Transformada de Laplace - ingenaro.files.wordpress.com€¦ · medio de la transformada de Laplace, de esta manera se procede a resolver esa ecuación algebraica racional y posteriormente

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Unidad 2 Matemáticas para ingeniería 2 Recurso de asignatura

Unidad: Transformada de Laplace Temas: Todos los temas de la unidad 2

Profesor: Noé Amir Rodríguez Olivares

Alumno: Fecha de entrega:

Grupo:

Objetivo del recurso: Al terminar de trabajar con este recurso, usted será capaz de:

Definir el concepto y teoremas de valor inicial y final de la transformada de Laplace.

Explicar los métodos de solución de transformadas de Laplace directas e inversas.

Explicar el proceso de solución de las ecuaciones diferenciales con la transformada de Laplace y su inver-sa.

Identificar las posibles aplicaciones de la transformada de Laplace en la solución de ecuaciones diferen-ciales en situaciones de su entorno.

Instrucciones: A continuación se presentan una serie de actividades, ejemplos, programas y conceptos que lepermitirán al alumno alcanzar la competencia final. Estas actividades corresponden al trabajo de la unidad 2 yse han basado en las siguientes referencias [1, 2].

En este recurso se presentan una serie de ejercicios de repaso que pueden ser cubiertos durante la segundaunidad del cuatrimestre. Si usted ya domina los temas, por favor sólo conteste el 70% de los ejercicios propues-tos (ese porcentaje está mostrado entre paréntesis para cada sección), sino domina los temas, trate de contestartodos, si considera que requiere más ejercicios, o necesita repasar a profundidad la teoría principal de los te-mas, se le recomiendan las siguientes fuentes [1] y [2]. Los ejercicios de esta actividad han sido puntualmenteseleccionados para procurar comenzar a trabajar con todos los alumnos con un conocimiento base homogéneo.

1

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Definición de la transformada de Laplace

Laplace definió un procedimiento más simple para la solución de las ecuaciones diferenciales que los méto-dos tradicionales (variación de parámetros, factor integrante), este método consiste en realizar una serie detransformaciones. Donde a partir de una ecuación diferencial, esta es pasada a una ecuación algebraica racional pormedio de la transformada de Laplace, de esta manera se procede a resolver esa ecuación algebraica racional yposteriormente se realiza una transformada inversa de Laplace para obtener la solución en el tiempo.

Una transformada de Laplace cumple con la siguiente definición.

Si f (t) es una función definida para t > 0, entonces a la expresión:

L ( f (t)) =∫ ∞

0e−st f (t)dt = F(s)

Existencia y propiedades de la transformada de Laplace

Ejemplo 1.1.1:Encuentre la L (c), dónde c es un real; por definición:

L (c) =∫ ∞

0e−stc dt

L (c) = c∫ ∞

0e−st dt

L (c) =[−ce−st

s

]∞

0

L (c) =−ce−s∞

s+

ce−s0

s

L (c) =cs

Ejercicio 1.1- a) Demuestre que la L (t) es1s2 :

2

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Ejercicio 1.1- b) Demuestre que la L (t2) es2s3 :

Ejercicio 1.1- c) Demuestre que la L (eat) es1

s− a:

3

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Ejemplo 1.1.2: Encuentre la transformada de Laplace de f (t) = sen(wt):

L {sen(wt)} =∫ ∞

0e−st sen(wt) dt

Integrando con u = e−st, dv = sen(wt)dt, du = −se−stdt, v = − cos(wt)w

= − e−stcos(wt)w

−∫ (− cos(wt)

w

)(−se−stdt

)= − e−stcos(wt)

w− s

w

∫e−stcos(wt)dt

Integrando u = e−st, dv = cos(wt)dt, du = −se−stdt, v =sen(wt)

w


− sw

[e−stsen(wt)

w−∫ ( sen(wt)

w

)(−se−stdt

)]


− sw

[e−stsen(wt)

w+

sw

∫e−stsen(wt)dt

]

