Embed Size (px)
Citation preview
TS. Nguy¹n V«n Lñi (chõ bi¶n) − Ngæ Thà Nh¢
LOISCENTER
1 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
�æi líi chia s´
Ch¿ 10− 20 n«m núa khi l n sâng cæng ngh» 4.0 s³ �ành h¼nh l¤i c§u tróc cuëc sèng v x¢ hëi.C¡i �âi ngh±o �¢ �÷ñc tr£ v· cho qu¡ khù, lóc �â lao �ëng khæng cán l �º tçn t¤i m chõ y¸unh¬m möc �½ch s¡ng t¤o v ti¸n bë.
C¡c cæng vi»c s³ tªp trung v o 4 nhâm:
− Ngh» thuªt
− Khoa håc kÿ thuªt
− Dàch vö
− Sùc khäe v Thº thao
Tòy thuëc kh£ n«ng, con ng÷íi câ thº lüa chån c¡c thº lo¤i cæng vi»c phò hñp. Nh÷ng b§t k¼cæng vi»c g¼ y¸u tè s¡ng t¤o v thi �ua s³ �÷ñc �÷a l¶n h ng �¦u.
Chóng tæi chån cæng vi»c chu©n bà h nh trang tri thùc khoa håc kÿ thuªt cho lîp cæng d¥n thíi�¤i 4.0 l m nhi»m vö ch½nh cõa m¼nh.
2 S�T: 096 568 5459
MÖC LÖC LOISCENTER
Möc löc
1 L m quen vîi c¡c con sè 4
1.1 C¡c b i to¡n chia h¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Sè ÷îc sè cõa mët sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Ph¥n sè v sè nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Tªn còng cõa c¡c sè lôy thøa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 C¡c sè nguy¶n tè I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 C¡c sè nguy¶n tè II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 T¤i sao khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Sè ch½nh ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n (DIOPHANG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.10 Nguy¶n lþ Dirichlet trong sè håc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.11 Chú sè cõa mët sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.12 C¡c h» �¸m câ cì sè kh¡c nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Luy»n tªp 14
3 Thuªt to¡n Euclide v ph÷ìng tr¼nh Diophang 21
3.1 Thuªt to¡n Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Ph÷ìng tr¼nh Diophang hai ©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 H m sè EULER ϕ(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 �çng d÷, h» �çng d÷, �ành lþ Euler − Fermat 25
4.1 Lþ thuy¸t �çng d÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 C¡c bi¸n �êi tuy¸n t½nh cõa c¡c h» �çng d÷ �¦y �õ, h» �çng d÷ rót gån . . . . . 254.3 �çng d÷ tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Mèi quan h» giúa �çng d÷ thùc tuy¸n t½nh v ph÷ìng tr¼nh Diophant . . . . . . 264.5 H» �çng d÷ tuy¸n t½nh, �ành lþ �çng d÷ Trung Hoa . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Gi£i ph÷ìng tr¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.7 Têng hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Sè håc �¤i sè 34
H Nëi, ng y 22 th¡ng 2 n«m 2019
3 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
1 L m quen vîi c¡c con sè
1.1 C¡c b i to¡n chia h¸t
V½ dö 1.1. CMR 72 | 1020 + 8
B i gi£i: 1020 + 8 câ ba chú sè tªn còng l 008 vªy chia h¸t cho 8 (quy tc chia h¸t cho 8) v têng c¡c chú sè cõa nâ b¬ng 1 + 0 + 8 = 9 chia h¸t cho 9.
1. Sè n o l ÷îc sè câ hai chú sè lîn nh§t cõa 22227777?
2. CMR: a) 9 | 1033 − 1 ; b) 6 | 1010 + 14.
3. T¼m c¡c c°p (x, y) sao cho:
a) 36 | 52x2y; b) 72 | x378y; c) 45 | 24x68y.
4. Tø c¡c sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 theo mët trªt tü n o �â h¢y vi¸t mët sè nguy¶n tè câ 6 chú sè.
V½ dö 1.2. Mët sè câ 6 chú sè gçm c¡c sè tø 1 �¸n 6 vi¸t theo thù tü n o �â. Hai sè �¦u ti¶nhñp l¤i th nh mët sè chia h¸t cho 2; 3 sè �¦u ti¶n hñp l¤i th nh sè chia h¸t cho 3; v cù ti¸pnh÷ vªy (2 ≤ k ≤ 6). Häi sè n y câ thº l sè n o?
�¡p ¡n: 123654 v 321654.
5. Sè n o l sè câ 9 chú sè nhä nh§t câ t½nh ch§t sau: vîi k sè �¦u ti¶n hñp l¤i th nh sè chiah¸t cho k (2 ≤ k ≤ 9)?
6. H¢y cho 3 sè �¦u ti¶n cõa d¢y c¡c sè câ t½nh ch§t sau:+) L bëi cõa 15.+) Têng c¡c chú sè b¬ng 15.
V½ dö 1.3. Sè n o l sè nhä nh§t chia h¸t cho 36 v c¡c chú sè cõa nâ l c¡c sè ch®n.
Gñi þ: têng c¡c chú sè chia h¸t cho 9 v l sè chia h¸t cho 4. (288)
7. T¼m sè nhä nh§t chia h¸t cho 45 v ch¿ chùa c¡c chú sè 0 v 8.
8. Sè tü nhi¶n nhä nh§t n o chia h¸t cho t§t c£ c¡c sè 1, 2, . . . ., 9, 10?
1.2 Sè ÷îc sè cõa mët sè
V½ dö 1.4. Li»t k¶ t§t c£ c¡c ÷îc sè cõa 72.
�¡p sè: 72 câ 12 ÷îc sè (ch¿ x²t c¡c ÷îc sè d÷ìng).
Chó þ 1. Ta nhªn �÷ñc sè ÷îc sè cõa mët sè n¸u trong ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè cõa sè�â, tø méi thøa sè l§y sè mô cëng th¶m 1 rçi nh¥n t§t c£ c¡c sè n y vîi nhau.
9. Sè 16200 câ bao nhi¶u ÷îc sè?
10. Nhúng sè câ ba chú sè n o câ �óng 5 ÷îc sè?
4 S�T: 096 568 5459
1.3 Ph¥n sè v sè nguy¶n LOISCENTER
V½ dö 1.5. Sè tü nhi¶n nhä nh§t n o câ �óng 12 ÷îc sè?
�¡p sè: 60.
11. T¼m sè tü nhi¶n nhä nh§t câ 18 ÷îc sè?
12. X¡c �ành sè tü nhi¶n nhä nh§t câ 42 ÷îc sè v chia h¸t cho 42?
V½ dö 1.6. H¢y chùng minh r¬ng mët sè câ sè ÷îc sè l sè l´ khi v ch¿ khi sè �â l sè ch½nhph÷ìng.
Gñi þ: Khi ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè th¼ c¡c sè mô cõa c¡c thøa sè l ch®n.
13. Sè 7777777 câ 1995 ÷îc sè?
14. Mët l¢nh chóa nh¥n ng y sinh nhªt cõa m¼nh, æng ta muèn phâng th½ch mët sè tò nh¥n.Trong nh tò câ 100 ng«n v 100 cai ngöc. Cai ngöc �¦u ti¶n mð t§t c£ c¡c c¡nh cûa cõa c¡cng«n. Cai ngöc thù 2 �âng t§t c£ c¡c c¡nh cûa chia h¸t cho 2. Cai ngöc thù ba l¤i xem c¡cc¡nh cûa câ sè thù tü chia h¸t cho 3, c¡i n o mð th¼ �âng l¤i v c¡i n o �âng th¼ mð ra. C¡ccai ngöc 4, 5, ... k, ... công ti¸p töc l m nh÷ vªy: n¸u sè thù tü cõa c¡nh cûa chia h¸t cho km �âng th¼ mð ra, n¸u mð th¼ �âng l¤i. Häi cuèi còng nhúng ng«n n o cûa s³ �÷ñc mð?
1.3 Ph¥n sè v sè nguy¶n
V½ dö 1.7. Nhúng sè nguy¶n x n o thäa m¢nx+ 3
x− 5công l sè nguy¶n?
H÷îng d¨n:x+ 3
x− 5= 1 +
8
x− 5.
15. Câ bao nhi¶u sè tü nhi¶n n ,sao cho x =n+ 1
n− 3công l sè tü nhi¶n?
16. Nhúng sè nguy¶n x n o sao cho4x+ 3
x− 3công l sè nguy¶n.
V½ dö 1.8. Câ thº vi¸t sè 220 th nh têng cõa c¡c sè (½t nh§t hai sè) nguy¶n d÷ìng li¶n ti¸pkhæng?
�¡p sè: khæng thº.C¥u häi th¶m: Câ thº vi¸t sè 220 th nh têng cõa c¡c sè (½t nh§t hai sè) nguy¶n li¶n ti¸pkhæng?C¥u tr£ líi l câ thº.
17. Câ bao nhi¶u c¡ch câ thº vi¸t 1989 th nh têng cõa mët sè sè nguy¶n d÷ìng li¶n ti¸p?
18. Câ bao nhi¶u c¡ch câ thº vi¸t 1995 th nh têng cõa mët sè sè nguy¶n d÷ìng l´ li¶n ti¸p?
V½ dö 1.9. Tèi gi£n sè100!
2100. Häi m¨u sè sau khi tèi gi£n l bao nhi¶u?
Bê sung: Câ thº giîi thi»u th¶m v· �ành lþ Lagrange v ùng döng.
19. M¨u sè cõa ph¥n sè100!
650sau khi �¢ tèi gi£n l bao nhi¶u?
20. Nh¥n 100 sè nguy¶n d÷ìng �¦u ti¶n. Häi trong k¸t qu£ chú sè thù 24 t½nh tø b¶n ph£i l sè n o (tr¶n h» �¸m cì sè 10)?
5 S�T: 096 568 5459
1.4 Tªn còng cõa c¡c sè lôy thøa LOISCENTER
1.4 Tªn còng cõa c¡c sè lôy thøa
V½ dö 1.10. H¢y ch¿ ra r¬ng têng cõa 5 sè ch½nh ph÷ìng li¶n ti¸p th¼ luæn luæn chia h¸t cho 5.
H÷îng d¨n: C¡c sè tªn còng cõa d¢y c¡c sè ch½nh ph÷ìng li¶n ti¸p lªp th nh d¢y sè tu¦nho n.
21. Sè tªn còng cõa t½ch sau l bao nhi¶u: 11.22.33 . . . .99?
22. N = 12 + 22 + 32 + . . .+ 19962 câ tªn còng b¬ng bao nhi¶u?
23. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u a l mët sè nguy¶n th¼ ho°c a3 − a ho°c a3 + a chia h¸t cho 10.
V½ dö 1.11. H¢y ch¿ ra r¬ng N = 100! + 7 khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng.
H÷îng d¨n: X²t tªn còng cõa c¡c sè ch½nh ph÷ìng.
24. Ch¿ ra r¬ng N = 117 + 116 + 115 + . . .+ 11 + 1 khæng l sè ch½nh ph÷ìng.
V½ dö 1.12. 21986 tªn còng b¬ng sè n o? Gi£i th½ch.
�¡p sè: 4.
25. Sè 19921991 tªn còng b¬ng sè n o?
26. Vîi gi¡ trà n o cõa N th¼ biºu thùc 1n + 9n + 9n + 6n chia h¸t cho 5 (t½nh nhanh)?
27. Biºu thùc 11994.21994.9971994 câ tªn còng b¬ng sè n o (t½nh nhanh)?
28. 3223 + 2332 câ tªn còng b¬ng sè n o?
29. Têng 7373 + 3737 câ chia h¸t cho 10 hay khæng?
30. X¡c �ành sè tªn còng cõa N = 2 + 22 + 23 + . . .+ 21995?
1.5 C¡c sè nguy¶n tè I
31. Têng cõa 100 sè nguy¶n tè �¦u ti¶n ch®n hay l´?
32. H¢y cho hai sè nguy¶n d÷ìng sao cho têng v t½ch cõa chóng �·u l sè nguy¶n tè.
33. Ba sè nguy¶n lªp th nh mët c§p sè cëng v t½ch cõa chóng l sè nguy¶n tè. Nhúng sè n yl sè n o?
34. H¢y cho hai sè nguy¶n tè P v Q sao cho P +Q v P −Q công l sè nguy¶n tè.
35. Câ hay khæng 6 sè nguy¶n tè li¶n ti¸p nhau sao cho têng cõa chóng công l sè nguy¶n tè?
V½ dö 1.13. Têng cõa 9 sè li¶n ti¸p câ thº l sè nguy¶n tè hay khæng?
�¡p sè: Khæng l sè nguy¶n tè.
36. Têng cõa 8 sè li¶n ti¸p câ thº l sè nguy¶n tè hay khæng?
37. Têng cõa 7 sè li¶n ti¸p câ thº l sè nguy¶n tè hay khæng?
6 S�T: 096 568 5459
1.6 C¡c sè nguy¶n tè II LOISCENTER
V½ dö 1.14. Tø 9 sè nguy¶n tè �¦u ti¶n câ thº lªp th nh b£ng k½ch th÷îc 3× 3 sao cho: têngc¡c h ng, têng c¡c cët v têng hai �÷íng ch²o b¬ng nhau �÷ñc hay khæng?B£ng câ t½nh ch§t nh÷ vªy cán �÷ñc gåi l b£ng ma ph÷ìng.
B i gi£i: Khæng thº �÷ñc v¼ hai h ng v cët câ sè 2 câ têng l sè ch®n. C¡c h ng v cët kh¡ccâ têng l´.
V½ dö 1.15. Trong mët c¡i b¼nh câ 67 vi¶n bi trng v �ä. Câ lo¤i b² v lo¤i lîn. Bi¸t r¬ng :
a) Sè bi �ä chia h¸t cho 5.
b) Sè bi �ä lîn b¬ng sè bi trng.
c) Sè bi trng nhä câ ½t nh§t.
d) Sè cõa t§t c£ c¡c lo¤i bi �·u l sè nguy¶n tè.
Häi méi lo¤i câ bao nhi¶u vi¶n bi?
�¡p sè: 7 �ä lîn, 53 �ä nhä, 5 trng lîn v 2 trng nhä câ trong b¼nh.
38. T¤i sao 1997 khæng thº l têng cõa hai sè nguy¶n tè?
39. Têng cõa ba sè nguy¶n tè l 1996, trong ba sè, sè nhä nh§t l sè n o?
40. Trong d¢y sè 7, 19, 25, . . . . (méi sè lîn hìn sè tr÷îc nâ 6 �ìn và). Häi trong c¡c sè cõa d¢ycâ sè n o vi¸t �÷ñc th nh hi»u cõa hai sè nguy¶n tè?
1.6 C¡c sè nguy¶n tè II
V½ dö 1.16. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u sè nguy¶n tè p > 3 th¼: 3 | p2 − 1.
H÷îng d¨n: �ành lþ Fermat, hay x²t sè d÷.
V½ dö 1.17. Vîi c¡c sè nguy¶n tè p, q n o th¼ c¡c sè p+ q v p2+ q2− q công l c¡c sè nguy¶ntè?
