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Uma introdução às Noções de Imersão, Submersão e Lema de Morse

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Trabalho de conclusão do curso de Especialização em Matemática. Trata sobre os principais tópicos de análise no R^n

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOISINSTITUTO DE MATEMTICA E ESTATSTICAUma Introduo s Noes de Imerso,Submerso e Lema de Morse.ROSANE GOMES PEREIRAOrientador: Prof.Dr. Maurlio Mrcio MeloEspecializao em MatemticaGoinia2010ROSANE GOMES PEREIRAUma Introduo s Noes de Imerso,Submerso e Lema de Morse.MonograaapresentadaaoProgramadePsGraduaodoInstitutodeMatemticaeEstatsticadaUniversidadeFederal de Gois, como requisito parcial para obteno doCerticado de Especializao em Matemtica.rea de concentrao: Anlise.Orientador: Prof. Dr. Maurlio Mrcio MeloGoinia2010Aos meus pais pela perseverana e pacincia, ao meu irmo pelas crticas e aminha irm pela ajuda sempre contnua.AgradecimentosEm primeiro lugar, gostaria de agradecer a Jeov Deus por ter me dado foraspara continuar esse trabalho. Em segundo lugar, gostaria de agradecer aos meus pais, quesempre conaram em mim e aos meus irmos, que sempre me incentivaram. No poderiaesquecer, neste momento, de fazer um agradecimento especial ao Professor Maurlio quesempre soube dizer as palavras certas nas horas mais necessrias. Gostaria de agradecertambm aos professores Maurcio Donizetti e Jos Hilrio da Cruz, os quais participaramda banca e contriburam de forma signicativa na concluso do trabalho.Indubitavelmente, devoto os mais sinceros agradecimentos aos meus colegas deespecializao, pessoas formidveis a quem tive o privilgio de conhecer e conviver, epelas quais tenho uma grande admirao.Na medida em que as leis da matemtica se referem realidade, elas noso certas; e na medida em que so certas elas no se referem realidade.EinsteinResumoO presente trabalho tem como objetivo apresentar uma breve introduo s noes deImerso, Submerso e o Lema de Morse. Este, um resultado fundamental pois, atravsdelequepodemosanalisar anaturezadeumpontocrticonodegenerado. Quandofalamos em natureza de um ponto crtico signica que estamos interessados em descobrirquando este ponto um ponto de sela, quando um ponto de mximo ou quando pontode mnimo. No entanto, a recproca do Lema de Morse no verdadeira. Por m, em cadauma das noes apresentadas h a preocupao de trabalhar exemplos e resultados quesejam interessantes e que facilitem nosso estudo.PalavraschaveImerso, Submerso, pontos crticos no degenerados, Lema de Morse.Sumrio1 Noes Topolgicas do Espao Euclidiano 91.1 O espao vetorial Rn91.2 Produto Interno e Norma 101.3 Norma p 161.4 Normas Equivalentes 181.5 Produto Vetorial 201.6 A Norma de uma Transformao Linear 232 Aplicaes Diferenciveis 262.1 Diferenciabilidade 262.2 Derivadas Parciais 292.3 Derivada Direcional 322.4 Frmula de Taylor 332.5 Hessiana 352.6 Funes Inversa e Implcita 373 Imerses e Submerses 413.1 Imerso 413.2 Submerso 463.3 Lema de Morse 48Referncias Bibliogrcas 59IntroduoDurante a primeira metade do sculo passado a Matemtica se desenvolveu deforma impressionante, novas disciplinas foram difundidas, enquanto o conhecimento dereas clssicas tornou-se mais profundo.O estudo do espao Rnfaz parte deste desenvolvimento da matemtica e o temacentral do nosso trabalho. Antes de iniciarmos faremos algumas consideraes