florio

Illustrazione 57: Lista dei semi


MANUALE UTENTE

Quechua TraduzioneRappresentazione in

Potenze di dieciRappresentazione

in numero

Huk Unità 100 1

Chunka Decine 101 10

Pachaq Centinaia 102 100

Waranqa Migliaia 103 1000

Hunu32 Decine di migliaia 104 10000

105 100000

106 1000000

107 10000000

Tabella 42: Corrispondenze tra numeri e nomi in quechua

Una volta selezionato il peso del numero da inserire, basta cliccare con il tasto sinistro delmouse in una delle caselle della prima colonna: un seme dello stesso peso di quello selezionatocomparirà nella casella e il suo valore verrà aggiunto al totale di quanto introdotto che a sua voltasarà visualizzato in calce alla colonna stessa.

Cliccando con il tasto sinistro del mouse su una casella della prima colonna siinserisce un seme nella Yupana. Il valore del seme dipenderà dal colore selezionatoa sinistra della tavola.

NOTA BENE:

• Le parti del numero che viene inserito non dipendono dalla posizione (infatti il sistemanumerico è additivo).

• L'ordine di riempimento deve avvenire dall'alto verso il basso così come riportato da José deAcosta (si veda nota 16)

• Fintanto che non si inserisce almeno un seme non è possibile modificare il valore delmoltiplicatore (i campi in alto a sinistra rimangono disabilitati).

Ad esempio, per inserire il numero 1291 = 1 × 103 + 2 × 102 + 9 × 101 + 1 × 100 dovremo

32 In molti dizionari moderni di lingua quechua, la parola “Hunu” è tradotta come “un milione”, in seguito allatraduzione proposta da Gonzáles Holguín[§HOL] del 1608. In TkYupana ho preferito seguire l'interpretazione dellinguista Pilares Casas, che mi sembra più verosimile e il valore che gli attribuisco è diecimila, anche in seguito allalettura del vocabolario di Domingo de Santo Tomas[§SAT] che traduce “huno o chunga guaranga ” con “dieci mila innumero” [n.d.A.]


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 108


MANUALE UTENTE

selezionare il seme giallo (×1000, migliaia) e cliccare su una casella della prima riga (dall'alto)della prima colonna (da destra); poi selezioniamo il seme rosso (×100, centinaia e clicchiamo sudue caselle della seconda riga (dall'alto) della prima colonna (da destra); successivamenteselezioniamo il colore bianco (×10, decine) e clicchiamo su nove caselle della terza riga (dall'alto)della prima colonna (da destra); infine selezioniamo il colore nero (×1, unità) e clicchiamo su unacasella della quarta riga (dall'alto) della prima colonna (da destra). Nell'58 l'ordine di inserimento èstato variato sempre per mettere in evidenza la additività del sistema di numerazione).

Per deselezionare una casella (e decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante di destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 109



MANUALE UTENTE

3.11.2 - Addizione

La finestra permette di sommare duenumeri. I numeri sono inseribili tramite ilpannello sulla sinistra, che prevede l'inserimentodel primo e del secondo addendo, oltre che lapossibilità di selezionare la velocità con la qualeviene riempita la yupana (si veda l'59).


è possibile inserire il primo addendo agendosulle frecce del campo relativo, oppure inserendodirettamente il numero con la tastiera. Una voltalasciato il campo, viene abilitato il secondoaddendo (altrimenti disabilitato) e il primonumero viene rappresentato nella yupana con deisemi colorati secondo le regole descritte nelprecedente paragrafo.


Una volta inserito il primo addendo (e solo successivamente) è possibile inserire il secondoaddendo, tramite le frecce del campo relativo o inserendolo direttamente con la tastiera. Quando silascia il campo viene abilitato il pulsante “Calcola”.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 110

Illustrazionee 59: Yupana di Florio: addizione

Illustrazione 60: Inserimento di 1234


MANUALE UTENTE


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 111

Illustrazione 61: Inserimento del secondo addendo: 5678


MANUALE UTENTE

Somma degli addendi

Cliccando sul pulsante “Calcola” si inizia lasomma dei due numeri inseriti precedentemente.Se la velocità è impostata a 0, il calcolo vienesvolto istantaneamente e il risultato visualizzatosulla yupana. (si veda l'62). Se la velocità vieneimpostata con un valore maggiore di zero, ilriempimento della tavola viene fatto per gradi econ velocità crescente a seconda del numeroinserito nel campo velocità.