H÷îng d¨n: q = 2.
41. Cho p l sè nguy¶n tè b§t ký. Chùng minh r¬ng p2 + 26 l hñp sè.
42. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè p v q sao cho p2 + q2 + 16 công l sè nguy¶n tè.
V½ dö 1.18. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u p v p2 + 8 l c¡c sè nguy¶n tè th¼ p2 + p + 1 công l sènguy¶n tè.
H÷îng d¨n: T½nh p.
43. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u p v 8p2 + 1 l sè nguy¶n tè th¼ 8p2 + 2p+ 1 công l sè nguy¶n tè.
V½ dö 1.19. Vîi sè nguy¶n tè p n o th¼ t§t c£ c¡c sè 2p+1, 3p+2, 4p+3, 6p+1 l sè nguy¶ntè?
H÷îng d¨n: T½nh p.
44. Câ hay khæng sè nguy¶n d÷ìng k sao cho k + 5, k + 7, k + 15 �·u l sè nguy¶n tè?
7 S�T: 096 568 5459
1.7 T¤i sao khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng LOISCENTER
1.7 T¤i sao khæng ph£i l sè ch½nh ph÷ìng
V½ dö 1.20. T¤i sao 1010 + 2 khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
H÷îng d¨n: X²t sè tªn còng.
45. T¤i sao c¡c sè sau khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
a) 100! + 50! + 10!. b) 100100 + 1050 + 1. c) 3 + 32 + . . . .+ 3100.
V½ dö 1.21. abcabc khæng l sè ch½nh ph÷ìng, t¤i sao?
H÷îng d¨n: V¼ nâ chia h¸t cho 7, 11, 13.
46. T¤i sao c¡c sè câ sau khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
a) abab. b) ababab.
V½ dö 1.22. T¤i sao c¡c sè �÷ñc t¤o th nh tø c¡c sè 2, 3, 4, 5, 6 (méi sè mët l¦n) khæng l sèch½nh ph÷ìng?
H÷îng d¨n: Têng c¡c chú sè chia 3 d÷ 2.
V½ dö 1.23. Têng cõa hai sè ch½nh ph÷ìng l´ t¤i sao khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
H÷îng d¨n: Têng chia 4 d÷ 2.
47. T¤i sao 30 sè 1 v mët v i sè 0 khæng t¤o th nh �÷ñc sè ch½nh ph÷ìng?
48. Sè 11 . . . 11 (100 con sè 1) khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
49. Têng 12 + 22 + 32 + ...+ 562 khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
50. Mët sè câ 4 chú sè tªn còng gièng nhau v kh¡c 0 khæng thº l sè ch½nh ph÷ìng.
51. T¤i sao têng cõa ba sè ch½nh ph÷ìng li¶n ti¸p khæng l sè ch½nh ph÷ìng?
1.8 Sè ch½nh ph÷ìng
V½ dö 1.24. Vîi sè nguy¶n d÷ìng n n o th¼ sè n2 + n+ 41 l sè ch½nh ph÷ìng?
�¡p sè: n = 40.
52. Vîi n nguy¶n d÷ìng n o th¼ n2 + n− 2 l sè ch½nh ph÷ìng?
53. Trong c¡c sè d÷îi �¥y, sè n o l sè ch½nh ph÷ìng?
a) 3669517136205224;
c) 4751006864295101;
e) 7538062944751882;
d) 5901643220186100;
b) 1898732825398318;
f) 2512339789576516.
8 S�T: 096 568 5459
1.9 Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n (DIOPHANG) LOISCENTER
54. Câ bao nhi¶u sè ch½nh ph÷ìng câ têng c¡c chú sè b¬ng 1995?
55. H¢y cho mët d¢y c§p sè cëng câ c¡c ph¦n tû l c¡c sè nguy¶n d÷ìng kh¡c nhau tøng �æimët v câ væ h¤n c¡c ph¦n tû sao cho giúa chóng khæng câ sè ch½nh ph÷ìng n o?
V½ dö 1.25. Sè câ 4 chú sè n o l b¼nh ph÷ìng cõa mët sè nguy¶n m 2 chú sè �¦u ti¶n b¬ngnhau v 2 chú sè cuèi còng công b¬ng nhau?
�¡p sè: 882 = 7744.
56. H¢y ch¿ ra r¬ng b§t ký lôy thøa n o cõa 10 công câ thº ph¥n t½ch �÷ñc th nh têng cõahai sè ch½nh ph÷ìng.
57. Sè 1020304030201 (câ 13 chú sè) câ ph£i l sè ch½nh ph÷ìng hay khæng?
V½ dö 1.26. C¡c ph÷ìng tr¼nh sau câ thº gi£i �÷ñc trong tªp c¡c sè nguy¶n hay khæng?
a) x2 + y2 = 1987;
c) x2 + y2 = 1989;
e) x2 − y2 = 1990.
d) x2 − y2 = 1989;
b) x2 + y2 = 1986;
58. Chùng minh r¬ng câ nhi·u væ còng c¡c sè tü nhi¶n khæng vi¸t �÷ñc d÷îi d¤ng:
a) Têng hai sè ch½nh ph÷ìng.
b) Têng hai sè lªp ph÷ìng.
1.9 Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n (DIOPHANG)
V½ dö 1.27. C«n pháng cõa An l h¼nh chú nhªt câ sè �o c¡c c¤nh l c¡c sè nguy¶n (m) v sè �o di»n t½ch (m2) l mët sè ½t hìn 1 �ìn và so vîi �ë lîn cõa chu vi (m). Häi chi·u d i v chi¶u rëng cõa c«n pháng?
Líi gi£i: ab+ 1 = 2(a+ b)⇒ ab− 2(a+ b) + 4 = 3(a− 2)(b− 2) = 3.
V½ dö 1.28. T½ch cõa ba sè nguy¶n tè b¬ng 5 l¦n têng cõa chóng. Häi ba sè nguy¶n tè n y l nhúng sè n o?
H÷îng d¨n: a · b · c = 5(a+ b+ c) vªy câ mët sè b¬ng 5 · (b− 1)(c− 1) = 6.
59. Mët h¼nh chú nh§t câ sè �o cõa chu vi b¬ng sè �o cõa di»n t½ch. C¡c c¤nh l c¡c sè nguy¶n.Häi di»n t½ch cõa h¼nh chú nhªt?
60. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n d÷ìng: ab+ 2a+ 3b = 36.
61. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n d÷ìng: abc+ ab+ ac+ bc+ a+ b+ c = 1000?
62. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi¶m nguy¶n d÷ìng :1
a+
1
b=
1
7.
V½ dö 1.29. T¼m c¡c nghi»m nguy¶n d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh: x2 − 4y2 = 116.
�¡p sè: x = 30, y = 15.
63. Hai sè nguy¶n d÷ìng n o m hi»u b¼nh ph÷ìng cõa chóng b¬ng 1993?
V½ dö 1.30. T¼m nhúng sè câ ba chú sè b¬ng 19 l¦n têng cõa c¡c chú sè cõa nâ?
64. Mët sè b¬ng 17 l¦n têng c¡c chú sè cõa nâ. Häi sè �â l sè n o?
9 S�T: 096 568 5459
1.10 Nguy¶n lþ Dirichlet trong sè håc LOISCENTER
1.10 Nguy¶n lþ Dirichlet trong sè håc
Nguy¶n lþ Dirichlet hay cán gåi l nguy¶n lþ chuçng v thä.
V½ dö 1.31. H¢y ch¿ ra r¬ng tø 5 sè nguy¶n tè lîn hìn 10, luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chiah¸t cho 10.
65. CMR tø 11 sè nguy¶n luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 10.
66. CMR tø b¼nh ph÷ìng cõa 7 sè kh¡c nhau, luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 10.
V½ dö 1.32. CMR tø 20 sè nguy¶n b§t k¼ luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 19.
67. CMR tø 7 sè nguy¶n, luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 6.
V½ dö 1.33. Tø 3 sè ch½nh ph÷ìng, luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho 3?
68. M»nh �· sau �óng hay sai: Tø 3 sè ch½nh ph÷ìng luæn chån �÷ñc 2 sè câ hi»u chia h¸t cho4?
1.11 Chú sè cõa mët sè
69. Ng÷íi ta nh¥n ba sè nguy¶n d÷ìng l´ li¶n ti¸p vîi nhau, v nh¥n k¸t qu£ nhªn �÷ñc vîi 5th¼ �÷ñc sè câ d¤ng ABABAB trong �â A v B l c¡c chú sè. Häi ba sè �¦u ti¶n l nhúng sèn o?
70. Ng÷íi ta ghi chú sè 0 v o sau mët sè câ hai chú sè b§t k¼ sau �â l¤i ghi ti¸p sè câ hai chúsè lóc tr÷îc. H¢y ch¿ ra r¬ng sè câ n«m chú sè vøa nhªn �÷ñc chia h¸t cho 11 v 13.
71. Mët sè trong h» �¸m cì sè 10 b¬ng 17 l¦n têng cõa c¡c chú sè cõa nâ. Häi sè �â l sè n o?
72. CMR n¸u ghi mët sè câ 3 chú sè hai l¦n c¤nh nhau, ta luæn nhªn �÷ñc mët sè chia h¸tcho 7, 11 v 13.
73. Cho A, B v C l ba chú sè kh¡c nhau. Câ khi n o c£ hai sè câ ba chú sè ABC v CBAcòng chia h¸t cho 7?
74. C¡c gâc trong cõa mët tam gi¡c câ sè �o theo �ë l nhúng sè nguy¶n. Gâc thù nh§t câ sè�o l mët sè câ ba chú sè, c¡c gâc kh¡c nhªn �÷ñc b¬ng c¡ch xâa chú sè ð giúa, ho°c chú sècuèi còng cõa sè �o cõa gâc thù nh§t. Häi sè �o cõa ba gâc cõa tam gi¡c l bao nhi¶u?
75. Têng cõa hai sè câ ba chú sè chia h¸t cho 37. N¸u ghi hai sè c¤nh nhau ta �÷ñc mët sè câs¡u chú sè. CMR sè n y công chia h¸t cho 37.
76. Mët sè ch½nh ph÷ìng câ bèn chú sè. Bi¸t r¬ng chú sè �¦u ti¶n v chú sè thù hai, chú sèthù ba v chú sè thù t÷ gièng nhau. Häi sè �â l sè n o?
77. Câ tçn t¤i sè palidrom câ bèn chú sè v l sè ch½nh ph÷ìng hay khæng? (Sè palidrom l sè �åc xuæi công nh÷ �åc ng÷ñc �·u nh÷ nhau − hay con gåi l sè �èi xùng).
78. Câ tçn t¤i hay khæng sè câ bèn chú sè abcd sao cho abcd− dcba = 1008?
79. C¡c sè ch½nh ph÷ìng câ thº câ tªn còng l sè câ hai chú sè n o?
80. H¢y t¼m sè tü nhi¶n câ têng c¡c chú sè chia h¸t cho 13 v sè ti¸p theo cõa nâ công câ t½nhch§t t÷ìng tü.
1.12 C¡c h» �¸m câ cì sè kh¡c nhau
81. Vi¸t t§t c£ c¡c sè tø 1 �¸n 20 trong h» �¸m cì sè:
10 S�T: 096 568 5459
1.12 C¡c h» �¸m câ cì sè kh¡c nhau LOISCENTER
a) 2; b) 3; c) 4; d) 5.
82. Trong h» �¸m cì sè 2, sè n o l sè:
a) Nhä nh§t câ 2 chú sè;
b) Lîn nh§t câ 2 chú sè;
c) Lîn nh§t câ 3 chú sè.H¢y vi¸t c¡c sè n y trong h» �¸m cì sè 10.
d) Trong h» �¸m cì sè 2 câ bao nhi¶u sè câ 2, 3, 4 chú sè?
83. Trong h» �¸m cì sè 5, sè n o l sè:
a) Nhä nh§t câ 2 chú sè;
b) Lîn nh§t câ 2 chú sè;
c) Lîn nh§t câ 3 chú sè.H¢y vi¸t c¡c sè n y d÷îi trong h» �¸m cì sè 10.
d) Trong h» �¸m cì sè 5 câ bao nhi¶u sè câ 2, 3, 4 chú sè?
84. �i·n c¡c sè cán thi¸u trong c¡c ph²p t½nh sau:227 1234
+ ×..57 ......4
��- ���10434 1101
312��-......4
85. Bè nâi vîi måi ng÷íi: "Tæi n«m nay 113 tuêi. Tæi câ ba ng÷íi con trai: 35, 34 v 32 tuêi.Khi tæi 34 tuêi th¼ ch¡u lîn nh§t cõa tæi ra �íi".
a) Häi æng bè nâi tuêi theo h» �¸m cì sè n o?
b) N¸u �i·u ki»n cuèi còng thay �êi:* Khi tæi 45 tuêi th¼ con trai c£ cõa tæi sinh ra.Häi æng bè �ang nâi trong h» �¸m n o? Bè v c¡c con bao nhi¶u tuêi?
c) N¸u �i·u ki»n cuèi còng thay �êi:* Khi tæi 56 tuêi th¼ con trai c£ cõa tæi sinh ra.Häi æng bè �ang nâi trong h» �¸m n o? Bè v c¡c con bao nhi¶u tuêi?
86. C¡c �¯ng thùc sau �óng trong h» �¸m cì sè n o?
a) 3 + 4 = 11;
d) 200 + 200 = 2000;
g) 50 · 5 = 410;
b) 30 + 40 = 110;
e) 62 + 16 = 100;
h) 50 · 5 = 310.
c) 100 + 100 = 1000;
f) 50 · 5 = 500;
11 S�T: 096 568 5459
1.12 C¡c h» �¸m câ cì sè kh¡c nhau LOISCENTER
87. Sè 2004 trong mët h» �¸m kh¡c l 13140. H» �¸m �â l h» n o?
88. �i·n nhúng chú sè th½ch hñp v o æ trèng, sao cho �¯ng thùc �óng:
3_14 = 1__3
89. H¢y t¼m xem ph²p t½nh sau �÷ñc thüc hi»n trong h» �¸m cì sè n o? C¡c chú c¡i câ gi¡trà l bao nhi¶u (trong còng ph²p t½nh c¡c chú gièng nhau câ gi¡ trà gièng nhau, c¡c chú kh¡cnhau câ gi£ trà kh¡c nhau)?
a) ABBA+ AAAA = AABBB;
b) ABCD.DC = ABCDC;
c) 5BC + 4CA = ABBA.
90. Th¶m v o c¡c ché cán trèng c¡c chú sè sao cho ta nhªn �÷ñc c¡c sè chia h¸t cho 2 (ch®n).
73_68 101_18 73_6973_64 101_12 73_65
91. T¼m d§u hi»u chia h¸t cho 2 cõa c¡c sè trong h» �¸m cì sè:
a) 2; b) 3; c) 5; d) 6.
e) Trong tr÷íng hñp têng qu¡t, l m th¸ n o �º nhªn bi¸t �÷ñc mët sè l sè ch®n?
