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TRASLACIONES Y ROTACIONES EN R2
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA - ENERGÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA MECÁNICA
MATEMÁTICA BÁSICA:
TRASLACIONES Y ROTACIONES EN R2
ROGELIO EFREN CERNA REYES
RESOLUCIÓN DECANAL Nº 122-2013-D-FIME
SEMESTRE 2013-A
CALLAO-PERU
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 2
PREFACIO
n los espacios vectoriales reales n-dimensionales se puede presentar
diversas transformaciones de coordenadas, ya sea como traslación, rotacion
o ambas.
En estas dos ultimas decadas el enfoque vectorial es el preferido por los
estudiantes de ingeniería, por una razón simple, los temas de los cursos de
ingenieria requieren de una interpretación conceptual y gráfica en la forma
vectorial.
Lo cual, es motivo mas que suficiente, para presentar las transformaciones de
coordenadas en el espacio bidimensional de manera grafica y conceptual como
segundo tema a desarrollar en el curso de Matemática Básica en Ingenieria.
A continuación se tiene la presentación de las traslaciones y rotaciones de las
coordenadas y las traslaciones y rotaciones de los ejes coordenados en el espacio
vectorial real bidimensional
Este segundo trabajo queda ha vuestra disposición, especialmente de los
estudiantes de Ingeniería Mecánica y de Energía de la Universidad Nacional del
Callao.
El autor.
E
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 3
INDICE
1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS. .................................................................................... 4
2. TRASLACIÓN DE COORDENADAS CON RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADAS. .. 5
3. ROTACIÓN DE COORDENADAS............................................................................................................... 13
3.1. ROTACION DE COORDENADAS CON RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADAS. ........... 13
3.2. ROTACIÓN DE COORDENADAS CON RESPECTO A UN PUNTO ARBITRARIO. ..................... 16
4. NUEVO SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ................................................................. 20
4.1. TRASLACION DE EJES COORDENADOS ................................................................................................................ 21
4.2. ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS ..................................................................................................................... 23
4.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS. .............................................................................. 26
5. REFERENCIALES .............................................................................................................................................. 31
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 4
TRASLACIONES Y ROTACIONES EN R2
1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.
Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un ejemplo de
coordenadas ortogonales usadas en espacios Euclídeos caracterizadas por la
existencia de dos ejes perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen.
Las coordenadas cartesianas se definen como la distancia al origen de las
proyecciones ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes. El plano
cartesiano es un sistema gráfico de referencia formado por dos rectas numéricas
que se cortan perpendicularmente. (Se denomina cartesiano ya que fue René
Descartes quien lo utilizó de manera formal por primera vez). El punto de corte de
las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como
origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números
enteros de las equis ("x") también llamada coordenada x; y al eje vertical o de las
ordenadas se le asignan los números enteros de las yes ("y") también llamada
coordenada y. Al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas
zonas se conocen como cuadrantes y se ordenan así; Primer cuadrante "I" región
superior derecha Segundo cuadrante "II" región superior izquierda Tercer
cuadrante "III" región inferior izquierda Cuarto cuadrante "IV" región inferior
derecha. El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier
punto en el plano. Permite asociar un par ordenado de número reales con cada
punto del plano cartesiano. Fija la posición de un punto del plano en término de
sus distancias a dos rectas perpendiculares.
Figura 1: Ubicación de un punto representado por el par ordenado ( ) en el
plano cartesiano (JANE COLLEY, 1998).
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 5
2. TRASLACIÓN DE COORDENADAS CON RESPECTO AL ORIGEN DE
COORDENADAS.
Las coordenadas del punto ( ) se trasladan en la dirección del vector
( ) obteniéndose las nuevas coordenadas del punto trasladado ( )
ver Figura 2. Es decir;
Figura 2: Traslación de las coordenadas del punto ( ) en la dirección del
vector ( )
Utilizando la representación del punto ( ) y del vector ( ) en forma
de vector columna se tiene:
[ ] [
]
Luego las coordenadas del punto trasladado ( ) en forma matricial está
dado por:
[
] [
] [
]
[
] [
] [
] [
]
En forma compacta
Donde [
] es llamada matriz de traslación (Stewart, y otros, 2007),
unidades el vector .
Ejercicio 1. Sea el punto ( ). Halle el punto simétrico de con respecto al eje
de las .
Solución.
