tugas akhir kelompok 11 zat padat

JAWABAN PERMASALAHAN DISKUSI PERTEMUAN I-XI

FISIKA ZAT PADAT

TUGAS AKHIR

Untuk memenuhi tugas matakuliah

Fisika Zat Padat

Yang dibina oleh Ibu Hartatiek

Oleh :

MAR’ATUS SHOLIHAH (100321400895)

PUSPA HANDARU RACHMADHANI (100321400991)

RULIANA PATMASARI (100321405236)

WAHYU PRAMUDITA SARI (100321400981)

Kelas/Offering: C/C

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN FISIKA

DESEMBER 2013

Permasalahan diskusi Pertemuan I (Tugas 1)

Kisi Kristal

Soal No.1

Diskusikanlah tentang perbedaan antara zat padat, zat cair, dan zat gas ditinjau dari jarak

antaratom, bentuk, dan ukuran volumenya!

Jawab :

Langkah 1 : Pengajuan Pertanyaan

1. Jelaskan perbedaan antara zat padat, zat cair, dan zat gas yang ditinjau dari jarak

antaratom, bentuk, dan ukuran volumenya!

Langkah 2 : Faktor-Faktor yang Berpengaruh

2. Ditinjau dari wujudnya zat dibedakan menjadi 3 : zat padat, zat cair, dan zat gas.

Langkah 3 : Self-Explanation

[a] [b] [c]

3. Gambar [a] menunjukkan pola dari atom-atom yang menyusun zat padat.

4. Pada zat padat, atom-atom saling berdekatan dalam suatu susunan teratur.

5. Atom-atom yang berdekatan secara teratur diikat cukup kuat oleh gaya tarik-menarik

antar partikel.

6. Walaupun diikat cukup kuat atom-atom pada zat padat dapat bergetar dan berputar di

tempatnya tetapi tidak bebas untuk mengubah kedudukannya.

7. Karena tidak dapat mengubah kedudukan maka posisinya relatif tetap sehingga atom-

atom tersebut cenderung membentuk struktur tertentu.

8. Zat padat memiliki bentuk dan ukuran yang tetap.

9. Apabila bentuk dan ukurannya tetap maka hal ini berarti volumenya juga tetap.

10. Gambar [b] menunjukkan pola dari atom-atom yang menyusun zat cair.

11. Pada zat cair, jarak antar atom-atomnya lebih jauh dibandingan pada zat padat.

12. Atom-atom zat cair dapat berpindah tempat (mengalir) tetapi tidak mudah untuk

meninggalkan kelompoknya sehingga tidak bisa membentuk struktur tertentu.

13. Atom-atom zat cair dapat berpindah tempat (mengalir) karena gaya tarik-menarik yang

mengikat atom-atom zat cair tidak sekuat seperti pada partikel-partikel zat padat.

14. Zat cair mengalir untuk dapat berubah bentuk yang sesuai dengan wadahnya.

15. Karena zat cair dapat berubah bentuk memiliki ukuran atau volume yang tetap.

16. Gambar [c] menunjukkan pola dari atom-atom yang menyusun zat gas.

17. Pada zat gas, jarak antar atom-atomnya sangat berjauhan.

18. Atom-atom yang berjauhan mengakibatkan gaya tarik-menariknya dapat diabaikan.

19. Atom-atom zat gas secara bebas bergerak dalam wadahnya, dengan sangat cepat

sehingga tidak bisa membentuk struktur tertentu.

20. Dalam zat gas terjadi tumbukan atom satu dengan atom yang lain, beserta atom dengan

dinding wadahnya.

21. Akibat tumbukan antar atom inilah mengakibatkan gas menghasilkan tekanan.

22. Zat gas menghasilkan tekanan menyebabkan zat gas memiliki ukuran atau volume

tidak tetap.

23. Zat gas cepat mengisi wadah yang ditempatinya (dengan kata lain bentuknya tidak

tetap).

Langkah 4 : Kesimpulan Sementara

24. Pada zat padat, atom-atom saling berdekatan dalam susunan teratur, diikat cukup kuat

oleh gaya tarik-menarik antar partikel namun tetap dapat bergetar dan berputar di

tempatnya tetapi tidak bebas untuk mengubah kedudukannya, akibatnya atom-atom

tersebut cenderung membentuk struktur tertentu. Sehingga zat padat memiliki bentuk,

ukuran, dan volume yang tetap.

25. Pada zat cair, jarak antar atom lebih jauh dibandingan pada zat padat. Atom-atom dapat

berpindah tempat (karena gaya tarik-menarik yang mengikat atom tidak kuat). Zat cair

dapat berubah bentuk atau ukuran atau volume yang tetap.

26. Pada zat gas, jarak antar atom-atomnya sangat berjauhan sehingga gaya tariknya dapat

diabaikan. Atom-atom zat gas bebas bergerak dengan cepat dalam wadah sehingga

tidak bisa membentuk struktur tertentu. Tumbukan antar partikel mengakibatkan zat gas

menghasilkan tekanan sehingga memiliki ukuran, volume, dan bentuk tidak tetap.

Langkah 5 : Generalisasi

27. Pada zat padat atom-atom saling berdekatan dalam suatu susunan teratur, Zat padat

memiliki bentuk, ukuran, dan volumenya tetap.

28. Pada zat cair, jarak antar atom-atomnya lebih jauh dibandingan pada zat padat, bentuk

sesuai dengan wadahnya yang mengakibatkan ukuran dan volume tetap.

29. Pada zat gas, jarak antar atom-atomnya sangat berjauhan, atom-atom zat gas secara

bebas bergerak dalam wadahnya, ukuran atau volume tidak tetap.

Soal No.2

Kristalin adalah kristal-kristal kecil yang membentuk kristal tunggal. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah kristalin yang membentuk kristal tunggal?


2. Kristal adalah suatu padatan yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas

secara teratur dan polanya berulang melebar secara tiga dimensi.

3. Kristalin adalah kristal-kristal kecil.


4. Benda padat dikatakan berbentuk kristal apabila penyusunnya, misalnya atom, teratur

dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang.

5. Zat padat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil.

6. Kristal-kristal kecil itu disebut kristalin.

7. Arah atau orientasi kristal-kristal kecil pada umumnya berbeda.

8. Perbedaan orientasi menimbulkan ronga-rongga kosong di antara gumpalan-gumpalan

kristalin.

9. Jika zat padat hanya terdiri dari sebuah kristalin saja, maka disebut dengan kristal

tunggal.


10. Setuju jika kristalin adlah kristal-kristal yang membentuk kistal tunggal.


11. Kristal-kristal kecil disebut kristalin.

12. Zat padat polikristal dibentuk oleh sejumlah besar kristal-kristal kecil (kristalin).

Soal No.3

Bila kristal air mencair, maka akan terjadi penguraian molekul H2O menjadi ion-ion

H+ dan O

2- sehingga ion-ion tersebut bergerak saling mendekati satu sama lain karena

muatan keduanya berlawanan. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah pada saat kristal air mencair terjadi penguraian molekul H2O menjadi ion-

ion H+ dan O

2- sehingga ion-ion tersebut bergerak saling mendekati karena muatan

keduanya berlawanan?


2. Satu molekul air tersusun atas dua atom hidrogen yang terikat secara kovalen pada

satu atom oksigen.

3. Ikatan kovalen adalah ikatan yang terjadi akibat pemakaian pasangan elektron

secara bersama-sama oleh dua atom.


4. Kristal es dibangun oleh penyusunnya yang berupa molekul-molekul air H2O.

5. Satu molekul air tersusun atas dua atom hidrogen yang terikat secara kovalen pada

satu atom oksigen

6. Cara atom-atom saling mengikat dalam suatu molekul dinyatakan oleh rumus

bangun atau rumus struktur.

7. Rumus struktur diperoleh dari rumus Lewis dengan mengganti setiap pasangan

elektron ikatan dengan sepotong garis. Misalnya,

8. Kristal es memiliki dipol listrik dalam setiap molekulnya.

9. Ikatan dalam kristal es jauh lebih lemah. Sehingga kristal es melebur dan terurai

menjadi molekul-molekul air.

H2O(s) 2H+ + O

2-

10. Tarikan atom oksigen pada elektron-elektron ikatan jauh lebih kuat dari pada yang

dilakukan oleh atom hidrogen, meninggalkan jumlah muatan positif pada kedua

atom hidrogen, dan jumlah muatan negatif pada atom oksigen.

11. Adanya muatan pada tiap-tiap atom tersebut membuat molekul air memiliki

sejumlah momen dipol.

H-O-H . .

http://id.wikipedia.org/wiki/Molekul

http://id.wikipedia.org/wiki/Atom

http://id.wikipedia.org/wiki/Hidrogen

http://id.wikipedia.org/wiki/Ikatan_kovalen

http://id.wikipedia.org/wiki/Oksigen






http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Momen_dipol&action=edit&redlink=1

12. Gaya tarik-menarik listrik antar molekul-molekul air akibat adanya dipol ini

membuat masing-masing molekul saling berdekatan.

13. Gaya tarik-menarik ini disebut sebagai ikatan hidrogen.


14. Setuju. Pada saat kristal air mencair terjadi penguraian molekul H2O menjadi ion-

ion H+ dan O

2- sehingga ion-ion tersebut bergerak saling mendekati karena

muatan keduanya berlawanan.


15. Molekul air tersusun atas dua atom hidrogen yang terikat secara kovalen pada satu

atom oksigen. Jika, kristal air mencair terjadi penguraian molekul H2O menjadi

ion-ion H+ dan O

2-.

Soal No.4

Diskusikanlah tentang syarat-syarat suatu bahan disebut kristal!

Jawab :


1. Apakah persyaratan suatu bahan bisa disebut sebagai kristal?


2. Kristal adalah suatu padatan yang atom, molekul, atau ion penyusunnya terkemas

secara teratur dan polanya berulang melebar secara tiga dimensi.


3. Distribusi setimbang atom-atom mendefinisikan struktur padatan, yang terdiri dari tiga

bagian besar.

4. Tiga bagian besar tersebut adalah kristalin, amorf, dan polikristal.

5. Dalam zat padat kristal, atom terdistribusi relatif teratur terhadap yang lain.

6. Suatu benda padat berbentuk kristal, apabila penyusunnya (atom, ion, atau molekul)

tersusun secara teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang.

7. Bahan kristal memiliki simetri translasi.

8. Arti dari simetri translasi adalah apabila seluruh kristal digeser sejauh vektor kisi maka

keadaannya tetap sama.

9. Vektor kisi dapat dirumuskan sebagai berikut: bnanR

21

10. Keterangannya (n1, n2) adalah pasangan bilangan bulat.

11. Sedangkan bdana

adalah vektor basis.

http://id.wikipedia.org/wiki/Ikatan_hidrogen






12. Vektor basis yaitu vektor yang menghubungkan dua buah atom. Sehingga, kristal

bersifat invarian terhadap translasi semacam itu.

13. Kristal sempurna mempunyai keperiodikan tak berhingga.

14. Namun, kenyataannya, tidak mungkin mempreparasi kristal sempurna karena berbagai

keterbatasan fisis.

15. Berbagai keterbatasan fisis adalah,

a) adanya permukaan kristal karena ukurannya terbatas (tidak tak berhingga)

b) tidak mungkin dipreparasi kristal tanpa cacat geometrik

c) tidak mungkin dipreparasi kristal tanpa ketakmurnian zat

d) pada suhu T>0 K atom penyusun kristal bergetar harmonik di sekitar titik

setimbangnya dengan caranya masing-masing


16. Dalam zat padat kristal, atom terdistribusi relatif teratur terhadap yang lain. Syarat

benda padat berbentuk kristal, apabila penyusunnya (atom, ion, atau molekul) tersusun

secara teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang. Bahan kristal

memiliki simetri translasi.


17. Syarat benda padat berbentuk kristal adalah (a) penyusunnya (atom, ion, atau molekul)

teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang, dan (b) memiliki simetri

translasi.

Soal No.5

Diskusikanlah tentang kisi kristal!

Jawab :


1. Apakah yang dimaksud dengan kisi kristal?


2. Kisi kristal adalah pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik.


3. Dalam kristalografi (bahasan geometri kristal), setiap atom dalam kristal dianggap

sebagai suatu titik, tepat pada kedudukan setimbang tiap atom itu di dalam ruang.

4. Pola geometrik yang diperoleh dinamakan kisi kristal.

5. Jadi dapat disimpulkan bahwa pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom

sebagai suatu titik dinamakan kisi kristal

6. Istilah kisi adalah terjemahan dari kata “lattice”.

7. Berbeda dengan istilah kisi optik yang telah dikenal selama ini, yaitu terjemahan dari

kata “grating”.

8. Terdapat dua macam kisi kristal, yaitu Baravais dan non-Bravais.

9. Kisi Bravais jika seluruh titik kisinya ekivalen

10. Sedangkan, kisi non-Bravais jika kisi mengandung beberapa titik yang tidak ekivalen.

11. Kisi non-Bravais dapat dijadikan Bravais dengan cara menyatukan beberapa titik yang

tidak ekivalen menjadi basis.


12. Istilah kisi adalah terjemahan dari kata “lattice”. Pola geometrik dari kedudukan

setimbang tiap atom sebagai suatu titik dinamakan kisi kristal.


13. Pola geometrik dari kedudukan setimbang tiap atom sebagai suatu titik dinamakan kisi

kristal.

14. Terdapat dua macam kisi kristal, yaitu kisi kristal Bravais dan kisi kristal non-Bravais.

Soal No.6

Titik-titik kisi membentuk segienam-segienam beraturan yang saling menyambung satu

sama lain. Titik-titik kisi tersebut membentuk kisi kristal Bravais. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah kisi kristal Bravis terbentuk dari titik-titik kisi yang berbentuk segienam dan

saling menyambung?


2. Kisi disebut sebagai kisi bravais jika seluruh titik kisinya ekivalen.


3. Terdapat macam kisi yaitu kisi kristal Bravais dan kisi kristal non-Bravais.

4. Kisi kristal dinyatakan sebagai kisi kristal Bravais jika seluruh titik kisinya ekivalen.

5. Perhatikan gambar berikut ini

4

3 2

1

B C

D A

[a] [b]

6. Gambar [a] menunjukkan kisi kristal kotak dan gambar [b] menunjukkan kisi kristal

lingkaran silang.

7. Kotak dan lingkaran silang tersebut diumpamakan sebagai atom-atom penyusun zat

padat.

8. Meskipun hanya dihambarkan masing-masing berjumlah empat, maka diasumsikan

pada arah x dan arah y terdapat atom-atom dengan jumlah tak terbatas.

9. Kedua kisi [a] dan [b] adalah Bravais karena semua atom memenuhi simetri translasi

atau ekivalen.

10. Apabila atom 1 digeser ke 4, maka atom 4 menempati atom di sebelah kanannya, atom

2 menempati 3, atom 3 menempati atom di sebelah kanannya, dan seterusnya. Karena

atom-atomnya ekivalen, maka pola kisi hasil translasi tidak berbeda dengan

sebelumnya.

11. Hal tersebut pada nomor 9 juga terjadi pada kisi kristal lingkaran silang.


12. Setuju dengan pernyataan bahwa “Titik-titik kisi membentuk segienam-segienam

beraturan yang saling menyambung satu sama lain. Titik-titik kisi tersebut membentuk

kisi kristal Bravais”.


13. Kisi kristal Bravais terbentuk dari titik-titik kisi yang membentuk segienam-segienam

beraturan yang saling menyambung satu sama lain.

Soal No.7

Bandingkanlah sel satuan primitip dan non-primitip!

Jawab :

Langkah 1 : Pengajuan Pertanyaan atau Permasalahan (Deskripsi singkat)

1. Apa perbandingan antara sel satuan primitip dan non-primitip?

Langkah 2 : Penyampaian Konsep Terkait

2. Sel satuan primitip dan non-primitip mempunyai perbandingan.

3. Sel satuan merupakan dasar pola elementer karena berulang secara periodik dan

membentuk struktur kisi suatu kristal.

Langkah 3 : Latihan Penyelidikan Inkuiri (Self Explanation)

4. Sel satuan dibagi menjadi 2, yakni sel satuan primitip dan non-primitip.

5. Sel satuan primitip memiliki satu atom per selnya.

6. Sel satuan primitip digambarkan sebagai lingkaran.

7. Buatlah 4 sel satuan atom yang bertetanggaan.

8. Gambarlah dari setiap atom, sel tersebut hanya memperoleh ¼ bagian lingkaran.

9. Sedangkan ¾ bagian lainnya dimiliki oleh tiga sel satuan tetangganya.

10. Oleh karena itu dari keempat pojoknya, sel satuan memperoleh 4 x ¼ = 1 atom.

11. Ciri sel satuan primitip adalah atom-atomnya hanya terdapat pada pojok-pojoknya.

12. Berikut ini merupakan sel satuan primitip.

13. Sel satuan non-primitip memiliki lebih dari satu atom per selnya.

14. Sel satuan non-primitip digambarkan sebagai lingkaran.

15. Buatlah 4 sel satuan atom yang bertetanggaan.

16. Gambarlah dari setiap atom, dimana dari keempat pojoknya, sel satuan memperoleh 4 x

¼ = 1 atom.

17. Sedangkan 1 atom di dalam sel satuan dimiliki sendiri oleh sel tersebut.

18. Maka sel satuan tersebut memiliki 2 atom perselnya.

19. Ciri sel satuan non-primitip adalah selain atom-atom pada pojok-pojoknya, masih

terdapat atom di bagian lain.

20. Berikut merupakan gambaran dari sel satuan non-primitip.


21. Sel satuan dibagi menjadi 2, yakni sel satuan primitip dan non-primitip, dimana sel

satuan primitip memiliki satu atom per selnya, sedangkan sel satuan non-primitip

memiliki lebih dari satu atom per selnya.


22. Sel satuan primitip memiliki satu atom per selnya.

Dengan Perolehan sel satuan

4 x ¼ = 1 dengan 2 x ½ = 1 Atau

23. Sel satuan non-primitip memiliki lebih dari satu atom per selnya.

Soal No.8

Diskusikanlah tentang parameter/konstanta kisi kristal a, b, dan c; dan sudut α, β, dan γ;

serta volume sel satuannya!

Jawab :


1. Apa yang dimaksud dengan parameter/konstanta kisi kristal a, b, dan c; dan sudut α, β,

dan γ; serta volume sel satuannya! Jelaskan!


2. Selain dapat digambarkan dengan 2 dimensi kisi kristal dapat digambarkan dengan 3

dimensi.

3. Suatu distribusi atom-atom yang membangun sel satuan non-primitip, dapat dibuat sel

satuan primitipnya dengan ketentuan bahwa luas sel satuan non-primitipnya pasti sama

dengan kelipatan bulat dari luas sel satuan primitipnya.


4. Contoh dari kisi kristal tiga dimensi adalah FCC (face centered cubic) dan BCC (body

centered cubic).

5. Berikut diberikan gambar contoh kasus tiga dimensi kristal FCC vektor basis

𝒂 , 𝒃 , 𝒄 sudut sudut α , β, dan γ diantaranya .

6. FCC termasuk sel satuan non-primitip dengan 4 atom persel.

c

b

a

a α

β

γ

7. Dalam sel satuan non-primitip FCC dapat dibuat sel satuan primitip dengan vektor

basis primitip.

8. Berikut vektor basis primitipnya.

)ˆˆ)(2

( jia

a

; )ˆˆ)(2

( kja

b

, dan )ˆˆ)(2

( ika

c

9. Volume sel satuan non-primitip = a3

10. Volume sel satuan primitip adalah

= cba

= ¼ a3

11. Tampak bahwa Vsel non-primitip=4 Vsel primitip

12. Sedangkan kristal BCC yang memiliki sel satuan primitip dengan vektor basis primitip

sebagai berikut.

)ˆˆˆ)(2

()ˆˆˆ)(2

(),ˆˆˆ)(2

( jika

cdanikja

bkjia

a

\

13. Karena sel satuan non-primitip BCC mengandung 2 atom persel, maka Vsel non-primitip = 2

Vsel primitip.


14. Kisi kristal dapat digambarkan dengan 3 dimensi.

15. Contoh dari kisi kristal tiga dimensi adalah FCC (face centered cubic) dan BCC (body

centered cubic).

16. Untuk sel satuan non-primitip FCC volumenya Vsel non-primitip=4 Vsel primitip.

17. Sedangkan untuk Sel satuan non-primitip BCC volumenya

Vsel non-primitip = 2 Vsel primitip.


18. Sudut-sudut α , β, dan γ tidak dapat diubah.

19. Vektor basis dan Volume sel dari FCC dan BCC berbeda.

Soal No.9

Kristal memiliki simetri rotasi-1, simetri rotasi- 2, simetri rotasi-3, simetri rotasi-4, dan

simetri rotasi-6. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Benarkah kristal memiliki simetri rotasi-1, simetri rotasi- 2, simetri rotasi-3, simetri

rotasi-4, dan simetri rotasi-6?

Langkah Penyampaian Konsep Terkait

2. Kristal terbentuk apabila distribusi atom-atomnya teratur dan periodik.


3. Atom-atom dalam kristal bersifat invariant terhadap operasi rotasi 2/1, 2/2, 2/3,

2/4, dan 2/6.

4. Berikut ini diberikan contoh kisi dengan simetri rotasi-1.


6. Kisi ini memliki simetri rotasi-2. kristal yang memiliki simetri rotasi 2/2 akan

mempunyai distribusi atom-atom berbentuk elips dengan sisi kanan dan kiri sangan

berhimpit.


12

11

10

9

8 7

6

5

4 3

2

1

8. Tanda X adalah pusat rotasi yang mengakibatkan rotasi 2/3 atom-atom berpindah

tempat dari atom 1 2 3, atom 7 8 9, atom 4 5 6, atom 10 11

12.

9. Memperhatikan bahwa konfigurasi akhir adalah sama dengan konfigurasi awal.


mempunyai distribusi atom-atom berbentuk segitiga sama sisi.

11. Sehingga tampak bahwa semua ruang terisi oleh segitiga sama sisi tersebut.



mempunyai distribusi atom-atom berbentuk segi 4.


15. Segilima-segilima beraturan tidak bisa menutup seluruh ruang.

16. Terdapat daerah kosong, yaitu daerah bayang-bayang.

17. Sehingga atom-atom dalam kristal tidak memiliki simetri rotasi 2/5.


19. Semua titik kisi ini akan memiliki simetri rotasi 2/6.

20. Memperhatikan bahwa kisi yang memiliki simetri rotasi 2/6 akan mempunyai

distribusi titik-titik atom berbentuk segienam beraturan.

21. Sehingga tampak bahwa semua ruang terisi oleh segienam beraturan tersebut


22. Menyetujui bahwa kristal hanya memiliki simetri rotasi sebanyak 5 macam, yaitu

rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6,


23. Kristal ternyata memiliki simetri rotasi sebanyak 5 macam, yaitu rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6.

Soal No.10

Diskusikanlah tentang macam dasar kisi kristal 2 dan 3 dimensi!

Jawab :


1. Apa yang dimaksud dengan macam dasar kisi kristal 2 dan 3 dimensi?

Langkah Penyampaian Konsep Terkait

2. Kisi kristal memiliki dasar kisi kristal 2 dan 3 dimensi.


3. Kondisi simetri translasi dalam kristal mempunyai konsekwensi terhadap terbatasnya

kemungkinan jenis kisi Bravais yang dapat terjadi, baik dalam kisi kristal dua maupun tiga

dimensi.

4. Dalam dua dimensi, kisi kristal yang mungkin sebanyak lima jenis, dapat ditabelkan seperti

berikut.

5. Untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang terlingkupi dalam 7 buah

sistem kristal.

6. Hal ini sebagai konsekuensi dari simetri rotasi sebuah kristal, yakni rotasi-1, 2, 3, 4, dan 6,

seperti disajikan dalam Tabel berikut.

7. Kisi Bravais P, C, I, F, dan R, masing-masing mengandung jumlah titik kisi persel

satuannya adalah 1, 2, 2, 4, dan 1.


8. Dalam dua dimensi, kisi kristal hanya sebanyak lima jenis.

9. Sedangkan untuk kasus tiga dimensi ternyata ada 14 buah kisi Bravais yang terlingkupi

dalam 7 buah sistem kristal.


10. Kisi kristal dua dimensi sebanyak 5 jenis.

11. Kisi kristal tiga dimensi sebanyak 14 jenis yang terlingkupi dalam 7 buah kristal.

Permasalahan diskusi Pertemuan II (Tugas 2)

Kristal Struktur Sederhana

Soal No.1

Dalam satu sel satuan Sodium Khlorida NaCl terdapat 13 ion Na+ dan 14 ion Clˉ.

Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :

Langkah 1 : Deskripsi singkat permasalahan

1. Apakah dalam satu sel satuan Sodium Khlorida NaCl terdapat 13 ion Na+ dan 14 ion

Clˉ?

Langkah 2 : Penyampaian konsep terkait

2. Sel satuan padatan NaCl berbentuk kubus.

3. Padatan NaCl dibangun ion Na+ dan ion Cl

-.

Langkah 3 : Self Explanation

4. Na Cl mempunyai struktur FCC dengan basis satu atom Na dan satu atom Cl yang

terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus.


6. Sepanjang ketiga arah sumbu utama kubiknya terdapat atom Na dan Cl, seperti

ditunjukkan pada gambar di bawah ini

7. Gambar di atas adalah gambar sel satuan kubus NaCl.

8. Ion Na+

digambar sebagai bola yang lebih kecil daripada Cl- karena Ion Na

+ dengan 10

elektron sedangkan ion Cl- dengan 18 elektron.

9. Secara sekilas pada gambar sel satuan kubus NaCl di atas, terdapat 14 ion Cl- dan 13

ion Na+.

10. Namun kenyataannya, sel satuan tersebut hanya memiliki 4 ion Cl- yang diperoleh dari

(8 x 1/8) + (1/2 x 6) = 4

11. Sel satuan kubus NaCl memilki 4 ion Na+

yang diperoleh dari (1/4 x 12) + 1 = 4.


12. Tidak setuju bahwa dalam satu sel satuan Sodium Khlorida (NaCl) terdapat 13 ion Na+

dan 14 ion Clˉ. Melainkan dalam satu sel satuan Sodium Khlorida (NaCl) terdapat 4 ion

Na+ dan 4 ion Clˉ.


13. Sel satuan padatan NaCl berbentuk kubus yang dibangun oleh ion Na+ dan ion C.

14. Satu sel satuan Sodium Khlorida (NaCl) terdapat 4 ion Na+ dan 4 ion Clˉ.

Soal No.2

NaCl dapat dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari dua susbkisi FCC,

masing-masing untuk Na+

dan Clˉ, yang saling menembus dengan jarak sejauh ½a satu

sama lain, yang mana a adalah konstanta kisi NaCl. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar jika NaCl dapat dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari

dua subkisi FCC, masing-masing untuk Na+

dan Clˉ, yang saling menembus dengan

jarak sejauh ½a satu sama lain?





4. Setiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di

Cl : 0 0 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½

Na: ½ ½ ½ 0 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 0

5. Apabila sisi kubus adalah a, msks kedua atom terpisah sejauh ½ 3a

6. Untuk setiap atom memilki 6 atom tetangga terdekat yang berbeda jenis dengan jarak

pisah masing-masing ½ a.

7. Nilai konstanta a utuk NaCl adalah 5,63 A.

8. NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari dua subkisi

FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus.

9. Kedua subkisi tersebut terpisah sejauh ½a satu sama lain.


10. Setuju jika NaCl dapat dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari dua

subkisi FCC, masing-masing untuk Na+

dan Clˉ, yang saling menembus dengan jarak

sejauh ½a satu sama lain.


11. NaCl dapat dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari dua subkisi FCC,

masing-masing untuk Na+

dan Clˉ, yang saling menembus dengan jarak sejauh ½a satu

sama lain.

Soal No.3

Dalam struktur Cesium Khlorida CsCl, setiap ion memiliki 6 tetangga terdekat dengan

jarak ½√3a, dimana a adalah konstanta kisi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar jika dalam struktur Cesium Khlorida CsCl, setiap ion memiliki 6

tetangga terdekat dengan jarak ½√3a?


2. CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.


3. CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.

4. Alternasi atom Cs dan Cl terdapat sepanjang diagonal ruang kubik, seperti terlihat pada

Gambar di bawah ini

5. Setiap sel satuan mengandung satu molekul CsCl, dengan posisi atom

Cs : 0 0 0 Cl : ½ ½ ½

6. CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais yang terdiri dari dua subkisi

SC (kubik sederhana).

7. Masing-masing dibentuk oleh atom-atom Cs dan Cl, yang keduanya terpisah sejauh

½√3a (setengah diagonal ruang).

