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Traitement numérique. Cl Lahache 1
Traitement Numérique des Signaux
Architecture dArchitecture d’’une Chaune Chaîîne de Traitement Numne de Traitement Numéériquerique
Cadencement : Horloge fréquence fE
Acquisition Programme de Calcul Restitution
e(t) s(t){eN} {s N}
Analogique Numérique Analogique
Traitement numérique. Cl Lahache 2
Acquisition : De lAcquisition : De l’’Analogique au NumAnalogique au Numéériquerique
Filtrepasse bas
(Anti repliement)
Echantillonnageblocage
QuantificationCAN
Codage
e(t) {eN}
Restitution : Du NumRestitution : Du Numéérique rique àà ll’’AnalogiqueAnalogique
Décodage
{sN} s(t)
Blocage
CNA Filtre passe bas(Lissage)
Traitement numérique. Cl Lahache 3
ÉÉchantillonnage du Signal Analogiquechantillonnage du Signal Analogique
e* = e(t)×p(t)
e(t)
TE 2TE 3TE 4TE 5TE …..
p(t)
e*(t) t0
t01
0
0
0
e(t) e* (t)
fE
ExemplesExemples
e(t) = 5xsin(260πt)échantillonnage à 1500Hz
0 0 .0 0 2 0 .0 0 4 0 . 0 0 6 0 . 0 0 8 0 .0 1 0 .0 1 2 0 .0 1 4 0 .0 1 6 0 .0 1 8 0 .0 2T i m e (s)
0
-2
-4
2
4
V e c h V e
Signal quelconqueéchantillonnage à 1500Hz
0 .0 0 2 0 .0 0 4 0 .0 0 6 0 .0 0 8 0 .0 1 0 .0 1 2 0 .0 1 4 0 .0 1 6 0 .0 1 8T i m e (s)
0
-5
5
V e c h V e
Traitement numérique. Cl Lahache 4
Spectre du Signal Spectre du Signal ÉÉchantillonnchantillonnéé
Décomposition du signal d’échantillonnage p(t) :p(t) = <p> + p1.cosωEt + p2.cos2 ωE t + p3.cos3ωEt + … + pN.cosNωEt + …avec : <p> = t0.fE
pN = (2/Nπ).sin(Nπt0fE)
Exemple : Représenter le spectre de p(t) si fE = 8 kHz et t0 = 10 µs
p10p9p8p7p6p5p4p3p2p1<p>
Ampl (V)
Fréq (kHz)
ÉÉchantillonnage dchantillonnage d’’un Signal Sinusoun Signal Sinusoïïdaldal
e(t) =Ê.cosωte* = e(t)×p(t)e* = Ê.cosωt ×[<p> + p1.cosωEt + p2.cos2ωEt +…+ pN.cosNωEt ..]
Ex : e=2cos2000πt
fE = 8kHz ; t0 = 10µs
e* = p.Ê.cosωt + 0,5.p1.Ê[cos(ωE - ω )t+cos(ωE+ ω)t] + 0,5.p2.Ê[cos(2ωE - ω )t+cos(2ωE+ ω)t] + …..+ 0,5.pN.Ê[cos(NωE - ω )t+cos(NωE+ ω)t] + …..
