Trabajo de Mate Casi 2

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de Mayo de 2011TABLA DE CONTENIDO. INTRODUCCION. ...................................................................................................................i OBJETIVOS. ......................................................................................................................... ii JUSTIFICACION. .................................................................................................................. iii Resumen Ejecutivo. ............................................................................................................. 4 MARCO REFERENCIAL .......................................................................................................... 7 MARCO TEORICO ................................................................................................................. 7 Derivada ............................................................................................................................. 7 Notacin .................................................................................................................................... 8 Lista de derivadas de funciones elementales ......................................................................... 10 Ejemplos .................................................................................................................................. 11 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS ................................................. 15 Derivada de las funciones trigonomtricas. ........................................................................ 16 Notaciones para la derivada de una funcin ....................................................................... 21 Las funciones trigonomtricas inversas y sus derivadas ...................................................... 22 Funcin seno inverso .............................................................................................................. 22 Derivada de la funcin seno inverso ....................................................................................... 24 Funcin coseno inverso ........................................................................................................... 25 Derivada de la funcin coseno inverso ................................................................................... 26 Funcin tangente inversa ........................................................................................................ 27 Derivada de la funcin arcotangente ...................................................................................... 28 Funcin cotangente inversa .................................................................................................... 29 Derivada de la funcin cotangente inversa............................................................................. 30 Funcin secante inversa .......................................................................................................... 31 Derivada de la funcin secante inversa .................................................................................. 33 Funcin cosecante inversa ...................................................................................................... 34 Derivada de la funcin cosecante inversa............................................................................... 37 Razones RelacionadasRazones relacionadas ....................................................................... 39 Razones relacionadas ........................................................................................................ 40 Funciones paramtricas. ......................................................................................................... 40 DiferencialesDIFERENCIALES. ............................................................................................. 46 DIFERENCIALES. ................................................................................................................. 47 Incrementos ........................................................................................................................ 47 Diferenciales ..................................................................................................................... 50 Matemtica II |

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de Mayo de 2011TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y DE ROLLE .......................................................................... 56 Teorema del Valor Medio .................................................................................................. 57 Teorema del valor medio. .................................................................................................. 57 Teorema de RolleTEOREMA DE ROLLE ................................................................................ 64 TEOREMA DE ROLLE........................................................................................................... 65 CONCLUSION ..................................................................................................................... 69 BIBLIOGRAFIA. .................................................................................................................. 70

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011

INTRODUCCION.

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i


OBJETIVOS.

OBJETIVO GENERAL: Dar a conocer y buscar comprender los diversos temas que fueron investigados sobre Derivadas, resolvindolos y dndoles soluciones, a travs del conocimiento adquirido en clases, permitiendo poder desarrollar nuevos temas relacionados con la Derivada, con el propsito de fomentar el habito de la investigacin y obtencin de informacin en el alumno.

OBJETIVOS ESPECFICOS: Ampliar el estudio matemtico, acerca de las diversas formas de Derivacin. Demostrar que se ha adquirido nuevo conocimiento a travs de la prctica de ejercicios matemticos resueltos por el alumno. Fomentar el hbito de la investigacin y desarrollo de nuevos temas.

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ii


JUSTIFICACION.

Gracias al aporte realizado por nuestro grupo de estudio, podemos establecer que la importancia de este trabajo de investigacin y desarrollo consisti en; desarrollar mayor habilidad para resolver temas que estn vinculados al clculo de la derivada que en la actualidad nos permite resolver problemas matemticos. Tambin podemos mencionar que fue necesario reforzar conocimientos de estudios que se cursaron en nivel bsico y medio, ya que se toma en cuenta casos de factorizacin del algebra, funciones trigonomtricas, evaluaciones de limites, etc. As podemos decir que la matemtica es una rama de estudios numricos aplicable en todos los campos de aprendizaje, laborales, etc. Que es determinante para el desarrollo y evolucin colectiva e individual de los seres humanos.

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iii


Resumen Ejecutivo.Los problemas tpicos que dieron origen al Clculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la poca clsica de Grecia (siglo III a.C.), pero, no se encontraron mtodos sistemticos de resolucin hasta 20 siglos despus (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz). En lo que atae a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geomtrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego esttico en contraste con el concepto cinemtico de Arqumedes) y el problema de los extremos (mximos y mnimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Clculo Diferencial. El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a.C.). En el libro II de su obra, hace el estudio de los dimetros conjugados y de las tangentes a una cnica. Por ejemplo, si P es un punto cualquiera de una hiprbola de centro C, entonces, Apolonio demuestra que la tangente en P corta las asntotas en los puntos L y L (fig. 1. (a)) que equidistan de P.

