1

PRIMJENA V-DIJAGRAMA U RJEŠAVANJU MATEMATIČKIH PROBLEMA

Marija Juričić Devčić

Učiteljski fakultet, Zagreb

UVOD

Trendovi u obrazovanju u 21. stoljeću zahtijevaju nove pristupe učenju i poučavanju. Između ostalog,

inzistira se na inovativnim metodama poučavanja koje potiču aktivno učenje i razvijaju metakognitivne

vještine učenika. U tome značajnu ulogu imaju razni oblici vizualizacije znanja (knowledge

visualization).

Vizualizacija znanja je područje je koje se ubrzano razvija na prijelazu iz 20. u 21. stoljeće (Zhang i dr.,

2010). Još u drugoj polovini 20. stoljeća razvijaju se grafički alati koji, među ostalim, imaju dobro

prihvaćenu i uspješnu primjenu i u obrazovanju. Riječ je o mentalnim mapama T. Buzana i

konceptualnim (pojmovnim) mapama J. D. Novaka koje se pojavljuju gotovo istovremeno.

Dok se o mentalnim mapama u hrvatskim školama već dosta zna, manje su poznate konceptualne mape

koje u svijetu (ali ne i kod nas) imaju zapaženu primjenu u obrazovanju. Tehniku izrade konceptualnih

mapa razvio je Joseph D. Novak i njegov tim na Sveučilištu Cornell 70-ih godina prošlog stoljeća,

oslanjajući se pri tom na teoriju asimilacije. Teorija asimilacije je kognitivna teorija koju je razvio

američki psiholog David Ausubel početkom šezdesetih godina 20. stoljeća, a koja pretpostavlja da su

nova iskustva učenja uvijek integrirana u postojeće strukture znanja. Česta je usporedba konceptualnih

mapa s mentalnim mapama. Osnovna razlika među njima je u tome što se konceptualne mape temelje

na vezama između pojmova, dok je kod mentalnih mapa karakteristična stablasta struktura i radijalna

hijerarhijama.

U posljednje vrijeme razvijeni su brojni drugi alati za vizualizaciju znanja koji imaju primjenu i u

obrazovanju. Među različitim oblicima vizualizacije znanja, V-dijagram se naročito ističe kao alat

koji poboljšava metakognitivne sposobnosti učenika.

METAKOGNICIJA I SAMOREGULIRANO UČENJE

Metakogniciju je kao koncept koji se odnosi na učenje prvi opisao američki psiholog John H. Flavell

1976. godine. Najkraće rečeno, metakognicija je 'mišljenje o mišljenju' ili 'znanje o znanju'. Danas

postoje mnoge definicije metakognicije. Prema Flavellu, metakognicija je znanje o kogniciji i kontrola

kognicije. Prema definiciji američke psihologinje Ann L. Brown iz 1987. godine, metakognicija se

odnosi na znanje i upravljanje kognitivnim sustavom pojedinca. Slično, Garner i Alexander (1989)

definiraju metakogniciju kao skup znanja i izvršnih kontrola o procesu učenja. Metakognicija se, dakle,

2

sastoji od dvije komponente, a to su znanje o kogniciji i regulacija kognicije. Regulacija kognicije

odgovara znanju o načinu na koji učenici planiraju, implementiraju metode, promatraju, ispravljaju

pogreške i procjenjuju svoje učenje. Povezanost između tih faktora upućuje da znanje i regulacija

kognicije zajednički pomažu učenicima da se prilagode učenju na njima najbolji način. Wilson (1998)

metakognitivne funkcije: svijest, evaluaciju i regulaciju prikazuje modelom na slici 1.

Slika 1. Metakognitivne funkcije (Wilson, 1998).

Obzirom na razinu svjesnosti, Perkins (1992) definira četiri kategorije metakognitivnih učenika, a to su:

prešutni, svjesni, strateški i refleksivni učenici. 'Prešutni' učenici nisu svjesni svog metakognitivnog

znanja i ne razmišljaju o bilo kakvim posebnim strategijama učenja, nego su samo sposobni prihvatiti

da nešto znaju ili ne. 'Svjesni' učenici znaju da obavljaju neke specifične vrste mišljenja kao što su

stvaranje ideja, pronalaženje dokaza i slično, ali kod njih mišljenje nije nužno namjerno ili planirano.

'Strateški' učenici organiziraju svoje mišljenje korištenjem strategija kao što su rješavanje problema,

grupiranje i klasificiranje, traženje dokaza, donošenje odluka, itd. Oni poznaju i primjenjuju strategije

koje im pomažu u učenju. 'Refleksivni' učenici ne samo da upotrebljavaju strategije u svojem mišljenju,

nego se također reflektiraju na svoje učenje dok se ono događa, te s obzirom na uspjeh ili neuspjeh

strategija koje upotrebljavaju revidiraju iste kao prikladne ili neprikladne.