92. Ph¡t biºu v chùng minh quy luªt nhªn bi¸t mët sè khi n o chia h¸t cho 3 trong mët sèh» �¸m, v½ dö: h» �¸m cì sè 3; 4; 5; 6; 9.
93. Trong h» �¸m cì sè a, t¼m �i·u ki»n �º mët sè chia h¸t cho mët ÷îc cõa a?
94. Trong h» �¸m cì sè a, t¼m �i·u ki»n �º mët sè chia h¸t cho a2, a3 v c¡c ÷îc sè cõa chóng.
95. Trong h» �¸m cì sè a, ph¡t biºu �i·u ki»n �º mët sè chia h¸t cho (a− 1) ho°c (a+ 1)?
96. Câ 8 sè trong h» �¸m cì sè 5 l : 321; 342; 424; 410; 403; 444; 340; 301. Tø 8 sè n y câ thºt¤o �÷ñc 4 c°p sè m têng cõa chóng trong h» �¸m cì sè 10 l 200. C¡c c°p sè n y l nhúngc°p sè n o?
97. Hai b¤n håc sinh vui t½nh nâi v· m¼nh.
A: Têng cëng 11 n«m tæi ph£i håc m¨u gi¡o v nh tr´. Cho �¸n nay tæi �i håc phê thæng�¢ 12 n«m v ph£i �i ti¸p 10 n«m núa cho �¸n khi k¸t thóc.
B: Tæi công 111 tuêi nh÷ b¤n.
Häi c¡c b¤n håc sinh bao nhi¶u tuêi (trong h» �¸m cì sè 10)?
98. H¢y vi¸t t§t c£ c¡c sè v· cì sè 10 n¸u ð cì sè 11 sè n y câ d¤ng a0b v ð cì sè 9 câ d¤ngb0a.
99. Sè 740 khi chuyºn sang cì sè x ta �÷ñc mët sè câ 4 chú sè m chú sè cuèi còng l 5. H¢yt¼m gi¡ trà cõa x v c¡c chú sè cán thi¸u.
12 S�T: 096 568 5459
1.12 C¡c h» �¸m câ cì sè kh¡c nhau LOISCENTER
100. Trong h» �¸m cì sè n o m khi chia 4634 cho 555 �÷ñc th÷ìng l 5 v sè d÷ l 530?
V½ dö 1.34. Chuyºn 0, 125 sang h» �¸m cì sè 6.
B i gi£i.0, 125× 60,750, 75× 64,50
0, 5× 63,00, 0× 60
K¸t qu£: 0,125 = 0,0436.
V½ dö 1.35. Chuyºn 73, 736 sang h» �¸m cì sè 6.
B i gi£i. Ta chia th nh hai ph¦n: nguy¶n v ph¥n.
73, 73 = 73 + 0,73
Ph¦n nguy¶n:73 : 6 = 12 → 12 : 6 = 2 → 2 : 6 = 0
d÷ 1 ← 0 ← 2Vªy: 73 = 2016Ph¦n ph¥n:0, 73× 6 = 4, 38 → 0, 38× 6 = 2, 28 → 0, 28× 6 = 1, 68 → 0, 68× 6 = 4, 080, 08× 6 = 0, 48 → 0, 48× 6 = 2, 88 → 088× 6 = 5, 28 → 0, 28× 6 = 1, 68Vªy : 0,73 = 0,042(14025)
6
K¸t qu£ : 73,73 = 201,042(14025)6
101. Chuyºn h» �¸m:
a) C¡c sè 0, 1; 0, 01; 0, 001 tø h» �¸m cì sè 2 sang h» �¸m cì sè 10.
b) C¡c sè 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4 tø h» �¸m cì sè 5 sang h» �¸m cì sè 10.
c) C¡c sè 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4; 0, 5 tø h» �¸m cì sè 6 sang h» �¸m cì sè 10.
102. Chuyºn h» �¸m c¡c sè 0, 1; 0, 2; 0, 3; ...; 0, 9 tø h» �¸m cì sè 10 sang h» �¸m cì sè 2; 5 v 6.
103. Chuyºn 123, 456 (cì sè 10) sang h» �¸m cì sè 2, 3, 4, 5 v 6.
104. �¯ng thùc �óng trong h» �¸m cì sè n o?
13 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
a) 10 + 10 = 100; b) 10 · 10 = 100; c) 1010 : 10 = 101.
105. Ng÷íi ta vi¸t còng mët sè trong hai h» �¸m cì sè kh¡c nhau th¼ nhªn �÷ñc c¡c �¯ng thùcsau:
a) 1010a = 11b. Häi c°p sè (a, b) câ thº l c°p sè n o?
b) 100a = 10b. Häi c°p sè (a, b) câ thº l c°p sè n o?
106. Ph²p t½nh sau �óng trong h» �¸m cì sè n o?
2 · (333 + 222) = 3102
107. C¡c �¯ng thùc sau �óng trong h» �¸m cì sè n o?
a) 12x + 13x = 30x; b) 6x + 6x = 51x.
108. Sè tü nhi¶n nhä nh§t n o m khi vi¸t trong h» �¸m cì sè 8 câ tªn còng b¬ng 3 v trongh» �¸m cì sè 9 câ tªn còng b¬ng 4?
2 Luy»n tªp
109. Câ bao nhi¶u sè nguy¶n d÷ìng khæng lîn hìn 1000 v :
a) Ch¿ chùa �óng mët chú sè trong c¡c sè 2 v 3
b) Chia h¸t cho �óng mët sè trong c¡c sè 2, 3 v 5.
110. T½ch cõa 5 sè tü nhi¶n li¶n ti¸p chia h¸t cho 8 khæng? Cho 16 khæng? Cho 24 khæng? Cho5 khæng? Nhúng sè n o l sè chc chn nâ chia h¸t?
111. N¸u t½ch cõa 5 sè nguy¶n d÷ìng tªn còng câ hai chú sè 0 th¼ câ thº chån �÷ñc 4 sè trongchóng câ t½ch tªn còng l hai chú sè 0. �i·u n y câ �óng khæng?
112. Th¦y gi¡o ghi mët sè nguy¶n d÷ìng r§t lîn l¶n b£ng. C¡c håc sinh thay nhau ph¡t biºu,håc sinh thù nh§t:− Sè tr¶n b£ng chia h¸t cho 2.Håc sinh 2:− Sè tr¶n b£ng chia h¸t cho 3.Cù ti¸p töc nh÷ vªy cho �¸n håc sinh thù 30:− Sè n y công chia h¸t cho 31.Th¦y gi¡o nâi r¬ng:− Ngo i hai b¤n ra th¼ t§t c£ �·u nâi �óng. M hai b¤n �â tr£ líi li¶n ti¸p thay nhau.Häi hai håc sinh n o ph¡t biºu nh¦m?
113. Câ 7 t¶n c÷îp ngçi trong røng s¥u chia v ng theo c¡ch cõa ri¶ng m¼nh. Chóng ngçi quanh�èng ti·n v ng. Mët t¶n �¸m sè ti·n v ng v l§y cho m¼nh sè v ng b¬ng têng c¡c chú sè cõasè v ng vøa �¸m. Th§y vªy t¶n ngçi c¤nh b¶n ph£i công �¸m sè �çng ti·n v ng cán l¤i v l§ycho m¼nh mët sè �çng ti·n v ng b¬ng têng c¡c chú sè cõa sè v ng vøa �¸m �÷ñc. Cù l¦n l÷ñtnh÷ vªy cho �¸n khi h¸t s¤ch �èng v ng. Bån c÷îp r§t ng¤c nhi¶n l méi t¶n �÷ñc l§y 2 l¦n v c£ bån �÷ñc sè v ng b¬ng nhau trø t¶n tr÷ðng nhâm �÷ñc nhi·u hìn.Häi t¶n tr÷ðng nhâm l§y ð và tr½ thù bao nhi¶u trong hëi chia v ng?
14 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
114. Câ thº li»t k¶ nhi·u nh§t bao nhi¶u ÷îc sè cõa 104 sao cho khæng câ sè n o chia h¸t chosè n o?
115. Ng÷íi ta �¡nh sè theo thù tü c¡c h ng v c¡c cët cõa b n cí 8× 8. Sau �â ghi v o méiæ t÷ìng ùng têng cõa h ng v cët cõa nâ. Ti¸p theo ta �°t v o b n cí 8 con xe sao cho khængcon n o «n con n o, tùc l méi h ng v méi cët ch¿ câ mët con xe. Häi trong c¡ch xp x¸p n otêng cõa c¡c sè d÷îi ch¥n c¡c con xe câ gi¡ trà lîn cüc �¤i?
116. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m tü nhi¶n: 314x+ 25y = 1995.
117. Bi¸t r¬ng:3 · 8 · 15 · ... · 8994 · 9 · 16 · ... · 900
=p
qvîi p, q > 0 tü nhi¶n v (p, q) = 1. H¢y t½nh gi¡ trà cõa
p v q?
118. Cho tr÷îc gâc 190. Ch¿ dòng th÷îc v compa düng gâc 10.
119. Cho mët sè câ 3 chú sè v sè ng÷ñc cõa nâ. Trong hi»u cõa hai sè n y, sè �¦u ti¶n l 3.Häi:
a) Hi»u hai sè n y l bao nhi¶u?
b) Nhúng sè n o câ thº l sè ban �¦u?
120. Tçn t¤i hay khæng sè ch½nh ph÷ìng sao cho têng c¡c chú sè cõa nâ l :
a) 150 b) 18
121. N¸u x l sè nguy¶n v x2 chia h¸t cho 6 th¼ x công chia h¸t cho 6 ?
122. H¢y t¼m nhúng sè ch½nh ph÷ìng câ têng c¡c chú sè cõa nâ l :
a) 21; b) 15; c) 27; d) 36; e) 8.
123. Têng c¡c chú sè cõa mët sè ch½nh ph÷ìng khi chia cho
a) 3 b) 9
�÷ñc sè d÷ n o?
124. CMR n¸u p v p2 + 8 l sè nguy¶n tè th¼ p2 + p+ 1 công l sè nguy¶n tè.
125. Câ tçn t¤i sè n nguy¶n d÷ìng sao cho 17 | 11n?
126. Hai sè 8 v 9 l hai sè li¶n ti¸p nhau v câ t½nh ch§t chung l lôy thøa (câ sè mô lìn hìn1) cõa mët sè nguy¶n d÷ìng kh¡c. Mët c¥u häi ch÷a câ líi gi£i �¡p l câ tçn t¤i nhúng c°p sèkh¡c câ t½nh ch§t tr¶n. Mët c¥u häi ch÷a câ gi£i �¡p núa l câ tçn t¤i 3 sè li¶n ti¸p câ t½nhch§t tr¶n? C¡c b¤n h¢y nghi¶n cùu cho tr÷íng hñp bèn sè �÷ñc khæng?
127. H¢y �i·n v o sau sè 423 ba chú sè �º nhªn �÷ñc mët sè câ 6 chú sè v chia h¸t cho 5, 6, 7.
128. Bèn chú sè cuèi còng cõa mët b¼nh ph÷ìng cõa mët sè câ tªn còng l 25 câ thº l sèn o?
129. Ph£i ch«ng trong c¡c sè cõa d¢y sè sau: 5, 55, 555, 5555, 55555, . . . . (t§t c£ to n chú sè 5)câ nhi·u væ còng c¡c sè chia h¸t cho 3? H¢y chùng minh.
15 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
130. Ph£i ch«ng d¢y: 31, 331, 3331, . . . .. (n chú sè 3 v th¶m chú sè 1 cuèi còng).
a) Câ nhi¸u væ còng c¡c sè chia h¸t cho 13?
b) Câ nhi·u væ còng c¡c sè chia h¸t cho 7?
131. CMR trong c§p sè cëng sau: 14, 27, 40, 53.66, . . . . Câ nhi·u væ còng c¡c sè m c¡c chú sècõa nâ to n l chú sè 2?
132. Kh£o s¡t têng:1
1+
1
2+ ...+
1
n.
CMR têng n y khæng thº l sè nguy¶n trong c¡c tr÷íng hñp:
a) n = 1024; 1021; 1000.
b) Tçn t¤i hay khæng gi¡ trà n > 1 sao cho têng tr¶n câ gi¡ trà nguy¶n?
133. C¡c sè nguy¶n d÷ìng a1; a2; . . . ; a49 câ têng l 999. Häi ÷îc sè chung lîn nh§t câ thº cõac¡c sè n y l bao nhi¶u.
134. Câ thº chån bao nhi¶u sè tø c¡c sè: 1, 2, 3, . . . , 100 sao cho:
a) B§t k¼ hai sè n o �·u nguy¶n tè còng nhau.
b) Khæng câ sè n o l ÷îc sè cõa sè n o?
135. Ngåc Anh nh°t vä h¸n tr¶n bí biºn. B² ng¤c nhi¶n nhªn ra r¬ng trong 6 �èng vä h¸n, sèvä h¸n cõa b§t k¼ hai �èng n o �·u nguy¶n tè còng nhau. Sau �â b² chån ra hai �èng, tø méi�èng l§y ra 1 vä h¸n v c§t v o hëp. Rçi ti¸p töc nh÷ vªy. Têng cëng cæ b² �¢ chån ra 9 c°pv tø méi c°p l¤i l§y ra mët vä h¸n (1, 1) c§t v o hëp. Xong vi»c Ngåc Anh câ 6 �èng câ sèl÷ñng vä h¸n trong méi �èng nh÷ nhau. Häi Ngåc Anh �¢ nh°t �÷ñc bao nhi¶u vä h¸n v chiath nh 6 �èng nh÷ th¸ n o?
136. H¢y �i·n v o c¡c æ trong b£ng 2× 3 c¡c chú sè kh¡c 0 sao cho c¡c sè �÷ñc lªp th nh tøc¡c h ng (tr¡i qua ph£i ) v c¡c cët (tr¶n xuèng) l c¡c sè ch½nh ph÷ìng.
137. Gi£i m¢:
S + A = U +D + E
S2 = A2 + U2 +D2 + E2
C¡c chú gièng nhau l c¡c chú sè gièng nhau, kh¡c nhau th¼ kh¡c nhau.
138. T¼m t§t c£ c¡c sè câ 4 chú sè câ tªn còng b¬ng 9 v chia h¸t cho t§t c£ c¡c sè l chú sècõa nâ.
16 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
139 (Thang l m khâ). Hai ng÷íi chìi thay nhau nâi c¡c sè nguy¶n d÷ìng. Ng÷íi bt �¦u nâisè 1. Ng÷íi thù n �÷ñc chån nâi c¡c sè lîn hìn sè trüc ti¸p vøa nâi ½t nh§t 1 v khæng qu¡ n�ìn và. Ng÷íi n o nâi sè 100 l ng÷íi thng trªn.Häi ai l ng÷íi câ chi¸n thuªt �º luæn luæn thng?
140. Sau khi tèi gi£n ph¥n sè100!
2100m¨u sè cõa nâ l sè n o?
