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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
Facultad de Ingeniería Mecánica
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
TEMA: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTEGRANTES: LEONARDO ESPÍN
MAURICIO CELY
ANDRES JARAMILLO
JONATHAN TELLO
- JUNIO 2009-
Definición
La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:
siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).
Suponga que la función está definida para y la integral impropia
converge para . Entonces la transformada de Laplace de existe para y está dada por
Antes de dar alguna teoría que nos facilite el trabajo, vamos a calcular la transformada de Laplace de algunas funciones, usando esta definición.
Ejemplo
Calcule .
Solución Por definición
para .
Ejemplo
Calcule .
Solución Usando la definición
Observación: no resulta difícil intuir a partir de estos ejemplos la siguiente transformada
para y . Dejamos al lector la comprobación de esta fórmula (sugerencia use inducción matemática).
Ejemplo
Calcule .
Solución Usando la definición
para .
Un par de transformadas particularmente útiles son las de las funciones trigonométricas
y , que calculamos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Calcule y .
Solución Usando la definición
Por otro lado
De donde concluimos que
para .
Y retomando la transformada de
para .
Observación: podemos calcular la transformada usando su representación compleja. Como
tenemos que
De forma análoga usando
podemos calcular .
Ejemplo
Calcule , donde
Solución Por definición
Propiedades
Linealidad
Potencia n-ésima
, si
Seno
Coseno
Seno hiperbólico
Coseno hiperbólico
Logaritmo natural
Raíz n-ésima
Función de Bessel de primera especie
Función modificada de Bessel de primera especie
Función error
Derivación
(que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace,
ya que , no es una función de orden exponencial.
Integración
Desplazamiento de la frecuencia
Desplazamiento temporal en t
Nota: u(t) es la función escalón unitario.
Desplazamiento potencia n-ésima
Convolución
Transformada de Laplace de una función con periodo p
Otras transformadas inversas comunes
Transformada de Laplace Función en el tiempo
1 δ(t) (delta de Dirac)
u(t) (función escalón unitario)
Tabla de las transformadas de Laplace selectas
La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.
Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:
La transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término.
La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 − , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es múltiplo de u(t). Aquí está una lista de las transformadas más comunes:
ID FunciónDominio en el tiempo Dominio en la
frecuencia
Región de la convergenciapara sistemas causales
1 retraso ideal
1aimpulso unitario
2
enésima potencia retrasada y condesplazamiento en la frecuencia
2an-ésima potencia
2a.1
q-ésima potencia
2a.2
escalón unitario
2bescalón unitario con retraso
2c Rampa
2d
potencia n-ésima con cambio de frecuencia
2d.1
amortiguación exponencial
3convergencia exponencial
4 seno
5 coseno
6seno hiperbólico
7coseno hiperbólico
8 onda senoidal conamortiguamie
nto exponencial
9
onda cosenoidal conamortiguamiento exponencial
10 raíz n-ésima
11logaritmo natural
12
Función de Besselde primer tipo,de orden n
13
Función de Bessel modificadade primer tipo,de orden n
14
Función de Besselde segundo tipo,de orden 0
15
Función de Bessel modificadade segundo tipo,de orden 0
16Función de error
Notas explicativas:
representa la función escalón unitario.
representa la Delta de Dirac.
representa la función gamma.
es la constante de Euler-Mascheroni.
, un número real, típicamente representa tiempo,, aunque puede representar cualquier dimensión independiente.
es la frecuencia angular compleja. , , , y son números reales.
es un número entero.
sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo que el ROC para anticausal systems. Véase también causality.
La Transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una
ecuación algebraica, la cual podemos resolver para , es decir, .
Ahora, como si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución
que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa , para
hallar la función
Entonces definamos la transformada inversa.
Definición [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una función continua , es decir,
, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita
es , es decir,
Ejemplo Calcule
Solución Puesto que
tenemos que
Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa,
puede no ser única. En efecto, es posible que , siendo .
Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si y son continuas y
de orden exponencial en y , entonces ; pero, si
y son continuas y de orden exponencial en y , entonces
se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.
Ejemplo
Calcule , donde esta dada por
¿Qué se puede concluir ?
Solución
Usando la definición de transformada
Pero, anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada, de este modo, la transformada inversa de
no es única.
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.