Samoregulirano učenje ima korijene u teoriji socijalno-kognitivnog učenja kanadskog psihologa Alberta

Bandure. Osnova njegove teorije jest da je učenje rezultat djelovanja osobnih faktora, faktora okruženja

i faktora ponašanja. Osobni faktori uključuju učenikova uvjerenja i stavove koji utječu na učenje i

ponašanje. Faktori okruženja uključuju kvalitetu poučavanja, učiteljeve povratne informacije, pristup

informacijama i pomoć roditelja. Faktori ponašanja uključuju učinke prijašnje izvedbe i oponašanje

modela. Svaki od tih triju faktora utječe na preostala dva faktora, pa govorimo o modelu trijadne

recipročne uzročnosti koji prikazuje slika 2.

metakognicija

evaluacija

svijest

regulacija refleksija

monitoring

refleksija

3

Slika 2. Model trijadne recipročne uzročnosti A. Bandure.

Prema Schraw i dr., samoregulirano učenje sastoji se od tri glavne komponente: kognicije, metakognicije

i motivacije. Kognicija uključuje vještine potrebne za kodiranje, pamćenje i prisjećanje informacija.

Metakognicija uključuje vještine koje omogućuju učenicima razumijevanje i promatranje svojih

kognitivnih procesa. Motivacija uključuje uvjerenja i stavove koji utječu na uporabu i razvoj kognitivnih

i metakognitivnih vještina. Svaka od tih triju komponenti jest potrebna, ali nije dovoljna za

samoregulaciju. Primjerice, oni učenici koji posjeduju kognitivne vještine, a nisu motivirani da ih

upotrebljavaju, ne postižu onakve rezultate kao oni koji posjeduju vještine i motivirani su da ih

upotrebljavaju. Slično, oni koji su motivirani, a ne posjeduju potrebne kognitivne i metakognitivne

vještine, često ne uspijevaju dosegnuti visok stupanj samoregulacije. Ove tri osnovne komponente mogu

se još podijeliti na podkomponente, na način prikazan na slici 3.

Slika 3. Samoregulacija (Schraw i dr., 2006).

Faktori

ponašanja

Faktori

okruženja

Osobni

faktori

Samoregulirano učenje

Metakognicija Kognicija Motivacija

Jednostavne strategije

Rješavanje problema

Kritičko razmišljanje

Znanje o kogniciji

Regulacija kognicije

Samoučinkovitost

Epistemologija

4

RJEŠAVANJE PROBLEMA (PROBLEM SOLVING)

Rješavanje promlema ili (engl.) problem solving (PS) je postupak utvrđivanja određenog problema i

pronalaženja njegovog rješenja. Ima primjenu u raznim područjima, a kad je u pitanju matematika,

govorimo o rješavanju matematičkih problema (mathematical problem solving – MPS). Pri rješavanju

određenog problema koriste se razne strategije.

Strategije rješavanja matematičkih problema prvi je opisao mađarski matematičar George Pólya 1945.

godine u knjizi Kako ću riješiti matematički zadatak (How to solve it). Promatrajući rješavanje

matematičkih problema kroz četiri faze: (1) razumijevanje, (2) planiranje, (3) izvršavanja plana i (4)

osvrt, on je među prvima istaknuo važnost metakognitivnog znanja u matematici (Pólya, 1957).

Američki matematičar Alan H. Schoenfeld (1985) proučavao je ponašanje svojih studenata pri rješavaju

matematičkih problema. On je naučio studente da nakon izvjesnog razdoblja rješavanja matematičkih

zadataka zastanu i zapitaju se: Što sada radim?, Zašto to radim?, Kako mi to pomaže? itd. Studenti koji

su tako rješavali probleme (postavljajući si spomenuta metakognitivna pitanja) postizali su bolje

rezultate. Prema Schoenfeldu, metakognicija se sastoji se od triju važnih aspekata. To su: (1) znanje o

vlastitim misaonim procesima, (2) kontrola ili samoregulacija, i (3) vjerovanja i intuicija. Schoenfeld

također ističe da pri rješavanju problema učenici trebaju racionalno raspodijeliti raspoloživo vrijeme na

(a) razumijevanje problema, (b) planiranje, (c) donošenje odluke o tome što učiniti, i (d) izvršavanje

odluke o rješenju u zadanom vremenskom okviru. Tijekom rješavanja problema, oni bi trebali nadzirati

proces i pratiti napredak. Kad donesene odluke ne daju rješenje, treba pokušati nešto drugo ili napraviti

korekcije.