8. Jumlah titik terdekat setiap atom adalah 8 atom yang berbeda jenis.

9. CsCl memiliki konstanta kisi 4,11 Å.


10. Tidak setuju jika dalam struktur Cesium Khlorida CsCl, setiap ion memiliki 6 tetangga

terdekat dengan jarak ½√3a. Bukan 6 tetangga melainkan 8 tetangga.


11. Setiap ion Cesium Khlorida (CsCl), memiliki 8 tetangga terdekat dengan jarak ½√3a.

Soal No.4

Setiap sel satuan struktur intan, misalnya karbon, mengandung 8 atom C, yang mana 4

atomnya terletak di dalam sel satuan. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar jika setiap sel satuan struktur intan (karbon), mengandung 8 atom C,

yang mana 4 atomnya terletak di dalam sel satuan?





3. Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel FCC dengan

suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya 0 0 0 dan ¼ ¼ ¼.

4. Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisi FCC yang

saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan ¼ ¼ ¼.

5. Gambar di bawah ini menunjukkan proyeksi atom dalam struktur intan sel kubik pada

satu sisi kubik.

6. Bilangan pecahan menunjukkan ketinggian di atas bidang dasar.

7. Gambar di bawah ini menunjukkan struktur kristal intan dengan ikatan tetrahedralnya.

8. Dalam setiap sel satuan terdapat 8 atom C dan bilangan koordinasinya adalah 4.

9. Keempat atom terdekat membentuk suatu tetrahedral, dengan pusat atom yang

bersangkutan.

10. Konfigurasi semacam itu sering dijumpai pada semikonduktor, dan dinamakan ikatan

tetrahedral.

11. Struktur intan merupakan contoh ikatan kovalen dalam unsur-unsur kolom IV tabel

periodik.


12. Setuju dan benar jika setiap sel satuan struktur intan (karbon), mengandung 8 atom C,

yang mana 4 atomnya terletak di dalam sel satuan.


13. Sel satuan struktur intan (karbon), mengandung 8 atom C, yang mana 4 atomnya

terletak di dalam sel satuan.

Soal No.5

Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri dari dua atom

berbeda, yakni Zn dan S. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar jika struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang

terdiri dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S?


2. Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel FCC dengan

suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya 0 0 0 dan ¼ ¼ ¼.

3. ZnS memilki dua basis yang terdiri dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S.


4. Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri dari dua atom

berbeda, yakni Zn dan S.

5. Setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnS dengan posisi atom

Zn : 0 0 0 0 ½ ½ ½ 0 ½ ½ ½ 0

S: ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼

6. Setiap atom memiliki jarak yang sama terhadap keempat atom yang berbeda

terdekatnya yang menempati pojok-pojok tetrahedron regular.

7. ZnS memiliki konstanta kisi 5,41 Å.


8. Setuju jika struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri

dari dua atom berbeda, yakni Zn dan S.


9. Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri dari dua atom

berbeda, yakni Zn dan S.

Soal No.6

Struktur hexagonal close-packed (HCP) memiliki perbandingan konstanta kisi c/a=1,336.


Jawab :


1. Apakah benar jika struktur hexagonal close-packed (HCP) memiliki perbandingan

konstanta kisi c/a=1,336?


2. HCP adalah kristal dengan struktur yang sederhana.


3. Banyak cara untuk menyusun bola identik dengan jumlah tak berhingga secara tertentu

sehingga menghasilkan susunan teratur yang memiliki fraksi kepadatan maksimum atau

ruang kosong antarbola minimum.

4. Gambar di atas melukiskan susunan satu lapis bola identik dengan pusat titik A, yang

mana tiap bola bersinggungan dengan enam bola tetangga terdekatnya.

5. Lapisan kedua yang identik ditempatkan paralel di atasnya (lapisan pertama) dengan

pusat titik B.

6. Penempatan lapisan ketiga memiliki dua kemungkinan, yakni

(a) dengan pusat titik A, sehingga terdapat urutan lapisan ABABAB…, dan menghasilkan

struktur HCP, dan

(b) dengan pusat titik C, sehingga terdapat urutan ABCABC…, dan menghasilkan

struktur FCC.

7. Lapisan pertama A merupakan bidang dasar untuk struktur HCP atau bidang (111)

untuk struktur FCC.

8. Struktur HCP memiliki sel primitip kisi heksagonal, tetapi dengan basis dua atom.

9. Sedangkan sel primitip FCC berbasis satu atom.

10. Baik HCP maupun FCC mempunyai perbandingan c/a =1,633 dan

11. Jumlah tetangga terdekat 12 buah atom, serta energi ikatan yang hanya bergantung pada

jumlah ikatan tetangga terdekat peratom.


12. Tidak setuju jika struktur hexagonal close-packed (HCP) memiliki perbandingan

konstanta kisi c/a=1,336, yang benar adalah 1,63.


13. Hexagonal close-packed (HCP) memiliki perbandingan konstanta kisi c/a=1,63.

Soal No.7

Bahan diskusi nomor 1 s/d 6, sesungguhnya meliputi struktur NaCl, CsCl, intan, ZnS, dan

HCP. Secara lengkap diskusi untuk kelimanya, sesungguhnya, meliputi (1) Bravais

dengan suatu basiskah? (2) non-Bravais yang terdiri dari beberapa kisi Bravais apa saja?

(3) dalam 1 sel satuan mengandung berapa atom (atau ion), dan dimanakah posisi-posisi

atom (atau ion) tersebut? (4) berapa jumlah tetangga terdekat, dan berapa jaraknya? (5)

kristal apa saja yang memiliki struktur untuk masing-masing struktur di atas?

Jawab :


1. Untuk struktur NaCl, CsCL, intan, ZnS, dan HCP

a) Apakah Bravais dengan suatu basis?

b) Non-Bravais yang terdiri dari beberapa kisi Bravais apa saja?

c) Berapa dan dimanakah posisi atom (atau ion) dalam 1 sel satuan?

d) Berapa jumlah tetangga terdekat, dan berapa jaraknya?

e) Kristal apa saja yang memiliki struktur untuk masing-masing struktur di atas?



3. Kisi non-Bravais jika kisi mengandung beberapa titik yang tidak ekivalen.




5. – Dalam kisi Bravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen, artinya kisi bersifat

invarian terhadap operasi simetri translasi.

- Untuk NaCl mempunyai struktur FCC dengan dengan basis satu atom Na dan satu

atom Cl yang terpisah sepanjang setengah diagonal ruang kubus.

- CsCl memiliki struktur SC dengan basis satu atom Cs dan satu atom Cl.

- Struktur intan dapat dilihat sebagai struktur yang sel satuannya adalah sel FCC

dengan suatu basis, yakni dua atom C yang posisinya 0 0 0 dan ¼ ¼ ¼.

- Struktur ZnS sama dengan struktur intan, tetapi dengan basis yang terdiri dari dua

atom berbeda, yakni Zn dan S.

6. - NaCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais, yang terdiri dari dua

subkisi FCC, masing-masing untuk Na dan Cl, yang saling menembus.

- CsCl dapat pula dipandang sebagai struktur non-Bravais yang terdiri dari dua

subkisi SC (kubik sederhana).

- Struktur intan dapat pula dipandang sebagai gabungan dari dua subkisi FCC yang

saling menembus dengan titik asal, masing-masing 000 dan ¼ ¼ ¼.

- ZnS juga dapat dikatakan sebagai struktur Non-Bravais, karena terdiri dari dua

atom berbeda yaitu Zn san S.

7. - Setiap sel satuan memiliki 4 perangkat NaCl yang atomya berkedudukan di

Cl : 0 0 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½

Na: ½ ½ ½ 0 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 0

- Pada struktur CsCl, ion Cs+ sebanyak 8 ion. Tetapi yang dimilki oleh sel satuan

tersebut hanya satu ion. Posisi yang paling gampang adalah di pusat koordinat

yaitu 000. Ion Cs+ dengan posisi lain menjadi milik sel satuan tetangga-

tetangganya. Ion Cl- posisinya di tengah-tengah body sel satuan yaitu ½ ½ ½.

- Pada struktur intan, setiap sel satuan terdapat 8 atom C, yang posisinya 000 dan ¼

¼ ¼.

- Pada struktur ZnS setiap sel satuan memiliki 4 molekul ZnS dengan posisi atom

Zn : 0 0 0 0 ½ ½ ½ 0 ½ ½ ½ 0

S: ¼ ¼ ¼ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¼

8. – NaCl = setiap atom memilki 6 atom tetangga terdekt yang berbeda jenis

dengan jarak ½ a

- CsCl = memiliki 8 tetangga terdekat dengan jarak ½√3a.

- Intan = memiliki 4 atom tetangga terdekat. Keempat atom terdekat membentuk

suatu tetrahedral, dengan pusat atom yang bersangkutan.

- ZnS = memiliki 4 atom tetangga terdekat. Setiap atom memiliki jarak yang sama

terhadap keempat atom yang berbeda terdekatnya yang menempati pojok-pojok

tetrahedron reguler.

- HCP = baik HCP maupun FCC memilki perbandingan c/a =1,633 dan jumlah

tetangga terdekat 12 buah atom

9. - kristal yang memiliki struktur NaCl adalah LiH, MgO, MnO, AgBr, PbS, KCl,

dan KBr

- Kristal yang memiliki struktur CsCl adalah BeCu, AlNi, CuZn, CuPd, AgMg, LiHg,

NH4Cl, TlBr, dan TlI

- Kristal yang memiliki struktur intan adalah Ge, Si, C, timah putih

- ZnS adalah CuF, SiC, CuCl, AlP, GaP, ZnSe, GaAs, AlAs, CdS, InSb, dan AgI

- HCP adalah He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Zr, Gd, dan Lu


10. NaCl, CsCl, ZnS, HCP, dan intan memilki ciri-ciri dan struktur yang berbeda-beda.


11. Dalam kisi Bravais, seluruh titik kisi adalah ekivalen yang meliputi struktur NaCl,

CsCl, intan, dam ZnS.

12. NaCl, CsCl, ZnS, dan intan dapat dipandang sebagai kisi Non-Bravais.

13. Dalam satu sel NaCl, CsCl, ZnS, HCP, dan intan memilki jumlah dan posisi atom yang

berbeda-beda.

14. Jumlah tetangga terdekat dan jaraknya NaCl, CsCl, ZnS, HCP, dan intan berbeda-beda.

15. Terdapat banyak kristal yang memilki struktur seperti NaCl, CsCl, ZnS, HCP, dan

intan.

Permasalahan diskusi Pertemuan III (Tugas 3)

Geometri Kristal

Soal No. 1

Gambarlah arah [011] dan [121] dalam sel satuan ortorombik!

Jawab :


1. Bagaimana gambaran arah [011] dan [121] dalam sel satuan ortorombik?


2. Menggambarkan arah sel satuan otorombik.

3. Dimana sel satuan otorombik itu merupakan kisi kristal 3 dimensi.

4. Menggambarkan arah [011] dan [121] dalam sel satuan ortorombik.


5. Arah tertentu dalam kisi dinyatakan oleh vektor kisi (1.2), yaitu 𝑅 = 𝑛1𝑎 + 𝑛2𝑏 +

𝑛3𝑐 .

6. Arah vektor 𝑅 dinyatakan dengan 𝑛1 𝑛2 𝑛3 , yang lazimnya dalam perbandingan

bilangan bulat terkecil.

7. Dimana semua arah yang sejajar memiliki indeks yang sama.

8. Sistem kristal ortorombik memiliki geometri kristal a ≠ b ≠ c dan α = β = γ = 900

.

9. Kisi Bravaisnya P , C, I, F.

10. Memiliki simetri khas tiga sumbu rotasi-2 ortogonal.

11. Berikut adalah gambar arah [011] dalam sel satuan otorombik.

12. Berikut adalah gambar arah [121] dalam sel satuan otorombik.

b

a

c

b

a

c

2b


13. Gambar arah [011] dan arah [121] dalam satuan ortorombik adalah anak panah yang

berwarna merah.


14. Sistem kristal ortorombik tiga sumbu rotasi-2 ortogonal.

Soal No. 2

Arah [100] dan [010] dalam sistem tetragonal adalah ekivalen. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar arah [100] dan [010] dalam sistem tetragonal adalah ekivalen?


2. Menggambar arah [100] dan [010] dalam sel satuan sistem tetragonal.

3. Ekivalen itu dilihat dari manapun tetap sama.


4. Sistem kristal tetragonal memiliki geometri kristal a = b ≠ c dan α = β = γ = 900

.

5. Kisi Bravaisnya P , I.

6. Memiliki simetri khas sebuah sumbu rotasi-4.

7. Apabila sel satuan yang ditinjau mempunyai simetri rotasi maka ada arah non paralel

yang kesimetriannya merupakan arah yang ekivalen.

8. Berikut adalah gambar arah [100] dalam sel satuan sistem tetragonal.

9. Berikut adalah gambar arah [010] dalam sel satuan sistem tetragonal.

b

a

c

b

a

c

10. Gambar arah [100] dan arah [010] dalam satuan ortorombik adalah anak panah yang

berwarna merah.


15. Menyetujui bahwa arah [100] dan [010] dalam sistem tetragonal adalah ekivalen karena

arahnya simetri, dimana sisi a = sisi b.


16. Sistem kristal tetragonal memiliki arah yang ekivalen.

Soal No. 3

Gambarlah bidang (113), (020), dan (001) dalam sel satuan kubik!

Jawab :


1. Bagaimana gambaran bidang (113), (020), dan (001) dalam sel satuan kubik?


2. Menggambarkan arah sel satuan kubik.

3. Menggambarkan bidang (113), (020), dan (001) dalam sel satuan kubik.


4. Sistem kristal kubik memiliki geometri kristal a = b = c dan α = β = γ = 900

.

5. Kisi Bravaisnya P , I, F.

6. Memiliki simetri khas Empat sumbu rotasi-3 sepanjang diagonal Kubus.

7. Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang nonparalel (hkl) adalah

ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.

8. Dimana bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis 𝑎 , 𝑏 , dan 𝑐 , masing-masing pada

x, y dan z.

9. Didapatkan perangkat tiga bilangan 𝑥

𝑎 𝑦

𝑏 𝑧

𝑐 , dan diambil kebalikannya

𝑎

𝑥 𝑏

𝑦 𝑐

𝑧 .

10. Berikut adalah gambar bidang (113) dalam sel satuan kubik.

b

a

c

Bidang (113)




13. Gambar bidang (113), (020), dan (001) dalam sel satuan kubik ditunjukkan oleh

gambar di atas (bidang berwarna).


14. Kristal dalam sel satuan kubik memiliki bidang kristal yang berbeda-beda.

Soal No. 4

Representasi bidang dalam kristal, misalnya bidang (200), sesungguhnya terdiri dari

bidang-bidang sejajar dalam jumlah besar yang mana satu dengan yang lain memililiki

jarak tertentu. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar representasi bidang dalam kristal, misalnya bidang (200), sesungguhnya

terdiri dari bidang-bidang sejajar dalam jumlah besar yang mana satu dengan yang lain

memililiki jarak tertentu?


2. Jarak antar bidang maka direpresentasikan suatu bidang datar dalam suatu kisi kristal

diungkapkan oleh indek Miller (hkl).


3. Bidang kristal dalam sel satuan dilukiskan dengan bidang (hkl).

b

a

c Bidang (020)

b

a

c Bidang (001)

4. Bidang (hkl) diartikan sebagai kumpulan bidang paralel yang mempunyai representasi

indeks miller yang sama.

5. Sehingga Bidang (hkl) seolah – olah hanya terdiri dari 1 bidang atau lebih bidang yang

hanya ada dalam sel satuan tersebut.

6. Dimana pada kenyataannya, bidang (hkl) merupakan sekumpulan bidang parallel yang

memliki representasi indeks miller yang sama dengan jarak antar bidang tertentu.

7. Berikut adalah gambar bidang (200).


8. Menyetujui bahwa representasi bidang dalam kristal, misalnya bidang (200),

sesungguhnya terdiri dari bidang-bidang sejajar dalam jumlah besar yang mana satu

dengan yang lain memililiki jarak tertentu.


9. Bidang kristal dapat direpresentasikan dengan sejumlah bidang sejajar dengan jarak

tertentu.

Soal No. 5

Jarak antarbidang (010) dalam sistem tetragonal adalah b. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar jarak antar bidang (010) dalam sistem tetragonal adalah b?


2. Menggambarkan jarak antar bidang (010) dalam sistem tetragonal.

3. Apabila ingin menggambarkan jarak antar bidang maka direpresentasikan suatu bidang

datar dalam suatu kisi kristal diungkapkan oleh indek Miller (hkl).


4. Sistem kristal tetragonal memiliki geometri kristal a = b ≠ c dan α = β = γ = 900

.

5. Kisi Bravaisnya P , I.

b

a

c

Jarak antar bidang

x (tertentu)

6. Memiliki simetri khas sebuah sumbu rotasi-4.

7. Dalam satuan sel yang memiliki simetri rotasi, beberapa bidang non paralel (hkl) adalah

ekivalen karena kesimetriannya, dan dinotasikan dengan {hkl}.

8. Dimana bidang memotong sepanjang sumbu vektor basis 𝑎 , 𝑏 , dan 𝑐 , masing-masing pada

x, y dan z.

9. Didapatkan perangkat tiga bilangan 𝑥

𝑎 𝑦

𝑏 𝑧

𝑐 , dan diambil kebalikannya

𝑎

𝑥 𝑏

𝑦 𝑐

𝑧 .

10. Berikut adalah gambar arah bidang (010) dalam sel satuan sistem tetragonal.

11. Karena yang ditanyakan jarak antar bidang maka kita perlu menggambarkan kristal

dengan sistem tetragonal lebih dari satu.

12. Struktur kristal teratur dan periodik dalam rentang yang panjang dalam ruang.

13. sehingga dapat digambar sebagai berikut.

14. Peninjauan dari gambar di atas merupakan tinjauan secara kualitatif.

15. Sedangkan apabila kita meninjau secara kuantitatif sebagai berikut.

16. Menggunakan persamaan jarak antar bidang Miller :

1

𝑑=

ℎ

𝑎

2

+ 𝑘

𝑏

2

+ 𝑙

𝑐

2

1

𝑑=

0

𝑎

2

+ 1

𝑏

2

+ 0

𝑐

2

1

𝑑= 0 +

1

𝑏

2

+ 0

1

𝑑=

1

𝑏

2

b b b

b

a

c Sisi yang terarsir warna

abu-abu merupakan

bidang (010)

b

b

a

c

Sisi bidang

[010]

b

1

𝑑=

1

𝑏

𝑑 = 𝑏


17. Menyetujui bahwa jarak antar bidang (010) dalam sistem tetragonal adalah b dimana

dapat dibuktikan dengan tinjauan secara kualitatif maupun kuantitatif.


18. Setiap bidang kristal dalam sel satuan memiliki jarak antar bidang tertentu.

Soal No. 6

Dalam kristal Body Centered Cubic (BCC), hubungan jari-jari atom r dan konstanta kisi a

memenuhi persamaan 4r=a 2 . Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar dalam kristal Body Centered Cubic (BCC), hubungan jari-jari atom r dan

konstanta kisi a memenuhi persamaan 4r=a 2 ?


2. Hubungan antara parameter kisi, yakni ukuran a, b, dan c dalam sel satuan, dan jari-jari

atom dalam sel satuan bergantung pada jumlah atom dan pola distribusi atom-atom

dalam sel satuan.


3. Kristal BCC (Body Centered Cubic) merupakan kubik berorientasi ruang.

4. Kristal BCC dapat digambarkan sebagai berikut.

5. Gambar sebelah kiri adalah kisi kristal BCC.

6. Bila diambil garis sepanjang diagonal ruang (gambar kanan).

7. Apabila digambarkan atom-atom berukuran sesungguhnya, maka tampak bahwa 3 atom

saling merapat sepanjang diagonal ruang a 3 .

8. Dimana a adalah konstanta kisi.

4r=a 3

9. Dengan demikian terdapat hubungan 4r=a 3 .


10. Tidak menyetujui bahwa dalam kristal Body Centered Cubic (BCC), hubungan jari-jari

atom r dan konstanta kisi a memenuhi persamaan 4r=a 2 . Karena hubungan jari-jari

atom r dan konstanta kisi a memenuhi persamaan 4r=a 3 .


11. Hubungan antara parameter kisi dan jari-jari atom dalam sel satuan bergantung pada

jumlah atom dan pola distribusi atom-atom dalam sel satuan.

12. Dimana untuk BCC memiliki hubungan dengan persamaan 4r=a 3 .

Soal No. 7

Kristal kubik primitip (Simple Cubic = SC) memiliki kerapatan 1 atom per volume a3,

dimana a adalah konstanta kisi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar kristal kubik primitip (Simple Cubic = SC) memiliki kerapatan 1 atom

per volume a3, dimana a adalah konstanta kisi?




3. Sehingga kerapatan massa suatu kristal secara keseluruhan dapat dicari dari kerapatan

massa sel satuan.

4. Kristal kubik primitip (Simple Cubic = SC) memiliki nilai kerapatan.


5. Konstanta kisi Kristal kubik primitip (Simple Cubic = SC) adalah a=b=c.

6. Berikut merupakan gambar dari kristal Simple Cubic (SC).

7. Kristal Simple Cubic (SC) memiliki konstanta kisi a=b=c yang sering disebut a.

8. Volume kristal Simple Cubic (SC) adalah axaxa= a3 .

9. Atom dalam sel satuan yaitu 1 atom di dalam ruang kubik.

10. Dimana kerapatan atom = jumlah atom dalam sel satuan / volume.


11. Menyetujui bahwa kristal kubik primitip (Simple Cubic = SC) memiliki kerapatan 1

atom per volume a3, dimana a adalah konstanta kisi yang berada di dala ruang tengah

rongganya.


12. Kristal Simple Cubic (SC) memiliki kerapatan 1 atom per volume a3 .

Soal No. 8

Kristal Face Centered Cubic (FCC) memiliki fraksi kepadatan 2/6. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar kristal Face Centered Cubic (FCC) memiliki fraksi kepadatan 2/6?


2. Fraksi kepadatan didefinisikan sebagai proporsi maksimum dari luas (dua dimensi) atau

volume (tiga dimensi) yang ada yang dapat diisi oleh lingkaran (dua dimensi) atau bola

(tiga dimensi) atom dalam sebuah sel satuan.


3. Kristal Face Centered Cubic (FCC) memiliki nilai fraksi kepadatan tertentu.

4. Kristal FCC termasuk sel satuan non-primitip dengan 4 atom persel.

5. Berikut merupakan gambar dari kristal FCC.

6. Bila diambil garis diagonal bidang muka (gambar kanan)

7. Tampak bahwa 3 atom saling merapat sepanjang diagonal bidang a 2 .

8. Sehingga terdapat hubungan 4r=a 2 .

9. Berikut persamaan Fraksi kepadatan sel satuan kristal FCC.

4r=a 2

4r=a 2

10. 𝐹 = 𝑁 4/3 𝜋𝑟3

𝑉 , dimana N = jumlah atom dalam sel satuan, r = jari-jari bola atom, dan

V = volume sel satuan.

11. Sehingga didapatkan persamaan berikut.

74,06

24

2)3/4(

3

3

a

a

F


12. Menyetujui bahwa kristal Face Centered Cubic (FCC) memiliki fraksi kepadatan

2/6.


13. Setiap geometri struktur kristal diantaranya adala SC, BCC, FCC, HCP, Intan masing-

masing memiliki nilai fraksi kepacdatan yang berbeda-beda.

Soal No. 9

Logam Natrium memiliki massa jenis 1.011,89 kg/m3. Diskusikanlah cara memperoleh

harga tersebut berdasarkan data-data sel satuannya!

Jawab :


1. Apakah benar logam Natrium memiliki massa jenis 1.011,89 kg/m3?

2. Bagaimana cara memperoleh harga tersebut berdasarkan data-data sel satuannya?




4. Sehingga kerapatan massa suatu kristal secara keseluruhan dapat dicari dari kerapatan

massa sel satuan.


5. Logam Natrium (Na) berstruktur BCC (Body Centered Cubic).

6. Memiliki parameter kisi a=4,225 Ao

= 4,225. 10-10

m3.

7. Memiliki berat atom 22,99 sma= 22,99 kg/mol.

8. Setiap 1 kmol zat mengandung NA=6,025.1026

atom dan BA kg zat tersebut.

9. Dengan demikian setiap atom memiliki massa BA/NA.

10. Sehingga kerapatan sel satuan (massa jenisnya) dihitung dengan persamaan berikut.

𝜌 = 𝑚/𝑉 𝑠𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

𝜌 = 𝑁 𝑚𝑎𝑡𝑜𝑚

𝑉 𝑠𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

𝜌 = 𝑁 (𝐵𝐴

𝑁𝐴)𝑉

𝑠𝑒𝑙 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

𝜌 = 2 𝑎𝑡𝑜𝑚

22,99

𝑘𝑔𝑚𝑜𝑙

6,025 .1026atomkmol

4,225.10−10 3 m3

𝜌 = 1.011,89 kg/m3


11. Berdasarkan data-data satuannya logam Natrium memiliki massa jenis 1.011,89 kg/m3.


12. Logam Natrium memiliki massa jenis 1.011,89 kg/m3.

Permasalahan Diskusi Pertemuan IV (Tugas 4)

Difraksi Kisi Kristal

Soal No.1

Jika mengenai suatu bahan cahaya tampak maupun sinar-X akan berperilaku sama, yaitu

mengalami pembiasan, karena keduanya merupakan anggota dari gelombang

elektromagnetik. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:

Langkah 1 : Permasalahan

1. Apakah benar apabila suatu bahan, cahaya tampak maupun sinar-X akan berperilaku sama

yaitu mengalami pembiasan karena keduanya merupakan anggota dari gelombang

elektromagnetik?


2. Cahaya tampak

3. Sinar-X

4. Pembiasan

5. Gelombang elektromagnetik


6. Terdapat perbedaan perilaku antara gelombang optik dan sinar-X saat mengenai

permukaan bahan

7. Perbedaan perilaku antara gelombang optik dan sinar-X saat mengenai permukaan bahan

diilutrasikan sebagai berikut.

n1

r

i

n2

Gb. 1 Hukum Snellius n1 sin i = n2 sin r Gb. 2 Hukum Bragg = 2 dhkl sin

sin i/sin r =n2/n1= tetap < 2dhkl

8. Gelombang optik dan sinar-X mempunyai perbedaan panjang gelombang

9. Gelombang optik memiliki panjang gelombang 4000-7000 Å sedangkan sinar-X memiliki

panjang gelombang sekitar 1,38 Å

10. Terdapat perbedaan perlakuan anatar gelombang optik dan sinar-X saat mengenai

permukaan bahan

11. Gelombang optik mengenai permukaan gambar yang menghasilkan (sebelah kiri)

gelombang terhambur elastis dengan atom-atom kristal

12. Gelombang optik mengalami refraksi optik biasa dan berlaku hukum Snellius

13. Sinar-X menghasilkan berkas difraksi yang arahnya sangat berbeda dengan atom berkas

datang

14. Sinar-X berlaku hukum Bragg dan mengalami refleksi pada saat mengenai suatu bahan

Langkah 4 : Kesimpulan

15. Tidak setuju apabila dikatakan jika mengenai suatu bahan cahaya tampak maupun sinar-X

akan berperilaku sama, yaitu mengalami pembiasan, karena keduanya merupakan anggota

dari gelombang elektromagnetik, karena jika mengenai suatu bahan cahaya tampak dan

sinar-X tidak berperilaku sama


16. Apabila mengenai suatu bahan, cahaya tampak mengalami refraksi dan berlaku hukum

Snellius, sedangkan sinar-X mengalami refleksi dan berlaku hukum Bragg.

Soal No.2

Diskusikanlah mengapa sinar-X dapat membawa informasi dari suatu bahan yang dilaluinya,

sedangkan cahaya tampak tidak!

Jawab:


1. Jelaskan mengapa sinar-X dapat membawa informasi dari suatu bahan yang dilaluinya,

sedangkan untuk cahaya tampak tidak dapat!


2. Sinar-X

3. Informasi suatu bahan

4. Cahaya tampak


5. Pada eksperimen difraksi kisi optik diperlukan dua alat utama yaitu sumber gelombang

optik dan kisi optik

6. Gelombang optik biasanya digunakan sinar laser He-Ne dengan panjang gelombang sekitar

632 nm. Sinar laaser mempunyai panjang gelombang dalam rentang 400-700 nm

7. Kisi optik yang digunakan berukuran 600 line/inch, artinya kisi ini memiliki konstanta kisi

600

1d inch = 92 10.10.5,2

600

1

nm = 41.670 nm

8. Secara teori difraksi kisi optik harus memnuhi persamaan Bragg yaitu 2 dhkl sin hkl= nλ

: 2d > λ. dhkl adalah jarak antar bidang (hkl) dalam kristal

9. Karena panjang gelombang yang digunakan dalam dhkl dalam orde Å maka panjang

gelombang yang digunakan juga harus dalam orde yang sama. Salah satu jenis gelombang

yang mempunyai orde yang sama yaitu sinar-X dengan panjang gelombang sekitar 1,38 Å


10. Karena jarak antar atom-atom kristal padatan dalam orde angstom, maka yang dapat

digunakan untuk mengukur jarak antar bidang atom-atom kristal itu adalah sinar x,

sedangkan untuk cahaya tampak tidak bisa digunakan karena panjang gelombangnya

terlalu besar untuk ukuran atom-atom kristal padatan.


