toanth.net

Võ Tiến Trình 1

Đề Toán chuyên tuyển sinh trường Phổ Thông Năng khiếu – Đại Học Quốc Gia TP.HCM Năm 2011 – 2012.

Câu 1. Cho phương trình bậc hai 2 23 0x m x m , trong đó m là tham số sao cho

phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x

a) Khi 1m , chứng minh rằng ta có hệ thức 8 81 2 2 2 6x x

b) Tìm tất cả các giá trị m sao cho 1 2 5x x

c) Xét đa thức 3 2P x x ax bx . Tìm tất cả các cặp số ,a b sao cho ta có hệ

thức 1 2P x P x với mọi giá trị của tham số m.

Câu 2.

a) Cho ,a b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 21 . 1

1a bP

ab

b) Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện 1, 1, 1x y z . Chứng minh

rằng ta có bất đẳng thức 22 2 21 1 1 9x y z x y z

Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có ,AB b AC c . M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC cắt cạnh AC tại N.

a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB. Tính tỷ số MAMB

để diện

tích tam giác AMN bằng một nửa diện tích tam giác ACB. b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. Chứng minh I luôn thuộc một

đường thẳng cố định. c) Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC. Chứng minh rằng độ dài IJ

không đổi.

Câu 4. Cho , ,a b c là các số nguyên sao cho 2 ,2 ,2a b b c c a đều là các số chính phương *

a) Biết rằng có ít nhất một trong ba số chính phương nói trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng tích a b b c c a chia hết cho 27.

toanth.net

Võ Tiến Trình 2

b) Tồn tại hay không các số nguyên , ,a b c thỏa mãn điều kiện * sao cho

a b b c c a không chia hết cho 27?

Câu 5. Cho hình chữ nhật ABCD có 3, 4AB BC .

a) Chứng minh rằng từ 7 điểm bất kỳ nằm trong hình chữ nhật ABCD luôn tìm được

hai điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 5 b) Chứng minh rằng khẳng định ở câu a) vẫn còn đúng với 6 điểm bất kỳ nằm trong

hình chữ nhật ABCD.

Hướng dẫn giải.

Câu 1.

a) Khi 1m ta có phương trình 2 4 1 0x x với ' 4 1 3 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x thỏa 1 2 1 24, 1x x x x

Do

28 8 8 8 4 4

1 2 1 2 1 22 2 6 2 2 6 2 6x x x x x x

2 24 4

1 2 1 2 1 22 6 6 6x x x x x x

1 2 1 22 6 4 2 6x x x x (đúng).

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 23 4 3 1 3 0 1 3m m m m m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm

2

0 1 30 3 0 1 3 *0 0

mS m mP m

Ta có

2 21 2 1 2 1 2 1 25 5 2 5 3 2 5x x x x x x x x m m

toanth.net

Võ Tiến Trình 3

22 222 2 2 2 33 22 2 2

mmm

m m m m mmm m m

So với điều kiện (*) nhận 23

m .

c) 1 2 1 2, 0P x P x m P x P x m

2 21 2 1 2 1 2 1 2 0x x x x x x a x x b

2 21 2 1 2 1 2 0x x x x a x x b m (vì 1 2x x )

21 2 1 2 1 2 0x x a x x x x b m

2 23 3 0m a m b m m

6 3 9 0a m b a m

6 0 63 9 0 9

a ab a b

Câu 2.

a) 2 2 2 2 2 2 2 21 . 1 1 1 2

1 1 1a b a b a b ab a bP

ab ab ab

211

1abab

Vậy min 1P a b

b) Từ 1, 1, 1x y z ta có:

2

2 2 2 2 2 21 1 1 3x y z x y z

toanth.net

Võ Tiến Trình 4

2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1 1x y y z z x

Hơn nữa 22 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 1x y x y x y xy x y xy

2 21 1 1x y xy

Do đó ta có:

2

2 2 2 2 2 21 1 1 3 2 1 1 1x y z x y z xy yz xz

29 x y z

Do đó 22 2 21 1 1 9x y z x y z

Câu 3.

toanth.net

Võ Tiến Trình 5

a) AMN ACB

2 12 2

AMN

ACB

S AM AC AMS AC

Ta có: 2 2

MA AC MA ACAB AB MAAB AB AC

2MA ACMB AB AC

b)Trong đường tròn (I) ta có: 0 01 180 902

MAI AIM ANM

Kẻ đường cao AH của tam giác ABC , H thuộc BC.

Ta có: 0 090 90BAH ABC ANM

Do đó ta có: , ,MAI BAH A I H thẳng hàng.

Vậy I thuộc đường cao của tam giác ABC và đường cao này cố định.

c)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó ta có :

OJ vuông góc BC, AI vuonnng góc BC nên OJ // AI.

IJ vuông góc MN, AO vuông góc MN nên IJ // AO

Do đó AIJO là hình hình hành nên IJ = AO không đổi.

Câu 4.

a) Ta có 2 2 2 3 3a b b c c a a b c

Theo đề giả sử 2 3a b nên 2 2 3b c c a

Vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 nên 2 3b c và 2 3c a

Vậy ta có cả ba số 2 ,2 ,2a b b c c a đều chia hết cho 3

toanth.net

Võ Tiến Trình 6

Từ đó ta có 3 2 3; 3 2 3a b a a b b c b b c

3 2 3c a c c a

Vậy 27a b b c c a

b) Tìm được ba số thỏa 1,2,0

Câu 5.

a)Chia hình chữ nhật thành 6 hình chữ nhật nhỏ có kích thước 1 x 2 mỗi hình có đường

chéo độ dài là 5

Theo nguyên tắc đirichlet thì có ít nhất hai điểm nằm chung 1 hình là A, B và 5AB .

b)Chia hình chữ nhật ban đầu thành 5 phần hình như hình vẽ

Trong mỗi hình thì khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm là 5