Transformaciones Geometric As 2D Graficacion

8/8/2019 Transformaciones Geometric As 2D Graficacion

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TRANSFORMACIONES

GEOMTRICASEN 2D


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Introduccin a las transformaciones

2D Un Sistema grfico debera permitir la definicin de

objetos o imgenes que incluyan una serie de

transformaciones. Estas transformaciones son el medio para construiro modificar imgenes u objetos.

Una rotacin, traslacin y escalamiento entre otras,

son tales transformaciones. Cada transformacin utiliza un punto (x, y) paragenerar un nuevo punto (x, y).


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Transformaciones en dos

dimensionesLos objetos se definen mediante un conjunto de

puntos. Las transformaciones son procedimientos para

calcular nuevas posiciones de estos puntos, cambiadoel tamao y orientacin del objeto.

Las operaciones bsicas de transformacin son

Traslacin Escalamiento

Rotacin.


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TraslacinLas coordenadas (x,y) de un objeto se transforman a (x',y')de acuerdo a las frmulas:

x x T y y Tx y' , '! !

El par (Tx, Ty) se conoce como vector de traslacin.

y

x

y

x

(a)(b)


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Escalamiento

El escalamiento modifica el tamao de un polgono. Paraobtener este efecto, se multiplica cada par coordenado (x,y)

por un factor de escala en la direccin x y en la direccinypara obtener el par (x',y').

Las frmulas son x x S y y S

x y! ! y

x

y

x

(a)(b)


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Escalamiento respecto a un punto

fijoSe puede llevar a cabo un escalamiento respecto a un puntofijo trasladando primero ese punto al origen, despusescalando y luego regresando el objeto a la posicin original.

Las ecuaciones son x x x x S y y y y S

x y' , '! ! F F F F

y

x

y

x

(a)(b)

(x ,y )F F

F

F

1'

1'ySSyy

xSSxx

yy

xx

!!

Reacomodando


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Rotacin

La rotacin gira los puntos de una figura alrededor de un puntofijo. De la figura se obtiene

y

x

r

r(x, y)

(x', y')

J

U

x r r r

y r r r

' cos cos cos sen sen

' sen sen cos cos sen

! !

! !

J U J U J U

J U J U J U

x x y

y y x

' cos sen

' cos sen

!

!

U U

U U

Simplificando


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Rotacin respecto a un punto

arbitrarioLa rotacin respecto a un punto arbitrario es

x x x x y y

y y y y x x

' cos sen

' cos sen

!

!

R R R

R R R

U U

U U

y

x

(x , y )R R


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Coordenadas homogneasPara poder representar las tres transformaciones en formamatricial como producto de matrices, es necesario representarlos puntos en coordenadas homogneas.

Estas coordenadas agregan una tercer componente a lascoordenadas bidimensionales. De tal forma que, un punto (x,y)

pasa a ser (x,y, W). El punto en coordenadas Cartesianasrepresentado por esta trada es el (x/W,y/W). El valor de Wesgeneralmente 1.


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Representacin matricial de

traslacionesHaciendo uso de coordenadas homogneas la traslacin puederepresentarse como:

? A ? Ax y x y

T Tx y

' ' 1 1

1 0 0

0 1 0

1

!

-

En forma abreviada la transformacin se representar porT(Tx, Ty)

T T TT T

x y

x y

, !

-

1 0 0

0 1 0

1

P P T T Tx y' ,!


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Haciendo uso de coordenadas homogneas el escalamientopuede representarse como:

En forma abreviada la transformacin se representar porS(Sx, Sy)

? A ? Ax y x y

S

S

x

y' ' 1 1

0 0

0 0

0 0 1

!

-

P P S S Sx y' ,! S S SS

Sx y

x

y, !

-

0 0

0 0

0 0 1


escalamientos


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rotacionesHaciendo uso de coordenadas homogneas la rotacin puederepresentarse como:

En forma abreviada la transformacin se representar porR(U)

? A ? Ax y x y' '

cos sen

sen cos1 1

0

0

0 0 1

!

-

U U

U U

P P R' ! U R UU UU U!

-

cos sensen cos

0

0

0 0 1


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Composicin detransformaciones

Para aplicar varias transformaciones a un conjunto de puntosbasta con combinar las matrices de transformacin en una sola,mediante multiplicacin matricial. En caso de tener solotransformaciones del mismo tipo, la combinacin sigue reglas

muy simples. T T T T T T T T T T T x y x y x x y y1 1 2 2 1 2 1 2, , , ! Traslacin:

Escalamiento:

Rotacin:

S S S S S S S S S S S

xy

xy

x xy

x1 1 2 2 1 2 1 2, , , !

R R RU U U U1 2 1 2 !


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Escalamiento respecto a un punto

fijo en forma matricialPara llevar a cabo un escalamiento respecto a un punto fijo, seprocede multiplicando una matriz de traslacin para llevar elpunto fijo al origen por una de escalamiento y posteriormentepor otra de traslacin para llevar al punto fijo a su posicinoriginal.

1 0 0

0 1 0

1

0 0

0 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1

0 0

0 0

1 1 1

-

-

-

!

