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intro a tele
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INTRODUCCIN A LAS
TELECOMUNICACIONES
TRANSFORMADA DE FOURIER
EN TIEMPO DISCRETO
Teorema de muestreoTeorema de muestreo
)()()(
ss nTttgtg
tjnTs ss etgtg)()( 1
n
sTs nGG s )()(1
BsTs
42
BsT 21
)2(2 Bs Intervalo
de Nyquist
Velocidad de
muestreo
t
.g(t)
W2B-2B
G()
t
.gs(t)
W
G()t W
T(t) W(w)
Tiene un profundo significado en la teora de la comunicacin:
Muestreo Prctico
Muestreo por impulsos es solammente terico.
* El muestreo real se realiza mediante pulsos angostos.
Tambien se puede reconstruir la seal cuando se muestrea
a .
Donde : g(t) seal de informacin;
k(t): tren de pulsos;
gs(t): Seal muestreada.
BTs
2
1 )().()( tktgtgs
tj
n
nssetgKtg )()(
)()( sn
ns nGKG
MUESTREO PRCTICO
.
Muestreo
Muestreo y reconstruc. de seales pasa bajo
.
conversor C/D
X[n] Espectro de la senal de salida
C/D
Espectro de la senal de entrada
Cont.
. seal continua
Y que
=
Cont.
Resulta la relacin:
Observamos que es a la vez:
* Repeticin peridica de .
* Un escalado por un factor de .Es decir el valor de
en corresponde con el que toma en
Relaciones entre espectros en el muestreo de
seales
continuacin
Podemos escribir la relacin directa entre y .
Caso de seales reales continuas pasa bajo como son : audio,
voz, television, seales digitales en banda base. Al muestrear
estas seales pueden suceder dos casos:
* que no se produzca solapamiento .
* que se produzca solapamiento . ver figura.
Relaciones entre espectros en el caso que
exista aliasing
Recuperacin de una seal pasa-bajo a partir
de sus muestras
Condiciones necesarias para recuperar una seal continua a partir
de sus muestras.
*Las muestras x[n] tomadas equiespaciadamente.
*Conocer Ts para saber a que instantes corresponden las muestra.
*Saber que es una seal original pasa bajo.
*Que su ancho de banda sea .
El hecho de que se pueda recuperar exactamente una seal
a partir de sus muestras es equivalente a decir que las
muestras contienen la misma cantidad de informacin que
la seal continua. Por lo tanto cualquier manipulacin de
la seal continua que pudiramos pensar, podr ser
realizada sobre sus muestras.
Seales continuas diferentes
Dado un conjunto de muestras X[n] de una seal continua
tomadas a una frecuencia de muestreo . La cantidad de
seales continuas que pueden corresponder a dichas
muestras es infinita.
Diagrama de bloque de un conversor
1.- generamos la seal analgica a partir de x[n]. fig.2-b
2.-Luego que tiene , se aplica a un filtro analgico pasa bajo
ideal cuya ganancia en la banda de paso debe ser y ancho de
banda para obtener .
.Muestreo periodico
)()( nTtts
)()()( tstxtx cs
)()()( nTttxtx cs
)()()( nTtnTxtxn
cs
No contiene informacin de la
frecuencia de muestreo.
xn: nmeros finitos.
Xs(t): reas de los impulsos
.Representacion del muestreo en el dominio de la frecuencia
Efecto en el dominio de la frecuencia del muestreo en el tiempo
Tomando la T.F.
k
skT
jS )(2
)(
))((1
)( sk
cs kjXT
jX
Ns 2
Ns 2
)( jX c
)(*)(2
1)( jSjXjX cs
.Recuperacion exacta de una seal a partir de sus muestras
)()()( jXjHjX srr
Ns 2
)( NscN
)()( jXjX cr
)(txc
)(txs
)(txc
.Efecto de solapamiento en el muestreo de
Solapamiento en el dominio de la frecuencia:
t0cos
t0cos
02s
02s
t0cos
ts )cos( 0
.Teorema de Nyquist:
Ahora se expresar la T.F. En tiempo discreto de la
secuencia x[n] en funcion de y de
Sabemos que
La T.F.