X
Y
. 𝑃(𝑥 𝑦)
. 𝑃𝑇(𝑥𝑇 𝑦𝑇)
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 6
allar el punto simétrico de ( ) con respecto al eje de las , es equivalente a
trasladar el punto ( ), dos veces ( ) unidades, en la dirección del
vector unitario ( ).
Es decir;
Dónde:
( )
Por lo que:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Equivalentemente aplicando;
Donde
[
] , ( ) , ( )
Se tiene el punto simétrico
[ ] [
] [
]
[ ] [
]
[
]
[
]
Finalmente, el punto simétrico de ( ) con respecto al eje de las es
( ).
Ejercicio 2. Sea el punto ( ). Halle el punto simétrico de con respecto a la
recta .
Solución.
Hallar el punto simétrico de ( ) con respecto a la recta ,
es equivalente a trasladar el punto ( ), dos veces ( ) unidades, en la
dirección del vector unitario
‖ ‖
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑃𝑠(𝑥 𝑦)
��
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 7
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑃𝑠
𝑃
��
Es decir;
Dónde:
( ) |
‖ ‖| , ( )
Por lo que;
( ) ( )
( ) ( )
( )
Equivalentemente aplicando;
Donde
[
] , ( ) |
‖ ‖| ,
‖ ‖ ( )
Se tiene el punto simétrico
[ ] [
] [
]
[ ] [
]
[ ] [
]
[
]
Finalmente,
El punto simétrico de ( ) con respecto a la recta es
( ).
NOTA
1. El punto simétrico de ( ) con respecto a la recta
En forma compacta es
‖ ‖ [
] , ( )
Hay que tener cuidado con la dirección del vector .
2. Sean los puntos y la recta en para
hallar los punto simétricos de los puntos dados, reunidos en la matriz
[ ] con respecto a la recta dada, se sigue:
a. Se reúnen los puntos dados en la matriz de datos [ ]
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 8
b. Se forma la matriz
[ ] , ( )
c. Finalmente los puntos simétricos están dados por:
[ ] [ ]
Ejercicio 3. Los vértices ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) se unen con segmentos de recta formando una figura. Halle la
figura simétrica con respecto a la recta ( ) ( ) .
Solución
Hallamos los puntos simétricos de los puntos con respecto a la recta dados y
luego los unimos con segmentos de recta.
Aplicando
[ ] [ ] , ( )
En forma compacta
‖ ‖ [
] , ( )
Los vértices en forma de vector columna los reunimos en la matriz de datos
[
]
La recta ( ) ( ) en forma cartesiana es y el
vector ( )
‖( )‖ (
√
√ ) (
√
√ ).
Ahora formamos el vector
[ (
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ )
√
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )
(
√ ) (
√ )]
[
]
Luego
[
] [
]
[
]
Finalmente se une con segmentos de recta estos vértices y se tiene la figura
simétrica.
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 9
𝑃
𝑃 𝑃
𝑃
��
Ejercicio 4. Los vértices ( ) ( ) ( ) unidos con segmentos de
recta determinan una figura. Traslade la figura, unidades en la dirección del
vector ( ) y trace su gráfica.
Solución.
Aplicando;
‖ ‖ [
]
Donde
[
] , matriz de traslación
unidades en la dirección del vector .
Los vértices de la figura los
representamos en forma de vector
columna y los reunimos en la matriz de datos .
[
]
Ahora los vértices de la figura trasladada están dado por:
[
] [
] [
]
Se repite el vector [
] tantas veces como vértices de la figura existan
[
] [
]
[
]
Finalmente los vértices trasladados se unen con segmentos de recta y se obtiene
la figura trasladada.
𝐿
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 10
��
Ejercicio 5. Los vértices ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) se unen con segmentos de recta formando una figura. Si la figura
se traslada 4 unidades en la dirección del vector ( ) . Halle los vértices
trasladados y trace la figura.
Solución.
Trasladamos los vértices de la figura, 4 unidades
en la dirección del vector
‖ ‖
( )
‖( )‖ (
√
√ )
Aplicando para cada vértice de la figura
, [
]
Los vértices en forma de vector columna los
reunimos en la matriz de datos
[
]
Ahora formamos la matriz, repitiendo el vector tantas veces como puntos dados
exista.
[
]
[
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ]
[
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ]
[
]
[
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ]
[
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ]
Finalmente se une con segmentos de recta estos vértices y se tiene la figura
trasladada.
