LA TRASFORMATA DI LAPLACE 2 Trasformata inversa di … · Basi di Elettronica (1° parte) 1 LA TRASFORMATA DI LAPLACE 2 Trasformata inversa di Laplace 2 Tabella: trasformate di Laplace

Basi di Elettronica (1° parte)

1

LA TRASFORMATA DI LAPLACE 2 Trasformata inversa di Laplace 2 Tabella: trasformate di Laplace di funzioni elementari 2 Alcune proprietà notevoli della trasformata di Laplace 3 Identità di Parseval 5 Applicazioni della Trasformata di Laplace 5

Esempio 1 5 Esempio 2 6

Risposta della rete RC all’impulso 9 Il teorema della convoluzione 10 Esempio 13


2

LA TRASFORMATA DI LAPLACE Definizione:

!

L g t( )[ ] = G s( ) = e" st

g t( )0

#

$ dt

dove g(t) è una funzione della variabile reale t ed s è una variabile complessa espressa da: s=a+jω .

L’operazione L[g(t)] è una trasformazione che va da t ad s, frequenza complessa.

La trasformata di Laplace è valida se sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1. Se l’integrale converge per un valore reale di s=s0 cioè se:

!

limA"0B"#

e$so t

g t( )A

B

% dt esiste.

Allora esso converge per tutti i valori di s con Re(s)>s0 e la funzione trasformata è una

funzione analitica a singolo valore di s nel semipiano Re(s)>s0.

2. g(t) deve essere una funzione continua a tratti.

Trasformata inversa di Laplace Se L[g(t)]=G(s) allora g(t)=L-1[G(s)] è la trasformata inversa di Laplace di G(s). L-1 è anche detto

operatore inverso di Laplace

!

g t( ) =1

2"je

stG s( )

# $ j%

# + j%

& ds =1

2"jlimT '%

estG s( )

# $ jT

# + jT

& ds

dove δ è scelto in modo tale che tutti gli eventuali punti singolari di G(s) giacciono a sinistra della

linea Re(s)= δ nel piano complesso s.

Tabella: trasformate di Laplace di funzioni elementari

f(t) [t>0] F(s)

Impulso δ

1


3

gradino

!

1

s

!

t

!

1

s2

!

e"t

!

1

s "#

!

sin"t

!

"

s2 +" 2

!

cos"t

!

s

s2 +" 2

!

e"t

sin#t

!

"

s +"( )2

+" 2

Alcune proprietà notevoli della trasformata di Laplace

1. Linearità

Se:

!

x1 t( ) L" # $ x1 s( ) con regione di convergenza R1


allora:

!

a " x1 t( ) + b " x2 t( ) L# $ % a " x1 s( ) + b " x2 s( ) con regione di convergenza R1 R2!


4

2. Traslazione temporale

Se

!


allora:

!

x1 t " t0( ) L# $ % e

"st0 & x1 s( ) con regione di convergenza R1

3. Traslazione in Frequenza

Se

!

x t( ) L" # $ x s( ) con regione di convergenza R1

Allora:

!

esot" x t( ) L

# $ % x s & so( ) con regione di convergenza R1 = R+ Re so( )

4. Calibrazione temporale

Se

!


Allora:

!

x1 a " t( ) L# $ % 1

ax1

s

a

&

' ( ) * con regione di convergenza

R1

a

5. Convoluzione

Se

!



Allora:

!

x1 t( )" x2 t( ) L# $ % x1 s( ) & x2 s( ) con regione di convergenza R1 R2!

6. Derivazione nel dominio del tempo

Se

!


Allora:

!

d

dtx1 t( ) L

" # $ s % x1 s( ) con regione di convergenza R & R1

7. Derivazione nel dominio della frequenza s

Dato

!

x s( ) = x t( )"#

+#

$ % e"st

dt derivando ambo i membri si ottiene:

!

dx s( )ds

= "t( ) # x t( )"$

+$

% # e" st

dt

quindi:

!

"t # x1 t( ) L$ % &

dx1 s( )ds

con regione di convergenza R1

8. Integrazione nel dominio del tempo


5

Se

!


Allora:

!

x1 t( )dt"#

+#

$ L% & '

x1 s( )s

con regione di convergenza R ( R1

Formula di espansione di Heavyside:

!

