FLUJO NO PERMANENTE EN CANALES(ECUACIONES DE SAINT VENANT)

INTRODUCCIN

El flujo de agua en cauces naturales y la escorrenta sobre la cuenca son procesos distribuidos o fenmenos hidrulicos porque el caudal, la velocidad y la profundidad varan en el espacio a lo largo del cauce. Las estimaciones a lo largo de estos cauces o ros pueden obtenerse utilizando el modelo de trnsito hidrulico. Este tipo de modelos est basado en ecuaciones diferenciales parciales (ecuaciones de Saint-Venant) que permiten el clculo del caudal y del nivel de agua como funciones del espacio y del tiempo, en lugar del tiempo nicamente como en los modelos hidrolgicos descritos anteriormente.

El clculo del nivel de agua de una avenida es necesario porque este nivel delinea el rea de inundacin y determina la altura requerida por estructuras tales como puentes y diques; el clculo de los caudales de avenidas tambin es importante, primero porque el caudal determina el nivel del agua, y segundo, porque el diseo de cualquier estructura de almacenamiento tal como un embalse requiere de una estimacin del hidrograma de flujo de entrada. Como alternativa al uso de un modelo de trnsito hidrulico de avenidas, est el uso de un modelo hidrolgico para calcular el caudal en el lugar deseado y luego calcular el correspondiente nivel de agua suponiendo un flujo permanente no uniforme a lo largo del canal en ese lugar. La ventaja de un modelo hidrulico es que calcula el caudal y el nivel de agua simultneamente y no por separado, de tal manera que el modelo aproxima mejor la naturaleza de flujo no permanente no uniforme propio de la propagacin de una onda de avenida en el canal.

Los modelos de trnsito hidrulico pueden utilizarse para describir la transformacin de lluvia en escorrenta en una cuenca para producir el hidrograma de flujo a la salida de sta, y luego tomar este hidrograma como la informacin de entrada en el extremo aguas arriba de un ro o un sistema de tuberas y transitarlo hacia el extremo aguas abajo. El proceso real de flujo en ros varan en las tres dimensiones espaciales; por ejemplo, la velocidad en un ro vara a lo largo y a lo ancho del mismo y tambin desde la superficie del agua hasta el lecho del ro. Sin embargo, para muchas aplicaciones prcticas, las variaciones espaciales de la velocidad a lo ancho del canal y con respecto a la profundidad pueden ignorarse, de tal manera que el flujo puede aproximarse como unidimensional a lo largo del canal o en la direccin de flujo. Las ecuaciones de Saint Venant, desarrolladas por primera vez por Barre de Saint Venant en 1871, describen el flujo unidimensional no permanente en un canal abierto, que es aplicable en este caso.

El flujo de agua en ros es un problema tridimensional y no permanente y su clculo es muy complicado, por lo que puede ser simplificado a su forma unidimensional donde la profundidad y la velocidad varan solamente en la direccin longitudinal del canal; asumiendo las siguientes hiptesis:

Variacin hidrosttica de la presin que implica que las aceleraciones verticales pueden despreciarse.

Pendiente de canal pequea y el lecho es fijo; es decir, los efectos de socavacin y deposicin son despreciables.

Los efectos de friccin y turbulencia pueden ser compensados por la introduccin de una fuerza de resistencia proporcional al tirante y al cuadrado de la velocidad media. Del mismo modo los coeficientes de resistencia para flujo turbulento, uniforme y permanente son aplicables de tal forma que relaciones tales como la ecuacin de Manning pueden utilizarse para describir los efectos de resistencia.

Ancho del canal muy grande de tal forma que la influencia de lasparedes laterales es muy pequea sobre el flujo medio en el canal.

El fluido es incompresible y de densidad constante a lo largo del flujo.

