Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 1

CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Bài toán chứng minh một tứ giác nội tiếp đường tròn là bài toán thường gặp trong hình học phẳng. Dưới đây là một số phương pháp chứng minh thường gặp.

PP1. Chứng minh 4 đỉnh của tứ giác cách đều 1 điểm, khi đó điểm cách đều là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A, B (O, O’ nằm hai phía đối với đường thẳng AB). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt (O’) tại D và tiếp tuyến tại A của (O’) cắt (O) tại C. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp đường tròn.

Gọi I là trung điểm của OO’, K là điểm đối xứng của A qua K.

Khi đó ta có : / / 'KB OO KB AE

Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 2

Mà B là trung điểm của AE nên KB là đường trung trực của AE

KA KE .

Ta có tứ giác AOKO’ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) / / 'OK AO OK AC

Vì AC là dây cung của đường tròn (O) nên OK là trung trực của AC

KA KC .

Tương tự ta cung chứng minh được KA KD .

Vậy KA KC KE KD

tứ giác ACED nội tiếp đường tròn tâm K, bán kính KA.

PP2. Dùng cung chứa góc, ta chứng minh hai đỉnh cùng về một phía nhìn một cạnh dưới những góc bằng nhau.

Ví dụ 2. Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy hai điểm A, D OA OD ,

trên tia Oy lấy hai điểm B, C OB OC sao cho . .OAOD OB OC . Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Vì . . OA OBOAOD OB OCOC OD

và DOC chung

Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 3

Nên OAC OBD OCA ODB

Hai đỉnh C và D nằm cùng một phía đối vối AB và nhìn AB theo hai góc bằng nhau suy ra tứ giác ABCD nội tiếp.

Ví dụ 3. Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O), từ M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). MO cắt AB tại H. MCD là cát tuyến qua M cắt (O) tai C, D (C nằm giữa M, D). Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp.

Trong tam giác vuông MAO ta có: 2 .MA MH MO

Tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDA nên 2 .MA MC MD

Do đó . .MH MO MC MD tứ giác CHOD nội tiếp (theo ví dụ 2).

PP3. Chứng minh tổng hai góc đối của một tứ giác là 0180 .

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn, D là một điểm thay đổi trên cạnh BC. Gọi (I) là đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B, (J) là đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là E (E khác D).

a) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp.

Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 4

b) Chứng minh rằng khi D thay đổi trên cạnh BC, đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định.

c) Chứng minh rằng khi D thay đổi trên cạnh BC, đường tròn ngoại tiếp tam giác IEJ luôn đi qua một điểm cố định.

a) Ta có: BED ABD (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD).

DEC DCA (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CD).

Do đó 0180BAC BED BAC DBA DCA

Suy ra tứ giác ABED nội tiếp đường tròn.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi T là giao điểm của ED với (O).

Ta có: ATC TEC ACB / /AT BC

T cố định (vì (O) và A, B, C cố định)

Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 5

Do đó ED đi qua T cố định.

c) Ta có : OI vuông góc BE tại K, OJ vuông góc CE tại H (tính chất đường nối tâm và dây cung chung của hai đường tròn cắt nhau)

tứ giác OKEH nội tiếp

0180KOH BEC (1)

OJ kéo dài cắt (J) tại P, khi đó ta có tứ giác DEPC nội tiếp (J)

EPC BDE

Do đó 1 12 2

PIE BDE EPC EJC BIE EJC

IEB JEC BEC IEJ (2)

Từ (1) và (2) ta có : 0180KOH IEJ

tứ giác OIEJ nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác IEJ luôn đi qua O cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.

BÀI TẬP.

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O; R) và 060BAC . Các đường cao AD, BE, CF đồng qui tại H.

a) Chứng minh tứ giác AEHF, BFEC nội tiếp. b) Gọi I là trung điểm AH, K là trung điểm BC. Chứng minh EIFK nội tiếp c) Chứng minh BHOC nội tiếp. Xác định tâm và bán kính đường tròn đó. d) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chứng minh BJOC nội tiếp.

Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC. A là điểm thuộc nửa đường tròn. Vẽ đường cao AH. Gọi D, E là hình chiếu của H lên AB, AC.

a) Chứng minh . .AD AB AC AE b) Chứng minh BDEC nội tiếp c) Đường tròn đường kính AH cắt (O) tại điểm thứ hai khác A là F, AF cắt BC tại I,

chứng minh . .IB IC IF IA

Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 6

d) Chứng minh tứ giác IFDB nội tiếp. e) Chứng minh I thuộc đường thẳng DE

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC tại F, E. BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC và AH vuông góc BC b) Gọi I là trung điểm AH, chứng minh IE, IF là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Chứng minh tứ giác FDEI nội tiếp, với D là giao điểm của BC và AH

Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). S là điểm chính giữa cung AB, SC và SD cắt AB ở E và F.

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. b) Chứng minh SO là phân giác góc ASB. c) DE và CF kéo dài cắt (O) ở N và M. Chứng minh SO vuông góc MN.

Bài 5. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A gặp các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D, E và cắt đường thẳng BC tại F.

a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. b) Chứng minh . . . .AB AD AC AE FB FC FD FE c) Đường thẳng FD cắt (O) tại I, J. Chứng minh . .FI FJ FD FE

Bài 6. Từ một điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hạ các đường thẳng MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB.

a) Chứng minh D, E, F thẳng hàng. b) Gọi P là trung điểm của AB, Q là trung điểm của DE. Chứng minh MQ vuông góc

với PQ.

Bài 7. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A lấy điểm M khác A. Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F. Chứng minh OE = OF.

Bài 8. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. M là một điểm bất kì trên cung AB. Kẻ MD vuông góc AB. Qua một điểm C trên cung AB, kẻ tiếp tuyến Cx cắt DM tại I. DM cắt AC ở E và cắt BC kéo dài ở F. Chứng minh

Võ Tiến Trình

toan999.wordpress.com 7

a) Các tứ giác BCED và ADCF nội tiếp b) MEC ABC c) I là tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác FEC.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A và M là một điểm trên AC. Đường tròn đường kính MC cắt BC tại N, BM cắt đường tròn tại D, AD cắt đường tròn tại S.

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp. b) Chứng minh CA là phân giác góc SCB. c) CD cắt AB tại J. Chứng minh J, M, N thẳng hàng.

Bài 10. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc 045 . Một tia cắt cạnh BC tại E, cắt đường chéo BD tại P, tia còn lại cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo BD tại Q.

a) Chứng minh năm điểm E, P, Q, F, C cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh 2AEF APQS S .

c) Trung trực cạnh CD cắt AE tại M và giả sử CPD CMD . Tính số đo MAB.

Bài 11. Cho đường tròn ;O R và '; 'O R cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C. Kẻ tiếp tuyến CD, CE với đường tròn tâm O trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn 'O . Đường thẳng AD, AE cắt đường tròn

'O lần lượt tại M và N(M, N khác A). Tia DE cắt MN tại K. Chứng minh

a) Các tứ giác BEKN, BDMK nội tiếp. b) Tam giác BKM và BEA đồng dạng. c) O’K vuông góc MN