TRABAJO DE TECNOLOGIA (REFUERZO)

1.¿que son las razones trigonométricas?Para empezar voy a dar una definición de que es una razón

trigonométrica estas son las razones de las longitudes de dos lados de un triangulo rectángulo

Las mas usas son : seno, coseno, tangente, estas en las operaciones se encuentran como sen, cos, tan estas son las principales ya que son las que mas se utilizan; pero también hay otras tres ya que las razones trigonométricas son seis, las tres que nos faltan son cotangente(cot),secante(sec) y cosecante(csc).

SenA es igual a: cateto opuesto sobre hipotenusa

cosA es igual a: cateto adyacente sobre hipotenusa

tanA es igual a: cateto opuesto sobre adyacente

CotA es la viceversa de tan ósea: cateto adyacente sobre opuesto

SecA es igual a:hipotnusa sobre cateto adyacente

CscA es igual a hipotenusa sobre cateto opuesto

en este triangulo rectángulo podemos evidenciar mejor las razones trigonométrica siendo estas:senA:b/a

cosA:c/a

tanA:b/c

cotA:b/c

secA:a/c

cscA:a/b

Sabemos que muchas veces nos piden encontrar uno de los lados de estos triángulos; pues la manera mas fácil es por el teorema de Pitágoras con este podemos hallar alguno de los catetos que nos falte o la hipotenusa.

la hipotenusa es igual a la suma de los dos catetos elevado a la dos

Para encontrar cualquiera de los catetos decimos que cateto elevado a la dos es igual al a raíz de la hipotenusa menos el cateto que conocemos elevado a la dos

Lo anterior nos sirve para encontrar los catetos y las hipotenusa en el caso de que nos pidan encontrar cualquiera de estos.

En la imagen del triangulo rectángulo que esta al fondo podemos ver en donde se ubica la hipotenusa y los catetos

Ahora vamos hablar de las razones trigonométricas en la circunferencia :

Seno: sabemos que la línea seno en el primer cuadrante crece llegando a tener valores de cero hasta uno, en el segundo cuadrante la línea decrece de uno a cero, en el tercer cuadrante la línea de seno decrece de cero a menos uno y en el cuarto cuadrante la línea de seno crece de menos uno a cero; de esto deducimos que la línea de cero pude tomar valor desde menos uno hasta uno.

Tambien sabemos que el dominio de la funcion seno va desde menos infinito hasta + infinito:

(-∞,∞).

Ademas que el rango de la funcion seno va desde 1 hasta -1:

(1,1).

su máximo se representa con la siguiente grafica

en la línea seno hay discontinuidad desde -1,5 hasta 1,5

en la siguiente grafica podemos observar que los puntos de inflexión

En la siguiente imagen podemos observar los intervalos en donde la línea seno es creciente

En el grafico que a continuación se muestra podemos ver los intervalos en que la línea seno es decreciente

En la línea seno el periodo da desde 0 hasta 3,1 y desde 0 hasta -3,1

la amplitud de la línea seno esta en los puntos 1,5 y -1,5

La función seno es par

A continuación una grafica de la función seno

Ahora hablare de la función coseno esta línea en el primer cuadrante decrece de uno a cero , en el segundo cuadrante la línea coseno decrece de cero a menos uno, en el tercer cuadrante esta línea crece de menos uno a cero y en el cuarto cuadrante crece de cero a uno ; como podemos ver esta toma valores de menos uno hasta uno, también se sabe que el dominio de la línea coseno va desde uno hasta menos uno y que el rango va desde (-1,1)

A continuación la grafica de su máximo

Ahora podrán observar la grafica de los mínimos

En la línea coseno hay discontinuidad desde menos infinito hasta infinito.

los puntos de inflexión de la línea coseno los podemos ver en los siguiente gráfico.

los intervalos de la función coseno son crecientes en los puntos que nos muestra la grafica

el periodo de la línea coseno va desde 0 hasta 3,1 y de 0 hasta-3,1;esta línea coseno tiene una amplitud desde 1,5 hasta -1,5 además de que la función coseno es par al igual que seno.

