Ober die Reduktion der positiven ternaren quadratischen Formen Yon HEINRICR BRANDT in Halle (Saale)

(Eingegsngen am 7.11. 1952)

1. Die Reduktion der reellen positiven binaren quadratkchen Fornien be- deutet beknnntlich, daB man in das durch die Form bestimmte Punktgitter Gitterstiibe einbaut derart, dal3 man einem rechtwinkligen Gitter mogliehst nnhe kommt. Dabei ist nach Festlegen des Drehsinns angenommen, daB die \-on einem Punkt ausgehende erste Achse keine grol3ere Gitterdistanz hat als die zweite, und xenn den Bedingungen gleichzeitig mit einem spitzen und einem sturripfen Winkel entsprochen werden kann, so bevorzugt man den spitzen.

2. So erhiilt man eine eindeutig bestimmte reduzierte Form (a, 6, c) , wlihrend sich bei Festhalten des Anfangspunktes 0 fur die Auswahl des Fundamental. parallelogranims im allgemeinen zwei, beim quadratischen Fall vier und beim hexagonalen sechs Mijglichkeiten ergeben. Diese Anzahlen 6 = 2 , 4 , 6 ent- spreehen den eigentlichen Automorphismen, d. h. den ganzrationalen linearen Transformationen mit der Determinante +1, welche die Form ungeandert Inssen. Man erhiilt 8 als Produkt der folgenden Kennznhlen :

I n allen Fallen. . . . . . . . . . . . . . 2; a = c , 6 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 2 ; a = b = c . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .

3. So naheliegend und einfach such die 'Ubertragung dieser rberlegungen auf den Raum ist, so scheint es doch bisher nicht bemerkt worden zu sein, dal3 dies Ubertragungsprinzip allein bereits in allen Fallen ausreicht, um Eindeutig- keit bei den reduzierten reellen positiven ternaren quadratischen Formen zu erzielen, Eine zunachst beliebige reelle positive terniire quadratisthe Form

f = six: + + a34 + a232253 + a135123 + aiaxixa wird, wenn es nuf die Werte der Variablen x,, x2, x3 nicht ankommt, durch das Schema

bezeichnet; hier werden a,, a,, a, die obepen, a D , a13, a,* die unteren Koeffizienten genannt .

4. Einer solchen Form entspricht, wie schon GAUSS~) gelehrt hat, ein \-on dreiVektoren a,, u2, a3 aufgespanntes, aus allen Punkten g = T, a, + x 2 (1, + 2, 0,

(am ala aia ad 1

l) C. F. Gauss, Werke 2, Gottingen 1876, 188-196, 305-307; Werke 8, G6ttingen 1900, 348-350.

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niit ganzrationalen z,, x g , X , bestehendes Punktgitter, und es gelten fiir die sknlaren Produkte aus den drei J'ektoren die Glcichungen

2a2a, = u23, 2a,a3 = u13, 2a,a2 = uI2.

Brandt, Reduktion der positiven ternilren quadratischen Formen

0; = u,, a: = ua, a; = a,,

Unigekehrt a i rd jedem Tripel &us drei nicht in einer Ebene liegenden Tiektoren a , , a 2 , a, veriiiijge diescr Beziehungen eine positive ternare quadratische Forni ziigeord net.

6. 1st ein dreidirnensionales Punktgitter gegeben, so kann es auf unendlich vide Weisen durcli solclie Vektortripel a,, a,, a3 erzeugt \r.erden. Beschriinkt m i n sich, was erlaubt ist, auf Tripel, welclie denselben als positiv festgesetzten Sclimubensinn bestimmen, so werden alle diese Vektortripel aus einem yon ilinen d&h ganzrationale lineare Transformationen mit der Determinante + 1 erhalten. Es handelt sich nun darum, eine miigliclist einfache Erzeugung des Gitters zu finden; darin besteht das Problem der Reduktion. Das wird erreiclit durch die Porderung, a,, a,, as so auszuwlihlen, daI3 m8.n einein rechtwinkligen Gitter moglichst nahe kommt, Diese Forderung ist nun niiher zu prazisieren.