141. V÷ìng quèc Ngåc Anh ng÷íi ta ph¡t h nh c¡c lo¤i phi¸u mua s¡ch to¡n trà gi¡ 5 v 7NA.
a) Câ thº mua mët quyºn s¡ch sè håc gi¡ 101 NA khæng ph£i tr£ l¤i khæng?
b) Nhúng gi¡ trà n o câ thº tr£ m khæng c¦n tr£ l¤i?
c) N¸u câ thº tr£ l¤i th¼ sao?
142. Mët thíi gian sau nú ho ng Ngåc Anh l¤i thu c¡c phi¸u qu tr¶n v ph¡t h nh lo¤i phi¸uqu mua s¡ch mîi m»nh gi¡ 6 v 15 NA. Häi nhúng gi¡ trà n o câ thº tr£:
a) N¸u câ thº tr£ l¤i;
b) Khæng tr£ l¤i?
143. Ng÷íi ta chia 948 v 417 cho còng mët sè câ hai chú sè v �÷ñc còng mët sè d÷. Häi sèd÷ câ thº l bao nhi¶u?
144. Sè nguy¶n d÷ìng n o m khi chia 23479 cho n �÷ñc sè d÷ lîn hìn 50 �ìn và so vîi sè d÷khi chia 34539 cho n?
145. T¼m ÷îc sè chung lîn nh§t cõa 11111111︸ ︷︷ ︸8 sè 1
v 111 . . . 11︸ ︷︷ ︸100 sè 1
?
146. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa n nguy¶n d÷ìng sao cho ph¥n sè7n+ 6
5n+ 3câ thº gi£n ÷îc ti¸p
töc?
147. Vîi gi¡ trà k tü nhi¶n n o th¼ sè sau l sè tü nhi¶n?
a)3k − 1
5; b)
22k + 12
7; c)
16k + 12
5; d)
k + 11
k − 9; e)
k + 17
k − 3.
148. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà n nguy¶n �º c¡c biºu thùc sau nguy¶n:
a)n+ 3
n− 3; b)
n2 + 2
n+ 1.
149. Mët h¼nh chú nhªt k½ch th÷îc 385 × 105. �÷ñc chia vøa �õ khæng thøa th nh c¡c h¼nhvuæng câ c¤nh d i n. Häi trong c¡c sè 1, 2, . . . , 11, . . . . Gi¡ trà n o câ thº l n (c¤nh cõa h¼nhvuæng)?
150. Sìn m u c¡c �iºm nguy¶n cõa h» tåa �ë l÷îi æ vuæng theo nguy¶n tc sau: �iºm (a, b)câ m u gièng c¡c �iºm (a− b, a) v (a, b− a). Häi c¡c �iºm sau:
a) (19, 99) v (199, 3383).
17 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
b) (234, 1001) v (9611, 7007).
câ còng m u hay khæng?
151. Tr¶n b n cí m× n mët qu¥n t÷îng trng xu§t ph¡t tø mët gâc trng v �i cho �¸n khich¤m v¤ch ngo i th¼ quay �¦u 900 ti¸p töc �i cho �¸n khi �¸n mët gâc n o �â (khæng thº quay�¦u) th¼ døng l¤i.
a) Vîi nhúng gi¡ trà n o th¼ qu¥n t÷îng �i h¸t c¡c æ trng cõa b n cí?
b) Qu¥n t÷îng trng s³ qua bao nhi¶u æ trng cõa b n cí m× n?
152. Cho n = 135, k = 311. Hai ng÷íi chìi, hå thay �êi nhau sûa l¤i c¡c k¸t qu£ cõa n v k.�¸n l÷ñt ai, ng÷íi �â chån sè lîn hìn v trø tø nâ mët v i l¦n sè b² ½t nh§t 1 l¦n) nh÷ng khæng�åc k¸t qu£ th nh ¥m). Sau �â giú l¤i sè trø v k¸t qu£ sau khi trø rçi nh÷íng cho ng÷íi kia.Ng÷íi ti¸p theo l¤i l m nh÷ vªy. Ai khæng thay �êi �÷ñc c¡c sè th¼ ng÷íi �â thua. Ai câ chi¸nthuªt chìi �º câ thº:
a) Luæn thng. b) Luæn thua.
153 (Mët c¡ch t½nh thíi Ai Cªp cê �¤i.). Xu§t ph¡t tø hai sè 41 v 37. Chóng ta xem b£ngsau v thû t¼m hiºu thuªt to¡n n y dòng l m g¼ v ho¤t �ëng ra sao?
4 1 3 78 2 1 8
1 6 4 93 2 8 46 5 6 2
1 3 1 2 11 5 1 7
154. Cæng chóa Kim C÷ìng khæng th½ch sè 1. Trong l¥u � i cõa m¼nh cæ ta ch¿ cho sû döngc¡c sè 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20, 22, . . . .. Häi trong v÷ìng quèc Kim C÷ìng ng÷íi ta dòng sè n othay cho sè 1998? Hay nâi c¡ch kh¡c sè thù 1998 trong d¢y sè cõa hå l sè n o t÷ìng ùng?
155. Câ mët b n c¥n th«ng b¬ng hai �¾a. Ph£i chu©n bà c¡c qu£ c¥n �º c¥n �÷ñc c¡c vªt câkhèi l÷ñng nguy¶n tø 1, 2, . . . , n kg ( vîi n = 10 v n = 32). Häi sè qu£ c¥n ½t nh§t l bao nhi¶u�º thüc hi»n �÷ñc cæng vi»c trong c¡c t¼nh huèng sau:
a) Mët �¾a �º qu£ c¥n v mët �¾a �º vªt c¦n c¥n?
18 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
b) C¡c qu£ c¥n câ thº �°t c£ hai b¶n?
c) N¸u �÷ñc dòng 5 qu£ c¥n th¼ trong méi t¼nh huèng c¥n �÷ñc bao nhi¶u kg?
156. Tr¶n b n câ mët hán �¡ khèi l÷ñng nguy¶n d÷ìng khæng qu¡ n kg. �÷ñc dòng mët c¥nhai �¾a v kh²o chån c¡c qu£ c¥n (½t nh§t) �º x¡c �ành khèi l÷ñng t£ng �¡ v sè l¦n c¥n lþt÷ðng. Vîi n ≤ 10, n ≤ 32.
157. Cho hai sè l b¼nh ph÷ìng cõa hai sè ch®n li¶n ti¸p:
152415787751564791571470221617965857842778256
152415787751564791571519604333606302695344324
H¢y x¡c �ành b¼nh ph÷ìng cõa sè l´ n¬m giúa hai sè n y.
158. CMR 5n vîi n > 0 nguy¶n b§t k¼ �·u câ thº biºu di¹n �÷ñc d÷îi d¤ng têng cõa hai sèch½nh ph÷ìng.
159. Hai anh em næng d¥n câ mët � n cøu. Hå mang ra chñ b¡n. Méi chó cøu b¡n �÷ñc sè ti·nb¬ng �óng sè cøu hå �¢ câ. Hai anh em chia nhau sè ti·n nhªn �÷ñc theo c¡ch sau: Méi ng÷íil¦n l÷ñt l§y 10 ti·n, bt �¦u tø ng÷íi anh. �¸n cuèi còng ng÷íi em khæng cán �õ 10 quan ti·nn¶n l§y ph¦n l´ cán l¤i. �º cho cæng b¬ng ng÷íi anh cho em th¶m mët con dao �³o zip �µp.Häi méi con cøu hå b¡n gi¡ bao nhi¶u?
160. X²t sè sau: n = 123456789101112 . . . 20002001. Häi sè n y câ ph£i sè ch½nh ph÷ìng? N¸u�êi ché c¡c chú sè ta câ nhªn �÷ñc sè ch½nh ph÷ìng hay khæng?
161. CMR√2 +√3 l sè væ t¿.
162. CMR trong 6 sè væ t¿ b§t k¼, luæn chån �÷ñc 3 sè sao cho têng 2 sè b§t k¼ �·u l sè væ t¿.
163. Tø:
a) 7 b) 5 c) 4
sè væ t¿ câ luæn luæn chån �÷ñc ba sè sao cho têng cõa hai sè b§t k¼ tø ba sè �¢ chån ra l sè væ t¿?
164. Câ thº chån c¡c d§u trong biºu thùc sau
1± 2± 3± . . .± n
sao cho k¸t qu£ b¬ng 0? H¢y cho líi gi£i khi n = 21; 20; 19; 18.
165. Tr¶n b n câ mët tí gi§y nhä. Ng÷íi ta x² tí gi§y �â th nh 10 m£nh. Rçi sau �â ng÷íi tal¤i x² v i m£nh méi m£nh th nh 10 m£nh nhä hìn. Cù l m ti¸p töc nh÷ vªy. Häi sau mët sèl¦n thüc hi»n cæng vi»c, sè m£nh gi§y nhä câ thº câ c¡c gi¡ trà:
a) 201 b) 200 c) 199
166. G¦n gièng b i vøa rçi. Tr¶n b n câ mët tí gi§y nhä. Ng÷íi ta x² tí gi§y �â th nh 10ho°c 16 m£nh. Rçi trong sè �â ng÷íi ta l¤i x² v i m£nh méi m£nh th nh 10 ho°c 16 m£nh nhähìn. Cù l m ti¸p töc nh÷ vªy. Häi sau mët sè l¦n thüc hi»n cæng vi»c, sè m£nh gi§y nhä câ thºcâ c¡c gi¡ trà:
19 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
a) 400 b) 399 c) 22
167. Tr¶n b n câ hai nm di¶m. Méi l¦n ng÷íi ta chån ra mët nm v cho th¶m v o �â mëtsè di¶m. Sau �â ð nm kia ng÷íi ta cho th¶m v o sè di¶m g§p �æi sè di¶m vøa cho v o nmtr÷îc. Sau �â ng÷íi ta l¤i chån mët nm v ti¸p töc cæng vi»c nh÷ th¸ v i l¦n. Häi hå câ thº�¤t �÷ñc t¼nh tr¤ng méi nm câ 50 que di¶m khæng n¸u lóc �¦u sè di¶m méi nm l :
a) 7 v 34 b) 1 v 3
168. Ng÷ìi ta ghi sè l¶n �¿nh cõa mët h¼nh lªp ph÷ìng. Méi l¦n ng÷íi ta chån mët c¤nh v t«ng c¡c sè ð hai �¦u cõa c¤nh �â th¶m 1 �ìn. Häi sau mët sè l¦n l m nh÷ vªy, ng÷íi ta câthº �¤t �÷ñc tr¤ng th¡i c¡c sè tr¶n c¡c �¿nh b¬ng nhau, n¸u tr¤ng th¡i ban �¦u l :
a) Mët �¿nh câ sè 1, c¡c �¿nh kh¡c l sè 0.
b) Hai �¦u mët c¤nh l sè 1, c¡c �¿nh cán l¤i sè 0.
c) Hai �¦u �÷íng ch²o cõa mët m°t l sè 1, cán l¤i l sè 0.
d) Hai �¦u cõa mët �÷íng ch²o l sè 1, cán l¤i l sè 0.
169. Ng÷íi ta ghi l¶n c¡c c¤nh cõa mët tù di»n c¡c sè 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sau �â thüc hi»n nhúng�ëng t¡c sau: T¤i mët �¿nh ng÷íi ta cëng c¡c sè cõa c¡c c¤nh g°p nhau t¤i �¿nh �â v ghi sèn y l¶n �¿nh. Häi câ thº câ x£y ra tr÷íng hñp t§t c£ c¡c �¿nh câ sè gièng nhau?
170. Câ 44 c¥y anh � o �ùng th nh mët váng trán. Tr¶n méi c¥y câ mët con s¡o. Tøng lócmët l¤i câ hai con chim bay truy·n sang c¥y b¶n c¤nh nh÷ng ng÷ñc chi·u nhau, mët con theochi·u kim �çng hç, mët con theo chi·u ng÷ñc l¤i. CMR n¸u l m nh÷ vªy, c¡c chó chim s¡okhæng bao gií câ thº �ùng tr¶n còng mët c¥y.
20 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
3 Thuªt to¡n Euclide v ph÷ìng tr¼nh Diophang
3.1 Thuªt to¡n Euclide
�ành lþ bezout: N¸u a, b ∈ Z, b 6= 0, khi �â tçn t¤i duy nh§t q v r sao cho a = bq + r v 0 ≤ r ≤ |b|. N¸u a, b ∈ Z, b 6= 0. Chóng ta câ thº thüc hi»n cæng vi»c t¼m ph¦n d÷ nhi·n l¦nnèi ti¸p nhau cho �¸n khi sè chia cán kh¡c 0, b¬ng c¡ch coi sè chia cõa l¦n tr÷îc �â l sè bàchia cõa b÷îc hi»n t¤i, sè hi»n t¤i l sè d÷ l¦n tr÷îc v ta �÷ñc sè d÷ mîi. Qu¡ tr¼nh n y ti¸pdi¹n cho �¸n khi sè d÷ b¬ng 0 th¼ døng l¤i.
a = bq0 + r0 0 ≤ r0 < |b| n¸u r0 6= 0, khi �âb = r0q1 + r1 0 ≤ r1 < r0 n¸u r1 6= 0, khi �âr0 = r1q2 + r2 0 ≤ r2 < r1 n¸u r2 6= 0, khi �â
........ ........ ........rn−2 = rn−1qn + rn 0 ≤ rn < rn−1 n¸u rn 6= 0, khi �ârn−1 = rnqn+1
V¼ {ri} l mët d¢y �ìn �i»u gi£m n¶n ch¿ sau húu h¤n b÷îc ph£i døng l¤i.
�ành lþ 1. N¸u b | a th¼ (a, b) = b. N¸u b - a th¼ thuªt to¡n Euclide thüc hi»n vîi a v b câ sèd÷ cuèi còng kh¡c 0 ch½nh l ÷îc sè chung lîn nh§t cõa a v b. N¸u d = (a, b) th¼ tçn t¤i x v y sao cho ax+ by = d. Nâi theo c¡ch kh¡c d biºu di¹n �÷ñc b¬ng têng tuy¸n t½nh cõa a v b.C¡ch t½nh x v y trong têng tuy¸n t½nh cõa d.
r0 = a− bq0r1 = b− r0q1 = b− (a− bq0)q1 = b(1− q0q1)− aq1
Cù ti¸p töc nh÷ vªy ta vi¸t c¡c sè r2 thæng qua r1 v r0 rçi thay c¡c gi¡ trà cõa r1 v r0 b¬ngc¡c biºu di¹n tuy¸n t½nh thæng qua a v b cõa chóng �¢ �÷ñc t½nh tr÷îc. Ti¸p töc nh÷ vªy tas³ t½nh �÷ñc d hay s³ t¼n �÷ñc x v y.
B i tªp luy»n tªp
B i to¡n 1. N¸u a, b ∈ Z, a2 + b2 6= 0. X²t t§t c£ c¡c sè câ d¤ng: ax+ by (x, y ∈ Z).CMR trong c¡c sè d÷ìng câ d¤ng n y, sè nhä nh§t b¬ng ×CLN cõa a v b.
