TRANSFERT DE MASSE - Energy talk · Monssif NAJIM ENSA, UIZ TRANSFERT DE MASSE Année 2015-2016 18 / 72. Introduction Phénomène de transfert Déﬁnitions Transfert de matière

Introduction Phénomène de transfert Définitions Transfert de matière au sein d’une phase

TRANSFERT DE MASSE

Monssif NAJIM

Ecole Nationale des Sciences Appliquées, UIZ

Année 2015-2016

Monssif NAJIM ENSA, UIZ TRANSFERT DE MASSE Année 2015-2016 1 / 72


Introduction

Le phénomène de transfert de masse est rencontré dans plusieurs opéra-tion industrielles qu’on appelle souvent opérations unitaires ou opérationsde séparation.

Absorption d’un gaz dans un liquide.Adsorption d’un gaz ou un liquide sur un solideDistillation fractionnée d’une solution liquide.Extraction liquide-liquide.Filtration.Séchage.Vaporisation.



Absorption

L’absorption d’un gaz dans un liquide : Pénétration d’une substance dansune autre substance ayant généralement lieu entre un liquide et un gaz.



L’Absorption est principalement utilisée pour purifier un flux gazeux ou pourrécupérer un constituant présent dans un mélange gazeux ou linverse.



Adsorption

L’Adsorption d’un gaz ou de liquide sur un solide : Fixations des moléculesde gaz ou du liquide sur les surfaces solides des adsorbant.



Adsorption

Elle est donc un phénomène de surface par lequel les molécules de liquideou de gaz se fixent sur les surfaces solides des adsorbants. Cette adsorptionest donc un transfert de molécule de soluté, du solvant vers l’adsorbant(charbons actifs, zéolite, gel de silice, alumine activée...)Exemple :Sécheur d’air.



Distillation

Distillation fractionnée d’une solution liquide : un procédé de séparation demélange de substances liquides dont les températures d’ébullition sontdifférentes.



Distillation

Elle est basée sur la différence de volatilité des constituants du mélangeliquide à traiter thermiquement.



Extraction liquide-liquide

Extraction liquide-liquide : est une mise en oeuvre de l’extraction partransfert entre deux phases liquides.

Contrairement à l’opération de distillation, le produit extrait ne changepas de phase : un mélange binaire dont on veut effectuer la séparationest mis en contact avec un troisième liquide non miscible appelé solvantet retenu pour sa capacité à extraire préférentiellement l’un des élémentsdu mélange.

Cette opération, ordinaire dans l’industrie chimique, permet de séparerdes produits ayant des températures d’ébullition très voisines (donc unedistillation trop délicate) mais ayant des propriétés physico-chimiques dif-férentes.



Extraction liquide-liquide



Filtration

Filtration : un procédé de séparation permettant de séparer les consti-tuants d’un mélange qui possède une phase liquide et une phase solideau travers d’un milieu poreux.

L’utilisation d’un filtre permet de retenir les particules du mélange hétéro-gène qui sont plus grosses que les trous du filtre (porosité).

Le liquide ayant subi la filtration se nomme filtrat, et ce que le filtre retientse nomme un résidu.



Osmose

L’osmose : un phénomène de diffusion de la matière mis en évidencelorsque des molécules d’eau (de solvant de façon générale) traversent unemembrane semi-perméable qui sépare deux liquides dont les concentrationsen produits dissous sont différentes.



Osmose

La différence de concentration provoque une différence de pressionosmotique qui engendre un déplacement du solvant à travers la membrane.



Séchage

Le séchage : un procédé qui sépare un liquide d’un solide par évaporation.Cette opération demande un apport d’énergie thermique.



Exemples industriels



Exemples industriels



Phénomène de transfert

Considérons le système de climatisation de la salle des ordinateurs. Cesystème doit maintenir une température T∗ et une humidité h∗ dans la salle.

systeme

Salle

h∗

T∗ Text

hext



Phénomène de transfert

Le maintien de T∗ et de h∗ à l’intérieur de la salle, est réalisé par l’in-termédiaire d’un système de climatisation qui fait intervenir des transfertd’énergie et de matière.

