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I modelli di valutazione delle opzioni su tassi. Un approccio statistico alla stima della yield curve Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi. Definizione della yield curve. Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount) Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza. - PowerPoint PPT Presentation
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Un approccio statisticoalla stima della yield curve
Lucidi a cura di Giampaolo Gabbi
I modelli di valutazione delle opzioni su tassi
2
Definizione dellayield curve
Rendimenti dei titoli privi di cedola (pure discount)
Stesso emittente Stessa liquidità Diversa scadenza
3
Finalità della yield curve
Interpretazione delle aspettative degli operatori
Valorizzazione dei flussi delle attività e delle passività finanziarie Analisi del rischio di interesse di un portafoglio Pricing di alcuni derivati
4
Criteri per la stima
Scelta del campione Parsimonia Rassomiglianza Robustezza
5
Soluzioni per la stima
Metodi di mercato Metodi no-arbitrage Obiettivo: minimizzare l’errore
P t P ti ii
* ( ) ( )2
6
Modelli statistici (es. I)
Scadenza Numero di flussi TRES Duration T1 2 5,28 0,890 T2 4 5,30 1,896 T4 8 5,47 3,307 T7 14 6,25 5,334 T10 20 6,53 6,290
7
Modello TRES/vita residua
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
01/0
1/97
01/0
1/98
01/0
1/99
01/0
1/00
01/0
1/01
01/0
1/02
01/0
1/03
01/0
1/04
01/0
1/05
01/0
1/06
vita residua
tres
8
Stima della continuità
Interpolazione statistica Adattamento alla polinomiale Misura dell’errore commesso
9
Interpolazione statistica Semplicità Regressione rispetto alla vita residua, per
approssimare la dinamica del tasso in funzione del tempo
10
Adattamento polinomiale Adattamento lineare
Adattamento esponenziale
Adattamento potenza
trt
trt
ttr
FOGLIOEXCEL
11
Stima lineare (esempio) Stimare la curva dei rendimenti utilizzando
le equazioni precedenti fa migliorare il fitting della curva aumentando il grado della funzione
MODELLO DI STIMA DELLA CURVA DEI RENDIMENTI
COEFFICIENTE DI DETERMINAZIONE (R2 )
rt = 4,985 + 0,161t 96,25% rt = 5,032 + 0,1377t + 0,0021 t 2 96,36% rt = 5,436 – 0,2209t + 0,0799 t 2 – 0,0047t 3 99,44% rt = 5,4918 –0,2921t +0,106 t 2 - 0,0083t3 + 0,0002t 4 99,46%
12
Stima della continuità Una volta stimata la funzione della curva è
possibile determinare la struttura sui nodi scelti, sostituendo i valori delle scadenze alle variabili indipendenti
La curva è continua in ogni punto che rappresenta le scadenze
13
Stima della continuità (es.) Si prenda la prima curva stimata
Il rendimento dell’attività con scadenza a 3 mesi si determina nel seguente modo
Si calcola il valore di t. Nel caso specifico
r tt 5 028 0 154, ,
t mesimesi
3
120 25,
14
Stima della continuità (es.) Si sostituisce il valore i t alla funzione di
stima
Si procede in questo modo su tutte le scadenze desiderate
%07,525,0154,0028,5r 25,0
15
Stima della continuità (es.) Nel caso delle funzioni stimate, fino al
quarto grado, le strutture dei rendimenti sono le seguenti
Nodi Modello 1 Modello 2 Modello 3 Modello 4 1 mese 4.998 5.043 5.418 5.468 3 mesi 5.025 5.067 5.386 5.425 6 mesi 5.066 5.101 5.345 5.371 1 anno 5.146 5.172 5.290 5.298 2 anni 5.307 5.316 5.276 5.268 3 anni 5.468 5.464 5.366 5.362 5 anni 5.790 5.773 5.742 5.769
10 anni 6.595 6.619 6.517 6.871
16
Stima logaritmica Per ottenere migliori risultati in termini di