De acuerdo con la ecuación :∫

e−stsen(wt)dt = − e−stcos(wt)w

− se−stsen(wt)w2 − s2

w2

∫e−stsen(wt)dt

Si acomodamos:

s2

w2

∫e−stsen(wt)dt +

∫e−stsen(wt)dt = − e−stcos(wt)

w− se−stsen(wt)

w2

(s2

w2 + 1)∫

e−stsen(wt)dt =−we−stcos(wt)− se−stsen(wt)

w2

(s2 + w2

w2

)∫e−stsen(wt)dt =

−we−stcos(wt)− se−stsen(wt)w2

∫ ∞

0e−stsen(wt)dt =

1s2 + w2

[−we−stcos(wt)− se−stsen(wt)

]∞0

Ahora solo quedar evaluar el límite superior menos el límite inferior

=1

s2 + w2

[−we−s(∞)cos(w(∞))− se−s(∞)sen(w(∞))

]− 1

s2 + w2

[−we−s(0)cos(w(0))− se−s(0)sen(w(0))

]Se sabe que e−s(∞) = 0, por lo que se elimina la primera parte de la evaluación, quedando entonces:

= − 1s2 + w2 [−w]

Entonces: L {sen(wt)} = ws2 + w2

4

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Encuentre la transformada de Laplace de:

f (x) ={−1 para x ≤ 41 para x > 4

=∫ 4

0e−st(−1)dt +

∫ ∞

4e−st(1)dt

= −∫ 4

0e−stdt +

∫ ∞

4e−stdt

=

[e−st

s

]4

0+

[−e−st

s

]∞

4

=e−s(4)

s− e−s(0)

s−��e−s(∞)

s+

e−s(4)

s

=2e−4s − 1

spara s > 0

5

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Propiedades de la transformada

A continuación se presentan algunas de las propiedades más importantes de la transformada de Laplace.

Si L { f (x)} = F(s) y L {g(x)} = G(s) entonces:

Propiedad 1. Unicidad

L { f (x) + g(x)} = F(s) + G(s) (1)

Propiedad 2. Linealidad

L {c1 f (x) + c2g(x)} = c1L { f (x)}+ c2L {g(x)} = c1F(s) + c2G(s) (2)

Propiedad 3.

L {eax f (x)} = F(s− a) (3)

Propiedad 4.

L {xn f (x)} = (−1)n dn

dsn F(s) (4)

Propiedad 5.

L

{∫ x

0f (t)dt

}=

1s

F(s) (5)

6

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Ejercicios aplicando las propiedades y la definición

Ejercicios 1.2.1 Aplicando la definición de transformada de Laplace, encuentra la transformada de Laplace delas siguiente funciones:

(a) f (t) = 3e−2t + e−t

(b) f (t) = t3 + t2 + t + 1

(c) f (t) = 1− 2e−2t + 4e−tcos(3t)

(d) f (t) = 8e−1000t − 5e−2000t

7

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Fórmulas más importantes de la unidad

f (t) F(s)

1.- Función impulso δ(t) 1

2.- Función escalon ccs

3.- t1s2

4.-tn−1

(n− 1)!n=1,2„...

1sn

5.- tn n=1,2,3,...n!

sn+1

6.- e−at 1s + a

7.- te−at 1(s + a)2

8.-1

(n− 1)!tn−1e−at n=1,2,3,...

1(s + a)n

9.- tne−at n=1,2,3,...n!

(s + a)n+1

10.- sen(ωt)ω

s2 + ω2

11.- cos(ωt)s

s2 + ω2

12.- senh(ωt)ω

s2 −ω2

13.- cosh(ωt)s

s2 −ω2

14.- e−atsen(ωt)ω

(s + a)2 + ω2

15.- e−atcos(ωt)s + a

(s + a)2 + ω2

16.- 1− cos(ωt)ω2

s(s2 + ω2)

17.- ωt− sen(ωt)ω3

s2(s2 + ω2)

18.- sen(ωt)−ωtcos(ωt)2ω3

(s2 + ω2)28

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Factores lineales no repetidos

A continuación se presenta el método por fracciones parciales para la resolución de la transformada de Laplace,este método contempla 4 casos, que son los siguientes:

Factores lineales no repetidos

Factores complejos no repetidos

Factores lineales repetidos

Factores complejos repetidos

Los 2 métodos clásicos para determinar las raíces de los polinomios son:

Usando el método clásico de fracciones parciales.

