BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

PHẠM NGỌC CHUNG

NGHIÊN CỨU ĐÁP ỨNG NHIỆT CỦA VỆ TINH NHỎ

TRÊN QUỸ ĐẠO THẤP CHỊU TÁC DỤNG

CỦA MÔI TRƯỜNG NHIỆT VŨ TRỤ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

PHẠM NGỌC CHUNG

NGHIÊN CỨU ĐÁP ỨNG NHIỆT CỦA VỆ TINH NHỎ

TRÊN QUỸ ĐẠO THẤP CHỊU TÁC DỤNG

CỦA MÔI TRƯỜNG NHIỆT VŨ TRỤ

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật

Mã số: 9 52 01 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TSKH. Nguyễn Đông Anh

2. PGS. TS. Đinh Văn Mạnh

Hà Nội – 2019

i

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

n, N số nguyên dương

, , , ,p q r ,Q số bất kỳ

nf t đạo hàm cấp n của hàm f

p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f

G p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald - Letnikov

R p

aD f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville

C p

aD f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo

W pD f t tích phân cấp phân số theo Weyl

_

0

D E pD f t đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex

. hàm Gamma

. hàm Beta

. hàm Mittag – Leffler một tham số

, .E hàm Mittag – Leffler hai tham số

. Trung bình theo thời gian

x Đạo hàm theo thời gian của x

MPS Mô phỏng số

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và chưa được

công bố trong bất cứ công trình nào khác. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là

trung thực.

Tác giả luận án

Phạm Ngọc Chung

ii

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Đông Anh và

PGS.TS Đinh Văn Mạnh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận

lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận án này.

Tác giả xin cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các cán bộ Khoa Cơ học và Tự

động hóa, Học viện Khoa học và Công nghệ đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ

nghiên cứu sinh trưởng thành trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả trân trọng cảm ơn Phòng Cơ học công trình, Viện Cơ học, Viện

Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận

lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Phòng.

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo và các bạn đồng

nghiệp trong seminar Cơ học kỹ thuật đã có những góp ý quý báu trong quá trình

tác giả thực hiện luận án.

Tác giả trân trọng cám ơn các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp trong Bộ

môn Cơ học lý thuyết, Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Mỏ-Địa chất đã

luôn quan tâm, giúp đỡ và động viên để tác giả hoàn thành luận án.

Tác giả chân thành cảm ơn ThS. Nguyễn Như Hiếu đã có nhiều thảo luận

và trao đổi hữu ích trong quá trình nghiên cứu của tác giả luận án.

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,

những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án

này.

iii

MỤC LỤC

Lời cam đoan .................................................................................................... i

Lời cảm ơn ....................................................................................................... ii

Mục lục ............................................................................................................. iii

Danh mục các thuật ngữ và chữ viết tắt ........................................................... vi

Danh mục các bảng .......................................................................................... vii

Danh mục các hình vẽ ..................................................................................... viii

Mở đầu .............................................................................................................. 1

Chương 1. Tổng quan về bài toán phân tích nhiệt vệ tinh ................................. 5

1.1. Tổng quan về vệ tinh ............................................................................................ 5

1.1.1. Khái niệm và phân loại vệ tinh ................................................................. 5

1.1.2. Các khối chức năng cơ bản của vệ tinh .................................................... 7

1.1.3. Quá trình điều khiển nhiệt ........................................................................ 9

1.2. Mô hình toán học cho bài toán phân tích nhiệt vệ tinh ...................................... 10

1.2.1. Nút nhiệt ................................................................................................. 11

1.2.2. Sự truyền nhiệt giữa các nút ................................................................... 13

1.2.3. Qũy đạo thấp và các tải nhiệt môi trường vũ trụ tác động lên vệ tinh ... 16

1.3. Phương trình cân bằng nhiệt của vệ tinh dạng tổng quát .................................. 21

1.4. Vấn đề giải bài toán phân tích nhiệt vệ tinh ....................................................... 22

1.5. Tóm tắt các bước phân tích nhiệt cho vệ tinh .................................................... 22

1.6. Tổng quan về một số vấn đề trong bài toán phân tích nhiệt vệ tinh .................. 23

1.7. Kết luận chương 1 .............................................................................................. 32

Chương 2. Phân tích đáp ứng nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp dựa trên

mô hình nhiệt một nút ..................................................................................... 33

2.1. Mô hình nhiệt một nút ........................................................................................ 33

2.2. Các nguồn nhiệt tác động lên vệ tinh trong mô hình một nút ............................ 33

2.2.1. Bức xạ mặt trời ....................................................................................... 33

2.2.2. Bức xạ albedo của Trái đất ..................................................................... 34

2.2.3. Bức xạ hồng ngoại .................................................................................. 35

iv

2.3. Phương trình cân bằng nhiệt một nút ................................................................. 35

2.4. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu ............... 36

2.5. Nghiệm xấp xỉ cho phương trình cân bằng nhiệt một nút................................. 39

2.6. Cách tiếp cận dựa trên giả thiết của Grande cho mô hình nhiệt một nút .......... 41

2.7. Phân tích nhiệt cho mô hình một nút ................................................................. 43

2.7.1. Phương pháp Newton-Raphson giải hệ của hệ đại số phi tuyến của các

hệ số tuyến tính hóa .......................................................................................... 43

2.7.2. Đáp ứng nhiệt trong mô hình nhiệt một nút .......................................... 46

2.8. Kết luận chương 2 .............................................................................................. 54

Chương 3. Phân tích đáp ứng nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp dựa trên

mô hình nhiệt hai nút ..................................................................................................... 55

3.1. Mô hình nhiệt hai nút ......................................................................................... 55

3.2. Các tải nhiệt tác động lên vệ tinh trong mô hình nhiệt hai nút .......................... 55

3.3. Phương trình cân bằng nhiệt hai nút .................................................................. 56

3.4. Cách tiếp cận giải tích dựa trên giả thiết của Grande cho mô hình nhiệt hai nút 58

3.4.1. Nhiệt độ cân bằng trung bình ................................................................. 58

3.4.2. Dao động nhiệt quanh nhiệt độ trung bình ............................................. 58

3.5. Tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa cho mô hình nhiệt hai

nút .............................................................................................................................. 60

3.6. Phân tích nhiệt cho mô hình hai nút ................................................................. 66

3.6.1. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian ........................................ 67

3.6.2. Vòng giới hạn và tính nhạy cảm của điều kiện đầu .............................. 68

3.6.3. Phân tích sai số và thời gian nghiệm ..................................................... 71

3.6.4. Sự phụ thuộc của nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt vào nhiệt dung 75

3.7. Đặc điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối

ngẫu khi áp dụng cho bài toán nhiệt vệ tinh ............................................................. 79

3.8. Kết luận Chương 3 ............................................................................................. 80

Chương 4. Tính toán đáp ứng nhiệt cho vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp sử dụng

mô hình nhiệt nhiều nút ................................................................................... 82

4.1. Nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho cánh vệ tinh ....................................................... 82

v

4.1.1. Mô hình nhiệt hai nút cho cánh vệ tinh .................................................. 82

4.1.2. Quỹ đạo và tư thế vệ tinh trong tính toán nhiệt cho cánh ..................... 82

4.1.3. Các nguồn nhiệt tác động lên cánh ........................................................ 84

4.1.4. Phương trình cân bằng nhiệt hai nút của cánh ...................................... 89

4.1.5. Đáp ứng nhiệt của cánh ......................................................................... 90

4.2. Nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho một vệ tinh dạng hình hộp chữ nhật ............... 92

4.2.1. Mô hình nhiệt sáu nút cho vệ tinh và các kịch bản quỹ đạo của nó ...... 92

4.2.2. Kịch bản Cold Case cho mô hình nhiệt sáu nút (CC) ........................... 93

4.2.3. Kịch bản Hot Case (HC) cho mô hình nhiệt sáu nút ........................... 102

4.3. Nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho vệ tinh hình hộp khi gắn thêm cánh .............. 103

4.3.1. Mô hình nhiệt tám nút cho vệ tinh....................................................... 103

4.3.2. Kịch bản Cold Case (CC) .................................................................... 104

4.3.3. Kịch bản Hot Case đối với thân vệ tinh (HC1) ................................... 113

4.3.4. Kịch bản Hot Case đối với cánh vệ tinh (HC2) ................................... 113

4.4. Kết luận Chương 4 ........................................................................................... 114

Kết luận chung............................................................................................... 116

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án của tác giả ....... 118

Tài liệu tham khảo ......................................................................................... 119

vi

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VÀ CHỮ VIẾT TẮT

alb Viết tắt của từ tiếng Anh (alb: albedo)

sol Viết tắt của từ tiếng Anh (sol: solar)

dis Viết tắt của từ tiếng Anh (dis: dissipation)

AU Đơn vị vũ trụ (khoảng cách trung bình giữa Mặt trời và Trái đất, khoảng

150 triệu km)

CC Cold Case: Một kịch bản dùng trong tính toán nhiệt vệ tinh

HC Hot Case: Một kịch bản dùng trong tính toán nhiệt vệ tinh

IR Bức xạ hồng ngoại (IR: Infared Radiation)

LEO Viết tắt của cụm từ tiếng Anh “Low Earth Orbit”: quỹ đạo thấp quanh

Trái đất

MEO Viết tắt của cụm từ tiếng Anh “Medium Earth Orbit”: quỹ đạo tầm

trung quanh Trái đất

HEO Viết tắt của cụm từ tiếng Anh “Highly Elliptical Orbit”: quỹ đạo tầm

cao dạng elip

RK Runge-Kutta

G Giá trị trung bình thu được từ phương pháp Grande

DC Giá trị trung bình thu được từ phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu

chuẩn đối ngẫu (DC: Dual Criterion)

CL Giá trị trung bình của đáp ứng thu được từ phương pháp tuyến tính hóa

thông thường (CL: Conventional Linearization)

G Biên độ đáp ứng thu được từ phương pháp Grande

DC Biên độ áp ứng thu được từ phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn

đối ngẫu

CL Biên độ áp ứng thu được từ phương pháp tuyến tính hóa theo tiêu chuẩn

thông thường

vii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Ngưỡng nhiệt độ của các thiết bị vệ tinh ................................................... 9

Bảng 2.1. Tham số hệ dùng để tính toán đáp ứng nhiệt của vệ tinh trong mô hình

một nút....................................................................................................................... 46

Bảng 2.2. Nhiệt độ trung bình không thứ nguyên với các giá trị nhiệt dung C khác

nhau ........................................................................................................................... 50

Bảng 2.3. Biên độ nhiệt không thứ nguyên với các giá trị nhiệt dung C khác nhau ... 50

Bảng 3.1. Các tham số hệ dùng để tính toán đáp ứng nhiệt của vệ tinh cho mô hình

nhiệt hai nút ............................................................................................................... 67

Bảng 3.2. Nhiệt độ trung bình không thứ nguyên của nút ngoài với các giá trị nhiệt

dung 2C khác nhau ................................................................................................... 78

Bảng 3.3. Biên độ nhiệt không thứ nguyên của nút ngoài với các giá trị nhiệt

dung 2C khác nhau ................................................................................................... 78

Bảng 4.1. Các tham số hệ dùng trong tính toán nhiệt cho cánh vệ tinh ................... 84

Bảng 4.2. Thứ tự các nút trong tính toán nhiệt của mô hình sáu nút ........................ 94

Bảng 4.3. Các tham số vật liệu trong tính toán nhiệt của mô hình sáu nút .............. 94

Bảng 4.4. Giá trị của iC và ,dis iQ trong tính toán nhiệt của mô hình sáu nút ........... 99

Bảng 4.5. Nhiệt độ ước lượng lớn nhất và nhỏ nhất của các nút trong mô hình sáu

nút trong kịch bản CC ............................................................................................. 102

Bảng 4.6. Thứ tự các nút trong tính toán nhiệt trong mô hình tám nút .................. 105

Bảng 4.7. Các tham số vật liệu trong tính toán nhiệt mô hình tám nút .................. 105

Bảng 4.8. Giá trị của iC và ,dis iQ cho tính toán nhiệt trong mô hình tám nút ........ 108

Bảng 4.9. Nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất của các nút trong mô hình tám nút ........ 109

viii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 1.1. Thang đo phân loại vệ tinh theo khối lượng ............................................... 6

Hình 1.2. Các phân hệ vệ tinh và chức năng của nó .................................................. 7

Hình 1.3. Minh họa rời rạc hóa một miền thành các nút với nhiệt độ và nhiệt dung

tương ứng .................................................................................................................. 11

Hình 1.4. Dẫn nhiệt giữa hai nút .............................................................................. 13

Hình 1.5. Truyền nhiệt bằng đối lưu ........................................................................ 13

Hình 1.6. Mô hình trao đổi bức xạ giữa hai bề mặt .................................................. 15

Hình 1.7. Minh họa hình học khi tính hệ số quan sát giữa hai bề mặt ..................... 16

Hình 1.8. Định hướng mặt phẳng quỹ đạo với mặt trời ........................................... 17

Hình 1.9. Sự trao đổi nhiệt của vệ tinh trên quỹ đạo thấp của Trái đất .................... 18

Hình 2.1. Dáng điệu bức xạ mặt trời và bức xạ albedo trong một chu kỳ quỹ đạo..35

Hình 2.2. Sơ đồ giải lặp cho phương trình (2.45) bằng phương pháp Newton-

Raphson ..................................................................................................................... 44

Hình 2.3. Miền hút của phương pháp Newton-Raphson cho hệ phi tuyến của các hệ

số tuyến tính hóa a và b ......................................................................................... 45

Hình 2.4. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên với các điều kiện đầu 0 0

khác nhau................................................................................................................... 47

Hình 2.5. Quỹ đạo pha của nhiệt độ không thứ nguyên trong ba chu kỳ quỹ

đạo của vệ tinh .......................................................................................................... 47

Hình 2.6. Diễn tiến của nhiệt độ không thứ nguyên với các phương pháp

khác nhau................................................................................................................... 48

Hình 2.7. Đồ thị của P và H của tải nhiệt đầu vào ................................................... 48

Hình 2.8. Nhiệt độ trung bình không thứ nguyên đối với nhiệt dung C theo các

phương pháp khác nhau ............................................................................................ 49

Hình 2.9. Biên độ nhiệt không thứ nguyên đối với nhiệt dung C theo các phương

pháp khác nhau .......................................................................................................... 49

Hình 2.10. Tỷ số nhiệt độ trung bình của vệ tinh so với nhiệt độ trung bình tham

chiếu (ứng với ea = 0.31) ......................................................................................... 51

ix

Hình 2.11. Tỷ số biên độ nhiệt của vệ tinh so với biên độ nhiệt tham chiếu (ứng với

ea = 0.31) .................................................................................................................. 52

Hình 2.12. Khảo sát nhiệt độ trung bình ứng với các giá trị khác nhau của hệ số hấp

thụ bề mặt s ............................................................................................................ 53

Hình 2.13. Khảo sát biên độ nhiệt của nút ứng với các giá trị khác nhau của hệ số

hấp thụ bề mặt s ..................................................................................................... 53

Hình 3.1. Mô hình nhiệt hai nút .............................................................................. 56

Hình 3.2. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên của nút ngoài và nút trong theo thời

gian không thứ nguyên .............................................................................................. 68

Hình 3.3. Diễn tiến nhiệt độ của hai nút trong quan sát ba chiều ............................ 69

Hình 3.4. Một số các điểm đặc trưng trên vòng giới hạn ......................................... 69

Hình 3.5. Diễn tiến nhiệt độ của nút ngoài theo thời gian với các điều kiện đầu

10 1 0 khác nhau ............................................................................................... 70

Hình 3.6. Diễn tiến nhiệt độ của nút trong theo thời gian với các điều kiện đầu

20 2 0 khác nhau ............................................................................................... 71

Hình 3.7. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên của nút ngoài 1 theo các phương

pháp khác nhau .......................................................................................................... 72

Hình 3.8. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên của nút trong 2 theo các phương

pháp khác nhau .......................................................................................................... 72

Hình 3.9. So sánh sai số tuyệt đối của nghiệm giữa ba phương pháp giải tích với

phương pháp RK cho nút ngoài ................................................................................ 73

Hình 3.10. So sánh sai số tuyệt đối của nghiệm giữa ba phương pháp giải tích với

phương pháp RK cho nút trong ................................................................................. 73

Hình 3.11. So sánh thời gian nghiệm của các phương pháp thông qua số chu kỳ quỹ

đạo ............................................................................................................................. 75

Hình 3.12. Nhiệt độ trung bình của nút ngoài theo giá trị 2C với các phương pháp

khác nhau................................................................................................................... 76

Hình 3.13. Biên độ nhiệt của nút ngoài theo giá trị 2C với các phương pháp khác

nhau ........................................................................................................................... 76

x

Hình 3.14. Nhiệt độ trung bình của nút trong theo giá trị 2C với các phương pháp

khác nhau................................................................................................................... 77

Hình 3.15. Biên độ nhiệt của nút trong theo giá trị 2C với các phương pháp khác

nhau ........................................................................................................................... 77

Hình 4.1. Mô hình của cánh vệ tinh ......................................................................... 82

Hình 4.2. Quỹ đạo và tư thế của vệ tinh trong tính toán nhiệt cho cánh trong kịch

bản 1 .......................................................................................................................... 83

Hình 4.3. Quỹ đạo và tư thế của vệ tinh trong tính toán nhiệt cho cánh trong kịch

bản 2 .......................................................................................................................... 83

Hình 4.4. Dòng nhiệt mặt trời ,1solq mà mặt trước nhận được trong kịch bản 1, với

các tham số hệ cho trong Bảng 4.1 ........................................................................... 85

Hình 4.5. Dòng nhiệt bức xạ hồng ngoại ,1IRq và albedo ,1albq mà mặt trước nhận

được trong kịch bản 1, với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1 ................................ 87

Hình 4.6. Dòng nhiệt bức xạ hồng ngoại ,2IRq và albedo ,2albq mà mặt sau nhận được

trong kịch bản 1, với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1 ......................................... 87

Hình 4.7. Dòng nhiệt mặt trời ,1solq mà mặt trước nhận được trong kịch bản 2, với

các tham số hệ cho trong Bảng 4.1 ........................................................................... 88

Hình 4.8. Dòng nhiệt mặt trời , 2solq mà mặt sau nhận được trong kịch bản 2, với

các tham số hệ cho trong Bảng 4.1 ........................................................................... 88

Hình 4.9. Dòng nhiệt bức xạ hồng ngoại , 2IRq và albedo , 2albq mà mặt sau nhận

được trong kịch bản 2, với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1 ................................ 89

Hình 4.10. Đồ thị nhiệt độ của các mặt trước và mặt sau của cánh vệ tinh trong

kịch bản 1 .................................................................................................................. 91

Hình 4.11. Đồ thị nhiệt độ của các mặt trước và mặt sau của cánh vệ tinh trong

kịch bản 2 .................................................................................................................. 91

Hình 4.12. Một mô hình của vệ tinh hình hộp ......................................................... 92

Hình 4.13. Tư thế “hướng vào tâm Trái đất” của vệ tinh trong kịch bản CC ......... 93

Hình 4.14. Vị trí vệ tinh trong tính toán tải nhiệt trong kịch bản CC ...................... 93

xi

Hình 4.15. Dòng nhiệt mặt trời trực tiếp ,s Xq

tác động lên mặt +X với các tham số

cho trong Bảng 4.3 .................................................................................................... 95

Hình 4.16. Dòng nhiệt mặt trời trực tiếp ,s Xq

tác động lên mặt -X với các tham số

cho trong Bảng 4.3 .................................................................................................... 96

Hình 4.17. Dòng nhiệt mặt trời , Zsq

tác động lên mặt +Z với các tham số cho

trong Bảng 4.3 ........................................................................................................... 97

Hình 4.18. Các dòng nhiệt tác động lên mặt Z với các tham số cho trong Bảng

4.3 .............................................................................................................................. 98

Hình 4.19. Diễn tiến nhiệt độ của sáu nút của vệ tinh trong kịch bản CC ............. 101

Hình 4.20. Diễn tiến nhiệt độ của sáu nút theo thời gian trong kịch bản HC ........ 103

Hình 4.21. Một mô hình của vệ tinh hình hộp có gắn thêm cánh .......................... 104

Hình 4.22. Tư thế của vệ tinh trong kịch bản CC (mô hình tám nút) ................... 106

Hình 4.23. Dòng nhiệt mặt trời mà các mặt nhận được với tham số hệ cho trong

Bảng 4.7 .................................................................................................................. 106

Hình 4.24. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian trong kịch bản CC......... 108

Hình 4.25. Diễn tiến nhiệt độ của nút 8 theo thời gian với các hệ số hấp thụ F

khác nhau................................................................................................................. 110

Hình 4.26. Sai số giữa nhiệt độ lớn nhất của mặt trước ứng với các giá trị F khác

nhau khi so sánh với trường hợp 0.92F .......................................................... 110

Hình 4.27. Diễn tiến nhiệt độ của nút 8 theo thời gian với các giá trị của hệ số phát

xạ F khác nhau ...................................................................................................... 111

Hình 4.28. Nhiệt độ của nút 8 như là hàm đối với nhiệt độ của nút 7 ................... 111

Hình 4.29. Nhiệt độ của nút 7 như là hàm của nhiệt độ nút 1 với các giá trị R

khác nhau................................................................................................................. 112

Hình 4.30. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian trong kịch bản HC1 ...... 113

Hình 4.31. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian trong kịch bản HC2 ...... 114

1

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu vũ trụ là một trong những hoạt động quan trọng trong quá trình

chinh phục và sử dụng khoảng không vũ trụ phục vụ lợi ích của loài người. Khoa

học và công nghệ vũ trụ ngày nay đã được ứng dụng hết sức rộng rãi và có hiệu quả

trong phát triển kinh tế, văn hoá, giáo dục, y tế, an ninh, quốc phòng… của nhiều

quốc gia tiên tiến trên thế giới, bao gồm cả các nước đang phát triển [1]. Với xu thế

phát triển khoa học công nghệ hiện nay, công nghệ vũ trụ được xác định là một

trong những công nghệ ưu tiên cần phát triển trong thế kỷ 21 [2].

Trong quá trình đó các nước phát triển như Anh, Pháp, Mỹ… đã đi đầu trong

lĩnh vực chế tạo các loại vệ tinh để thực hiện nhiều nhiệm vụ khám phá không gian

khác nhau (NASA 1740, [3]). Còn đối với các nước đang phát triển, công nghệ vũ

trụ cũng là một trong những lĩnh vực đang được ưu tiên đầu tư nghiên cứu. Việt

Nam cũng đang trong quá trình khám phá lĩnh vực đầy mới mẻ này. Với một số vệ

tinh như Vinasat-1, Vinasat-2, VNREDSat-1, PicoDragon, Nano F-1 được đưa vào

vũ trụ, Việt Nam dần chứng tỏ khả năng tiếp cận với công nghệ không gian, phục

vụ nhu cầu phát triển kinh tế xã hội và an ninh quốc phòng.

Việc nghiên cứu chế tạo vệ tinh có kích thước lớn là một quá trìn “dài hơi”,

đầy tốn kém…Tuy nhiên “vệ tinh nhỏ” thì có một số ưu điểm hơn, đó là do nó có

thời gian phát triển ngắn, chi phí thấp, hiệu quả kinh tế cao...[4, 5]. Cụm từ “vệ tinh

nhỏ” chỉ cách phân loại vệ tinh dựa trên thang đo khối lượng với các nhóm sau: vệ

tinh cỡ nano và pico (<10 kg), vệ tinh cỡ micro (10-100 kg) và vệ tinh cỡ mini

(100-500 kg) [1, 6, 7]. Các vệ tinh này thường chuyển động trên quỹ đạo thấp của

Trái đất, tức là ở độ cao khoảng từ 300 km đến 1000 km [3, 8]. Vệ tinh cỡ trung

bình và cỡ lớn có khối lượng tương ứng lớn hơn 500 kg và 1000 kg. Trong hơn một

thập kỷ qua, số lượng các vệ tinh nhỏ với các nhiệm vụ khác nhau được nghiên cứu

và phát triển đã tăng lên đáng kể [9]. Điều này chứng tỏ rằng việc nghiên cứu và

phát triển một vệ tinh nhỏ là rất hữu ích và có ý nghĩa.

Trong kỹ thuật không gian nói chung, trong công nghệ vệ tinh nói riêng sự

hoạt động của một loại thiết bị nào đấy có thể không chính xác nếu nó chịu tác động

của điều kiện môi trường không gian khắc nghiệt trong một thời gian dài. Để đảm

2

bảo các thiết bị đặt trong vệ tinh (như các thiết bị điện tử, thiết bị quang học…) có

thể hoạt động ổn định và tin cậy trong một khoảng nhiệt độ thiết kế, người ta cần

điều khiển nhiệt cho chúng dựa trên các kỹ thuật nhiệt khác nhau. Do đó, bài toán

nghiên cứu, phân tích đáp ứng nhiệt là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất

trong quá trình thiết kế, sản xuất và phóng một vệ tinh lên quỹ đạo của nó [4, 6, 10].

Để nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho vệ tinh người ta có thể sử dụng mô hình

“tham số phân bổ”, tức mô tả vệ tinh như là một mạng lưới rời rạc các nút, với mỗi

nút có một phương trình cân bằng nhiệt tương ứng [11]. Vệ tinh có thể được mô

hình bởi một nút, hai nút hoặc nhiều nút nhiệt. Trong một số bài toán với giả thiết

phù hợp thì mô hình nhiệt một nút, hai nút có thể mô tả một cách tốt nhất đáp ứng

nhiệt của vệ tinh với độ chính xác tin cậy, chẳng hạn các bài toán vệ tinh xoay

quanh trục của nó và trục này vuông góc với tia sáng mặt trời. Mô hình nhiệt nhiều

nút thường phù hợp cho vệ tinh có cấu trúc phức tạp mà ở đó mỗi nút thường gắn

cho một thành phần thiết bị hoặc một bề mặt của vệ tinh có nhiệt độ thay đổi không

đáng kể trong phạm vi bề mặt nút.

Người ta có thể tiếp cận giải bài toán phân tích nhiệt vệ tinh thông qua các

công cụ tính toán số được đóng gói trong các phần mềm chuyên biệt. Tuy nhiên

nhược điểm của cách tiếp cận này là thời gian tính toán lớn và mất nhiều tài nguyên

máy tính. Khi thay đổi các thông số thiết kế, quá trình tính có thể đòi hỏi phải thực

hiện lại từ đầu, dẫn đến sự “đắt đỏ” về chi phí thời gian tính toán. Hệ quả là có thể

giảm hiệu suất công việc ở mức độ nào đó. Trong nhiều tình huống, người ta chỉ ra

rằng phương pháp giải tích có thể chiếm ưu thế về sự tiện lợi và thời gian tính toán,

vì nó có thể ước lượng nhanh đáp ứng nhiệt của một thành phần vệ tinh nào đó với

độ chính xác nhất định. Tuy nhiên, lĩnh vực phân tích nhiệt cho vệ tinh là lĩnh vực

khá đặc thù, hiện nay có rất ít các công cụ giải tích hiệu quả để giải quyết bài toán

này vì có sự xuất hiện của số hạng phi tuyến bậc bốn liên quan đến bức xạ nhiệt,

vốn gây khó khăn trong các tính toán giải tích. Vì những lý do cơ bản ở trên mà tác

giả đã chọn tên đề tài của luận án tiến sĩ “Nghiên cứu đáp ứng nhiệt của vệ tinh nhỏ

trên quỹ đạo thấp chịu tác dụng của môi trường nhiệt vũ trụ” bằng việc đề xuất một

công cụ giải tích hiệu quả là sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo

tiêu chuẩn đối ngẫu mới được phát triển gần đây cho các hệ động lực phi tuyến.

3

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

- Xây dựng các mô hình nhiệt một nút, hai nút và nhiều nút với các mô hình

tải nhiệt khác nhau tác động lên vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp quanh Trái đất.

- Tìm được nghiệm dưới dạng giải tích của các phương trình cân bằng nhiệt

của vệ tinh bằng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối

ngẫu.

- Nghiên cứu và phân tích được một số ứng xử định tính của nhiệt độ vệ tinh

trong các mô hình nhiệt.

Phạm vi nghiên cứu

Luận án giới hạn trong phạm vi nghiên cứu các vệ tinh cỡ nhỏ hoạt động ở

quỹ đạo thấp quanh Trái đất; mô hình nghiên cứu giới hạn ở một nút, hai nút, sáu

nút và tám nút.

Phương pháp nghiên cứu của luận án

Luận án sử dụng các phương pháp giải tích kết hợp với các phương pháp số,

cụ thể:

- Sử dụng các phương pháp tuyến tính hóa tương đương, phương pháp xấp xỉ

theo Grande để tìm đáp ứng của một số mô hình nhiệt;

- Sử dụng phương pháp Runge-Kutta 4 giải số phương trình vi phân cân bằng

nhiệt làm cơ sở để đánh giá độ chính xác của phương pháp giải tích. Sử dụng

phương pháp Newton-Raphson giải hệ đại số phi tuyến thu được trong quá trình

tuyến tính hóa phương trình cân bằng nhiệt.

Bố cục của luận án

Luận án gồm phần Mở đầu; các Chương 1, 2, 3 và 4; phần Kết luận; Danh

mục các công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến nội dung luận án, và Tài

liệu tham khảo.

Nội dung chính của các chương bao gồm:

- Chương 1: “Tổng quan về bài toán phân tích nhiệt vệ tinh”. Trong chương

này, tác giả trình bày những kiến thức chung nhất về vệ tinh và về bài toán phân

tích nhiệt cho vệ tinh.

- Chương 2: “Phân tích đáp ứng nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp dựa

trên mô hình nhiệt một nút”. Chương này tác giả trình bày kết quả nghiên cứu ứng

4

xử nhiệt của vệ tinh theo mô hình một nút dựa trên phương pháp tuyến tính hóa

tương đương. Tiêu chuẩn mà tác giả sử dụng là tiêu chuẩn đối ngẫu. Kết quả chỉ ra

rằng, tiêu chuẩn đối ngẫu là có thể áp dụng tốt cho mô hình nhiệt một nút của vệ

tinh.

- Chương 3: “Phân tích nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp dựa trên mô

hình hai nút”. Cách tiếp cận đối ngẫu cho bài toán phân tích nhiệt của vệ tinh nhỏ đã

sử dụng cho mô hình một nút được mở rộng để tìm nghiệm xấp xỉ cho mô hình

nhiệt hai nút của vệ tinh. Với mô hình này, tác giả nghiên cứu các đặc trưng của đáp

ứng nhiệt xấp xỉ như diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian, vòng giới hạn và

tính nhạy cảm của điều kiện đầu, phân tích sai số và thời gian nghiệm, sự phụ thuộc

của nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt vào thời gian. Kết quả chỉ ra hiệu quả tốt

của phương pháp tuyến tính hóa đối ngẫu trong phân tích ứng xử nhiệt của vệ tinh.

- Chương 4: “Tính toán đáp ứng nhiệt cho vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp sử

dụng mô hình nhiều nút”. Trong chương này tác giả xây dựng một số mô hình nhiệt

nhiều nút cho vệ tinh, xây dựng các mô hình tải nhiệt dựa trên tư thế vệ tinh trong

một số kịch bản quỹ đạo, thiết lập phương trình cân bằng nhiệt, tính toán tương tác

nhiệt giữa các nút (dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt). Sử dụng phương pháp Runge-Kutta

bậc 4 để dự đoán nhiệt độ cho các nút. Kết quả cho thấy nhiệt độ ước lượng của các

nút nằm trong khoảng nhiệt độ yêu cầu của các thành phần vệ tinh.

Nội dung cụ thể của các chương sẽ được trình bày dưới đây.

5

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH NHIỆT VỆ TINH

Chương 1 trình bày tổng quan về vệ tinh; những cơ sở liên quan đến việc xây

dựng mô hình toán học về tính toán nhiệt cho vệ tinh gồm: nút nhiệt, tương tác nhiệt

giữa các nút, tính toán tải nhiệt bên ngoài tác động lên các nút; và một số vấn đề

trong bài toán phân tích nhiệt vệ tinh.

1.1. Tổng quan về vệ tinh

1.1.1. Khái niệm và phân loại vệ tinh

1.1.1.1. Khái niệm chung về vệ tinh

Ngày nay, từ “vệ tinh” là khái niệm phổ biến trên thế giới, thường được hiểu

là vệ tinh nhân tạo, tức vật thể được con người chế tạo và đưa vào hoạt động trong

không gian, chuyển động quay quanh Trái đất hoặc quanh một hành tinh nào đó

thuộc hệ mặt trời. Vệ tinh nhân tạo khác với các vệ tinh tự nhiên vốn là các thiên thể

ngoài vũ trụ chuyển động xung quanh một hành tinh hoặc một thiên thể khác lớn

hơn nó nhiều lần. Vệ tinh nhân tạo là một cấu trúc phức tạp được thiết kế, lắp ghép

sao cho phù hợp, đáp ứng các nhiệm vụ không gian khác nhau. Các thành phần hoặc

thiết bị vệ tinh là sản phẩm của các ngành công nghệ cao được tích hợp một cách

tinh vi trong một cấu trúc không gian hẹp của hộp vệ tinh.

1.1.1.2. Phân loại vệ tinh

Vệ tinh có thể được phân loại dựa trên nhiều tiêu chí, như tiêu chí khối

lượng, tiêu chí độ cao quỹ đạo, tiêu chí chức năng nhiệm vụ …[1, 6, 7, 10, 13]

a. Theo tiêu chí khối lượng

Người ta thường phân loại vệ tinh dựa trên tiêu chí về thang đo khối lượng

của chúng như trình bày trong phần Mở đầu và ở đây được minh họa trong Hình

1.1. Với phân loại theo tiêu chí khối lượng thì vệ tinh cỡ nhỏ được xem là dưới 500

kg [nhóm trong khung hình được bao quanh bởi hình chữ nhật màu đỏ nét đứt].