stima è possibile operare mediante logaritmi
La soluzione più semplice per stimare la curva dei rendimenti è quella proposta da Bradley e Crane i quali trasformano rendimenti e scadenze in forma logaritmica ln(T)χTβαr)ln(1 ++=+
17
Modello di Bradley-Crane
Questo modello di stima ( =96,29) permette di ottenere la seguente serie di rendimentiTln()Tln(*)1rt rt
*rt
0,0493-0,0019 10,001920,0000,0515,2555,2800,0493-0,0019 20,001920,6930,0525,3145,3000,0493-0,0019 40,001921,3860,0545,5775,4700,0493-0,0019 70,001921,9460,0596,0726,2500,0493-0,0019100,001922,3030,0646,6116,530
R2
18
Modello Cohen-Kramer-Waugh
Nel modello proposto da Cohen, Kramer e Waugh, il rendimento diventa funzione della scadenza, della scadenza al quadrato e del quadrato del logaritmo sempre della vita residua r T T TT 2 2
log
FOGLIOEXCEL
19
Modello Cohen-Kramer-Waugh
Sostituendo alle variabili dell’equazione i coefficienti stimati, si ottiene il valore del TRES stimato [r*(t)].TT2(log)T2rt
*rt5,75035-0,483410,0121514,436210,000005,2795,2805,75035-0,483420,0121544,436210,090625,2345,3005,75035-0,483440,01215164,436210,362485,6195,4705,75035-0,483470,01215494,436210,714196,1306,2505,75035-0,4834100,012151004,436211,000006,5686,530
20
Difetti dei modelli L’esistenza di flussi eterogenei I fattori di imposizione fiscale Le tipologie degli emittenti Misura del TRES
21
Modello di Echols-Elliot Echols ed Elliot propongono una
funzione di regressione che corregge la distorsione dovuta alle caratteristiche delle cedole
dove i indica il titolo i-esimo e C è l'ammontare della sua cedola
ln ,11
r
TT CT i
ii i
22
Modello di Echols-Elliot Il modello stimato sull’esempio ( =96,85) permette di ottenere i
risultati seguenti
1Ti
TCiln(*)1rt rt*rt
0,053910,001571,0000,001461-0,0006100,0515,2625,2800,053910,001570,5000,001462-0,0006100,0525,3335,3000,053910,001570,2500,001464-0,0006110,0545,5375,4700,053910,001570,1430,001467-0,000690,0596,0796,2500,053910,001570,1000,0014610-0,000680,0646,6186,530
R2
23
Il metodo TRES/duration
La duration approssima la scadenza finanziaria di un titolo con cedola
Per ottenere una curva continua è utilizzare i modelli di stima già proposti in precedenza
24
Interpolazione statistica
r Dt
r D Dt 2
r D D Dt 2 3
r D D D Dt 2 3 4
25
Interpolazione statistica. Il modello TRES/Duration
M O D E L L O D I S T I M A D E L L A C U R V A D E I R E N D I M E N T I
C O E F F I C I E N T E D I D E T E R M I N A Z I O N E ( R 2 )
r Dt 5 012 0 225, , 9 2 , 2 1 % r D Dt 5 331 0 096 0 047 2, , , 9 8 , 8 5 %
r D D Dt 5 723 0 691 0 247 0 0192 3, , , , 9 9 , 9 3 %
r D D Dt 5 606 0 485 0 147 0 0012 4, , , , 9 9 , 9 8 %
26
Altri modelli TRES/duration
Oltre ai modelli statistici presentati si possono applicare quelli già visti per la vita residua
Bradley e Crane Cohen, Kramer e Waugh
27
Difetti dei modelliTRES/duration
La variabile temporale è dipendente dal rendimento stesso
Il valore in ascissa varia per effetto del tempo ma anche per la variazione del TRES
Con la duration si accorcia sensibilmente l’intera struttura dei rendimenti
28
Calcolo tassi spot
Rendimenti di titoli zero-coupon Problema della stima in assenza di titoli
senza cedola Metodo del coupon stripping
29
Calcolo tassi spot (es.) Formula di calcolo
T
i
tTTri rFTtP
1
)(, )1(),(
dove
TtP, è il prezzo al tempo t del titolo con scadenza T;
Fiè il flusso corrisposto al tempo ti, con ttTi;
rtT, è il tasso spot che si vuole stimare.
30
Calcolo tassi spot (es.)