Usando límites.

Ejemplo 1.2.2: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:

y′′ − 2y′ − 3y = 4 para y(0) = 1, y′(0) = −1

Procedimiento: Primero se aplica la transformada de Laplace a cada término:

L (y′′ − 2y′ − 3y) = L (4)

s2Y(s)− sy(0)− y′(0)− 2 (sY(s)− y(0))− 3Y(s) =4s

Y(s)(

s2 − 2s− 3)− sy(0)− y′(0) + 2y(0) =

4s

Se evalúa con las condiciones iniciales:

Y(s)(

s2 − 2s− 3)− s + 1 + 2 =

4s

Y(s)(

s2 − 2s− 3)=

4s+ s− 3

Y(s)(

s2 − 2s− 3)=

4 + s2 − 3ss

Se despeja Y(s):

Y(s) =s2 − 3s + 4

s(s2 − 2s− 3)

Y(s) =s2 − 3s + 4

s(s + 1)(s− 3)

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Ahora se plantea como una serie de fracciones:

Y(s) =s2 − 3s + 4

s(s + 1)(s− 3)=

As+

Bs + 1

+C

s− 3

Si s = 0:

A =s2 − 3s + 4

(s + 1)(s− 3)= −4

3

Si s = −1:

B =s2 − 3s + 4

s(s− 3)=

(−1)2 − 3(−1) + 4(−1)(−1− 3)

=84= 2

Si s = 3:

C =s2 − 3s + 4

s(s + 1)=

(3)2 − 3(3) + 4(3)(3 + 1)

=412

=13

Ahora se escribe con los valores de A, B y C:

Y(s) =s2 − 3s + 4

s(s + 1)(s− 3)= −4

31s+ 2

1s + 1

+13

1s− 3

Se aplica la transformada inversa de cada término. En el caso de 1s sería la fórmula 2, y para los otros 2 términos

sería la fórmula 6:

y = −43+ 2e−t +

13

e3t

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Ejercicios 1.2.2 - Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace (5problemas):

(a) y′′ − 2y′ − 3y = et, y(0) = 2, y′(0) = 4

(b) y′′ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1

(c) y′′ − 4y = 2, y(0) = 0, y′(0) = 0

(d) y′′ − 52

y′ + y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.5

(e) y′′ − 2y′ − 3y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 2

(f) y′′ − 8y′ − 9y = 10, y(0) = 0, y′(0) = 4

(g) y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = e−t, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0

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Factores complejos no repetidos

Si alguno de los factores del denominador es complejo, entonces la solución es del tipo:

y = 2eαt (Q1cos(βt)−Q2sen(βt))


y′′ − 2y′ + 2y = 0 para y(0) = 0, y′(0) = 1


L (y′′ − 2y′ + 2y) = L (0)

s2Y(s)− sy(0)− y′(0)− 2 (sY(s)− y(0)) + 2Y(s) = 0

Y(s)(

s2 − 2s + 2)− sy(0)− y′(0) + 2y(0) = 0


Y(s)(

s2 − 2s + 2)− 1 = 0

Y(s)(

s2 − 2s + 2)= 1

Se despeja Y(s):

Y(s) =1

s2 − 2s + 2

Se obtienen las raíces:

Y(s) =1

(s− 1− i)(s− 1 + i)

La parte real de la raíz se toma como α, y la parte compleja como β, quedando entonces α = 1 y β = 1. Ahorase toma la raíz más negativa, que en este caso es s− 1− i y se extrae de la expresión, la expresión que queda sellama Q(s):

Q(s) =1

s− 1 + i

La raíz negativa extraída se iguala a 0, y se despeja a la s, quedando s = 1 + i, y se evalúa a Q(s) con ese valorhasta llegar a obtener un número complejo de la forma a + bi:

Q(s) =1

1 + i− 1 + i

Q(s) =12i

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Q(s) = 0− i2

La parte real (a) se toma como Q1 y la parte compleja (b) como Q2:

Q1 = 0 Q2 = −12

Una vez, que se tiene a α, β, Q1 y Q2, entonces se escribe la solución:

y = 2et(0cos((1)t)− (−12

sen((1)t)))

y = etsen(t)

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Ejercicios 1.2.3- Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de Laplace (5problemas):

(a) y′′ + 4y′ + 5y = 1, y(0) = 0, y′(0) = 0

(b) y′′ + 2y′ + 2y = 2cos(2t)− sen(2t), y(0) = 0, y′(0) = 0

(c) y′′ + 4y′ + 5y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1

(d) y′′ − 4y′ + 13y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

(e) y′′ − 6y′ + 13y = 2, y(0) = 1, y′(0) = 1

(f) y′′ − 8y′ + 17y = et, y(0) = 1, y′(0) = 2

(g) y′′ + 4y′ + 5y = t, y(0) = 1, y′(0) = −3

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Factores lineales repetidos

Para factores lineales repetidos, se considera más viable aprender a resolver este caso a partir de 2 ejemplos:Ejemplo 1.2.4.1: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:

y′′′ + 6y′′ + 12y′ + 8y = 0 para y(0) = 4, y′(0) = −12, y′′(0) = 34


L (y′′′ + 6y′′ + 12y′ + 8y) = L (0)

s3Y(s)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0) + 6s2Y(s)− 6sy(0)− 6y′(0) + 12sY(s)− 12y(0) + 8Y(s) = 0

Y(s)(

s3 + 6s2 + 12s + 8)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0)− 6sy(0)− 6y′(0)− 12y(0) = 0


Y(s)(

s3 + 6s2 + 12s + 8)− 4s2 + 12s− 34− 24s + 72− 48 = 0

Y(s)(

s3 + 6s2 + 12s + 8)= 4s2 + 12s + 10

Se despeja Y(s):

Y(s) =4s2 + 12s + 10

s3 + 6s2 + 12s + 8

Se obtienen las raíces:

Y(s) =4s2 + 12s + 10

(s + 2)3

Ya que se tiene 3 veces a la misma raíz a = −2, entonces, su solución sería de la forma:

y = eat(

A3t2

2+ A2t + A1

)

Ya se puede sustituir la raíz a = −2.

y = e−2t(

A3t2

2+ A2t + A1

)

Ahora se determina Q(s), recuerde que como en el caso de raices complejas no repetidas, la raíz se debe quitarde la ecuación.

Q(s) = 4s2 + 12s + 10

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Ahora se encuentran A1, A2 y A3, los cuales están definidos como:

A3 = Q(a)

A2 = Q′(a)

A1 =Q′′(a)

2

El procedimiento se muestra a continuación:

A3 = Q(−2) = 4(−2)2 + 12(−2) + 10 = 2

A2 = Q′(−2) = 8(−2) + 12 = −4

A1 =Q′′(−2)

2=

82= 4

Finalmente se escribe la solución:

y = e−2t(

2t2

2− 4t + 4

)

y = e−2t(

t2 − 4t + 4)

Ejemplo 1.2.4.2: Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de Laplace:

y′′ + y = t para y(0) = 0, y′(0) = 0


L (y′′ + y) = L (t)

s2Y(s)− sy(0)− y′(0) + Y(s) =1s2

Y(s)(

s2 + 1)− sy(0)− y′(0) =

1s2

Se evalúa con las condiciones iniciales y se despeja Y(s):

Y(s)(

s2 + 1)=

1s2

Y(s) =1

(s2)(s2 + 1)

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Ya que se tienen 4 raíces, 2 son s = 0, y dos son s = 0± i, se debe resolver la parte de factores lineales repetidos,más la solución para factores complejos no repetidos, y posteriormente sumarlas. La solución por factoreslineales repetidos es:

y = e0t (A2t + A1)

Ahora se determina Q(s), recuerde que como en el caso de raices complejas no repetidas, la raíz se debe quitarde la ecuación.

