Tragwerkslehre I / IIVORLESUNGSUNTERLAGEN

WIPPE

STATIK

System: Gleichgewicht:

G1 G2 ∑Ma = 0G1•x - G2• (l-x) = 0x• (G1+G2) - G2• l = 0

a

x l-x ⇒⇒⇒⇒ x = G2/(G1+G2) •••• l l

U n i v e r s i t y o f A p p l i e d S c i e n c e s

Stand WS 01/02

Inhaltsverzeichnis

Literatur

1. Einführung1.1 Statik als Teilgebiet der Physik1.2 Modellbildung, Lagerreaktionen, Schnittgrößen und Verformungen

2. Gleichgewichtszustände in der Statik2.1 Newtonsche Gesetze / Axiome2.2 Moment und Kräftepaare2.3 Kraftsysteme2.4 Äußere und innere Kraftgrößen

3. Zusammensetzung, Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften3.1 Zentrales Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)

3.1.1 Kräfte mit gleicher Wirkungslinie3.1.2 Zwei rechtwinklig zueinander stehende Kräfte3.1.3 Zwei Kräfte mit beliebigen Richtungen3.1.4 Beliebige Anzahl von Kräften

3.2 Allgemeines Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)3.2.1 Reduktion mit Teilresultierenden3.2.2 Reduktion mit Seileck3.2.3 Analytische Reduktion

4. Reibung / Schiefe Ebene4.1 Haft- und Gleitreibung4.2 Schiefe Ebene

5. Statisch bestimmte Tragwerke5.1 Auflagerarten5.2 Auflagerkräfte5.3 Gleichgewichtsbedingungen5.4 Statisch bestimmte Systeme / Statisch unbestimmte Systeme5.5 Schnittkräfte5.6 Träger auf zwei Stützen

5.6.1 Auflagerausbildung, Auflagertiefe und Stützweite5.6.2 Träger mit vertikalen Einzellasten5.6.3 Träger mit Linienlasten5.6.4 Träger mit beliebig gerichteter Belastung5.6.5 Träger mit einer Belastung durch Drehmomente5.6.6 Träger mit beliebiger Lastkombination5.6.7 Träger mit Wanderlasten

5.7 Differentiale Zusammenhänge zwischen Schnittkräften und Belastung5.8 Einseitig eingespannte Träger5.9 Träger auf zwei Stützen mit Kragarm5.10 Gelenkträger

5.11 Statisch bestimmte Rahmen5.11.1 Einteilige Rahmen5.11.2 Dreigelenktragwerke

6. Fachwerke6.1 Allgemeines6.2 Ritter´sches Schnittverfahren

7. Gemischte Systeme7.1 Dreigelenkrahmen mit Zugband7.2 Gelenkträger mit Fachwerkstäben7.3 Statische Bestimmtheit

8. Festigkeitslehre8.1 Normalkraftwirkung und Dehnung

8.1.1 Spannung infolge einer Normalkraft8.1.2 Materialverhalten8.1.3 Sicherheitskonzept8.1.4 Längenänderung eines Zug- oder Druckstabes8.1.5 Längenänderung infolge von Temperaturänderung8.1.6 Querdehnung8.1.7 Plastische Verformung8.1.8 Dauer- und Zeitfestigkeit

8.2 Momentenwirkung8.2.1 Scherpunkt8.2.2 Biegespannung, Trägheits- und Widerstandsmoment8.2.3 Spannungen infolge M und N8.2.4 Trägheitsmomente einfacher Flächen8.2.5 Steiner´scher Satz8.2.6 Trägheitsmomente zusammengesetzter Flächen8.2.7 Unsymmetrische Profile

Literatur

Autoren Titel VerlagBochmann, F. Statik im Bauwesen, Band I: Einfache

statischeSystemeVerlag für Bauwesen,Berlin

Assmann, B. Technische Mechanik, Band I: Statik Verlag G. Oldenbourg,München

Krätzig, W.B., Wittek, U. Tragwerke, Teil 1: Theorie undBerechnungsmethoden statischbestimmter Stabtragwerke

Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg

Mann Tragwerkslehre inAnschauungsmodellen

B.G. Teubner-Verlag

Mann Vorlesung über Statik undFestigkeitslehre

B.G. Teubner-Verlag

Wagner/Erlhof Praktische Baustatik B.G. Teubner-Verlag

Gross/Hauger/Schnell Technische Mechanik, Band 1: Statik Springer-Verlag

Brommundt/Sachs Technische Mechanik, EineEinführung

Springer-Verlag

Schneider, K.-J/Schweda E. Baustatik-Statisch bestimmte Systeme Werner-Verlag GmbHDüsseldorf

Schneider, K.-J. Zahlenbeispiele - Statisch bestimmteSysteme

Werner-Verlag GmbHDüsseldorf

••••

1.1

1.Einführung

1.1 Statik als Teilgebiet der Physik

Physik : Lehre von Stoffen und Kräften der unbelebten Natur

Mechanik : Lehre von den Kräften und Bewegungen von materiellen Körpern

Teilgebiet der Mechanik: Aero- und Gasdynamik, Fluidmechanik, Mechanik festerKörper

Teilgebiete der Mechanik fester Körper: Kinematik, Dynamik, Statik

Arbeitsgebiet der Statik: Ermittlung des Kräfte- und Verformungszustandesruhender, d.h. im Gleichgewicht befindlicher Körper

Aufgaben der Statik: - Festlegung des baustatischen Modells sowie idealisierterLastgrößen

- Bestimmung der Lagerreaktionen und der Schnittgrößen alsinnere Kraftwirkungen

- Berechnung der Verformungen

Abgrenzung Statik - Dynamik:Statik - Lasteintragung erfolgt über einen längeren Zeitraum

- äußere und innere Kräfte sind stets im GleichgewichtDynamik - Lasteintragung erfolgt in einem relativ kurzen Zeitraum

- zwischen äußeren und inneren Kräften herrscht zunächst keinGleichgewicht, die Folge sind Schwingungen

Statik als Hilfsmittelzur hinreichend sicheren und wirtschaftlichen Dimensionierung vonIngenieurkonstruktionen

Physik

Mechanik

Aero- und Fluid- MechanikGasdynamik mechanik fester Körper

Kinematik Dynamik Statik

1.21.2 Modellbildung, Lagerreaktionen, Schnittgrößen und Verformungen

Modellbildung: Reduzierung eines Ereignisses auf seine wesentlichenEigenschaften

geometrische Idealisierungen: unwesentlich erscheinende Dimensionen werdeneliminiert, aus dreidimensionalen Tragelementenwerden:

- zweidimensionale Tragelemente/Flächentragwerke(Platten, Scheiben, Schalen)

- eindimensionale Tragelemente/Linienträger(Balken, Fachwerkstäbe, Bögen, Seile)

Schnittprinzip: Trennt man aus einem im Gleichgewicht befindlichen Tragwerk Teiledurch fiktive Schnitte heraus, so verbleibt jedes herausgetrennte Teilim Gleichgewicht. Zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichtes wirdin den Schnittflächen ein fiktives Kraftsystem (Schnittgrößen)eingeführt.

