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Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações
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Adil Ferreira Magalhães
Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações
Ouro Preto | 2014
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© 2014
Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas|Departamento de Matemática
Programa de Pós-Graduação|Mestrado Profissional em Educação Matemática
Reitor da UFOP | Prof. Dr. Marcone Jamilson Freitas Souza Vice-Reitor | Profª Drª Célia Maria Fernandes Nunes
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
Diretora | Profª Drª Raquel do Pilar Machado Vice-Diretora | Profª Drª Fernando Luiz Pereira de Oliveira
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
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MEMBROS
Profª Drª Ana Cristina Ferreira Profª Drª Célia Maria Fernandes Nunes Prof. Dr. Dale William Bean Prof. Dr. Daniel Clark Orey Prof. Dr. Dilhermando Ferreira Campos Prof. Dr. Frederico da Silva Reis Profª Drª Marger da Conceição Ventura
Viana Profª Drª Maria do Carmo Vila Prof. Dr. Milton Rosa Prof. Dr. Plínio Cavalcanti Moreira Profª Drª Regina Helena de Oliveira Lino Franchi Profª Drª TeresinhaFumi Kawasaki
Catalogação: [email protected]
Reprodução proibida Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados
M188s Magalhães, Adil Ferreira.
Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações / Adil
Ferreira Magalhães, Plínio Cavalcanti Moreira - Ouro Preto: UFOP,
2013.
48p.: il. color.; quadros.
ISBN:
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Formação de professores. 3.
Aprendizagem. 4. Inequações. I. Moreira, Plínio Cavalcanti
(Orientador). II. Título.
CDU: 512: 37.02
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“A aprendizagem da matemática ressalta fenômenos
complexos, pois é necessário ao mesmo tempo
levar em conta as exigências científicas
próprias dos conteúdos matemáticos
e o funcionamento cognitivo do
pensamento humano.”
(Raymond Duval)
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Expediente Técnico
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Organização | Adil Ferreira Magalhães
Pesquisa e Redação | Adil Ferreira Magalhães
Projeto Gráfico e Capa | Editora UFOP
Fotos | Adil Ferreira Magalhães
Ilustração | Adil Ferreira Magalhães
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Índice ________________________
Motivação: Prática docente ......................................................................................11
A literatura de pesquisa sobre o tema ......................................................................14
Público- Alvo .............................................................................................................17
A sequência de atividades.........................................................................................18
Atividade 1.................................................................................................................19
Atividade 2.................................................................................................................24
Atividade 3.................................................................................................................27
Atividade 4.................................................................................................................31
Atividade 5.................................................................................................................35
Atividade 6.................................................................................................................39
A título de conclusão.................................................................................................42
Referências...............................................................................................................44
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Apresentação
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Prezados Professores,
Apresento-lhes este material referente ao trabalho com inequações, o qual foi
construído com base em uma pesquisa bibliográfica ampla, e implementado em um
curso de Licenciatura em Matemática da região metropolitana de Belo Horizonte. A
ideia da concepção deste material didático é conectar e integrar, em um mesmo
processo, diferentes possibilidades de atuação didático-pedagógica sobre as
dificuldades na aprendizagem do tema.
Antes, no entanto, vou falar um pouco da minha trajetória pela Educação
Matemática, a fim de situar um pouco melhor o autor do trabalho, a história da
construção desse material e os objetivos pedagógicos e didáticos do próprio
trabalho. Lecionando em cursos de aperfeiçoamento profissional para professores da
educação básica (fundamental e médio), no curso de Licenciatura em Matemática de
uma instituição pública estadual ou diretamente em escolas públicas e particulares
do ensino fundamental e médio, sempre estive motivado, preocupado e atuante
diante das questões da Educação Matemática, buscando soluções para os
problemas trazidos por meus alunos e para os problemas decorrentes das reflexões
críticas que faço sobre a minha prática docente.
Entretanto, os questionamentos foram se tornando mais frequentes e me
propunham reflexões mais exigentes a cada dia de trabalho. Diante desse quadro,
ao ingressar no Mestrado Profissional em Educação Matemática, realizei uma
pesquisa teórica acerca do ensino e da aprendizagem das inequações e construí um
conjunto sequencial de atividades tendo como objetivo principal a retomada do
desenvolvimento do pensamento funcional e algébrico do licenciando. Trabalhei, em
variadas frentes, estabelecendo uma sincronia entre o uso dos conceitos
matemáticos e as técnicas de resolução de inequações, de forma a compor um
sentido para o domínio dessas técnicas a partir de aspectos semânticos e sintáticos.