El siguiente grafico nos muestra la función coseno

Ahora hablare de la línea tangente y lo primero que quiro mostrarles es una grafica de la linea tangente en donde hay discontinuidad aislada

El dominio del a línea tangente va es desde menos infinito hasta mas infinitito

La discontinuidad de la línea tangente va desde -9,4 hasta9,4

la función tangente tiene 6 asíntotas

El rango de esta línea va desde menos infinito a mas infinito

La función tangente no tiene maximo ni mínimos

Sus puntos de inflexión los veremos en el siguiente grafico

La funcion es creciente si y lo veremos en el siguiente grafico

La funcion es decrecientelo veremos en el siguiente grafico

el periodo de la línea tangente es de menos infinito a mas infinito

la función tangente tiene intervalos de cóncava en los siguientes puntos.

los intervalos de convexidad los veremos en el siguiente grafico

Razones trigonométricas reciprocas: las razones trigonométricas se dividen en dos grupos las principales y las reciprocas ; las reciprocas se derivan de las principales.

Entonces Se definen la cosecante, la secante y la cotangente, como las razones recíprocas al seno, coseno y tangente, del siguiente modo:

-La Cosecante: en los libros la encontramos abreviada de esta manera csc o cosec, esta es la razón recíproca de seno, o también su inverso multiplicativo es decir: hipotenusa sobre cateto opuesto

-La Secante: también abreviada como sec; es la razón recíproca de coseno, o también su inverso multiplicativo ósea: hipotenusa sobre cateto adyacente

-La Cotangente: esta la podemos encontrar de dos maneras cot o cta, esta es es la razón recíproca de la tangente, o también su inverso multiplicativo ósea :cateto adyacente sobre cateto opuesto

Como sabemos cosecante es el inverso de la razone seno ya que este es cateto opuesto sobre hipotenusa; al igual que secante es el opuesto de coseno ya que este es: cateto adyacente sobre hipotenusa, y por ultimo tenemos cotangente es el opuesto de tangente ya que esta se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente

Como ya sabemos estas son cosecante ,secante y cotangente; ahora hablaremos un poco mas de cada una de estas:

La recta secante es una recta que corta a una circunferencia en dos puntos. "Secante" proviene del término en latín para el verbo cortar "secare“. Ahora mostrare una grafica en la que esta secante y coseno para que podamos ver que son líneas muy diferentes.

Ahora hablaremos de cosecante que es el inverso multiplicativo de seno

En la siguiente grafica podemos ver que la función seno, cuando esta toma valores en los que vale cero, la cosecante se hace infinito, si la función seno tiende a cero desde valores negativos la cosecante tiende a menos infinito .

Ahora veremos la tercera y ultima razon trigonometrica reciproca que es la cotangente.

La cotangente es el inverso multiplicativo de la tangente podemos ver que para los valores en los que la tangente vale cero, la cotangente se hace infinito, si la función tangente tiende a cero desde valores negativos la cotangente tiende a menos infinito.

1.Un niño tira un balón desde una montaña que mide 100m,este recorre 15mhacia abajo ¿ a que distancia esta el balón de la montaña? C

b=100m a=15m

A c=? B

Lo que vamos hacer ahora es encontrar el lado c que esta con un interrogante por que es la distancia; y la distancia es lo que nos pide el problema que encontremos.

Lo que hacemos es buscar una razón trigonométrica que nos ayude a resolver el ejercicio; necesitamos la identidad que sea cateto adyacente sobre hipotenusa entonces tenemos que coseno es la razón trigonométrica que cumple con lo buscado .

Cosc=cateto adyacente/hipotenusa

Cosc= 15m/100m

C= cos15/100

C=0.99

2.Un carro sebe una pendiente formando un ángulo de45º hasta que llega a un altura de10m¿ que distancia recorrió?

C

b

a=10m

A B

Hacemos lo mismo buscamos la razón que mejor se adapte a lo que nos piden y la aplicamos.

Tanx= cateto opuesto /cateto adyacente

Tan45º= c/10m

C=tan45º*10m

C=10m

3.Una persona tira un balón desde un edificio que mide 40m, mira hacia abajo y ve que crea un ángulo de depresión de 30º ¿ que distancia recorrió el balón.