Verformung f Last F

Schnittgrößen

Last F

Schnittgrößen

Lagerreaktionen

2.1

2. Gleichgewichtszustände in der Statik

2.1 Newtonsche Gesetze / Axiome

Trägheitsaxiom: Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe (Gleich-gewichtszustand) oder der gleichförmigenBewegung, solange er nicht durch einwirkendeKräfte zur Änderung seines Zustandes gezwungenwird(1. Newtonsches Gesetz).

Beschreibung einer Kraft durch: Betrag, Angriffspunkt und Wirkungsrichtung

z Betrag

Wirkungslinie Angriffspunkt

x y

Äquivalenzaxiom: Kräfte dürfen in Richtung ihrer Wirkungslinieverschoben werden.(Zwei Kräfte gleichen Betrages, gleicher Richtungund gleicher Wirkungslinie, mit unterschiedlichemLastangriffspunkt üben auf einen starren Körper diegleiche Wirkung aus).

Reaktionsaxiom: Wird von einem Körper eine Kraft auf einen anderenKörper ausgeübt, so gilt dies auch umgekehrt(3. Newtonsches Gesetz).Kurzform: actio est reactio

Parallelogrammaxiom: Die Wirkung zweier Kräfte mit gleichem Angriffs-punkt ist ihrer vektoriellen Summe äquivalent.

F

2.2Grundgesetz der Mechanik: resultierende Kraft = Masse • Beschleunigung

(2. Newtonsches Gesetz)

F = m •••• a

1 Newton [N]: ist diejenige Kraft, die einem Körper mit derMasse 1kg die Beschleunigung 1m/sec² erteilt.

[N = kg•m/sec²]

Gewichtskraft: G = m•g = 1kg•9,81m/sec² = 9,81N ≈ 10N

Fallbeschleunigung: jeder Körper wird infolge der Erdan-ziehung gleichmäßig mit g≈9,81m/sec²beschleunigt.

Vergleich:

Erde: Sonne: Mond: 1kg 1kg 1kg

G= 9,81N G=274,59N G=1,57N

Während die Masse überall auf der Erde und auf anderenPlaneten gleich ist, ändert sich die Gewichtskraft infolge derunterschiedlichen Fallbeschleunigungen.

2.32.2 Moment und Kräftepaare

Moment einer Kraft: Das statische Moment einer Kraft F ist auf eine zudieser Kraft bezogenen senkrechten Drehachsegleich dem Betrag der Kraft, multipliziert mit demAchsabstand a.

M = F •••• a

Parallelverschiebung einer Kraft: Wird einer Kraft F um die Strecke a parallelverschoben, muß zur Herstellung derursprünglichen Wirkung im neuen Angriffspunktein Moment der Größe M=F•a hinzugefügtwerden.

Verschiebung/Verdrehung: Die Ursache einer Verschiebung ist eine Kraft. DieUrsache einer Verdrehung ist ein Kräftepaar, dasaus zwei gleich großen entgegengesetztgerichteten Kräften besteht, deren Wirkungslinienparallel verlaufen.

Momentensatz: Die resultierende Kraft, auf einen beliebigen Punktbezogen, erzeugt das gleiche Moment wie dieEinzelkräfte zusammen.

2.3 Kraftsysteme

Zentrales Kräftesystem: Es ist ein gemeinsamer Angriffspunkt derEinzelkräfte vorhanden und kann schrittweise zueiner resultierenden Kraft zusammengefasstwerden (Parallelogrammaxiom).Gleichgewicht ist vorhanden, wenn zu FR eineKraft gleicher Größe und Wirkungslinie, jedochmit umgekehrter Wirkungsrichtung -FR vorhandenist. (Trägheitsaxiom)

Allgemeines Kräftesystem: Die Wirkungslinien der Einzelkräfte schneidensich nicht in einem Punkt.Verschiebt man sämtliche Kräfte in einenwillkürlichen Punkt, so ergeben sich zweiKraftgrößensysteme: ein zentrales Kräftesystem

und ein System statischerMomente, das durch dieParallelverschiebung derKräfte entstanden ist.

2.42.4 Äußere und innere Kraftgrößen

Formen der Kräfte: - Volumenkraft [KN/m³]- Flächenkraft [KN/m²]- Linienkraft [KN/m]- Punktkraft [KN]

häufig vorkommende äußere Kräfte - ständige Lasten- Verkehrslast

innere Kräfte der Bauteile: Durch die Wirkung der äußeren Kräfteentstehen im Inneren des Tragwerkes Kräfte,die als Schnittgrößen berechnet werden.(vergl. Kap. 1.2 und Kap. 5.5)

Weiterleiten einer Nutzlast: Träger/Nutzlast Decke Wand Stützen Fundamente

Bauteil

Die Lasten für Bauten sind in Vorschriften festgelegt:

- Eigenlasten von Baustoffen und Bauteilen:Glas γ = 25 KN/m³Aluminium γ = 27 KN/m³Kupfer γ = 89 KN/m³Stahl γ = 78,5 KN/m³Nadelholz γ = 4-6 KN/m³Beton γ = 24 KN/m³Stahlbeton γ = 25 KN/m³Kalkstein γ = 26 KN/m³

GipskartonplattenEstricheBodenfliesenTeppichbödenFertigparkettSchaumglasBitumendachpappenBiberschwanzziegel

0,11 KN/m² je cm Dicke0,2 - 0,24 KN/m² je cm Dicke0,22 KN/m²0,03 KN/m²0,06 KN/m²0,01 KN/m² je cm Dicke0,03 KN/m² je Lage0,60 KN/m²

2.5- Verkehrslasten:

• Dächer waagrecht bis 1:20 geneigt bei zeitweiligem Aufenthalt von Personen 2 KN/m²

• DeckenWohnräumeBüroräumeGaragen+Parkhäuser, HörsäleGeschäfts- und WarenhäuserWerkstätten und Fabriken

1,5 - 2,0 KN/m² 2,0 KN/m² 3,5 KN/m² 5,0 KN/m² 10 - 30 KN/m²

• TreppenWohngebäudeöffentliche Gebäude

3,5 KN/m² 5,0 KN/m²

- Windlasten:• Resultierende Windlast

W = cf • q • Acf = aerodynamischer BeiwertA = Bezugsflächeq = Staudruck

• Staudruck:Höhe über Gelände m 0 - 8 >8 - 20 >20 -

100>100

q [KN/m²] 0,5 0,8 1,1 1,3

• aerodynamischer Beiwert: (von ebenen Flächen begrenzte Baukörper, abGeländeoberfläche allseitig geschlossen)