-

x y

S

S

x y

S

S

S x S y

x

y

x

y

x y

F F F F

F F


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(a)

(x ,y )F F

Objeto original y punto fijo

(b)Traslada de manera que el

punto fijo quede en el origen

(c)Escala el objeto respecto al origen

(d)

(x ,y )F F

Traslada de manera que elpunto fijo quede en la posicinoriginal


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Rotacin respecto a un punto fijo

en forma matricialPara llevar a cabo una rotacin respecto a un punto fijo, se

procede multiplicando una matriz de traslacin para llevar elpunto fijo al origen por una de rotacin y posteriormente porotra de traslacin para llevar al punto fijo a su posicin original.

-

!

-

-

-

1cos1cos1

0cos

0cos1

010

001

100

0cos

0cos

1

010

001

RRRR

RRRR

UUUU

UU

UU

UU

UU

senxysenyx

sen

sen

yx

sen

sen

yx


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(a)

(x ,y )R R

Ob eto original y punto i o

(b)Traslada de manera que el

punto i o quede en el origen

(c)Rota el ob eto respecto al origen

(d)

(x ,y )R R

Traslada de manera que elpunto i o quede en la posicinoriginal


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Forma general

En general una transformacin que utilice traslaciones,escalamientos y rotaciones tendr la forma:

? A ? Ax y x y

a d

b e

c f

' ' 1 1

0

0

1

!

-

Por tanto, el clculo de las coordenadas transformadas sepodr hacer con las siguientes ecuaciones

feydxy

cbyaxx

!

!

'

'


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Otras transformaciones

Otras transformaciones que permiten llevar

a cabo operaciones muy tiles, estas son: Reflexiones

Corte.


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Reflexiones en x yyLas reflexiones respecto al eje x yy se obtienen con las matricessiguientes:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-

-

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(a) (b)

osicin original

osicin re le ada

osicin re le adaosicin original


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Reflexin respecto al origen

-

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(a)

osicin original

osicin refle ada

La reflexin respecto al origense obtiene con :


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Reflexin respecto a la rectay = xUna reflexin respecto a la rectay = x, puede obtenerse en tres

pasos: girar un ngulo de 45 en el sentido de las manecillas delreloj, una reflexin respecto al eje x, y una rotacin de 45 gradosen contra del sentido del reloj.

osicin original

(a) Rotacin de -45 grados (b) Reflexin respecto a x. (a) Rotacin de 45 grados

osicin original

osicin reflejada

0 1 0

1 0 0

0 0 1

-


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Corte en x

El corte produce una deformacin similar al deslizamiento deuna capa sobre otra. El corte en x se produce por la matriz:

1 0 0

1 0

0 0 1

SHx

-

(a) (b)

(1,1)(2,1) (3,1)

(1,0)

(0,1)

(0,0) (0,0) (1,0)x x

y y


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Corte enyEl corte eny se produce por la matriz

1 0

0 1 0

0 0 1

SHy

-

(a) (b)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,0)

(0,1)

(0,0) (0,0)

(0,1)

x x

y y


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Transformaciones Ventana-

Puerto de visinLas transformaciones ventana-puerto de visin, mapean puntosen el mundo real a puntos en la pantalla.

Coordenadas mundiales Coordenadas de pantalla

VentanaPuerto de visin 1

Puerto de visin 2


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Transformaciones de visin

Ventana en coordenadas mundiales

(xmin,ymin)

(xmax,ymax)

Ventana trasladada al origen

Ventana escalada al tamao

del rea de visin.

Traslacin hasta la posicin final.

(umin, vmin)

(umax,vmax)


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(continuacin)

minminminmax

minmax

minmax

minmaxminmin ,,, vuT

yy

vv

xx

uuSyxTMWV

!

-

-

-

!

1010

001

100

00

00

1010

001

minminminmax

minmax

minmax

minmax

minmin vuyy

vv

xx

uu

yx


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(continuacin)

-

!

1

00

00

minminmax

minmax

minminminmax

minmax

min

minmax

minmax

minmax

minmax

vyy

vv

yuxx

uux

yy

vv

xx

uu

MW


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Ejemplo

Las transformaciones complejas deben serdescritas como composicin de una mssimples. Suponga que queremos derivar unatransformacin que rote un punto en el sentido

de las manecillas del reloj, un ngulo conrespecto al punto (Rx, Ry).

Primero debemos trasladar el punto para que

(Rx, Ry) se convierta en el origen, esto es:


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[x, y , 1] = [x, y , 1] 1 0 00 1 0-Rx Ry 1

[x, y , 1] = [x, y , 1]cos -sen 0sen cos 0

0 0 1

Posteriormente se aplica la rotacin.

Finalmente, trasladamos el punto para que el origen sea trasladado

(Rx, Ry).[x, y , 1] = [x, y , 1] 1 0 0

0 1 0Rx Ry 1


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Esto se podra haber realizado mediante una composicin detransformaciones.

[x, y , 1] =

= [ x, y , 1] 1 0 00

1

0

-Rx Ry 1

cos -sen 0sen cos 0

0 0 1

1 0 00 1 0Rx Ry 1

Si los valores de Rx, Ry y se conocen, las tres matrices se

pueden multiplicar para obtener una sola matriz de transformacin.Ejercicio: Obtener la matriz de transformacin final.

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