Hình 1.1 cũng minh họa một số vệ tinh thực đã được chế tạo và phóng vào không

gian (nguồn: dữ liệu từ các trang web) ứng với từng thang đo khối lượng cụ thể.

Trong khuôn khổ luận án, cụm từ “vệ tinh nhỏ” giới hạn xét ở phạm vi dưới

100 kg bởi vì luận án tính toán nhiệt cho vệ tinh với số nút hạn chế. Tuy nhiên, cách

6

tiếp cận và phương pháp tính toán cho các vệ tinh phức tạp hơn là hoàn toàn có thể

thực hiện được.

Hình 1.1. Thang đo phân loại vệ tinh theo khối lượng

b.Theo tiêu chí độ cao quỹ đạo

Một vệ tinh có thể bay trên một quỹ đạo quanh Trái đất ở độ cao xác định,

các vệ tinh thường được xếp theo độ cao của chúng. Theo tiêu chí này vệ tinh có thể

được phân loại như sau:

- Vệ tinh tầm thấp (LEO: 300 đến 1000 km bên trên bề mặt Trái Đất)

- Vệ tinh tầm trung (MEO: 1000 đến 35786 km, quỹ đạo có dạng hình

ellipse)

- Quỹ đạo Trái Đất tầm cao (HEO: trên 35786 km, quỹ đạo có dạng hình

ellipse khá dẹt)

c.Theo tiêu chí chức năng, nhiệm vụ

Theo tiêu chí chức năng, nhiệm vụ, vệ tinh được chia thành các loại sau :

- Vệ tinh nghiên cứu khoa học: thực hiện các nhiệm vụ khoa học, viễn thám,

nghiên cứu các hành tinh xa xôi, nghiên cứu hệ mặt trời…

- Vệ tinh viễn thông: phục vụ thông tin liên lạc, phát thanh truyền hình…

- Vệ tinh quan sát trái đất: gồm các vệ tinh khí tượng, vệ tinh tài nguyên, vệ

tinh biển, vệ tinh giám sát môi trường và thiên tai. Các loại vệ tinh này cung cấp các

thông tin có giá trị để dự báo thời tiết, điều tra tài nguyên rừng, đất đai, nước

khoáng sản, giám sát thiên tai (lũ lụt, hạn hán…), vẽ bản đồ.

7

- Vệ tinh định vị: xác định nhanh và chính xác vị trí của mọi đối tượng và dẫn

đường cho các phương tiện giao thông trên không, trên bộ và trên biển.

- Vệ tinh quân sự: làm nhiệm vụ do thám, định vị và dẫn đường cho các vũ

khí (bom, tên lửa…), cảnh báo sớm.

1.1.2. Các khối chức năng cơ bản của vệ tinh

Vệ tinh gồm phân hệ kết cấu và các phân hệ chức năng do các khối thiết bị

hoặc thành phần cụ thể của vệ tinh đảm nhiệm. Sau đây ta trình bày vắn tắt chức

năng của một số phân hệ bên trong vệ tinh. Các phân hệ chính gồm: phân hệ điều

khiển tư thế, phân hệ lực đẩy, phân hệ điều khiển nhiệt, phân hệ thông tin liên lạc,

phân hệ xử lý dữ liệu, phân hệ năng lượng, phân hệ kết cấu. Chức năng của các

phân hệ được thể hiện trên Hình 1.2 (xem [10, 13]).

Hình 1.2. Các phân hệ vệ tinh và chức năng của nó

1.1.2.1. Phân hệ điều khiển tư thế

Chức năng của phân hệ điều khiển tư thế của vệ tinh là xác định và điều

khiển các góc quay nhằm định hướng vệ tinh theo một tư thế xác định trong quá

trình chuyển động trên quỹ đạo. Các tham số xác định tư thế vệ tinh gồm các góc

tạo bởi hai hệ tọa độ, một hệ tọa độ gắn với vệ tinh gọi là hệ tọa độ địa phương, hệ

tọa độ còn lại gắn với trái đất hay còn gọi là hệ tọa độ tham chiếu. Các tác vụ phải

8

được thực hiện sao cho tư thế của vệ tinh được giữ ổn định với mức độ nhiễu rất

nhỏ, tức là điều khiển vệ tinh với độ chính xác cao so với tư thế mong muốn.

1.1.2.2. Phân hệ lực đẩy

Phân hệ lực đẩy được sử dụng trong hầu hết các vệ tinh, có tác dụng cung

cấp một lực đẩy cần thiết để đưa vệ tinh từ một vị trí mất độ cao về độ cao mong

muốn khi vệ tinh hoạt động một thời gian dài trên quỹ đạo.

1.1.2.3. Phân hệ điều khiển nhiệt

Phân hệ điều khiển nhiệt có chức năng điều khiển nhiệt độ của các thành

phần hoặc thiết bị vệ tinh, giữ cho nhiệt độ luôn nằm trong miền giới hạn nhiệt thiết

kế trong quá trình vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo.

1.1.2.4. Phân hệ thông tin liên lạc

Để duy trì sự liên lạc giữa vệ tinh và mặt đất, phân hệ điều khiển được thiết

kế với nhiều mô đun khác nhau bao gồm các ăng ten thu phát, các thiết bị xử lý tín

hiệu, các cảm biến quang học, điện tử, cùng với các cấu trúc cơ khí và nguồn cung

cấp điện. Phân hệ thông tin liên lạc hoạt động thông qua các trao đổi sóng vô tuyến

giữa vệ tinh và trạm mặt đất với các dải băng tần: băng tần S (từ 2 GHz đến 4 GHz),

băng tần C (từ 4 GHz đến 8 GHz), băng tần X (từ 8 GHz đến 12.4 GHz), băng tần

Ku (từ 12.4 GHz đến 18 GHz).

1.1.2.5. Phân hệ xử lý dữ liệu

Phân hệ xử lý dữ liệu có chức năng tạo ra quá trình thông tin liên lạc hai

chiều giữa vệ tinh và trạm mặt đất. Người ta có thể chia phân hệ này thành ba bộ

phận: bộ phận truyền xuống có tác dụng truyền thông tin từ vệ tinh xuống trạm mặt

đất; bộ phận tiếp nhận thông tin thực hiện chức năng thu nhận và xử lý thông tin từ

trạm mặt đất; bộ phận phát đáp có chức năng xác định khoảng cách giữa vệ tinh và

trạm mặt đất.

1.1.2.6. Phân hệ năng lượng

Chức năng chính của phân hệ năng lượng là thu năng lượng mặt trời, biến nó

thành năng lượng điện nhờ các tấm pin mặt trời và phân phối điện cho các thành

phần và phân hệ con khác của vệ tinh. Ngoài ra, vệ tinh cũng có ắc quy, cung cấp

năng lượng điện dự phòng khi vệ tinh ở trong vùng bóng tối, trong các tình huống

9

khẩn cấp hoặc trong giai đoạn phóng của vệ tinh khi các tấm pin năng lượng mặt

trời chưa hoạt động.

1.1.2.7. Phân hệ kết cấu

Phân hệ kết cấu của vệ tinh là bộ phận khung chính dùng để đỡ các thiết bị

vệ tinh đảm bảo toàn bộ cấu trúc vệ tinh tạo thành một khối chắc chắn và không bị

hư hại trong quá trình chế tạo, phóng và đưa vệ tinh vào quỹ đạo. Cấu trúc này cần

được nghiên cứu cẩn thận, tỉ mỉ đảm bảo độ cứng và độ ổn định của cấu trúc cơ

học. Phân hệ kết cấu có chức năng chịu tải gồm các tải tựa tĩnh và tải động từ các

tác động của môi trường như gia tốc, sự rung lắc.

1.1.3. Quá trình điều khiển nhiệt

Thông thường một dự án vệ tinh có 4 giai đoạn, bao gồm: (i) giai đoạn xây

dựng cấu hình và nhiệm vụ cho vệ tinh; (ii) giai đoạn kiểm tra tính phù hợp; (iii)

giai đoạn phát triển toàn diện; (iv) giai đoạn đưa vệ tinh đi vào trạng thái hoạt động

[4]. Các giai đoạn này nhằm mục đích xác minh rằng vệ tinh đã đáp ứng được các

yêu cầu kỹ thuật. Sự hoạt động của vệ tinh được đảm bảo bởi nhiều nhân tố, trong

đó điều khiển nhiệt là một nhân tố quan trọng.

Trong nhiệm vụ điều khiển nhiệt, người ta thường khống chế nhiệt độ của

các thiết bị nằm trong miền giới hạn cho phép. Có những thiết bị đòi hỏi hoạt động

ở nhiệt độ rất thấp chẳng hạn cảm biến hồng ngoại hoạt động trong miền từ -223oC

đến -173oC; một số thiết bị có miền nhiệt độ hoạt động khá rộng, chẳng hạn tấm pin

năng lượng mặt trời với miền nhiệt từ -100oC đến +120

oC. Miền nhiệt độ hoạt động

của một số thiết bị vệ tinh được minh họa trong Bảng 1.1 [10].

Bảng 1.1. Ngưỡng nhiệt độ của các thiết bị vệ tinh [10]

Miền nhiệt độ minT C maxT C

Thiết bị điện (hoạt động ở nhiệt độ phòng) -10 +50

Ắc qui 0 +20

Cánh vệ tinh -100 +120

Ăng ten đĩa -65 +95

Bể chứa Hidrazine +10 +50

Bộ cảm biến hồng ngoại -223 -173

Vỏ ngoài -100 +100

10

Quá trình điều khiển nhiệt bao gồm ba nhiệm vụ chính [6]:

- Phân tích nhiệt: Người ta phân tích nhiệt cho cấu trúc của một vệ tinh cho

trước và dự báo nhiệt độ của các thiết bị và kết cấu ở các giai đoạn của một nhiệm

vụ vệ tinh.

- Thiết kế nhiệt: Trong trường hợp các kết quả phân tích nhiệt cho thấy nhiệt

độ của thiết bị và kết cấu nằm ngoài giới hạn nhiệt cho phép, ta phải đưa ra các giải

pháp thích hợp, để điều khiển nhiệt cho chúng. Đối với các vệ tinh nhỏ, có hình

dạng đối xứng, cấu trúc đơn giản, được thiết kế hoạt động trên quỹ đạo với nhiệm

vụ ngắn hạn, người ta có thể điều khiển nhiệt bằng các lớp phủ bề mặt, tức là điều

khiển nhiệt thụ động, tạo ra sự cân bằng giữa nhiệt hấp thụ và nhiệt bức xạ ra ngoài

không gian của vệ tinh. Đối với các vệ tinh cỡ lớn, quá trình điều khiển nhiệt sẽ

phức tạp hơn, có thể đòi hỏi các phương pháp điều khiển nhiệt tích cực, chẳng hạn,

khi nhiệt độ của các thiết bị quá lạnh thì ta phải sử dụng các bộ gia nhiệt, còn nếu

quá nóng thì ta phải sử dụng các bộ tản nhiệt...

- Thử nghiệm: Người ta phải thực hiện các thử nghiệm thích hợp và đầy đủ

để xác nhận tính chính xác của việc phân tích và dự báo nhiệt cho nhiệm vụ cụ thể

của vệ tinh.

1.2. Mô hình toán học cho bài toán phân tích nhiệt vệ tinh

Do vệ tinh có cấu trúc tương đối phức tạp, nên việc tính toán phân tích nhiệt

cho các thành phần của vệ tinh một cách chặt chẽ, chi tiết là không dễ dàng [6].

Người ta cần phải đơn giản hóa bài toán bằng cách đưa ra một mô hình xấp xỉ biểu

diễn nhiệt cho vệ tinh và có thể xử lý nó bằng toán học. Mô hình này được gọi tắt là

mô hình toán nhiệt của vệ tinh [6].

Khi xây dựng một mô hình toán nhiệt cho vệ tinh, vệ tinh có thể được giả

thiết như một cấu trúc gồm một số miền rời rạc mà trong phạm vi mỗi miền, nhiệt

độ tại các điểm thuộc miền là gần như nhau. Những miền này được mô hình hóa bởi

một nút đẳng nhiệt. Mỗi nút được đặc trưng bởi một nhiệt độ, nhiệt dung và hao tán

nhiệt (nếu có). Mỗi nút có sự tương tác nhiệt với các nút còn lại bằng các hình thức

dẫn nhiệt, đối lưu và bức xạ nhiệt, và cũng sẽ tương tác bức xạ nhiệt với môi trường

không gian. Mô hình toán nhiệt bao gồm các nút nhiệt liên kết lại tạo thành một

11

mạng lưới các nút nhiệt, gọi tắt là mạng nhiệt. Người ta gọi cách tiếp cận như trên là

phương pháp tham số phân bổ bởi vì các tham số liên tục của hệ nhiệt được phân bổ

tại các nút rời rạc.

Trong các phần sau đây tác giả sẽ trình bày ngắn gọn về biểu diễn của các

nút nhiệt cũng như sự tương tác nhiệt giữa các nút và giữa các nút với môi trường

không gian.

1.2.1. Nút nhiệt

Để xây dựng mô hình toán nhiệt cho vệ tinh và áp dụng các thuật giải tìm

phân bố nhiệt độ cho nó, ta chia vệ tinh thành các phần tử con, gọi là các nút nhiệt

với giả thiết là nhiệt độ tập trung tại tâm mỗi nút. Mỗi nút được đặc trưng bởi hai

đại lượng cơ bản gồm nhiệt độ T (đóng vai trò như thế năng) và nhiệt dung C

(đóng vai trò như khối lượng tác dụng nhiệt) [4]. Chẳng hạn, trong Hình 1.3 kết cấu

ban đầu được rời rạc hóa thành các nút 1, 2 và 3 với các đại lượng đặc trưng cho

mỗi nút là ,i iT C ( 1, 2, 3i ).

Hình 1.3. Minh họa rời rạc hóa một miền thành các nút

với nhiệt độ và nhiệt dung tương ứng

Trong tính toán nhiệt vệ tinh, các nút thường được phân thành ba loại gồm:

Nút có nhiệt dung hữu hạn (nút khuếch tán), nút có nhiệt dung bằng không (nút giả

định hay nút số học), nút có nhiệt dung vô hạn (nút biên) [4].

- Nút khuếch tán sử dụng cho các loại vật liệu thông thường, nhiệt độ nút

thay đổi như là hệ quả của dòng nhiệt đi vào và đi ra khỏi nút. Nó được đặc trưng

bởi sự tăng hoặc giảm nhiệt độ, phụ thuộc vào giá trị nhiệt dung, dòng nhiệt vào nút

và thời gian mà dòng nhiệt “chảy qua”. Về mặt toán học, nút khuếch tán cho phép

biểu diễn hệ nhiệt bởi phương trình:

12

0i

TQ C

t

(1.1)

hay

i

TC Q

t

(1.2)

trong đó iQ là tổng dòng nhiệt đi vào nút, /T t là mức chênh lệch nhiệt trong

một đơn vị thời gian của nút.

- Nút giả định hay nút số học là đại lượng vật lý giả định được sử dụng vào

việc nội suy kết quả để tìm nhiệt độ bề mặt, nhiệt độ tại các nút liên kết, thậm chí

còn sử dụng vào biểu diễn các phần tử hệ nhiệt có giá trị nhiệt dung nhỏ hơn so với

các phần tử lớn khác, giúp giảm thời gian chạy máy tính và ít ảnh hưởng đến độ

chính xác toàn cục của bài toán. Các phần tử có thể được coi là nút số học như các

bu lông, một số màng phủ, mối hàn, các ống dẫn khí nhỏ, lớp cách nhiệt có khối

lượng nhỏ... Về mặt toán học, nút số học được biểu diễn bởi phương trình:

0iQ (1.3)

- Nút biên cho phép biểu diễn giá trị nhiệt độ của nút là không đổi cho dù

dòng nhiệt có đi vào hay đi ra khỏi nút. Không gian bên ngoài vệ tinh, nhiệt độ hành

tinh là ví dụ điển hình có biểu diễn nút biên. Thêm vào đó, nút biên có thể biểu diễn

cho thành phần hệ nhiệt có nhiệt dung khá lớn so với các nút khác, chẳng hạn như

các nhiên liệu trong một bể lớn. Về mặt toán học, các nút biên được mô tả như sau:

constT (1.4)

Nhiệt dung C (đơn vị là -1JK ) của một nút có thể tính theo công thức:

pC VC (1.5)

trong đó là mật độ khối lượng (-3kgm ), V là thể tích nút (

3m ), pC là nhiệt dung

riêng của vật liệu nút ( -1 -1Jkg K ). Nhiệt dung riêng pC và mật độ khối lượng của

vật liệu có thể thay đổi theo nhiệt độ. Trong nhiều bài toán, tùy thuộc vào tính chất

thay đổi của nhiệt độ và miền nhiệt mà nhiệt dung được tính toán mà người ta coi

nhiệt dung riêng và mật độ khối lượng của vật liệu có thay đổi hay không trong mô

hình tính toán.

13

1.2.2. Sự truyền nhiệt giữa các nút

Gọi ,i jT T lần lượt là nhiệt độ của các nút ,i j . Nếu i jT T , dòng nhiệt sẽ

truyền từ nút i sang nút j , tức là dòng nhiệt “chảy” từ miền có nhiệt độ cao sang

miền có nhiệt độ thấp hơn. Quá trình này được gọi là quá trình truyền nhiệt. Có ba

hình thức truyền nhiệt chủ yếu, bao gồm dẫn nhiệt, đối lưu và bức xạ.

1.2.2.1. Dẫn nhiệt và đối lưu

Dẫn nhiệt là quá trình thay đổi của dòng nhiệt bên trong môi trường hoặc

giữa các môi trường khác nhau tiếp xúc trực tiếp với nhau. Về mặt vật lý, trong quá

trình dẫn nhiệt, năng lượng được truyền đi thông qua hình thức trao đổi điện tử với

nhau từ quá trình di chuyển và va chạm của các hạt bên trong vật thể. Ở thang

nguyên tử, nó gồm va chạm của các nguyên tử, phân tử, các hạt điện tích trong môi

trường truyền nhiệt. Hình 1.4 minh họa sự truyền nhiệt bằng dẫn nhiệt giữa hai nút

i và j , tâm các nút cách nhau một khoảng đặc trưng L , diện tích tiếp xúc giữa hai

nút là A .

Hình 1.4. Dẫn nhiệt giữa hai nút Hình 1.5. Truyền nhiệt bằng đối lưu

Đối lưu là quá trình vận chuyển năng lượng thông qua hình thức tổ hợp các

tác động dẫn nhiệt, năng lượng dự trữ và chuyển động hỗn độn của các hạt lỏng

(hoặc khí). Theo đó nhiệt sẽ “chảy” từ một bề mặt tới các hạt lỏng lân cận thông

qua dẫn nhiệt, sau đó các hạt lỏng sẽ di chuyển vào miền có nhiệt độ thấp hơn,

truyền một phần năng lượng cho nhau. Năng lượng thực chất được dự trữ trong các

hạt lỏng và chuyển động giống như hệ các hạt lỏng có khối lượng. Hình 1.5 minh

họa quá trình truyền nhiệt bằng hình thức đối lưu giữa hai nút i và j bên trong

miền chất lỏng.

14

Đối với dẫn nhiệt hoặc đối lưu thì quá trình trao đổi nhiệt giữa nút i và j

được minh họa như một mô hình “dây dẫn” tương tự như trong dẫn điện. Người ta

xem tốc độ dòng nhiệt qua dây dẫn như một hàm tuyến tính của nhiệt độ, biểu diễn

sự sai khác nhiệt độ giữa các nút. Năng lượng trao đổi qua dây dẫn là [4]:

cij ij i jQ k T T (1.6)

trong đó ijk là hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào dạng hình học và vật liệu nút, chẳng

hạn với nút hình chữ nhật, ta có:

ij

Ak

L (1.7)

Ở đây là độ dẫn nhiệt của vật liệu (-1 -1Wm K ); A là diện tích mặt cắt

ngang mà dòng nhiệt truyền qua ( 2m ); L là khoảng cách giữa hai nút ( m ). Độ dẫn

nhiệt của vật liệu có thể thay đổi theo nhiệt độ hoặc các nhân tố ảnh hưởng khác

bên trong hệ. Các đại lượng ,A L phụ thuộc vào kích cỡ và hình dạng các nút kề

nhau.

1.2.2.2. Bức xạ nhiệt

Bức xạ nhiệt là quá trình tương tác nhiệt giữa hai nút (vật thể) tách nhau

trong không gian. Năng lượng được truyền thông qua sóng điện từ. Quá trình trao

đổi nhiệt giữa hai nút i và j được minh họa như mô hình dây dẫn phi tuyến, thể

hiện mức chênh lệch dòng nhiệt giữa hai nút là hàm bậc bốn của nhiệt độ [4]:

4 4

rij ij i jQ r T T (1.8)

trong đó ijr là hệ số tương tác bức xạ, được tính như sau:

,ij ij i ir F A (1.9)

với giả thiết rằng hai bề mặt nút có cùng hệ số phát xạ i . Nếu hai bề mặt nút có hệ

số phát xạ là i và j thì (1.8) được biểu diễn như sau [14]:

4 4

rij i ij i i j jQ AF T T (1.10)

ở đây 85.67 10 (

-2 -4Wm K ) là hằng số Stefan-Boltzmann; ijF là hệ số quan

sát mặt j khi nhìn từ mặt i ; ,i jA A lần lượt là diện tích bề mặt nút ,i j ( 2m ) . Quá

trình truyền nhiệt bằng hình thức bức xạ nhiệt được minh họa trong Hình 1.6.

15

Hệ số phát xạ bề mặt i đo mức độ mà một vật phát xạ năng lượng so với vật

thể đen. Hệ số phát xạ là tỷ số của tổng năng lượng phát xạ của bề mặt thực ở nhiệt

độ T với tổng năng lượng phát xạ của bề mặt vật thể đen ở cùng nhiệt độ T . Giá trị

hệ số phát xạ của bề mặt phụ thuộc vào vật liệu, điều kiện bề mặt và nhiệt độ của

vật thể. Do đó hệ số phát xạ của bề mặt có thể thay đổi bằng cách đánh bóng, làm

thô hoặc sơn phủ lên trên.

Hình 1.6. Mô hình trao đổi bức xạ giữa hai bề mặt

Hệ số quan sát còn gọi là hệ số cấu hình ijF nhìn từ mặt i sang mặt j là

phần năng lượng bức xạ từ mặt i đến trực tiếp mặt j với giả thiết mặt i chỉ có tính

chất phát xạ năng lượng. Tương tự ta cũng có hệ số quan sát jiF là phần năng lượng

bức xạ trực tiếp từ mặt j đến mặt i . Người ta thu được biểu thức toán học cho hệ

số quan sát ijF khi nhìn bề mặt j từ bề mặt i như sau [14, 15, 16]:

2

cos cos1,

i j

i j

ij i j

i A A

F dAdAA r

(1.11)

trong đó ,i j là góc giữa đường nối hai điểm bất kỳ thuộc hai bề mặt với pháp

tuyến bề mặt tại hai điểm đó; r là khoảng cách giữa hai điểm trên hai bề mặt;

,i jA A là diện tích các bề mặt (xem Hình 1.7).

Từ (1.11), ta thu được quan hệ i ij j jiAF A F . Nói chung hệ số ijF khác với

jiF ; chúng chỉ bằng nhau khi diện tích hai bề mặt đang xét bằng nhau. Cũng từ

(1.11) ta có thể thấy rằng hệ số quan sát phụ thuộc vào dạng hình học, hướng của

các bề mặt, và khoảng cách giữa chúng. Người ta có thể thu được nghiệm giải tích

của (1.11) trong một số trường hợp hình học đơn giản của các bề mặt, chẳng hạn hai

16

bề mặt phẳng hình chữ nhật [17], miền vi phân và hình tròn [18], các hình đa giác

[19], miền vi phân và hình trụ [20]. Tuy nhiên khi dạng hình học của các bề mặt

phức tạp thì việc tìm nghiệm giải tích là khá khó khăn [16, 21]. Khi đó người ta sẽ

sử dụng phương pháp số, chẳng hạn như phương pháp Monte-Carlo để tính toán

xấp xỉ biểu thức hệ số quan sát (1.11) [16, 17, 21, 22].

Hình 1.7. Minh họa hình học khi tính hệ số quan sát giữa hai bề mặt

1.2.3. Qũy đạo thấp và các tải nhiệt môi trường vũ trụ tác động lên vệ tinh

Các vệ tinh hoạt động trên quỹ đạo đều chịu tác dụng của môi trường nhiệt

vũ trụ khắc nghiệt, trong đó môi trường nhiệt có ảnh hưởng sâu sắc nhất đến sự hoạt

động và tuổi thọ của vệ tinh. Nghiên cứu, phân tích đáp ứng nhiệt của vệ tinh đòi

hỏi phải sử dụng thông tin quỹ đạo của vệ tinh. Điều này là bởi vì đáp ứng nhiệt của

vệ tinh phụ thuộc vào mô hình tải nhiệt đầu vào, trong khi đó tải đầu vào lại phụ

thuộc vào quỹ đạo, và đặc trưng chuyển động của vệ tinh. Trong luận án này, tác

giả giới hạn nghiên cứu đáp ứng nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp quanh Trái

đất.

1.2.3.1. Qũy đạo thấp quanh Trái đất (LEO)

Quỹ đạo thấp quanh Trái đất là quỹ đạo nằm ở độ cao trung bình từ 300 km

đến 1000 km so với bề mặt Trái đất. Vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo này thường

là đồng bộ mặt trời. Đây là một trong ba loại quỹ đạo điển hình trong phân tích

nhiệt vệ tinh ở quỹ đạo quanh Trái đất [ba loại quỹ đạo gồm: quỹ đạo tầm thấp, quỹ

đạo tầm trung và quỹ đạo tầm cao [1, 6, 7, 10, 13].

17

Quỹ đạo đồng bộ mặt trời là quỹ đạo mà mặt phẳng của nó được định hướng

không đổi đối với Mặt trời khi Trái đất chuyển động trên quỹ đạo quanh Mặt trời.

Trên quỹ đạo đồng bộ mặt trời, vệ tinh luôn đi qua một điểm tham chiếu nhất định

trên bề mặt Trái đất tại cùng một thời điểm trong ngày (cùng thời gian địa phương).

Độ nghiêng của quỹ đạo thấp (đối với quỹ đạo tròn) nằm trong khoảng từ 97 đến

99 . Do đó, nó khá gần cực, cho phép vệ tinh có thể quét toàn bộ bề mặt Trái đất,

và vệ tinh đi qua một điểm trên Trái đất nhiều lần trong một ngày. Một tham số

quan trọng trong việc phân tích nhiệt của một vệ tinh ở các quỹ đạo thấp quanh Trái

đất là góc quỹ đạo β (Hình 1.8); góc này mô tả hướng tương đối của quỹ đạo đối với

mặt trời, và được định nghĩa là góc nhỏ nhất giữa mặt phẳng quỹ đạo và tia sáng

mặt trời.

(a)

(b) (c)

Hình 1.8. Định hướng mặt phẳng quỹ đạo với mặt trời

Khi 90 , mặt phẳng quỹ đạo ở vị trí vuông góc với tia Mặt trời, và do đó

vệ tinh luôn được chiếu sáng (không có vùng bóng tối) ở bất kể độ cao nào. Các tải

albedo được coi như bằng không [10].

18

Khi 0 , mặt phẳng quỹ đạo song song với hướng của tia mặt trời. Với

quỹ đạo này các tải nhiệt albedo là lớn nhất; thời gian bóng tối cũng dài nhất [10].

1.2.3.2. Các tải nhiệt từ môi trường vũ trụ tác động lên vệ tinh

Khi vệ tinh hoạt động trên quỹ đạo thấp quanh Trái đất, nó chịu tác dụng của

các tải nhiệt chủ yếu từ môi trường vũ trụ (môi trường không gian) là bức xạ mặt

trời, bức xạ albedo và bức xạ hồng ngoại của Trái đất (Hình 1.9). Trong phần này,

tác giả sẽ trình bày tổng quan về các loại tải nhiệt này.

Hình 1.9. Sự trao đổi nhiệt của vệ tinh trên quỹ đạo thấp của Trái đất

a. Bức xạ Mặt trời

Bức xạ mặt trời là dòng vật chất mà năng lượng của Mặt trời phát ra. Bức xạ

mặt trời có tính chất gần giống với các tia bức xạ phát ra từ vật đen tuyệt đối ở nhiệt

độ khoảng 5762 K (xem [23]).

Ánh sáng mặt trời là nguồn nhiệt môi trường lớn nhất chiếu tới vệ tinh trên

quỹ đạo Trái đất. Giá trị năng lượng mặt trời trung bình chiếu xuống trực tiếp trên

một đơn vị bề mặt vuông góc với tia mặt trời ở khoảng cách 1 AU được gọi là hằng

số mặt trời sG , -21366.1 WmsG (theo tiêu chuẩn ISO 21348 [24]).

Một biểu thức đơn giản của năng lượng bức xạ mặt trời hấp thụ bởi một mặt

phẳng diện tích A có véc tơ pháp tuyến hợp với tia mặt trời một góc là [10]:

cossol sQ G A , 2 2

, (1.12)

19

trong đó là hệ số hấp thụ của bề mặt, 0 1 . Giá trị solQ lớn nhất khi 0 ,

tức tia sáng mặt trời vuông góc với bề mặt diện tích A . solQ bị triệt tiêu khi

2 , tức tia sáng mặt trời song song với bề mặt A .

b. Bức xạ albedo Trái đất

Môi trường nhiệt quan trọng tiếp theo đóng góp vào môi trường nhiệt không

gian tác động lên vệ tinh khi nó hoạt động trên quỹ đạo thấp quanh Trái đất là bức

xạ albedo. Đây là loại bức xạ do ánh sáng mặt trời chiếu xuống bề mặt Trái đất và

bị phản xạ lại không gian, chiếu vào bề mặt vệ tinh.

Khi xác định tải nhiệt tác động lên vệ tinh, tải nhiệt albedo chỉ được áp dụng

khi vệ tinh ở trong vùng có ánh nắng mặt trời. Tính toán tải nhiệt albedo tác động

lên vệ tinh thường khá phức tạp, có thể thực hiện nhờ các công cụ máy tính [10]. Vì

tải nhiệt albedo chỉ áp dụng cho các phần của Trái đất được chiếu sáng bởi Mặt trời,

giá trị của nó phụ thuộc vào góc thiên đỉnh mặt trời (là góc giữa véc tơ Mặt trời-

Trái đất và véc tơ Trái đất-Vệ tinh) và góc quỹ đạo [ là góc nhỏ nhất giữa mặt

phẳng quỹ đạo và véc tơ Mặt trời - Trái đất (Hình 1.8)].

Với ước lượng giải tích đơn giản, năng lượng albedo hấp thụ trên bề mặt có

diện tích A có thể được tính theo công thức sau [10]:

cosalb e s seQ a G AF , (1.13)

với 2 2 , trong đó ea là hệ số albedo Trái đất được xác định bằng tỷ

số bức xạ phản chiếu từ bề mặt trái đất với bức xạ mặt trời chiếu đến nó; là góc

thiên đỉnh mặt trời; seF là hệ số quan sát Trái đất khi nhìn từ vệ tinh. Góc có tính

đến thực tế rằng albedo lớn nhất ở hạ điểm mặt trời (điểm trên bề mặt Trái đất, gần

Mặt trời nhất) và bằng không khi vệ tinh ở trong vùng bóng tối.

Hệ số albedo ea có sự thay đổi lớn trên bề mặt của Trái đất. Chẳng hạn, các

đại dương hấp thụ hầu như tất cả các bức xạ chiếu tới, hệ số albedo khoảng từ 0.05

đến 0.10; trong khi đó băng hoặc tuyết phản chiếu hầu như mọi bức xạ mặt trời

chiếu tới, hệ số albedo của nó khoảng 0.95. Trong vùng lục địa, albedo ở trong

khoảng từ giá trị rất nhỏ trên miền có rừng bao phủ đến giá trị lớn hơn trên miền sa

mạc. Sự xuất hiện của mây cũng là một yếu tố quan trọng làm thay đổi albedo, hệ

20

số albedo của mây là 0.8. Với một vệ tinh ở quỹ đạo thấp, phụ thuộc vào độ

nghiêng của quỹ đạo, hệ số albedo trung bình trên quỹ đạo biến đổi xấp xỉ khoảng

24% trong quỹ đạo xích đạo đến 42% trong quỹ đạo cực [4].

c. Bức xạ hồng ngoại của Trái đất

Bức xạ hồng ngoại của Trái đất là bức xạ nhiệt do Trái đất phát ra. Nó là loại

bức xạ có bước sóng dài. Nó là sự kết hợp bức xạ phát ra bởi bề mặt của Trái đất và

khí trong khí quyển. Giống như hệ số albedo, năng lượng hồng ngoại toả ra từ bề

mặt của Trái đất thay đổi từ điểm này đến điểm khác. Nó phụ thuộc vào thời gian

địa phương, sự xuất hiện của nước (đại dương), khu vực dân cư, khu vực sa mạc.

Năng lượng mặt trời hấp thụ bởi Trái đất hầu như cân bằng năng lượng bức xạ phát

ra, thực tế là có thể sử dụng phương trình cân bằng năng lượng để xác định tính chất

bức xạ của Trái đất.

