TS 2011-2012 sujets - maths.ab.free.frmaths.ab.free.fr/TS 2011-2012 sujets.pdf · DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 06/10/2011 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

A.Berger TS Marine Année 2011-2012 1 / 28

TS MARINE 2011-2012

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

SUJETS

DS1 21/09/2010 page 2 (Complexes forme algébrique)

DV 06/10/2010 page 3 (Suites)

DS2 19/10/2011 page 4-5 ( Suites - Complexes)

DS3 16/11/2011 page 6-8

DS4 14/12/2011 page 9-12

Bac blanc 12/01/2012 page 13-17

DV 09/02/2012 page 18

DS6 14/03/2012 page 19-22

DV 06/04/2012 page 23 calcul intégral

DV 260/04/2012 page 24 probabilité

DS7 09/05/2012 page 25

DV 29/05/2012 page 28 géométrie dans l’espace

A.Berger TS Marine Année 2011-2012 2 / 28

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 21/09/2011 2 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions

suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. On numérotera les feuilles en indiquant leur nombre total.

EXERCICE I : (3 points) On considère la fonction � qui à tout point �� du plan complexe, associe le point �� tel que : �� = �² − 2� a) Déterminer l’affixe de �′ image de � d’affixe 3 + � b) Déterminer les points du plan d’image le point � d’affixe −2 c) Déterminer les points invariants par �. EXERCICE II : (7 points)

Résoudre dans � les équations suivantes : Les solutions seront exprimées sous forme algébrique. �)�2 − �)� + 1 = �� − 2� �)1 + �� + � = 1 + � �)��̅ − 2� = �2 − �)� + 1

�)�� + 1)�� + 2�) = 0

�)�� − 4√3� + 16 = 0

�)�� − 1)�2� + � − 3) = �� + 1)�� − 1)

EXERCICE III : (4 points) d’après Antilles Septembre 2007 1. a. Déterminer la forme algébrique du complexe tel que : �1 + �) = 1 + 3�. 1. b. Montrer que : � ² = −4 + 3� 2. Pour tout nombre complexe �, on pose !��) = �² − �1 + 3�)� + �−4 + 3�) 2. a. Montrer que !��) s’écrit sous la forme �� − )�� − � ). 2. b. En déduire les solutions (sous forme algébrique) de l’équation !��) = 0

EXERCICE IV : (2,5 points) Soit un nombre complexe � = " + �# où " et # sont deux réels.

a) Déterminer l’écriture algébrique de $ = �2� en fonction de " et #.

b) Déterminer et représenter l’ensemble %& des points �� tels que �'( soit un réel.

EXERCICE V : ( 2 points) d’après concours FESIC 2011

On considère le polynôme !��) = �) − �� + 2 Les affirmations suivantes sont –elles vraies ou fausses ? Justifier.

A1 : les complexes 1 + � et &*(√� sont solutions de l’équation !��) = 0

A2 : Quel que soit le complexe � de � , on a : !��̅) = !��)++++++. EXERCICE VI : (1,5 points) Restitution organisée de connaissances.

Démontrez que pour tout complexe � non nul, l’inverse de son conjugué est égal au conjugué de son inverse.

A. Berger TS Marine 2011-2012 3 / 28

DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 06/10/2011 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : ( 10 points ) d’après La Réunion juin 2007

On considère la suite �,-) définie par ,. = */) , et pour tout n de �, ,-0& = ,-� + ,-.

1. Montrer que la suite �,-) est croissante.

2. On considère la fonction ℎ définie sur � par ℎ�") = "² + " et on admet ses variations données dans le tableau

de variations ci-dessous. " −∞ *&� +∞

ℎ�")

+∞ +∞

*&)

2. a. Montrer que pour " ∈ [−1; 0] on a ℎ�") ∈ [−1; 0] 2. b. Démontrer par récurrence que : pour tout entier naturel n de � on a : −1 ≤ ,- ≤ 0. 3. a. Étudier la convergence de la suite �,-). 3. b. Déterminer, si elle existe, sa limite.

EXERCICE II : ( 10 points ) Sujet national Juin 2009 Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

1. On considère la suite �,-) définie par : ,. = 1 et, pour tout nombre entier naturel 8, ,-0& = &/,- + 4

On pose, pour tout nombre entier naturel 8, :- = ,- − 6. a. Pour tout nombre entier naturel n, calculer :-0& en fonction de :-. Quelle est la nature de la suite �:-). ?

b. Démontrer que pour tout nombre entier naturel 8 , ,- = −5<&/=- + 6.

c. Étudier la convergence de la suite �,-). 2. On considère la suite �>-) dont les termes vérifient :

>. = 1 et pour tout nombre entier 8 ≥ 1 8.>- = �8 + 1)>-*& + 1 Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite :

w0 w1 w2 w3 w4 w5 w6 w7 w8 w9 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

a. Détailler le calcul permettant d’obtenir >&.. b. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Donner la nature de la suite �>-). Calculer >�..A .


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine et Turquoise 19/10/2011 2heures CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (11 points) d’après Nouvelle Calédonie Mars 2008

On considère la fonction � définie sur ] − ∞ ; 6[ par ��"� = AB*C

On définit pour tout entier naturel 8 la suite �,-� par D ,. = −3,-0& = ��,-�.

1. La courbe représentative de la fonction � est donnée sur la feuille annexe (à rendre avec votre copie) accompagnée de celle de la droite d’équation # = ".

