TRİGONMETRİK FONKSİYONLAR: DİK ÜÇGEN YAKLAŞIMI

Diyelim ki yeryüzünden güneşe olan mesafeyi bulmak istiyoruz. Şerit metre kullanmak

açıkçası pratik değildir. Bu nedenle bu sorunun üstesinden gelmek için basit ölçümlerden

başka bir şeye ihtiyacımız var. Örneğin, güneş, yeryüzü ve ayın oluşturduğu açıyı, yalnızca

bir kolla güneşi, diğeriyle ayı işaret ederek aralarındaki açıyı tahmin ederek bulabiliriz.

Anahtar fikir, açılar ve mesafeler arasındaki ilişkileri bulmaktır. Mesafeleri açılardan

belirlemenin bir yolu olsaydı, güneşe olan mesafeyi orada bulmadan bulabilirdik.

Trigonometrik fonksiyonlar bize ihtiyacımız olan araçları sağlar.

, dik üçgenin bir açısı ise, o zaman trigonometrik oran sin, 'nin karşı tarafının uzunluğu

nun hipotenüsün uzunluğuna bölünmesi olarak tanımlanır. Bu oran, güneş, dünya ve ayın

oluşturduğu büyük üçgen dahil olmak üzere, herhangi bir benzer dik üçgen içinde aynıdır.

(bkz. Bölüm 6.2, Exercise 61.). Trigonometrik fonksiyonlar iki farklı fakat eşdeğer yollarla

tanımlanabilir: gerçek sayıların fonksiyonları (Bölüm 5) veya açıların fonksiyonları (Bölüm

6). İki yaklaşım birbirinden bağımsızdır, bu nedenle Bölüm 5 veya Bölüm 6 ilk önce

incelenebilir. Farklı uygulamalar için farklı yaklaşımlar gerektiğinden burada her iki

yaklaşımı da inceliyoruz

6.1 AÇI HESAPLAMASI

Bir açı AOB, ortak bir tepe noktası O olan iki ışın R1 ve R2'den oluşur (bkz. Şekil 1).

Genellikle, bir açı; R1 ışınının R2 üzerine dönüşü olarak yorumlanır. Bu durumda, R1

başlangıç taraf olarak adlandırılır ve R2 açının terminal (bağlantı tarafı) tarafı olarak

adlandırılır. Eğer dönüş saat yönünün tersine olursa, açı pozitif olarak kabul edilir ve eğer saat

yönünde döndürülürse açı negatif kabul edilir.

Açı Hesaplaması

Bir açının ölçüsü, R1'in R2'ye taşınması için gereken tepe noktasındaki dönme miktarıdır.

Sezgisel olarak açı ne kadar açılır. Açılar için bir ölçü birimi derecedir. 1 derece açı,

başlangıçtaki tarafın tam devirin 1/360'ını döndürerek oluşturulmuştur. Matematik dallarında

açıları ölçmek için kullanılan doğal yöntem radyan ölçüsüdür. Bir açının açtığı miktar,

merkezinin açının tepesindeki yarıçapı 1 olan bir çemberin yay boyunca ölçülür.

RADYAN ÖLÇÜMÜNÜN TANIMI:

Yarıçapı 1 olan çember; merkezindeki bir açının tepe noktasından çizilirse, bu açı radyan

cinsinden ölçümdür ve (kısaltılmış rad) açıyı belirleyen yayın uzunluğu olur. (Bkz. Şekil 2)

Yarıçapı 1 olan çemberin çevresi 2'dir ve tam bir dönüm 2 rad ölçüsüne sahiptir, düz açı

rad ölçüsüne sahiptir ve dik açı / 2 rad ölçüsüne sahiptir. Birim çemberi boyunca 2

uzunluğunda bir yay tarafından kapsanan bir açı radyan ölçüsü 2'ye sahiptir ( Bkz. Şekil 3).

Derece olarak ölçülen tam devir 360 ve radyan cinsinden 2 rad olduğu için, bu iki açı

ölçüm yöntemi arasında aşağıdaki basit ilişkiyi elde ederiz.

DERECE VE RADYAN ARASINDAKI İLİŞKİ

1. Dereceyi radyana dönüştürmek için 𝜋

180 ile çarpılır.

2. Radyanı dereceye dönüştürmek için 180

𝜋 ile çarpılır.

Bir radyanın boyutu hakkında fikir edinmek için,

1 rad = 57.296 ve 1 0.01745 rad

açısının 1 radyan ölçümü Şekil 4'te gösterilmiştir.

ÖRNEK 1: Radyan ve Derece Arasında Dönüştürme

(a) 60 i radyan cinsinden ifade ediniz. (b) 6

rad’ı derece cinsinden ifade ediniz.

ÇÖZÜM:

Terminoloji ile ilgili bir not: Ölçüsü 30 olan bir açı anlamına gelmek için sıklıkla "30 açı"

gibi bir cümle kullanırız.

STANDART POZİSYON AÇILARI

Eğer xy-düzleminde tepe noktası başlangıç noktasında ve başlangıç tarafı pozitif x-ekseni

üzerinde çizilirse, bir açı standart konumdadır. Şekil 5 standart pozisyonlardaki açıları

örneklemektedir.

Standart konumdaki iki açı, kenarları çakışırsa koterminaldir (eş bitim noktasına sahip olan

pozitif açı). Şekil 5’de (a) ve (c) koterminaldir. (Koterminal: Başlangıç ve bitim kenarları

aynı olan açılar).

ÖRNEK 2: Koterminal Açılar

(a) Standart pozisyonda =30 açısı ile koterminal olan açıyı bulunuz.