Le transfert d’énergie est destiné à maintenir la température autour deT∗.

Le transfert de matière est destiné à maintenir l’humidité autour de h∗.

L’étude des phénomène de transfert permet d’établir les équations quiserviront de base à la conception des équipements..



Notions de Bilans

En génie chimique, on a très souvent besoin de connaître la composition desmélanges produits et introduits, les flux de matière dans chaque partie duprocédé en vue d’élaborer de nouveaux process plus performants oud’optimiser des procédés existants.A l’aide d’outils informatiques, l’ingénieur en Génie de Procédés effectue desbilans thermiques, des bilans matière et très souvent le dimensionnementdes installations.

L’utilisation de l’informatique est appelée en Génie Chimique leflowsheeting.L’optimisation d’un process est divisé en trois étapes de base :

synthèseanalyseoptimisation.



Notions de Bilans

1 La synthèse est l’étape où la problématique est choisie. C’est aussi danscette étape que l’on initialise les valeurs des variables (composition,pression, température,objectifs à atteindre,etc) que l’on est libre de fixer.

2 L’analyse est habituellement composée de trois étapes :résoudre les transferts de chaleur et de matièredimensionnement et calcul des coûts du matérielévaluer la valeur économique, sécurité, etc

3 L’optimisation implique à la fois l’optimisation des flux (débits matière etthermique) lui-même ainsi que l’optimisation des paramètres opératoires(température, pression,etc) dans un process.



Notions de Bilans

Considérons un système S ayant des échanges avec l’extérieur.

Systemee2

e1

en

s1

s2

sn

ei : entrées avec 1 ≤ i ≤ nsj : sorties avec 1 ≤ j ≤ m



Notions de Bilans

Définition : On appellera bilan matière (respectivement énergie), l’équa-tion traduisant la conservation de la matière (respectivement l’énergie)dans le système.

Cette équation s’écrit :

Accumulation = Entrée - Sortie + Génération

soit :

A =

n∑i=1

ei −m∑

j=1

sj + G



Notions de Bilans

Exemple 1 : On considère un réservoir à partir duquel on alimente tousles circuits d’eau d’une usine.

h

D1

D2



Notions de Bilans

Exemple 1 : On considère un réservoir à partir duquel on alimente tousles circuits d’eau d’une usine.

h

D1

D2

Déterminer l’équation de bilan.



Notions de Bilans

L’équation de bilan matière s’écrit :

A = E − S + G

Pour une hauteur h, si S est la section droite du réservoir, la masse d’eaudans ce réservoir est ρSh.

Par conséquent :

A =d(ρSh)

dtL’équation de bilan s’écrit :

d(ρSh)dt

= D1 − D2

ou encoreρS

dhdt

= D1 − D2



Notions de Bilans

Exemple 2 : On considère un système de production d’eau chaude sani-taire.

D, T1 D, T2

T2

P

Ce système permet de porter l’eau de la température T1 à T2 par l’inter-médiaire d’une résistance électrique ayant une puissance P. Il y a doncun transfert d’énergie de la résistance vers l’eau.

Déterminer l’équation de bilan.



Notions de Bilans

On suppose que le chauffe-eau est bien isolé.

Le bilan énergétique s’écrit :

A = E − S + G

La différence entre l’entrée et la sortie s’écrit :

E − S = DCP(T1 − T2)

Le terme accumulation est donné par :

A = ρshCPdT2

dt

La génération est égale à la puissance P d’où :

ρshCPdT2

dt= DCP(T1 − T2) + P



Notions de Bilans

Avant d’établir les bilan sur un système, il est important de définir sonrégime de fonctionnement.

Deux types de régimes peuvent être considérés :

Régime permanent : défini comme un état de marche où toutes les variablesdu système sont constantes dans le temps.

Régime transitoire : correspond à l’état où au moins l’une ds variables dusystème varie avec le temps.



Notions de Bilans

Exemple 1 : Bilan matière sur un réservoir.Rappelons l’équation du bilan :

ρSdhdt

= D1 − D2

En régime permanent, on a :dhdt

= 0

L’équation du bilan devient :

D1 − D2 = 0

En régime transitoire, on a :

dhdt

=1ρS

(D1 − D2)



Définitions

Flux : On appelle flux ϕ d’une grandeur G se propageant selon la direction−→n , la quantité de cette grandeur traversant une surface infinie perpendi-culaire à −→n par unité de temps.



