MASTER EXERCISES DINAMICA

COMPILACION DE EJERCIOS DE DINAMICA.

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO.

FACULTAD DE IGENIERIA MECANICA.

Abril de 2014

Integrantes:

Anichiarico Alvaro

Aes Rafael

Barraza Farid

Bolao Karen

Borrero Gabriel

Cardozo Walter

Delgado Luis

Falcao Luis

Gutierrez Daniel

Marquez Luz

Meza Aldair

Miranda Pablo

Molina Angelica

Morron Dagoberto

Nolasco Steven

Perez Walter

Rievera Elver

Santos Mario

Stand Samir

Tamus Abraham

Villamil Gustavo

Villareal Jose

Los ejercicios fueron realizados

por los estudiantes de ingeniera

mecnica de V semestre, quienes

con los conocimientos

previamente adquiridos en la

asignatura de Dinmica y con la

gua del profesor Cristian Pedraza

Y, se vieron en capacidad de

resolver.

Elaborado por: Karen Bolao Monroy. Ingeniera Mecnica.

1. La manivela OB gira en sentido horario, con una velocidad constante angular

de 5 rad/s. hallar, en el instante en que =90, la aceleracin angular de la

barra BD que se desliza por el collarn que pivota en C.

1.1. Adaptando el grafico a las condiciones que nos da el ejercicio

tendramos

Como es usual, iniciaremos con el clculo de las velocidades angulares y

tangenciales para cada elemento.

As para el elemento OB tenemos:

Realizamos el clculo de la velocidad VB

= 250 5

= 1250 /

= 5

= 5

=

1.2. Ahora para el elemento mvil

Para el siguiente paso analizaremos las velocidades de los dos elementos

anteriores ahora como un solo sistema, tomando como referencia el punto B

Ahora tenemos nuestro triangulo de velocidades del anterior grafico

2

Procedemos a calcular por medio de la trigonometra las velocidades desconocidas

de la siguiente forma recordando que calculamos en un principio la velocidad

VB=1250 mm/s

sin(22.619) =2

2 = sin(22.619)

2 = 1250sin(22.619)

2 = 480.751

Conociendo el valor de VB2 y recordando la teora podemos calcular la velocidad

angular de la barra BD de la siguiente forma

2 =

2

=

Pero rCB es:

= 6002 + 2502

= 6002 + 2502

= 650

De donde

=480.751

650

= 1.001

Y para el clculo de la velocidad aparente tenemos:

2

= tan (67.381)

= 2tan (67.381)

= 1153.85

1.3. Calculo de las aceleraciones.

Tenemos que :

+

= 2 + 2

+ +

Ahora haciendo rotacin de ejes para tener la aceleracin aparente en el eje Y

tenemos el siguiente grfico:

aapt

aBt aB2t

aBn

aB2n

acor

Resolvemos los valores de las aceleraciones que hasta ahora podemos calcular

teniendo en cuenta primero que la velocidad angular de la barra OB es constante y

que por lo tanto su aceleracin tangencial es 0

acor=1702 mm/s2

aBn=6250 mm/s2

aBt= 0

aB2t=

cos (22.619) = 2

+

cos(22.619) = 2

2 = 6250 cos(22.619) 1702

2 = 4067.26 /2

de donde

=2

650 =

4067.26

650= 6.257

2

aapt

aBt

aB2t

aBn

aB2n

acor

22.619=

2. El actuador hidrulico BC rota en sentido horario a una velocidad y aceleracin angular de 2 rad/s y 1.6 rad/s2. Cuando el ngulo = 20. Cul es la aceleracin del punto D y la aceleracin aparente?

Para hallar la solucin iniciamos calculando la longitud de BC, sta la hallamos por ley del coseno de la siguiente forma:

= + ()

As reemplazando cada magnitud obtenemos

= + ()

= .

Utilizamos la magnitud de BC hallada anteriormente para calcular el ngulo que falta por medio de la ley del seno de la siguiente forma

()=

()

()=

.

()

De donde

= ( ()

. ) = .

CALCULO DE LAS VELOCIDADES.

2.1. Iniciaremos con el elemento causante de movimiento que en este caso es el actuador hidrulico BC

Tenemos los datos dados en el enunciado para el actuador hidrulico BC y en sentido horario una velocidad angular de 2 rad/s y una aceleracin angular de 1.6 rad/s2

= .