(b) Standart pozisyonda 3

açısı ile koterminal olan açıyı bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a) ile eş bitim noktasına sahip olan pozitif açıları bulmak için 360'ın herhangi bir katını

ekleriz. Sonuçta,

30 + 360 = 390 ve 30 + 720 = 750

= 30 ile koterminaldir. ile eş bitim noktasına sahip olan negatif açıları bulmak için, 360'ın

herhangi bir katını çıkarırız.

30 - 360 = - 330 ve 30 - 720 = - 690

= 30 ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 6)

ŞEKİL 6

(b) ile koterminal olan pozitif açıları bulmak için, 2'nin herhangi bir katını ekleriz.

Sonuçta,

7

23 3

ve

134

3 3

𝜃 = 𝜋 3⁄ ile koterminaldir. ile koterminal olan negatif açıları bulmak için, 2'nin herhangi

bir katını çıkarırız. Sonuçta,

52

3 3

ve

114

3 3

𝜃 = 𝜋 3⁄ ile koterminaldir. (Bkz. Şekil 7).

ŞEKİL 7

ÖRNEK 3: Eş Bitim Noktasına Sahip Açılar

0 ve 360 derece arasında 1290 ile koterminal olan açıyı bulunuz.

ÇÖZÜM: 360'ı, 1290'den istediğimiz kadar çıkarabiliriz ve elde edilen açı 1290 ile eş

bitim noktasına sahip olacaktır. Sonuçta 1290 - 360 = 930 ve 1290 - 2(360) = 570 gibi.

0 ile 360 arasındaki istediğimiz açıyı bulmak için, 360'ı 1290'dan gerektiği kadar

çıkarıyoruz. Bunu yapmanın etkili bir yolu, 360'nin 1290'e kaç kez girdiğini, yani 1290'i

360'a bölüp, kalanını da aranan açı olarak belirlemektir. Görüldüğü üzere 1290, 360’e

bölündüğünde kalan kısmı 210'dur (Şekil 8).

ŞEKİL 8

ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU

Radyan ölçüsü olan bir açı, bir çemberin çevresinin kesir 𝜃 2𝜋⁄ olan bir yaya karşılık

gelmektedir. Böylece, yarıçapı r olan çemberde, yay uzunluğu s; açısına karşılık

gelmektedir (Şekil 9).

ŞEKİL 9

𝑠 =𝜃

2𝜋∗ ç𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑖𝑛 ç𝑒𝑣𝑟𝑒𝑠𝑖

=𝜃

2𝜋∗ 2𝜋𝑟 = 𝜃𝑟

ÇEMBERSEL YAY UZUNLUĞU

r yarıçaplı bir çemberde yay uzunluğu s, radyan merkez açısına karşılık gelmektedir ve

s = r

için çözüm yapıldığında aşağıdaki önemli formül elde edilir.

𝜃 =𝑠

𝑟

Bu formül herhangi bir yarıçapı r olan bir çemberi kullanılarak radyan ölçüsünü

tanımlamamızı sağlar: açısının radyan ölçüsü s / r dir. Burada s, yarıçapında bir çemberi

içine alan bir dairesel yayın uzunluğudur. (Bkz. Şekil 10).

ŞEKİL 10

ÖRNEK 4: Yay Uzunluğu ve Açı Ölçüsü

(a) Yarıçapı 10 m olan ve merkez açısı 30 olan bir çemberin yay uzunluğunu bulun.

(b) 4 m yarıçaplı bir çember içindeki merkezi bir açı , 6 m uzunluğunda bir yay ile

karşılık gelmektedir. 'nın radyan cinsinden ölçüsünü bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a) Örnek 1(b) den 30 = 𝜋 6⁄ rad dır. Buna göre yayın uzunluğu

𝑠 = 𝑟𝜃 = (10)𝜋

6=

5𝜋

3𝑚

(b) s r formülünden

6 3

4 2

s

r rad.

Daire Diliminin Alanı

r yarıçaplı dairenin alanı A = r2 dir. Merkezi açısı olan dairenin bir diliminin alanı, tüm

dairenin alanının / 2 kesiri olan alana sahiptir.

2 2

dairenin alanı2

1 =

2 2

A

r r

DAİRE DİLİMİNİN ALANI

Yarıçapı r olan dairenin, merkezi açısı radyan olan bir diliminin alanı

21

2A r

ÖRNEK 5: Daire Diliminin Alanı

Dairenin yarıçapı 3 m ise, merkez açısı 60 olan bir dairenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM:

Daire diliminin alanı formülünü kullanabilmek için radyan cinsinden dilimin merkez açısını

bulmalıyız: 60 60 180 3rad rad . Sonuç olarak, daire diliminin alanı

22 21 1 3

32 2 3 2

A r m

NOT: 21

2A r formülünün geçerli olabilmesi için açısının radyan cinsinden olması

gerekmektedir.

Dairesel Hareket

Bir noktanın Şekil 12'de gösterildiği gibi bir daire boyunca hareket ettiğini varsayalım.

Noktanın hareketini tanımlamanın iki yolu vardır: doğrusal hız ve açısal hız. Doğrusal hız,

seyahat mesafesinin değişme oranıdır, bu nedenle doğrusal hız, geçen mesafenin geçen

zamana bölümüdür. Açısal hız, merkez açısı ’nın değiştiği hızıdır, bu nedenle açısal hız, bu

açı değiştikçe geçen sürenin bölünmesiyle elde edilen radyan sayısıdır.

ŞEKİL 12

DOĞRUSAL HIZ VE AÇISAL HIZ

Bir noktanın yarıçapı r olan bir daire boyunca hareket ettiğini ve dairenin merkezinden

noktaya kadar olan ışın t zamanında radyanları geçtiğini varsayalım. Zamanın t noktasında

noktanın hareket ettiği mesafe s = r olsun. Ardından cismin hızı,

Açısal Hız r

Doğrusal Hız s

vt

; Yunaca “omega” harfidir.