(a)

(b)

fig. 1. En el caso de la elipse, si Q es un punto de la curva (fig. 1. (b)), Apolonio traza la perpendicular desde el punto Q al eje AA, y halla el conjugado armnico T de N

con respecto a A y A, es decir, el punto T de la recta AA es tal que ,o equivalentemente, el punto T que divide externamente al segmento AA en la misma razn en que N divide internamente a AA. Entonces, la recta que pasa por T y Q ser tangente a la elipse. Igualmente, en el libro CNICAS V.8., Apolonio demuestra un teorema relativo a la normal a una parbola, que podra formar parte actualmente de un curso completo de Clculo Diferencial. En cuanto al problema de los extremos relativos de una funcin, fue Pierre de Fermat (1601 1665) quien en el ao 1629, hizo dos importantes descubrimientos que estn relacionados con sus trabajos sobre lugares geomtricos. En el mas importante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam maximan et miniman ("Mtodos para hallar mximos y mnimos"), Fermat expone un mtodo muy ingenioso para hallar los puntosMatemtica II | 4

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 en los cuales una funcin polinmica de la forma y = f (x), toma un valor mximo o mnimo. Fermat comparaba el valor de f (x) en un cierto punto, con el valor de f (x + E) en un punto prximo; en general, estos dos valores son distintos, pero, en una "cumbre" o en el fondo de un "valle" de una curva "lisa" la diferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponden a valores mximos o mnimos de una funcin, Fermat iguala f (x) con f (x + E), teniendo en cuenta que estos valores son "casi iguales". Cuanto mas pequea sea la diferencia E entre los dos puntos, mas cerca est la igualdad de ser verdadera. As, despus de dividir todo por E, hace E = 0. El resultado le permite calcular las abscisas de los mximos y mnimos de la funcin polinmica. Aqu se puede ver ya en esencia, el proceso que ahora se llama diferenciacin, ya que el mtodo de Fermat es equivalente a calcular:

E igualar este lmite a cero. Esta fue la razn que asisti a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Clculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton (sir Isaac Newton. 1642 1727. Nacido en Woolstharpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (Gottgried Wilhelm Leibnitz. 1646 1716. Nacido en Leipzig (Alemania)) a quienes se les puede atribuir justificadamente la invencin de las derivadas y de las integrales. Newton, tard mucho en dar a conocer sus resultados. La notacin que usaba era mas sugestiva: lo que nosotros llamamos f (x) y, l lo llamaba "cantidades fluentes", y la derivada, D f (x) era llamaba "fluxin". Adems, se le escriba en lugar de D f (x). El mismo Newton escriba cosas como las siguientes: "Los momentos - las actuales diferenciales - dejan de ser momentos cuando alcanzan un valor finito, y deben por lo tanto considerarse como magnitudes finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton deba entenderlas muy bien, pero, para otro que no fuera su inventor del mtodo, suenan bastante incomprensibles. En el ao de 1669, Isaac Barrow (1630 1677), recibi de su alumno Isaac Newton, un folleto titulado De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas. Contena, nada menos, que el esbozo casi completo del Clculo Diferencial e Integral. Aquel mismo ao, Barrow decidi que su alumno saba mucho mas que l, y que tena por lo tanto mucho mas derecho a la ctedra de matemticas con mas merecimientos que el propio Barrow; su titular. Con una generosidad y un desinters difciles de igualar, Barrow cedi su ctedra a Newton. A los 40 aos, siendo profesor de matemticas de Cambridge, Newton escribi los Principia Mathematica, tal vez el tratado cientfico de mayor influencia jams publicado. En el aplic los conceptos del clculo para explorar el universo, incluyendo los movimientos de la tierra, la luna y los planetas alrededor del sol. Se dice que un estudiante observ: "ah va el hombre que escribi un libro que ni l ni los dems comprenden". Leibnitz, comparte con Isaac Newton el crdito del descubrimiento del clculo. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera diez aos antes. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665 1666), pero que Leibnitz las descubri independientemente durante los aosMatemtica II | 5

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 de 1673 1676. Leibnitz fue quiz el mayor inventor de smbolos matemticos. A l se deben los nombres del Clculo Diferencial y el Clculo Integral, as como los smbolos y para la derivada y la integral. Fue el primero en utilizar el trmino "funcin" y el uso del smbolo " = " para la igualdad. Por esta razn, debido a la superioridad del simbolismo, el clculo se desarroll con mucha mayor rapidez en el continente europeo que en Inglaterra de donde era oriundo Newton.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 MARCO REFERENCIAL MARCO TEORICO

DerivadaEn clculo la derivada representa cmo una funcin cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En trminos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cundo est cambiando el valor de una funcin en un punto dado (o sea su velocidad de variacin); por ejemplo, la derivada de la posicin de un vehculo con respecto al tiempo, es la velocidad instantnea con la cual el vehculo est viajando. La derivada de una funcin es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximacin lineal de una funcin cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin en dicho punto. En dimensiones ms elevadas, la derivada de una funcin en un punto es la transformacin lineal que ms se aproxima a la funcin en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una funcin. El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciacin. El teorema fundamental del clculo dice que la diferenciacin es el proceso inverso de la integracin en funciones continuas.