Za uspješno rješavanje problema prema Mayeru (1998) potrebne su tri osobine: vještina (kognitivne

vještine), meta-vještina (metakognitivne vještine kao sposobnost kontrole i monitoringa kognitivnih

procesa) i volja (motivacija). Međusobni odnos tih komponenti rješavanja problema prikazuje slika 4.

Slika 4. Komponente rješavanja problema (Mayer 1998).

Rješavanje

problema vještina

(skill)

meta-vještina

(meta-skill)

volja

(will)

5

V-DIJAGRAM

V-dijagram je model vizualizacije znanja koji je razvio D. Bob Gowin, profesor biologije sa Sveučilišta

Cornell. Namijenjen je boljem razumijevanju i rješavanju problema u raznim područjima znanosti, iako

ga se danas najviše upotrebljava u prirodnim znanostima i matematici. V-dijagram, poznat također i pod

nazivom V-heuristika, nastao je u kasnim 70-tim godinama 20. stoljeća. Profesor Bob Gowin je u

periodu dugom dva desetljeća pokušavao pomoći svojim studentima razumjeti prirodu znanja. Kako bi

studentima pomogao u strukturiranju svog znanja i rješavanju zadanog problema, Gowin je koristio niz

od pet pitanja koja su se odnosila na neki zadani problem:

1. Koja su fokusna pitanja?

2. Koji su ključni pojmovi?

3. Koje metode istraživanja se koriste?

4. Koje su glavne spoznajne tvrdnje?

5. Koje su vrijednosne tvrdnje?

Kako mnogi njegovi studenti i dalje nisu bili u stanju prepoznati vezu među pojmovima, fokusnim

pitanjima i objektima ili događajima koji se istražuju, Gowin je osmislio V-dijagram, čiji je zadatak bio

studentima olakšati spomenute poteškoće (Vanhear, 2006).

V-dijagrami su specifična vrsta kognitivnih mapa sa zadanom strukturom koja ima primjenu u učenju i

obrazovanju. V-dijagram je tehnika učenja zasnovana na teoriji konstruktivizma, usmjerena prema

učeniku te učenju istraživanjem i otkrivanjem, alat koji omogućava učenicima razumjeti kako su

događaji, procesi ili predmeti smisleno povezani, s ciljem da percipiraju spregu između onoga što je

poznato i ono što tek treba otkriti i razumjeti u rješavanju nekog znanstvenog problema (Gowin i

Alvarez, 2005).

V-dijagram, čije ime potječe od njegovog oblika (slovo 'V'), strukturalno i vizualno povezuje

metodološke aspekte neke aktivnosti s njenim temeljnim konceptualnim aspektima, oslanjajući se

pritom na značajnu ulogu pojmova u učenju i pamćenju. On ima dvije strane: konceptualnu (znanje) i

metodološku (procesi), koje su interakcijski povezane i ovisne, za što su odgovorna fokusna pitanja

izravno povezana s događajima i/ili objektima. Događaji i/ili objekti, koji se nalaze na dnu V-dijagrama,

su od izuzetne važnosti za formuliranje istraživačkih fokusnih pitanja, a samim tim i za daljnju

interakciju među komponentama povezanima s konceptualnom i metodološkom stranom dijagrama

(Calais, 2009).

Tijekom izrade V-dijagrama, bolje se uočavaju relevantni ključni pojmovi i/ili informacije, štoviše, ideje

se na taj način bolje organiziraju. Slika 5 prikazuje sve komponente V-dijagrama (Gowin i Alvarez,

2005).

6

Slika 5. Kostur V-dijagrama sa svim njegovim elementima (Gowin i Alvarez, 2005).

Ovaj oblik V-dijagrama doživljava svoje jednostavnije inačice i prilagodbe, obzirom na područje u

kojem se dijagram primjenjuje. Pri samoj izradi V-dijagrama, ispunjava se prvo konceptualna, a zatim

metodološka strana, i to u smjeru prikazanom na slici 6.

Slika 6. Smjer obilaska pri izradi V-dijagrama.

Korištenje V-dijagrama može se također upotpuniti izradom konceptualne mape zadanog problema. Pri

tom se izrađuju dvije konceptualne mape – jedna tijekom prolaska po konceptualnoj strani dijagrama, a

druga na kraju procesa izrade dijagrama. Cilj je uočiti razliku među mapama i otkriti što je pri rješavanju

problema naučeno (Vanhear, 2006).