ÖRNEK: Doğrusal ve Açısal Hızın Bulunması

Bir çocuk, her 10 saniyede 15 devir oranında, 3 fit uzunluğunda bir askıda bir taşı

döndürmektedir. Taşın açısal ve doğrusal hızlarını bulunuz.

ÇÖZÜM:

10 saniye içinde, açısı 15 x 2 = 30 radyan ile değişir. Yani taşın açısal hızı

30

3 10

radrad s

r s

Taşın 10 saniye içinde seyahat ettiği mesafe 15 2 15 2 3 90s r ft.

Böylece taşın doğrusal hızı:

90 ft

90 10 s

sv ft s

t

Açısal hızın daire yarıçapına değil, yalnıza açısına bağlı olduğuna dikkat ediniz. Bununla

birlikte, açısal hız ve yarıçapı r’i biliyorsak, doğrusal hızı aşağıdaki gibi bulabiliriz:

s rv r r

t t t

DOĞRUDAL VE AÇISAL HIZ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Bir nokta yarıçapı r olan dairede açısal hız ile hareket ediyor ise, doğrusal hızı v şu şekilde

verilir:

v r

ÖRNEK 7: Doğrusal Hızın Açısal Hız ile Bulunması

Bir kadın, tekerlekleri 26 inç çapında olan bir bisiklet sürüyor. Tekerlekler dakika başına 125

devirde (dev / dak) dönerse, seyahat ettiği hızı mil / saat olarak bulun.

ÇÖZÜM: Tekerleklerin açısal hızı 2 125 250 rad min Tekerleklerin yarıçapı 13 inç

olduğu için (çapın yarısı); doğrusal hız:

13 250 10 210 2 v r , . in. min

Ayak başına 12 inç, mil başına 5280 feet ve saatte 60 dakika olduğundan, saatte mil hızı;

10 210 2 60 612 612 9 7

12 5280 63 360

, . in. min min h , in . h. mi h

in. fit ft mi , in . mi

6.2 DİK ÜÇGENLERİN TRİGONOMETRİSİ

Trigonometrik Oranlar, Özel Üçgenler, Dik Üçgenlerin Trigonometrilerinin

Uygulamaları

Bu bölümde, dik üçgenlerin kenarlarının trigonometrik oranlar olarak adlandırılan belirli

oranlarını incelenecek ve çeşitli uygulamaları yapılacaktır.

Trigonometrik Oranlar

Dar açılarından biri olan dik üçgeni düşünün. Trigonometrik oranlar aşağıdaki gibi

tanımlanmıştır (bkz. Şekil 1)

TRİGONOMETRİK ORANLAR

karşısin

hipotenüs

komşucos

hipotenüs

karşıtan

komşu

hipotenüscsc

karşı

hipotenüssec

komşu

komşucot

karşı

Bu oranlar için kullandığımız kısaltmaların tam adları: sinüs, kosinüs, tanjant, kosekant,

sekant, kotanjant’dır. açısına sahip herhangi bir iki dik üçgen benzer olduğu için, bu oranlar

üçgenin boyutuna bakılmaksızın aynıdır; trigonometrik oranlar sadece açısına bağlıdır (bkz

Şekil 2).

Şekil-2

Hipotenüs

Karşı

Komşu

ŞEKİL 1

ÖRNEK 1: Trigonometrik Oranların Bulunması

Şekil 3'teki açısının altı trigonometrik oranları bulunuz.

ÇÖZÜM:

2

3sin

5

3cos

2

5tan

3

2csc

3

2sec

5

2cot

ÖRNEK 2: Trigonometrik Oranların Bulunması

3

4cos ise dar açı ’a sahip dik üçgeni çiziniz ve için geri kalan 5 trigonometrik oranı

bulunuz.

ÇÖZÜM:

cos , komşu kenarın hipotenüse oranı olarak tanımlandığından

dolayı, hipotenüsün uzunluğu 4 ve komşu kenarın uzunluğu 3 olan bir

dik üçgen çizebiliriz.

7

4sin

3

4cos

7

3tan

4

7csc

4

3sec

3

7cot

Özel Üçgenler

Bazı dik üçgenler, Pisagor teoreminden kolayca hesaplanabilen oranlara sahiptir. Sıkça

kullanıldığından bu kısımda bahsedilecektir.

İlk üçgen, kare içerisinde 1 nolu tarafta köşegenden çizilerek elde edilir. (bkz Şekil 5).

Pisagor teoremine göre köşegen uzunluğu 2 dir. Ortaya çıkan üçgen 45, 45 ve 90

açılarına sahiptir (ya da 4 , 4 ve 2 ). Şekil 6’daki gibi ikinci üçgeni elde etmek için, 2

kenar uzunluğuna sahip ABC eşkenar üçgeninin tabanına dik açıortay DB çizebiliriz. Pisagor

teoremine göre DB kenarının uzunluğu 3 dür. ABC üçgeninin DB açıortayı olduğu için

30, 60 ve 90 açılarına sahip üçgeni elde ederiz (ya da 6 , 3 ve 2 ).

Şimdi Şekil 5 ve 6'daki özel üçgenleri 30, 45 ve 60 ölçülerindeki açılar için trigonometrik

oranları hesaplamak için kullanabiliriz (yada 6 , 4 ve 3 ). Tabloda listelenmiştir.

