Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Sigma - MATHS
LÍI GIÎI THI�U
Cuèn s¡ch nhä n y �÷ñc nhâm c¡c th nh vi¶n SIGMA-MATHS s÷u t¦m v bi¶n so¤nphöc vö cho cæng ngh» gi¡o döc cõa nhâm.Xu§t ph¡t tø c¡c v§n �· r§t �ìn gi£n ng÷íi håc câ thº nhanh châng l m quen v th¥nthi»n vîi chuy¶n ng nh B§t �¯ng Thùc(B�T), câ c¡i nh¼n tü tin, têng thº tr÷îc c¡c v§n�· v· B�T. Ngay c£ khi ph£i r±n luy»n c¡c kÿ n«ng �º �i thi chóng ta v¨n câ �õ b£nl¾nh �º �¡nh gi¡ vi»c m¼nh �ang ph£i thüc hi»n. V¨n câ thº th§y m¼nh �ang l m to¡n hay�ang l m quen vîi nhúng k¾ n«ng thi cû.Hi vång c¡c gi£ng vi¶n hay c¡c b¤n l¦n �¦u l m quen vîi B�T �·u t¼m th§y nhúng �i·ubê ½ch.S¡ch gçm 4 ph¦n:1. L m quen: Tø c¡c b i tªp �ìn gi£n n¥ng cao d¦n, c¡c gi¡o vi¶n câ th¶m t i li»u gi£ngd¤y t½ch hñp v· �· t i. C¡c b¤n håc sinh câ thº tü thüc hi»n c¡c b i tªp. Cuèi ch÷ìngchóng ta �÷ñc l m quen vîi c¡c B�T nêi ti¸ng ð d¤ng �ìn gi£n nh§t.2. T¼m hiºu B�T (Cho nhúng ng÷íi tá má). Trong möc n y chóng tæi giîi thi»u hai �·t i thó và. �â l �ành lþ sp x¸p v �ành lþ Shapiro. �ành lþ sp x¸p còng chùng minh ch¿v i dáng n y �¢ g¥y b§t ngí. H ng lo¤t c¡c b§t �¯ng thùc danh ti¸ng �÷ñc chùng minhl¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa �ành lþ n y. �¥y công ch½nh l �ëng lüc mð �÷íng choc¡c tr o l÷u mîi. �· t i thù hai l �ành lþ Shapiro. Tø khi ra �íi nh÷ mët gi£ thuy¸t,ph£i sau 45 n«m mîi câ c¥u tr£ líi �¦y �õ cho cho c¥u häi �°t ra. Tr¤ng th¡i �óng saicõa gi£ thuy¸t l¤i g¥y sü chó þ lîn trong t¥m �iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n.3. Ph¦n luy»n tªp: K¸t thóc b¬ng nhúng b i to¡n hay v lþ thó, cuèn s¡ch cung c§pcho c¡c b¤n nhúng k¸t qu£ nêi ti¸ng düa tr¶n c¡c ki¸n thùc vøa l m quen.4. Appendix: Ghi nhanh mët b i gi£ng lþ thó cõa GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu v· B�Tbªc 2 v ùng döng.- Mong b¤n �åc �âng gâp nhúng þ ki¸n quþ gi¡ �º cæng vi»c cõa chóng tæi ng y c ngho n thi»n v phöc vö c¡c b¤n �÷ñc nhi·u hìn.C£m ìn c¡c b¤n!
H Nëi. 09/03/2017
Þ ki¸n xin chuyºn v·:[email protected]@gmail.com
1
MÖC LÖC Sigma - MATHS
Möc löc
1 L m quen vîi b§t �¯ng thùc. 31.1 B§t ph÷ìng tr¼nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè. . . . . . . . . . 41.4 B§t �¯ng thùc trong b§t �¯ng thùc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè. . . . . . . . . . . . . . . 71.6 �ành lþ v· c¡c sp x¸p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 B§t �¯ng thùc tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 B§t �¯ng thùc CBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 B§t �¯ng thùc Jensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 C¡c b i tªp têng hñp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Tr¦m ng¥m trong l¥u � i B§t �¯ng Thùc. 142.1 B§t �¯ng thùc sp x¸p - hay cán gåi l B�T ho¡n và. . . . . . . . . . . . . 142.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m ch÷a thº h¸t. . . . . . . . . . . . . . 18
3 Luy»n tªp 20
3.1 �p döng c¡c B�T nêi ti¸ng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2 B§t �¯ng thùc trong h¼nh håc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Appendix. 234.1 Nhúng b§t �¯ng thùc bªc 2 �kiºu th¦y Mªu� . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Trong c«n h¦m b½ mªt cõa c¡c phò thõy ra �·. . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o? . . . . . . . . . . 25
2
Sigma - MATHS
1 L m quen vîi b§t �¯ng thùc.
1.1 B§t ph÷ìng tr¼nh.
1. Gi£i c¡c b§t ph÷ìng tr¼nh sau:
a,3x+ 5
7− 3x< 4;
b,x2 − 1
x2 + 1<x3 − 1
x3 + 1;
c,√x+ 1−
√x <
1
100.
2. C¡c ph¥n sèa1
b1
,a2
b2
, ...,anbn
câ m¨u sè bi > 0(i=1,2,. . . ,n). CMR gi¡ trà cõa ph¥n sèa1 + a2 + . . .+ anb1 + b2 + . . .+ bn
n¬m giúa gi¡ trà nhä nh§t v lîn nh§t cõa c¡c ph¥n sèaibi
�¢ cho .
3. D¢y sè sau d¢y n o bà ch°n tr¶n, (tùc l tçn t¤i mët sè K sao cho b§t k¼ ph¦n tûn o cõa d¢y �·u câ gi¡ trà khæng v÷ñt qu¡ K). H¢y x¡c �ành câ tçn t¤i sè K nh÷vªy khæng v hay t¼m sè K nhä nh§t n¸u câ thº trong méi tr÷íng hñp:
a, an = 1 +1
2+
1
4+ ...+
1
2n;
b, bn = 1 +1
3+
1
9+ ...+
1
3n;
c, cn = 1 +1
2+
1
3+ ...+
1
n;
d, dn = 1 +1
1.2+
1
2.3+ ...+
1
n(n+ 1).
4. D¢y fn = 1 +1
22+
1
32+ ...+
1
n2câ bà ch°n hay khæng?
1.2 C¡c trung b¼nh th÷íng g°p.
5. �¡y cõa mët h¼nh thang l a v c. H¢y biºu thà qua a v c c¡c �¤i l÷ñng sau:a, �÷íng trung b¼nh cõa h¼nh thang.b, �o¤n th¯ng �i qua giao �iºm cõa hai �÷íng ch²o, song song vîi hai �¡y v giîih¤n bði hai c¤nh b¶n cõa h¼nh thang.c, �o¤n th¯ng n o lîn hìn trong c¡c �o¤n th¯ng x¡c �ành trong a v b ? H¢y chochùng minh b¬ng �¤i sè v h¼nh håc.
3
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS
6. (Vªn tèc trung b¼nh, thíi gian v qu¢ng �÷íng)a, Mët æ tæ �i vîi vªn tèc v1 trong mët thíi gian nh§t �ành, v sau �â �i vîi vªntèc v2 công trong thíi gian nh÷ vªy. Häi tr¶n c£ qu¢ng �÷íng xe æ tæ �i vîi vªn tèctrung b¼nh l bao nhi¶u?b, Mët æ tæ �i tø A �¸n B vîi vªn tèc v1, sau �â khi quay l¤i tø B v· A vîi vªn tècv2. H¢y x¡c �ành vªn tèc trung b¼nh cõa æ tæ trong c£ h nh tr¼nh.