11. Sinar-X dapat membawa informasi pada suatu bahan yang dilaluinya sedangkan cahaya

tampak tidak dapat membawa informasi

Soal No.3

Dalam menjelaskan sinar-X yang mengenai permukaan bahan, teori hamburan

menghasilkan bahwa untuk terjadinya difraksi kisi haruslah faktor struktur geometri kristal

tidak boleh berharga nol. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah benar bahwa untuk menjelaskan sinar-X yang mengenai permukaan bahan teori

hamburan menghasilkan pernyataan untuk terjadinya difraksi kisi haruslah faktor struktur

geometri kristal tidak boleh berharga nol?


2. Sinar-X

3. Permukaan bahan

4. Difraksi kisi

5. Teori hamburan

6. Struktur geometri kristal


7. Intensitas parsial gelombang terhambur sebanding dengan kuadrat besarnya medan (faktor

hamburan kristal)

I (

N

l

Rsi

alkrleff

1

)2

, dengan fal = panjang hamburan atom ke-l

8. okks

adalah vektor hamburan yang merupakan selisih antara vektor gelombang akhir

dan vektor gelombang awal (karena hamburan elastik kkko

, maka dihasilkan

sin2kss

) lR

adalah posisi atom dalam kristal

9. Posisi atom dapat ditinjau dalam sel satuannya, yaitu j

c

ll RR '

, dimana c

lR '

adalah

posisi sel satuan ke-l, dan j adalah posisi atom dalam sel satuan, sehingga faktor

hamburan kristal di atas dapat dinyatakan dalam bentuk faktorisasi fkr = F S dengan

j l

Rsisi

aj

clj eSdanefF

'

'

10. Masing-masing mengungkapkan faktor struktur geometri dan kisi. Faktor struktur kisi

hanya bergantung pada sistem kristal. Sedangkan faktor struktur geometri bergantung pada

bentuk geometri dan isi sel satuan.

11. Faktor struktur kisi tidak berharga nol, tetapi bernilai sama dengan jumlah atom dalam

kristal Shkl=N terjadi bila vektor hamburan sama vektor kisi resiprok hklGs

. Syarat ini

dinamakan syarat Bragg. Dari nilai sin2kss

dan 2hklhkl Gd

serta k=2/

didapatkan hukum Bragg 2 dhkl sin = .


12. Setuju bila dalam menjelaskan sinar-X yang mengenai permukaan bahan, teori hamburan

menghasilkan bahwa untuk terjadinya difraksi kisi haruslah faktor struktur geometri kristal

tidak boleh berharga nol, hal ini dijelaskan dalam persamaan oleh hamburan sinar-X oleh

elektron-elektron dalam atom


13. Faktor hamburan kristal dinyatakan dalam bentuk faktorisasi yang masing-masing

mengungkapkan faktor struktur geometri dan faktor geometri kisi

Soal No.4

Kristal “face centered” hanya menghasilkan difraksi untuk bidang-bidang yang memiliki

indeks Miller semuanya ganjil dan atau semuanya genap. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah benar pernyataan apabila kristal “face centered” hanya menghasilkan difraksi

untuk bidang-bidang yang memiliki indeks Miller semuanya ganjil dan atau semuanya

genap?


2. Kristal “Face Centered”

3. Difraksi

4. Indeks Miller


5. Sel ini memiliki empat atom persel di 000, ½½0, ½0½ dan 0½½

6. Sehingga

Fhkl = fa (e2i(h.0 + k.0 + l.0)

+ e2i(h.½ + k.½ + l.0)

+ e2i(h.½ + k.0 + l.½)

+ e2i(h.0 + k.½ + l.½)

)

= fa (1 + ei(h + k)

+ ei(h + l)

+ ei(k + l)

)

7. Kondisi Fhkl=0 dipenuhi bila terdapat tiga kemungkinan harga

ei(h + k)

= - 1; dan ei(h + l)

- 1; serta ei(k + l)

= - 1

ei(h + k)

- 1; dan ei(h + l)

= - 1; serta ei(k + l)

= - 1

ei(h + k)

= - 1; dan ei(h + l)

= - 1; serta ei(k + l)

- 1

8. Berturut-turut ketiga kemungkinan di atas memenuhi Fhkl 0 jika

(h+k) = 2n dan (k+l) = 2n

(h+l) = 2n dan (k+l) = 2n

(h+k) = 2n dan (h+l) = 2n

9. Ketiga kemungkinan syarat di atas, sebenarnya dapat diringkas lagi menjadi hanya satu

syarat saja, yaitu Fhkl0 hanya jika semua indeknya genap atau semua indeknya ganjil.


10. Setuju apabila dikatakan Fhkl0 hanya jika semua indeknya genap dan atau semua indeknya

ganjil.


11. Kristal “Face Centered” hanya menghasilkan difraksi untk bidang-bidang yang memiliki

indeks Miller semuanya ganjil dan atau semuanya genap

Soal No.5

Diskusikanlah tentang kisi nyata dan kisi resiprok, beserta vektor kisinya masing-masing dan

hubungannya satu sama lain!

Jawab:


1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan kisi nyata! Sebutkan pula vektor kisinya!

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan kisi resiprok! Sebutkan pula vektor kisinya!

3. Bagaimana hubungan antara kisi nyata dan kisi resiprok?


4. Kisi nyata

5. Kisi resiprok

6. Vektor kisi


7. Setiap struktur kristal memiliki 2 kisi, yaitu kisi kristal dan resiprok.

8. Saat kristal dikenai sinar-X, akan dihasilkan pola difraksi yang merupakan peta kisi

resiprok kristal tersebut. Dengan kata lain bila sinar-X mengenai kristal sebagai kisi nyata,

maka dihasilkan pola difraksi yang berbentuk kisi resiprok.

9. Vektor basis a

, b

, dan c

membentuk sel satuan dalam kisi nyata, sedangkan vektor basis

a

, b

, dan c

membentuk sel satuan dalam kisi resiprok

10. Antara vektor basis dalam kisi nyata adalah cdanba

, dan dalam kisi resiprok

***, cdanba

terdapat hubungan

bxac

bxac

axcb

axcb

cxba

cxba

222

11. Vektor basis kisi resiprok ***, cdanba

memiliki satuan m-1

, yang sama dengan angka

gelombang

12. Vektor a

merupakan hasil perkalian silang cb

, maka a

tegak lurus terhadap bidang

cb

, . Dengan cara yang sama b

tegak lurus terhadap bidang ac

, , dan c

tegak lurus

terhadap bidang ba

,

13. Kisi resiprok mempunyai hubungan dengan kisi nyata antara lain

2 ccbbaa cxbaVdancxbaVdengan

VV oo

o

o

,

23

14. Setiap vektor dari kisi resiprok clbkahGs hkl

tegak lurus terhadap bidang kisi

(hkl) dalam ruang nyata

15. Jarak antar bidang dhkl dan hklG

direlasikan oleh 2hklhkl Gd

16. Perbandingan kisi nyata dua dimensi a=1,25 Å, b=2,50 Å dan =120o dan resiproknya

berikut.

Gb. 3 Kisi Nyata Gb. 4 Kisi Resiprok

17. Pada gambar di atas tampak bahwa

a. a

tegak lurus terhadap b

; dan b

tegak lurus terhadap a

50.2

22

25.1

222

010100

db

daa

Dalam kisi nyata harga a= ½ b , tetapi dalam kisi resiprok harga a*=2b*

b. setiap titik (hkl) dalam ruang resiprok terkait dengan perangkat bidang (hkl) dalam

ruang nyata

18. Simetri kelompok titik dalam ruang resiprok sama dengan simetri ruang nyata

19. Kisi nyata SC adalah kisi SC juga

20. Kisi resiprok kisi BCC adalah kisi FCC dan sebaliknya


21. Kisi resiprok adalah peta pola difraksi sinar-X mengenai kristal (kisi nyata). Kisi nyata dan

kisi resiprok memiliki hubungan masing-masing dalam sebuah persamaan matematis


22. Kisi resiprok adalah peta pola difraksi sinar-X mengenai kristal (kisi nyata)

Soal No.6

Kisi nyata SC memiliki kisi resiprok SC juga. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah benar bahwa kisi nyata SC memiliki kisi resiprok SC juga?

120

010

100

O

*b

*a

110G

O

b

a

d010

d100


2. Kisi nyata SC

3. Kisi resiprok SC


4. Kisi nyata SC memiliki ciri acba

dan ===900 yang diungkapkan dalam

vektor kacjabiaa ˆ,ˆ,ˆ

5. Dapatlah ditentukan kisi resiprok SC, yaitu kacjabiaa ˆ)/2(,ˆ)/2(,ˆ)/2( ***

6. Tampak bahwa vektor basis kisi resiprok ***, cdanba

memiliki besar yang sama, yaitu

2/a dan sudut yang sama, yaitu 900

7. Ciri ini sama dengan yang dimiliki oleh kisi nyata SC

8. Terbuktilah bahwa kisi resiprok dari kisi nyata SC adalah kisi SC juga

9. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan juga bahwa kisi resiprok kisi BCC adalah kisi

FCC, dan sebaliknya


10. Setuju apabila ciri yang dimiliki kisi nyata SC sama dengan yang dimiliki kisi resiprok SC


11. Kisi nyata SC memiliki kisi resiprok SC juga

Soal No.7

Diskusikanlah hasil difraksi sinar-X pada kristal KBr dan bandingkanlah dengan pola

difraksi pada KCl!

Jawab:


1. Bagaimana hasil difraksi dari sinar-X pada kristal KBr?

2. Bagaimana pola difraksi dari sinar-X pada kristal KCl?

3. Bagaimana perbandingan antara hasil difraksi dari sinar-X pada kristal KBr dengan pola

difraksi pada KCl?


4. Hasil difraksi sinar-X

5. Kristal KBr

6. Kristal KCl

7. Pola difraksi


Gambar intensitas refleksi kristal KBr sebagai hasil difraksi sinar-X

8. Pola difraksi dari sinar-X = refleksi kristal KBr dari gambar di atas sehingga diperoleh:

(111) (220) (220) (311)

(222) (400) (331) (420)

9. Menunjukkan bahwa indeks Miller (hkl) tersebut adalah semuanya genap atau semuanya

ganjil

10. Secara teori kristal KBr memiliki struktur FCC karena bidang memiliki indeks Miller (hkl)

adalah semua genap atau semua ganjil. Dengan demikian dapat diduga bahwa struktur

kristal KBr adalah kubik FCC.

11. Menurut fakta, KBr memiliki struktur sama dengan NaCl yaitu basis

12. Pola difraksi sinar-X = refleksi kristal KCl sehingga menunjukkan bidang dengan indeks

Miller semuanya genap, yaitu: (300) (220) (222) (400) (420)

13. Kristal KCl berstruktur BCC karena bidang memiliki indeks Miller semuanya genap

14. Tampak bahwa tiga bidang yaitu (111) (311) dan (331) yang terdapat dalam hasil difraksi

KBr tidak muncul dalam difraksis kristal KCl

15. Padahal susunan kristal antara KCl dan KBr sama yaitu NaCl

16. Perbedaan hasil difraksi sinar-X antara KCl dan KBr

Sel satuan KBr memiliki 4 ion K+ dan 4 ion Br

- yang berkedudukan di

K+ : 0 0 0 ½ ½ 0 ½ 0 ½ 0 ½ ½

Br-: ½ ½ ½ 0 0 ½ 0 ½ 0 ½ 0 0

17. Ion K+ dan ion Br

- masing-masing memiliki jumlah elektron 18 dan 36 sehingga fk ≠ fBr

18. Dengan demikian indeks (hkl) semuanya ganjil dapat muncul dan menimbulkan difraksi

sinar-X

19. Ion K+ dan ion Cl

- masing-masing memiliki jumlah elektron sama yaitu 18 elektron

sehingga fk ≈ fCl

20. Oleh karena itu dalam kristal KCl indeks Miller (hkl) yang dapat muncul hanya yang

semuanya genap saja

21. Beberapa kristal yang seperti KCl adalah NaF, RbBr, dan CsI


22. Hasil difraksi sinar-X antara kristal KBr dan KCl berbeda dimana kristal KBr berstruktur

FCC dengan indeks Miller semuanya genap atau semuanya ganjil, sedangkan kristal KCl

berstruktur BCC dengan indeks Miller semuanya genap.


23. Hasil pola difraksi pada kristal KBr tidak sama dengan hasil pola difraksi pada kristal KCl.

Setiap kristal memiliki struktur kristal yang berbeda-beda berdasarkan dari bidang hkl nya.

Permasalahan diskusi Pertemuan V (Tugas 5)

Ikatan Atomik dalam Kristal

Soal No.1

Energi potensial dua atom dalam suatu molekul tertentu berharga negatip dan

berbanding terbalik terhadap jarak pisah antara kedua atom tersebut.


Jawab :

Langkah 1 : Mendiskripsikan secara singkat tentang permasalahan

1. Setujukah anda apabila Energi potensial dua atom dalam suatu molekul

tertentu berharga negatip dan berbanding terbalik terhadap jarak pisah

antara kedua atom tersebut? Jelaskan!

Langkah 2 : Menyampaikan konsep yang terkait dengan permasalahan

2. jarak pisah antar atom

3. energy potensial

4. dua atom dalam satu molekul

5. energy potensial dua atom dalam satu molekul

Langkah 3 : Self-explanation

6. Pengertian dari molekul ialah sekelompok atom bermuatan listrik netral

yang terikat kuat bersama dan berperilaku sebagai partikel tunggal.

7. Suatu jenis molekul tertentu memiliki komposisi dan struktur tertentu pula.

8. Energi potensial yang merepresentasikan interaksi antara dua atom dalam

suatu molekul sebagai fungsi jarak diperlihatkan pada Gambar

9. Posisi setimbang ditandai oleh energi terendah –Vo, yang terjadi pada jarak

Ro yang berordo beberapa angstrom.

Gambar Energi potensial

sebagai fungsi jarak dari

ikatan dua atom

10. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada

R→∞ (dua atom bebas).

11. Sedangkan pada R<Ro, potensial naik secara tajam menuju ∞.

12. Gaya antaratom dapat dirumuskan F(R) = −∇V(R)

13. Terlihat bahwa F(R)<0 untuk R>Ro, sehingga terjadi tarik-menarik; dan

F(R)>0 untuk R<Ro, sehingga terjadi tolak-menolak antara dua atom

tesebut.

14. Kedua gaya ini saling meniadakan satu sama lain pada titik setimbang Ro.

Tetapi, umumnya, energi tarikan mendominansi energi tolakan pada titik

setimbang Ro.


15. Setuju dengan pernyataan bahwa energy potensial berharga negative dan

berbanding terbalik dengan jarak antar atom


16. Energi potensial meruapakn interaksi antara dua atom dalam satu molekul.

Soal No.2

Diskusikanlah tentang energi potensial dan gaya yang terjadi pada dua atom

yang membentuk molekul pada jarak yang lebih besar, sama, atau lebih kecil

daripada jarak kesetimbangan antara dua atom tersebut!

Jawab :

Langkah 1: Mendiskripsikan secara singkat tentang permasalahan

1. Diskusikanlah tentang energi potensial dan gaya yang terjadi pada dua atom

yang membentuk molekul pada jarak yang lebih besar, sama, atau lebih

kecil daripada jarak kesetimbangan antara dua atom tersebut!

Langkah 2: Menyampaikan konsep yang terkait dengan permasalahan

2. Energy potensial

3. Gaya yang terjadi pada dua atom yang membentuk molekul

4. Jarak kesetimbangan antara dua atom

5. Jarak antar atom

Langkah 3: Self-explanation

6. Energi potensial yang merepresentasikan interaksi antara dua atom dalam

suatu molekul sebagai fungsi jarak diperlihatkan pada Gambar

Gambar Energi potensial sebagai fungsi jarak dari ikatan dua atom

7. Posisi setimbang ditandai oleh energi terendah –Vo, yang terjadi pada jarak

Ro yang berordo beberapa angstrom.

8. Pada R>Ro, potensial naik secara bertahap sehingga mencapai nol pada

R→∞ (dua atom bebas).

9. Sedangkan pada R<Ro, potensial naik secara tajam menuju ∞.

10. Harga dari ∇V(R) ialah positif sehingga F ( R ) < 0 atau dengan kata lain

teerjadi tarik menarik.

11. Gaya tarik menarik ini merupakan penyebab kedua atomberkecenderungan

untuk mendekat sehingga mencapai titik kesetimbangan.

12. Pada saat R=Ro maka tercapai titik setimbang

13. Pada saat posisi setimbang ditandai oleh energy poensial terendah –V0

14. Energy tarikan mendominasi energy tolakan pada titik R0

15. Energy potensial energy potensial berharga minimum sehingga ∇V(R) = 0

dan resultan gaya F ( R ) = 0

16. Artinya pada R=R0, gaya tarik-menarik dan gaya tolak menolak sama besar

dan saling meniadakan.

17. R<R0 terjadi pada saat R bernilai lebih kecil dari R0

18. Energy potensial naik secara tajambahkan mencapai harga postif dan

menuju harga ∞.

19. ∇V(R) berharga negative sehingga sehingga F ( R ) < 0 atau terjadi tolak

menolak antar dua atom

20. Gaya tolak menolak menyebabkan kedua atom cenderung untuk kembali ke

titik setimbang.

Langkah 4: Kesimpulan

21. Pada saat R> R0 , energy potensialnya naik secara bertahap dan terjadi gaya

tarik menarik. Pada saat R=R0 , energy potensialnya terendah –V0 dan

resultan gayanya adalah nol. Pada saat R> R0, energy potensialnya naik

secara tajam sampai harga positif menuju ∞ serta terjadi gaya tolak-

menolak.


22. Dalam suatu keadaan tertentu, energy potensial dan gaya antar

atommemiliki keadaan tertentu pula yang bergantung kepada jarak antar

atomnya.

Soal No.3

Molekul hidrogen memiliki energi ikat (energi kohesi) sebesar 4,5 eV. Apakah

artinya? Dari manakah asal energi tersebut?

Jawab :


1. Molekul hidrogen memiliki energi ikat (energi kohesi) sebesar 4,5 eV.

Apakah artinya? Dari manakah asal energi tersebut?


2. Molekul hydrogen

3. Energi ikat (energy kohesi)


4. Pada sebuah atom hydrogen memiliki energy -13,6 Ev

5. Dua buah atom hydrogen (molekul H2) memiliki energy 2 x – 13,6 eV = -

27,2 eV pada jarak R=∞

6. Apabila kedua atom saling mendekat untuk setimbang R=R0=0,074 Nm

7. Maka akan terjadi molekul H2 hidrogn yang stabil dengan energy E0 =-21,7

eV.

8. Enegi molekul hydrogen <energy antar 2 atom hydrogen

9. Perbedaan energi -27,2 Ev – (-31,7)Ev =4,5 Ev yang biasanya disebut

dengan energi ikat (kohesi)

10. Energi ikat molekul hydrogen adalah energi yang diperlukan untuk

memecah mlekul tersebut menjadi dua atom hydrogen bebas penyusunnya.


11. Molekul h2 memiliki energy 4,5 eV yang diperoleh dari perbedaan energi

molekul hidrogen dengan energy antar dua atom atau biasa disebut dengan

enrgi ikat.

Langkah 5: Generalisasi

12. Energi ikat merupakan energi yang dibutuhkan untuk memecah molekul

menjadi dua atom penyusunnya.

Soal No.4

Dalam kristal NaCl, setiap ion positip Na+ dan ion negatip Clˉ memiliki simetri

bola. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Setujukah anda bahwa dalam kristal NaCl, setiap ion positip Na+ dan ion

negatip Clˉ memiliki simetri bola. Jelaskan!


2. Kristal NaCl

3. ion positip Na+ dan ion negatip Clˉ

4. simetri bola


5. Pada saat kristal berikatan telah terjadi transfer e- dari atom-atom alkali ke

atom atom halogen.

6. Atom 11Na = 1s2

2s2 2p

2 3s

2

7. Atom 17 Cl = 1s2 2s

2 2p

2 3s

2 3p

5

8. Sebuah electron 3s2

atom Na berpindah ke 3p5 atom Cl sebagai

konfigurasinya

9. Ion positif Na + = 1s

2 2s

2 2p

6

10. Io negative Cl- = 1s

2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6

11. Akibatnya alkali menjadi ion positif dan halogen menjadi ion engatif,

dimana keduanya memiliki distribusi e-

yang mengenai gas mulia

12. Oleh sebab itu kedua jenis ion tersebut memiliki simetri bola

13. Kedua ion tersebut tidak saling berikatan yang membentuk molekul

berpasangan, melainkan berdiri-sendiri


14. Setuju apabila dalam kristal Nacl , ion Na+

dan Cl- memiliki simetri bola


15. Kristal NaCl memiliki ikatan ionik

Soal No.5

Energi kristal ionik di jarak kesetimbangannya memenuhi

ooo

RRtotRR

qNU

o

1

4

2

. Diskusikanlah darimanakah asal energi tersebut!

Besaran apakah α tersebut?

Jawab :


1. Energi kristal ionik di jarak kesetimbangannya memenuhi

ooo

RRtotRR

qNU

o

1

4

2

. Diskusikanlah darimanakah asal energi

tersebut! Besaran apakah α tersebut?


2. Energy kristal ionic

3. Jarak kesetimbangan


4. Ikatan ion akan terjadi apabila antar in positif dan negative ion terjadi

perpindahan e- sehingga mencapai konfigurasi gas mulia.

5. Energy ikatnya diperoleh dari potensial tolak-menolak medan senral empiric

dan tarik menarik coulomb.

6. Energy tersebut ialah energy kisi kristal yang memenuhi persamaan

7. pada jarak setimbang

8. Dengan


9. Energy kisi kristal diperoleh dari potensial tolak menolak medan sentral

ampirik dan tarik menarik coulomb.


10. Setiap struktur tertentu yang memiliki ikatan ion memiliki energy ikat m =

energy kisi kristalnya.

Soal No.6

Dalam kristal kovalen, peluang elektron berada pada daerah antara dua proton

adalah kecil, sedangkan di sekitar masing-masing proton yang bersangkutan

dan jauh dari daerah antara dua proton adalah besar. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Setujukah anda bahwa dalam kristal kovalen, peluang elektron berada pada

daerah antara dua proton adalah kecil, sedangkan di sekitar masing-masing

proton yang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton adalah

besar. Jelaskan!


2. kristal kovalen

3. peluang lektron

4. proton


5. Jika kedua atom saling mendekat dan membentuk molekul H2, maka orbital

molekulnya merupakan kombinasi linier dari kedua orbital atom 1s.

6. Orbital molekul tersebut mempunyai dua kemungkinan, yaitu

7. Tampak bahwa ψgenap mengandung elektron terutama pada daerah antara

dua proton

8. sedangkan ψganjil mengandung elektron di sekitar masing-masing proton

yang bersangkutan dan jauh dari daerah antara dua proton.


9. Tidak setuju dengan pernyataan jika peluang e- pada daerah anatar 2 atom

proton kecil dan peluang e- disekitar masing-masing proton yang

bersangkutan adalah benar.


10. Peluang elektronatau distribusi electron bergantung pada letak atau

daerahnya

Soal No.7

Energi kinetik elektron konduksi dalam logam memenuhi hubungan Ek V2/3

,

dimana V adalah volume kristal. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Setujukah anda apabila Energi kinetik elektron konduksi dalam logam

memenuhi hubungan Ek V2/3

, dimana V adalah volume kristal. Jelaskan!


2. Energy kinetik electron

3. Electron konduksi dengan logam

4. Hubungan energy kinetic dengan elekton kondusksi dengan logam


5. Model ikatan logam menggambarkan adanya suatu susunan ion teratur dan

suatu lautan elektron valensi ion tersebut yang dapat bergerak bebas di

antara susunan ion.

6. Dengan demikian elektron valensi atom berubah menjadi electron konduksi

logam.

7. Ikatan logam terjadi bila tarikan antara ion positip dan gas elektron melebihi

penolakan antarelektron dalam gas tersebut.

8. Gaya tolak Coulomb antarion positip menjadi tidak efektif karena gas

elektron melingkupi ion secara kuat sehingga menjadi ion noninteraksi yang

netral.

9. Atom logam bersatu sehingga terbentuk kristal logam yang stabil karena

energi sistem kristal lebih rendah daripada energi atom bebasnya.

10. Dalam atom bebas terisolasi, elektron dimodelkan sebagai sebuah partikel

dalam kotak potensial.

11. Dengan demikian gerakan elektron dibatasi dalam volume yang kecil

sehingga, menurut prinsip ketidaktentuan Heisenberg, energi kinetiknya

besar.

12. Dengan menggunakan persamaan Scrodinger, dimana potensial interaksi

nol, dan syarat batas periodik diperoleh energi kinetik electron

13. dengan V adalah volume kotak tempat electron bergerak.


14. Jadi tidak setuju apabila Energi kinetik elektron konduksi dalam logam

memenuhi hubungan Ek V2/3

melainkan Ek V-2/3


15. Ikatan logam memiliki energy kinetic yang mempunyai hubungan energy

kinetic electron konduksi logam yang memenuhi persamaan Ek V-2/3

Soal No.8

Ikatan Van der Walls pada kristal gas mulia terjadi karena pengaturan elektron

valensi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Setujukah anda bahwa Ikatan Van der Walls pada kristal gas mulia terjadi

karena pengaturan elektron valensi. Jelaskan!


2. Ikatan Van der Walls

3. Kristal gas mulia

4. Electron valensi


5. Ikatan ionik, kovalen dan logam terjadi karena pengaturan electron valensi.

6. Hal demikian tidak bisa terjadi pada gas mulia yang sangat stabil karena sel

terluarnya penuh.

7. Distribusi elektronnya mempunyai simetri bola sehingga potensial listrik

berharga nol di luar jari-jari atom.

8. Demikian juga momen multipol listriknya.

9. Jika hal ini benar, maka atom gas mulia tidak memiliki energy kohesi dan

tidak dapat terkondensasi menjadi cairan.

10. Tetapi, terjadinya kondensasi dan pembekuan pada suhu yang sangat rendah

membuktikan bahwa terdapat energi ikat yang lemah pada gas ini.


11. Tidak setuju bahwa Ikatan Van der Walls pada kristal gas mulia terjadi

karena pengaturan elektron valensi, namun terjdi karena interaksi antar

momen dipol litrik.


12. Ikatan Van Der Walls terjafi karena interaksi antar momen dipole listrik

sesaat.

Soal No.9

Ikatan hidrogen dibentuk oleh gaya tarik-menarik antardipol listrik dalam

molekul-molekul penyusunnya. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Setujukah anda, Ikatan hidrogen dibentuk oleh gaya tarik-menarik

antardipol listrik dalam molekul-molekul penyusunnya. Jelaskan!


2. Ikatan hydrogen

3. Gaya tarik menari antar dipole listrik

4. Molekul penyusun


5. Ikatan hydrogen terjadi karena dalam kristal, misalkan air terdapat dipole

listrik

6. Gaya tarik menarik antar dipole listrik inilah yang menghasilkan katan

hidroen sehingga berbentuk kristal


7. Setuju bahwa jika ikatan hydrogen dibentuk oleh gaya tarik menarik antar

dipole listrik


8. Ikatan hydrogen terjadi karena interaksi tarik menarik dipol listrik.

Soal No.10

Titik leleh kristal intan adalah 30000C, sedangkan titik leleh kristal He adalah -

272,20C. Apakah arti besar titik titik leleh tersebut bila dikaitkan dengan energi

ikat kristal? Jelaskan!

Jawab :


1. Titik leleh kristal intan adalah 30000C, sedangkan titik leleh kristal He

adalah -272,20C. Apakah arti besar titik titik leleh tersebut bila dikaitkan

dengan energi ikat kristal? Jelaskan!