acerca daorganizao deste e dos pr-requisitos necessrios a sua leitura.Noprimeirocaptulo, caracterizamosoespaovetorial Rnesuatopologia.Topologia a parte da matemtica que se ocupa das propriedades locais de um espao,bem como das funes contnuas de um espao topolgico em outro. Espaos topolgicosso conjuntos onde possvel falar em "proximidade "de pontos. Apesar de parecer diretoassumiremos aqui, que Rn um espao vetorial e que as noes de conjuntos abertos,fechados e compactos j so, previamente conhecidas. Um pr-requisito para a leitura uma breve reviso em lgebra Linear, a qual [3] pode auxiliar. Nesta referncia bibli-ogrca tambm podemos encontrar a denio de espao vetorial. A diferenciabilidadee a continuidade so conceitos associados a uma norma, esta trabalhada de forma longae proveitosa. Longa pois ocupa um espao considervel na primeira parte do trabalho eproveitosa, pois nos auxilia, frequentemente, nas demais partes.No segundo captulo, analisamos as aplicaes diferenciveis no espao vetorialRn. Aqui, utilizamos conceitos de lgebra Linear para denirmos a matriz jacobiana.No Teorema de Schwarz que aparece na seo 2.2 no fazemos sua demonstrao a qualpode ser encontrada em [4] mas utilizamos um contra-exemplo para estudar suas impli-caes. Alis, exemplos e contra-exemplos aparecem frequentemente neste captulo paraque possamos atestar a veracidade de muitas armaes. Neste momento, gostaramos defazer algumas ressalvas. Quando dizemos que uma aplicao continuamente diferenci-vel signica que todas as suas derivadas parciais existem e so contnuas. Por outro lado,quando dizemos que uma aplicao de ordem Cksignica que todas as suas derivadasparciais at a ordem k existem e so contnuas. Sendo que o primeiro conceito maisamplo que o segundo. Muitas das proposies apresentadas neste captulo aparecem em[7] o qual foi necessrio para a organizao do trabalho.No terceiro captulo, na parte referente a imerses analisamos bons exemplos e8boas conjecturas que podem, tambm, ser conferidas em [8].Encerramos este trabalhocom oLema de Morseo qualpara o entendimentode sua demonstrao so necessrios vrios conceitos de lgebra Linear que podem serencontrados em [3]. Outro pr-requisito para o entendimento do Lema o conceito dematriz Hessiana e de pontos no degenerados. O prosseguimento desses estudos faz parteda Teoria das Singularidades a qual esperamos que faa parte de um futuro trabalho. Porenquanto, camos com algumas consequncias bem interessantes do Lema de Morse.CAPTULO 1Noes Topolgicas do Espao EuclidianoAnoodeespaovetorialumdosconceitosmaisbsicosdamatemtica.Quando introduzimos uma estrutura linear num conjunto estamos interessados, principal-mente, em denir aplicaes lineares no espao. necessrio tambm, introduzir umaestrutura topolgica para que possamos estudar outros conceitos, tais como: continuidadee diferenciabilidade.Neste captulo apresentaremos aspectos gerais da Topologia do Espao Euclidi-ano. Esta noo ser necessria no restante do trabalho. As denies de produto internoe norma so feitas no espao vetorial Rnsobre o corpo de escalares R. Usaremos x, y, zou u, v, w para denotar vetores em Rn.1.1 O espao vetorial RnSejam x = (x1, x2,, xn)e y = (y1, y2,, yn)em Rn, dene-seasomaeoproduto por escalar da seguinte forma:(S) x+y = (x1 +y1, x2 +y2,, xn +yn)(P) x = (x1, x2,, xn); R; xi, yi R, i = 1,, nComestasoperaesoespao Rnumespaovetorialsobre