7. Tam gi¡c vuæng ABC. �÷íng cao CT chia c¤nh huy·n AB thanh c¡c �o¤n AT=p,BT=q. H¢y biºu thà qua p v q c¡c �¤i l÷ñng sau:a, �ë d i �÷íng cao CT;b, �ë d i �÷íng trung tuy¸n CF;c, �ë d i h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa CT l¶n CF.
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè.
8. a, Chu vi cõa mët h¼nh chú nhªt l P. Di»n t½ch (S) cõa h¼nh chú nhªt �â n¬m trongkho£ng n o?b, Di»n t½ch cõa mët h¼nh chú nhªt l S. Chu vi (P) cõa h¼nh chú nhªt �â n¬mtrong kho£ng n o?
9. Cho a v b ∈ R+. H¢y ch¿ ra r¬ng:
a,√a2 + b2
2≥ a+ b
2;
b,√a+ b
2≥√a.b;
c,√a.b ≥ 2ab
a+ b;
d§u b¯ng x£y ra khi v ch¿ khi n¸u a=b.
10. a, N¸u x ∈ R+. H¢y ch¿ ra r¬ng:
x+1
x≥ 2
b, N¸u x ∈ R. H¢y ch¿ ra r¬ng ∣∣∣x+1
x
∣∣∣ ≥ 2
4
1.3 Trung b¼nh cëng, nh¥n, b¼nh ph÷ìng, �i·u háa cõa hai sè. Sigma - MATHS
11. a,b l c¡c sè d÷ìng. CMRa
b+b
a≥ 2.
12. �iºm n o câ tåa �ë (x,y) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh hiperbol x.y = 1 câ và tr½ ðg¦n t¥m cõa h» tåa �ë nh§t ?
13. H m sè g(x) tr¶n mi·n sè thüc Gi¡ trà cüc tiºu (minimum) cõa h m sè l bao nhi¶u?
g(x) =x2 + 2√x2 + 1
14. Chia �o¤n th¯ng AB th nh hai ph¦n sao cho c¡c h¼nh vuæng �÷ñc düng tr¶n c¡c�o¤n th¯ng �â ( xem h¼nh v³) câ têng c¡c di»n t½cha) Nhä nh§t;b) Lîn nh§t.
15. N¸u têng cõa hai sè d÷ìng khæng �êi, th¼ t½ch cõa chóng c ng lîn khi hi»u cõachóng c ng nhä. Têng b¼nh ph÷ìng c ng lîn khi hi»u cõa chóng c ng lîn.
16. C¡c �÷íng th¯ng a, b,c v d t¤o th nh mët h¼nh tù gi¡c. Tø giao �iºm cõa a v bng÷íi ta muèn �i �¸n giao �iºm cõa hai �÷íng kia vîi còng mët �ùa tr´. V¼ vªyng÷íi ta ph£i chån �÷íng �i ngn nh§t. �ùng tø �iºm xu§t ph¡t nh¼n v· hai ph½ang÷íi ta �·u th§y ngay r¬ng tr÷îc khi �i �÷ñc nûa cõa méi �÷íng �·u ph£i r³ vuænggâc t¤i gâc phè g¦n nh§t. Th¶m núa �o¤n �÷íng a (câ v´) d i hìn �o¤n �÷íng b.Ng÷íi ta ph£i chån �i �÷íng n o?
17. N¸u 0< b ≤ a, h¢y ch¿ ra r¬ng
1
8.(a− b)2
a≤ a+ b
2−√a.b ≤ 1
8.(a− b)2
b.
5
1.4 B§t �¯ng thùc trong b§t �¯ng thùc. Sigma - MATHS
1.4 B§t �¯ng thùc trong b§t �¯ng thùc.
18. Cho a, b, c l c¡c sè d÷ìng, CMR:
(a+ b)(b+ c)(c+ a) ≥ 8abc.
19. Cho a, b, c l c¡c sè d÷ìng, CMR:
2ab
a+ b+
2bc
b+ c+
2ca
c+ a≤ a+ b+ c.
20. Cho a1, a2, . . . , an l c¡c sè d÷ìng sao cho a1.a2. . . . .an = 1. CMR:
(1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2n
21. N¸u x, y, z ∈ R. CMR:
x2 + y2 + z2 ≥ x√y2 + z2 + y
√x2 + z2.
D§u b¬ng x£y ra khi n o?
22. Cho a1, a2, a3 l c¡c sè d÷ìng sao cho a1 + a2 + a3 = 1. CMR:√
4a1 + 1 +√
4a2 + 1 +√
4a3 + 1 < 5
23. H m sè hai ©n x, y ∈ R:
f(x, y) = x2 + y2 − xy − x− y + 1
H¢y x¡c �ành gi¡ trà cüc trà (cüc �¤i, cüc tiºu) cõa h m sè.
24. Ch¿ ra r¬ng√x2 + xy + y2
3n¬m giúa trung b¼nh cëng A(x,y) v trung b¼nh b¼nh
ph÷ìng N(x,y). C¡c gi¡ trà trung b¼nh n y so vîi gi¡ trà√A(x, y).N(x, y) câ luæn
nhä hìn hay lîn hìn khæng?
6
1.5 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè. Sigma - MATHS
1.5 Trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n cõa nhi·u sè.
25. Cho x, y, z ∈ R+ . CMR:
x+ y + z
3≥ 3√xyz
Khi n o x£y ra d§u b¬ng?
26. Chùng minh b§t �¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n. Ngh¾a l n¸ua1, a2, ..., an l c¡c sè d÷ìng, th¼
a1 + a2 + ...+ ann
≥ n√a1.a2....an
khi n o x£y ra d§u b¬ng?
27. Cho x, y l c¡c sè d÷ìng. CMR x3 + y3 + 1 ≥ 3xy.
28. Sè thüc λ nhä nh§t n o sao cho b§t �¯ng thùc x4 + y4 + λ ≥ 8xy luæn luæn �óngvîi måi sè thüc x, y.
29. H¢y ch¿ ra r¬ng vîi c¡c sè d÷ìng a, b b§t k¼ b§t �¯ng thùc sau luæn �óng:
n+1√a.bn ≤ a+ nb
n+ 1
30. Tø c¡c gâc cõa h¼nh vuæng c¤nh 30 cm, ng÷íi ta ct c¡c h¼nh vuæng nhä rçi g§pvuæng gâc c¡c ph¦n cán l¤i th nh mët c¡i hëp mð np. Häi ph£i ct nhúng h¼nhvuæng con câ c¤nh bao nhi¶u cm �º h¼nh hëp �÷ñc t¤o th nh câ thº t½ch lîn nh§t ?
7
1.6 �ành lþ v· c¡c sp x¸p. Sigma - MATHS
31. (�· t i tranh luªn.)T¼m gi¡ trà cüc �¤i cõa h m sè bªc ba p(x) = 3x3 − 7x2 + 4 tr¶n kho£ng [-1,1] .
GS. �¦u To: p(x) = (2− x)(1− x)(3x+ 2). Nh÷ vªy ngo i kho£ng[− 1;
−3
2
]th¼
P < 0 v trong kho£ng[−3
2; 1]th¼ P ≥ 0. Nh÷ vªy ch¿ c¦n kh£o s¡t tr¶n kho£ng[−3
2; 1]l �õ. Tr¶n kho£ng n y, (2−x); (1−x) v (3x+ 2) �·u khæng ¥m. Sû döng
AM - GM:
3√
2p(x) = 3√
(4− 2x)(1− x)(3x+ 2) ≤ (4− 2x) + (1− x) + (3x+ 2)
3=
7
3
Nh÷ vªy gi¡ trà cüc �¤i cõa p(x) l 73
33.2≈ 6, 35
GS Tai Lîn: p(x) = 4− x2(7− 3x). Trong mi·n c¦n kh£o s¡t, (7− 3x) < 0. Do �âp(x) ≤ 4. Vªy k¸t qu£ cõa GS.�¦u To khæng �óng.Häi lªp luªn ai �óng? Gi¡ trà cüc �¤i cõa p(x) b¬ng bao nhi¶u?