Q(s) =1

s2 + 1

Ahora se encuentran A1 y A2, los cuales están definidos como:

A2 = Q(a)

A1 = Q′(a)

El procedimiento se muestra a continuación:

A2 = Q(0) =1

(0)2 + 1= 1

A1 = Q′(0) =−2(0)

(02 + 1)2 = 0

Se escribe la solución de la parte de factores lineales repetidos:

y1 = e0t (A2t + A1)

y1 = t

Ahora se resuelve la parte de factores complejos no repetidos: La parte real de la raíz se toma como α, y la partecompleja como β, quedando entonces α = 0 y β = 1. La expresión queda de la siguiente manera:

Y(s) =1

(s2)(s + i)(s− i)

Ahora se toma la raíz más negativa, que en este caso es s− i y se extrae de la expresión, la expresión que quedase llama Q(s):

Q(s) =1

(s2)(s + i)

La raíz negativa extraída se iguala a 0, y se despeja a la s, quedando s = i, y se evalúa a Q(s) con ese valor hastallegar a obtener un número complejo de la forma a + bi:

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Q(s) =1

(i2)(i + i)

Q(s) = 0 +i2

La parte real (a) se toma como Q1 y la parte compleja (b) como Q2:

Q1 = 0 Q2 =12

Una vez, que se tiene a α, β, Q1 y Q2, entonces se escribe la solución:

y2 = 2e0t(0cos((1)t)− (12

sen((1)t)))

y2 = −sen(t)

Finalmente se suman las soluciones:

y = y1 + y2

y2 = t− sen(t)

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(a) y′′ + y′ − 2y = 1− 2t, y(0) = 0, y′(0) = 4

(b) y′′ + y′ − 2y = tet, y(0) = 0, y′(0) = 0

(c) y′′ − 2y′ + y = tet, y(0) = 0, y′(0) = 0

(d) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = e−t, y(0) = 0, y′(0) = y′′(0) = 1

(e) y′′ − 4t = senh(2t), y(0) = 0, y′(0) = 1

(f) y′′ + 2y′ + y = t + 3, y(0) = 1, y′(0) = 0

(g) y′′ − 4y′ + 4y = te2t, y(0) = 0, y′(0) = 1

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Factores complejos repetidos

La fórmula para los factores complejos repetidos es:

y = 2eαt [(Q11 + tQ21) cos(βt)− (Q12 + tQ22) sen(βt)]


y′′ + y = 2cos(t) para y(0) = 2, y′(0) = 0


L (y′′ + y) = L (2cos(t))

s2Y(s)− sy(0)− y′(0) + Y(s) =2s

s2 + 1

Y(s)(

s2 + 1)− sy(0)− y′(0) =

2ss2 + 1

Se evalúa con las condiciones iniciales y se despeja Y(s):

Y(s)(

s2 + 1)− 2s =

2ss2 + 1

Y(s)(

s2 + 1)=

2ss2 + 1

+ 2s

Y(s) =2s + 2s3 + 2s

(s2 + 1)(s2 + 1)

Y(s) =2s3 + 4s

(s2 + 1)(s2 + 1)

La parte real de la raíz se toma como α, y la parte compleja como β, quedando entonces α = 0 y β = 1. Ahora setoma la raíz más negativa, que en este caso es s− i y se extrae de la expresión, la expresión que queda se llamaQ(s). En este momento ya se pueden sustituir a α y β:

y = 2e0t [(Q11 + tQ21) cos(t)− (Q12 + tQ22) sen(t)]

Despejando a la raíz s = i:

Q(s) =2s3 + 4s(s + i)2

Ahora se obtiene un número de la forma a + bi:

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Q(i) = 0− 12

i

De esta forma Q21 = 0 (parte real) y Q22 =− 12 . Para encontrar Q11 y Q12, es necesario calcular la primer derivada

de Q(s):

Q(s) =2s3 + 4s(s + i)2

Q′(s) =2s3 − 4s + 6s2i + 4i

(s + i)3

Ahora se evalúa, nuevamente con s = i:

Q′(i) =2i3 − 4i + 6i3 + 4i

(2i)3

Q′(i) = Q11 + iQ12 = 1 + 0i

Entonces la solución final es:

y = 2[(1 + 0) cos(t)−

(0− 1

2t)

sen(t)]

y = 2cos(t) + tsen(t)

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(a) yIV + 2y′′ + y = 0, y(0) = y′(0) = 0, y′′(0) = 2, y′′′(0) = −2