=

Ahora obtenemos Vc1

=

= .

= .

.

Con solo el anlisis del cilindro hidrulico BC no podemos calcular la velocidad aparente, por lo que se hace necesario revisar los dems elementos que afectan al movimiento directamente

2.2. Anlisis para el elemento AC

Analizar este grafico por si solo dice muy poco de la solucin del problema, pero cuando se observa teniendo en cuenta las velocidades que hemos analizado anteriormente y las unimos todas en un solo sistema, obtenemos en triangulo de velocidades de la siguiente forma:

Ahora conociendo la magnitud de Vc1, calculamos utilizando las funciones trigonomtricas los valores de las velocidades que desconocamos

Calculamos la velocidad aparente con el siguiente procedimiento:

(. ) =

= (. )

= (. ) .

= .

Y por ltimo solo nos falta calcular la velocidad de Vc2:

=

+

= +

= . + .

= .

2.3. Ahora por definicin podemos calcular la velocidad angular de la barra ACD con la con la velocidad Vc2 ya que esta esta perpendicular a dicha barra y esta aplicada en el punto C.

A continuacin obtenemos:

=

=

=

=.

= .

2.4. Obtencin de las aceleraciones

ac1t

ac2t

ac2n

ac1n

aapt

acor

Para facilitar los clculos acudiremos a la rotacin de ejes para obtener la siguiente

configuracin en las aceleraciones:

= .

Escribimos las magnitudes de las aceleraciones normales y tangenciales conocidas o que hasta ahora podemos calcular.

Para las aceleraciones normales usamos la ecuacin modelo

=

=

=

(.)/

= . /

=

(.)/

.= . /

= =

.

. = . /

= =

. / = . /

ac1n

aapt

ac2n

ac2t

ac1t acor

Ecuacin de Aceleraciones:

+

= +

+ +

Vemos que la sumatoria de las magnitudes de la aceleracin en el eje X nos proporciona el valor de Vc2t, lo que nos lleva a escribir la siguiente ecuacin:

() +

() = +

. (. ) + (. ) = . + .

=

. + . + . (. )

(. )

= .

Este valor abre camino hacia el clculo de la aceleracin angular del elemento ACD

=

=

=.

= .

Podemos calcular a continuacin la aceleracin aparente con la sumatoria de las magnitudes de la aceleracin en el eje Y de la siguiente forma:

()

() =

()

. (. ) + . (. ) = . +

= . (. ) + . (. ) .

= .

2.5. Hallar los valores en el punto pedido

Teniendo ya la velocidad y la aceleracin angulares del elemento, procedemos a hacer los clculos para el punto pedido D

En la aceleracin normal tenemos:

=

= .

= .

Para la aceleracin tangencial tenemos:

=

= .

= .

La magnitud de la aceleracin total en el punto D la hallamos as:

= () + (

)

= (. ) + (. )

= .

3. El cilindro hidrulico extiende su vstago y rota en sentido antihorario, con una velocidad y aceleracin angular de 2.7 rad/s y 0.97 rad/s2 respectivamente en la posicin mostrada determine: la velocidad, aceleracin de la plataforma donde se encuentra el automvil y la aceleracin aparente. L = 2.3 m, b = 0.9 m y = 30

Solucin:

Datos:

= 2.7

= 0.97

2

= 2.3

= 0.9

= 30

Diagrama:

DCL 1: Movimiento Plano General

2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 2 cos

= (0,9)2 + (2,3)2 2(0,9)(2,3) cos 30 = 0,81 + 5,29 4,14 cos 30 =

2,5147

= , ,

=

13 = 2,7

1,6 = ,

,

DCL2: Movimiento Rotacin Pura

2 = 2 + 2 2 cos 2 cos = 2 + 2 2

=(2) + (2) (2)

2 = cos1

(2) + (2) (2)

2

= cos1(2,32) + (1,62) (0,92)

2 (2,3)(1,6) = cos1

(5,29) + (2,56) (0,81)

7,36

= cos1 (7,85) (0,81)

7,36 = cos1

7,04

7,36

= ,

Tringulo de velocidades:

= 180 (90 + 47)

= 180 (137)

=

sin( 47)

=13

sin(43) =

4,3 sin 47

sin 43

= , /

23sin( 90)

=13

sin(43) 23 =

4,3 sin 90

sin 43

= , /

= 13 + 23 +

+

= 13 + 13

+ 23 + 23

+

=0:

1. 0 = 23 cos(47) 23

sin(47) 13

23 =

232

23=

(6,3)2

0,9=

39,69

0,9

= , /

13 = 13 . 13 = (0,97)(1,6)

= , , /

= 2 . 13 = (2)(4,6)(2,7) = , /

Reemplazamos en 1. Todos los valores encontrados anteriormente y hallamos el valor de 23 .

0 = 23 cos(47) 44,1 sin(47) 1,6 24,8

0 = 23 cos(47) 32,2 1,6 24,8

0 = 23 cos(47) 58,6

23 cos(47) = 58,6

23 =

58,6

0,7

= , /

Ahora hallamos la aceleracin angular de 2-3, para luego encontrar la aceleracin tangencial de 2-4.

23 = 23

23 =

83,7

0,9 = /

=

24 = 24 . 24 = (93)(1,8)

= , /

23 = 23 . 23 23 =2323

=6,3

0,9

= /

=

24 = 24 . 24 = (7)(1,8)

= , /

24 = (24 )2 + (24

)2

24 =

242

24 =

(12,6)2

1,8 24

= 158,8

1,8

= , /

24 = (88,2)2 + (167,4)2 = 7779,2 + 28022,8 = 35802

= , /

4. Los extremos A y B de las barras articuladas estn controlados por el

movimiento vertical de los vstagos de los mbolos de los cilindros

hidrulicos. Durante un corto intervalo del movimiento, A posee una velocidad

ascendente de 3 m/s y C una descendente de 2 m/s. Hallar la velocidad de

B en instante en que y=150mm.

Solucin:

Datos:

= 3/

= 2/

= 150

Diagrama:

DCL 1. M. T. P. DCL 2. M.T.P.

= tan1200

150

= ,

= tan1150

200

= ,

= 2 + 2 = (150)2 + (200)2

= 22500 + 40000 = 62500

= 250

Si un tringulo tiene todos sus lados iguales, entonces todos los ngulos tambin son iguales.

= 180 60 = 180 53,13 60

= ,

= 180 60 = 180 60 36, 87

= ,

= 90 = 90 66,87

= ,

DCL 3. M.P.G.

DCL 4. M.P.G.

= + / = + /

+ / = + /

+ sin 60

= /

sin 96,87

/ = + sin 96,87

sin 60=

5 sin 96,87

sin 60

/ = , /

= (/)2 + 2 2/ cos 23,13

= (5,73)2 + (3)2 (2)(5,73)(3) cos 23,13

= 3,197 /

5. Se representan los rganos de una sierra de arco. La hoja esa montada en

un bastidor en forma de arco que se desliza por la gua horizontal. Si el motor

hace que el volante gire constantemente a 60 rpm en sentido antihorario,

hallar la aceleracin de la hoja para la posicin en que = 90 y la

correspondiente aceleracin angular de la biela AB.

SOLUCION

B 100 mm

450 mm

VA 100mm

A VB

V A/B

Datos

WOB = 60 rpm

Para comenzar primero convertimos la velocidad angular de OB a radianes por

segundo, de la siguiente manera:

60 2

60 = 6,28 /

Ahora que tenemos nuestra velocidad angular en radianes por segundo

procedemos a calcular la velocidad de B:

VB = WOB x rOB

VB = (6,28 rad/s) x (0,1 m)

VB= 0,628 m/s

Despus de haber calculado la velocidad de B, pasamos a calcular los ngulos

que forma la barra OB.

0,450 m

O,100 m

= sin1(0,100

0,450)

= 12,84 = 180-90-12,84 = 77,16

Con los ngulos calculados podemos proceder a hacer nuestra ecuacin de

velocidades con sus respectivas direcciones:

= + /

Para hallar el ngulo que forma la velocidad relativa de A/B tenemos que:

Teniendo en cuenta el diagrama de los ngulos vemos que nuestra velocidad VA/B

esta formando un ngulo con la vertical de y con la horizontal de , si se

preguntaran que ngulo escoger, la respuesta es muy fcil cualquiera de los dos le

servir. Yo voy a escoger el ngulo que forma con la vertical que es .