32. Trong b i tªp n y chóng ta kh£o s¡t h m sè g(x) = x3 − 3x2 + 3 :a, Lªp b£ng mët sè gi¡ trà cõa h m sè;
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5g(x)
b, Thû v³ h¼nh d¤ng cõa h m sè;c, Cho c¡c gi¡ trà cüc trà �àa ph÷ìng, cüc trà to n thº.d, H m sè l§y gi¡ trà y n o, bao nhi¶u l¦n ? Gi£i �¡p c¥u häi n y vîi måi gi¡ tràthüc cõa y.
33. T¼m gi¡ trà cüc �¤i cõa h m sè h(x) = x.(4000− x3) khi x ∈ [0; 100].
34. Cho n l mët sè nguy¶n d÷ìng v ∆ l mët sè thüc (∆ ≥ −n). Kþ hi»u en,∆ l gi¡trà cüc �¤i cõa t½ch n thøa sè khæng ¥m v câ têng b¬ng (n+ ∆).a, T½nh v lªp b£ng c¡c gi¡ trà cõa en,∆ n¸u 100 ≤ n ≤ 105 v −3≤ ∆ ≤3.b, Kh£o s¡t b£ng gi¡ trà. H¢y tü �÷a c¡c gi£ thuy¸t cõa b£n th¥n v· gi¡ trà cõa en,∆v c¡c mèi li¶n h» �¤i sè cõa gi¡ trà n y.c, Thû chùng minh hay phõ �ành c¡c gi£ thuy¸t.
1.6 �ành lþ v· c¡c sp x¸p.
35. N¸u a1 < a2 v b1 < b2 th¼ a1.b1 + a2.b2 v a1b2 + a2b1 �¤i l÷ñng n o lîn hìn v lînhìn bao nhi¶u ?
8
1.7 B§t �¯ng thùc tam gi¡c Sigma - MATHS
36. N¸u a1 < a2 < a3 v b1 < b2 < b3. C¡c �¤i l÷ñng
(a1b1 + a2b2 + a3b3), (a1b1 + a2b3 + a3b2), (a1b2 + a2b1 + a3b3)(a1b2 + a2b3 + a3b1), (a1b3 + a2b1 + a3b2), (a1b3 + a2b2 + a3b1)
�¤i l÷ñng n oa) Nhä nh§t? b) lîn nh§t?
37. (�ành lþ c¡c sp x¸p hay cán gåi l b§t �¯ng thùc Szucs Adolf )N¸u a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an v b1 ≤ b2 ≤ . . . ≤ bn. (ai, bi ∈ R) v π l mët giao ho¡ncõa (1, 2, 3, . . . , n) , khi �â
a1b1+a2b2+. . . .+anbn ≥ a1bπ(1)+a2bπ(2)+. . . .+anbπ(n) ≥ a1bn+a2bn−1+. . . .+anb1.
Khi n o x£y ra d§u b¬ng ?
38. Trong hai biºu thùc d÷îi �¥y a1, a2, a3, a4 l c¡c sè thüc b§t ký. Câ thº kh¯ng �ànhbiºu thùc b¶n n y luæn lîn hìn b¶n kia hay khæng? N¸u �óng h¢y chùng minh, n¸usai �÷a ra ph£n v½ dö !
a, a12 + a2
2 + a32 + a4
2 v 2(a1a4 + a2a3)
b,a1
a4
+a2
a3
+a3
a2
+a4
a1
v a1
a2
+a2
a3
+a3
a4
+a4
a1
.
39. N¸u a1, a2, a3, a4, a5 l c¡c sè d÷ìng b§t ký. CMR
a1
a2
+a2
a3
+a3
a4
+a4
a5
+a5
a1
≥ 5
1.7 B§t �¯ng thùc tam gi¡c
40. Cho tr÷îc c¤nh v �÷íng cao t÷ìng ùng thuëc c¤nh �â cõa tam gi¡c. Khi n o chuvi cõa nâ l nhä nh§t?
1.8 B§t �¯ng thùc CBS
41. Gi¡ trà cõa a1b1 +a2b2 thay �êi trong kho£ng n o n¸u a12 +a2
2 = 1 v b12 +b2
2 = 1?
9
1.8 B§t �¯ng thùc CBS Sigma - MATHS
42. (B§t �¯ng thùc Cauchy-Bunhyakovski-Schwarz )Cho a1, a2, a3, . . . , an v b1, b2, b3, ..., bn l c¡c sè thüc b§t ký. CMR:
|a1b1 + a2b2 + ...+ anbn| ≤√
(a12 + a2
2 + ...+ an2).(b12 + b2
2 + ...+ bn2)
Trong tr÷íng hñpa, n=3; b, n > 3 ∈ NKhi n o x£y ra d§u b¬ng ?
43. N¸u x1, x2, x3 l c¡c sè thüc, CMR:(1
2x1 +
1
3x2 +
1
6x3
)2
≤ 1
2x1
2 +1
3x2
2 +1
6x3
2 (1)
44. N¸u a1, a2, a3, a4 l c¡c sè thüc d÷ìng câ têng b¬ng 1. CMR:√
4a1 + 1 +√
4a2 + 1 +√
4a3 + 1 ≤√
21
.
45. CMR vîi x,y > 0 th¼(a+ b)2
x+ y≤ a2
x+b2
y. Khi n o d§u b¬ng x£y ra?
46. CMR n¸u x1, x2, . . . , xn > 0 th¼
(a1 + a2 + a3 + ...+ an)2
x1 + x2 + ...+ xn≤ a1
2
x1
+ ...+an
2
xn
Khi n o x£y ra d§u b¬ng?
47. CMR B�T trong b i 46 t÷ìng �÷ìng vîi b§t �¯ng thùc Cauchy - Bunhyakovski -Schwarz.
48. Cho a, b, x, y >0. H¢y l¡t m°t ph¯ng b¬ng nhúng mi¸ng v¡n s n k½ch th÷îc (a×b)v (x × y ) (h¼nh v³) sao cho c¡c �¿nh cõa ba h¼nh chú nhªt bao quanh t¥m tåa �ë,gi£ sû y ≤ b
{(0; 0), (a; b)}, {(−x; b− y), (0; b)}, {(0;−y), (x; 0)}
(b>y l m t÷ìng tü). H¢y t¼m tr¶n b£n v³ mët h¼nh b¼nh h nh, �º câ thº chùngminh b¬ng ph÷ìng ph¡p h¼nh håc B�T CBS trong tr÷ìng hñp c¡c c°p sè d÷ìng.