L"1

p s( )q s( )

# $ %

& ' (

=p an( )) q an( )n= 1

m

* ea nt

dove

!

q s( ) = s " a1( ) # s " a2( ) #… # s " am( ) e p(s) è un polinomio

di grado minore di m.

Teorema del valore iniziale e finale:

• Valore iniziale:

!

g 0+( ) = lim

s"#s $G s( )

• Valore finale:

!

g "( ) = lims#0

s $G s( )

• Tutti i poli di sG(s) sono a sinistra del piano complesso s

Identità di Parseval

!

se : G "( ) = F g t( )[ ] # g t( )2

dt =1

2$G "( )

2

%&

+&

' d"%&

+&

'

in generale, se : G "( ) = F g t( )[ ] e H "( ) = F h t( )[ ]

# g t( ) ( h* t( )dt =1

2$G "( ) (

%&

+&

' H * "( )d"%&

+&

'

Dove * indica il complesso coniugato. Naturalmente vale anche la relazione: G(-ω)=G*(ω)

Applicazioni della Trasformata di Laplace

Esempio 1

Come primo esempio prendiamo in esame il circuito RC sollecitato da una delta δ e si voglia

determinare la risposta temporale vu(t).


6

Tenendo conto che, per applicare Laplace, occorre considerare che R=R ed xc=1/sc, per quanto

attiene l’uscita Vu(s) si ha:

!

Vu

s( ) = vi

s( )1

RC

1

RC+ s

essendo Vi

s( ) = 1

"Vu

s( ) = 1

RC

1

1

RC+ s

Il processo di antitrasformazione consente di scrivere, passando dal domino s al tempo,

!

vu

s( ) = 1

RCe" t

RC # u t( ) dove u(t) è il gradino unitario.

Esempio 2

Si consideri il circuito RC dell’esercizio precedente al quale venga applicata la funzione a gradino

U(t) al tempo t=0.

In questo caso, nel dominio di Laplace, si può scrivere:

!

Vu s( ) = vi s( ) 1

RC

11

RC+ s

dove Vi s( ) =1

s

quindi : Vu s( ) = 1RC

1s

11

RC+ s

Utilizzando la tecnica di espansione in frazioni semplici si ha:


7

!

1

s

11

RC+ s

=A

s+

B1

RC+ s

=A

RC+ As + Bs

s 1

RC+ s( )

da cui : A+ B = 0; A

RC= 1"

A= RC

B = #RC

vu s( ) =1

RC

RC

s#

1

RC

RC1

RC+ s

=1

s#

11

RC+ s

antitrasformando "

Vu t( ) = u t( ) #e# t

RC u t( ) = u t( ) 1 #e# t

RC$ %

& '


8

TRASFORMATE DI FOURIER

Se consideriamo la coppia di variabili t (tempo) e ω (pulsazione) per definizione la trasformata di

Fourier, F, di g(t) è espressa dalla seguente relazione:

!

F g t( )[ ] = G "( ) = g t( ) #e$ j"tdt

$%

+%

&

Mentre la trasformata inversa è espressa da:

!

F"1

G #( )[ ] = g t( ) =1

2$G #( ) %e j#t

d#"&

+&

'

G(ω)e g(t) sono dette coppia di trasformate. Naturalmente deve valere

!

g t( ) dt"#

+#

$ <# .

La trasformata di Fourier di g(t) può anche essere espressa in termini di seni e coseni tramite la

identità di Eulero

!

e" j#t

= cos#t " j $ sin#t

!

G "( ) = Re "( ) # j Im "( ) = g t( ) $cos"t $ dt#%

+%

& # j g t( ) $ sin"t $dt#%

+%

&

= G "( ) ; arg ' "( )[ ]

dove

G "( ) = Re2 "( ) + Im2 "( )[ ]

arg ' "( )[ ] = a tanIm "( )Re "( )

(

) *

+ *

1/ 2

Trasformata di Fourier dell’impulso di Dirac


9

!

F "( ) = A# e j"udu

$%

+%

& = Ae$ j"u

$ j"0

a

= Ae$ j"a

$ j"$

1

$ j"

'

( )

*

+ , = A

1$ e$ j"a

j"=

1$ e$ j" 1

A

j "A

limA-%

.

.A

1$ e$ j" 1

A

j "A

= limA-%

$ej" 1

A j"

A2

$ j"

A2

= ej" 1

A = 1

la trasformata di Fourier dell’impulso è quindi pari a 1.