Construire, sur ce graphique les points �.E,. ; 0F, �&E ,& ; 0 F, ��E,� ; 0F, �/E ,/ ; 0 F et �)�,); 0 � Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite �,-� ?

2. a. Démontrer que si " < 3 on a alors A

B*C < 3.

2. b. Montrer par récurrence que pour tout 8 de �, on a : ,- < 3. 2. c. Étudier le sens de variation de la suite �,-�.

2. d. Que peut-on déduire des questions 2. b. et 2. c. ?

2. e. A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10*/ près de ,&..

3. On considère la suite �:-� définie par :- = &HI*/ pour tout entier naturel 8.

3. a. Démontrer que la suite �:-� est une suite arithmétique de raison *&/

3. b. Déterminer :- puis ,- en fonction de 8. 3. c. Calculer la limite de la suite �,-�.

3. d. A l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier 8 tel que |,- − 3| < 0,1 . Aucune justification n’est demandée, vous préciserez seulement « à l’aide d’un algorithme ou d’un programme » ou « à l’aide d’une table de valeurs »

EXERCICE II : (9 points) Les deux parties sont indépendantes Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct �K ; ,LM ; :M �

Partie I : Restitution organisée de connaissances

On rappelle que : quels que soient les complexes non nuls � et �� , on a :

|�. ��| = |�| × |��| et arg��. �� = arg�� + arg�� [2R] Montrer que :

Quels que soient les complexes non nuls � et �� , on a : S ��S = |�|

|��| et arg < ��= = arg�� − arg�� [2R]

Partie II :

1. Résoudre dans � l’équation d’inconnue � : �² − 2√3 � + 4 = 0 2. On considère les points � d’affixe : �T = √3 − � , � d’affixe �U = √3 + � et V milieu de [K�]. 2. a. Écrire les nombres complexes �T , �U et �W sous forme exponentielle. 2. b. Placer les points A, B et C dans le repère joint sur la feuille annexe.

2. c. Démontrer que le triangle ABO est équilatéral.

3. On considère le point E d’affixe �X = −2 + 2�√3

3. a. Calculer �Y*�Z�[*�Z

3. b. Déterminer �K�LLLLLM ; K%LLLLLM� et \X\U . Construire le point E.


Annexe exercice I : Cette feuille est à rendre avec votre copie !

Annexe exercice II

2 3 4-1-2-3-4

2

3

4

5

0 1

1

x

y

NOM :




Chacun traitera l’exercice II qui le concerne : Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. (Précisez le nom de votre enseignant). EXERCICE I : ( 6 points ) Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction ] définie sur [0; +∞[ par ]�") = "/ − 3" − 4

1° a) Calculer la limite de ]�") en +∞.

b) Calculer la dérivée et étudier le sens de variation de la fonction ]

Dresser le tableau de variation de la fonction ].

2° a) Montrer que l’équation ]�") = 0 a une unique solution dans [0; +∞[ que l’on notera α.

b) Dresser le tableau de signe de la fonction ] sur [0; +∞[. 3° a) Par dichotomie sur l’intervalle [2; 3], déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 de la solution . On écrira les étapes de la recherche.

3° b) Par la méthode de balayage, donner un encadrement de α d’amplitude 0,001.

Partie B : Etude de la fonction ̂ On considère la fonction � définie sur [0; 1[∪]1; +∞[ par :

��") = "/ + 2"²"� − 1

On note V̀ sa courbe représentative dans un repère.

1° Etudier les limites de la fonction � aux bornes ouvertes de l’ensemble de définition.

Interpréter graphiquement.

2° Montrer que la droite D d’équation # = " + 2 est asymptote à V̀ .

3° Calculer ��") et montrer que ��") a le même signe que ]�") sur [0; 1[∪]1; +∞[. 4° Dresser le tableau de variation de la fonction �.

5° Tracer la représentation graphique dans un repère d’unité 2cm en abscisse et 1cm en ordonnée.


EXERCICE II : ( 5 points ) NON SPECIALITE Sujet national Juin 2009

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct �K; ,LM; :M). On désigne par A, B et J les points d’affixes respectives – �, 1– � et �.On désigne par Δ la médiatrice du segment [AB] et par C le cercle de centre K et de rayon 1.

À tout point �d’affixe � distincte de 1– �, on associe le point �’ d’affixe �’telle que

�� = �� + �)� − 1 + � Le point �′ est appelé image du point �.1. Calculer les affixes des points �′ et K′. 2. Sur papier millimétré, faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice (unité graphique 4 cm). 3. Montrer que l’équation ci-dessous admet deux solutions que l’on précisera :

� = �� + �)� − 1 + � On note E et F les points qui ont pour affixes respectives ces solutions. Justifier que les points E et F appartiennent au cercle C et les placer sur la figure. 4. Soit M un point distinct du point B et �’ son image.

a. Exprimer la distance K�’ en fonction des distances AM et BM. b. Montrer que si le point M décrit la droite Δ, alors le point �’ décrit un cercle que l’on précisera.

5. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Montrer que si le point M décrit la droite (AB) privée du point B, alors le point �’appartient à une droite que l’on précisera.