Với mục đích tính nhiệt, năng lượng của Trái đất có thể được đặc trưng bởi

nhiệt độ của vật thể đen tương đương. Nếu hệ số albedo Trái đất là ea , nhiệt độ vật

thể đen tương đương của trái đất eT có thể thu được bằng cách cân bằng năng lượng

mặt trời mà Trái đất hấp thụ với năng lượng nó toả ra [10]:

2 2 41 4s e e e eG R a R T , (1.14)

trong đó là hằng số Stefan-Bolzamann, eR là bán kính của Trái đất. Lưu ý rằng

kết quả nhiệt độ không phụ thuộc vào giá trị của eR (có thể thấy trong phương trình

trên). Trong trường hợp, nếu lấy hệ số albedo trung bình là 0.3ea thì nhiệt độ vật

thể đen tương đương của Trái đất là 255 KeT . Điều này tương đương với dòng

nhiệt trung bình là -2230 Wm trên bề mặt Trái đất. Với vệ tinh trên quỹ đạo, dòng

nhiệt trung bình biến đổi từ -2150 Wm đến -2350 Wm . Từ nhiệt độ vật thể đen

tương đương của Trái đất eT , tải nhiệt hồng ngoại tác động lên bề mặt của vệ tinh

có diện tích A được tính theo công thức[10]:

4

e se eQ AF T , (1.15)

trong đó là hệ số phát xạ hồng ngoại của bề mặt vệ tinh, seF hệ số quan sát trái

đất khi nhìn từ vệ tinh.

21

Ngoài việc vệ tinh chịu tác dụng của những tải nhiệt, nó cũng tỏa nhiệt vào

môi trường không gian theo hình thức bức xạ nhiệt. Bức xạ nhiệt của vệ tinh cũng

nằm trong vùng quang phổ hồng ngoại [6].

1.3. Phương trình cân bằng nhiệt của vệ tinh dạng tổng quát

Một vệ tinh có thể được mô hình nhiệt bởi n nút, các nút có liên kết nhiệt

với nhau theo cơ chế trao đổi nhiệt bức xạ và dẫn nhiệt thông qua vật liệu của vệ

tinh và cũng sẽ tương tác bức xạ nhiệt với môi trường không gian. Khi có sự thay

đổi nhiệt độ của một nút nào đó, nhiệt độ của các nút khác cũng sẽ thay đổi và

ngược lại. Theo nguyên lý cân bằng nhiệt động ta sẽ thu được phương trình cân

bằng nhiệt cho mỗi nút i như sau [4, 6]:

4 4

, ,

1 0

n ni

i external i dis i ij j i ij j i

j j

dTC Q Q k T T r T T

dt

(1.16)

trong đó i p iC VC là nhiệt dung nút i ; , , , ,external i sol i alb i e iQ Q Q Q là tải nhiệt

không gian tác động lên nút i bao gồm: ,sol iQ là năng lượng bức xạ mặt trời, ,alb iQ

là bức xạ albedo và ,e iQ là bức xạ hồng ngoại trái đất; ,dis iQ là năng lượng hao tán

nhiệt của nút i ; ijk và ijr là hệ số dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt giữa các nút, chú ý rằng

ijk và ijr có tính chất đối xứng, tức là ij jik k và ij jir r . Số hạng 1

n

ij j i

j

k T T

biểu diễn lượng nhiệt nút i nhận được từ các nút j lân cận của hệ thông qua hình

thức dẫn nhiệt, số hạng 4 4

0

n

ij j i

j

r T T

là lượng nhiệt mà nút i nhận được từ các

nút còn lại của mô hình qua hình thức bức xạ nhiệt. Chú ý rằng số hạng cuối của

phương trình (1.16), nút “0” biểu diễn không gian bên ngoài. Khi đó liên kết bức xạ

nhiệt giữa vệ tinh và môi trường không gian bên ngoài sẽ được tính đến, còn liên

kết dẫn nhiệt sẽ bỏ qua.

Trong xây dựng mô hình toán nhiệt cho vệ tinh, tùy theo cấu hình mà ta sẽ

quyết định số nút cần chọn là bao nhiêu, phân bố của nó thế nào, và liên kết nhiệt

giữa các nút ra sao [dẫn nhiệt, bức xạ nhiệt, đối lưu (nếu có)]. Kết quả mô hình sẽ

tạo ra một hệ phương trình vi phân; các hệ số của phương trình có thể là hằng số

22

hoặc thay đổi theo nhiệt độ. Số phương trình được giải phụ thuộc vào số nút được

lựa chọn (số nút này không tính đến nút biên). Khi phương trình (1.16) được áp

dụng cho tất cả các nút, ta thu được một hệ phương trình vi phân thường dạng phi

tuyến và nghiệm của nó cho phép xác định nhiệt của các nút rời rạc.

1.4. Vấn đề giải bài toán phân tích nhiệt vệ tinh

Để xác định nhiệt độ của vệ tinh ta cần biết hai ma trận hệ số (liên kết dẫn

nhiệt và bức xạ nhiệt) và véc tơ tải ngoài (tải nhiệt mặt trời, albedo, hồng ngoại trái

đất và hao tán nhiệt nút trong). Các ma trận và véc tơ này tạo thành một biểu diễn

toán học cho một mô hình nhiệt của vệ tinh là tập hợp các nút nhiệt dung tập trung

liên kết với nhau tạo thành một mạng nhiệt (chủ yếu là bức xạ nhiệt và dẫn nhiệt).

Sau khi xác định kích cỡ hệ nhiệt, ta cần xác định được nhiệt ở trạng thái bình ổn,

từ đó tìm mức nhiệt nóng nhất và lạnh nhất của phân bố nhiệt. Các nhiệt độ nóng

nhất và lạnh nhất có thể là giới hạn trên và giới hạn dưới của nhiệt độ từng nút của

vệ tinh trên quỹ đạo. Trong trường hợp tải hằng số, nhiệt độ bình ổn thu được bằng

cách cho vế trái của phương trình cân bằng nhiệt bằng không; giải hệ đại số phi

tuyến của hệ nhiệt bình ổn ta nhận được phân bố nhiệt cần tìm. Lưu ý rằng khi giải

hệ đại số phi tuyến ta phải đảm bảo rằng quá trình giải lặp phải hội tụ. Khi trạng

thái bình ổn nhiệt được xác định, người ta bắt đầu thực hiện các phân tích chuyển

tiếp cho đáp ứng nhiệt, nghĩa là cần tìm được nghiệm của phương trình (1.16) phụ

thuộc vào thời gian. Điểm khởi đầu cho phân tích chuyển tiếp thường được lấy là

nghiệm dưới dạng bình ổn. Điều này là bởi vì, việc xác định giá trị đầu cho hệ nhiệt

vệ tinh trên quỹ đạo là khá khó khăn, thậm chí người ta không biết được giá trị đó.

Hệ phương trình (1.16) được giải số theo phương pháp Crank-Nicolson, Runge-

Kutta 4, hoặc các xấp xỉ ẩn, hiện. Với một số mô hình nhiệt cụ thể (một nút, hai nút)

ta cũng có thể sử dụng các phương pháp giải tích. Những nghiên cứu giải tích nêu

bật bản chất vật lý của bài toán và là thiết yếu trong một số giai đoạn của thiết kế

nhiệt vệ tinh.

1.5. Tóm tắt các bước phân tích nhiệt cho vệ tinh

Từ những trình bày ở trên ta có thể tóm tắt các bước để thu được phân bố

nhiệt của vệ tinh sử dụng phương pháp tham số phân bổ ( hay phương pháp mạng

nhiệt) như sau:

23

Bước 1. Xây dựng mô hình toán học dựa trên hình dạng của vệ tinh

Hình học thực của vệ tinh và các bộ phận bên trong nó được đơn giản hóa và

mô hình bởi tập các miền có dạng hình học phù hợp. Các tính chất quang học của

các bề mặt (hấp thụ mặt trời và phát xạ hồng ngoại), tính chất khối (hệ số truyền

nhiệt và nhiệt dung riêng) cũng được xác định trong bước này.

Bước 2. Rời rạc hóa hình học thành các nút

Tạo lưới cho mô hình hình học với các tiêu chuẩn lưới thích hợp. Mỗi phần

tử lưới được gọi là một nút xem như đẳng nhiệt.

Bước 3. Tính toán liên kết dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt giữa các nút.

Xác định tham số mô hình, các hệ số quan sát giữa các nút, từ đó xác định

các hệ số liên kết nhiệt giữa các nút.

Bước 4. Tính toán tải nhiệt bên ngoài tác động lên các nút (mặt trời, albedo

và hồng ngoại) và hao tán nhiệt của chúng.

- Xác định điều kiện môi trường. Các điều kiện môi trường như hằng số mặt

trời, hằng số albedo, bức xạ hồng ngoại Trái đất là những nhân tố quan trọng của tải

ngoài tác động lên vệ tinh. Xác định xem trên các quỹ đạo cụ thể của vệ tinh với độ

cao và độ nghiêng, thì tải nhiệt nào là cần thiết.

- Xác định tham số mô hình bức xạ, các hệ số quan sát của các nút nhìn Trái

đất, từ đó tính toán các dòng nhiệt tác động lên nút.

- Xác định hao tán năng lượng mỗi nút. Điều này phụ thuộc vào sự hoạt động

của vệ tinh.

Bước 5. Phân tích nhiệt

Các tham số được xác định ở các bước trước đó được dùng vào bài toán phân

tích nhiệt. Ban đầu là xác định trạng thái bình ổn nhiệt trên quỹ đạo. Sau đó tính

toán các trạng thái chuyển tiếp để tìm đáp ứng nhiệt thay đổi theo thời gian.

Bước 6. Đánh giá kết quả tính toán.

1.6. Tổng quan về một số vấn đề trong bài toán phân tích nhiệt vệ tinh

Trong phần này ta điểm lại một số bài toán thường gặp trong phân tích nhiệt

vệ tinh, gồm các bài toán về mạng nhiệt, bài toán về tự động hóa mô hình tính toán

nhiệt, bài toán phân tích nhiệt kết hợp với phân tích kết cấu, bài toán phân tích nhiệt

24

có tính đến yếu tố không tất định hoặc ngẫu nhiên, các bài toán phân tích nhiệt sử

dụng các cách tiếp cận giải tích.

a. Bài toán mạng nhiệt

Bài toán mạng nhiệt là chủ đề được quan tâm nghiên cứu trong lĩnh vực phân

tích nhiệt vệ tinh trong những thập kỷ gần đây [4]. Bài toán này dựa vào phương

pháp tham số phân bổ với nhiệt độ được gán cho các nút. Các tham số hình học và

vật liệu sẽ chứa trong các tham số của hệ nhiệt. Nói chung bài toán mạng nhiệt cho

ta hệ phương trình vi phân với số nút khá lớn và phải giải bằng các phương pháp số

với thuật toán phù hợp. Một số nhà nghiên cứu sử dụng cách tiếp cận mạng nhiệt để

xây dựng các phần mềm chuyên dụng trong lĩnh vực nhiệt vệ tinh, chẳng hạn như

phần mềm ESATAN-TMS, SINDA, THERMICA [82]. Krishnaprakas [25] sử dụng

các phương pháp số khác nhau để đánh giá tính hiệu quả của mỗi phương pháp

trong bài toán phân tích đáp ứng nhiệt của mô hình mạng nhiệt. Kết quả chỉ ra rằng

phương pháp Crank-Nicholson cho nghiệm ổn định không điều kiện và là một lựa

chọn tốt cho lời giải số của bài toán cân bằng nhiệt, nhất là đối với hệ có số nút

nhiệt khá lớn. Milman và Petrick [26] nghiên cứu định tính và chứng minh một số

tính chất của bài toán mạng nhiệt thường gặp trong phân tích nhiệt vệ tinh. Các

chứng minh định tính liên quan đến thành phần số hạng bậc bốn của bức xạ nhiệt

gồm tính duy nhất nghiệm, tính chất hội tụ của nghiệm số của phương trình cân

bằng nhiệt. Sử dụng cách tiếp cận mạng nhiệt, Papalexandris [27] nghiên cứu và đề

nghị thuật toán điều khiển phản hồi của hệ nhiệt. Nghiên cứu này có thể áp dụng

cho bài toán phân tích nhiệt vệ tinh. Với bài toán mạng nhiệt, trong nghiên cứu của

Appel và đồng nghiệp [28], các tác giả đã xây dựng các thuật toán cho phép thu

được các ma trận dẫn nhiệt của mô hình. Liu và đồng nghiệp [29] đề xuất một

phương pháp nghiệm cải tiến cho bài toán mạng nhiệt của vệ tinh dựa trên phương

pháp hệ số biến thiên và phương pháp chiếu tia Monte-Carlo. Phương pháp hệ số

biến thiên được sử dụng để hiệu chỉnh các hệ số hấp thụ mặt trời. Tuy nhiên các hệ

số dẫn nhiệt và hệ số bức xạ vẫn được giữ nguyên. Phương pháp Monte-Carlo sử

dụng vào mục đích giảm các giả thiết tính toán, làm rõ các khái niệm vật lý, tính

toán dòng nhiệt mặt trời trực tiếp và các hệ số truyền nhiệt bức xạ. Liu và đồng

25

nghiệp [30] sử dụng mô hình mạng nhiệt cải tiến để tính toán dự báo hiệu ứng của

hệ số hấp thụ và hệ số phát xạ lên nhiệt độ bề mặt của vệ tinh. Các tác giả vẫn sử

dụng phương pháp hiệu chỉnh tham số và phương pháp Monte-Carlo để tìm các hệ

số mạng nhiệt mô hình, sau đó giải hệ tìm phân bố nhiệt của vệ tinh.

b. Bài toán tự động hóa mô hình tính toán nhiệt

Một công việc quan trọng trong phát triển và chế tạo vệ tinh là xây dựng mô

hình cho thiết kế và dự báo nhiệt độ cho giai đoạn chuyển động trên quỹ đạo của vệ

tinh. Để cải thiện độ chính xác của nhiệt độ tính toán, mô hình nhiệt phải có sự

tương thích với số liệu đo đạc từ thực nghiệm hoặc các thử nghiệm hiện trường.

Một số phương pháp đã có trước đây thường tập trung vào giải quyết cho các mô

hình nhiệt đầy đủ với số bậc tự do lớn, hệ quả là thời gian chạy chương trình tính

toán là tương đối lớn. Để khắc phục yếu tố trên, người ta có thể áp dụng phương

pháp rút gọn mô hình cho bài toán nhiệt. Phương pháp rút gọn mô hình là một trong

những phương pháp được áp dụng trong tính toán, thiết kế nhiệt cho các kết cấu

phức tạp, chẳng hạn như các mạch điện lớn [31], các thiết bị điện [32], các máy

công nghiệp [33]. Trong lĩnh vực phân tích nhiệt vệ tinh, phương pháp này cũng

được sử dụng nhằm mục đích giảm đi chi phí tính toán, đồng thời vẫn cho ra kết

quả chấp nhận được. Bài toán rút gọn mô hình được phát biểu như sau: Với một mô

hình toán nhiệt phức tạp có số nút nhiệt mô phỏng khá lớn, tìm một mô hình toán

nhiệt đơn giản hơn (với số nút nhiệt nhỏ hơn) mà vẫn cho nghiệm xấp xỉ mô hình

ban đầu. Deiml và đồng nghiệp [34] đã phát triển một thuật toán rút gọn mô hình

trong tính toán nhiệt cho một vệ tinh nhằm rút gọn thời gian tính toán và tự động

hóa quá trình xử lý giải các phương trình cân bằng nhiệt được thiết lập. Các mô

hình hình học đơn giản hóa được xây dựng dựa trên kết cấu của các thiết bị, các mô

hình vật liệu và các giả thiết đơn giản hóa; sau đó thiết lập các quan hệ liên kết nhiệt

và tính toán các tải nhiệt ngoài cho mô hình. Cuối cùng các tác giả thực hiện các

tính toán tối ưu để tìm ra cấu hình phù hợp của vệ tinh thiết kế.

Cũng phương pháp rút gọn mô hình, Rico và cộng sự [35] đã đề xuất một

phương pháp xử lý ma trận để làm giảm số phần tử của mô hình toán nhiệt cho một

kết cấu vệ tinh thực. Mục đích của các tác giả này là nhằm đạt được một mô hình

26

nhiệt rút gọn nhưng vẫn đảm bảo độ tin cậy tính toán và đảm bảo các đặc tính vật lý

của các phần tử nút của hệ nhiệt. Quá trình rút gọn mô hình được thực hiện bằng

cách xử lý các ma trận liên kết dẫn nhiệt, liên kết bức xạ có tính chất ma trận thưa,

hoặc có cấu trúc đặc biệt (chẳng hạn như tính đối xứng). Một số nghiên cứu còn

tính đến các yếu tố ngẫu nhiên trong bài toán nhiệt, phương pháp rút gọn mô hình sẽ

có ý nghĩa rất đáng kể bởi vì trong bài toán ngẫu nhiên, khối lượng tính toán là rất

lớn, và việc rút gọn mô hình làm giảm khối lượng tính toán đó đi ở mức độ nào đó.

Chẳng hạn trong một nghiên cứu của Gorlani và Rossi [36]), hai tác giả này đã áp

dựng phương pháp rút gọn mô hình, tính toán nhiệt cho thiết bị có tên là IRES N2

của vệ tinh GALILEO AVIONICA Firenze. Quá trình rút gọn dựa trên các chương

trình lặp tự động và tối ưu hóa để thu được mô hình nhiệt rút gọn cuối cùng. Mới

đây Jacques và đồng nghiệp [37] đã phát triển một thuật toán rút gọn mô hình cho

mô hình phần tử hữu hạn của một vệ tinh có kết cấu phức tạp. Thuật toán này xử lý

một cách tự động các thành phần dẫn nhiệt và bức xạ dựa trên một quá trình “kết

đám” các phần tử lưới thu được từ mô hình kết cấu. Trong quá trình tính toán, số

lượng các hệ số quan sát ứng với thành phần bức xạ được làm giảm đáng kể, từ đó

rút gọn được khối lượng các phần tử trong mô hình. Các tác giả sau đó áp dụng tính

toán cho vệ tinh Meteosat và so sánh kết quả thu được với kết quả từ phần mềm

chuyên dụng ESATAN-TMS, một phần mềm của Châu Âu.

Một nghiên cứu khác về tự động hóa mô hình nhiệt là của Frey và đồng

nghiệp [38]. Các tác giả đã phát triển một mô hình tính toán tự động cho bài toán

phân tích nhiệt vệ tinh dựa trên hai giai đoạn. Giai đoạn một là xây dựng mô hình

toán học chi tiết và hệ thống cho bài toán nhiệt, đảm bảo các yêu cầu cho trước về

mặt mô hình. Giai đoạn hai là thực hiện các tính toán tối ưu cho mô hình nhiệt đã

xây dựng, từ đó thu được cấu hình mong muốn của thiết kế nhiệt cho vệ tinh.

c. Bài toán phân tích nhiệt kết hợp với phân tích kết cấu

Một số bài toán trong phân tích nhiệt vệ tinh còn kết hợp với các tính toán

liên quan đến tính chất cơ học của kết cấu, tức là bài toán cơ-nhiệt đồng thời. Li và

đồng nghiệp [39] phân tích nhiệt của cánh vệ tinh chịu tác dụng của tải nhiệt từ môi

trường vũ trụ trên quỹ đạo. Phân tích nhiệt cho cánh là bài toán quan trọng vì cánh

27

vệ tinh là kết cấu gắn tấm pin năng lượng mặt trời để lấy năng lượng nuôi các thiết

bị khác của vệ tinh. Các tác giả đã tính toán các hệ số vật liệu của cánh từ các đặc

điểm cấu trúc của nó, chẳng hạn các hệ số đàn hồi, các hệ số hấp thụ hiệu dụng của

cấu trúc lõi tổ ong ở lớp giữa của cánh. Li và Yan [40] nghiên cứu dao động kết hợp

với nhiệt cho cánh gắn trên vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo thấp của Trái đất. Vật

liệu cánh là tấm với lõi tổ ong. Cánh dao động trong khi vệ tinh chuyển động trên

quỹ đạo. Các tác giả khảo sát hiệu ứng của môi trường nhiệt, hiệu ứng của góc tới

của dòng nhiệt mặt trời, hiệu ứng của tham số vật liệu lõi tổ ong lên nhiệt độ và biến

dạng nhiệt của cánh. Mới đây hơn, dao động bao gồm hiệu ứng nhiệt của cánh được

nghiên cứu bởi Azadi và đồng nghiệp [41]. Mô hình nhiệt từ quỹ đạo tròn được

xem xét. Cánh vệ tinh được mô hình như các tấm hình chữ nhật có ngàm một cạnh.

Các tác giả cũng khảo sát hiệu ứng của các tham số quỹ đạo và tham số vật liệu lên

độ võng và nhiệt độ của cánh. Liu và đồng nghiệp [42] phân tích tương tác kết cấu-

nhiệt dưới tác động của nhiệt bức xạ trên quỹ đạo vệ tinh quanh Trái đất. Các tác

giả đề xuất một thuật toán dạng hiện để tính toán nhiệt độ cánh của vệ tinh. Các đặc

trưng động lực của vệ tinh cũng được chỉ ra bởi sự ảnh hưởng đáng kể của tải nhiệt

đầu vào.

d. Bài toán phân tích nhiệt có tính đến yếu tố không tất định hoặc ngẫu nhiên

Các yếu tố không tất định hoặc ngẫu nhiên có thể được xem xét trong bài

toán phân tích nhiệt cho vệ tinh, chẳng hạn trở kháng nhiệt tiếp xúc là một đại

lượng được tiếp cận dưới quan điểm không tất định. Trong thiết kế nhiệt giá trị trở

kháng nhiệt tiếp xúc cần được tính toán chính xác sao cho mô hình nhiệt phải tương

thích với kết quả thực nghiệm. Akita và đồng nghiệp [43] sử dụng bộ lọc Kalman

để ước lượng các tham số trở kháng nhiệt tiếp xúc của vệ tinh và áp dụng cho một

mô hình vệ tinh nhỏ đơn giản cho thấy tính hiệu quả của phương pháp đề xuất.

Trong nghiên cứu gần đây, Akita và đồng nghiệp [44] trình bày một phương pháp

ước lượng thích nghi (adaptive estimation) cho một mô hình toán nhiệt của vệ tinh

trong đó phương trình cân bằng nhiệt có yếu tố ngẫu nhiên liên quan đến đến các

tham số không tất định của nhiệt. Phương pháp dựa trên bộ lọc Kalman và xử lý cho

các số hạng phi tuyến xuất hiện trong mô hình. Các tham số đặc trưng nhiệt được

28

ước lượng một cách tự động như là đầu ra của các biến trạng thái được lọc. Trong

thiết kế nhiệt thông thường, các tham số đặc trưng này được ước lượng bằng thực

nhiệm hoặc các phương pháp thử sai. Cách tiếp cận tham số không tất định của

Akita và đồng nghiệp [44] là một trong những phát triển tiếp theo từ những nghiên

cứu trước đây, chẳng hạn của Stumpel và Chalmers [45], Annan và đồng nghiệp

[46], Ueno và đồng nghiệp [47].

e. Cách tiếp cận giải tích trong bài toán phân tích nhiệt

Các phương pháp giải số đôi khi không cung cấp đầy đủ các thông tin định

tính về ứng xử nhiệt trong một số tình huống tính toán dự báo khi tham số của hệ

thay đổi, nhất là giai đoạn đầu thiết kế mà ở đó các tham số thiết kế thay đổi liên tục

do quá trình hiệu chỉnh về mặt hình học, vật liệu, thiết bị của vệ tinh. Để hiểu một

số các tính chất nhiệt quan trọng của vệ tinh, các cách tiếp cận nghiên cứu dựa trên

các phương pháp giải tích cho các mô hình nhiệt cụ thể là cần thiết trong giai đoạn

đầu của thiết kế nhiệt.

Trong những thập kỷ qua, người ta đã đề xuất ra nhiều kỹ thuật để phân tích

nhiệt cho vệ tinh, chẳng hạn các kỹ thuật trong các công trình của Oshima và đồng

nghiệp [48], Arduini và đồng nghiệp [49], Grande và đồng nghiệp [9], Gaite và

đồng nghiệp [50], Gaite [51]. Trong nghiên cứu của Oshima và đồng nghiệp [48],

các tác giả đó đã thực hiện một số tính toán giải tích để thiết kế nhiệt trong một số

trường hợp đặc biệt của phương trình cân bằng nhiệt. Cụ thể, các tác giả nghiên cứu

phương trình cân bằng nhiệt dạng tuyến tính hóa trong đó có tính đến các ảnh

hưởng của hao tán nhiệt bức xạ của các nút ra ngoài không gian và trao đổi nhiệt

giữa các nút này. Mô hình Oshima sử dụng là mô hình nhiệt một và hai nút. Theo

đó, trong một số trường hợp đơn giản với tải nhiệt hằng số, tác giả có thể thu được

nghiệm giải tích. Tổng quát hơn, Oshima còn nghiên cứu hệ n nút và thực hiện một

số mô phỏng tính toán. Arduini và đồng nghiệp [49] đã đề nghị một kỹ thuật tuyến

tính hóa cho bài toán ngược trong điều khiển nhiệt vệ tinh nhằm tìm các tham số tối

ưu của hệ nhiệt phục vụ quá trình thiết kế. Trong công trình của Gadalla [52], ông

đã nghiên cứu nhiệt độ theo hướng giải tích trong chuyển động quay của vệ tinh

hình trụ. Một nghiên cứu khác của Gadalla và Wahba [53] là mô hình tính toán và

29

phân tích các đặc trưng nhiệt của vệ tinh chịu tác động của bức xạ mặt trời. Trong

công bố này các tác giả xem xét sự tương tác nhiệt giữa các thiết bị bên trong vệ

tinh. Các mô phỏng số dựa vào phương pháp sai phân hữu hạn, kết quả thu được chỉ

ra rằng điều kiện biên tuyến tính hóa tại mặt ngoài cho xấp xỉ tốt trong trường hợp

vệ tinh quay với tốc độ cao. Trong khi đó xảy ra một sai số đáng kể về nhiệt độ vệ

tinh đối với bài toán dừng khi vệ tinh quay với tốc độ thấp.

Trong công trình của Grande và đồng nghiệp [9], các tác giả đã trình bày kỹ

thuật tuyến tính hóa để nghiên cứu các dao động và ổn định nhiệt của vệ tinh nhỏ

trên quỹ đạo thấp sử dụng mô hình hai nút. Họ sử dụng khai triển Fourier cho các

tải nhiệt môi trường không gian để thu được một hệ dao động tương tự như hệ trong

cơ học vật rắn thông thường chịu kích động cưỡng bức. Phương pháp này cho phép

ta tính toán giải tích đối với biên độ dao động nhiệt của vệ tinh.

Trong một công bố được thực hiện bởi Gaite và đồng nghiệp [50], các tác giả

đưa ra lời giải giải tích cho nghiên cứu mô hình nhiệt một nút đơn giản với giả thiết

vệ tinh nhỏ là một vật thể đẳng nhiệt. Các tác giả sử dụng phương pháp nhiễu và

phương pháp số để chỉ ra nhiệt độ tiến tới một vòng giới hạn khi thời gian chuyển

động trên quỹ đạo đủ lớn. Trong nghiên cứu tiếp theo Gaite [12] sử dụng mô hình

nhiệt hai nút và thu được dáng điệu nhiệt ở trạng thái bình ổn có xét đến yếu tố liên

kết nhiệt yếu và liên kết nhiệt mạnh giữa các nút. Kết quả của ông sau đó được mở

rộng cho mô hình nhiều nút [51].

f. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương

Đối với phương pháp giải tích giải bài toán nhiệt vệ tinh, phương pháp tuyến

tính hóa tương đương là một lựa chọn tiềm năng vì những ưu điểm của phương

pháp này như sẽ chỉ ra trong các phần sau của luận án.

Phương pháp tuyến tính hóa tương đương là một trong những phương pháp

phổ biến trong phân tích các hệ phi tuyến vì phương pháp này có tính đơn giản và

có thể áp dụng tính toán thuận lợi cho cả hệ một và nhiều bậc tự do. Phương pháp

được đề xuất gần như “đồng thời” bởi Booton [54], Kazakov [55] và Caughey [56]

khi nghiên cứu các hệ ngẫu nhiên phi tuyến. Tuy nhiên, nguồn gốc của phương

pháp được cho là xuất phát từ những nghiên cứu trước đó của Krylov và

30

Bogoliubov [57] khi xử lý tính toán cho các hệ tiền định phi tuyến. Trải qua 60

năm, phương pháp tuyến tính hóa tương đương có những phát triển và ứng dụng

rộng rãi trong giải quyết nhiều bài toán khác nhau của khoa học và kỹ thuật. Cuốn

sách năm 1990 của Roberts và Spanos và phiên bản cập nhật của nó năm 2003 đã

tổng kết khá đầy đủ những ý tưởng và giải pháp tìm nghiệm của hệ phi tuyến cho cả

hệ tiền định và ngẫu nhiên sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương [58].

Mới đây, năm 2008, Socha cho ra mắt cuốn sách “Phương pháp tuyến tính hóa

tương đương trong phân tích hệ ngẫu nhiên phi tuyến” tiếp tục làm giàu thêm những

thông tin và hiểu biết cho các nhà nghiên cứu về phương pháp tuyến tính hóa tương

đương [59]). Nói chung, phương pháp tuyến tính hóa có ưu điểm là dễ dàng thực

hiện tính toán, các biểu thức đơn giản hơn một số phương pháp giải tích khác. Một

ưu điểm nữa đối với các hệ có tính chất phi tuyến yếu là phương pháp tuyến tính

hóa cũng cho dự báo nghiệm khá chính xác. Ý tưởng của phương pháp tuyến tính

hóa tương đương là thay thế hệ phi tuyến bằng một hệ tuyến tính hóa tương đương

trong đó vẫn giữ nguyên phần kích động, trong đó các hệ số tuyến tính hóa được

tìm từ một tiêu chuẩn xác định, chẳng hạn như tiêu chuẩn sai số bình phương trung

bình [56, 60], tiêu chuẩn năng lượng [61, 62], tiêu chuẩn hàm mật độ xác xuất [63,

64]. Ta có thể tham khảo thêm về phương pháp tuyến tính hóa tương đương trong

các bài báo tổng kết của Proppe và đồng nghiệp [65], Socha [63, 64], Crandall [66].

Trong một số nghiên cứu gần đây, tác giả Nguyễn Đông Anh và đồng nghiệp

[67, 68] đã đề xuất một cách tiếp cận mới cho phương pháp tuyến tính hóa tương

đương dựa trên khái niệm về sự thay thế đối ngẫu. Theo đó, phương pháp xem bài

toán thay thế tương đương theo hai bước. Bước thứ nhất là thay thế thông thường,

tức thay thế hàm phi tuyến ban đầu bởi một hàm tuyến tính hóa, trong khi đó vẫn

giữ nguyên kích động ngoài, giống như cách tiếp cận tuyến tính hóa của Caughey

[56]. Bước thứ hai là thay thế hàm tuyến tính hóa thu được bởi một hàm phi tuyến

khác có cùng lớp với hàm phi tuyến ban đầu, và sai khác một hằng số nhân. Trong

phương pháp, hằng số nhân này cùng với các hệ số tuyến tính hóa được tìm từ một

tiêu chuẩn đề nghị từ tổ hợp của hai bước thay thế ở trên. Cách thức thay thế đối

ngẫu đã làm cải thiện sai số đáp ứng thu được cho một số hệ ngẫu nghiên có tính

31

phi tuyến mạnh*. Qua tìm hiểu, tác giả thấy rằng tiêu chuẩn đối ngẫu được áp dụng

cho hệ một và nhiều bậc tự do và mới đây cho cả hệ liên tục [69]. Ý tưởng của

phương pháp có thể được áp dụng sang nhiều đối tượng hệ phi tuyến khác nhau,

trong đó có hệ nhiệt của vệ tinh.

1.7. Định hướng nghiên cứu

Nghiên cứu đáp ứng nhiệt vệ tinh là bài toán phức tạp và gặp nhiều khó khăn

trong cả tính toán số và tính toán giải tích. Đối với phương pháp số, nó cho phép ta

thu được diễn tiến nhiệt độ theo thời gian của các nút theo một cách thức thuận tiện,

tuy nhiên thời gian tính toán lớn và cần nhiều tài nguyên máy tính [11]. Đối với

phương pháp giải tích cũng có nhiều vấn đề nghiên cứu được đặt ra do có sự xuất

hiện của các số hạng phi tuyến phức tạp trong các mô hình nhiệt. Các tính toán giải

tích thường được thực hiện cho mô hình với một vài nút nhiệt. Có một số phương

pháp giải tích đã được sử dụng, có thể kể đến như phương pháp phân tích Fourier,

phương pháp nhiễu, phương pháp trung bình, kỹ thuật tuyến tính hóa…Tuy nhiên

quá trình tính toán đôi khi cũng cần có một số giả thiết nhất định, chẳng hạn trong

các nghiên cứu với mô hình một và hai nút, các tác giả Grande và đồng nghiệp [9],

Gaite và đồng nghiệp [12] đã sử dụng cách tiếp cận tuyến tính hóa dựa trên giả thiết

“dao động nhiệt của các nút xung quanh giá trị trung bình nhiệt là khá nhỏ”. Điều

này có thể chưa phù hợp trong một số bài toán phân tích nhiệt với các dao động

nhiệt của nút là khá lớn, chẳng hạn như dao động nhiệt của cánh vệ tinh trong miền

sáng so với nhiệt độ của cánh trong miền tối. Hạn chế này cần phải được khắc phục.

Để có thể đánh giá tốt hơn về đáp ứng nhiệt của vệ tinh ta cần tìm các phương pháp

số và giải tích có độ chính xác cao để giải các phương trình cân bằng nhiệt phi

tuyến ứng với từng mô hình nhiệt cụ thể, hoặc phát triển các mô hình nhiệt tốt hơn,

đúng với thực tế hơn.

Trong luận án này, mục đích của tác giả là phát triển và mở rộng phương

pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu cho bài toán phân tích

nhiệt vệ tinh. Trong bài toán này thành phần phi tuyến là hàm bậc 4 của đáp ứng,

xuất hiện trong số hạng bức xạ của các nút nhiệt. Một số đặc thù của bài toán nhiệt

được phân tích chi tiết sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu

chuẩn đối ngẫu trong luận án.

