TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Pertemuan

Ke-13 : Kongruensi LinearOleh : Dr. Kusnandi, M.Si.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Tujuan PembelajaranMahasiswa dapat menyelesaikan kongruensi linear satu atau lebih variabel.

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Kongruensi Linear

Persamaan linear satu variabel yang paling sederhana :

ax = b

Solusi dari kongruensi linear adalah bilangan bulat xo yang memenuhi ax0 ≡ b (mod n)

Kongruensi linear satu variabel yang paling sederhana :

ax ≡ b (mod n)

Apakah setiap kongruensi linear memiliki solusi ?

Carilah solusi dari kongruensi linear :

3x ≡ 5 (mod 9) dan 5x ≡ 3 (mod 9)

3

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANKongruensi Linear

Perhatikan kongruensi linear : 3x ≡ 9 (mod 12)

Bilangan bulat x = 3 dan x = -9 memenuhi kongruensi linear itu.

Apakah kedua bilangan itu menyatakan dua solusi yang berbeda ?

Syarat agar kongruensi linear ax ≡ b (mod n) memiliki solusi adalah

fpb(a, n) | b

Metode menyelesaikan kongruensi linear

A. Metode Kenselisasi

Contoh 1: Carilah solusi dari kongruensi linear :

9x ≡ 12 (mod 15)

3

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Kongruensi Linear Pembahasan

9x ≡ 12 (mod 15) 3.3x ≡ 3.4 (mod 15)

3x ≡ 4 (mod 5)

3x ≡ 9 (mod 5)

x ≡ 3 (mod 5)

Di dalam modulo 15, solusi yang tidak saling kongruen dari

x ≡ 3 (mod 5)

adalah 3, 8, dan 13 Jadi, solusi dari kongruensi linear 9x ≡ 12 (mod 15) adalah

x ≡ 3 (mod 15) , x ≡ 8 (mod 15) dan x ≡ 13 (mod 15)

3

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANKongruensi Linear

B. Metode Invers

Kita mengetahui bahwa invers (perkalian) dari bilangan a adalah bilangan b sehingga ab = 1

Definisi: Di dalam kongruensi, invers dari bilangan a modulo n dengan fpb(a, n) = 1 adalah solusi dari kongruensi

ax ≡ 1 (mod n)

Contoh : Carilah semua invers dari bilangan 7 modulo 31.

Jawab:

Perhatikan kongruensi 7x ≡ 1 (mod 31)

7x ≡ 63 (mod 31)

x ≡ 9 (mod 31)

Jadi, invers dari 7 modulo 31 adalah {. . . , -53, -22, 9, 40,

71, . . .}

3

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANKongruensi Linear

B. Metode Invers

Contoh 2 : Carilah solusi dari kongruensi linear

7x ≡ 22 (mod 31)

Jawab:

Kalikan kedua ruas dengan invers dari 7 modulo 31, yaitu 9

9 . 7x ≡ 9 . 22 (mod 31)

x ≡ 198 (mod 31)

x ≡ 12 (mod 31)

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear

2x – 5y ≡ 4 (mod 6) Pembahasan:

Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel

Kongruensi Linear

2x ≡ 5y + 4 (mod 6)

Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5

(i) Untuk y = 0 diperoleh : 2x ≡ 4 (mod 6)

Solusinya adalah (x, y) (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6).

(ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi.

(iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2x ≡ 14 (mod 6)

Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6).

(iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2x ≡ 24 (mod 6)

Solusinya adalah (x, y) (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear

2x – 5y ≡ 4 (mod 6) Pembahasan:

Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel

Kongruensi Linear

2x ≡ 5y + 4 (mod 6)

Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5

(i) Untuk y = 0 diperoleh : 2x ≡ 4 (mod 6)

Solusinya adalah (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6).

(ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi.

(iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2x ≡ 14 (mod 6)

Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6).

(iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2x ≡ 24 (mod 6)

Solusinya adalah (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGANLatihan (1)

1. Carilah semua solusi yang tidak saling kongruen dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode kanselisasi a. 9x ≡ 21 (mod 30) c. 12x ≡ 16 (mod 32) b. 34x ≡ 60 (mod 98) d. 140x ≡ 133 (mod 301)

2. Carilah invers modulo 13 dari masing-masing bilangan bulat di bawah ini

a. 2 b. 3 c. 5 d. 113. Carilah solusi dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode invers a. 25x ≡ 15 (mod 29) c. 17x ≡ 14 (mod 21) b. 5x ≡ 2 (mod 26) d. 9x ≡ 5 (mod 25)

4. Misalkan p adalah invers dari a modulo n, dan q adalah invers dari b modulo n. Tunjukkan bahwa pq adalah invers dari ab modulo n.

5. Carilah semua solusi dari kongruensi linear dalam dua variable di bawah ini

a. 2x + 3y ≡ 4 (mod 7) b. 4x + 2y ≡ 6 (mod 8) c. 3x + 6y ≡ 2 (mod 9) d. 8x + 2y ≡ 4 (mod 10)

TUJUAN

MATERI

ILLUSTRASI

LATIHAN

SELESAI

POKOK BAHASAN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Terima kasih