6. Jedenfnlls mussen die Betriige von a,, n2, a, oder nuch ihre Quadrate, (lie Koeffizienten a,, u s , u 3 , der Minimnlbedingung genugen. Das lieifit: Von allen Vektoren, die ma.n Tion einem Gitterpunkt 0 nach. einem anderen Gitter- piinkt ziehen kann, hat a, die kleinste Lange; weiter hat von allen von a, linea,r unabhilngigen Vektoren, die man von 0 nach einem anderen Gitterpunkt zielien k a n n , a, die kleinste Liinge; und endlich hat von allen von 0, und fig linear iinabhangigen Tiektoren, die man von 0 nach eineni anderen Citterpunkt ziehen kann, a3 die kleinste Lange. Fur die Form f bedeutet das: Sie wird in ihrer Klasse2) so gew&Edt, daS a,, a2, u3 der Reihe nach miiglichst kleine Werte l~cliommen; al iiberhaupt., cia bei Festlialten von a,, und u3 bei Festlinlten von cil und a,.

7. Derartige Formen sollen hulbreduziert 11eiBen. Dieser Porderung genugen die ganzrationalen Formen in den Tabellen von SEEBEBI) und EISENSTEIN 4)

r i n d auch die nach den Reduktionsbedingungen von DIRICHLET~) beutimmten, nicht aber alle nacli der Methode von SELLINC)~) reduzierten Formen in den !I'nbellen yon BORISOV~), wie neben vielen anderen das daraus entnommene

2) IVir vemenden hier das urspriinglich nur fur Formen mit ganzrationalen Koeffizientcn gepragte I ror t ,,KIasse" auch fur Formen mit beliebigen reellen Koeffizienten.

3) 1,. A. SEEBER, Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren qua- dratischen Formen. Math. Abhandl. 1, Freiburg 1831.

4 ) G . EISENSTEIN, Tabelle der reduzierten positiven ternaren quadratischen Formen iiebst den Resultaten neuer Forschungen uber diese Formen in besonderer Riicksicht auf ihre tabellnrische Berechnung. Berlin 1851 = J. reine angew. Math. 41, 141- 189 (18151).

6 ) G . LEJEUNE DIRICHLET, tfber die Reduktion der positiven quadratischen Formen Init drei tinbestininiten gnnzcn Zahlen. Bcr. Verh. PreuB. Akad. Wss., Berlin 1848, 282-288 = Rerke 2, Berliri 1897, 21-26; J. reine angew. Math. 40, 209-227 (1850) = M'erke 1, Berlin 1897, 27-48.

6 ) E. SELLING, Ober die binhren uncl ternilren quaclratischen Formen. J. reine angav.

7) E. RORISOV, uber die Reduktion positiver terniirer qundratischer Formen nacli Sellings Methode mit einem Anhang der Tabellen reduzierter Forrnen fur alle Determinanten von 1 bis 200. St. Petersburg 1890 [Russisch].

Math. 71, 143-229 (1874).

Brandt, H.eduktion der positiven ternliren yuadrstischen Formen 251

Beispiel der Form ( --2 -4 ‘ -2 ’) zeigt, zu der es die aquivalente Form

gibt. Aus der Minimalbedingung folgt fur das aus den Vektoren a,, a,, a3 auf- gespannte l’urallelepiped : Die Diagonalen der Seitenflachen sind nicht kleiner als ihre Kanten, und die Korperdiagonale ist nicht kleiner a19 irgendeine Kante.

at ist fur i < j . Das folgt auch rechnerisch aus der Minimalbedingung. Ware namlicli 1 aijl > ai , also aii 2 0, und ist. qi dns Vorzeichen von uii, so konnte man die h e a r e Transformation xi 3 xi - c i j X j , xi -+ Xi, xk -+ xk ausfuhren, wobei k den dritten, yon i und j verschiedenen Index bezeichnet. Dann geht uj in ai - Eiiaii + ui = ai - 1 aii I + ai, also in einen kleineren Wert uber. Aus der Bedingung fur die Korperdiagonale folgt, wenn a23 a13 a12 g 0, die Ungleichung J U ~ ~ I + la131 + (a l2( 5 a, + a,, welche auch aus der Minimalbedingung rech- nerisch hergeleitet werden kann. Sie ist niimlich wegen der obigen Bedingungen vonselbst erfullt, wennein unterer Koeffizient verschwindet ;ist aber a23a13a12 < 0, so lint man fur die vorhin definierten Vorzeichen eij