B i to¡n 2. B¬ng thuªt to¡n Euclide t¼m ×CLN cõa a = 86 v b = 31, rçi x¡c �ành c°p sè(x, y) �º biºu di¹n d = ax+ by. H¢y t¼m BCNN cõa a v b.
Líi gi£i:
21 S�T: 096 568 5459
3.2 Ph÷ìng tr¼nh Diophang hai ©n LOISCENTER
rn = rn+1qn+1 + rn+2 rn = axn + byn86 = 31 · 2 + 24 24 = 86 · 1 + 31 · (−2)31 = 24 · 1 + 7 7 = 31− 24 · 1
= 31− (86 · 1 + 31 · (−2))= 86 · (−1) + 31 · 3
24 = 7 · 3 + 3 3 = 24− 7 · 3= (86 · 1 + 31 · (−2))− (86 · (−1) + 31 · 3) · 3= 86 · 4 + 31 · (−11)
7 = 3 · 2 + 1 1 = 7− 3 · 2= (86 · (−1) + 31 · 3)− (86 · 4 + 31 · (−11)) · 2= 86 · (−9) + 31 · 25
3 = 1 · 3 + 0 0 = 86 · 31 + 31 · (−86)
Do �â (86, 31) = 1, x = −9, y = 25 v 1 = 86 · (−9)+ 31 · 25; [86, 31] = ab
(a, b)= ab = 2666.
3.2 Ph÷ìng tr¼nh Diophang hai ©n
Cho a, b, c l c¡c sè nguy¶n, ab 6= 0. T¼m c¡c c°p sè nguy¶n (x, y) sao cho:
ax+ by = c (I)
�ành lþ 2. Ph÷ìng tr¼nh Diophang (I) câ líi gi£i khi v ch¿ khi (a, b)|c. Khi �â n¸u (x0, y0) l nghi»m, th¼ t§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:
xt = x0 + t · b
(a, b)v yt = y0 + t · a
(a, b)(II)
vîi t l sè nguy¶n b§t k¼. Cæng thùc tr¶n cho t§t c£ c¡c c°p nghi»m câ thº cõa ph÷ìng tr¼nh.
Chùng minh. �i·u ki»n c¦n: Hiºn nhi¶n.�i·u ki»n �õ: Cho (a, b) = d|c. Theo thuªt to¡n Euclid tçn t¤i x′, y′ sao cho:
ax′ + by′ = d (/ · cd)ax′ · c
d+ by′ · c
d= c
Cho x0 = x′ · cd, y0 = y′ · c
d⇒ (x0, y0) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh.
C¡c c°p sè d¤ng (II) �·u l nghi»m (thay trüc ti¸p). Ta ch¿ c¦n chùng minh c¡c nghi»m �·ucâ d¤ng n y. Gi£ sû (x0, y0) v (xt, yt) l hai bë nghi»m. Suy ra ax0 + by0 = c v axt + byt = c⇒ ax0 + by0 = axt + byt ⇒ a(x0 − xt) = −b(y0 − yt).⇒ b
(a, b)|(x0 − xt) v
a
(a, b)|(y0 − yt)
⇒ xt = x0 + t · b
(a, b)v yt = y0 + t · a
(a, b).
Ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n Diophant tuy¸n t½nh
Ph÷ìng ph¡p 1. Dòng thuªt to¡n Euclide. X²t ph÷ìng tr¼nh ax+ by = c.Kþ hi»u d = (a, b). B¬ng thuªt to¡n Euclide ta t¼m �÷ñc x′ v y′ �º ax′ + by′ = d.
22 S�T: 096 568 5459
3.3 H m sè EULER ϕ(n) LOISCENTER
N¸u d | c th¼ cdl sè nguy¶n. Cho x0 = x′ · b
(a, b)v y0 = y′ · a
(a, b)khi �â nghi»m cõa ph÷ìng
tr¼nh (I) s³ l :
x− t = x0 + t · b
(a, b)v yt = y0 + t · a
(a, b)vîi t ∈ Z.
Ph÷ìng ph¡p 2. Ph÷ìng tr¼nh Diophant tuy¸n t½nh hai ©n t÷ìng �÷ìng vîi mët �çng d÷ tuy¸nt½nh. Líi gi£i cõa �çng d÷ công ch½nh l líi gi£i cho ph÷ìng tr¼nh Diophant (xem ph¦n sau).
B i to¡n 3. Gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n:
a) 172x+ 62y = 38
b) 82x = 22y = 34
c) 150x+ 86y = 100
d) 125x+ 45y = −20
3.3 H m sè EULER ϕ(n)
Cho sè nguy¶n n > 0. Kþ hi»u ϕ(n) l c¡c sè tø 1, 2, 3, ..., n nguy¶n tè còng nhau vîi n.
�ành lþ 3. N¸u n ≥ 3 tü nhi¶n, th¼ ϕ(n) l sè ch®n.
Gñi þ chùng minh: N¸u n ch®n th¼n
2l ÷îc cõa n. Vîi b§t k¼ k nguy¶n th¼ (k, n) = 1 ⇔
(n− k, n) = 1.
�ành lþ 4. H m Euler ϕ l h m nh¥n, tùc l n¸u (a, b) = 1 th¼ ϕ(a, b) = ϕ(a) · ϕ(b).
Gñi þ chùng minh: Mët sè nguy¶n tè còng nhau vîi ab t÷ìng �÷ìng vîi sè �â nguy¶n tè còngnhau �çng thíi vîi c£ a v b. Sp x¸p c¡c sè tø 1 �¸n ab v o mët matrix [a, b] ta �÷ñc c¡c h ngv c¡c cët t¤o th nh h» th°ng d÷ �¦y �õ vîi a v b.Ghi chó: Câ thº dòng kÿ thuªt �çng d÷ �º chùng minh �ành lþ n y.
�ành lþ 5. Cho p l sè nguy¶n tè, α ∈ N. Khi �â ϕ(pα) = pϕ − pα−1.
Gñi þ chùng minh: Trong c¡c sè tø 1 �¸n pα c¡c sè p, 2p, ..., pα−1p (câ pα−1 sè) khæng nguy¶ntè còng nhau vîi pα (còng chia h¸t cho p). Do �â câ pα − pα−1 sè nguy¶n tè còng nhau vîi pα.
Cæng thùc t½nh gi¡ trà cõa h m Euler ϕ
1) n = 1 th¼ ϕ(1) = 1.
2) n > 1, d¤ng chu©n tc ph¥n t½ch ra thøa sè nguy¶n tè cõa n l
n =τ∏i=1
pαii
23 S�T: 096 568 5459
3.3 H m sè EULER ϕ(n) LOISCENTER
Khi �â
ϕ(n) =τ∏i=1
ϕ(pαii ) =
τ∏i=1
(pαi1 − p− iαi−1) (III)
=τ∏i=1
(pαi−1i (pi − 1)) (IV )
= nτ∏i=1
(1− 1
pi
). (V )
V½ dö: ϕ(20) = ϕ(25 · 5) = ϕ(25) · ϕ(5) = (22 − 1) · (5− 1) = 2 · 4 = 8.
B i luy»n tªp
B i to¡n 4. T½nh gi¡ trà cõa c¡c sè sau:
a) ϕ(9) b) ϕ(540) c) ϕ(900) d) ϕ(6!) e) ϕ(7!)
Líi gi£i:
a) ϕ(9) = ϕ(32) = 32 − 3 = 6
b) ϕ(540) = ϕ(22 · 33 · 5) = 2 · 18 · 4 = 144
c) ϕ(900) = ϕ(22) · ϕ(52) · ϕ(32) = 2 · 20 · 6 = 240
d) ϕ(6!) = ϕ(24) · ϕ(32) · ϕ(5) = (24 − 23) · (32 − 3) · (5− 1) = 8 · 6 · 4 = 192
e) ϕ(7!) = ϕ(2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7) = ϕ(24 · 32 · 5 · 7) = 8 · 6 · 4 · 6 = 1152.
B i to¡n 5. CMR n¸u m ≥ 2 l sè nguy¶n, th¼ têng t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè còng nhau vîi m
v nhä hìn m l 1
2mϕ(m).
B i to¡n 6. CMR vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n th¼ ϕ(n2) = nϕ(n).
B i to¡n 7. Gi£i ph÷ìng tr¼nh ϕ(2x) = ϕ(3x).
24 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
4 �çng d÷, h» �çng d÷, �ành lþ Euler − Fermat
4.1 Lþ thuy¸t �çng d÷
Cho m ∈ N cè �ành, a, b ∈ Z. Ta nâi a �çng d÷ vîi b modulo m n¸u m | (a− b) v kþ hi»ua ≡ b (mod m), tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i ta vi¸t a 6= b (mod m).
�çng d÷ câ þ ngh¾a �óng nh÷ trong tø ph£n ¡nh: Câ còng sè d÷. Quan h» �çng d÷ l mëtquan h» t÷ìng �÷ìng.
C¡c ph²p t½nh vîi c¡c lîp �çng d÷ (t½nh ch§t):
1) a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ⇒ a± c ≡ b± d (mod m)
2) a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m) ⇒ ac ≡ bd (mod m)
3) ac ≡ bc (mod m) ⇒ a ≡ b
(mod
m
(m, c)
)4) N¸u (c,m) = 1 v ac ≡ bc (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m)
5) a ≡ b (mod k) ⇒ ac ≡ bc (mod kc)
(c¡c lîp �çng d÷ (mod m) lªp th nh mët v nh giao ho¡n).
4.2 C¡c bi¸n �êi tuy¸n t½nh cõa c¡c h» �çng d÷ �¦y �õ, h» �çng d÷rót gån
�ành lþ 6 (�ành lþ Onimbus). Cho a1, a2, ...., am l h» th°ng d÷ �¦y �õ v b−1, b2, ...., bϕ(m)+cl h» th°ng d÷ rót gån cõa m v a, c ∈ Z:
1) (a,m) = 1 ⇒ aa1 + c, aa2 + c, ...., aam + c l h» th°ng d÷ �¦y �õ (mod m).
2) (a,m) = 1 ⇒ ab1 + c, ab2 + c, ...., abϕ(m) + c l h» th°ng d÷ rót gån (mod m).
�ành lþ 7 (�ành lþ Euler v· �çng d÷:). Cho a, c ∈ Z. N¸u (a,m) = 1 th¼ aϕ(m) = 1 (mod m).
Ghi chó: �i·u ki»n (a,m) = 1 trong �ành lþ l c¦n thi¸t. N¸u khæng câ nâ �ành lþ s³ khængcán �óng. Thªt vªy, gi£ sû (a,m) = d > 1 do �â d | a v d | m =⇒ d | aϕ(m) d¨n �¸n khæng thº�çng d÷ vîi 1.
Chùng minh. Cho b1, b2, ...., bϕ(m) l mët h» �çng d÷ rót gån (mod m). Khi �â v¼ (a,m) = 1n¶n ab1, ab2, ...., abϕ(m) công l mët h» �çngg d÷ rót gån (�ành lþ Onimbus).⇒ aϕ(m) · b1b2 · ... · bϕ(m) = b1b2....bϕ(m) (mod m)Vi»c chia c£ hai v¸ cho b1b2...bϕ(m) thüc hi»n �÷ñc theo �ành lþ Ominbus. Ta nhªn �÷ñc �i·uph£i chùng minh.
�ành lþ 8 (�ành lþ Fermat d¤ng 1). Cho a ∈ Z v p nguy¶n tè. N¸u p - a th¼ ap−1 = 1 (mod p).
�ành lþ 9 (�ành lþ Fermat d¤ng 2). Cho a ∈ Z v p nguy¶n tè, khi �â ap = a (mod p).
C¡c �ành lþ n y l h» qu£ cõa �ành lþ Euler.
25 S�T: 096 568 5459
4.3 �çng d÷ tuy¸n t½nh LOISCENTER
C¡c b i to¡n luy»n tªp
B i to¡n 8. Ùng döng �ành lþ Euler - Fermat.
B i to¡n 9. CMR vîi måi n ∈ N t§t c£ c¡c ÷îc sè l´ cõa n2 + 1 �·u câ d¤ng 4k + 1.
B i to¡n 10. CMR n¸u sè nguy¶n n khæng chia h¸t cho 17 th¼ ho°c n8 − 1 ho°c n8 + 1 chiah¸t cho 17.
4.3 �çng d÷ tuy¸n t½nh
Cho a, b l c¡c sè nguy¶n. Biºu thùc �çng d÷:
ax ≡ b (mod m) (1)
�÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ mët bi¸n. Ta ph£i t¼m c¡c gi¡ trà cõa x �º thäa m¢n ph÷ìngtr¼nh. Chó þ r¬ng n¸u x1 l nghi»m cõa (1) v x1 ≡ x2(modm) th¼ x2 công l nghi»m. B i to¡nquay v· t¼m nhúng lîp �çng d÷ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1). Sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l sèlîp �çng d÷ kh¡c nhau thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1).
�ành lþ 10. �i·u ki»n c¦n v �õ �º ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ ax ≡ b (mod m) câ líi gi£i l (a,m) | b thäa m¢n. N¸u ph÷ìng tr¼nh câ líi gi£i th¼ sè líi gi£i b¬ng (a,m).
�ành lþ 11. N¸u (a,m) = 1 th¼ ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ ax ≡ b (mod m) câ nghi»m v câ mëtnghi»m duy nh§t l lîp �çng d÷ x0 = aϕ(m)−1b (mod m).
4.4 Mèi quan h» giúa �çng d÷ thùc tuy¸n t½nh v ph÷ìng tr¼nhDiophant
Chóng ta s³ ch¿ ra mèi quan h» mªt thi¸t cõa c¡c d¤ng ph÷ìng tr¼nh n y. Gi£ sû x0 l nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ ax ≡ b (mod m), khi �â ta câ m | b− ax0, do �â tçn t¤i sè nguy¶ny0 sao cho my0 = b− ax0, tø �â suy ra:
ax0 +my0 = b (2)
�¥y ch½nh l ph÷ìng tr¼nh Diophant vîi c¡c h» sè a,m, b v bë nghi»m (x0, y0) t÷ìng ùng.N¸u ta suy luªn ng÷ñc th¼ công th§y ngay tø ph÷ìng tr¼nh Diophat (2) ta nhªn �÷ñc líi gi£icõa �çng d÷ ax0 ≡ b (mod m).Nh÷ vªy vi»c gi£i b i to¡n ph÷ìng tr¼nh Diophant v ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ l t÷ìng �÷ìng v còng ph÷ìng ph¡p gi£i.