* Trong lý thuyết hệ động lực, một hệ có dạng ,tx F x , trong đó là một tham số bé, được coi là hệ có tính phi tuyến yếu; trong

khi đó một hệ được coi là phi tuyến mạnh nếu trong phương trình chuyển động của nó có ít nhất một số hạng phi tuyến không thể biểu

diễn được theo tham số bé , nhưng biểu diễn được qua tham số lớn 1/O (chi tiết có thể xem trong [85]

32

Mô hình nhiệt nghiên cứu trong luận án là các mô hình một nút, hai nút và

nhiều nút cho vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp quanh Trái đất. Với mô hình một và hai

nút, tác giả sẽ nghiên cứu tính toán đáp ứng nhiệt cho các mô hình này sử dụng các

phương pháp giải tích gồm phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu

chuẩn đối ngẫu, phương pháp tuyến tính hóa dựa trên giả thiết của Grande. Với các

mô hình nhiều nút, tác giả sẽ sử dụng cách tiếp cận số để tìm đáp ứng nhiệt của các

mô hình này. Phương pháp số Runge-Kutta là phương pháp tính toán hiệu quả được

lựa chọn sử dụng trong luận án. Ở đây, tác giả sử dụng phương pháp Runge-Kutta

bậc 4 để tính toán đáp ứng nhiệt cho một số mô hình vệ tinh dựa trên mô hình hệ

nhiệt nhiều nút, gồm mô hình nhiệt hai nút cho cánh vệ tinh, mô hình nhiệt sáu nút

cho vệ tinh hình hộp chữ nhật, mô hình nhiệt tám nút cho vệ tinh cho vệ tinh hình

hộp chữ nhật có gắn thêm một cánh.

1.8. Kết luận Chương 1

Chương 1 trình bày tổng quan về vệ tinh và về quá trình xây dựng mô hình

nhiệt cho vệ tinh dựa trên phương pháp tham số phân bổ; trình bày các mô tả toán

học và vật lý cho các nút nhiệt, mạng nhiệt và các tính chất nhiệt khác nhau cho các

đại lượng vật lý liên quan đến bài toán phân tích nhiệt vệ tinh (chẳng hạn nhiệt

dung, hệ số dẫn nhiệt, hệ số bức xạ…). Trong chương này, tác giả cũng trình bày

tổng quan về quá trình truyền nhiệt giữa các nút thông qua hai hình thức truyền

nhiệt chủ yếu là dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt; hai hình thức truyền nhiệt này là cần

thiết để thiết lập phương trình cân bằng năng lượng cho mô hình nhiệt.

Ở quỹ đạo thấp, vệ tinh chịu tác động của ba nguồn nhiệt chính bao gồm: bức

xạ mặt trời trực tiếp, bức xạ albedo và bức xạ hồng ngoại của Trái đất. Xác định các

tải này đòi hỏi các thông tin về quỹ đạo mà ở đó trong một số trường hợp đơn giản,

người ta có thể xây dựng được các biểu thức giải tích dễ dàng cho các tính toán kỹ

thuật. Trong phần cuối của Chương 1, tác giả cũng mô tả ngắn gọn các bước trong

quá trình phân tích nhiệt và trình bày về tình hình nghiên cứu của bài toán phân tích

nhiệt cho vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp của Trái đất, từ đó tác giả đưa ra định hướng

nghiên cứu và nhiệm vụ của luận án. Trong Chương 2, tác giả sẽ trình các kết quả

nghiên cứu ứng xử nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp dựa trên mô hình nhiệt

một nút.

33

CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG NHIỆT CỦA VỆ TINH NHỎ

TRÊN QUỸ ĐẠO THẤP DỰA TRÊN MÔ HÌNH NHIỆT MỘT NÚT

2.1. Mô hình nhiệt một nút

Trong chương này mô hình nhiệt một nút được xem xét. Ý nghĩa của mô

hình nhiệt một nút là ở chỗ:

(i) đây là mô hình đơn giản có thể giúp tính toán một cách sơ bộ nhiệt độ của

vệ tinh, hoặc nhiệt độ của một thành phần hay thiết bị nào đó;

(ii) từ tính toán này giúp các nhà thiết kế giảm “chi phí” tính toán trong giai

đoạn tiền thiết kế của vệ tinh, nhất là vấn đề ước lượng nhiệt với các đầu vào nhiệt

giả định trong phòng thí nghiệm gần sát với đầu vào nhiệt trên quỹ đạo thấp của

Trái đất.

Nghiên cứu phương trình cân bằng nhiệt một nút có tính chất nền tảng để

hiểu về các biến đổi nhiệt liên quan đến nhiều nút khác nhau của vệ tinh. Mô hình

nhiệt một nút là mô hình khá phù hợp cho vệ tinh nhỏ như chỉ ra trong nghiên cứu

của K. Oshima và Y. Oshima [48]. Theo đó, ta có thể xem vệ tinh như một vật thể

đẳng nhiệt có nhiệt dung C , đặc trưng bởi nhiệt độ T chỉ phụ thuộc vào thời gian t .

Các đặc trưng hình học của vệ tinh xem như đã được đơn giản hóa và đưa vào hệ số

của phương trình cân bằng nhiệt.

2.2. Các nguồn nhiệt tác động lên vệ tinh trong mô hình một nút

Ta nghiên cứu ba nguồn nhiệt chính tác động lên vệ tinh gồm: bức xạ mặt trời, bức

xạ albedo của Trái đất và bức xạ hồng ngoại Trái đất.

2.2.1. Bức xạ mặt trời

Bức xạ mặt trời tác động lên vệ tinh phụ thuộc vào quỹ đạo vệ tinh và tư thế

hoạt động của nó. Nhiệt mặt trời mà vệ tinh nhận được được giả thiết là một hàm có

giá trị không đổi và khác không khi vệ tinh nằm trong vùng sáng, và có giá trị bằng

không khi vệ tinh nằm trong vùng bóng tối [9], tức là

sol s s s sp s sQ Q f t G A f t (2.1)

34

trong đó sG là hằng số mặt trời,

spA là diện tích bề mặt vệ tinh được mặt trời chiếu

sáng trực tiếp, s là hệ số hấp thụ mặt trời của bề mặt vệ tinh, hàm sf vt là hàm

số phụ thuộc vào thời gian t , mô tả sự biến đổi ngày-đêm của bức xạ mặt trời và

hàm này có dạng sóng vuông, được xác định trong một chu kỳ như sau:

1

1 khi 0, 1 2 , 2 ,2

10 khi , 1 2 .

2

s

t

f t

t

(2.2)

trong đó /il orbP P là tỷ số giữa thời gian chiếu sáng ilP (s) và chu kỳ quỹ đạo

orbP (s), 2 orbP .

2.2.2. Bức xạ albedo của Trái đất

Khi mặt trời chiếu sáng xuống bề mặt Trái đất, một phần năng lượng bị bề

mặt Trái đất hấp thụ, còn phần kia bị phản chiếu trở lại không gian. Phần phản

chiếu sẽ tác động trực tiếp đến vệ tinh được gọi là bức xạ albedo trái đất. Tính toán

tải nhiệt albedo cho vệ tinh là quá trình tương đối phức tạp, tải nhiệt albedo chỉ áp

dụng cho các phần Trái đất được chiếu sáng nên giá trị của nó phụ thuộc vào góc

thiên đỉnh mặt trời tại vị trí vệ tinh và độ cao quỹ đạo. Với mô hình một nút, tải

nhiệt mà vệ tinh hấp thụ được tính theo công thức [9, 70]:

alb a a e s sc se s aQ Q f t a G A F f t (2.3)

trong đó ea là hệ số albedo, scA là diện tích của cả vệ tinh, seF là hệ số quan sát

Trái đất khi nhìn từ vệ tinh, af t là hàm số phụ thuộc vào thời gian biểu diễn sự

thay đổi ngày-đêm của tải nhiệt albedo:

3cos khi 0, , 2 ,

2 2

30 khi , .

2 2

a

t t

f t

t

(2.4)

Dáng điệu của các hàm sf vt , af t trong một chu kỳ quỹ đạo orbP được

mô tả trong Hình 2.1 [9, 70].

35

Hình 2.1. Dáng điệu bức xạ mặt trời và bức xạ albedo trong một chu kỳ quỹ đạo

2.2.3. Bức xạ hồng ngoại

Bức xạ hồng ngoại mà vệ tinh nhận được từ Trái đất là [9, 70]:

4 ,e sc se eQ A F T (2.5)

trong đó eT là nhiệt độ vật thể đen tương đương của Trái đất, nghĩa là trong biểu

thức (2.5) ta coi Trái đất bức xạ như một vật thể đen và quy luật bức xạ tuân theo

định luật Stefan-Boltzamann, là hệ số phát xạ hồng ngoại.

2.3. Phương trình cân bằng nhiệt một nút

Vệ tinh hấp thụ nhiệt từ môi trường không gian, tuy nhiên nó cũng toả nhiệt

ra môi trường không gian theo phương thức bức xạ. Theo nguyên lý cân bằng nhiệt

động ta thu được phương trình cân bằng nhiệt cho vệ tinh [50, 70].

4 ,sc s s a a eCT A T Q f t Q f t Q (2.6)

Phương trình (2.6) là phương trình vi phân phi tuyến mô tả đáp ứng nhiệt của

vệ tinh. Ta đưa vào các đại lượng không thứ nguyên sau:

1 2 3, , , ,s a e

T t Q Q Qt

C C C

(2.7)

trong đó

1 3

2;

orb sc

C

P A

(2.8)

36

Sử dụng (2.7), phương trình (2.6) đưa về dạng không thứ nguyên sau:

4

1 2 3s a

df f

d

(2.9)

Phương trình (2.9) có thể được giải số để thu được đáp ứng nhiệt không thứ

nguyên của vệ tinh sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 [71, 72]. Đây là một

trong những phương pháp phổ biến dùng để tìm nghiệm của các phương trình vi

phân thường cấp một trong các bài toán phân tích số vì nó là một trong những

phương pháp khá tốt cho lời giải số khá tin cậy. Trong công trình của [50], các tác

giả đã thu được diễn tiến nhiệt độ của vệ tinh trong mô hình một nút với các giá trị

của điều kiện đầu 0 0 khác nhau. Các tác giả đã chỉ ra rằng nhiệt độ của vệ

tinh dần tới một vòng giới hạn, nghĩa là đáp ứng nhiệt của vệ tinh là tuần hoàn khi

thời gian chuyển động của vệ tinh trên quỹ đạo là đủ lớn. Các tác giả này đã sử

dụng phương pháp nhiễu và phân tích Fourier để tìm nghiệm xấp xỉ bậc nhất và bậc

cao của đáp ứng nhiệt . Tuy nhiên, sự xuất hiện của hàm mũ trong xấp xỉ bậc

nhất của phương pháp nhiễu làm cho quá trình tích phân trở nên khó khăn hơn.

Trong luận án này, tác giả sẽ đề xuất một cách tiếp cận mới để tìm nghiệm xấp xỉ

của (2.9) dựa trên tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương

được đề xuất gần đây trong dao động phi tuyến ngẫu nhiên [67, 68].

2.4. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu

Ta xét hệ có phương trình vi phân sau:

,d

fd

(2.10)

trong đó f là hàm phi tuyến của đối số , là tải ngoài có thể là hàm tiền

định hoặc ngẫu nhiên. Phương trình gốc (2.10) được tuyến tính hóa để trở thành

dạng sau

,d

a bd

(2.11)

trong đó hai hệ số tuyến tính hóa ,a b được tìm theo một tiêu chuẩn cụ thể của

phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Tiêu chuẩn được dùng phổ biến nhất là

tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình. Tiêu chuẩn này đòi hỏi rằng bình phương

37

của sai số e f a b giữa hệ phi tuyến (2.10) và hệ tuyến tính hóa (2.11) là

cực tiểu hóa theo tham số ,a b :

22

,min,

a be f a b (2.12)

trong đó ký hiệu . là toán tử trung bình với 0

1. .

T

dT

(hoặc . là kỳ vọng

toán học trong hệ ngẫu nhiên). Trong những nghiên cứu trước đây, nhiều tác giả chỉ

ra rằng, với hệ phi tuyến yếu nói chung, tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình

cho dự đoán tốt về đáp ứng hệ. Tuy nhiên đối với những hệ phi tuyến mạnh, khi

tính phi tuyến của hệ tăng thì sai số đáp ứng có thể cũng tăng và đôi khi dẫn đến sai

số có thể không chấp nhận được. Thực tế này dẫn tới sự cải tiến các tiêu chuẩn của

phương pháp tuyến tính hóa để dự báo nghiệm tốt hơn [58, 59, 60, 66, 73]. Để cải

tiến sai số nghiệm, người ta có thể sử dụng cách tiếp cận đối ngẫu cho bài toán thay

thế tương đương như được đề xuất trong nghiên cứu của Nguyễn Đông Anh và

đồng nghiệp [67, 68, 74]. Trong nghiên cứu bài toán phân tích nhiệt vệ tinh của luận

án, tiêu chuẩn đối ngẫu thu được dựa trên hai bước thay thế:

- Bước thứ nhất: hàm phi tuyến f biểu diễn số hạng bức xạ nhiệt được

thay thế bởi hàm tuyến tính hóa a b , với ,a b là các hệ số tuyến tính hóa.

- Bước thứ hai: hàm tuyến tính hóa a b thu được từ bước thứ nhất, được

thay thế bởi một hàm phi tuyến khác có dạng f và được xem như cùng lớp

với hàm gốc f với hệ số tỷ lệ , trong đó các hệ số tuyến tính hóa ,a b và

được tìm từ tiêu chuẩn sau đây:

2 2

, ,1 min,

a bJ f a b a b f

(2.13)

trong đó hệ số nhận hai giá trị là 0 hoặc 1 2 . Từ (2.13) ta thấy rằng khi 0 ta

thu được tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (2.12) của phương pháp tuyến

tính hóa tương đương. Khi 1 2 ta thu được tiêu chuẩn đối ngẫu như được đề

xuất trong công trình của Nguyễn Đông Anh và đồng nghiệp [67, 68]. Tiêu chuẩn

(2.13) biểu diễn cả tiêu chuẩn đối ngẫu và tiêu chuẩn thông thường của phương

pháp tuyến tính hóa tương đương trong dạng kết hợp ứng với từng giá trị của .

38

Cách biểu diễn tiêu chuẩn đối ngẫu (2.13) có khác đôi chút so với tiêu chuẩn

đối ngẫu đã trình bày trong [67, 68] ở chỗ hệ số 1 và nằm lần lượt ở phần

thay thế thông thường và thay thế đối ngẫu với giả thiết 0 1 . Cách biểu diễn

này có ý nghĩa thể hiện tính chất tương tác và vai trò giữa hai bước thay thế khi giá

trị được lấy thay đổi. Nếu càng gần 0 thì vai trò của thay thế đối ngẫu là

không đáng kể, do đó tiêu chuẩn đang xét trở về tiêu chuẩn sai số bình phương

trung bình thông thường đã biết. Trong trường hợp ngược lại, nếu tiến về phía

1/2 thì vai trò thay thế của hai bước tuyến tính hóa là gần như nhau. Sự “bình đẳng”

trong hai bước thay thế nên được “quan tâm” bởi vì tính chất thay thế của phương

pháp tuyến tính hóa nếu quá lệch về một phía sẽ có thể dẫn đến thông tin không

“đầy đủ” về bản chất của bài toán tuyến tính hóa. Nhận thức này là rất tự nhiên. Do

đó, cũng như các nghiên cứu trước đó [67, 68], tác giả luận án lựa chọn tham số

1/ 2 để tính toán đáp ứng cho bài toán phân tích nhiệt vệ tinh.

Tiêu chuẩn (2.13) dẫn đến hệ phương trình sau để xác định các ẩn ,a b và

0, 0, 0.J J J

a b

(2.14)

Hệ (2.14) cho ta hệ phương trình sau của ,a b và

2

2

( ) 1 ( ) ,

( ) 1 ( ) ,

( ) ( ) ( ) 0.

a b f f

a b f f

f a f b f

(2.15)

Giải hệ phương trình (2.15) ta thu được các hệ số tuyến tính hóa ,a b ,

22

2

22

( ) ( )1,

1

( ) ( )1,

1

f fa

f fb

(2.16)

và cho hệ số lượt về ,

2

2 22 22 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1

1 ( ) ( )

f ff ff f

f f

(2.17)

trong đó ký hiệu

39

2 2

222 2

( ) ( ) ( ).

( )( )

f f f

ff

(2.18)

Hệ (2.16) có thể áp dụng cho các bài toán khác nhau với dạng cụ thể của hàm

phi tuyến f . Trong khuôn khổ phương trình cân bằng nhiệt (2.9), hàm f có

dạng 4f . Trong phần tới ta sẽ tìm đáp ứng xấp xỉ của (2.9) sử dụng kết quả

tổng quát (2.16).

2.5. Nghiệm xấp xỉ cho phương trình cân bằng nhiệt một nút

Ta thấy rằng hai hàm đầu vào ,s af f được xác định bởi (2.2) và (2.4)

là hai hàm tuần hoàn, nên chúng có thể được khai triển dưới dạng chuỗi Fourier [9,

70]:

2

2 2sin cos sin cos ,s

k

f k kk

(2.19)

2

1

1 1 2cos cos 2 .

2 4 1a

k

f k kk

(2.20)

Các số hạng của chuỗi (2.19) và (2.20) có xu hướng dần tới 0 khi chỉ số k

dần tới vô cùng. Do đó, để đơn giản, trong các tính toán sau đây, ta sẽ chỉ giữ lại

xấp xỉ bậc nhất trong mỗi chuỗi. Do đó, phương trình (2.9) có thể được viết lại như

sau:

4 cos ,d

P Hd

(2.21)

trong đó

1 2 3

1P

, 1 2

2 1sin .

2H

(2.22)

Hệ tuyến tính hóa tương đương tương ứng với hệ phi tuyến (2.21) có dạng

(2.11) với tải ngoài gồm một thành phần tự do P và một thành phần điều hòa

cosH :

cosP H (2.23)

Từ đó, nghiệm của phương trình (2.11), (2.23) sẽ được biểu diễn dưới dạng

sau:

cos sin ,R A B (2.24)

40

trong đó , ,R A B được xác định bằng cách thay (2.23), (2.24) vào phương trình

(2.11) và cân bằng các hệ số của số hạng điều hòa tương ứng

2 2

1, , .

1 1

P b aR A H B H

a a a

(2.25)

Thay 4f vào phương trình (2.16) và (2.18) thu được

5 4

22

2 4 5

22

1,

1

1,

1

a

b

(2.26)

trong đó

2 25 4 4

822 8.

(2.27)

ở đây 2

0

1. .

2d

là toán tử trung bình trên đoạn 0, 2 . Quan sát biểu thức

(2.26) và (2.27), những số hạng lấy trung bình sau đây sẽ xuất hiện dựa trên nghiệm

(2.24) của phương trình tuyến tính hóa (2.11),

,R

2 2 2 21,

2R A B

2

4 4 2 2 2 2 233 ,

8R R A B A B

2

5 4 2 2 2 2 2155 ,

8R R R A B A B

(2.28)

2 3 4

8 8 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2105 35 3514 .

4 4 128R R A B R A B R A B A B

Thay (2.28) vào phương trình (2.26), (2.27), ta thu được:

2 2 2

22 2 4

14 3 3 ,

1

1 33 ,

1 8

a R R A B

b A B R

(2.29)

trong đó

41

2 3 48 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

2 3 48 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

87 27 914

4 4 64 .105 35 35

144 4 128

R R A B R A B R A B A B

R R A B R A B R A B A B

(2.30)

Thay (2.25) vào (2.29) và (2.30) nhận được một hệ phương trình đại số phi

tuyến cho các hệ số tuyến tính hóa a và b như sau

2 2

2

4 4

22

1 34 ,

1 1

1 33 ,

1 8 1

P b P b Ha

a a a

P b Hb

a a

(2.31)

trong đó được xác định từ (2.30) và chú ý (2.25), /R P b a ,

2 2 2 2/ 1A B H a . Vì hệ (2.31) là hệ đại số phi tuyến, ta có thể giải hệ này

bằng một phương pháp số để thu được a , b ; sau đó sử dụng (2.25) ta thu được

nghiệm xấp xỉ (2.24) của hệ (2.21). Chú ý rằng hệ số tuyến tính hóa thông thường

và đối ngẫu thu được từ (2.31) tương ứng bằng cách cho 0 và 1 2 . Với mục

đích so sánh, trong mục tiếp theo tác giả trình bày thêm kết quả thu được từ một

cách tiếp cận tuyến tính hóa khác trên cơ sở giả thiết của Grande.

2.6. Cách tiếp cận dựa trên giả thiết của Grande cho mô hình nhiệt một nút

Sau đây, kỹ thuật tuyến tính hóa dựa trên giả thiết của Grande và đồng

nghiệp [9] được tiến hành cho hệ phi tuyến (2.21). Giả sử rằng quỹ đạo vệ tinh được

duy trì không đổi, nghiệm của phương trình (2.21) có thể được xấp xỉ như

một hàm tuần hoàn của thời gian không thứ nguyên với 0 2 . Gọi là

nhiệt độ trung bình của trong một chu kỳ

2

0

1.

2d

(2.32)

Đặt là dao động nhiệt quanh nhiệt độ trung bình . Grande [9] giả

thiết rằng / 1 , tức là dao động nhiệt khá nhỏ so với giá trị nhiệt độ trung

42

bình . Giả thiết này cho phép xấp xỉ hàm bậc bốn của nhiệt độ không thứ nguyên

dưới dạng:

4

44 4 41 1 4 .

(2.33)

Tích phân phương trình (2.21) trong một chu kỳ 0, 2 , và chú ý đến (2.33)

cho ta biểu thức của nhiệt độ trung bình

1/4.P (2.34)

Thay vào phương trình (2.21), ta thu được phương trình của dao

động nhiệt

34 cos ,d

Hd

(2.35)

với điều kiện đầu 00 . Nghiệm giải tích của (2.35) là

3

34 3

0 6 6

44 cos sin .

1 16 1 16

H He

(2.36)

Dễ thấy rằng dao động nhiệt sẽ tiệm cận đến nghiệm điều hòa khi thời

gian , tức là ta thu được nghiệm ở trạng thái bình ổn s

3

64 cos sin .

1 16s

H

(2.37)

Biên độ dao động nhiệt G của thu được từ kỹ thuật tuyến tính hóa sử

dụng giả thiết của Grande (2.37) và DC thu được từ nghiệm (2.25) của tiêu chuẩn

đối ngẫu (2.13) là

6,

1 16G

H

(2.38)

2 2

2.

1DC

HA B

a

(2.39)

trong đó ,A B được xác định từ nghiệm số của phương pháp tuyến tính hóa (2.31).

Trong phần sau, chúng ta sẽ thảo luận về kết quả đáp của ứng nhiệt thu

được bởi tuyến tính hóa đối ngẫu, tuyến tính hóa thông thường, tuyến tính hóa dựa

trên giả thiết của Grande và nghiệm số thu được từ thuật toán Runge-Kutta bậc 4.

43

2.7. Phân tích nhiệt cho mô hình một nút

2.7.1. Phương pháp Newton-Raphson giải hệ đại số phi tuyến của các hệ số tuyến

tính hóa

Từ thuyết phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, ta có thể chỉ ra rằng

phương trình tuyến tính hóa (2.11) ổn định nếu hệ số a thỏa mãn 0a . Chú ý rằng

nhiệt độ vật thể là đại lượng luôn dương trong thang đo Kelvin theo định luật III của

nhiệt động lực học [12, 83]. Do đó ta phải có 0 . Điều này dẫn đến một thực tế

là tham số b trong phương trình phải có giá trị âm. Ý nghĩa của 0b là ở chỗ nó

đảm bảo rằng nhiệt độ trung bình ở trạng thái bình ổn ứng với phương trình (2.11)

là tồn tại và nhiệt độ trung bình này nhận giá trị dương, đảm bảo về ý nghĩa vật lý

của bài toán.

Các điều kiện 0, 0a b kết hợp với phương trình (2.29) cho ta kết quả là

các đại lượng ,R A và B phải thỏa mãn các điều kiện sau đây:

0R , 2 2 4 8 .A B R (2.40)

Từ (2.30), có thể thấy rằng

0.5 1, 1

01

với 0 1 . (2.41)

Việc giới hạn miền giá trị của ,a b ở trên giúp ta rút gọn miền tính toán cho

thuật toán lặp đối với hệ đại số phi tuyến (2.31). Ở đây, hệ (2.31) của hai ẩn a và b

được giải số bằng phương pháp Newton-Raphson sử dụng quá trình lặp sau đây:

1

1 1

1 1

1 22 2

, ,,

,,

, ,

n n n nn n n n

n n n nn n n n

F Fa b a b

a a F a ba b

b b F a bF Fa b a b

a b

(2.42)

hay

( 1) 1n n nn X X J X F X (2.43)

trong đó

Tn

n na bX là giá trị xấp xỉ của T

a b ở bước lặp thứ n , J là ma

trận Jacobian của hàm véc tơ 1 2

TF FF theo các biến ,a b :

44

1 1

2 2

, ,

, ,

n n n nn

n n n n

F Fa b a b

a b

F Fa b a b

a b

J X (2.44)

2 2

1 2

4 4

2 22

1 3, 4 ,

1 1

1 3, 3 .

1 8 1

P b P b HF a b a

a a a

P b HF a b b

a a

(2.45)

Trước khi giải hệ (2.43), ta cần chọn một giá trị lặp khởi đầu

0

0 0

Ta bX . Như đã nói ở trên, giá trị đầu cho quá trình lặp (2.43) được chọn

sao cho 0a và 0b . Sơ đồ thuật giải cho phương pháp Newton-Raphson ứng

với hệ (2.43) được minh họa trên Hình 2.2.

Hình 2.2. Sơ đồ giải lặp cho phương trình (2.45)

bằng phương pháp Newton-Raphson

45

Điều kiện dừng cho phép lặp là

( 1) NR

1

nn X X , NR

2

nF X (2.46)

trong đó NR

1 và NR

2 là hai giá trị nhỏ tùy ý. Trong bài toán hiện tại, ta lấy

NR NR 12

1 2 10 .

Trong trường hợp một biến số, người ta có thể chỉ ra đặc tính nghiệm duy

nhất của phương trình phi tuyến thông qua cách khảo sát hàm số. Tuy nhiên trong

trường hợp nhiều chiều, người ta sử dụng một phương pháp số được gọi là phương

pháp miền hút (tương ứng với phép giải lặp được sử dụng) [84] để khảo sát sự hội

tụ nghiệm của bài toán. Trong phương pháp này, người ta cho các tham số quan tâm

của bài toán chạy trong một miền xác định trước. Với mỗi bộ tham số sẽ cho một

đầu ra tương ứng; đầu ra này có thể đáp ứng hay không đáp ứng yêu cầu của bài

toán. Khi quét hết các điểm mà tham số chạy ta sẽ thu được một bức tranh mà ở đó

thể hiện các đặc tính cụ thể của bài toán.

Trong bài toán đang xét, miền hút của phương pháp Newton-Raphson được

miêu tả trong miền phẳng hai chiều trên Hình 2.3 cho 0 0( , )a b trong khoảng

00 1a , 01 0b . Hình vẽ có hai vùng với hai màu phân biệt. Vùng trắng đại

diện cho tập hợp các điểm 0 0( , )a b mà phương pháp Newton-Raphson áp dụng cho

hệ (2.43) cho nghiệm ,a b mong muốn. Vùng màu đỏ [có trong phiên bản in

màu, hoặc màu đen trong phiên bản in thông thường] chỉ ra tập hợp các điểm mà

phương pháp Newton-Raphson cho nghiệm không mong muốn 0a .

Hình 2.3. Miền hút của phương pháp Newton-Raphson

cho hệ phi tuyến của các hệ số tuyến tính hóa a và b

46

2.7.2. Đáp ứng nhiệt trong mô hình nhiệt một nút

Hệ (2.9) có nghiệm chính xác trong trường hợp tải nhiệt đầu vào là hằng số

[75]. Tuy nhiên trong trường hợp tải nhiệt đầu vào là tuần hoàn thì hệ (2.9) rất khó

tìm nghiệm chính xác. Do đó, cách tiếp cận thay thế là sử dụng phương pháp

Runge-Kutta bậc 4 để đánh giá độ chính xác của các phương pháp xấp xỉ được trình

bày ở trên. Kết quả số cho nhiệt độ không thứ nguyên được minh họa trong các

Hình 2.4-2.9. Các tham số hệ dùng để tính toán được cho trong Bảng 2.1.

Bảng 2.1. Tham số hệ dùng để tính toán đáp ứng nhiệt của vệ tinh trong mô hình

một nút [4, 50, 70]

Mô tả Tham số Giá trị Đơn vị

Hằng số mặt trời sG 1360 -2Wm

Diện tích nút A 3.14 2m

Hệ số hấp thụ bề mặt s 0.67

Hệ số albedo trái đất ea 0.31

Hệ số phát xạ bề mặt 0.83

Nhiệt độ vật thể đen tương đương của Trái đất eT 259 K

Hằng số Stefan-Boltzann 85.67 10 -2 -4Wm K

Hao tán nhiệt bên trong iQ 50 W

Nhiệt dung C 30000 -1JK

Chu kỳ quỹ đạo orbP 5800 s

Tỷ số il orbP P 0.63

2.7.2.1. Diễn tiến nhiệt theo thời gian

Hình 2.4 và 2.5 biểu diễn đáp ứng hệ cho hệ phi tuyến (2.9) sử dụng phương

pháp Runge-Kutta bậc 4 tương ứng trong 3 chu kỳ quỹ đạo. Sự liên hệ giữa điều

kiện đầu 0 0T T của hệ vật lý (2.6) và 0 0 của hệ phi tuyến (2.9) được cho

bởi (2.7). Hình 2.4 vẽ diễn tiến nhiệt độ của nút với các điều kiện đầu 0T khác nhau.

Trong đường cong diễn tiến nhiệt độ tương ứng với 0 0.3313 , các dấu sao minh

họa sự biến đổi nhiệt độ ở các vị trí khác nhau trên quỹ đạo. Cụ thể, ta xét chu kỳ

quỹ đạo thứ hai giới hạn bởi hai điểm A và F . Từ A đến B , vệ tinh chịu tác dụng

của cả tải nhiệt mặt trời và tải nhiệt albedo, nhiệt độ của vệ tinh sẽ tăng. Nhiệt độ

vẫn sẽ tăng trên đường cong BC mặc dù vệ tinh chỉ chịu tác dụng của tải nhiệt mặt

47

trời (xem Hình 2.1). Khi vào trong vùng tối của quỹ đạo (đường cong CD ), nhiệt

độ của vệ tinh sẽ giảm xuống. Sau đó, trong giai đoạn còn lại của chu kỳ quỹ đạo,

vệ tinh được chiếu sáng trở lại (đường cong DEF ), quá trình tăng nhiệt khác lại bắt

đầu. Hình 2.4 cũng cho thấy rằng nhiệt độ của vệ tinh tiệm cận nghiệm tuần hoàn

khi thời gian không thứ nguyên dần tới vô cùng [trong tình huống bài toán, ta

chọn 3 chu kỳ quỹ đạo là đủ để thấy được sự hội về nghiệm tuần hoàn của hệ với

các điều kiện đầu khác nhau của nhiệt độ nút]. Hình 2.5 mô tả đồ thị của /d d

như là hàm của nhiệt độ (quỹ đạo pha của nhiệt độ không thứ nguyên). Hình vẽ

này cho ta thấy một vòng giới hạn khi thời gian là đủ lớn.

Hình 2.4. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên

với các điều kiện đầu 0 0 khác nhau

Hình 2.5. Quỹ đạo pha của nhiệt độ không thứ nguyên

trong ba chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh

48

Hình 2.6 vẽ đồ thị diễn tiến nhiệt độ của với các cách tiếp cận khác nhau:

phương pháp Runge-Kutta (RK) [xem phương trình (2.9)], tuyến tính hóa thông

thường ( 0 ), tiêu chuẩn đối ngẫu ( 1 2 ) [xem (2.24) và (2.31)] và cách tiếp

cận dựa trên giả thiết của Grande (2.39). Quan sát thấy rằng đồ thị của nhiệt độ thu

được từ phương pháp tuyến tính hóa tương đương và cách tiếp cận dựa trên giả thiết

của Grande khá gần với kết quả thu được từ phương pháp Runge-Kutta.

Hình 2.6. Diễn tiến của nhiệt độ không thứ nguyên

với các phương pháp khác nhau

Hình 2.7. Đồ thị của P và H của tải nhiệt đầu vào

49

2.7.2.2. Sự phụ thuộc của đáp ứng nhiệt vào tham số nhiệt dung

Trong phương trình (2.9), bởi vì tải nhiệt bên ngoài phụ thuộc vào hệ số nhiệt

dung C , ảnh hưởng của C đối với đáp ứng nhiệt sẽ được xem xét. Hình 2.7 biểu

diễn ứng xử của các đại lượng ,P H được xác định bởi (2.22) với nhiệt dung C

thay đổi. Đại lượng P đại diện cho tải hằng số còn đại lượng H đại diện cho biên

độ của tải tuần hoàn trong phương trình (2.21). Khi C tăng lên, cả P và H đều

giảm. Trên Hình 2.8 và 2.9, khi C tăng lên, giá trị trung bình và biên độ của đáp

ứng nhiệt của hệ giảm xuống.