Définitions

Masse volumique : c’est la masse totale m du système divisée par levolume total V du système.

ρ =mV

Concentration : c’est le nombre de moles total N dans le système, divisépar le volume total V du système.

C =NV

Concentration massique d’un constituant : c’est la masse du constituanti divisée par le volume total V du système.

ρi =mi

V



Définitions

Par définition, si n est le nombre de constituants, on a :

n∑i=1

ρi =n∑

i=1

mi

V=

1V

n∑i=1

mi =mV

soit :n∑

i=1

ρi = ρ

Concentration molaire du constituant i : C’est le nombre de moles duconstituant i divisé par le volume total du système.

Ci =Ni

V

Par définition :n∑

i=1

Ci =1V

n∑i=1

Ni =NV

soitn∑

i=1

Ci = C



Définitions

Fraction massique du constituant i : C’est la masse du constituant i divisépar la masse totale du système.

wi =mi

m

D’autre part, la somme des fraction massique est donnée par :

n∑i=1

wi =

n∑i=1

mi

m=

1m

n∑i=1

mi =mm

soitn∑

i=1

wi = 1



Exemple

Soit un mélange binaire d’eau et de méthanol composé de 10 g d’eau et 90 gde méthanol :

La fraction massique en méthanol est :?

La fraction massique en eau est :?



wMeOH =90

10 + 90=

910

= 0.9 soit 90%

weau =10

10 + 90=

110

= 0.1 soit 10%



Définitions

Fraction molaire du constituant i : C’est le nombre de moles du constituanti divisé par le nombre de moles total :

xi =Ni

N=⇒

n∑i=1

xi = 1

Comment passer de la fraction molaire à la fraction massique ?



Conversion

Soit un mélange de deux composants A et B de titre molaire XA

Soit MA la masse molaire de A et MB la masse molaire de BxA = na

n donc nA = xA × net de la même façon nB = xB × n = (1 − xA)× nOr wA =

mA

mA + mB

Donc wA = n×xA×MAn×xA×MA+n×xB×MB

= xA×MAxA×MA+(1−xA)×MB



Définitions

Vitesse de l’espèce i par rapport à un repère fixe : vi

Vitesse moyenne massique : elle est définit par :

v =

(∑ni=1 ρivi∑n

i=1 ρi

)On note que le produit (ρv) indique le flux de passage de la matière.Vitesse moyenne molaire : elle est définit par :

v∗ =

(∑ni=1 Civi∑n

i=1 Ci

)On note que le produit (cv∗) indique le flux de passage de la matièreexprimée en termes molaires.

Vitesse relatives :vi − v : vitesse de diffusion de l’espèce i par rapport à la vitesse moyennemassique.

vi − v∗ : vitesse de diffusion de l’espèce i par rapport à la vitesse moyennemolaire.



Flux diffusionnels

On désigne par ϕ le flux massique total par rapport à un repère fixe et φile flux massique de l’espèce i par rapport à un repère fixe. Par définitionon a :

φi = ρivi

Le flux molaire de l’espèce i par rapport à un repère fixe :

ϕi = Civi

Le flux massique de l’espèce i par rapport à la vitesse massique v :

ji = ρi(vi − v)



Flux diffusionnels

Le flux molaire de l’espèce i par rapport à la vitesse moyenne massique :

Ji = Ci(vi − v)

Le flux massique de l’espèce i par rapport à la vitesse moyenne molairev∗ :

j∗i = ρi(vi − v∗)

Le flux molaire de l’espèce i par rapport à la vitesse moyenne molaire v∗ :

J∗i = Ci(vi − v∗)



Flux diffusionnels

Exercice 1 :

1 Montrer que :

−→φi =−→ji +

(n∑

i=1

−→φ i

).wi

2 Montrer que :n∑

i=1

−→ϕi = C

−→v∗



Flux diffusionnels

Exercice 2 : On considère un mélange à n constituants.