10
1.9 B§t �¯ng thùc Jensen. Sigma - MATHS
49. Bi¸t r¬ng a1b1 ≥ 1, a2b2 ≥ 1, . . . .., anbn ≥ 1 trong �â ai, bi l c¡c sè d÷ìng v c¡c h»sè p1, p2, . . . ., pn ≥ 0 sao cho p1 + p2 + . . . .+ pn = 1. CMR
(a1p1 + a2p2 + ...+ anpn)(b1p1 + b2p2 + ...+ bnpn) ≥ 1
50. H¢y chùng minh b§t �¯ng thùc CBS cho nhi·u sè:(∑aibici
)2
≤(∑
ai2)(∑
bi2)(∑
ci2)
1.9 B§t �¯ng thùc Jensen.
51. a, CMR h m sè f(x) = x2 l h m lçi.b, Chùng minh B�T li¶n h» giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh b¼nh ph÷ìng cõanhi·u sè h¤ng! Tùc l n¸u a1, a2, a3, . . . , an l c¡c sè khæng ¥m, th¼
a1 + a2 + ...+ ann
≤√a1
2 + a22 + ...+ an
2
n
11
1.10 C¡c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS
52. a, CMR h m sè f(x) =1
xl h m lçi khi x ∈ R+.
b, Chùng minh B�T li¶n h» giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh �i·u háa cõa nhi·usè h¤ng! Tùc l n¸u a1, a2, a3, . . . , an l c¡c sè d÷ìng, th¼
a1 + a2 + ...+ ann
≥ n1
a1
+1
a2
+ ...+1
an
53. H m lçi n o chùng minh cho mèi li¶n h» B�T giúa AM v GM?
1.10 C¡c b i tªp têng hñp.
54. CMR b§t �¯ng thùc sau luæn thäa m¢n vîi måi x1, x2, x3:
x12 + x2
2 + x32 − x1x2 − x2x3 − x3x1 ≥ 0
55. N¸u a1, a2, a3, . . . , an l c¡c sè d÷ìng, CMR:
(a1 + a2 + ...+ an) ·( 1
a1
+1
a2
+ ...+1
an
)≥ n2.
56. Kþ hi»u p(a, b, c) = a3 + b3 + c3 v q(a, b, c) = a2b + b2c + c2a. Trong c¡c m·nh �·sau, m»nh �· n o �óng ?I. N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≤ q(a, b, c)II. N¸u a,b,c d÷ìng th¼ p(a, b, c) ≥ q(a, b, c).H¢y chùng minh ho°c phõ �ành.
57. (B§t �¯ng thùc Nesbitt)N¸u a, b, c l c¡c sè d÷ìng CMR:
a
b+ c+
b
c+ a+
c
a+ b≥ 3
2.
58. N¸u a, b, c l c¡c sè d÷ìng. CMR:
a,ab
c+bc
a+ca
b≥ a+ b+ c
b,a2
b2+b2
c2+c2
a2≥ b
a+c
b+a
c
12
1.10 C¡c b i tªp têng hñp. Sigma - MATHS
59. N¸u a, b, c l c¡c sè d÷ìng câ têng b¬ng 1. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc√
1 + a2 +√
1 + b2 +√
1 + c2
60. N¸u a, b, c l c¡c sè d÷ìng.a, H¢y ch¿ ra r¬ng (
1
a− 1) · (1
b− 1) · (1
c− 1) ≥ 8;
b, T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa (1
a+ 1) · (1
b+ 1) · (1
c+ 1)
61. N¸u n ∈ N+. CMR: (n+ 1
2
)n2 ≤ n! ≤
(n+ 1
2
)n
62. N¸u a, b, c, d l c¡c sè d÷ìng. CMR:
a
b+c
d≥ 2 · a+ c
b+ d
Thäa m¢n khi v ch¿ khi n¸u m¨u sè cõa c¡c ph¥n sè ho°c tròng nhau, ho°c gi¡trà cõa ph¥n sè câ m¨u sè lîn hìn công khæng lîn hìn. D§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi ho°c m¨u sè cõa hai ph¥n sè b¬ng nhau, ho°c gi¡ trà cõa ph¥n sè b¬ng nhau.
63. X¡c �ành gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc sau, n¸u c¡c tham sè ai (i=1,. . . ,2008) l c¡c sè d÷ìng.
S =a1
a2008 + a2
+a2
a1 + a3
+a3
a2 + a4
+ ...+a2008
a2007 + a1
64. CMR vîi n l sè nguy¶n �õ lîn th¼ n2 < 2n.
65. CMR vîi måi k nguy¶n d÷ìng b§t ký n¸u n l sè nguy¶n �õ lîn th¼ nk < 2n.
66. CMR vîi måi �a thùc p(n) b§t k¼ l sè nguy¶n �õ lîn thi p(n) < 2n .
13
Sigma - MATHS
2 Tr¦m ng¥m trong l¥u � i B§t �¯ng Thùc.
Muèn th§y To¡n h¢y nh¼n b¬ng mt cõa ri¶ng m¼nh!
Trong cuëc du làch nhä v o l¥u � i B�T n y, chóng ta s³ còng th÷ðng thùc hai tuy»tph©m:- B§t �¯ng thùc sp x¸p Szucs Adolf hay cán gåi B�T ho¡n và.- B§t �¯ng thùc xoay váng Shapio.Sü xu§t hi»n cõa B§t �¯ng thùc sp x¸p, ngo i k¸t qu£ to¡n håc, cán chùa �üng nëi dunglþ thuy¸t mð �÷íng. Ch¿ vîi hai d¢y �÷ñc sp x¸p ho n to n n¸u nh¥n c¡c sè tøng �æimët rçi t½nh têng th¼ gi¡ trà cüc �¤i s³ nhªn �÷ñc khi ta t÷ìng t¡c c¡c d¢y còng chi·uv gi¡ trà nhä nh§t nhªn �÷ñc khi chóng tr¡i chi·u. �ành lþ kh¯ng �ành mët quy luªt tünhi¶n khæng �ìn gi£n, trong cuëc sèng ng÷íi ta th÷íng cæng nhªn ½t khi kiºm nghi»m.Vi»c chùng minh �ành lþ n y công ho n to n düa tr¶n sü sp x¸p tü nhi¶n: N¸u câ haiph¦n tû g¥y n¶n �lçi lãm� th¼ ta ch¿ c¦n chuyºn ché hai vªt �â - l m màn m°t b¬ng. Hiºnnhi¶n gi¡ trà lîn nh§t v nhä nh§t thº hi»n ð sü cëng h÷ðng hay t½nh tri»t ti¶u trongt÷ìng t¡c cõa hai d¢y sè. �ành lþ �÷ñc chùng minh n«m 1942, bði mët nh b¡c håc ng÷íiHungary Szucs Adolf (1880 � 1945) - t¡c gi£ l n¤n nh¥n cõa th£m håa ph¡t x½t (1945).�ành lþ r§t trong s¡ng còng chùng minh ch¿ v i dáng n y �¢ g¥y b§t ngí. H ng lo¤t c¡cb§t �¯ng thùc danh ti¸ng �÷ñc chùng minh l¤i nh÷ nhúng v½ dö ¡p döng cõa �ành lþ n y.V �¥y ch½nh l sùc m¤nh mð �÷íng cho c¡c trao l÷u mîi cõa cæng cuëc nghi¶n cùu�LÞ THUY�T KHÆNG C�N B�NG� m h¼nh nh÷ ng÷íi ta �ang ph¡t huy trong thüct¸ nhi·u hìn khi ch÷a th nh chu©n müc.�· t i thù hai l �inh lþ Shapiro. Ng÷íi ta câ thº coi B�T xoay váng n y l mët t¡cph©m �Picasso� cõa Cëng �çng B�T. Tø khi ra �íi nh÷ mët gi£ thuy¸t, ph£i sau 45 n«mmîi câ c¥u tr£ líi �¦y �õ cho c¥u häi �°t ra. Tr¤ng th¡i �óng sai cõa gi£ thuy¸t g¥y süchó þ lîn trong t¥m �iºm cõa nhi·u cuëc luªn b n.V· hai �· t i nâi ri¶ng n y v v· B�T nâi chung, n¸u x¸p h¤ng c¡c §n ph©m trong n÷îccòng c¡c §n ph©m n÷îc ngo i tæi m¤nh d¤n �· xu§t và tr½ top 10 t¡c ph©m cõa PGS.TSKH Nguy¹n Minh Tu§n (NXB �¤i håc quæc gia H Nëi): �Lþ thuy¸t Cì sð cõa h mlçi v c¡c B§t �¯ng Thùc cê �iºn�.�¥y l mët t¡c ph©m to¡n håc khi �åc câ sùc cuèn hót thó và. Nhúng nh nghi¶n cùu,c¡c b¤n quan t¥m,v c¡c em håc sinh �·u câ thº t¼m th§y �i·u m¼nh c¦n, câ thº sû dönghúu ½ch cho cæng vi»c v tr¡nh �÷ñc cho b£n th¥n khäi rìi v o váng xo¡y cõa B�T và B�T.