0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0F r e q u e n c y ( H z )
0
0 . 0 2
0 . 0 4
0 . 0 6
0 . 0 8
0 .1
0 . 1 2
0 . 1 4
0 . 1 6
V e c h
Traitement numérique. Cl Lahache 5
ÉÉchantillonnage dchantillonnage d’’un Signal Quelconqueun Signal Quelconque
Dans le signal échantillonné, on retrouve le spectre du signal e(t), ainsi que ses répliques de part et d’autre des multiples de la fréquence d’échantillonnage
Spectre de e(t)
Spectre de e*(t)
fE 2fE
fMAX Hz
Hz
V
V
Choix de la FrChoix de la Frééquence dquence d’’ÉÉchantillonnagechantillonnage
On doit pouvoir retrouver le spectre de e(t) à partir du spectre de e*(t)
fE > 2fMAX
Bon choix
V
fE 2fE HzfMAX
fE < 2fMAX
Mauvais choix
fE 2fE HzfMAX 3fE
Th de SHANNON : f E doit au moins être égale au double de la fréquence maximale contenue dans le signal
(Claude Elwood Shannon ; 1916 – 2001)
Traitement numérique. Cl Lahache 6
NNéécessitcessitéé du Filtre Antidu Filtre Anti--RepliementRepliement
fE est fixée. L’échantillonneur est précédé d’un filtre passe bas à coupure très raide. Ce filtre élimine tous signaux de fréquence supérieure à fE/2Il est nommé « filtre anti repliement » (anti aliasing filter)
Sans filtre anti repliement
Avec filtre anti repliement
filtre antirepliement échantillonneur
échantillonneur
e(t)
e(t) e*(t)
e*(t)spectre de e(t)
spectre de e(t)
Partie basse du spectre de e*(t)
Partie basse du spectre de e*(t)
fC
fC
LL’’ééchantillonneur Bloqueurchantillonneur Bloqueur
Le bloqueur maintient la valeur de e* constante pendant TE à l’entrée du CAN
e(t) e*(t)
eEB (t)eN
Signal analogiqueSignal échantillonné
et bloqué
e(t)
eEB (t)
K1
K2C
Traitement numérique. Cl Lahache 7
RRééponse en Frponse en Frééquence du Bloqueurquence du Bloqueur
Attaqué par une impulsion, le bloqueur répond par un créneau de largeur TE
1
0TE
1
0TE t t
Bloqueur
e(t) = δ(t)E(p) = 1
s(t) = U(t) - U(t-TE)
S(p) = (1 – e-Te.p)/p
Spectre du Signal Spectre du Signal ÉÉchantillonnchantillonnéé et Bloquet Bloquéé
Le bloqueur atténue fortement les répliques du spectre placées autour des multiples de fE
Réponse du bloqueur
fE 2fE HzfMAX
Spectre de e(t)
V
Le bloqueur introduit également un retard constant de TE/2 (retard de phase proportionnel à la fréquence)
Traitement numérique. Cl Lahache 8
Quantification du Signal et BruitQuantification du Signal et Bruit
En sortie du CAN, le signal échantillonné et bloqué est converti en une suite de nombres binaires, codés sur N bits.Si E est la pleine échelle à l’entrée du CAN, le quantum q vaut q = E/(2N – 1)
Entrée
Sortie
Erreur
q
q
0
0
Signal échantillonné
et bloqué
Bruit dequantification
Signalnumérisé
Le rapport signal/bruit est d’autant meilleur que le nombre de bits de codage est élevé
Bruit de Quantification Exemples Bruit de Quantification Exemples
Signal codé sur 8 niveaux (3 bits)
Signal codé sur 32 niveaux (5bits)
Traitement numérique. Cl Lahache 9
Le Calcul NumLe Calcul Numéériquerique
L’unité de calcul traite la suite binaire {eN} et élabore la suite binaire {sN}, grâce àun programme.Opérations réalisables :
AdditioneN
eP
eN + eP
KeN sN = KeN
TE
eN sN = eN-1
Multiplication par une constante
Retard d’une période d’échantillonnage
LL’É’Équation de Rquation de Réécurrencecurrence
L’équation de récurrence définit le nombre de sortie du calculateur à la date nTE(soit sN) en fonction de nombres d’entrée présents ou antérieurs (eN, eN-1 …) et éventuellement de nombres de sortie antérieurs (sN-1, sN-2 ….)
