TSRA_cap2_Reprezent Sist in Spatiul Starilor Si Prin Functie de Transfer

31

Capitolul 2 Reprezentarea sistemelor în spaţiul stărilor şi cu ajutorul

funcţiilor de transfer

Conţinut 1. Scopul lucrării ........................................................................................................... 31 2. Aspecte teoretice ....................................................................................................... 32

2.1. Reprezentarea sistemelor în spaţiul stărilor ...................................................... 32 2.1.1. Modelarea matematică a unui proces ........................................................... 32

2.2. Reprezentarea prin matrice şi funcţii de transfer .............................................. 34 2.2.1. Sisteme cu timp continuu ............................................................................. 34 2.2.2. Sisteme cu timp discret ................................................................................ 35

2.3. Reprezentarea funcţiei de transfer prin poli-zerouri ......................................... 35 Funcţii Matlab utile ......................................................................................................... 36

3. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică ............................................................ 36 Exemple – Reprezentarea sistemelorIn spaţiul starilor şi prin funcţii de transfer în Matlab ............................................................................................................................. 36 Aplicaţie rezolvată – Calculul funcţiei de transfer pentru un SLN.................................. 38

4. Aplicaţii de laborator ................................................................................................ 40 A.1. Aplicaţie demonstrativă – Modelarea şi simularea unui circuit RLC serie ...... 40 A.2. Aplicaţie cerută – Simularea comportamentului unui motor de curent continuu 48 A.3. Aplicaţii cerute ................................................................................................. 51

5. Concluzii .................................................................................................................... 52

1. Scopul lucrării

Proiectarea unui SRA începe prin reprezentarea matematică a procesului ce trebuie reglat. Această reprezentare poate fi în spaţiul stărilor, sau prin funcţii de transfer. În lucrare se urmăreşte prezentarea :

• unor exemple de modelare matematică pentru procese, utilizând reprezentarea în spaţiul stărilor şi prin funcţii de transfer

• modului de obţinere analitic şi în Matlab al funcţiei de transfer a procesului, pornind de la o reprezentare în spaţiul stărilor

• simulării comportamentului mărimilor de interes ale procesului reprezentat în spaţiul stărilor şi prin funcţie de transfer

Capitolul 2

32

2. Aspecte teoretice

2.1. Reprezentarea sistemelor în spaţiul stărilor

2.1.1. Modelarea matematică a unui proces

Prin sistem, în sensul Teoriei Sistemelor, se înţelege un model matematic structurat care descrie un proces de natură tehnică, fizică etc.

Figura 2.1 Proces descris de mărimi de intrare, ieşire şi stare

Un proces liniar neted, cu timp continuu, poate fi modelat matematic cu ajutorul unui sistem general de ecuaţii diferenţiale - exprimat într-o formă matriceală standard. O astfel de descriere va purta numele de reprezentare în spaţiul stărilor şi este caracterizată de următorul sistem de ecuaţii:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tuDtxCty

tuBtxAxdt

tdx notat

⋅+⋅=

⋅+⋅==•

(2.1)

unde: mRu∈ - vectorul mărimilor de intrare (comandă – reprezentând

intrarea controlată) ale procesului (m elemente)

pRy∈ - vectorul mărimilor de ieşire ale procesului (p elemente)

nRx∈ - vectorul mărimilor de stare ale procesului (n elemente)

nxnRA∈ - matricea caracteristică a sistemului (matrice pătratică, cu dimensiunea egală cu ordinul sistemului);

nxmRB∈ - matricea de scalare a mărimilor de intrare

pxnRC∈ - matricea de scalare a mărimilor de ieşire

pxmRD ∈ - matricea de scalare a mărimilor de ieşire

Note: Relaţiile 2.1 sunt valabile pentru sisteme cu timp continuu, notate SLN;

a) În continuare pentru uşurinţa scrieri argumentul timp se va omite.

Marime de intrare

STARE COMANDA

( ) mR∈tu( ) pR∈ty

( ) nR∈tx

PROCES Marime de iesire

Reprezentarea sistemelor spaţiul stărilor şi cu funcţii de transfer

33

b) Considerând cazul particular în care procesul are o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire, adică sistemul este de tip SISO (Single Input Single Output), matricele B, C şi D devin vectori (iar pentru a evidenţia acest fapt au fost notaţi cu literă mică), iar vectorii u şi y devin scalari.