Ahora que tenemos las direcciones y ngulos de las velocidades podemos hacer

nuestro triangulo de velocidades:

VB VA/B

VA

Teniendo nuestro triangulo de velocidades podemos calcular las velocidades que

no conocemos como, VA y VB/A. Estas velocidades las podemos hallar utilizando

la ley del seno de la siguiente manera:

sin =

sin

= (0,628 sin 12,84)

sin 77,16

= 0,143 /

/

sin 90=

sin

/ = (0,628 sin 90)

sin 77,16

= 0,644

Ahora que tenemos todas las velocidades procedemos a hallar las aceleraciones

de cada velocidad:

Nota: Como el punto A esta en traslacin pura este solamente va a tener una sola

aceleracin.

= + /

aA = aB + aB + aA/B + aA/B

Al leer el ejercicio podemos observar que la velocidad angular de OB es constante,

esto quiere decir que la aceleracin tangencial es cero, ya que si la velocidad

angular es constante, la derivada de esta viene siendo la aceleracin angular, y

como la derivada de una constante es cero, esta aceleracin angular tiende a ser

cero y si esta es cero la aceleracin tangencial tambin es cero debido a la siguiente

frmula:

=

Continuando con nuestro ejercicio tenemos que el ngulo que forma la aceleracin

tangencial A/B va a ser el mismo de la velocidad relativa A/B ya que estas dos van

en la misma direccin, para saber que ngulo forma la aceleracin normal, nos

devolvemos al diagrama de los ngulos y miramos en que direccin va esta

aceleracin.

Teniendo las direcciones y ngulos de las aceleraciones podemos proceder hacer

el diagrama de aceleraciones:

y

aA/B

aA x

aB

aA/B

Teniendo en cuenta nuestro diagrama de aceleraciones nos damos cuenta que las

aceleraciones que no tenemos estn ubicadas en diferentes coordenadas, esto

quiere decir que podemos calcular las aceleraciones sin ningn problema y sin tener

que hacer rotacin de eje.

Comenzamos calculando las aceleraciones normales:

=

= (0,628)

0,100

= 3,94 /

= ( )

= (0,644)

0,45

= 0,92 /

Ahora que ya calculamos las aceleraciones normales solamente nos queda

calcular las aceleraciones que nos pide el ejercicio, como la tangencial de A y la

tangencial de A/B ya que con esta ultima vamos hallar la aceleracin angular de la

barra.

Para comenzar hacemos sumatoria de aceleraciones en Y para poder eliminar la

tangencial de A y as poder calcular la aceleracin tangencial de A/B.

ay = 0

0 = sin

cos

Despejando a A/B tenemos:

= sin

cos

=( 0,92 sin 12,84 )

cos 12,84

= 0,21 /

Teniendo esta aceleracin podemos proceder a calcular la aceleracin angular de

la barra AB.

=

= 0,21

0,45

= 0,467 /

Ya tenemos nuestra primera respuesta, para calcular la otra aceleracin que nos

piden debemos hacer sumatoria de aceleraciones en X, de la siguiente manera:

ax = 0

= + sin +

cos

= (3,94) (0,21 sin 12,84) (0,92 cos 12,84)

= 4,88 /

6. Un mecanismo intermitente para arrastre de cinta perforadora consiste en la

pieza DAB accionada por la manivela OB. La lnea de trazos representa la

trayectoria de la ua D. Hallar la aceleracin de sta en el instante

representado, en que OB y CA estn ambos horizontales, si OB tiene una

velocidad de rotacin horaria constante de 120 rpm.

SOLUCION:

Se comienza el ejercicio convirtiendo la velocidad del cuerpo OB de rpm a rad/s.

Cuerpo Rgido 1 (barra OB): rotacin pura.

=(120/min ) (2)

60= 4/

Procedemos a calcular la velocidad del punto B:

= = (50) (4

) = 200/

Adems de esto se sabe que: = 0 debido a que es constante. De una vez calculamos la aceleracin normal de B.