2x

xQQ

xFigura N 1: Descarga a travs de un volumen de control elemental

Q

h

A , T

ECUACIN DE CONSERVACIN DE MASA

2x

xQQ +

Con referencia al volumen de control de la Figura 1: Q, h, A y T son la descarga, el tirante, el rea mojada y el espejo de agua en el centro del volumen de control respectivamente en el instante t. El principio de conservacin de masa implica que el flujo neto a travs del volumen de control en el intervalo t debe ser igual al cambio en volumen del volumen de control en el mismo intervalo:

tt

xAtxxQt

2x

xQQ

2x

xQQ

==

+

)(

Por lo tanto, la ecuacin de conservacin de masa resulta:

0=+

=+

thB

xQ

tA

xQ

En trminos de la velocidad: Q = UA, se obtiene:

0xhBU

xUA

thB

xAU

tA =

++

=+

)(

Para un canal rectangular: A = Bh, por lo que la ecuacin (3) se reduce a:

0th

xUh

xhU

th

xUh =++=+ )(

)( )(

En caso de existir un flujo de salida o entrada lateral al canal, en el tramo considerado, se tiene:

qtA

xAU =

+ )(

ECUACIN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

x

Figura N 2: Esquema para la deduccin de la ecuacin de momento

Y h

A , P

zNivel de referencia

Fondo

Q

Es conocido que la aceleracin total en la direccin del flujo es: x

UUt

Ua

+=

La ecuacin de movimiento para el tramo considerado es: xPYgAx

UUt

UxA 0

=

+

Teniendo en consideracin que: 0 = gRSf , P = A/R , Y/x Y/x , Y = z + h y z/x = - So la ecuacin anterior se transforma en trminos de la velocidad y profundidad en:

{ {( ) 0

=+++ 43421321321

friccionfuerza

of

gravedadfuerza

presionfuerza

convectivanaceleracio

localnaceleracio

SSgxhg

xUU

tU

En trminos de la velocidad y rea se tiene:

( ) 0SSxA

Bg

xUU

tU

of =+++

En trminos del caudal, rea y profundidad se tiene:

( ) 0SSgAxhgA

AQ

xtQ

of

2

=++

+

SIMPLIFICACIN Y DEFINICIN DE TIPOS DE ONDA

( ) 0SSgA of =Modelo de Onda de Difusa: ( ) 0SSgAxhgA of =+ Modelo de Onda Dinmica: ( ) 0SSgA

xhgA

AQ

xtQ

of

2

=++

+

Criterios de Ponce V. M., para la definicin del tipo de onda:

171hgTS

21

o

Onda de Difusa

171hgTS30

21

o

Diferencia entre Onda Cinemtica y Onda Dinmica

1 2

Observador

x

1 2x

3t2tt

Onda Dinmica 1 2x

3t2tt

Onda Cinemtica

Figura N 3: Ondas Dinmica y Cinemtica Vistas por un Observador

Las ondas cinemticas dominan el flujo cuando las fuerzas inerciales y de presin no son importantes y las ondas dinmicas dominan el flujo cuando estas fuerzas son importantes, como el movimiento de una gran onda de avenida en un ro ancho. En una onda cinemtica, las fuerzas de gravedad y de friccin estn balanceadas de tal manera que el flujo no se acelera apreciablemente. La figura 3 ilustra la diferencia entre el movimiento de una onda cinemtica y una onda dinmica en un una longitud de tramo diferencial desde el punto de vista de un observador estacionario a la orilla del ro. Para una onda cinemtica, la lnea de energa total es paralela al fondo del canal y el flujo es uniforme y permanente (So = Sf) dentro del tramo considerado, mientras que para una onda dinmica la lnea de energa total y la elevacin de la superficie de agua no son paralelas al lecho en el tramo diferencial considerado.

SOLUCIN ANALTICA PARA LA ONDA CINEMTICA

Una onda es una variacin del flujo ya sea como un cambio en el caudal o en la elevacin de la superficie del agua, y la celeridad de onda es la velocidad con la cual esta variacin se mueve a lo largo del canal. La celeridad depende del tipo de onda que se considere y puede ser bien diferente a la velocidad del agua. Para una onda cinemtica, los trminos de aceleracin y de presin en la ecuacin de momento son despreciables, luego el movimiento de la onda se describe principalmente por la ecuacin de continuidad. El nombre cinemtica se refiere al movimiento sin tener en cuenta la influencia de la masa y la fuerza, mientras que en dinmica se incluyen estas cantidades.