Diante disso, acredito que a proposta possa trazer contribuições para o
desenvolvimento da formação inicial de futuros professores, levando-os a repensar
criticamente as formas aprendidas na escola básica, criando, talvez, oportunidades
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de construção de caminhos consistentes para o ensino do tema em sua futura
prática profissional.
Este produto educacional é parte de minha dissertação de mestrado “Estudo
das Inequações: contribuições para a formação do professor de matemática na
licenciatura”, que compartilho com vocês, refletindo acerca da condução e do
desenvolvimento das tarefas propostas, sob o ponto de vista do professor e
pesquisador que sou, além de tentar oferecer-lhes algumas sugestões de uso do
material em sala de aula, tanto da escola quanto de cursos de formação de
professores.
Inicialmente, dissertarei de maneira breve sobre minha experiência docente e
a razão que me levou à realização de todo o trabalho no mestrado. Em seguida,
exponho as concepções teóricas que permeiam esse Estudo das Inequações, as
quais foram de grande relevância na construção das atividades propostas. Detalharei
a aplicação das seis atividades desenvolvidas junto a uma turma do 2º período do
curso de Licenciatura em Matemática, na disciplina Funções.
No final, apresento algumas considerações sobre o trabalho como um todo e
algumas sugestões de leitura para os interessados em se aprofundar no estudo
didático do assunto.
Para mais detalhes sobre este trabalho, sugiro o acesso à dissertação na
página do programa de Mestrado Profissional em Educação Matemática da UFOP,
por meio do link
http://www.ppgedmat.ufop.br/index.php?option=com_content&view=article&id=60&Ite
mid=69 ou entrar em contato comigo por meio da Editora UFOP.
Desejo a todos uma leitura agradável!
Adil Ferreira Magalhães
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Motivação: prática docente ________________________
Examinando minha experiência docente, verifico que o tema _ estudo das
inequações _ sempre me deixou intrigado quanto à necessidade de um trabalho
especial visando a seu ensino, uma vez que essas dificuldades de alunos e
professores relativas a ele são perceptíveis mesmo a partir de uma observação
superficial. Estudando o assunto, constatei que as dificuldades provêm de diferentes
fontes. As abordagens usuais no trabalho com as inequações procuram, no geral,
enfatizar as técnicas de resolução, normalmente seguidas dos problemas de
“aplicação”, mas os resultados não são nada encorajadores. Assim, passei a tentar
novas abordagens em que as técnicas de resolução das inequações pudessem fazer
sentido para o aluno. Com isso, esperava que eles pudessem resolvê-las, ao mesmo
tempo em que compreendessem o significado e o alcance dessas resoluções, sendo
capazes de transferi-las, então, para situações novas.
A tentativa de levar os estudantes a entender “os porquês” das técnicas me
conduziu a novas ideias sobre a relação delas com a linguagem matemática, em
particular, com a linguagem e o pensamento algébrico. Em busca desse olhar
teórico, me deparei com o trabalho de Débora Veloso (2012), que me transportou a
uma reflexão mais profunda sobre as possibilidades de uma abordagem centrada no
desenvolvimento desse pensamento. Pude, então, compreender que o pensamento
algébrico pode se desenvolver ao longo de todo o processo de escolarização do
estudante, possibilitando melhor utilização da matemática como ferramenta na
resolução de problemas, na criação de modelos matemáticos, na compreensão de
fórmulas e interpretação de gráficos, enfim na apropriação efetiva da linguagem e
dos conceitos matemáticos fundamentais para a inserção do indivíduo na sociedade
contemporânea.
