S.E.P. S.E.I.T. D.G.E.S.T. INSTITUTO TECNOLGICO DEL ISTMO.
ESPECIALIDAD:Ing. CivilMATERIA:Anlisis EstructuralTEMA: Teorema
de Maxwell y Betti. Teorema de Castigliano . Trabajo
virtual.CATEDRATICO:Ing. Santiago Santiago JavierALUMNO:David
Alejandro Jimnez BarragnSEMESTRE:6GRUPO:G
HEROICA CD. JUCHITN DE ZARAGOZA OAXACA, A 23 DE JUNIO DEL
2015
.
NDICE
INTRODUCCION
---------------------------------------------------------------.
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TEROREMA DE MAXWEL Y BETTI
--------------------------------------- 4
TEOREMA DE CASTIGLIANO
----------------------------------------------- 7
TRABAJO VIRTUAL
------------------------------------------------------------ 9
CONCLUSION
--------------------------------------------------------------------
12
BIBLIOGRAFIA
-------------------------------------------------------------------
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INTRODUCCION
Una estructura consiste en una serie de partes conectadas con el
fin de soportar una carga. Ejemplo de ellas son los edificios, los
puentes, las torres, los tanques y las presas. El proceso de crear
cualquiera de estas estructuras, requieren de una laboriosa
planeacin, y un estricto anlisis, ya que de no ser as, queda
expuesta la seguridad de los usuarios. Para analizar apropiadamente
una estructura, deben hacerse ciertas idealizaciones sobre cmo estn
soportados y conectados los miembros entre s, una vez que se ha
determinado esto y se han especificado las cargas, las fuerzas en
los miembros y sus desplazamientos, pueden encontrase utilizando la
teora de la mecnica estructural. Que es parte de lo que abordaremos
en este trabajo
TEROREMA DE MAXWEL Y LEY DE BETTI
El teorema de Maxwell, llamado tambin de las deformaciones
reciprocas, establece que la deflexin en un punto A de una
estructura producida por una carga aplicada en otro punto B es
igual a la deformacin en el punto B producida por la misma carga
aplicada es el punto A. Cuando Maxwell desarroll el metodo de
analisis de la fuerza, tambien public el teorema que relaciona los
coefiecientes de flexibilidad de cualquiera de los dos puntos en un
estrucctura elastica, ya sea una armadura, una viga o un marco.
Este teorema se conoce como el teorema de los desplazamientos
reciprocos y puede anunciarse como sigue: La deflexion en un punto
A de una estructura producida por una carga aplicada en otro punto
B es igual a la deformacion en el punto B producida por la misma
carga aplicada en el punto ALa comprobacion de este teorema puede
realizarse facilmente mediante el principio del trabajo virtual,
por ejemplo; considere la viga de la figura 10-6. Cuando una carga
unitaria real actua en A, suponga que los momentos internos en la
viga estan representados por mA, para determinar el coeficiente de
flexibilidad en B es decir, Fab. se coloca una carga virtual
unitaria en B figura 10-7 y se calcula los momentos internos mB,
entonces al aplicar la ecuacion 9-18 se obtiene:
Del mismo modo, si debe determinarse el coeficiente de
flexibilidad Fab cuando una carga unitaria real actua en B figura
10-7, entonces mB representa los momentos internos en la viga
debido a una carga unitaria real. Por otra parte mA representa los
momentos internos debidos a una carga unitaria virtual en A, figura
10-6 por lo tanto,
El teorema se ha demostrado para una carga real unitaria, pero
si es vlido para esta carga tiene que serlo para cualquiera. Las
deformaciones producidas por cargas unitarias se denominan
coeficiente de flexibilidad ya que, indican que tanto se deforma o
que tan flexible es una viga bajo la accin de una carga unitaria.