2. Titik leleh kristal intan

3. Titik leleh kristal He

4. Titik-titik leleh

5. Energy ikat kristal


6. Energy ikat kohesi kristl yang tinggi ditandai dengan tiik leleh yang tinggi

7. Berturut-turut dari yang kuat hingga lemah adalah

8. Katan kovalen, misalnya intan, memiliki tingkat kekerasan tinggi dan titik

leleh > 30000c dengan energy kohesi 7,3 eV per atom

9. Ikatan ionic, titik leleh pada 8010c dengan energy ikat kohesinya 5eV.

Misalnya NaCl

10. Ikatan logam contohnya logan Na, memiliki titik lelh pada 97,80c.

11. Ikatan hydrogen contohnya h2O memiliki titik leleh 00c.

12. Ikatan van der walls yang ditandai dengan titik lelehnya rendah He=-

272,20c. N-248,7

0c, Ar=-189,2

0c


13. Hubungan titik leleh bil dikaitkan dengan energy kristal adalah energy ikat

atau kohesi kristal tinggi memiliki titik leleh yang tinggi


14. Titik leleh mempengaruhi energy ikat kohesi.

Permasalahan diskusi Pertemuan VI (Tugas 6)

Getaran dalam Zat Padat

Soal No.1

Saat zat padat dirambati gelombang, kapankah persoalan fisisnya menyangkut lingkup

makro dan kapan pula menyangkut lingkup mikro? Jelaskan!

Jawab :

Langkah 1 : Diskusi Permasalahan

1. Jelaskan kapankah persoalan fisis menyangkut lingkup makro dan kapan pula

menyangkut lingkup mikro, pada Saat zat padat dirambati gelombang?


2. Padatan dapat dianggap sebagai medium kontinu bagi perambatan gelombang suara.


3. Saat gelombang dirambatkan dalam suatu padatan satu dimensi.

4. Gelombang tersebut menyebabkan atom-atom berosilasi di sekitar titik setimbangnya.

5. Perhatikanlah gambar di bawah ini!

Gambar 1

6. Gambar di atas menunjukkan gelombang yang merambat dan arah simpangan atom-

atom padatan.

7. Jika jarak antar atom adalah d dan gelombang yang arah getarannya ke atas

menyebabkan atom berosilasi ke kanan, dan sebaliknya.

8. Pada gambar 1 arah gerak gelombang adalah keatas sehingga semua atom berosilasi

ke kanan.

9. Simpangan atom-atom ini semakin membesar sampai kepuncak gelombang, kemudian

menjadi kecil setelah mencapai puncaknya.

10. Kondisi ini menyebabkan panjang gelombang yang dirambatkan jauh lebih besar dari

pada jarak antar atom >> d.

11. Saat >> d maka tidaklah perlu dikatakan sifat mikro atom-atom, yaitu bahwa

simpangan atom pertama ke kanan, atom kedua juga ke kanan, atom ketiga ke kanan,

>> d

d

dan seterusnya; tetapi cukuplah sifat makro atom-atom, yaitu bahwa simpangan

semua atom adalah ke kanan.

12. Jelaslah bahwa saat gelombang yang merambat mempunyai panjang gelombang yang

jauh lebih besar daripada jarak antaratom, sifat atomik dapat diabaikan dan padatan

dapat dianggap sebagai medium kontinu.

13. Persoalan fisisnya menyangkut lingkup makro, dan gelombang yang demikian disebut

gelombang elastik.

14. Contoh gelombang elastik adalah gelombang suara elastik longitudinal.

15. Sebagai pembanding, perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar 2

16. Gambar di atas menunjukkan gelombang yang dirambatkan dalam zat padat yang

seorde dengan jarak antar atom.

17. Dalam hal ini harus dikatakan sifat mikro atom-atom, yaitu simpangan atom pertama

ke kanan, kedua ke kiri, ketiga ke kanan, keempat ke kiri, dan seterusnya.


18. Persoalan fisis yang menyangkut lingkup makro adalah pada saat gelombang yang

dirambatkan jauh lebih besar dari pada jarak antar atom.

19. Persoalan yang menyangkut lingkup mikro adalah gelombang yang dirambatkan dalam

zat padat yang seorde dengan jarak antar atom.


20. Pada saat zat padat dirambati gelombang memiliki persoalan fisis menyangkut lingkup

makro dan mikro.

=2d

d

Soal No.2

Rambatan gelombang suara elastik longitudinal dalam suatu batang isotropik

menghasilkan hubungan dispersi linier (k)=vsk, dimana vs dan k, masing-masing adalah

kecepatan fasa gelombang dan angka gelombang. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah rambatan gelombang suara elastik longitudinal dalam suatu batang isotropik

menghasilkan hubungan dispersi linier (k)=vsk, dimana vs dan k, masing-masing

adalah kecepatan fasa gelombang dan angka gelombang?


2. Hukum II Newton a=F/m mendeskripsikan percepatan yang dialami oleh benda

bermassa m adalah sebanding dengan gaya yang bekerja dan berbanding terbalik

dengan massa benda itu.

3. Hukum Hooke menyatakan bahwa gaya sebanding dengan perubahan simpangan suatu

benda sebanding dengan gaya yang diberikan


4. Gelombang suara elastik longitudinal yang merambat dalam suatu batang isotropik

memenuhi Hukum II Newton dan Hukum Hooke.

5. Kecepatan fasa gelombang yang menyatakan kecepatan rambat gelombang dalam

padatan

6. Kecepatan fasa gelombang dinyatakan sebagai vs=(Y/)1/2

.

7. Dengan diketahui persamaan gelombang (k)=vsk.

8. Hubungan (k)=vsk dengan vs=(Y/)1/2

antara frekuensi dan bilangan gelombang disebut

relasi dispersi.

9. Dengan k dan ω adalah bilangan gelombang dan frekuensi radial gelombang.

10. Dalam hal ini hubungan tersebut adalah linier, dengan kemiringan kecepatan fasa, seperti

disajikan pada grafik di bawah ini!

11. Relasi dispersi linier (dengan kecepatan suara vs sebagai kemiringannya) dimiliki oleh

beberapa gelombang, antara lain gelombang optik dalam vakum, dan gelombang suara

dalam cairan dan gas.


12. Setuju, jika rambatan gelombang suara elastik longitudinal dalam suatu batang

isotropik menghasilkan hubungan dispersi linier (k)=vsk, dimana vs dan k, masing-

masing adalah kecepatan fasa gelombang dan angka gelombang


13. Gelombang suara elastik longitudinal yang merambat dalam suatu batang isotropik

memenuhi Hukum II Newton dan Hukum Hooke.

Soal No.3

Berdasarkan teori klasik dan hukum ekipartisi energi, energi total sistem atom setiap 1

kmol dalam kristal memenuhi persamaan U = 3RT dimana R dan T, masing-masing

adalah konstanta gas umum dan suhu mutlak. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah energi total sistem atom setiap 1 kmol dalam kristal memenuhi persamaan U =

3RT dimana R dan T, masing-masing adalah konstanta gas umum dan suhu mutlak

berdasarkan teori klasik dan hukum ekipartisi energi?


2. Teori klasik kinetik gas menganggap bahwa energi dalam untuk suatu gas tersimpan

sebagai energi kinetik atom tersebut.

3. Zat padat (kristal) tersusun atas atom-atom yang distribusinya sangat rapat.

4. Setiap atom dalam kristal memiliki energi kinetik dan potensial dalam gerak

harmoniknya.

5. Perilaku atom dalam kristal diandaikan seperti pegas yang memiliki gerak harmonis

sederhana.

6. Secara klasik kedua energi tersebut memiliki harga rerata yang sama dan memenuhi

hukum ekipartisi.


7. Menurut hukum ekipartisi, besaran fisis energi yang besarnya berbanding lurus dengan

kuadrat jarak atau momentum.

8. Sehingga, untuk setiap derajat kebebasan pada suhu T memiliki energi sama, yaitu

(½)k0T, dengan k0 adalah konstanta Boltzmann.

9. Untuk semua sistem Energi kinetik pegas sebanding dengan kuadrat momentumnya

Ek=p2/2m.

10. Setiap atom memiliki 3 derajat kebebasan untuk geraknya di sekitar kedudukan

setimbangnya sehingga energi kinetiknya berharga 3 x ½ k0T.

11. Energi potensial atom memiliki rerata yang sama dengan energi kinetiknya.

12. Sehingga energi total setiap 1 kmol atom adalah

U = NA[3 x ½ koT + 3 x ½ koT] = 3RT

dimana NA adalah bilangan Avogadro dan R adalah kontanta gas umum.


13. Setuju, jika energi total sistem atom setiap 1 kmol dalam kristal memenuhi persamaan

U = 3RT dimana R dan T, masing-masing adalah konstanta gas umum dan suhu mutlak

berdasarkan teori klasik dan hukum ekipartisi energi.


14. Energi total sistem atom setiap 1 kmol dalam kristal memenuhi persamaan U=3RT

dimana R dan T, masing-masing adalah konstanta gas umum dan suhu mutlak

Soal No.4

Kapasitas panas klasik CV = 3R hanya berlaku untuk hampir semua zat padat pada suhu

ruang atau yang lebih tinggi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah kapasitas panas klasik CV = 3R hanya berlaku untuk hampir semua zat padat

pada suhu ruang atau yang lebih tinggi?


2. Menurut teori fisika klasik, energi total setiap 1 kmol atom dalam zat padat adalah U=3RT


3. Menurut teori fisika klasik, energi total setiap 1 kmol atom dalam zat padat adalah

U=3RT

4. Sehingga kapasitas panas kristal pada volume konstan adalah CV = (U/T)V =3R.

5. Secara teori perolehan harga kapasitas panas ini berlaku untuk seluruh rentang suhu.

6. Namun faktanya harga kapasitas panas klasik CV = 3R ini hanya sesuai dengan

penemuan empirik Dulong-Petit (1819).

7. Penemuan empirik Dulong-Petit (1819) yang berlaku untuk hampir semua zat padat

pada suhu ruang atau yang lebih tinggi.

8. Hasil eksperimen yang lain adalah pada suhu yang sangat rendah mendekati nol mutlak

harga kapasitas panas CV T3; dan mendekati nol apabila T menuju 0 K (CV 0 saat

T0).

9. Untuk memperbaiki kekurangan ini, selanjutnya bahasan kapasitas panas menggunakan

teori mekanika kuantum.


10. Setuju, apabila kapasitas panas klasik CV = 3R hanya berlaku untuk hampir semua zat

padat pada suhu ruang atau yang lebih tinggi


11. Nilai kapasitas panas bergantung pada nilai suhu.

Soal No.5

Diskusikanlah tentang vibrasi atom dalam kristal menurut Einstein saat kristal tersebut

mendapatkan panas dari lingkungannya!

Jawab :


1. Bagaimana vibrasi atom dalam kristal menurut Einstein saat kristal tersebut

mendapatkan panas dari lingkungannya?


2. Zat padat menerima panas sehingga atom-atom dalam zat padat berperilaku seperti

osilator harmonik kuantum.


3. Zat padat menerima panas sehingga memperoleh energi termal

4. Saat menerima panas tersebut, atom-atom dalam zat padat berperilaku seperti osilator

harmonik kuantum

o Osilator-osilator saling independen, artinya saling bebas atau tidak mengganggu satu

sama lain

o Osilator memiliki energi n = n ћ , n = 0, 1, 2, … yang bersifat diskrit atau

terkuantisasi

o Frekuensi seluruh osilator adalah sama

5. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi

Boltzmann

6. Kapasitas panas bahan pada volume konstan dalam seluruh rentang suhu, yaitu

o pada suhu ruang atau yang lebih tinggi berharga 3R yang sesuai dengan fakta hasil

eksperimen

o pada suhu sangat rendah sebanding dengan TEe

/yang berkurang lebih cepat daripada

fakta hasil eksperimen, yaitu yang sebanding dengan T3

o pada suhu menuju nol mutlak juga berharga menuju nol yang sesuai dengan fakta hasil

eksperimen

7. Diilhami oleh keberhasilan Planck dalam menerangkan radiasi benda hitam, maka konsep

kuantisasi energi itu juga diterapkan Einstein dalam teorinya tentang CV zat padat.

8. Model Einstein tentang getaran kisi mengambil andaian sebagai berikut.

a. Atom kristal merupakan osilator independen, yang masing-masing memiliki frekuensi

sama dan energi diskrit

εn = n ћ ω , n = 0, 1, 2,

dengan ω adalah frekuensi osilator. Jarak antartingkat energi ini sebesar ћ ω.

b. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi

Boltzmann


9. Vibrasi atom dalam kristal menurut Einstein dikategorikan ke dalam dua hal yaitu atom

kristal memilki energi diskrit dan energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi

Boltzman


10. Einstein menerapkan konsep kuantisasi energi dalam teorinya tentang CV zat padat.

.

Soal No.6

Pada suhu tinggi, pengkuantuman energi vibrasi atom menjadi tidak berarti secara fisis

sehingga sifat kuantum dapat diabaikan. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah pada suhu tinggi, pengkuantuman energi vibrasi atom menjadi tidak berarti

secara fisis sehingga sifat kuantum dapat diabaikan?


2. Perbedaan energi kuantum rata-rata osilator 1//

Tkoe

dan energi klasik rata-

rata peratom dalam kristal kristal k0T untuk satu derajat kebebasan dapat dijelaskan

melalui tiga cara berikut.


3. Cara pertama adalah melihat bentuk grafik. Perhatikan grafik di bawah ini!

4. Secara grafik keduanya berharga sama pada suhu tinggi.

5. Jika suhu diturunkan, maka energi rerata osilator kuantum akan turun jauh lebih cepat

dari pada osilator klasik.

6. Cara kedua adalah dengan membuktikan bahwa secara matematika keduanya

memiliki bentuk yang sama pada suhu tinggi.

7. Berdasarkan deret ex=1+x+x

2/2!+x

3/3!+..., maka energi kuantum rata-rata osilator

Tk

TkTkTk

eTko

0

0

2

00

/

...1...2

11

1

8. Pada perhitungan nomor 6 harga deret hanya diambil sampai suku kedua.

9. Yang artinya suku ketiga dan seterusnya memiliki harga yang bisa diabaikan terhadap

suku pertama dan kedua.

10. Hal ini dapat dilakukan karena pada suhu tinggi harga <<k0T.

O

klasik

kuantum

11. Cara ketiga adalah melihat apakah pengkuantuman energi osilator tersebut berarti

atau tidak berarti secara fisis. Pada suhu tinggi koT>>ћ.

12. Perhatikan gambar di bawah ini!

13. Pada gambar di atas tampak bahwa jarak antar tingkat energi kuantum ћ begitu sangat

kecil sehingga hampir-hampir kontinu seperti tingkatan energi klasik.

14. Hal ini menandakan bahwa osilator kuantum berada dalam keadaan kuantum tereksitasi

tinggi.

15. Dari pernyataan nomor 1-13 dapat ditarik kesimpulan bahwa pada suhu tinggi

pengkuantuman energi osilator menjadi tidak berarti secara fisis, dan sifat kuantum

dapat diabaikan.

16. Berdasarkan tiga cara peninjauan di atas, maka pada suhu tinggi osilator cukup

dibahas secara klasik saja yang jauh mudah daripada secara kuantum.

17. Tetapi, pada suhu rendah, koT<<ћ, dan energi koT tidak cukup untuk mengeksitasikan

osilator ke tingkat eksitasi pertama.

18. Dalam hal ini energi osilator jauh lebih kecil daripada koT. Oleh karena itu, pada suhu

rendah ini, sifat kuantum gerakan lebih dominan.


19. Setuju jika pada suhu tinggi pengkuantuman energi osilator menjadi tidak berarti secara

fisis, dan sifat kuantum dapat diabaikan. Sehingga, cukup dibahas secara klasik saja

yang jauh mudah daripada secara kuantum.


20. Untuk mengetahui bahwa “pada suhu tinggi pengkuantuman energi osilator menjadi

tidak berarti secara fisis, dan sifat kuantum dapat diabaikan” dapat dilakukan dengan 3

cara.

2ћ

koT

Klasik Kuantum

ћ

ћ

0 0

Soal No.7

Bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Einstein hanya sesuai

dengan hasil eksperimen pada suhu tinggi dan suhu mendekati nol mutlak. Setujukah

Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Einstein hanya

sesuai dengan hasil eksperimen pada suhu tinggi dan suhu mendekati nol mutlak?


2. Vibrasi atom dalam kristal menurut Einstein dikategorikan ke dalam dua hal yaitu atom

kristal memilki energi diskrit dan energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi

Boltzman

3. Einstein menerapkan konsep kuantisasi energi dalam teorinya tentang CV zat padat.


4. Persamaan kapasitas panas volume konstan Einstein adalah

2/

/2

13

T

T

EV

E

E

e

e

TRC

dimana E=(ћE/ko) adalah suhu karakteristik Einstein.

5. Perhatikan grafik di bawah ini!

6. Grafik di bawah ini menunjukkan perbandingan perhitungan dengan fakta hasil

eksperimen.

Cv

6

5

4

3

2

1

T(0K)

0 100 200 300

gambar 6.Kapasitas panas tembaga.

Titik-titik merupakan hasil eksperimen.

Kurva mengungkapkan teori Einstein

untuk suhu E=240 K

7. Dari grafik di atas diperoleh dalam tiga daerah, yaitu:

a. Pada suhu sangat tinggi keduanya sesuai

b. Pada suhu sangat rendah CV model Einstein turun jauh lebih cepat daripada yang

terjadi secara eksperimen

c. Pada suhu T0 K keduanya CV 0

Dengan demikian CV model Einstein sesuai dengan fakta hasil eksperimen pada

daerah suhu tinggi dan menuju 0 K.

8. Secara matematika, perbandingan keduanya dapat diuraikan berikut.

a. Pada suhu yang sangat tinggi, dimana T>>E, bentuk TEe

/ dapat diekspansikan

dalam deret pangkat E/T, yaitu ...//12

21/

TTe EE

TE sehingga

22

21

2

212

2/

/2

1...//1

...//13

13

TT

TT

TR

e

e

TRC

EE

EEE

T

T

EV

E

E

R

TTR

E

E 3.../

...13

2

2

Sehingga, harga CV 3 R ini sama seperti hasil teori klasik, yang sesuai dengan

fakta hasil eksperimen pada suhu ruang atau lebih tinggi.

b. Pada suhu yang sangat rendah, dimana T<<E, bentuk TEe

/ jauh lebih besar

daripada satu, sehingga

TTE

T

T

E

T

T

EV

EE

E

E

E

E

eTBeT

Re

e

TR

e

e

TRC

//

2

2/

/2

2/

/2

)(331

3

dengan B(T) adalah fungsi yang relatif tidak peka terhadap suhu.

Saat mendekati nol mutlak pada suhu sangat rendah tersebut, penurunan CV

model Einstein yang secara eksponensial di atas, ternyata, jauh lebih cepat

daripada yang terjadi secara eksperimen, yakni CV T3. Hal ini merupakan

kelemahan yang mendasar bagi model Einstein

c. Pada suhu sangat rendah bentuk eksponensial TEe

/ menyebabkan kapasitas panas

ini terus berkurang sehingga mendekati nol dengan cepat sekali. Berarti CV 0 saat

T0 K. Hal ini sesuai dengan hasil eksperimen.


9. Setuju, jika bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Einstein

hanya sesuai dengan hasil eksperimen pada suhu tinggi dan suhu mendekati nol mutlak.


10. Kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Einstein sesuai dengan hasil

eksperimen pada suhu tinggi dan mendekati nol mutlak.

Soal No.8

Diskusikanlah tentang vibrasi atom dalam kristal menurut Debye saat kristal tersebut

mendapatkan panas dari lingkungannya!

Jawab :


1. Bagaimana vibrasi atom dalam kristal menurut Debye saat kristal tersebut mendapatkan

panas dari lingkungannya?


2. Zat padat menerima panas sehingga atom-atom dalam zat padat berperilaku seperti

osilator harmonik kuantum.


3. Untuk menerangkan kebergantungan CV terhadap T, Debye memodelkan getaran kisi

dengan mengambil anggapan sebagai berikut.

a. Atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah

frekuensi ω=0 sampai suatu frekuensi maksimum ωD yang ditentukan oleh jumlah

moda getar yang diperkenankan. Dengan demikian pada kristal terjadi gerakan kisi

secara keseluruhan sehingga terdapat moda kisi bersama. Kristal merupakan medium

elastik kontinu.

b. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama.

4. Persamaan kapasitas panas volume konstan Debye adalah

T

x

x

D

V

D

dxe

exTRC

/

0

2

43

19

dengan x=(ћ/koT) dan D=(ћ/ko) adalah suhu karakteristik Debye.

5. Secara matematika, berikut disajikan perbandingannya dengan fakta hasil eksperimen.

a. Pada suhu tinggi, T>>D, didapatkan

T

D

T

x

x

D

V

DD

dxx

xxTRdx

e

exTRC

/

0

2

43/

0

2

43

1...1

...19

19

R

T

TRdxx

TRdx

x

xTR D

D

T

D

T

D

DD

33

199

...

...19

33/

0

2

3/

0

2

43

Harga kapasitas panas Debye CV 3 R ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit, yakni

sesuai dengan fakta hasil eksperimen pada suhu ruang atau lebih tinggi.

b. Pada suhu rendah, T<<D,

dengan menggunakan hubungan analitik

0

2

2

4

15

4

1dx

e

ex

x

x

didapatkan

34

5

12

D

V

TRC

Kebergantungan CV terhadap T3 ini sesuai dengan hasil pengamatan.

c. Pada suhu sangat rendah bentuk CV T3 memungkinkan kapasitas panas ini terus

berkurang sehingga mendekati nol dengan cepat sekali. Berarti CV 0 saat T0

K. Hal ini sesuai dengan hasil eksperimen.

6. Saat menerima panas atom-atom dalam zat padat berperilaku seperti osilator harmonik

kuantum

o Osilator-osilator saling berkait satu sama lain karena terjadi ikatan yang kuat

sesama atom dalam zat padat

o Osilator memiliki energi n = n ћ , n = 0, 1, 2, … yang bersifat diskrit atau

terkuantisasi

o Frekuensi osilator antara =0 sampai dengan suatu frekuensi maksimum D yang

ditentukan oleh jumlah moda getar yang diperkenankan

7. Sebaran energi osilator pada harga energi yang diperbolehkan mengikuti distribusi

Boltzmann

8. Kapasitas panas bahan pada volume konstan sesuai dengan fakta hasil eksperimen

dalam seluruh rentang suhu, yaitu

o pada suhu ruang atau yang lebih tinggi berharga 3R

o pada suhu sangat rendah sebanding dengan T3

o pada suhu menuju nol mutlak juga berharga menuju nol



T

x

x

D

V

D

dxe

exTRC

/

0

2

43

19



10. Deybe dapat mengandaikan vibrasi atom dalam kristal saat kristal tersebut memperoleh

panas dari lingkungannya.

Soal No.9

Bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Debye sesuai dengan hasil

eksperimen pada semua rentang suhu. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Debye sesuai

dengan hasil eksperimen pada semua rentang suhu?



T

x

x

D

V

D

dxe

exTRC

/

0

2

43

19




T

x

x

D

V

D

dxe

exTRC

/

0

2

43

19


4. Secara matematika, berikut disajikan perbandingannya dengan fakta hasil eksperimen.

5. Pada suhu tinggi, T>>D, didapatkan

T

D

T

x

x

D

V

DD

dxx

xxTRdx

e

exTRC

/

0

2

43/

0

2

43

1...1

...19

19

R

T

TRdxx

TRdx

x

xTR D

D

T

D

T

D

DD

33

199

...

...19

33/

0

2

3/

0

2

43

6. Harga kapasitas panas Debye CV 3 R ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit, yakni

sesuai dengan fakta hasil eksperimen pada suhu ruang atau lebih tinggi.


7. Setuju, jika bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Debye sesuai

dengan hasil eksperimen pada semua rentang suhu.


8. Bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap menurut Debye sesuai dengan

hasil eksperimen pada semua rentang suhu.

Soal No.10

Diskusikanlah tentang perbedaan hasil bahasan kapasitas panas zat padat pada volume

tetap antara teori klasik dan kuantum!

Jawab :


1. Bagaimana perbedaan hasil bahasan kapasitas panas zat padat pada volume tetap antara

teori klasik dan kuantum?


2. Fisika klasik adalah fisika yang didasari prinsip-prinsip yang dikembangkan sebelum

bangkitnya teori kuantum, biasanya termasuk teori relativitas khusus dan teori

relativitas umum.

3. Fisika kuantum adalah fisika yang dipelopori oleh Einstein, yang memberi kesan bahwa

alam ini probabilistik atau acak.


4. Fisika Klasik menyatakan bahwa

a) Zat padat menerima panas sehingga memperoleh energi termal

b) Saat menerima panas tersebut, atom-atom dalam zat padat berperilaku seperti

osilator harmonik klasik, yang memiliki energi kinetik dan potensial serta memenuhi

hukum ekipartisi energi

c) Energi total peratom perderajat kebebasan, yakni energi kinetik dan potensial,

berharga k0T yang bersifat kontinu

d) Kapasitas panas bahan pada volume konstan berharga 3R hanya sesuai dengan fakta

hasil eksperimen pada suhu ruang atau yang lebih tinggi

5. Fisika Kuantum menyatakan bahwa

a) Zat padat menerima panas sehingga memperoleh energi termal

b) Saat menerima panas tersebut, atom-atom dalam zat padat berperilaku seperti

osilator harmonik kuantum

c) Energi peratom berharga n = n ћ , n = 0, 1, 2, … yang bersifat diskrit atau

terkuantisasi

http://id.wikipedia.org/wiki/Fisika

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_kuantum&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_relativitas_khusus

http://id.wikipedia.org/wiki/Teori_relativitas_umum



d) Kapasitas panas bahan pada volume konstan sesuai dengan fakta hasil eksperimen

dalam seluruh rentang suhu, yaitu

o pada suhu ruang atau yang lebih tinggi berharga 3R

o pada suhu sangat rendah sebanding dengan T3

o pada suhu menuju nol mutlak juga berharga menuju nol


6. Pada fisika klasik, saat menerima panas atom-atom dalam zat padat berperilaku

seperti osilator harmonik klasik, yang memiliki energi kinetik dan potensial serta

memenuhi hukum ekipartisi energi.

7. Pada fisika kuantum saat menerima panas atom-atom dalam zat padat berperilaku

seperti osilator harmonik kuantum


8. Terjadi perbedaan pendapat mengenai kapasitas panas zat padat pada volume tetap

menurut teori klasik dan kuantum

Permasalahan diskusi Pertemuan VII (Tugas 7)

Getaran dalam Kisi Kristal

Soal No. 1

Persamaan gerak atom ke- getaran kisi kristal adalah

112

2

lllll

tm . Bagian mana, dari persamaan tersebut, yang

menunjukkan (1) interaksi atom hanya terjadi antartetangga terdekat, (2) gaya yang

bekerja mengikuti hukum Newton, dan (3) gaya yang bekerja mengikuti hukum Hooke?

Jelaskan!

Jawab :


1. Menjelaskan persamaan gerak atom ke- getaran kisi kristal adalah

112

2

lllll

tm dan menunjukkan bagian mana, dari persamaan

tersebut, yang menunjukkan (1) interaksi atom hanya terjadi antartetangga terdekat, (2)

gaya yang bekerja mengikuti hukum Newton, dan (3) gaya yang bekerja mengikuti

hukum Hooke.


2. Penurunan persamaan getaran kisi kristal monoatomik satu dimensi

3. Getaran kisi adalah longitudinal.


4. Menperhatikan kisi monoatomik satu dimensi dengan konstanta kisi a berikut.

Gambar 1

5. Posisi setimbang atom dinyatakan pada koordinat kisi …, x-1, x, x+1, …

6. Sedangkan simpangan dari titik setimbang, masing-masing dinyatakan dengan …, -1,

, +1, …

7. Perambatan getaran dalam kisi di atas dibahas dengan berdasarkan beberapa anggapan

berikut.

-1 -2 +1

x+1=(+1)a x=a x-1=(-1)a x-2=(-2)a

a

8. Interaksi atom hanya terjadi antartetangga terdekat.

9. Misalnya, yang ditinjau adalah atom yang berkedudukan di x=a, maka dalam

pembahasan yang diperhatikan adalah dua atom sebagai tetangga terdekatnya, yang

masing-masing berkedudukan di sebelah kananya x+1=(+1)a dan di sebelah kirinya x-

1=(-1)a.

10. Gaya yang bekerja mengikuti hukum Newton F=m 2l/t

2

11. Gaya yang bekerja mengikuti hukum Hooke (pendekatan harmonik) F =

12. Gabungan ketiga anggapan di atas menghasilkan persamaan gerak atom ke- adalah

11112

2

2

llllllll

tm

13. Berdasar pada persamaan diatas, ruas kiri menyatakan persamaan hukum Newton

lt

m 2

2

.