4.5 H» �çng d÷ tuy¸n t½nh, �ành lþ �çng d÷ Trung Hoa
Cho n ∈ N+, ai, bi ∈ Z(1 ≤ i ≤ n). H» �çng d÷:
a1x ≡ b1 (mod m1)
a2x ≡ b2 (mod m2)
...... (3)
anx ≡ bn (mod mn)
26 S�T: 096 568 5459
4.5 H» �çng d÷ tuy¸n t½nh, �ành lþ �çng d÷ Trung Hoa LOISCENTER
câ nghi»m nguy¶n �çng thíi (simultaneously solved) l x0 n¸u nâ thäa m¢n t§t c£ c¡c ph÷ìngtr¼nh �çng d÷ cõa (3).Hiºn nhi¶n mët h» �çng d÷ câ nghi»m �çng thíi n¸u méi ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ b£n th¥n nâcông gi£i �÷ñc. C¥u häi �°t ra l �i·u ki»n c¦n câ �õ khæng? Gi£ sû méi �çng d÷ �·u gi£i �÷ñcv câ h» nghi»m l c1, c2, ..., cn. N¸u ta ch¿ �÷ñc ra r¬ng tçn t¤i mët sè nguy¶n x sao cho:
x ≡ c1 (mod m1)
xequivc2 (mod m2)
....... (4)
x ≡ cn (mod mn)
Ch¿ khi �â ta mîi câ thº kh¯ng �ành �÷ñc r¬ng h» �çng d÷ câ líi gi£i �çng thíi.V½ dö:
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 3 (mod 4)
Méi �çng d÷ câ líi gi£i nh÷ng to n h» th¼ khæng câ.
�ành lþ 12. 1) H» �çng d÷
x ≡ c1 (mod m1)
x ≡ c2 (mod m2) (5)
Câ líi gi£i �çng thíi khi v ch¿ khi (m1,m2) | (c1 − c2).
2) N¸u h» câ líi gi£i th¼ líi gi£i t¤o th nh mët lîp �çng d÷ modulo [m1,m2].
�ành lþ 13. H» �çng d÷:
x ≡ c1 (mod m1)
x ≡ c2 (mod m2)
....... (6)
Câ líi gi£i �çng khp khi v ch¿ khi (mi,mj) | (ci − cj) thäa m¢n vîi t§t c£ c¡c c°p sè 1 ≤ i ≤j ≤ n.
�ành lþ 14 (�ành lþ H» th°ng d÷ Trung Hoa). X²t h» �çng d÷ (1) cho (ai,mi) = 1 (i =1, 2, ..., n).V cho (mi,mj) = 1 (i 6= j, i, j = 1, 2, ..., n).Khi �â h» �çng d÷ (1) câ líi gi£i l duy nh§t mët lîp �çng d÷ modulo m, trong �â m =m1 ·m2 · ... ·mn.
Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c �çng d÷ modulo l c¡c hñp sè.
�ành lþ th°ng d÷ Trung Hoa mð �÷íng cho c¡ch gi£i c¡c �çng d÷ modulo l c¡c hñp sè b¬ng vi»cd¨n v· gi£i nhúng �çng d÷ modulo lôy thøa câ sè nguy¶n tè. Gi£ sû m = p− 1s1 · p2s2 · ... · pnsnl ph¥n t½ch chu©n tc cõa m ra thøa sè nguy¶n tè. Vi»c gi£i ph÷ìng tr¼nh:
f(x) ≡ 0 (mod m) (7)
27 S�T: 096 568 5459
4.6 Gi£i ph÷ìng tr¼nh LOISCENTER
t÷ìng �÷ìng vîi gi£i h» �çng d÷:
f(x) ≡ 0 (mod ps11 )
f(x) ≡ 0 (mod ps22 )
....... (8)
f(x) ≡ 0 (mod psnn )
v t¼m nghi»m �çng d÷ cho h» ph÷ìng tr¼nh �çng d÷ n y.
4.6 Gi£i ph÷ìng tr¼nh
171. Ch¿ ra r¬ng c¡c ph÷ìng tr¼nh sau khæng câ nghi»m trong mi·n sè nguy¶n d÷ìng.
a) a2 + b2 + c2 = 73
b) a3 + b3 + c3 = 1993
c) 5n + 11n = 12n
d) a2 − 2ab+ 2b2 − 4b3 = 0
e)1
a2+
1
ab+
1
b2= 1
172. Gi£i PT trong mi·n sè nguy¶n
a) x3 − 5x2 + 8x− 6 = 0
b) a3 + (a+ 1)3 = (a+ 2)3
c) a2 − ab+ b2 = a+ b
d) abc = ab+ bc+ ca (a, b, c > 0)
e) ac+ bc+ ca+ 2 = 2abc (a, b, c > 0)
173. CMR 1994 v 1995 �·u khæng thº l delta cõa ph÷ìng tr¼nh h» sè nguy¶n bªc hai ax2 +bx+ c = 0. Cán 1996 th¼ sao?
174. H¢y ch¿ ra r¬ng n¸u a, b, c l c¡c sè nguy¶n khæng ¥m sao cho 28a+ 30b+ 31c = 365, th¼ph÷ìng tr¼nh a+ b+ c = 12 gi£i �÷ñc.
175. Ch¿ ra r¬ng ph÷ìng tr¼nh |x|+ |2x|+ |4x|+ |8x|+ |16x|+ |32x| = 12345 khæng câ nghi»mnguy¶n.
176. Ph÷ìng tr¼nh x2 + 3xy − 2y2 = 122 câ líi gi£i trong mi·n sè nguy¶n hay khæng?
177. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n:{a+ b+ c = 7
a3 + b3 + c3 = 1
178. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n:{a+ b+ c = 31
a2 + b2 + c2 = 325
28 S�T: 096 568 5459
4.6 Gi£i ph÷ìng tr¼nh LOISCENTER
179. CMR ph÷ìng tr¼nh a2+b2 = c2 câ nhi·u væ còng nghi»m kh¡c nhau trong mi·n sè nguy¶nv (a, b, c) = 1.
180. CMR ph÷ìng tr¼nh a2+b2 = c3 câ nhi·u væ còng nghi»m kh¡c nhau trong mi·n sè nguy¶nv (a, b, c) = 1.
181. CMR ph÷ìng tr¼nh a2+b2 = c4 câ nhi·u væ còng nghi»m kh¡c nhau trong mi·n sè nguy¶nv (a, b, c) = 1.
182. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 = 2b2 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
183. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 = 7b2 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
184. CMR ph÷ìng tr¼nh 6(a2 + b2) = c2 + d2 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
185. CMR ph÷ìng tr¼nh 7(a2 + b2) = c2 + d2 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
186. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 + b2 = 3c2 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
187. CMR ph÷ìng tr¼nh a3 + 3b3 + 9c3 = 9abc khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
188. CMR ph÷ìng tr¼nh a3 − 2b3 − 4c3 = 0 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
189. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 + b2 + c2 = a2b2 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
190. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 + b2 + c2 = 2abc khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
191. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 + b2 + c2 + d2 = 2abcd khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sènguy¶n.
192. CMR ph÷ìng tr¼nh a4 + b4 = c4 khæng câ nghi»m kh¡c 0 trong mi·n sè nguy¶n.
193. CMR ph÷ìng tr¼nh a2 + b2 + c2 + a+ b+ c = 1 khæng câ nghi»m trong mi·n sè húu t¿.
194. Ph÷ìng tr¼nh a2 + ab+ b2 = 2 câ nghi»m hay khæng trong mi·n sè húu t¿?
195. T¼m nghi»m nguy¶n cõa ph÷ìng tr¼nh 11x+ 18y = 102.
196. T¼m c¡c sè nguy¶n d÷ìng n sao cho x = 2n + 2003 v y = 3n + 2005 l nhúng sè ch½nhph÷ìng.
197. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n: y2 − x(x− 2)(x2 − 2x+ 2) = 0.
198. T¼m x, y nguy¶n thäa m¢n: x2 + x+ 1 = y2.
199. Ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n: x2 − 3y2 + 2xy − 2x+ 6y − 4 = 0.
200. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n: 3(x2 + xy + y2) = x+ 8y.
201. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà cõa a (a l sè thüc) sao cho ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m nguy¶n:
2x2 − (4a+11
2)x+ 4a2 + 7 = 0.
202. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n: x+ y + z = xyz.
203. T¼m t§t c£ c¡c tam gi¡c vuæng câ c¤nh l c¡c sè nguy¶n v sè �o di»n t½ch b¬ng sè �ochu vi.
204. T¼m t§t c£ c¡c h¼nh chú nhªt câ c¤nh l c¡c sè nguy¶n sao cho sè �o di»n t½ch b¬ng sè�o chu vi.
205. T¼m t§t c£ c¡c tam gi¡c vuæng câ �ë d i c¡c c¤nh l c¡c sè nguy¶n sao cho 2 l¦n sè �odi»n t½ch b¬ng 3 l¦n sè �o chu vi.
206. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m nguy¶n: 1 + x+ x2 + x3 + x4 = y2.
29 S�T: 096 568 5459
4.7 Têng hñp LOISCENTER
4.7 Têng hñp
Kummer mët nh to¡n håc danh ti¸ng câ nhi·u k¸t qu£ s¥u sc trong lþ thuy¸t sè, nh÷ngh¼nh nh÷ trong t½nh to¡n nh©m câ v§n �·. Ng÷íi ta th÷íng hay kº mët chuy»n v· t i t½nh nh©mxu§t sc cõa æng.Mët hæm trong gií gi£ng, æng ph£i nh¥n 7 vîi 9. . . . n o xem 7 nh¥n 9 l . . . .− S¡u m÷ìi mèt. Mët håc sinh vëi nhc æng.− T§t nhi¶n! V Kummer vi¸t 61 l¶n b£ng.− Khæng ph£i s¡u mèt - mët håc sinh kh¡c l¶n ti¸ng - m l s¡u m÷ìi ch½n.− Tø tø �¢ c¡c anh b¤n - tø tø chót ! Kummer l©m nh©m - khæng thº c£ hai k¸t qu£ th¼ rã rçiv sè nay ho°c sè kia . . . . Hmm k¸t qu£ khæng thº l 61 v¼ 61 l nguy¶n tè, 65 th¼ chia h¸t cho5, 67 công khæng thº v¼ nguy¶n tè, 69 th¼ nhi·u qu¡, vªy ch¿ cán mët sè l 63. K¸t qu£ l 63.
207. Hai cªu håc sinh nâi vîi nhau.A: �Tî �¢ khê h¤nh 11 n«m trong nh tr´ v m¨u gi¡o. �i tr÷íng th¼ th§m tho¡t �¢ c£ 12 n«mv con ph£i khê £i 10 n«m mîi �¸n lóc tho¡t khäi váng håc tªp�.B: �Tî công �¢ 102 tuêi nh÷ b¤n!�Häi hai b¤n håc sinh bao nhi¶u tuêi, c¡c b¤n �ang trong cì sè m§y?
208. Gi£i ph÷ìng tr¼nh nghi»m x, y nguy¶n d÷ìng:
a)1
x+
1
y=
1
7
b)1
x+
1
y=
1
10c) T¼m a, b nguy¶n (khæng nh§t thi¸t d÷ìng) sao cho
1
x+
1
y=
3
7.
209. Nh vua Szultan câ 143 ng÷íi vñ. V÷ìng tri·u cõa æng ta ch¿ trà v¼ khæng qu¡ 1000 ng y.Trong thíi gian trà v¼ nh vua thu thu¸ cõa qu¦n th¦n. Ng y �¦u ti¶n Vua thu �÷ñc 144 thäiv ng. C¡c ng y sau thu nhi·u hìn hæm tr÷îc 1 thäi v ng. Sau mët thíi gian Vua ch¸t. Sè ti·nthu¸ thu �÷ñc c¡c b vñ chia �·u �÷ñc cho nhau. Häi Vua �¢ thèng trà �÷ñc bao nhi¶u ng y?
210. Câ bao nhi¶u c¡ch vi¸t c¡c sè:
a) 12 b) 1989
Th nh têng cõa c¡c sè nguy¶n d÷ìng li¶n ti¸p nhau?
211. Tr÷íng tê chùc cuëc thi cí vua. Lîp b£y câ 2 håc sinh, lîp 8 câ mët sè b¤n tham gia.Méi ng÷íi g°p méi ng÷íi kh¡c mët l¦n. Cuèi gi£i hai b¤n lîp 7 �÷ñc têng cëng 8 �iºm. C¡cb¤n lîp 8 �÷ñc b¬ng �iºm nhau. (Méi trªn thng 1 �iºm, trªn háa nûa �iºm). Häi câ bao nhi¶uhåc sinh lîp 8 tham dü?
212. C¡c ph²p t½nh sau:
2 + 1 = 3 2 · 3 + 1 = 7 2 · 3 · 5 + 1 = 31.
�·u cho k¸t qu£ l sè nguy¶n tè. Häi t½ch cõa n sè nguy¶n tè �¦u ti¶n cëng th¶m mët �ìnvà câ luæn cho k¸t qu£ l sè nguy¶n tè hay khæng?
213. Câ 10 sè nguy¶n tè nhä hìn 300 lªp th nh mët c§p sè cëng. C¡c sè n y l sè n o?
30 S�T: 096 568 5459
4.7 Têng hñp LOISCENTER
214. H¢y ch¿ ra r¬ng måi c§p sè cëng nguy¶n d÷ìng d i væ còng �·u chùa væ h¤n c¡c sè húut¿.
215. CMR tø 5 sè nguy¶n d÷ìng li¶n ti¸p b§t k¼ luæn �÷ñc mët sè nguy¶n tè còng nhau vîi 4sè cán l¤i.
216. T¼m 10 sè nhä nh§t li¶n ti¸p nhau m khæng câ sè n o l nguy¶n tè.
217. H¢y cho mët c§p sè cëng câ 10 h¤ng tû �·u l sè nguy¶n tè.
218. Sè thªp ph¥n �÷ñc t¤o th nh b¬ng c¡ch sau d§u ph£y vi¸t c¤nh nhau li¶n ti¸p c¡c sèch½nh:
01491625366481 . . . ..
Häi:
a) Chú sè thù 100 v chú sè thù 1000 sau d§u ph©y l bao nhi¶u?
b) Sè tr¶n câ tu¦n ho n khæng?
219. Vîi nhúng gi¡ trà n o cõa n th¼√n væ t¿.
220. C¡c sè sau sè n o húu t¿, sè n o væ t¿? T¤i sao?
a) 2√3
b)√2 +√3
c)√196
d) 3√2
221. CMR tø 6 sè væ t¿ luæn chån �÷ñc 3 sè sao cho têng hai sè b§t k¼ cõa chóng l væ t¿.
222. M»nh �· sau �¥y câ �óng khæng: N¸u tø:
a) 7 b) 5 c) 4
sè væ t¿ luæn chån �÷ñc 3 sè sao cho têng hai sè b§t k¼ cõa chóng l væ t¿?
223. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n tè câ ba chú sè m t½ch cõa c¡c chú sè cõa nâ b¬ng 10.
224. Trong b¼nh k½n câ 67 vi¶n bi trng v �ä. Giúa chóng câ lo¤i to v nhä. Bi¸t r¬ng:
− Sè bi �ä chia h¸t cho 5;
− Sè bi lîn m u �ä b¬ng sè bi trng;
− Sè bi trng nhä câ ½t nh§t;
− Sè l÷ñng cõa c¡c lo¤i bi �·u l sè nguy¶n tè.
Méi lo¤i câ bao nhi¶u vi¶n bi trong b¼nh?