FOKUSNA/ISTRAŽIVAČKA

PITANJA:

KONCEPTUALNO/TEORIJSKO

(mišljenje)

METODOLOŠKO

(radnje)

DOGAĐAJI I/ILI OBJEKTI:

VRIJEDNOSNE

TVRDNJE:

SPOZNAJNE

TVRDNJE:

TRANSFORMACIJE:

ZAPISI:

POGLED NA

SVIJET:

FILOZOFIJA:

TEORIJA:

PRINCIPI:

KONSTRUKCIJE:

POJMOVI:

FOKUSNA/ISTRAŽIVAČKA

PITANJA:

KONCEPTUALNO/TEORIJSKO METODOLOŠKO

DOGAĐAJI I/ILI OBJEKTI:

7

V-dijagram pruža dobru osnovu za evaluaciju znanja. U evaluaciji strukture znanja u V-dijagramu

služimo se Q-5 tehnikom (slika 7), postavljajući 5 pitanja o nekom obliku znanja (Što je pitanje? Koji

su ključni pojmovi? Koje metode su korištene? Koji odgovori su predstavljeni? Koja je vrijednost?).

Slika 7. Q-5 tehnika (Gowin i Alvarez, 2005).

V-dijagram može služiti i kao sredstvo ocjenjivanja znanja, pri čemu može biti vrednovan na različite

načine (Gowin i Alvarez, 2005). Okvir za izradu V-dijagrama može biti predložak u obliku nastavnog

listića i/ili predložak koji se može ispunjavati na računalu (offline i online).

PRIMJENA V-DIJAGRAMA U MATEMATICI

U suvremenoj nastavi matematike efikasno se koriste različiti oblici vizualizacije znanja, kao što su

mentalne i konceptualne mape, te V-dijagrami (Brinkmann, 2003; Afamasaga-Fuata'i, 2009, 2005,

2004). V-dijagram, koji u osnovi teži ka odgovoru na fokusno/istraživačko pitanje, naročito je pogodan

za primjenu u poučavanju i učenju matematike kao egzaktne znanosti. V-dijagram doživljava različite

inačice, ovisno o području, dobi učenika, primjeni i autoru koji ga primjenjuje. U svrhu rješavanja

matematičkih problema Karoline Afamasaga-Fuata'i predlaže pojednostavljen oblik V-dijagrama

prikazan na slici 8. Taj oblik V-dijagrama prihvaćen je i kod mnogih drugih stručnjaka koji se bave

ovim područjem obrazovanja.

Kao što je vidljivo iz slike 8, lijeva (konceptualna) strana sadrži pregled teorijskih činjenica, postupaka

i pravila koja mogu pomoći u rješavanju problema, dok desna (metodološka) strana dijagrama, čitajući

je u smjeru obilaska dijagrama - odozdo prema gore, predstavlja standardni način rješavanja zadatka u

kojem se polazi od zadanih veličina, transformacijama se rješava problem i na kraju se ispisuje odgovor

na pitanje iz zadatka. Zadatak je napisan na dnu dijagrama, dok se fokusno pitanje (na vrhu dijagrama)

odnosi na pitanje iz samog zadatka (Što se u zadatku traži?). Učenik se tijekom rješavanja problema

FOKUSNA/ISTRAŽIVAČKA

PITANJA

DOGAĐAJI/OBJEKTI

VRIJEDNOST

ODGOVORI

METODE

POJMOVI

8

može povremeno vraćati s desne strane na lijevu i obrnuto dopunjavajući dijagram novim spoznajama i

činjenicama.

Slika 8. V-dijagram koji se koristi u rješavanju matematičkih problema (Afamasaga-Fuata'i, 2005).

Komponente dijagrama mogu se mijenjati i prilagođavati prema dobi učenika. U primjeni V-dijagrama

u primarnom obrazovanju koristi se još jednostavnija inačica, koja olakšava postupak postavljanjem

niza pitanja na koja učenik treba odgovoriti (Vanhear, 2006).

Mogućnosti uporabe V-dijagrama još nisu dovoljno istražene. Za sada je nizom pokazatelja i istraživanja

(Afamasaga-Fuata'i, 2005, 2004) ustanovljeno da imaju svrhovitu primjenu u matematici, i to u:

1. rješavanju matematičkih problema;

2. uvođenju novih matematičkih pojmova;

3. evaluaciji učenikovih postignuća;

4. ocjenjivanju učenika.

Kako je V-dijagram usmjeren ka rješavanju problema ili traženju odgovora na fokusno pitanje, jasno je

da je jedna od najvažnijih njegovih primjena u prirodnim znanostima, a posebno i u matematici. Tijekom

rješavanja matematičkog problema pomoću V-dijagrama, a u cilju određivanja slijedećih stavki

dijagrama: objekti/događaji, fokusno pitanje, zapisi i pojmovi, Afamasaga-Fuata'i smatra ključnima

postavljanje pitanja kao što su: Koji se matematički pojmovi koriste u postavci problema? Što se u

zadatku traži? Koji su dani podaci? itd. Ova pitanja konzistentna su s prvim principom rješavanja

matematičkog problema koji pretpostavlja matematičar Pólya (razumijevanje problema). Ostala tri

njegova principa (donošenje plana, provođenje plana, osvrt unatrag) sadržani su također u izgradnji V-

dijagrama.