EXERCICE III : ( 4 points )

1° On considère une suite �,-) définie sur � , telle que ,. = 4 et,-0& = ��,-) . On donne le tableau de variation de la fonction � :

" 0 4

��")

3

1

Démontrer par récurrence que : Pour tout 8 de � , on a : 0 ≤ ,-0& ≤ ,- ≤ 4.

2° Calculer la limite en +∞ de la fonction � définie sur � par ��") = def��C)C'0&

3° Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 0.75 point, une réponse fausse enlève 0,25 point. Aucune justification n’est demandée.

En cas de total négatif, ce total sera ramené 0.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct �K; ,LM; :M) On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectives �T = 1�U = ��W = −1�g = −� 3. a. L’ensemble des points d’affixe z telle que |� + �| = |� − 1|est : • la droite (AD),

• le milieu du segment [BC], • le cercle de centre K et de rayon 1,

• la médiatrice du segment [AD].

3. b. L’ensemble des points d’affixe � telle que �0(�0& soit un imaginaire pur est :

• la droite (CD) privée du point C, • le cercle de diamètre [CD] privé du point C,

• le cercle de diamètre [BD] privé du point C, • la médiatrice du segment [AB].


EXERCICE IV : ( 5 points ) Partie 1 : Restitution organisée de connaissances Démontrer à l’aide de la définition et des deux propriétés ci-dessous que :

Si �,-) et �:-)sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

Définition : deux suites sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre est décroissante et la différence des deux converge vers 0.

Propriété 1 : si deux suites �,-) et �:-) sont adjacentes avec �,-) croissante et �:-) décroissante alors pour tout entier naturel n, :- ≥ ,- Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Partie 2 : On considère les suites �,-) et �:-) telles que :

,- = 3 − h12i- �j:- = 3 + 18�8 ∈ ℕ∗)

1° Montrer que ces deux suites sont adjacentes.

2° Que pouvez-vous en déduire ?

3° En utilisant l’algorithme suivant :

Données Initialisation

8 = 1 : = 4

Traitement Tant que : ≥ 3,01

Affecter à 8 la valeur 8 + 1

Affecter à : la valeur 3 + &-

Fin

Sortie /Affichage Afficher : le plus petit entier tel que :- < 3,01 est : 8

On a obtenu comme affichage : « le plus petit entier tel que :- < 3,01 est 101 ».

3° a. Ecrivez un algorithme sur votre copie qui affiche le plus petit entier tel que : ,- > 2,99.

3° b. Reproduire et compléter le tableau suivant à l’aide de votre algorithme (3°a), en faisant autant de colonnes que nécessaire, puis donner l’affichage final

Valeur de 8 1 …

Valeur de ,- 2,5 ….

3° c. Que pouvez-vous en déduire pour les suites �,-) et �:-) ?


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine et Turquoise 14/12/2011

4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.


Chacun traitera l’exercice II qui le concerne :

Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE

L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. (Précisez le nom de votre enseignant).

EXERCICE I : (8 points)

Partie A : On considère la fonction ℎ définie sur � par : o�p) = qp − p 1. Etudier le sens de variation de la fonction ℎ 2. En déduire que ℎ�") > 0 pour tout réel "

3. En déduire la justification de la limite de référence : r�sC→0u�C = +∞

Partie B : Etude préliminaire d’une fonction v définie sur � par v�p) = �w − p). qp − x

1. Déterminer les limites de la fonction ] en−∞ et en +∞.

2. Montrer que la fonction ] est dérivable sur �, calculer ]′�") et étudier son signe.

3. En déduire le tableau de variations de la fonction ].

4. Prouver que la fonction ] s’annule en exactement deux valeurs que l’on nommera α et β.

On prendra α < β.

5. Déterminer le signe de la fonction ] sur l’ensemble des réels.

6. Montrer que : �y = &�*y

.

Partie C : Etude d’une fonction ̂ définie par ̂ �p) = qp*xqp*p

.

1. Justifier que � est définie sur �

2. Déterminer les limites de la fonction � en –∞ et en +∞. Interpréter graphiquement.

3. Montrer que, pour tout réel ", on a : ��") = z�C)�{|*C)' Déterminer le signe de �′�") 4. Construire le tableau de variations de �. 5. Montrer que �� ) = &

y*&


EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE

La feuille annexe, à rendre avec la copie, portera les constructions demandées au cours de l’exercice.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct �K; ,LM; :M) , le point A a pour affixe �. On nomme � l'application qui, à tout point� d'affixe � avec � ≠ � associe le point �′ d'affixe �′ telle que : �� = *�'

�*( Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point �′connaissant le point �. 1. Un exemple : On considère le point ~ d'affixe 1 + �.1. a. Placer le point ~. 1. b. Déterminer l'affixe du point~′ image de ~ par �.1. c. Placer le point ~′.

2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas

2. a. On considère le point � d'affixe (�. Déterminer son image �′ par �. Que remarque-t-on ?

2. b. Un point est dit invariant par � s'il est confondu avec son image.

Démontrer qu'il existe deux points invariants par � dont on déterminera les affixes.

3. Un procédé de construction

On nomme � l'isobarycentre des points �, �, et �′, et �� l'affixe de �. 3. a. Vérifier l'égalité �� = &

/��*(). 3. b. En déduire que si � est un point du cercle de centre � de rayon �, alors � est un point du cercle de

centre K de rayon &/� .

3. c. Démontrer que ��]��) = −E,LM; ��LLLLLLMF. 3. d. Sur la figure ci-après, on a marqué un point � sur le cercle de centre � et de rayon

&� .