Suele denominarse con la letra as que la deformacin en B por la
carga unitaria aplicada en A ser BA y el teorema de maxwell se
expresa matemticamente como: AB= BA
El teorema puede extenderse a rotaciones recprocas y a
combinaciones de deflexiones y rotaciones
3-20 Rotaciones recprocas
3-21 Rotaciones y deflexiones recprocasAs con referencia en la
figura 3-20 la rotacin en B producida por un momento unitario
aplicado en A es igual a la rotacin en A producido por un momento
unitario aplicado en B, es decir BA= AB ambas rotaciones en
radianes y con referencia a la figura 3-21 la deflexin en B debida
a un momento unitario aplicado en A es igual a la rotacin en
radianes en A producida a una carga unitaria aplicada B es decir;
BA= AB.Tambin puede generalizarse el teorema de Maxwell al trabajo
realizado por sistemas de fuerza. Esta generalizacin se conoce como
la ley de Betti y establece que el trabajo virtual realizado por un
sistema de fuerza que se desplaza por las acciones de otro sistema
de fuerzas es igual al trabajo realizado por un sistema de fuerzas
que se desplaza por la accin de otro sistema de fuerzas .El teorema
de Maxwell simplifica notablemente el clculo de deformaciones en
los mtodos de anlisis de estructuras hiperestticas, de ah su
importancia dentro del anlisis estructural.
SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANOEn 1879, Alberto Castigliano,
ingeniero italiano de ferrocarriles, public un libro en el que
expona un mtodo para determinar la deflexin o la pen diente en un
punto en una estructura, en una armadura, una viga o un marco. Este
mtodo, conocido como el segundo teorema de Castigliano, o el mtodo
del trabajo mnimo, slo aplica a las estructuras que tienen una
temperatura constante, soportes que no ceden y respuesta material
elstica lineal. Si debe determinarse el desplazamiento de un punto,
el teorema establece que ste es igual a la primera derivada parcial
de la energa de deformacin en la estructura con respecto a una
fuerza que acta en el punto y en la direccin del desplazamiento. Oe
una manera parecida, la pendiente en un punto de una estructura es
igual a la primera derivada parcial de la energa de deformacin en
la estructura con respecto a un momento de par que acta en el punto
y con la direccin de la rotacin. Para obtener el segundo teorema de
Castigliano. Considere un cuerpo (estructura) de cualquier forma
arbitraria que est sometido a una serie de n fuerzas P1.
P2........Pn. Como el trabajo externo realizado por estas cargas es
igual a la energa de deformacin interna almacenada en el cuerpo,
puede escribirse=El trabajo externo es una funcin de las cargas
externas ( = ) por lo tanto )
Ahora bien, si cualquiera de las fuerzas, por ejemplo Pt, se
incrementa en una cantidad diferencial dPt, el trabajo interno
tambin aumenta de modo que la mueva energa de deformacin se
convierte en
(9-18)Sin embargo, este valor no debe depender de la secuencia
en la que estas n fuerzas se aplican al cuerpo. Por ejemplo, si
primero se aplica al cuerpo, esto har que el cuerpo se desplace una
cantidad diferencial en la direccin de Por la ecuacin 9-3 ( P) el
incremento de la energa de deformacin seria d Sin embargo, esta
cantidad es un diferencial de segundo orden y puede pasarse por
alto Una aplicacin posterior de las cargas
P1. P2........Pn. que desplazara al cuerpo A1,. A2,..., An,,,
producira la siguiente energa de deformacin. y
Aqu, como antes, U es la energa de deformacin interna en el
cuerpo, causada por las cargas P1 P2 Pn y dU = es la energa de
deformacin adicional causada por dP, (ecuacin 9-4, U, = pA'), En
resumen, la ecuacin 9-18 representa la energa de deformacin en el
cuerpo. Determinada al aplicar primero las cargas P1 P2 Pn despus
dPn. y la ecuacin 9-19 representa la energa de deformacin
determinada al aplicar primero dP y luego las cargas P1 P2 Pn Como
estas dos ecuaciones deben ser iguales, se requiere que
k> que demuestra el teorema: es decir, el desplazamiento A,
en la direccin de P es igual a la primera derivada parcial de la
energa de deformacin con respecto a P* Debe sealarse que la ecuacin
9-20 es un enunciado acerca de la compatibilidad de la estructura.
Adems, la deduccin anterior exige que en el anlisis slo se
consideren las fuerzas conservadoras. Estas fuerzas realizan
trabajo que es independiente de la trayectoria y por lo tanto no
crean prdidas de energa. Como las fuerzas que causan una respuesta
lineal elstica son conservadoras, el teorema se limita a un
comporta miento lineal elstico tfcl material. Esto constituye una
diferencia con el mtodo de la fuerza virtual analizado en la seccin
anterior, que se aplica tanto al comportamiento elstico como al no
elstico.