14. Ruas tengah menyatakan hukum Hooke: 11 llll .

15. Interaksi tetangga terdekat tampak pada besarnya simpangan relatif atom ke-l terhadap

tetangga terdekatnya sebelah kanannya 1 ll ;

16. Sedangkan relatif atom ke-l terhadap tetangga terdekatnya sebelah kirinya 1 ll .


17. Persamaan gerak atom ke- getaran kisi kristal adalah

112

2

lllll

tm .

18. Dimana yang menyatakan persamaan hukum Newton adalah lt

m 2

2

.

19. Yang menyatakan hukum Hooke: 11 llll .

20. Dan yang menyatakan interaksi tetangga terdekat tampak pada besarnya simpangan

relatif atom ke-l terhadap tetangga terdekatnya sebelah kanannya 1 ll ;

21. Sedangkan relatif atom ke-l terhadap tetangga terdekatnya sebelah kirinya 1 ll .


22. Perambatan getaran dalam kisi kristal monoatomik 1 dimensi dapat dijelaskan melalui 3

anggapan, yakni gaya sesuai Hukum Newton dan Hukum Hooke, serta Interaksi antar

tetangga.

Soal No. 2

Frekuensi maksimum getaran kisi monoatomik satu dimensi adalah o=(4 m/)1/2

dimana

dan m, masing-masing adalah konstanta gaya dan massa tiap atom. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar bahwa frekuensi maksimum getaran kisi monoatomik satu dimensi

adalah o=(4 m/)1/2

dimana dan m, masing-masing adalah konstanta gaya dan

massa tiap atom?


2. Penurunan relasi dispersi getaran kisi kristal monoatomik satu dimensi.


3. Kisi kristal monoatomik satu dimensi yang dijelaskan pada nomor 1 di atas mempunyai

simetri translasi, yakni massa atom bernilai sama dalam interval tertentu.

4. Interval tersebut adalah jarak antar atom a. Oleh sebab itu diambil bentuk solusi

gelombang berjalan tklai

ol eA .

5. Substitusi solusi ini ke persamaan gerak atom ke- menghasilkan

112

2

2

llll

tm

m (-i)2 Ao e

i(kla - t) = {2 Ao e

i(kla - t) Ao e

i(k[l +1]a - t) Ao e

i(k[l – 1]a - t) }

6. Bagi kedua ruas dengan Ao. tie .

iklae menghasilkan

m 2 = {2

e

ika e

–ika }

m 2 = {e

ika + e

–ika 2}

7. Pemakaian rumus Euler eiy

+e-iy

=2 cos y dan cos 2 = 1 2 sin2 menghasilkan bentuk

m 2 = {2 cos (ka)

2}

m 2 = 2 {2 [1 2 sin

2 (ka/2)

2}= 4 sin

2 (ka/2)

8. Bentuk terakhir menghasilkan relasi dispersi berikut

2

sinka

o , dimana o=(4/m)1/2

9. Disini kita harus mengambil harga mutlak karena frekuensi merupakan bilangan

positip.


10. Tidak menyetujui bahwa frekuensi maksimum getaran kisi monoatomik satu dimensi

adalah o=(4 m/)1/2

, melainkan o=(4/m)1/2

dimana dan m, masing-masing adalah

konstanta gaya dan massa tiap atom.


11. Frekuensi getaran kisi monoatomik satu dimensi bergantung dari nilai o.

Soal No. 3

Kisi monoatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik lolos rendah.


Jawab :


1. Apakah benar kisi monoatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik

lolos rendah?


2. Harga frekuensi minimum dan maksimum, dan periode sinusoida relasi dispersi kisi

kristal monoatomik satu dimensi, serta peranannya sebagai filter mekanik lolos rendah.


3. Relasi dispersi kisi kristal monoatomik satu dimensi adalah 2

sinka

o .

4. Relasi dispersi berharga minimum nol =0 bila

02

sin ka

atau ka/2 = 0; ; 2; 3; … atau k = 0; 2/a; 4/a; 6/a; …

5. Relasi dispersi berharga maksimum o=(4/m)1/2

bila

12

sin ka

atau ka/2 = /2; 3/2; 5/2; … atau k = /a; 3/a; 5/a; …

6. Dari harga =0 maupun o=(4/m)1/2

tampak bahwa harga frekuensi kurva sinusoida

akan berulang atau periodik setelah angka gelombang k berlangsung sejauh 2/a.

7. Berdasarkan perhitungan di atas, maka relasi dispersi kisi kristal monoatomik satu

dimensi memiliki harga frekuensi minimum, dan maksimum, serta periode sinusoida,

berturut-turut sebesar =0 ; dan o=(4/m)1/2

; serta 2/a.

8. Secara grafik relasi dispersi tersebut digambarkan sebagai berikut.

9. Selain periodik dalam ruang k, kurva juga simetri terhadap pencerminan di sekitar titik

asal k=0.

10. Oleh karena itu daerah yang penting adalah 0<k</a.

11. Hanya frekuensi dalam rentang 0<<o yang ditransmisikan dalam kisi.

12. Frekuensi di atas o mengalami atenuasi tajam.

13. Dalam hal ini, kisi berperan sebagai filter mekanik lolos rendah.


14. Menyetujui bahwa kisi monoatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik

lolos rendah.


15. Relasi dispersi kisi kristal monoatomik 1 dimensi dapat berperan sebagai filter

mekanik lolos rendah.

Soal No. 4

Diskusikanlah tentang konsekuensi yang bisa terjadi pada harga k kecil, k=/a, dan k=0

pada getaran kisi monoatomik satu dimensi!

Jawab :


1. Mendiskusikan tentang konsekuensi yang bisa terjadi pada harga k kecil, k=/a, dan

k=0 pada getaran kisi monoatomik satu dimensi.


2. Konsekuensi yang bisa terjadi pada harga k kecil, k=/a, dan k=0 pada getaran kisi

monoatomik satu dimensi.

-/a 2/a /a 0 -2/a

(k)

o


3. Berdasarkan deret sin x = x – x3/3! + x

5/5! – ... , maka untuk nilai k kecil didapatkan

sin(ka/2) ka/2.

4. Dengan demikian relasi dispersi kisi kristal monoatomik satu dimensi

= o sin (ka/2)

kao

2

5. Tampak bahwa persamaan terakhir adalah relasi dispersi linier. Beberapa konsekuensi

fisis yang timbul antara lain sebagai berikut.

6. Didapatkan relasi dispersi linear k.

7. Relasi dispersi seperti ini merupakan ciri khas bahwa kisi berkelakuan sebagai medium

kontinu elastik (pegas kontinu).

8. Hal ini seperti yang dibahas pada modul sebelumnya.

9. Harga k kecil, berarti k<<(/a) atau 2/<<(/a) atau >>2a. Hal ini terlihat seperti

gambar berikut.

10. Tampak bahwa panjang gelombang jauh lebih besar daripada jarak antaratom (sistem

makro).

11. Atom bergerak dalam fasa yang sama satu sama lain. Kasus dengan k<</a, atau >>a

dinamakan batas gelombang panjang.

12. Karena bergerak dalam fasa yang sama, maka perubahan simpangan atom relatif

terhadap atom tetangganya adalah kecil.

13. Hal ini menyebabkan gaya pulih setiap atom menjadi kecil.

14. Gaya pulih kecil menyebabkan frekuensi kecil juga.

15. Dari relasi dispersi linear di atas, dapatlah dibuktikan bahwa kecepatan fasa (kecepatan

perambatan gelombang yang berfrekuensi dan angka gelombang k) v=/k sama

dengan kecepatan kelompok (kecepatan pulsa gelombang yang berfrekuensi dan angka

gelombang rata-rata dan k) vg=/k, yaitu sebesar

v= vg=(oa)/2=m

a 2

>>2a

a

16. Perhatikanlah kecepatan fasa atau kelompok di atas.

17. Besaran m/a adalah kerapatan massa satu dimensi dan a dapat diinterpretasikan

sebagai tegangan dalam rantai kisi.

18. Jika demikian halnya, maka hal ini sama dengan bahasan kecepatan rambat gelombang

transversal dalam kawat Melde, yaitu v=(Fl/m)1/2

dimana F, l, dan m masing-masing

adalah tegangan, panjang, dan massa kawat.

19. Relasi dispersi linear dimiliki oleh gelombang suara yang merambat dalam medium

kontinu elastik, seperti yang telah dibahas pada modul sebelumnya.

20. Oleh karena itu kecepatan fasa di atas sama dengan kecepatan merambat gelombang

suara dalam medium elastik kontinu, yaitu vs = (Y/)1/2

. Dengan mengacu bahwa

kerapatan massa =m/Vol=m/a3, maka dihasilkan

v = vs atau m

a 2 = (Y/)

1/2 atau a

2/m = Ya

3/m atau = a Y

21. Dengan demikian jika parameter kisi a dan modulus Young Y suatu bahan diketahui,

maka dapatlah ditentukan konstanta gaya .

22. Saat nilai k membesar terjadi deviasi secara signifikan terhadap bentuk linier. Pada

k=/a terdapat nilai frekuensi maksimum =o=(4/m)1/2

23. Nilai k=/a atau 2/=/a berarti =2a, menyebabkan atom yang bertetangga

bergetar dengan fasa berlawanan, seperti tampak pada gambar berikut

24. Karena bergerak dalam fasa yang berlawanan, maka perubahan simpangan atom relatif

terhadap atom tetangganya adalah maksimum.

25. Hal ini menyebabkan gaya pulih setiap atom menjadi maksimum.

26. Gaya pulih maksimum menyebabkan maksimum juga.

27. Pada harga k=/a kecepatan kelompok vg/a=/k/a=(oa/2)cos ka/2/a= 0.

28. Berarti dalam kristal dapat diandaikan terjadi gelombang berdiri.

29. Sehingga terjadi superposisi antara gelombang datang dan pantul oleh semua atom

dalam kristal.

30. Dengan kata lain karena adanya fasa berlawanan pada dua atom berdekatan, maka

terjadi gelombang pantulan.

=2a

a

31. Kasus dengan k=/a dinamakan kondisi refleksi Bragg.

32. Perhatikanlah harga frekuensi maksimum o=(4/m)1/2

, yang bergantung pada

konstanta pegas dan massa atom.

33. Sifat yang demikian memang merupakan sifat untuk osilator harmonik.

34. Seperti diketahui bahwa frekuensi osilator harmonik adalah =(/m)1/2

dimana dan

m, masing-masing adalah konstanta pegas dan massa osilator.

35. Nilai k=0 atau 2/=0, yang berarti =, menyebabkan keseluruhan bagian kristal

bertranslasi, sehingga gaya pulih menjadi nol.

36. Hal ini berarti =0 untuk k=0.


37. Ketika nilai k kecil maka relasi dispersi linier.

38. Ketika k=/a maka akan terjadi gelombang berdiri.

39. Ketika k=0 maka seluruh bagian kristal akan bertranslasi.


40. Interpretasi fisis relasi dispersi kisi kristal monoatomik satu dimensi dapat ditinjau dari

3 keadaan, yakni ketika k kecil, k=/a, serta k=0.

Soal No. 5

Daerah antara (-/a < k < /a) dalam kisi kristal monoatomik satu dimensi dinamakan

Zona Brillouin Pertama. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar daerah antara (-/a < k < /a) dalam kisi kristal monoatomik satu

dimensi dinamakan Zona Brillouin Pertama?


2. Periodisitas ω(k) dalam ruang k mempunyai perioda 2π/a.

3. Sehingga ω(k + 2π/a) = ω(k)


4. Memperhatikan contoh sederhana gelombang transversal dengan λ=4a dan λ=(4/5)a

sebagai berikut.

5. Angka gelombang keduanya, masing-masing k=π/2a dan k’=(k+2π/a).

6. Terlihat bahwa keduanya merepresentasikan gerakan fisis yang sama.

7. Oleh karena itu dua moda tersebut haruslah mempunyai frekuensi yang sama. Secara

umum, hal ini berlaku untuk dua titik sebarang k dan k’, dimana k’=(k + n 2π/a) untuk

n bilangan bulat.

8. Hal inilah yang menyebabkan frekuensi ω merupakan fungsi periodik dari k dengan

perioda 2π/a.

9. Dalam kisi diskrit, panjang gelombang suatu gelombang bukanlah besaran unik.

10. Begitu juga nilai k, masing-masing nilai k yang ekivalen ditranslasikan sejauh n(2π/a)

satu terhadap yang lain dalam ruang k.

11. Pilihan interval tertentu dalam ruang k, yakni sama dengan periodanya sebesar 2π/a,

diperlukan untuk membuat representasi k maupun λ menjadi unik.

12. Panjang gelombang terpendek dari gelombang dalam kristal linier yang masih memiliki

makna fisis adalah λ = 2 a yang bersesuaian dengan k=π/a.

13. Oleh karena itu semua getaran, λ=0 sampai λ=∞, yang memiliki makna fisis berada

dalam interval 0 < |k| < π/a.

14. Daerah antara (-π/a < k < π/a) dinamakan Zona Brillouin Pertama, yang

merepresentasikan semua gelombang yang masih memiliki makna fisis dalam kristal.

15. Jumlah moda getar dalam zona ini sama dengan jumlah total atom dalam kisi.

16. Simetri refleksi terhadap titik nol dalam ruang k, berarti ω(-k) = ω(k).

17. Moda k merepresentasikan gelombang yang merambat ke arah kanan dan –k ke arah

kiri dalam kisi.

18. Karena kisi ekivalen dalam kedua arah tersebut, maka frekuensinyapun harus sama

seperti di atas.


19. Menyetujui bahwa daerah antara (-/a < k < /a) dalam kisi kristal monoatomik satu

dimensi dinamakan Zona Brillouin Pertama.


20. Pada kisi kristal monoatomik satu dimensi daerah antara (-/a < k < /a) dinamakan

Zona Brillouin Pertama.

Soal No. 6

Jelaskanlah tentang hubungan dispersi cabang akustik dan cabang optik dalam getaran

kisi diatomik satu dimensi!

Jawab :


1. Menjelaskan tentang hubungan dispersi cabang akustik dan cabang optik dalam getaran

kisi diatomik satu dimensi.


2. Dispersi cabang akustik dan cabang optik dalam getaran kisi diatomik satu dimensi.


3. Kristal diatomoik terdiri dari dua jenis atom, masing-masing bermassa M1 pada

koordinat ganjil, dan M2 pada koordinat genap.

4. Jarak setimbang atom bertetangga sebesar a, seperti gambar berikut.

5. Asumsi yang digunakan sama dengan bahasan kisi monoatomik yang lalu, yaitu (1)

interaksi tetangga terdekat, (2) memenuhi hukum Newton, dan (3) memenuhi hukum

Hooke.

6. Persamaan kuadrat dalam 2, yaitu berbentuk a(

2)2+b(

2)+c=0, yang memiliki solusi

relasi dispersi dari akar-akar persamaan kuadrat

x2 x2-1 x2-2 x2-3

M2 M1 a

21

2

21

22

21

2

21

22

2,1

2

sin4.4)(4)(2

2

4

MM

kaMMMMMM

a

acbb

7. Sehingga diperoleh,

2/1

21

22

2121

2

2,1

sin41111

MM

ka

MMMM

8. Tanda menyebabkan terdapat dua relasi dispersi.

9. Yang bersesuaian dengan tanda minus dinamakan cabang akustik karena memiliki ciri

sama dengan kisi monoatomik.

10. Sedangkan yang bertanda plus dinamakan cabang optik karena dihasilkan frekuensi

optik dalam spektrum elektromagnet.


11. Persamaan dua relasi dispersi sebesar

2/1

21

22

2121

2

2,1

sin41111

MM

ka

MMMM

12. Tanda minus dinamakan cabang akustik karena memiliki ciri sama dengan kisi

monoatomik.

13. Tanda plus dinamakan cabang optik karena dihasilkan frekuensi optik dalam spektrum

elektromagnet.


14. Getaran dalam kisi kristal diatomik 1 dimensi memiliki 2 keadaan dispersi relasi.\

Soal No. 7

Kisi diatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik lolos pita. Setujukah

Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar bahwa kisi diatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik

lolos pita?


2. Kisi diatomik satu dimensi dan filter mekanik lolos pita.


3. Relasi dispersi kisi kristal diatomik satu dimensi memiliki harga frekuensi minimum

dan maksimum pada cabang akustik maupun optik, dan periode sinusoida.

4. Secara grafik relasi dispersi, misalnya untuk M1 < M2, tersebut digambarkan sebagai

berikut.

5. Kurva bawah adalah cabang akustik, sedangkan yang atas adalah cabang optik.

6. Pada gambar di atas terdapat daerah tanpa getaran, yaitu daerah frekuensi antara

(2/M2)1/2

sampai (2/M1)1/2

.

7. Daerah terlarang ini, dimana kisi tidak dapat mentransmisikan gelombang, disebut

celah frekuensi.

8. Oleh karena itu, kisi diatomik berperan sebagai filter mekanik lolos pita.


9. Menyetujui bahwa kisi diatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik

lolos pita.


10. bahwa kisi diatomik satu dimensi dapat berperan sebagai filter mekanik lolos pita

Soal No. 8

Diskusikanlah tentang konsekuensi yang bisa terjadi pada harga k kecil, k=/2a, dan k=0

pada getaran kisi diatomik satu dimensi!

Jawab :


1. Mendiskusikan tentang konsekuensi yang bisa terjadi pada harga k kecil, k=/2a, dan

k=0 pada getaran kisi diatomik satu dimensi.


2. Getaran kisi diatomik satu dimensi ketika harga k kecil, k=/2a, dan k=0.


3. Beberapa interpretasi fisis relasi dispersi kisi kristal diatomik satu dimensi sebagai

berikut.

4. Pada nilai k=0 (atau =), pada cabang akustik, nilai k=0 memberikan harga frekuensi

1=0.

5. Perhatikanlah kembali persamaan matrik di atas, yaitu

0

2cos2

cos22

2

1

2

2

2

1

A

A

Mka

kaM

.

6. Substitusi frekuensi 1=0 dan k=0 ke dalam persamaan matrik menghasilkan

(2) A1 (2) A2 = 0 atau A1 = A2

(2) A1 + (2) A2 = 0 atau A1 = A2

7. Hal ini berarti dua atom dalam sel, atau molekul, mempunyai amplitudo dan fasa yang

sama.

8. Keseluruhan kisi bergetar seperti benda tegar, dengan pusat massa bergerak bolak-

balik, seperti gambar berikut.

9. Perhatikanlah bahwa dua atom berdekatan memiliki arah getar yang sama (sefasa).

10. Gerakan dengan pusat massa bergerak bolak-balik memiliki analogi dengan gerakan

benda yang diikatkan pada ujung pegas dan digetarkan.

11. Pada cabang optik, nilai k=0 memberikan harga frekuensi 22

=2[(1/M1)+ (1/M2)].

Substitusi frekuensi 22=2[(1/M1)+ (1/M2)] dan k=0 ke dalam persamaan matrik di

atas menghasilkan M1 A1 + M2 A2 = 0.

12. Memperhatikan analogi berikut. Sejumlah massa m1, m2, ... terletak pada posisi x1, x2,

... memiliki titik pusat massa berikut

...

...

21

2211

mm

xmxmx

13. Jika titik pusat massa terletak pada x = 0 (pangkal koordinat), maka harga pembilang

m1x1+m2x2+ ...= 0

14. Hal ini berarti bentuk M1 A1 + M2 A2 = 0 memiliki makna fisis bahwa pada nilai k=0

cabang optik berosilasi dengan pusat massa atom tidak berubah.

15. Dua atom dalam sel bergetar dalam fasa berlawanan, seperti pada gambar berikut.

16. Memperhatikan bahwa dua atom berdekatan memiliki arah getar yang berlawanan (fasa

berlawanan).

17. Pada nilai k kecil, pada cabang akustik sebagai berikut.

18. Berdasarkan deret sin x = x – x3/3! + x

5/5! – ... untuk semua nilai x, maka nilai sin(ka)

= ka – (ka)3/(1.2.3) + ...

19. Pada cabang akustik, pendekatan di atas menghasilkan relasi dispersi.

20. Berdasarkan deret (1+x)p

= 1 + px + p(p-1)x2/2! + ... untuk x<1, maka relasi dispersi

menjadi

2

21

2

2

21

21

21

21

21

212

2,1

24

)(2

11 ka

MMka

MM

MM

MM

MM

MM

MM

21. Tampak bahwa pada cabang akustik dengan k kecil terjadi relasi dispersi linier.

22. Hal ini sama dengan sifat dinamika kisi kristal monoatomik satu dimensi untuk k kecil.

23. Pada nilai k kecil ini cabang akustik memiliki kecepatan fasa bunyi

21

22

MM

a

kv

.

24. Besaran (M1+M2)/a adalah kerapatan massa satu dimensi, dan 2a dapat

diinterpretasikan sebagai tegangan dalam rantai kisi.

25. Jika demikian halnya, maka hal ini sama dengan bahasan kecepatan rambat gelombang

transversal dalam kawat Melde, yaitu v=(Fl/m)1/2

dimana F, l, dan m masing-masing

adalah tegangan, panjang, dan massa pegas/kawat kontinu.

26. Pada nilai k kecil, pada cabang optic, dengan memperhatikan kembali relasi dispersi

untuk cabang optik berikut

2/1

21

22

2121

2

2,1

sin41111

MM

ka

MMMM

27. Karena k kecil, maka harga sin2(ka) juga kecil, sehingga harga [4 sin

2(ka)/(M1M2)]

dapat diabaikan terhadap terhadap nilai suku di depannya [(1/M1)+(1/M2)]2. Akibatnya

relasi dispersi menjadi

212121

2

2,1

112

1111

MMMMMM

28. Memperhatikan bahwa harga ini adalah sama dengan nilai pada k=0 di atas.

29. Pada nilai k=/2a, seperti yang telah dijelaskan bahwa pada nilai k=/2a relasi

dispersi pada cabang akustik bernilai maksimum, dan pada cabang optik bernilai

minimum.

30. Nilai-nilai tersebut adalah sebagai berikut.

31. Untuk kasus M1 < M2

Cabang akustik memiliki nilai maksimum (1,2)2

= 2/M2

Cabang optik memiliki nilai minimum (1,2)2

= 2/M1

32. Untuk kasus M1 > M2

Cabang akustik memiliki nilai maksimum (1,2)2

= 2/M1

Cabang optik memiliki nilai minimum (1,2)2

= 2/M2

33. Memperhatikan bahwa kasus M1 < M2 dan kasus M1 > M2 memiliki harga maksimum

dan minimum yang saling bertukar tempat antara cabang akustik dan optik.

34. Memperhatikan celah frekuensi dalam vibrasi kisi diatomik satu dimensi, yaitu selisih

antara frekuensi minimum cabang optik dan maksimum cabang akustik, yang bernilai

Celah frekuensi = 2/M1 2/M2= 21/M1 1/M2

35. Semakin tajam (bernilai besar) bila kedua massa semakin tidak sama.

36. lenyap (berimpit) bila kedua massa sama besar.

37. Memperhatikan bila nilai k=/2a disubstitusikan ke persamaan

(2 M1 2) A1

(2 cos ka) A2 = 0

(2 cos ka) A1 + (2 M2 2) A2

= 0

38. Menganggap bahwa M1 < M2.

39. Untuk cabang akustik nilai k=/2a menghasilkan frekuensi (1,2)2

= 2/M2 .

40. Sehingga kedua persamaan di atas menjadi

2 (1 M1/M2) A1 0 A2 = 0 berarti A1 = 0 dan A2 0

0 A1 + 0 A2 = 0 berarti A1 0 dan A2 0

41. Dua persamaan menyatakan bahwa A1 memiliki peluang nol, dan A2 pasti tidak nol.

42. Hal ini dapat diartikan bahwa pada cabang akustik hanya atom berat (M2) yang

bervibrasi, sedangkan atom ringan (M1) diam.

43. Untuk cabang optik nilai k=/2a menghasilkan frekuensi (1,2)2

= 2/M1 sehingga

kedua persamaan di atas menjadi

0 A1 0 A2 = 0 berarti A1 0 dan A2 0

0 A1 + 2 (1 M2/M1) A2 = 0 berarti A1 0 dan A2 = 0

44. Dua persamaan menyatakan bahwa A2 memiliki peluang nol, dan A1 pasti tidak nol.

45. Hal ini dapat diartikan bahwa pada cabang optik hanya atom ringan (M1) yang

bervibrasi, sedangkan atom berat (M2) diam.


46. Interpretasi fisis relasi dispersi kisi kristal diatomik satu dimensi dapat ditinjau dengan

3 keadaan, yakni harga k kecil, k=/2a, dan k=0.


47. Getaran dalam kisi kristal diatomik 1 dimensi bervariasi bergantung pada nilai k.

Permasalahan Diskusi Pertemuan VIII (Tugas 8)

Model Elektron Bebas dalam Logam

Soal No.1

Diskusikanlah tentang (1) elektron “cores”, (2) elektron konduksi, (3) gerakan ion

“cores”!

Jawab:


1. Jelaskan mengenai elektron “cores”!

2. Jelaskan mengenai elektron konduksi!

3. Jelaskan mengenai gerakan ion “cores”!


4. Elektron “cores”

5. Elektron konduksi

6. Gerakan ion “cores”


7. Elektron cores merupakan elektron valensi dalam logam yang terlokalisasi

sehingga karakternya relatif tidak berubah.

8. Elektron konduksi merupakan elektron valensi pada atom bebas yang membentuk

logam, elektron ini bergetar bebas diantara ion sehingga keduanya berikatan

logam.

9. Gerakan ion cores adalah ion yang bergetar secara termal di sekitar titik

setimbang dan demikian pula elektron bebas bergerak termal diantara ion termal

dan merubah arah gerak tiap menumbuk ion.


10. Elektron konduksi merupakan elektron yang bergerak di antara ion ketika atom

bebas membentuk logam yang menyebabkan keadaan berubah tajam

11. Elektron “cores” adalah elektron yang relatif tidah berubah karena tetap

terlokalisasi

12. Gerakan ion “cores” adalah ion yang bergetar secara termal di sekitar titik

setimbang, sehingga elektron bebas bergerak termal di antara ion logam dan

merubah arah geraknya setiap kali menumbuk ion


13. Elektron konduksi mempunyai pengertian yang berbeda dengan elektron “cores”,

sedangkan ion “cores” memiliki pergerakan yang tertentu

Soal No.2

Diskusikanlah tentang (1) volume ion “cores” dan elektron konduksi, (2) konsentrasi

elektron konduksi, dan (3) monovalen dan divalen dalam logam!

Jawab:


1. Jelaskan mengenai volume ion “cores” dan elektron konduksi!

2. Jelaskan mengenai konsentrasi elektron konduksi!

3. Jelaskan mengenai konsentrasi elektron konduksi monovalen dan divalen dalam

logam!


4. Volume ion “cores” dan elektron konduksi

5. Konsentrasi elektron konduksi

6. Monovalen dan divalen dalam logam


7. Dalam logam Na, proporsi volume yang dapat terisi oleh ion ”cores” hanya sekitar

15%

8. Hal ini dapat terjadi karena radius ion Na+ adalah 0,90Å, sedangkan setengah

jarak antartetangga terdekat atom adalah 1,83 Å.

9. Konsentrasi elektron konduksi dapat dihitung dari valensi dan kerapatan logam

10. Jika ρm dan ZV, masing-masing adalah kerapatan bahan dan valensi atom, maka

konsentrasi elektronnya adalah

𝑛 = 𝑍𝑉

𝜌𝑚𝑁𝐴

𝑀

11. Dimana NA adalah bilangan Avogadro dan M adalah berat atom

12. Logam memiliki konsentrasi elektron yang besar, yakni n = 1029

/m3

13. Contoh Logam monovalen adalah Na, K, Cu, Ag dan Au

14. Contoh logam divalen adalah logam Be, Mg, Zn dan Cd.


15. Volume ion “cores” pada logam Na adalah 15%

16. Konsentrasi elektron konduksidapat dihitung dari valensi ZV dan kerapatan logam

ρmdengan persamaan: 𝑛 = 𝑍𝑉𝜌𝑚 𝑁𝐴

𝑀

17. Logam monovalen adalah Na, K, Cu, Ag dan Au

18. Logam divalen adalah logam Be, Mg, Zn dan Cd


19. Volume ion “cores” hanya beberapa persen dari suatu logam dan konsentrasi

elektron konduksi dapat dihitung dari Zv dan ρm

Soal No.3

Menurut Drude, elektron konduksi logam membentuk sistem gas elektron klasik, dan

bila dikenai medan listrik luar menimbulkan konduktivitas listrik yang sebanding

dengan konsentrasi elektron konduksi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah benar apabila Drude mengatakan elektron konduksi logam membentuk

sistem gas elektron klasik, dan bila dikenai medan listrik luar menimbulkan

konduktivitas listrik yang sebanding dengan konsentrasi elektron konduksi?

Jelaskan!