On nomme �′l'image de � par �.

Déduire des questions précédentes la construction du point � associé, puis la construction du point �′ et les réaliser sur la figure ci-après.


Annexe exercice II :

x

y

A

u→

v→

D

O


EXERCICE III : (1 point) Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une réponse erronée enlève 0,25 point. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Reportez sur votre copie le n° de l’affirmation et votre réponse. Aucune justification n’est demandée.

1. Si � est un réel quelconque et � est une fonction définie et strictement décroissante sur [�; +∞[ alors r�sC→0u��") = −∞ .

2. On considère un repère �K; �M; �M) du plan.

Si � est une fonction définie sur �*,

alors la droite d’équation " = 0 est asymptote à la courbe V̀ représentative de � dans le repère �K; �M; �M).

EXERCICE IV: (6 points) Partie A : 1. On considère l’algorithme : Entrée Initialisation

L’entier 8 : = 16 � = 0 Traitement Pour � variant de 1 à 8 � + : → � : + 8 → :

Fin Affichage Afficher � On choisit 8 = 5. Déterminer la valeur de S affichée.

On détaillera les différentes étapes. On pourra présenter les étapes sous la forme d’un tableau

Initialisation � … : … 2. On considère la suite arithmétique �:-)-∈ℕ

de raison 8 et de premier terme :. = 16 .

Justifier que la somme des 8 premiers termes de cette suite est égale à 48² + 128.

Vérifier que la somme des 5 premiers termes de la suite �:-)-∈ℕ est égale à la valeur de S affichée à la question1.

Partie B : On considère la suite �,-)-∈ℕ définie par : ,. = 5 et, pour tout entier 8 ≥ 1,

,- = h1 + 28i,-*& + 68

1. a. Calculer ,&.

1. b. Les valeurs de ,� à ,&&sont données ci-dessous :

8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ,- 45 77 117 165 221 285 357 437 525 621

À partir de ces données, calculer quelques termes de la suite ��-)-∈ℕ définie par �- = ,-0& − ,-,

puis conjecturer la nature de cette suite ��-)-∈ℕ

2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : ,- = 48² + 128 + 5.

3. En déduire �- en fonction de 8. Valider la conjecture émise à la question 1. b.


Lycée Saint Thomas d’Aquin 12 janvier 2012

DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures - COEFFICIENT : 7 (non spécialité) COEFFICIENT : 9 (spécialité) Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5 Ce sujet est composé de quatre exercices indépendants : Les exercices I, III et IV sont à traiter par tous les candidats.

Pour l’exercice II, chacun traitera celui qui le concerne :

Exercice II : spécialité ou Exercice II : non spécialité

Pour les élèves « spécialité Maths », l’exercice II sera traité sur une feuille séparée.

L’usage d’une seule calculatrice est autorisé, le prêt est interdit.

Le candidat doit traiter les quatre exercices qui le concernent « spécialité maths » ou « non spécialité maths » Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

La clarté et la précision des raisonnements, la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (6 points) POUR TOUS d’après Liban 2003 Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire v.

La fonction ] est définie sur � par : ]�") = 2�C + 2" − 7.

1. Restitution organisée de connaissances :

Prérequis : r�sC→0u�C = +∞. Montrer : r�sC→*u�C = 0

2. Etudier les limites de la fonction ] en −∞ et en +∞.

3. Etudier le sens de variation de la fonction ] sur �,

et donner son tableau de variation.

4. Montrer que l’équation ]�") = 0 admet dans � une solution unique α .

Donner une valeur approchée à 10*�près.

5. Etudier le signe de ]�") sur �

Partie B : Etude d’une fonction ̂ . La fonction � est définie sur � par : ��") = �2" − 5)�1 − �*C). 1. Etudier le signe de � sur �.

2. Etudier les limites de � en en −∞ et en +∞.

3. Calculer �′�"), où �′ désigne la fonction dérivée de �, et vérifier que �′�") et ]�") ont le même signe.

4. Dresser le tableau de variation de la fonction �.

5. Démontrer l’égalité : �� ) = ��y*�)'�y*�

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES : SERIE S

TS JAUNE - TS MARINE - TS VERTE


EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE

Les deux parties sont indépendantes Partie A :

Soit 8 ∈ �. On pose : � = 8�8� + 5). 1. Prouver par disjonction des cas que � est pair.

2. Prouver que � est un multiple de 3 :

a) par disjonction des cas.

b) par congruence.

Partie B :

On considère la suite �,-) d’entiers naturels définie par : D ,. = 14,-0& = 5,- − 6 pour tout entier naturel 8. 1. Calculer ,&, ,�, ,/et ,).

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de ,- ?

2. Montrer que pour tout entier naturel 8, ,-0� ≡ ,- ( modulo 4)

En déduire que pour tout entier naturel �, ,�� ≡ 2 ( modulo 4) et ,��0& ≡ 0 ( modulo 4)

3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 8, 2,- = 5-0� + 3.

b. En déduire que, pour tout entier naturel 8, 2,- ≡ 28 ( modulo 100).

4. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de ,- suivant les valeurs de 8.


EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE d’après Amérique du Sud Novembre 2011

Les deux parties sont indépendantes

Partie A : Soit � la fonction définie sur l’intervalle ] − 1;+∞[ par :

��") = 3 − 4" + 1

On considère la suite �,-) définie pour tout 8 ∈ � par : D ,. = 4,-0& = ��,-) 1. Démontrer que la fonction � est croissante sur ] − 1; +∞[.