2.1 B§t �¯ng thùc sp x¸p - hay cán gåi l B�T ho¡n và.
Ph¦n n y tæi dòng nguy¶n mët v«n b£n ti¸ng Anh. �¥y l mët b i gi£ng hay �÷ñc giîisinh vi¶n v håc sinh chuy·n tay nhau kh¡ rëng r¢i. B£n th¥n tæi �¢ bt g°p khi langthang t¼m t i li»u v �åc c¡c b i vi¸t tr¶n m¤ng.
Rearrangement Inequality
The rearrangement inequality (also known as permutation inequality) is easy to under-stand and yet a powerful tool to handle inequality problems.
14
2.1 B§t �¯ng thùc sp x¸p - hay cán gåi l B�T ho¡n và. Sigma - MATHS
Definition: Let a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an and b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn be any real numbers.a, S = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn is called the Sorted sum of the numbers.b, R = a1bn + a2bn−1 + ...+ anb1 is called the Reversed sum of the numbers.c, Let c1, c2, ..., cn be any permutation of the numbers b1, b2, ..., bn.P = a1c1 + a2c2 + ...+ ancn is called the Permutated sum of the numbers.
67. Rearrangement inequality S ≥ P ≥ R
Proof:(a) Let P(n) be the proposition: S ≥ P .P(1) is obviously true.Assume P(k) is true for some k ∈ N.For P(k+1), Since the c's are the permutations of the b's, suppose bk+1 = ci andck+1 = bj(ak+1 − ai)(bk+1 − bj) ≥ 0⇒ aibj + ak+ibk+1 ≥ aibk+1 + ak+1bj⇒ aibj + ak+1bk+1 ≥ aici + ak+1ck+1
So in P, we may switch ci and ck+1 to get a possibly larger sum.After switching of these terms, we come up with the inductive hypothesis P(k).P(k + 1) is also true.By the principle of mathematical induction, P(n) is true ∀n ∈ N.
(b) The inequality P ≥ R follows easily from S ≥ P by replacing b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bnby −bn ≥ −bn−1 ≥ ... ≥ −b1.
Note:(a) If a′is are strictly increasing, then equality holds (S = P = R) if and only if theb′is are all equal.(b) Unlike most inequalities, we do not require the numbers involved to be positive.
68. Corollary 1: Let a1, a2, ..., an be real numbers and c1, c2, ..., cn be its permuation.Then
a12 + a2
2 + ...+ an2 ≥ a1c1 + a2c2 + ...+ ancn
69. Corollary 2: Let a1, a2, ..., an be positive real numbers and c1, c2, ..., cn be its per-muation. Then
c1
a1
+c2
a2
+ ...+cnan≥ n
The rearrangement inequality can be used to prove many famous inequalities. Here
15
2.1 B§t �¯ng thùc sp x¸p - hay cán gåi l B�T ho¡n và. Sigma - MATHS
are some of the highlights.
70. Arithmetic Mean - Geometric Mean Inequality (A.M ≥ G.M)
Let x1, x2, ..., xn be positive numbers. Thenx1 + x2 + ...+ xn
n≥ n√x1x2...xn.
Equality holds if and only if x1 = x2 = ... = xn.
Proof: Let G = n√x1x2...xn, a1 =
x1
G, a2 =
x1x2
G2, ..., an =
x1x2...xnGn
= 1.
By corollary 2,
n ≤ a1
an+a2
a1
+ ...+anan−1
=x1
G+x2
G+ ...+
xnG
<=>x1 + x2 + ...+ xn
n≥ n√x1x2...xn
Equality holds ⇔ a1 = a2 = ... = an ⇔ x1 = x2 = ... = xn.
71. Geometric Mean - Harmonic Inequality (G.M ≥ H.M.)
Let x1, x2, ..., xn be positive numbers. Then n√x1x2...xn ≥
n1
x1
+1
x2
+ ...+1
xn
Proof: Define G anf a1, a2, ..., an similarly as in the proof of A.M - G.M.
By Corollary 2, n ≤ a1
a2
+a2
a3
+...+ana1
=G
x1
+G
x2
+...+G
xnwhich then gives the result.
72. Root Mean Square - Arithmetric Mean Inequality (R.M.S ≥ A.M)
Let x1, x2, ..., xn be numbers. Then√x1
2 + x22 + ...+ xn
2
n≥ x1 + x2 + ...+ xn
n
Proof : By Corollary 1, we cyclically rotate xi,x1
2 + x22 + ...+ xn
2 = x1x1 + x2x2 + ...+ xnxnx1
2 + x22 + ...+ xn
2 ≥ x1x2 + x2x3 + ...+ xnx1
x12 + x2
2 + ...+ xn2 ≥ x1x3 + x2x4 + ...+ xnx2
..... ≥ .....x1
2 + x22 + ...+ xn
2 ≥ x1xn + x2x1 + ...+ xnxn−1
Adding all inequalities together, we have
n(x12 + x2
2 + ...+ xn2) ≥ (x1 + x2 + ...+ xn)2
Result follows. Equality holds ⇔ x1 = x2 = ... = xn
16
2.1 B§t �¯ng thùc sp x¸p - hay cán gåi l B�T ho¡n và. Sigma - MATHS
73. Cauchy - Bunyakovskii - Schwarz inequality (CBS inequality)Let a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn be real numbers.Then (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ≤ (a1
2 + a22 + ...+ an
2).(b12 + b2
2 + ...+ bn2)
Proof: The result is trivial if a1 = a2 = ... = an = 0 or b1 = b2 = ... = bn = 0.Otherwise, define
A =√a1
2 + a22 + ...+ an2, B =
√b1
2 + b22 + ...+ bn
2
Since both A and B are non-zero, we may let xi =aiA, xn+i =
biB∀1 ≤ i ≤ n.
By Corollary 1,
2 =a1
2 + a22 + ...+ an
2
A2+b1
2 + b22 + ...+ bn
2
B2= x1
2 + x22 + ...+ x2n
2
≥ x1xn+1 + x2xn+2 + ...+ xn + x2n + xn+1x1 + xn+2x2 + ...+ x2nxn
=2(a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)
AB
⇔ (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ≤ (a12 + a2
2 + ...+ an2).(b1
2 + b22 + ...+ bn
2)
Equality holds ⇔ xi = xn+i ⇔ aiB = biA ∀1 ≤ i ≤ n.