Hình 2.8. Nhiệt độ trung bình không thứ nguyên đối với nhiệt dung C

theo các phương pháp khác nhau

Hình 2.9. Biên độ nhiệt không thứ nguyên đối với nhiệt dung C

theo các phương pháp khác nhau

50

Bảng 2.2. Nhiệt độ trung bình không thứ nguyên với các giá trị nhiệt dung C khác

nhau

C RK

G Sai số (%) CL

Sai số (%) DC Sai số (%)

10000 0.6313 0.640598492 1.4702 0.629860124 0.2307 0.630153556 0.1842

12000 0.5957 0.602826261 1.1923 0.594551363 0.1967 0.594743420 0.1645

14000 0.5671 0.572633257 0.9714 0.566148522 0.1720 0.566276351 0.1495

16000 0.5434 0.547704006 0.7988 0.542538575 0.1519 0.542623672 0.1362

18000 0.5231 0.526617245 0.6640 0.522439261 0.1347 0.522499387 0.1232

20000 0.5056 0.508443360 0.5581 0.505016142 0.1197 0.505058661 0.1113

22000 0.4902 0.492543983 0.4742 0.489696381 0.1066 0.489727041 0.1004

24000 0.4765 0.478463520 0.4071 0.476069908 0.0953 0.476092423 0.0905

26000 0.4642 0.465866479 0.3526 0.463833290 0.0853 0.463850105 0.0817

28000 0.4531 0.454499317 0.3081 0.452755823 0.0767 0.452768580 0.0739

30000 0.4430 0.444166187 0.2712 0.442658334 0.0692 0.442668151 0.0669

Bảng 2.3. Biên độ nhiệt không thứ nguyên với các giá trị nhiệt dung C khác nhau

C RK G Sai số (%) CL Sai số (%) DC Sai số (%)

10000 0.1033 0.094400386 8.5942 0.096045158 7.0016 0.096066759 6.9807

12000 0.0883 0.080793156 8.5004 0.081744946 7.4225 0.081755526 7.4105

14000 0.0766 0.069935502 8.6458 0.070499718 7.9088 0.070505048 7.9018

16000 0.0672 0.061172095 8.9242 0.061515981 8.4122 0.061518909 8.4079

18000 0.0595 0.054019562 9.2654 0.054235222 8.9032 0.054236717 8.9007

20000 0.0533 0.048117245 9.6920 0.048256290 9.4311 0.048257124 9.4295

22000 0.0482 0.043194586 10.4342 0.043286605 10.2434 0.043287085 10.2424

24000 0.0439 0.039047406 11.0517 0.039109796 10.9096 0.039110082 10.9090

26000 0.0402 0.035520455 11.5671 0.035563708 11.4594 0.035563882 11.4589

28000 0.0369 0.032494646 11.9993 0.032525248 11.9164 0.032525357 11.9161

30000 0.0341 0.029877759 12.3639 0.029899816 12.2992 0.029899886 12.2990

Dữ liệu tương ứng với Hình 2.8 và 2.9 được thể hiện trong Bảng 2.2 và 2.3.

Với nhiệt độ trung bình, Hình 2.8 (Bảng 2.2) cho thấy sai số tương đối của các

phương pháp xấp xỉ khi so sánh với nghiệm số Runge-Kutta là rất nhỏ và phương

pháp tuyến tính hóa tương đương cho sai số nhỏ hơn phương pháp của Grande.

Trong khoảng nhiệt dung C được xét, sai số lớn nhất của tiêu chuẩn đối ngẫu và

thông thường tương ứng là 0.1842% và 0.2307%, trong khi sai số lớn nhất của cách

tiếp cận của Grande là khoảng 1.4702%. Tuy nhiên, với biên độ nhiệt, sai số của

51

phương pháp giải tích là lớn hơn và tăng từ khoảng 6.9807 đến 12.3639%. Xem

Bảng 2.3 cũng thấy rằng tiêu chuẩn đối ngẫu tiếp tục cho sai số nhỏ hơn các phương

pháp khác.

2.7.2.3. Khảo sát nhiệt độ nút với các giá trị khác nhau của hệ số albedo

Hệ số albedo ea là một nhân tố tác động đến sự thay đổi nhiệt độ của vệ tinh

khi nó chuyển động trên quỹ đạo. Hệ số albedo trung bình của Trái đất lấy trong

tính toán nhiệt vệ tinh là 0.31. Tuy nhiên để thấy được sự ảnh hưởng của hệ số này,

trên Hình 2.10 và 2.11 tác giả có khảo sát tỉ số của nhiệt độ trung bình và biên độ

nhiệt với 9 giá trị khác nhau của ea sử dụng tiêu chuẩn đối ngẫu (2.13) của phương

pháp tuyến tính hóa tương đương.

Tỉ số aver

DCr giữa nhiệt độ trung bình DC

của nút so với nhiệt độ trung bình

tham chiếu ref

DC (ứng với 0.31ea ) cho bởi

aver DCDC ref

DC

r

, (2.47)

Tỉ số amp

DCr giữa biên độ nhiệt DC của nút so với biên độ nhiệt tham chiếu

ref

DC (ứng với 0.31ea ) cho bởi

amp DCDC ref

DC

r

, (2.48)

Hình 2.10. Tỷ số nhiệt độ trung bình của vệ tinh so với nhiệt độ trung bình tham

chiếu (ứng với hệ số albedo 0.31ea )

52

Hình 2.11. Tỷ số biên độ nhiệt của vệ tinh so với biên độ nhiệt tham chiếu (ứng với

hệ số albedo 0.31ea )

Ta thấy các tỉ số nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt là những đường gần

như thẳng và có sự thay đổi rất ít khi hệ số nhiệt dung C tăng. Tuy nhiên nếu hệ số

ea tăng dần thì lượng nhiệt vệ tinh nhận được cũng tăng, và do đó nhiệt độ trung

bình và biên độ nhiệt cũng tăng theo (ứng với mỗi giá trị cố định của C).

Tỉ số nhiệt độ trung bình aver

DCr có sự thay đổi theo chiều hướng tăng khi tăng

dần giá trị của hệ số albedo ea . Khi 0.63ea , giá trị của tỉ số ở mức 1.02, tức là

mức tăng vào khoảng 2% so với tính tại giá trị albedo trung bình 0.31ea . Do đó,

miền giá trị tăng của tỉ số nhiệt trung bình aver

DCr được đánh giá là hẹp khi thay đổi

giá trị albedo.

Tỉ số biên độ amp

DCr cũng tăng khi tăng hệ số albedo từ 0.1 đến 0.63. Tại giá trị

0.63ea , ta thấy mức tăng của amp

DCr vào khoảng 15% so với mức albedo trung bình

0.31ea . Tỉ số này được xem là có sự thay đổi đáng lưu ý. Như vậy có thể thấy

rằng hệ số albedo ảnh hưởng chủ yếu đến sự tăng của biên độ nhiệt của vệ tinh

(khoảng 15%), còn ảnh hưởng đến giá trị nhiệt độ trung bình là không đáng kể

(khoảng 2%).

53

2.7.2.4. Dáng điệu nhiệt khi có sự thay đổi của hệ số hấp thụ bề mặt vật liệu vệ tinh

Vật liệu bề mặt vệ tinh cũng là một trong nhân tố gây ra sự thay đổi nhiệt độ

của vệ tinh. Trong Hình 2.12 và 2.13, tác giả khảo sát dáng điệu của đáp ứng nhiệt

khi hệ số hấp thụ s của bề mặt thay đổi từ 0.1 đến 1.

Hình 2.12. Khảo sát nhiệt độ trung bình ứng với các giá trị khác nhau

của hệ số hấp thụ bề mặt s

Hình 2.13. Khảo sát biên độ nhiệt của nút ứng với các giá trị khác nhau

của hệ số hấp thụ bề mặt s

54

Hệ số 0.1s cho biết bề mặt vật liệu có hệ số hấp thụ thấp, và do đó năng

lượng mặt trời thu được cũng ở mức thấp. Khi hệ số 1s cho thấy nhiệt độ bề

mặt hấp thụ được từ ánh sáng mặt trời là lớn nhất. Các hình vẽ cho dưới dạng lưới

nhỏ để các nhà thiết kế ước lượng được mức độ ảnh hưởng của tham số đến đáp

ứng nhiệt độ của vệ tinh, từ đó có thể đưa ra chiến lược thiết kế phù hợp.

2.8. Kết luận chương 2

Chương này tác giả đã đề xuất sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương

đương để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán phân tích nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ

đạo thấp của Trái đất. Tiêu chuẩn thông thường và tiêu chuẩn đối ngẫu của phương

pháp tuyến tính hóa tương đương được phát triển cho hệ một nút đơn giản của nhiệt

vệ tinh. Theo đó ta thu được một hệ phương trình đại số phi tuyến dạng khép kín

cho các hệ số tuyến tính hóa. Hệ này được giải bằng phương pháp lặp. Kết quả mô

phỏng số đã chỉ ra độ chính xác đáng tin cậy của phương pháp tuyến tính hóa. Quan

sát thấy rằng đáp ứng nhiệt thu được từ phương pháp tuyến tính hóa tương đương

và cách tiếp cận dựa trên giả thiết của Grande là khá gần với các kết quả thu được

từ phương pháp Runge-Kutta. Hơn nữa, tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến

tính hóa tương đương cho sai số nhỏ hơn so với các phương pháp khác khi tính chất

phi tuyến của hệ tăng lên, tức là khi nhiệt dung biến đổi trong khoảng [1.0, 3,0]x104

(JK-1

). Trong phần cuối Chương 2, tác giả cũng khảo sát các đặc trưng của nhiệt độ

nút theo các tham số hệ (hệ số albedo, hệ số hấp thụ bề mặt vật liệu vệ tinh, nhiệt

dung). Kết quả cho thấy rằng các đặc trưng của nhiệt độ nút phụ thuộc nhiều vào hệ

số albedo, hệ số hấp thụ bề mặt vật liệu vệ tinh.

Kết quả Chương 2 được công bố trong hai bài báo [1] và [7] trong Danh mục

các công trình đã công bố liên quan đến luận án của tác giả.

55

CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH ĐÁP ỨNG NHIỆT CỦA VỆ TINH NHỎ

TRÊN QUỸ ĐẠO THẤP DỰA TRÊN MÔ HÌNH NHIỆT HAI NÚT

3.1. Mô hình nhiệt hai nút

Một vệ tinh cỡ nhỏ trên quỹ đạo thấp có thể được mô hình như một vật thể

với hai nút nhiệt là nút trong và nút ngoài. Nút ngoài đại diện cho vỏ vệ tinh, những

tấm pin năng lượng mặt trời và các thiết bị ở bên ngoài của vệ tinh; còn nút trong

đại diện cho các thiết bị điện tử bên trong vỏ, chẳng hạn phân hệ điều khiển, phân

hệ năng lượng. Gọi 1 1T T t và 2 2T T t thứ tự là nhiệt độ của nút ngoài và nút

trong. Giữa hai nút có sự tương tác nhiệt qua lại lẫn nhau. Ở đây ta xét hai cơ chế

tương tác nhiệt là dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt. Sự dẫn nhiệt được đặc trưng bởi hệ số

dẫn nhiệt 21k và năng lượng nhiệt do nút trong truyền sang nút ngoài là 21 2 1k T T ,

còn nhiệt độ từ nút ngoài truyền vào nút trong theo hướng ngược lại với năng lượng

21 2 1k T T . Tương tác bức xạ nhiệt giữa hai nút tuân theo định luật Stefan-

Bolzmann. Năng lượng bức xạ nhiệt nút ngoài nhận được từ nút trong là

4 4

21 2 1r T T , còn 4 4

21 2 1r T T là lượng nhiệt bức xạ nút ngoài truyền cho nút

trong, ở đây 21r là hệ số tương tác nhiệt bức xạ. Năng lượng bức xạ nhiệt là một

hàm bậc bốn của nhiệt độ, do đó tính chất phi tuyến của hệ sẽ xuất hiện trong

phương trình cân bằng nhiệt của vệ tinh. Sự tương tác nhiệt giữa hai nút có thể được

mô hình hóa đơn giản dưới dạng hệ hai bậc tự do, trong đó liên kết giữa chúng có

thể coi như các liên kết đàn hồi tuyến tính đối với dạng thức dẫn nhiệt và đàn hồi

phi tuyến đối với bức xạ nhiệt như minh họa trong Hình 3.1.

3.2. Các tải nhiệt tác động lên vệ tinh trong mô hình nhiệt hai nút

Trong môi trường không gian vệ tinh chịu tác động của nhiều nguồn nhiệt

khác nhau. Ở trên quỹ đạo thấp, nút ngoài chịu tác động của ba nguồn nhiệt chủ yếu

đó là nhiệt bức xạ mặt trời sol s sQ Q f t , nhiệt albedo Trái đất alb a aQ Q f t

và nhiệt hồng ngoại do Trái đất phát ra eQ . Bức xạ mặt trời solQ là nguồn nhiệt

chính có ảnh hưởng lớn nhất đến ứng xử nhiệt của vệ tinh, nó có vai trò quan trọng

trong việc cung cấp nhiệt cho các thiết bị hấp thụ nhiệt để biến thành năng lượng

nuôi các bản mạch điện tử giúp vệ tinh hoạt động. Bức xạ albedo Trái đất albQ

56

thường khá nhỏ so với năng lượng mặt trời chiếu trực tiếp vào vệ tinh nhưng nó góp

phần gây tác động lên các ứng xử nhiệt của các nút trong mô hình, nên không thể bỏ

qua. Bức xạ hồng ngoại Trái đất eQ là lượng nhiệt hằng số. Biểu thức toán học của

solQ , albQ , eQ được xác định tương ứng trong (2.1), (2.3) và (2.5). Nút trong được

giả sử là có hao tán nhiệt 2dQ ở mức hằng số. Như vậy, tải nhiệt ngoài tác động lên

vệ tinh bao gồm cả lượng nhiệt hằng số eQ và lượng nhiệt tuần hoàn s sQ f t ,

a aQ f t .

Hình 3.1. Mô hình nhiệt hai nút

3.3. Phương trình cân bằng nhiệt hai nút

Gọi 1C và 2C tương ứng là nhiệt dung của nút ngoài và nút trong. Phương

trình cân bằng nhiệt cho mô hình hai nút có dạng sau [9, 75]

4 4 4

1 1 21 2 1 21 2 1 1

4 4

2 2 21 2 1 21 2 1 2

,

,

sc s s a a e

d

C T k T T r T T A T Q f t Q f t Q

C T k T T r T T Q

(3.1)

Phương trình cân bằng nhiệt (3.1) có thể được chuyển sang dạng không thứ

nguyên sau đây:

4 4 412 1 2 1 1 1 2 3

4 422 1 2 1 4

,

,

s a

dc k r f f

d

dk r

d

(3.2)

57

trong đó 1 1 , 2 2 là các hàm nhiệt độ không thứ nguyên của thời gian

không thứ nguyên , và được xác định bởi

1 1 /T t , 2 2 /T t , 1/3

2 / scC A ,

t , 2 / orbP , 1 2c C C , 21 2k k C , 3

21 2r r C ,

1 2/sQ C , 2 2/aQ C ,

3 2/eQ C , 4 2 2/dQ C .

(3.3)

Hệ số c đại diện cho nhiệt dung không thứ nguyên của nút ngoài trong

phương trình không thứ nguyên (3.2). Còn nhiệt dung tương đương của nút trong

trong phương trình (3.2) bằng đơn vị. Hai hệ số tương đương tương ứng k và r là

hệ số dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt giữa hai nút nhiệt không thứ nguyên 1 và 2 ; 1 và

2 tương ứng là hệ số của bức xạ mặt trời và albedo; 3 là tải hằng số không thứ

nguyên tương ứng với bức xạ hồng ngoại của Trái đất; tải 4 biểu diễn hao tán nhiệt

không thứ nguyên của nút trong. Các hàm ,s af f xác định theo (2.19) và

(2.20). Dạng không thứ nguyên (3.2) thuận tiện cho các tính toán toán học bởi vì số

lượng các tham số hệ là giảm đáng kể và các đơn vị đo được loại bỏ. Các đặc trưng

vật lý của hệ gốc (3.1) có thể được khôi phục lại nếu tất cả các tham số hệ và điều

kiện đầu được biết.

Hệ (3.2) được đưa về dạng ma trận sau:

1

41 1 2 31

42 42 2

0 1

0 1

s a

d

f fc k k r rd

d k k r r

d

(3.4)

Hệ (3.2) [hay hệ (3.4)] có thể được giải số sử dụng phương pháp Runge-

Kutta bậc 4 [9, 76]. Tuy nhiên, để nghiên cứu các đặc trưng của đáp ứng nhiệt,

người ta cũng có thể giải hệ (3.2) bằng các phương pháp giải tích, chẳng hạn như

phương pháp chuỗi Fourier [48], kỹ thuật tuyến tính hóa [9]. Trong mục tiếp theo,

tác giả sẽ trình bày hai cách tiếp cận khác nhau để tìm nghiệm xấp xỉ của phương

trình cân bằng nhiệt (3.2). Đầu tiên, tác giả trình bày cách tiếp cận giải tích dựa trên

giả thiết của Grande để tìm nghiệm xấp xỉ. Sau đó, tác giả mở rộng tiêu chuẩn đối

ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho bài toán nhiệt hai nút của vệ

tinh [75].

58

3.4. Cách tiếp cận giải tích dựa trên giả thiết của Grande cho mô hình nhiệt

hai nút

3.4.1. Nhiệt độ cân bằng trung bình

Giả sử rằng quỹ đạo vệ tinh luôn duy trì không đổi. Khi đó, nhiệt độ không

thứ nguyên các nút i 1, 2i sẽ tuần hoàn theo thời gian không thứ nguyên

với chu kỳ 2

0 2i i 1, 2i . (3.5)

Chúng ta có thể phân tích nhiệt độ i thành hai phần, một phần là nhiệt độ

trung bình i và một phần là dao động nhiệt i , như sau

i i i , (3.6)

trong đó

2

0

1.

2i i i d

(3.7)

Tương tự như trường hợp một nút, giả thiết của Grande [9] nói rằng tỷ số của

dao động nhiệt so với giá trị nhiệt độ trung bình là khá nhỏ so với đơn vị, tức là

/ 1i i . Tích phân phương trình (3.2) trên một chu kỳ với việc sử dụng giả thiết

Grande và bỏ qua số hạng bậc cao của /i i , ta thu được phương trình sau của hai

ẩn 1 và 2 :

4 4 421 3 2 1 2 1 1

4 4

4 2 1 2 1

0,

0.

k r

k r

(3.8)

Hệ phương trình đại số phi tuyến (3.8) có thể được giải bằng số để thu được

giá trị nhiệt độ trung bình i 1, 2i .

3.4.2. Dao động nhiệt quanh nhiệt độ trung bình

Sử dụng giả thiết của Grande ở trên cho hàm phi tuyến 4

i , ta có

44 4 4

1 ii i i i

i

, 1, 2i (3.9)

Thay xấp xỉ (3.9) vào hệ (3.2) dẫn đến

59

111 1 12 2

221 1 22 2

cos ,

,

c

da a q

d

da a

d

(3.10)

trong đó

3 3 3

11 1 1 12 2

3 3

21 1 22 2

1 2

1 14 4 , 4 ,

4 , 4 ,

2sin , .

2c

a k r a k rc c

a k r a k r

H q H c

(3.11)

Bằng cách khử biến 1 từ hệ tuyến tính (3.10), ta có thể thu được phương

trình vi phân cấp hai của dao động nhiệt nút trong như sau

2

2 2 0 22 cos ,cq (3.12)

trong đó

2

11 22 0 11 22 12 21 212 0, 0, .c ca a a a a a q q a (3.13)

Phương trình đặc trưng ứng với dạng thuần nhất của (3.12) là

2 2

02 0. (3.14)

Bởi vì hai nghiệm 1 2, của phương trình (3.14) thỏa mãn điều kiện

1 2 2 0 , và 2

1 2 0 0 , từ đó có thể thấy 1 0 và 2 0 . Do đó,

nghiệm của phương trình thuần nhất của (3.12) là ổn định tiệm cận [77]. Điều này

dẫn tới thực tế rằng, ở trạng thái bình ổn, nghiệm của hệ không thuần nhất (3.12) là

hàm điều hòa với cùng tần số của nhiệt đầu vào

2 cos sin .s A B (3.15)

Thay (3.15) vào phương trình (3.12), ta thu được

2

0

22 2

0

22 2

0

1,

1 4

2.

1 4

c

c

qA

qB

(3.16)

Do đó, dao động nhiệt xấp xỉ của nút trong là

60

2 2 2cos ,s (3.17)

trong đó

2 2 1

2 2, tanB

A BA

. (3.18)

Dao động nhiệt xấp xỉ của nút ngoài có thể được tìm từ (3.10),

1 1 1cos .s (3.19)

trong đó

2 2 1

1 1

22 22

21 21 21 21

, tan ,

1 1, .

NM N

M

a aM A B N A B

a a a a

(3.20)

Đáp ứng nhiệt của cả nút ngoài và nút trong sẽ được trình bày sau trong mục

3.6. Trong mục tiếp theo, tác giả sẽ mở rộng cách tiếp cận đối ngẫu của phương

pháp tuyến tính hóa tương đương khi nghiên cứu đáp ứng nhiệt của vệ tinh nhỏ với

mô hình một nút trong Chương 2, để tìm nghiệm xấp xỉ của hệ cân bằng nhiệt (3.4)

của mô hình nhiệt hai nút. Ưu điểm của cách tiếp cận này là ta không cần sử dụng

các giả thiết của Grande.

3.5. Tiêu chuẩn đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa cho mô hình nhiệt

hai nút

Hệ (3.4) có thể được tổng quát hóa dưới dạng ma trận sau cho mô hình nhiều

nút

4d

d

c θ kθ rθ q (3.21)

trong đó , ,c k r thứ tự là các ma trận nhiệt dung, dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt không

thứ nguyên; q là véc tơ tải nhiệt ngoài không thứ nguyên; 4 θ [4

1 4

2 ... 4

N ]T

là véc tơ của các số hạng bức xạ nhiệt. Bởi vì sự xuất hiện của các số hạng bức xạ

nhiệt phi tuyến khác nhau trong mỗi phương trình của hệ (3.21), nên quá trình tuyến

tính hóa trực tiếp các số hạng liên kết bức xạ nhiệt có thể dẫn đến một bài toán với

những tính toán phức tạp. Để đơn giản hóa quá trình tuyến tính hóa, chúng ta tiến

hành một kỹ thuật tiền xử lý cho các số hạng phi tuyến trong hệ (3.21). Giả sử rằng

61

ma trận bức xạ nhiệt không thứ nguyên r là không suy biến (nghĩa là det 0r ).

Nhân hai vế của phương trình (3.21) với 1

r , ta được

1 1 4 1d

d

r c θ r kθ θ r q (3.22)

Kỹ thuật tiền xử lý này làm cho mỗi phương trình của (3.22) chỉ chứa một số

hạng phi tuyến bậc bốn đơn, chẳng hạn chỉ có số hạng 4

1 trong phương trình thứ

nhất. Sau này ta chỉ thực hiện tuyến tính hóa cho số hạng này.

Áp dụng dạng (3.22) cho hệ (3.4), ta nhận được

14

1 2 3 41 1

41 2 3 422 2

1 0 0.

1 /1 / / /

s a

s a

df fc d

f f r rc r r d k r k r

d

(3.23)

Quan sát thấy rằng các số hạng của hai chuỗi (2.19) và (2.20) có xu hướng

dần tới 0 khi k tăng lên. Nếu chỉ lấy đến xấp xỉ điều hòa bậc nhất của mỗi chuỗi, hệ

phi tuyến (3.23) được đưa về dạng sau đây trong đó tải nhiệt đầu vào được phân

thành hai phần bao gồm tải điều hòa và tải hằng số

14

1 1 11

42 2 22 2

cos1 0 0,

cos1

d

P Hc d

P Hcr r d k k r

d

(3.24)

ở đây

21 1 3 4 ,P

2

2 1 3 4 4 ,P r

1 21

2sin ,

2H

1 2

2

2sin .

2H r

(3.25)

Bây giờ ta sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ phi

tuyến (3.24). Trong phương pháp tuyến tính hóa áp dụng cho bài toán đang xét, các

số hạng phi tuyến 4

i ( 1,2i ) được thay thế bởi các thành phần tuyến tính hóa

tương ứng. Điều này có nghĩa rằng số hạng 4

i được tuyến tính hóa trở thành

i i ia b

62

4 ,i i i ia b (3.26)

trong đó các hệ số tuyến tính hóa ,i ia b 1,2i được tìm theo tiêu chuẩn sai số

bình phương trung bình [56], theo đó các hệ số tuyến tính hóa ,i ia b được tìm từ

điều kiện tối thiểu sau

2

4

,min

i ii i i i

a ba b 1,2 .i (3.27)

Với bài toán phân tích nhiệt hiện tại, chúng ta cũng có thể sử dụng cách tiếp

cận đối ngẫu như đã làm với mô hình một nút để thay thế tương đương các yếu tố

phi tuyến liên quan tới tính chất bức xạ nhiệt của các nút. Tiêu chuẩn đối ngẫu gồm

hai bước thay thế tương đương. Ở bước thứ nhất, ta thay thế hàm phi tuyến

4

i i ih bởi hàm tuyến tính i i ia b . Trong bước thứ hai, hàm tuyến tính hóa

i i ia b được thay thế bởi hàm phi tuyến khác i i ih cùng lớp với hàm phi tuyến

ban đầu i ih . Kết hợp hai bước thay thế trên ta đi đến tiêu chuẩn đối ngẫu đề xuất

sau đây:

2 2

1 2, ,

mini i i

i i i i i i i i i i i ia b

e h a b a b h

1,2i

(3.28)

trong đó 1 và 2 là hai hàm trọng số của tham số điều chỉnh và nhận

giá trị không âm. Việc lựa chọn dạng thích hợp cho hai hàm trọng số vẫn là câu hỏi

mở. Trong khuôn khổ nghiên cứu này, 1 và 2 được chọn tương ứng là

1 1 , 2 , như đã làm cho mô hình nhiệt một nút. Hơn nữa, tham

số điều chỉnh nhận hai giá trị, 0 hoặc 1 2 cho mục đích tính toán của nghiên cứu

này. Trong tiêu chuẩn (3.28), tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (3.27) được

khôi phục khi cho 0 . Khi 1 2 , ta thu được tiêu chuẩn đối ngẫu như đề xuất

trong công trình của Nguyễn Đông Anh và đồng nghiệp [67, 68, 70].

Sử dụng xấp xỉ (3.26), hệ phi tuyến (3.24) được tuyến tính hóa để trở thành

phương trình tuyến tính hóa dưới dạng ma trận sau

1

1 1 1 1 1

2 2 2 2 22

0 cos1.

cos1

d

a P b Hc d

k k ra P rb Hcr r d

d

(3.29)

63

Tiêu chuẩn (3.28) dẫn đến hệ sau đây để xác định các ẩn ,i ia b và i

0, 0, 0.i i i

i i i

e e e

a b

1,2i (3.30)

Hệ đại số thu được từ phương trình (3.30) là

2 2 1

1 2 1 2

4 2 1

1 2 1 2

2

,

,

0.

i i i i i i i i i

i i i i i i i i

i i i i i i i

a b h h

a b h h

h a h b h

1,2i (3.31)

Giải hệ (3.31), chúng ta tìm được các hệ số tuyến tính hóa ia , ib

1

2221 2

1 2

2

1

2221 2

1 2

1,

1

1,

1

i i i i

i

i ii

i i i i i

i

i ii

h ha

h hb

(3.32)

và hệ số lượt về i

2 2

i i i

i i i

i i

h ha b

h h

(3.33)

trong đó

2 2

222 2

i i i i i

i

ii i i

h h h

hh

(3.34)

Do sự xuất hiện của các tải nhiệt hằng số 1P , 2P trong hệ (3.29), đáp ứng

trung bình của nút ngoài và nút trong i ( 1,2.i ) sẽ khác không. Chúng ta giả sử

rằng đáp ứng nhiệt xấp xỉ đầu ra là các hàm điều hòa có cùng tần số với tải nhiệt

đầu vào

cos sin ,i i i iR A B (3.35)

trong đó , ,i i iR A B là các hệ số chưa biết. Theo nguyên lý chồng chất nghiệm của hệ

phương trình vi phân tuyến tính, các thành phần hằng số 1 2,R R của nghiệm (3.35)

được xác định từ (3.29) mà không có tải đầu vào điều hòa [78]:

64

1 1 1 1

2 2 2 2

0.

a R P b

k k ra R P rb

(3.36)

Theo cách thức tương tự, các thành phần điều hòa của nghiệm (3.35) được

xác định từ hệ (3.29) mà không có tải đầu vào hằng số [78]:

1

1 1 1

2 2 22

0 cos1.

cos1

d

a Hc d

k k ra Hcr r d

d

(3.37)

Với 4

i i ih , quan sát công thức (3.32) - (3.34) và nghiệm (3.35) của quá

trình tuyến tính hóa tương đương, những số hạng sau đây sẽ xuất hiện trong quá

trình tính toán

,i iR

2 2 2 21,

2i i i iR A B

2

4 4 4 2 2 2 233 ,

8i i i i i i iR R A B A B (3.38)

2

5 4 2 2 2 2 2155 ,

8i i i i i i i iR R R A B A B

2 3 4

8 8 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2105 35 3514 .

4 4 128i i i i i i i i i i i i iR R A B R A B R A B A B

Với 1 1 , 2 , thay các biểu thức (3.38) vào hệ (3.32) và

(3.34) thu được

2 2 2

22 2 4

14 3 3 ,

1

1 33 ,

1 8

i i i i i

i

i i i i

i

a R R A B

b A B R

(3.39)

trong đó

2 3 48 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

2 3 48 6 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2

87 27 914

4 4 64 .105 35 35

144 4 128

i i i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i i i

R R A B R A B R A B A B

R R A B R A B R A B A B

(3.40)

Từ phương trình (3.36), ta tìm được các hằng số 1 2,R R như sau:

65

1 2 2 1 11 11 2

1 1 2

; .a P rb k P bP b

R Ra a k ra

(3.41)

Thay các thành phần điều hòa của nghiệm (3.35) vào phương trình (3.37) ta

đi đến hệ phương trình sau đây chứa bốn ẩn 1 1 2 2, , ,A B A B

1 1 1

1 1

2 2 2

2 2

0 1

1 0 0.

1

1 0

a c A H

c a B

k cr k ra r A H

cr k r k ra B

(3.42)

Giải hệ phương trình (3.42), chúng ta thu được 1 1 2 2, , ,A B A B

1

11 1

11

22 2

22

0 1

1 0 0.

1

1 0

a cA H

c aB

k cr k ra rA H

cr k r k raB

(3.43)

Thay kết quả (3.41) và (3.43) vào vế phải của hệ (3.39) với lưu ý biểu thức

(3.40), ta thu được hệ đại số phi tuyến của bốn ẩn chưa biết ,i ia b 1, 2i

1 1 2 2, , , 0, 1, 2, 3, 4 ,iG a b a b i (3.44)

trong đó

2 2 2

1 1 1 2 2 1 1 1 1 1

1

22 2 4

2 1 1 2 2 1 1 1 1

1

2 2 2

3 1 1 2 2 2 2 2 2 2

2

22 2 4

4 1 1 2 2 2 2 2 2

2

1, , , 4 3 3 ,

1

1 3, , , 3 ,

1 8

1, , , 4 3 3 ,

1

1 3, , , 3 .

1 8

G a b a b a R R A B

G a b a b b A B R

G a b a b a R R A B

G a b a b b A B R

(3.45)

Hệ phi tuyến (3.44) có thể được giải bằng một phương pháp số. Trong mục

này, tác giả sử dụng phương pháp Newton-Raphson [76] cho hệ (3.44) với công

thức lặp:

66

1 1 1 1

1 1 2 2

1

2 2 2 21 1

1

1 1 2 21 1

1

2 2 3 3 3 3

1

2 2 1 1 2 2

4 4 4 4

1 1 2 2

n n n n

n n n nn n

n n

n n n n n n

n n

n n n n

G X G X G X G X

a b a b

G X G X G X G Xa a

a b a bb b

a a G X G X G X G X

b b a b a b

G X G X G X G X

a b a b

1

1

2

3

4

n

n

n

n

G X

G X

G X

G X

(3.46)

trong đó

1 1 2 2

Tn n n n n

X a b a b

ký hiệu là các giá trị tính toán của véc tơ

1 1 2 2

TX a b a b ở bước lặp thứ n . Ma trận trong phương trình (3.46) là ma

trận nghịch đảo của ma trận Jacobian của véc tơ hàm 1 2 3 4

TG G G G . Sơ đồ

giải lặp cho hệ (3.46) tương tự như sơ đồ giải lặp (2.45) trong Chương 2 đối với mô

hình nhiệt một nút.

Lưu ý rằng các hệ số tuyến tính hóa thông thường và đối ngẫu thu được từ hệ

(3.39) bằng cách cho tương ứng 0 và 1/ 2 . Trong phần tới, các kết quả số

của nghiệm xấp xỉ (3.35) của nút ngoài và nút trong sẽ thu được sau khi xác định

các hệ số ,i ia b 1,2i . Các kết quả của các đáp ứng nhiệt i , 1, 2i thu

được từ tuyến tính hóa đối ngẫu, tuyến tính hóa thông thường, và cách tiếp cận dựa

trên giả thiết của Grande cũng sẽ được so sánh với các kết quả thu được từ phương

pháp Runge-Kutta cho hệ gốc (3.2) [hay 3.4].

3.6. Phân tích nhiệt cho mô hình hai nút

Các kết quả số cho nhiệt độ không thứ nguyên i 1,2i được mô phỏng

trong các Hình 3.2-3.15. Các tham số hệ được cho trong Bảng 3.1. Mối liên hệ giữa

các điều kiện đầu 0 0i iT T 1,2i của hệ vật lý (3.1) và 0 0i i của dạng

không thứ nguyên (3.2) được cho bởi (3.3). Trong phần sau đây, một số các đặc

trưng của nghiệm thu được từ các phương pháp khác nhau sẽ được nghiên cứu và

đánh giá.