L'implementazione del sistema di numerazione addizionale diCinzia Florio eseguita in TkYupana non permette di inseriretutti i numeri per né per il moltiplicando né per il moltiplicatore.Ciò non dipende da un errore del programma, né da limitazionidel sistema di numerazione, ma semplicemente da una scelta miascelta di resa visiva, per riprodurre esattamente l'abaco disegnatoda Poma de Ayala. Per quanto riguarda il moltiplicando si vedala nota 17. Per quanto riguarda il moltiplicatore, invece, i limitidipendono sia dal numero di colonne ad esso dedicate (solo 2)

che dal numero di valori (09) attribuibili alle stesse.

La finestra di Moltiplicazione della Yupana di Florio prevede la possibilità di rappresentaremoltiplicando e moltiplicatore sulla yupana e di eseguire il calcolo della moltiplicazione. Si trattadi una tavola moltiplicatrice, quindi un ausilio nel calcolo di una moltiplicazione di due termini: M m, dove indichiamo con M il moltiplicando e con m il moltiplicatore.33

La finestra che viene visualizzata (63) rappresenta la yupana raffigurata da Poma de Ayala,ovvero in posizione verticale, con cinque righe e quattro colonne: le due colonne centralicorrispondono ad un moltiplicatore 5 scomposto in 3 + 2.34 La dimensione della tavola è diversa aseconda della risoluzione dello schermo ed è in grado di funzionare anche su un netbook conrisoluzione 800x48035

33 Si veda il paragrafo 2.6.3 e seguenti per maggiori informazioni circa la moltiplicazione secondo Florio [n.d.A.]34 Si ricorda che secondo l'interpretazione dell'autrice, la yupana rappresentata da Poma de Ayala è un disegno

contingente al calcolo svolto (in particolare 32 × 5) e quindi la tavola sarebbe stata usata come uno strumentomoltiplicatore nel quale la colonna uno (quella a destra) veniva utilizzata per rappresentare il moltiplicando, mentrele colonne due e tre (quelle centrali) servivano per rappresentare il moltiplicatore scomposto in due addendi. Laquarta e ultima colonna (quella a sinistra) serviva per ricavare il risultato. [n.d.A.]



Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 112

Illustrazione 62: Somma degli addendi


MANUALE UTENTE

In questa finestra è possibile eseguire le seguenti azioni:

• accedere al menù a tendina in alto a destra (icona del condor)

• selezionare un differente valore per il seme da inserire nella tavola

• inserire un seme nella tavola

Si noti che alla base della colonna due (seconda colonna da destra) compare la didascalia “2×”che sta ad indicare il fattore moltiplicativo del primo addendo, mentre in calce alla colonna tre(terza colonna da destra) compare la didascalia “3×” corrispondente al fattore moltiplicativo delsecondo addendo. La configurazione 3+2 visualizzata per difetto può essere cambiata in seguito.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 113

Illustrazione 63: Yupana Florio in configurazione (3+2)x ...


MANUALE UTENTE


Per inserire un moltiplicando si procedacome nel paragrafo 3.11.1. Ad esempio, perinserire il numero 111 = 1 × 102 + 1 × 101 + 1 ×100 dovremo selezionare il seme rosso (×100) ecliccare la prima casella della colonna più a destra(partendo dall'alto); successivamente dovremoselezionare il colore bianco (×10) e cliccare sullaseconda casella partendo dall'alto della stessacolonna; infine dovremo selezionare il colorenero (×1) e cliccare sulla terza casella partendodall'alto. Nell'64 ho inserito prima i semi con unordine diverso per mostrare che il carattere

additivo della teoria di Florio rende indipendente la rappresentazione del numero dalla posizione deisemi. Una volta inserito almeno un seme in una casella di colonna 1, viene attivata la sezione dellamaschera che riguarda il moltiplicatore (per inserire il moltiplicatore, si veda il paragrafo 2.6.3).

Per deselezionare una casella (e decrementare il numero della corrispondente quantità) si devecliccare col pulsante di destra del mouse sul seme/casella corrispondente tenendo premuto il tastoControl (CTRL).



Una volta inserito il moltiplicando M, è possibile cambiare la scomposizione del moltiplicatorem in somma di due termini, diversi da 3 e 2, agendo sui numeri in alto a sinistra relativi alle colonne2 e 3 (65).


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 114



MANUALE UTENTE

Cambiando detti numeri, cambierà diconseguenza il numero delle caselle visualizzatenelle colonne 2 e 3 rispettivamente e i fattorimoltiplicativi delle stesse (fattori che vengonovisualizzati sotto alle colonne stesse). Si veda in

proposito l'66, nella quale il moltiplicatore 4005 è stato diviso in due: 4000 + 5

Il formato è: Colonna X A 10^ S, dove:• X = numero della colonna• A = numero di semi inseribili in nella colonna X• 10^ = simbolo di elevamento a potenza del numero 10• S = potenza del numero 10 (peso da assegnare alla colonna X)

Si noti che aumentando la variabile S di colonna 2 diminuiscono progressivamente lepossibilità di selezionare valori alti dei semi (si veda l'66 nella quale alcuni semi sono disabilitati).Questo è stato introdotto per evitare errori del programma dovuti a uno “sfondamento” del limitesuperiore di 107. La regola è che il massimo esponente S selezionabile per la colonna 2 dipende dalmassimo valore della potenza J introdotta nel moltiplicando e viceversa. La somma di S e J nondeve superare il limite superiore 7.