Assim, encontrei-me diante de um problema pedagógico complicado: uma
familiaridade superficial com o simbolismo pode acarretar a ilusão do aprendizado
matemático, reduzindo-o à pura memorização de regras, mas, ao mesmo tempo, não
ignorarando o papel que esse simbolismo pode ter no processo de desenvolvimento
do pensamento algébrico. No caso das inequações, esse problema pedagógico toma
uma dimensão ampliada porque o estudo é feito em estágios relativamente
avançados de aprendizagem matemática, quando os trabalhos didático-
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pedagógicos, que deveriam ter introduzido o aprendiz no processo de construção e
desenvolvimento do pensamento algébrico, já ficaram para trás, por assim dizer, em
termos do currículo escolar. Fui me convencendo, então, de que a grande dificuldade
no trabalho com as inequações refere-se a uma deficiência global no
desenvolvimento do pensamento algébrico tanto por parte do estudante da escola
como por parte do estudante da Licenciatura em Matemática, o que, em geral, tem
induzido um tratamento do assunto centrado nos procedimentos de resolução
algébrica de inequações. Incluídas nessa deficiência global referida acima, estão as
dificuldades associadas ao precário desenvolvimento do pensamento funcional,
incluindo familiaridade com a ideia de que certos valores dependem de outros,
variam de acordo com a variação de outros. O pensamento funcional, sendo parte do
pensamento algébrico, torna-se especialmente importante no estudo das inequações
porque, entre outros aspectos, a diferenciação do papel da letra como variável ou
como incógnita pode ser crucial.
Assim, desenvolvi este estudo acreditando na possibilidade de enfrentar as
dificuldades de aprendizagem do tema através de um trabalho sistemático de
retomada do desenvolvimento do pensamento funcional e algébrico, trabalhando, em
várias frentes, como mostrarei adiante.
No presente trabalho, apresento primeiramente minhas concepções acerca
do ensino do tema Inequações, derivadas de um estudo da literatura pertinente ao
tema e da minha experiência pessoal no ensino dessa temática, tanto na licenciatura
quanto no Ensino Básico. Em seguida, apresento a proposta de uma sequência de
seis atividades, contendo 20 questões relacionadas com as inequações para que
outros profissionais interessados no assunto e vivenciando dificuldades similares às
que descrevi anteriormente possa utilizar da forma que lhe parecer conveniente e de
acordo com o que as suas condições de exercício da docência permitem. Essa
sequência foi aplicada a um grupo de licenciandos em matemática e as reflexões
acerca da aplicação e dos resultados obtidos são apresentadas também neste texto.
É claro que a partir deste relato o leitor professor poderá realizar as alterações que
achar convenientes e adequadas à sua sala de aula específica. É uma sugestão que
pode contribuir para ampliar as possibilidades de ação do professor e que pode ser
usada tanto em partes inseridas entre aulas (expositivas ou não) sobre o assunto,
como também em sua totalidade, na condição de uma sequência de atividades
propostas para o trabalho em grupo ou individual. Pode ser utilizada também como
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diagnóstica das condições de aprendizagem dos alunos, antes do trabalho com o
tema ou numa experiência de avaliação, após o trabalho didático realizado pelo
docente com seus alunos. É claro que o professor é quem decide, o texto relata a
experiência e espero que ajude aquele docente que busca alternativas de ensino do
tema.
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A literatura de pesquisa sobre o tema
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Ao desenvolver a revisão de literatura, percebemos que muitas pesquisas
relacionadas ao tema tiveram a Teoria dos registros de representação semiótica de
Raymond Duval como referência. Por isso, fazemos uma pequena explanação das
ideias desse autor, a fim de facilitar a compreensão do texto e a avaliação das
potencialidades da proposta a ser apresentada.
Segundo Duval (2003), nos estudos sobre aprendizagem matemática, é
importante levar em consideração as especificidades dessa disciplina em relação às
outras disciplinas escolares e científicas, assim como o funcionamento cognitivo do
pensamento humano. Nesse sentido, o autor entende que o acesso aos objetos
matemáticos se dá fundamentalmente pelas suas representações, uma vez que eles,
em si, são construções mentais. Por exemplo, uma criança pode ver o símbolo 2,
mas não é possível ver o número que esse símbolo representa, pois o número é
uma construção da mente. O mesmo raciocínio pode ser estendido para um
quadrado. Pode-se desenhar uma coisa que leve as pessoas a pensar num
quadrado, mas o desenho é apenas uma representação, não o próprio quadrado
(entendido como um objeto matemático). Dentre outras considerações que
distinguem uma coisa da outra, podemos pensar que as linhas que formam o bordo
do quadrado desenhado têm espessura, quando, no objeto matemático, não têm.