40m

x

Tanx=cateto opuesto /cateto adyacente

Tan30º=x/ 40m

X=tan 30*40

X= 23.09

La distancia que recorrió el balón es de 23.09m

4.un perro salta desde el suelo hasta una mesa que tiene 6m formando un angulo de 35º ¿ que distancia recorre el perro?

6m

suelo

Tambien buscamos la razon trigonometricaque mejor se adapte a lo que nos preguntan y resolvemos

Tanx=cateto opuesto /cateto adyacente

Tan35º=x/6m

X= tan35º*6m

X=4.20m

5. un hombre mira la punta de un árbol ; el árbol mide 15m formando un ángulo de elevación de 47º ¿Qué distancia hay entre el hombre y la base del árbol?

15m

x

buscamos la razón trigonométrica que nos ayude a resolver el problema y la aplicamos

Tanx=cateto opuesto/cateto adyacente

Tan47º=x/15m

X= tan47º*15m

X=16.08

La distancia es de 16.08m

3.1CUALES SON LAS CARACTERISTICAS DE LOS TRIANGULOS OBLICUANGULOS Y COMO LOS RESOLVEMOS.

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por el teorema de seno y de coseno, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

A continuación podemos ver una grafica que nos muestra un triangulo oblicuángulo

Como se dijo anteriormente este no se puede resolver por el teorema de Pitágoras, pero si se puede resolver por los teoremas de seno y coseno.

TEOREMA DE SENO: en un triangulo cualquiera las razones obtenitadas de dividir el seno de un ángulo entre un lado opuesto son iguales es decir:

senA/a=senB/b=senC/c con este teorema podemos encontrar los lados que nos falte ya que nos dan uno, para en encontrar los ángulos solo debemos saber que la suma de los ángulos de los triángulos es de cien ochenta grados; para poder utilizar este teorema siempre nos dan dos ángulos ;lo que hacemos es sumar los conocidos y restárselos a ciento ochenta dándonos asi el tercer ángulo

A continuación les daré un ejemplo de la utilización del teorema del seno

Vemos que en este triangulo oblicuángulo nos dan los ángulos B y C para encontrar A súmanos los ángulos: 45º+105º=150º ; entonces ha 180º que es la suma de los ángulos de los triángulos le restamos 150º y esto nos da 30º que es el valor del ángulo A

Entonces conocemos los ángulos:A=30º

B=45º

C=105º

También conocemos el lado a=6m

El teorema del seno dice que senA/a=senB/b=senC/c, lo que hacemos es remplazar

Sen30º/6m=sen 45º/b=sen105º/c

Ahora vamos a encontrar b: sen30º/6m=sen45º/b

b=sen45º*6m/sen30º esto lo hacemos en una calculadora cientificay el resultado que nos de es el valor de b, en este caso b vale 8.48m

Ahora encontraremos c: c= sen30º/6m=sen105º/c

C=sen105º*6m/sen30º

C=11.59m

Asi ya tenemos resuelto el triangulo siendo los valores de los

Angulos:A=30º lados:a=6m

B =45º b=8.48m

C=105º c =11.59m

Todo triangulo oblicuángulo para encontrar los lados el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados menos dos veces el producto de los dos lados por el coseno del ángulo que forma. Para encontrar los lados utilizamos

a elevado a la dos =b a la dos +c a la dos-2ac*el coseno del ángulo A

b elevado a la dos =a elevado a la dos+ c a la dos-2ac*el coseno del ángulo B

C elevado a la dos = a elevado a la dos+ b a la dos-2ab * coseno del ángulo C

Lo que se hace es despejar las formulas para encontrar los lados esto nos queda asi:

Cos del ánguloA =b elevado a la dos + c elevado a la dos-a elevado a la dos sobre 2bc

cos del ánguloB=a elevado a la dos + c elevado a la dos-b elevado a la dos sobre 2ac

Cos del ánguloC =a elevado a la dos + b elevado a la dos-c elevado a la dos sobre 2ab

C

a

b

A c B

Angulo A=90º Lado a=12cm

Angulo B=? (47º) Lado b=16cm

Angulo C=45º Lado c=? (10.93)

Angulo B=180º-90º-43º=47º

C elevado a la dos=a elevado a la dos + b elevado a la dos -2ab.cos del ángulo C

C elevado a a la dos=12 elevado a lados +16 elevado a la dos-2(12)(16)*cos del ángulo C

C elevado a la dos =144+256-280.32

C elevado a la dos= 400-280.32

raíz de c a la dos= raíz de 119.68

C=10.93

1.problema con los teoremas de seno y coseno

1. un niño eleva una cometa formado un ángulo de 30º hasta que alcanza una altura de 5metros ¿hallar la distancia entre el niño y la cometa? C

a b=5m

B c A

Lo que hacemos es sumar los ángulos que ya tenemos y restárselos a 180º ;por que 180º es la suma de todos los ángulos internos de un triangulo.