Como
Y
;
O de forma equivalente
NsT
22
)( jeX)( jX s
)( jX c
)()()( nTtnTxtxn
cs
Tnjcs enTxjX )()()(][ nTxnx c
n
njj enxeX ][)()(|)()( TjT
j
s eXeXjX
))((1
)( sk
c
Tj kjXT
eX
))2
((1
)(T
k
TjX
TeX
k
c
j
.Muestreo y reconstruccion de una seal senoidal
Dada la seal: con periodo de
muestreo T=1/6000. Se obtiene: x[n]=xc[nT]= cos(4000Tn)
por lo que
)4000cos()( ttxc
3/240000 T
120002
T
s
40000
)4000()4000()( jX c
.Solapamiento de
Ahora T=1/1500 ; este periodo no cumple el criterio de Nyquist
ttxc 4000cos)(
800023000/2 0 Ts
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
.
nNjkNk
keanx)/2(
Transformada de Fourier en tiempo discreto
nNjk
Nk
keanx)/2(
~
][
n
nNjkN
Nn
nNjk
k enxN
enxN
a )/2()/2( ][1
][1 2
1
~
][][ nxnx
n
njj enxex ][)(
)(1
0jkk eX
Na
njkjk
Nk
eeXN
nx 00 )(1
][~
N
20
2
1 oN
Nk
njkjk eeXnx 0~
00 )(2
1][
Reescribiendo la serie de Fourier en TD.
Puesto que en un periodo que incluye desde
N1hasta N2 de manera que:
Definiendo la funcin
Vemos que
Combinando la 1era y la ltima ecuacin:
Ya que la ltima ecuacin se puede
reescribir:
Cont...TFTD
A medida que y
deeXnx njj )(2
1][
2
][][~
nxnx
n
njj enxeX ][)(
N
Para seales aperidicas es peridica con
periodo 2
)( jeX
Transf. De Fourier en tiempo discreto
Dada la funcin:
Ejemplo:
-N1 N2
t
X[n]
0
2
21 )(][ deeXnx njj
n
njj enxeX ][)(
1||]......[][ ananx n
01
1)()(n
ae
njjjaeex
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Si a=0.8
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
01
1)()(n
ae
jjjaeex
Si a=0.5
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
Si a=0.2
Cont......TFD
Dado:
La transf.Discreta de Fourier:
1||........][ || aanx n
2
2
cos21
1)(aa
ajeX
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
.a=0.8
nj
n
nnj
n
nj eaeaeX
1
0
)(
mj
m
nj
n
nj eaeaeX )()()(10
nm
j
j
j
j
ae
ae
aeeX
11
1)(
Cont.....TFD
Ejemplo:
Con el mismo procedimiento que se realiz para una funcin peridica
discreta.
1
1
||........1
||........0{][Nn
Nnnx
1
1
)(N
Nn
njj eeX
)2/(
)2/1()( 1
sen
NseneX j
-15 -10 -5 0 5 10 15-2
-1
0
1
2
3
4
5
Si N1=2
X[n]
n-N1 0N1
1
Cont...TDF
-15 -10 -5 0 5 10 15-4
-2
0
2
4
6
8
10
Si N1= 4
-15 -10 -5 0 5 10 15-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
N1=7
Dado el diagrama:
El sistema cambia la magnitud de |G(w)| a |G(w)||H(w)|.
El sistema cambia la fase de g(w) a g(w)+ h(w).
A la salida algunas frecuencias pueden ser reforzadas o
atenuadas. Es decir la salida podra no parecerse a la entrada.
Se dice que la Tx es libre de distorsin si la seal de entrada y
salida son idnticas.Una salida retardada pero que mantiene la
forma de onda.
Para la no distorsin todas las componentes de la frecuencia de
entrada deben llegar a la salida libres de distorsin.
Trasmisin libre de distorsin
)]()([|)(| |)(|()()(
hg
GjeHGHGR
H(G() R()
KH |)(|
Cont....
Tambien pata Tx sin distorsin, el atraso en la fase que ocasiona
H(w) en cada componente de frecuencia debe ser proporcional a
la frecuencia de cada componente.
dh t )(
dtj
d eKGttKgR )()]([)(
|H(w)|
w0
h(w)
)()( dttkgtr
Cont.......
En el ckto:
A) H(w); B) Trazar |H(w)| y (w)
C)Para Tx sin distorsin Cul es la condicin del B de g(t)?
D)Cual es el retardo en la Tx?