FOKUSNO PITANJE:

Što se u zadatku traži?

KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA

OBJEKTI/DOGAĐAJI

Kako je zadan problem?

SPOZNAJNE

TVRDNJE:

Što je odgovor na

fokusno pitanje?

TRANSFORMACIJE:

Kako principe, pojmove i

zapise možemo

upotrijebiti u određivanju

metode rješavanja

problema?

ZAPISI:

Koji su dani podaci?

TEORIJA:

Koje su relevantne

teorije?

PRINCIPI:

Koji su relevantni

principi koji rješavaju

zadani problem?

POJMOVI:

Koji su glavni

pojmovi? Relevantni

pojmovi?

Međudjelovanje

dviju strana

9

PRIMJERI

Promotrimo primjenu V- dijagrama u rješavanju matematičkih problema na sljedećim primjerima:

Zadatak 1: Skupini djece treba razdijeliti 72 kune tako da svako dijete dobije istu svotu. Kad bi djece

bilo 3 manje, svako dijete bi dobilo po 2 kune više. Koliko je djece u skupini?

Slika 9.

FOKUSNO PITANJE:

Koliko je djece u skupini?

KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA

OBJEKTI/DOGAĐAJI

Skupini djece treba razdijeliti 72 kune tako da svako dijete

dobije istu svotu. Kad bi djece bilo 3 manje, svako dijete bi

dobilo po 2 kune više. Koliko je djece u skupini?

SPOZNAJNE TVRDNJE:

U skupini je dvanaestero djece. Svako dijete

je dobilo 6 kuna.

TRANSFORMACIJE:

Postavimo jednadžbu:

72

𝑥+ 2 =

72

𝑥 − 3

Množenjem jednadžbe s 𝑥ሺ𝑥 − 3ሻ i

dijeljenjem s 2 dobivamo kvadratnu

jednadžbu

𝑥2 − 3𝑥 − 108 = 0,

čija su rješenja 𝑥1 = 12 i 𝑥2 = −9.

Drugo rješenje odbacujemo jer nije prirodan

broj.

Dakle, 𝑥 = 12.

ZAPISI:

Svota iznosi 72 kune. Broj djece označimo s

𝑥.

TEORIJA:

• zadaci riječima

• jednadžbe

PRINCIPI:

1. Omjer: 𝐴

𝐵= 𝐴 : 𝐵

2. Kvadratna jednadžba:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

3. Rješenja kvadratne

jednadžbe:

𝑥1,2 =−𝑏 ± ξ𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

POJMOVI:

Omjer, kvadratna jednadžba,

rješenje jednadžbe, prirodan

broj.

10

Zadatak 2: Nađi implicitnu jednadžbu pravca koji prolazi točkom ሺ3, ˗3ሻ i s koordinatnim osima zatvara

trokut površine 6.

Slika 10.

FOKUSNO PITANJE:

Kako glasi implicitna

jednadžba traženog pravca?

KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA

OBJEKTI/DOGAĐAJI

Nađi implicitnu jednadžbu pravca koji prolazi točkom

ሺ3, ˗3ሻ i s koordinatnim osima zatvara trokut površine 6.

SPOZNAJNE TVRDNJE:

Pravci koji prolaze točkom ሺ3, − 3) i s

koordinatnim osima zatvaraju trokut površine

6 kvadratnih jedinica imaju jednadžbe

𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 i 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0.

TRANSFORMACIJE:

Površina trokuta =1

2ሺosnovica×visinaሻ =

ȁ𝑚𝑛ȁ

2= 6 kvadratnih jedinica.

Slijedi: 𝑛 =12

𝑚 .

(𝑛 = −12

𝑚 odbacujemo jer je u tom slučaju

trokut prevelik!)

Prema principu 2 jednadžba pravca je

𝑥

𝑚+

𝑦

𝑛= 1.

Slijedi: 𝑥

𝑚+

𝑚𝑦

12= 1. (1)

Pravci prolaze točkom ሺ3, − 3ሻ, pa

uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti 𝑥 i 𝑦

u jednadžbu (1) dobivamo:

3

𝑚−

3𝑚

12= 1. (2)

Rješavanjem jednadžbe (2) dobivamo

𝑚1 = −6 i 𝑚2 = 2.

Uvrštavanjem vrijednosti od 𝑚 u (1)

dobivamo jednadžbe pravaca 𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0

i 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0.

ZAPISI:

Površina = 6 kvadratnih jedinica. Točka ima

koordinate ሺ3, ˗3ሻ.