⋅+⋅=

⋅+⋅=•

udxcy

ubxAxT

(2.2)

unde: 1u C∈ , 11

B nxnotat

n

Rb

b

b

∈→

= M [ ] xnTnotat

n RcccC 11... , ∈→= şi

Rd ∈ .

Pentru simplitatea scrierii în aplicaţiile practice orice sistem se va nota la modul general (A,B,C,D).

c) Dacă asupra procesului, pe lângă mărimea de comandă, mai acţionează o a doua mărime de intrare, numită perturbaţie, notată v , atunci sistemul de ecuaţii diferenţiale (2.1) va avea forma (2.3), în care cele intrări ale procesului au fost

grupate într-un singur vector de intrare eu .

⋅+⋅=

⋅+⋅==•

ee

ee

uDxCy

uBxAxdt

dx (2.3)

Figura 2.3 Proces având ca mărimi de intrare: comanda şi perturba ţia

În relaţiile (2.3) mărimilor de stare s-au dedus astfel:

[ ] ee

eB

uBxAv

uEBxAvEuBxAx ⋅+⋅=

⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

•

321

în care: rR∈v - vectorul mărimilor de perturbaţie (reprezentând intrările asupra cărora nu se intervine direct) ce acţionează asupra procesului

PERTURBAŢIE

STARE COMANDA

( ) mR∈tu ( ) pR∈ty

( ) nR∈tx

PROCES

( ) rR∈tv

Capitolul 2

34

rmR +∈eu - vectorul mărimilor de intrare (comandă + perturbaţie).

nxrRE∈ - matricea de scalare a mărimilor de perturbaţie

d) Pentru a determina cu uşurinţă dimensiunile matricelor se poate utiliza diagramă matriceală ilustrată în figura 2.2:

A B

C D

n

m

n

n

mn

p p

Figura 2.2 Dimensiunile matricelor A,B,C,D

e) Matricea D (sau vectorul d devenit scalar) indică dependenţa directă a ieşirii y de intrarea A a procesului. În reprezentarea proceselor în spaţiul stărilor, D (sau d) sunt uzual 0, în timp ce pentru reprezentarea unui regulator pot fi nenule.

2.2. Reprezentarea prin matrice şi funcţii de transfer Matricea/Funcţia de transfer este un model intrare-ieşire, parametric, în domeniul s, pentru sistemele cu timp continuu, sau în domeniul z, pentru sistemele cu timp discret.

2.2.1. Sisteme cu timp continuu

Comportamentul intrare-ieşire al unui sistem liniar cu timp continuu, având m intrări şi p ieşiri, este caracterizat de matricea de transfer )s(T . Relaţia de calcul a

matricei de transfer se defineşte astfel:

( ) DBAIC)s(T n +⋅−⋅⋅= −1s , pxmRT ∈ (2.4)

unde: A, B, C, D - matricele sistemului dinamic

s - operatorul transformatei Laplace.

Elementul ijT al matricei )s(T reprezentă legătura între intrarea j şi ieşirea i:

)()()( susTsy jiji ⋅= (2.5)

Reprezentarea prin funcţii de transfer este utilizată, în general, în cazul proceselor simple cu o ieşire. Astfel, în cazul unui proces SISO, cu o singură intrare u şi o singură ieşire y, matricea de transfer devine o expresie scalară în s, numită funcţie de transfer, ce reprezintă raportul între mărimea de ieşire şi cea de intrare a procesului:

)s(u

)s(y)s(H = (2.6)


35

unde: )()( tusu L= - transformata Laplace a semnalului u(t) de intrare, iar

)()( tysy L= - transformata Laplace a semnalului y(t) de ieşire.

Dacă un proces are m+r intrări şi p ieşiri, vor exista p x (m + r) funcţii de transfer. Pentru cazul sistemelor SISO, relaţia de calcul a funcţiei de transfer este:

( ) dbAIscsH T +⋅−⋅⋅= −1)( (2.7)

unde: b - vector coloană, cT - vector linie, d - scalar.