Bu özel trigonometrik oranlar sık kullanıldığı için bilinmesinde fayda vardır. Tabii ki, elde

edildiği üçgenleri hatırlarsak, daha kolayca hatırlanabilirler. Diğer açılar için trigonometrik

oranların değerlerini bulmak için bir hesap makinesi kullanılabilir. Trigonometrik oranlarda

kullanılan matematiksel yöntemler (sayısal yöntemler) doğrudan bilimsel hesap

makinelerinde hesaplanabilir. Örneğin, SIN tuşuna basıldığında, hesap makinesi verilen

açının sinüs değerine yakın bir değer hesaplar. Hesap makineleri sinüs, kosinüs ve tanjant

değerlerini verir; diğer oranlar aşağıdaki çarpamaya göre ters ilişkileri kullanarak bunlardan

kolaylıkla hesaplanabilir:

Bu ilişkilerin trigonometrik oranların tanımından gelip gelmediğini hemen kontrol

etmelisiniz.

sin t yazdığımızda, radyan ölçüsü t olan açının sinüsünü ifade etmektedir. Örneğin,

sin1, radyan ölçüsü 1 olan açının sinüsü anlamına gelir. Bu sayının yaklaşık değerini bulmak

için hesap makinesi kullanırken, hesap makinesi radyan moduna ayarlanır.

sin1 0.841471

Ölçüsü 1 olan açının sinüsünü bulmak istersek, hesap makinesi derece moduna ayarlanır.

sin1 0.0174524

Dik Üçgenlerin Trigonometriye Uygulamaları

Üçgen altı parçaya sahiptir: üç açı ve üç yüzlü. Bir üçgeni çözmek demek, üçgen hakkında

bilinen bilgilerin hepsini belirlemek demektir; bir başka ifadeyle, üç tarafın uzunluklarını ve

üç açının ölçülerini belirlemektir.

ÖRNEK 3: Dik Üçgenin Çözümü

Şekil 7'de gösterilen ABC üçgeni için a ve b değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM: Görüldüğü üzere geriye kalan açı 60 dir. a'yı bulmak için, a'yı önceden bildiğimiz

uzunluklar ve açılara ilişkilendiren bir denklik ararız.

ŞEKİL 7

sin 30 12a olduğu bilindiğine göre

1

12sin 30 12 62

a

Benzer şekilde, cos30 12b olduğu bilindiğine göre

3

12cos30 12 6 32

b

Şekil 8 dik üçgende hipotenüs r ve dar açı bilgisini biliyorsak; a ve b uzunlukları

sina r cosb r

ŞEKİL 8

Trigonometrik oranları kullanarak dik üçgenleri çözebilme özelliği, navigasyon,

araştırma, astronomi ve mesafelerin ölçülmesindeki birçok problemin temelinde yer

almaktadır. Bu bölümde yapılan uygulamalar daima dik üçgenleri içermektedir, ancak sonraki

üç bölümde görebileceğimiz gibi, trigonometri dik üçgen olmayan üçgenlerin çözümünde de

faydalıdır.

Bir sonraki örneği tartışmak için bazı terminolojiye ihtiyacımız var. Bir gözlemci bir

nesneye bakıyorsa, o zaman gözlemcinin gözünden nesneye doğru olan çizgiye “görüş hattı”

denir (Bkz. Şekil 9). Gözlemlenen nesne yatayın üstündeyse, görüş hattıyla yatay arasındaki

açıya “yükseliş açısı” denir. Nesne yataydan aşağıda ise, görüş hattı ile yatay arasındaki

açıya, “alçalış açısı” denir. Bu bölümdeki örnek ve alıştırmalardan birçoğunda, zemin

seviyesinde varsayımsal bir gözlemci için yükseliş ve alçalış açısı verilecektir. Görüş hattı,

eğimli bir düzlem veya bir yamaca benzer fiziksel bir nesneyi izliyorsa, “eğim açısı” terimini

kullanırız.

Bir sonraki örnek trigonometrinin ölçüm sorununun önemli bir uygulamasıdır: Uzun bir

ağacın yüksekliğini tırmanmak zorunda kalmadan ölçüyoruz! Örnek basit olmasına rağmen

sonuç, trigonometrik oranların bu tür problemlere nasıl uygulandığını anlamada temel önem

taşır.

ÖRNEK 4: Ağacın Yüksekliğinin Bulunması

Dev bir çınar ağacı 532 ft uzunluğunda bir gölge oluşturuyor. Güneşin yükseliş açısı 25.7 ise

ağacın yüksekliğini bulun.

ÇÖZÜM: Ağacın yüksekliği h olsun. Şekil 10'dan şunu görüyoruz:

tan 25.7532

h Tanjantın tanımından

532 tan 25.7h 532 ile çarp

532 0.48127 256h Hesap makinesi kullan

Sonuç olarak, ağacın yüksekliği yaklaşık 256 ft'dir.

ŞEKİL 10

ÖRNEK 5: Dik Üçgenli bir Problem

Bir binanın tabanından 500 fit uzaktaki bir noktadan bir gözlemci, binanın en üstünün

yükseliş açısının 24 olduğunu ve binanın üzerindeki bir bayrak direğinin tepesinin yükseliş

açısının 27 olduğunu bulmuştur. Binanın yüksekliğini ve bayrak direğinin uzunluğunu bulun.

ÇÖZÜM: Şekil 11, durumu göstermektedir. Binanın yüksekliği, Örnek 4'te ağacın

yüksekliğini bulduğumuz şekilde bulunur.

ŞEKİL 11

tan 24500

h Tanjantın tanımından

500 tan 24h 500 ile çarp

500 0.4452 223h Hesap makinesi kullan

Binanın yüksekliği yaklaşık olarak 223 ft dir.

Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için önce yerden direğe kadar olan yüksekliği bulalım.

tan 27500

k

500 tan 27h

500 0.5095 255h

Bayrak direğinin uzunluğunu bulmak için, h'yi k'den çıkarıyoruz. Sonuç olarak bayrak

direğinin uzunluğu yaklaşık olarak 255 – 223 = 32 ft dir.