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 11
𝑃 (𝑥 𝑦 )
𝑃 (𝑥 𝑦 )
𝑃 𝐸
𝑃 𝐸
Ejercicio 6. Los puntos ( ) ( ) determinan el segmento . Halle
el segmento expandido veces el segmento
.
Solución.
De la gráfica se tiene que:
(
) ‖
‖
(
) ‖
‖
Donde;
‖ ‖ ( )
Reemplazando los puntos y el vector en forma
de vector columna se tiene
[(
)
(
)
] [
]
[(
)
(
)
] [
]
Finalmente se tiene el segmento expandido
En general, los vértices forma una figura. Los vértices de la figura
cuyos lados son expandidos n veces, en forma de vector columna, están dados por:
[ ] [ ] [(
) ] ‖
‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
) ] ‖
‖
‖ ‖
Luego, la figura expandida n veces la longitud de sus lados tiene los vértices
dados por:
[ ] [ ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
Finalmente
[ ] [ ] [(
) ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
) ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 12
En general, los vértices forma una figura. Los vértices de la figura
cuyos lados con contraídos veces, en forma de vector columna, están dados por:
[ ] [ ] [(
) ] ‖
‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
) ] ‖
‖
‖ ‖
Luego, la figura contraída veces la longitud de sus lados tiene los vértices dados
por:
[ ] [ ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
Finalmente
[ ] [ ] [(
) ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
) ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
Ejercicio 7. Sean ( ) ( ) ( ) ( ) vértices de una figura. Halle los
vértices de la figura cuyos lados son expandidos 3 veces.
Solución.
Aplicando
[ ] [ ] [(
) ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
[ ] [ ] [(
) ] [(
)
] ‖ ‖
‖ ‖
Reunimos los vértices de la figura en forma de vector columna en la matriz
[
]
Hallamos
‖ ‖ ‖( )‖ ,
‖ ‖ ( ),
( )
‖ ‖ ‖( )‖ ,
‖ ‖ ( )
( )
Formamos las matrices
(
) [
]
(
)
[
]
[(
) ] [(
)
] [
] [
] [
]
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 13
(
) =[
]
(
)
=[
]
[(
) ] [(
)
] [
] [
] [
]
Luego los vértices de la figura extendida en forma de vector columna los
reunimos en la adición de matrices
[
] [
]
Finalmente los vértices de la figura expandida
están dados en la matriz
[
]
3. ROTACIÓN DE COORDENADAS
Aquí, el espacio no se mueve, las coordenadas de los puntos que sufren una
rotación son las que tienen una nueva representación.
3.1. ROTACIÓN DE COORDENADAS CON RESPECTO AL ORIGEN DE
COORDENADAS.
Las coordenadas del punto ( ) que sufre una rotación, en sentido anti
horario, de un ángulo con respecto al origen de coordenadas , se
representan por las coordenadas del punto rotado ( ) ver Figura 3 . Es
decir;
‖
‖( ( ) ( ))
Donde;
‖ ‖ ‖ ‖, ‖ ‖ , ‖ ‖
Entonces
‖ ‖( )
(‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ )
( )
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 14
Figura 3: Rotación del punto ( ), en sentido anti horario, de un ángulo
con respecto al origen de coordenadas
( ) ( )
( ) ( )
Si ( ) entonces
Utilizando la representación del vector ( ) en forma de vector
columna
[
] [
]
[
] [
]
[
]
Finalmente, las coordenadas del punto rotado ( ) en forma matricial
está dado por:
[
] [
] [ ]
En forma compacta
( )
Donde ( ) [
] es llamada matriz de rotación del punto ,
en sentido anti horario, de un ángulo .
NOTA
La rotación del punto ( ), en sentido anti horario, de un ángulo con
respecto al origen de coordenadas es equivalente a la rotación del vector de
𝑂 X
Y
𝑃𝑅(𝑥𝑅 𝑦𝑅)
𝜃 . 𝛼
𝑃(𝑥 𝑦)
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 15
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑃𝑠( 𝑦 𝑥)
posición del punto , en sentido anti horario, de un ángulo con
respecto al origen de coordenadas.
Ejercicio 8. Halle las coordenadas del punto ( ) después de sufrir
una rotación, en sentido antihorario, de un ángulo
con respecto al
origen de coordenadas.
Solución.
Aplicando
Donde; (
) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Finalmente, el punto ( )
después de sufrir una rotación, en
sentido antihorario, de un ángulo
con respecto al origen de coordenadas es ( ).
Ejercicio 9.