La derivada de la funcin en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la grfica de la funcin est dibujada en negro; la tangente a la curva est dibujada en rojo).

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NotacinExisten diversas formas para nombrar a la derivada. Si f es una funcin, se escribe la derivada de la funcin respecto al valor en varios modos:

{Notacin de LaGrange }

1

o

{Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}

{ Notacin de Newton}

Se lee punto o punto. Actualmente est en desuso en Matemticas puras, sin embargo se sigue usando en reas de la fsica como la mecnica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notacin de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.

,

{Notacin de Leibniz}

Se lee derivada de ( de ) con respecto a . Esta notacin tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una funcin con respecto a otra como un cociente de diferenciales. La notacin ms simple para diferenciacin, en uso actual, es debida a LaGrange. Para identificar las derivadas de en el punto ha, se escribe: Para la primera derivada, Para la segunda derivada, Para la tercera derivada, Para la ensima derivada (n > 3). (Tambin se pueden usar nmeros romanos). Para la funcin derivada de en , se escribe segunda derivada de en , se escribe . De modo parecido, para la , y as sucesivamente.

La otra notacin comn para la diferenciacin es debida a Leibniz. Para la funcin derivada de , se escribe:1

Fue un matemtico, fsico y astrnomo italiano que despus vivi en Rusia y Francia.

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Con esta notacin, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

Si

, se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como

O Para la ensima derivada de o de y respectivamente. Histricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

La cual se puede escribir como

La notacin de Leibniz es muy til, por cuanto permite especificar la variable de diferenciacin (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciacin parcial. Tambin facilita recordar la regla de la cadena, porque los trminos d parecen cancelarse simblicamente:

En la formulacin popular del clculo mediante lmites, los trminos d no pueden cancelarse literalmente, porque por s mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En anlisis no-estndar, no obstante, se puede ver como nmeros infinitesimales que se cancelan.Matemtica II | 9

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 La notacin de Newton para la diferenciacin respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la funcin:

Y as sucesivamente. Esta notacin de Newton se usa principalmente en mecnica, normalmente para derivadas de tiempo tales como velocidad y aceleracin, y en teora de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas. Lista de derivadas de funciones elementales En las frmulas siguientes se considera que :

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(regla de la cadena) Ejemplos Ejemplo #1 Sea la funcin los nmeros reales (denotado por derivada: , definida sobre el conjunto de ). Para conocer sus variaciones se observa suMatemtica II | 11


Para encontrar el signo de

, se tiene que factorizar:

Lo anterior que se hace resolviendo una ecuacin de segundo grado. Tambin se observa su segunda derivada: F''(x) = 12x 18 Dado que valor es Dado que es . . y entonces tiene un mnimo local en 4 y su valor y entonces tiene un mximo local en -1 y su

Ntese que la derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores de x tales que negativa en el intervalo . , los cuales son y , tomando en cuenta el teorema del valor medio y que entonces la derivada es

por lo tanto la funcin es decreciente en el intervalo

Al ser una funcin basada en un polinomio cbico no est acotada ni por arriba ni por abajo y como su derivada es una funcin cuadrtica entonces no tiene ms de 2 puntos con derivada igual a cero, por tanto la funcin es creciente en el intervalo y en el intervalo Ejemplo #2 Utilizando la definicin de derivada de una funcin, determinar la derivada de la funcin. .

Sustituir datos:Matemtica II | 12


Desarrollar:

Entonces, la derivada de la funcin

es:

Ejemplo #3 Encuentra la derivada de:

Racionalizando:

Calculamos el lmite:

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DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

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Derivada de las funciones trigonomtricas.En este tema se tiene una afirmacin sorprendente: ninguna de las seis funciones trigonomtricas tienen inversas. Y es cierto, ya que las seis funciones trigonomtricas son peridicas y en consecuencia no son invectivas. A continuacin se presentan las derivadas de las funciones trigonomtricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para ve si es posible redefinir su dominio de manera tal que, en el dominio restringido, tenga funciones inversas. 1. Utilizando esta como gua, junto con el teorema sobre derivada de un cociente de funciones, se pueden realizar las respectivas demostraciones sobre las derivadas de las funciones trigonomtricas. En general, aplicando la regla de la cadena para funciones compuestas, se cumple que Ejemplos: .

a. b.

c. d.

Ejercicio: Determine la primera derivada de cada una de las funciones con ecuaciones:

a.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 b.

c.

2. Ejercicios. En general, si aplicando la regla de la cadena se tiene que

Ejemplos:

a. b.

c.

Ejercicio: Determine si:

a. b.

c.

d.

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3. Ejercicios. En general, su . Ejemplos: entonces aplicando la regla de la cadena se obtiene que

a. b.

c.