TEORIJA:

• relacije i funkcije

• analitička geometrija u

ravnini

• geometrija (trokuta)

• jednadžbe

PRINCIPI:

1. Implicitni oblik jednadžbe

pravca glasi:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

2. Segmentni oblik jednadžbe

pravca glasi:

𝑥

𝑚+

𝑦

𝑛= 1,

gdje je 𝑚 odsječak na osi 𝑥

i 𝑛 odsječak na osi 𝑦.

3. Površina trokuta iznosi:

𝑃 =1

2ሺosnovica×visinaሻ.

POJMOVI:

Jednadžba, koordinatne osi,

pravac, točka, površina, trokut,

osnovica, visina, kvadratna

jedinica.

11

Zadatak 3: Duljine stranica paralelograma su 𝑎 = 25 cm i 𝑏 = 6 cm, a duljina jedne dijagonale je

𝑒 = 29 cm. Izračunaj površinu paralelograma.

Slika 11.

FOKUSNO PITANJE:

Kolika je površina

paralelograma?

KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA

OBJEKTI/DOGAĐAJI

Duljine stranica paralelograma su 𝑎 = 25 cm i 𝑏 = 6 cm,

a duljina jedne dijagonale je 𝑒 = 29 cm. Izračunaj

površinu paralelograma.

SPOZNAJNE TVRDNJE:

Površina paralelograma iznosi:

𝑃 = 120 cm2.

TRANSFORMACIJE:

Površina trokuta ABC iznosi

𝑃1 = ඥ𝑠ሺ𝑠 − 𝑎ሻሺ𝑠 − 𝑏ሻሺ𝑠 − 𝑒ሻ

gdje je

𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑒

2=

25 + 6 + 29

2= 30 cm.

Dakle,

𝑃1 = ඥ30ሺ30 − 25ሻሺ30 − 6ሻሺ30 − 29ሻ

= ξ30 ⋅ 5 ⋅ 24 ⋅ 1

= ξ6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 4

= 6 ⋅ 5 ⋅ 2 = 60 𝑐m2.

Površina paralelograma iznosi:

𝑃 = 2𝑃1 = 2 ⋅ 60 = 120 cm2. ZAPISI:

𝑎 = 25 cm, 𝑏 = 6 cm, 𝑒 = 29 cm.

TEORIJA:

• geometrija (trokuta i

četverokuta)

• površina

• korjenovanje

PRINCIPI:

1. Dijagonala dijeli

paralelogram na dva

sukladna trokuta.

2. Površina trokuta kojem su

zadane duljine stranica 𝑎, 𝑏 i 𝑐 iznosi:

𝑃 = ඥ𝑠ሺ𝑠 − 𝑎ሻሺ𝑠 − 𝑏ሻሺ𝑠 − 𝑐ሻ,

gdje je 𝑠 poluopseg trokuta

(Heronova formula).

3. Poluopseg trokuta iznosi:

𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐

2.

POJMOVI:

Četverokut, paralelogram,

dijagonala, trokut, sukladnost,

površina, poluopseg, Heronova

formula.

12

Zadatak 4: Čaša valjkastog oblika visine 10 cm i promjera baze 6 cm napunjena je tekućinom do pola

visine. Ako u tekućinu uronimo kuglu polumjera 1.5 cm, za koliko će se podići razina vode u čaši?

Slika 12.

FOKUSNO PITANJE:

Za koliko će se podići razina

vode u čaši?

KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA

OBJEKTI/DOGAĐAJI

Čaša valjkastog oblika visine 10 cm i promjera baze 6 cm

napunjena je tekućinom do pola visine. Ako u tekućinu

uronimo kuglu polumjera 1.5 cm, za koliko će se podići

razina vode u čaši?

SPOZNAJNE TVRDNJE:

Razina vode u čaši podići će se za 0.5 cm.

TRANSFORMACIJE:

Volumen tekućine je

𝑉1 = 𝑟2𝜋𝐻

2= 32𝜋 ⋅ 5 = 45𝜋 cm3,

a volumen kugle iznosi

𝑉kugle =4

3𝑅3𝜋 =

4

3⋅ ൬

3

2൰

3

𝜋 =9

2𝜋 cm3.

Uranjanjem kugle u tekućinu razina tekućine

će se podići za 𝑥 centimetara.

Zbroj volumena tekućine i volumena kugle

odgovara volumenu valjka promjera baze 6 cm

i visine 𝐻

2+ 𝑥:

𝑉1 + 𝑉kugle = 𝑟2𝜋 ⋅ ൬𝐻

2+ 𝑥൰ = 𝑟2𝜋

𝐻

2+ 𝑟2𝜋𝑥.

Odavde slijedi da je 𝑟2𝜋𝑥 = 𝑉kugle, odnosno

9𝜋𝑥 =9

2𝜋, pa je 𝑥 = 0.5 cm.