67

Bảng 3.1. Các tham số hệ dùng để tính toán đáp ứng nhiệt của vệ tinh cho mô hình

nhiệt hai nút [4, 9, 75]

Mô tả Tham số Giá trị Đơn vị

Hằng số mặt trời sG 1360 -2Wm

Diện tích nút ngoài scA 3.14 2m

Hệ số hấp thụ mặt trời s 0.67

Hệ số albedo trái đất ea 0.31

Hệ số phát xạ bề mặt 0.83

Nhiệt độ tương đương vật thể đen trái đất eT 259 K

Hằng số Stefan-Boltzann

85.67 10 2 -1Wm K

Hệ số dẫn nhiệt 21k 10 -1WK

Hệ số bức xạ 21r 83.6 10 -4WK

Hao tán nhiệt bên trong 2dQ 50 W

Nhiệt dung của nút ngoài 1C 30000 -1JK

Nhiệt dung của nút trong 2C 20000 -1JK

Chu kỳ quỹ đạo orbP 58000 s

Tỷ lệ il orbP P 0.63

3.6.1. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian

Trong Hình 3.2, tính toán nhiệt độ được thực hiện cho hệ phi tuyến (3.2) sử

dụng thuật toán Runge-Kutta bậc 4 tương ứng với 5 chu kỳ quỹ đạo. Một số các

điểm đặc trưng như A, B, C và D của quỹ đạo của vệ tinh được chỉ ra trong Hình

3.2. Điểm A là điểm mặt trời mọc, còn C là điểm mặt trời lặn trên quỹ đạo. Hai

điểm B và D là giao điểm giữa hai đường cong nhiệt của nút ngoài và nút trong.

Quan sát thấy rằng, do sự vắng mặt của tải nhiệt ngoài tác động lên nút trong (ngoại

trừ hao tán nhiệt ở mức hằng số của nút trong, xem phương trình (3.2)) sự biến đổi

của nhiệt độ không thứ nguyên 2 là một chuỗi tương tác nhiệt của các nút

thông qua hình thức dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt. Sự biến đổi nhiệt độ của nút ngoài

chịu ảnh hưởng đáng kể bởi các tải nhiệt ngoài. Khi vệ tinh đi vào vùng bóng tối

của quỹ đạo, nhiệt độ không thứ nguyên của nút ngoài (xem đường cong C-D-A ở

68

Hình 3.2) giảm nhanh hơn nhiệt độ của nút trong. Sự trễ pha trong đáp ứng của nút

trong là do liên kết nhiệt hữu hạn giữa các nút. Đáp ứng nhiệt 1 2, có đặc điểm là

giá trị của chúng luôn dương trong mọi thời điểm . Điều này có thể giải thích như

sau: về mặt vật lý, định luật 3 nhiệt động học chỉ ra rằng nhiệt dung của vật nào đó

bằng không nếu nhiệt độ tuyệt đối có xu hướng dần tới không [12]; tuy nhiên, trong

hệ nhiệt (3.1), các nhiệt dung 1 2,C C khác không, do đó đáp ứng nhiệt 1 2,T T không

bằng không và có giá trị dương (đơn vị Kelvin).

Hình 3.2. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên của nút ngoài và nút trong

theo thời gian không thứ nguyên

3.6.2. Vòng giới hạn và tính nhạy cảm theo điều kiện đầu

Diễn tiến nhiệt độ của hai nút theo thời gian trong quan sát ba chiều được

minh họa trong Hình 3.3. Từ Hình 3.4 ta thấy nhiệt độ các nút dần tới một vòng giới

hạn khi thời gian đủ lớn. Vòng giới hạn này là ngược chiều kim đồng hồ. Một số

tính chất của vòng giới hạn của nhiệt độ các nút đã được Gaite và đồng nghiệp

nghiên cứu trước kia [12, 50]. Lưu ý rằng khi 1 2 (các điểm ở bên dưới đường

thẳng 1 2 như được chỉ trong Hình 3.4), dòng nhiệt có xu hướng đi về phía nút

trong của vệ tinh và ngược lại. Quan sát thấy rằng hệ (3.2) là không ô tô nôm. Một

cách đơn giản để chuyển hệ (3.2) về hệ ô tô nôm với ba phương trình là thêm vào

một phương trình đơn giản 1 (ở đây dấu “ ” là ký hiệu đạo hàm của đối với

69

chính nó). Sự tồn tại của vòng giới hạn của quỹ đạo nghiệm 1 2, là do áp dụng

định lý Poincare-Bendixson cho quỹ đạo nghiệm của hệ ô tô nôm tương ứng với hệ

(3.2) [12, 79]. Trong công trình của Gaite và đồng nghiệp [50], với mô hình một

nút, sự duy nhất của vòng giới hạn đã được chứng minh sử dụng tiêu chuẩn Dülac

cho quỹ đạo nghiệm trong miền vành khuyên. Với mô hình hai nút, Gaite [12] đã

chứng minh sự tồn tại và duy nhất của vòng giới hạn dựa trên phương pháp nhiễu

kết hợp với định lý trung bình Gückenheimer và Holmes [80].

Hình 3.3. Diễn tiến nhiệt độ của hai nút trong quan sát ba chiều

Hình 3.4. Một số các điểm đặc trưng trên vòng giới hạn

70

Hình 3.5 và 3.6 vẽ diễn tiến nhiệt độ của các nút với các điều kiện đầu khác

nhau 0iT 1,2i . Năm trường hợp của điều kiện đầu của hệ gốc (3.1) được lấy là

10 20,T T =(235, 260), (255, 270), (275, 280), (295, 290), (315, 300). Giá trị không

thứ nguyên 10 20, tương ứng với 10 20,T T là (0.4457, 0.4931), (0.4836,

0.5120), (0.5215, 0.5310), (0.5594, 0.5500), (0.5974, 0.5689). Điều kiện đầu nên

được lấy trong miền giá trị gần với giá trị thực của vệ tinh. Một trong những lựa

chọn tốt cho điều kiện đầu là dựa trên giá trị ước lượng nhiệt độ trung bình 1 2,

được xác định bởi phương trình (3.7) sử dụng cách tiếp cận của Grande. Lưu ý rằng

bởi vì mỗi thành phần hoặc thiết bị của vệ tinh có giới hạn nhiệt cụ thể [6], nên

người ta có thể lựa chọn các điều kiện nhiệt độ đầu để mô phỏng trong khoảng nhiệt

độ của giới hạn này.

Hình 3.5. Diễn tiến nhiệt độ của nút ngoài theo thời gian

với các điều kiện đầu 10 1 0 khác nhau

Tính chất nhạy cảm trong hệ động lực nghĩa là sự thay đổi tùy ý một lượng

nhỏ giá trị đầu có thể dẫn đến ứng xử tương lai khác nhau đáng kể của đáp ứng hệ.

Do đó, hệ động lực có thể có tập hút hỗn độn [77, 80]. Tuy nhiên trong hệ phương

trình vệ tinh đang xét, Gaite [12] đã chỉ ra rằng hình thức hỗn độn không xảy ra.

71

Trong Hình 3.5, ở chu kỳ thứ nhất và thứ hai, đáp ứng nhiệt của nút ngoài theo thời

gian là khá khác nhau khi các giá trị đầu 10 thay đổi. Tuy nhiên sau khoảng 4 chu

kỳ, khoảng cách giữa các đáp ứng trở nên rất nhỏ, và chúng gần như bằng nhau.

Điều này dẫn đến thực tế rằng nhiệt độ nút ngoài tiệm cận nghiệm tuần hoàn khi

thời gian dần tới vô cùng. Một cách tương tự, trong Hình 3.6, đáp ứng 2 cũng

tiệm cận nghiệm tuần hoàn sau một số chu kỳ quỹ đạo. Các kết quả của các Hình

3.3-3.6 chỉ ra rằng vòng giới hạn là duy nhất như được xác định bởi Gaite [12]. Các

đáp ứng của hệ là không nhạy cảm với các điều kiện đầu 10 20, trong khoảng

[0.4457, 0.5974] [0.4931, 0.5689] (nghĩa là [235, 315] [260, 300] (K) trong hệ

vật lý) bởi vì ứng xử tương lai của đáp ứng hệ tiệm cận một vòng giới hạn duy nhất.

Hình 3.6. Diễn tiến nhiệt độ của nút trong theo thời gian

với các điều kiện đầu 20 2 0 khác nhau

3.6.3. Phân tích sai số và thời gian nghiệm

Hình 3.7 và 3.8 mô tả diễn tiến nhiệt độ của i 1,2i theo thời gian với

các cách tiếp cận khác nhau: phương pháp Runge-Kutta (RK), tuyến tính hóa thông

thường (khi 0 ), tiêu chuẩn đối ngẫu (khi 1 2 ) và cách tiếp cận dựa trên giả

thiết của Grande. Quan sát thấy rằng đồ thị của nhiệt độ thu được từ phương pháp

72

tuyến tính hóa tương đương (theo tiêu chuẩn thông thường và đối ngẫu) và cách tiếp

cận Grande là gần với đồ thị thu được từ phương pháp Runge-Kutta 4.

Hình 3.7. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên của nút ngoài 1

theo các phương pháp khác nhau

Hình 3.8. Diễn tiến nhiệt độ không thứ nguyên của nút trong 2

theo các phương pháp khác nhau

73

Hình 3.9. So sánh sai số tuyệt đối của nghiệm giữa ba phương pháp giải tích

với phương pháp RK cho nút ngoài

Hình 3.10. So sánh sai số tuyệt đối của nghiệm giữa ba phương pháp giải tích

với phương pháp RK cho nút trong

Sai số tuyệt đối của nghiệm giải tích khi so sánh với nghiệm số Runge-Kutta

được trình bày trong Hình 3.9 cho nút ngoài, và trong Hình 3.10 cho nút trong. Hình

3.9 và 3.10 cho thấy tồn tại các thời điểm mà ở đó giá trị sai số tuyệt đối của

74

phương pháp tuyến tính hóa đối ngẫu và thông thường là rất nhỏ, khoảng 610. Giá

trị sai số lớn nhất của ba phương pháp giải tích là nhỏ, khoảng 0.022. Tính chất sai

số nhỏ của nghiệm đã chỉ ra một trong những khía cạnh quan trọng về hiệu quả của

phương pháp tuyến tính hóa thông thường và đối ngẫu.

Trong bài toán phân tích nhiệt của vệ tinh, số lượng các nút cho mô phỏng số

có thể khá lớn (từ một vài chục đến một vài nghìn, thậm chí hơn) [25]). Do đó, vấn

đề về hiệu quả tính toán có thể được xem là một vấn đề lớn. Để giảm thời gian tính

toán, người ta có thể tìm các chiến lược phù hợp để mô phỏng số, chẳng hạn,

phương pháp rút gọn mô hình nhiệt [34], các kỹ thuật cải tiến thuật toán cho tính

toán mạng nhiệt của vệ tinh (Crank-Nicolson, phương pháp dự báo hiệu chỉnh

Adams bậc bốn, phương pháp Gear, phương pháp Runge-Kutta-Fehlberg) [25].

Trong khuôn khổ mô hình hai nút, tính hiệu quả của các phương pháp giải tích cũng

được minh họa về mặt thời gian tính toán nghiệm bởi vì trong mỗi phương pháp ta

đều phải giải các phương trình đại số của hệ số tuyến tính hóa tương đương, nhiệt

độ trung bình và biên độ nhiệt. Hình 3.11 biểu thị thời gian nghiệm (thời gian CPU

hay thời gian tính toán) cho phương pháp Runge-Kuta và ba phương pháp giải tích

với số chu kỳ quỹ đạo khác nhau. Tính toán được thực hiện sử dụng chương trình

lập trình trên phần mềm Matlab và chạy trên máy tính laptop loại Intel (R) Core

(TM) i7 CPU2.20GHz RAM 8.00GB. Thời gian tính toán của phương pháp Runge-

Kutta phụ thuộc và nhiều yếu tố, chẳng hạn, bước thời gian, khoảng thời gian mô

phỏng, điều kiện đầu, cấu hình của máy tính sử dụng. Quan sát thấy rằng thời gian

nghiệm (đơn vị là giây) của phương pháp Runge-Kutta tăng lên khi số chu kỳ quỹ

đạo opN tăng lên. Hình 3.11 chỉ ra rằng sự phụ thuộc của thời gian tính toán vào số

chu kỳ quỹ đạo là gần như tuyến tính. Trong trường hợp 5opN , thời gian nghiệm

của cách tiếp cận Grande là khoảng 0.2 giây, lớn hơn khoảng 10 lần so với tuyến

tính hóa thông thường và đối ngẫu. Khi giá trị của opN thay đổi sự thay đổi thời

gian nghiệm của các phương pháp giải tích là không đáng kể. Điều này là bởi vì khi

giải hệ đại số phi tuyến (3.7) (cách tiếp cận Grande) và (3.43) (tuyến tính hóa tương

đương) để thu được nghiệm, số chu kỳ quỹ đạo không có mặt. Sự đóng góp của opN

đối với thời gian nghiệm của cách tiếp cận Grande và các phương pháp tuyến tính

75

hóa tương đương nằm ở quá trình rời rạc hóa nghiệm (3.14), (3.16) và (3.34) cho

mục đích trình bày dữ liệu số và vẽ đồ thị của nghiệm. Số điểm của quá trình rời rạc

hóa (độ dài của vec tơ) nghiệm cho bốn phương pháp được lấy như nhau. Trong

Hình 3.11, với tham chiếu là thời gian nghiệm của phương pháp đối ngẫu, quan sát

thấy rằng thời gian tính toán của phương pháp Runge-Kutta là khá lớn khi so sánh

với các phương pháp khác. Điều này chỉ ra hiệu quả tính toán của phương pháp

tuyến tính hóa đối ngẫu đã đề xuất để giải đáp ứng nhiệt của mô hình hai nút.

Hình 3.11. So sánh thời gian nghiệm của các phương pháp

thông qua số chu kỳ quỹ đạo

3.6.4. Sự phụ thuộc của nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt vào nhiệt dung

Bởi vì các đặc trưng nhiệt của đáp ứng phụ thuộc vào nhiệt dung của các nút,

ảnh hưởng của 1C , 2C tới đáp ứng nhiệt 1 2, sẽ được xem xét. Với mục đích minh

họa, nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt của đáp ứng 1 2, được tính toán với các

giá trị 2C thay đổi. Chúng ta ký hiệu nhiệt độ trung bình không thứ nguyên thu

được từ phương pháp Runge-Kutta, cách tiếp cận Grande, tuyến tính hóa thông

thường và tiêu chuẩn đối ngẫu tương ứng là RK

, G

, CL

, DC

; và ký hiệu

RK , G , CL , DC là các đại lượng biên độ nhiệt. Ở đây nhiệt độ trung bình G

được xác định từ phương trình (3.7), còn hai đại lượng CL

, DC

được tính toán

từ phương trình (3.40) tương ứng với 0 và 1/2. Biên độ nhiệt G được xác định

76

từ công thức (3.19) cho nút ngoài và (3.17) cho nút trong. Hai giá trị biên độ CL ,

DC được tìm từ 2 2

i i iA B ( 1,2i ) sau khi xác định hệ số tuyến tính hóa của

tiêu chuẩn thông thường và đối ngẫu [xem phương trình (3.42)].

Hình 3.12. Nhiệt độ trung bình của nút ngoài theo giá trị 2C

với các phương pháp khác nhau

Hình 3.13. Biên độ nhiệt của nút ngoài theo giá trị 2C

với các phương pháp khác nhau

77

Hình 3.14. Nhiệt độ trung bình của nút trong theo giá trị 2C

với các phương pháp khác nhau

Hình 3.15. Biên độ nhiệt của nút trong theo giá trị 2C

với các phương pháp khác nhau

Trong Hình 3.12 và 3.13, đường cong nhiệt độ trung bình và biên độ của hai

nút được thể hiện với các giá trị khác nhau của nhiệt dung 2C . Khoảng giá trị của

2C được lấy từ 10000 đến 30000 1JK . Quan sát thấy rằng khi nhiệt dung 2C tăng

lên, nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt của các nút giảm. Điều này chỉ ra rằng

78

nhiệt dung 2C đóng vai trò như hệ số cản trong hệ cơ học thông thường. Tính chất

phụ thuộc vào 2C này trong mô hình hai nút là tương tự với mô hình một nút trong

bài báo được xuất bản gần đây (xem [70]).

Bảng 3.2. Nhiệt độ trung bình không thứ nguyên của nút ngoài với các giá trị nhiệt

dung 2C khác nhau (RK

: Phương pháp Runge–Kutta; G

: cách tiếp cận

Grande; CL

: Tuyến tính hóa thông thường; DC

: Tuyến tính hóa đối ngẫu)

C RK

G Sai số (%) CL

Sai số (%) DC Sai số (%)

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

0.6443

0.6062

0.5757

0.5505

0.5291

0.5108

0.4947

0.4805

0.4677

0.4562

0.4458

0.650838235

0.612462262

0.581786667

0.556458963

0.535035168

0.516570807

0.500417309

0.486111797

0.473313417

0.461764572

0.451266287

1.0079

1.0307

1.0558

1.0810

1.1050

1.1274

1.1480

1.1669

1.1841

1.1999

1.2143

0.649431902

0.611174293

0.580583551

0.555319285

0.533944706

0.515519787

0.499398797

0.485120729

0.472345996

0.460817880

0.450338031

0.7896

0.8183

0.8469

0.8740

0.8989

0.9216

0.9422

0.9607

0.9773

0.9924

1.0061

0.649437815

0.611179566

0.580588397

0.555323833

0.533949036

0.515523953

0.499402835

0.485124665

0.472349847

0.460821660

0.450341749

0.7906

0.8191

0.8477

0.8748

0.8997

0.9225

0.9430

0.9615

0.9782

0.9932

1.0069

Bảng 3.3. Biên độ nhiệt không thứ nguyên của nút ngoài với các giá trị nhiệt

dung 2C khác nhau

C RK G Sai số (%) CL Sai số (%) DC Sai số (%)

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

26000

28000

30000

0.0403

0.0373

0.0350

0.0331

0.0316

0.0303

0.0293

0.0283

0.0275

0.0268

0.0261

0.034924080

0.032419844

0.030537221

0.029065587

0.027877097

0.026890788

0.026053514

0.025329259

0.024692897

0.024126433

0.023616661

13.5187

13.2054

12.8108

12.3818

11.9483

11.5275

11.1286

10.7559

10.4104

10.0919

9.7989

0.034944460

0.032439890

0.030557158

0.029085496

0.027896997

0.026910674

0.026073369

0.025349065

0.024712637

0.024146094

0.023636230

13.4683

13.1517

12.7538

12.3218

11.8854

11.4620

11.0609

10.6861

10.3388

10.0187

9.7242

0.034944517

0.032439941

0.030557205

0.029085539

0.027897039

0.026910713

0.026073407

0.025349102

0.024712674

0.024146129

0.023636265

13.4681

13.1516

12.7537

12.3216

11.8853

11.4619

11.0607

10.6859

10.3387

10.0185

9.7241

79

Dữ liệu tính toán tương ứng với Hình 3.12 và 3.13 được trình bày tương ứng

trong Bảng 3.2 và 3.3. Với nhiệt độ trung bình không thứ nguyên của nút ngoài,

Bảng 3.2 cho thấy rằng sai số của các phương pháp xấp xỉ khi so sánh với phương

pháp Runge-Kutta là khá nhỏ. Phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho sai số

nhỏ hơn cách tiếp cận của Grande. Trong khoảng giá trị 2C từ 10000 đến 30000

( 1JK ), sai số lớn nhất của cách tiếp cận Grande 1.2143% trong khi đó tiêu chuẩn

đối ngẫu và thông thường có sai số nhỏ hơn, tương ứng là 1.0069% và 1.0061%.

Tuy nhiên, với biên độ nhiệt (quan sát Bảng 3.3), sai số của các phương pháp

giải tích là lớn hơn và tăng từ 9.7241% đến 13.5187%. Cũng quan sát Bảng 3.3

thấy rằng tiêu chuẩn đối ngẫu cho sai số nhỏ hơn các phương pháp còn lại. Giá trị

nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt nút trong phụ thuộc và nhiệt dung 2C được

minh họa trong Hình 3.14 và 3.15. Tương tự như nút ngoài, đối với trường hợp

nhiệt độ trung bình của nút trong thì tiêu chuẩn đối ngẫu cho kết quả tốt nhất, trong

khi đó phương pháp tuyến tính hóa thông thường cho kết quả tốt nhất trong trường

hợp biên độ. Tuy nhiên sai số giữa tiêu chuẩn đối ngẫu và thông thường là rất nhỏ.

3.7. Đặc điểm của phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn

đối ngẫu khi áp dụng cho bài toán phân tích nhiệt vệ tinh

Thông qua các phân tích số ở trên cho bài toán phân tích nhiệt vệ tinh, tác giả

đã rút ra một số đặc điểm quan trọng sau đây:

- Trong hệ một bậc tự do, ưu điểm của tiêu chuẩn đối ngẫu là có thể áp dụng

trong trường hợp phi tuyến mạnh trong đó nghiệm xấp xỉ thu được cho sai số nhỏ

hơn phương pháp tuyến tính hóa thông thường. Tuy nhiên trong mô hình nhiệt hai

nút, có sự sai khác ít giữa sai số của phương pháp tuyến tính hóa thông thường và

sai số của phương pháp tuyến tính hóa đối ngẫu. Điều này là do trong phương trình

cân bằng nhiệt, tính chất phi tuyến của hệ dường như bị làm “yếu” bởi vì tải nhiệt

ngoài tác động lên các nút mà trong thực tế có thể xem là kích động yếu.

- Một số đặc điểm chính được chỉ ra ở đây để minh họa cho tính khả thi của

phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu được đề xuất.

Mô hình hai nút đơn giản trong nghiên cứu này là thích hợp để phân tích ứng xử

nhiệt cho vệ tinh xoay cỡ nhỏ bởi vì mô hình nghiên cứu đã sử dụng tính chất phân

80

bố nhiệt gần như đều của vỏ dựa trên hiệu ứng đồng nhất hóa nhiệt độ của vệ tinh

xoay. Vì có hiệu ứng này, gradient nhiệt của vỏ ngoài là rất nhỏ, và có thể bỏ qua.

Trong trường hợp có kể tới gradient nhiệt của vỏ, đòi hỏi phải có một một mô hình

nhiều nút mô tả ứng xử nhiệt chính xác hơn cho vệ tinh. Khi giải phương trình để

tìm đáp ứng nhiệt của mô hình hai nút, không giống như cách tiếp cận của Grande,

phương pháp tuyến tính hóa tương đương không yêu cầu giả thiết tỷ số của phần

dao động nhiệt so với giá trị nhiệt độ trung bình là nhỏ hơn 1 rất nhiều. Hơn nữa,

việc xử lý quá trình tuyến tính hóa các số hạng bức xạ phi tuyến của phương trình

cân bằng nhiệt là đơn giản khi sử dụng tiêu chuẩn sai số trung bình và tiêu chuẩn

đối ngẫu của phương pháp tuyến tính hóa tương đương. Do đó, phương pháp tuyến

tính hóa tương đương có thể được áp dụng cho lớp rộng hơn các bài toán phân tích

nhiệt độ vệ tinh, đặc biệt đối với các mô hình nhiều nút có dao động nhiệt độ lớn

như các tấm pin mặt trời của vệ tinh. Đối với mô hình hai nút, các tính toán để tìm

ra các nghiệm gần đúng sử dụng phương pháp tuyến tính hóa tương đương theo tiêu

chuẩn đối ngẫu cần nhiều tính toán hơn một chút so với việc sử dụng phương pháp

tuyến tính hóa thông thường do sự xuất hiện của một số mô men bậc cao từ tiêu

chuẩn đối ngẫu. Tuy nhiên các tính toán là đơn giản và không gặp trở ngại gì, có thể

mở rộng sang trường hợp số nút lớn hơn của bài toán phân tích nhiệt vệ tinh.

3.8. Kết luận Chương 3

Trong chương này tác giả luận án đã trình bày việc mở rộng phương pháp

tuyến tính hóa tương đương tiêu chuẩn đối ngẫu để tìm các nghiệm xấp xỉ của mô

hình nhiệt hai nút của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp của Trái đất. Hai đặc trưng

quan trọng cần để đánh giá các giới hạn nhiệt của vệ tinh trong suốt quá trình

chuyển động của nó trên quỹ đạo là nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt. Để thu

được những đại lượng này, một hệ khép kín của các hệ số tuyến tính hóa tương

đương được thiết lập dựa trên tiêu chuẩn đối ngẫu được đề xuất, và sau đó được giải

bằng phương pháp lặp Newton-Raphson. Các kết quả chính của Chương 3 có thể

được tóm tắt như sau:

- Diễn tiến nhiệt độ theo thời gian thu được từ các phương pháp xấp xỉ (cách

tiếp cận dựa trên giả thiết Grande, tuyến tính hóa thông thường và đối ngẫu) là khá

gần với các kết quả thu được từ cách giải sử dụng phương pháp Runge-Kutta.

81

- Tính hiệu quả về thời gian nghiệm của tiêu chuẩn đối ngẫu được đánh giá

trong khuôn khổ mô hình hai nút của phân tích nhiệt vệ tinh.

- Trong khoảng nhiệt dung được xét từ 10000 đến 30000 1JK , sai số thu

được từ tiêu chuẩn đối ngẫu đề xuất cho nhiệt độ trung bình và biên độ nhiệt là nhỏ

hơn so với các kết quả thu được từ cách tiếp cận Grande

Kết quả của Chương 3 được công bố trong 03 bài báo [2], [5] và [6] trong

Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án của tác giả.

Trong Chương 4, tác giả sẽ phát triển và phân tích một số mô hình tải nhiệt

và mô hình nhiệt nhiều nút của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp của Trái đất. Các đáp

ứng nhiệt được nghiên cứu bằng phương pháp số.

82

CHƯƠNG 4. TÍNH TOÁN ĐÁP ỨNG NHIỆT CHO VỆ TINH NHỎ

TRÊN QUỸ ĐẠO THẤP SỬ DỤNG MÔ HÌNH NHIỆT NHIỀU NÚT

4.1. Nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho cánh vệ tinh

4.1.1. Mô hình nhiệt hai nút cho cánh vệ tinh

Trong số các nhiệm vụ của bài toán

điều khiển nhiệt, nghiên cứu phân tích các

đặc trưng nhiệt cho cánh vệ tinh là rất quan

trọng bởi vì cánh vệ tinh cung cấp nguồn

năng lượng chính cho hoạt động của hầu hết

các thiết bị điện và các thiết bị liên quan của

vệ tinh khi nó chuyển động trên quỹ đạo. Có

Hình 4.1. Mô hình của cánh vệ tinh

nhiều nghiên cứu liên quan đến bài toán phân tích nhiệt cho cánh vệ tinh được thực

hiện bởi nhiều tác giả, chẳng hạn Li và đồng nghiệp [39], Li và Yan [40]. Cánh vệ

tinh gồm hai mặt: mặt chứa các tấm pin năng lượng mặt trời gọi là mặt trước, mặt

còn lại là mặt sau. Hệ số hấp thụ của mặt trước là 1 , còn hệ số phát xạ là 1 . Mặt

sau được sơn bởi lớp vật liệu với hệ số hấp thụ 2 , hệ số phát xạ 2 . Sau đây ta tính

toán nhiệt cho kết cấu cánh của vệ tinh dựa trên mô hình hai nút nhiệt đặc trưng cho

mặt trước và mặt sau. Mô hình hình học của cánh có thể xem minh họa trên Hình

4.1.

4.1.2. Quỹ đạo và tư thế vệ tinh trong tính toán nhiệt cho cánh

Vệ tinh được giả sử đang chuyển động trên quỹ đạo thấp quanhTrái đất, ở độ

cao h . Quỹ đạo của vệ tinh là đồng bộ hóa mặt trời. Để mô phỏng nhiệt trong kịch

bản cực hạn, ta lấy trường hợp quỹ đạo vào thời điểm hạ chí mà ở đó Trái đất gần

Mặt trời nhất. Vào thời điểm này, nguồn nhiệt tác động lên vệ tinh là tương đối lớn.

Chu kỳ quỹ đạo là orbP và thời gian vệ tinh ở trong bóng tối là ecP . Thời gian mô

phỏng nhiệt bắt đầu tính từ khi vệ tinh đi vào bóng tối của quỹ đạo. Ta sẽ tính toán

đáp ứng nhiệt của cánh trong hai kịch bản sau:

83

Kịch bản 1: Trong miền sáng, tư thế của vệ tinh được điều khiển sao cho mặt

trước (chứa pin năng lượng) của cánh luôn hướng về phía Mặt trời và vuông góc

với tia sáng mặt trời. Trong miền tối, mặt sau luôn hướng về tâm trái đất (Hình 4.2).

Hình 4.2. Quỹ đạo và tư thế của vệ tinh trong tính toán nhiệt cho cánh trong kịch

bản 1 (chỉ minh họa cho cánh)

Kịch bản 2: Vệ tinh luôn duy trì tư thế nhìn Trái đất (mặt sau của cánh luôn

hướng về tâm trái đất) trong suốt thời gian nó chuyển động trên quỹ đạo (Hình 4.3).

Hình 4.3. Quỹ đạo và tư thế của vệ tinh trong tính toán nhiệt cho cánh trong kịch

bản 2 (chỉ minh họa cho cánh)

84

Bảng 4.1. Các tham số hệ dùng trong tính toán nhiệt cho cánh vệ tinh

Mô tả Tham số Giá trị Đơn vị

Độ cao quỹ đạo h 680 km

Bán kính của Trái đất eR 6400 km

Hằng số mặt trời sG 1440 -2Wm

Diện tích của mặt trước 1S 0.765 2m

Diện tích của mặt sau 2S 0.765 2m

Hằng số Stefan-Boltzann 85.67 10 -2 -4Wm K

Hệ số dẫn nhiệt k

41.5 1W K

Nhiệt dung của mặt trước 1C 628.725 1J K

Nhiệt dung của mặt sau 2C 315.4 1JK

Hệ số hấp thụ của mặt trước 1 0.69

Hệ số phát xạ mặt trước 1 0.82

Hệ số hấp thụ của mặt sau 2

0.265

Hệ số phát xạ mặt sau 2

0.872

Chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh orbP

5902.25 s

Thời gian vệ tinh nằm trong bóng tối ecP

2120.97 s

Nhiệt độ của thân vệ tinh bT

313.15 K

Nhiệt độ của môi trường không gian T 4 K

Hệ số quan sát mặt sau nhìn thân vệ tinh 2bF

0.0468

Hệ số quan sát mặt sau nhìn Trái đất 2eF

0.817

4.1.3. Các nguồn nhiệt tác động lên cánh

4.1.3.1. Kịch bản 1

Trong môi trường vũ trụ, ở quỹ đạo thấp của Trái đất vệ tinh chịu tác động

của ba nguồn nhiệt bao gồm bức xạ mặt trời, bức xạ albedo và bức xạ hồng ngoại

của Trái đất. Từ tư thế của cánh vệ tinh (xem Hình 4.2), ta có thể thu được các dòng

nhiệt trên các mặt của cánh.

85

a. Bức xạ mặt trời

Đối với mặt trước, nó chỉ nhận tác dụng của dòng nhiệt mặt trời trực tiếp

,1solq và được biểu diễn dưới dạng

,1

1

0 khi 0,

khi ,

ec

sol

s ec orb

t Pq

G t P P

(4.1)

trong đó sG là hằng số mặt trời trung bình, ecP và orbP tương tứng là thời gian vệ

tinh nằm trong bóng tối và chu kỳ quỹ đạo của nó.

Đồ thị dòng năng lượng mặt trời ,1solq mà mặt trước của cánh vệ tinh nhận

được có dạng tuần hoàn như trên Hình 4.4. Cường độ dòng nhiệt trong Hình 4.4 là

lượng nhiệt mà mặt trước nhận được trong một đơn vị diện tích. Đối với dòng nhiệt

mặt trời, vì mặt trước của cánh luôn vuông góc với tia sáng mặt trời trong thời gian

chiếu sáng nên giá trị của dòng nhiệt bằng hằng số. Giá trị của cường độ dòng nhiệt

mặt trời bằng giá trị hằng số mặt trời nhân với giá trị của hệ số hấp thụ của mặt

trước. Ở đây ta vẽ đồ thị dòng nhiệt mặt trời trong năm chu kỳ quỹ đạo với các tham

số hệ cho trong Bảng 4.1. Đối với mặt sau ,2 0solq với 0, orbt P , do không

nhận được dòng năng lượng mặt trời trực tiếp.