Impulso simmetrico:

!

F "( ) = Ae# j"u

# j"#a

a

= Ae# j"a

# j"#

ej"a

# j"

$

% &

'

( ) = A

ej"a # e # j"a

j"=

2Asin"a

"=

2 sin"a"A

limA*+

F "( ) =2 sin "

2A

"2 A

= 1

Risposta della rete RC all’impulso

Si consideri una sollecitazione tipo delta di Dirac per il circuito RC rappresentato in figura. La

risposta vu(t) può essere espressa come la antitrasformata di Fourier del prodotto della trasformata

della sollecitazione per la funzione di trasferimento.

!

h t( ) = vu t( ) =1

2"F #D[ ]

$%

+%

& 'W (( ) ' ei(td( =

1

2"1

$%

+%

& '1

RC

1RC

+ j(' ei(t

d( =1

2"RC

ei(t

1RC

+ j(d(

$%

+%

&

vu t( ) =0 per t < 0

1

RCe$ t

RC per t > 0

)

*

+


10

Eseguiamo la trasformata di Fourier H(ω) della risposta all’impulso δD del circuito RC.

!

H "( ) = h t( ) # ei"td"$%

+%

&

H "( ) =1

RCe$ t

RC # ei"td"

$%

+%

& =1

RCe$ 1

RC+ j"( )t

d"$%

+%

& =1

RC$

11

RC+ j"

'

( )

*

+ , e

$ 1

RC+ j"( ) t-

. / 0

1 2 0

%

H "( ) =1

RC$

11

RC+ j"

'

( )

*

+ , $1( ) =

1

RC

11

RC+ j"

Il risultato è che la trasformata di Fourier della risposta impulsiva è la funzione di trasferimento del

circuito dato.

Il teorema della convoluzione

Date due funzioni f(x) e g(x) si definisce convoluzione delle due funzioni la seguente espressione:

!

f x( ) " g x( ) = f u( ) # g x$ u( )$%

+%

& #du

teorema della convoluzione: La trasformata di Fourier della convoluzione di f(x) e g(x) è uguale al

prodotto delle trasformate di Fourier di f(x) e g(x).

La convoluzione soddisfa alle leggi commutativa, associativa e distributiva dell’algebra.

Dimostrazione del teorema della convoluzione:

!

f x( ) " g x( ) = f u( ) # g x$ u( )$%

+%

& #du

Dalla definizione della trasformata di Fourier si ha:

!

F "( ) = f u( ) # e$i"u

$%

+%

& #du; G "( ) = g v( ) #e$i"v

$%

+%

& #dv

Consideriamo il prodotto tra F(α) e G(α) :

!

F "( ) #G "( ) = f u( ) # g v( ) # e$i" u+ v( )

$%

+%

& #du # dv$%

+%

&

Poniamo u+v=x e operiamo una trasformazione di coordinate dalle variabili (u,v) alle variabili

(u,x). Ricordando che:


11

!

du " dv =# u,v( )# u,x( )

du " dx

Lo jacobiano della trasformazione ! dato da :

# u,v( )# u,x( )

= det#u#u

#u#x

#v#u

#v#x

$

% &

'

( ) = det

1 0

0 1

$

% &

'

( ) = 1

Quindi si ha:

!

F "( ) #G "( ) = f u( ) # g x $ u( ) # e$i"x

$%

+%

& # du # dx$%

+%

&

= e$i"x

f u( ) # g x $ u( ) #$%

+%

& du'

( )

*

+ , # dx

$%

+%

& =- f . g( )

In modo equivalente si ha :

f . g =-$1 F "( ) #G "( )[ ] =1

2/F "( ) #G "( ) #

$%

+%

& e j"xd"

Convoluzione

f x( ) e g x( ) tali che f * g = f u( ) # g x $ u( ) #$%

+%

& du

Teorema :

- f . g[ ] =- f x( )[ ] # - g x( )[ ]- f # g[ ] =- f x( )[ ].- g x( )[ ]


12

Caratteristiche dinamiche di un sistema lineare a parametri costanti nel tempo. Le caratteristiche dinamiche di un sistema lineare a parametri costanti possono essere descritte da

una funzione peso h(τ) definita come la risposta del sistema, in qualunque istante, ad un impulso

unitario applicato in un tempo precedente pari a τ

L’importanza di tale funzione risiede nel fatto che dato un ingresso arbitrario x(t), la risposta y(t) del

sistema può essere espressa dall’integrale di convoluzione, come segue:

!

y t( ) = h "( ) # x t $ "( )$%

+%

& #d"

cioè il valore della risposta y(t) è data da una somma lineare, pesata e infinita, sull’intera storia

dell’ingresso. Affinché un tale sistema possa essere fisicamente realizzabile è necessario che esso

risponda solamente ad ingressi del passato. Ciò implica che h(τ)=0 per τ<0. Quindi per sistemi

fisici il limite inferiore effettivo di integrazione deve essere 0 anziché -∞.

Un tale sistema inoltre è stabile se per sollecitazioni in ingresso limitate, la sua risposta è limitata.

Vale a dire che deve valere la seguente:

!

y t( ) = h "( ) # x t $ "( )$%

+%

& #d" ' h "( ) # x t $ "( )$%

+%

& #d"

x(t) limitato significa che deve esistere una costante A per cui:

!

x t( ) " A per ogni tempo. Per cui:

!

y t( ) " A# h $( )%&

+&

' # d$ .

Quindi, se la funzione h(t) è perfettamente integrabile, cioè se:

!

h "( )#$

+$

% & d" <$ , allora l’uscita del

sistema sarà limitata ed il sistema, di conseguenza, sarà stabile.

Un sistema lineare a parametri costanti nel tempo può essere caratterizzato da un funzione di

trasferimento H(p) definita come la trasformata di Laplace di h(τ):

!

H p( ) = h "( )#$

+$

% &e#p"

d" p =' + j(

Il criterio di stabilità può essere riformulato se si considera la funzione H(p). Infatti se H(p) non ha

poli nel semipiano complesso di destra o sul semiasse immaginario, allora il sistema è stabile.

Viceversa, se H(p) ha almeno un polo nel semipiano destro o sull’asse immaginario, allora il

sistema è instabile.


13

Vogliamo qui mettere in evidenza una proprietà importante dei sistemi lineari a parametri costanti

che va sotto il nome di conservazione della frequenza.

Come esempio consideriamo un sistema lineare a parametri costanti e la:

!

y t( ) = h "( ) # x t $ "( )$%

+%

& #d" . Per un ingresso arbitrario x(t), la derivata n-esima si scrive come:

!

d n y t( )dt n

= h "( ) #d n x t $ "( )

dt n$%

+%

& #d"

Se, ad esempio:

!

x t( ) = X " sin 2#ft +$( ) la derivata seconda si scrive come:

!

d 2 y t( )dt 2

= h "( ) #4$f2x t( )

%&

+&

' # d" = 4$f2y t( )

Esempio

Nel circuito in figura vi(t)=0 per t<0 e vi(t)=e-10t per t<0. Il condensatore è scarico al tempo t=0.

Calcolare l’espressione della corrente nella resistenza R1.

Tenendo conto che:

!

tenendo conto che fn t( ) =1

2"V #( )

$%

+%

& ' ei#t 'W #( ) ' d#

si pu! scrivere :

i t( ) =1

2"V #( )

$%

+%

& ' ei#t 'W #( ) ' d#

dove V #( ) = v t( )$%

+%

& ' ei#t ' d# = e$10t

$%

+%

& ' ei#t ' d# =1

10 + j#

Al fine di calcolare la funzione W(ω) supponiamo che il circuito sia alimentato da una tensione

sinusoidale: in tal caso anche la corrente i(t) sarà sinusoidale. Facendo uso dei noti risultati

dell’elettrotecnica si ha:


14

!

I =VA

R1

=V

R+

R1

j"C

R1 + 1j"C

#

R1

j"C

R1 + 1

j"C

#1

R1

I

V=W "( ) =

1

R # R1 + R

j"C+

R1

j"C

#R1

j"C#

1

R1

=1

R+ R1 + j"C # R# R1

=1

900 + j" #18

sostituendo si ha :

i t( ) =1

2$

1

10 + j"%&

+&

' #1

900 + j" #18#e j"t #d" =

1

2$

1

18#

1

10 + j"%&

+&

' #1

50 + j"# e j"t # d"

Per calcolare l’integrale, cioè per antitrasformare l’espressione facciamo ricorso ad una ulteriore

proprietà della trasformata di Fourier espressa dal teorema della convoluzione:

!