(b) yIV + 8y′′ + 16y = 0, y(0) = 1, y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0

(c) y′′ + y = sen(t), y(0) = 2, y′(0) = 1

(d) y′′ + 9y = cos(3t), y(0) = 0, y′(0) = 0

(e) y′′ + 25y = 2sen(5t), y(0) = 1, y′(0) = 0

(f) yIV + 2y′′ + y = sen(t), y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0

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Aplicaciones de las transformada de Laplace

Ejemplo 1.3.1- Encuentre la respuesta en el tiempo en el punto vo(t) del circuito RC mostrado, si se considerauna entrada de voltaje tipo escalón de amplitud vin.

A partir de las ecuaciones que definen el comportamiento de una resistencia, un capacitor y una bobina, pode-mos encontrar su representación en el espacio de transformación de Laplace:

Impedancia de una resistencia: L {v(t) = R i(t)} ⇒ V(s) = R I(s)

VR(s) = ZR I(s) siendo ZR = R (6)

Impedancia de un capacitor: L

{v(t) =

1C

∫ T

oi(t)dt

}⇒ V(s) =

1Cs

I(s)

VC(s) = ZC I(s) siendo ZC = 1Cs (7)

Impedancia de una bobina: L

{v(t) = L

di(t)dt

}⇒ V(s) = Ls I(s)

VL(s) = ZL I(s) siendo ZL = Ls (8)

Volvemos a dibujar el circuito, pero considerando las impedancias:

De esta manera:

Vo(s) =Z2

Z1 + Z2Vin(s) siendoZ1 = R y Z2 =

1Cs

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Sustituyendo valores y simplificando:

Vo(s) =1

Cs

R + 1Cs

Vin(s) = 1RCs+1 Vin(s)

El resultado final es la función de transferencia del circuito, con la cual se puede conocer su comportamiento. Sila entrada es escalón de amplitud Vin, con transformada Vin

s . el sistema queda expresado de la siguiente manera:

Vo(s) =VinRC

s(s + 1RC )

Resolviendo la función de transferencia de la ecuación por factores lineales no repetidos:

Vo(s) =VinRC

s(s + 1RC )

=As+

Bs + 1

RC

Para s = 0, A = Vin

Para s = − 1RC , B = −Vin

Vo(s) =Vins− Vin

s + 1RC

Aplicando la transformada inversa:

L −1 {Vo(s)} = L −1{

Vins

}−L −1

{Vin

s + 1RC

}

La respuesta en el tiempo del circuito RC es:

vo(t) = vin − vine−t

RC = vin(1− e−tRC )

Dando valores con vin = 10 volts, R = 300 ohms y C = 1 microfaradio

vo(t) = 10(1− e−tRC )

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INGEN

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OM


El código en matlab para analizar la respuesta del sistema es el siguiente:

1 c l c ; c l e a r a l l ; c lose a l l ;2 % V a l o r e s3 R=300; C=1e−6; Vin =10;4 % V e c t o r de t i e mp o5 t = [ 0 : 0 . 0 0 0 1 : 0 . 0 0 4 ] ;6 Fracc ion=−t . / (R*C) ;7 vo=10*(1−exp ( Fracc ion ) ) ;8 plot ( t , vo , ’ * ’ ) ; legend ( ’ Respuesta a n a l i t i c a ’ ) ;9 % S o l u c i ó n en mat l ab

10 num=[ Vin /(R*C) ] ; den=[1 1/(R*C) ] ; hold on11 s tep (num, den ) ;

La gráfica de respuesta en el tiempo del voltaje es la siguiente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Respuesta analitica

sys

Respuesta en el tiempo

Tiempo (seconds)

Am

plit

ud

(segundos)

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OM


Ejemplo 1.3.2- Considere al sistema masa-resorte-amortiguador mostrado en la figura, donde la masa es de 1Kg, el amortiguador es de 3 N-seg/m y el resorte es de 3 N/m. Si en t=0 la masa m se encuentra en x(0)= 0.1m, y que x′(0)= 0.05 m/seg. Obtenga el movimiento de la masa sujeto a las condiciones iniciales, (Suponga queno existe una función de excitación externa).

