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Trasformata di Laplace
Numeri complessi
Un numero complesso z, costituito da una parte reale ed una immaginaria, è scritto come:
yxjyxz , ,
]Re[z ]Im[z
1 : 2 jj
jyxz
jyxz *
*Z
Formacartesiana
O
Z
x
y
y
Numeri complessi
2222
*
yxyjxyjxyx
jyxjyxzzz
Modulo
intero 0 ,2
kkx
yarctg
x
ytg
Fase
Numeri complessi
x
yjyxz
jyxz *
jyxz
sincos
sin
cos
jzz
zy
zx
Forma
trigonometrica
Ricordando le formule di Eulero:
sincos
sincos
je
jej
j
sin2
cos2
jee
eejj
jj
j
ee
ee
jj
jj
2sin
2cos
x
jy z
Numeri complessi
x
yjyxz
jyxz *
jezz Formaesponenziale
jez
zjzjyxz
sincos*
z z Formapolare
z
Numeri complessi
222222
11
yx
yj
yx
x
yx
jyx
jyxjyxjyxjyx
z
2222
22
222
2
222
2
22
22
1
yxyx
yx
yx
y
yx
xz
x
yarctg
yxx
yxy
arctgz
0 ),( ttf js
sF
)(
La trasformata di Laplace è un operatore che associa ad una funzione del tempo f(t) definita per t≥0 una funzione F(s) a valori complessi definita per valori della variabile complessa s.
L’utilizzo delle trasformate di Laplace consente di semplificare notevolmente i calcoli nella risoluzione di equazioni differenziali: operazioni di derivazione ed integrazione nel dominio del tempo corrispondono ad operazioni di tipo algebrico nel dominio delle trasformate.
Problemadifferenziabile
Soluzionedel problemadifferenziabile
Problemaalgebrico
Soluzionedel problema
algebrico
L 1L
0
)()( dtetfsF st
Qualsiasi funzione f(t), per cui esiste un valore della variabile s tale che l’integrale è finito, si dice trasformabile secondo Laplace.
L’insieme di tutti i valori complessi s per cui esiste, finito, l’integrale e quindi la funzione F(s), viene detto dominio di convergenza, ed è rappresentato da un semipiano del piano s, posto a destra di una retta parallela all’asse immaginario, di equazione Re[s]=σ0. Tale retta viene denominata asse di convergenza ed il valore σ0 ascissa di convergenza.
sss
e
s
e
dtedteL
sT
T
Tst
T
Tst
T
st
11limlim
lim]1[
0
00
)sin()cos( TjTeeeee TTjTTjsT
0]Re[ s
Re[s]
Im[s]
s
kkL ][
Gradino
)()( 11 sFtfL
)()( 22 sFtfL
)()()()( 22112211 sFcsFctfctfcL
Proprietà di linearità
Rampa unitaria
222
0
2
0
00
00
111lim
1lim
lim
lim][
sse
ss
Te
ess
te
dts
e
s
te
dttedttetL
sTsT
T
T
st
Tst
T
T stTst
T
Tst
T
st
0]Re[ s
gdtffgdtfg ''
Esponenziale
assae
sa
esa
dtedteeeL
Tsa
T
Ttsa
T
Ttsa
T
statat
111lim
1lim
lim][
)(
0
)(
0
)(
0
]Re[]Re[ as
Cosinusoide
22
11
2
1
2
1
2cos
s
s
jsjs
eLeL
eeLtL
tjtj
tjtj
0]Re[ s
Sinusoide
22
11
2
1
2
1
2sin
sjsjsj
eLeLj
j
eeLtL
tjtj
tjtj
0]Re[ s
Traslazione
)()( ksFtfeL kt
)()()(0
)(
0
ksFdtetfdtetfe tksstkt
)()( sFektfL ks
)()()(
)(
0
)(
0
sFedueufedueuf
ktudtektf
sk
k
suskkus
st
kt,ktf 0)(
Impulso
0
00
,0 ,0
0 ,)(
ttt
ttt
Atf
)(tf
0t0
0t
A
)(1)(1)( 000
ttt
At
t
Atf
0
0
11
11)(
0
00
st
st
est
A
est
A
st
AsF
L’area sottesa vale A
Funzione impulsiva
0
00
0
,0 ,0
0 ,lim)(0
ttt
ttt
Atg
t
A
s
Ase
stdtd
edtd
A
est
AsG
st
t
st
t
st
t
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
00
lim
1
lim
11
lim)(
Impulso di Dirac
0
00
0
,0 ,0
0 ,1
lim)(0
ttt
ttt
tt
1)( s
Impulso di Dirac
)(tu )(ty
t
dtxtttxtx0
)()()()()( Ogni segnale x(t) può essere
espresso come convoluzione conl’impulso di Dirac
00
00
)(1
lim)(1
lim dtxdtx
Dim:
Per il teorema del valor medio:
txdtx0
)( :,0
)(lim1
lim00
txtxtx
0
)()( thtty Risposta all’impulso
Impulso di Dirac
)(tu )(ty
L’uscita del sistema all’ingresso x(t) sarà del tipo:
t
dtxttxty0
)()()()(
)()()()(
)()()(
0
0
tthdtxth
dttxty
t
t
Il segnale in uscita può esserecalcolato attraverso la
convoluzione del segnale di ingressocon la risposta impulsiva.
Impulso di Dirac
Problemi
La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso un segnale che approssimi l’impulso di Dirac e misurando l’uscita corrispondente.
L’impulso di Dirac è un’astrazione matematica che può solo essere approssimata.
In molti casi non è possibile né conveniente applicare al sistema una sollecitazione impulsiva per non danneggiare il sistema a causa dell’elevata ampiezza dell’impulso.