F f1

t( )[ ] " F f2

t( )[ ] = F f1

t( )# f2

t( )[ ]F f

1t( ) " f

2t( )[ ] = F f

1t( )[ ]# F f

2t( )[ ]

dove :

f1

t( )# f2

t( ) = f1$( ) " f

2t % $( )

%&

+&

' " d$ = f1

t % $( ) " f2$( )

%&

+&

' " d$

F f1 t( )[ ] " F f2 t( )[ ] = C1 v( ) "C2 ( % v( )%&

+&

' "dv = C1 ( % v( ) "C2 v( )%&

+&

' "dv

nel nostro caso si ha :

f1

t( ) =e%10 t t > 0

0 t < 0

) * +

; f2

t( ) =e%50 t

18 t > 0

0 t < 0

)

* ,

+ ,

infine :

i t( ) =1

18e%10 t "e

%50 t%$( )

0

t

' " d$ =1

720e%10 t % e

%50 t( )


15

Applicazione della trasformata di Fourier alla risoluzione dei sistemi lineari

Richiamo di alcune formule fondamentali:

!

F "( ) = f x( )#$

+$

% &e#i"x &dx

f "( ) = F x( )#$

+$

% &ei"x &d"

Esempio: si calcoli la trasformata di Fourier della seguente funzione

!

f x( ) =0 x >

T

2

1 x <T

2

"

# $

% $

si ha:

!

F "( ) = f x( )#$

+$

% &e#i"x &dx = 1

#T

2

+T

2

% &e# j"x &dx =e# j"x

# j"

'

( )

*

+ , #

T

2

+T

2

= Tsin" T

2

" T2

E’ possibile, dalla funzione f(x) espressa dare una interpretazione fisico-geometrica. Come in base

allo sviluppo in serie di Fourier una funzione periodica può essere vista come somma di un numero

infinito (in generale) o discreto di funzioni sinusoidali di opportuna ampiezza e fase, così è possibile

immaginare la funzione f(x) data dalla somma di un numero infinito di sinusoidi di ampiezza

infinitesima F(ω)dω , con fase pari a arg[F(ω)] e frequenze variabili con continuità tra -∞ e +∞.


16

Si consideri un dato sistema lineare S a cui applichiamo ad un suo ingresso un segnale rappresentato

dalla fi(t), di trasformata Fi(ω). Si consideri nota inoltre la funzione di trasferimento W(ω) per cui

bisogna moltiplicare la generica sollecitazione sinusoidale in ingresso per ottenere la corrispondente

risposta. In queste condizioni la risposta fu(t) sarà data da:

!

fu"( ) = F

ix( )

#$

+$

% & ei"t&W w( ) & d"

Esempio

Si determini la corrente i(t) che scorre nel circuito in figura in presenza di una sollecitazione vi(t)

coma da figura:

!

i "( )V "( )

=1

Z "( );

vi "( )W "( )

=vi "( )

R + 1j"C( )

W "( ) = R+ 1

j"C[ ]

la trasformata di vi "( ) !:

V "( ) = VTsin" T

2

" T

2

# i "( ) =VT

2$

sin" T

2

" T2

%&'

+'

( 1

R+ 1j"C

% ei"td"

=VT

2$

ej" T

2 & e& j" T

2

2 j" T2&'

+'

( 1

R + 1j"C

ei"t

d" =

=V

2$R

ej" t + T

2( )

j" + 1

RC&'

+'

( d" &V

2$R

ej" t& T

2( )

j" + 1

RC&'

+'

( d"

considerando che :

1

2$

ej"t

) + j"&'

+'

( d" =0 t < 0

e& )t t > 0

* + ,

si ottiene :

i1 t( ) =

0 t + T

2< 0

V

Re& t+T / 2

RC t + T

2> 0

*

+ -

, -

; i2 t( ) =

0 t + T

2< 0

&V

Re& t&T / 2

RC t + T

2> 0

*

+ -

, -

dove ii e i2 sono le due soluzioni dell’integrale. In definitiva si ottiene:


17

!

i t( ) = i1 t( ) + i2 t( ) =

0 per t < "T2

V

Re" t +T / 2

RC per

"V

Re" t"T / 2

RC per t > T2

#

$

% %

&

% %

" T2

< t < T2

Il grafico della i(t) è il seguente:

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