Um aspecto importante na teoria de Duval é a distinção entre dois tipos de
transformação de representações, o tratamento e a conversão. O tratamento se
refere a transformações que se realizam dentro de um mesmo sistema de
representação de um dado objeto, por exemplo, aquelas que usualmente são
realizadas na resolução algébrica de uma inequação:
3
1
15
4x3 ≥− → 3x – 4 ≥ 15 → 3x ≥ 19 → x
3
19≥ .
Essas transformações que levam ao resultado final foram desenvolvidas
dentro de um mesmo sistema de representação, usando uma linguagem algébrica.
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Já para as conversões, necessitamos de uma mudança no sistema de registro de
representações, como, por exemplo, passar da escrita algébrica da equação de um
círculo à sua representação gráfica.
Por outro lado, Duval observa que o objeto não se identifica completamente
com nenhuma de suas representações, no sentido de que a representação nunca é
exatamente o objeto. Além disso, normalmente, uma determinada representação é
sempre parcial como “substituta” do objeto que representa, portanto é preciso não só
conhecer diferentes representações do objeto a ser apreendido como também ser
capaz de transformar uma representação em outras, tanto dentro de um mesmo
sistema de registro (tratamento), mas, principalmente, no contexto de trânsito entre
diferentes sistemas de registro (conversão). Para que não se perca a “congruência”
em relação ao objeto no decorrer dessas transformações, seria necessário
desenvolver um domínio coordenado dos registros envolvidos, especialmente no
caso das conversões. Nesse sentido, o autor afirma que “se se quer analisar as
dificuldades de aprendizagem em matemática, é preciso estudar prioritariamente a
conversão das representações e não os tratamentos” (DUVAL, 2003, p.30).
Visto isso, observamos que a literatura específica sobre o tema das
inequações, influenciou de modo relevante nosso trabalho, porque foi a partir da
leitura minuciosa dos relatos apresentados na dissertação que construímos a
perspectiva mais ampla, segundo o qual este nosso estudo veio a ser desenvolvido.
As pesquisas relacionadas ao trabalho com as inequações mostraram, basicamente,
que a tendência dominante entre estudantes é restringirem-se ao tratamento
algébrico, não distinguindo adequadamente os procedimentos gerais, utilizados na
resolução de inequações, daqueles procedimentos particulares, utilizados na
resolução de certas equações específicas como as de primeiro grau, por exemplo. A
ênfase é posta, de modo geral, na memorização de regras operacionais, as quais
acabam sendo incorretamente generalizadas, visto que, na maioria das vezes, não
são indiscriminadamente aplicáveis, sendo necessário proceder a algum tipo de
análise para verificar se se adaptam ao caso em questão, o que normalmente não é
feito.
Após essa constatação, colocamo nos a seguinte pergunta: será que uma
abordagem mais ampla, trabalhando globalmente o conjunto das possíveis fontes de
dificuldades de aprendizagem indicadas pela literatura e pela nossa experiência de
sala de aula no trabalho com as inequações, uma abordagem em que se tenta cobrir
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(pelo menos parcialmente e no tempo permitido pelas condições de desenvolvimento
do tema dentro de uma disciplina) as deficiências de desenvolvimento do
pensamento algébrico e funcional dos estudantes da licenciatura, poderia levar a
resultados mais substanciais e mais fortemente evidenciados na aprendizagem do
tema?
Nessa perspectiva, mostraremos adiante o desenvolvimento das atividades
que aplicamos no 2º período de um curso de Licenciatura em Matemática, em uma
disciplina denominada Funções, destacando o impacto do trabalho com essa
sequência de atividades na aprendizagem dos alunos.
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Público- alvo ________________________
A proposta foi desenvolvida com uma turma de 34 alunos do 2º período do
curso de Licenciatura em Matemática, em uma disciplina denominada Funções, de
um instituto superior de educação da rede pública da região metropolitana de Belo
Horizonte, na qual o pesquisador é professor efetivo. Desses 34 alunos, 29
aceitaram participar da pesquisa, embora um desses não tenha efetivamente
participado de nenhuma aula no período em que as atividades foram aplicadas.
Verificamos pela lista de presença dos encontros que 11 estudantes faltaram a
vários encontros, portanto, 12 alunos foram desconsiderados para a coleta de dados;
nesse caso, ficamos com dados referentes a 17 deles.