2. Teori Drude

3. Elektron konduksi logam

4. Sistem gas elektron klasik

5. Medan listrik

6. Konduktivitas dan konsentrasi


7. Drude (1900) mengandaikan bahwa dalam logam terdapat elektron bebas, yang

membentuk sistem gas elektron klasik, yang bergerak acak dalam kristal dengan

kecepatan random vo karena energi termal dan berubah arah geraknya setelah

bertumbukan dengan ion logam. Karena massanya yang jauh lebih besar, maka

ion logam tidak terpengaruh dalam tumbukan ini

8. Kehadiran medan listrik ε dalam logam hanya mempengaruhi gerak keseluruhan

electron karena ion-ion tertata berjajar dan bervibrasi di sekitar titik kisi sehingga

tidak memiliki neto gerak translasi

9. Misalnya, terdapat medan listrik εdalam arah sumbu-X. Percepatan elektron

yang timbul percepatan elektron yang timbul adalah 𝑎𝑥 = −𝑒𝜀

𝑚 ∗ , dengan e adalah

muatan dan m* adalah massa efektif elektron

10. Jika waktu rata-rata antara dua tumbukan elektron dan ion adalah η, maka

kecepatan hanyut dalam selang waktu tersebut.

𝑣𝑕𝑎𝑛𝑦𝑢𝑡 = 𝑣𝑜 −𝑒𝜀

𝑚∗𝜏

11. Oleh karena itu rapat arus yang terjadi:

𝐽𝑥 = −𝑒 𝑣𝑜 −𝑒𝜀

𝑚∗𝜏

dimana penjumlahan dilakukan terhadap semua elektron bebas setiap satuan

volume.

12. Elektron bergerak secara acak, sehingga Σvo=0.

13. Oleh sebab itu ungkapan rapat arus menjadi

𝐽𝑥 =𝑒2𝑛𝜏

𝑚∗𝜀

14. Terdapat hubungan Jx=ζε, dimana Jx adalah rapat arus dan ζ konduktivitas listrik.

15. Maka menurut konduktivitas listrikmemiliki ungkapan

𝜍 =𝑒2𝑛𝜏

𝑚∗

16. Tampak bahwa konduktivitas listrikζ berbanding lurus dengan konsentrasi

elektron konduksi n


17. Sejutu apabila dikatakan bahwa dalam teori Drude, saat elektron konduksi logam

dikenai medan listrik luar akan menimbulkan konduktivitas listrik𝜍 yang

sebanding dengan konsentrasi elektron konduksi n


18. Teori Drude pada tahun 1900 tentang konduktivitas listrik sebanding dengan

konsentrasi elektron konduksi adalah benar

Soal No.4

Teori Drude tentang logam bersandar pada teori klasik, namun berhasil memprediksi

bahwa saat suhu naik diperoleh konsentrasi elektron konduksi dalam logam yang

makin banyak. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah benar apabila dari teori Drude tentang logam bersandar pada teori klasik,

namun berhasil memprediksi bahwa saat suhu naik diperoleh konsentrasi elektron

konduksi dalam logam yang makin banyak?


2. Teori Drude

3. Hubungan suhu dengan konsentrasi elektron konduksi


4. Analisa dengan konduktivitas termal

5. Misalnya, sepanjang sumbu-X terdapat gradien suhu ∂T/∂x, maka akan terjadi

aliran energi persatuan luas perdetik (arus kalor) Qe.

6. Berdasarkan eksperimen arus kalor Qe tersebut sebanding dengan gradien suhu

∂T/∂x

7. Maka, Qe = -K ∂T/∂x, dengan K adalah konduktivitas termal

8. Dalam logam, panas dialirkan oleh fonon dan elektron.

9. Konsentrasi elektron dalam logam sangat besar, maka konduktivitas termal fonon

jauh lebih kecil daripada elektron.

10. Kfonon≅10-2

Kelektron, sehingga konduktivitas fonon diabaikan.

11. Dari pendekatan teori kinetik gasdiperoleh ungkapan konduktivitas termal sebagai

𝐾 = 1

3 𝐶𝑣𝑣𝑙, dimana CVadalah kapasitas panas elektron persatuan volume, v

adalah kecepatan partikel rata-rata,dan l adalah lintas bebas rata-rata partikel.

12. Karena CV=(3/2)nk, (1/2)mv2=(3/2)kT dan l=vη, maka konduktivitas termal

menjadi

13. Perbandingan konduktivitas termal dan listrik adalah

𝐾

𝜍=

3

2 𝑘

𝑒

2

𝑇

14. Hal ini sesuai dengan penemuan empirik oleh Wiedemann-Frans (1853). Hukum

Wiedemann-Frans sesuai dengan pengamatan untuk suhu tinggi (termasuk suhu

kamar) dan suhu sangat rendah (beberapa K).

15. Tetapi, untuk suhu “intermediate”, K/ζT bergantung pada suhu.

16. Dalam teori Drude lintas bebas rata-rata elektron bebas, , l=ηvo, tidak bergantung

suhu. Namun karena vo∼T1/2

, maka keadaan mengharuskan η ∼T-1/2

17. Hal ini didukung dengan fakta eksperimen bahwa ζ∼T-1

, sehingga dari

ungkapankonduktivitas listrik didapatkan:n η ∼T-1

atau n ∼T-1/2

18. Ungkapan di atas menunjukkan bahwa bila T naik, maka n menurun


19. Tidak setuju apabila dikatakan dalam teori Drude tentang logam bersandar pada

teori klasik, namun berhasil memprediksi bahwa saat suhu naik diperoleh

konsentrasi elektron konduksi dalam logam yang makin banyak. Menurut teori

Drude tentang logam bersandar pada teori klasik menunjukkan n η ∼T-1

atau n

∼T-1/2

artinya bila T naik, maka n menurun


20. Drude tidak memenuhi dalam menjelaskan hubungan T dengan n

Soal No.5

Salah satu asumsi yang digunakan oleh model elektron bebas klasik adalah bahwa di

permukaan batas logam terdapat potensial penghalang, tetapi elektron yang paling

energetik dapat melewatinya sehingga dapat meninggalkan permukaan logam.

Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah asumsi-asumsi yang lain!

Jawab:


1. Apakah benar bahwa dari salah satu asumsi yang digunakan oleh model elektron

bebas klasik adalah bahwa di permukaan batas logam terdapat potensial

penghalang, tetapi elektron yang paling energetik dapat melewatinya sehingga

dapat meninggalkan permukaan logam?

2. Jelaskan pula asumsi-asumsi yang lain!


3. Model elektron bebas klasik


4. Model elektron bebasa klasik tentang logam mengambil andaian berikut.

a. Kristal digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip (yang

membentuk kisi kristal) dan elektron yang bebas bergerak dalam volume kristal

b. Elektron bebas tersebut diperlakukan sebagai gas, yang masing-masing bergerak

secara acak dengan kecepatan termal (seperti molekul dalam gas ideal – tidak ada

tumbukan, kecuali terhadap permukaan batas)

c. Pengaruh medan potensial ion diabaikan, karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar

d. Elektron hanya bergerak dalam kristal karena adanya penghalang potensial di

permukaan batas


5. Tidak setuju apabila dikatakan salah satu asumsi yang digunakan oleh model

elektron bebas klasik adalah bahwa di permukaan batas logam terdapat potensial

penghalang, tetapi elektron yang paling energetik dapat melewatinya sehingga

dapat meninggalkan permukaan logam, karena salah satu asumsi yang digunakan

oleh model elektron bebas klasik adalah di permukaan batas logam terdapat

potensial penghalang, karena itu elektron hanya bergerak dalam kristal


6. Terdapat empat asumsi yang digunakan oleh model elektron bebas klasik

Soal No.6

Model elektron bebas klasik gagal membahas kapasitas panas dan suseptibilitas

magnetik bahan logam. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah anda setuju apabila dikatakan model elektron bebas klasik gagal

membahas kapasitas panas dan suseptibilitas magnetik bahan logam? Jelaskan!


2. Model elektron bebas klasik

3. Kapasitas panas klasik

4. Suseptibilitas magnetik bahan logam


5. Misalnya, setiap atom memberikan ZV elektron bebas, maka jumlah total elektron

tersebut perkilomol n = ZV NA

6. Bila elektron berperilaku seperti dalam gas ideal, maka energi kinetik totalnya U

= n (3/2) k T = (3/2) ZV R T

7. Sehingga kapasitas panas sumbangan elektron bebas(CV)el = (3/2) ZV R

8. Kapasitas panas total dalam logam, termasuk sumbangan oleh fonon, adalah CV =

(CV)f + (CV)el = [3 + (3/2) ZV) R

9. Hal ini berarti setidaknya kapasitas panas logam harus 50% lebih tinggi daripada

isolator.

10. Namun berdasarkan eksperimen menunjukkan bahwa untuk semua bahan padatan

(logam dan isolator) nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi

11. Pengukuran yang akurat menunjukkan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap

kapasitas panas total adalah reduksi harga klasik (3/2)R oleh factor 10 -2

12. Oleh karena itu model elektron bebas klasik tidak memberikan hasil ramalan CV

yang memadai

13. Suseptibilitas magnetik χ mengkaitkan momen magnetik M dan kuat medan

magnetik H melalui ungkapan M = χ H

14. Pengaruh medan magnet luar H terhadap elektron bebas menyebabkan setiap

momen dipol μ ,yang arahnya acak, akan memperoleh energi magnetik

E = −μ ∙ H

15. Jika distribusi momen dipol elektron bebas memenuhi statistik Maxwell-

Boltzmann, yakni f(E)=e-E/kT

,

16. Maka momen dipol rata-rata dalam arah medan memenuhi

μ = μcosθe−E/kT 2πsinθ dθ

x

0

e−E/kT 2πsinθ dθx

0

dimana θ adalah sudut antara μ dan H

17. Hasil dari persamaan di atas adalahμ = μ L x , dengan L(x)=coth x – (1/x) =

fungsi Langevin dan x = (μH/kT)

18. Dengan menggunakan deret

coth x =1

x+

x

3−

x3

45+

2x5

945+ ⋯, untuk0 < x < 𝜋

19. Maka untuk medan H tidak kuat, yakni μH<<kT momen dipol rata-rata tersebut

berharga

μ = μ1

3

μH

kT

20. Jika jumlah momen dipol magnet adalah N, maka magnetisasinya

M = Nμ =Nμ2

3kTH

21. Dengan membandingkan persamaan poin t dan poin k, diperoleh suseptibilitas

magnetik

χ =Nμ2

3kT

22. Dari persamaan di atas, tam[ak bahwa adanya kebergantungan χ terhadap T

23. Tetapi, eksperimen tidak menunjukkan adanya kebergantungan χ terhadap T.

24. Selain itu, model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan tentang mengapa

χ untuk paramagnet elektron tidak bergantung pada T.


25. Setuju apabila dikatakan model elektron bebas klasik gagal membahas:

a. Kapasitas panas logam, hanya terjadi reduksi dimana eksperimen menunjukkan

nilai CV mendekati 3R pada suhu tinggi

b. Suseptibilitas magnetik bahan logam, tidak dapat menerangkan tentang mengapa χ

tidak bergantung pada T


26. Model elektron bebas klasik gagal membahas kapasitas panas logam dan

suseptibilitas magnetik bahan logam.

Soal No.7

Salah satu asumsi yang digunakan oleh model elektron bebas terkuantisasi dalam

membahas elektron dalam logam adalah bahwa elektron dapat meninggalkan

permukaan logam. Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah asumsi-asumsi yang

lain!

Jawab:


1. Apakah setuju apabila dikatakan dari salah satu asumsi yang digunakan oleh

model elektron bebas terkuantisasi dalam membahas elektron dalam logam adalah

bahwa elektron dapat meninggalkan permukaan logam?

2. Jelaskan mengenai asumsi-asumsi yang lain!


3. Model elektron bebas terkuantisasi


4. Model elektron bebas terkuantisasi mengambil andaian sebagai berikut.

a. Kristal logam digambarkan sebagai superposisi dari jajaran gugus ion positip

(yang membentuk kisi kristal) dan elektron bebas yang bergerak dalam volume

kristal

b. Elektron bebas tersebut memenuhi kaidah fisika kuantum, yaitu mempunyai

energi terkuantisasi dan mematuhi larangan Pauli, yang secara menyatu

dirangkum dalam ungkapan rapat electron dn = n(E) dE = f(E) g(E) dE

c. Dengan mensubstitusikan (3.27) dan (3.26) diperoleh ungkapan rapat elektron

sebagai fungsi dari energi elektron dan suhu sistem

𝑓 𝐸 =1

1 + 𝑒 𝐸−𝐸𝑝

𝑘𝑇

dan fungsi jumlah keadaaan elektron persatuan volume yang berenergi antara

E dan E+dE yang dinyatakan

𝑔 𝐸 𝑑𝐸 =𝑘2

𝜋2𝑑𝑘 =

1

2𝜋2

2𝑚𝑜

ℏ2

3/2

𝐸1/2𝑑𝐸

d. Pengaruh medan ion positip dapat diabaikan karena energi kinetik elektron bebas

sangat besar

e. Pada permukaan batas antara logam dan vakum yang mengelilinginya terdapat

suatu potensial penghalang φ yang harus diloncati oleh elektron bebas paling

energetik pada suhu T=0 K (energi EF) untuk dapat meninggalkan permukaan

batas logam.


5. Setuju, karena salah satu asumsi yang digunakan oleh model elektron bebas

terkuantisasi dalam membahas elektron dalam logam adalah bahwa elektron dapat

meninggalkan permukaan logam yaitu elektron yang paling energetik


6. Terdapat empat asumsi mengenai model elektron bebas terkuantisasi

Soal No.8

Model elektron bebas terkuantisasi berhasil membuktikan bahwa sumbangan

elektron bebas terhadap kapasitas panas total logam adalah 0,5% pada suhu tinggi.


Jawab:


1. Apakah benar apabila dikatakan model elektron bebas terkuantisasi berhasil

membuktikan bahwa sumbangan elektron bebas terhadap kapasitas panas total

logam adalah 0,5% pada suhu tinggi? Jelaskan!


2. M odel elektron bebas terkuantisasi

3. Rapat elektron

4. Rapat energi

5. Kapasitas panas logam


6. Rapat elektron pada suhu T=0 K

𝑛 = 𝑛 𝐸 𝑑𝐸∞

0

= 𝐸𝑓 𝐸 𝑔 𝐸 𝑑𝐸 =∞

0

𝐸𝐸𝐹𝑜

0

1

2𝜋2

2𝑚𝑜

ℏ2

3/2

𝐸1/2𝑑𝐸

=1

3𝜋2

2𝑚𝑜𝐸𝐹 0

ℏ2

3/2

7. Rapat energi pada suhu T=0 K

𝑈𝑜 = 𝐸𝑑𝑛 = 𝐸𝑓 𝐸 𝑔 𝐸 𝑑𝐸 =∞

0

∞

0

𝐸𝐸𝐹𝑜

0

1

2𝜋2

2𝑚𝑜

ℏ2

3/2

𝐸1/2𝑑𝐸

=1

5𝜋2

2𝑚𝑜

ℏ2

3/2

𝐸𝐹5/2 0

8. Bila dinyatakan dalam bentuk persamaan rapat elektron, maka

𝑈𝑜 =3

5𝑛𝐸𝐹 0

9. Rapat energi elektron pada suhu T>0 K

𝑈 = 𝐸𝑓 𝐸 𝑔 𝐸 𝑑𝐸 = 𝐸1

1 + 𝑒 𝐸−𝐸𝐹 /𝑘𝑇

1

2𝜋2

∞

0

2𝑚𝑜

ℏ2

3/2

𝐸1/2𝑑𝐸∞

0

𝑈 =1

2𝜋2

2𝑚𝑜

ℏ2

3/2

𝐸3/2

1 + 𝑒 𝐸−𝐸𝐹 /𝑘𝑇

∞

0

𝑑𝐸

10. Untuk menyelesaikan integral dalam persamaan di atas digunakan bentuk integral

𝐹𝑗 𝑦𝑜 = 𝑦𝑗

1 + 𝑒 𝑦−𝑦𝑜 𝑑𝑦

∞

0

11. Persamaan di atas yang mempunyai bentuk asymtotik untuk yo besar dan berharga

positip

𝐹𝑗 𝑦𝑜 ≅𝑦𝑜

𝑗+1

𝑗 + 1 1 +

𝜋2𝑗 𝑗 + 1

6𝑦02 +∙∙∙

12. Diketahui bahwa ungkapan energi Fermi sebagai fungsi suhu adalah

𝐸𝐹 = 𝐸𝐹 0 1 − 𝜋𝑘𝑇 2

12𝐸𝐹2 0

13. Karena bentuk [ 𝜋𝑘𝑇 2/𝐸𝐹2 0 ] sangat kecil dibandingkan dengan satu, maka EF

selalu dapat diganti dengan EF(0).

14. Dengan memakai bentuk persamaan (f) , (g) dan deret binomial (1+x)p, serta

memperhatikan ungkapan (b) dan (a), maka rapat energi pada suhu T>0 K dapat

dihitung dan hasilnya adalah

𝑈 ≅ 𝑈𝑜 +𝑛𝜋2𝑘2𝑇

4𝐸𝐹

15. Sehingga kapasitas panas elektron bebas

𝐶𝑉 𝑒𝑙 = ∂U/ ∂T𝑛𝜋2𝑘2𝑇

2𝐸𝐹

16. Apabila kapasitas panas elektron bebas model klasik maka persamaan di kapasitas

panas elektron bebas untuk satu mol zat menjadi

𝐶𝑉 𝑒𝑙 =𝜋2𝑘𝑇

3𝐸𝐹

𝐶𝑉 𝑒𝑙′

17. Tampak bahwa sumbangan elektron bebas pada harga CV untuk kristal diperkecil

dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga klasiknya.

18. Untuk harga EF=5 eV dan T=300 K, maka hal ini sesuai dengan hasil pengukuran

bahwa faktor pengecil tersebut kira-kira berorde 10-2

.

19. Sumbangan elektron bebas pada harga CV suatu logam sangatlah kecil, terutama

pada suhu yang sangat tinggi

20. Tetapi sumbangan tersebut akan dominan pada suhu yang cukup rendah.

21. Pada suhu jauh di bawah suhu Debye θD dan suhu Fermi TF, kapasitas panas suatu

logam dapat ditulis sebagai jumlah sumbangan elektron bebas dan fonon, yakni

CV = γ T + A T3 dimana γ dan A merupakan konstanta karakteristik bahan


22. Tidak setuju karena pada model elektron bebas terkuantisasi membuktikan bahwa

sumbangan elektron bebas terhadap harga kapasitas panas total logam pada suhu

tinggi sangatlah kecil dan diperkecil dengan faktor [π2kT/3EF] dari harga

klasiknya,kira-kira berorde 10-2


23. Pada suhu sangat tinggi sumbangan elektron bebas pada harga Cv suatu logam

sangatlah kecil

Soal No.9

Model elektron bebas terkuantisasi berhasil membuktikan bahwa suseptibilitas

magnetik bahan logam bergantung secara kuat terhadap suhu, yakni berbanding

terbalik terhadap suhu mutlak. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab:


1. Apakah benar bahwa model elektron bebas terkuantisasi berhasil membuktikan

bahwa suseptibilitas magnetik bahan logam bergantung secara kuat terhadap suhu,

yakni berbanding terbalik terhadap suhu mutlak? Jelaskan!



3. Suseptibilitas magnetik bahan logam


4. Apabila terdapat suatu medan magnet luar H pada sutau logam, maka spin

elektron bebas akan menyesuaikan diri terhadap H.

5. Karena terdapat pengaruh medan,maka energi total elektron bebas adalah Etot =

Ekin ± μB μo H

6. Tanda positip untuk spin antiparalel dan negatip untuk spin paralel terhadap

medan.

7. Pengaruh medan terhadap rapat keadaan g(E) digambarkan di bawah ini

8. Rapat keadaan g(E) dibagi menjadi dua bagian, yaitu spin ke atas dan ke bawah.

9. Tanpa medan magnet luar H, keduanya simetris terhadap sumbu E.

Gambar Variasi tingkat

energi karena aplikasi

medan magnet luar H

10. Bila terdapat medan magnet luar H, maka secara total lebih banyak elektron yang

antiparalel terhadap H.

11. Magnetisasi yang terjadi adalah

𝑀 = 𝜇𝐵 𝑑𝑛∞

0

= 𝜇𝐵 𝑓 𝐸 1

2𝑔 𝐸 + 𝜇𝐵𝜇𝑜𝐻 −

1

2𝑔 𝐸 − 𝜇𝐵𝜇𝑜𝐻

∞

0

𝑑𝐸

12. Bila diambil kasus untuk T=0 K, maka diperoleh𝑀 =𝜇𝑜𝜇𝐵

2 3𝑛

2𝐸𝐹0𝐻

13. Berdasarkan ekspansi Taylor, perhitungan di atas menggunakan relasi

g(E±μoμBH)=g(E)±μoμBH(dg/dE) , diperoleh g(EF)=3n/2

14. Maka, EFdapat diperoleh dengan menggabungkan persamaan jumlah keadaaan

elektron persatuan volume yang berenergi antara E dan E+dE dan persamaan

rapat elektron pada suhu T=0 K

15. Dengan demikian suseptibilitas magnetiknya

𝜒 =𝜇𝑜𝜇𝐵

2 3𝑛

2𝐸𝐹0

16. Terlihat bahwa suseptibilitas di atas tidak bergantung secara kuat terhadap suhu.

17. Dengan harga EFo=2 eV didapatkan χ=5.10-6

yang sesuai dengan hasil

eksperimen.


18. Tidak setuju dengan pernyataan soal dikarenakan model elektron bebas

terkuantisasi membuktikan bahwasuseptibilitas di atas tidak bergantung secara

kuat terhadap suhu


19. Model elektron bebas terkuantisasitentang ketidakbergantungan suseptibilitas

magnetik terhadap suhu mempunyai kesesuaian dengan eksperimen

Soal No.10

Model elektron bebas terkuantisasi menghasilkan konduktivitas listrik logam yang

bentuknya berbeda dengan yang diperoleh teori Drude, tetapi dalam keadaan khusus

dapat direduksi sehingga bentuknya sama dengan yang diperoleh teori Drude.


Jawab:


1. Apakah setuju dengan pernyataan model elektron bebas terkuantisasi

menghasilkan konduktivitas listrik logam yang bentuknya berbeda dengan yang

diperoleh teori Drude, tetapi dalam keadaan khusus dapat direduksi sehingga

bentuknya sama dengan yang diperoleh teori Drude? Jelaskan!



3. Teori Drude

4. Konduktivitas listrik logam


5. Elektron yang mempunyai mobilitas besar untuk pindah ke keadaan elektronyang

lain adalah elektron yang berenergi E sedemikian sehingga f(E)<1. Hal initerjadi

di daerah E∼EF.

6. Elektron yang demikian akan mengalir bila dikenai medanlistrik.

7. Bila rapat elektron n dan kecepatan hanyutelektron vd, maka rapat arus dapat juga

diungkapkan dalam bentuk: J = n e vd

8. Dalam kesetimbangan termal, distribusi elektron berada dalam keadaanmapan

(steady state) 𝑛𝑜 𝑣 , yang tidak bergantung waktu.

9. Dalam ruang kecepatan,distribusi 𝑛𝑜 𝑣 ,mempunyai simetri bola, dinamakan bola

Fermi(dengan radiuslaju Fermi vF), serta permukaannya disebut permukaan

Fermi.

10. Kecepatan elektronbersifat acak, dan berkaitan dengan energi melalui persamaan:

E = ½ m v2, direpresentasikan oleh semua titik dalam bola.

11. Arus total nol karena setiap elektronyang berkecepatan v selalu berpasangan

dengan yang berkecepatan –v.

12. Kecepatanelektron sangat besar di permukaan Fermi.

13. Permukaan Fermi tidak begitu dipengaruhioleh suhu. Bila suhu naik, hanya

sedikit elektron yang melintasinya. Bila terdapat medan listrik, misalnya, εX

searah sumbu-X, maka distribusielektron berubah menjadi n 𝑣 . Perubahan ini

mempunyai komponen posisi danwaktu.

14. Dalam hal ini bola Fermi bergeser ke arah (-X), seperti ditunjukkan oleh gambar

berikut.

Gambar (a) Bola Fermi saat setimbang,

(b) Pergeseran bola Fermi saat dikenakan medan

15. Diasumsikan bahwa kecepatan pergeseran titik pusat oleh kehadiran medan luar

inisangat kecil bila dibandingkan dengan vrms.

16. Bila ε homogen (besar dan arahnya), maka perubahan distribusi elektronhanya

dipengaruhi oleh komponen waktu.

17. Proses yang terjadi adalah adanya perubahan distribusi elektron karena pengaruh

medan luar ε dan adanya proseshamburan yang ingin memulihkannya ke keadaan

semula.

18. Penggabungan keduaproses ini menghasilkan persamaan kontinuitas

𝜕𝑛 𝑣

𝜕𝑡+

𝑒𝜀

𝑚𝑜∙ ∇𝑉𝑛 𝑣 +

𝑛 𝑣 − 𝑛𝑜 𝑣

𝜏= 𝑜

dengan η adalah waktu relaksasi. Ungkapan ini sering disebut persamaan

transportBoltzmann.

19. Dalam keadaan mapan 𝜕𝑛 𝑣

𝜕𝑡= 0, dan diambik komponen e yang searah sumbu-X

𝜀 = 𝜀𝑥 𝑖

20. Maka persamaan kontinuitas-nya menjadi𝑛 𝑣 = 𝑛𝑜 𝑣 −𝜏𝑒𝜀𝑥

𝑚𝑜

𝜕𝑛 𝑣

𝜕𝑣𝑥

21. Rapat arus yang terjadi

𝐽𝑥 = 𝑒 𝑣𝑥𝑛 𝑣 𝑑𝑣𝑥𝑑𝑣𝑦𝑑𝑣𝑧 = 𝑒∞

−∞

𝑣𝑥 𝑛𝑜 𝑣 −𝜏𝑒𝜀𝑥

𝑚𝑜

𝜕𝑛 𝑣

𝜕𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑥𝑑𝑣𝑦𝑑𝑣𝑧

22. Rapat arus listrik yang terjadi Integral suku pertama persamaan di atas

menghasilkan nol karena kecepatan rata-rata 𝑣𝑥 = 0 dalam 𝑛𝑜 𝑣 .

23. Dengan demikian rapat arus menjadi

𝐽𝑥 = −𝑒2𝜀𝑥

𝑚𝑜 𝑣𝑥

∞

−∞

𝜕𝑛 𝑣

𝜕𝑣𝑥𝑑𝑣𝑥𝑑𝑣𝑦𝑑𝑣𝑧

24. Mengingat bahwa

η=l/v, dimana l adalah lintas bebas rata-rata antara dua tumbukan

𝑣2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2, dan

gerak elektron secara acak sehingga, 𝑣𝑥2 =

1

3𝑣2

25. Maka ungkapan rapat arus berubah menjadi

𝐽𝑥 =4𝜋𝑒2𝜀𝑥

4𝑚𝑜 𝑙𝑣

∞

0

𝜕𝑛𝑜 𝑣

𝜕𝑣𝑥𝑑𝑣

26. Dari persamaan rapat elektron distribusi energi, dan setelah diadakan perubahan

variabel E menjadi 𝑣 , maka akan diperoleh distribusi elektron

𝑛𝑜 𝑣 = 2 𝑚𝑜 𝑕 3𝑓 𝐸

27. Subtitusi distribusi elektron dan perubahan variabel v menjadi E pada rapat arus

menjadi

𝐽𝑥 =16𝜋𝑒2𝑚𝑜

3𝑕𝜀𝑥 𝑙

∞

0

𝐸 −𝜕𝑓 𝐸

𝜕𝐸 𝑑𝐸

28. Berdasarkan hubungan: 𝐽 = 𝜍𝜀 , diperoleh konduktivitas listrik

𝜍 =16𝜋𝑒2𝑚𝑜

3𝑕 𝑙

∞

0

𝐸 −𝜕𝑓 𝐸

𝜕𝐸 𝑑𝐸

29. Untuk suhu T=0 K, harga (-∂f(E)/∂E) berupa fungsi delta Dirac δ sehingga

integraldalam persamaan di atas menghasilkan 𝑙𝐸𝐹𝐸𝐹

30. Menggunakan persamaan rapat elektron, maka persamaankonduktivitas listrik di

atas menjadi,

𝜍 =𝑛𝑒2𝑙𝐸𝐹

𝑚𝑜𝑣𝐸𝐹=

𝑛𝑒2𝜏𝐹

𝑚𝑜

dimana ηF adalah waktu relaksasi sebuah elektron pada bola Fermi.