2.2.2. Sisteme cu timp discret În cazul sistemelor liniare cu timp discret, matricea şi funcţia de transfer se definesc în acelaşi mod ca pentru sistemele cu timp continuu, singura deosebire fiind înlocuirea operatorului s al transformatei Laplace cu operatorul z al transformatei Z. În cazul sistemelor cu timp discret, relaţiile de calcul devin:

( ) dddnd DBAIC)z(T +⋅−⋅⋅= −1z , pxmRT ∈ (2.8)

Pentru cazul sistemelor SISO, relaţia de calcul a funcţiei de transfer este:

( ) dddT

d dbAIc)z(H +⋅−⋅⋅= −1z

2.3. Reprezentarea funcţiei de transfer prin poli-zerouri Reprezentările prin distribuţii poli-zerouri în planul s sau în planul z (fig. 2.3) presupun utilizarea funcţiilor de transfer de tipul :

( )

( )∏

∏

=

−

=

−

−=

n

ii

n

ii

ps

zs

ksH

1

1

1)( , respectiv

( )

( )∏

∏

=

−

=

−

−=

n

ii

n

ii

pz

zz

kzH

1

1

1)(

în care cei 2n parametri ce definesc modelul sistemului sunt : , 1,ip i n= polii funcţiei

de transfer, , 1, 1iz i n= − zerourile acesteia şi k – factor constant.

x

x

Im s

Resx

x

x

pol o zero

K

pol o zero

x

x

Im z

Rezx

x

x K

1

Figura 2.3 Distribu ţia poli-zerouri pentru sisteme cu timp continuu (a) şi cu timp discret (b)

a b

x

x

Capitolul 2

36

Funcţii Matlab utile

pentru reprezentarea sistemelor în spaţiul stărilor: ss , permite obţinerea sistemului de stare pornind de la matricele A, B, C, D:

sys = ss(A,B,C,D) – pentru sistemele cu timp continuu, sys = ss(A,B,C,D,Te) – pentru sistemele cu timp discret, cu perioada de eşantionare Te.

pentru reprezentarea sistemelor prin funcţii de transfer: tf , permite obţinerea reprezentarea prin funcţie de transfer

sys = tf(num,den) – pentru sisteme cu timp continuu, sys = tf(num,den,Te) – pentru sisteme cu timp discret, cu perioada de eşantionare Te.

pentru trecerea între cele două reprezentări tf2ss permite obţinerea reprezentării în spaţiul stărilor, cunoscând numitorul şi numărătorul funcţie de transfer ss2tf furnizează reprezentarea prin funcţie de transfer (numitor şi numărător), cunoscând matricele A, B, C, D ale reprezentării în spaţiul stărilor

pentru reprezentarea sistemelor prin distribuţia poli zerouri Funcţia utilizată este zpk:

sys = zpk(z,p,k) – pentru sisteme cu timp continuu, sys = zpk(z,p,k,Te) – pentru sisteme cu timp discret, cu perioada de eşantionare Te.

Pentru toate cazurile dacă Te=-1, perioada de eşantionare a sistemului cu timp discret se consideră nedefinită (practic, se ia Te=1).

ss2zp converteşte ecuaţia de stare a reprezentării în spaţiul stărilor în funcţia de transfer sub forma factorizată, punând în evidenţă polii şi zerourile funcţiei de transfer tf2zp converteşte funcţia de transfer definită de numitor şi numărător în funcţia de transfer sub forma factorizată, punând în evidenţă polii şi zerourile funcţiei de transfer

pentru afişaj: printsys afişează funcţia de transfer ca raport de două polinoame

3. Aplicaţii cu rezolvare analitică şi numerică

Reprezentarea sistemelor în spaţiul starilor şi prin funcţii de transfer în Matlab

A1. Următoarea secvenţă Matlab:

>> A=[-1 5;0.2 -1];

>> B=[0.2 0;0 0.3];

>> C=[1 0;0 1];


37

>> D=[0 0;0 0];

>> sys=ss(A,B,C,D)

furnizează sistemul sys în reprezentare în spaţiul stărilor:

a =

x1 x2

x1 -1 5

x2 0.2 -1

b =

u1 u2

x1 0.2 0

x2 0 0.3

c =

x1 x2

y1 1 0

y2 0 1

d =

u1 u2

y1 0 0

y2 0 0

Continuous-time model.