74. Chebyshev's inequalityLet x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn and y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yn be any real numbers.Then
x1y1+x2y2+...+xnyn ≥(x1 + x2 + ...+ xn)(y1 + y2 + ...+ yn)
n≥ x1yn+x2yn−1+...+xny1
Proof: By Rearrangement inequality, we cyclically rotate xi and yi,x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn ≥ x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1
x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn ≥ x1y2 + x2y3 + ...+ xny1 ≥ x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1
... ≥ ... ≥ ....x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn ≥ x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1 = x1yn + x2yn−1 + ...+ xny1
Adding up the inequalities and divide by n, we get our result.
17
2.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m ch÷a thº h¸t. Sigma - MATHS
Exercise Hint
75. Find the minimum ofsin3x
cosx+cos3x
sinx, Consider (sin3x, cos3x),
( 1
sinx,
1
cosx
)0 < x <
π
2
76. Proof: For (ii) and questions below,(i) a2 + b2 + c2 ≥ ab+ bc+ ca Witout lost of generality, let a ≤ b ≤ c(ii) an + bn + cn ≥ abn−1 + bcn−1 + can−1 Consider (a, b, c), (an−1, bn−1, cn−1)
77. Proof:1
a2+
1
b2+
1
c2≥ a+ b+ c
abcConsider
(1
a,1
b,1
c
),(1
a,1
b,1
c
)
78. Proof:a2
b2+b2
c2+c2
a2≥ b
a+c
b+a
cConsider
(ab,b
c,c
a
),(ab,b
c,c
a
)
79. Proof:a2
b+b2
c+c2
a≥ a+ b+ c Consider (a2, b2, c2),
(1
a,1
b,1
c
)
80. Proof: If a, b, c > 0 and n ∈ N then : Consider (an, bn, cn),( 1
b+ c,
1
c+ a,
1
a+ b
)an
b+ c+
bn
c+ a+
cn
a+ b≥ an−1 + bn−1 + cn−1
2
81. Proof: If a, b, c > 0, then: Consider (a, b, c), (log a, log b, log c)aabbcc ≥ (abc)
a+b+c3 and use Chebyshev's inequality
2.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m ch÷a thº h¸t.
N«m 1954, Harold S. Shapiro �· xu§t mët gi£ thuy¸t v· mët b§t �¯ng thùc têng xoayváng cho n, nh÷ sau:Cho xi ≥ 0, xi + xi+1 > 0 vîi i ∈ N. Khi �â:
P (n) =x1
x2 + x3
+x2
x3 + x4
+ . . .+xn−1
xn + x1
≥ n
2.
�¸n 1989 - sau 45 n«m b i to¡n �÷ñc gi£i quy¸t ho n to n vîi nhúng kh½a c¤nh k¸tqu£ v mæi tr÷íng k¸t qu£ g¥y r§t nhi·u bï ngï . B¤n �åc câ thº tham kh£o t÷ìng �èi�¦y �õ v chi ti¸t qu¡ tr¼nh h¼nh th nh v ph¡t triºn cõa v§n �· n y trong cuèn s¡ch cõa
18
2.2 B§t �¯ng thùc Shapiro : gi£i xong m ch÷a thº h¸t. Sigma - MATHS
PGS TS Nguy¹n Minh Tu§n (Lþ Thuy¶t cì sð cõa h m lçi v c¡c b§t �¯ng thùc cê �iºntrang 313-318). H¢y l÷ñc qua c¡c thíi �iºm quan trång trong làch sû cõa �ành lþ n y.
- N«m 1956, Lighthill cho ph£n v½ dö B�T khæng �óng trong tr÷íng hñp n=20.
- N«m 1958, Lighthill ch¿ ra r¬ng P(n) sai vîi nhúng n ch®n lîn hìn ho°c b¬ng 14 (n≥ 14); �çng thíi Rankin công chùng minh �÷ñc sai vîi n l´ �õ lîn. �óng mët n«m sau(1959), Zulauf chùng minh �÷ñc r¬ng P(53) l sai.
- C¡c tr÷íng hñp P(6) - Diananda (1959) , P(8) � Djokovic (1963) �¢ chùng minh l �óng. Sau �â n«m 1963, Diananda �¢ cho v½ dö chùng minh P(27) sai.
- Công còng n«m n y (1963) , Diananda chùng minh �÷ñc �i·u tuy»t víi sau:a, N¸u k0 l sè tü nhi¶n ch®n v n¸u P(k0) �óng th¼ P(n) �óng vîi måi n ch®n khæng v÷ñtqu¡ k0.b, N¸u k0 l sè tü nhi¶n l´ v n¸u P(k0) sai th¼ P(n) s³ sai vîi måi n l´ lîn hìn k0.
K¸t qu£ cõa Diananda h¤n ch¸ húu h¤n c¡c tr÷íng hñp �óng câ thº cõa gi£ thuy¸t.P(n) sai vîi n ch®n lîn hìn ho°c b¬ng 14, v P(n) sai vîi måi gi¡ trà n l´ khæng nhä hìn27.N«m 1968, Nowosad �¢ kh¯ng �ành �÷ñc P(8) l �óng b¬ng mët b£n chùng minh d i 64trang. L÷ñng sè li»u v sè tr÷íng hñp khêng lç công �¢ k¸t thóc qu¡ tr¼nh chùng minh�ành lþ n y b¬ng �bót ch¼ v gi§y�.
Cuèi còng n«m 1989, Troesch düa tr¶n nhúng t½nh to¡n cõa m¡y t½nh �°c bi»t �¢tr¼nh b y b¬ng chùng thuy¸t phöc r¬ng P(n) �óng vîi n ch®n khæng v÷ñt qu¡ 12 v P(n)�óng vîi n khæng v÷ñt qu¡ 23 v sai vîi c¡c tr÷íng hñp cán l¤i.
V· m°t To¡n håc, cæng tr¼nh cõa Troesch kh²p l¤i 45 n«m nghi¶n cùu v kiºm nghi»msü �óng sai cõa gi£ thuy¸t Shapiro. Cho �¸n n«m 1992, Bushell chùng minh khæng c¦nm¡y t½nh cho tr÷íng hñp n=10. V �¸n n«m 2002, Bushell v McLeod cæng bè ph²p chùngminh cho n=12.
M°c dò v§n �· Shapiro �¢ câ c¥u tr£ líi ho n to n, nh÷ng ch½nh c¡c k¸t qu£ n y v¨ngñi l¶n nhúng c¥u häi cán l m m§t ngõ nhi·u ng÷íi quan t¥m.
Mët b i to¡n ph¡t biºu ho n to n sì c§p m t¤i sao xu§t hi»n líi gi£i phö thuëct½nh ch®n l´ cõa c¡c thæng sè tham gia? Mèi li¶n h» v kho£ng c¡ch r§t �b½ hiºm� cõac°p sè (12, 23) công ch÷a câ líi gi£i th½ch thäa �¡ng.
Tr÷îc mët b i to¡n ng÷íi ta v¨n c£m th§y bà �ëng v¼ khæng tr£ líi �÷ñc cho b£n th¥ntr÷îc c¥u häi:" T¤i sao l¤i ph£i nh÷ vªy?". Kho£ng c¡ch ngn minh ho¤ cho �ë xon cõad¢y sè th¼ sü kh¡c bi»t cõa líi gi£i khi xu§t hi»n t½nh ch®n l´ h¼nh nh÷ cán t¤o sü nghingí cõa c¡c tr÷íng hñp lîn hìn con sè 12.