2. On a tracé sur la feuille annexe, la courbe V représentative de la fonction � sur l’intervalle [0; +∞[et la droite D d’équation # = ". 2. a. Sur le graphique, placer sur l’axe des abscisses, ,., ,&, ,� et ,/. Faire apparaître les traits de construction.

2. b. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite �,-)?

3. Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 2. b.

3. a. Démontrer par un raisonnement par récurrence que : ,- ≥ 1pour tout 8 de �. 3. b. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : ,-0& ≤ ,- .

3. c. Déduire des questions précédentes que la suite �,-) est convergente et calculer sa limite.

4. A l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 0,01 près de ,/..

Partie B : Sur la feuille annexe, illustrer graphiquement la situation suivante :

« La fonction ] est affine, strictement croissante sur �, les suites �:-) et �>-) définies pour tout 8 de � par :-0& = ]�:-) et >-0& = ]�>-) de premier terme respectif :. et >., convergent vers 1 ; la suite �:-) est croissante et la suite �>-) est décroissante ». EXERCICE III : (4 points) POUR TOUS

Partie A Dans cette partie A : Aucune justification n’est demandée. En cas de total négatif, la note de la partie A sera ramenée à 0. Dans chacune des deux situations, précisez si l’affirmation est vraie ou fausse, Une réponse exacte rapporte 0.5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Affirmation 1 :

La droite d’équation # = 2" + 4 est asymptote à la courbe représentative de la fonction � définie sur � par :

��") = 2" + 4 + "� − 4"� + 1

Affirmation 2 :

Si � est une fonction définie et dérivable sur � telle que ��2) = 0

alors le réel ��2) est un extremum de la fonction �.


Partie B Dans cette partie B : Toutes les réponses doivent être justifiées.. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier. Vous démontrerez les affirmations vraies et vous donnerez un contre-exemple pour les affirmations fausses.

Affirmation 3 :

Pour tout nombre complexe �, on a : ��) = E��)F².

Affirmation 4 :

r�sC→.cos " − 1" = 0

Affirmation 5 : Si �,-), �:-), �>-) sont trois suites telles que :

• Pour tout 8 de � >- ≤ ,- ≤ :- • �>-) converge • �:-) converge

Alors la suite �,-) converge.

EXERCICE IV : (5 points) POUR TOUS Antilles Juin 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct �K; ,LM; :M). On prendra 2 cm pour unité graphique.

On appelle � le point d’affixe �. 1. On considère les points �, �, V, � d’affixes respectives :

� = −3 − � , � = −2 + 4� , � = 3 − � et ℎ = −2

Placer ces points sur une figure, qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que � est le centre du cercle � circonscrit au triangle ��V. Préciser le rayon du cercle �.

3. Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe �*��*�.

En déduire que les droites ��) et��V) sont perpendiculaires.

Dans la suite de l’exercice, on admet que � est l’orthocentre du triangle ��V, c’est-à-dire le point d’intersection des hauteurs du triangle ��V. 4. On note � le centre de gravité du triangle ��V. Déterminer l’affixe ] du point �. Placer � sur la figure.

5. Montrer que le centre de gravité �, le centre du cercle circonscrit � et l’orthocentre � du triangle ��V sont alignés. Le vérifier sur la figure.

6. On note �’le milieu de [�V] et ~ celui de [��]. Le point �’ a pour affixe �� = &�+ /

� �. 6. a. Déterminer l’affixe du point ~. 6. b. Démontrer que le quadrilatère ~��’� est un parallélogramme.


Annexe exercice II (non spécialité) : Partie A :

Partie B :

d

Cf

2 3 4 5

2

3

4

-1

0 1

1

x

y

2 3 4 5-1-2-3

2

3

-1

-2

0 1

1

x

y

N° Anonymat :

Ne pas inscrire son nom et sa classe !!!


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 09/02/2012 1 HEURE CALCULATRICE NON AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : ( 8 points ) D’après Amérique du Sud Novembre 2011

On considère la fonction ] définie sur l’intervalle ]0;�∞4 par ]�"� � "²�1 r8"�. 1. Déterminer la limite de ] en �∞. 2. Déterminer la limite de ] en 0. 3. Étudier les variations de la fonction ] sur l’intervalle 60;�∞4. 4. En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction ]sur l’intervalle 60; �∞4. EXERCICE II : ( 12 points ) D’après Polynésie Septembre 2008

On considère la fonction � définie sur � par ��"� � ln��C � 2�*C�. La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

1. a. Montrer que, pour tout réel ", ��"� � " � ln�1 � 2�*�C�. 1. b. Calculer r�sC→0u��"� 1. c. Montrer que la droite �� d'équation # � " est asymptote à (C). 2. La copie d’écran du logiciel XCas donne :

2. a. Réécrire avec les notations habituelles les résultats donnés sur les lignes 2 et 3 des copies d’écran. 2. b. Interpréter graphiquement l’information donnée à la ligne 3 3. Étude des variations de la fonction f.

3. a. La fonction � est dérivable sur �. Montrer que pour tout " réel, on a : ��"� � {'|*�{'|0�

3. b. Etudier le signe de �′�"� 3. c. Montrer que le minimum de la fonction � sur � est égal à

/� r82.