Tabella 1 - Titoli zero coupon sul mercato
Scadenza (anni) Prezzo Rendimento (%)1 91,50 9,292 84,36 8,883 77,89 8,694 68,12 10,075 57,64 11,65
31
Calcolo tassi spot (es.) Se sul mercato esiste un titolo a 6 anni con
cedola annuale del 10% (coincidenti con la scadenza dei titoli zero coupon) e un prezzo pari a 97,56 è possibile determinare il tasso spot attualizzando le prime cinque cedole con i tassi della tabella precedente
32
Calcolo tassi spot (es.)97 56 10 1 0 0929 10 1 0 0888 10 1 0 08691 2 3, ( , ) ( , ) ( , )
66,0
54 )1(110)1165,01(10)1007,01(10 s
66,0 )1(11095,3756,97 s
%75,10100195,3756,97
110 61
6,0
s
33
Stima struttura continua Una volta calcolati i tassi spot, è possibile
stimare la continuità della curva con uno dei metodi di interpolazione precedenti
Il rischio è quello di forzare la minimizzazione dell’errore, alterando la configurazione dell’intera curva
34
Stima struttura continua Si ipotizzi di volere stimare la curva dai
seguenti tassi spotDurata Spot Durata Spot Durata Spot
1 7,50 11 8,20 21 9,202 7,80 12 8,50 22 9,103 7,70 13 8,60 23 8,904 7,50 14 8,65 24 8,705 7,35 15 8,75 25 8,506 7,15 16 9,00 26 8,357 7,00 17 9,20 27 8,108 7,80 18 9,30 28 8,709 7,90 19 9,35 29 8,95
10 8,30 20 9,40 30 9,30
35
Il modello degli splines Una soluzione ampiamente utilizzata è
quella degli spline Si tratta di un insieme di funzioni
polinomiali separate rispetto a nodi predefiniti, in corrispondenza dei quali si garantisce la derivabilità
36
Il modello degli splines I benefici sono:
il cambiamento degli input in un segmento non altera i segmenti contigui
i tassi che esprimono le aspettative degli operatori sono attendibili nel lungo termine e la loro curva è differenziabile
l’interpolazione non introduce oscillazioni ulteriori alla configurazione originaria
37
Il modello degli splines I problemi sono:
occorre definire in modo soggettivo il numero e la posizione dei nodi
se ci sono troppi nodi si torna alla stima dei tassi di mercato (overfitting)
se i nodi sono pochi si rischia di allontanarsi eccessivamente dai dati di mercato, commettendo un errore elevato
38
Il limite dei modelli di stima
Rimane un limite: i modelli ipotizzano che il rendimento rappresenti la relazione fra i tassi di mercato e le relative scadenze
Il prezzo dei titoli obbligazionari è caratterizzato da altri elementi (emittente, flusso cedolare, tassazione sulle componenti di capitale e di interesse)
39
Il modello matriciale Il modello matriciale permette di
interpretare la relazione fra titoli e scadenze, grazie al vettore dei rendimenti coerente con il set delle scadenze cedolari e di capitale dell’intero mercato
40
Il modello matriciale Partendo dalla matrice F degli m
flussi degli n titoli
Si deve risolvere il sistema
dove P è il vettore degli n prezzi e v è il vettore degli m fattori di sconto
F f i k,
F v P
41
Il modello matriciale Per verificare l’affidabilità di questo
modello ci si deve accertare che sia in grado di risolvere un sistema di equazioni caratterizzato da titoli zero coupon determinando il vettore v dei fattori di sconto effettivamente calcolabili mediante la formula
11( )
r
PVNt
42
Il modello matriciale Ripartiamo dall’esempio dei titoli
zero coupon
Tabella 1 - Titoli zero coupon sul mercato
Scadenza (anni) Prezzo Rendimento (%)1 91,50 9,292 84,36 8,883 77,89 8,694 68,12 10,075 57,64 11,65
43
Il modello matriciale Le matrici del modello sono le seguenti
F
100 0 0 0 00 100 0 0 00 0 100 0 00 0 0 100 00 0 0 0 100
P
91 5084 3677 8968 1257 64
,,,,,
44
Il modello matriciale Occorre quindi risolvere il sistema
lineare per ottenere i valori del vettore v dei fattori di sconto
100 0 0 0 00 100 0 0 00 0 100 0 00 0 0 100 00 0 0 0 100
91 5084 3677 8968 1257 64
vvvvv
1
2
3
4
5
,,,,,
45
Il modello matriciale Per ottenere il valore di v(1) si deve
anzitutto risolvere il determinante della matrice
91 50 0 0 0 084 36 100 0 0 077 89 0 100 0 068 12 0 0 100 057 64 0 0 0 100
91 50 100 100 100 100 9 150 000 000
,,,,,
( , ) . . .
46
Il modello matriciale Quindi occorre calcolare il
determinante della matrice F
100 0 0 0 00 100 0 0 00 0 100 0 00 0 0 100 00 0 0 0 100
100 100 100 100 100 10 000 000 000 ( ) . . .
47
Il modello matriciale A questo punto si risolve il
rapporto fra i due determinanti, ottenendo il valore della funzione di sconto in corrispondenza del primo anno
v19 150 000 000
10 000 000 0000 915
. . .. . .
,
48
Il modello matriciale Per ottenere il rendimento del titolo
senza cedola a 1 anno si risolve la formula seguente
r0 1
111
0 9151 100 9 29%, ,
,
49
Il modello matriciale In modo del tutto analogo, il valore
di v(2) si ottiene calcolando il determinante della matrice
100 91 50 0 0 00 84 36 0 0 00 77 89 100 0 00 68 12 0 100 00 57 64 0 0 100
84 36 100 100 100 100 8 436 000 000
,,,,,
( , ) . . .