Los vértices ( ) (
) (
) (
) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) de
una figura sufren una rotación, en sentido antihorario, de un ángulo
.
Halle los vértices rotados y trace la figura rotada.
Solución.
Ubicando los vértices y uniéndolos
con segmentos de recta se tiene la
figura:
Aplicando
( )
Donde
( ) [
]
Para cada uno de los vértices de la
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 16
figura.
Los vértices de la figura los representamos en forma de vector columna y
los reunimos en la matriz de datos .
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
Y la matriz de rotación
(
)
[
]
[
√
√
√
√ ]
Los vértices rotados están dados por
(
)
[
√
√
√
√ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
[
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√
]
Finalmente estos vértices rotados se unen con segmentos de recta y se
obtiene la figura rotada.
3.2. ROTACIÓN DE COORDENADAS CON RESPECTO A UN PUNTO
ARBITRARIO.
Las coordenadas del punto ( ) que sufre una rotación, en sentido anti
horario, de un ángulo con respecto al punto ( ), se representan por
las coordenadas del punto rotado ( ) , ver Figura 4. Es decir;
‖
‖( ( ) ( ))
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 17
Figura 4: Rotación del punto ( ), en sentido anti horario, de un ángulo
con respecto al punto ( )
Dónde:
es el ángulo formado por el semieje positivo de las y el vector ,
‖ ‖ ‖ ‖, ‖ ‖ , ‖ ‖
Desarrollando y reemplazando en la ecuación anterior se tiene:
‖ ‖( )
(‖ ‖ ⏟
‖ ‖ ⏟
‖ ‖ ⏟
‖ ‖ ⏟
)
(( ) ( ) ( ) ( ) )
(( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
( )( ) ( )( )
Si ( ), entonces
( ) ( )
( ) ( )
Finalmente, el punto rotado está dado por:
( ) ( )
Utilizando la representación del vector ( ) en forma de vector
columna
( ) [
] ( ) [
]
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑃 (𝑥 𝑦 )
𝑃𝑅(𝑥𝑅 𝑦𝑅)
𝜃
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 18
𝑃 (
)
𝑃 (
)
𝑃𝑅
[( ) ( )
] [ ( ) ( )
]
[( ) ( ) ( ) ( )
]
Aplicando la multiplicación de matrices
[
] [
]
Finalmente, las coordenadas del punto rotado ( ) en forma matricial
está dado por:
[
] [
] [
] [
]
En forma compacta
( )
Donde ( ) [
] es llamada matriz de rotación del vector ,
en sentido antihorario, de un ángulo .
NOTA
La rotación del punto ( ), en sentido anti horario, de un ángulo con
respecto al punto es equivalente a la rotación del vector , en sentido
anti horario, de un ángulo con respecto al punto .
Ejercicio 10. El punto (
) sufre una rotación, en sentido antihorario, de
un ángulo de
con respecto al punto (
). Halle las coordenadas del
punto rotado.
Solución.
Aplicando
( )
Donde
( ) [
]
Para el punto .
El vector se representa
en forma de vector columna
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 19
𝑃 ( )
[
] [
] [ ]
Y la matriz de rotación
(
)
[
]
[
√
√
√
√ ]
Luego el vector rotado está dado por
( )
[
√
√
√
√ ]
[ ]
[
√
√ ]
Esto es
[
√
√ ]
Finalmente el punto (
) rotado es:
[
] [
√
√
]= [
√
√
]
Es decir; (
√
√
)
Ejercicio 11.
Los vértices ( ) (
) (
) (
) (
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) de
una figura sufren una rotación, en sentido anti horario, de un ángulo
con respecto al punto ( ) .
Halle los vértices rotados y trace
la figura rotada.
Solución.
Aplicando
( )
Donde
( ) [
]
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 20
Para cada uno de los vértices de la figura.
Los vértices de la figura los representamos en forma de vector columna y
los reunimos en la matriz de datos .
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
Y la matriz de rotación
(
)
[
]
[
√
√
√
√ ]
Luego la matriz del vector queda representada por
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
[
]
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
Luego los vértices rotados están dados por
( )
[
]
[
√
√
√
√ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
[ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ]
Finalmente estos vértices rotados se unen con segmentos de recta y se
obtiene la figura rotada.
4. NUEVO SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Aquí, el espacio no se mueve, los ejes coordenados sufren traslaciones o
rotaciones determinándose nuevos sistemas de coordenadas y las coordenadas de
los puntos tienen una representación en términos de las coordenadas que poseen
en los nuevos sistemas.