Hình 4.4. Dòng nhiệt mặt trời ,1solq mà mặt trước nhận được trong kịch bản 1,

với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1

86

b. Bức xạ albedo

Dòng nhiệt bức xạ albedo trái đất tác dụng lên mặt trước và mặt sau của cánh

được xác định tương ứng trong các biểu thức sau:

0

0 0,1 1 1,

0

10 khi 0, 1

2

1 1cos khi 1 , 2

2 2 2

10 khi 2 ,

2

orb

ecalb s e e orb orb

orb orb

t P

q G a F t P P

t P P

(4.2)

0

0 0,2 2 2,

0

10 khi 0, 1

2

1 1cos khi 1 , 2

2 2 2

10 khi 2 ,

2

orb

ecalb s e e orb orb

orb orb

t P

q G a F t P P

t P P

(4.3)

với

t , 2

orbP

, 0 arccos e

e

R

R h

, 02ec (4.4)

Trong các biểu thức (4.3), (4.4) thì ea hệ số albedo của Trái đất, 1,eF và 2,eF

là hệ số quan sát trái đất khi nhìn từ mặt trước và sau của cánh. Các hệ số quan sát

phụ thuộc vào độ cao của quỹ đạo, vị trí và tư thế của vệ tinh trên quỹ đạo (xem

[14]). Dáng điệu dòng albedo của mặt trước ,1albq được minh họa trên Hình 4.5, và

của mặt sau , 2albq minh họa trên Hình 4.6.

c. Bức xạ hồng ngoại (IR) của Trái đất

Trong quá trình chuyển động trên quỹ đạo thấp cả mặt trước và mặt sau đều

nhận được bức xạ hồng ngoại của Trái đất. Biểu thức toán học của các tải nhiệt này

có dạng (4.5):

4

, , ( 1, 2)IR i i i e eq F T i (4.5)

87

Hình 4.5. Dòng nhiệt bức xạ hồng ngoại ,1IRq và albedo ,1albq mà mặt trước nhận

được trong kịch bản 1, với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1

Hình 4.6. Dòng nhiệt bức xạ hồng ngoại ,2IRq và albedo ,2albq mà mặt sau nhận được

trong kịch bản 1, với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1

Đồ thị dòng nhiệt hồng ngoại của mặt trước ,1IRq và mặt sau , 2IRq được

minh họa trên Hình 4.5 và 4.6. Chúng là các hàm tuần hoàn trong một chu kỳ quỹ

đạo. Đối với mặt trước dòng nhiệt khác không trong miền sáng, trong khi đó giá trị

dòng nhiệt bằng không trong miền tối. Điều này là do trong miền tối vệ tinh hướng

88

theo tâm trái đất, khi đó mặt trước không nhìn về phía trái đất. Đối với mặt sau dáng

điệu dòng nhiệt khác mặt trước ở chỗ, trong bóng tối giá trị dòng nhiệt IR mặt trước

luôn là hằng số (do mặt trước hướng một góc không đổi về tâm Trái đất).

Cơ sở của tính toán cho biểu thức ,1solq , ,1albq ,

,1IRq ;, 2solq ,

, 2albq , , 2IRq , ta có

thể xem trong chương 1 hoặc tham khảo trong các công trình của [4, 6, 10].

Hình 4.7. Dòng nhiệt mặt trời ,1solq mà mặt trước nhận được trong kịch bản 2,

với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1

Hình 4.8. Dòng nhiệt mặt trời , 2solq mà mặt sau nhận được trong kịch bản 2,

với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1

89

4.1.3.2. Kịch bản 2

Trong kịch bản này, ta thu được các dòng nhiệt tác động lên các mặt như mô

tả trong các Hình 4.7-4.9. Hình 4.7 mô tả dòng nhiệt mặt trời ,1solq tác động lên mặt

trước là hàm tuần hoàn theo thời gian t trong 5 chu kỳ. Đối với mặt sau, nó chịu tác

dụng của cả ba dòng nhiệt: dòng nhiệt mặt trời tuần hoàn , 2solq (xem Hình 4.8),

dòng nhiệt albedo , 2albq và hồng ngoại

, 2IRq (xem Hình 4.9). Dòng nhiệt hồng

ngoại ở mặt sau là hằng số trong khi dòng nhiệt albedo là tuần hoàn.

Hình 4.9. Dòng nhiệt bức xạ hồng ngoại , 2IRq và albedo , 2albq mà mặt sau nhận

được trong kịch bản 2, với các tham số hệ cho trong Bảng 4.1

4.1.4. Phương trình cân bằng nhiệt hai nút của cánh

Để dự đoán đáp ứng nhiệt của cánh vệ tinh, chúng ta sử dụng một mô hình

hai nút nhiệt cho mặt trước và mặt sau. Gọi 1C và 2C tương ứng là nhiệt dung của

mặt trước và mặt sau của cánh. Giữa hai nút tương tác nhiệt với nhau thông qua

hình thức dẫn nhiệt và cũng tương tác bức xạ nhiệt với thân vệ tinh và môi trường

không gian trên quỹ đạo. Ở trạng thái cân bằng nhiệt động, ta thu được hệ phương

trình cân bằng năng lượng cho cánh với mô hình hai nút có dạng dưới đây

4 4

1 1 ,1 2 1 1 1 1

4 4 4 4

2 2 ,2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

,

,

external

external b b

C T Q k T T S T T

C T Q k T T S T T F S T T

(4.6)

90

trong đó 1 1T T t , 2 2T T t tương ứng là nhiệt độ của mặt trước và mặt sau; k là

hệ số dẫn nhiệt giữa hai nút. Ký hiệu 1S ,

2S là diện tích của mặt trước và mặt sau;

1 , 2 là các hệ số phát xạ; 85.67 10 -2 -4Wm K là hằng số Stefan-Bolzmann;

bT là nhiệt độ của thân vệ tinh; T là nhiệt độ của môi trường không gian; 2 là hệ

số hấp thụ của mặt sau. ,1externalQ ,

,2externalQ tương ứng là tải nhiệt ngoài tác động lên

mặt trước và mặt sau. Những tải nhiệt này được xác định như sau

,1 ,1 ,1 ,1 1,external sol alb IRQ q q q S (4.7)

, 2 , 2 ,2 ,2 2 ,external sol alb IRQ q q q S

(4.8)

trong đó ,1solq , ,1albq , ,1IRq ; , 2solq , , 2albq , , 2IRq là các dòng nhiệt được xác định trong

mục 4.1.3 ở trên.

4.1.5. Đáp ứng nhiệt của cánh

4.1.5.1. Ngưỡng nhiệt độ cho các thiết bị vệ tinh

Ngưỡng nhiệt độ hoạt động của các thiết bị của vệ tinh được cho trong Bảng

1.1, Chương 1. Quan sát Bảng 1.1, ta thấy miền nhiệt độ của cánh vệ tinh là khá

lớn, từ -100 0C đến +120

0C. Để đảm bảo tấm pin năng lượng mặt trời trên cánh vệ

tinh hoạt động tốt nhất thì miền nhiệt độ dự báo của cánh cũng phải nằm trong giới

hạn này.

4.1.5.2. Đáp ứng nhiệt của cánh trong kịch bản 1

Hệ (4.6) được giải số bằng cách sử dụng thuật toán Runge Kutta bậc bốn,

nhiệt độ ban đầu được lấy là 273,15 K (0 oC). Ta thu được đáp ứng nhiệt của mặt

trước và mặt sau được như minh họa trong Hình 4.10 với các tham số hệ được cho

trong Bảng 4.1. Đồ thị thu được chỉ ra rằng nhiệt độ hai nút có giá trị gần bằng

nhau, chúng chỉ chênh lệch vài độ celsius. Nhiệt độ bề mặt lớn nhất tìm được là

74.6 0C trên mặt trước, nhiệt độ lớn nhất mặt sau là 71.6

0C. Nhiệt độ thấp nhất của

hai mặt xấp xỉ nhau và ở giá trị khoảng -60 0C. Các giá trị nhiệt độ ước lượng này

cho các mặt của cánh vệ tinh nằm trong khoảng yêu cầu nhiệt độ của nó (xem Bảng

1.1).

4.1.5.3. Đáp ứng nhiệt của cánh trong kịch bản 2

Một cách tương tự, đáp ứng nhiệt độ của mặt trước và mặt sau theo thời gian

trong kịch bản thứ hai được mô tả trong Hình 4.11. Từ hình vẽ, ta thấy rằng đáp ứng

91

nhiệt của các nút thu được gần như tuần hoàn ở trạng thái ổn định. Giống như kịch

bản 1, trong kịch bản 2 này giá trị nhiệt độ của mặt trước khá gần với các giá trị

nhiệt độ của mặt sau. Điều này là do cánh vệ tinh là một cấu trúc tấm mỏng, sự

chênh lệch nhiệt độ giữa các bề mặt đối diện là khá nhỏ. Giá trị nhiệt độ ước lượng

cho các mặt của cánh vệ tinh nằm trong khoảng yêu cầu nhiệt độ của nó (xem Bảng

1.1).

Hình 4.10. Đồ thị nhiệt độ của các mặt trước và mặt sau của cánh vệ tinh

trong kịch bản 1

Hình 4.11. Đồ thị nhiệt độ của các mặt trước và mặt sau của cánh vệ tinh

trong kịch bản 2

92

Ở trên ta đã phân tích nhiệt cho cánh trong hai kịch bản quỹ đạo. Kết quả thu

được cho thấy rằng nhiệt độ dự báo của cánh thỏa mãn yêu cầu nằm trong khoảng

nhiệt độ giới hạn của nó (xem Bảng 1.1)

4.2. Nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho một vệ tinh dạng hình hộp chữ nhật

4.2.1. Mô hình nhiệt sáu nút cho vệ tinh và các kịch bản quỹ đạo của nó

Vệ tinh nhỏ được mô hình như

trong Hình 4.12. Vệ tinh có kích thước

L W H . Các mặt của vệ tinh được

làm từ vật liệu composite có tham số

hình học và vật liệu cụ thể. Trong tính

toán ta giả sử vật liệu vỏ vệ tinh là đồng

nhất. Các tấm có độ dày , mật độ khối

lượng là , nhiệt dung riêng là pC , độ

dẫn nhiệt vật liệu là , hệ số hấp thụ

mặt trời và hệ số phát xạ của bề mặt

tương ứng là và . Các mặt được đánh

Hình 4.12. Một mô hình của vệ tinh

hình hộp

chỉ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 như chỉ ra trong Hình 4.12. Các chỉ số 1 đến 6 ngụ ý rằng chúng

ta mô hình vệ tinh thành sáu nút với các đặc trưng nhiệt được gắn vào mỗi nút.

Thực tế, mỗi tấm trong các tấm được đánh chỉ số từ 1 đến 6 có hai mặt: mặt trong

và mặt ngoài. Cách đánh số này là bởi vì các tấm vệ tinh đã được giả thiết là vật liệu

đồng nhất, do đó tính chất vật liệu của mặt trong và mặt ngoài được xem là như

nhau. Có nghĩa rằng chúng ta có thể xét mặt trong và mặt ngoài như một mặt đại

diện với một chỉ số.

Sau đây ta sẽ xác định đáp ứng nhiệt của các nút nhiệt trong hai kịch bản quỹ

đạo đặc biệt khi góc quỹ đạo 00 và 090 (xem Hình 1.8b và 1.8c). Hai kịch

bản này thường được sử dụng để phân tích nhiệt vệ tinh và được gọi tương ứng là

kịch bản “Cold Case” và “Hot Case”. Trong phần tới ta sẽ phân tích đáp ứng nhiệt

của các kết cấu vệ tinh trong các kịch bản quỹ đạo này.

93

4.2.2. Kịch bản Cold Case cho mô hình nhiệt sáu nút (CC)

Trong kịch bản CC, quỹ đạo của vệ tinh được giả sử là đồng bộ hóa mặt trời,

mặt phẳng quỹ đạo song song với các tia mặt trời ( 00 ). Hình 4.13 là hình vẽ của

một vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp ở độ cao 680 km. Chu kỳ quỹ đạo là 5902.25 giây

và thời gian vệ tinh ở trong bóng tối là 2121.2 giây.

Hình 4.13. Tư thế “hướng vào tâm Trái đất” của vệ tinh trong kịch bản CC

Hình 4.14. Vị trí vệ tinh trong tính toán tải nhiệt trong kịch bản CC

94

Hệ trục tọa độ địa phương được gắn với vệ tinh được chọn như Hình 4.12

hoặc Hình 4.14. Trục Ox hướng theo chiều chuyển động của vệ tinh trên quỹ đạo,

trục Oz được chọn sao cho trục -Oz luôn hướng vào tâm trái đất trong suốt quá trình

vệ tinh chuyển động. Ba trục Ox, Oy, Oz thứ tự lập thành một tam diện thuận. Thời

gian mô phỏng tính từ lúc vệ tinh bắt đầu đi vào vùng bóng tối.

Bảng 4.2. Thứ tự các nút trong tính toán nhiệt của mô hình sáu nút

Nút 1 Nút 2 Nút 3 Nút 4 Nút 5 Nút 6

+Y -X -Y +X -Z +Z

Bảng 4.3. Các tham số vật liệu trong tính toán nhiệt của mô hình sáu nút

Mô tả Tham số Giá trị Đơn vị

Chiều dài của vệ tinh L 0.5 m

Chiều rộng của vệ tinh W 0.5 m

Chiều cao của vệ H 0.5 m

Mật độ khối lượng của tấm vật liệu của vệ tinh 158.9 -3kgm

Nhiệt dung riêng của tấm vật liệu của vệ tinh pC 883.70 -1 -1Jkg K

Độ dày của tấm vật liệu của vệ tinh 0.02 m

Độ dẫn nhiệt vật liệu của vệ tinh

5.39 -1 -1Wm K

Hệ số phát xạ của vật liệu của vệ tinh 0.82

Hệ số hấp thụ mặt trời của vật liệu vệ tinh 0.65

Hằng số mặt trời sG 1440 -2Wm

Độ cao của quỹ đạo h 680 km

Bán kính của Trái đất eR

6400 km

Hệ số albedo Trái đất ea

0.65

Nhiệt độ tương đương vật thể Trái đất eT

259 K

Chu kỳ quỹ đạo orbP

5902.25 s

Thời gian vệ tinh nằm trong bóng tối ecP

2121.2 s

4.2.2.1. Các nguồn nhiệt tác động lên vệ tinh

Từ tư thế của vệ tinh (xem Hình 4.13 hoặc Hình 4.14), ta có thể thu được các

dòng nhiệt tác động lên các nút. Thứ tự các nút trong tính toán nhiệt được chỉ ra

95

trong Bảng 4.2. Ta có thể thấy chỉ có bốn mặt nhận được tải nhiệt từ môi trường

không gian là các mặt +X, -X, +Z, -Z; hai mặt còn lại là +Y và -Y, lượng nhiệt nhận

được là không đáng kể, coi như bằng không. Dữ liệu tham số hệ cho tính toán được

cho trong Bảng 4.3. Để tìm hiểu chi tiết giá trị và đặc trưng vật lý của những tham

số này, người đọc có thể xem trong tài liệu [4, 6, 10, 14].

a. Mặt +X

Mặt +X chỉ chịu tác động của dòng nhiệt mặt trời trực tiếp ,s Xq

, nó được

xác định như sau

s, X 0

0 khi 0,

cos khi ,2

0 khi ,2

ec

ec orbs ec ec

ec orborb

t P

P Pq G t P

P Pt P

(4.9)

Dòng nhiệt mặt trời tác động lên mặt X là một hàm tuần hoàn của thời

gian, dáng điệu của hàm này được mô tả trong Hình 4.15 trong một chu kỳ.

Hình 4.15. Dòng nhiệt mặt trời trực tiếp ,s Xq tác động lên mặt +X,

với các tham số cho trong Bảng 4.3

b. Mặt -X

Mặt -X cũng chỉ hấp thụ dòng nhiệt mặt trời trực tiếp ,s Xq và có biểu diễn

toán học dưới dạng

96

0s, X 0

00

0 khi 0,2

1cos 2 khi , 2

2 2

1cos khi 2 ,

2

ec orb

ec orbs orb

s ec orb orb

P Pt

P Pq G t P

G t P P

(4.10)

Đồ thị của ,s Xq

được vẽ trong Hình 4.16. Có thể thấy ,s Xq

cũng là một hàm

tuần hoàn của thời gian t.

Hình 4.16. Dòng nhiệt mặt trời trực tiếp ,s Xq tác động lên mặt –X,

với các tham số cho trong Bảng 4.3

c. Mặt +Z

Đối với mặt +Z, nó chịu ảnh hưởng duy nhất bởi tải nhiệt mặt trời ,s Zq và

có thể được biểu diễn toán học là

0

0 0s,

0

10 khi 0, 1

2

1 1cos khi 1 , 2

2 2 2

10 khi 2 ,

2

orb

ecZ s orb orb

orb orb

t P

q G t P P

t P P

(4.11)

Đồ thị , Zsq được minh họa trong Hình 4.17. Nó là một hàm tuần hoàn của

thời gian.

97

Hình 4.17. Dòng nhiệt mặt trời , Zsq

tác động lên mặt +Z ,

với các tham số cho trong Bảng 4.3

d. Mặt Z

Chịu ảnh hưởng bởi ba dòng nhiệt gồm dòng nhiệt mặt trời trực tiếp, albedo

và hồng ngoại của Trái đất. Dòng nhiệt hồng ngoại trên mặt Z là hằng số, dòng

nhiệt mặt trời và albedo là các hàm tuần hoàn. Biểu diễn toán học của các dòng

nhiệt này là

0

s, Z 0 0

0

0 khi 0,

1cos khi , 1

2 2

1 10 khi 1 , 2

2 2

1cos 2 khi 2 ,

2 2

ec

ecs ec orb

orb orb

ecs orb orb

t P

G t P P

qt P P

G t P P

(4.12)

0

0 0, Z ,

0

10 khi 0, 1

2

1 1cos khi 1 , 2

2 2 2

10 khi 2 ,

2

orb

eca s e Z e orb orb

orb orb

t P

q G a F t P P

t P P

(4.13)

4

, Z ,IR Z e eq F T (4.14)

98

Hình 4.18. Các dòng nhiệt tác động lên mặt Z ,

với các tham số cho trong Bảng 4.3

Đồ thị của , Zsq , ,a Zq và ,IR Zq được mô tả trong Hình 4.18. Tải nhiệt albedo

và tải nhiệt hồng ngoại trái đất phụ thuộc vào hệ số quan sát từ vệ tinh đến trái đất.

Ở đây, chỉ có mặt Z là có hệ số quan sát khác không, tức là ,e 0ZF . Các mặt

còn lại có hệ số quan sát coi như bằng không. Bởi vì diện tích của các mặt vệ tinh

(nút) là khá nhỏ, chúng có thể xem như các bề mặt vi phân. Vì thế, để tính hệ số

quan sát mặt Z nhìn trái đất, chúng ta có thể coi nó như một bề mặt vi phân nhìn

mặt cầu trái đất [14].

4.2.2.2. Phương trình cân bằng nhiệt của vệ tinh

Vệ tinh có thể được mô hình với 6 nút nhiệt. Gọi iC là nhiệt dung của các

nút, và iT là nhiệt độ của chúng ( 1,...,6i ). Các nút này tương tác nhiệt với nhau

(thông qua hình thức dẫn nhiệt, bức xạ nhiệt) và cũng tương tác bức xạ nhiệt với

môi trường không gian. Gọi ijk là hệ số liên kết dẫn nhiệt và ijr là hệ số liên kết bức

xạ nhiệt. Phương trình cân bằng năng lượng cho các nút là

6 6

4 4 4 4

, ,

1 1

i i ij j i ij j i i i external i dis i

j j

CT k T T r T T r T T Q Q

(4.15)

trong đó , , , ,external i sol i alb i IR i iQ q q q S là tải nhiệt ngoài tác động lên nút i , iS là

diện tích nút i và ,dis iQ là hao tán nhiệt của nút i .

99

Chú ý tới các thông tin về tham số đầu vào của hệ cho trong Bảng 4.3, và giả

sử rằng hao tán nhiệt của các nút ở mức hằng số (đơn vị W), ta có thể tính được

nhiệt dung của các nút iC , 1, ,6i với kết quả cho trong Bảng 4.4.

Bảng 4.4. Giá trị của iC và ,dis iQ trong tính toán nhiệt của mô hình sáu nút

Nút Nhiệt dung iC , -1JK Hao tán ,dis iQ , W

1 702.1 10

2 702.1 10

3 702.1 10

4 702.1 10

5 702.1 10

6 702.1 10

Với tham số hệ cho trong Bảng 4.3, chúng ta cũng thu được các ma trận dẫn

nhiệt (đơn vị -1WK ) và bức xạ nhiệt (đơn vị -4WK ):

6 6

0 0.1078 0 0.1078 0.1078 0.1078

0.1078 0 0.1078 0 0.1078 0.1078

0 0.1078 0 0.1078 0.1078 0.1078

0.1078 0 0.1078 0 0.1078 0.1078

0.1078 0.1078 0.1078 0.1078 0 0

0.1078 0.1078 0.1078 0.1078 0 0

ijk

K

(4.16)

8

6 610ijr

R

0 0.2325 0.2323 0.2325 0.2325 0.2325

0.2325 0 0.2325 0.2323 0.2325 0.2325

0.2323 0.2325 0 0.2325 0.2325 0.2325

0.2325 0.2323 0.2325 0 0.2325 0.2325

0.2325 0.2325 0.2325 0.2325 0 0.2323

0.2325 0.2325 0.2325 0.2325 0.2323 0

(4.17)

9

8 110ir

R

0.1162 0.1162 0.1162 0.1162 0.1162 0.1162 0.1730 0.1627T

(4.18)

100

Hệ (4.15) có thể viết lại dưới dạng ma trận

4 4 4

ext dCT = KT + RT - R T + R T +Q +Q (4.19)

trong đó 1 2 6...T

T T TT là véc tơ nhiệt độ dạng tổng quát; C là ma trận

nhiệt dung mở rộng và K , R , R lần lượt là các ma trận dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt

mở rộng. Chúng là các ma trận thu được từ các ma trận gốc K , R , R bằng sắp

xếp lại các thành phần ,i jT T của phương trình (4.15) để nhận được dạng (4.19).

textQ là véc tơ của các tải nhiệt kích động ngoài, dQ là véc tơ hao tán nhiệt của

các nút; 4 4 4 4

1 2 6...T

T T T T ký hiệu là véc tơ của các số hạng bức xạ nhiệt.

Giả sử rằng ma trận nhiệt dung C không suy biến (nghĩa là det 0C ).

Nhân cả hai vế của phương trình (4.16) với 1

C , chúng ta thu được

1 t

4 4 4

ext dT C KT + RT - R T + R T + Q + Q (4.20)

4.2.2.3. Phương pháp Runge-Kutta bậc 4

Chúng ta xét một hệ phương trình vi phân thường tổng quát có dạng sau:

,tT F T (4.21)

trong đó 1 2 ...T

nT T TT là véc tơ tổng quát, 1 2 ...T

nF F FF là véc tơ hàm

chứa các hàm tuyến tính và phi tuyến

1 2, , ,...,i i nF F t T T T= , 1,i n , (4.22)

và 1 2, , ..., nT T T là các hàm của thời gian t.

Để tính toán nghiệm số, chúng ta chia khoảng thời gian 0 , tFt thành n

đoạn bằng nhau bởi các điểm chia it : 0it t i t ; n Ft t ; 0Ft tt

n

. Tập các

điểm chia it tạo thành một “lưới sai phân”, mỗi điểm chia được gọi là một điểm

nút, t được gọi là bước lưới. Chúng ta có thể ước lượng giá trị xấp xỉ của

1 1i iT T t từ giá trị i iT T t như sau

1 1 2 3 4k 2k 2k k ,6

i i

tT T

(4.23)

101

trong đó

1

2 1

3 2

4 3

k , ;

k , k ;2 2

k , k ;2 2

k , k .

i i

i i

i i

i i

t T

t tt T

t tt T

t t T t

F

F

F

F

(4.24)

Phương pháp Runge-Kutta sẽ được áp dụng cho phương trình (4.20) với hàm

F là

1,t t

4 4 4

ext dF T C KT + RT - R T + R T + Q + Q (4.25)

4.2.2.4. Đáp ứng nhiệt của các nút

Áp dụng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn cho phương trình (4.20), với các

tham số cho trong Bảng 4.3, ta thu được nhiệt độ của các nút theo thời gian. Dáng

điệu của chúng được mô tả trong Hình 4.19.

Hình 4.19. Diễn tiến nhiệt độ của sáu nút của vệ tinh trong kịch bản CC

Quan sát thấy rằng, trong vùng bóng tối của quỹ đạo, nhiệt độ của các nút 1,

2, 3, 4 và 6 là gần giống nhau, nhiệt độ nhỏ nhất của chúng khoảng o60 C . Khi vệ

tinh ở trong vùng quỹ đạo được chiếu sáng, nhiệt độ của các nút 2, 4, 5 và 6 tăng lên

102

khá nhanh, trong vùng này lượng nhiệt mặt trời tác dụng lên các mặt là tương đối

lớn. Với nút 5 nhiệt độ cực đại và cực tiểu lớn hơn các nút khác. Nếu lấy trung bình

ước lượng của nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất của các nút, chúng ta có thể thấy rằng

nhiệt độ trung bình ước lượng của nút 5 là cao nhất, điều này là vì nó luôn nhận

được nguồn nhiệt trong cả chu kỳ quỹ đạo (nguồn bức xạ hồng ngoại hằng số của

Trái đất, nguồn bức xạ mặt trời và albedo trong vùng sáng) (xem Bảng 4.5). Nhiệt

độ cực đại và cực tiểu của nút 1 và 3 là nhỏ nhất vì trong cả quỹ đạo nó không nhận

được bất kỳ nguồn nhiệt nào từ bên ngoài. Sự thay đổi nhiệt độ của các nút này là

do tương tác nhiệt thông qua dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt với các nút còn lại. Từ Bảng

4.5, ta có thể đi đến kết luận rằng nhiệt độ dự báo cho các nút trong mô hình của vệ

tinh nằm trong khoảng yêu cầu nhiệt độ của nó (xem Bảng 1.1, Chương 1).

Bảng 4.5. Nhiệt độ ước lượng lớn nhất và nhỏ nhất của các nút trong mô hình sáu

nút trong kịch bản CC

Nút Min ( o C ) Max ( o C ) Nhiệt độ trung bình ước lượng ( o C )

1 -58.8739 -2.1590 -30.5164

2 -58.8191 61.2249 1.2029

3 -58.8739 -2.1590 -30.5164

4 -57.0550 41.7788 -7.6381

5 -23.4258 64.4609 20.5176

6 -61.0429 60.3548 -0.3441

4.2.3. Kịch bản Hot Case (HC) cho mô hình nhiệt sáu nút

Trong kịch bản HC này, mặt phẳng quỹ đạo vuông góc với tia sáng mặt trời

(xem Hình 1.13c), góc quỹ đạo 90 và vệ tinh có mặt đáy Z luôn duy trì tư

thế “hướng vào tâm Trái đất”. Giả sử mặt Y luôn nhận được năng lượng mặt trời,

pháp tuyến của nó luôn tạo một góc không đổi và bằng không so với tia sáng mặt

trời.

Đáp ứng nhiệt của các nút được cho trên Hình 4.20. Vì nguồn nhiệt tác động

không đổi lên vệ tinh nên sau một khoảng thời gian, nhiệt độ các nút sẽ đi vào trạng

thái dừng và có giá trị hằng số. Nhiệt độ cao nhất nằm ở bề mặt Y (nút 1), nhiệt

độ thấp nhất nằm ở bề mặt Y (nút 3). Quan sát thấy rằng các giá trị nhiệt độ dự

đoán cho các nút của vệ tinh cũng nằm trong khoảng yêu cầu nhiệt độ của nó (xem

Bảng 1.1, Chương 1).

103

Hình 4.20. Diễn tiến nhiệt độ của sáu nút theo thời gian trong kịch bản HC

Quan sát đáp ứng nhiệt của các nút, ta có thể thấy rằng nhiệt độ ước lượng

của các nút trong cả hai kịch bản “Cold Case” và “Hot Case” đều nằm trong khoảng

yêu cầu nhiệt độ của các thành phần vệ tinh.

4.3. Nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho vệ tinh hình hộp khi gắn thêm cánh

4.3.1. Mô hình nhiệt tám nút cho vệ tinh

Vệ tinh được mô hình như trong Hình 4.21. Vệ tinh bao gồm một thân có

kích thước B B BL W H và một cánh nối với thân có kích thước A AL W . Khoảng

cách từ cánh đến thân là AB . Giả sử rằng cánh của vệ tinh vuông góc với một mặt

bên của thân. Bởi vì tính toán nhiệt vệ tinh là khá phức tạp, mô hình ở trên là một

mô hình đơn giản và sẽ là cơ sở cho mô hình vệ tinh phức tạp hơn. Thân của vệ tinh

được làm từ vật liệu composite có tham số hình học và vật liệu cụ thể. Ở đây, chúng

ta cũng giả sử rằng vật liệu của thân là đồng nhất. Hệ số hấp thụ mặt trời và hệ số

phát xạ của thân tương ứng là B và B . Cánh của vệ tinh cũng bao gồm nhiều vật

liệu khác nhau. Nó bao gồm hai mặt: mặt trước (mặt 8) có gắn các tấm pin mặt trời

hấp thụ năng lượng trực tiếp từ tia sáng mặt trời; hệ số hấp thụ của mặt trước là F ,

hệ số phát xạ của nó là F ; và mặt sau (mặt 7) được sơn bởi lớp vật liệu với hệ số

hấp thụ R , hệ số hấp thụ R . Các tấm 1, 2, 3, 4, 5, 6 được đánh số như chỉ ra trong

104

Hình 4.21. Các tấm 1 và 3 nằm đối diện với nhau, trong đó tấm 1 ở vị trí gần cánh

hơn. Các tấm 2 và 4 thì song song với nhau và vuông góc với các tấm 1 và 3. Các

tấm 5 và 6 lần lượt là mặt trên và mặt đáy của vệ tinh.

Các thành phần thân và cánh có thể được mô hình hóa trên cơ sở phương

pháp nhiệt phân bổ, nghĩa là mỗi mặt của thân và cánh được đặc trưng bởi một nút

nhiệt. Để ước lượng nhiệt độ cho các thành phần này, chúng ta có thể sử dụng mô

hình nhiệt tám nút: sáu nút cho các mặt của thân và hai nút cho mặt trước và mặt

sau của cánh (được đánh số như trong Hình 4.21). Sở dĩ các mặt của thân được đánh

với một chỉ số là do ta đã giả sử là vật liệu của thân đồng nhất. Còn cánh vệ tinh

được mô hình và đánh với hai chỉ số riêng biệt (7 và 8) bởi vì tính chất vật lý của

mặt trước chứa các tấm pin mặt trời rất khác với mặt sau (không chứa các tấm pin).

Hình 4.21. Một mô hình của vệ tinh hình hộp có gắn thêm cánh

Trong mục tới, ta sẽ tính toán tải nhiệt tác động lên các nút và phân tích đáp

ứng nhiệt của các nút trong ba kịch bản quỹ đạo: Cold Case, Hot Case 1 (hot case

đối với thân vệ tinh), Hot Case 2 (hot case đối với cánh vệ tinh).

4.3.2. Kịch bản Cold Case (CC)

Các đặc trưng và thông số quỹ đạo của vệ tinh trong kịch bản này giống như

kịch bản CC trong mô hình sáu nút. Trong kịch bản này mặt đáy luôn được định

hướng vào tâm trái đất. Tư thế vệ tinh được minh họa trong Hình 4.22. Hệ trục tọa

độ gắn với vệ tinh được chọn như trong Hình 4.21. Vị trí vệ tinh được trong tính

toán các tải nhiệt được chỉ trên Hình 4.14. Thứ tự các nút trong tính toán nhiệt được

chỉ ra trong Bảng 4.6.

105

Bảng 4.6. Thứ tự các nút trong tính toán nhiệt trong mô hình tám nút

Nút 1 Nút 2 Nút 3 Nút 4 Nút 5 Nút 6 Nút 7 Nút 8

+Y -X -Y +X -Z +Z Mặt sau Mặt trước

Bảng 4.7. Các tham số vật liệu trong tính toán nhiệt mô hình tám nút

Mô tả Tham số Giá trị Đơn vị

Chiều dài của thân BL 0.5 m

Chiều rộng của thân BW 0.5 m

Chiều cao của thân BH 0.5 m

Mật độ khối lượng của tấm vật liệu của thân B 158.9 -3kgm

Nhiệt dung riêng của tấm vật liệu của thân B

pC 883.70 -1 -1Jkg K

Độ dày của tấm vật liệu của thân B 0.02 m

Độ dẫn nhiệt vật liệu của thân B 5.39 -1 -1Wm K

Hệ số phát xạ của vật liệu của thân B 0.82

Hệ số hấp thụ mặt trời của vật liệu thân B 0.65

Chiều dài của cánh AL 0.7 m

Chiều rộng của cánh AW 0.5 m

Độ dẫn nhiệt vật liệu của cánh A 2.79 -1 -1Wm K

Độ dày của cánh

A 0.03 m

Mật độ khối lượng của cánh A 111.7 -3kgm

Nhiệt dung riêng của cánh A

pC 844.40 -1 -1Jkg K

Hệ số phát xạ của mặt trước của cánh F 0.82

Hệ số hấp thụ của mặt trước của cánh F 0.69

Hệ số phát xạ của mặt sau của cánh R 0.872

Hệ số hấp thụ của mặt sau của cánh R 0.265

Khoảng cách từ cánh đến thân vệ tinh

AB 0.02 m

Hằng số mặt trời sG 1440 -2Wm

Độ cao của quỹ đạo h

680 km

Bán kính của Trái đất eR 6400 km

Hệ số albedo Trái đất ea 0.65

Nhiệt độ tương đương vật thể Trái đất eT 259 K

Chu kỳ quỹ đạo orbP 5902.25 s

Thời gian vệ tinh nằm trong bóng tối ecP

2121.2 s

106

Lượng nhiệt mà các mặt nhận được bao gồm nhiệt bức xạ mặt trời, nhiệt bức

xạ albedo và hồng ngoại trái đất. Các lượng nhiệt này là các hàm phụ thuộc thời

gian. Hình 4.23 minh họa các tải nhiệt mặt trời tác động lên các nút trong một chu

kỳ quỹ đạo (tham số hệ dùng trong tính toán cho trong Bảng 4.7).