As atividades foram desenvolvidas no horário regular das aulas e
realizadas em dois momentos: durante os primeiros 40 minutos da aula, os alunos
realizaram as tarefas propostas individualmente. No decorrer dos outros 60 minutos,
eram formados grupos de trabalho visando à socialização dos resultados, confronto
de ideias, discussões e troca de experiências.
Obtivemos a autorização dos alunos para a realização do trabalho e a
identificação de cada estudante, de forma a preservar sua privacidade, foi
substituída por códigos – E1, E2, E3,..., E17.
Segue, então, o desenvolvimento da sequência de atividades.
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A sequência de atividades ________________________
A sequência de atividades – envolvendo inequações – foi desenhada com os
seguintes objetivos:
1. Desenvolver a capacidade de interpretação e uso dos símbolos
matemáticos em vários sistemas de representação, no contexto de leitura de textos
em linguagem natural, algébrica padrão e gráfica, incluindo o trânsito entre elas
(coordenação de registros e conversões com atenção à congruência);
2. Reconhecer e expressar regularidades em determinados contextos
matemáticos (desenvolvimento do pensamento algébrico), particularmente aqueles
associados a situações envolvendo desigualdades numéricas e resolução de
inequações;
3. Construir e interpretar tabelas e gráficos, relacionando-os com as
resoluções de equações e inequações (pensamento funcional, tratamentos e
conversões);
4. Desenvolver a capacidade de analisar situações-problema e
apresentar respostas a questões a elas relacionadas, especialmente no que
concerne à resolução de inequações (resolução de problemas).
Para aplicação da sequência, realizamos inicialmente uma conversa com os
estudantes para explicar-lhes a metodologia de trabalho que iria conduzir o
desenvolvimento das seis atividades. Em cada encontro, folhas com as questões da
tarefa correspondente àquele dia seriam entregues a cada aluno. Ao final desse
primeiro momento, cópias impressas das questões da atividade seriam entregues a
cada grupo. Finalizado o segundo momento, seriam recolhidas as respostas
individuais e dos grupos (uma resposta para cada grupo), as quais seriam anexadas
ao relatório de grupo, postados também comentários das dificuldades encontradas
para realização das tarefas, as estratégias utilizadas, aspectos considerados
importantes das discussões que haviam ocorrido no interior do grupo.
Na próxima seção, descreveremos com detalhes as atividades realizadas.
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Atividade 1 ________________________
A Atividade 1, assim como as outras, foi aplicada seguindo a metodologia
descrita na seção anterior e propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: Conversão da linguagem simbólica para linguagem natural e vice-
versa. Leitura de uma expressão algébrica e/ou “tradução” para a linguagem natural,
de modo a facilitar a construção de sentido para os textos algébricos.
FIGURA 1 – Questão 1/Atividade 1 (Q11)
2ª questão: Cálculo ou estimativa do valor numérico de uma expressão
algébrica.
Trabalhar com igualdades e desigualdades no contexto de letras como
variáveis.
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FIGURA 2 – Questão 2/Atividade 1 (Q12)
Ressaltamos que, na segunda questão, os estudantes apresentaram
dificuldades acentuadas nos itens a, b e c, demonstrando equívocos em relação às
estimativas dos cálculos de valor numérico que envolviam desigualdades no
contexto de letras como variáveis, o que não ocorreu quando se tratava do contexto
de letras como incógnitas. As setas da Figura indicam os itens referidos neste
comentário. Sugerimos, nesse caso, que haja intervenção do professor na discussão
dos itens assinalados, para que os estudantes obtenham um desempenho
considerável nessas estimativas, principalmente pelo fato de que nesses itens são
exigidos conceitos importantes para a compreensão de letras como variáveis, dentro
de certo domínio.
3ª questão: Propriedades básicas da ordem nos reais.
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FIGURA 3 – Questão 3/Atividade 1 (Q13)
4ª questão: Relações de ordem, envolvendo igualdades e desigualdades com
potências, números racionais e irracionais.
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FIGURA 4 – Questão 4/Atividade 1(Q14)
5ª questão: Inequações simultâneas, dadas as possíveis soluções. O objetivo
era fixar a ideia do significado da solução: essencialmente, um número é solução e
satisfaz a desigualdade proposta.
FIGURA 5 – Questão 5/Atividade 1(Q15)
6ª questão: Reconhecer que, ao multiplicar os dois membros de uma
desigualdade por número negativo, inverte-se o sentido da desigualdade, num caso
que envolve mais de um “passo”.