Chacun traitera l’exercice III qui le concerne : Ex III SPECIALITE ou Ex III NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. (Précisez le nom de votre enseignant). EXERCICE I : ( 6 points ) Cet exercice sur le thème des probabilités est constitué de deux parties distinctes. Exercice I : Partie A : Une urne Nouvelle Calédonie Novembre 2010 Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne.

On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.

1. a. Vérifier que �� 0) = /&. , puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire �.

1. b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire �.

1. c. Calculer la probabilité de l’événement suivant :

A : « les deux boules tirées sont de même couleur ».

2. On effectue deux tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante :

Si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.

2. a. En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des événements suivants :

B : « seule la première boule est verte »

C : « une seule des deux boules tirées est verte »

2. b. Sachant que l’on a tiré exactement une boule verte, quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?

NOM :


Exercice I : Partie B : Activité d’un manchot au zoo Nouvelle Calédonie Novembre 2009 Dans un zoo, l’unique activité d’un manchot est l’utilisation d’un bassin aquatique équipé d’un toboggan et d’un plongeoir.

On a observé que si un manchot choisit le toboggan, la probabilité qu’il le reprenne est 0,3.

Si un manchot choisit le plongeoir, la probabilité qu’il le reprenne est 0,8.

Lors du premier passage les deux équipements ont la même probabilité d’être choisis.

Pour tout entier naturel 8 non nul, on considère l’évènement :

�- : « le manchot utilise le toboggan lors de son n-ième passage ».

!- : « le manchot utilise le plongeoir lors de son n-ième passage ».

On considère alors la suite �,-� définie pour tout entier naturel 8 ≥ 1 par : ,- = ��-) où ��-) est la probabilité de l’évènement �-.

1. Donner les valeurs des probabilités ��&), ��!&) et des probabilités conditionnelles �� ) , �¡ ��) 2. Montrer que ��) = &

). 3. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous.

4. Démontrer que pour tout entier 8 ≥1, on a : ,-0& = 0,1,- + 0,2.

,-

�-0&

!-0&

�-0&

!-0&

EXERCICE II : (3 points) d’après Asie juin 2010

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct �K; ,LM; :M) d’unité 1 cm.

1. On considère les points �, �, V et P d’affixes respectives

� = −2� = 2 − 2�√3� = 3 + 3�√3� = 10 1. Construction de la figure.

a. Placer les points A et P dans le repère.

b. Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes b et c.

c. Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.

2. Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.

3. On note �T la rotation de centre A et d’angle ¢/.

a. Vérifier que l’image Q du point C par �T a pour affixe : £ = −4 + 4�√3.

b. Montrer que ¤ est l’image du point � par une homothétie de centre K dont on déterminera le rapport. 4. Soit R le symétrique de C par rapport à O.

Démontrer que les droites ��!), ��¤) et �V�) sont concourantes en K.


EXERCICE III : (5 points) NON SPECIALITE 2010 National Juin 2010

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : On considère l’équation différentielle �%� : #� � # � �*C

1. Montrer que la fonction , définie sur l’ensemble des nombres réels � par ,�"� � "�*C est une solution de l’équation différentielle �%� 2. On considère l’équation différentielle �%′�: #� � # � 0. Résoudre l’équation différentielle �%′� 3. Soit : une fonction définie et dérivable sur � . Montrer que la fonction : est une solution de l’équation différentielle �%� si et seulement si la fonction : , est solution de l’équation différentielle �%′� 4. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle �%�. 5. Déterminer l’unique solution ] de l’équation différentielle �%� telle que ]�0� � 2.

Partie B :

On considère la fonction �� définie sur l’ensemble � des nombres réels par ��"� � �" � ��*C où k est un nombre réel donné.

On note V� la courbe représentative de la fonction �� dans un repère orthogonal.

1. Montrer que la fonction �� admet un maximum en " � 1 �. 2. On note �� le point de la courbe V� d’abscisse 1 �.

Montrer que le point ��appartient à la courbe Γ d’équation # � �*C. 3. Sur le graphique ci-dessous le repère est orthogonal mais l’unité sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées ainsi que les noms des courbes n’apparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes :

- la courbeΓ d’équation # � �*C ;

- la courbe V� d’équation # � �" � ��*C pour un certain nombre réel � donné.

a. Identifier les courbes et les nommer.

b. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel � correspondante ainsi que l’unité graphique sur chacun des axes.


EXERCICE IV : ( 6 points) septembre 2011 national Partie A - Étude du signe d'une fonction On désigne par � la fonction définie sur l'intervalle 60; �∞4 par ��"� � "² � 4r8".

1. Déterminer le tableau de variation de la fonction � en précisant les limites de � en 0 et en �∞.

2. Démontrer que l'équation ��"� � 0 admet une solution et une seule dans l'intervalle 60;�∞4 . 3. En déduire le signe de ��"� selon les valeurs du réel strictement positif ".

Partie B - Une valeur approchée du réel ¦ défini dans la partie A

Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative (C) de la fonction ]

définie sur � par : ]�"� � �* §C' . On définit la suite �,-� par : D ,. � 0,5

,-0& � ]�,-� pour tout 8 ∈ �.

1. Vérifier que est l'unique solution de l'équation ]�"� � ".

2. Au moyen de la courbe (C) et de la droite d'équation # � ", représenter les termes ,&, ,� et ,/ de la suite �,-� sur l'axe des abscisses.