=

= (2)

= 7895,68/2

Procedemos ahora con el cuerpo rgido nmero 2 (barra CA), dicho cuerpo esta en

rotacin pura:

= = 200/

= =

=200

125 = 5,03/

Adems de eso: = 2 = 3158,27/

Continuando con el ejercicio podemos notar que la barra OB y la barra AB, forman

un triangulo rectngulo OBA:

2002 = 502 + 2 ( )

= 2002 502 = 193,65

Ahora procedemos a hallar los respectivos ngulos:

= sin193,65

200 = 75,52

= cos50

200 = 14,48

Y 200mm

50mm

El ultimo elemento por analizar es el cuerpo rgido numero 3 (barra BA), dicho

cuerpo se encuentra en movimiento plano general, pero, el cuerpo experimenta

traslacin en ese instante (Cuando los cuerpos OB y CA estn en posicin

horizontal). Debido a eso:

= + /

Y

= + /

Esta a su vez se descompone en sus componentes tangenciales y normales.

+

=

+

+

/ +

/

La es cero debido a que la aceleracin angular es constante.

La / es cero porque es cero

Ya con nuestro diagrama de aceleraciones, se procede a calcular / y

.

:

=

/ sin(75,52)

3158,27 = 7895,68 / sin(75,62)

/ = 4892,83/2

Y

:

=

/ cos(75,62)

= 1223,41/2

Se nos pregunta por la aceleracin de la ua D as que debemos analizar

nuevamente el cuerpo rgido numero 3, pero esta vez teniendo en cuenta la

distancia de B hasta D.

= + /

= + /

Entonces:

/ = / /

/ =/

/ = 4892,83 200 = 24,46/

2

Por lo tanto

/ = / / = 24,46 300 = 7339,25/2

+

=

+

/

:

=

/ cos(75,52)

= 1834,82/2

:

=

/ sin(75,52)

= 7895,68 7338 sin(75,52)

= 789,56/2

= (2) + (

2)

= 1997,53/2

7. En la figura se representa una instalacin de una bombeo para la extraccin

de petrleo. La varilla flexible D de la bomba est sujeta al sector en E y

penetra siempre vertical por el canal gua situado bajo D. la biela AB hace

que oscile la viga BCE cuando rota el cigeal OA descompensado. Si este

gira en sentido horario dando una vuelta cada tres segundos, hallar la

aceleracin de la varilla D de la bomba cuando la viga y el cigeal se

encuentra en la posicin horizontal como se ilustra en la figura.

Hallamos la velocidad W de la barra OA con los datos dados en el enunciado

WOA=1

3

2

1 =

2

8

= .

Luego pasamos a analizar cada uno de los cuerpos rigidos a utilizar para la

resolucin del problema

Para el cuerpo rigido3 se toma en cuenta el punto B-C el cual formamos un

tringulo recto y utilizamos la hipotenusa de dicho triangulo para designar el

cuerpo para as facilitar los clculos.

Cuerpo Rgido 1 Rotacin Pura Cuerpo Rgido 2 Plano General

VA

VB

Cuerpo Rgido 3Rotacion Pura

VB

B

C

Para el cuerpo Rigido 2 VB

= Tan-1 (2.85/0.6)= 78.11

= 90-78.11= 11.89

a 0.9m VA/B = 0.62 + 2.852 = 2.41

VA 1.95 m 2.85

0.6 m

Para el cuerpo Rgido 3

VB

= Tan-1 (0.9/3)= 16.69

b = 90-16.69= 73.30

0.9m = 0.92 + 32 = 3.13

W V

VA

3m

VB = VA + VB/A VB

Realizamos el triangulo de velocidades con las VB(A

Direcciones de halladas, de dichas velocidades.

Hallamos los valores de

VB/A las velocidades con la ley de

Seno.

VA 1) VB

=

VA

VB

78.11=

VA

85.19

VB VA= WOA x rOA

= 180 - 78.11 - 16.7 VA= 2.1*0.6= 1.26 m/s

= 85.19 VB= (1.26)(sen 78.11)

85.19

VB= 1.23 m/s

2) VB/A

=

VA

VB/A

16.7=

1.26

85.19

VB/A=1.26(sen16.7)

85.19

VB/A= 0.36 m/s

Acelaraciones:

VB = VA + VB/A

aB= aA + aB/A 0 porque la velocidad es cte.