R=1000
C)(tg )(trfc 910
ja
a
RCjcjR
cjH
1
1
)/1(
/1)(
1|)(|22
a
aH asi ....
Aplicando los conceptos
Densidad espectral de energia
Sea g(t) una seal real. La energa se define:
Densidad espectral de Energa (DEE)
En un sistema lineal invariante en el tiempo:
dttgtEg )()(
2
dG 2|)(|
2
1
:|)(|)( 2 Gg
0
)(2)( dfdfE ggg
H(w)G(w) R(w)
)(|)(||)()(||)(|)( 222 gr HGHR
DEE de un exponencial
DEE:
Ejemplo: Determinar la DEE de
2/
2/
2 1)(T
Tg TdtdttgE
F.P.Bajo.g(t) .r(t)
dfT
cTEcf
r )2
(sin20
22
Tf
g
r c fTdfTcTE
E0
2 )()(sin2
)2/(sin)( 22 TcTg
)(tg
Energa de seales moduladas
Dada la seal
Y la DEE de la seal modulada:
)()( Gtg ttgt 0cos).()(
)]()([2
1)( 00 GG
2
00 |)()(|4
1)( GG
)(4
1)(
4
1)( 00 gg
)2
()(B
g
K
0
K/4
)(
0-0
De la grfica deducimos que
E = Eg
DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA (DEP)
Si g(t) existe entre (-, ) definimos la potencia Pg como la
potencia media que se disipa en un resistor de 1 cuando se
aplica un voltaje g(t).
Para encontrar la expresin de Pg en el dominio de la frecuencia
observamos que las seales de potencia tienen energa infinita y
por lo tanto pueden no tener TRANS. DE FOURIER.
dttgPT
T
TT
g
2/
2/
21 )(lim
Promedio del
cuadrado de
la seal
T/2-T/2
.g(t)
.gT(t)
t
t
Cont......DEP
Conforme T
Pero:
)()( TT Gtg
dGdttgE TTT2
21
2
|)(|)(
dttgdttgT
TT
2/
2/
22
)()(
dGP TT
TT
E
Tg
T 2
211 |)(|[limlim
2|)(| TT GET
dP T
G
TT
E
Tg
TT2|)(|
21 limlim
T
G
Tg
TS2|)(|lim)(
Densidad espectral de
Potencia ( DEP ).
Cont....DEP
Remplazando en la ecuacin anterior:
Correlacion de las seales de energa Dada 2 seales g1(t) y g2(t) definimos la funcin de correlacin
cruzada g1g2().
La autocorrelacin:
Se deduce
dSP gg )(2
1
dffSP gg )2(20
dttgtgT
TT
Tgg )()(lim)( 2
2/
2/1
1
21
2/
2/
1 )()(lim)(T
TT
Tg dttgtg
)()( gg Es una funcin par de
Cont......de autocorrelacin
Cont....
Ejemplo: Hallar la DEP y la potencia de :
TT
TTTT
gTg
dttgtg)(
1 lim)()(lim)(
}{lim)}({)(
TT
gTg
)(lim)(2|)(| gT
G
Tg S
T
)0(ggP
)cos()( 0 tAtg
2/
2/
00 ])(cos[)cos(lim)(T
TT
g dtttA
2/
2/
2/
2/000
12 )22cos(cos{lim2 T
T
T
TT
T
A dttdt
0)cos()( 022
Ag
Cont.......Autocorrelacin.
Si:
Hallar la DEP de
Hallar: , , de la funcin
)}()({2
)}({)( 00
2
A
S gg
2)0(
2AP gg
ttgt 0cos)()(
0cos)(2
1)( g
)()(4
1)( 00 gg SSS
)(g )(gS gP
)cos()cos()( 222111 tAtAtg
)()()( 21 tgtgtg
Aplicando la definicin de autocorrelacin
Evaluando:
Finalmente
dttgtgdttgtgdttgtgdttgtg
TTg )()()()()()()()({
1lim)( 12212211
)()()()()(122121 ggggggg
0)()(1221
gggg
)()()(21 ggg
1
2
1 cos2
)(1
Ag 2
2
2 cos2
)(2
Ag
)]()([)]()([{2
)( 122
211
2
1
AAg
AUTOCORRELACIN DE UNA SEAL PERIDICA + RUIDO
.