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite �,-�?

3. On admet que pour tout entier naturel 8, ,�- 7 7 ,�-0&. En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier 8 pour lequel les trois premières décimales de ,- et ,-0& sont identiques.

En déduire que 0,838 est une valeur approchée de à 10–3 près.

Partie C - Un problème de distance On appelle (L) la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction ̈ définie sur l'intervalle 60;�∞4 par ¨�"� � 2r8" . L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe (L), il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine K que tous les autres.

1. Soient M un point de la courbe (L) et " son abscisse. Exprimer K� en fonction de ".

2. a. Soit 1 la fonction définie sur l'intervalle 60; �∞4 par 1�"� � "² � 4�r8"�². Étudier les variations de la fonction h. On pourra utiliser la partie A.

b. En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe (L) tel que pour tout point M de (L), distinct de A, on ait OM > OA.

3. Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente TA à la courbe (L) au point A.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 05/04/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (10 points) d’après Antilles Septembre 2011

On considère la fonction � définie sur 60; �∞4 par : ��"� � "r8" 1.

Partie A : L’étude admise de la fonction ^ a donné :

• Tableau de variation : " 0

&{ �∞

�′�"� 0 +

��"�

1 �∞

� <&{= • L’équation ��"� � 0 admet une unique solution dans 60; �∞4 notée , avec © 1,8.

1° Montrer que : lnα � &y

2° Déterminer le signe de ��"� sur 60; �∞4. Partie B : Calcul d’une intégrale

On donne ci-contre la courbe C, représentation graphique de la fonction � dans un repère orthonormé.

On considère l’intégrale suivante : « � ¬ ��"��")y .

1. Justifier que l’intégrale « est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique.

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale

~ � ". r8"�")

y

On montrera que ~ � &) ²

&� � 16r82 4

3. Montrer l’égalité : « � &) ² �

&� 8 � 16r82

EXERCICE II : (10 points) d’après Amérique du Nord juin 2009

On considère la fonction f définie sur l’intervalle 40; 16 par �"� � �*C' . On admet que la fonction � est décroissante sur 40; 16. On définit la suite �,-� par :

,. � ��"��"&

.� �*C'�"

&

.

et pour tout entier naturel n non nul,

,- � "-��"��"&

.� "-�*C'�"

&

.

1. a. Démontrer que, pour tout réel " de l’intervalle 40; 16 : &{ 7 ��"� 7 1. b. En déduire que :

&{ 7 ,. 7 1.

2. Calculer ,&. 3. a. Démontrer que pour tout entier naturel 8, ,- ≥ 0.

b. Étudier les variations de la suite �,-�. c. En déduire que la suite �,-� est convergente.

Hors barème 4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, ,- 7 &-0&.

b. En déduire la limite de la suite �,-�.

Nom :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 26/04/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (5 points)

Situation 1 : On lance 8 fois un dé parfaitement équilibré,

1° Montrer que la probabilité d’obtenir au moins un 6 est égale à 1 − <�B=-

2° Déterminer le plus petit entier 8 tel que la probabilité de l’événement « au moins un lancer donne le 6 » soit supérieure ou égale à 0,99.

Situation 2 : Préciser la ou les réponses correctes (deux au maximum). Aucune justification n’est demandée

On tire au hasard et simultanément deux cartes d’un jeu de 32 cartes. La probabilité de n’obtenir ni un as, ni un pique, est égale à :

A : &.��)® B :

E' ' FE¯'' F C : �&'/�' D :

�'®'

EXERCICE II : (15 points) La Réunion juin 2008

Sauf indication contraire, tous les résultats seront arrondis à 10−2 près.

Une entreprise produit en grande quantité des stylos.

La probabilité qu'un stylo présente un défaut est égale à 0,1.

1. On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos.

On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés. a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité des événements suivants :

A : « il n'y a aucun stylo avec un défaut » ;

B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ;

C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ».

2. En vue d'améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous les stylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut.

On prend au hasard un stylo dans la production.

On note D l'événement « le stylo présente un défaut », et E l'événement « le stylo est accepté ».

a. Construire un arbre traduisant les données de l'énoncé.

b. Calculer la probabilité qu'un stylo soit accepté au contrôle.

c. Justifier que la probabilité qu'un stylo ait un défaut sachant qu'il a été accepté au contrôle est égale à 0,022 à 10−3 près.

3. Après le contrôle on prélève successivement et avec remise huit stylos parmi les stylos acceptés.

Calculer la probabilité qu'il n'y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l'événement A calculée à la question 1. b. Quel commentaire peut-on faire ?




Chacun traitera l’exercice II qui le concerne : Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. (Précisez le nom de votre enseignant). EXERCICE I : (3 points) Polynésie 2010

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal EK; �M; �M; �LMF, on considère :

- les points ��1; 1; 1) et ��3; 2; 0) ; - le plan (P) passant par le point B et admettant le vecteur ��LLLLLM pour vecteur normal ;

- le plan (Q) d’équation : " − # + 2� + 4 = 0

- la sphère (S) de centre � et de rayon ��.1. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (P) est : 2" + # − � − 8 = 0

2. Déterminer une équation de la sphère (S).

3. Calculer la distance du point � au plan (Q). Le plan (Q) est-il tangent à la sphère (S) ?

4. Montrer que le point V de coordonnées �0; 2; −1) est le projeté orthogonal de � sur le plan (Q).

EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE Nouvelle Calédonie Novembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct �K; ,LM; :M). On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans � l’équation : �² − 2� + 2 = 0 2. Soit �, �, V et � les points d’affixes respectives : �T = 1 + � ; �U = �T° ; �W = 2�Uet �g = 3. Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points �, � et V appartiennent à un même cercle de centre � dont on précisera le rayon.