Ejercicio: Determine a. b. c. si

4.

Ejercicios. Si que , aplicando la derivada para la composicin de funciones se obtiene .Matemtica II | 18

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Ejemplos: a. b. c.

Ejercicio: Determine si

a. b. c.

5.

Ejercicios. Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que .

Ejemplos:

a.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 b. c.

Ejercicio: Determine a. b. c. si

6. Ejercicios. Si , aplicando la regla de la cadena se obtiene que . Ejemplos: a.

b.

c.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Ejercicio: Determine si

a. b. c.

Notaciones para la derivada de una funcinSi es una funcin derivable en un intervalo , el proceso por medio del cual

se obtiene derivada. El dominio de exista .

, da origen a una nueva funcin que recibe el nombre de funcin

est formado por todos los nmeros del dominio de

para los que

Por ejemplo, si . Si con

con

entonces

est definida nicamente para

una funcin derivable entonces la derivada de f puede denotarse por:

a. b. c.

que se lee: derivada de f(x) respecto a x. que se lee: derivada de "y" respecto a x. Que se lee: "y" prima.

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Las funciones trigonomtricas inversas y sus derivadasConviene recordar que: a) Si una funcin es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee funcin inversa la cual tambin es continua y estrictamente creciente (decreciente). b) Las funciones trigonomtricas son peridicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aqu se tiene que la inversa de una funcin trigonomtrica no es una funcin, es una relacin. Sin embargo, si se restringe el dominio de una funcin trigonomtrica se establece una relacin biunvoca y la inversa de la funcin trigonomtrica s es una funcin.

Funcin seno inversoAl considerar la grfica de la funcin seno:

Se observa que en varios intervalos, por ejemplo:

, etc., la funcin seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podra escogerse alguno de ellos para definir la funcin inversa de la funcin seno. Usualmente se toma el intervalo funcin seno como: . Luego, se define la

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La funcin

as definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo

,

por lo que existe una nica funcin, definida en el intervalo , llamada funcin seno inverso. Esta funcin, denotada arcosen, se define como sigue:

Se tiene entonces que

.

Luego, Ejemplos:

es el nico nmero

para el cual

.

a. b.

c.

d.

La representacin grfica de la funcin seno y de la funcin arcoseno es la siguiente:

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Derivada de la funcin seno inverso

Como la derivada de una funcin inversa se tiene que:

, aplicando el teorema de

Como

,y pues .

entonces

Luego:

En general Ejemplos:

1. 2. 3. Ejercicio: Determine a. b. si:

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Funcin coseno inversoComo en la funcin seno, la funcin coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos por ejemplo: etc. por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea funcin inversa. Sea entonces la funcin tal que:

La funcin as definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo por lo que posee funcin inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o funcin coseno inverso), y se denota . Se define de la siguiente forma:

,

Se tiene que Luego, Ejemplos: es el nico nmero con para el que

a. b.

c.

d.

La representacin grafica de la funcin coseno y la de la funcin arco coseno es la siguiente:

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Derivada de la funcin coseno inversoComo derivada de la funcin inversa se tiene que: , aplicando el teorema de la

Como

,y pues .

entonces

Luego:


1. 2. 3. Ejercicio: Determine si:

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a. b.

Funcin tangente inversaIgual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la funcin tangente al intervalo que posee funcin inversa. , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo

Luego se define la funcin tangente como:

Se define la funcin tangente inversa, tambin llamada arco tangente, y denotada , como:

Se tiene que

,

Luego, Ejemplos:

es el nico nmero

con

para el que

a. b. c.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Adems:

La representacin grfica de la funcin tangente y la de la funcin arcotangente es la siguiente:

Derivada de la funcin arcotangente

Como derivada de la funcin inversa se tiene que:

, aplicando el teorema de la

Como

,y

entonces

por lo que:

En general

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Ejemplos:

1. 2. 3. Ejercicio: Determine a. si:

b.

c.

Funcin cotangente inversaPara definir la funcin inversa de la funcin cotangente, vamos a restringir el dominio de sta al intervalo , en el que es continua y estrictamente decreciente, por lo que posee funcin inversa. Se define funcin cotangente como:

La funcin cotangente inversa, llamada tambin arco cotangente y denotada define como:

, se

Por la definicin de la funcin arco cotangente se tiene que .Matemtica II | 29

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Luego, Ejemplos: es el nico nmero con para el que

a. b. c. Adems:

La representacin grfica de la funcin cotangente y la de la funcin arcocotangente es la siguiente:

Derivada de la funcin cotangente inversaComo de la funcin inversa se tiene que: , aplicando el teorema de la derivada

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Como

,y

entonces

por lo que:


1. 2. 3. Ejercicio: Determine si:

a. b.