Höhe/Breite ≤ 5 ⇒ cfx = 1,3Höhe/Länge ≤ 5 ⇒ cfy = 1,3

A

cf • q • b • h 25m q = [kN/m²] • 20 1,1 1,3 • 1,1 • 10 • (25-20) = 71,50 kN

OG’s 0,8 1,3 • 0,8 • 10 • (20-8) = 124,80 kN 8 0,5 1,3 • 0,5 • 10 • 8 = 52,00 kN

KG

b=10m

2.6- Schneelasten:

Die Schneelast je m² Grundrissprojektionder Dachfläche beträgt:

s = ks • s0

s0 = Regelschneelastks = 1-(α-30°)/40°

Regelschneelast s0 in KN/m²Geländehöhe des Bauwerk- Schneelastzone (siehe Karte)standortes über NN in m I II III IV

≤ 200 0,75 0,75 0,75 1,00300 0,75 0,75 0,75 1,15400 0,75 0,75 1,00 1,55500 0,75 0,90 1,25 2,10600 0,85 1,15 1,60 2,60700 1,05 1,50 2,00 3,25800 1,25 1,85 2,55 3,90900 2,30 3,10 4,651000 3,80 5,50

Bei Geländehöhen über 1000 m ist s0 für den Einzelfall durch die zuständige Baubehörde im Einver-nehmen mit dem Zentralamt des Deutschen Wetterdienstes in Offenbach festzulegen.

Karte der Schneelastzonen

Schneelastzone I

Schneelastzone II

Schneelastzone III

Schneelastzone IV

2.7

- Wasserdruck

Bauwerk

Grundwasser-Pegel

hW

γW•hW (γW = 10 kN/m³)

- Erddruck

h Gleitfläche

Eah t

Eph

eph eah

eph = γ • t • kph eah = γ • h • kah

3.1

3. Zusammensetzung, Zerlegung und Gleichgewicht von Kräften

3.1 Zentrales Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)

3.1.1 Kräfte mit gleicher Wirkungslinie

Die resultierende Kraft wird mit R = F1+ F2 +..... Fn = ∑∑∑∑Fi berechnet.

F1 F2 F3

R

3.1.2 Zwei rechtwinklig zueinander stehende KräfteDie analytische Zusammensetzung bzw. Zerlegung erfolgt mit:

FV

R = √√√√(FV² + FH²)sinαααα=FV/R; cosαααα=FH/R ; tanαααα=FV/FH

FH

3.1.3 Zwei Kräfte mit beliebigen Richtungen

y Die Kräfte F1 und F2 werden zur Zusammensetzungdurch die Komponenten Fix und Fiy ersetzt. Ent-

F1y F1 sprechend Kap. 3.1.1 werden danach die Teilresul- F1x tierenden Rx und Ry berechnet.

F2x x

F2y F2

Rx

R Die Resultierende R wird entsprechend Kap. 3.1.2 Ry berechnet.(alternativ Anwendung des Cosinussatzes)

Unter Verwendung des Sinussatzes (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) kann eine Kraft in zwei beliebige Richtungen zerlegt werden.

α

3.23.1.4 Beliebige Anzahl von Kräften

Die Zerlegung einer Kraft in mehr als zwei ‘Teilkräfte’ ergibt keine eindeutigeLösung im ebenen zentralen Kräftesystem.Die analytische Zusammensetzung von beliebig vielen Kräften mit beliebigenRichtungen erfolgt entsprechend Kap. 3.1.3.

F3 Eine zu R entgegengerichtete, gleich F2 F4 große und auf derselben Wirkungslinie

R liegende Kraft F4 erzeugt Gleichgewicht. F1

F1 F3

F2

Kräfte im Knoten I III 2 P A I

3 1 Die Berechnung von statischen Systemen I 5 II erfolgt, indem für jeden Knoten 4 Gleichgewicht erzeugt wird. Die Pfeil-B Kraft im Stab richtung gibt an, wie die Kräfte auf den IV Knoten wirken

B IV S5 ← S4 S2 →

I S4 I

S3 II S1 S1 P Gleichgewichtszustand im Knoten II S3

S5 III Zug (zeigt vom Knoten weg)A S2 Druck (zeigt auf den Knoten)

P = Resultierende von S1 und S2

S2

S1 I Die Pfeilrichtung zeigt, wie die Stäbe S1 und S2

P beansprucht werden.

ZugDruck

3.33.2 Allgemeines Kräftesystem (ebene Kräfteanordnung)

3.2.1 Reduktion mit Teilresultierenden

Lageplan: Kräfteplan:S1 Die Kräfte schneiden sich (im

F1 Lageplan) nicht in einem Punkt F1 R1 F2 und werden schrittweise zu Teil-

S2 F2 R1 R resultierenden zusammengesetzt. F3 Hierzu werden die Kräfte bzw.

R F3 Resultierenden jeweils in denSchnittpunkt ihrer Wirkungslinieverschoben.

gegeben sind F1 ,F2 und F3 ⇓aus F1 und F2 ergibt sich R1 Größe, Richtung und Lage deraus R1 und F3 ergibt sich R Resultierenden.

3.2.2 Reduktion mit Seileck

Lageplan: Kräfteplan:Zur Ermittlung von Lage, Größe

F1 und Richtung der Resultierenden F2 1 wird ein Pol gewählt, von dem die

F1 F3 F2 R 2 Pol Strahlen 1 ÷ 4 zu den Eckpunkten2 3 3 des Krafteckes gelegt und in den

F3 4 Lageplan übertragen werden.1 4

R

Zusammensetzen parallel gerichteter Kräfte:

Lageplan: Kräfteplan:

F1 F2 F3

F1 1 A 2 3 B

1 4 R F2 2 Pol

3 F3 4

R

3.43.2.3 Analytische Reduktion

y

F1V

F1 α1 F2V

y1 F1H F2

α2

y2 F2H

F3

y3 R αR

xMR x3 x1 x2

Bei der Zusammensetzung beliebig vieler Kräfte in einer Ebene wird folgenderWeg beschritten:1.) Die Kräfte F werden in die H- und V- Anteile zerlegt.2.) Berechnung der resultierenden Kraft R und des Winkels αR, RV = ∑ FiV ; RH = ∑ FiH → R = √(RH²+RV²) ; tan αR = RV/RH

sowie des Momentes MR aus der Parallelverschiebung der Kraftkomponentenin den Koordinaten-Ursprung [vergl. Kap.2.2]. MR = ∑( FiH • yi + FiV • xi )

3.) Ersetzen von MR und R durch R mit dem Abstand r.

y y

R = r = MR/R , da M = F • a

x x r

MR R

4.1

4. Reibung / Schiefe Ebene

4.1 Haft- und Gleitreibung

Will man einen auf einer bestimmten Fläche stehenden Körper verschieben, so spürtman einen Widerstand. Diese bewegungshemmende Kraft nennt man Reibkraft.Solange sich die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen, spricht man vonder Ruhe- oder Haftreibung. Im Falle der Bewegung spricht man von derGleitreibung.

Haftreibung: FH = µµµµ0 •••• FN G angreifende Kräfte Gleichgewicht:

Gleitreibung: FG = µµµµ •••• FN F F FN α R α G

FH bzw FG

haltende Kräfte FN FH bzw FG

4.2 Schiefe Ebene ( tanα = µ0 bzw tanα = µ)

Um einen Körper auf einer schiefen Ebene nach oben zu bewegen, muss eine Kraftvon: G

F F = G • (sinγ + µ • cosγ) aufgebracht werden.

FG γ FN

Um einen Körper auf einer schiefen Ebene gerade am Abgleiten zu hindern, muss eineKraft von:

F = G • (sinγ − µ0 • cosγ) aufgebracht werden.

Haft- und Gleitreibzahlen:

µ0 µtrocken gefettet trocken gefettet

Stahl auf Stahl 0,15 0,1 0,15 0,01Holz auf Holz 0,5 0,16 0,3 0,08Bremsbelag auf Stahl 0,5 0,4

Die Reibung ist unabhängig von: Größe der Gleitfläche und ‘Geschwindigkeit’Die Reibung ist abhängig von: Anpressdruck, Werkstoff und Oberflächenrauhigkeit

5.1

5. Statisch bestimmte Tragwerke

5.1 Auflagerarten

Verschiebungen in zwei Richtungen und Verdrehungen sind die Bewegungsmöglich-keiten eines Tragwerkes in der Ebene. Es sind somit drei Freiheitsgrade vorhanden, diein Abhängigkeit von der Auflagerart als gesperrt oder frei anzusehen sind.Es werden unterschieden: bewegliche, feste und eingespannte Auflager.

bewegliche Auflager: heben einen Freiheitsgrad auf

Bewegungs- Symbolmöglichkeiten

Stützkräfte V

feste Auflager: heben zwei Freiheitsgrade auf

Bewegungs- Symbolmöglichkeiten

Stützkräfte V

eingespannte Auflager: heben drei Freiheitsgrade auf

Symbol

Stützkräfte H M V

H

5.25.2 Auflagerkräfte

Unter der Einwirkung von Lasten auf ein Tragwerk müssen dessen Auflagerkräfte inGröße und Richtung so sein, dass das Bauteil im Ruhezustand verbleibt. DieBerechnung der Auflagerkräfte ist somit eine Gleichgewichtsaufgabe. Ein Tragwerk inder Ebene verfügt über drei Freiheitsgrade. Zur unverschieblichen Lagerung sinddamit drei Anbindungen erforderlich.Die Lasten eines Tragwerkes sind als Aktionskräfte vorgegeben. Demgegenübermüssen die Auflagerkräfte als Reaktionen berechnet werden. Beide sind äußere Kräfte,die im Gleichgewicht stehen müssen. Zur Ermittlung der Auflagerkräfte dienen diedrei Gleichgewichtsbedingungen (siehe Kap.5.3).

Lasten = AktionskräfteTragwerkAuflagerkräfte = Reaktionskräfte

5.3 Gleichgewichtsbedingungen

Kräfte können Drehungen und Verschiebungen bewirken. Soll ein Körper in Ruhebleiben, dürfen alle an ihm wirkenden Kräfte keine Resultierende ergeben. Außerdemdürfen keine Kräftepaare wirken, da diese Verdrehungen bewirken. Somit mußausgeschlossen werden, dass alle Kräfte für jeden beliebigen Bezugspunkt zusammenkein Moment ergeben.

∑∑∑∑H = 0 , ∑∑∑∑V = 0 , ∑∑∑∑M = 0

FH FV F FH ∑H = 0 ; FH - FH = 0

FV/2 FV/2 ∑V = 0 ; FV/2 - FV + FV/2 = 0 a a ∑Mb = 0 ; FV • a - FV/2 • 2a = 0

ÄußereKräfte

5.35.4 Statisch bestimmte Systeme / Statisch unbestimmte Systeme

Mit den drei Gleichgewichtsbedingungen lassen sich drei unbekannte Auflagerkräftebestimmen. Tragwerke, deren Auflagerkräfte unter Verwendung derGleichgewichtsbedingungen berechnet werden können, nennt man statisch bestimmtgelagert.

3s < a + g statisch unbestimmte Lagerung3s = a + g statisch bestimmte Lagerung3s > a + g unbrauchbares Tragsystem (beweglich)

mit s = Anzahl der verbundenen einteiligen Tragwerkea = Anzahl der unbekannten Lagerkräfteg = Anzahl der unbekannten Gelenkkräfte

Bei statisch unbestimmten Systemen beeinflusst das Formänderungsverhalten dieStützkräfte. Eine zusätzliche Anzahl von Gleichungen wird aus den Formänderungs-bedingungen gewonnen.Aus Längenänderungen z.B. infolge von Temperaturschwankungen, ausAuflagerverschiebungen oder aus Auflagerverdrehungen können bei statischunbestimmten Systemen Beanspruchungen entstehen.

Gelenk s = 2a = 4

AH g = 2 (siehe Kap. 5.10)

AV C B 3 • 2 = 4 + 2 ⇒ statisch bestimmte Lagerung

5.45.5 Schnittkräfte

Nachdem die äußeren Kräfte (einschließlich Auflagerkräfte) bekannt sind, könnenunter Verwendung der Gleichgewichtsbedingungen die inneren Kräfte berechnetwerden. Zur Ermittlung der inneren Kräfte trennt man den Körper durch einengedachten Schnitt und bestimmt diejenigen Kräfte, die mit den äußeren Kräften desjeweiligen Teils Gleichgewicht ergeben.

Die drei Schnittkräfte sind: N - Normalkraft (in Richtung der Trägerachse)Q - Querkraft (senkrecht zur Trägerachse)M - Biegemoment (bezogen auf den Schwerpunkt des Schnittes)

x1 x1 x2 x2 Lasten M M M M

N N N N positive Schnittkräfte Q Q Q Q

Lagerkräfte x1 x1 x2 x2

gestrichelte Faser

Vorzeichenregeln:Normalkraft = positiv bei Zugbeanspruchung

= negativ bei Druckbeanspruchung

Querkraft = positiv, wenn Q den linken Tragwerksteil nach unten undden rechten nach oben verschieben will

Moment = positiv, wenn an der Unterseite (gestrichelte Faser)Zugspannungen auftreten

Da sich die Schnittkräfte von Querschnitt zu Querschnitt ändern, wird der Verlaufzeichnerisch dargestellt. Die positiven Normal- und Querkräfte werden entsprechendder Momentenfläche gezeichnet. Die Momentenfläche wird auf der gezogenen Seiteaufgetragen.

5.55.6 Träger auf zwei Stützen

5.6.1 Auflagerausbildung, Auflagertiefe und Stützweite

Im Hochbau wird i.a. kein besonders ausgeprägtes festes bzw. bewegliches Lagerausgebildet. Der Träger wird z.B. nur auf das Mauerwerk aufgelegt.Mindestauflagertiefen und Annahmen des Auflagerpunktes können z.B. DIN 1045oder EC 2 (Beton-, Stahl- und Spannbeton) entnommen werden.

System:

ln

Idealisierung: P

leff = ln + ∑ Auflagerlängen

leff = ?

Annahme des Auflagerpunktes (EC 2)frei drehbares Endauflager eingespanntes Auflager durchlaufendes Bauteil

l

≥ t/3 bzw. < t/2

t ln

l

≤ t/2 bzw. ≤ h/2

h

t ln

l/2 l/2

t/2 t/2

ln1

t ln2

Mindestauflagertiefen t in cm (DIN 1045/1988)Bauteil Baustoff der Auflagerfläche t [cm]Platten Mauerwerk, Beton B 5 oder B 10

Stahl, Beton B 15 bis B 55Träger aus Stahl oder Stahlbeton, wenn seitliches Ausweichenkonstruktiv verhindert wird und die Stützweite der Platte ≤ 2,5 mbeträgt

75

3

BalkenPlattenbalken

1010

5.65.6.2 Träger mit vertikalen Einzellasten

A) System: Auflagerkräfte: P ∑Ma = 0; P•a - B• l = 0

b ⇒ B = P•a/lAV = P•b/l B = P•a/l ∑V = 0; AV - P + B = 0

a b AV = P - B = P - P•a/l = P - P• (l-b)/l l = P - P + P•b/l = P•b/l

∑H = 0; AH = 0

Q-Fläche: Schnittkräfte:QR = P•a/l Ql

0 N. a M

Ql = P•b/l P•b/l a

∑V = 0; Ql - P•b/l = 0 ⇒ Ql = P•b/l∑M = 0; M - P•b/l•a = 0 ⇒ M = P•a•b/l

M-Fläche: ∑H = 0; N = 0

An der Stelle der Einzellast (P) ändert dieQuerkraft ihr Vorzeichen, und das Biegemomenterreicht einen Extremwert.

max M = P•a•b/l

B) System:P P P P

c c c c c l

Q-Fläche:

P 2P Das Biegemoment ist im mittleren Längenab-schnitt konstant, und die Querkraft ist hier Null.

2P P

M-Fläche:

P•2•c

P•3•c

+

+

-

-

+

+

AH=0a

2P2P

5.75.6.3 Träger mit Linienlasten

A) System: q Die Gesamtbelastung q wird zur Ermittlung

der Lager- und Schnittkräfte jeweils durch eine resultierende Kraft im Schwerpunkt der

q• l/2 q• l/2 Belastung ersetzt. l

x

Q-Fläche:Lagerkräfte: Schnittkräfte:

q• l/2 q• l q•x Mx

q• l/2 0 q• l/2 Qx Nx

M-Fläche: l/2 l/2 x/2 x/2 l x

q• l2/8

B) System:Lagerkräfte: Schnittkräfte:

q R= q• l/2 R= qx • x/2 qx

q 0 Mx

q• l/6 q• l/3 l Qx Nx

2• l/3 l/3 q• l/6 2•x/3 x/3 x

l x

Q-Fläche:Qx = q• l/6 - q•x²/(2• l)

q• l/3q• l/6

0,577 • l

M-Fläche:Mx = q• l/6•x - q/l•x³/6

q• l2/15,59

∑V = 0 ⇒ Qx = q• l/2 - q•x∑M = 0 ⇒ Mx = q• l/2•x - q•x²/2∑H = 0 ⇒ Nx = 0

+

+-

+

-

+

5.8C) System:

q = 10 kN/m

30 kN 30 kN l/4 l/2 l/4

l = 8m

x

Idealisierung:

10 kN 40 kN 10 kNDie Gesamtbelastung wird durch mehrereresultierende Einzellasten in den Schwer-

2/3 • l/4 punkten der Belastungsflächen ersetzt.

l/2

Q-Fläche: 20 kN

30 kN30 kN

20 kN

M-Fläche:

53,33 kNm

73,33 kNm

-

+

+

5.95.6.4 Träger mit beliebig gerichteter Belastung

System:

3kN 2kN 1kN Die schrägen Kräfte werden in horizontale (2,12) (0,866) und vertikale Kräfte zerlegt.

(2,12) (0,5) 1,62 kN

2,65kN 2,34 kN1,5 2,5 2,0 1,0

N-Fläche:

2,12 kN 1,62 kN

Q-Fläche:

1,47kN 2,34kN2,65kN 0,53kN

M-Fläche:

2,36 kNm

3,98 kNm 5,3 kNm

+

-+

+

45° 60°

5.105.6.5 Träger mit einer Belastung durch Drehmomente

A) System: M = 50kNm

Das ‘Auflager’- Kräftepaar wirkt demAH = 0 Drehmoment entgegen.

AV =-5kN BV =5kN

6m 4m 10m

Q-Fläche:

5 kN

M-Fläche:

30 kNm 50 kNm

20 kNm

B) System: 25kN

AH =-25kN 2mgegenüber System’A’ entstehen die

AV=-5kN BV =5kN folgenden zusätzlichen Schnittkräfte:

6m 4m 10m

N-Fläche: Q-Fläche:

25kN 25 kN

M-Fläche: Verformung:

.50 kNm

-

-+

++

+

5.6.6 Träger mit beliebiger Lastkombination 5.11

System: 10kN q=5kN/m

Die Lager- und Schnittkräfte können aus den 30 kN 30 kN Einzelsystemen

5m 5m

10m

zusammengesetzt werden.

Q-Fläche: M-Fläche: 30 kN

30 kN

5.6.7 Träger mit Wanderlasten 87,5 kNm

System: Wanderlast P

Bei Wanderlasten ist der Lastangriffspunktzeitlich veränderlich.

A B x l-x

l x

Einflusslinie der Auflagerkraft A: Einflusslinie der Auflagerkraft B:

P P P• (l-x)/l (Last P steht an der Stelle x) P•x/l

(Last P steht am Auflager A) (Last P steht am Auflager B)

Einflusslinie der Querkraft für die Stelle x=c:- P•c/l

(-P)(P)

P• (l-c)/l Einflusslinie des Biegemomentes für die Stelle x=c:

B• (l-c)

(B = P•c/l)c l-c

+

-

+

5.125.7 Differentiale Zusammenhänge zwischen Schnittkräften und Belastung

Belastung, Querkraft und Biegemoment:

M’(x) = Q (x)Q’(x) = -q (x)

bzw.M’’(x) = -q (x)

1. Ableitung der Funktion derMomentenlinien = Funktion der

QuerkraftlinieDas max. Biegemoment ist an derStelle, an der die Querkraft Null ist.

(siehe Kap. 5.6.3/Bsp. A)Wechselt die Querkraft ihr Vorzeichensprunghaft, dann ändert sich auch dasVorzeichen des Neigungswinkels derMomentenlinie. Das Moment hat dorteinen Extremwert und dieMomentenlinie einen Knickpunkt.

(siehe Kap. 5.6.2/Bsp. A)

Biegelinie w und Biegemoment:

w’’(x) = -M(x)/(E••••I)

Zusammenfassung der Beziehungen:

w (x) Gleichung der Biegeliniew’(x) = ρρρρ(x) Gleichung der Tangentenneigung

E••••I w’’(x) = -M(x) Gleichung der MomentenlinieE••••I w’’’(x) = -Q(x) Gleichung der QuerkraftlinieE••••I w’’’’(x) = q(x) Gleichung der Belastungsfunktion

5.135.8 Einseitg eingespannter Träger

System:

q AV = q• lMA = q/2• l2

MA AV

l

Aufnahme des Momentes am Auflager:

q A’ = B’ = MA/aDas Kräftepaar (A’; B’) wird durch dasMoment (MA) erzeugt.

B’ A’+AV

a

Q-Fläche:

A’

AV

M-Fläche: q• l2/2

+-

-

5.145.9 Träger auf zwei Stützen mit Kragarm

System mit Belastung:

Verkehrslast ständige Last

a b

A B

1. ständige Last

Verformung

2. Verkehrslast / ungünstigste Laststellungen:

2.1 ⇒ min Mb, min Ma, min MF

2.2 ⇒ max A, min Ma

2.3 ⇒ max B, min Mb

2.4 ⇒ max MF

2.5 ⇒ min B, min Ma

2.6 ⇒ min A, min Mb

Berechnungsschritte:

1. Berechnung des Lastfalls -ständige Last-

2. Berechnung der Lastfälle -Verkehrslast-und Addition mit dem Lastfall -ständige Last- ergibt die ungünstigsten Auflager-bzw. Schnittkräfte.

5.15

System:

1,40 kN/m - Verkehrslast 1,12 kN/m - ständige Last

a b

A B 2,0m 6,0m 1,5m

1. Berechnung des Lastfalls -ständige Last-

M-Fläche: 2,86m

2,24 1,26

3,30 3,31Q-Fläche:

2,24 3,20 Querkraft wechselt dreimal dasVorzeichen.

3,52 1,68 ⇒ drei Momenten-Extremwerte

2. Berechnung des Lastfalls -Verkehrslast im Feld-

1,40 kN/m

M-Fläche:

6,30

3,0 ⇒ max MF ~ 3,3 + 6,3 = 9,6 kNmQ-Fläche:

4,20

4,20

+

- -

+ +- -

+

+

-

5.165.10 Gelenkträger

Ein Gelenk überträgt Normal- und Querkräfte, aber keine Biegemomente.⇒ zusätzliche Bedingung

MG = 0

Ein Durchlaufträger mit einem festem Auflager und mindestens einem beweglichenAuflager ist statisch bestimmt, wenn bei n Stützen n-2 Gelenke vorhanden sind.

Gelenkanordnung:

1. Innenfeld ⇒ höchstens 2 Gelenke und Nachbar-felder keine Gelenke

2.Endfeld ⇒ höchstens 1 Gelenk

3.

Das 1. System ist gegenüber dem 3. System zubevorzugen, da der Ausfall eines Trägers nicht denAusfall aller folgenden Träger bewirkt.

4. unbrauchbares System

beweglich

System: 1kN/m

AH=0 Auflagerkräfte: C=7,7kN B=2kN GH

AV=1,3kN 5m 2m 4m GH = 0 GV B GV = B = 2kN

GV

GV=Stützkraft für rechten TrägerteilAH GH GV=Belastung für linken

AV C TrägerteilQ-Fläche: 1,3 Zur Berechnung der Normal- und Querkräfte

3,7 2,0 werden links beginnend für den ganzen 1,3 4,0 2,0 Träger die horizontalen bzw. vertikalen

Kräfte unter Beachtung der Vorzeichen M-Fläche: addiert. Die Momente werden am einfachsten

berechnet, indem man die einzelnen Träger-6kNm teile mit den Gelenkkräften (als äußere

0,845kNm 2kNm Belastung) betrachtet.

++

-

++

-

-

5.175.11 statisch bestimmte Rahmen

5.11.1 Einteilige Rahmen

rechtwinkliger Rahmen

System:10kN/m

biegesteife Verbindung ⇒ Übertragung von:Querkräften,

2,0 25kN Riegel Normalkräften und2,0 Stiele BH Biegemomente

a b A BV

8m Auflagerkräfte:∑H = 0 → BH = 25kN∑Ma = 0 → BV = 46,25kN∑V = 0 → A = 33,75kN

Schnittkräfte:Die Berechnung erfolgt analog den bisherigen Systemen.

N-Fläche: 25kN

33,75kN 46,25kN

Q-Fläche:46,25kN

33,75kN 25kN

25kNM-Fläche:

Das Biegemoment ist positiv, wenn an der 50kNm 100kNm Innenseite (gestrichelte Faser) Zug-

spannungen entstehen. Die Momentenfläche6,95kNm wird an der gezogenen Seite gezeichnet.

-

- -

-

+- +

--+

--

5.18 schiefwinkliger Rahmen

System:

18kN 9kN 33kN 9kN

0,7566kN B=62,5kN

2,7533kN

AH=-116,8kN AV=45,2kN

0,90,9 2,1m 2,1m

Zur Berechnung der Schnittkräfte werden dieKräfte in Teilkräfte parallel und senkrecht zurStabachse zerlegt.

N-Fläche:z.B. Auflager B:

2,133m 9kN 11kN

NM Q

B = 62,5kN B⊥ = 61,5kN

26,1kN Bll = 11kN

Q-Fläche: 52,5kN34,5kN

23,5kN ∑K⊥ = 0; Q+61,5-9 = 0 → Q = -52,5 kN 89,5kN ∑Kll = 0; N-11 = 0 → N = 11,0 kN

∑M = 0; M+9•2,133-61,5•2,133

= 0 → M = 112 kNm

M-Fläche:

112kNm185kNm

147kNm

+

+

-

+

+

+

.

5.19gekrümmtes Tragwerk

Im Bereich der Krümmung ändern sich für jede Stelle die Schnittgrößen, da sichjeweils der Winkel α ändert.

System: Schnittgrößen:

N

Mα Q

F2

F1 αF2•sinα

F2•cosα

F2

F1 F1•sinα

F1•cosα

5.205.11.2 Dreigelenktragwerke

System: q

Die vier Auflagerkräfte werden ausden drei Gleichgewichtsbedigungen:

h ∑∑∑∑H = 0; ∑∑∑∑V = 0; ∑∑∑∑M = 0

AH AH=BH=q• l2/(8•h)BH und aus der Bedingung:

AV AV=BV= q• l/2 BV

∑∑∑∑MGelenk = 0

l/2 l/2berechnet.

N-Fläche: q• l2/(8•h)

q• l/2 q• l/2

Q-Fläche:

q• l/2

q• l/2

q• l2/(8•h) q• l2/(8•h)

M-Fläche:

q• l2/8 q• l2/8

-

- -

+-

+-

-

- -

-

6.1

6. Fachwerke

6.1 Allgemeines

Bezeichnungen:Obergurt ebenes Fachwerk

Im Knoten sind mindestens2 Stäbe miteinander verbunden

PfostenDiagonale oder Strebe

Knoten Untergurt

Vorraussetzungen:1. Die Stäbe sind gerade2. Die Stäbe sind zentrisch angeschlossen

(d.h. die Achsen der Stäbe schneiden sich im Knoten in einem Punkt)3. Die Stäbe sind in den Knoten gelenkig gelagert4. Die Lasten greifen in den Knoten an

aus 3. und 4. folgt:Die Stäbe erhalten nur Normalkräfte [(-)Druck oder (+)Zug]keine Querkräfte und keine Biegemomente.

5. Das System ist unverschieblich(d.h. die Stäbe dürfen in dem System ihre Lage nicht verändern)

← labil

äußerliche statische Bestimmtheit:statisch bestimmt, wenn drei unbekannte Auflagerkräfte mit den drei

Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können

innerliche statische Bestimmtheit:Jeder Knotenpunkt entspricht einem ebenen zentralen Kräftesystem, dessenKräfte miteinander im Gleichgewicht stehen (siehe Kap. 3.1). Gleichgewichtist vorhanden, wenn die Resultierende gleich Null ist oder wenn die horizontalenund vertikalen Kräfte gleich Null (∑H = 0 und ∑V = 0) sind.Somit lassen sich für jeden Knoten k zwei Gleichgewichtsbedingungenformulieren.

6.2Bei 3 unbekannten Lagerkräften eines statisch bestimmten Systems und der inAbhängigkeit von der Anzahl der Stäbe s unbekannten Stabkräfte ergibt sich fürdie innerliche statische Bestimmtheit:

s = 2k -3

innerlich statisch unbestimmtes Fachwerk:k = Knoten

s > 2k -3s = Stäbe

innerlich statisch überbestimmtes Fachwerk:

s < 2k -3

Beispiele:

2 3 4 2 3 1 7 4 6 5 1 6 5

2 3 4 2 3 1 7 8 9 4 6 5 1 6 5

2

1 3 2

5 5 4 6 7

1 4 3

k = 6s = 7

7 < 2•6-3stat. überbest. (labil)

k = 6s = 9

9 = 2•6-3statisch bestimmt

k = 5s = 7

7 = 2•5-3statisch bestimmt, aber

unbrauchbar, da verschieblichinfolge einer Last am

Knoten 4

Verschieblichkeit:

Die statische Bestimmtheit bzw. Unbestimmtheit reicht alleine noch nicht aus, umdie Unverschieblichkeit festzustellen.Brauchbare Fachwerke werden konstruiert, indem von einem Stabdreieckausgegangen wird und jedem neuen Knoten jeweils 2 Stäbe zugeordnet werden, dieaber nicht in einer Geraden liegen.

1 1 3 3 5 5 7 7

1 3 4 6 7 2 5

2 2 4 4 6 6 Stabdreieck

6.36.2 Ritter´sches Schnittverfahren

System: P1 I P2 II

1 O2 2 O3 3 O4 4 O5 5 Die Auflagerkräfte werden am O1 D1 V2 D2 D3 V4 O6 ganzen Fachwerk aus den drei 45° V1 V3 D4 V5 Gleichgewichtsbedingungen a U1 6 U2 7 U3 8 U4 9 U5 10 U6 b berechnet. A I II B

d 6•d

Zur Ermittlung der Stabkräfte werden durch das Fachwerk gedachte Schnitte gelegt.Die abgeschnittenen Teile müssen jeweils im Gleichgewicht sein. Deshalb müssen dieinneren Kräfte mitaufgetragen werden.Die Wirkungslinien entsprechen den Stabachsen. Die Kräfte werden zunächst alsZugkräfte (d.h. der Pfeil zeigt vom Knoten weg) dargestellt (siehe Kap. 3.1.4).

Schnitt I-I: P1

I O3 ∑V = 0; A - P1 + D2•sin 45° = 0 D2 ∑H = 0; U3 + ,O3 + D2•cos 45° = 0 ← zwei unbekannte

∑M7 = 0; O3•h + A•2d = 0 Stabkräfte U3

A 7 I Ritter´schesSchnittverfahren

Schnitt II-II: P1 P2

II O4 ∑M3 = 0; U3•h + P1•d - A•3d = 0

V3 D3

U3

A II

Durch günstige Wahl des Momenten-Bezugspunktes können Gleichungen mitnur einer Unbekannten aufgestellt werden. Zum ersten Mal hat K.W.Ritter imJahre 1863 dieses Verfahren angewendet.Die Berechnung von D2 erfolgt am einfachsten durch die Gleichgewichts-bedingung ∑V = 0.Indem Gleichgewicht am Knoten 2 gebildet wird, kann die vertikale Kraft imStab V2 berechnet werden.

Gleichgewicht am Knoten 2:

P1

O2 O3 Fazit: Die Stabkräfte können mit verschiedenen Anwendungsformen der Gleichgewichts-

V2 Rundschnitt bedingungen berechnet werden. ∑V = 0; P1 + V2 = 0

7.1

7. Gemischte Systeme

7.1 Dreigelenkrahmen mit Zugband

Gemischte Systeme bestehen aus biegesteifen Stäben und Fachwerkstäben. Eineinfaches Beispiel ist der Dreigelenkrahmen mit Zugband.

System: Schnittkräfte: q q

GH

Gelenk GV

Zugband AH AH Z

AV B AV

l/2 l/2 l/2

l

Auflagerkräfte:; Zugband: AV

∑Ma = 0; q • l • l/2 - B • l = 0;→ B = q • l/2

∑V = 0; AV + B = 0→ AV = q • l/2

∑H = 0; → AH = 0

∑Mg = 0; q • l/2 • l/4 - q • l/2 • l/2 + Z • h = 0→ Z = q • l² /(8•h)

Die Zugkraft entspricht den Auflagerkräften AH

und BH des Dreigelenkrahmens mit festenAuflagern auf beiden Seiten (vergl. Kap. 5.11.2).