sN = 0,5.eN + 0,5.eN-1
sNeN0,5
TE
Algorithme non récursif : Ne dépend que des échantillons d’entrée
eN
TE
TE0,5
sN
sN = eN + eN-1 + 0,5.sN-1
Algorithme récursif : Dépend des échantillons d’entrée et d’échantillons de sortie antérieurs
Traitement numérique. Cl Lahache 10
Tests de lTests de l’é’équation de rquation de réécurrencecurrence
On teste l’équation de récurrence par des séquences de nombres particulières :(Généralement causales)
Séquence impulsion unité :
N=0 ; e0= 1 N ≠ 0 ; eN = 0
Séquence échelon unité :
N<0 ; eN= 0 N ≥ 0 ; eN = 1
Séquence sinusoïdale :
N<0 ; eN= 0
N ≥ 0 ; eN = a.sinωNTE
1
N
eN
1
N
eN
N
eN
RRééponse Impulsionnelle des Systponse Impulsionnelle des Systèèmes Nummes Numéériquesriques
Algorithme non récursif : Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)
sN=0,5.eN+eN-1+0,2.eN-2
Algorithme récursif : Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)
eN
sN
N
N
sN=eN+0,8.sN-1eN
sN
N
N
Traitement numérique. Cl Lahache 11
ÉÉquation de rquation de réécurrence vs currence vs ÉÉquation Diffquation Difféérentielle rentielle
Équation différentielle Équation de récurrence (monde analogique) (monde numérique)
Exemple de la Dérivation
e(t)eN
tps
Analogique:
S(t) =K.de/dt
Numérique
sN = K.(eN-eN-1)/TE
Algorithme de dérivation numérique : Du type sN = a.eN – a.eN-1
TransformTransforméée en Z de en Z d’’une Sune Sééquence de Nombresquence de Nombres
Soit la séquence causale suivante
Séquence impulsion 1
xN
N0 2 4
La transformée en Z de cette séquence est le polynôme de la variable (complexe) z défini par :
X(z) = x0.z0 + x1.z-1 + x2.z
-2 + x3.z-3 + … + xN.z-N + … = Σ xN.z-N
Séquence échelon 1
1
N
eN
1
N
eN
Traitement numérique. Cl Lahache 12
TransformTransforméée en Z vs Transforme en Z vs Transforméée de Laplacee de Laplace
Un signal échantillonné x* s’écrit comme une somme d’impulsions de Dirac de hauteurs xN et retardées de N.TE :x* = x0.δ(t) + x1. δ(t-TE) + x2. δ(t-2TE) + … + xN. δ(t-N.TE) + …
Sa transformée de Laplace est:X*(p) = x0.1 + x1.1.e-pTe + x2.1. e-2pTe + … + xN.1. e-NpTe + …
Avec le changement de variable : z ⇔ epTe on retrouve la transformée en Z
X(z) = x0.z0 + x1.z-1 + x2.z
-2 + x3.z-3 + … + xN.z-N + … = Σ xN.z-N
Transformée en Z et transformée de Laplace ont des propriétés mathématiques équivalentes
Transformée de Laplace Transformée en Z (monde analogique) (monde numérique)
Table de TransformTable de Transforméées en Zes en Z
Traitement numérique. Cl Lahache 13
Fonction de Transfert en ZFonction de Transfert en Z
Soit un système numérique générant une séquence de nombres {sN} à partir d’une séquence {eN}
{eN} Système Numérique
{sN}
(E(z)) (S(z))
La transmittance en Z est définie par : T(z) = S(z) / E(z)
- c’est un rapport de 2 polynômes en z- le polynôme de degré le plus élevé donne l’ordre du système- les racines du numérateur se nomment les zéros- les racines du dénominateur se nomment les pôles
Exemple: Filtre passe-bas du 1er ordre T(z) = 0,1.(z-1)/(z-0,8)
StabilitStabilitéé dd’’un Systun Systèème Numme Numéériquerique
Rappel : En analogique, un système de transmittance T(p) est stable si les pôles de T(p) sont à partie réelle négative.Ce critère reste valable pour un système échantillonné. Soit un pôle pI = a + jb, avec a < 0 ; transposons cette condition dans l’espace Z.
Plan « p »
EEEE jbTe.aTeT)jba(epTez =+==Mod(z) = e aTe avec a < 0 ; donc mod (z) < 1
Critère de stabilité: Un système échantillonné est stable si les pôles de sa transmittance en z sont à l’intérieur du cercle unité (⇔ ont un module < 1)
0 R 0 R
I
Plan « z »
I
1
1
Traitement numérique. Cl Lahache 14
De lDe l’É’Équation de Rquation de Réécurrence currence àà la Transmittance en Zla Transmittance en Z
Rappel : En analogique, si f(t) ⇒ F(p) alors f(t - θ) ⇒ F(p).e- pθ
Dans le monde échantillonné, e- pθ devient e- pTe soit z -1 .