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FIGURA 6 – Questão 6/Atividade 1(Q16)
Essa atividade foi utilizada com o objetivo de retomar conceitos básicos para
o desenvolvimento do pensamento algébrico e das propriedades que envolvem
igualdades e desigualdades, além da resolução de inequações de primeiro grau.
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Atividade 2
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Ao iniciamos a aplicação da Atividade 2 os estudantes mostraram-se
comprometidos e desenvolveram os trabalhos normalmente, pois vivenciaram a
metodologia na atividade anterior. Essa atividade propôs as seguintes tarefas:
FIGURA 7 – Questão 1/Atividade 2 (Q21)
1ª questão: Verificação de soluções de inequações, mas dados números e
intervalos. A ideia também era fixar o sentido da solução como números que
satisfazem a inequação, mas com um nível de dificuldade maior, no sentido de testar
todo um intervalo.
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2ª questão: Resolução de problema escrito na linguagem natural, envolvendo
desigualdades, objetivando a tradução para a linguagem simbólica.
FIGURA 8 – Questão 2/Atividade 2 (Q22)
3ª questão: Resolução de questões envolvendo o preenchimento de uma
tabela, estabelecimento da lei da função apresentada por um problema em língua
natural, resolução de equações e inequações de 2º grau. Esperava-se do estudante
dois tipos de resolução: a percepção da regularidade dos valores da tabela ou a
resolução algébrica das equações e inequações.
FIGURA 9 – Questão 3/Atividade 2 (Q23)
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4ª questão: Resolução de inequações a partir de uma situação problema.
Nesse caso, o estudante poderia recorrer à construção de uma tabela, resolver
algebricamente ou simplesmente chegar ao resultado pela análise da natureza
quantitativa da fórmula dada.
FIGURA 10 – Questão 4/Atividade 2 (Q24)
Ressaltamos que a 1ª e a 2ª questão dessa atividade têm o mesmo objetivo
das questões da atividade 1, retomada de conceitos básicos, tanto para o
desenvolvimento do pensamento algébrico quanto para o desenvolvimento de
propriedades importantes na resolução de inequações, além de introduzir uma
situação-problema (questão 2), com o intuito de iniciar a tradução da linguagem
natural para a linguagem algébrica, tônica de todas as outras atividades
subsequentes.
No entanto, lembramos que as questões 3 e 4 dessa atividade foram
inseridas na análise de dados, constituindo algumas das rotas de aprendizagem
apresentadas na dissertação.
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Atividade 3 ________________________
A Atividade 3, composta de três questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: Dados fornecidos por uma figura geométrica; noções sobre área
de trapézio; resolução de equações e inequações apresentadas em linguagem
natural e conversão para linguagem algébrica. A construção de um trapézio visava à
inserção de elementos geométricos na realização das atividades.
FIGURA 11 – Questão 1/Atividade 3 (Q31)
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2ª questão: Preenchimento de tabela, reconhecimento da lei geral da função,
resolução de equações e inequações apresentadas em linguagem natural e em
linguagem algébrica, conversão entre elas.
FIGURA 12 - Questão 2/Atividade 3 (Q32)
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3ª questão: Preenchimento de tabela, resolução de inequações de 2º grau,
apresentadas em linguagem natural e em linguagem algébrica; conversão entre
linguagens, letras como incógnitas e como variáveis.
FIGURA 13 – Questão 3/Atividade 3 (Q33)
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Nessa atividade, os estudantes mostram algumas dificuldades na
resolução da terceira questã
Apresentam as conversões da linguagem natural para a algébrica, mas demonstram
desempenho decrescente nos tratamentos algébricos, como podemos observar pelo
registro do Estudante E
FIGURA 14
Sugerimos, neste caso, a intervenção do professor na retomada dos
procedimentos algébricos
Nessa atividade, os estudantes mostram algumas dificuldades na
resolução da terceira questão, cujo tema predominante são inequações de 2º grau.
Apresentam as conversões da linguagem natural para a algébrica, mas demonstram
desempenho decrescente nos tratamentos algébricos, como podemos observar pelo
registro do Estudante E3.
FIGURA 14 – Registro da Questão Q33 - Estudante E3
Sugerimos, neste caso, a intervenção do professor na retomada dos
procedimentos algébricos para resolução de inequações simultâneas de 2º grau.