Esercizio
Sapendo che 1
!
nn
s
ntL
calcolare tetL 32
Esercizio
Calcolare )4sin(2 teL t
Esercizio
Calcolare
3
2,0
3
2,
3
2cos
t
ttL
Esercizio
Calcolare ttL sin
Teorema della derivata
)0()()(' fssFtfL
)0()()0()(
)()0()(lim
)()(lim
)()(
0
0
00
0
''
fssFfdtetfs
dtetfsfeTf
dtetfsetf
dtetftfL
st
TstsT
T
TstTst
T
st
gdtffgdtfg ''
Si è sfruttato il fatto che f(t) è di ordine esponenziale per t che tende all’infinito
Teorema della derivata
)0()0()()( '2'' fsfsFstfL
)0()0()(
)0()0()(
)0()()(
'2
'
''''
fsfsFs
ffssFs
ftfsLtfL
)0()0()0()()( '''23''' fsffssFstfL
Teorema dell’integrale
t
duuftg0
)()( 0)0( ),()(' guftg
)()(
)()('
sFtgsL
sFtgL
s
sFduufL
s
sFtgL
t )()(
)()(
0
Teorema del valore finale
)(lim)(lim0
ssFtfst
Nell’ipotesi che tale limite esista
Dal teorema della derivata si ha: )0()()(0
' fssFdtetf st
da cui
)0()(lim)(lim0
0
'
0fssFdtetf
s
st
s
Eseguendo il limite sotto il segno di integrale il che è lecito per l’analiticità della funzione:
)0()(lim)(0
0
' fssFdttfs
e quindi
)0()(lim)0()(lim0
fssFftfst
Teorema del valore iniziale
)(lim)(lim0
ssFtfst
)(lim)(lim
)0()(lim 0
)0()(lim)(lim
0
0
'
ssFtf
fssF
fssFdtetf
st
s
s
st
s
Integrale di convoluzione
)()( 21
0
21 sFsFdtffL
bxaxxxx )0( ,)0( ,023
)0()0()()(
)0()()(
)()(
'2 xsxsXstxL
xssXtxL
sXtxL
0)(2)(3)(2 sXassXbassXs
abassssX 323)( 2
21
2
21
3)(
s
ba
s
ba
ss
abassX
Utilità
21
2
21
3)(
s
ba
s
ba
ss
abassX
Utilità
21
2)()( 111
s
baL
s
baLsXLtx
2
1)(
1
1)2()( 11
sLba
sLbatx
tt ebaebatx 2)()2()(
Problemadifferenziabile
Soluzionedel problemadifferenziabile
Problemaalgebrico
Soluzionedel problema
algebrico
L 1L
Tecniche di antitrasformazione
Frazione razionale propria
)(
)()(
sD
sNsF
Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
radici con molteplicità maggiore di 1
radici complesse coniugate
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
npspsps
sNsF
21
)()(
nn
ps
R
ps
R
ps
RsF
2
2
1
1)(POLI
RESIDUI
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
nn
n ps
R
ps
R
ps
R
pspsps
sN
2
2
1
1
21
)(
Calcoliamo R1
n
n
n ps
Rps
ps
Rps
ps
Rps
pspsps
sNps
1
2
21
1
11
21
1 )(
n
n
n ps
Rps
ps
RpsR
psps
sN
1
2
211
2
)(
12
)(lim
1
Rpsps
sN
nps
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
npspsps
sNsF
21
)()(
nn
ps
R
ps
R
ps
RsF
2
2
1
1)(
nkpssFR kps
kk
,,2,1 ,)(lim
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
n radici distinte
n
k
tpk
nn
keR
psLR
psLR
psLRsFL
1
1
2
12
1
11
1
111)(
Esercizio
ss
ssF
3
2 1)(
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
kps
sNsF
)()(
kk
k
k
k
k
ps
R
ps
R
ps
RsF
1
21)(
kk
k
k
k
k
k ps
R
ps
R
ps
R
ps
sNsF
1
21)()(
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk1
k
kk
k
kk
k
kk
k
k
ps
Rps
ps
Rps
ps
Rps
ps
sNps
121)(
kps
k pssFRk
)(lim1
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk2
kkkkkkkkk RpsRpsRpsRpsRsN 14
33
221)(
kkkkkkk RpsRpsRpsR
ds
sdN 24
232 )1(32
)(
ds
pssFdR k
psk
k
)(lim2
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rk3
kkkkkkk RpsRpsRpsR
ds
sdN 24
232 )1(32
)(
kkkkk RpsRpsR
ds
sNd 3432
2
)2)(1(62)(
2
2
3
)(lim
2
1
ds
pssFdR k
psk
k
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici con molteplicità maggiore di 1
Calcoliamo Rkj
,,2,1 ,)(
lim)!1(
11
1
j
ds
pssFd
jR
jk
j
pskj
k
Ricordando che 1
!
natn
as
netL
ptk
k etkps
L 11
)!1(
11
Esercizio
33
21
5)(
ss
sssF
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici complesse coniugate
*
)()(
psps
sNsF
jbap
jbap
*
*21
*
)()(
ps
R
ps
R
psps
sNsF
jvubj
jbaN
pp
pN
ps
sNR
ps
2
)()()(lim
**1
jvuRbj
jbaN
pp
pN
ps
sNR
ps
*1*
*
2 2
)()()(lim
*
Tecniche di antitrasformazione Il denominatore di F(s) ha:
radici complesse coniugate
js
jvu
js
jvusF
)(
u
varctg
u
varctg
22
u
varctg
22u
varctg
221
)(
tjtjt
tjj
tjj
eeevu
eevueevusFL
22)(
u
varctg
u
varctg
221
tjtj
t eeevusFL
u
varctgcos2)( 221 tevusFL t
Esercizio
Funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento
Funzione di trasferimento