Funcin secante inversaVamos a elegir como dominio de la funcin secante el intervalo de donde

, ya que en la funcin secante es biunvoca y la derivada de la funcin inversa puede expresarse por medio de una sola frmula. La representacin grfica de la funcin secante en el intervalo sealado es el siguiente:

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Como puede observarse, la funcin secante es continua en , siendo estrictamente decreciente en y estrictamente creciente en .

Existe por tanto la funcin secante inversa, llamada tambin arco secante y se denota definida por:

Por la definicin de funcin arcosecante se tiene que:

Luego, tal que Ejemplos:

es el nico nmero

con

a.

b. c.

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La representacin grfica de la funcin arcosecante es la siguiente:

Note que:

Derivada de la funcin secante inversa

Como utilizando el teorema de la derivada de la funcin inversa se obtiene que:

,

Como

,y pues

cuando

, entonces

Luego

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En general, si

entonces

Ejemplos:

1. 2. Ejercicio: Determine si:

a. b.

Nota:

La funcin secante inversa tambin suele definirse por la siguiente igualdad: .En este caso

Funcin cosecante inversa

Tomaremos como dominio de la funcin cosecante el intervalo en el que la funcin cosecante es biunvoca. La representacin grfica de la funcin cosecante en el intervalo sealado es la siguiente:

,

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Como puede observarse, la funcin cosecante es continua en , siendo estrictamente creciente en y estrictamente decreciente en .

Existe por tanto la funcin cosecante inversa, llamada tambin arco cosecante y que se denota definida por:

Por la definicin de funcin arco cosecante se tiene que:

Luego, tal que

es el nico nmero

con

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Ejemplos:

a.

b. c.

d.

La representacin grfica de la funcin arco cosecante es la siguiente:

Note que:

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Derivada de la funcin cosecante inversa

Como utilizando el teorema de la derivada de la funcin inversa se obtiene que:

,

Como

,y pues

para

, entonces

Luego

En general, si Ejemplos:

entonces

1. 2. Ejercicio: Determine si:

a.

b.

Nota: La funcin cosecante inversa tambin suele definirse por la siguiente igualdad:

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Adems estudiante como ejercicio.

, igualdad que debe comprobar el

Verifiquemos que

.

Luego

, y se verifica la igualdad.

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Razones Relacionadas

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Razones relacionadasFunciones paramtricas.En algunos casos la ecuacin de una funcin o de una relacin no est dada en la forma o , como en las igualdades , sino que est determinada por un par de ecuaciones en trminos de una misma variable. Por ejemplo, consideremos las ecuaciones Se tiene que a cada valor de le corresponde un punto los cuales determina una relacin La siguiente tabla de valores: . del plano, el conjunto de

Nos permite hacer la representacin grfica de la relacin de la siguiente manera:

En general, las ecuaciones

funciones continuas en un

intervalo reciben el nombre de ecuaciones paramtricas o representacin paramtrica de una curva en el plano . La grfica de las ecuaciones paramtricas est dada por el conjunto de puntos del plano , que se obtiene cuando , que recibe el nombre de parmetro, toma todos sus valores posibles en el dominio . La relacin que determinan las ecuaciones paramtricas, en general no es una funcin, como sucede en el ejemplo anterior. Sin embargo, en algunos casos, la relacin dada s es una funcin.

Por ejemplo, sean

.Matemtica II | 40

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Obtenemos la siguiente tabla de valores:

La representacin grfica es la siguiente:

En este caso, al sustituir se obtiene que que es la ecuacin de la parbola con el eje como el eje de simetra por lo que s es una funcin. Note que la ecuacin obtenida involucra nicamente las variables "x" e "y". Se dice entonces que el parmetro ha sido eliminado. En algunos casos, en la eliminacin del parmetro se utiliza una o ms identidades trigonomtricas como se muestra a continuacin. Sea la relacin con representacin paramtrica .

Se tiene que Vamos a expresar la relacin sigue: utilizando nicamente las variables "x" e "y" como

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De donde Luego

es la ecuacin de una circunferencia con centro en

y radio 2.

no representa una funcin y su representacin grfica es la siguiente:

Puede expresarse entonces como:

Sea ahora R la relacin con representacin paramtrica

con

.

En este caso Para expresar R en trminos de "x" e "y", se despeja en alguna de las ecuaciones y se sustituye en la otra como se muestra a continuacin:

Si

entonces

Luego la ecuacin siguiente:

para

tiene como representacin grfica la

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Por ltimo verifiquemos que determinada por las ecuaciones paramtricas

es una ecuacin de la relacin , con .