Având sistemul deja definit, fie acesta sys, dacă se doreşte să se afle parametrii săi matriceali, atunci se utilizează funcţia ssdata. Prin urmare, apelarea funcţiei ssdata:

>> [A,B,C,D]=ssdata(sys)

furnizează rezultatele: A =

-1.0000 5.0000

0.2000 -1.0000

B =

0.2000 0

0 0.3000

C =

1 0

0 1

D =

0 0

0 0

Capitolul 2

38

A2. Generarea unui sistem în Matlab, dat de funcţia de transfer:

( ) ( )( )( )32

110

+++=ss

ssH

presupune scrierea următoarelor comenzi:

>> z = [-1];

>> p = [-2 -3];

>> sys = zpk(z,p,10)

care furnizează rezultatele:

Zero/pole/gain:

10 (s+1)

-----------

(s+2) (s+3)

Conversia modelului sys din forma zpk în reprezentarea prin funcţie de transfer necesită următorul apel:

>> sys1 = tf(sys)

care conduce la rezultatul:

Transfer function:

10 s + 10

-------------

s^2 + 5 s + 6

A3. Următoarea secvenţă de comenzi Matlab:

>> num = [2 1]; >> den = [0.3 -1.1 3 4]; >> sys = tf(num,den,-1)

furnizează rezultatul:

Transfer function: 2 z + 1 --------------------------- 0.3 z^3 - 1.1 z^2 + 3 z + 4 Sampling time: unspecified

Calculul analitic şi în Matlab al funcţiei de transfer pentru un SLN

A4. Să se calculeze funcţia de transfer a sistemului liniar cu timp continuu descris de matricele şi vectorii (2.12), astfel:

a. utilizând relaţia de calcul (2.7); b. apelând funcţia Matlab ss2tf


39

[ ]01 ,1

0 ,

32

10=

=

−−= TcbA , d=0 (2.12)

Se vor calcula utilizând funcţii Matlab, zerourile şi polii funcţiei de transfer.

Rezolvare analitică:

Pentru calculul funcţiei de transfer se utilizează formula (2.7). Se calculează

relaţiei ( )AsI − , se calculează transpusa, adjuncta şi inversa ( ) 1−− AsI :

+−

=−32

1)(

s

sAsI ; ( )

−+

=−s

sAsI

2

13* şi

( ) ( ) 23

2

13

1

++

−+

=− −ss

s

s

AsI

( ) ( ) 23

1

1

0

23

2

13

]01[s)(2

1

++=

⋅

++

−+

=+⋅−⋅⋅= −

ssss

s

s

dbAIcsH T

Calcul în Matlab:

>> A = [0 1;-2 -3];

>> b = [0;1];

>> cT =[1 0];

>> d = 0;

>> [num,den] = ss2tf(A,b,cT,d)

num =

0 0 1

den =

1 3 2

>> printsys(num,den)

num/den =

1

-------------

s^2 + 3 s + 2

>> [z,p]=ss2zp(A,b,cT,0,1)

z =

[]

p =

-1

-2

Capitolul 2

40

4. Aplicaţii de laborator

A.1. Aplicaţie demonstrativă – Modelarea şi simularea unui circuit RLC serie

Se consideră circuitul RLC serie prezentat în figura 2.4, având următoarele date R=1Ω, L=1mH, Cd=1mF. Mărimea de comandă este tensiunea continuă la bornele circuitului U =20V. Se urmăreşte:

1. să se modeleze în spaţiul stărilor circuitul RLC serie alimentat la tensiune continuă. Să se discute cazul în care mărimea de ieşire a sistemului este curentul y=[i], cel în care mărimea de ieşire este tensiunea prin condensator y=[uc] şi cel în care ieşirea este atât curentul cât şi tensiune prin condensator y=[i; uc];

2. să se modeleze utilizând reprezentarea prin matrice şi funcţie de transfer circuitul RLC serie. Pentru deducerea matricei de transfer se consideră relaţia (2.4). Mărimile de ieşire ale sistemului vor fi cele de la punctul anterior;

3. să se vizualizeze evoluţia curentului prin circuit la aplicarea unei trepte de tensiune U la momentul de timp t = 0s. Introducerea datelor precum şi calculele pentru matricele reprezentării în spaţiul stărilor se vor face într-un fişier Matlab, de tip M-file. Simularea se va realiza în Simulink utilizând reprezentarea în spaţiul stărilor a modelului, şi dispunând de blocul State-space.