Solución de ecuaciones diferenciales
La transformada de Laplace es útil para resolver ecuaciones diferenciales que
involucran funciones , periódicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos.
Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial
Solución Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que
Y al aplicar la transformada inversa
La gráfica de la solución se muestra en la figura 1.10
Figura 1.10
EjemploResuelva el siguiente problema de valor inicial
donde está dada por
Solución
La función puede interpretarse como una fuerza externa que actúa en un sistema mecánico sólo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente.
Primero usemos la función de Heaviside para reescribir :
Aplicando transformada tenemos que
Al aplicar la transformada inversa obtenemos
La gráfica de se muestra en la figura 1.11.
Figura 1.11
Ejemplo Resolver el siguiente problema de valor inicial
Solución En este caso la ecuación diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy útil.
0
0
0
Integrando obtenemos que
De donde obtenemos que
Para determinar el valor de obsérvese que . Con lo cual la
solución al problema está dada por
Sistemas mecánicos
Ejemplo Un peso de 16 libras suspendido de un resorte lo estira 2 pies. En el instante el peso se hala 3 pies por debajo de la posición de equilibrio y se suelta. Asuma una fuerza amortiguadora de 4 veces la velocidad instantánea. En el instánte el peso recibe un golpe seco, desde abajo, que transmite 2 unidades de momentum a la masa; además, en el instante se activa una fuerza externa con una magnitud de 4 unidades. Entonces
1. Determine la ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.
2. Encuentre la posición del peso en cualquier instante . 3. ¿Cuál es la posición del peso en ?
SoluciónPara hallar la constante del resorte
Con lo cual el modelo matemático es
Aplicando transformada:
El que acompaña a la función delta se debe a que el golpe es desde abajo con una
intensidad de 2 unidades, además recuerde que , pues el peso esta por debajo de la posición de equilibrio. Aplicando fracciones parciales
De donde obtenemos que
Y así . La gráfica de se muestra en la figura 1.12
Figura 1.12
Circuitos L-R-C
En un circuito L-R-C en serie la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de tensión a través de un inductor, una resistencia y un capacitor es igual a la
tensión aplicada . Sabemos que
La caída de tensión a través de un inductor es . La caída de tensión a través de la resistencia es .
La caída de tensión a través de un capacitor es , pero como
con lo cual la caída de tensión a través de un capacitor esta dada por
donde es la corriente y , y son constantes conocidas como: la inductancia, la resistencia y la capacitancia, respectivamente.
Figura 1.13
De lo anterior obtenemos que la corriente en un circuito como el de la figura 1.13 satisface la ecuación integrodiferencial
la cual podemos resolver aplicando transformada de Laplace.
Ejemplo
Determine la corriente en un circuito L-R-C en serie para el cual L=0.1H (Henrios),
R=20 (Ohms), C= F (Faradios) y . La tensión aplicada al circuito es la que se muestra en la figura 1.13.
Figura 1.14
Solución
Puesto que la función se anula para , se puede escribir como
con lo cual la ecuación diferencial que modela este circuito es
Y al aplicar la transformada a ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos que
de donde obtenemos que
Usando fraciones parciales tenemos que
y al aplicar la transformada inversa
Sistemas de ecuaciones diferenciales
El siguiente ejemplo muestra el uso de la transformada de Laplace en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
con las condiciones , .
Solución
Si y , entonces
o agrupando
Ahora usemos la regla de Cramer para resolver el sistema anterior
De donde obtenemos que
Ejemplo
Dada la malla eléctrica de la figura 1.15, determine el valor de las corrientes y , si inicialmente valen cero.
Figura 1.15
Solución Puesto que la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de cualquier malla cerrada es cero, tenemos que:
Para la malla KLMNK
Y para la malla JKNPJ:
De donde obtenemos el siguiente sistema:
0
Tomando transformada de Laplace y usando las condiciones iniciales,
, obtenemos que
0
Observe que de la primera ecuación , de modo que la segunda ecuación se transforma en
Entonces
y
LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
Problema 1.- con las condiciones :
Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a término.