Per ora non è possibile cambiare l'esponente di colonna 3. In futuro apporterò modifiche in talsenso.

Le opzioni velocità e Passo-Passo

Vicino al gruppo di campi relativi al moltiplicatore, sono presenti:

• Una casella da spuntare con la dicitura: PassoPasso

• Un selezionatore di velocità

Spuntando la casella Passopasso il calcolo verrà visualizzato un passo alla volta: prima lemoltiplicazioni della colonna 1 per la colonna 2, poi la moltiplicazione di colonna 1 per colonna 3,infine le sommatorie e contestualmente la visualizzazione del risultato.


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 115

Illustrazione 65: Gruppo di campi per l'inserimento del moltiplicatore

Illustrazione 66: Esempio di scomposizione del moltiplicatore 4005 in 4000 + 5


MANUALE UTENTE

Se la casella non è selezionato il calcolo viene svolto senza pause.

Il selezionatore di velocità serve a cambiare la velocità con cui vengono riempite le caselle: 10corrisponde a “istantaneo”, mentre valori inferiori a 10 corrispondono a valori della velocità via viadecrescenti.

Calcolo del prodotto

Una volta riempito il moltiplicando, impostato il moltiplicatore e deciso i parametri di calcolosi può iniziare il calcolo premendo il pulsante “Calcola”.

Se la opzione passopasso non è selezionata il calcolo viene svolto senza interruzioni e ilrisultato (prodotto) visualizzato sotto alla colonna 4 (69), altrimenti il pulsante cambia la dicitura“Calcola” in “Prima moltiplicazione (colonna 2)” e attende una nuova pressione del pulsante.

Premendo nuovamente il pulsante lacolonna 2 viene riempita in accordo ai valoriselezionati e la dicitura del pulsante cambia in“Seconda moltiplicazione (colonna 3)”. Ilprogramma attende una nuova pressione delpulsante (67)

Premendo nuovamente il pulsante la colonna3 viene riempita in accordo ai valori selezionati ela dicitura del pulsante cambia in “Somma lecolonne 2 e 3”. Il programma attende una nuovapressione del pulsante (68)


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 116

Illustrazione 67: 111 4005: Primo moltiplicazione (moltiplicazione della prima colonna per la seconda)

Illustrazione 68: 111 4005: Seconda moltiplicazione (moltiplicazione della prima colonna per la terza)


MANUALE UTENTE

Un'ultima pressione del pulsante permette diriempire anche la colonna 4, come somma dellecolonne 2 e 3 e di visualizzarne il prodotto (69).

È possibile infine rimuovere un'intera rigapremendo il tasto CTRL e cliccando con il tastodi destra sul seme della colonna 1. Il totale vieneazzerato e il calcolo deve essere ripetuto (70).







Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 117

Illustrazione 69: 111 4005: somme delle colonne 2 e 3 e visualizzazione del risultato

Illustrazione 70: Eliminazione di una riga intera tramite rimozione del seme in colonna 1


MANUALE UTENTE

4 - Licenza

TkYupana è un software libero: puoi ridistribuirlo e/o modificarlo sotto i termini della licenzaGNU General Public License (GPL) della Free Software Foundation, versione 3 o (a tuopiacimento) qualsiasi versione successiva. TkYupana è diffuso nella speranza che sia utile aqualcuno, ma SENZA NESSUNA GARANZIA: senza nemmeno la granzia implicita diCOMMERCIABILITÀ o di IDONEITÀ PER UN PARTICOLARE SCOPO. Si veda a taleproposito e per maggiori dettagli la copia della licenza GNU GPL v3 allegata al programma TkYupana, oppure si veda il sito [ http://www.gnu.org/licenses/ ]


Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 118

http://www.gnu.org/licenses/


MANUALE UTENTE

5 - BibliografiaQuesti sono gli articoli/siti dai quali sono state tratte le informazioni riguardanti le funzioni del

programma implementate.

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Doc. Rev. IT.0.7.2– 21/07/16 120

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Documents

UN SEMPLICE EMULATORE DELL'ABACO INCAICOkunturweb.altervista.org/tk-yupana/doc/tk-yupana-IT.pdf · Quechua compilato da Diego Gonzales Holguín[§HOL] nel 1608. In realtà, Holguín,