4. să se vizualizeze evoluţia tensiunii pe condensator pentru comanda de la punctul precedent. În acest scop se va adăuga pe schema Simulink existentă, un nou bloc „State-space” având drept mărime de ieşire tensiunea capacitorului (figura 2.7). Datele precum şi calculele pentru matricele reprezentării în spaţiul stărilor se adăuga în fişierul M-file existent

5. să se vizualizeze pe acelaşi osciloscop atât evoluţia curentului cât şi a tensiunii prin capacitor. În schema existentă (figura 2.7), se adaugă al treilea bloc State-space, care va furniza la ieşire ambele mărimi de stare;

6. să se simuleze, evoluţia curentului prin circuitul RLC la aplicarea comenzii enunţate la punctul 3, utilizând reprezentarea prin funcţia de transfer şi dispunând de blocul Transfer Fcn.

Se va verifica corectitudinea calculului prin compararea rezultatelor simulării circuitului RLC, pentru ambele tipuri de reprezentări.

Calcul analitic:

1. Reprezentarea în spaţiul stărilor

Pasul 1. Obţinerea unui model matematic în spaţiul stărilor


41

Figura 2.4 Circuitul RLC serie

Ecuaţiile circuitului sunt:

=

++⋅=

∫ dtiC

u

udt

idLiRU

dc

c

1 ⇔

=

++⋅=

iCdt

ud

udt

idLiRU

d

c

c

1 (2.8)

Pasul 2: Identificarea mărimilor de stare, mărimilor de intrare şi ieşire în proces. Identificarea matricelor A, B, C, D ale reprezentării în spaţiul stărilor .

Mărimile de stare apar sub formă derivată în ecuaţiile procesului. Pentru a le evidenţia, relaţiile (2.8) se pot aranja astfel încât, în partea stângă să apară doar mărimile de stare sub formă derivată:

=

+−−=

iCdt

du

UL

uL

iL

R

dt

di

d

c

c

1

11

(2.9)

sau prin scrierea sub formă matriceală:

[ ]u

Bx

c

A

d

x

ccUL

u

i

C

LL

R

u

i

dt

dudt

di

+

−−=

=

•

•

0

1

01

1

43421

(2.10)

Observaţie: După cum se poate observa mărimile de stare sunt cele ce reflectă acumulările şi dezacumulările energetice ale sistemului.

Considerând relaţiile generale (2.1) scrierea matriceală permite:

identificarea mărimilor de stare

=

cu

ix , mărimii de intrare (comandă) –

tensiunea la borne, [ ]Uu =

Capitolul 2

42

identificarea matricelor A, B ale sistemului:

−−=

01

1

A

dC

LL

R

,

=

0

1

B L

identificarea matricelor C şi D ale sistemului, prin alegerea ieşirii dorite, astfel:

1. dacă se alege ca mărime de ieşire curentul:

[ ]

⋅==

cCu

iyi 01 => [ ]01=C , 0=D

2. dacă se alege tensiunea pe condensator drept mărime de ieşire, atunci relaţia devine:

[ ]

⋅==

cC

c u

iyu 10 => [ ]10=C , 0=D

3. dacă se doreşte ca la ieşire sistemul să permită analiza simultană a celor două mărimi de stare, atunci relaţiile se vor exprima astfel:

⋅

==

c

C

c u

iy

u

i

32110

01 => 210

01IC =

= , iar

=

0

0D

2. Reprezentarea prin funcţie de transfer

Pasul 1 Calcul analitic pentru determinarea funcţiei de transfer, considerând ecuaţiilor circuitului

Funcţia de transfer a circuitului RLC rezultă prin calcul analitic din relaţia:

( ) ( ) ( ) ( )sisC

sisLsiRsud

1+⋅+⋅=

din care se calculează raportul dintre ieşirea dorită (curentul prin circuit) şi intrarea în sistem (mărimea de comandă – tensiunea la borne):


43

( ) ( )( ) 12 ++

==dd

d

sRCLCs

sC

su

sisH (2.2)

Pasul 2 Calcul analitic, utilizând relaţia de definiţie (2.8), a funcţiei de transfer

Se reconsideră matricele reprezentării în spaţiul stărilor a circuit RLC serie având tensiunea la borne drept intrare şi curentul drept ieşire:

−−=

01

1

dC

LL

R

A ,

=

0

1

LB

Pentru calculul funcţiei de transfer se utilizează formula (2.7). Se porneşte de la calculul

relaţiei ( )AsI − , se calculează transpusa:( )TAsI − , adjuncta:( )*AsI − şi inversa:

( ) ( ) ( )d

d

CL/L/Rss

L/RsL/

C/s

AsI⋅++

+−=− −

1

1

1

1

1. Reconsiderând cazul sistemului cu o singură mărime de intrare – tensiunea de alimentare şi o singură ieşire – curentul prin circuit, y=[i], matricele C şi D ale sistemului sunt: ]01[C = , ]0[D =

Prin înlocuitre rezultă funcţia de transfer a procesul ce are ca mărime de ieşire curentul:

( ) ( )( ) ( )

[ ] ( ) ( )d

d

d

LCs

L

Rs

L/sLCL/L/Rss

L/RsL/

C/s

DBAICsu

sisH

10

1

1

1

1

01

s

2

1

++=

⋅

⋅++

+−=

=+−⋅== −

Rezultat care prin rearanjare se poate aduce la forma cunoscută, calculată la pasul 1:

( )12 ++

=dd

d

sRCLCs

sCsH

2. Pentru cazul sistemului SISO, în care mărimea de ieşire este tensiunea pe condensator, y=[uc], matricele C şi D ale sistemului sunt: ]10[=C ,

]0[D =

Capitolul 2

44

Funcţia de transfer a procesului ce are ca mărime de ieşire tensiunea pe condensator:

( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )

( )

d

d

d

c

LCs

L

Rs

CdL/LCL/L/Rss

L/RsL/

C/s

su

susH

11

0

1

1

1

1

102 ++

⋅=

⋅

⋅++

+−==

3. Pentru cazul când se doresc ca ieşirile sistemului să fie ambele mărimi de stare:

y= [I uc] (o intrare şi două ieşiri) 2IC = şi

=

0

0D , se obţine matricea de

transfer de forma

( ) ( )( )

d

d

cu

i

LCs

L

Rs

LC

L

s

sH

sHsT

1

1

2 ++

=

=

Calcul în Matlab:

Se va crea un fişier de comenzi, m-file (cu extensia .m), care va conţine codul prezentat ulterior. Aici sunt iniţializate variabilele R, L, Cd şi U, se introduc pentru calcul matricele (A,B,C,D) ale sistemului şi numărătorul, numitorul funcţiei de transfer.

%----------------------------------------------------------------------------------------------------------- % Datele problemei %------------------------------------------------------ % Parametri circuitului RLC R = 1; % [ohm] L = 1e-3; % [H] Cd= 1e-3; % [F] U = 20; % [V] %----------------------------------------------------- % Obtinerea reprezentantarii in spatiul starilor %------------------------------------------------------ % Cazul in care marimea de iesire y este curentul i A = [-R/L -1/L; 1/Cd 0] B = [1/L; 0] C = [1 0]; D = [0]; % Cazul in care marimea de iesire y este tensiune pe condensator uc


45

% Matricele A si B se pastreaza aceleasi C1 = [0 1]; D1 = [0]; % Cazul in care se doresc doua marimi de iesire y = [i; uc] % Matricele A si B se pastreaza C2 = eye(2); D2 = [0; 0]; %-------------------------------------------------------- % Obtinerea reprezentarii prin functie de transfer % (numitorul si numaratorul, „den” si „num”) %-------------------------------------------------------- num = [1/L 0] den = [1 R/L 1/(L*Cd)] printsys(num,den) %------------------------------------------------------------------------------------------- furnizează răspunsul: num = 1000 0 den = 1 1000 1000000 num/den = 1000 s ---------------------- s^2 + 1000 s + 1000000 Fişierul se va rula înainte de pornirea simulării.

Simulare:

Etapele simulării:

Se creează un nou model (schemă) cu File | New | Model Din bibliotecile Simulink:

• Sources se selectează blocul ce furnizează intrarea în sistem: Step

• Sinks se selectează osciloscopul: Scope

• Continuous se selectează blocurile: State-Space, care permite simularea sistemelor liniare

reprezentate în spaţiul stărilor. Transfer Fcn, care permite simularea sistemelor liniare

reprezentate prin funcţii de transfer. Modalitatea de configurare a blocurilor Simulink este prezentată în figura 2.5.

Capitolul 2

46

Figura 2.5 Setarea parametrilor bloculurilor: Step, State Space şi Transfer Fcn

La Simulation | Configuration Parameters sunt fixaţi parametrii simulării: momentul de timp la care începe simularea (tipic e zero); momentul de timp la care se opreşte simularea = 0.02s pentru exemplul dat; pasul de simulare=Variable-step; metoda de integrare=ode45. Alegerea parametrilor de simulare este prezentată în figura 2.6.