6.3 AÇILARIN TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI

Açıların Trigonometrik Fonksiyonları, Herhangi Bir Açıda Trigonometrik

Fonksiyonların Değerlendirilmesi, Trigonometrik Belirleyiciler, Üçgen Alanları

Önceki bölümde, dar açılar için trigonometrik oranlar tanımlandı. Bu kısımda tüm açılar için

trigonometrik oranları açılardaki trigonometrik fonksiyonları tanımlayarak genişletilecektir.

Bu fonksiyonlarla mutlaka dar açı olması gerekmeden pratik problemler de çözülebilecektir.

Açıların Trigonmetrik Fonksiyonu

POQ, dar açılı dik üçgen olmak üzere Şekil 1(a)’da gösterilmektedir. ’nın standart

pozisyondaki konumu Şekil 1(b)’de gösterilmektedir.

ŞEKİL 1

P = P (x, y); ’nın uç noktasıdır. POQ üçgeninde karşı kenarın uzunluğu y ve komşu kenarın

uzunluğu x’dir. Pisagor Teoremimini kullanarak hipotenüsün değerinin r x y 2 2 dir.

Sonuç olarak;

y

sinr

x

cosr

y

tanx

Diğer trigonometrik fonksiyonlar için benzer şekilde hesaplanabilmektedir. Açıların

trigonometrik fonksiyonlarını aşağıdaki gibi tanımlıyoruz (Bkz. Şekil 2).

ŞEKİL 2

Hipotenüs Karşı

komşu

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN TANIMI

standart pozisyonda bir açı ve P(x,y) uç kenarda nokta olmak üzere, eğer r x y 2 2

orijinden P(x,y) noktası arasındaki uzaklık ise

ysin

r

xcos

r

ytan , x

x 0

r

csc , yy

0 r

sec , xx

0 x

cot , yy

0

0'a bölme tanımlanmamış bir işlem olduğundan belirli trigonometrik fonksiyonlar

belirli açılar için tanımlanmamıştır. Örneğin tan y x90 x = 0 olduğu için tanımsızdır.

Trigonometrik fonksiyonların tanımlanamayacağı açılar, 0 açısının uç nokta tarafındaki bir

noktanın x veya y koordinatının 0 olduğu açılardır. Bunlar kadran (çeyrek) açılardır;

koordinat eksenleri ile sınırları olan açılardır.

Önemli nokta; trigonometrik fonksiyonların değerlerinin P(x,y) noktasının seçimine

bağlı olmadığıdır. Bunun nedeni eğer P x ,y Şekil ^’deki gibi uç nokta üzerinde başka bir

nokta ise POQ ve P’OQ’ üçgenleri benzerdir.

Trigonometrik Fonksiyonların Herhangi Bir Açıyla Değerlendirilmesi

Tanım gereği, açısı I. Bölgenin ’in uç tarafında ise bütün trigonometrik fonksiyonların

değerlerinin hepsinin pozitif olduğunu görülmektedir. [ r her zaman pozitiftir çünkü başlangıç

noktasından P(x,y) noktasına olan uzaklıktır.] ’nın uç kenarı II. Bölgede ise x negatif ya

pozitiftir. Sonuç olarak sin ve csc pozitif, diğer trigonometrik fonksiyonlar negatif

değerlere sahiptir. Aşağıdaki tabloda diğer bilgileri kontrol edebilirsiniz.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İŞARETLERİ

Bölge Pozitif Fonksiyonlar Negatif Fonksiyonlar

I Hepsi Hiçbiri

II sin,csc cos, sec, tan, cot

III tan, cot sin, csc, cos, sec

**********Gerçel Sayıların Trigonometrik Fonksiyonlar ile İlişkisi******

Birim çemberini kullanarak tanımlanmış trigonometrik fonksiyonlar daha önce incelemişti

(Bölüm 5). Bir açının trigonometrik fonksiyonlarıyla nasıl ilişkili olduklarını görmek için,

koordinat düzlemindeki birim çember ile başlayalım.

P(x,y) birim çemberde uzunluğu t olan bir yay tarafından belirlenen uç nokta olsun. Sonra t,

çemberin merkezinde bir açısının karşısına yer almaktadır. P noktasından x ekseni üzerinde

Q noktasına dikey çizgi çizersek, OPQ üçgeninin şekli gösterildiği gibi uzunlukları x ve y

olan bir dik üçgen çizilir.

Şimdi, gerçek sayı t'nin trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre;

sin

cos

t y

t x

açısının trigonometrik fonksiyonlarının tanımına göre;

sin1

cos1

komşu yy

hipotenüs

karşı xx

hipotenüs

Eğer radyan cinsinden ölçülürse = t olur. (Aşağıdaki şekle bakınız.) Trigonometrik

fonksiyonları tanımlamanın iki yolunu karşılaştırdığımızda, bunların aynı olduğunu görürüz.

Başka bir deyişle, fonksiyonlar olarak, verilen bir reel sayıya özdeş değerler atarlar. (Gerçel

sayı bir durumda 'nin radyan ölçüsüdür ya da diğerinin yay uzunluğu t'dir.)

Neden trigonometriyi iki farklı yoldan inceliyoruz? Çünkü farklı uygulamalar trigonometrik

fonksiyonları farklı şekilde görmemizi gerektirir.

ÖRNEK 1: Açıların Trigonometrik Fonksiyonlarını Bulma

(a) cos 135 (b) tan 390 değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜM:

(a) Şekil 4’den cos 135 = -x / r dir. Fakat cos 45 = x / r ve cos 45 = √2 2⁄ ise

2

cos1352

(b) 390 ve 30 açılar koterminal (eş bitim noktasına sahip açılar) olduklarından Şekil’den

görüldüğü üzere tan 390 tan 30 dir ve tan 30 3 2 ise

3tan 390

3

Örnek 1'den, dar olmayan açılardaki trigonometrik fonksiyonların dar bir açıya karşılık gelen

trigonometrik fonksiyonlarla aynı değere (işaretleri hariç) sahip olduğunu görüyoruz. Bu dar

açıya referans açısı denir.