Como

entonces

, y como

entonces

Luego una elipse con centro en

, de donde

, que es la ecuacin de

Su representacin grfica es la siguiente:

Derivada de la funcin dada paramtricamente El siguiente teorema nos proporciona las condiciones necesarias para obtener la derivada de una funcin dada en forma paramtrica.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Teorema Sean funciones derivables en un intervalo . Supongamos que

tiene una inversa derivable en ese intervalo. Entonces en cada punto donde , las ecuaciones tal que , y adems implican que existe una

funcin derivable

Ejemplos: 1. Determine Solucin:

Por el teorema anterior se tiene que Luego:

Por lo que

2. Determinar los puntos de la curva con ecuaciones que es cero la pendiente de la recta tangente a la curva. Solucin: Recuerde que la pendiente de la recta tangente est dada por Como entonces .

en los

La pendiente de la recta tangente es cero cuando

, en este caso cuando

; pero esta igualdad no se cumple para ningn valor real de . Luego, no existe ningn punto de la curva dada donde la pendiente de la recta tangente sea cero. 3. Determinar la ecuacin de la recta tangente a la curva con ecuaciones cuando

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Solucin: La ecuacin de la recta tangente est dada por , donde .

Se tiene que

Cuando Cuando se obtiene

, por lo que , y al sustituir en se obtiene: .

Luego, la ecuacin de la recta tangente es: Derivadas de orden superior para una funcin dada en forma paramtrica Si sigue: estn dadas en forma paramtrica entonces puede expresarse como

Ejemplo:

Si

entonces

y

En general, para obtener la ensima derivada, cuando las ecuaciones estn dadas en forma paramtrica, se aplica la siguiente igualdad:

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Diferenciales

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 DIFERENCIALES. Incrementos Se estudiara en este punto, antes de definir el diferencial y dar su interpretacin geomtrica.

Al dar la definicin de la derivada de una funcin

como el

, se pertenece al dominio de

utiliz para sealar un nmero distinto de cero tal que . Grficamente se tiene la representacin de

y la recta tangente:

Puede decirse que

es la diferencia entre las abscisas de dos puntos de la grfica de .

. Esta diferencia recibe el nombre de incremento de y se denota por

Para una funcin

dada al sustituir por

en la expresin .

se obtiene

de donde Si

entonces el incremento en "y" correspondiente al incremento , est dado por . en .

de , que

se denota por As,

es el cambio en "y" debido al cambio

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La razn

recibe el nombre de razn promedio de cambio de .

o

de "y", respecto a , para el intervalo

La derivada:

recibe el nombre de razn respecto a .

instantnea de cambio o simplemente razn de cambio de "y" o de Ejemplos: 1. Si I. Determinar para: a. b. hallar en trminos de y

Solucin:

Para

se tiene que:

a) Puede decirse que existe un incremento de en las ordenadas debido a un incremento de en las abscisas. b) Para I. y se tiene que:

Hallar la razn promedio de cambio de "y" respecto a para el intervalo y para el intervaloMatemtica II | 48

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Solucin: La razn promedio de cambio de "y" respecto a "x" est dada por:

De donde

En el intervalo obtiene II.

se tiene

y el intervalo

se

Hallar la razn de cambio de "y" respecto a "x". Determinar el valor de este rezn en 2 y en 4.

Solucin: La razn de cambio de "y" respecto a "x" est dada por:

En esta razn instantnea es y en toma el valor de 2. Demostrar que la razn de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio, es igual al rea de la superficie de la esfera. Solucin:

El volumen de una esfera de radio es La razn de cambio del volumen con respecto al radio est dado por:

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Expresin que corresponde precisamente al rea de la superficie de la esfera.

DiferencialesSea Sea una funcin definida por diferente de cero tal que est en la grfica de , derivable sobre un intervalo pertenece al dominio de y el punto

como se muestra en la siguiente figura:

Sabemos de la definicin de derivada que:

Si el lmite existe

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Luego:

De donde para cualquier o sea, Lo anterior significa que tomando Luego, tomando

existe

tal que siempre que

siempre que .

puede hacerse tan pequeo como se quiera,

suficientemente pequeo. es tan buena aproximacin para el incremento suficientemente pequeo. como se desee,

Definicin Si es una funcin tal que existe sobre un intervalo y si es

cualquier nmero distinto de cero, la diferencia de igual multiplicada por .

con respecto a es de tal

. Esta diferencial se denota por

forma que

Ejemplos: Si entonces . donde . siendo

Consideremos ahora una funcin compuesta

la variable independiente final y "x" la variable intermedia. Luego Aplicando la definicin anterior tanto a "y" como a "x" se obtiene: .

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Utilizando la regla de la cadena para derivar respecto a se obtiene que . Luego , frmula que se escribe usualmente , y que se lee como la diferencial como la diferencial de "y" es igual a la derivada de "y" con respecto a "x", multiplicada por la diferencial de "x" donde son diferenciales con respecto a la misma variable. ,

Definicin: Si una funcin denota est definida por entonces la diferencial de se donde es la variable independiente .

, est dada por

final, y adems, la diferencial "y" es siempre: En la figura anterior es fcil observar que conforme

es una mejor aproximacin de

se hace cada vez ms pequea.