Figura 2.6 Parametri de simulare


47

variatie tensiune uc

variatie curent si tensiune uc

variatie curent(Repr. prin functie de transfer)

variatie curent(Repr. in sp. starilor)

num(s)

den(s)

Transfer Fcn

Step

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space(A,B,C2,D2)


State-Space(A,B,C1,D1)


State-Space(A,B,C,D)

Figura 2.7 Schema Simulink pentru analiza circuitului RLC serie

Rezultatele simulării vizualizate pe cele 4 osciloscoape sunt ilustrate în figura2.11.

Figura 2.8 Vizualizarea evoluţiei în timp a curentului şi tensiunii pe condensator,

afişare comparativă pe osciloscoape a variaţiei mărimilor

Capitolul 2

48

A.2. Aplicaţie cerută – Simularea comportamentului unui motor de curent continuu

1) Să se determine modelul matematic al unui motor de curent continuu cu magneţi permanenţi. Considerând următoarele date: u = 5V, R = 20Ω, L = 2mH, k = 0.05Nm/A, F = 0Nm/rad/s, J=5*10-7Kgm2, se cere:

1. să se simuleze evoluţia curentului prin motor la aplicarea unei trepte de tensiune u (mărime de comandă), la momentul de timp t = 0s. Se va utiliza reprezentarea în spaţiul stărilor;

2. să se simuleze evoluţia vitezei prin motor la aplicarea aceleaşi comenzi;

3. să se simuleze răspunsul în viteză şi curent al motorului de curent continuu la

aplicarea unui cuplu static de sarcină sm = 0.01Nm, după ce viteza motorului

s-a stabilizat;

4. să se calculeze funcţia de transfer a motorului de curent continuu de la

comanda u la viteza Ω în condiţiile în care cuplul static de sarcină sm =0 şi

să se simuleze răspunsul sistemului;

5. să se calculeze funcţia de transfer a motorului de curent continuu de la cuplul rezistent (care este o perturbaţie pentru sistem) la viteza Ω în condiţiile în

care cuplul de sarcină sm =0.02Nm este aplicat după ce viteza motorului s-a

stabilizat şi să se simuleze răspunsul sistemului;

6. să se vizualizeze evoluţia curentului şi a vitezei prin motor, la aplicare comenzi de la punctul 3, considerând schema Simulink prezentată în figura 2.13.

Indicaţie: Obţinerea modelului matematic.

Ecuaţiile ce descriu funcţionarea motorului sunt :

−−=Ω

Ω++=

fs mmkidt

dJ

kdt

diLRiu

unde: u este tensiunea de alimentare (mărimea de comandă pentru sistem),

i este curentul care trece prin motor,

Ω - viteza unghiulară a rotorului, kim = – cuplul activ dezvoltat de motor,

sm - cuplul rezistent opus de către sarcină (mărime de perturbaţie),

fm - cuplul rezistent de frecări vâscoase al motorului şi al sarcinii

( Ω⋅= Fmf , unde F este coeficientul de frecări vâscoase),


49

R - rezistenţa rotorului, L - inductivitatea rotorului, J este momentul total de inerţie al motorului şi sarcinii K - constantă de tensiune electromotoare, respectiv de cuplu, ce depinde de construcţia maşinii.

Mărimile de stare sunt curentul prin motor i şi viteza acestuia Ecuaţiile sistemului se scrie astfel:

Ω−−=Ω

+Ω−−=

FmKidt

dJ

ukRidt

diL

s

,

sau matriceal:

⋅

−+

Ω⋅

−

−−=

Ω•

s

x

Ax

m

uL

i

J

F

J

kL

k

L

Ri

dt

d

10

01

4434421321

În cazul în care se doreşte ca ieşirea sistemului să fie turaţia ω atunci

matricele de scalare a mărimilor de ieşire au forma: [ ]10=C şi D=0. Pentru a

răspunde la punctul 3, unde sunt cerute ambele mărimi de stare:

=

10

01C , iar

=

00

00D .

Figura 2.9 Schema Simulink – necesară la punctul 3

Capitolul 2

50

Figura 2.10 Variaţia în timp a curentului şi cuplului de sarcină

Figura 2.11 Variaţia în timp a vitezei unghiulare

Indicaţie pentru cerinţele 4 şi 5.