REFERANS AÇI

standart konumda bir açı olsun. ile ilişkili referans açısı , 'nin uç tarafı ve x-ekseni

tarafından oluşturulan dar açıdır.

Şekil 6, bir referans açı ı bulmak için, açısının uç tarafının bulunduğu bölgenin bilinmesi

faydalı olduğunu göstermektedir.

ŞEKİL 6: açısı için referans açı

ÖRNEK 2: REFERANS AÇININ BULUNMASI

Verilen açıları için referans açılarını bulunuz.

(a) 5

3

(b) 870

ÇÖZÜM:

(a) Referans açısı, 5 3 açısının uç tarafı ve x-ekseni tarafından oluşturulan dar açıdır.

(Bkz. Şekil7). Bu açının uç tarafı IV. bölgede olduğu için, referans açısı

5

23 3

(b) 870 ve 150 koterminaldir ( çünkü 870 – 2(360) = 150). Sonuç olarak bu açının uç

tarafı II. Bölgede olduğu için

180 150 30

VERİLEN BİR AÇI İÇİN TRİGONOMETRİK FONKSİYONUN DEĞERİNİNİ

HESAPLANMASI

Herhangi bir açısı için trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için aşağıdaki

adımları gerçekleştiririz.

1. açısı ile ilişkili bulunur.

2. 'nin trigonometrik fonksiyonunun işaretini, nin bulunduğu bölgeye göre belirleyin.

3. 'nin trigonometrik fonksiyonunun değeri, işaretin haricinde 'nin trigonometrik

fonksiyonunun değeri olarak aynıdır.

ÖRNEK 3: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin

Bulunması

Verilen açıların değerlerini hesaplayınız.

(a) sin 240 ve (b) cot 495

ÇÖZÜM:

(a) Bu açı uç tarafını Şekil 9'da gösterildiği gibi III Bölgededir. Referans açısı bu nedenle

240- 180 = 60'dır ve sin 240'un değeri negatiftir. Böylece

(b) 495° , 135° ile koterminaldir. Bu açının uç tarafı Şekil 10’da gösterildiği gibi II.

bölgededir. Sonuç olarak referans açı 180 - 135 = 45 ve cot 495 nin değeri

ÖRNEK 4: Referans Açıtı Kullanarak Trigonometrik Fonksiyonların Değerinin

Bulunması

Verilen açıların değerlerini hesaplayınız.

(a) 16

sin3

ve (b) sec

4

ÇÖZÜM:

(a) 16 3 açısı 4 3 açısı ile koterminaldir ve bu açılar III. bölgede yer almaktadır. (Bkz.

Şekil 11). Sonuç olarak referans açı 4 3 3 dir. sin fonksiyonu III.bölgede

negatif işarete sahip olduğu için

(b) 4 açısı IV.bölgededir ve referans açısı 4 dir. (Bkz. Şekil 12). Bu bölgede sekant

fonksiyonu pozitif olduğu için

Açıların trigonometrik fonksiyonları, trigonometrik özdeşlikler olarak adlandırılan

birkaç önemli denklem aracılığıyla birbirleriyle ilişkilidir. Ters özdeşlikler ile önceden

çalışılmıştı. Bu özdeşlikler herhangi bir açıyla için denklemin her iki tarafında tanımlıdır.

Pisagor özdeşlikleri Pisagor teoreminin bir sonucudur.

İSPAT: İlk Pisagor özdeşliğini ispatlayalım. Şekil 13’deki 2 2 2x y r (Pisagor teoremi)

kullanarak

2 2 2 22 2

2sin cos 1

y x x y

r r r

Sonuç olarak 2 2sin cos 1 dir. (Her ne kadar şekilde dar açı gösterilse de, bütün

açıları için ispatın geçerli olup olmadığını kontrol etmelisiniz).

ÖRNEK 5: Bir Trigonometrik Fonksiyonların Bir Diğeri Tarafından İfade Edilmesi

(a) sin ’ı cos ile ifade ediniz.

(b) açısı II.bölgede ise tan ’ı sin ile ifade ediniz.

ÇÖZÜM:

(a) İlk Pisagor özdeşliğini kullanarak

2sin 1 cos

Sonucun işareti bulunduğu bölgeye bağlıdır. Eğer açısı I. yada II. bölgede ise sin ’nın

işareti pozitiftir ve

2sin 1 cos

Eğer açısı III. yada IV. bölgede ise sin ’nın işareti negatiftir ve

2sin 1 cos

(b) tan sin cos olduğu için cos ’ı sin ile ifade etmeliyiz.

2cos 1 sin

II.bölgede cos negatif olduğu için,

2cos 1 sin

2

sin sintan

cos 1 sin

ÖRNEK 6: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması

Eğer tan 2 3 ve III.bölgede ise cos bulunuz.

ÇÖZÜM 1: tan ’nın cos ile ifadesine ihtiyacımız var. 2 2tan 1 sec özdeşliğinden

2sec tan 1 . III.bölgede sec negatif olduğu için;

2sec tan 1

Sonuç olarak,

2

2

1 1cos

sec tan 1

1 1 3 =

13 1321 93

ÇÖZÜM 2: Bu sorun, Bölüm 6.2'deki Örnek 2'nin yöntemi kullanılarak daha kolay

çözülebilir. İşaretin haricinde, herhangi bir açının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri dar

açıdan (referans açısı) olanlarla aynı olduğunu hatırlayın. Dolayısıyla, bir anlığına işareti

görmezden gelelim, dar açı ile tan 2 3 ü sağlayan bir dik üçgeni çizelim. (Bkz. Şekil

14). Pisagor teoremi ile bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğu 13 olacaktır. Şekil 14’deki

üçgenden cos 3 13 olduğunu hemen fark edebiliriz. III.bölgede negatif olduğu için

3

cos13

ÖRNEK 7: Trigonometrik Fonksiyonun Hesaplanması

Eğer sec 2 ve IV.bölgede ise diğer beş trigonometrik fonksiyonu hesaplayınız

ÇÖZÜM: sec 2 ile Şekil 15’deki gibi bir dik üçgen çizebiliriz. ’nın IV:bölgede

olduğuna dikkat ederek,

3sin

2

1cos

2 tan 3

2csc

3 sec 2

1cot

3

Bu bölümü, trigonometrik fonksiyonların bir uygulamasıyla sonuçlandırıyoruz. Uygulamada

dar açı olması gerekmemektedir.