19
Sigma - MATHS
Kº tø n«m 1989 trð l¤i �¥y, tø khi gi£ thuy¸t Shapiro �÷ñc gi£i �¡p th¼ sùc cuèn hótcõa nâ l¤i sæi �ëng hìn trong cëng �çng To¡n håc. Tø mët �· t i �B�T và B�T�, ng÷íita �¢ mð rëng sang kh½a c¤nh t¼m kh£ n«ng ùng döng ngo i thüc t¸ cho k¸t qu£ "trîtr¶u" n y. Vi»c giîi thi»u k¸t qu£ Shapiro khæng thº trån vµn n¸u khæng nhc �¸n B�TNesbitt �÷ñc chùng minh tø n«m 1903. �ành lþ n y sau trð th nh mët tr÷íng hñp �°cbi»t cõa �ành lþ Shapiro vîi n=3: Vîi a,b, c d÷ìng:
a
b+ c+
b
c+ a+
c
a+ b≥ 3
2
Câ r§t nhi·u chùng minh hay v thó và cho �ành lþ n y. Nh÷ng h¼nh nh÷ v¨n thi¸uc¡ch chùng minh b¬ng sû döng �ành lþ sp x¸p. �¥y công câ thº t¤o n¶n mët h÷îng nh¼nkh¡c v· �· t i n y. Trong �ành lþ Shapiro, c¡c sè h¤ng c§u th nh têng v· h¼nh thùc r§tchîi vîi, câ l³ n¸u �÷ñc thay b¬ng c¡c sè h¤ng câ d¤ng:
aiai + ai+1 + ai+2
c¡c d¤ng �xon� s³ bît "xæ bç" hìn v câ l³ s³ cho chóng ta mët c¡ch ti¸p cªn n o �âkh¡c cho �· t i �xon�.Gi£ thuy¸t �xon� mîi cõa chóng ta:Cho xi ≥ 0, xi + xi+1 + xi+2 > 0 vîi i ∈ N. Khi �â:
P (n) =x1
x1 + x2 + x3
+x2
x2 + x3 + x4
+ ...+xn−1
xn−1 + xn + x1
≥ n
3
hi vång s³ l mët v§n �· khæng ph£i �ñi l¥u líi gi£i!
3 Luy»n tªp
3.1 �p döng c¡c B�T nêi ti¸ng.
84. CMR vîi a,b,c d÷ìng:
1
a+
1
b+
1
c≥ 1√
ab+
1√bc
+1√ca
85. Cho a, b,c d֓ng. CMR:
1
a3+
1
b3+
1
c3≤ 1
a3.
√b
a+
1
b3.
√c
b+
1
c3.
√a
b
20
3.1 �p döng c¡c B�T nêi ti¸ng. Sigma - MATHS
86. Gi£i ph÷ìng tr¼nh tr¶n mi·n sè thüc: 2x3 = x4 +27
16
87. Di»n t½ch cõa mët tù gi¡c lçi l 32cm2, têng cõa mët �÷íng ch²o v hai c¤nh �èidi»n l 16 cm. T½nh �ë d i cõa �÷íng ch²o kia?
88. Cho m,n nguy¶n d÷ìng, x d÷ìng. CMR:
m.xn + nx−m ≥ m+ n
(k¸t qu£ v¨n �óng khi n l sè thüc d÷ìng).
89. Cho a,b,c l c¡c sè nguy¶n d÷ìng ( thüc d÷ìng công �óng). CMR:
aa.bb.cc ≥(a+ b+ c
3
)a+b+c
90. a,b,c l nhúng sè thüc kh¡c 0. CMR:
a2
b2+b2
c2+c2
a2≥ a
b+b
c+c
a
91. Cho ai vîi i=1,2,. . . ,n l c¡c sè d÷ìng. CMR:(a1 + a2 + ...+ ann
)a1+a2+...+an≤ a1
a1 .a2a2 ...an
an ≤(a1
2 + a22 + ....+ an
2
a1 + a2 + ...+ an
)a1+a2+...+an
92. B�T BernulliCho a > −1 v a 6= 0, q>0, q 6= 0. CMR:{
(1 + a)q > 1 + qa n¸u q > 1
(1 + a)q < 1 + qa n¸u q < 1(1)
93. CMR: N¸u n>1 v n tü nhi¶n: nn > (n+ 1)n−1
94. N¸u x, y l c¡c sè d÷ìng, n l sè tü nhi¶n lîn hìn 2. CMR:
xn ≥ yn−1(nx− (n− 1).y)
21
3.2 B§t �¯ng thùc trong h¼nh håc. Sigma - MATHS
95. T¼m gi¡ trà cüc tiºu cõa h m sè f(x) =4√x5 − 3x.
96. N¸u ai > 0(i = 1, 2, . . . , n) CMR:
(a1a1 .a2
a2 . . . ..anan)n ≥ (a1.a2 . . . an)a1+a2+...+an
97. N¸u p, q l c¡c sè nguy¶n d÷ìng lîn hìn 1, CMR:
(n− 1)2.pq + (n− 1).(p+ q) + 1
n≤ (n− 1).pq + 1
98. CMR vîi n tü nhi¶n lîn hìn 1:√n2 − 1 +
√n2 − 4 + ...+
√n2 − (n− 1)2
n2<
√3
2
99. Cho ai v bi vîi i=1,2,. . . ,n l c¡c sè thüc d÷ìng. CMR:
n∑1
ai2
bi≤
n∑1
bi th¼n∑1
ai ≤n∑1
bi
100. Vîi a, b, c, d l c¡c sè d÷ìng. CMR:
a
b+ c+
b
c+ d+
c
d+ a+
d
a+ b≥ 2
3.2 B§t �¯ng thùc trong h¼nh håc.
101. Tam gi¡c ABC chùa tam gi¡c MNL . Chùng minh r¬ng:a, Chu vi cõa tam gi¡c ABC lîn hìn ho°c b¬ng chu vi tam gi¡c MNL.b, Di»n t½ch tam gi¡c ABC lìn hìn di»n t½ch tam gi¡c MNL.Trong c£ hai tr÷íng hñp khi n o d§u b¬ng x£y ra?
102. (�iºm Fermat-Toricelli )X¡c �ành �iºm P trong tam gi¡c ABC sao cho têng kho£ng c¡ch tø P �¸n c¡c �¿nhcõa tam gi¡c l nhä nh§t.
22
Sigma - MATHS
103. (B i to¡n Fagnano � ch¥n ba �÷íng cao).Mët tam gi¡c �÷ñc gåi l nëi ti¸p trong mët tam gi¡c kh¡c n¸u méi �¿nh cõatam gi¡c n y n¬m tr¶n mët c¤nh kh¡c nhau t÷ìng ùng cõa tam gi¡c kia.Cho tr÷îc tam gi¡c nhån ABC. Trong t§t c£ c¡c tam gi¡c nëi ti¸p trong tam gi¡cABC, tam gi¡c nëi ti¸p câ c¡c �¿nh l ch¥n cõa ba �÷íng cao cõa tam gi¡c ABC l tam gi¡c câ chu vi nhä nh§t.
104. �ÀNH LÞ ( Cæng thùc EULER � B�T v· b¡n k½nh).Cho tam gi¡c nhån ABC. B¡n k½nh váng trán t¥m O ngo¤i ti¸p ABC v b¡n k½nhváng trán t¥m I nëi ti¸p tam gi¡c ABC l¦n l÷ñt l R, r. Kho£ng c¡ch OI=d. CMR:a, d2 = R2 − 2Rr (cæng thùc EULER).b, R ≥ 2r (B�T b¡n k½nh ).
105. (B§t �¯ng thùc POTOLEME).C¡c c¤nh cõa mët tù gi¡c lçi theo thù tü l¦n l÷ñt l a,b,c,d. Hai �÷íng ch²o l e v f. CMR ac+ bd ≥ ef , d§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi tø gi¡c l h¼nh nëi ti¸p trongváng trán.