U Ω

k

−

−

sJ

1∑∑

RLs +1

ki ++ m

sm

Figura 2.12 Schema bloc a motorului de curent continuu

Motorul de c.c are următoarele funcţii de transfer:

a) de la tensiunea U - care este mărimea de comandă (intrare), la viteza Ω - mărimea se ieşire:

( ) ( )

( )222

1)(

)(

ksJRJLs

k

sLRsJ

k

sLRsJ

k

sU

ssH U ++

=

++

+=Ω

=Ω→

b) de la cuplul rezistent sm - care este o perturbaţie, la viteza Ω :

( )

( )222

)(

1

1

)(

)(

ksJRJLs

sLR

sLRsJ

ksJ

sU

smsH s

ms +++−=

++

−

==Ω→


51

Indicaţie pentru cerinţa 6. Pentru construirea schemei motorului de curent continuu se vor utiliza următoarele blocuri Simulink:

• Step, Scope şi Transfer Fcn, iar pentru setările corespunzătoare se poate reveni la aplicaţia demonstrativă 2;

• Gain şi Sum din biblioteca Math Operation; şi se vor înlocui blocurile In şi OUT din schema prezentată în figura 2.13 cu blocurile Step şi respectiv Scope.

Figura 2.13 Schema Simulink pentru motorul de curent continuu

A.3. Aplicaţii cerute

1. Să se obţină reprezentările în spaţiul stărilor şi prin funcţie de transfer a următoarelor circuite:

a) intrări: tensiunile U U1 2 si , ieşiri: tensiunea şi curentul prin condensator

U1 U2C

R1 L1 L2 R2

Figura 2. 14 Schema circuitului

b) intrare Ui , ieşire Ue

UU

R1

R2

i e+

UU i e

R1

R2 C

+

Figura 2. 15 Schema cu amplificatoare operaţionale

f) Se consideră circuitul din figura 2.5.

+

−

LiRi Ci

Figura 2. 16 Schema unui circuit cu elemente pasive

Capitolul 2

52

Să se obţină reprezentările în spaţiul stărilor şi prin funcţie de transfer ale circuitul. Mărimile de stare vor fi tensiunea pe condensator si curentul prin inductivitate, iar

ieşireaCu

R

1iy R == .

3. Se consideră circuitul RLC serie din figura 2.3. Mărimea de comandă este tensiunea la borne U. Se vor discuta şi modela următoarele cazuri:

a. mărimi de ieşire: curentul, tensiunea pe rezistor, cea de pe bobină şi cea de pe condensator. Să se determine matricea de transfer a circuitului.

b. mărimile de stare ale sistemului vor fi sarcina condensatorului şi curentul i prin circuit:

i. să se simuleze evoluţia sarcinii capacitorului la aplicarea unei trepte de tensiune U la momentul de timp t=0s.

• se va utiliza reprezentarea în spaţiul stărilor a modelului, folosind blocul State-space.

• se va utiliza reprezentarea prin funcţie de transfer a modelului dispunând de blocul Transfer Fcn. Pentru calculul funcţiei de transfer se vor considera două moduri:

1. utilizând formula de calcul (2.7). 2. apelând funcţia Matlab ss2tf.

ii. să se vizualizeze pe acelaşi grafic evoluţia curentului şi a sarcinii.

4. Să se explice din punct de vedere fizic de ce pentru circuitele electrice mărimile de stare sunt curentul (când există bobine) şi respectiv tensiunea (când există condensatoare), iar în procesele mecanice apar ca variabile de stare viteza şi poziţia (unghiulare, sau liniare). Care sunt mărimile de stare vor apare în cazul proceselor termice?

5. Concluzii În lucrare se studiază modalitatea prin care un proces poate fi reprezentat matematic, printr-un sistem dinamic, atât în spaţiul stărilor cât şi prin funcţii de transfer. Aceste două reprezentării sunt legate între ele, iar lucrarea prezintă şi felul în care se poate obţine funcţia de transfer cunoscând reprezentarea sistemului în spaţiul stărilor (trecerea de la reprezentarea prin funcţii de transfer la cea în spaţiul stărilor se va studia în capitolul 3). Ambele reprezentări vor fi folosite intens în capitolele următoare, atât pentru analiza proprietăţilor sistemelor, cât şi pentru proiectarea şi simularea SRA.

Documents

TSRA_cap2_Reprezent Sist in Spatiul Starilor Si Prin Functie de Transfer