Üçgenin alanı A; 1 2A taban yükseklik olarak hesaplanır. Eğer iki kenarı ve

aradaki bir açısını biliyorsak, trigonometrik fonksiyonları kullanarak yüksekliği bulabiliriz ve

bundan da alanı bulabiliriz.

Eğer dar açısı ise; Şekil 16(a) daki gibi üçgenin yüksekliği sinh b dır. Alan

1 1

sin2 2

A taban yükseklik ab

ŞEKİL 16

Eğer dar açısı değilse; Şekil 16(b) de görüldüğü üzere üçgenin yüksekliği

sin 180 sinh b b

Bunun nedeni, 'nin referans açısının 180° - açısı olmasıdır. Buna göre üçgenin alanı;

1 1

sin2 2

A taban yükseklik ab

ÜÇGENİN ALANI

Üçgenin alanı A a ve b kenarları ile açısı ile

1sin

2A ab

ÖRNEK 8: Üçgenin Alanını Bulmak

Şekil 17’deki üçgenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM: Verilen üçgende 10 cm ve 3 cm olan kenarların arasındaki açı 120dir. Buna göre

2

1sin

2

1 10 3 sin120

2

=15sin 60

3 15 13

2

A ab

cm

Ters Sinüs, Ters Kosinüs ve Ters Tanjant Fonksiyonları; Dik Üçgenlerde Açıların

Çözümü; Ters Trigonometrik Fonksiyonları İçeren İfadelerin Değerlendirilmesi

Bir fonksiyonun tersi olabilmesi için bire bir olması gerekmektedir. Trigonometrik

fonksiyonlar birebir olmadıklarından tersleri yoktur. Dolayısıyla trigonometrik fonksiyonların

her birinin tanımlı oldukları alanları, tüm değerlerine ulaştığı ve bire bir oldukları aralıklarla

kısıtlamak gerekmektedir. Ortaya çıkan fonksiyonlar, orijinal fonksiyonlar ile aynı aralığa

sahiptir, ancak bire birdir.

Önce sinüs fonksiyonunu değerlendirelim. Sinüs fonksiyonunun tanım aralığını açısı için

[−𝜋/2 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2] sınırlandırırız. Şekil 1’den görüldüğü üzere sinüs fonksiyonu

tanımlandığı bu aralıkta [−1, 1] aralığına değerler almaktadır ve birebirdir. Benzer şekilde,

Şekil 1'de gösterildiği gibi kosinüs ve tanjantın tanım aralıkları kısıtlanmaktadır.

Bu sınırlı tanım aralığında her bir trigonometrik fonksiyon için bir ters fonksiyon

tanımlayabiliriz. Ters fonksiyonun tanımı gereğince

Aşağıdaki kutuda, ters trigonometrik fonksiyonların tanım aralıkları ve görüntü kümeleri

özetlenmektedir.

TERS SİNÜS, TERS KOSİNÜS VE TERS TANJANT FONKSİYONU

Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının sınırlı tanım aralıkları sırasıyla [−𝜋/2, 𝜋/2], [0, 𝜋],

ve (−𝜋/2, 𝜋/2) dür. Bu aralıklarda birebirdirler ve o yüzden ters fonksiyonları vardır. Ters

fonksiyonlarını tanım aralıkları ve görüntü kümeleri aşağıdaki gibidir.

Fonksiyon Tanım Aralığı Görüntü Kümesi

sin−1 [−1,1] [−𝜋/2, 𝜋/2]

cos−1 [−1,1] [0, 𝜋]

tan−1 ℝ (−𝜋/2, 𝜋/2)

sin−1 , cos−1, tan−1 fonksiyonları sırasıyla arcsin, arccos ve arctan olarak gösterilir.

Bunlar ters fonksiyonlar oldukları için orijinal fonksiyonun kuralını tersine çevirirler. Örneğin

𝑠𝑖𝑛 𝜋 6⁄ =1

2 ise sin−1 (

1

2) = 𝜋 6⁄ dır.

ÖRNEK 1: TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN HESAPLANMASI

Kesin değerlerini bulunuz.

(a) 1 3

sin2

(b)

1 1cos

2

(c) 1tan 1

ÇÖZÜM:

(a) Açı aralığı 2, 2 ve sin 3 2 değerine 3 de almaktadır. Sonuç olarak,

1sin 3 2 3 olacaktır.

(b) Açı aralığı 0, ve cos 1 2 değerine 2 3 de almaktadır. Sonuç olarak,

1cos 1 2 2 3 olacaktır.

(c) Açı aralığı 2, 2 ve tan 1 değerine 4 de almaktadır. Sonuç olarak,

1tan 1 4 olacaktır.

ÖRNEK 2: TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN HESAPLANMASI

Yaklaşık değerlerini bulunuz.

(a) 1sin 0.71 (b) 1tan 2

(c) 1cos 2

ÇÖZÜM: Bu değerleri yaklaşık olarak hesaplamak için bir hesap makinesi kullanıyoruz.