31. Ungkapan konduktivitas listrik di atas, bentuknya sama dengan hasil teori Drude

yanglalu.

32. Namun beberapa logam dengan konsentrasi elektron lebih tinggi, justru

menunjukkan nilai konduktivitas lebih rendah.

33. Disamping itu, sebenarnya fakta menunjukkan bahwa konduktivitas listrik

bergantung pada suhu, dan juga arah


34. Tidak setuju, karena pada model elektron bebas terkuantisasi menghasilkan

konduktivitas listrik logam yang bentuknya sama dengan yang diperoleh teori

Drude, keduanya mengemukakan bahwa konduktivitas listrik hanya berbanding

lurus dengan konsentrasi elektron


35. Baik teori Drude maupun model elektron bebas terkuantisasi mengemukakan

bahwa konduktivitas listrik hanya berbanding lurus dengan konsentrasi elektron

Permasalahan diskusi Pertemuan IX (Tugas 9)

Perilaku Elektron dalam Logam

Soal No. 1

Resistivitas listrik pada suhu sangat rendah berharga konstan, pada suhu rendah

sebanding dengan pangkat lima suhu mutlak, dan pada suhu tinggi (termasuk suhu

ruang) sebanding dengan suhu mutlak. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar bahwa resistivitas listrik pada suhu sangat rendah berharga konstan, pada

suhu rendah sebanding dengan pangkat lima suhu mutlak, dan pada suhu tinggi

(termasuk suhu ruang) sebanding dengan suhu mutlak? Berilah penjelasan!


2. Konduktivitas listrik logam bergantung pada suhu biasanya dibahas dalam bentuk

perilaku resistivitas ρ terhadap suhu T.

3. Elektron mengalami suatu tumbukan hanya karena ketidaksempurnaan keteraturan kisi.


4. Ketidaksempurnaan tersebut dapat berupa (a) vibrasi kisi (fonon) dari ion di sekitar titik

setimbang karena eksitasi termalnya, dan (b) semua ketidaksempurnaan statik, seperti

ketidakmurnian atau cacat kristal.

5. Untuk menjelaskan hubungan antara resistivitas ρ dengan suhu T, maka digunakan

Hukum Matthiessen yang menyatakan sebagai berikut.

𝜌 𝑇 = 𝜌𝑓 𝑇 + 𝜌𝑖 =𝑚∗

𝑛𝑒21

𝜏𝑓+

𝑚∗

𝑛𝑒21

𝜏𝑖

6. Dari persamaan diatas tampak bahwa ρ mempunyai dua bentuk yakni, pertama

resistivitas ideal ρf(T) karena hamburan elektron oleh fonon, sehingga bergantung pada

suhu.

7. Kedua, resistivitas residual ρi karena hamburan elektron oleh ketakmurnian (yang tidak

bergantung pada suhu).

8. Pada suhu sangat rendah, hamburan oleh fonon dapat diabaikan karena amplitudo

sangat kecil.

9. Sehingga dalam hal ini τf→∞ dan ρf=0 sehingga ρ(T)=ρi berharga konstan dan nilainya

sebanding dengan konsentrasi ketidakmurnian.

10. Pada suhu yang cukup besar, hamburan oleh fonon menjadi dominan sehingga

ρ(T)≅ρf(T).

11. Pada suhu tinggi (termasuk suhu ruang), ρf(T) naik secara linier terhadap T sampai

logam mencapai titik leleh.

12. Tetapi, pada suhu rendah resistivitasnya sebanding dengan T5.

13. Keadaan di atas sesuai dengan data eksperimen untuk logam Na berikut.

14. Pada T=0 K, ρ berharga kecil konstan, sedangkan untuk suhu di atasnya ρ naik secara

perlahan pada awalnya dan berikutnya secara linier terhadap T.

15. Pada gambar disamping ρ(290 K) =2,1.10-8

Ωm.


16. Menyetujui bahwa resistivitas listrik pada suhu sangat rendah berharga konstan, pada

suhu rendah sebanding dengan pangkat lima suhu mutlak, dan pada suhu tinggi

(termasuk suhu ruang) sebanding dengan suhu mutlak.

17. Dimana pada T sangat rendah, ρ(T)=ρi berharga konstan, pada suhu rendah

resistivitasnya sebanding dengan T5

dan pada T tinggi (termasuk suhu ruang), ρf(T)

naik secara linier terhadap T sampai logam mencapai titik leleh yang ditunjukkan

dengan grafik.


18. Nilai ρ karena hamburan elektron oleh fonon bergantung pada variasi suhu sedangkan ρ

karena hamburan elektron oleh impuritas tidak bergantung suhu.

Soal No. 2

Dalam percobaan efek Hall didapatkan rapat elektron konduksi dan macam rapat

pembawa muatan (positip atau negatip) sampel. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar bahwa dalam percobaan efek Hall didapatkan rapat elektron konduksi

dan macam rapat pembawa muatan (positip atau negatip) sampel? Berilah penjelasan!


2. Efek Hall dapat dibahas dengan pendekatan model elektron bebas klasik.


3. Peristiwa efek Hall dapat digambarkan sebagai berikut.

4. Dari peristiwa diatas didapatkan harga konstanta Hall adalah 𝑅𝐻 =𝜀𝑌

𝐽𝑋𝐵𝑍= −

1

𝑛𝑒.

5. Dengan mengukur εY, JX dan BZ, maka rapat elektron konduksi n dapat ditentukan.

6. Dimana εY, JX dan BZ merupakan medan listrik, rapat arus, dan medan magnet.

7. Efek Hall dapat dipergunakan untuk menentukan,

8. Pertama, rapat elektron konduksi yang berperan dalam proses penghantaran muatan.

9. Kedua, macam rapat pembawa muatan (positip atau negatip) sampel.

10. Ungkapan koefisien Hall di atas menunjukkan nahwa RH berharga negatip dan hanya

bergantung pada rapat elektron.

11. Hasil percobaan menunjukkan bahwa pada suhu kamar logam-logam Li, Na, Cu, Ag,

dan Au berturut-turut memiliki konstanta Hall –1,7.10-10

, –2,5.10-10

, –0,55.10-10

, –

0,84.10-10

, dan –0,72.10-10

volt.m3/A.

12. Tetapi fakta lain menunjukkan bahwa terdapat beberapa logam mempunyai RH positip,

dan bahwa RH, umumnya, bergantung pada suhu, waktu relaksasi dan besar medan

magnet.

13. Misalnya, logam Zn, dan Cd, masing-masing memiliki konstanta Hall sebesar +0,3.10-

10, dan +0,6.10

-10 volt.m

3/A.

14. Hal ini menunjukkan bahwa pembawa muatan dalam keduanya adalah lubang (hole).


15. Menyetujui bahwa dalam percobaan efek Hall didapatkan rapat elektron konduksi n

dan macam rapat pembawa muatan (positip atau negatip) sampel RH.


16. Percobaan efek Hall dapat digunakan untuk menentukan nilai n dan RH.

Soal No.3

Pada percobaan resonansi siklotron diperoleh frekuensi gerak siklotron *m

eBC .


Jawab:


1. Apakah benar bahwa dalam percobaan resonansi siklotron diperoleh frekuensi gerak

siklotron *m

eBC ? Jelaskan!


2. Resonansi siklotron


3. Gambar gerak siklotron

4. Medan magnet menyebabkan elektron bergerak melingkar berlawanan arah jarum jam

dalam bidang normal medan

5. Frekuensi gerak siklotron yang terjadi

m

eBC

6. Jika sinyal elektromagnet diarahkan tegak lurus B maka elektron menyerap energinya

7. Kecepatan absorbsi tersebar terjadi saat frekuensi seinyal benar-benar sama dengan

frekuensi siklotron C

8. Masing-masing elektron bergerak sempurna sepanjang lingkaran sehingga absorbsi

terjadi secara kontinu sepanjang lintasan


9. Setuju apabila dikatakan dalam percobaan resonansi siklotron diperoleh frekuensi gerak

siklotron *m

eBC .


10. Kondisi dimana masing-masing elektron bergerak sempurna sepanjang lingkaran

sehingga absorbsi terjadi secara kontinu sepanjang lintasan disebut dengan resonansi

siklotron etuju apabila dikatakan dalam percobaan resonansi siklotron diperoleh

frekuensi gerak siklotron *m

eBC .

Soal No.4

Secara klasik, elektron dapat keluar meninggalkan permukaan logam asalkan ia memiliki

energi yang melampaui energi Fermi dan energi ambang logam yang bersangkutan.


Jawab:


1. Apakah benar apabila ditinjau secara klasik elektron dapat keluar meninggalkan

permukaan logam asalkan ia memiliki energi yang melampaui energi Fermi dan energi

ambang logam yang bersangkutan? Jelaskan!


2. Energi Fermi

3. Energi ambang logam


4. Model elektron bebas terkuantisasi memiliki skema tingkat energi berikut

5. Pada T= 0 K semua tingkatan terisi sampai tingkat energi Fermi EF

6. Di atas tingkat EF terdapat tingkat energi penghalang e sampai permukaan, yang

dikenal sebagai fungsi kerja logam

7. Dengan demikian untuk dapat meninggalkan logam, misalkan dalam arah sumbu x

elektron harus memiliki energi

eE2m

PF

0

2

X

8. Dalam statistik Fermi-Dirac, rapat elektron yang berkecepatan antara (vX,vY,vZ) sampai

(vX+dvX, vY+dvY, vZ+dvZ) adalah

ZYX

ZYXZYXZYX dvdvdv

kT

vvvmeksp

h

mdvdvdvvvvn

1222

0

3

0

212),,(

9. Pancaran thermionik hanya mungkin terjadi pada energi yang sangat tinggi, sehingga

angka satu dalam penyebut persamaan di atas dapat diabaikan

10. Distribusi rapat elektron dapat ditulis sebagai

ZYX

vvvkT

m

kTE

ZYXZYX dvdvdveeh

mdvdvdvvvvn

ZYXp

2220

/

3

02),,(

11. Rapat elektron dalam arah-X yang berkecepatan antara vX dan (vX+dvX)

X

vkT

m

kTE

XZYXZYXXX

dveeh

kTm

dvdvdvdvvvvndvvn

Xp

20

/

3

2

04

),,(

12. Untuk dapat meninggalkan batas permukaan, elektron harus memiliki kecepatan awal

minimal 0

22

m

eEv F

X


13. Tidak setuju, bila secara klasik elektron dapat keluar meninggalkan permukaan logam

asalkan ia memiliki energi yang melampaui energi Fermi dan energi ambang logam

yang bersangkutan


14. Kegunaan pancaran thermionik adalah untuk menentukan fungsi kerja logam dan

koefisien pantul elektron pada permukaan bahan

Soal No.5

Diskusikanlah tentang beberapa peristiwa yang dibahas oleh model elektron bebas yang

menyimpang dari data pengamatan?

Jawab:


1. Jelaskan mengenai beberapa peristiwa yang dibahas oleh model elektron bebas yang

menyimpang dari data pengamatan!


2. Model elektron bebas


3. Gejala fisis yang diprediksi oleh model elektron bebas ternyata terdapat yang

menyimpang dari data pengamatan

4. Kelemahan yang dikemukakan secara singkat dalam masing-masing bahasannya yaitu:

a. Konduktivitas listrik yang hnaya bergantung pada konsentrasi elektron

b. Faktanya menunjukkan bahwa logam divalent (Be, Cd, Zn) dan bahkan logam

trivalent (Al dan In) memiliki konduktivitas lebih rendah daripada logam

monovalent (Cu, Ag dan Au) meskipun konsentrasi elektron banyak

c. Koefisien Hall selalu berharga negatif

d. Padahal beberapa logam menunjukkan konstanta Hall positif seperti Be, Zn dan Cd

e. Permukaan Fermi memiliki simetri bola

f. Padahal pengukuran kadang-kadang menunjukkan permukaan Fermi berbentuk

non-simetri bola


5. Gejala fisis yang menyimpang dari data pengamatan, yaitu konduktivitas listrik yang

hanya bergantung pada konsentrasi elektron, koefisien Hall selalu berharga negatip, dan

permukaan Fermi mempunyai simetri bola


6. Terdapat 3 hal gejala fisis yang menyimpang dari pengamatan. Penyimpangan ini akan

diperbaiki oleh bahasan teori Pita Energi, yaitu manakala potensial inti berpengaruh

terhadap perilaku elektron konduksi

Permasalahan diskusi Pertemuan X (Tugas 10)

TEORI PITA ENERGI

Soal No.1

Salah satu asumsi teori pita energi adalah terdapat energi potensial yang

tidak sama dengan nol, tetapi karena nilainya rendah sekali, maka dapat

diabaikan. Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah asumsi-asumsi yang

lain!

Jawab :


1. Salah satu asumsi teori pita energi adalah terdapat energi potensial yang

tidak sama dengan nol, tetapi karena nilainya rendah sekali, maka dapat

diabaikan. Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah asumsi-asumsi

yang lain!


2. Teori pita energy

3. Energy potensial


4. Apabila deretan ion tersusun teratur dan membentuk kisi kristal, maka

energy potensial kristalnya berubah secara periodik sesuai dengan

periodisitas kisi tersebut.

5. “Dilihat” oleh elektron, potensial kristal tersebut seperti disajikan pada

Gambar

6. Elektron yang dapat bergerak bebas di antara ion adalah elektron yang

berada di atas potensial penghalang.

7. Teori pita energi zat padat mengajukan model tentang elektron dalam

Kristal dengan asumsi sebagai berikut.

8. a. Terdapat energi potensial )(rV yang tidak sama dengan nol di dalam

Kristal dengan keberkalaan kisi kristal.

9. b. Fungsi gelombang )(r dibuat berdasarkan kisi sempurna dan

dimana dianggap bahwa kisi tidak bervibrasi secara termal.

10. c. Teori pita energi dikembangkan dari bahasan perilaku elektron

tunggal di bawah pengaruh suatu potensial periodik )(rV yang

merepresentasikan semua interaksi baik dengan ion kristal maupun

dengan sesama elektron lain.

11. d. Bahasan elektron tunggal dapat menggunakan persamaan

Schrodinger untuk satu elektron

12. dengan ketentuan bahwa pengisian keadaan elektron yang diperoleh

menganut distribusi Fermi-Dirac.


13. Tidak setuju dengan pernyataan salah satu asumsi teori pita energi

adalah terdapat energi potensial yang tidak sama dengan nol, tetapi

karena nilainya rendah sekali, maka dapat diabaikan. Hal ini

dikarenakan energi potensial )(rV yang tidak sama dengan nol di

dalam kristal dengan keberkalaan kisi kristal dan nilainya tidak

diabaikan.


14. Teori pita energi zat padat mengajukan model tentang elektron dalam

kristal dengan berbagai asumsi.

Soal No.2

Fungsi gelombang elektron untuk teori pita energi adalah fungsi Bloch

yang bersifat lokalisasi di seluruh volume kristal. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Fungsi gelombang elektron untuk teori pita energi adalah fungsi Bloch

yang bersifat lokalisasi di seluruh volume kristal. Setujukah Anda?

Jelaskan!


2. Fungsi gelombang elektron


4. Fungsi bloch


5. Menurut Bloch, persamaan Schrodinger untuk suatu potensial dengan

periodisitas translasi kisi

6. dimana R adalah vektor kisi, mempunyai solusi berbentuk

7. dengan )(rUk merupakan suatu fungsi yang juga mempunyai simetri

translasi kisi

8. Fungsi Bloch merupakan gelombang bidang berjalan yang dimodulasi

oleh medan potensial periodic, dan ungkapan teorema Bloch, yaitu

9. “Fungsi eigen dari persamaan gelombang untuk suatu potensial periodic

adalah hasilkali antara suatu gelombang bidang berjalan eksp )( rki

dan suatu fungsi modulasi )(rUk dengan periodisitas kisi kristal”

10. Fungsi Bloch ψ (r�) merupakan orbital kristal, yakni bersifat

delokalisasi di seluruh volume kristal.

11. Kemampuan elektron bergerak dalam keseluruhan kristal ditandai oleh

adanya bentuk gelombang bidang berjalan eksp )( rki dalam fungsi

Bloch sehingga seperti partikel bebas.

12. Sedangkan gerakan elektron di sekitar inti dideskripsikan oleh fungsi

periodic. Distribusi probabilitas elektron 2

)(r bersifat periodik dalam

kristal.


13. Tidak setuju jika fungsi gelombang elektron untuk teori pita energi

adalah fungsi Bloch yang bersifat lokalisasi di seluruh volume Kristal.

Karena Fungsi Bloch )(r merupakan orbital kristal, yakni bersifat

delokalisasi di seluruh volume kristal.


14. Fungsi Bloch )(r merupakan orbital kristal, yakni bersifat

delokalisasi di seluruh volume kristal

Soal No.3

Potensial persegi periodik model Kronig-Penney mempermudah

penyelesaian persamaan Schrodinger untuk gerak elektron dalam kristal

menurut teori pita energi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Potensial persegi periodik model Kronig-Penney mempermudah

penyelesaian persamaan Schrodinger untuk gerak elektron dalam kristal

menurut teori pita energi. Setujukah Anda? Jelaskan!


2. Potensial persegi periodik model kronig-penney

3. Penyelesaian persamaan schrodinger untuk gerak elektron daam Kristal

4. Teori pita energi


5. Model Kronig-Penney menelaah gerak elektron dalam suatu potensial

persegi periodik,

6. Berikut gambar persegi periodik yang dikenalkan Kronig-Penney

7. Terlihat bahwa perioda potensial sebesar (a+b) dan

axuntuk

xbuntukVV

0,0

0,0

8. Oleh karena itu persamaan Schrodinger yang sesuai

0),()()(2

0),()(2

02

2

0

2

2

2

0

2

xbuntukxExVxdx

d

m

axuntukxExdx

d

m

9. Jika kita bataskan E<Vo dan dua besaran riil

2

002

2

02

)(2

2

EVm

Ema

10. Maka solusi persamaan di atas adalah

xx

iaxiax

DeCexbuntuk

BeAeaxuntuk

,0

,0

11. Solusi sempurna, yakni yang memenuhi fungsi Bloch

rki

kK erur )()( , didapatkan dengan merelasikan solusi untuk

a<x<(a+b) dan –b<x<0 dengan teorema Bloch

)()0())(( baikexbbaxa

12. Tetapan A, B, C dan D dipilih sedemikian sehingga ψ dan dψ/dt

kontinu di x=0 dan x=a. Syarat batas di x=0 sehingga mendapatkan :

A + B = C + D

iα (A – B) = β (C – D)

13. Dan syarat batas di x=a menghasilkan

𝐴𝑒𝑖𝛼𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝛼𝑥 = (𝐶𝑒−𝛽𝑥 + 𝐷𝑒𝛽𝑥 ) 𝑒𝑖𝑘(𝑎+𝑏)

𝑖𝛼 (𝐴𝑒𝑖𝛼𝑥 − 𝐵𝑒−𝑖𝛼𝑥 ) =𝛽 (𝐶𝑒−𝛽𝑥 − 𝐷𝑒𝛽𝑥 ) 𝑒𝑖𝑘(𝑎+𝑏)

14. Perangkat empat persamaan

A + B = C + D

15. i α (A – B) = β (C – D) sampai persamaan 𝑖𝛼 (𝐴𝑒𝑖𝛼𝑥 − 𝐵𝑒−𝑖𝛼𝑥 ) =𝛽 ;

16. (𝐶𝑒−𝛽𝑥 − 𝐷𝑒𝛽𝑥 ) 𝑒𝑖𝑘(𝑎+𝑏) diatas memberikan solusi hanya jika

determinan dari koefisien A, B, C dan D sama dengan nol

17. Hal ini menghasilkan 𝛽2− 𝛼2

2𝛼𝛽 sin h (𝛽𝑏)sin (αa) + cosh (𝛽𝑏) cos (αa) =

cos k(a+b)

18. Hasil diatas Hasil di atas menjadi lebih sederhana apabila potensial

periodik merupakan fungsi delta Dirac, yakni V0→∞ dan b→0, tetapi

V0b→berhingga.


19. Setuju bahwa Potensial persegi periodik model Kronig-Penney

mempermudah penyelesaian persamaan Schrodinger untuk gerak

elektron dalam kristal menurut teori pita energi.


20. Model Kronig-Penney mempermudah penyelesaian persamaan

Schrodinger untuk gerak elektron dalam kristal menurut teori pita

energi.

Soal No.4

Teori pita energi menghasilkan energi elektron berupa spektrum energi

yang terdiri dari beberapa pita energi yang diperkenankan dan beberapa

yang terlarang. Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah pula pada saat

apa pita energi tersebut melebar atau menyempit!

Jawab :


1. Teori pita energi menghasilkan energi elektron berupa spektrum energi

yang terdiri dari beberapa pita energi yang diperkenankan dan beberapa

yang terlarang. Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah pula pada

saat apa pita energi tersebut melebar atau menyempit!



3. Energy elektron

4. Sprektrum energy


5. Sketsa fungsi 𝑃

𝛼𝑎sin 𝛼𝑎 + cos 𝛼𝑎 = cos 𝑘𝑎

6. Secara grafik, untuk P=3π/2 persamaan ini dapat digambarkan dalam

sketsa berikut

7. Gambar sketsa fungsi 𝑃

𝛼𝑎sin 𝛼𝑎 + cos 𝛼𝑎 = cos 𝑘𝑎 untuk P=3π/2

8. Tampak bahwa nilai energi E yang diperkenankan, dalam ungkapan

𝛼𝑎 = 2𝑚0𝐸

ħ2

12

𝑎 untuk fungsi (4.19c) di atas, terletak antara ±1.

9. Sedangkan daerah lain, yang tidak mengandung solusi, merupakan

harga energi yang terlarang.

10. Secara singkat dari gambar di atas dapatlah dikemukakan hal-hal

berikut

11. Spektrum energi elektron terdiri dari beberapa pita energi (daerah

energi) yang diperkenankan dan beberapa yang terlarang

12. Lebar pita energi yang diperkenankan bertambah lebar dengan

meningkatnya harga αa, atau dengan energi elektron yang meningkat

13. Lebar pita energi tertentu yang diperkenankan mengecil apabila P

bertambah,artinya mengecil bila “energi ikatan” makin naik.

14. Apabila P→∞, maka persamaan 𝑃

𝛼𝑎sin 𝛼𝑎 + cos 𝛼𝑎 = cos 𝑘𝑎

mempunyai solusi hanya bila sin 𝛼𝑎 = 0 yaitu 𝛼𝑎= n 𝜋 dengan n =

±1, ±2, ±3, …

15. Oleh karena itu berdasarkan persamaan 2

02 2

Em diperoleh harga

energi E=ħ

2𝛼2

2𝑚𝑜=

ħ2𝜋2

2𝑚𝑜𝑎2𝑛2

16. Ungkapan ini sama dengan energy electron dalam bentuk potensial

yang bersifat diskrit.

17. Apabila P=0 maka persamaan 𝑃

𝛼𝑎sin 𝛼𝑎 + cos 𝛼𝑎 = cos 𝑘𝑎 harus

memenuhi cos 𝛼𝑎 = cos 𝑘𝑎 dan a=k

18. Sehingga berdasarkan persamaan 2

02 2

Em diperoleh harga energy

E=ħ

2𝑘2

2𝑚𝑜

19. Ungkapan ini sama dengan energy electron bebas yang bersifat kontinu

20. Ketidaksinambungan dalam lengkung E=E(k) terjadi pada harga cos

(ka) = ±1 atau k= nπ/a, dengan n = ±1, ±2, ±3, …


21. Setuju teori pita energi menghasilkan energi elektron berupa spektrum

energi yang terdiri dari beberapa pita energi yang diperkenankan dan

beberapa yang terlarang.


22. Terdapat beberapa variasi keadaan spektrum energi e- dalam pita energi

zat padat

Soal No.5

Wolfram bernomor atom 74 sehingga semua elektron memiliki spin

berpasang-pasangan sehingga tidak ada yang menjadi elektron bebas,

tetapi faktanya wolfram termasuk konduktor yang baik. Setujukah Anda?

Jelaskan!

Jawab :


1. Wolfram bernomor atom 74 sehingga semua elektron memiliki spin

berpasang-pasangan sehingga tidak ada yang menjadi elektron bebas,

tetapi faktanya wolfram termasuk konduktor yang baik. Setujukah

Anda? Jelaskan!


2. Wolfarm

3. konduktor


4. Dalam sistem periodik unsur Wolfram termasuk golongan VIA

5. Memiliki nomor atom 74 dengan konfigurasi elektron [Xe]4𝑓145𝑑46𝑠2.

6. Hal ini berarti semua electron sudah memiliki spin yang sudah

berpasang-pasangan sehingga tidak ada yang menjadi elektron bebas.

7. Tetapi, faktanya tidak demikian, Wolfram termasuk konduktor yang

baik

8. Ternyata, antara satu pita energi dengan yang lain dimungkinkan terjadi

tumpang-tindih

9. Untuk konduktor Wolfram tersebut, tumpang tindih terluar terjadi pada

pita energi 6s, 4f, 5d dan 6p yang secara total memerlukan 32 elektron.

10. Sedangkan, di luar sel [Xe], wolfram hanya memiliki 20 elektron

11. Hal ini berarti masih terdapat 12 tempat kosong elektron, yang bisa

berperan sebagai hole


12. Setuju bahwa Wolfram bernomor atom 74 sehingga semua elektron

memiliki spin berpasang-pasangan sehingga tidak ada yang menjadi

elektron bebas, tetapi faktanya wolfram termasuk konduktor yang baik


13. Wolfram sebagai konduktor yang baik tidak dengan elektron karena

elektronnya sudah berpasang-pasangan semua, akan tetapi

menggunakan hole.

Soal No.6

Celah energi elektron terbentuk karena pada harga k=/a elektron selama

sebagian besar dari waktunya berada di dekat inti atom dengan energi

rendah, atau berada dalam ruang di antara inti atom (jauh dari inti atom)

dengan energi yang lebih tinggi. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Celah energi elektron terbentuk karena pada harga k=/a elektron

selama sebagian besar dari waktunya berada di dekat inti atom dengan

energi rendah, atau berada dalam ruang di antara inti atom (jauh dari

inti atom) dengan energi yang lebih tinggi. Setujukah Anda? Jelaskan!


2. celah energy elektron

3. Harga k=/a elektron


4. Elektron dengan harga k=±π/a dapat direpresentasikan dalam dua hal

5. Fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada di

dekat inti atom (x=ma)

6. Fungsi gelombang yang selama sebagian besar dari waktunya berada

dalam ruang di antara inti atom (jauh dari inti atom).

7. Energi potensial elektron di dekat inti atom lebih rendah daripada di

dalam ruang antara inti atom.

8. Oleh karena itu energi yang diperlukan untuk elektron yang

direpresentasikan oleh ψgenap(x) lebih rendah daripada untuk elektron

yang direpresentasikan oleh ψganjil(x).

9. Beda energi elektron antara keduanya pada batas k==±π/a ini

merupakan celah energi.


10. Setuju bahwa celah energi elektron terbentuk karena pada harga k=/a

elektron selama sebagian besar dari waktunya berada di dekat inti atom

dengan energi rendah, atau berada dalam ruang di antara inti atom (jauh

dari inti atom) dengan energi yang lebih tinggi.


11. Celah energi adalah bedaenergi elektron antara dua keadaan pada

batas k=/a

Soal No.7

Pita energi yang terisi sebagian besar oleh elektron, pembawa muatannya

adalah elektron. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Pita energi yang terisi sebagian besar oleh elektron, pembawa

muatannya adalah elektron. Setujukah Anda? Jelaskan!


2. Pita energi

3. Pembawa muatan

4. Elektron


5. Misalnya, dalam pita yang ditinjau terdapat keadaan elektron total

sebanyak l , yang terisi elektron sebanyak i , dan yang kosong sebanyak

s .

6. Jika masing-masing dianggap memiliki distribusi kecepatan, maka :

l i s

sil VVV

7. Karena l

lV 0 yakni semua keadaan elektron dianggap terisi penuh

oleh elektron

8. Maka rapat arus elektron dapat dinyatakan i

iVV

eJ '

9. Dapat juga ditulis dalam bentuk s

sVV

eJ

10. Ungkapan rapat arus ini menunjukkan bahwa pembawa muatannya

adalah elektron yang bermuatan e

11. Umurnya ungkapan ini digunakan bila keadaan elektron dipita energi

yang diperkenankan hanya terisi elektron sedikit saja


12. Tidak setuju bahwa pita energi yang terisi sebagian besar oleh elektron,

pembawa muatannya adalah electron. Karena pada saat semua keadaan

elektron dianggap terisi penuh oleh elektronlah yang pembawa

muatannya adalah elektron.


13. Pita yang ditinjau terdapat keadaan elektron total sebanyak l , yang

terisi elektron sebanyak i , dan yang kosong sebanyak s . Saat semua

keadaan elektron dianggap terisi penuh oleh elektron pembawa

muatannya adalah elektron.