Un retard d’une période d’échantillonnage correspond à une multiplication par z-1
Soit l’équation de récurrence : sN = a0.eN +a1.eN-1 +a2.eN-2 + b1.sN-1 + b2.sN-2 + …
On en prend la transformée en Z :
S(z) = a0.E(z) + a1.z-1.E(z) + a2.z-2.E(z) + b1.z-1.S(z) + b2.z-2.S(z) + …
Regroupage des termes S(z) (à gauche) et E(z) (à droite) :
S(z).(1 – b1.z-1 – b2.z-2 …) = E(z).(a0 + a1.z-1 + a2.z-2 …)
D’où on tire enfin la transmittance en Z :
...2zb1zb1
...2za1zaa
)z(E
)z(S)z(T
21
210
−−−−−
+−+−+==
De la Transmittance en Z De la Transmittance en Z àà ll’É’Équation de Rquation de Réécurrencecurrence
Exemple : Soit le filtre numérique de transmittance
On effectue le produit en croix:
S(z).(2 + z-1) = E(z).(1 + 2.z-1 + z-3)
On développe et on isole S(z) :
2.S(z) = E(z) + 2z-1.E(z) + z-3.E(z) –z-1.S(z)
On repasse au domaine temporel (z-1 correspond à un retard de TE) :
2.sN = eN + 2.eN-1 + eN-3 – sN-1
Et finalement, l’équation de récurrence est :
sN = 0,5.eN + eN-1 + 0,5.eN-3 – sN-1
1z2
3z1z21
)z(E
)z(S)z(T −+
−+−+==
Traitement numérique. Cl Lahache 15
Filtres NumFiltres Numéériquesriques
Comme en analogique, un filtre numérique est chargé de transmettre certaines fréquences et d’en éliminer d’autres.C’est un système échantillonné qui peut présenter des propriétés calquées sur un filtre analogique modèle, ou bien posséder des caractéristiques originales, impossibles à réaliser dans le monde analogique
On rencontre des filtres numériques :
- non récursifs, ou encore à réponse impulsionnelle finie (FIR filters)
ex : sN = 0,2(eN + eN-1 + eN-2 + eN-3 + eN-4) passe bas
soit T(z) = 0,2.(1 + z-1 + z-2 + z-3 + z-4)
- récursifs, ou encore à réponse impulsionnelle infinie (IIR filters)
ex : sN = eN + 1,5.sN-1 -0,85.sN-2 passe bande
soit T(z) = 1 / (1 – 1,5.z-1 + 0,85.z-2)
RRééponse harmonique dponse harmonique d’’un filtre numun filtre numéériquerique
Il faut disposer de sa transmittance en z.On passe à une « transmittance harmonique » grâce au changement de variable:
z e pTe e jωTe
Exemple : Filtre moyenneur à 2 termes sN = 0,5.(eN + eN-1)
Transmittance en z : T(z) = 0,5.(1 + z-1)
Transmittance en jω: T(jω) = 0,5.(1 + e -jωTe)
Factorisation de e -jωTe/2 : T(jω) = e -jωTe/2.0,5.(e +jωTe/2 +e -jωTe/2)
Finalement : T(jω) = cos(ωTe/2).e -jωTe/2
Traitement numérique. Cl Lahache 16
SynthSynthèèse dse d’’un Filtre Numun Filtre Numéérique (1)rique (1)
On se propose de trouver la transmittance d’un filtre passe-haut numérique qui répond à un échelon comme un filtre passe-haut analogique du 1er ordre, de constante de temps τ=10 ms, soit de fréquence de coupure fc = 15,9 Hz
Cette méthode s’appelle « Identification de la réponse indicielle »
On peut aussi partir de la réponse impulsionnelle; ceci consistera en la méthode « d’identification de la réponse impulsionnelle »
Exemple de SynthExemple de Synthèèse dse d’’un Filtre Numun Filtre Numéérique (2)rique (2)
La fréquence d’échantillonnage doit être choisie très supérieure à 15,9 Hz ; prenons fe = 1kHz
Numérique
Analogique
fe/2 = 500Hz