Paso 2.-- Sumando los términos semejantes
Paso 3.- Se factoriza la transformada :
Paso 4.- Se despeja la transformada:
Paso 5.-- Se obtiene la transformada inversa de Laplace
;
Paso 6.-
;
Paso 7.- Se obtiene el resultado final:
Resultado
La solución de la ecuación, puede obtenerse en el Mathematica con la instrucción: DSolve[{y'' [x]+4 y'[x]+4 y[x]==4 E^(-2 x),y[0]== -1,y'[0]==4},y[x],x]
Una gráfica de la solución es:
Problema 2. Condiciones iniciales
Paso 1.- Se aplica la transformada de Laplace a toda la ecuación término a
término.
Paso 2.-
Paso 3.- Se factoriza la ecuación;
Paso 4.- Se despeja la transformada:
Paso 5.- Se obtiene la transformada inversa de toda la ecuación.
Fórmulas de fracciones parciales:
Paso 6.- Se encuentra el valor de las constantes utilizando el método de Fracciones Parciales.
L
Paso 7.-
Paso 8.- .
Paso 9.- Se aplica la propiedad de las igualdades factorizando los términos en S, del mismo exponente:
Una vez factorizado los términos, se igualan con su correspondiente valor que se encuentra en el lado derecho de la ecuación :
;
Paso 10.- Una vez obtenidos los valores de las constantes se procede a sustituir.
Resultado
La solución de la ecuación se obtiene en el Mathematicacon la instrucción:
DSolve[{y''[t]-4 y'[t] + 4 y[t] ==t^3 , y[0]==0,y'[t]==0},y[t],t]
Una gráfica de la solución obtenida es:
Problema 3.-
Paso 1.- Se aplica la transformada a toda la ecuación:
Paso 2.- Se saca la transformada como factor común:
Paso 3.- Se despeja la transformada:
Paso 4.- Se obtiene la transformada inversa:
Paso 5.- Se aplican la fórmulas correspondientes para obtener los resultados:
Paso 6.-
Paso 7.- Resultado.
Paso 8.- La ecuación también se puede resolver en el Mathematica con la instrucción: DSolve[{y''[t]+10 y'[t]+25 y[t] ==10 E^(-5 t),y[0]==1,y'[0]==5},y[t],t]
Paso 9.- Una gráfica del resultado obtenido es:
Problema 4.-
Paso 1.- La transformade de toda la ecuacón es:
Paso 2.- Factor común de la transformada:
Paso 3.- Se despeja la transformada:
Paso 4.- Se obtiene la transformada inversa:
Paso 5.-
Resultado.
Paso 6.- La solución de la ecuación se puede obtener en el Mathematica con la instrucción:DSolve[{ y''[x]-6y'[x]+9y[x]==x^2 E^(3x), y[0]==2,y'[0]==6},y[x],x]
Paso 7.- La gráfica del resultado es
Problema 5.-
Paso 1.- Se aplica la transformada a toda la ecuación:
Paso 2.- Factorizando la transformada:
Paso 3.- Despejando la transformada:
Paso 4.- Obteniendo la transformada inversa:
Paso 5.- Simplificando la expresión en una suma de fracciones parciales:
Paso 6.- Resolviendo se tiene:
Paso 7.- Por lo que obteniendo la transformada inversa de toda la expresión:
Resultado.
Paso 8.- La solución se puede obtener en el Mathematica con la instrucción:
DSolve[{y''[x]-4y'[x]+4y[x]==4 Cos [2 x],y[0]==0,y'[0]==5},y[x],x]
Paso 9.- La gráfica de la solución es:
Problema 6.-
Paso 1.- Aplicando la transformada a toda la ecuación:
Paso 2.- Factorizando la transformada:
Paso 3.- Despejando la transformada:
Paso 4.- Obteniendo la transformada inversa:
Paso 5.- Resolviendo con las fórmulas:
Resultado.
Paso 6.- La solución se obtiene el el Mathematica con la instrucción:
DSolve[{ y'' [x]+6 y' [x]+9 y[x]==6 x^2 E^(-3 x),y[0]==1,y' [0]==4},y[x],x]
Paso 7.- La gráfica de la solución es:
Ejemplos
Ej 1.4 Sea k(t) una trayectoria para el capital. Si el capital se deprecia a
una tasa ä, entonces la trayectoria de inversión bruta está dada por
Supongamos que la tasa de descuento es igual a r, por lo tanto tomando la trasformada de Laplace de la inversión y utilizando las propiedades (1) y (2) tenemos
Esto nos da la relación entre el valor presente de la inversión bruta (L[I](r))
y el del capital (L[k](r)), ambos descontados a la tasa r.