Soal No.8

Berdasarkan karakter pita energi, kristal dapat dibedakan konduktor,

semikonduktor, dan isolator. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Berdasarkan karakter pita energi, kristal dapat dibedakan konduktor,

semikonduktor, dan isolator. Setujukah Anda? Jelaskan!


2. Pita energi

3. Kristal

4. Konduktor

5. Semi konduktor

6. Isolator


7. Ciri isolator adalah semua energi terisi penuh oleh e atau sama sekali

kosong.

8. Sehingga tidak dapat terjadi konduksi listrik

9. Pita energi tertinggi yang terisi penuh e disebut pita valensi

10. Celah energi E cukup besar sehingga e dari pita valensi dapat

melompat ke pita konduksi.

11. Ciri konduktor adalah tingkat energi Fermi EF melewati pita energi

yang diperkenankan

12. Sehingga pita tersebut setengahnya (atau sebagiannya) terisi oleh

elektron

13. Pita energi tertinggi yang terisi elektron sebagian disebut pita konduksi

14. Celah energi E sangat kecil sehingga elektron dapat mudah melompat

dari pita konduksi ke valensi sehingga terjadi konduksi listrik/aliran

listrik

15. Ciri semikonduktor adalah tingkat energi Fermi EF melewati daerah

harga energi terlarang,

16. Sehingga pada T=0 K hanya ada pita yang sama sekali penuh, dan di

atasnya pita energi yang kosong sama sekali.

17. Celah energi ΔE tidak tinggi

18. Sehingga pada T>0 K sebagian elektron dapat melompatinya, dan

berpindah ke pita konduksi yang masih kosong.

19. Sementara tempat yang ditinggalkan elektron menjadi hole dalam pita

valensi.


20. Tidak Setuju bahwa berdasarkan karakter pita energi, kristal dapat

dibedakan konduktor, semikonduktor, dan isolator.

21. Hal ini dikarenakan berdasarkan karakter pita energi, kristal tidak hanya

dapat dibedakan konduktor, semikonduktor, dan isolator, melainkan

ada semilogam juga.


22. Sifat listrik bahan dapat dibedakan berdasarkan karakter pita energinya.

Permasalahan diskusi Pertemuan XI (Tugas 11)

Metode LCAO dan Dinamika Elektron dalam Logam

Soal No.1

Dalam metode LCAO, elektron terikat tidak begitu kuat pada atom sehingga energi kinetik

elektron tidak dominan, dan pita energi elektron yang diperkenankan menjadi sempit.


Jawab :

Langkah 1: Permasalahan

1. Apakah benar dalam metode LCAO, elektron terikat tidak begitu kuat pada atom sehingga

energi kinetik elektron tidak dominan, dan pita energi elektron yang diperkenankan

menjadi sempit?


2. Metode LCAO

3. Energi kinetik elektron

4. Pita energi elektron


5. Dalam menghitung tingkat energi elektron dalam kristal, metode LCAO menganggap

bahwa elektron terikat kuat pada atom

6. Metode LCAO termasuk pendekatan ikatan kuat (“tight binding approximation”)

7. Energi potensial elektron merupakan bagian yang dominan dari energi totalnya

8. Harga energi elektron yang diperkenankan merupakan pita sempit bila dibandingkan

dengan daerah harga yang tidak diperkenankan

9. Fungsi gelombang elektron didasarkan pada fungsi gelombang elektron dalam atom yang

terisolasi, dan disusun dari fungsi gelombang elektron termaksud


10. Tidak setuju, bila dalam metode LCAO, elektron terikat tidak begitu kuat pada atom

sehingga energi kinetik elektron tidak dominan, dan pita energi elektron yang

diperkenankan menjadi sempit


11. Fungsi gelombang elektron didasarkan pada fungsi gelombang elektron dalam atom yang

terisolasi, dan disusun dari fungsi gelombang elektron termaksud

Soal No.2

Dalam metode LCAO, fungsi gelombang elektron dalam kristal )()( non

rkik rrer n

−= ∑ • ψψ

merupakan kombinasi linier dari seluruh fungsi gelombang atom ψo dalam kristal. Setujukah

Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Apakah benar dalam metode LCAO, fungsi gelombang elektron dalam kristal

)()( non

rkik rrer n

−= ∑ • ψψ merupakan kombinasi linier dari seluruh fungsi gelombang

atom ψo dalam kristal?


2. Metode LCAO

3. Fungsi gelombang elektron dalam kristal


4. Misalnya, orbital masing-masing atom adalah ψo.

5. Bila sejumlah atom tersusun menjadi susunan kristal dengan potensial periodik

6. Sedemikian rupa sehingga ψo tidak terlalu banyak dipengaruhinya

7. Fungsi gelombang elektron di dalam kristal secara keseluruhan dapat ditulis sebagai

kombinasi linier dari seluruh fungsi gelombang atom dalam kristal

8. Fungsi gelombang elektron dalam kristal dituliskan dengan persamaan

)()( non

rkik rrer n

−= ∑ • ψψ


9. Setuju, bila dalam metode LCAO, fungsi gelombang elektron dalam kristal

)()( non

rkik rrer n

−= ∑ • ψψ merupakan kombinasi linier dari seluruh fungsi gelombang

atom ψo dalam kristal


10. Fungsi gelombang elektron dalam kristal dituliskan dengan persamaan

)()( non

rkik rrer n

−= ∑ • ψψ . Penjumlahan dilakukan atas semua posisi atom nr dalam kristal

Soal No.3

Menurut metode LCAO, energi elektron dalam kristal Simple Cubic (SC) memenuhi

persamaan E(k) = Eo - α - 2β (cos kxa + cos kya + cos kza). Setujukah Anda? Jelaskan!

Diskusikanlah pula lebar pita energi, dan harga energi untuk k

sangat kecil, serta kontur

energi!

Jawab :


1. Apakah benar menurut metode LCAO, energi elektron dalam kristal Simple Cubic (SC)

memenuhi persamaan E(k) = Eo - α - 2β (cos kxa + cos kya + cos kza)? Bagaimana lebar

pita energi, dan harga energi untuk k

sangat kecil, serta kontur energi?


2. Metode LCAO

3. Energi elektron dalam kristal simple cubic (SC)

4. Lebar pita energi

5. Harga energi

6. Kontur energi


7. Dalam kisi kubik sederhana dengan rusuk a, setiap titik kisi mempunyai 6 tetangga

terdekat

8. Dapat ditulis dengan persamaan ( ) zayaxarr jn ˆ,ˆ,ˆ ±±±=−

9. Pita energinya dapat dirumuskan E(k) = Eo - α - 2β (cos kxa + cos kya + cos kza)

10. Ungkapan pita eneri dapat dikemukakan pada beberapa hal

11. Yang pertama E(k) periodik terhadap k

12. Yang kedua E(k) = E(-k)

13. Yang ketiga E(k)max = Eo - α + 6β dan E(k)min = Eo - α - 6β. E(k)max dan E(k)min,

masing-masing adalah harga energi elektron pada puncak dan dasar pita energi. Beda

antara keduanya merupakan pita energi

14. Untuk harga k

sangat kecil, yakni di dekat dasar pita energi elektron menjadi

220 6)( kaEkE ββα +−−=


15. Setuju, bila menurut metode LCAO, energi elektron dalam kristal Simple Cubic (SC)

memenuhi persamaan E(k) = Eo - α - 2β (cos kxa + cos kya + cos kza)


16. Ungkapan pita energi dikemukakan dalam beberapa hal, diantaranya E(k) periodik

terhadap k; E(k) = E(-k); E(k)max = Eo - α + 6β dan E(k)min = Eo - α - 6β; Untuk harga

k

sangat kecil, yakni di dekat dasar pita energi elektron menjadi

220 6)( kaEkE ββα +−−=

Soal No.4

Gerakan elektron dalam pita energi untuk kristal SC adalah dari keadaan diam di dasar pita dipercepat menuju puncak pita, dan dari puncak pita kembali dipercepat menuju ke dasar pita, begitu seterusnya. Setujukah Anda? Jelaskan! Jawab :


1. Jelaskan apakah gerakan elektron dalam pita energi untuk kristal SC adalah dari keadaan

diam di dasar pita dipercepat menuju puncak pita, dan dari puncak pita kembali dipercepat

menuju ke dasar pita, begitu seterusnya?


2. Gerak elektron dalam kristal dapat divisualisasikan sebagai suatu paket gelombang yang

merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi ω. Paket gelombang ini

mempunyai kecepatan kelompok.


3. Elektron yang hanya bergerak dalam arah sumbu-X dalam kisi kubik sederhana, sehingga

energinya dapat dinyatakan

dengan Eo’ adalah konstanta

4. Kecepatan kelompok dalam arah-X adalah

5. Gambar E(kx) dan (vg)x di atas disajikan pada gambar di bawah ini!

6. Terlihat bahwa di dekat pusat zona kecepatan elektron sebanding dengan vektor

gelombang.

7. Di daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas.

8. Di dekat batas zona, kecepatan elektron menurun drastis, dan akhirnya nol tepat pada batas

zona.

9. Di titik ini terjadi gelombang tegak.

10. Disamping itu, telah dijelaskan bahwa untuk pita energi yang terisi penuh elektron tidak

dapat menunjukkan arus listrik.

11. Hal ini terlihat pada gambar di atas bahwa )()( kvkv

−=−

12. Sehingga, kecepatan total elektron sama dengan nol.


13. Tidak setuju, jika gerakan elektron dalam pita energi untuk kristal SC adalah dari keadaan

diam di dasar pita dipercepat menuju puncak pita, dan dari puncak pita kembali dipercepat

menuju ke dasar pita, begitu seterusnya.


14. Gerak elektron dalam kristal divisualisasikan sebagai paket gelombang yang merupakan

superposisi gelombang berbagai frekuensi ω, memiliki kecepatan kelompok.

Soal No. 5

Menurut metode LCAO, elektron dalam kristal SC untuk k sangat kecil memiliki massa efektif

isotropik dan berharga besar karena faktor overlap β kecil. Setujukah Anda? Jelaskan!

Diskusikanlah pula massa efektif elektron di dekat puncak pita!

Jawab :


1. Apakah benar, menurut metode LCAO, elektron dalam kristal SC untuk k sangat kecil

memiliki massa efektif isotropik dan berharga besar karena faktor overlap β kecil?

Berilah penjelasan!

2. Mendiskusikan pula massa efektif elektron di dekat puncak pita!


3. Gerak elektron dalam kristal dapat divisualisasikan sebagai suatu paket gelombang yang

merupakan superposisi gelombang dari berbagai frekuensi ω.


4. Untuk gerak elektron dalam suatu kristal kubik sederhana, khususnya bila �𝑘𝑘�⃑ � sangat

kecil terhadap 1/a, maka persamaan massa efektifnya isotropik, dan dapat

direpresentasikan dengan skalar 𝑚𝑚 ∗= ℏ2

2𝑎𝑎21𝛽𝛽

.

5. Dimana 𝑚𝑚 ∗= massa efektif isotropik, dan 𝛽𝛽= faktor overlap 𝛽𝛽.

6. Terlihat bahwa dalam daerah ini elektron berperilaku seperti elektron bebas dengan

massa efektif yang berbanding terbalik dengan integral overlap β.

7. Makin besar overlap, makin mudah elektron menerobos dari satu atom ke atom yang lain

sehingga (massa) inersia elektron lebih kecil, dan sebaliknya.

8. Dalam model ikatan kuat ini overlap kecil sehingga massa efektif besar.

9. Sedangkan di dekat puncak pita elektron memperlihatkan perilaku yang lain.

10. Misalnya, elektron dalam kisi kubik sederhana satu dimensi dalam arah-X.

11. Sehinnga elektron berperilaku seperti partikel bebas yang mempunyai massa efektif

negatip sebesar 𝑚𝑚 ∗= − ℏ2

2𝑎𝑎21𝛽𝛽

.


12. Menyetujui bahwa menurut metode LCAO, elektron dalam kristal SC untuk k sangat

kecil memiliki massa efektif isotropik dan berharga besar karena faktor overlap β kecil.

13. Sedangkan untuk massa efektif elektron di dekat puncak mempunyai massa negatip

sebesar 𝑚𝑚 ∗= − ℏ2

2𝑎𝑎21𝛽𝛽

.


14. Massa efektif isotropik 𝑚𝑚 ∗ elektron berbanding terbalik dengan faktor overlap β.

Soal No.6

Bila mendapat medan listrik luar, maka gerakan elektron Bloch sama dengan elektron

konduksi logam bahasan model Drude. Setujukah Anda? Jelaskan!

Jawab :


1. Setujukah bila mendapat medan listrik luar, maka gerakan elektron Bloch sama dengan

elektron konduksi logam bahasan model Drude?


2. Medan listrik

3. Gerak elektron Bolch

4. Elektron konduksi

5. Model Drude


6. Pengaruh gaya luar F terhadap momentum elektron dalam kristal diungkapkan oleh

persamaan ℏ 𝑑𝑑𝑘𝑘�⃗

𝑑𝑑𝑑𝑑= �⃗�𝐹

7. Hal ini berarti vektor gelombang 𝑘𝑘�⃗ terus meningkat terhadap naiknya waktu t.

8. Ditunjukkan dalam Gambar vektor gelombang elektron Bloch sebagai fungsi waktu saat

dikenai gaya luar F (satu dimensi)berikut.

9. Terlihat bahwa karena pengaruh Fx, momen kristal kx senantiasa meningkat sampai

mencapai batas Zona Brillouin Pertama.

10. Pada saat itu terjadi UMKLAPP dan gerak elektron mulai lagi dari batas baru zona.

11. Misalnya, medan luar εx menyebabkan gaya Fx=-eεx bekerja pada elektron,

12. Vektor gelombang kx berubah terhadap waktu.

13. Gerakan elektron dalam “repeated-zone scheme”, disajikan dalam Gambar berikut.

14. Elektron bergerak sepanjang lintasan OABC dan seterusnya.

15. Sedangkan dalam “reduced-zone scheme”, saat elektron sampai di batas zona A, kemudian

segera muncul di titik ekivalensinya, yaitu A’,

16. Terjadi gerakan elektron sepanjang OA(→A’)OA dan seterusnya.

17. Karena sifat simetri translasi, maka terlihat bahwa titik A, A’ dan C, C’ adalah ekivalen;

begitu pula O dan B

18. Berikut disajikan gambar gerakan sebuah eketron karena keharidan medan listrik (a) dan

kecepatan elektron (b) berikut

19. Pada Gambar di atas terlihat bahwa kecepatan elektron (mulai k=0) meningkat mencapai

maksimum, tetapi kemudian turun dan akhirnya nol pada batas zona.

20. Kemudian elektron berbalik sehingga mempunyai kecepatan negatip, begitu seterusnya.

21. Bahasan ini terjadi dalam ruang nyata, seperti ditunjukkan oleh Gambar gerak elektron

dalam ruang nyata-X sebagai fungsi waktu berikut.

22. Terlihat bahwa gerak elektron hanya bolak-balik antara x=0 sampi x=xo.

23. Setiap kali elektron berada di x=xo, energinya berada di puncak pita konduksi dimana

kemudian terjadi refleksi Bragg.

24. Gerakan osilasi periodik elektron Bloch ini sangat berbeda dengan perilaku elektron bebas.

25. Apabila εx cukup besar, maka dapat terjadi loncatan elektron ke pita diatasnya,

26. Ditunjukkan oleh Gambar berikut.

27. Apabila elektron di A danmemperoleh energi sebesar celah energi ΔE,

28. Maka elektron tidak dipantulkankembali, tetapi mampu melompat ke pita energi di

atasnya(titik A”).

29. Misalnya, jarakkedua titik AA” adalah d, Maka haruslah𝑑𝑑 ≤ ∆𝐸𝐸𝑒𝑒𝜀𝜀𝑥𝑥

30. Berkut gambar gerakan elekrtron kerena medan listrik yang melintasi celah energi

31. Hal ini dinamakan “tunneling”, dengan syarat bahwa d jauh lebih kecil dari

panjanggelombang de Broglie dan juga kecil terhadap konstanta kisi.


32. Tidak setuju, bila mendapat medan listrik luar, maka gerakan elektron Bloch berbeda

dengan perilaku elektron bebas (elektron konduksi logam bahasan model Drude)


33. Gerakan elektron Bloch dan gerak elektron bebas pada elektron konduksi logam bahasan

model Drude masing-masing mempunyai perilaku tertentu ketika mendapat medan listrik

luar

Soal No.7

Bentuk umum konduktivitas listrik untuk suatu permukaan Fermi tertentu adalah

)(2,

2FFxF Egve τσ = . Setujukah Anda? Jelaskan! Diskusikanlah juga bentuk konduktivitas

tersebut untuk permukaan Fermi sferik (elektron konduksi logam dalam model elektron bebas)!

Jawab :


1. Setujukah bahwa Bentuk umum konduktivitas listrik untuk suatu permukaan Fermi tertentu

adalah )(2,

2FFxF Egve τσ = ? Dan Bagaimana tentang bentuk konduktivitas tersebut untuk

permukaan Fermi sferik (elektron konduksi logam dalam model elektron bebas)?


2. konduktivitas listrik

3. permukaan Fermi

4. permukaan Fermi sferik


5. Dalam sistem setimbang, permukaan Fermi berpusat di titik asal.

6. Akibatnyaarus netto nol, karena setiap elektron dalam keadaan 𝑘𝑘�⃗ yang berkecepatan

�⃗�𝑣(𝑘𝑘)selalu berpasangan dan saling menghapus dengan elektron di keadaan −𝑘𝑘��⃗ yang

berkecepatan �⃗�𝑣(−𝑘𝑘) = −�⃗�𝑣(𝑘𝑘).

7. Bila dikenakan medan listrik, terjadi perpindahan δkx selama intervalwaktu δt, yang

memenuhi persamaan 𝛿𝛿𝑘𝑘𝑥𝑥 = −𝑒𝑒𝜀𝜀𝑥𝑥ℏ𝛿𝛿𝑑𝑑

8. Karena elektron bertahan dalam interval waktu tumbukan τ, maka 𝛿𝛿𝑘𝑘𝑥𝑥 = −𝑒𝑒𝜀𝜀𝑥𝑥ℏ𝜏𝜏

9. Akibatnya permukaan Fermi berpindah sejauh δkx,

10. Ditunjukkan oleh Gambarpermukaan Fermi dalam keadaan setimbang (a) dan dalam

keadaan medan listrik εx (b) berikut

11. Perpindahan menyebabkan terdapat beberapa elektron (dalam daerah bayangbayang)tidak

mempunyai pasangan untuk menghapusnya,

12. Terjadi arusnetto.

13. Pada T=0 K arus netto tersebut

14. 𝐽𝐽𝑥𝑥 = −𝑒𝑒�⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥𝑔𝑔(𝐸𝐸𝐹𝐹)𝛿𝛿𝐸𝐸 == −𝑒𝑒�⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥𝑔𝑔(𝐸𝐸𝐹𝐹) � 𝛿𝛿𝐸𝐸𝛿𝛿𝑘𝑘𝑥𝑥

� 𝛿𝛿𝑘𝑘𝑥𝑥

15. dengan �⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥 = kecepatan Fermi rata-rata dalam arah-X

g(EF)δE = konsentrasi elektron yang tidak berpasangan

g(EF) = rapat keadaan pada permukaan Fermi

E = energi medan yang diserap elektron

16. Mengingat ∂E/∂kx=�⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥 dan harga δkxdalam (poin d) di atas, maka didapatkan

17. 𝐽𝐽𝑥𝑥 = 𝑒𝑒2�⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥2 𝜏𝜏𝐹𝐹𝑔𝑔(𝐸𝐸𝐹𝐹)𝜀𝜀𝑥𝑥

18. Sehingga konduktivitas listrik

19. 𝜎𝜎 = 𝑒𝑒2�⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥2 𝜏𝜏𝐹𝐹𝑔𝑔(𝐸𝐸𝐹𝐹)

20. Ungkapan adalah bentuk umum konduktivitas listrikuntuk suatu permukaanFermi tertentu.

21. Tampak bahwa σ bergantung pada kecepatan Fermi vF dan waktutumbukan τF, serta pada

rapat keadaan pada permukaan Fermi g(EF).

22. Tingkat EFsuatu logam berada di tengah pita energi, dimana g(EF) besar,

23. Sehingga konduktivitasbesar.

24. Sedangkan tingkat EF pada isolator berada pada puncak pita, dimana g(EF)=0,

25. Sehingga konduktivitas nol, meskipun kecepatan Fermi sangat besar

26. Permukaan Fermi sferik,�⃗�𝑣𝐹𝐹,𝑥𝑥2 = 1 3⁄ 𝑣𝑣𝐹𝐹2

27. Sehingga konduktivitas listrik menjadi

𝜎𝜎 = 1 3⁄ 𝑒𝑒2𝑣𝑣𝐹𝐹2𝜏𝜏𝐹𝐹𝑔𝑔(𝐸𝐸𝐹𝐹)

28. Dengan menggunakan hubungan rapat keadaan untuk elektronbebas, yakni

𝑔𝑔(𝐸𝐸) =1

2𝜋𝜋2 �2𝑚𝑚∗

ℏ2 �3 2⁄

𝐸𝐸𝐹𝐹1 2⁄ ; 𝐸𝐸𝐹𝐹 =

12𝑚𝑚∗𝑣𝑣𝐹𝐹2 ; 𝐸𝐸𝐹𝐹 = �

ℏ2

2𝑚𝑚∗� (3𝜋𝜋2𝑛𝑛)3 2⁄

29. Maka didapatkan ungkapan konduktivitas listrik

𝜎𝜎 =𝑛𝑛𝑒𝑒2𝜏𝜏𝐹𝐹𝑚𝑚∗

30. Persamaan ini yang hanya berlaku untuk model elektron bebas.


31. Setuju, bahwa Bentuk umum konduktivitas listrik untuk suatu permukaan Fermi tertentu

adalah )(2,

2FFxF Egve τσ = .Bentuk konduktivitas tersebut untuk permukaan Fermi sferik

(elektron konduksi logam dalam model elektron bebas) adalah 𝜎𝜎 = 𝑛𝑛𝑒𝑒2𝜏𝜏𝐹𝐹𝑚𝑚∗


31. Persamaan konduktivitas listrik dapat dinyatakan untuk suatu permukaan Fermi tertentu

dan untuk permukaan Fermi sferik yang hanya berlaku untuk elektron konduksi logam

dalam model elektron bebas

Soal No.8

Dalam logam terdapat lubang dan elektron. Diskusikanlah dalam keadaan yang bagaimana

konstanta Hall berharga positip atau negatip?

Jawab :


1. Dalam keadaan yang bagaimana konstanta Hall berharga positip atau negatipjika dalam

logam terdapat lubang dan elektron?


2. Konstanta Hall

3. Dalam logam terdapat lubang dan elektron


4. Dalam logam terdapat hole dan elektron.

5. Bila dua pita mengalami overlap satu terhadap yang lain, maka elektron berada pada pita

bagian atas dan hole di bagian yang lebih rendah.

6. Konstanta Hall saat elektron dan hole ada dalam waktu bersamaan diungkapkan oleh

R = Re σe2+Rh σh

2

(σe +σh )2

7. dimana Re = konstanta Hall untuk elektron

Rh = konstanta Hall untuk hole

σe = konduktivitas listrik elektron

σh = konduktivitas listrik hole

8. Jika konsentrasi elektron sama dengan hole, ne=nh, maka besarnya Re sama dengan Rh, dan

tanda R ditentukan oleh harga relatif konduktivitas σe terhadap σh.

9. Harga σe>σh berarti bahwa elektron memiliki massa lebih kecil dan waktu hidup panjang

10. Sehingga sumbangan elektron yang dominan dan R berharga negatip.

11. Harga σe<σh berarti bahwa elektron memiliki massa lebih besar dan waktu hidup pendek

12. Sehingga sumbangan hole yang dominan dan R berharga positif

13. Jika pembawa muatan hanya elektron, maka Rh dan σh berharga nol, sehingga R=Re.

14. Konstanta Hall berharga nol ini, didapat pada model elektron bebas


15. Konstanta Hall berharga negatifjika harga σe>σh (sumbangan elektron lebihdominan) dan

berharga positip jika Harga σe<σh (sumbangan holelebihdominan) serta berharga nol jika

pembawa muatannya hanya elektron


16. Konstanta Hall dapat berharga positif atau negatif tergantung pada jenis pembawa

muatannya.

Soal No.9

Diskusikanlah bahwa frekuensi siklotron untuk elektron Bloch dapat disederhanakan

menjadi untuk elektron konduksi logam dalam model elektron bebas jika digunakan bentuk

energi E=(2k2/2m*)!

Jawab :


1. Apakah frekuensi siklotron untuk elektron Bloch dapat disederhanakan menjadi untuk

elektron konduksi logam dalam model elektron bebas jika digunakan bentuk energi

E=(2k2/2m*)?


2. Frekuensi siklotron

3. Elektron Bolch

4. Model elektron bebas


5. Dinamika elektron dalam medan magnet diungkapkan oleh

i. ℏ 𝑑𝑑𝑘𝑘�⃗

𝑑𝑑𝑑𝑑= −𝑒𝑒��⃗�𝑣�𝑘𝑘�⃗ � × 𝐵𝐵�⃗ �

6. Momentum kristal berubah terhadap waktu karena kehadiran gaya Lorentz.

7. Perpindahan δ𝑘𝑘�⃗ dalam waktu δt dituliskan dalam bentuk

i. 𝛿𝛿𝑘𝑘�⃗ = − 𝑒𝑒ℏ��⃗�𝑣�𝑘𝑘�⃗ � × 𝐵𝐵�⃗ �𝛿𝛿𝑑𝑑

8. Perpindahan δ𝑘𝑘�⃗ tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh�⃗�𝑣�𝑘𝑘�⃗ � dan 𝐵𝐵�⃗ .

9. Mengingat �⃗�𝑣 adalah normal kontur energi dalam ruang𝑘𝑘�⃗ ,

10. Makaberarti δk terjadi pada sepanjang kontur energi,

11. Ditunjukkan oleh Gambar lintasan elektron sepanjang kontur energi dalam ruang k karena

adanya medan magnet berikut

12. Elektron bergerak sepanjang kontur energi tetap.

13. Maka tidak terjadiproses penyerapan energi terhadap medan magnet.

14. Gerakan elektron yang demikianbersifat siklis.

15. Bila �⃗�𝑣 normal terhadap 𝐵𝐵�⃗ ., maka gerak elektron mempunyai perioda

16. 𝑇𝑇 = ∮𝛿𝛿𝑑𝑑 = ℏ𝑒𝑒𝐵𝐵 ∮

𝛿𝛿𝑘𝑘𝑣𝑣�𝑘𝑘�⃗ �

17. Dimana integrasi dilakukan sepanjang orbit tertutup elektron dalam ruang 𝑘𝑘�⃗ .

18. Dengandemikian, ungkapan umum frekuensi siklotron untuk elektron Blochini adalah

19. 𝜔𝜔𝑐𝑐 =2𝜋𝜋𝑒𝑒𝐵𝐵

ℏ�

∮ 𝛿𝛿𝑘𝑘𝑣𝑣�𝑘𝑘��⃗ �

20. Apabila energi elektron mempunyai bentuk 𝐸𝐸 = (ℏ2𝑘𝑘2 2𝑚𝑚∗⁄ ) maka orbit elektron berupa

lingkaran, �⃗�𝑣�𝑘𝑘�⃗ � = ℏ𝑘𝑘 𝑚𝑚∗⁄ dan k keduanya besarnya konstan sepanjang kontur energi.

21. Oleh karena itu diperoleh ungkapan frekuensi

22. 𝜔𝜔𝑐𝑐 = 𝑒𝑒𝐵𝐵𝑚𝑚∗

23. Persamaan di atas adalah sama dengan yang diperoleh oleh model elektron bebas.


24. Frekuensi siklotron untuk elektron Bloch dapat disederhanakan menjadi untuk elektron

konduksi logam dalam model elektron bebas jika digunakan bentuk energi 𝐸𝐸 =

(ℏ2𝑘𝑘2 2𝑚𝑚∗⁄ ), karena orbit elektron akan berupa lingkaran, �⃗�𝑣�𝑘𝑘�⃗ � = ℏ𝑘𝑘 𝑚𝑚∗⁄ dan k keduanya

besarnya konstansepanjang kontur energi


25. Persamaan Frekuensi siklotron untuk elektron Bloch sama dengan persamaan frekuensi

elektron konduksi logam dalam model elektron bebasjika digunakan bentuk energi

𝐸𝐸 = (ℏ2𝑘𝑘2 2𝑚𝑚∗⁄ )

Documents

tugas akhir kelompok 11 zat padat