R.OconjuntoB =e1, e2,, en onde ei = (0,, 0, 1, 0,, 0), com 1 na i-sima coordenada, umabase de Rn; chamada de base cannica.Denotemos por LR(Rm; Rn), o conjunto das transformaes lineares de RmemRn. Armamos que existe uma bijeo linear de LR(Rm; Rn) em Mnxm(R), o conjuntodas matrizes de ordem n x m com entradas reais. Com efeito, sejam T LR(Rm; Rn) eB = e1, e2,, en, B/ =_e/1, e/2,, e/m_ bases sobre R em Rne Rm, respectivamente.Se z Rmentoz = z1 e/1 +z2 e/2 + +zm e/m. (1-1)1.2 Produto Interno e Norma 10Ou seja, [z]B/ =__z1z2...zm__.Aplicando Tem (1-1), temos Tz = z1 Te/1 +z2 Te/2 + +zm Te/m =mj=1zjTe/j.Entretanto, Te/j =ni=1ai jei, ai j R. Logo,Tz =ni=1mj=1_ai jzj_ei [Tz]B =__ai j___z1z2...zm__=__ai j_[z]B/ .Fazendo [T]BB/ =_ai j_, i =1,, n e j =1,, m, temos que: [Tz]B = [T]BB/ [z]B/ ,onde [T]BB/ a matriz da transformao linear Te [T]BB/ Mnxm(R). Assim, toda trans-formao linear em LR(Rm; Rn) determina uma matriz de ordem n x m em Mnxm(R).A recproca, tambm, verdadeira; ou seja, toda matriz A em Mnxm(R) determina umatransformao em LR(Rm; Rn), realmente Tz = Az.1.2 Produto Interno e NormaComo foi dito no incio do captulo estamos interessados em estudar a noo decontinuidade no espao vetorial Rn, para isso preciso introduzir o conceito de norma.No entanto, uma maneira de introduzir uma norma em um espao vetorial consiste emdenir neste espao um produto interno, e isso que faremos nesta seo.Denio 1.1Uma aplicao : RnRn F(u, v) < u, v >satisfazendo, para u, v, w Rne F, as condies:1) < u + v, w >=< u, w > + < v, w >2) < u, v > = < u, v >3) < u, v >= < v, u >4) < u, u >> 0, u ,= 0, u Rne < u, u >= 0 u = 0. chamada um produto interno em Rn.1.2 Produto Interno e Norma 11NadenioFumcorpodeescalaresqualquer, nocasoemqueF= Roprodutointernousual oucannicodenidopor < x, y> = x1y1 + + xnyn.Observemos que este produto comutativo, isto < x, y >=< y, x >.Denimos em Rna seguinte aplicao:[[ : RnRu [ u [onde [ u [=< u, u >12. Observemos que [[ goza das seguintes propriedades:1) [ u+v [[ u [ +[ v [;2) [ u [ = [[ [ u [;3)u ,= 0 [ u [> 0[ u [= 0 u = 0onde u , v Rne R.Denio 1.2Uma aplicao [[ : RnR, satisfazendo as condies 1), 2) e 3) umanorma.No caso em que o produto interno o usual, a aplicao [ x [ = < x, x > deneuma norma, esta conhecida como norma euclidiana. Para vericar isto, demonstraremosa desigualdade de Cauchy-Schwarz. Antes, um exemplo necessrio.Dados x, y, Rndizemos que x e y so ortogonais quando < x, y > = 0.Exemplo 1.3Sejam x,y Rn, y ,= 0 e =< x, y >[ y [2

O vetor z = xy ortogonal a y, realmente< z, y >=< xy, y >=< x, y > < y, y >=< x, y >< x, y >[ y [2 [ y [2= 0A gura 1.1 ilustra esta situao.1.2 Produto Interno e Norma 12Figura 1.1: OrtogonalidadeTeorema 1.4 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Paraquaisquer x, y Rn, tem-se[< x, y >[[ x [[ y [. Vale a igualdade se, e somente se, y = kx; k RDemonstrao. No caso em que y = 0, a igualdade imediata.Quando y ,= 0,tomemos =< x, y >[ y [2ecomovistonoexemplo1.3,se z= x y,ento < z, y >= 0.Segue ento que[ x [2=< x, x>=< z + y, z + y>=[ z [2+2[ y [2 2[ y [2=[< x, y >[2[ y [2[< x, y >[ [ x [[ y [Note que a igualdade acontece quando z = 0, ou seja, quando x = y; R Apropriedade1)dadenio1.2decorre, imediatamente, dadesigualdadede Cauchy-Schwarz. Com efeito,[ x +y [2=< x +y, x +y >=< x, x > +2 < x, y > + < y, y >[ x [2+2[< x, y >[

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