Nessa atividade, os estudantes mostram algumas dificuldades na
inequações de 2º grau.
Apresentam as conversões da linguagem natural para a algébrica, mas demonstram
desempenho decrescente nos tratamentos algébricos, como podemos observar pelo
Sugerimos, neste caso, a intervenção do professor na retomada dos
resolução de inequações simultâneas de 2º grau.
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Atividade 4 ________________________
A Atividade 4, composta de duas questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: Preenchimento de tabela; resolução de inequação de 1º grau;
construção de gráfico; conversão entre linguagem gráfica, algébrica e natural; letras
como incógnitas e como variáveis.
FIGURA 15 – Questão 1/Atividade 4 (Q41)
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2ª questão: Área de um triângulo retângulo em função das medidas dos
catetos; domínio da função; resolução de equações e inequações apresentadas em
linguagem natural; gráfico da função. Nessa questão, foi inserido o elemento
geométrico, relacionando-a com a atividade anterior, mas exigindo o trabalho com
números irracionais.
FIGURA 16 – Questão 2/Atividade 4 (Q42)
Ressaltamos que os alunos obtiveram desempenho muito bom no
desenvolvimento da 1ª questão dessa atividade, mas demonstraram dificuldades na
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resolução de inequações de 2º grau, que apresentaram discriminante inteiro que não
era quadrado perfeito (2ª questão). Entretanto, os estudantes mostraram domínio na
formulação da lei da função Área e na determinação de sua condição de existência.
Outro ponto a ser destacado nessa questão é a tradução da linguagem
algébrica para a linguagem gráfica, referente ao item g da questão 2. Os estudantes,
em sua grande maioria, não apresentaram nenhum registro para esse item. E
quando o fizeram, cometeram alguns equívocos na construção do gráfico como
podemos observar no registro do Estudante E14.
FIGURA 17 – Registro da Questão Q42 – Estudante E14
Sugerimos, nesse caso, a intervenção do professor na retomada dos
procedimentos algébricos na resolução de inequações de 2º grau com
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discriminantes inteiros que não são quadrados perfeitos (enfatizando aproximações)
e da construção de gráficos dentro de um determinado campo de existência.
Entretanto, destacamos o fato de que os alunos apresentam conversões da
língua natural para a algébrica, mas não se sobressaem adequadamente quanto aos
tratamentos algébricos relativos à Função de 2º grau.
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Atividade 5 ________________________
A Atividade 5, composta de três questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: Resolução gráfica e algébrica de equações e inequações de 1º
grau; análise comparativa das soluções e elaboração de uma situação problema em
linguagem natural para as situações apresentadas em linguagem gráfica e algébrica.
FIGURA 18 – Questão 1/Atividade 5 (Q51)
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2ª questão: Resolução gráfica e algébrica de equações e inequações de 2º
grau e análise comparativa das soluções.
FIGURA 19 – Questão 2/Atividade 5 (Q52)
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3ª questão: Resolução gráfica e algébrica de equação e inequações
modulares e análise comparativa das soluções.
FIGURA 20 – Questão 2/Atividade 5 (Q53)
Ressaltamos um desempenho muito bom nas resoluções gráficas e
algébricas das equações e inequações apresentadas nas questões dessa atividade.
Entretanto, apresentaram poucos registros nas análises comparativas das soluções
e na elaboração de uma situação problema em linguagem natural, demonstrando
pouco domínio nessa conversão, como podemos observar no registro do Estudante
E3, na página seguinte. O aluno realiza a análise comparativa e não apresenta a
elaboração da situação problema solicitada no item d.
Sugerimos que o professor faça uma intervenção na realização desses itens,
já que essa conversão é fundamental para que a aprendizagem seja concretizada.
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FIGURA 21 – Registro da Questão Q51 – Estudante E3
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Atividade 6 ________________________
A Atividade 6, composta de duas questões, propôs as seguintes tarefas:
1ª questão: Resolução de equações e inequações de 2º grau apresentadas
em linguagem natural. Conversão da linguagem natural para a linguagem algébrica.
Incógnitas e variáveis em equações e inequações de 2º grau.
FIGURA 22 – Questão 1/Atividade 6 (Q61)
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2ª questão: Preenchimento de tabela; representação gráfica de função;
resolução de inequação modular e análise comparativa dos resultados. Uso da
tabela para auxiliar na resolução de inequações.