+

= +

+ B/A

+ B/A

=

2

=

1.232

3.13= . /

=

2

=

1.262

0.6= . /

/ =

/2

=

0.362

2.91= . /

Y

X

90-

B/A

Rotacin de Eje

B/A

,

sen4.81 +

cos4.81= sen11.89 B/A

=

sen11.89 +

sen4.81 B/A

cos 4.81

=

2.65 sen11.89 + 0.48sen4.81 0.04

cos 4.81

= . /

8. En el mecanismo que se muestra, el eslabon OA gira a una velocidad angular

constante de 7 rad/s, para el instante mostrado determine la velocidad y

aceleracin angular de la barra BD, si le falta algn dato asumalo pero

justifquelo.

Solucin

WOA= 7 constante

Para el instante mostrado

B/A = ?

B/A = ? OA = OA OA

OA = 7 0.5 = 3.5

Cuerpo Rgido 2: MRP

Cuerpo Rgido 1: MRP = =

Analizamos los dos cuerpos juntos con los puntos OAB.

Justificacin

Asumimos que el lado adyacente al angulo es menor que el radio ya que cualquier lnea

intersecada con el eje X de cualquier punto de la circunferencia ser menor la distancia del punto O

a la interseccin que el radio, solo podr ser igual al radio cuando esa lnea sea paralela al radio es

decir el mismo radio por lo tanto el lado a del primer triangulo se tomar 0.45, es decir 0.45

0.5m

= 25.84 R2 = 0.252 + 0.52 2(0.25)(0.5)cos115.84

R2 = 0.4215

R= 0.6492

R

0.25m

= 90-25.84= 115.84

3 A

0.6492m 0.2174

0.25

B

C

= Sen-1 (0.4679/0.6492)= 46.11

C = 0.4679

tan 46.11=0.4498

= 90-46.11= 43.88

ya analizado estos, realizaos el respectivo triangul de velocidades

V

20.27=

V1sen90

Vap= V1(sen 20.27)

90

= 1.21 m/s

V2

69.73=

1

sen90

V2= V1(sen 69.73)

90

= 3.28m/s

VA2= WBA x rBA

WBA= 2

=

3.28

0.6492

WBA = 5.1 rad/s Velocidad Angular de la barra BD

Ya teniendo calculado todas las velocidades, calculamos ahora las respectivas aceleraciones

VA1 = VA2 + Vap

aA1 = aA2 + aap + acor

1

+ 2 = 2

+ 2

+ ap

+

+ cor

1 = 0;

= 0;

Porque su velocidad porque la ranura

Angular es constante. es recta.

cor

2

1

2

1 =

2

=

3.52

0.5= . /

2 =

2

=

3.282

0.6492= . /

cor = 2

cor = 2(1.21) 5.1

cor = 12.34 /

Rotacion de eje:

cor

1 2

2

,

1 sen20.27 = 2

+ cor

1 sen20.27 cor=2

2 = 24.5sen20.27 12.34

2 = 2.18 m/ s2

= . /

2 =

=2

=

2.18/2

0.6492

= . / Aceleracion angular de la barra BD

9. En el mecanismo mostrado en la figura la manivela 2 gira con una velocidad

angular constante de 5 rad/s en sentido horario. Determine la aceleracin

angular del balancn 3.

10. La banda flexible f sujeta al sector en E recibe una velocidad constante de 4

m /s, tal como se muestra. Hallar la aceleracin angular de BD en el instante

en que BD est perpendicular a OA.

11. La velocidad angular de la pala excavadora que se muestra en la figura es

0,25 rad/s en sentido contrario de las manecillas del reloj y su aceleracin

angular es 0,7 rad/s2 Determine a razn a la que se retrae el actuador

hidrulico BC, su aceleracin angular y la aceleracin relativa, en la posicin

que se ilustra la retroexcavadora.

12. Se ilustra un mecanismo de empuje de cajas de pequeo tamao desde una

lnea de montaje a una cinta transportadora en la posicin en que estn

verticales al brazo OD y la manivela CB. sta gira en sentido horario a una

velocidad constante de una vuelta cada dos segundos. Para la posicin de la

figura, hallar con qu celeridad est siendo empujada la caja hacia la cinta

transportadora.