1 Exprimer J∗k en fonction de ϕk avec 1 ≤ k ≤ n

2 Montrer que :n∑

i=1

J∗i = 0

3 Montrer que, pour un mélange binaire (n = 2) il existe une relation simpleentre jA et jB



Transfert de matière au sein d’une phase

Lorsqu’on s’intéresse au transfert de matière dans une phase, on consi-dère deux cas selon la phase est "immobile" ou "mobile".

Lorsqu’on considère une phase immobile :

Le transport au niveau de la phase se fait uniquement par diffusion molécu-laire.

Dans la phase il n’existe pas de tourbillons qui provoquent une quantité demouvement.

Dans le cas contraire, le transport des constituants n’est pas dû unique-ment à la diffusion moléculaire.



Transfert de matière au sein d’une phase "immobile"

Dans la suite on va se limite aux mélange binaires.

Dans un gaz la diffusion est le résultat d’un déplacement aléatoire desmolécules.

Si on considère un plan normal à la direction du gradient de concentrationd’un réactif A, il existe un flux de molécules de A à travers ce plan.



Loi de Fick

Il se produit donc un déplacement des molécules de A de la région à po-tentiel chimique élevé vers celle à potentiel chimique plus faible jusqu’onaura égalité des potentiels chimiques.

Constituant A

Constituant B



Loi de Fick

La loi empirique de Fick décrit ce phénomène en énonçant que le flux dematière, IA, est proportionnel au gradient de concentration par l’intermé-diaire du coefficient de diffusivité, DAB :

IA = −DABdCA

dy

IA est le flux molaire de A exprimé en mole/m2/s.

dCA/dy est le gradient de concentration de A dans la direction des y enmole/m3/m.

DAB (en m2/s) est le coefficient de diffusion ou la diffusivité du mélange binaireAB.

Dans cette équation, le signe moins traduit le fait que le transfert s’effec-tue des zones concentrées aux zones diluées (dans le sens opposé auxconcentrations croissantes).



Loi de Fick

Loi de Fick

Si JA désigne le flux massique du constituant A, on a :

JA = MA.IA

où MA est la masse molaire du constituant A

On peut montrer que :

JA = −DABdρA

dy(1)



Diffusivité

UnitéL’unité SI est le m2s−1. L’unité la plus utilisée est l’unité CGS : 1cm2s−1 =10−4 unité SI

Ordre de grandeur

Diffusivité de la vapeur d’eau dans l’air à 20 ◦C : 2.5 × 10−1cm2.s−1

Diffusivité de la l’oxygène dans l’eau à 20 ◦C : 2.6 × 10−5cm2.s−1

Diffusivité de Na+ et Cl− dans l’eau à 20 ◦C : 1.5 × 10−5cm2.s−1



Diffusivité

Pour presque tous les gaz TPN, D est dans la fourchette :

0.1 < D < 0.4 cm2.s−1

Pour presque tous les liquides organiques et les ions en solution aqueuse,D est dans la fourchette :

0.5 × 10−5 < D < 3.4 × 10−5cm2.s−1




Diffusivité

Une augmentation de pression entraine pour les gaz une forte dimunitionde D. Entre quelques centièmes et quelques dizaines d’atmosphères, onobserve la loi :

D =Cste

PPour les liquide, une faible diminution de D négligeable.



Explication

Physiquement, la diffusion reflète le "mélange" ayant lieu entremolécules du à l’inévitable agitation thermique moléculaire.

Dans un liquide, les molécules sont condensées et donc proches lesunes des autres.

Dès qu’une molécule s’éloigne de sa position les interactions avec sesvoisines ont tendance à la ramener à sa position initiale.

Cependant, une certaine concordance dans les déplacements peutentraîner un changement de position " mélange " entre molécules : ladiffusion.



Explication

Ainsi, à 20 ◦C, par diffusion une molécule d’eau se déplace en moyenne de0,3 mm de sa position initiale au bout de 1 minute :l =

√D.t . Cette distance,

l, est doublée à 50rC et est toujours proportionnelle à la racine du temps. Unemolécule d’air à 20rC s’éloigne de sa position d’équilibre en moyenne de 4,6cm en 1 minute ce qui souligne la différence de liberté de mouvement dansun gaz et un liquide.