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 21
4.1. TRASLACIÓN DE EJES COORDENADOS
El par de ejes coordenados , perpendiculares determinan el sistema de
coordenadas . La intersección de los ejes coordenados e determinan el
origen ( ) del sistema de coordenadas .
Si trasladamos el punto origen ( ) del sistema de coordenadas en la
dirección del vector se obtiene el punto ( ) origen del nuevo
sistema de coordenadas . Equivalentemente, trasladamos el origen
( ) del sistema de coordenadas , unidades en la dirección del vector
( ) y luego, unidades en la dirección del vector ( )
obteniéndose el punto ( ) origen del nuevo sistema de coordenadas
. Es decir;
Equivalentemente
En la Figura 5, las coordenadas del punto ( ) en términos de las
coordenadas que posee en el sistema esta dado por:
⏟
, ( )
Reemplazando las coordenadas en forma de vector columna se tiene:
[ ] [
] [
] [
]
En forma matricial;
[ ] [
] [
] [
] [
]
[ ] ( ) [
] ( ) [
]
[ ] [
] [
]
[ ] [
] [
]
[ ] [
]
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 22
Figura 5: Coordenadas del punto ( ) en términos de las coordenadas que posee en el sistema
[
] [
]
En forma compacta
Donde ( ) son las coordenadas del punto ( ) en el sistema
NOTA.
Al referirnos al sistema de coordenadas o al sistema de coordenadas
será simplemente como, el sistema o el sistema respectivamente.
Ejercicio 12. El origen del sistema se traslada al punto ( )y los ejes
de coordenadas no sufren rotación alguna. Halle la ecuación de la recta
( ) ( ) en el nuevo sistema.
Solución.
Se desea hallar la recta ( ) ( ) en el nuevo sistema. Es
decir;
Recordamos
𝑃 ( 𝑘)
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑂( )
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 23
𝑄
��
Llevamos el punto de paso ( ) al
nuevo sistema
( ) ( ) ( )
Como los ejes de coordenadas no han
sufrido rotación alguna el vector
direccional de la recta es el mismo que
para , esto es ( )
Finalmente la recta en el nuevo sistema es:
( ) ( )
4.2. ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS
Si fijamos el origen de coordenadas ( ) y rotamos el sistema , en
sentido antihorario un ángulo , se obtiene el sistema de modo que el
semieje positivo de las está en la dirección del vector ( ).
En la Figura 6 se observa que las coordenadas del punto ( ) están dadas
por:
Figura 6: Coordenadas del punto ( ) en términos de las coordenadas que posee en el sistema
𝑥
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑥
𝑦
𝑦
��
𝑂( )
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 24
Reemplazando las coordenadas en forma de vector columna
[ ] [
] [
]
[ ] [
] [
]
[ ] [
]
Si ( ) se tiene
[ ] [
]
Llamadas ecuaciones de rotación.
Aplicando multiplicación escalar en la ecuación por el
vector y por el vector se tiene:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
{ ( )
( )
Expresión que permite obtener las coordenadas del punto ( ) en el
sistema rotado .
NOTAS.
1. El sistema es llamado sistema rotado.
2. El vector ( ) es llamado vector de rotación del sistema .
3. El Origen de coordenadas ( ) es el mismo en ambos sistemas.
Ejercicio 13. El sistema sufre una rotación, en sentido anti horario, de
modo que su vector de rotación es paralelo al vector ( ). Halle la ecuación
de la recta ( ) ( ) en el nuevo sistema.
Solución.
Se desea hallar la recta ( ) ( ) en el nuevo sistema. Es
decir;
Recordamos
( )
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 25
𝑄 ( )
��
��
( )
Donde;
( )
‖( )‖ (
√
√ )
Llevamos el punto de paso ( ) al
nuevo sistema
(( ) (
√
√ ) ( )
(
√
√ )) (
√
√ )
Llevamos el vector direccional
( ) de la recta al nuevo sistema
(( ) (
√
√ ) ( ) (
√
√ )) (
√
√ )
Finalmente;
(
√
√ ) (
√
√ )
Equivalentemente;
(
√
√ ) ( )
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 26
4.3. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES COORDENADOS.
Si trasladamos el origen de coordenadas ( ) al punto ( ) origen
del nuevo sistema y luego rotamos los ejes coordenados, en sentido anti
horario un ángulo , se obtiene el sistema de modo que el semieje
positivo de las está en la dirección del vector ( ).