Hình 4.22. Tư thế của vệ tinh trong kịch bản CC (mô hình tám nút)

Hình 4.23. Dòng nhiệt mặt trời mà các mặt nhận được,

với tham số hệ cho trong Bảng 4.7

107

4.3.2.1. Đáp ứng nhiệt của vệ tinh trong kịch bản CC

Phương trình cân bằng nhiệt của vệ tinh trong mô hình tám nút có dạng sau

8 8

4 4 4 4

, ,

1 1

i i ij j i ij j i i i ext i dis i

j j

CT k T T r T T r T T Q Q

(4.26)

Ở đây, , , , ,ext i sol i alb i IR i iQ q q q S là tải nhiệt môi trường không gian tác

động lên nút i được xác định tương tự nhu trong mô hình sáu nút, nhiệt dung của

các nút iC (i =1,…,8) được tính toán từ tham số hệ , hao tán nhiệt ,dis iQ được giả sử

ở mức hằng số. Các đại lượng này được cho trong Bảng 4.8. Các ma trận dẫn nhiệt

(đơn vị -1WK ) và bức xạ nhiệt (đơn vị -4WK ) cũng được tính toán dựa theo tham

số hệ (xem Bảng 4.7) với kết quả là

8 8ijk

K

0 0.1078 0 0.1078 0.1078 0.1078 0 0

0.1078 0 0.1078 0 0.1078 0.1078 0 0

0 0.1078 0 0.1078 0.1078 0.1078 0 0

0.1078 0 0.1078 0 0.1078 0.1078 0 0

0.1078 0.1078 0.1078 0.1078 0 0 0 0

0.1078 0.1078 0.1078 0.1078 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 32.55

0 0 0 0 0 0 32.55 0

(4.27)

8

8 810ijr

R

0 0.1971 0.1968 0.1971 0.1971 0.1971 0.1531 0

0.1971 0 0.1971 0.1968 0.1971 0.1971 0 0

0.1968 0.1971 0 0.1971 0.1971 0.1971 0 0

0.1971 0.1968 0.1971 0 0.1971 0.1971 0 0

0.1971 0.1971 0.1971 0.1971 0 0.1968 0 0

0.1971 0.1971 0.1971 0.1971 0.1968 0 0 0

0.1531 0 0 0 0 0 0.1531 0

0 0 0 0 0 0 0 0

(4.28)

9

8 110ir

R

0.1162 0.1162 0.1162 0.1162 0.1162 0.1162 0.1730 0.1627T

(4.29)

108

Bảng 4.8. Giá trị của iC và ,dis iQ cho tính toán nhiệt trong mô hình tám nút

Nút Nhiệt dung iC , -1JK Hao tán ,dis iQ , W

1 702.1 10

2 702.1 10

3 702.1 10

4 702.1 10

5 702.1 10

6 702.1 10

7 1131.8 15

8 1131.8 15

Hình 4.24. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian trong kịch bản CC

Tính toán tương tự như đối với mô hình sáu nút, sử dụng phương pháp

Runge-Kutta bậc 4, ta thu được diễn tiến nhiệt độ theo thời gian của các mặt chỉ ra

trong Hình 4.24. Quan sát thấy rằng, khi vệ tinh ở trong vùng quỹ đạo được chiếu

sáng, nhiệt độ của cánh vệ tinh lớn hơn nhiệt độ của các nút khác. Nhiệt độ lớn nhất

được dự đoán là 82.4722 0C cho nút 8 (mặt trước) và 80.2318

0C cho nút 7 (mặt

sau) của cánh (xem Bảng 4.9). Có sự chênh lệch nhẹ giữa nhiệt độ của nút 7 và 8,

109

điều này là bởi vì độ dày dẫn nhiệt giữa hai nút này là khá nhỏ khi so sánh với chiều

dài của cánh. Trong vùng bóng tối của quỹ đạo, nhiệt độ nhỏ nhất của các nút 1, 2,

3, 4 và 6 là gần giống nhau, khoảng -60 0C. Trong vùng này, nhiệt độ nhận được

của các nút 1, 2, 3, 4 và 6 từ môi trường không gian là rất nhỏ. Sự thay đổi nhiệt độ

giữa các nút này là do tương tác nhiệt thông qua dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt. Với ba

nút 5, 7 và 8, nhiệt độ cực tiểu lớn hơn các nút khác. Nếu lấy trung bình ước lượng

của nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất của các nút, chúng ta có thể thấy rằng nhiệt độ

trung bình ước lượng của nút 5 là cao nhất, điều này là vì nó luôn nhận được dòng

nhiệt do bức xạ hồng ngoại của Trái đất (xem Bảng 4.9). Quan sát thấy rằng nhiệt

độ lớn nhất và nhỏ nhất được ước lượng của thân và cánh nằm trong khoảng nhiệt

độ yêu cầu được cho trong Bảng 1.1.

Bảng 4.9. Nhiệt độ lớn nhất và nhỏ nhất của các nút trong mô hình tám nút

Nút Min (o C ) Max (

o C ) Nhiệt độ trung bình ước lượng (o C )

1 -57.1998 2.2558 -27.4720

2 -59.0681 64.4913 2.7116

3 -59.0294 -3.5636 -31.2965

4 -58.3320 45.2248 -6.5536

5 -22.4952 67.4134 22.4591

6 -61.5191 62.9609 0.7209

7 -22.6112 80.2318 11.5160

8 -24.1244 82.4722 12.6362

Hình 4.25 mô tả sự thay đổi diễn tiến nhiệt độ của nút 8 với các giá trị F

khác nhau. Giá trị F chỉ ra phần hấp thụ bức xạ chiếu đến với tổng bức xạ chiếu

đến của mặt trước. Trong trường hợp giá trị của F lớn, nhiệt độ cực đại của nút 8

tăng lên khá nhanh. Điều này chỉ ra ảnh hưởng lớn của hệ số hấp thụ tới nhiệt độ

của nút 8 khi vệ tinh ở trong vùng được chiếu sáng.

Trong Hình 4.26, sự sai khác giữa nhiệt độ cực đại của nút 8 với các giá trị

F khác nhau khi so sánh với trường hợp 0.92F được tính toán. Giá trị sai khác

110

này là lớn nhất nếu hệ số hấp thụ F nhận giá trị nhỏ, chẳng hạn 0.1F . Giá trị

của sự sai khác này sẽ giảm đi nếu hệ số hấp thụ mặt trời F tăng lên.

Hình 4.25. Diễn tiến nhiệt độ của nút 8 theo thời gian

với các hệ số hấp thụ F khác nhau

Hình 4.26. Sai số giữa nhiệt độ lớn nhất của mặt trước ứng với các giá trị F khác

nhau khi so sánh với trường hợp 0.92F

Hình 4.27 biểu diễn diễn tiến nhiệt độ nút 8 với các giá trị hệ số phát xạ F

khác nhau. Hệ số phát xạ nhận giá trị từ 0.5 đến 0.82. Ba giá trị được lựa chọn là

111

0.5F , 0.7F và 0.82F . Quan sát thấy rằng khi hệ số phát xạ tăng lên,

nhiệt độ của nút 8 sẽ giảm.

Hình 4.27. Diễn tiến nhiệt độ của nút 8 theo thời gian,

với các giá trị của hệ số phát xạ F khác nhau

Hình 4.28. Nhiệt độ của nút 8 như là hàm đối với nhiệt độ của nút 7

Tương tác nhiệt giữa nút 7 và nút 8 được mô tả trong Hình 4.28. Sự phụ

thuộc nhiệt độ của nút 8 đối với nhiệt độ nút 7 là gần tuyến tính bởi vì sự sai khác

nhiệt độ giữa hai nút này là khá nhỏ.

112

Hình 4.29. Nhiệt độ của nút 7 như là hàm của nhiệt độ nút 1,

với các giá trị R khác nhau

Trong Hình 4.29, tương tác nhiệt giữa nút 1 (của thân vệ tinh) và nút 7 (của

cánh) với các giá trị hấp thụ mặt trời R của nút 7 khác nhau. Với mỗi giá trị của

R , trong trạng thái bình ổn, nhiệt độ của nút 1 và nút 7 tiến tới một vòng giới hạn.

Hình dạng của vòng giới hạn trong trường hợp này không phải là một đường tròn

hay đường elip, lý do là các đáp ứng nhiệt thu được của nút 1 và nút 7 không phải là

hàm điều hòa mà là hàm tựa tuần hoàn.

Kết quả của việc phân tích các đặc trưng nhiệt của một cấu trúc vệ tinh là rất

hữu ích trong một sứ mệnh không gian. Trong mục này một mô hình đơn giản đã

được đưa ra bằng cách sử dụng phương pháp tham số phân bổ cho các nút. Theo đó,

một mô hình đơn giản với tám nút đại diện cho các tấm của thân và các mặt của

cánh được thiết lập dựa trên kích thước hình học và tính chất vật lý của vệ tinh. Dựa

trên tư thế của vệ tinh trong các kịch bản quỹ đạo CC, ta đã tính toán được các tải

nhiệt tác dụng lên các nút. Trong kịch bản này, nhiệt độ ước lượng của các nút theo

thời gian nhận được khi ta giải số phương trình cân bằng nhiệt cho các nút. Kết quả

dự đoán chỉ ra rằng nhiệt độ của các nút thỏa mãn khoảng yêu cầu nhiệt độ của

chúng. Hơn nữa, ảnh hưởng của các tính chất vật liệu như tính hấp thụ và độ phát xạ

đối với đáp ứng nhiệt của các nút cũng được khảo sát, nghiên cứu.

113

4.3.3. Kịch bản Hot Case đối với thân vệ tinh (HC1)

Trong kịch bản HC1, mặt phẳng quỹ đạo vuông góc với tia sáng mặt trời

(xem Hình 1.8b), góc quỹ đạo 90 và vệ tinh có mặt đáy -Z (nút 5) luôn duy trì

tư thế “hướng vào tâm Trái đất”. Giả sử mặt +Y (nút 1) luôn nhận được năng lượng

mặt trời, pháp tuyến của nó luôn tạo một góc không đổi và bằng không so với tia

sáng mặt trời. Đáp ứng nhiệt của các nút được cho trên Hình 4.30. Quan sát đồ thị ta

thấy sau một khoảng thời gian thì nhiệt độ các nút đi vào trạng thái dừng và có giá

trị hằng số. Nhiệt độ cao nhất ở bề mặt +Y (nút 1), nhiệt độ thấp nhất ở bề mặt sau

của cánh (nút 7).

Hình 4.30. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian trong kịch bản HC1

4.3.4. Kịch bản Hot Case đối với cánh vệ tinh (HC2)

Trong kịch bản HC2, mặt phẳng quỹ đạo cũng vuông góc với tia sáng mặt

trời, góc quỹ đạo 90 và vệ tinh có mặt +Y (nút 1) luôn duy trì tư thế “hướng

vào tâm Trái đất”. Giả sử mặt trên của cánh (nút 8) luôn nhận được năng lượng mặt

trời, pháp tuyến của nó luôn tạo một góc không đổi và bằng không so với tia sáng

mặt trời. Nhiệt độ các nút của vệ tinh được mô tả trên Hình 4.31.

114

Hình 4.31. Diễn tiến nhiệt độ của các nút theo thời gian trong kịch bản HC2

Tương tự trường hợp HC1, trường hợp HC2 nguồn nhiệt tác động không đổi

lên vệ tinh nên sau một khoảng thời gian, nhiệt độ các nút cũng đi vào trạng thái

dừng và có giá trị hằng số. Nhiệt độ cao nhất ở bề mặt +Z (nút 6), nhiệt độ thấp nhất

ở bề mặt -Z (nút 5).

4.4. Kết luận Chương 4

Nghiên cứu, phân tích các đặc trưng nhiệt của một cấu trúc vệ tinh là quan

trọng trong một nhiệm vụ không gian. Trong Chương 4 này, tác giả đã nghiên cứu

một số mô hình nhiệt của kết cấu vệ tinh và thu được một số các kết quả sau:

- Một số mô hình tải nhiệt từ môi trường không gian được thiết lập trong

khuôn khổ quỹ đạo thấp của Trái đất.

- Các mô hình đơn giản (mô hình hai nút cho cánh vệ tinh, mô hình sáu nút

cho vệ tinh hình hộp, mô hình tám nút cho vệ tinh hình hộp có gắn một cánh) được

thiết lập dựa trên kích thước hình học và tính chất vật liệu của vệ tinh.

- Các phương trình cân bằng nhiệt cho các nút được xây dựng từ các đặc tính

tương tác dẫn nhiệt và bức xạ nhiệt giữa các nút và tải nhiệt bên ngoài.

- Sự biến đổi nhiệt độ theo thời gian của các nút thu được bằng thuật toán số

Runge-Kutta bậc 4 khi giải các phương trình cân bằng nhiệt.

115

- Ảnh hưởng của các tính chất vật liệu như tính hấp thụ và độ phát xạ đối với

đáp ứng nhiệt của các nút được khảo sát.

- Thông tin về nhiệt độ cực đại và nhiệt độ cực tiểu của các nút cho thấy

nhiệt độ ước lượng của vệ tinh thu được từ các phân tích số nằm trong giới hạn

nhiệt cho phép của vệ tinh. Điều này cho thấy mức độ tin cậy của mô hình nhiệt và

mô hình tải nhiệt của vệ tinh đã xây dựng. Độ tin cậy của kết quả sẽ tăng lên khi ta

xây dựng các mô hình chi tiết và đầy đủ hơn.

Kết quả Chương 4 được công bố trong 03 công trình [3], [4] và [8] trong Danh

mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án của tác giả.

116

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án này trình bày một số kết quả nghiên cứu của tác giả về bài toán phân

tích nhiệt của vệ tinh dựa trên các mô hình nhiệt một nút, hai nút và nhiều nút. Với

mô hình một và hai nút, tác giả đã áp dụng các phương pháp giải tích gồm phương

pháp tuyến tính hóa tương đương (theo tiêu chuẩn thông thường và đối ngẫu) và

phương pháp tuyến tính hóa theo Grande để tìm nghiệm xấp xỉ của các mô hình

nhiệt; sau đó nghiên cứu một số ứng xử định tính của nghiệm phụ thuộc vào các

tham số hệ. Với mô hình nhiều nút, tác giả đã sử dụng phương pháp số Runge-Kutta

bậc 4 để tính toán nghiệm và khảo sát các đặc trưng cơ bản của nhiệt độ các nút

trong mô hình nhiệt ứng với các kịch bản quỹ đạo khác nhau và chỉ ra sự phù hợp

của nhiệt độ dự báo nằm trong miền nhiệt độ giới hạn cho phép của các thành phần

vệ tinh.

Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã đạt được một số kết quả mới sau đây:

- Tác giả đã lần đầu tiên áp dụng kỹ thuật tuyến tính hóa tương đương sử

dụng các tiêu chuẩn khác nhau gồm tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình và

tiêu chuẩn đối ngẫu để tìm đáp ứng nhiệt xấp xỉ của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp

của Trái đất. Tiêu chuẩn đối ngẫu thu được từ tổ hợp của hai bước thay thế (thay thế

thông thường và thay thế đối ngẫu). Kết quả cho thấy phương pháp tuyến tính hóa

tương đương là những công cụ giải tích hiệu quả, tin cậy có thể áp dụng tốt trong

bài toán phân tích nhiệt cho vệ tinh.

- Tác giả đã xây dựng phương pháp tìm nghiệm giải tích cho mô hình một

nút và hai nút dựa trên tiêu chuẩn đối ngẫu đề nghị trong khuôn khổ bài toán phi

tuyến của phương trình cân bằng nhiệt của vệ tinh.

- Kết quả số cho phân tích đáp ứng nhiệt chỉ ra rằng phương pháp tuyến tính

hóa tương đương theo tiêu chuẩn đối ngẫu có độ chính xác cao hơn so với kết quả

thu được từ phương pháp tuyến tính hóa theo Grande đã nghiên cứu trước đó.

- Đã xây dựng và phát triển được mô hình nhiệt nhiều nút và mô hình tải

nhiệt tương ứng cho vệ tinh nhỏ ở quỹ đạo thấp quanh Trái đất. Kết quả phân tích

nhiệt là cơ sở phục vụ thiết kế nhiệt cho các mô hình nhiệt vệ tinh phức tạp hơn.

117

Một số vấn đề có thể tiếp tục mở rộng nghiên cứu

- Phát triển và mở rộng phương pháp tuyến tính hóa tương theo tiêu chuẩn

đối ngẫu để nghiên cứu đáp ứng nhiệt cho vệ tinh với tải nhiệt ngoài có yếu tố nhiễu

ngẫu nhiên.

- Phát triển các mô hình nhiệt vệ tinh bao gồm các mô hình hình học, mô

hình vật liệu, các mô hình tải nhiệt, hướng tới xây dựng một phân mềm chuyên

dụng cho phân tích kết cấu nhiệt vệ tinh.

118

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN CỦA TÁC GIẢ

1. Nguyen Dong Anh, Nguyen Nhu Hieu, Pham Ngoc Chung, Nguyen Tay Anh

(2016), Thermal radiation analysis for small satellites with single-node

model using techniques of equivalent linearization, Applied Thermal

Engineering, 94, pp. 607-614. (Tạp chí SCI-E)

2. Pham Ngoc Chung, Nguyen Nhu Hieu, Nguyen Dong Anh, Dinh Van Manh

(2017), Extension of dual equivalent linearization to nonlinear analysis of

thermal behavior of a two-node model for small satellites in Low Earth

Orbit, International Journal of Mechanical Sciences,133, 513–523. (Tạp chí

SCI)

3. Pham Ngoc Chung, Nguyen Dong Anh, Nguyen Nhu Hieu (2017), Nonlinear

analysis of thermal behavior for a small satellite in Low Earth Orbit using

many-node model, Journal of Science and Technology Development

Vietnam National University-HCM City, 20, pp. 66-76 (ISSN 1859-0128).

(Tạp chí Quốc gia)

4. Pham Ngoc Chung, Nguyen Nhu Hieu, Nguyen Dong Anh (2016), Thermal

radiation analysis for solar arrays of a small satellite in Low Earth Orbit, The

4th international Conference on Engineering Mechanic and Automation

(ICEMA4), pp 146-153.

5. Nguyen Dong Anh, Nguyen Nhu Hieu, Pham Ngoc Chung (2013), Analysis

of thermal responses for a satellite with two-node model using the equivalent

linearization technique, International Conference on Space, Aeronautical,

and Navigational Electronics, Vol. 113(335), pp. 109-114.

6. Nguyễn Như Hiếu, Nguyễn Đông Anh, Phạm Ngọc Chung (2014), Phương

pháp giải tích trong bài toán mô hình nhiệt hai nút của vệ tinh nhỏ trên quỹ

đạo thấp, Hội thảo khoa học “Nghiên cứu và ứng dụng công nghệ vũ trụ”,

Hà Nội, 2014, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ, ISBN:978-

604-913-305-3, trang 469-479.

7. Phạm Ngọc Chung, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Như Hiếu, Phan Thị Trà My

(2015), Nghiên cứu giải tích ứng xử nhiệt của vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp

dựa theo mô hình một nút, Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc,

Đà Nẵng, 8/2015, trang 11-18.

8. Nguyễn Như Hiếu, Vũ Lâm Đông, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Đình Kiên,

Phạm Ngọc Chung (2015), Phân tích dao động, độ bền, ổn định và nhiệt của

kết cấu vệ tinh nhỏ trên quỹ đạo thấp của trái đất, Chương trình khoa học

công nghệ vũ trụ (2012-2015), pp 71-104, ISBS:978-604-913-498-2.

119

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. R.S. Jakhu, J.N. Pelton, Small Satellites and Their Regulation, Springer,

2014 New York.

2. K.D. McMullan, M. Martín-Neira, A. Hahne, A. Borges, Space Technologies

for the Benefit of Human Society and Earth, Springer, 2009 Netherlands.

3. NASA Safety Standard 1740.14, Guidelines and Assessment Procedures for

Limiting Orbital Debris, Office of Safety and Mission Assurance, 1995.

4. D.G. Gilmor, Spacecraft Thermal Control Handbook, The Aerospace

Corporation, 2002, California, USA.

5. A.Q. Rogers, R.A. Summers, Creating capable nanosatellites for critical

space missions, Johns Hopkins APL Technical Disgest, 2010, 29, pp. 283-

288.

6. P. Fortescue, G. Swinerd, J. Stark, Spacecraft System Engineering, John

Wiley & Son Ltd, 2003.

7. V. Baturkin, Micro-satellites thermal control: concepts and components,

Acta Astronautica, 2005, 56, pp. 161-170.

8. IADC Space Debris Mitigation Guidelines, Inter-Agency Space Debris

Coordination Committee, 2007.

9. I.P. Grande, A.S. Andres, C. Guerra, G. Alnonso, Analytical study of the

thermal behaviour and stability of a small satellite, Applied Thermal

Engineering, 2009, 29, pp. 2567-2573.

10. J. Meseguer, I.P. Grande, A.S. Andrés, Spacecraft Thermal Control,

Woodhead Publishing, 2012.

11. A. Farrahi, I.P. Grande, Simplified analysis of the thermal behavior of a

spinning satellite flying over Sun-synchronous orbits, Applied Thermal

Engineering, 2017, 125, pp. 1146-1156.

12. J. Gaite, Nonlinear analysis of spacecraft thermal models, Nonlinear

Dynamics, 2011, 65, pp. 283-300.

13. Trần Mạnh Tuấn, Công nghệ vệ tinh, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật,

2007, Hà Nội.

14. J.R. Howell, R. Siegel, M.P. Menguc, Thermal Radiation Heat Transfer, 6th

ed. Taylor and Francis/CRC, 2010, New York.

120

15. M.F. Modest, Radiative Heat Transfer, McGraw-Hill, 1993, New York.

16. M.F. Modest, Backward Monte Carlo simulations in radiative heat transfer,

Journal of Heat Transfer, 2003, 125, pp. 57–62.

17. S. Abishek, S. Ramanujam, S.S. Katte, View factors between disk/rectangle

and rectangle in parallel and perpendicular planes, Journal of

Thermophysics and Heat Transfer, 1995, 21, pp. 236-239.

18. Chung, B.T.F., P.S. Sumitra, Radiation shape factors from plane point

sources, Journal of Heat Transfer, 1972, 94, pp. 328-330.

19. D. Alciatore, et al., Closed form solution of the general three dimensional

radiation configuration factor problem with microcomputer solution, Proc.

26th National Heat Transfer Conf., 1989, Philadelphia, ASME.

20. D.C. Hamilton, W.R. Morgan, Radiant-interchange configuration factors,

NASA TN 2836, 1952.

21. J.S. Dolaghan, P.J. Burns, R.I. Loehrke, Smoothing Monte-Carlo exchange

factors, Journal of Heat Transfer, 1995, 117, pp. 524–526.

22. J.T. Farmer, J.R. Howell, Comparison of Monte Carlo strategies for

radiative transfer in participating media , Advances in Heat Transfer, 1998,

31, pp. 333–429.

23. ECSS-E-ST-10-04C, Space engineering. Space environment, ESA

Requirements and Standard Division, ESTEC, Noordwijk, 2008, The

Netherlands, November 2008.

24. ISO 21348, Space environment (natural and artificial). Process for

determining solar irradiances, International Organization for

Standarđization, May 2007.

25. C.K. Krishnaprakas, A comparison of ODE solution methods for spacecraft

thermalproblems, Heat Transfer Engineering, 1998, 19, pp. 103–9.

26. M. Milman, W. Petrick, A note on the solution to a common thermal network

problem encountered in heat-transfer analysis of spacecraft, Applied

Mathematical Modelling, 2000, 24, pp. 861-879.

27. M.V. Papalexandris, Feedback control of thermal systems modeled via the

network approach, ASME International Journal of Dynamic Systems

Measurement and Control, 2004, 126, pp. 509-519.

121

28. S. Appel, R. Patrício, H. de Koning, O. Pin, Automatic conductor generation

for thermal lumped parameter models, SAE Technical Paper 2004-01-2397,

2004, https://doi.org/10.4271/2004-01-2397.

29. Y. Liu, G.H. Li, L.X. Jiang, A new improved solution to thermal network

problem in heat-transfer analysis of spacecraft, Aerospace Science and

Technology, 2010, 14, pp. 225-234.

30. Y. Liu, X. Liu, G. Li, L. Jiang, Prediction on effects of absorptivity and

emissivity for surface temperature distribution using an improved thermal

network model, Heat Transfer - Asian Research, 2010, 39, pp. 539-553.

31. L.P. Van der Meijs, Model order reduction of large RC circuits, in: Model

Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications, 2008, pp.

421-446.

32. M.N. Albunni, Model order reduction of moving nonlinear electromagnetic

devices, Technische Universität München, 2010, Munich, Germany.

33. M. Bernard, J. Etchells, T. Basse, F. Brunetti, Thermal model reduction –

theory & application, in: 40th International Conference on Environmental

Systems, 2010.

34. M. Deiml , M. Suderland, P. Reiss, M. Czupalla, Development and

evaluation of thermal model reduction algorithms for spacecraft, Acta

Astronautica, 2015, 110, pp. 168-179. DOI: https://doi.org/10.4271/2007-01-

3119

35. G.F. Rico, I.P. Grande, A.S. Andres, I. Torralbo, J. Woch, Quasi-

autonomous thermal model reduction for steady-state problems in space

systems, Applied Thermal Engineering, 2016, 105, pp. 456-466.

36. M. Gorlani, M. Rossi, Thermal model reduction with stochastic optimisation,

SAE Technical Paper 2007-01-3119, 2007, https://doi.org/10.4271/2007-01-

3119.

37. L. Jacques, E. Béchet, E.G. Kerschen, Finite element model reduction for

space thermal analysis, Finite Elements in Analysis and Design, 2017, 127,

pp. 6–15.

38. B. Frey, M. Trinoga, M. Hoppe, W.D. Ebeling, Development of an

automated thermal model correlation method and tool, 2015,

http://hdl.handle.net/2346/64458

122

39. J. Li, S. Yan, R. Cai, Thermal analysis of composite solar array subjected to

space heat flux, Aerospace Science and Technology, 2013, 37, pp. 84-94.

40. J. Li, S. Yan, Thermally induced vibration of composite solar array with

honeycomb panels in low earth orbit, Applied Thermal Engineering, 2014,

71, pp. 419-432.

41. E. Azadi, S.A. Fazelzadeh, M. Azadi, Thermally induced vibrations of smart

solar panel in a low-orbit satellite, Advances in Space Research, 2017, 59,

pp. 1502-1513.

42. L. Liu, D. Cao, H. Huang, C. Shao, Y. Xu, Thermal-structural analysis for

an attitude maneuvering flexible spacecraft under solar radiation,

International Journal of Mechanical Sciences, 2017, 126, pp.161-170.

43. T. Akita, R. Takaki, E. Shima, An estimation method of thermal contact

resistances in satellite thermal model by using the ensemble Kalman filter,

Aerospace Technology Japan, 2010, 9, pp. 1–8 (in Japanese).

44. T. Akita, R. Takaki, E. Shima, A new adaptive estimation method of

spacecraft thermal mathematical model with an ensemble Kalman filter,

Acta Astronautica, 2012, 73, pp. 144–155.

45. D. Stumpel, D. Chalmers, Application of uncertainty philosophy to satellite

thermal design, AIAA-84-1779, 19th Thermophysics Conference, Fluid

Dynamics and Co-located Conferences,1984, https://doi.org/10.2514/6.1984-

1779.

46. J.D. Annan, J.C. Hargreaves, N.R. Edwards, R. Marsh, Parameter estimation

in an intermediate complexity earth system model using an ensemble Kalman

filter, Ocean Modelling, 2005, 8, pp. 135–154.

47. G. Ueno, T. Higuchi, T. Kagimoto, N. Hirose, Application of the ensemble

Kalman filter and smoother to a coupled atmosphereocean model, SOLA,

2007, 3, pp. 5–8.

48. K. Oshima, Y. Oshima, Analytical approach to the thermal design of

spacecraft, Institute of Space and Aeronautical Science of Tokyo, 1968,

Report No. 419.

49. C. Arduini, G. Laneve, S. Folco, Linearized techniques for solving the

inverse problem in the satellite thermal control, Acta Astronautica, 1998, 43,

pp. 473-479.

123

50. J. Gaite, A.S. Andres, I.P. Grande, Nonlinear analysis of a simple model of

temperature evolution in a satellite, Nonlinear Dynamics, 2009, 58, pp. 405-

415.

51. J. Gaite, G.F. Rico, Linear approach to the orbiting spacecraft thermal

problem, Journal of Thermophysics and Heat Transfer, 2012, 26, pp. 511-

522.

52. M.A. Gadalla, Prediction of temperature variation in a rotating spacecraft in

space environment, Applied Thermal Engineering, 2005, 25, pp. 2379-2397.

53. M. Gadalla, E. Wahba, Computational modeling and analysis of thermal

characteristics of a rotating spacecraft subjected to solar radiation, Heat

Transfer - Asian Research, 2011), 40 (7), pp. 655-676.

54. R.C. Booton, The analysis of nonlinear control systems with random inputs.

IRE Trans, Circuit Theory 1, 1954, pp. 32-34.

55. I. E. Kazakov, An approximate method for the statistical investigation for

nonlinear systems, Trudy VVIA im Prof. N. E. Zhukovskogo, 1954, 394, pp.

1-52.

56. T.K. Caughey, Equivalent linearization techniques, Journal of Acoustical

Society of America. , 1963, 35, pp. 1906–1711 (Reference is made to

presentations of the procedure in lectures delivered in 1953 at the California

Institute of Technology).

57. N. Krylov, N. Bogoliubov, Introduction to Nonlinear Mechanics, (trans:

Kiev), Princeton University Press, 1943, Princeton.

58. J.B. Roberts, P.D. Spanos, Random Vibration and Statistical Linearization,

Wiley, 1990, New York.

59. L. Socha, Linearization Methods for Stochastic Dynamic System, Lecture

Notes in Physics, Springer, 2008, Berlin.

60. P.D. Spanos, Stochastic linearization in structural dynamics, Applied

Mechanics Reviews, 1981, 34, pp. 1-8.

61. X.T. Zhang, I. Elishakoff, R.C. Zhang, A stochastic linearization technique

based on minimumm mean-square deviation of potential energies, in:

Stochastic Structural Dynamics, Y.K. Lin and I. Elishakoff, Springer, 1990,

Berlin, pp. 327–338.

62. R.C. Zhang , Work/energy-based stochastic equivalent linearization with

optimized power, Journal of Sound and Vibration, 2000, 230, pp. 468–475.

124

63. L. Socha, Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems: recent

results-part I: theory, ASME Applied Mechanic Reviews, 2005, 58, pp. 178–

205.

64. L. Socha, Linearization in analysis of nonlinear stochastic systems: recent

results-part II: applications, ASME Applied Mechanic Reviews, 2005, 58,

pp. 303-315.

65. C. Proppe, H.J. Pradlwarter, G.I. Schüller, Equivalent linearization and

Monte-Carlo simulation in stochastic dynamics, Probabilistic Engineering

Mechanics, 2003, 18(1), pp 1-15.

66. S.H. Crandall, A half-century of stochastic equivalent linearization,

Structural Control Health Monitoring, 2006, 13, pp. 27-40.

67. N.D. Anh, N.N. Hieu, N. N. Linh, A dual criterion of equivalent

linearization method for nonlinear systems subjected to random excitation,

Acta Mechanica, 2012, 223(3), pp. 645-654.

68. N.D. Anh, V.L. Zakovorotny, N.N. Hieu, D.V. Diep, A dual criterion of

stochastic linearization method for multi-degree-of-freedom systems

subjected to random excitation, Acta Mechanica, 2012, 223(12), pp. 2667-

2684.

69. N. N. Hieu, N. D. Anh, N. Q. Hai, Vibration analysis of beam subjected to

random excitation by the dual of equivalent linearization, Vietnam Journal of

Mechanic, 2016, 33, pp. 49-62.

70. N.D. Anh, N.N. Hieu, P.N. Chung, N.T. Anh, Thermal radiation analysis for

small satellites with single-node model using techniques of equivalent

linearization, Applied Thermal Engineering, 2016, 94, pp. 607-614.

71. J. C. Butcher, Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New

York, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-72335-7, 2008.

72. A. Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential

Equations, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2, 1996.

73. N.D. Anh, L.X. Hung, An improved criterion of Gaussian equivalent

linearization for analysis of nonlinear stochastic systems, Journal of Sound

and Vibration, 2003, 268(1), pp. 177-200.

74. N.D. Anh, Duality in the analysis of respone to nonlinear systems, Vietnam

Journal of Mechanic, 2010, 32, pp. 263-266.

125

75. P.N. Chung, N.N. Hieu, N.D. Anh, D.V. Manh, Extension of dual equivalent

linearization to nonlinear analysis of thermal behavior of a two-node model

for small satellites in Low Earth Orbit, International Journal of Mechanical

Sciences, 2017, 133, pp. 513–523.

76. S.C. Chapra, Applied Numerical Methods with MATLAB for Engineers and

Scientists, McGraw-Hill Higher Education, 2008.

77. A.H. Nayfeh, Perturbation Methods, Wiley-Interscience, 1973.

78. F.G. Tricomi, Differential Equations, Blackie & Sons, ISBN-13:978-0-486-

48819-6, 2012.

79. P.G. Drazin, Nonlinear Systems, Cambridge University Press, 1992,

Cambridge.

80. J. Guckenheimer, P.J. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems,

and Bifurcations of Vector Fields, Springer, ISBN: 978-1-4612-1140-2,

1983.

81. J.R. Tsai, Overview of satellite thermal analytical model, Journal of

Spacecraft and Rockets, 2004, 41, pp. 120-125.

82. ESATAN-TMS Thermal Engineering Manual I, Prepared by ITP Engines

UK Ltd., 2009, Whetstone, Leicester, UK.

83. H.B Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics.

Wiley, New York, 1985

84. Helena E. Nusse, James A. Yorke, Eric J. Kostelich, Dynamics: Numerical

Explorations: Accompanying Computer Program Dynamics, Springer-Verlag

New York, Inc., 1994.

85. I.V.I. Babitsky, V.L. Krupenin, Vibration of Strongly Nonlinear

Dicontinuous Systems, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001.