Las ecuaciones que gobiernan el modelo de onda cinemtica son:

qtA

xQ =

+

Conservacin de Momento

( ) 0= of SSRelacin General

entre A y Q

QA =Conservacin

de masa

5/3

5/33/2

QS

nPQAo

==

Ecuacin de Manning

Derivando la ecuacin que relaciona A y Q con respecto a t, se tiene:

+

tQQ

tA 1

Reemplazando en la ecuacin de conservacin de masa qt

QQxQ =

+

1Como las ondas cinemticas resultan de cambios en Q, un incremento del flujo dQ, puede escribirse como:

dttQdx

xQdQ

+=

Dividiendo esta ecuacin por dx y reordenando se llega a: dx

dQtQ

dxdt

xQ =

+

Las dos ecuaciones anteriores son idnticas si : qdx

dQ =1

1= Qdt

dx

Diferenciando la ecuacin que relaciona A y Q y reordenando adecuadamente e tiene:

1

1= QdA

dQ

Comparando la dos ecuaciones anteriores, puede verse que: dt

dxdAdQc ==

Donde c es la celeridad de onda cinemtica. Esto implica que un observador movindose a una velocidad c = dx/dt vera que el caudal se incrementa a una tasa de dQ/dA = q. Si q = 0, el observador vera un caudal constante. Las ecuaciones dQ/dx = q y dQ/dA = dx/dt son ecuaciones caractersticaspara una onda cinemtica, dos ecuaciones diferenciales ordinarias que son matemticamente equivalentes a las ecuaciones de continuidad y de momento.

La solucin de las ecuaciones de onda cinemtica permite determinar la distribucin del flujo como una funcin de la distancia, x, y del tiempo t. La solucin puede obtenerse numricamente utilizando aproximaciones de diferencias finitas o analticamente resolviendo en forma simultnea las ecuaciones caractersticas anteriores.

Solucin Numrica de la Onda CinemticaTal como se muestra en el anlisis anterior, pueden combinarse las ecuaciones de continuidad y momento de la onda cinemtica para producir una ecuacin con Q como la nica variable dependiente:

qtQQ

xQ =

+

1

El objetivo de la solucin numrica es resolver la ecuacin anterior para determinar el hidrograma de salida Q(x,t) en cada uno de los puntos de la malla x-t, dados los parmetros del canal y , el flujo lateral q(t) y las condiciones iniciales y de contorno o frontera. La solucin numrica es ms flexible que la analtica y puede manejar con mayor facilidad las variaciones en las propiedades del canal y en las condiciones iniciales y de frontera, y sirve como una introduccin a la solucin numrica de la onda dinmica.

Para resolver la ecuacin en forma numrica, las derivadas espaciales y temporales de Q se aproximan en la malla x-t tal como se muestra en la figura 4. El valor desconocido es . Los valores de en la j-sima lnea de tiempo se han determinado previamente, lo mismo que . A continuacin se describe el esquema lineal de discretizacin para plantear las ecuaciones en diferencias finitas, en el cual se calcula como una funcin lineal de los valores conocidos de Q.

xQQ

xQ ji

ji

=

+++ 111

La forma en diferencias finitas de la derivada temporal se encuentra de manera similar al sustituir los valores de Q en la (j+1)-sima lnea de distancia. t

QQtQ ji

ji

=

+++ 111

Con el fin de plantear las ecuaciones de diferencias finitas se usa un mtodo de diferencias regresivas o hacia atrs. La forma de diferencias finitas de la derivada espacial de se encuentra sustituyendo los valores de Q en la (j+1)-sima lnea de tiempo.

1+jiQ

11++j

iQ

11++j

iQ

11++j

iQ

11++j

iQ

t

xjt

(j+1)t

ix (i+1)x

Q

t

x

Figura 4: Esquema de Diferencias Finitas para la Solucin de la Ecuacin de Onda Cinemtica

xQ

jiQ

jiQ 1+

1+jiQ

tQ

Si se utilizara el valor Qi+1j+1 en lugar de Q en el trmino Q-1 de la ecuacin de onda, la ecuacin resultante sera no lineal en Qi+1j+1. Para crear una ecuacin lineal, el valor de Q usado en el trmino Q-1 es el promedio de los valores de la diagonal:

2

11

++ +

ji

ji QQQ

El valor del caudal lateral, q, se encuentra promediando los valores en la (i + 1)-sima lnea de distancia (dados en el problema): 2

11

1j

ij

i qqq +++ +

Finalmente la forma de diferencias finitas de la onda cinemtica lineal es:

221

111

11

111

111

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji qq

tQQQQ

xQQ +

+++

++

++

+++ +=

++

++

++

++

= +

+

+++

++

++

++ 11

1

11

11

11

1

11

2

22

j

ij

i

ji

ji

ji

jij

ij

ij

iQQ

xt

qqt

QQQQ

xt

Q