Transitori di Corrente nei Trasformatori Consideriamo il circuito equivalente di una fase di un trasformatore; riportando tutto al secondario e trascurando

Transitori di Corrente nei Trasformatori

Consideriamo il circuito equivalente di una fase di un trasformatore; riportando tutto al secondario e trascurando le correnti a vuoto si ottiene il circuito seguente:

La tensione v(t) è sinusoidale. Si chiude l’interruttore all’istante t0 che definisce l’inizio del transitorio che vogliamo determinare; ponendo t = 0 all’istante t0, la tensione v(t) è data da:

con

La corrente i(t) che percorre l’avvolgimento del trasformatore durante il transitorio è definita dalla equazione

~LR

t0

i(t)v(t)

)t(sinV)t(v m 0t

)t(sinVRidt

diL m

L’omogenea associata a questa equazione differenziale è data da

ed ha come soluzionecon

L’integrale generale è quindi dato da i(t)=i0(t)+ip dove ip è un

integrale particolare la cui forma è del tipo

dove A e B sono delle costanti. Orae la derivata di ip vale

sostituendo:

0Ridt

diL

t0 eC)t(i

L

R

)t(Bsin)tcos(Aip

)t(sinVRidt

diL mp

p

)tcos(B)t(sinAdt

dip

)t(sinV))t(Bsin)tcos(A(R))tcos(B)t(sinA(L m

)t(sinV)tcos()RABL()t(sin)ALBR( m

eguagliando i coefficienti dei termini simili si ottengono le due equazioni che permettono di determinare i due coeff. incogniti.

mVALBR

0RABL R

BLA

;VLR

BLBR m

;V

R

LBBR m

22

m222 RV)LR(B 222

m

LR

RVB

222m

LR

RV

R

L

R

BLA

222m

LR

LVA

L’integrale particolare che soddisfa l’equazione diff. risulta quindi

)t(sinLR

RV)tcos(

LR

VLi

222m

222m

p

)t(sinLR

R)tcos(

LR

LVi

222222mp

Semplificando

dove è stato posto

sapendo che

)t(sinq)tcos(pVi mp

222 LR

Lp

222 LR

Rq

)(sinrqsincosp

22 qpr

q

ptanarc

2222222

22222

LR

1

)LR(

RLqp

222

22

LR

1qpr

R

Ltanarc

R

Ltanarc

R

Ltanarc

L’integrale particolare cercato assume quindi la forma

Gli elementi R ed X=L sono i componenti dell’impedenza di corto circuito:

ed in modulo:

)t(sinLR

Vi

222

mp

LjRZcc cc222 ZLR

In definitiva possiamo scrivere

L’integrale generale dell’equazione, dato da risulta

La costante C si determina dalle condizioni iniziali. Per t=0 => i(0)=0. Si ha

La soluzione generale dell’equazione generale è quindi

)t(sinZ

Vi

cc

mp

p0 i)t(i)t(i

)t(sinZ

VeC)t(i

cc

mt

L

R

0)(sinZ

VC

cc

m )(sinZ

VC

cc

m

)t(sinZ

Ve)(sin

Z

V)t(i

cc

mt

L

R

cc

m

tL

R

cccc et

Z

Vti )(sin)(sin

2)(

R

L tan;

L’andamento della icc nel tempo (a partire dall’istante t = 0 in cui si chiude l’interruttore M) è indicato nel grafico seguente, in cui si è posto:

Ip : valore massimo della corrente di corto circuito

Iccr : valore di cresta della corrente di corto circuito a regime;

Ip

t

i

Iccr

tL

R

cc

eZ

V )(sin

2 icc(t)corrente unidirezionale

La corrente di corto circuito a regime si determina per t=>

)t(sinZ

V)t(i

cc

mccr

La corrente di corto a regime è sfasata in ritardo rispetto alla

tensione dell’angolo R

Ltanarc

ed ha (com’è ovvio) un valore efficace

ed un valore di cresta cc

cc Z

VI

ccccr Z

V2I

Se la resistenza degli avvolgimenti Rcc è trascurabile nei confronti della reattanza Xcc=L (Rcc<<Xcc), si ha che /2 e quindi la corrente di corto a regime, sfasata di 90° in ritardo rispetto alla tensione, è data da:

)t(cosZ

V2)t(i

cccc

Il valore di picco della corrente di corto circuito, Ip, dipende dall’angolo di fase della tensione applicata, =t0 e quindi dall’istante t0 in cui ha inizio il corto circuito.

Nel grafico seguente è riportato l’andamento della corrente di corto per diversi valori dell’angolo – (arctan(-L/R) dipende dagli elementi circuitali e dalla pulsazione che possiamo ritenere costante dal momento che il sistema funzione a 50 Hz)

1

2

Ip / Iccr

Ip

Iccr

= 90°

= 60°

= 30°

= 0°

t0

icc(t)

Nelle ordinate del grafico precedente è anche riportato il rapporto fra valore di picco Ip della corrente e valore di cresta della corrente di corto a regime Iccr .Il più alto valore di tale rapporto si ha per – =90°, cioè per = , dove si ha

Ip/Iccr = 2.

In realtà la parte iniziale del transitorio è descritta da un circuito equivalente più complesso di quello utilizzato, che tenga conto anche delle capacità degli avvolgimenti ecc. ;il transitorio che ne deriva è del tipo di quello indicato nel grafico seguente, in cui il valore di picco della corrente di corto è inferiore a Ip=2Iccr.

Per i calcoli di progettazione di solito si assume Ip/Iccr = 1,8 , cioè

e

è il valore efficace della corrente di corto a regime. Per quanto riguarda la durata delle sovracorrenti, si assume di solito che esse non superino il tempo tmax = 1 s, in quanto si conta su un efficace e tempestivo intervento delle protezioni.

ccccccccrp I55,2I54558,2I28,1I8,1I cc

cc X

VI

t

Ip/Icc

Le sovracorrenti producono sollecitazioni termiche e meccaniche.

• Le sollecitazioni termiche vengono integrate dalla massa dell’avvolgimento e si possono trattare considerando il fenomeno adiabatico.

• Le sollecitazioni meccaniche sono invece proporzionali al quadrato del valore istantaneo della corrente.

• Le sollecitazioni elettrodinamiche negli avvolgimenti, in presenza delle correnti nominali, sono modeste, con effetti termici e meccanici trascurabili, anche le sovracorrenti di inserzione, pur essendo 15-20 I0 sono dell’ordine delle correnti di pieno carico.

•È invece necessario effettuare delle verifiche meccaniche in corrispondenza delle correnti di corto circuito, tali correnti infatti, non producono di solito effetti termici apprezzabili, ma possono creare problemi meccanici anche assai rilevanti, soprattutto in presenza di lacune o di dissimmetrie negli avvolgimenti.

FORZE ELETTRODINAMICHE

Per capire a quali sforzi elettrodinamici sono sottoposti gli avvolgimenti dei trasformatori, partiamo dal fenomeno che si verifica quando un conduttore percorso da corrente I è immerso in un campo magnetico B:

Sul conduttore si sviluppa una forza elettrodinamica F che agisce in direzione perpendicolare sia al campo magnetico B sia alla corrente I.

Il verso della forza F è determinato dalla regola della mano sinistra: è quello del pollice della mano sinistra disposta lungo il conduttore nel verso della corrente I, con le linee del campo B entranti nel palmo della mano.

Il modulo della forza F è dato da:

dove l è la lunghezza della parte di conduttore interessata dal campo magnetico B.

F B I l

l I B F

Dimensionalmente: 2 2

Wb V sN T A m A m

m m

A m

V A s

m

Conduttore rettilineo percorso da corrente continua e immerso in un mezzo omogeneo lineare di estensione infinita:

• la corrente che scorre nel conduttore crea attorno a sé un campo di induzione magnetica, le cui linee sono di forma circolare, centrate rispetto al conduttore e giacenti in piani ortogonali al conduttore stesso.

• il verso del campo di induzione magnetica è dato dalla regola della mano destra: considerando il pollice nel verso in cui scorre la corrente, il verso del campo di induzione magnetica è dato dal verso di chiusura della mano.

L’intensità del campo di induzione magnetica prodotta dalla corrente I è data da:

2

IB

d

= permeabilità magnetica del mezzo,

d = distanza dal conduttore

SFORZI ELETTRODINAMICI

In conseguenza a questi due fenomeni, si ha che, tra due conduttori percorsi da corrente si instaurano delle forze, di attrazione o di repulsione a seconda dei versi delle correnti, dovute al campo magnetico creato da un conduttore e agente sull’altro.

1° CASO: il conduttore di lunghezza l percorso da corrente I2 è immerso in un campo magnetico B1 prodotto dalla corrente I1:

Di conseguenza, il conduttore percorso da corrente I2 è sottoposto a una forza elettrodinamica F nel verso determinato dalla regola della mano sinistra:

1 21 2 2

I I lF B I l

d

11 2

IB

d


Analogamente, il conduttore di lunghezza l percorso da corrente I1 è immerso in un campo magnetico B2 prodotto dalla corrente I2:

Di conseguenza, il conduttore percorso da corrente I1 è sottoposto a una forza elettrodinamica F nel verso determinato dalla regola della mano sinistra:

2 12 1 2

I I lF B I l

d

22 2

IB

d

Questa forza F è di attrazione se i conduttori sono percorsi da correnti concordi (entrambe uscenti o entrambe entranti).


2° CASO: se i conduttori sono percorsi da correnti discordi, si ha:

Questa forza F è di repulsione se i conduttori sono percorsi da correnti discordi (una uscente e una entrante).

1 2

2

I I lF

d

SFORZI ELETTRODINAMICI NEI TRASFORMATORI

Cosa succede nei trasformatori?

i0

v1

R1 i2

v2

R2i1

1L

Lm1

i’22L

e1 e2 Z

In ciascuna fase del trasformatore, la corrente entra da un avvolgimento (primario) e esce dall’altro avvolgimento (secondario): quindi le correnti che circolano negli avvolgimenti BT e AT sono discordi tra loro.

AVVOLGIMENTO CONCENTRICO

X O

a1 b a2

BTAT

Per esempio, nel caso di avvolgimento concentrico, si hanno forze radiali di repulsione tra i conduttori BT e AT:

le forze sono di compressione dell’avvolgimento BT sul nucleo e di dilatazione radiale dell’avvolgimento AT verso l’esterno.

Il valore massimo dell’induzione che si raggiunge nel canale di separazione tra i due avvolgimenti è:

0 1 1 0 2 2 0max

2 2 2N I N I N IB

h h h

Rb Bmax

hFr

dove I1, I2 e I sono i valori efficaci delle correnti.

Fr

AVVOLGIMENTO CONCENTRICO

In corrispondenza di ciascun avvolgimento l’induzione magnetica cresce linearmente dal valore nullo al valore massimo Bmax.

Se si considera il valore medio pari alla metà del valore massimo e la lunghezza media della spira pari a 2Rb, la forza elettrodinamica media a cui è sottoposto ciascun avvolgimento è data da:

max 2 22 b

BF N I R

X O

a1 b a2

BTAT

Rb Bmax

hFrFr

20 02

2 2 22

bb

N I RF N I R N I

h h

(N)h

l

10

IN*6,4F m

2

4

MccM

Osservazioni:

• La forza elettrodinamica dipende dal quadrato della corrente.

• La corrente è periodica alternata sinusoidale con frequenza f = 50 Hz.

• Di conseguenza, la forza elettrodinamica avrà una componente periodica alternata sinusoidale con frequenza doppia di quella della corrente, cioè 100 Hz.

Fr

Aint

Aest

Fa

FaFa

Fa

Fr

nucleo

Si considerino avvolgimenti cilindrici e coassiali di cui quello esterno (ES) è generalmente di AT, mentre quello interno (INT) è generalmente di BT.

Fra gli avvolgimenti ES e INT del trasformatore sono sollecitati dalle

forze di repulsione radiali Fr

forze di compressine assiali Fa

E’ dunque necessario determinare le forze meccaniche che sollecitano gli avvolgimenti al fine di prevedere opportuni ancoraggi meccanici che impediscano la deformazione o la distruzione meccanica degli avvolgimenti stessi.

Sforzi Radiali:

In pianta si ha:

R ba1 a2

a1/3 a2/3

Rb

c

c

h

3

aabc 21

Gli avvolgimenti esterno (ES) ed interno (INT) sono separati da un canale di spessore b. Si consideri la distanza elettromagnetica degli avvolgimenti c, definita nel calcolo delle reattanze di dispersione:

forze radiali di compressione FINT

forze radiali di dilatazione FES

INT ES

Per determinare le forze che sollecitano l’avvolgimento si usa il principio dei lavori virtuali. Sia W(xyz) l’energia del campo magnetico connesso con gli avvolgimenti e F(xyz) la forza generata da questo campo magnetico.

Consideriamo una componente di tale forza lungo una determinata coordinata, ad esempio la componente Fx(x ) lungo l’asse x;Se la geometria del sistema varia lungo la coordinata x di una quantità infinitesima dx, il lavoro svolta dalla relativa componente della forza F è dato da

dL=Fx(x)dx

Questo lavoro può svolgersi solo per effetto di una variazione dW dell’energia del campo W, per cui si ha (conservazione dell’energia)

Fx(x)dx-dW=0 e quindi Fx(x)=dW/dx

Poiché dobbiamo determinare le forze radiali e supponiamo che entrambi gli avvolgimenti siano costruiti in modo da avere una simmetria cilindrica, assumeremo come coordinata di riferimento la coordinata radiale r .

Avvolgimento Esterno:

Si assume come distanza di riferimento la distanza elettromagnetica c.

Supponiamo ora che per effetto delle forze FES l’avvolgimento esterno si deformi

simmetricamente provocando un incremento dc della coordinata c. Possiamo

scrivere FES (c)dc=dW

dove W è l’energia del campo relativa all’intero avvolgimento;

quest’ultima è data da

dove Xcc è la reattanza di corto circuito dell’avvolgimento ed i(t) la corrente che lo percorre. La reattanza di cto.cto. è data da

Rb

c

c

h

FESFINT

a)

Rb

c

c dc

FINT FES

b)

2cc2 )t(iX

2

1)t(iL

2

1)t(W

h

cpNf2X 2

0cc

dove N è il numero di spire di un avvolgimento (NAT o NBT) e p=2Rb è il perimetro medio del canale. Poiché si ritiene che la deformazione dell’avvolgimento sia solo radiale, l’altezza dell’avvolgimento h rimane costante, l’eq. diventa

con costante, e si ha

da cui risulta

In prima approssimazione, A può essere determinato dalla reattanza nominale di cto.cto. (valore determinato in assenza di deformazioni dovute al corto circuito), ottenendo A=Xcc/c e quindi

ricordando che Ip=2.5 Icc=2.5 V/Xcc , il valore massimo della forza è

semplificando e risulta

cA)c(X cc h

pNf2A 2

0

2)t(icA

2

1W

2ES I

A

2

1

dc

dWF

2ccES )t(i

c

X

2

1F

cc

222

cc

cc2p

ccES Xc

V

2

5,2

X

V5,2

c

X

2

1I

c

X

2

1F

125,32

5,2 2

cccc ZX

cc

2

cc

2

cc

2

ES Zcf2

V

Xcf2

V

Xcf2

VF

La forzacc

2

ES Zcf2

VF

ESR

PES

è dovuta al campo magnetico creato dall’intero avvolgimento, e quindi è la risultante delle forze di dilatazione che, sulla base dell’ipotesi fatta di avvolgimento omogeneo e a simmetria cilindrica, sono uniformemente distribuite su tutto l’avvolgimento.

Questo significa che l’avvolgimento esterno è soggetto ad una pressione, dall’interno verso l’esterno, data da

dove RES è il raggio medio dell’avvolgimento (approssimazione).

Per valutare lo sforzo che sollecita l’avvolgimento, consideriamo una generica sezione dell’avvolgimento.

Se indichiamo con dS=RES d h un elemento di

superficie del cilindro che costituisce l’avvolgimento, valutato in corrispondenza del raggio medio, la forza dF che agisce su dS è data da

hl

F

h)R2(

FP

ES

ES

ES

ESES

h

dES

FS

FS

ESR

Fx

dSPdF ES

E la sua componente lungo l’asse x è

La risultante, lungo l’asse x, delle forze che agiscono sul semicilindro che stiamo considerando è quindi

sapendo che si ottiene

Questa forza è bilanciata dalle due forze di trazione

Fs=Fx/2 che agiscono sull’avvolgimento nella

sezione considerata; questa sezione di avvolgimento è data da Savv=dES hper cui è sollecitata da uno sforzo di trazione

dF

dFx

Fx

FS

FS

x

dS

ESR

dcoshRPdScosPdF ESESESx

hRP2sinhRPdcoshRPF ESES2

2ESES

2

2

ESESx

ES

ESES

ESx

FhR

hR2

F2F

cc

2

ES Zcf2

VF

cc

2

x Zcf2

VF

hd2

F

hd2

F

hd

F

ES

ES

ES

x

ES

SS

hdcZf4

V

EScc

2

S

L’eq. esprime lo sforzo di trazione che sollecita l’avvolgimento, e tale sforzo deve essere inferiore allo sforzo massimo ammesso max per quel tipo di struttura: s <max.A titolo indicativo si può ritenere che per un avvolgimento di trasformatore sia

hdcZf4

V

EScc

2

S

2max kg/mm 8

Lo sforzo s è un valore medio, di prima approssimazione, ottenuto ipotizzando un avvolgimento cilindrico massiccio ed omogeneo, uniformemente sollecitato.

In realtà le singole spire che giacciono sullo stesso piano diametrale, anche se percorse dalla stessa densità di corrente, sono sollecitate forze diverse che diminuiscono all’aumentare della distanza dal nucleo per la non uniformità dei flussi concatenati (la Fx diminuisce all’aumentare di c):

le spire più interne sono sollecitate da una forza maggiore, e quelle più esterna da una forza minore.

interno esternoavvolgimento

F1F3 F6

631 FFF

Colonna

Avv.BT

Avv.AT

Cassone

Studio ad elementi finiti per la visualizzazione degli sforzi elettrodinamici

Flusso disperso

Risultanti di forze

cc

2

EScc

2

S Z

VK

hdcZf4

V

dove K è un fattore che dipende dalla frequenza (50 Hz) e dai parametri geometrici di dimensionamento degli avvolgimenti. Poiché Zcc=Vcc/In , facendo riferimento alla tensione nominale (V = Vn) , si ha:

hdcf4

1K

ES

%cc

n

cc

n

n

cc

2

cc

2

S V

PK

VVVI

K

IVV

KZ

VK

A parità di valori di K e della tensione di corto circuito vcc% , lo sforzo aumenta con la potenza nominale della macchina;

In realtà anche la tensione di corto circuito aumenta con la potenza nominale, per cui l’incremento degli sforzi meccanici con la potenza nominale ha all’incirca l’andamento mostrato nella figura seguente (valori indicativi):

Avvolgimento Interno

La forza radiale di compressione che sollecita l’avvolgimento interno ha (ripetendo lo stesso ragionamento fatto in precedenza) la stessa espressione della precedente, facendo ovviamente riferimento ai parametri geometrici dell’avvolgimento interno; si ha cioè

FINT

Aint

Aest

INTR

FES

h

INTRPINT

appoggi

cc

2

INT Zcf2

VF

Facendo ancora l’ipotesi che l’avvolgimento interno sia un unico cilindro omogeneo dotato di simmetria cilindrica, la forza FINT dà luogo ad una pressione (di compressione) data da :

hl

F

h)R2(

FP

INT

INT

INT

INTINT

Questa pressione è contrastata da n appoggi verticali, ancorati al nucleo del trasformatore, posti alla distanza

Consideriamo un settore di questo avvolgimento, compreso fra due appoggi contigui come schematizzato nel disegno seguente:

n

R2

n

lb INTINT

INTR

PINT

b

h

dINT b

Questo tratto di avvolgimento può essere trattato come una trave, di lunghezza b, spessore dINT e larghezza h, incastrata alle estremità, uniformemente caricata dalla

forza bhPF INTc

dINT

hb

PINT

Il modulo di resistenza a flessione di questa trave è dato

da Sappiamo inoltre che l’andamento del momento flettente che sollecita l’avvolgimento è dato da

6

dhW

2INT

6

1

b

x

b

x

2

bF)x(M

2

2INT

Il momento flettente massimo si ha nella mezzeria della trave e vale

24

bhP

24

bFM

2INTc

max

Mentre quello sugli incastri (x=0; x=b) è dato da

e quest’ultima sollecitazione risulta quella massima (M0>Mmax).

Quindi il massimo sforzo a flessione che sollecita l’avvolgimento, che si ha agli incastri, risulta

aumenta con la distanza fra gli appoggi b e diminuisce all’aumentare dello spessore dINT dell’avvolgimento. La pressione che sollecita l’avvolgimento interno è data da

mentre FINT è si ha, allora

con

12

bhP

12

bFM

2INTc

0

2

INTINT2

INT

2

INTmax

I d

bP

2

1

dh

6

12

bhP

W

M

hl

F

h)R2(

FP

INT

INT

INT

INTINT

cc

2

INT Zcf2

VF

2int

2

INTcc

2

I d

b

hR2

1

Zcf2

V

2

1

cc

2

INT2INTINT

2

cc

2

I Z

VK

dhRc

b

Zf2

V

4

1

2INTINT

2

INT dhRc

b

f2

1

4

1K

%cc

nINT

cc

nINT

ncc

2

INTI v

PK

VV

VIK

IV

VK

A parità di KINT e della tensione di corto circuito percentuale, lo sforzo a flessione aumenta con la potenza nominale della macchina.

Sforzi Assiali

Con riferimento a due avvolgimenti cilindrici, concentrici, omogenei ed a simmetria cilindrica, le forze generate dalle correnti che circolano negli avvolgimenti sono di compressione per ambedue gli avvolgimenti.Queste forze possono raggiungere valori elevati, e quindi pericolosi per l’integrità meccanica degli avvolgimenti, durante il transitorio di corto circuito.Per valutare queste forze e gli sforzi di compressione che ne derivano, si ricorrere ancora al principio dei lavori virtuali.Si consideri un solo avvolgimento (interno o esterno)

Aint

Aest

Fa

FaFa

Fa

Si ipotizza la deformazione dovuta alle forzi assiali si manifesti solamente con una variazione dh dell’altezza h dell’avvolgimento; con riferimento alla figura si ha che

dove W è l’energia del campo relativa all’intero avvolgimentoh

dh

Fa

dWdh)h(FA

2cc2 )t(iX

2

1)t(iL

2

1)t(W

con Xcc reattanza di corto circuito dell’avvolgimento ed i(t) corrente che lo percorre.La reattanza di cto.cto. Vale

dove N è il numero di spire di un avvolgimento (NAT o NBT) e p è il perimetro medio del canale (vedi par. 2.2.1); si ha quindi

e si ottiene

h

cpNf2X 2

0cc

220

220 i

h

cpN

2

1i

h

cpNf2

2

1W

22

20

22

20A i

h

cpN

4

1i

h2

1cpN

2

1

dh

dWF

La forza FA risulta negativa rispetto al sistema di coordinate utilizzato, e quindi è di compressione.Il suo valore massimo si ha in corrispondenza del picco di corrente

Pertanto il valore della forza assiale di compressione che deve essere utilizzato per il calcolo degli sforzi è

A questa forza corrisponde uno sforzo di compressione dell’avvolgimento

dove

è il volume dell’avvolgimento.

ccccp X

V5,2I5,2I

2cc

2

22

0

2

cc2

20A X

V

h

cpN6,1

X

V5,2

h

cpN

4

1F

2cc

2

avvavv

20

avvavv

AA X

V

h)hdR2(

cpN6,1

dR2

F

2cc

2

avv

20A X

V

hVol

cpN6,1

hdR2Vol avvavvavv

ESEMPIOESEMPIO

In=150 A Im=215 A N=500

lm=250 cm h=155 cm Icc=3520 A

Questo esempio mostra come non sia possibile dimensionare le strutture per resistere agli sforzi meccanici di un corto secco a valle del trasformatore

In=150 A Im=215 A N=500

lm=250 cm h=155 cm Icc=3520 A

Questo esempio mostra come non sia possibile dimensionare le strutture per resistere agli sforzi meccanici di un corto secco a valle del trasformatore

kg1140155

250

10

2155004.6F

2

4

kg104000155

250

10

8.135205004.6F

2

4

Il rame elettrolitico è duttile e quindi le bobine e gli avvolgimenti tendono ad adattarsi agli sforzi

Per il dimensionamento degli sforzi meccanici si considera un aumento del 20%-30% rispetto alla 2In

che corrisponde al picco di corrente che si viene a determinare nei transitori sotto carico

Il corto netto immediatamente a valle del trasformatore non lo riesco a tenere, pena la realizzazione di trasformatori immensi.

Se avviene, il trasformatore esplode.

Il rame elettrolitico è duttile e quindi le bobine e gli avvolgimenti tendono ad adattarsi agli sforzi

Per il dimensionamento degli sforzi meccanici si considera un aumento del 20%-30% rispetto alla 2In

che corrisponde al picco di corrente che si viene a determinare nei transitori sotto carico

Il corto netto immediatamente a valle del trasformatore non lo riesco a tenere, pena la realizzazione di trasformatori immensi.

Se avviene, il trasformatore esplode.

AVVOLGIMENTO DOPPIO CONCENTRICO

Nell’avvolgimento doppio concentrico, l’avvolgimento BT è diviso in due metà, una disposta vicino al nucleo e l’altra all’esterno.

In questo caso, il valore massimo dell’induzione è pari alla metà rispetto al caso concentrico semplice: X O X

b b

AT

BT

a1/2 a2 a1/2

RbBmax

0 1 1 0 2 2 0max

2 2 2

2 2 2

N I N I N IB

h h h

20 24

bRF N I

h

FrFr Fr Frh

Mentre la forza elettrodinamica risulta un quarto rispetto al caso concentrico semplice:

Avvolgimento a Bobine AlternateAvvolgimento a Bobine Alternate

B max vale: BM=0H = 0NI/h*cs

(N)NI 2

2s

m0m

ch2

lF

AVVOLGIMENTI CONCENTRICI SPOSTATI ASSIALMENTE O CON LACUNE


Fa

Fa

h”

h

Si ricerca la simmetria degli avvolgimenti e si cambia il verso di circolazione della corrente ad alcune bobine

Si ricerca la simmetria degli avvolgimenti e si cambia il verso di circolazione della corrente ad alcune bobine

AT

BT



Nel caso di avvolgimenti concentrici spostati assialmente o con lacune di solito dovute alla regolazione di tensione sono presenti sforzi assiali che tendono a sfilare i due avvolgimenti.

Nel caso di avvolgimenti spostati assialmente si ha un incremento di induttanza di dispersione circa pari a:

R = raggio dell’avvolgimento in cm.

Nel caso di avvolgimenti concentrici spostati assialmente o con lacune di solito dovute alla regolazione di tensione sono presenti sforzi assiali che tendono a sfilare i due avvolgimenti.

Nel caso di avvolgimenti spostati assialmente si ha un incremento di induttanza di dispersione circa pari a:

R = raggio dell’avvolgimento in cm.

l" Nh"

hR10 (H)1

22

7

Poichè per uno spostamento dh” il lavoro delle forze esterne deve essere pari alla corrispondente variazione dell’energia magnetica si ha:

da cui

Si ottiene quindi la forza assiale:

E’ necessario tenere conto che tutte le forze considerate variano con una frequenza pari a 2f.

Poichè per uno spostamento dh” il lavoro delle forze esterne deve essere pari alla corrispondente variazione dell’energia magnetica si ha:

da cui

Si ottiene quindi la forza assiale:

E’ necessario tenere conto che tutte le forze considerate variano con una frequenza pari a 2f.

F dh"1

2I dl"a 1

2 F1

2I

dl"

dh"a 12

FI N

hRh"a

12

12

2 (N)

Le forze che agiscono sull’avvolgimento interno si trasmettono al nucleo della colonna

Tali forze tendono ad avvicinare tra loro i lamierini ed a ridurre i traferri equivalenti

Sono proporzionali ad I2 e quindi a B2

Sono pulsanti a 100 Hz

Le forze che agiscono sull’avvolgimento interno si trasmettono al nucleo della colonna

Tali forze tendono ad avvicinare tra loro i lamierini ed a ridurre i traferri equivalenti

Sono proporzionali ad I2 e quindi a B2

Sono pulsanti a 100 Hz

Forze Elettromagnetiche sul NucleoForze Elettromagnetiche sul Nucleo

DIMENSIONAMENTO DEL CASSONE DIMENSIONAMENTO DEL CASSONE

Si assumono come parametri di progetto i seguenti dati:

Sorgenti di calore: Pfe: perdite nel ferro

Pcu1, Pcu2: perdite negli avvolgimenti primario e secondario (80 - 90% delle perdite totali)

Temperature di riferimento Temperatura esterna dell’aria a=40°C (convenzionale,

norme) Temperatura massima ammissibile, dettata dalla classe di isolamento (es.:olio in classe A => 105 °C)

Si assumono come parametri di progetto i seguenti dati:

Sorgenti di calore: Pfe: perdite nel ferro

Pcu1, Pcu2: perdite negli avvolgimenti primario e secondario (80 - 90% delle perdite totali)

Temperature di riferimento Temperatura esterna dell’aria a=40°C (convenzionale,

norme) Temperatura massima ammissibile, dettata dalla classe di isolamento (es.:olio in classe A => 105 °C)

Mf= temperatura massima nel ferro

Mcu= temperatura massima del rame

Mo= temperatura massima dell’olio

mo= temperatura media dell’olio

min o= temperatura minima dell’olio

La temperatura dell’olio cresce lungo la verticale raggiungendo il massimo vicino al coperchio

Mf= temperatura massima nel ferro

Mcu= temperatura massima del rame

Mo= temperatura massima dell’olio

mo= temperatura media dell’olio

min o= temperatura minima dell’olio

La temperatura dell’olio cresce lungo la verticale raggiungendo il massimo vicino al coperchio

Temperatura funzionamento per la classe A = 105°C

Salto di temperatura che deve essere garantito dal sistema di raffreddamento =65°C

Condizioni normali di funzionamento:

Mo< o =60°C Mo / mo= 1.1 - 1.15

mo< o =50°C Mo- min o=20- 30°C

Lamiere per cassoni

Psm [W/dm2] potenza smaltita per unità di superficie dal materiale scelto per realizzare il cassone o superficie necessaria per smaltire 1 W di potenza persa (es.: 35-40 cm2/W, spessore 1-2 mm, pressione di tenuta 10 kg/cm2)

Temperatura funzionamento per la classe A = 105°C

Salto di temperatura che deve essere garantito dal sistema di raffreddamento =65°C

Condizioni normali di funzionamento:

Mo< o =60°C Mo / mo= 1.1 - 1.15

mo< o =50°C Mo- min o=20- 30°C

Lamiere per cassoni

Psm [W/dm2] potenza smaltita per unità di superficie dal materiale scelto per realizzare il cassone o superficie necessaria per smaltire 1 W di potenza persa (es.: 35-40 cm2/W, spessore 1-2 mm, pressione di tenuta 10 kg/cm2)

Altezza del CassoneAltezza del Cassone

Hc=H+2hg+bsup+binf

dove

Hc : l’altezza complessiva del cassone

H: altezza di colonna

hg: altezza dei gioghi

bsup e binf: battenti di olio della parte superiore ed inferiore del trasformatore. Possiamo fissare bsup=15-30 cm e binf=5-10 cm i due battenti

Il battente inferiore ampio è necessario per consentire alla fanghiglia di olio di depositarsi sul fondo senza che ci siano problemi per la circolazione

Il battente superiore deve essere abbastanza ampio per consentire il moto convettivo dell’olio. Si può abbassare nel caso di forzatura di circolazione

Hc=H+2hg+bsup+binf

dove

Hc : l’altezza complessiva del cassone

H: altezza di colonna

hg: altezza dei gioghi

bsup e binf: battenti di olio della parte superiore ed inferiore del trasformatore. Possiamo fissare bsup=15-30 cm e binf=5-10 cm i due battenti

Il battente inferiore ampio è necessario per consentire alla fanghiglia di olio di depositarsi sul fondo senza che ci siano problemi per la circolazione

Il battente superiore deve essere abbastanza ampio per consentire il moto convettivo dell’olio. Si può abbassare nel caso di forzatura di circolazione

Dimensionamento delle Alette del MantelloDimensionamento delle Alette del Mantello

Se scegliamo una struttura ad alette, per modellare e realizzare la necessaria superficie di scambio termico siano:

a:passo di alettatura, h=altezza di aletta

a: passo interno b=passo esterno

le alette devono essere dimensionate in modo che non si creino ristagni o moti turbolenti nelle intercapedini

Se scegliamo una struttura ad alette, per modellare e realizzare la necessaria superficie di scambio termico siano:

a:passo di alettatura, h=altezza di aletta

a: passo interno b=passo esterno

le alette devono essere dimensionate in modo che non si creino ristagni o moti turbolenti nelle intercapedini

a

h

a

b

Si fissano delle dimensioni di riferimento

45<a<75 mm

a=10-75 mm

h=60-300

b/a=2.5-3

h/a =4.5-5.5

Si fissano delle dimensioni di riferimento

45<a<75 mm

a=10-75 mm

h=60-300

b/a=2.5-3

h/a =4.5-5.5

X

z

Perimetro interno Pi

Perimetro esterno Pe

h

Ri

Re

Parete Cassone

y

Devo determinare la lunghezza del perimetro del cassone che circonda e contiene il trasformatore stesso. Tra cassone e trasformatore ho la tensione di fase

Devo determinare la lunghezza del perimetro del cassone che circonda e contiene il trasformatore stesso. Tra cassone e trasformatore ho la tensione di fase

Siano Pi e Pe i perimetri interno ed esterno del cassone, rispettivamente

Pi=4X+2(Ravv+y) Pe=4X+2(Ravv+y+h)

L’area della superficie totale radiante è:

A=HcPe

La superficie necessaria per smaltire il calore prodotto all’interno del trasformatore è

St= Psm Pd

Se Hc è l’altezza del cassone, lo sviluppo in lunghezza del perimetro, comprese le alettature è

L=St/Hc

Inoltre

Siano Pi e Pe i perimetri interno ed esterno del cassone, rispettivamente

Pi=4X+2(Ravv+y) Pe=4X+2(Ravv+y+h)

L’area della superficie totale radiante è:

A=HcPe

La superficie necessaria per smaltire il calore prodotto all’interno del trasformatore è

St= Psm Pd

Se Hc è l’altezza del cassone, lo sviluppo in lunghezza del perimetro, comprese le alettature è

L=St/Hc

Inoltre

L=N(a+b+2h)=N(a+2h)=Pi+N2h

N=(L-Pi)/2h (N deve essere intero e pari per simmetria)

essendo a=a+b=Pi/N (b/a=2.5-3)

Fisso h e ricavo tutti i dati che mi servono per progettare le alette

Va segnalato che il processo è iterativo in quanto si stima l’area necessaria a smaltire la potenza persa, si calcola la lunghezza del mantello, (l’altezza è fissata), si calcolano il numero e le dimensioni delle alette e si correggono i dati ottenuti per ottenere una struttura simmetrica. Si ricalcolano tutte le dimensione alla luce dei dati che sono stati fissati per ottenere dimensioni di facile realizzabilità e controllo

L=N(a+b+2h)=N(a+2h)=Pi+N2h

N=(L-Pi)/2h (N deve essere intero e pari per simmetria)

essendo a=a+b=Pi/N (b/a=2.5-3)

Fisso h e ricavo tutti i dati che mi servono per progettare le alette

Va segnalato che il processo è iterativo in quanto si stima l’area necessaria a smaltire la potenza persa, si calcola la lunghezza del mantello, (l’altezza è fissata), si calcolano il numero e le dimensioni delle alette e si correggono i dati ottenuti per ottenere una struttura simmetrica. Si ricalcolano tutte le dimensione alla luce dei dati che sono stati fissati per ottenere dimensioni di facile realizzabilità e controllo

Si verifica se i salti termici sono quelli previstiSi verifica se i salti termici sono quelli previsti

VERIFICA DELLE SOVRATEMPERATURE:Metodo delle Resistenze Termiche

VERIFICA DELLE SOVRATEMPERATURE:Metodo delle Resistenze Termiche

Pfe

Pcu1

Pcu2 cu2

cu1

fe

Rfe oRcu1 oRcu2 o

Ro a

a

M o

min o

m o

Rfe o: RT nucleo olio

Rcu1 o: RT avv.1 olio

Rcu2 o: RT avv.2 olio

Ro a : RT olio-cassone-aria

Rfe o Rcu1 o Rcu2 o: serie di resistenze di conduzione e

convezione (R=Rcond+Rconv)

Ro a : resistenza di conduzione in serie con il parallelo delle resistenze di convezione e di irraggiamento esterno

Def di Resistenze Termiche: RT nucleo olio

si trascura la conduzione

Afe: superficie di contatto nucleo olio in m2 (con canali di raff.)

0: coeff. di convezione => 80 (W/m2°C)

Rfe o Rcu1 o Rcu2 o: serie di resistenze di conduzione e

convezione (R=Rcond+Rconv)

Ro a : resistenza di conduzione in serie con il parallelo delle resistenze di convezione e di irraggiamento esterno

Def di Resistenze Termiche: RT nucleo olio

si trascura la conduzione

Afe: superficie di contatto nucleo olio in m2 (con canali di raff.)


fe0ofe A

1R

RT rame olio (si trascura la conduzione)

Acu: superficie di contatto rame olio in m2


Per Acu, che è la superficie dell’avvolgimento a contatto con l’olio, si ricorre alla relazione

Acu=kNlm(2B+k’2H)

dove (k=0.8, k’=0,5

RT rame olio (si trascura la conduzione)

Acu: superficie di contatto rame olio in m2



Acu=kNlm(2B+k’2H)

dove (k=0.8, k’=0,5

cu0ocu A

1R

B

H

Per avvolgimenti a bobina stilizzati a forma di toroide si utilizza sempre una relazione empirica

Acu=2kcN(a+b)+ 2k’N(a2-b2)

dove:k è un coefficiente che tiene contodel cattivo contatto tra rame ed olioper la presenza dei distanziatoribobina-bobina (k=0.8)

k’ tiene conto della superficie sottratta allo scambio termico per la presenza dei separatori primario e secondario

c altezza di bobina

a e b raggi esterni ed interni di bobina





c altezza di bobina


b

a

c

RT olio aria

RT olio cassone

0c: coeff. di convezione olio cassone => 35 (W/m2°C)

Ac: superficie totale esterna del cassone in m2

u: rapporto tra la superficie di contatto olio-cassone e superficie esterna

RT olio aria

RT olio cassone

0c: coeff. di convezione olio cassone => 35 (W/m2°C)

Ac: superficie totale esterna del cassone in m2

u: rapporto tra la superficie di contatto olio-cassone e superficie esterna

iaca

iacacoao RR

RRRR

cocco uA

1R

RT cassone aria

0c: coeff. di convezione cassone-aria => 6-8 (W/m2°C) con velocità dell’aria di circa 1m/s

y: coefficiente correttivo della convezione (<1), di valore minore di uno, dipendente dal tipo di radiatore o tubo considerato

ia: coeff. di irraggiamento.

Con colori grigi normali=> 6 (W/m2°C)

RT cassone aria

0c: coeff. di convezione cassone-aria => 6-8 (W/m2°C) con velocità dell’aria di circa 1m/s

y: coefficiente correttivo della convezione (<1), di valore minore di uno, dipendente dal tipo di radiatore o tubo considerato

ia: coeff. di irraggiamento.

Con colori grigi normali=> 6 (W/m2°C)

ccaac yA

1R

iiaai A

1R

Ai: superficie esterna di irraggiamento (superficie di inviluppo)

Sia i=Ai/Ac rapporto tra superficie radiante e quella esterna

allora:

u, y, i dipendono strettamente dalla forma del cassone

cassone liscio: u=1, y=1, i=1

cassone alettato: u1, y dal grafico, i=a/(2h+ a)

Ai: superficie esterna di irraggiamento (superficie di inviluppo)

Sia i=Ai/Ac rapporto tra superficie radiante e quella esterna

allora:

u, y, i dipendono strettamente dalla forma del cassone

cassone liscio: u=1, y=1, i=1

cassone alettato: u1, y dal grafico, i=a/(2h+ a)

Ai

i6y8

1

u35

1

A

1R

coa

cassone a tubi: u1, y=0.6 - 1, i calcolato (y basso => elevato numero di radiatori e/o tubi lunghi)

cassone a radiatori: u1, y fornito dai costruttori, i calcolato

cassone a tubi: u1, y=0.6 - 1, i calcolato (y basso => elevato numero di radiatori e/o tubi lunghi)

cassone a radiatori: u1, y fornito dai costruttori, i calcolato

a

ha

b

VERIFICA DELLE SOVRATEMPERATUREVERIFICA DELLE SOVRATEMPERATURE

cu< o =65°Ccu< o =65°CMo< o =60°CMo< o =60°C

mo< o =50°Cmo< o =50°C

min o< o =40°Cmin o< o =40°C

Mo- min o =20°CMo- min o =20°Ccu o =15°Ccu o =15°C

Si deve verificare che le sovra-temperature stiano nei limiti previsti. Con riferimento alla rete termica:

Si deve verificare che le sovra-temperature stiano nei limiti previsti. Con riferimento alla rete termica:

cuo

cuocucuocu A

PRP

feo

feofefeofe A

PRP

iy

1

u

1

A

PRP

icaocc

daodom

ocuomcu

ofeomfe Si deve verificare che le sovratemperature siano nei limiti prescritti

SISTEMA ONAF

I ventilatori spingono l’aria contro i tubi o radiatori.

La velocità dell’aria è circa 2 m/s; ciò implica che:

caf: coeff. di convezione aria forzata => 13 - 16 (W/m2°C)

Si suppone un salto termico tra l’aria fredda e calda di 10 °C

La portata di aria Q [m3/s]

SISTEMA OFANSi applicano pompe di circolazione dell’olio. Si aumenta il coeff. Di convezione dell’olio, specialmente quello tra olio e cassone (tutti gli sono funzione della velocità ed aumentano con essa)

SISTEMA ONAF

I ventilatori spingono l’aria contro i tubi o radiatori.

La velocità dell’aria è circa 2 m/s; ciò implica che:

caf: coeff. di convezione aria forzata => 13 - 16 (W/m2°C)

Si suppone un salto termico tra l’aria fredda e calda di 10 °C

La portata di aria Q [m3/s]

SISTEMA OFANSi applicano pompe di circolazione dell’olio. Si aumenta il coeff. Di convezione dell’olio, specialmente quello tra olio e cassone (tutti gli sono funzione della velocità ed aumentano con essa)

a

v

1220

PQ

SISTEMA OFAF

Il salto termico dell’olio è contenuto attorno a 8 -10 °C (metà rispetto ad ONAN); l’aria subisce un incremento di 20 - 25 °

La portata dell’olio si stima in Qo=5 - 7 l/min per 1 kW di perdita; la portata di aria Qa=2 - 2.5 m3/min per kW di perdita

coeff. di convezione olio aria-aumentano con la velocità

La prevalenza aumenta con il numero di canali di raffreddamento

SISTEMA OFWF

Il salto termico dell’olio è circa 8°C; l’acqua subisce un incremento di 15 °C a partire da una T=25°C

La portata dell’olio si stima in Qo=5 - 7 l/min per 1 kW di perdita; la portata di acqua Qaq=1 m3/min per kW di perdita

con una velocità di 0.7 l/min

SISTEMA OFAF

Il salto termico dell’olio è contenuto attorno a 8 -10 °C (metà rispetto ad ONAN); l’aria subisce un incremento di 20 - 25 °

La portata dell’olio si stima in Qo=5 - 7 l/min per 1 kW di perdita; la portata di aria Qa=2 - 2.5 m3/min per kW di perdita

coeff. di convezione olio aria-aumentano con la velocità

La prevalenza aumenta con il numero di canali di raffreddamento

SISTEMA OFWF

Il salto termico dell’olio è circa 8°C; l’acqua subisce un incremento di 15 °C a partire da una T=25°C

La portata dell’olio si stima in Qo=5 - 7 l/min per 1 kW di perdita; la portata di acqua Qaq=1 m3/min per kW di perdita

con una velocità di 0.7 l/min

Utilizziamo un metodo empirico consigliato dalle norme

Siano Pp le perdite del trasformatore. Il valore del salto di temperatura tra parti attive ed aria esterna può essere stimato con la relazione:

dove A è la superficie radiale esterna (A=HcPe) e tiene conto del contributo di calore irradiato ed St è la superficie totale del cassone

Se il dimensionamento è stato correttamente eseguito M<50°C (47°C-49°C)

Si fa una verifica sperimentale in sala prove posizionando le termocoppie nella parte alta del trasformatore

Utilizziamo un metodo empirico consigliato dalle norme

Siano Pp le perdite del trasformatore. Il valore del salto di temperatura tra parti attive ed aria esterna può essere stimato con la relazione:

dove A è la superficie radiale esterna (A=HcPe) e tiene conto del contributo di calore irradiato ed St è la superficie totale del cassone

Se il dimensionamento è stato correttamente eseguito M<50°C (47°C-49°C)

Si fa una verifica sperimentale in sala prove posizionando le termocoppie nella parte alta del trasformatore

VERIFICA DELLE SOVRATEMPERATUREVERIFICA DELLE SOVRATEMPERATURE

pt

pM P001.0S8.0A

P25.0

Un’altra relazione empirica fornisce la sovra-temperatura media dell’olio rispetto al cassone

e deve risultare che M/ m=1.1-1.5

Si può valutare anche la sovra temperatura media dell’olio a contatto con il cassone

Esistono anche formule empiriche che valutano le sovra temperature per il rame ed il ferro di colonna sull’olio circostante

Un’altra relazione empirica fornisce la sovra-temperatura media dell’olio rispetto al cassone

e deve risultare che M/ m=1.1-1.5

Si può valutare anche la sovra temperatura media dell’olio a contatto con il cassone

Esistono anche formule empiriche che valutano le sovra temperature per il rame ed il ferro di colonna sull’olio circostante

t

pm S85.0A

P13.0

2mM

0


dove 3 è il numero di colonne,

kt è il coefficiente di trasmissione del calore (80 [W/m2°C]

Acu è la superficie dell’avvolgimento a contatto con l’olio e

Cu è la sovratemperatura del rame sull’olio

Acu si stima con una relazione empirica


dove 3 è il numero di colonne,

kt è il coefficiente di trasmissione del calore (80 [W/m2°C]

Acu è la superficie dell’avvolgimento a contatto con l’olio e

Cu è la sovratemperatura del rame sull’olio

Acu si stima con una relazione empirica

SOVRATEMPERATURE DEL RAME/OLIOSOVRATEMPERATURE DEL RAME/OLIO

Cut

CuCu Ak3

P





c altezza di bobina






c altezza di bobina


b

a

c

Per avvolgimenti a spirale, tipici delle BT, per stimare le sovratemperature, si ricorre alla medesima relazione empirica

ed i parametri hanno lo stesso significato già indicato


Acu=kNlm(2B+k’2H)

dove anche k e k’ hanno il significato già spiegato in precedenza (k=0.8, k’=0,5)Inoltre, il salto deve cadere nello stessointervallo di valori

Per avvolgimenti a spirale, tipici delle BT, per stimare le sovratemperature, si ricorre alla medesima relazione empirica

ed i parametri hanno lo stesso significato già indicato


Acu=kNlm(2B+k’2H)

dove anche k e k’ hanno il significato già spiegato in precedenza (k=0.8, k’=0,5)Inoltre, il salto deve cadere nello stessointervallo di valori

Cut

CuCu Ak3

P

B

H

Facendo riferimento alla medesima relazione

dove

AC=2Rchckf AG=2(Sg+Pglg )

kf tiene conto della presenza dei gradini, Rc ed hc sono il raggio e la altezza di colonna

mentre Sg è la sezione di base, Pg il perimetro e lg la lunghezza dei gioghi

I salti di temperatura devono rimanere sotto i 10 °C

Facendo riferimento alla medesima relazione

dove

AC=2Rchckf AG=2(Sg+Pglg )

kf tiene conto della presenza dei gradini, Rc ed hc sono il raggio e la altezza di colonna

mentre Sg è la sezione di base, Pg il perimetro e lg la lunghezza dei gioghi

I salti di temperatura devono rimanere sotto i 10 °C

SOVRATEMPERATURE DEL FERRO/OLIOSOVRATEMPERATURE DEL FERRO/OLIO

G/Ct

FeFe Ak3

P

Documents

Transitori di Corrente nei Trasformatori Consideriamo il circuito equivalente di una fase di un trasformatore; riportando tutto al secondario e trascurando