225. Gi£i ph÷ìng tr¼nh trong mi·n sè nguy¶n tè: 2x+ 3y + 6z = 78.
226. B¤n h¢y ct mët �a gi¡c �·u câ sè c¤nh ½t nh§t, m khi quay nâ quanh t¥m vîi mët gâc22, 50 ta nhªn �÷ñc �a gi¡c ban �¦u.
31 S�T: 096 568 5459
4.7 Têng hñp LOISCENTER
227. Ng÷íi ta tr£ 7800 VN� b¬ng c¡c tí gi§y b¤c m»nh gi¡ 1000, 500 v 100 VN�. Bi¸t r¬ngsè tí 500 v 100 l b¬ng nhau. Häi ng÷íi ta �¢ tr£ bao nhi·u tí gi§y b¤c?
228. Têng cõa hai sè tü nhi¶n b¬ng 13574. Mët sè trong chóng chia h¸t cho 10. N¸u bä chú sè0 tªn còng cõa sè n y ta nhªn �÷ñc sè kia. Hai sè n y l sè n o?
229. Tçn t¤i bao nhi¶u tam gi¡c − khæng tròng kh½t l¶n nhau − bi¸t r¬ng hai c¤nh cõa chóngb¬ng 21cm v 27cm, c¤nh thù ba − �o theo cm − l mët sè chia h¸t cho 3, sè �o chu vi cõatam gi¡c l mët sè chia h¸t cho 7. Häi �ë d i cõa c¤nh thù 3?
230. C¡c em håc sinh chìi mët trá chìi hå �ùng th nh váng trán. A bt �¦u trá chìi. V ti¸p�â, méi ng÷íi truy·n bâng cho ng÷íi b¶n c¤nh tay tr¡i m¼nh cho �¸n khi bâng quay l¤i chéb¤n A. Sau �â t§t c£ måi ng÷íi n²m bâng cho ng÷íi �ùng thù hai b¶n tr¡i m¼nh cho �¸n khibâng quay l¤i ph½a b¤n A v cù ti¸p töc nh÷ vªy. Ng÷íi n o khæng nhªn �÷ñc bâng khi bângquay v· vîi b¤n A th¼ s³ bà lo¤i. Sè ng÷íi chìi ½t hìn 20. Häi hå câ bao nhi¶u ng÷íi n¸u chóngta bi¸t r¬ng khæng câ ai bà lo¤i?
231. Sè nguy¶n tè nhä nh§t n o câ thº t¤o th nh tø têng cõa 2 sè, 3 sè, 4 sè v 5 sè nguy¶ntè kh¡c nhau kh¡c?
232. T¼m c¡c sè nguy¶n tè p v q sao cho p(q − 1) v p(q + 1) công l sè nguy¶n tè.
233. Trong mët hëp câ 103 vi¶n säi. A v B còng chìi. Hå thay nhau l§y tø trong hëp ½t nh§tmët vi¶n v nhi·u nh§t l 10 vi¶n. Khi hëp h¸t säi, c£ hai còng �¸m xem méi ng÷íi l§y ra baonhi¶u vi¶n säi cho m¼nh. N¸u hai sè l nguy¶n tè còng nhau th¼ A thng. A l ng÷íi chìi �¦uti¶n. Häi A câ chi¸n thuªt n o �º m¼nh luæn luæn thng?
234. Ph¥n t½ch 55555 v 777777 th nh t½ch cõa hai sè câ 3 chú sè.
235. Ð v÷ìng quèc ký l¤ con rçng xanh khêng lç câ 100 �¦u. Ng÷íi tr¡ng s¾ câ mët thanhg÷ìm th¦n méi mët nh¡t ch²m th¼ câ thº l m röng ho°c 33, ho°c 21, ho°c 17 �¦u rçng theo ymuèn. Th¸ nh÷ng trong tr÷íng hñp �¦u ti¶n th¼ 18 �¦u l¤i måc ra, tr÷íng hñp thù hai 36 �¦umåc th¶m, tr÷íng hñp thù ba l 14 �¦u måc th¶m. N¸u t§t c£ c¡c �¦u cõa rçng bà röng th¼khæng cán �¦u n o måc l¤i �÷ñc. Häi tr ng dông s¾ câ thng �÷ñc rçng �¦u xanh khæng?
236. Ng÷íi ta ghi c¡c sè 1 �¸n 100 v o c¡c æ cõa b£ng 10 × 10 theo thù tü t«ng d¦n tø tr¡isang ph£i, tø tr¶n xuèng d÷îi. CMR n¸u l§y b§t k¼ mët b£ng 7× 7 n o, th¼ têng c¡c sè trongb£ng l§y ra luæn chia h¸t cho 49.
237. Ng÷íi ta ghi c¡c sè 0 �¸n 99 v o c¡c æ cõa b£ng 10 × 10 theo thù tü t«ng d¦n tø tr¡isang ph£i, tø tr¶n xuèng d÷îi. Sau �â ng÷íi ta �°t v o b£ng 10 qu¥n cí theo quy tc c¡c conxe khæng thº «n �÷ñc nhau. L§y têng c¡c chú sè bà che l§p bði c¡c qu¥n cí, CMR têng n yluæn chia h¸t cho 5 v 9.
238.
a) 100 tò nh¥n �÷ñc nhèt trong 100 buçng giam �÷ñc �¡nh sè tø 1 �¸n 100. Mët hæm caingöc say r÷ñu �i mët váng tø 1 �¸n 100 v mð t§t c£ c¡c cûa. Mët lóc sau cai ngöc l¤i�i mët váng v �âng h¸t t§t c£ cûa chia h¸t cho 2. V cù th¸ �¸n l÷ñt thù k ð nhúngc¡nh cûa chia h¸t cho k cai ngöc v°n ng÷ñc khâa tø �âng sang mð v tø mð sang �âng.L m nh÷ vªy �¸n l¦n thù 100. Rçi sau �â th£ h¸t tò nh¥n n o câ c¡nh cûa cán �÷ñc mð.Nhúng cûa n o �÷ñc mð sau l¦n cuèi còng?
32 S�T: 096 568 5459
4.7 Têng hñp LOISCENTER
b) Hæm sau cai ngöc l¤i chìi trá tinh vi hìn, công �i v°n ê khâa nh÷ l¦n tr÷îc, ch¿ kh¡cl �¸n l¦n thù k th¼ �i �¸n nhúng cûa chia h¸t cho k, méi ê v°n k l¦n. Häi vîi c¡ch n ynhúng tò nh¥n n o �÷ñc th£?
239. Mët sè câ 100 ÷îc sè. N¸u �em c£ tr«m ÷îc sè �â nh¥n vîi nhau ta nhªn �÷ñc k¸t qu£n o?
240. Ng÷íi ta l§y têng cõa c¡c ÷îc sè d÷ìng cõa mët sè nguy¶n d÷ìng rçi �em chia cho têngnghàch �£o cõa c¡c sè n y. Häi k¸t qu£ nhªn �÷ñc th¸ n o?
241. 100! câ sè tªn còng kh¡c 0 l sè n o?
242. H¢y �i·n v o b£ng 3× 3 ch½n sè nguy¶n d÷ìng kh¡c nhau sao cho t½ch c¡c sè trong méih ng v méi cët bng 270.
243. Thuy·n tr÷ðng câ c£ con trai v con g¡i. T½ch cõa tuêi æng ta, chi·u d i cõa t¦u theo mv sè con c¡i cõa æng ta l 32118. Häi thuy·n tr÷ðng bao nhi¶u tuêi?
244. Mët sè gåi l sè ho n h£o n¸u nâ b¬ng têng c¡c ÷îc sè nhä hìn nâ. V½ dö 6 = 1 + 2 + 3.T¼m t§t c£ c¡c sè ho n h£o nhä hìn 100.
33 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
5 Sè håc �¤i sè
245. B¤n h¢y l§y mët que di¶m sao cho biºu thùc t«ng gi¡ trà. B¤n l§y que di¶m n o? H¢y t¼mt§t c£ c¡c líi gi£i.
a) XIX − (XII − V III)
b)XXII
V II+IX
IV
c)XII
XII− V II
V I
d)XV I
XXI−(V II
V I− XIX
V III
)246. Ng÷íi ta ct b¡nh ga-tæ ( h¼nh trán) thanh c¡c mi¸ng h¼nh d´ qu¤t t½nh tø t¥m. H¢y t¼mc¡ch chia �·u b¬ng sè nh¡t ct ½t nh§t:
a) 5 b¡nh ga-tæ cho 6 ng÷íi.
b) 7 b¡nh ga-tæ cho 12 ng÷íi.
247. Sè n o lîn hìn v t¤i sao:22222222221
22222222223v
33333333331
33333333334?
248. Ph¥n sè n o lîn hìn:102004 + 1
102005 + 1v
102005 + 1
102006 + 1?
249. Anh mua hai quyºn s¡ch. Sau �â Anh b¡n l¤i hai quyºn s¡ch �â vîi còng mët gi¡. Mëtquyºn lé 20%, mët quyºn l¢i 20%, do �â têng thº Anh lé 5000 NV�. Häi Anh mua gi¡ baonhi¶u v b¡n gi¡ bao nhi¶u?
250. Mët vi¶n g¤ch k½ch th÷îc l c¡c sè nguy¶n (cm), di»n t½ch b· m°t l 340 cm2. T� l» c¡cc¤nh l 4 : 5 : 8. T½nh thº t½ch cõa vi¶n g¤ch.
251. Ng÷íi ta vi¸t v i sè �¦u ti¶n cõa d¢y sè:
1
2;1 + 3
2 + 4;1 + 3 + 5
2 + 4 + 6; ....
D¢y sè �÷ñc vi¸t theo quy luªt: sè thù n câ tû sè l têng cõa n sè l´ �¦u ti¶n, m¨u sè l têngcõa n sè ch®n �¦u ti¶n. Häi sè thù 100 l bao nhi¶u?
252. Câ bao nhi¶u khuy¶n trán trong h¼nh thù 100 (h¼nh v³)?
34 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
253. B¤n h¢y ngh¾ mët sè, cëng sè �â vîi 3, l§y k¸t qu£ nh¥n vîi 4, cëng vîi sè b¤n ngh¾, trø�i 2, l§y sè nhªn �÷ñc chia cho 5, �em th÷ìng trø �i sè b¤n ngh¾. K¸t qu£ s³ l 2, câ �óngkhæng?T¤i sao câ thº bi¸t tr÷îc k¸t qu£ n y?
254. Ta �· nghà mët ng÷íi n o �â h¢y ngh¾ mët sè câ sè chú sè tòy þ, sau �â h¢y t½nh têngc¡c chú sè cõa sè �â, rçi trø sè t½nh �÷ñc tø sè �¢ ngh¾ ra. Tø sè vøa nhªn �÷ñc ta xâa mëtchú sè kh¡c 0, sau �â cho måi ng÷íi bi¸t têng c¡c chú sè cõa sè cán l¤i. Tø �¥y ta câ thº �o¡nsè bà xâa l sè n o? T¤i sao?
255. Câ thº dòng 7 æ tæ trång t£i 2 t§n chð 50 t£ng �¡ câ khèi l÷ñng 250, 251, 252, . . . , 299 kg?(C¡c t£ng �¡ khæng �÷ñc l m vï, méi æ tæ ch¿ �÷ñc sû döng mët l¦n khæng �÷ñc ch§t qu¡ 2t§n h ng).
256. �i·n c¡c sè tü nhi¶n tø 3 �¸n 9 v o c¡c váng trán cán trèng sao cho tr¶n méi tia b¡nk½nh v tr¶n méi �÷íng trán têng c¡c sè l b¬ng nhau?
257. H¢y ghi c¡c sè:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 b) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
V o c¡c æ trong b£ng 3×3 sao cho têng c¡c sè trong méi h ng, méi cët v trong tøng �÷íngch²o câ gi¡ trà b¬ng nhau.
258. B£ng æ vuæng 3× 3 th¦n b½ câ sè b½ hiºm l B. (Têng c¡c sè trong méi h ng, méi cët câgi¡ trà b¬ng B). H¢y x¡c �ành gi¡ trà ð giúa cõa b£ng n y.
259. H¢y ghi ti¸p c¡c sè v o æ trèng trong c¡c b£ng æ vuæng th¦n b½ sau:
260. Câ thº x¸p 9 sè sau v o b£ng th¦n b½ �÷ñc khæng?
a) 1, 3, 6, 11, 17, 42, 57, 58, 70.
b) 0, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
261. Câ thº �i·n v o ba æ trèng n o �â 3 sè cõa b£ng 3 × 3 sao cho câ thº câ nhi·u c¡ch �ºt¤o n¶n b£ng æ vuæng th¦n k¼ kh¡c nhau?
35 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
262. H¢y �i·n c¡c sè 1, 2, 3, . . . , 8 v o c¡c æ trèng trong h¼nh v³ sao cho têng c¡c sè tr¶nméi �÷íng trán b¬ng nhau?
263. Mët b£ng æ vuæng 3× 3 ng÷íi ta vi¸t mët sè n o �â tø c¡c sè 7, 8, 9. Câ thº t¤o �÷ñcnh÷ vªy mët b£ng sè sao cho têng c¡c sè trong méi h ng, méi cët v c¡c �÷íng ch²o câ gi¡ tràkh¡c nhau?
264. X¸p c¡c sè 2, 5; 3, 2; 3, 9; 4, 6; 5, 3 v 6 v o c¡c æ trong h¼nh v³ sao cho têng c¡c sè tr¶nméi c¤nh cõa h¼nh vuæng câ gi¡ trà b¬ng nhau.
265. H¢y ghi c¡c sè nguy¶n nhä hìn 13 v o c¡c æ trèng trong h¼nh v³ sao cho têng c¡c sè tr¶nméi c¤nh cõa h¼nh vuæng b¬ng 22.
266. H¢y ghi c¡c sè tø 1, 2, ..., 9 v o c¡c æ trèng trong h¼nh sao cho têng cõa bèn sè tr¶n méic¤nh câ gi¡ trà . . .
a) b¬ng 20 b) b¬ng nhau v lîn nh§t.
36 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
267. Ghi 9 sè nguy¶n d÷ìng kh¡c nhau v o c¡c æ cõa b£ng sè 3× 3 sao cho t½ch c¡c sè trongméi cët ho°c méi h ng b¬ng nhau.
268. Trong b£ng sè 4 × 4 câ 16 sè. B£ng sè d÷îi �¥y nhªn �÷ñc tø b£ng �¦u ti¶n b¬ng c¡chméi b÷îc �i còng mët lóc ng÷íi ta thay c¡c sè b¬ng trung b¼nh cõa 6 sè �ùng trong còng h nghay còng cët cõa sè ban �¦u.
Häi b£ng �¦u ti¶n �÷ñc ghi nh÷ th¸ n o?
269. Trong mët b£ng b½ hiºm 3 × 3, ng÷íi ta kh¯ng �ành: têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c sè dángtr¶n còng luæn b¬ng têng b¼nh ph÷ìng cõa c¡c sè ð dáng cuèi còng. Kh¯ng �ành n y �óng haysai?