SOLUCIN:

= 1 2

2= 3,1416

Cuerpo rgido numero 1: Rotacin Pura

= = 157.08

Cuerpo Rgido numero 2: Rotacin Pura

= 1 (200

223,61) = 63,43

= 90 = 26,57

Cuerpo rgido nmero 3: Plano General

= + /

= 1 (50

300) = 9,46

= 90 = 80,45

sin (99.46)

=

sin (53,97)

= 191,60

Ahora tenemos que

=

=191,60

223,61 = 0,857

Entonces la velocidad de D ser:

= = 514,11

Cuerpo Rgido Numero 4: Traslacin Pura

= 1 (200

346.41)

= 30

=

= 514,11

13. La cruz de Malta es un mecanismo destinado a producir una rotacin

intermitente. La clavija P montada en el plato motor A, del que es solidaria la

placa B, penetra en las ranuras radiales de la cruz C y hace que esta d un

cuarto de vuelta por cada vuelta de la clavija. En la posicin representada es

= 45. Para una velocidad angular horaria constante 1 = 2 rad/s del plato

motor A, hallar la correspondiente velocidad angular antihoraria 2 = de la

cruz C y la aceleracin angular en = 37. (Obsrvese que durante cada

acoplo el movimiento est regido por la geometra del triangulo o1o2p de

ngulo variable.)

SOLUCIN:

Iniciamos graficando el tringulo presentado en la figura a partir del mecanismo

para observar ms claramente cmo actan las velocidades y en qu sentido

De la formula general para la velocidad relativa obtenemos que:

Conociendo los ngulos en los

que actan las velocidades

podemos ahora construir el

tringulo de velocidades para

as obtener la velocidad

aparente:

V ap = V a/c

Va = Vc + Va/c

Sabiendo que la velocidad en A

ser igual a:

= 1

= 2

200 2

= 565, 68

Ahora aplicamos ley de senos y

obtenemos que:

sin 90=

sin 16

De aqu despejamos la velocidad

en c que ser entonces:

= 16

sin 90= 155.92

Aplicando nuevamente ley de senos podemos calcular el valor de la velocidad

aparente:

/

sin 74=

sin 90

Depejamos la velocidad aparente y nos queda que:

/ = sin 74

sin 90= 543.78

Ahora a partir de la velocidad aparente Va/c podemos calcular la velocidad angular

si dividimos Va/c entre el radio Rc

=

= 1,92

= + / +

+ = + + / + / +

Sabiendo que la aceleracion tangencial en A y la aceleracion normal aparente son

0 calculamos las dems aceleraciones.

=

2

=

565,62

2002= 1131.43 2

=

2

=

155.432

2002= 85.96 2

= 2 () = 2(543.78)(1.92) = 2090.21

Realizamos sumatoria de aceleraciones en el eje x

= (20) +

1131.43(cos 20) = +

1131.43(cos 20) = + 2090.21

3154.08 =

Ahora conociendo la aceleracin tangencial en c podemos hallar la respectiva

aceleracin angular

=

3154.08

2002=

= 11.15 2

Y por ltimo calculamos la velocidad angular 2

= 2

2 =

=155.92

2002= 0.5512

A

C

14. El actuador hidrulico BC de la gra se extiende (aumenta su longitud,

velocidad aparente) A una razn constante de 3 m/s y rota a una velocidad

angular en sentido anti horario. En el instante mostrado, cual es la

aceleracin angular del aguiln AD y la barra BC de la gra.

Solucin:

El primer paso para realizar un ejercicio, es hacer el Diagrama de Cuerpo

Libre, porque con el identificamos las velocidades, aceleraciones y el sentido

de giro o movimiento.

1. D.C.L.

Para BC

Para AC

B

C

Antes de hallar las velocidades debemos conocer algunos ngulos y distancias que

nos permitirn realizar los clculos para hallar velocidades.