ZAPISI:

𝐻 = 10 cm, 2𝑟 = 6 cm, 𝑅 = 1.5 cm.

TEORIJA:

• geometrija prostora

• geometrija ravnine

• obla tijela

• volumen (obujam)

• jednadžbe

PRINCIPI:

1. Volumen valjka iznosi:

𝑉valjka = 𝑟2𝜋𝐻,

gdje je 𝑟 polumjer baze

valjka, a 𝐻 visina valjka.

2. Promjer kruga jednak je

𝑑 = 2𝑟,

gdje je 𝑟 polumjer kruga.

3. Volumen kugle iznosi:

𝑉kugle =4

3𝑅3𝜋,

gdje je 𝑅 polumjer kugle.

POJMOVI:

Valjak, baza, krug, promjer

kruga, polumjer kruga, visina

valjka, kugla, polumjer kugle,

volumen.

13

Slike 9, 10, 11 i 12 prikazuju po jedno od više mogućih načina rješavanja zadanih problema pomoću

V-dijagrama. Različiti učenici različito pristupaju istom problemu, pa će se i njihovi dijagrami utoliko

razlikovati. Dakle, kod izrade V-dijagrama zahtijeva se točno rješenje zadatka, ali nema 'jedinstvenog'

i 'točnog' V-dijagrama. Upravo zbog toga je implementiranje ove didaktičke metode u nastavu

matematike izazov učiteljima i učenicima. Konceptualna i metodološka strana dijagrama koje su u

međusobnoj interakciji odgovor su na vječno pitanje učenika (i učitelja) kako povezati teorijsko znanje

matematike s rješavanjem zadataka. Struktura dijagrama pomaže učenicima zapisati rješenje zadatka

korak po korak, daje pregled potrebnih elemenata zadatka i teorije potrebne za rješavanje istog, dok

učitelju omogućava uvid u učenikovo razumijevanje problema i matematičkih područja koja su

relevantna za rješavanje problema.

V-dijagram je podrška učiteljima koji konstantno nastoje dizajnirati izazovne, istraživačke zadatke kako

bi svoje učenike dodatno motivirali i potaknuli na učenje matematike, imajući u vidu stalnu potrebu i

važnost razvijanja učenikovog konceptualnog razumijevanja, kritičkog mišljenja, matematičkog načina

razmišljanja i matematičkog jezika (Afamasaga-Fuata'i, 2005).

ZAKLJUČAK

Zahtjevi za novim pristupima učenju i poučavanju postaju sve jači. V-dijagrami imaju mogućnost na

zanimljiv način vizualizirati informacije i znanje. U svijetu se sve više koriste u nastavi i učenju, a

učenici i učitelji ih dobro prihvaćaju. Osobito su pogodni za rješavanje problema u prirodnim

znanostima i matematici. Učitelji ih također koriste u nastavi matematike pri uvođenju novih

matematičkih pojmova. Širom svijeta su provedena mnoga istraživanja koja upućuju na zaključak da

uporaba ovih grafičkih alata pomaže boljem razumijevanju matematičkih sadržaja, te potiče

metakognitivne i kognitivne procese učenja. Također pozitivno djeluju i na motiviranost učenika, pa bi

ih stoga trebalo koristiti i u praćenju učenikovog napretka, pri evaluaciji učenikova usvajanja novih

pojmova i sadržaja, te u ocjenjivanju učenika.

Prema tome, ovaj oblik vizualizacije znanja pokazuje se kao vrlo efikasan alat za rješavanje

matematičkih problema, ali isto tako i za ocjenjivanje te evaluaciju matematičkog znanja.

LITERATURA

1. Afamasaga-Fuata’i, K. (2004). Concept maps & vee diagrams as tools for learning new mathematics

topics. In Cañas, A. J., Novak J. D. & González F. M. (Eds.), Concept Maps: Theory, Methodology,

Technology. Proceedings of the First International Conference on Concept Mapping, Pamplona,

Spain.

14

2. Afamasaga-Fuata’i, K. (2005). Students’ conceptual understanding and critical thinking? A case for

concept maps and vee diagrams in mathematics problem solving. In Coupland, M., Anderson, J. &

Spencer, T. (Eds.), Making Mathematics Vital. Proceedings of the Twentieth Biennial Conference

of the Australian Association of Mathematics Teachers (AAMT), (pp. 43-52). January 17 – 21,

2005. University of Technology, Sydney, Australia.

3. Afamasaga-Fuata’i, K. (2008). Concept mapping & vee diagramming a primary mathematics sub-

topic: “time”. In Cañas, A. J., Reiska, P., Åhlberg, M. & Novak, J. D. (Eds.), Concept Mapping:

Connecting Educators. Proceedings of the Third International Conference on Concept Mapping,

Tallinn, Estonia & Helsinki, Finland.