270. Ng÷íi ta ghi c¡c sè v o 16 æ cõa b£ng 4 × 4.Bi¸t r¬ng têng c¡c sè trong méi b£ng con3× 3 �·u ¥m. Tø �¥y câ thº suy ra têng cõa c£ 16 sè l sæ ¥m khæng?
271. Mët khèi lªp ph÷ìng c¤nh 10 cm. Ng÷íi ta d¡n l¶n ch½nh giúa méi m°t mët khèi lªpph÷ìng con c¤nh 5 cm, Sau �â sìn t§t c£ c¡c m°t cõa h¼nh khèi vøa nhªn �÷ñc. Hêi di»n t½chbà sìn l bao nhi¶u?
272. Trong mët tam gi¡c câ mët gâc b¬ng ba l¦n mët gâc kh¡c. CMR câ thº chia tam gi¡c �¢cho th nh hai tam gi¡c c¥n.
273. Trung b¼nh cëng cõa 3 sè l 22. Trong ba sè �â câ mët sè lîn hìn 3 v mët sè lîn hìn61. Häi sè thù ba câ thº l bao nhi¶u?
274. Lªp ph÷ìng cõa mët sè nhä hìn b¼nh ph÷ìng cõa ch½nh nâ, m÷íi l¦n cõa nâ lîn hìn 5.Häi sè �â câ thº l bao nhi¶u?
275. Mët nh th÷ìng gia bä ra 100 quan ti¶n mua bá, cøu, v thä, têng cëng 100 con. Gi¡ cõamët con bá l 10 quan, mët con cøu l 3 quan v mët con thä l 1 quan ti·n v ng. Häi méilo¤i câ bao nhi¶u con?
37 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
276. �i·n c¡c sè th½ch hñp v o ché trèng �º nhªn �÷ñc mët ph²p nh¥n �óng:
277. Trong ph²p t½nh sau c¡c chú c¡i gièng nhau l c¡c chú sè gièng nhau, c¡c chú c¡i kh¡cnhau l c¡c chú sè kh¡c nhau. Thay c¡c chú c¡i b¬ng c¡c chú sè �º �÷ñc ph²p t½nh �óng.
278. Trong mët buêi d¤ hëi câ 20 ng÷íi tham gia khi¶u vô. B¤n nú A khi¶u vô vîi 7 b¤n nam,b¤n nú B khi¶u vô vîi 8 b¤n nam, b¤n nú C khi¶u vô vîi 9 b¤n nam v cù ti¸p töc nh÷ th¸�¸n b¤n nú cuèi còng. Häi câ bao nhi¶u b¤n nam tham gia?
279. Mët � n cøu g°m cä tr¶n c¡nh �çng. N¸u sè cøu t«ng l¶n g§p �æi, rçi th¶m mët nûa l¤ith¶m mët ph¦n t÷ so vîi sè ban �¦u v th¶m 1 con th¼ ch®n 100 con. Häi � n cøu câ bao nhi¶ucon?
280.
a) Câ tçn t¤i hay khæng mët sè câ ba chú sè sao cho n¸u vi¸t sè �â 2 l¦n c¤nh nhau s³ nhªn�÷ñc mët sè câ 6 chú sè v chia h¸t cho 13.
b) Câ tçn t¤i hay khæng mët sè câ ba chú sè sao cho n¸u vi¸t sè �â 2 l¦n c¤nh nhau s³ nhªn�÷ñc mët sè câ 6 chú sè v khæng chia h¸t cho 13.
281. Sè câ bèn chú sè n o m gi¡ trà cõa sè h ng ngang l 2, n¸u chuyºn sè n y v· ph½a cuèih ng th¼ nhªn �÷ñc mët sè nhä hìn ba l¦n sè cô 27 �ìn và.
282. Mët ng÷íi �i xe khði h nh tø th nh phè A lóc 8 gií s¡ng. Mët lóc sau mët ng÷íi b¤n �ivîi vªn tèc lîn hìn vªn tèc ng÷íi �i tr÷îc 20 km/h v �¸n 10h30 th¼ �uêi kàp b¤n anh ta. Häikhi n o hå c¡ch nhau 5 km?
283. P v M nhªn qu socola. P �÷ñc 2 hëp v 2 thanh,M �÷ñc 1 hëp v 11 thanh. Häi trongméi hëp câ bao nhi¶u thanh socola n¸u méi ng÷íi câ sè socola b¬ng nhau.
284. H¢y t÷ðng t÷ñng mët chi¸c �çng hç kim.
a) Sau lóc 12 gií khi n o c£ 2 kim ð còng và tr½ l¦n �¦u?
b) Khi n o hai kim l¦n �¦u t¤o vîi nhau gâc 720?
285. Sau 12 gií tr÷a, hai kim �çng hç l¦n �¦u khi n o t¤o vîi nhau mët gâc vuæng?
286. Tr¶n mët c¡nh �çng cä måc �·u. N¸u 70 con bá th¼ «n h¸t c£ c¡nh �çng cä trong 24ng y. N¸u 30 con th¼ «n h¸t trong 60 ng y. Häi bao nhi¶u con bá «n h¸t c£ c¡nh �çng cä trong96 ng y?
38 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
287. Câ 2 thòng �üng r÷ñu. Thòng thù nh§t câ 220 l½t, thòng thù hai câ 180 l½t. Gi¡ méi lo¤ikh¡c nhau. N¸u l§y tø méi thòng mët l÷ñng r÷ñu nh÷ nhau v �ê r÷ñu l§y ra tø thòng thùnh§t v o thòng thù hai, tø thòng thù hai v o thòng thù nh§t th¼ gi¡ méi l½t cõa c£ hai thòngs³ l nh÷ nhau. Häi tø méi thòng �¢ l§y ra bao nhi¶u l½t?
288. Ba ng÷íi v o mët qu¡n «n. Hå �°t b¡nh anh � o. Khi chõ qu¡n mang thùc «n ra th¼ c£
ba �·u �¢ ngõ gªt. Nûa gií sau mët ng÷íi t¿nh dªy «n1
3sè b¡nh anh � o rçi ngõ ti¸p. Sau
�â ng÷íi thù hai thùc dªy v khæng bi¸t r¬ng �¢ câ ng÷íi n o �â «n tr÷îc n¶n ng÷íi thù hai
công l m nh÷ ng÷íi thù nh§t, «n1
3sè b¡nh cán l¤i rçi ngõ ti¸p. Ng÷íi thù ba t¿nh dªy công
l m nh÷ th¸. V sau �â tr¶n �¾a cán l¤i 8 b¡nh anh � o. Häi chõ qu¡n �¢ mang ra bao nhi¶ub¡nh anh � o (b¼nh luªn v· b i n y trong b i tªp to¡n lîp 6 tªp 1)?
289. Mët ng÷íi cha ch¸t �i �º l¤i r§t nhi·u ti·n cho c¡c con. Trong di chóc æng ta ph¥n chia
cõa c£i nh÷ sau: ng÷íi con thù nh§t l§y 100 �çng ti·n v ng v 1
10sè ti·n cán l¤i; ng÷íi thù
hai l§y 200 �çng ti·n v ng v 1
10sè ti·n cán l¤i; ng÷íi thù ba l§y 300 �çng ti·n v ng v
1
10sè
ti·n cán l¤i. Cù ti¸p töc nh÷ vªy, cuèi còng c¡c �ùa tr´ nhªn ra r¬ng sè ti·n méi ng÷íi l nh÷nhau. Häi méi ng÷íi �÷ñc nhªn bao nhi¶u �çng ti·n v ng.
290. A v B c¡ch nhau 120 km. Còng mët lóc câ hai ng÷íi �i ng÷ñc chi·u nhau. Ng÷íi �i tøA �¸n B vîi vªn tèc 25 km/gií, ng÷íi �i tø B �¸n A vîi vªn tèc 15 km/gií. Còng lóc �â câmët con ong bay tø A v· ph½a B vîi vªn tèc 100 km/gií. Khi g°p ng÷íi �i tø B nâ l¤i quay l¤ibay v· ph½a A. Cù nh÷ th¸ con ong bay �i bay v· giúa hai ng÷íi vîi vªn tèc khæng �êi v l«nra ch¸t khi hai ng÷íi væ t¼nh �¥m ph£i nhau. Häi chó ong dông c£m �¢ bay �÷ñc bao nhi¶ukm khæng ngh¿?
291. Tø c¡c chú sè 0, 1, 2, . . . ., 9. Méi chú sè �÷ñc sû döng �óng mët l¦n, h¢y vi¸t th nhba sè nguy¶n d÷ìng sao cho sè thù nh§t b¬ng 5 l¦n sè thù hai, sè thù hai b¬ng 3 l¦n sè thù banhä nh§t.
292. Mët sè tü nhi¶n �÷ñc gåi l �th¥n m¸n� n¸u c¡c chú sè cõa nâ chia �÷ñc l m hai nhâmsao cho têng c¡c sè ð nhâm thù nh§t b¬ng têng c¡c sè ð hâm thù hai. V½ dö: 66, 352, 1276 . . . .
a) T¼m hai sè li¶n ti¸p nhä nh§t v c¡c sè �â l �th¥n m¸n�.
b) T¼m ba sè li¶n ti¸p m chóng l c¡c sè �th¥n m¸n�.
293. Tø c¡c sè ch½nh ph÷ìng t¤o th nh sè thªp ph¥n: 0, 149162536 . . .. Häi chú sè n o l chúsè:
a) thù 100 b) thù 1000
294. Tø C �¸n N câ mët con �÷íng d i 2 d°m váng v±o ch¤y tr¶n s÷ín nói. D°m thù nh§tcõa �÷íng l �÷íng �i væ còng khâ l¶n �¿nh nói. Tø �â nûa �o¤n sau l �÷íng xuèng dèc �¸nN . Mët t i x¸ nêi ti¸ng �£m nhªn cæng vi»c �i tr¶n �o¤n �÷íng tø C �¸n N vîi vªn tèc trungb¼nh l 30 km/gií. Trong ph¦n �i l¶n dèc cõa qu¢ng �÷íng v¼ �àa h¼nh qu¡ khâ kh«n, nhúngng÷íi quan s¡t th§y r¬ng anh ta ch¿ �i �÷ñc vîi vªn tèc trung b¼nh 15 km/gií. Th¸ nh÷ng ch¿chªm mët v i gi¥y anh ta v¨n �¸n �÷ñc N . Ng y thù 3 d¥n l ng l m l¹ chæn c§t trành trångcho anh t i x¸ t i ba. Häi t¤i sao anh ta ch¸t?
39 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
295. Tr¶n mët qu¢ng �÷íng mët ng÷íi �i xe �¤p t½nh r¬ng n¸u �i vîi vªn tèc 10 km/gií th¼buêi tr÷a lóc 13 gií s³ �¸n nìi. N¸u �i vîi vªn tèc 15 km/gií th¼ 11 gií tr÷a �¸n nìi. Häi ng÷íi�â ph£i �i vîi vªn tèc bao nhi¶u �º �óng 12 gií �¸n nìi?
296. Chùng minh r¬ng:1
101+
1
102+
1
103+ ....+
1
200>
1
2.
297. T¼m c¡c sè tü nhi¶n n sao cho:1
4<
n
n+ 12<
1
3.
298. T¼m c¡c bë sè tü nhi¶n p, q, r sao cho:1
p+
1
q+
1
r=
1
2.
299. C¡c sè 2, 3, 6 câ t½nh ch§t thó và l têng cõa chóng b¬ng 11; têng nghàch �£o cõa chóng:1
2+
1
3+
1
6= 1.
H¢y vi¸t c¡c sè 24 v 31 sao cho th nh têng c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho têng nghàch �£o cõachóng công b¬ng 1.
300. Mët chi¸c t¦u du làch câ 159 cabin gçm câ 2, 3 v 4 ché. Sè cabin 2 ché nhi·u g§p �æi sècabin 4 ché. To n bë chùa �÷ñc 379 h nh kh¡ch. Häi câ bao nhi¶u cabin méi lo¤i?
301. Mët sè câ ba chú sè bi¸t r¬ng têng c¡c chú sè cõa nâ b¬ng 19, hai chú sè b¶n ngo i gièngnhau n¸u �em chia sè �â cho sè câ hai chú sè nhªn �÷ñc tø hai sè cuèi còng cõa sè n y gh²pl¤i th¼ �÷ñc th÷ìng l 13 v sè d÷ l 16. Häi sè �â l sè n o?
302. Mët lú kh¡ch �i bë 5 h li·n tr¶n mët qu¢ng �÷íng. Lóc �¦u �÷íng b¬ng ph¯ng sau �â l l¶n dèc. Khi l¶n �¸n �¿nh dèc, ng÷íi �â váng trð l¤i v quay v· theo �÷íng cô. Bi¸t r¬ng lóc�i tr¶n �÷íng b¬ng ph¯ng vªn tèc ng÷íi �â l 4 km/h , l¶n dèc l 3 km/h v xuèng dèc l 6km/h. Häi ng÷íi �â �¢ �i bao nhi¶u km?
303. Hai ng÷íi �i ngüa tr¶n mët �÷íng trán. N¸u hå �i ng÷ñc chi·u nhau th¼ sè l¦n g°p nhaug§p 5 l¦n so vîi �i còng chi·u. Häi t¿ l» vªn tèc cõa hå l bao nhi¶u bi¸t r¬ng hå giú �·u tèc�ë tr¶n c£ �÷íng �i?
304. T½ch cõa ba sè li¶n ti¸p b¬ng 16 l¦n têng cõa chóng. C¡c sè n y l c¡c sè n o?
305.
a) T½ch cõa bèn sè li¶n ti¶p b¬ng 3024. Sè nhä nh§t l bao nhi¶u?
b) T½ch cõa ba sè li¶n ti¸p b¬ng 2730. Sè �ùng giúa l bao nhi¶u?
c) T½ch cõa ba sè li¶n ti¸p b¬ng 0. Sè n o lîn nh§t?
d) Gi£i b i to¡n cho tr÷íng hñp thay tø t½ch b¬ng têng.
306. Bèn sè tªn còng cõa b¼nh ph÷ìng cõa mët sè câ tªn còng l 25 câ thº l sè n o?
307. B¼nh ph÷ìng cõa 3421548832 l bao nhi¶u? (Câ thº dòng m¡y t½nh).
308. Gi£i ph÷ìng tr¼nh:
40 S�T: 096 568 5459
LOISCENTER
a) 2x · 5x = 1000
b) 10012 = 1000x
c) 98 : 32x = 81
d) 3x+1 − 6 · 3x−1 − 3x = 9
309. T¼m x n¸u: 3x + 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 =40
3
310. H¢y t½nh têng c¡c chú sè cõa lªp ph÷ìng cõa sè gçm câ 2000 chú sè 9 t¤o th nh?
41 S�T: 096 568 5459
![q]Ý0m*l4mxl4`ó[ S:WßVóÿ `ó[ gY' j!ÿ...N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/61279995a965a5482e5f8607/q0ml4mxl4-swv-gy-j-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n-n.jpg)