FIGURA 23 – Questão 2/Atividade 6 (Q62)
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Ressaltamos um desempenho muito bom na 2ª questão dessa atividade.
Entretanto, na análise comparativa dos resultados, os estudantes, em sua grande
maioria, não apresentaram registros. Sugerimos, nesse caso, a intervenção do
professor para a consolidação desse tipo de atividade, pois, há aqui a confirmação
do trânsito entre as diferentes linguagens, indicando avanços na aprendizagem.
Quanto à primeira questão dessa atividade, pudemos verificar pouco
domínio na resolução da equação e inequações de segundo grau, em que
discriminante é inteiro e não é quadrado perfeito. Observamos que os estudantes
iniciam a resolução e não a finalizam como podemos observar no registro do
Estudante E12. O estudante apresentou tentativas cometendo equívocos nos
tratamentos e na tradução algébrica das questões.
FIGURA 24 – Registro da Questão Q61 – Estudante
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A título de conclusão
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O estudo realizado pela aplicação de uma sequência de atividades voltada
para o desenvolvimento do pensamento algébrico, utilizando diferentes linguagens e
representações, teve como objetivo propor reflexões sobre elementos que a
literatura especializada indica como chaves para a compreensão e o uso das
técnicas e dos conceitos relevantes na solução de problemas envolvendo as
inequações.
A análise do processo desenvolvido com os estudantes evidenciou que houve
evolução dos estudantes no reconhecimento do sentido das regras e dos
procedimentos associados ao trato com as desigualdades, assim como na
construção e na interpretação de tabelas e gráficos, conseguindo relacionar,
algumas vezes, os resultados obtidos nesse sistema de representação com os
obtidos em tratamentos dentro da representação algébrica.
Diante disso, acreditamos que as reflexões propostas pelas atividades
contribuíram para o desenvolvimento da formação inicial dos alunos, levando-os a
repensar criticamente as formas aprendidas na escola básica e oferecendo
oportunidade de construção de caminhos mais consistentes de ensino na futura
prática profissional.
No entanto, pudemos identificar também algumas dificuldades apontadas em
outros estudos similares, e que não parecem ter sido ultrapassadas. Nesse sentido,
a grande dificuldade ainda a ser vencida é a forte barreira que se coloca para os
estudantes quando se pede para explicitar, no registro da língua natural, os
procedimentos e os processos dedutivos ou indutivos utilizados por eles nas
resoluções dos problemas. Esse tipo de explicitação, embora realmente difícil, é
importante à medida que desenvolve uma espécie de reflexão meta-analítica sobre
os procedimentos utilizados, permitindo perceber as limitações e as potencialidades
de generalização a outras situações, além de verificar as possíveis incongruências
entre diferentes representações mobilizadas para um mesmo objeto matemático.
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O estudo também nos indicou possibilidades de modificações importantes
nas atividades propostas e na forma com que elas foram realizadas em sala de aula.
Estamos convencidos de que um retorno aos alunos após o término de uma
atividade e antes do início da seguinte é fundamental para que se oportunize algum
tipo de síntese das aprendizagens potenciais proporcionadas pela atividade que
termina e que poderão ser utilizadas com mais propriedade e segurança na que
começa a seguir.
Nesse sentido, as atividades podem ser reorganizadas, tanto em sua
estrutura quanto na dinâmica em sala de aula, sempre de acordo com os objetivos
do decente visando à evolução de seus alunos. Além disso, enfatizamos que a
sequência de atividades propostas poderá ser aplicada de forma diagnóstica,
processual e avaliativa, já que contempla uma diversidade de aspectos importantes
para verificação da aprendizagem do tema.
Por fim, acreditamos que a fundamentação teórica sempre vem enriquecer a
nossa prática docente. Nessa perspectiva, àqueles que acharam relevante nossa
proposta e desejem aprofundar um pouco mais no estudo sobre ensino e
aprendizagem das inequações, recomendamos as leituras dos estudos citadas em
nossas referências.
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Referências
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2007.
DUVAL, R. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da
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em matemática: registros de representação semiótica. Campinas: Papirus, 2003.
FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Contribuições para um repensar... a
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Este trabalho foi composto na fonte Myriad Pro e Ottawa. Impresso na Coordenadoria de Imprensa e Editora | CIED
da Universidade Federal de Ouro Preto