(a) Yaklaşık değerler hesap makinelerinde 𝑆𝐼𝑁 −1 veya 𝐼𝑁𝑉 𝑆𝐼𝑁 veya 𝐴𝑅𝐶 𝑆𝐼𝑁

tuşları kullanılarak (radyan modda hesap makinesi ile) hesap edilir.

(b) Yaklaşık değerler hesap makinelerinde 𝑇𝐴𝑁 −1 veya 𝐼𝑁𝑉 𝑇𝐴𝑁 veya 𝐴𝑅𝐶 𝑇𝐴𝑁

tuşları kullanılarak (radyan modda hesap makinesi ile) hesap edilir.

(c) 2 > 1 olduğu için cos-1 in tanım aralığında olmadığı için 1cos 2tanımlı değildir.

Bölüm 6.2'de bilinmeyen kenarları bulmak için trigonometrik fonksiyonları kullanarak

üçgenleri çözdük. Şimdi dik üçgenin açılarını çözmek için ters trigonometrik fonksiyonları

kullanıcağız.

ÖRNEK 3: Dik Üçgende Açıların Bulunması

Şekil 2’de verilen üçgen için açısını bulunuz.

ÇÖZÜM: açısı uzunluğu 10 olan kenarın karşısında olduğu ve hipotenüsün uzunluğu da

50 olduğu için

10 1

sin50 5

sinkarşı

hipotenüs

’ı bulmak için 1sinkullanılırsa;

ÖRNEK 4: Dik Üçgende Açıların Bulunması

40 fit merdiven bir binaya yaslanmış durumdadır. Merdivenin tabanı binanın tabanından 6 fit

uzaklıkta ise, merdiven ve binanın oluşturduğu açı nedir?

ÇÖZÜM: İlk önce, Şekil 3'deki gibi bir diyagram çizelim. Merdiven ile bina arasındaki açı

ise

6

sin 0.1540

’ı bulmak için 1sinkullanılırsa

ÖRNEK 5: Işık Işının Açısı

Bir deniz feneri, düz bir kıyı şeridinden 2 mi uzaktaki bir adada bulunmaktadır (Şekil 4'e

bakınız). Işık demetinin oluşturduğu açıyı ve kıyı çizgisini şekil içindeki mesafe d cinsinden

ifade edin.

Bölüm 6.5'te, herhangi bir üçgenin (mutlaka dik bir üçgen olması gerekmeden) nasıl

çözüleceğini öğreneceğiz. Bir üçgenin açısı daima 0, aralığında (veya 0° ile 180°

arasında) bulunur. Bu üçgenleri çözmek için 0, aralığında belirli bir sinüs veya kosinüs

değerleri tanımlı olan tüm açıları bulmamız gerektiğini göreceğiz. Bunu bir sonraki örnekte

yapacağız.

ÖRNEK 6: Verilen Aralıkta Temel Trigonometrik Fonksiyonların Çözümü

Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan 0° ile 180° arasındaki açısını bulunuz.

(a) sin 0.4 (b) cos 0.4

ÇÖZÜM: 1sinfonksiyonunu kullanarak 2, 2 aralığındaki değerlerini bulabiliriz.

Diğer bir çözüm yöntemi 0° ile 180° arasında için tamlayan açısısı alınarak elde edilir:

180 - 23.6 = 156.4. (Bkz. Şekil 5).

0° ile 180° arasında için çözüm:

(b) 0, aralığına kosinüs fonksiyonu birebir olduğu için 0° ile 180° arasında için tek

bir çözüm vardır. Her iki tarafın 1cos alınarak

1cos sin xbenzeri ifadeler matematikte yer almaktadır. Bu benzeri ifadelerin kesin

değerlerini bulmak için trigonometrik özdeşlikler ya da dik üçgenler kullanılmaktadır.

1 3cos sin

5

değerinin bulunuz.

ÇÖZÜM 1: 1 3

sin5

olsun. 2, 2 aralığında bir sayı olmak üzere sinüs 35

dir.

’ı bir açı olarak yorumlayalım ve dar açı olarak için karşı kenarı 3 ve hipotenüsü 5 olan

dik üçgen çizelim (bkz. Şekil 6). Üçgenin kalan kenarı Pisagor Teoremi tarafından 4 olarak

bulunur. Şekilden görüldüğü üzere

ÇÖZÜM 2: 1 3sin sin

5

kolayca bulunabilir. Aslında, ters fonksiyonların kısaltma

özelliklerine göre, bu değer tam olarak 35

dir. 1 3cos sin

5

bulabilmek için kosinüs

fonksiyonunu sinüs fonksiyonu ile ifade edebiliriz. 1 3u sin

5 olsun. 2, 2

aralığında kosinüs pozitif olduğu için aşağıdaki gibi yazabiliriz:

1sin cos x ve 1tan cos x

x’in cebirsel ifadesi olarak 1 1 x için yazınız.

ÇÖZÜM 1: 1cos x olsun. cos x olur. Şekil 7’de dar açısı ile karşı kenar uzunluğu

x ve hipotenüs 1 olarak çizebiliriz. Pisagor teoremi gereği geri kalan kenar uzunluğu 21 x

dır. Şekilden görüldüğü üzere

ÇÖZÜM2: 1u cos x olsun. sinu ve tan u değerlerini x cinsinden bulmamız gerekmektedir.

Örnek 5 de olduğu gibi sinüs ve tanjantı kosinüs cinsinden yazmalıyız. 1u cos x olduğu için

0 u olduğuna dikkat edilmelidir.

1u cos x olduğu için doğru işareti seçmek için u’nun 0, aralığında olduğuna dikkat

edilmelidir. sinu bu aralıkta pozitif olduğu için + işareti doğru bir seçimdir. 1u cos x yerine

koyup ve 1cos cos x yok etme yöntemini kullanarak