180º-90º-30º= 60º este es el valor del tercer ángulo

El teorema del seno dice: senA/a=senB/b= senC/c

Lo que hacemos con esto es remplazar

Sen90º/a=sen30º/5m=sen60º/c

a= sen90º/a=sen30º/5m

a=sen90º* 5m/sen 30º ANGULOS A:90º LADOS a:10m

a=10m B:30º b:5m

Sen30º/5m=sen60º/c C:60º c:8.66m

c=sen60º*5m/sen30º

c=8.66m

Una persona A que esta en el suelo mira a otra que esta en la punta de un árbol formando un ángulo de 60º,el árbol mide 12m ¿ a que distancia esta la persona A del árbol?

C

b a=12m

A c B

Hacemos lo mismo que en el primero

180º-90º-60º=30º tercer angulo

senA/a=senB/b= senC/c

Sen30º/12m=sen90º/b=sen60º/c

C=sen30º/12m=sen60º/c

c=Sen60º*12m/sen30º

C=20.78

3. dos bicicletas salen simultáneamente desde un punto A , en dirección tal que forman un ángulo de 70º, una va a 10 km por hora y la otra a 15 km por hora. Determinar a que distancia se encuentran separadas después de tres horas.

a=30km

10km

A b

15km

c=45km

Ahora vamos a utilizar el teorema del coseno para poder encontrar la distancia ; como el ángulo es opuesto a todo los lado podemos utilizar cualquiera de las formula para encontrar los lados; esta ya fueron antes mencionas, en este caso utilizaremos la de b

b elevado a la dos = a elevado a la dos + c elevado a la dos -2ac* cos del angulo B

b elevado a la dos= (30)a la dos+(45)a la dos-2(30)(45)*cos del angulo 70º

b elevado a la dos =900+2025*cos del angulo 70º

b elevado a la dos =2925-92345

luego le samo raiz a b y al resultado que nos de la resta anterior

Raiz de b=raiz de 2001.55

b=44.73 y este es el resulta

4.un persona sube una pendiente que mide 16m, formando un ángulo de elevación de 65º y tiene una altura de 6m ¿ que distancia hay y cual es le ángulo de depresión.

C

b=16m a=6m

A c=? B

Utilizamos el teorema del seno

180º-90º-65º=25º

senA/a=senB/b=senC/c

Sen25º/6m=sen90º/16=sen60º/c

c=sen90º/16º=sen65º/c

c=Sen65º*16/sen90º

C=14.50m

La distancia es de 14.50m

5. ¿Cuál es la longitud de la diagonal de un paralelogramo ? Conociendo que los lados miden 15m y 6m.

15m

6m

c=15m B

A a=6m

b C

Utilizamos el teorema de coseno y la forma de sete para en contra el la diagonal. En este caso también podemos utilizar cualquiera por que el ángulo es opuesto a todos los lados

b elevado a la dos = a elevado a la dos+c elevado a la dos -2ac*cosdel anguloB

b elevado a la dos=(6)a la dos +(15)elevado a la dos -2(6)(15)*cosdel angulo90º

belevado a la dos =36+225-180*0

b elevado a la dos =261-0

b elevado a la dos =261

Luego sacamos raiz de b y 261; y nos queda

b =16.15

La diagonal mide 16.15m

La dificultad mas notoria que he tenido es aprenderme las identidades por que son varias además el no saber en que ejercicios aplicarlas por que primero se tiene que mirar el ejercicio para luego ver que identidad nos sirve.

Mi compromiso es aprenderme las identidades , poner mucha atención en las explicaciones, hacer ejercicios para mejor