106. (B§t �¯ng thùc ERDOS � MORDELL).Cho P l mët �iºm thuëc tam gi¡c ABC ( P câ thº n¬m trong hay n¬m tr¶n chu vicõa tam gi¡c). Kho£ng c¡ch tø P �¸n A,B,C l¦n l÷ñt l u, v, w: kho£ng c¡ch tø P�¸n c¡c �÷íng th¯ng BC, CA, AB l¦n l÷ñt l x,y,z. Khi �â:
u+ v + w ≥ 2(x+ y + z)
d§u b¬ng x£y ra khi v ch¿ khi P l trång t¥m cõa tam gi¡c �·u ABC.
107. a, Trong c¡c tam gi¡c câ còng chu vi tam gi¡c �·u câ di»n t½ch lîn nh§t.b, Trong c¡c tam gi¡c còng di»n t½ch tam gi¡c �·u câ chu vi nhä nh§t.
108. Chùng minh r¬ng b§t ký mët tam gi¡c nhån n o câ di»n t½ch b¬ng 1 công câ thº�°t �÷ñc trong mæt tam gi¡c vuæng câ di»n t½ch khæng qu¡
√3 .
4 Appendix.
Khi �L m Quen Vîi Khæng C¥n B¬ng� k¸t thóc th¼ væ t¼nh tròng hñp vîi thíi �iºmGS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu gi£ng mët b i �ngn nh÷ng håc c£ th¡ng ch÷a chc h¸t�:
SO S�NH PH�N SÈ ��I SÈ
�÷ñc bªt m½ - B½ quy¸t x o n§u B�T - chóng tæi bi¶n so¤n l¤i thuy¸t tr¼nh �º phöc vöc¡c b¤n muèn t¼m hiºu k¾ b i gi£ng cõa S÷ Phö ( t¶n gåi th¦y k½nh trång v th¥n mªt
23
4.1 Nhúng b§t �¯ng thùc bªc 2 �kiºu th¦y Mªu� Sigma - MATHS
giúa c¡c th nh vi¶n tr´ trong seminar cõa hëi To¡n Håc H Nëi). T§t nhi¶n qu¡ tr¼nhbi¶n so¤n l¤i s³ thi¸u mët sè c¡c þ t÷ðng ch÷a nm bt �÷ñc cõa th¦y nh÷ng công s³thøa th¶m nhúng �tèi ki¸n� chõ quan khæng thº tr¡nh - theo c¡ch håc cõa méi ng÷íi m câ.
4.1 Nhúng b§t �¯ng thùc bªc 2 �kiºu th¦y Mªu�
Xu§t ph¡t tø mët �i·u hiºn nhi¶n (⇔ (x− y)2 ≥ 0)
x2 ≥ y2 + 2y(x− y) (1)
V th¶m mët sè d÷a h nh mm muèi:
x = y + (x− y) (2)
1 = 1 + 0.(x− y) (3)
Nh¥n (1), (2) v (3) vîi l¦n l÷ñt ba sè a, b, c trong �â a d÷ìng. Rçi cëng c£ 2 v¸ ta �÷ñc:
ax2 + bx+ c ≥ (ay2 + by + c) + 2ay(x− y) + b(x− y)
k½ hi»u f(x) l h m bªc hai f(x) = ax2 + bx + c ta nhªn �÷ñc mët b§t �¯ng thùc thó vàvîi måi x,y:
f(x) ≥ f(y) + (2ay + b)(x− y) (4)
th¶m �i·u ki»n 2ay+b > 0 s³ câ B�T:
f(x)
2ay + b≥ f(y)
2ay + b+ (x− y) (5)
Mët B�T v¸ ph£i x ch¿ cán l bªc nh§t v (2ay+b) = f'(y) ( �¤o h m).
4.2 Trong c«n h¦m b½ mªt cõa c¡c phò thõy ra �·.
�¦u ti¶n ng÷íi ta dòng t½nh ch§t tuy¸n t½nh cõa x ð v¸ ph£i �º phò ph²p B�T (5) th nhnhúng th nh ph¦n khâ nhªn ra.
B i thi 1: Cho x1 + x2 + x3 = 10. T¼m gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc :
M =x1
2
4+x2
2
6+x3
2
10(6)
24
4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o? Sigma - MATHS
C¡c phò thõy ra �· �¢ ch¸ bi¸n th¸ n o �º nhªn �÷ñc b i to¡n n y?Ma thuªt.�¦u ti¶n c¡c phò thõy cho h m bªc hai f(x) = x2. Nh÷ vªy trong f(x) c¡c h» sè a=1,b=0 , c=0.Chån y1 = 2, y2 = 3, y3 = 5. �º þ r¬ng y1 + y2 + y3 = 10(= x1 + x2 + x3). Thay c¡c c°p(x = xi; y = yi) l¦n l÷ñt v o B�T (5) ta nhªn �÷ñc h» B�T:( f(x)
2ay + b=) x1
2
4≥ 4
4+ (x1 − 2)
(=
f(y)
2ay + b+ (x− y)
)
x22
6≥ 9
6+ (x2 − 3)
x32
10≥ 25
10+ (x3 − 5)
Cëng hai v¸ v �ìn gi£n hâa c¡c sè h¤ng ta thu �÷ñc k¸t qu£:
V¸ tr¡ix1
2
4+x2
2
6+x3
2
10≥ 5(v¸ ph£i = k¸t qu£)
Ph²p m u ch¸ �· thi �¢ vøa �÷ñc biºu di¹n.
4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o?
Xin nhc l¤i �· thi:B i thi : Cho x1 + x2 + x3 = 10. T¼m gi¡ trà cüc tiºu cõa biºu thùc :
M =x1
2
4+x2
2
6+x3
2
10(6)
Nhúng ng÷íi câ b£o bèi B�T bªc hai s³ nhanh châng �· ra nhúng ©n sè ph£i t¼m. �â l bë sè (y1; y2; y3) vîi y1 + y2 + y3 = 10(= x1 + x2 + x3), v c¡c ch¿ sè a v b sao cho thäam¢n h» ph÷ìng tr¼nh:
y1 + y2 + y3 = 102ay1 + b = 42ay2 + b = 62ay3 + b = 10
Th¶m c¡c �i·u ki»n : a > 0; 2ayi + b > 0(i = 1, 2, 3).V cuèi còng l khîp h m sè bªc hai f(x) �º t¼m c¡c gi¡ tri f(xi)(i = 1, 2, 3).
25
4.3 Còng b i thi n y c¡c anh t i B�T s³ h nh �ëng th¸ n o? Sigma - MATHS
Qua �¥y ta công th§y mët cuëc chi¸n khæng d¹ d ng �èi vîi ng÷íi gi£i m¢. ( Tæi ch¿ dòngmët v½ dö �ìn gi£n �º nâi l¶n �÷ñc nëi dung ch½nh cõa cæng vi»c b¶n ra �· v b¶n gi£i �·).
Trong b i gi£ng cán mët ph¦n núa cho c¡c �a thùc bªc cao, hi vång s³ câ dàp �÷ñc ti¸p töc� m �¤o sau khi nghe ti¸p b i gi£ng cõa th¦y Mªu. �÷a tr¶n c¡c ch¿ d¨n ban �¦u chóngtæi công �· nghà b¤n �åc quan t¥m nhi·u hìn t½nh ùng döng cõa c¡c �ành lþ Bernoulli(b i sè 94) v c¡c b i tªp trong möc 3.1.
Xin ch¥n th nh c¡m ìn sü quan t¥m v nhúng þ ki¸n �âng gâp cõa b¤n �åc!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . H�T . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗∗∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26