Diffusivité

Une augmentation de la température entraine pour les gaz une augmen-tation de D, proportionnelle à Tn.

D = (Cste)Tn

avec n = 1.5 pour les mélange binaires de gaz non polaire entre 200 et1000K.avec n = 1.7 à 1.9 pour les mélange binaires de gaz contenant au moinsun gaz polaire.Pour presque tous les liquides, une augmentation de D proportionnelle àT :

D = (Cste)T



Exemple :Vitesse de transfert du virus

Imaginez que vous êtes au fond de la pièce près d’un radiateur à une distanceraisonnable de l’enseignant (6 mètres). L’enseignant en éternuant libère desvirus (coefficient de diffusion des virus dans l’air : 10−5m2/s). Quel est le tempsavant lequel vous devrez quitter la salle de cours par la porte du fond pour nepas être potentiellement contaminé(e) ?(vous considérerez seulement le transport diffusif du virus).

2 s

41 jours et 16 heures

1 an et 240 jours

25 heures

1141 années




Expression du flux de transfert par diffusion moléculaire parrapport à un repère fixe

On considère un mélange binaire A + B, on rappelle :

xA =CA

Ct=

ρAMA

ρAMA

+ ρBMB

=

wAMA

wAMA

+ wBMB

wA =ρA

ρt=

CAMA

CAMA

+ CBMB

=

xAMA

xAMA

+ xBMB

Avec

Ct = CA + CB ; ρt = ρA + ρB ; ρA = MACA et ρB = MBCB





Par rapport à un trièdre de référence situé dans l’espace, le flux massiquetotal N est relié aux flux massiques des constituants A et B par la relation :

N = NA + NB

z

x

dy

dz

dx

y





on considère un paquet de molécules (ou agrégat) se déplaçant dans unmilieu tout en conservant les positions relatives des différentes moléculesconstituant l’agrégat, la définition de sa vitesse est identique à celle d’unobjet unique.

Par contre, si les diverses molécules du paquet se déplacent les unespar rapport aux autres avec des vitesses différentes, la définition de lavitesse de l’agrégat n’est plus évident et on peut définir, pour l’agrégat,plusieurs vitesses.





Ainsi, pour un agrégat contenant des molécules de l’espèce A, on peutdéfinir la vitesse de UA comme le rapport du flux massique NA à la massevolumique ρA :

UA =NA

ρA

Pour un agrégat constitué de molécules A et B, la vitesse s’obtient larelation suivante :

ρtU = ρAUA + ρBUB

soit :U = wAUA + wBUB





La vitesse ainsi définie porte le nom de vitesse barycentrique massiqueou vitesse moyenne massique du mélange binaire A + B.

De même, si nous désignons par N∗A et N∗

B les flux molaire des réactifsA et B, par rapport à un trièdre de référence fixé dans l’espace, le fluxmolaire total N∗ est égal à :

N∗ = N∗A + N∗

B





Les flux molaires et massique étant définis par rapport au même trièdrede référence fixé dans l’espace, on a :

N∗A = NAMA et N∗

B = NBMB

d’oùUA =

NA

ρA=

N∗A

CAet UB =

NB

ρB=

N∗B

CB

soit :N∗ = CAUA + CBUB





Le flux molaire total N∗ peut être alors défini en fonction d’une vitessemoyenne molaire ou vitesse barycentrique molaire, en posant :

N∗ = CtU∗ d’où U∗ = xAUA + xBUB

L’analyse des équations précédentes montre clairement que le flux mas-sique N n’est pas égal au flux molaire N∗ multiplié par la masse molairemoyenne. Les vitesses U et U∗ sont différentes.





on appellera respectivement JA et J∗A le flux massique de A par rapport à

un système d’axes se déplaçant avec les vitesses moyennes U et U∗.

De même, IA et I∗A désignerons respectivement le flux molaire de A parrapport à un système d’axes se déplaçant avec les vitesses moyennes Uet U∗. Nous avons les relations :

JA = MAIA

J∗A = MAI∗A





Les relations entre JA et I∗A et J∗A et IA ne sont pas évidentes et avant de les

établir, on doit préciser les relations qui existent entre le flux d’un consti-tuant par rapport au repère fixe et le flux diffusionnel de ce constituant.