4. Calculer �±*/�²*/ . En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre � et de rapport 2. On note r la rotation de centre � et d’angle ¢�. On

appelle V′ l’image de V par h et V′′ l’image de V′ par r.

Montrer que les droites ��V) et �V�V′′) sont perpendiculaires.


EXERCICE III : (6 points) Polynésie septembre 2011

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

– « À quel niveau est votre bureau ? » – « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »

Voici les réponses :

• 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2e niveau et 100 vont au 3e niveau.

• Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont au 1er niveau.

On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les évènements suivants :

• N1 : « La personne va au premier niveau. » • N2 : « La personne va au deuxième niveau. » • N3 : « La personne va au troisième niveau. » • E : « La personne emprunte l’escalier. »

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier est égale à &&�

.

2. b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.

2. c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e niveau.

3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2e niveau.

3. a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

3. b. Déterminer, à 10–4 près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2e niveau.

3. c. En moyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2e niveau ?

4. a. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais n personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

Exprimer en fonction de 8 la probabilité �- qu’au moins une personne aille au 2ème niveau. 4. b. On considère l’algorithme :

Entrée 8 entier

Affecter à 8 la valeur 0.

Traitement Tant que : 1 − <�/=- < 0,9

Affecter à 8 la valeur 8 + 1 Fin Tantque

Sortie Afficher 8.

Quelle est la valeur de 8 affichée à l’issue du fonctionnement de l’algorithme ? Interpréter cette valeur.

4. c. Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un personne va au 2e niveau » soit supérieure ou égale à 0,99.


EXERCICE IV : (6 points) Polynésie Septembre 2011

Partie A Question de cours

Soit I un intervalle de �. Soient , et : deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions

dérivées ,’ et :’ soient continues sur I.

Rappeler et démontrer la formule d’intégration par parties sur un intervalle 4�; �6 de I. Partie B

On considère les fonctions � et ] définies sur � par : ��"� � �" 1��*C et ]�"� � /� �" 1�²

On note respectivement V& et V� les courbes représentatives de � de ] dans le plan muni d’un repère orthonormal �K; �M; �M�. Les courbes sont tracées ci-dessous.

1. a. Déterminer les coordonnées des points communs à V& et V� 1. b. Déterminer les positions relatives de V& et V� sur �.

2. a. À l’aide de deux intégrations par parties successives, montrer que ¬ ��"��"&. � 1 �

{. 2. b. Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par les courbes V& et V� et les droites d’équations " � 0 et " � 1.

Partie C

On considère la suite �,-� définie pour tout entier naturel 8 non nul par : ,- � ¬ �" 1��-�*C�"&. .

1. a. Démontrer que, pour tout " de 40; 16 et pour tout entier naturel 8 non nul,

0 7 �" 1��-�*C 7 �" 1��-

1. b. Démontrer que, pour tout entier naturel 8 non nul, on a : 0 7 ,- 7 &�-0&.

2. En déduire que la suite �,-� est convergente et déterminer sa limite.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 29/05/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : (6 points) d’après Amérique du sud Novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée. Reportez le n° de la proposition et votre choix. Une réponse exacte rapporte 1,5 point, une réponse erronée enlève 0,75 point.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal EK; �M; �M; �LMF. On considère le point A de coordonnées �– 1; – 1; 1) et les droites � et �’ de représentations paramétriques :

�: ´ " = 2j − 1# = −3j + 2� = j �j ∈ � ) �′: ´ " = 3j�# = j� + 2� = 3j� − 2�j′ ∈ � )

P1 : « Le plan perpendiculaire à la droite � passant par le point K a pour équation 2" − 3# + � = 0

P2 : « Les droites � et �’sont orthogonales ». P3 : « Les droites � et �’ sont coplanaires ».

P4 : « La distance du point A au plan d’équation 2" − 3# + � = 0 est : √&)�

EXERCICE II: (14 points) Antilles septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal EK; �M; �M; �LMF. On considère les trois points �, � et V de coordonnées respectives :

�E– 1; 2; 1F, �E1; – 6; – 1F�jV�2; 2; 2). 1. a. Vérifier que les points �, ��jV définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur 8LM µ 11−3¶ est un vecteur normal au plan ��V). c. Déterminer une équation cartésienne du plan ��V).

2. Soit P le plan d’équation :" − # + � − 4 = 0

a. Montrer que les plans ��V) et P sont sécants. b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite D.

3. On considère la sphère S de centreΩ�3; 1; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées �2; – 1; 1).On admet que la droite D a pour représentation paramétrique�: ´ " = 1 + j# = −3 + 2j� = j �j ∈ �).

a. Montrer que le point I appartient à la droite D.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droite D coupe la sphère S en un deuxième point.

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TS 2011-2012 sujets - maths.ab.free.frmaths.ab.free.fr/TS 2011-2012 sujets.pdf · DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS MARINE 06/10/2011 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT