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Unidade VIII: Esttica e Equilbrio de um corpo rgido8.1 - Equilbrio: Um corpo pode estar em equilbrio das seguintes formas: a) Equilbrio esttico - aquele no qual o corpo est em repouso, isto , sua velocidade nula no decorrer do tempo. b) Equilbrio dinmico - aquele no qual o corpo est em movimento retilneo uniforme, isto , sua velocidade constante em mdulo ( v = cte ) e diferente de zero e tambm mantm a mesma direo e sentido. No tpico a seguir, estudaremos o equilbrio esttico dos corpos. 8.2 - Equilbrio esttico de um ponto material: Para que um ponto material esteja em equilbrio esttico necessrio e suficiente que a resultante de todas as foras que nele agem seja nula e que v = 0 . Rx = 0 R=0 Ry = 0 Vamos ver no primeiro exerccio como esta condio funciona: Exemplo 1: Um corpo de peso 80 N mantido em equilbrio por dois fios, conforme indica a figura. Determinar a intensidade das traes suportadas pelos fios AB e AC.

R: T1 = 40 N e T2 = 40

3N

Exemplo 2: Sabendo-se que o sistema indicado na figura est em equilbrio, determinar o ngulo e a reao normal do apoio sobre a esfera. Adotar sen 60 = 0,85.

R: = 60 e N = 29 N EXERCCIOS DE FIXAO: 01) Um corpo de peso 400 N encontra-se em equilbrio, como mostra a figura. Determine a intensidade das foras tensoras nas cordas, supostas de pesos desprezveis.

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02) Duas pessoas carregam uma carga utilizando uma corda que passa por uma polia, conforme ilustra a figura. Calcule a intensidade da fora que cada pessoa est exercendo.

03) Calcule a fora em cada um dos fios AB e AC, sabendo que o peso do corpo pendurado de 26 N. Adote sen 45 = 0,7 e cos 30 = 0,8.

04) Um bloco de peso P = 80 N sustentado por fios, como indica a figura. a) Qual a intensidade da trao no fio AB? b) Qual a intensidade da trao no fio horizontal BC?

05) O homem indicado na figura tem massa 70 kg e est em equilbrio. Sabendo que o homem se encontra numa posio horizontal, que seu peso age no ponto A e que cos 30 = 0,8 . Calcule: a) a fora tensora no fio; b) a reao oposta aos ps do homem pela parede.

06) Um corpo de peso 200 N encontra-se em equilbrio sobre um plano inclinado sob a ao de uma fora F paralela ao plano. Desprezando-se os atritos, calcule: a) a intensidade de F. b) a intensidade da fora normal que o corpo exerce sobre o plano inclinado. Respostas: 01) 800 N e 680 N 02) 600 N e 600 N 03) 20 N e 22,8 N 04) a) 160 N b) 224 N 05) T = 79,3 N N = 396,6 N 06) a) F = 170 N b) N = 100 N 8.3 - Momento de uma fora: mais fcil abrir uma porta quando aplicamos a fora cada vez mais distante do eixo de rotao. Portanto h uma relao entre a fora aplicada e a distncia do ponto de aplicao ao eixo de rotao. Esta relao denominada de momento.

8.3.1 - Definio: O momento de uma fora F , em relao a um ponto 0 fixo, o produto da fora F pela distncia d do ponto de aplicao da fora ao eixo de rotao. ( sempre perpendicular alavanca) 8.3.2 - Unidades: No SI = N . m No CGS = dyn . cm obs. 1) O momento de uma fora tende sempre a causar um movimento de rotao. 2) O momento pode ser positivo ou negativo: a) rotao anti-horria - momento positivo. b) rotao horria - momento negativo. Exemplo 1: Ache o momento da fora em relao ao ponto 0. 20 cm F = 40 N 0

r

r

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R: MF,0 = 8 N.m Exemplo 2: Uma rgua de 30 cm de comprimento fixada numa parede no ponto 0 , em torno do qual pode girar. Calcular os momentos de F1 e F2 de intensidade 50N e 60N , respectivamente, em relao ao ponto 0.

0 F2 F1

R: MF1,0 = 0

MF2,0 = -18 N.m

Exemplo 3: Dada a figura, ache o momento de F em relao ao ponto A. Dado F = 6N.

R : 3 N.m 8.4 - Momento Resultante: O momento resultante de um sistema de foras em relao a um ponto a soma algbrica dos momentos das foras componentes em relao ao mesmo ponto. Exemplo: Considerar as foras atuantes sobre a barra AB de peso desprezvel, indicadas na figura. Determinar: a) o momento de cada uma das foras em relao ao ponto 0. b) o momento resultante em relao ao ponto 0. Dados: F1 = 8N F2 = 6N F3 = 10N F4 = 20 N

R: a)MF1,0 = - 24Nm MF2,0 = 6Nm MF3,0 = 12Nm MF4,0 = -54Nm

b) -60 N.m sentido horrio.

Exerccio de aprendizagem: Uma barra de peso desprezvel est sob a ao de foras, como indica a figura. Dados: F1 = 10N ; F2 = 8N ; F3 = 6N e F4 = 4N. Determine: a) o momento de cada fora em relao ao ponto 0; b) o momento resultante em relao ao ponto 0; c) o sentido em que a barra gira.5m

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R: a) -30, 0, -24, 40Nm b) - 14Nm c) horrio 8.5 Equilbrio esttico de um corpo extenso: As condies necessrias e suficientes para que um corpo extenso, isto , de dimenses no desprezveis, se mantenha em equilbrio esttico so:

C O N D I E S

1

A resultante de todas as foras que nele agem nula.

Rx= 0 Esta condio faz com que o corR=0 po no tenha movimentos de transRy = 0 lao.M = 0

A soma algbrica dos momentos 2 de todas as foras que nele atuam em relao a um mesmo ponto nula.

Esta condio faz com que o corpo no tenha movimento de rotao.

obs. Se no problema tiver um corpo homogneo, voc dever considerar que o peso da viga estar bem no centro da viga. Isto ocorre para todos os corpos homogneos e simtricos. Para voc entender melhor leia no Apndice II (final da apostila) a respeito do CENTRO DE GRAVIDADE dos corpos homogneos. Exemplo: Uma viga de 6 metros de comprimento, pesando 100N, est apoiada nas duas extremidades A e B e suporta um peso de 30N, conforme indica a figura: Calcular a intensidade das reaes nos apoios A e B.

2m 30N C

A

B

R: RA = 60N e RB = 70N Exerccios de aprendizagem: A viga homognea de peso 80N indicada na figura est em equilbrio e apoiada nos pontos X e Y. Calcule as reaes nos apoios.

8m

5mx y

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R: Nx = 64N e Ny = 16N Exerccios de Fixao:1m

A

x

B

01) A viga indicada na figura tem 4 metros de comprimento, pesa 80N e est apoiada nos pontos A e B. Sabendo que o peso do corpo X de 20N, calcule as reaes nos apoios A e B.

02) O sistema apresentado na figura est em equilbrio. Sabendo que a barra homognea e de seco reta uniforme e que o peso do corpo 100 N, determine o peso da barra.

03) A barra AB uniforme e tem massa igual a 100 kg. Ela est apoiada nas suas extremidades e suporta as massas ilustradas na figura. Adotando g = 9,8 m/s2- , determine as reaes nos apoios A e B.

04) Um balco de madeira homognea, com espessura constante, est apoiado no piso plano e horizontal. O balco tem 8 metros de comprimento e 50 kg de massa. Numa de suas extremidades est apoiado um saco de 30 kg, e a dessa extremidade est apoiado um barril de 100 kg de massa. Considere g = 10 m/s2. Determine as reaes de apoio que o balco recebe de seus ps. 05) Um modelo (maquete) de uma ponte recortado em material homogneo (madeira prensada por ex.) e repousa sobre duas balanas. Um automvel de brinquedo anda sobre a ponte com velocidade constante. No instante em que o automvel passa por P, tal que MP = MN, as indicaes das balanas so: balana (I) = 16N e balana (II) = 12N. Determine os pesos do modelo da ponte e do automvel. 06) Um homem e um menino se propem a transportar um pedao de madeira de 9 metros de comprimento e 500N de peso, cujo centro de gravidade est situado a 2 m de uma das extremidades. Se o homem se colocar no extremo mais prximo do centro de gravidade, determine a posio que o menino dever ocupar, a contar do outro extremo, para que faa um tero da fora do homem. 07) Para arrancar uma estaca do solo, deve-se pux-la com uma fora de 1500N, verticalmente. Determine a fora mnima que o homem deve fazer para arrancar a estaca, usando o arranjo indicado na figura.

08) Uma barra homognea AB da figura tem 6 metros de comprimento e pesa 1 000N. H um ponto fixo C no qual a barra articulada sem atrito. A barra repousa sobre a extremidade A. Determine a mxima distncia x que um homem que pesa 800N pode percorrer sobre a barra, partindo de A, sem que ela gire em torno de C. Respostas: 01) NA = 55 N e NB = 45 N 02) 200 N 03) 3 3 04) 800N e 1 000N 05) 20N (ponte) e 8N (automvel) 06) 1 m 07) 500N 08) 5,25 m 8.6 - Mquinas Simples: O Homem, com suas descobertas e criaes, lentamente comeou a compreender a natureza e aprendeu a control-la e a aproveit-la. Para levantar e locomover grandes pesos acima de sua capacidade muscular, o homem criou dispositivos que facilitam sua ao. Esses dispositivos prticos so chamados de mquinas simples. As mais comuns so a talha exponencial e a alavanca:

NA =

3490

N

e NB =

5390

N

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8.6.1 - Talha exponencial: Consiste em uma associao de polias mveis com uma s polia fixa, como se mostrou na figura acima. Na prxima figura temos: Fm = fora motriz e R = fora resistente Para que a talha permanea em equilbrio temos que o peso R equilibrado por duas foras de intensidade R/2. O peso R/2 equilibrado por duas foras de intensidade R/22 O peso R/22 equilibrado por duas foras de intensidade R/23 O peso R/23 equilibrado por duas foras de intensidade R/24

Fm =Se tivermos n polias mveis, a fora motriz ser:

R 2n

Denomina-se vantagem mecnica da talha a relao entre a fora resistente e a fora motriz.

vantagem mecnica =

RExerccios de aprendizagem: 1) O corpo indicado na figura est em equilbrio esttico. Calcular a intensidade da fora F e a vantagem mecnica da talha exponencial.

R: F = 1 000N e VM = 8 2) Ache a intensidade da fora Fm que o homem est fazendo para equilibrar o peso de 4 00N . O fio e a polia so ideais.

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R: 100 N 3) Um peso de 5120 N deve ser equilibrado por meio de uma talha exponencial. Determine o nmero de polias mveis dessa talha, sabendo que a fora motriz tem intensidade de 10 N.

R : 9 polias 4) Considere o esquema representado na figura. As roldanas e a corda so ideais. O corpo suspenso da roldana mvel tem peso P = 600 N. a) Qual o mdulo da fora vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre a corda para equilibrar o sistema? b) Para cada 1 (um) metro de corda que o homem puxa, quanto se eleva o corpo suspenso?

R: a) 300 N b) 0,5 m 8.6.2 - Alavanca: uma barra que pode girar em torno de um ponto de apoio. Temos trs tipos de alavancas: alavanca interfixa:

r Fm = fora motriz ou fora potente. r $ R = fora resistente ou resistecia . r N = fora normal de apoio. AO = brao da fora motriz.

Em que: OB = brao da fora resistente. Como exemplos, podemos citar as balanas e as tesouras.

alavanca inter-resistente:

Como exemplos, temos o carrinho de mo e o quebra-nozes.

alavanca interpotente:

Exemplos: pina e o pegador de gelo.

8.7 - Condio de equilbrio de uma alavanca:

RConsidere a alavanca interfixa da figura.

N o

F A

B

Para que a alavanca permanea em equilbrio, na posio horizontal, devemos ter: 0M = 0 MR, o + MN, o + MF, o = 0

R . BO = F . AOsendo assim: R . BO + 0 - F . AO = 0

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Note que o produto da fora resistente pelo seu brao igual ao produto da fora motriz pelo seu brao. Esta relao, embora demonstrada para a alavanca interfixa, vlida tambm para as alavancas inter-resistentes e interpotentes. Exemplo: Considerar a alavanca de peso desprezvel indicado na figura:

4m A F

c

2m B 200 N

Sabendo-se que ela est em equilbrio e disposta horizontalmente determine a intensidade de F.

R: 100 N Exerccios de Fixao: 01) Calcule o peso do garoto indicado na figura para que a barra de peso desprezvel permanea em equilbrio na posio horizontal. 02) A barra indicada na figura tem peso desprezvel e est em equilbrio na posio horizontal. Determine x.

03) O esquema representa uma gangorra homognea, com seco transversal constante, que tem 7 metros de comprimento e est apoiada em C, distante 3 metros de A. Na extremidade A est um garoto de peso 400 N . Qual o peso do garoto sentado em B para que a gangorra fique em equilbrio na horizontal? 04) Com o auxlio de uma alavanca interfixa de 3 metros de comprimento e de peso desprezvel, pretende-se equilibrar horizontalmente um corpo de peso 400N, colocado numa das extremidades. Sabendo que a fora potente tem intensidade 80N, determine a localizao do ponto de apoio. Respostas: 01) 150N Vestibular: 01) Um corpo de 60N est suspenso ao teto por dois fios, que formam com o teto ngulos de 60. A fora de trao em cada fio de: a) 34,6N b) 51,8N c) 86,0N d) 91,3N e) 120N 02) Um corpo de massa m1 encontra-se em equilbrio de acordo com as condies da figura. Se a acelerao da gravidade no local de 9,8 m/s2, o peso do corpo de: a) 30 02) 2m 03) 300N 04) a 2,5 m da fora potente.

3N

b) 60N

c) 30N

d) 30

3N

e) 20N

03) A figura representa uma esfera de peso 10

3 N, apoiada sobre uma superfcie horizontal presa parede 3 N, as intensidades de T e N so,

vertical por meio de um fio inextensvel e de massa desprezvel. Sendo F = 20 respectivamente: a) 30N e 0 b) 30N e 20 c) 20 d) 15

3N

3 N e 20 3 N 3 e 20 3 N

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04) Querendo arrancar um prego com um martelo, conforme mostra a figura, qual das foras indicadas (todas elas de mesma intensidade) ser mais eficiente? a) A b) B c) C d) D e) E 05) A barra AB uniforme, pesa 50N e tem 10 m de comprimento. O bloco D pesa 30N e dista 8 m de A. A distncia entre os pontos de apoio da barra AC = 70 m . Calcule a reao da extremidade A. a) 14N b) 7N c) 20N d) 10N e) 8N 06) Na figura a seguir est representado um sistema mecnico em equilbrio esttico. X uma barra rgida cilndrica e homognea, P um apoio fixo, y uma esfera de massa igual a 2,0 kg, pendurada na barra por um fio de massa desprezvel. Qual , em quilograma, a massa da barra? a) 1,0 b) 2,0 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0 07) A figura mostra numa rgua homognea em equilbrio esttico, sob a ao de vrias foras. Quanto vale F em N? a) 1 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 5

08) No sistema da figura, o peso das cordas, das polias e o peso da alavanca, bem como os atritos, so desprezveis. O peso Q vale 80N. O valor da fora P que equilibra o sistema : a) 10N b) 2,5N c) 3N d) 1,5N e) n.r.a.

09) Duas pessoas carregam um bloco de concreto que pesa 900N. O bloco est suspenso em uma barra AB, de peso desprezvel, de 1,5m de comprimento, cujas extremidades se apoiam nos respectivos ombros. O bloco est a 0,5m da extremidade kA. A fora aplicada pela extremidade B, no ombro do carregador, ser: a) 1800N b) 900N c) 600N d) 450N e) 300N

10) Na figura est representada uma barra rgida apoiada em P. Em uma extremidade est pendurado um corpo de massa igual a 1,0 kg. Qual deve ser a massa (X) do outro corpo, que est pendurado na outra extremidade, para que o sistema fique em equilbrio na posio indicada na figura? (Considere desprezveis a massa da barra e os atritos.) a) 1,0 kg b) 1,5 kg c) 2,0 kg d) 2,5 kg e) 3,0 kg

11) A tesoura uma combinao de duas alavancas: a) interfixas. b) inter-resistentes. c) interpotentes. d) uma interfixa e outra inter-resistente. e) uma interfixa e outra interpotente. 12) Um gordo de massa 100 kg est sentado na ponta duma gangorra de braos desiguais. Para que a gangorra fique em equilbrio, estando um magro de 40 kg na outra ponta, qual dos dois deve estar mais prximo do apoio da gangorra, e qual a relao entre a distncias deste e do outro personagem e o ponto de apoio? a) O gordo, relao 1 para 2,5. b) O magro, relao 1 para 2,5. c) O gordo, relao 1 para 4. d) O magro, relao 1 para 4. e) As distncias so iguais. 13) Em uma alavanca interfixa, uma fora motriz de 2 unidades equilibra uma resistncia de 50 unida des. O brao da fora motriz mede 2,5 metros; o comprimento do brao da resistncia :

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a) 1m

b) 5m

c) 0,1m

d) 125m

e) n.r.a.

Respostas: 01) a 02) a 08) e 09) e

03) a 10) e

04) c 11) a

05) d 12) a

06) b 13) c

07) b

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