Figura 7: Coordenadas del punto ( ) en términos de las coordenadas que posee en el sistema trasladado y rotado
En la Figura 7, se observa que
Donde
, ‖ ‖
Por lo que las coordenadas del punto ( ) están dadas por:
, ‖ ‖
Formula que permite obtener las coordenadas del punto ( ) en términos
de las coordenadas que posee en el sistema .
Reemplazando las coordenadas en forma de vector columna
[ ] [
] [
] [
]
[ ] [
] [
] [
]
[ ] [
]
��
𝑃(𝑥 𝑦)
𝑃 (𝑥 𝑦 )
𝑂( )
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 27
Si ( ) se tiene
[ ] [
]
Aplicando multiplicación escalar en la ecuación por el
vector y por el vector se tiene:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
{ ( )
( )
Expresión que permite obtener las coordenadas del punto ( ) en el
sistema trasladado y rotado .
NOTAS.
1. El sistema es llamado sistema trasladado y rotado.
2. El vector ( ) es llamado vector de rotación del sistema .
3. El punto ( ) es origen del sistema .
Ejercicio 14. El vector ( ) es paralelo al vector de rotación del sistema
cuyo origen ha sido trasladado al punto ( ). En el nuevo sistema, halle la
ecuación vectorial de la recta ( ) ( )
Solución.
Se desea hallar la recta ( ) ( ) en el sistema
Recordamos
( )
( )
Dónde: ( ),
( )
Llevamos el punto de paso ( ) de la recta
al sistema .
(( ) ( ))
( )
( )
( )
(( ) ( ))
( )
𝑃 ( )
𝑋
Y
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 28
( )
( )
Luego el punto (
) es punto de paso de la recta
Llevamos el vector direccional ( ) de la recta al sistema .
( )
( )
( )
( )
Luego el vector direccional de la recta es (
) paralelo al vector ( ).
Finalmente, la recta esta dada por
(
) ( )
Ejercicio 15. Sean ( ) (
) (
) vértices de un triángulo. Halle
la ecuación del lugar geométrico, descrito por los puntos de intersección de las
diagonales de los rectángulos inscritos en el triángulo, si uno de los lados siempre
está sobre .
Solución.
Para hallar la ecuación del lugar geométrico, de los puntos de intersección de las
diagonales de los rectángulos inscritos en un triángulo de vértices y si
uno de los lados siempre está sobre , se sigue:
El sistema se traslada y se rota; el origen se traslada al punto y el vector de
rotación es paralelo al vector .
Es decir, todo punto de esta dado por:
‖ ‖ ,
( )
De donde se obtiene
{ ( )
( ) , ( ) ,
( )
Llevamos los vértices del triángulo dado al sistema .
El vértice ( ), es el origen del nuevo sistema .
El vértice (
)
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 29
{
((
) ( ))
( ) (
)
( )
((
) ( ))
( ) (
)
( )
( )
El vértice (
)
{
((
) ( ))
( ) (
)
( )
((
) ( ))
( ) (
)
( )
( )
En la figura se traza el rectángulo de vértices ( ) ( ) ( )
( ).
Pero
( )
(
)
Pero
( )
(
)
La intersección de las diagonales de un rectángulo es punto medio de sus
correspondientes vértices.
Si ( )son las coordenadas genéricas del lugar geométrico descrito por la
intersección de las diagonales de los rectángulos, entonces
( )
( ) {
( ) ( )
( ) ( )
𝑃 ( )
𝑃 (
)
𝑃 (
) X’
Y’
𝑄
𝑇 𝑅
𝑆
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 30
( )
( ) {
( ) ( )
(
) ( )
Reemplazando ( ) y ( ) en ( ) obtenemos
(
(
))
Luego, la ecuación del lugar geométrico en el sistema esta dado por:
Llevando esta ecuación al sistema , utilizando
{ ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Se tiene
( )
( )
Finalmente la ecuación del lugar geométrico en el sistema esta dado por:
Traslaciones y Rotaciones en R2
Rogelio Efren Cerna Reyes 31
5. REFERENCIALES
1. Jane Colley, Susan. 1998. Vector Calculus. New Jersey : Prentice-Hall, Inc., 1998.
2. Stewart, James, Redlin, Lother y Watson, Saleem. 2007. Precálculo. Matemáticas para el Cálculo. Mexico : Thomson Editores S.A., 2007.