Para esto usamos teorema de Pitgoras, (en este ejercicio, puesto que se puede

utilizar otros mtodos como ley del seno o coseno)

Para AC: Para BC:

=1,4

3

= 1(0,47) = 25

= 1,42 + 32

= 3,31

=2,4

1,2

= 1 (2,4

1,2)

= 63,4

= 2,42 + 1,22

= 2,68

Luego procedemos a hallar las velocidades haciendo uso de la frmula de

movimiento relativo: = + donde:

Vnr = velocidad del cuerpo que no est rotando. (VAC)

Vr = velocidad del cuerpo que est rotando. (VBC)

Vapa = velocidad aparente. (Vapa)

= +

3m

1,4m

1,2m

2,4m

Con la ayuda de un tringulo de velocidades y la ley del seno, procedemos a hallar

las velocidades. Conociendo de antemano los valores de , y Vapa.

= 38,4

= 51,6

Vapa = 3m/s

Aplicando la ley del seno, tenemos:

90

=

=90

38,4 3

= 4,83

=

=51,6

38,4 3

= 3,78

y

x

Tringulo de Velocidades

Como anteriormente hallamos las distancia de A a C y de B a C, en esta parte son

de gran importancia para poder hallar las velocidades angulares () puesto que

sabemos que = Velocidad /Radio. (en esta parte esas distancian son nuestros

radios AC y BC).

Procedemos:

= = 4,83 3,31 = 1,461

= = 3,78 2,68 = 1,411

Ahora tenemos que hallar las aceleraciones, para esto usamos una ecuacin que

es parecida a la que usamos para hallar las velocidades, solo que ahora hay que

tener en cuenta que en el cuerpo que est rotando acta una aceleracin llamada

aceleracin de Coriolis. Esta ecuacin quedara as:

= + + Donde:

= Aceleracin del cuerpo de no esta rotando () = Aceleracin del cuerpo que est rotando () = Aceleracin aparente del cuerpo que rota ()

= Aceleracin de Coriolis = 2 Y esta ecuacin quedara de la siguiente manera:

= + +

Ahora descomponemos estas aceleraciones en normales y tangenciales as:

+

= +

+

+ Como en el enunciado del ejercicio se aclara que la velocidad es constante, por tal

motivo la aceleracin aparente es cero, es decir aceleracin normal y tangencial

igual a cero.

+

= +

+ (*)

En esta parte es sencillo hallar las aceleraciones normales y la aceleracin de

coriolis, puesto que sabemos que:

= 2

=2

Y tenemos ya: =3

; = 1,411 para la aceleracin de coriolis, y

= 4,83 , = 3,78 , = 3,31 y = 2,68 , para las aceleraciones normales.

Procedemos as a hallarlas:

= 2 3

1,411

= 8,46 2

=

(4,83 )2

3,31

= 7,05 2

=

(3,78 )2

2,68

= 5,33 2

Ahora solo nos quedan dos incgnitas, las aceleraciones tangenciales AC y BC las

cuales no son tan sencillas de hallar, puesto que sabemos que = y =aceleracin angular. Por tal motivo recurrimos al diagrama de aceleraciones:

y

x

Diagrama de Aceleraciones

En este diagrama ubicamos todas las aceleraciones que hacen parte de la ecuacin

en la direccin que le corresponde, observamos que si giramos el plano X,Y 25

respecto al eje Y, y trazamos un plano X, Y , solo nos quedara una incgnita por

resolver que sera .

38,4

38,4

Diagrama de Aceleraciones plano girado

25

En este plano X,Y, se aprecia con mayor facilidad las aceleraciones y se puede

descomponer cada una en sus componentes y usando la misma ecuacin de

aceleraciones (*), tanto para las componentes de aceleraciones en X y

componentes de aceleraciones en Y . Procedemos as a hallar estas incgnitas:

En X :

=

38,4 38,4 38,4

=

38,4 38,4 38,4

= 7,05 5,33 38,4 8,46 38,4 38,4

= 3,89 2

En Y :

=

38,4 38,4 + 38,4

= 3,89 38,4 5,33 38,4 + 8,46 38,4

= 0,3 2

Por ultimo hallamos las aceleraciones angulares del aguiln AD y la barra BC de la

gra como lo piden al inicio del ejercicio.

Sabemos que = y =aceleracin angular, entonces solo despejamos y obtenemos las aceleraciones angulares en AD y BC, as:

=0,3 2

3,31

= 0,09 2

=3,89 2

2,68

= 1,45 2