8. Die Bedingungen fur die Seitendiagonalen besagen, daB la i j [

f(8231 ? 1 3 9 FIZ) = a, $. az $. a3 - /a231 - la131 - Ia,zl 2 a32 woraus die Behauptung folgt. 1st dagegen a% a13 a,, > 0, so ksnn dieser ScliluB nicht gezogen werden, und es kann auchsehr wohl 1 a2,J + I a,,l + J aI21 > a, + ag

sein, wie das Beispiel der Form j4 9. Wenn die als notwendig erkannten Bedingungen 0 < a, 2 a, 5 u 3 ,

(al2( g a l , la131 g a l , la231 ~ a 2 u n d , f a l l s a 2 3 a 1 3 ~ , ~ < 0 , a u c l i ~ a 2 3 ~ + ~ u 1 ~ ~ + lal2/ 5 a, + a, er€iillt sind, so zeigen einfache geometrische Betrachtungen, die f iir ganzrationale Formen im wesentlichen schon von Seeber3) angestellt und von Dirichlet 5, vereinfscht wurden, da13 die vorgelegte Form halbreduziert ist. Beschriinkt man sicli auf Formen mit ganzrationalen Koeffizienten, so ist die Anzahl der halbreduzierten Formen mit denselben oberen Koeffizienten a,, a2, a3 wegen der bestehenden Ungleichungen endlich. Um so mehr gilt das fiir diejenigen, welclie iiquivalent sind, also einer Formenklasse angehoren. D i e s

Anzuhlen konnen ganz verschiedene Werte hsben; die Anzahl ist 1 fur (o o ) ,

3 4 7 3) zeigt.

1 1 1

1 2 3 3 4 7 1 1 1 7 7 7 7 7 i 2 fur (2 o) , 12 fiir i4 J, I6 fiir (o J , 36 fur (z 7 ) , 72 fur (3 7)

10. Wenden wir urn nun wieder zu beliebigen reellen positiven Formen, so liandelt es sicli darum, unter den aquivalenten halbreduzierten Formen eine ganz bestimmte auszuwahlen, die dann als reduzierl bezeichnet werden soll, Das geschielit cl~idurcli, daB das R.iinimnlprinzip nuch auf die unteren Koeffi- zienten ausgedehnt w id , indem man zuniichst von den verschiedenen Moglich- keiten, sie zu bestinlinen, diejenige bevorzugt, bei der unabhangig von der Reilienfolge ihre Absolutwerte m,, m,, rn3 minimal sind. Der kleinste Absolut- wert, cler bei einem unteren Koeffizienten auftreten kann, sei m,. Unter allen Formen, bei denen ein unterer Koeffizient den Betrag m, hat, sei m, der Minimal- wert, der bei den beiden nnderen m6glich ist; endlicli sei bei allen Formen, bei denen zwei untere Koeffizienten die Betrhge m,, m, haben, m3 der Minimal- neert des clritten.