Exercice : Etablir la relation entre NA et JA et la relation entre N∗A et I∗A





Par rapport aux axes fixes, la vitesse du constituant A est :

UA =NA

ρA=

N∗A

CA(2)

Si l’on suppose que l’ensemble des molécules se déplace par rapport auxaxes fixes avec la vitesse molaire moyenne U, la vitesse relative de A parrapport à la vitesse massique moyenne est UA − U et le flux de diffusionmassique JA est donc égal à :

JA = ρA(UA − U) = NA − UρA

I∗A = CA(UA − U∗) = N∗A − U∗CA





D’où les deux relations donnant NA et N∗A :

NA = wAN + JA

N∗A = xAN∗ + I∗A




bilan différentiel de matière en fonction des flux massiques

Si on considère le bilan de matière du constituant A dans l’élément de vo-lume parallélépipédique dx dy dz, nous devons superposer à l’écoulementd’ensemble se déplaçant avec la vitesse barycentrique massique U, leflux diffusionnel massique JA.

Nous obtenons, par application du principe de conservation de la matière(A=E-S+G) l’équation suivante :

∂ρA

∂t+ ρ

(∂Ux

∂x+

∂Uy

∂y+

∂Ua

∂a

)+ Ux

∂ρA

∂x+ Uy

∂ρA

∂y+ Uz

∂ρA

∂z

+∂JAx

∂x+

∂JAy

∂y+

∂JAz

∂z− rA = 0





Nous obtenons,

∂ρA

∂t+ ρ

(∂Ux

∂x+

∂Uy

∂y+

∂Ua

∂a

)+ Ux

∂ρA

∂x+ Uy

∂ρA

∂y+ Uz

∂ρA

∂z

+∂JAx

∂x+

∂JAy

∂y+

∂JAz

∂z− rA = 0

Ux, Uy, Uz et JAx, JAy, JAz désignent respectivement les composantes desvecteurs vitesse et flux massique sur les axes x, y et z. rA est la vitessemassique de production chimique du constituant A.





Introduisons la dérivée matérielle de la masse volumique du constituantA. Pour un observateur se déplaçant avec le fluide, on a :

dρA =∂ρA

∂tdt +

∂ρA

∂xdx +

∂ρA

∂ydy +

∂ρA

∂zdz

d’oùdρA

dt=

∂ρA

∂t+

∂ρA

∂xUx +

∂ρA

∂yUy +

∂ρA

∂zUz





L’équation de bilan s’écrit alors :

ρA

(∂Ux

∂x+

∂Uy

∂y+

∂Uz

∂z

)+

dρA

dt+

∂JAx

∂x+

∂JAy

∂y+

∂JAz

∂z− rA = 0

que l’en peut écrire sous la forme symbolique suivante :

ρAdiv(−→U ) +

dρA

dt+ div(

−→JA)− rA = 0

Cette équation est particulièrement bien adaptée pour un système à massevolumique constante.





Pour fluide incompressible (masse volumique constante), on a :

div−→U = 0 (équation de la continuité)

et −→JA = −DAB

−−→grad(ρA)

L’équation de bilan s’écrit :

dρA

dt= DAB∆(ρA) + rA

∆ désignant l’opérateur Laplacien.




bilan différentiel de matière en fonction des flux molaires

Si on suppose que le point matériel M se déplace avec la vitesse bary-centrique molaire U∗, le bilan différentiel molaire s’écrit :

CAdiv(−→U∗) +

dCA

dt+ div(

−→I∗A )− r∗A = 0

où r∗A désigne la vitesse molaire de production chimique du constituant A.

Cette équation est particulièrement bien adaptée pour un système à concen-tration totale constante (système gazeux sous pression totale et une tem-pérature constantes).




bilan différentiel de matière en fonction des flux molaires

Dans ces conditions, on a :

div−→U∗ = 0 (équation de la continuité)

et −→I∗A = −DAB

−−→grad(CA)

L’équation de bilan s’écrit :

dCA

dt= DAB∆(CA) + r∗A


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