4. Afamasaga-Fuata'i, K. (Editor) (2009). Concept Mapping in Mathematics: Research into Practise.

Springer.

5. Åhlberg, M. (2004). Varieties of concept mapping. In Canas, A. J., Novak J. D. & González F. M.

(Eds.), Concept Maps: Theory, Methodology, Technology. Proceedings of the First International

Conference on Concept Mapping, Pamplona, Spain.

6. Bembenutty H., White M.C., Vélez M.R. (2015). Self-regulated Learning and Development in

Teacher Preparation Training. In: Developing Self-regulation of Learning and Teaching Skills

Among Teacher Candidates. SpringerBriefs in Education. Springer, Dordrecht

7. Brinkmann, A. (2003). Graphical Knowledge Display – Mind Mapping and Concept Mapping as

Efficient Tools in Mathematics Education. Mathematics Education Review, 16, 35-48.

8. Calais, G. J. (2009). The Vee Diagram as a Problem-Solving Strategy: Content Area

Reading/Writing Implications. National Forum Teacher Education Journal, 19(3), 1-8.

9. Gowin, D. B., Alvarez, M. C. (2005). The Art of Educating with V Diagrams. Cambridge University

Press.

10. Juričić Devčić, M., Topolovec, V., Mrkonjić, I. (2012). Kognitivni, metakognitivni i motivacijski

aspekti rješavanja problema. U: Orel, M. (ur.), EDUvision 2012, Modern Approaches to Teaching

Coming Generation, Ljubljana, 95-107.

11. Juričić Devčić, M. (2014). V-dijagrami u matematičkom obrazovanju. U: Prskalo, I. i dr. (ur.), 14.

Dani Mate Demarina - Suvremeni izazovi teorije i prakse odgoja i obrazovanja. Zagreb, Učiteljski

fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 129-138.

12. Mayer, R. E. (1998). Cognitive, metacognitive, and motivational aspects of problem solving.

Instructional Science 26: 49–63.

13. Novak, J. D., Gowin, D. B. (1984). Learning How to Learn. New York: Cambridge University

Press.

14. Novak, J. D. (1998). Learning, Creating, and Using Knowledge: Concept Maps as Facilitative

Tools in Schools and Corporations. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

15

15. Novak, J. D., Cañas, A. J. (2008). The Theory Underlying Concept Maps and How to Construct

Them. Technical Report IHMC CmapTools 2006-01 Rev 01-2008, Florida Institute for Human and

Machine Cognition.

16. Perkins, D. (1992). Smart Schools: Better Thinking and Learning for Every Child. New York: Free

Press.

17. Pólya, G. (1957). How to solve it. 2nd ed. NJ: Princeton University Press.

18. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. San Diego: Academic Press Inc.

19. Schoenfeld, A. H. (1987). What’s all the fuss about metacognition? Ch. 8 in A. H. Schoenfeld (Ed.),

Cognitive Science and Mathematics Education. Hillsdale, NJ: Erlbaum.

20. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and

sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research on Mathematics

Teaching and Learning (pp. 334-370). New York: MacMillan.

21. Schraw, G., Moshman, D. (1995). Metacognitive Theories. Educational Psychology Review 7:4, pp.

351–371. Dostupno na: http://digitalcommons.unl.edu/edpsychpapers/40

22. Schraw, G., Crippen, K. J., Hartley, K. (2006). Promoting Self-Regulation in Science Education:

Metacognition as Part of a Broader Perspective on Learning. Research in Science Education, 36,

111–139.

23. Tekeş, H., Gönen, S. (2012). Influence of V-diagrams on 10th grade Turkish students’ achievement

in the subject of mechanical waves. Science Education International, 23(3), 268-285.

24. Tergan, S. O., Keller, T. (Editors) (2005). Knowledge and Information Visualization. Springer.

25. Thiessen, R. (1993). The Vee Diagram: A Guide for Problem Solving. AIMS Newsletter, May/June

1993, 3-11.

26. Vanhear, J. (2006). Vee Heuristics, Concept Mapping and Learning Patterns in Environmental

Education: Merging Metacognitive Tools and Learning Processes to improve facilitation of

learning with primary school children. Unpublished M. Ed. Thesis: University of Malta.

27. Wilson, J. (1998). Metacognition within mathematics: A new practical multi-method approach.

MERGA 21. Dostupno na: http://www.merga.net.au/documents/RP_Wilson_1998.pdf

28. Zhang, J., Zhang, J., Zhong, D. (2010). Knowledge Visualization: An Effective Way of Improving

Learning. Second International Workshop on Education Technology and Computer Science.