252 Rrandt, Reduktion der positiven ternaren quadratisclren Formen

11. Gibt es Formen, bei denen fur a23, a,,, a,, die Betrage m,, m2, m, in verschiedener Reihenfolge auftreten, so whhle man darunter diejenige, welche der naturlichen (bei lexikographischer Anordnung der verschiedenen Falle) am niichsten kommt. Dadurch, daB man zwei Variable mit -1 multipliziert, er- reicht man, daB die Vorzeichen der nicht verschwindenden unteren Koeffizienten positiv werden, hochstens, falls alle drei von Null verschieden sind, mit einer Ausnahme. Dann ist es erlaubt, das eine mogliche negative Vorzeichen dem Koeffizenten 423 zuzuteilen. So ist das gesteckte Ziel der eindeutigen Bestim- mung der reduzierten Form erreicht. Dabei ist die Festsetzung iiber die Vor- zeichen die einzige Willkiir, welche unseren Bedingungen anhaftet. Aber aucli sie konnte noch vermieden werden, wenn man auf Grund allgemeiner Fest- setzungen die iibliche lexikographisclie Anordnung der positiven Zahltripel m, , ma, m, in geeigneter Weise auf die mit Vorzeichen behafteten Tripel h m , , Ifm,, &m, ausdehnenwiirde, was wir aber unterlassen, weil es im ganzen doch von geringem Wert sein wiirde.

12. Bei einer reduzierten Form ist es offenbar unmoglich, durch ubergang zu einer aquivalenten Form einem unteren Koeffizienten unter Festhnlten der fiinf anderen Koeffizienten einen absolut kleineren Wert zu geben. Es ist nun sehr bemerkenswert, daB eine halbreduzierte Form, wenn jeder untere Koeffizient dieser Bedingung geniigt und noch die vorhin genannten Nebenbedingungen fur die Reihenfolge und die Vorzeichen erfullt sind, bereits reduziert ist.

Dirichlet6) kam der hier entwickelten Reduktionsmethode ziemlich nehe . Er beginnt damit, erst u12, dann a,, auf einen moglichst kleinen Wert zu bringen. lndessen ist er gendtigt, Zueatzbedingungen entsprechend den verscliiedenen Fiillen aufzustellen, von denen iibrigens nur einer wirklich durchgefuhrt ist. Auch scheint niemand Tabellen nach seinen Bedingungen berechnet zu haben, so daB man nicht weiB, wie sich seine Vorschlage bewahren.

13. Dagegen sind die hier aufgestellten Reduktionsbedingungen bei den ganzrationalen Formen der von Herrn Studienrat Dr. OSKAR JNTRAU bereclineten Tabellen zugrunde gelegt worden und haben sich als sehr vorteilhaft erw liesen. '

Diese Tabellen umfassen bis zur Diskriminante -1000 mehr als 36000 Formen, die siimtlich auf Geschlechter und Ordnungen verteilt sind. Ihre Veriiffentlichung in den Berichten uber die Verhmdlungen der Siichsischen Akadeniie der Wissenschaften zu Leipzig steht bevor. Ein grofler Vorteil dieser Reduktions- bedingungen liegt darin, daB sich die Transformationszahlen 6, d. h. die An- zahlen der eigentlichen automorphen Transformationen, sehr bequem als Produkte gewisser Kennzahlen ergeben. Nennt man eine reelle Zahl a durch eine reelle Zahl #I teilbar, wenn a = Bg, wo g ganzrational ist, 60 sind die hier gegebenen Regeln fiir die Berechnung der Kennzahlen fur beliebige reelle positive Formen giiltig.

14. 1 . a) Bei beliebigen unteren Koeffizienten teilt ein oberer Koeffizient die beiden unteren, welche nicht unter ihm stehen, d. h. ai teilt aiiund a,, . . 2 ;

b) dieselbe Bedingung besteht noch einmal . . . . . . . . . . . . 2; c) dieselbe Bedingung besteht zum drittenmal, aber ohne daB alle un-

R teren Koeffizienten Null sind . . . . , . . , . . . . . . . . . . . * 2'

Brandt, Reduktion der positiven terniiren quadratischen Formen

2. a) Bei beliebigen unteren Koeffizienten sind zaei obere gleich, ebeneo die beiden darunterstehenden unteren; dabei ist 1 a,l statt at3 zu nehnien, wenn aa3 in Betracht kommt und negativ ist . . . . . . . . . . . . . 2;

b) dieselbe Bedingung besteht noch einmal, also uberhaupt fur jedes Paar von oberen Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.