Ejemplos: 1. Determinar Solucin: , , para

Consideremos Calculemos primero el incremento:

Para Ahora calculemos la diferencial

de donde

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Luego para Por ltimo

se tiene que .

2. Utilizando diferenciales calcular aproximadamente el valor de

.

Solucin: Tomemos Nos interesa determinar una aproximacin a Para ello calculamos el diferencial de "y". . para y .

; sustituyendo "x" por 125 y

por -3 se obtiene que:

Luego As aproximamos Luego . para , con

3. El lado de un cuadrado es igual a rea si el lado aumenta . Solucin: Sea

. Hallar el incremento aproximado de su

donde es el lado del cuadrado, A denota su rea.

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Se desea determinar cunto aumenta el rea cuando la longitud del lado pasa de a . Calculemos la diferencial de rea: As: , donde Luego: y aproximamos de donde El incremento del rea es de . para con y

, rea del nuevo cuadrado.

4. Al calentar una esfera de radio , su volumen aument el alargamiento del radio de la esfera. Solucin:

. Hallar

Sea

la ecuacin para el volumen de la esfera.

En este caso conocemos la diferencial del volumen de la esfera que est dada por . Debemos averiguar la diferencial o el incremento del radio, es decir Como Y por tanto El radio de la esfera se alarg Ejercicio: Resuelva los problemas siguientes: 1. Hallar el valor aproximado de 2. Sea y , donde y son funciones derivables sobre un dominio comn. Exprese la diferencial del producto en trminos de las diferenciales de y . 3. Un paraleleppedo rectangular de de altura tiene por base un cuadrado cuyo lado es igual a . Cunto aumentar el volumen del paraleleppedo si el lado de la base se alarga ?Matemtica II | 54

y . .

entonces:

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 4. De cada cara de un bloque cbico de madera se saca una capa de de espesor. Si el bloque tena originalmente de arista, aproximadamente cunto va a decrecer el volumen a causa del proceso? Nota: A partir de la notacin diferencial se tiene que dividir por obtenindose por tanto que . se debe a Leibniz y se por lo que se puede

El usar el cociente de diferenciales para denotar la derivada de utiliza a veces al denotar las derivadas de orden superior. Diferencial de una funcin compuesta: Ejemplo: Y=f(x)=sen 3x F(x)= 3 cos 3x Dy =f(x) dx = 3 cos 3x dx Funcin original.

Aplicacin de la regla de la cadena. Forma diferencial.

Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para realizar esto con respecto a la funcin dada por y = f(x).

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TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y DE ROLLE

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Teorema del Valor MedioEn clculo diferencial, el teorema de valor medio (de LaGrange), tambin llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-LaGrange o teora del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemticos consideran que este teorema es el ms importante de clculo (ver tambin el teorema fundamental del clculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemticos; ms bien, se usa normalmente para probar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial. En esencia el teorema dice que dada cualquier funcin f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algn punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f (b)). Es decir:

Este teorema lo formul LaGrange. El teorema del valor medio de LaGrange de hecho es una generalizacin del teorema de Rolle que dice que si una funcin es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algn punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

Teorema del valor medio.Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de LaGrange) Sea una funcin que cumple las propiedades siguientes: 1. Es continua sobre un intervalo cerrado 2. Es derivable sobre un intervalo abierto Entonces existe por lo menos un nmero tal que y

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Este teorema se utiliza para demostrar varios teoremas tanto del clculo diferencial como del clculo integral. En su demostracin se utilizar el teorema de Rolle. Interpretacin geomtrica El teorema del valor medio puede interpretarse geomtricamente como sigue: Consideremos la representacin grfica de una curva continua :

La recta secante que une los puntos

tiene como pendiente

. Segn el teorema del valor medio, debe existir algn punto sobre la curva, localizado entre P y Q, en el que la recta tangente sea paralela a la recta secante que pasa por P y Q; es decir, existe algn nmero tal que

Ejemplos: Para cada funcin cuya ecuacin se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusin de este teorema: 1. 2. 3. 4.Matemtica II | 58

TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 Solucin: 1. Por ser una funcin polinomial, es derivable para toda tal que: por lo que debe

existir por lo menos un nmero

Adems

por lo que

Como

entonces

por lo que

Luego en

y en

la recta tangente es y .

paralela a la recta secante que pasa por los puntos

2. Como

es continua en el intervalo

y derivable en el intervalo

cumplir ambas condiciones en el intervalo Luego debe existir por lo menos un nmero tal que

Como

,

Entonces

por lo que o , se tiene que

Resolviendo la ecuacin se obtiene que Aunque ambos valores de

pertenecen al intervalo

nicamente cuando

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Luego en por los puntos

la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa .

Grficamente se tiene:

El anlisis de las otras funciones queda como ejercicio para el estudiante. Teorema de Cauchy del valor medio (o extensin del teorema del valor medio para derivadas) Sean dos funciones continuas sobre y . , tal que

unos intervalos cerrados

derivables sobre el intervalo abierto Si para

entonces existe un nmero .

Interpretacin geomtrica

Considere la representacin grfica de una curva paramtricas donde .

, que tiene ecuaciones

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Utilizando la derivacin paramtrica se obtiene que la pendiente de la recta tangente a la curva en un determinado valor est dada por

Adems, la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos est dada por:

Por el teorema de Cauchy del valor intermedio, existe por lo menos un valor tal que:

en

En este caso, hay dos valores de que satisfacen la conclusin del teorema y son . Ejemplos: En cada caso, determinar los valores del valor medio. 1. 2. tales que satisfacen el teorema de Cauchy

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Solucin: 1. Las funciones y son continuas y derivables en el intervalo funciones polinomiales. Adems: de cero para tal que: por lo que ,y por ser

es diferente en

. Como se cumplen todas las condiciones existe

Como expresin anterior: de donde

entonces sustituyendo en la y se obtiene que

2. Las funciones

y son continuas y derivables en el intervalo donde

pues ambas es diferente

son el cociente de dos polinomios de cero para en .

Adems: diferente de cero para

por lo que

, es

. Como se cumplen todas las condiciones del en tal que:

teorema de Cauchy del valor medio, existe

Como sustituyendo en la igualdad anterior se tiene: y

entonces por lo que

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Como

no pertenece al intervalo

, el valor que satisface la

conclusin del teorema es

, que s pertenece al intervalo dado.

El teorema de Cauchy2 del valor ser utilizado en la demostracin de algunos teoremas que se refieren a la regla de L'Hpital.

2

Matemtico francs. Era uno de los matemticos de mayor prestigio y empez a trabajar en las funciones de variable compleja.

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Teorema de RolleMatemtica II | 64


TEOREMA DE ROLLETeorema de Rolle (o teorema sobre las races de la derivada) Sea una funcin que cumple las condiciones siguientes: 1. es continua sobre un intervalo cerrado 2. es derivable sobre un intervalo abierto 3. Entonces existe por lo menos un nmero real tal que O sea para cierto . .

Interpretacin geomtrica Este teorema puede interpretarse geomtricamente de la manera siguiente: Si una curva continua interseca al eje en y tiene una recta tangente en

cada uno de los puntos del intervalo , entonces existe por lo menos un punto de la curva en el que la recta tangente es paralela al eje . Grficamente se tiene:

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TRABAJO DE INVESTIGACION 5 de mayo de 2011 El teorema tambin es vlido para una funcin derivable que aunque en los extremos del intervalo decir, no interseque al eje . , s tome valores iguales para "a" y "b", es

Es necesario que la funcin posea derivada en todos los puntos del intervalo, ya que aunque la funcin sea continua en el intervalo, si no es derivable en algn punto, puede suceder que no exista ningn valor "c" para el que Por ejemplo, la funcin con ecuacin sea igual a cero.

es continua en el intervalo , pero la derivada de no est

y adems se cumple que definida para dado.

, y se tiene que

no se hace cero en el intervalo

La representacin grfica de esta funcin en el intervalo

es la siguiente:

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Ejemplos: Para cada una de las funciones cuyas ecuaciones se dan a continuacin, verificar que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo indicado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusin de este teorema: 1. 2. 3. 4. Solucin: 1. Por ser una funcin polinomial es derivable y por lo tanto continua para todo

. se cumplen entonces las dos primeras condiciones en el intervalo Adems tercera condicin. por lo que la curva interseca al eje y se cumple la

Luego, debe existir por lo menos un nmero

tal que

Como

si y solo si

entonces puede tomarse

Luego en el punto

la recta tangente es paralela al ejeMatemtica II | 67


2. De nuevo,

es una funcin polinomial y por tanto es derivable, y contina para se cumplen las dos primeras

toda . En particular, en el intervalo condiciones. Adems

verificndose la tercera condicin. y existe si y solo si tal que

Luego, el teorema es vlido en el intervalo . Como entonces

. Note que ambos valores pertenecen al intervalo .

Luego, en los puntos , la recta tangente tiene pendiente cero y por tanto dicha recta es paralela al eje .

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CONCLUSION

Con la finalizacin del trabajo de investigacin hemos determinado que el estudio de la derivada debe ser minucioso, para evitar errores a la hora del desarrollo de ejercicios prcticos. Asimismo concluir que la investigacin realizada amplio el conocimiento de cada uno de los integrantes del grupo ya que fueron temas que no se evaluaron en clases, pero que lograron en cada uno de los alumnos poner en prctica hbitos de estudio y promover la investigacin.

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BIBLIOGRAFIA.Larsson Hostetler. Louis Leithold Clculo. Wikipedia http://docencia.udea.edu.co

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Trabajo de Mate Casi 2