Aplicando la ley de Newton de sumatoria de fuerzas 1:

mx + bx + kx = 0

Dando valores:

x + 3x + 3x = 0

Se aplica, la transformada de Laplace considerando valores iniciales:

L {x}+ 3L {x}+ 3L {x} = 0

s2X(s)− sx(0)− x′(0) + 3 (sX(s)− x(0)) + 3X(s) = 0

Agrupando y evaluando condiciones iniciales

X(s)(

s2 + 3s + 3)− 0.1s− 0.05− 3(0.1) = 0

1Para más información consulte OGATA, Katsuhiko; SANCHEZ, Guillermo Lopez Portillo. Dinámica de sistemas. Prentice-Hall Hispa-noamericana, 1987.

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OM


X(s)(

s2 + 3s + 3)= 0.1s + 0.35

X(s) =0.1s + 0.35s2 + 3s + 3

, ahora se obtienen las raíces

X(s) =0.1s + 0.35

(s + 1.5−√

3/2i)(s + 1.5 +√

3/2i)

Resolviendo con factores complejos no repetidos, que son de la forma:

x(t) = 2eαt (Q1cos(βt)−Q2sen(βt))

Donde α = −1.5 y β =√

3/2 y tomando al factor s = −1.5 +√

3/2i

Q(s) =0.1s + 0.35

s + 1.5 +√

3/2i

Q(−1.5 +√

3/2i) =0.1(−1.5 +

√3/2i) + 0.35

(−1.5 +√

3/2i) + 1.5 +√

3/2i

Q(−1.5 +√

3/2i) =−0.15 +

√3/20i + 0.35√

3/2i +√

3/2i

Simplificando:

Q(s) =0.2 +

√3/20i√

3i

Q(s) =

(0.2 +

√3/20i√

3i

)(ii

)=

0.2i +√

3/20i2√3i2

=1

20− 0.2√

3i

Entonces Q1 =120 y Q2 = − 0.2√

3y anotando en la ecuación

x(t) = 2e−1.5t(

120

cos(√

3/2t) +0.2√

3sen(√

3/2t))

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INGEN

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OM


El código en matlab para analizar la respuesta del sistema es el siguiente:

1 c l c ; c l e a r a l l ; c lose a l l ;2 % V a l o r e s3 M=1; B=3; K=3;4 % V e c t o r de t i e mp o5 t = [ 0 : 0 . 1 : 3 . 5 ] ;6 Q1=1/20; Q2=−0.2/( sqr t ( 3 ) ) ; a l f a =−1.5; beta =( sqr t ( 3 ) ) /2 ;7 vo=2*exp ( a l f a . * t ) . * ( Q1* cos ( beta . * t )−Q2* sin ( beta . * t ) ) ;8 plot ( t , vo , ’ * ’ ) ; legend ( ’ Respuesta a n a l i t i c a ’ ) ;9 %% S o l u c i ó n en mat l ab

10 num= [ 0 . 1 0 . 3 5 0 ] ; den=[M B K ] ; hold on11 s tep (num, den ) ;

La gráfica de respuesta en el tiempo es la siguiente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Respuesta analiticasys

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ud

e

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OM


Ejercicio 1.3.1. La figura muestra un diagrama a bloques de la función de transferencia de un termómetroresistivo y una válvula conectada a él. La entrada xi(t) es la temperatura y la salida xo(t) es la posición de laválvula. Encuentre la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón con condiciones iniciales iguales a cero.

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Uso de Matlab para la solución de transformadas

Una forma simple de encontrar la función de transferencia de una función f(t) es por medio de calculo simbó-lico. Analice e implemente el siguiente código de apoyo.

1 c l c ; c l e a r a l l ; c lose a l l ;2 f1=sym( ’ t ^3 ’ ) ;3 F1= l a p l a c e ( f1 ) ;4 f2=sym( ’ 2* t ’ ) ;5 F2= l a p l a c e ( f2 ) ;6 f3=sym( ’ s i n (w* t ) ’ ) ;7 F3= l a p l a c e ( f3 ) ;8 Tranformadas =[ F1 F2 F3 ]

Anote aquí sus conclusiones sobre dicho código:

También se puede resolver la respuesta en el tiempo del Ejemplo 1.3.1 del circuito RC por medio del siguientecódigo. Analice e implemente.