3. Bei positiven unteren Koeffizienten ist ein oberer einem nicht darun terstehenden gleich, wahrend der darunterstehende halb so groB iet wie der dritte untere (gilt auch, wenn die beiden nicht unter dem be- treffenden oberen stehenden Koeffizienten gleirh sind) . . . . . . . . . 2.

253

3 . 8 ' . . . . . . . . . 4. a) Es ist = 0 und a, = = a13 = a,, =+ a3.

b) es ist a% = 0 und a, = a, = a13 = a,, = a3 . . . . . . . . . . 2.

= I a,,/ + a13 + a1a. und es besteht eine 5 . a ) Es ist a,,< 0 und a, + oder jede der beiden Bedingungen

a, = a, oder a, = a13 + b) unter denselben Voraussetzungen ist

c) unter denselben T70raussetzungen ist

a12, a, = I a23( + al, . . . . 2;

:1 . a2 = ~ 3 , = ala, a, = + aa . . . . . . . . . . . 2 ,

u , = u , = u 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2,

6. Findet keine dieser Bedingungen statt, so ist 6 = 1.

15. Diese Regeln sowie die in Nr. 12 erwahnte Eigenschaft sollen in eiiier Dissertation behandelt werden. lch g e b aber zur Veranschaulichung der Regeln hier einige Beispiele.

Liegt die Form (,, 02 05) vor, so ist, wie leicht erkannt wird und schon Gaul3 angegeben hat, 6 = 4, 8 oder 24, je nachdem die Koeffizienten drei oder zwei verschiedene Werte oder nur einen Wert haben. Das ergeben aber auch die Regeln : 1 a und 1 b liefert 2 - 2, und weitere Beitrage entstehen nicht, wenri a,, a,, a3 alle verschieden sind. Haben aber zwei dieser Koeffizienten denselben Wert oder alle drei, so ist 2a oder auch noch 2b erfiillt, so daB die ueiteren Faktoren 2 oder 2 3 hinzukommen. Wenn nur zwei untere Koeffizienten Null gind, so ist f Sumnie einer unaren und einer binaren Form mit nichtverschwinden- dem Produktglied. Hat dieEe So eigentliche Automorphismen, so wird 6 = 26, oder 6 = do, je nachdem sie sich selbst uneigentlich iiquivalent ist oder nicht. Bei geeigneter Permutation der Variablen, die gegenuber den hier allein in Frage

kommenden ersten beiden Regeln gestattet ist, hat f die Gestalt (z i' :3) niit a, 5 a3. Stets erfullt ist 1 a ; wenn u2 = at3, auch 1 b und, wenn auljerdem noch a, = a3 , auch l c und 2a. 1st a, = a3 =+ u Z 3 , SO sind l a und 2a erfiillt. Daher ergeben sich fur 6 die Werte 6 = 2, 2 * 2, 2 * 2 * 2 und 2 - 2 in leiclit zu erkennender obereinstimmung mit der vorhin gegebenen Formulierung.

16. Es miigen noch einige Zahlenbeispiele folgen: Bei den Formen

a, a a

'1 und (-2" 2" 2") sind die Regeln l a , l b , l c , 2a, 4 b bzw. 28, 2b, 5a, 5 c erfiillt,

was beidemal S = 24 ergibt. Fur (" ') und ( -3 3) erhalt man nach 2a 4 4 4

254 Brandt, Reduktion der positiven terniiren quadratisohen Formen

und 2 b 8 = 6, weil keine andere Bedingung erfullt ist. Bei 3 8 8 6 6 6 nach l a , 2a, 3 8 = 8, bei ( -, . ) nach 2a, 5a, 5 b 6 = 6, bei

li) nach SR, 5 c 6 = 4. Fur (-: 7') ist 8 = 1, weil keine Begel einen Beitrag

liefert. Die Form - -5 ") unterliegt nicht der Regel 3, weil u23 < 0, und iiber- ( haupt keiner Regel, gibt also 6 = 1. Die Form geniigt der Regel 2,

aber nicht der Regel Sa, weil ua3 > 0, gibt also 6 = 2.

liegt den Regeln l a , 2a und 3, so da13 8 = 8.