TRABAJO VIRTUAL
En los problemas relacionados con el equilibrio de cuerpos
rgidos se resolvieron al considerar que las fuerzas aplicadas sobre
los mismos estaban balanceadas. Se plantearon y resolvieron las
ecuaciones de equilibrio =, y para determinar el valor de las
incgnitas. Sin embargo, un mtodo que ha resultado ser ms eficiente
para resolver cierto tipo de problemas de equilibrio es el basado
en el principio ele trabajo virtual, el cual fue utilizado por
primera vez en el siglo xv por el matemtico suizo Jean Bemoulli.
Como se ver en la seccin 10.3, el principio del trabajo virtual
establece que si una partcula o un cuerpo rgido o en general un
sistema de cuerpos rgidos unidos, los cuales estn en equilibrio
bajo la accin de varias fuerzas externas, se les aplica un
desplazamiento arbitrario a partir de la posicin de equilibrio, el
trabajo realizado por las fuerzas externas durante el
desplazamiento ser cero. Este principio es efectivo cuando se
aplica a la solucin de problemas relacionados con el equilibrio de
mquinas o mecanismos que estn constituidos por varios elementos
conectados entre s. En la segunda parte del captulo se aplicar el
mtodo del trabajo virtual en forma alternativa basada en el
concepto de energa potencial. METODO DEL TRABAJO VIRTUAL PARA EL
CALCULO DE DESPLAZAMIENTOSSe aplica a la estructura descargada una
fuerza q en el punto y la direccin del desplazamiento deseado. Esta
fuerza se conoce como carga virtual ya que el desplazamiento que
desarrolla es generado por otras causas, las cuales pueden incluir
las cargas reales, el cambio de temperatura, los asentamientos en
los arroyos etc. La carga virtual as como las reacciones y las
fuerzas internas que se generan se denominan sistema Q Las fuerzas,
el trabajo, el desplazamiento o la energa asociados con el sistema
q Se indican con un subndice Q2.- con la carga virtual en su lugar,
las cargas reales (sistema p) se aplica en la estructura - las
fuerzas, las deformaciones, el trabajo y la energa asociado al
sistema p se indican con un sub ndice p se indican con un sub ndice
p3.- al deformarse la estructura bajo las cargas reales, la carga
virtual realiza un trabajo virtual extremo wq - este trabajo se
genera al moverse Q por el desplazamiento real de la estructura Uq
es el producto de las fuerzas internas debidas a la carga virtual
por las deformaciones generadas en los elementos. Por efecto de las
cargas reales EJEMPLOCalcule la deflexin vertical en el centro del
claro para la viga de la figura utilizando el trabajo virtual,
siendo l= 240 pulg.4 y E= 29,000 klb/pulg.2
Nuestro sistema virtual va a ser nuestra viga sin ninguna de las
cargas, con una carga unitaria, en el punto y direccin del
desplazamiento que queremos obtener.
Calculamos las reacciones.
Calculamos las ecuaciones de momento virtual de la viga
Obtenemos reacciones y ecuaciones de momentos de la viga
real
Cortamos la viga en tramos.
Expresin virtual del sistemaExpresin real del sistema
Desplazamiento total
CONCLUSIONEl segundo teorema de Castigliano, tambin llamado el
mtodo del trabajo mnimo, puede usarse para determinar las
deflexiones en las estructuras que respondan clsticamente. Se
afirma que el desplazamiento (rotacin) en un punto de una
estructura es igual a la primera derivada parcial de la energa de
deformacin en la estructura con respecto a una fuerza / (momento de
par M') que acta en el punto y en la direccin del desplazamiento
(rotacin). Para una armadura
El principio del trabajo virtual se basa en el trabajo realizado
por una fuerza unitaria virtual" o imaginaria. Si debe obtenerse la
deflexin (rotacin) en un punto de la estructura.se aplica una
fuerza (momento de par) unitaria virtual a la estructura en ese
punto. Esto ocasiona cargas virtuales internas en la estructura. El
trabajo virtual se desarrolla cuando las cargas reales se colocan
sobre la estructura provocando su deformacin.
BIBLIOGRAFA
ANALISIS ESTRUCTURALGonzales CuevasEditorial Limusa
ANALISIS ESTRUCTURAL Russell C. HibbelerOctava edicin
MECNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ESTTICA Ferdinand P. Berr y E.
Rusell Johnston, Jr.Octava edicin
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