50
Il modello matriciale Rapportando il determinante
riportato nel lucido precedente con quello della matrice F si ottiene
v28 436 000 000
10 000 000 0000 8436
. . .. . .
,
51
Il modello matriciale Il rendimento del titolo a due anni si
ottiene nel modo seguente
r0 2
121
0 8441 100 8 88%, ,
,
52
Il modello matriciale La bontà del modello è confermata
dalla coincidenza dei rendimenti originari
r0 3
131
0 7791 100 8 69%, ,
,
r0 4
141
0 6811 100 10 07%, ,
,
r0 5
151
0 5761 100 11 65%, ,
,
53
Il modello matriciale Si consideri un esempio concreto
Prezzi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997)
Titolo Prezzo Titolo PrezzoBOT 30.9.97 97.00 BTP 1.9.2002 119,00BOT 16.3.98 93.61 BTP 1.3.2003 117,90BTP 1.10.98 102,5 BTP 1.10.2003 106,40CTZ 15.02.99 87,29 BTP 1.4.2004 103,86BTP 1.10.99 101,08 BTP 1.8.2004 103,76BTP 15.2.2000 97,33 BTP 1.4.2005 115,13BTP 1.11.2000 109,66 BTP 1.9.2005 116,39BTP 1.3.2001 116,65 BTP 1.2.2006 110,35BTP 1.9.2001 116,51 BTP 1.11.2006 101,20BTP 1.3.2002 95,92 BTP 1.2.2007 93,95
54
Il modello matricialeFlussi dei titoli monetari e obbligazionari (BOT, CTZ e BTP quotati il 26.3.1997)
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4,5 4,5 104,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3,75 3,75 3,75 3,75103,75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 3 3 3 3 103 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25105,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06,25 6,25 6,25 6,25 6,25 6,25 6,25106,25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 6 6 6 6 6 6 6 106 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125103,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 106 0 0 0 0 0 0 0 0 05,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75105,75 0 0 0 0 0 0 0 04,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 104,5 0 0 0 0 0 0 04,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25104,25 0 0 0 0 0 04,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25 4,25105,25 0 0 0 0 05,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25105,25 0 0 0 05,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25 5,25105,25 0 0 04,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75 4,75104,75 0 03,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875 3,875103,875 03,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375 3,375103,375
55
Il modello matriciale Il determinante della prima matrice
è il seguente
97 00 0 0 093 61 100 0 0
101 20 3 875 103 87593 95 3 375 3 375 103 375
2 1206 1040
, ..., ...
... ... ... ... ..., , ... , ..., , ... , ,
,
56
Il modello matriciale Il determinante della matrice F è il
seguente
100 0 0 00 100 0 0
3 875 3 875 103 8753 375 3 375 3 375 103 375
2 1862 1040
...
...... ... ... ... ...
, , ... , ..., , ... , ,
,
57
Il modello matriciale Il fattore di sconto v(0,5) si individua
rapportando i due determinanti
mentre il rendimento è dato da
v0,5 2 12062 1862
0 97,,
,
r0 0 5
10 51
0 9701 100 6 092%; ,
,
,,
58
Il modello matriciale Il risultato completo è riprodotto di
seguitoScadenza sconto term structure scadenza sconto term structure
0,5 0,970 6,092 5,4 0,655 8,0871,0 0,936 7,025 5,9 0,630 8,0921,5 0,899 7,284 6,5 0,607 7,9532,0 0,873 7,144 7,0 0,582 8,0032,5 0,841 7,103 7,4 0,552 8,4032,9 0,813 7,403 8,0 0,531 8,2143,6 0,776 7,290 8,4 0,516 8,1453,9 0,739 8,007 8,9 0,494 8,2814,4 0,712 7,968 9,6 0,496 7,5774,9 0,701 7,462 9,9 0,474 7,869
59
Il modello matriciale La rappresentazione grafica delle
curve mostra le differenze
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
8,50
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
2,9
3,6
3,9
4,4
4,9
5,4
5,9
6,5
7,0
7,4
8,0
8,4
8,9
9,6
9,9
SCADENZA
REN
DIM
ENTI
TERMMODELLO CUBICOCUBIC SPLINES
60
Limite del modello matriciale
Dipende dall’esistenza di una matrice F non ridondante, cioè non caratterizzata da titoli che possano essere perfettamente replicati con portafogli di altri titoli anch’essi considerati nella matrice