1 c l c ; c l e a r a l l ; c lose a l l ;2 syms s ;3 Vin =10; R=300; C=1;4 num=Vin /(R*C) ; den=s * ( s +1/(R*C) ) ;5 f = i l a p l a c e (num/den )


Se puede resolver la respuesta en el tiempo del Ejemplo 1.3.2 del sistema MRA. Analice e implemente.

1 c l c ; c l e a r a l l ; c lose a l l ;2 syms s ;3 num= 0 .1 * s + 0 . 3 5 ; den=s^2 + 3* s +3;4 f = i l a p l a c e (num/den )


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Calendario matemático

Ejercicio 1.4.1 Se lanza un dado dos veces. Hallar la probabilidad de que se obtenga por lo menos un 2.R:

Ejercicio 1.4.2 En un examen la teoría vale el 60% y los problemas el 40% de la nota final. Si Pedro tiene de notafinal un 7 y sacó en los problemas un 5.125 ¿Qué nota tuvo en la teoría?R:

Ejercicio 1.4.3 Las dos quintas partes de un número es el doble de quince. ¿Cuál es el número?R:

A continuación se presenta un juego llamado sudoku, investigue como se juega y resuelvalo.

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Soluciones

Solución de ejercicios 1.2.1:

(a) F(s) =3

s + 2+

1s + 1

(b) F(s) =6s4 +

2s3 +

1s2 +

1s

(c) F(s) =1s− 2

s + 2+

4(s + 1)(s + 1)2 + 9

(d) F(s) =8

s + 1000− 5

s + 2000


(a) y = −14

et +138

e3t +58

e−t

(b) y = −2e−2t + 3e−t

(c) y =12(cosh(2t)− 1)

(d) y = e12 t

(e) y =54

e3t +74

e−t

(f) y =35

e−t +2345

e9t − 109

(g) y =16

e−t − 16

et − 112

e−2t +1

12e2t


(a) y =15+ 2e−2t

(− 1

10cost +

15

sent)

(b) y =12

sen(2t)− e−tsen(t)

(c) y = e−2tsen(t)

(d) y = e2t(

cos(3t)− 23

sen(3t))

(e) y =2

13+ e3t

(1113

cos(2t)− 1013

sen(2t))

(f) y =110

et + e4t(

910

cos(t)− 1710

sen(t))

(g) y = e−2t(

2925

cos(t)− 2225

sen(t))+

t5− 4

25


(a) y = et − e−2t + t

(b) y = et(

16

t2 − 19

t +1

27

)− 1

27e−2t

(c) y =16

t3et

(d) y = e−t(

16

t3 +32

t2 + t)

(e) y =38

senh(2t) +14

tcosh(2t)

(f) y = t + 1− te−t

(g) y = e2t(

t3

6+ t)


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(a) y = tcos(t)− sen(t) + tsen(t)

(b) y = cos(2t) + tsen(2t)

(c) y = 2cos(t)− 12

tcos(t) +32

sen(t)

(d) y =16

tsen(3t)

(e) y = cos(5t)− 15

tcost +1

25sen(5t)

(f) y =38

sen(t)− 38

tcos(t)− 18

t2sen(t)

Solución al ejercicio 1.3.1

xo(t) = 1− 1.01e−0.5t − 0.01e−0.5t(10.16sen(4.97t)− cos4.97t)

Solución del problema 1.4.1: 1136 .

Solución del problema 1.4.2: 8.25.

Solución del problema 1.4.3: 75.

Referencias

[1] Jover Isabel Carmona. Ecuaciones diferenciales, 1998.

[2] Warren S. Wright and Dennis G. Zill. Ecuaciones diferenciales con problmeas con valores en la frontera. CENGA-GE Learning, 8va edition.

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Documents

Transformada de Laplace - ingenaro.files.wordpress.com€¦ · medio de la transformada de Laplace, de esta manera se procede a resolver esa ecuación algebraica racional y posteriormente