Die M-, N- und Q-Flächen lassen sich auf die bekannte Weise ermitteln, indem dieFachwerkstäbe von den biegesteifen Stäben abgetrennt und die entsprechendenStabkräfte als äußere Belastung angesetzt werden.

M-, N- und Q-Flächen sieheKap. 5.11.2

q • l2/(8•h)0

q • l/2 q • l/2

7.27.2 Gelenkträger mit Fachwerkstäben

System:Auflagerkräfte:

O1 V1 O2 ∑Ma = 0; 10•6•6/2 - B•6 = 02m q=10kN/m → B = 30 kN

∑V = 0; AV + 30 - 60 = 0 AH → AV = 30 kN AV B ∑H = 0; → AH = 0

3m 3mStabkräfte:

O1H

Q-Fläche: R= 30 g

30 15kN 15kN ∑Mg = 0; -O1H•2 + 30•1,5 - 30•3 = 0

15kN 15kN →O1H = -22,5 kN

O1 .O1V

2

O1H →O1V = 2/3•22,5M-Fläche: AV = 15 kN

3→O1= O2= 27 kN

(Druckstäbe)

11,25 kNm ∑V = 0; V1 - 2• O1V = 0→ V1 = 30 kN (Zugstab)

N-Fläche: O1 O2

V1

22,5kN Schnittgrößen:

q=10kN/m

15 30 15 22,5 22,5

30 30

maxM = 15•1,5 - 10•1,5•1,5/2= 11,25 kNm

+-

+-

+ +

+

7.37.3 Statische Bestimmtheit

Wie bereits zuvor festgestellt wurde, können für jedes einteilige Tragwerkdrei Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden. Jede weitere Gleichgewichts-bedingung liefert keine neue statische Aussage, da diese bereits in den ersten dreiGleichgewichtsbedingungen enthalten ist.

Beispiel:

F 1) ∑ H = 0 ; - BH + AH = 0AH BH 2) ∑ V = 0 ; AV + BV - F = 0

a b 3) ∑ Ma = 0 ; l•BV - l/2•F = 0AV BV 4) ∑ Mb = 0 ; l•AV - l/2•F = 0

l/2 l/2 Es ist erkennbar, dass die Addition der Gleichungen3) und 4) ! l•AV + l•BV - l•F = 0und die Division durch l ! AV + BV - F = 0die zweite Gleichung ergibt.

Die 4 Auflagerkräfte dieses Systems sind somit nicht alleine durch das Aufstellen vonmax. 3 unabhängigen Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar. Das System ist einfachstatisch unbestimmt.

Bei Tragwerken mit Gelenken, bei denen 2 Zwischenreaktionen vorhanden sind,kann, wie bereits im Kap 5.4 gezeigt wurde, der Grad der Unbestimmtheit einfachdurch Abzählen festgestellt werden.

Beispiel:

AH G1 G2

! 5 unbekannte Lagerkräfte s1 s2 s3

AV B C D

G1H G2H

! 4 unbekannte GelenkkräfteG1V G2V

G1H G2H

∑ 9 unbekannte KräfteDiesen 9 unbekannten Kräften stehen je einteiligem Tragwerksteil 3Gleichgewichtsbedingungen gegenüber. Da das Tragwerk aus 3 einteiligen

7.4Tragwerken besteht, können somit insgesamt 9 Gleichgewichtsbedingungen zurBerechnung der 9 unbekannten Kräfte aufgestellt werden. Da die Berechnung derunbekannten Kräfte alleine durch die Gleichgewichtsbetrachtungen möglich ist,handelt es sich um ein statisch bestimmtes System, bei dem gilt:

a + g = 3 • s

Verbindet das Gelenk mehr als 2 Stäbe, so kann man einen Stab als haltenden Stabund die anderen als belastende Stäbe ansehen. Die Anzahl der unbekanntenGelenkkräfte bei i Stäben, die in einem Gelenk zusammentreffen, ergibt sich damit zu:

g = 2 (i - 1)

Beispiel:

F1 F2 F1 G1H G2H F2

s1 s2

G1V G2V

s3

G3V = G1V + G2V

G3H = G1H + G2H

Mit den zuvor erläuterten Zusammenhängen lässt sich ebenfalls die statischeBestimmtheit von Fachwerken ermitteln.

Beispiel:

6 s12 4 s13 6z.B. s11

s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11

2 2

s1

4 s2

8 s3

4 s4

Anzahl der unbekannten Gelenkkräfte

Statisch bestimmt, wenn:a + g = 3 • s

3 + 36 = 3 • 13

7.5Da bei einem Fachwerk nur Normalkräfte in den Stäben wirken, lässt sich die statischeBestimmtheit einfacher berechnen, indem die Anzahl der unbekannten Auflager- (a)und Stabkräfte (s) der Anzahl der möglichen Gleichgewichtsbedingungengegenübergestellt wird (Je Knoten (k) zwei Gleichgewichtsbedingungen, ∑H = 0 und∑V = 0).

a + s = 2k

Bei gemischten Systemen, die sowohl gelenkig als auch biegesteif angeschlosseneStäbe enthalten, sind weitere Betrachtungen notwendig. Hierzu werden an dem untendargestellten System Schnitte so angebracht, dass nur noch gerade Einzelstäbe undKnoten vorhanden sind. (Siehe Seite 7.6)

Die Anzahl der unbekannten Kräfte ergibt sich zu:

4 S1 + 5 S2 + 6 S3 + a

mit: S1 = Anzahl der beidseitig gelenkig angeschlossenen StäbeS2 = Anzahl der Stäbe, die auf einer Seite gelenkig und auf der anderen Seite biegesteif angeschlossen sindS3 = Anzahl der beidseitig biegesteif angeschlossenen Stäbea = Anzahl der Lagerkräfte

Für das System oben ergeben sich damit: 4•2 + 5•3 + 6•5 + 8 = 61 unbekannte Kräfte.

Die Anzahl der möglichen Gleichgewichtsbedingungen beträgt:

3• (S1 + S2 + S3) + 2K1 + 3K2

mit: K1 = Anzahl der Gelenkknoten einschließlich der festen und verschieblichen StützgelenkeK2 = Anzahl der biegesteifen Knoten. Hierzu zählen alle Knoten, bei denen mindestens 2 Stäbe biegesteif verbunden sind.

Für das System oben ergeben sich damit: 3• (2 + 3 + 5) + 2•3 + 3•6 = 54 Gleichgewichtsbedingungen.Das System ist 61 - 54 = 7 fach statisch unbestimmt.

7.6

K2

S3

K2

S3

K2

S3

S2

S3

K2

K2

S2

K1

K2

S3

K1

S1

S1

S1

= B

eids

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lenk

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e S

täbe

S2

= S

täbe

, die

auf

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S3

= B

eids

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Stä

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d.

S2

K1

Anordnung derSchnitte, so dassnur noch geradeEinzelstäbe undKnotenvorhanden sind